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UNIDADE 3

Capítulo 7

Retas e ângulos

Capítulo 8

Números decimais

Capítulo 9

Operações com números decimais

Fotografia. Mãos de pessoa sobre uma folha amarela de formato quadrado, com marcas de dobra nas diagonais. No canto superior esquerdo, lápis de diferentes cores. Na parte superior algumas bolas de papel e uma ave feita com dobraduras. À direita, folhas de diferentes cores. No canto inferior esquerdo uma tesoura preta,

QUANTAS VEZES VOCÊ CONSEGUE DOBRAR UM PAPEL AO MEIO?

Responda antes de tentar: quantas vezes você consegue dobrar uma folha de papel ao meio? Se a resposta foi um número muito maior que 7, sinto muito, mas é uma tarefa quase impossível. Basicamente, o número de dobras possíveis depende do tamanho e da espessura do papel. Entenda!

Uma folha de papel sulfite de tamanho a quatro mede, em média, 0,1 milímetro de espessura. Após a primeira dobra, teremos 0,2 milímetro; após a segunda dobra, 0,4 milímetro; após a terceira dobra, 0,8 milímetro, e assim por diante, duplicando a medida anterior. Isso significa que, se dobrarmos uma folha de papel como a mencionada 7 vezes, ela ficará tão espessa quanto um caderno de 128 páginas. Sem falar que precisaríamos de uma folha bem grande.

Para começar...

1. Pegue uma folha de papel sulfite e dobre-a ao meio quantas vezes for possível. Quantas dobras completas você conseguiu?

2. Que números naturais você identifica no texto? E números decimais?

3. Represente, na fórma de fração decimal, a espessura média da folha de papel sulfite de tamanho a quatro. Como se lê esse número?

4.

Ilustração. Ícone de atividade com calculadora.

Utilizando uma calculadora, determine a espessura do papel a quatro após 7 dobras.

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CAPÍTULO 7 Retas e ângulos

1 Ideia de ponto, reta e plano

Você já jogou bolinha de gude?

Leia, a seguir, uma variação dessa brincadeira.

• Alguns colegas se reúnem e fazem um círculo no chão cujo diâmetro mede, aproximadamente, trinta centímetros de comprimento.

• A partir dele, dão um passo e riscam uma linha.

• Em seguida, dividem as bolinhas de gude entre os jogadores. Todos devem receber a mesma quantidade.

• Então, decidem quem começa o jôgo. Com a mão sobre a linha marcada, o jogador deve lançar uma de suas bolinhas tentando deixá-la bem perto do círculo, mas sem que ela pare dentro dele. Essa rodada acaba quando todos jogarem uma bolinha.

• Nas rodadas seguintes, cada jogador poderá tentar jogar suas bolinhas o mais próximo possível do círculo ou empurrar as bolinhas dos adversários para longe dele.

• Quando todas as bolinhas forem arremessadas, o jôgo acaba, e o vencedor é aquele que tiver deixado a sua bolinha mais perto do círculo.

Lembre-se: Escreva no caderno!

Fotografia. Circunferência representada na areia. Fora da circunferência, no canto inferior esquerdo e superior direito estão presentes bolinhas de gude de diferentes cores. — jôgo de bolinha de gude.

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Representação de ponto, reta e plano

Na Unidade 1, você estudou algumas figuras geométricas, que são os poliedros e os corpos redondos. Nesta Unidade, você conhecerá alguns conceitos básicos da Geometria.

Na Geometria, nem tudo pode ser definido. O ponto, a reta e o plano, por exemplo, não têm definição; podemos apenas imaginá-los. Por isso, eles são denominados conceitos primitivos da Geometria.

Observe como algumas imagens do cotidiano dão ideia dêsses conceitos.

Fotografia. Folha de papel com 3 pingos de tinta preta nela. Sobre a folha estão um pincel amarelo e um tubo de tinta preto. — Um pingo de tinta em uma folha de papel dá ideia de um ponto.

Fotografia. Folha de caderno com linhas horizontais visíveis. Na imagem está presente a mão de uma pessoa segurando um lápis preto. — As linhas de uma folha de caderno dão ideia de partes de retas.

Fotografia. Mesa de tampo retangular para 4 pessoas. O tampo e os pés da mesa são vermelhos. — A superfície do tampo de uma mesa dá ideia de parte de um plano.

Agora, observe o poliedro representado a seguir.

Figura geométrica. Bloco retangular amarelo. Sobrepondo a face lateral esquerda, que está destacada em verde, há um plano azul identificado como plano beta. Sobre a aresta superior direita, que está destacada em azul, há uma reta, identificada como reta r. Um dos vértices inferiores está destacado de vermelho e está identificado como ponto P.

• Os vértices de um poliedro são pontos. Representamos um ponto assim:

Figura geométrica. Ponto vermelho. Acima, letra P maiúscula.

• Podemos imaginar que cada aresta do poliedro está contida em uma reta. As retas não têm espessura e são ilimitadas nos dois sentidos. Ao representá-las, desenhamos apenas parte delas.

Figura geométrica. Representação de parte de uma reta inclinada azul. Abaixo da reta, à direita, letra r minúscula.

• Podemos imaginar que a face verde do poliedro está contida em um plano. Os planos também não têm espessura e são ilimitados em todas as direções. Ao representá-los, desenhamos apenas parte deles.

Figura geométrica. Representação de parte de um plano azul. No canto inferior direito do plano, está presente a letra grega beta.

Observação

Para nomear:

• os pontos, usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto (P, Q, R, M etcétera);

• as retas, usamos letras minúsculas do nosso alfabeto (r, s, t, v etcétera);

• os planos, usamos letras minúsculas do alfabeto grego (α – alfa; β – beta; δ – delta etcétera).

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Semirreta e segmento de reta

Observe a reta r a seguir e alguns de seus pontos.

Figura geométrica. Representação de parte de uma reta r e pontos A, P e B, nesta ordem, sobre ela.

De uma reta podemos obter semirretas e segmentos de reta.

Semirreta

Um ponto P em uma reta r determina duas semirretas em r. Esse ponto é a origem das semirretas.

Figura geométrica. Parte de uma reta limitada à direita por um ponto P e que passa pelo ponto A à esquerda.

Figura geométrica. Parte de uma reta limitada à esquerda por um ponto P e que passa pelo ponto B à direita.

A semirreta que tem origem em P e passa pelo ponto a é indicada por

\vec{P A}

.

A semirreta de origem P, que passa por B, é indicada por

\vec{P B} .

Segmento de reta

Considere os pontos a e B da reta r e os pontos compreendidos entre eles.

Figura geométrica. Parte de uma reta limitada pelo ponto A à esquerda e pelo ponto B à direita.

O segmento de reta

\overline{A B}

é o conjunto de pontos formado pelo ponto a, pelo ponto B e por todos os pontos da reta compreendidos entre a e B.

No segmento de reta

\overline{A B}

, os pontos a e B são as extremidades dêsse segmento de reta.

Fotografia. Quadro pintado a óleo com fundo preto e linhas verticais brancas próximas umas das outras, com espessura um pouco mais grossa em direção ao centro. — víctor vassaréli. Bora III, 1964, óleo sobre tela, 149,86 centímetros × 141,61 centímetros. As linhas dessa obra lembram segmentos de reta.

Medida de comprimento de um segmento de reta

O ato de medir significa comparar algo a uma unidade de medida. Por exemplo, medimos o comprimento de um segmento de reta comparando-o com o comprimento de outro segmento, que é tomado como unidade de medida.

Ao medir o comprimento do segmento com uma régua, você compara o comprimento do segmento com o comprimento de um segmento de 1 centímetro.

O segmento

\overline{A B}

mede 5 centímetros de comprimento; indicamos: A bê = 5 centímetros

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Para medir o comprimento do segmento, poderíamos ter usado o milímetro, o metro ou outra unidade de medida. Observe como isso é possível.

Tomando como unidade de medida a medida de comprimento do segmento

\overline{C D}

, podemos descobrir a medida de

\overline{A B}

.

Esquema. Segmento de reta na cor verde que tem como extremidades um ponto C à esquerda e um ponto D à direita. A medida do comprimento do segmento é indicada pela letra u.
Abaixo, segmento de reta na cor laranja que tem como extremidades um ponto A à esquerda e um ponto B à direita.
Abaixo, o mesmo segmento de reta laranja anterior com extremidades nos pontos A e B. Abaixo dele, lado a lado, estão indicados 3 segmentos verdes com medida u de comprimento. Da esquerda para a direita, a extremidade direita do primeiro segmento coincide com a extremidade esquerda do segundo segmento e a extremidade direita do segundo segmento coincide com a extremidade esquerda do terceiro segmento. Além disso, o ponto A do segmento de reta da parte superior está alinhado com a extremidade esquerda do primeiro segmento e o ponto B está alinhado com a extremidade direita do terceiro segmento.

Assim, podemos dizer que a medida de comprimento do segmento

\overline{A B}

é 3u, ou seja, A bê = 3u.

O compasso é um instrumento que também pode ser usado para medir o comprimento de um segmento de reta. Ajustamos sua abertura ao comprimento da unidade e verificamos quantas vezes essa unidade cabe no segmento a ser medido.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Ilustração. Figura 1. Folha de papel com a representação de 2 segmentos de reta de medidas de comprimento diferentes. Acima do segmento de reta de menor medida de comprimento há uma letra u e apoiado nas extremidades deste segmento de reta está a grafite e a ponta seca de um compasso segurado pela mão de uma pessoa.
Figura 2. Mesma ilustração anterior. Agora, a mão da pessoa segura o compasso que tem a ponta-seca apoiada no centro do segmento de reta de maior medida de comprimento e a grafite na extremidade direita deste mesmo segmento. Há duas letras u minúsculas acima deste segmento de reta: uma na primeira metade e outra na segunda metade.

Nesse exemplo, o comprimento do segmento maior mede doisu.

Em alguns casos, segmentos de reta podem ter a mesma medida de comprimento.

Figura geométrica. Na parte superior, segmento de reta que tem como extremidades um ponto A à esquerda e um ponto B à direita.
Na parte inferior, segmento de reta que tem como extremidades um ponto C à esquerda e um ponto D à direita, de modo que C esteja alinhado com A e D esteja alinhado com B.

Segmentos que têm medidas de comprimento iguais são chamados de congruentes.

Para responder

a) Que outras unidades de medida de comprimento você conhece?

b) Nós também medimos o tempo. Que unidade de medida de tempo você conhece?

c) Podemos medir a quantidade de memória de um computador. Que unidade de medida de memória do computador você conhece?

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Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

ATIVIDADES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1. Considere a reta v e os pontos F, G e H para responder à questão.

Figura geométrica. Representação de parte de uma reta v e pontos F, G e H, nesta ordem, sobre ela.

• Os pontos F, G e H determinam que segmentos de reta em v?

2. Copie o ponto B e a reta t no caderno.

Figura geométrica. Modelo. Plano em verde com a reta t inclinada e acima da reta um ponto indicado por B.

• Agora, desenhe:

a) uma semirreta cuja origem seja o ponto B;

b) um ponto C na reta t;

c) um segmento de reta cujas extremidades sejam os pontos B e C.

3. Observe.

Ilustração. À esquerda, menina de pele branca, cabelo vermelho amarrado, vestido roxo, mostrando, à frente, um prisma de base hexagonal, falando: cada aresta de um poliedro é um segmento de reta. À direita, um menino de pele branca, cabelo marrom, camiseta azul claro e e calça azul escuro, apontando para o desenho de um hexágono, falando: os lados das faces dos poliedros são segmentos de reta.

• Agora, responda: quantas arestas há em cada poliedro representado a seguir? E quantos lados tem cada face lateral?

a)

Figura geométrica. Pirâmide, roxa, de base quadrada, o vértice superior da pirâmide no ponto A e vértices da base B, C, D e E.

b)

Figura geométrica. Cubo, amarelo com vértices da face superior nos pontos A, B, C e D e na face inferior os pontos E, F, G, e H.

4. Meça o comprimento dos segmentos a seguir com uma régua e identifique quais deles são congruentes.

Figuras geométricas. Representação de 5 segmentos de reta na horizontal com diferentes medidas de comprimento. Segmento de reta com extremidades nos pontos A e B, segmento de reta com extremidades nos pontos C e D, segmento de reta com extremidades nos pontos E e F, segmento de reta com extremidades nos pontos G e H e segmento de reta com extremidades nos pontos I e J. 2 destes 5 segmentos têm a mesma medida de comprimento.

5. Tomando a medida de comprimento u do segmento

\overline{A B}

como unidade de medida, indique as medidas de comprimento dos segmentos

\overline{C D}

,

\overline{E F}

e

\overline{G H}

.

Figuras geométricas. Representação de 4 segmentos de reta na horizontal com diferentes medidas de comprimento. Segmento de reta com extremidades nos pontos A e B, segmento de reta com extremidades nos pontos C e D, segmento de reta com extremidades nos pontos E e F e segmento de reta com extremidades nos pontos G e H.

6. Quantas retas podem passar simultaneamente pelos pontos a e B? Por quê?

Ilustração. À direita, ponto A e à esquerda, ponto B.

7. Indique quantos e quais são os segmentos de reta determinados em cada figura.

a)

Figura geométrica. Representação do contorno de um retângulo ABCD com sua diagonais interceptando-se no ponto E.

b)

Figura geométrica. Representação do contorno de 4 triângulos: ABC, BIF, DEF e GHI.

8. Usando apenas o compasso, compare as medidas de comprimento dos segmentos e responda às questões.

a) Que segmento tem o dobro da medida de comprimento do segmento

\overline{G H}

?

b) Que segmento tem o triplo da medida de comprimento do segmento

\overline{A B}

?

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9. Faça um desenho de acôrdo com as instruções a seguir.

1º) Desenhe um segmento

\overline{A B}

, na horizontal, de medida de comprimento igual a 2 centímetros.

2º) A partir do ponto B, desenhe na vertical um segmento

\overline{B C}

de medida de comprimento igual a 3 centímetros.

3º) A partir do ponto C, desenhe na horizontal um segmento

\overline{C D}

de medida de comprimento igual a 2 centímetros de modo que a distância entre os pontos D e a seja igual a 3 centímetros.

4º) A partir do ponto D, desenhe um segmento

\overline{D A}

. (Dica: Note que a extremidade a do segmento

\overline{D A}

deve coincidir com a extremidade a do segmento

\overline{A B}

.)

•

Compare seu desenho com o de um colega e responda às questões.

a) Pode-se afirmar que as figuras obtidas têm dois pares de segmentos congruentes? Se sim, quais?

b) Pode-se afirmar que as figuras são planas?

c) Qual é o formato das figuras obtidas?

2 Ângulos

A ideia de ângulo ocorre em nosso dia a dia com mais frequência do que imaginamos.

Para construir uma rampa de acesso em um cinema, por exemplo, é preciso saber a inclinação adequada que essa rampa deve ter. Para isso, pode-se empregar uma das ideias de ângulo.

Ilustração. Homem de pele branca de cabelos castanhos empurrando uma cadeirante de pele branca que está em uma rampa de acesso para uma sala de cinema. O homem usa camiseta azul clara, calça cinza e tênis branco. A cadeirante usa camiseta amarela, bermuda lilás e tênis azul. Na rampa, há a representação de um ângulo com a indicação: A inclinação de uma rampa dá ideia de ângulo.

A inclinação de uma reta em relação à horizontal determina um ângulo.

Figura geométrica. Reta na horizontal, no centro um ponto em vermelho, com uma reta inclinada passando por este ponto, com a marcação de ângulo, entre a reta horizontal e a reta inclinada.

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Lembre-se: Escreva do caderno!

Observe outras ideias de ângulo.

Representação de ângulos

Observe, na figura a seguir, que as semirretas

\vec{O A} e \vec{O B}

separam o plano que as contém em duas regiões (a verde e a laranja).

Figura geométrica. Na parte superior, semirreta com origem no ponto O à esquerda passando pelo ponto A à direita. Na parte inferior, semirreta com origem no mesmo ponto O à esquerda passando pelo ponto B à direita.
A região interna limitada por estas duas semirretas está destacada na cor verde e a região externa está destacada na cor laranja.

Cada região fórma um ângulo com as semirretas. Destacamos, a seguir, a região do ângulo de que vamos tratar.

• Indicamos esse ângulo por

A \hat{O} B

ou

B \hat{O} A

ou, simplesmente,

\hat{O}

.

• As semirretas

\vec{O A} e \vec{O B}

, de mesma origem, são os lados do ângulo.

• A origem óh é o vértice do ângulo.

Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem em um plano com uma das regiões determinadas por elas.

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Medida de abertura de um ângulo

A rotação (ou o giro) de uma semirreta em torno de um ponto de origem descreve um ângulo.

Se esse giro for de uma volta completa, então o ângulo terá medida de abertura igual a 360graus (lemos: “trezentos e sessenta graus”).

Se o giro for de

\frac{1}{2}

volta, então o ângulo terá medida de abertura igual a 180graus. Da mesma fórma, se o giro for de

\frac{1}{4}

de volta, sua medida de abertura será igual a 90graus.

Ilustração. Lápis grafite, na horizontal com a ponta para a direita, iniciando um giro e outras seis representações tracejadas do mesmo lápis, em diferentes posições: um está inclinado para cima com a ponta para a direita, outro na vertical com a ponta para cima, outro inclinado para cima com a ponta para a esquerda, outro inclinado para baixo com a ponta para a esquerda, outro na vertical com a ponta para baixo e outro inclinado para baixo com a ponta para a direita, voltando para a posição do lápis inicial, formando uma circunferência também tracejada, para indicar o giro de uma volta; ângulo de 360 graus.

Ilustração. Lápis grafite, na horizontal com a ponta para a esquerda e outras quatro representações tracejadas do mesmo lápis, em diferentes posições: um está na horizontal com a ponta para a direita, iniciando o giro, outro inclinado para cima com a ponta para a direita, outro na vertical com a ponta para cima, outro inclinado para cima com a ponta para a esquerda, formando meia circunferência, também tracejada, para indicar o giro de meia volta; ângulo de 180 graus.

Ilustração. Lápis grafite, na vertical com a ponta para cima e outras duas representações tracejadas do mesmo lápis, em diferentes posições: um está na horizontal com a ponta para a direita, iniciando o giro e outro inclinado para cima com a ponta para a direita, formando um quarto de circunferência, também tracejada, para indicar o giro de um quarto de volta; ângulo de 90 graus.

Observações

• Quando a abertura de um ângulo mede 180graus, ele é chamado de ângulo raso.

Figura geométrica. Duas semirretas horizontais de mesma origem e sentidos opostos. A região acima do ponto de origem destacada de verde.

• Quando a abertura de um ângulo mede 0grau, ele é denominado ângulo nulo.

Figura geométrica. Duas semirretas horizontais de mesma origem no ponto O e mesmo sentido passando por um ponto A.

Para medir a abertura de ângulos em graus, podemos usar um transferidor. Observe.

Fotografia. Transferidor de 360 graus, com o formato circular. Indicação do centro do transferidor com um ponto vermelho e na volta marcações dos ângulos em graus.

Fotografia. Transferidor de 180 graus, com o formato de meio círculo. Indicação do centro do transferidor com um ponto vermelho e na volta a marcações dos ângulos em graus.

1º) O centro do transferidor (destacado com ponto vermelho nas fotos anteriores) deve coincidir com o vértice do ângulo.

2º) A linha do transferidor que indica zero grau deve estar alinhada com um dos lados do ângulo.

3º) A medida de abertura do ângulo, a ser lida nas marcas numéricas do transferidor, estará indicada pelo outro lado do ângulo.

Exemplos

Figura geométrica. À esquerda, ângulo com abertura sendo medida com transferidor de 180 graus. O centro do transferidor coincide com o vértice do ângulo. A linha do transferidor que indica zero grau está alinhada com um dos lados do ângulo e a linha do transferidor que indica 30 graus está alinhada com o outro lado do ângulo. Acima da figura, há a indicação: ângulo com medida de abertura de 30 graus.
À direita, ângulo com abertura sendo medida com transferidor de 180 graus. O centro do transferidor coincide com o vértice do ângulo. A linha do transferidor que indica zero grau está alinhada com um dos lados do ângulo e a linha do transferidor que indica 120 graus está alinhada com o outro lado do ângulo. Acima da figura, há a indicação: ângulo com medida de abertura de 120 graus.

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Classificação dos ângulos em reto, agudo ou obtuso

Ângulo reto	Ângulo agudo	Ângulo obtuso
É chamado reto o ângulo de medida de abertura igual a 90°.	É chamado agudo o ângulo de medida de abertura maior que 0° e menor que 90°.	É chamado obtuso o ângulo de medida de abertura maior que 90° e menor que 180°.

ATIVIDADES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1. Observe os ângulos representados a seguir e escreva quais são os lados e o vértice de cada um.

a)

Figura geométrica. Ângulo com abertura para cima, formado pela semirreta com origem no ponto A, passando pelo ponto B e pela semirreta com origem no ponto A passado pelo ponto C.

b)

Figura geométrica. Ângulo com abertura para baixo, formado pela semirreta com origem no ponto G, passando pelo ponto H e pela semirreta com origem no ponto G passado pelo ponto I.

2. Usando um transferidor, meça a abertura dos ângulos a seguir e classifique-os em reto, agudo ou obtuso.

a)

Figura geométrica. Ponto azul que é origem de duas semirretas azuis. Uma semirreta na vertical e outra na horizontal. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em azul. Além disso, na região interna do ângulo, próximo à origem, há um símbolo similar ao contorno de um quadrado com um ponto no centro.

b)

Figura geométrica. Ponto bege que é origem de duas semirretas bege. Uma semirreta com inclinação para direita e outra na horizontal para direita. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em bege e tem um arco identificando um ângulo.

c)

Figura geométrica. Ponto verde que é origem de duas semirretas verdes. Uma semirreta com inclinação para esquerda e outra na horizontal para direita. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em verde e tem um arco identificando um ângulo.

d)

Figura geométrica. Ponto roxo que é origem de duas semirretas roxas. Uma semirreta com inclinação para esquerda e outra na horizontal para direita. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em roxo e tem um arco identificando um ângulo.

3. Descubra a medida de abertura, em grau, de cada ângulo.

a) Ângulo de

\frac{3}{4}

de volta.

Ilustração. Circunferência tracejada, com duas semirretas partindo do mesmo ponto de origem, uma está na horizontal à direita, dando início ao giro a outra está na vertical para baixo finalizando o giro.

b) Ângulo de

\frac{1}{8}

de volta.

c) Ângulo de

\frac{3}{8}

de volta.

4. Roberto estava diante do espelho vendo se a camiseta que ganhou serviu para ele.

a) Sem sair do lugar, Roberto deu um giro de uma volta. Em que posição ele parou ao terminar de girar?

b) Em outro momento, Roberto estava se olhando de frente para o espelho. Depois, ele se virou de costas para o espelho e andou em linha reta. Que giro Roberto teve de dar para ficar de costas para o espelho?

Ilustração. Menino de pele branca e cabelo loiro, camisa verde e calça cinza, com as mãos na cintura de frente para um espelho que está na parede.

5. Observe as ilustrações a seguir. Elas mostram como fazer uma dobradura na qual apareça, destacado em laranja, um ângulo reto além dos que aparecem destacados em verde.

Ilustração. Dobradura realizada em três etapas.
Etapa 1. Folha de papel retangular na horizontal, com os quatro cantos destacados em verde. Linha tracejada no centro com uma flecha azul, da esquerda para a direita, indicando que a folha deve ser dobrada ao meio.
Etapa 2. A folha que foi dobrada ao meio está na vertical, com os quatro cantos destacados em verde. Linha tracejada na horizontal, no centro da folha, com flecha azul de cima para baixo indicando que a folha deve ser dobrada ao meio novamente.
Etapa 3. Após a folha ser dobrada novamente, o canto superior esquerdo está destacado em laranja e os demais em verde.

a) Faça a dobradura e use-a para medir a abertura de alguns ângulos em objetos e verificar quais deles são ângulos retos.

b) Desenhe os objetos cujos ângulos você mediu e marque com

Ilustração. Indicação de ângulo reto. Quadradinho com um ponto no centro junto ao vértice do ângulo.

cada ângulo reto.

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6. Alguns profissionais, como pedreiros, arquitetos e engenheiros, usam em seu trabalho um instrumento chamado esquadro.

Fotografia. Mãos de uma pessoa no centro da imagem. A mão esquerda posiciona um esquadro em uma planta baixa em papel e a direita segura um lápis. Na parte superior um compasso, uma borracha e uma régua. — Exemplo de uso do esquadro na arquitetura.

• Agora, observe os esquadros a seguir e responda às questões.

Ilustração. Dois esquadros em formato de triângulo com o centro vazado. Um dos ângulos é formado por um lado na horizontal e o outro lado na vertical e está destacado em amarelo, os outros dois ângulos estão em verde.

a) Em cada esquadro, um ângulo reto está destacado com uma cor. Que cor é essa?

b) Os outros dois ângulos destacados em cada um dos esquadros são agudos ou obtusos? Justifique.

7. Jorge e João veem a trave de diferentes ângulos, conforme indicado na figura.

Ilustração. Visão aérea da parte do gol de um campo de futebol. Próximo a marca de pênalti, de frente para o gol, está o Jorge e a sua direita, um pouco mais a frente, em direção ao canto da pequena área, está João. O ponto em que Jorge está é origem de duas semirretas, uma vai até a trave vertical direita e outra até a trave vertical esquerda. A região interna dessas semirretas está destacada em azul. O ponto em que está João é origem de duas semirretas, uma vai até a trave vertical direita e outra até a trave vertical esquerda. A região interna dessas semirretas está destacada em vermelho.

a) Qual jogador tem o maior ângulo de visão?

b) Considerando que apenas o ângulo de visão de cada jogador mostrado na figura influenciará na marcação do gol, quem terá maior chance de marcar gol?

8. Ao projetar uma casa, os arquitetos também desenham o telhado. A inclinação do telhado é definida no projeto, determinando o estilo da casa e o tipo de telha a ser usado. Observe um exemplo.

Ilustração. Fachada de uma casa com parede em formato retangular, com uma porta e uma janela, todas com formato retangular. O telhado tem formato triangular e inclinação de 40 porcento, em seu centro desce uma linha indicando a altura de 200 centímetros, abaixo da linha da altura até a extremidade do telhado, é indicada a medida de 500 centímetros.

Nesse telhado, a inclinação é:

\frac{200}{500} = \frac{40}{100} = 40 %

. Essa inclinação significa que a cada medida de intervalo de 100 centímetros (1 métro) na horizontal há 40 centímetros na vertical. Ela é equivalente a um ângulo com medida de abertura de 22graus aproximadamente (destacado em laranja).

a) Agora, desenhe com régua e esquadro um telhado que tenha 60% de inclinação.

b) Com um transferidor, descubra qual é a medida de abertura do ângulo correspondente a essa inclinação.

9. Resolva o problema.

Foi utilizado um círculo para representar a quantidade de cada tipo de roupa que é fabricada em uma indústria por mês. A parte azul representa a quantidade de roupas infantis, a amarela, a de roupas masculinas, e a vermelha, a de roupas femininas.

Figura geométrica. Círculo para representar a quantidade de roupas infantis, masculinas e femininas fabricadas por mês. Círculo dividido em três partes, a metade superior do círculo está em azul cota para infantis; a metade inferior foi dividida igualmente em duas partes, à esquerda, e em amarelo cota para masculinas e, à direita, em vermelho cota para femininas.

a) Que fração do círculo representa cada parte colorida?

b) A parte azul representa um ângulo de que medida de abertura? E a amarela? E a vermelha?

c) Em um mês, foram fabricadas .1000 unidades de roupas. Quantas unidades de cada tipo de roupa foram fabricadas nesse mês?

d)

Discuta com um colega como a resposta do item anterior pode ser dada por meio de uma porcentagem em relação ao total fabricado.

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3 Retas no plano

Posição entre duas retas no plano

Jair quer explicar para Carla como chegar ao teatro onde vão se encontrar. O teatro fica na rua Pitangueiras, e Jair está observando um trecho do mapa.

Mapa. Trecho de mapa com visão aérea e representação de seis ruas. Na vertical está a Rua Mar. Na parte superior, na horizontal a Rua Pitangueiras que cruza a Rua Mar. Abaixo, também na horizontal e cruzando a rua Mar, está a Rua Onda. Na Rua Mar, inclinada para cima, à esquerda, está a Rua Vale, que tem saída para a Rua Onda. Abaixo, à direta, da Rua Mar, inclinada para baixo, está a Rua Ribeira. Abaixo, à esquerda, da Rua Mar, inclinada para baixo, está a Rua Praia. — Trecho de mapa.

De acôrdo com esse trecho do mapa, Jair pode dizer a Carla que a rua Pitangueiras e a rua Mar são paralelas? E que a rua Pitangueiras é paralela à rua Onda?

Como pode ser visto no mapa, a rua Pitangueiras cruza a rua Mar. Então, Jair não pode dizer que essas duas ruas são paralelas. Entretanto, a rua Pitangueiras e a rua Onda, nesse trecho, não se cruzam e mantêm a mesma distância uma da outra. Assim, Jair pode dizer que, nesse trecho, a rua Pitangueiras é paralela à rua Onda.

As linhas que representam as ruas paralelas lembram retas paralelas, e as linhas que representam as ruas não paralelas lembram retas concorrentes.

Duas retas de um plano são concorrentes quando têm apenas um ponto em comum.

Observe a seguir dois exemplos de retas concorrentes.

Figura geométrica. Reta horizontal s e reta oblíqua r que cruza s no ponto P. Abaixo está escrito: A reta r é concorrente à reta s. O ponto P é o único ponto que está em r e também em s. Indicamos: r símbolo de x cartesiano s.

Figura geométrica. Reta horizontal b e reta vertical a que cruza b. Abaixo está escrito: A reta a é concorrente à reta b. Além disso, elas formam quatro ângulos retos. Indicamos: a, seguido de símbolo composto por um traço na horizontal e outro na vertical encostando no centro, que lembra a letra T maiúscula de ponta cabeça, seguido de b.

Duas retas de um plano são paralelas quando não têm pontos em comum.

Ilustração. Menino de pele branca de cabelo castanho, camiseta azul de manga longa com camisa vermelha por cima, calça amarela, sentado numa cadeira de rodas, com o dedo indicador da mão esquerda levantado, com balão de fala: quando duas retas concorrentes formam quatro ângulos retos, dizemos que elas são retas perpendiculares.

Observe um exemplo de retas paralelas.

Figuras geométricas. Retas horizontais u e v que não se cruzam. — A reta u é paralela à reta v. Elas não têm nenhum ponto em comum. Indicamos: u // v

Observação

Duas retas de um plano são coincidentes quando têm todos os pontos em comum.

Indicamos que as retas c e d são coincidentes por: c ≡ d

Figura geométrica. Reta c azul na horizontal, sobrepondo a reta c, uma reta d.

Para pensar

Há ruas perpendiculares no trecho do mapa ilustrado anteriormente? Se houver, quais? Use sua dobradura da atividade 5 da página 167 para verificar.

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Traçando retas paralelas e retas perpendiculares

Acompanhe como Luís traçou retas paralelas com o auxílio de um esquadro e de uma régua.

Ilustração. Esquadro apoiado em uma reta reta r. Na ilustração, está presente a mão de uma pessoa finalizando o traçado da reta r com um lápis. Abaixo está escrito: Primeiro, com a régua ou com o esquadro, Luís traçou uma reta r qualquer e posicionou nela o esquadro conforme a figura.

Ilustração. Mesma ilustração anterior, sem a mão da pessoa, sem o lápis e com a parte graduada de uma régua apoiada no outro lado do esquadro. Abaixo está escrito: Em seguida, colocou a régua em um dos lados do esquadro, mantendo-a fixa.

Ilustração. Mesma ilustração anterior. Estão presentes retas paralelas acima e abaixo da reta r traçadas com o auxílio do movimento do esquadro sobre a régua que se manteve fixa. Há um fio para a régua com a indicação: fixa. À esquerda do esquadro há duas setinhas paralelas, uma para a direta e outra para a esquerda, indicando que o esquadro é móvel. Na ilustração está presente a mão de uma pessoa traçando uma reta paralela à reta r, com o auxílio do esquadro. Abaixo está escrito: Depois, deslizou o esquadro sobre a régua (nos dois sentidos) e traçou várias retas paralelas a r.

Para pensar

a) Por que as retas que Luís traçou são paralelas à reta r?

b) Se Luís tivesse usado outro tipo de esquadro (como o da imagem a seguir), também teria conseguido traçar retas paralelas?

c) Copie a reta s no caderno e desenhe retas paralelas a ela usando outro processo.

Figura geométrica. Reta s inclinada.

Ilustração. Esquadro em laranja.

Agora, observe como Luís traçou retas perpendiculares com o auxílio de um esquadro e de uma régua.

Ilustração. Reta horizontal r sendo traçado com o auxílio de uma régua graduada. Na ilustração está presente a mão de uma pessoa traçando a reta com um lápis. Abaixo está escrito: Primeiro, Luís traçou uma reta r qualquer e manteve a régua fixa.

Ilustração. Mesma ilustração anterior. Agora, há um esquadro apoiado na régua e o início do traçado de uma reta perpendicular a r está sendo traçada com o auxílio deste esquadro. Esta reta é indicada por s. Na ilustração está presente a mão de uma pessoa traçando a reta s. Abaixo está escrito: Em seguida, colocou um dos lados do ângulo reto do esquadro apoiado na régua e traçou a reta s.

Ilustração. Mesma ilustração anterior. Agora, a reta s está sendo prolongada com o auxílio de uma régua graduada. Na ilustração está presente a mão de uma pessoa prolongando a reta s. Abaixo está escrito: Depois, prolongou a reta s. Assim, r e s são retas perpendiculares.

Para pensar

a) Por que a reta s é perpendicular à reta r?

b) Luís poderia ter usado o esquadro em outra posição para traçar retas perpendiculares? Por quê?

c) Copie a reta r a seguir no caderno e trace uma reta perpendicular a ela usando outro processo.

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Informática e Matemática

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Figuras geométricas

Nesta seção, você vai utilizar o software de Geometria dinâmica que seu professor indicará para construir pontos, retas paralelas, retas perpendiculares, semirretas, segmentos de reta e ângulos.

CONSTRUA

Siga os passos para construir as figuras geométricas.

• Pontos (a, B e C), retas paralelas (g e f ) e retas perpendiculares (h e g)

1º) Marque três pontos não alinhados: a, B e C.

2º) Trace a reta f, que passa pelos pontos a e B.

3º) Trace a reta g, paralela a f, que passa pelo ponto C.

4º) Trace a reta h, perpendicular a g, que passa pelo ponto C.

Ilustração. Tela similar à de um software de geometria analítica. Na parte superior, há uma barra com diversos botões. Da esquerda para a direita, os botões correspondem às ferramentas: mover, ponto, reta, reta perpendicular, polígono, circunferência, ângulo e reflexão. O botão reta perpendicular aparece selecionado.
Acima destes botões há um fio azul com a indicação: Geralmente, nos softwares de Geometria dinâmica há uma barra superior com diversos botões. Ao clicar em cada um deles, é possível ver diversas opções de ferramentas com as quais podemos marcar pontos, traçar retas, construir polígonos, medir o comprimento de segmentos etc.
Abaixo do botão reta perpendicular, aparecem da esquerda para a direita os botões que correspondem às seguintes ferramentas: reta perpendicular, reta paralela, mediatriz e bissetriz.
Do botão reta perpendicular sai um fio azul com a indicação: Neste exemplo de tela, este botão foi clicado e surgiram as ferramentas, abre aspas, reta, fecha aspas, abre aspas, semirreta, fecha aspas, abre aspas, segmento de reta, fecha aspas, abre aspas, retas paralelas, fecha aspas, e abre aspas, retas perpendiculares, fecha aspas.
No canto superior direito aparecem os botões minimizar, maximizar e fechar.
Na tela estão representadas duas retas paralelas identificadas por f e g. A reta f passando por A e B e a reta g passando por C, Além disso, está representada uma reta h perpendicular a f e g passando por C.

• Semirreta (

\vec{E A}

) e segmentos de reta

(\overline{A E} e \overline{C D})

5º) Encontre o ponto de intersecção entre as retas f e h. Indique esse ponto por D.

6º) Marque um ponto ê qualquer sobre a reta g e trace a semirreta com origem ê que passa pelo ponto a.

7º) Trace o segmento de reta com extremidades nos pontos C e D.

8º) Trace o segmento de reta com extremidades nos pontos a e ê.

Página 172

▶ Informática e Matemática

INVESTIGUE

a) Faça o que se pede utilizando as ferramentas do software.

• Utilize a ferramenta “medida de ângulo” e encontre a medida de abertura do ângulo

C \hat{E} A

e do ângulo

D \hat{C} E

.

lustração. Tela similar à de um software de geometria analítica. Na parte superior, há uma barra com diversos botões. Da esquerda para a direita, os botões correspondem às ferramentas: mover, ponto, reta, reta perpendicular, polígono, circunferência e ângulo.
Saindo do botão ângulo um fio azul com a indicação: neste exemplo de tela, este botão foi clicado e surgiram as ferramentas, abre aspas, calculadora, fecha aspas, abre aspas, área, fecha aspas, abre aspas, medida de segmento, fecha aspas, e, abre aspas, medida de ângulo, fecha aspas.
Abaixo do botão ângulo, aparecem da esquerda para a direita os botões que correspondem às seguintes ferramentas: ângulo, medida de segmento, área e calculadora. Desse menu sai um fio azul com a indicação: Ferramentas do botão ângulo.
No canto superior direito aparecem os botões minimizar, maximizar e fechar.
Na tela estão representadas duas retas paralelas identificadas por f e g. A reta f passando pelos pontos A, B e D e a reta g passando pelos pontos C e E. Além disso, está representada uma semirreta com origem no ponto E passando pelo ponto A e uma reta h que intercepta f no ponto D e g no ponto C. O segmento de reta de extremidades nos pontos A e E está destacado de verde e o segmento de reta com extremidades nos pontos C e D está destacado de azul. No vértice C, símbolo de 90 graus. No vértice E, indicação de 62 graus.

• Utilize a ferramenta “medida de segmento” e meça o comprimento dos segmentos

\overline{C D} e \overline{A E}

(com 5 casas decimais).

Ilustração. Mesma tela anterior similar à de um software de geometria analítica.
Na tela estão representadas duas retas paralelas identificadas por f e g. A reta f passando pelos pontos A, B e D e a reta g passando pelos pontos C e E. Além disso, está representada uma semirreta com origem no ponto E passando pelo ponto A e uma reta h que intercepta f no ponto D e g no ponto C. O segmento de reta de extremidades nos pontos A e E está destacado de verde e tem indicação de medida de comprimento igual a 4,78405 e o segmento de reta com extremidades nos pontos C e D está destacado de azul e tem indicação de medida de comprimento igual a 4,22416, dessa medida sai um fio azul com a indicação: Em alguns softwares de Geometria dinâmica, ao clicar com o botão direito do mouse sobre uma medida, é possível escolher o número de casas decimais para o qual ela será arredondada. No vértice C, símbolo de 90 graus. No vértice E, indicação de 62 graus.

b) Agora, arraste o ponto ê sobre a reta g e compare as medidas A Ê e CD. Essa investigação sugere que o ângulo

C \hat{E} A

deve ter que medida de abertura para que A Ê = CD?

c) Continue arrastando o ponto ê e verifique se é possível obter um segmento com extremidades nas retas f e g cuja medida de comprimento seja menor que a de

\overline{C D}

.

d) O que a investigação sugere a respeito da medida de comprimento de um segmento com extremidades em duas retas paralelas? Quando essa medida é mínima?

Transcrição do áudio

Arquitetura e Matemática

Duração: 9:40min. Página: 172.

>> [Entrevistador] Arquitetura e a matemática

>> [Entrevistador] A relação entre a Matemática e a Arquitetura existe desde a Antiguidade. Basta observar as obras milenares que perduram até hoje, como as Muralhas da China, o Coliseu de Roma e as pirâmides do Egito.

Conversamos com o arquiteto David Moreno Sperling sobre a presença da Matemática no dia a dia dos arquitetos e os instrumentos de medição usados por esses profissionais. Vamos ouvi-lo?

>> [Entrevistador] Olá! Você pode se apresentar e contar um pouco sobre a sua trajetória profissional na Arquitetura?

>> [Entrevistado] Meu é David Moreno Sperling, eu sou arquiteto... de formação, também tenho mestrado e doutorado na área, e a minha trajetória na Arquitetura se inicia antes mesmo do curso de graduação, num curso técnico de edificações e, depois, essa trajetória se... ela avança e se prolonga com estágios em empresas, em aulas, seja [sic] particulares ou em escolas, também em escritórios de Arquitetura em São Paulo. Tive meu próprio escritório e também, já desde de 2002, eu sigo uma carreira acadêmica que se iniciou em universidades privadas e, agora, desde então [sic] na Universidade de São Paulo, tendo realizado meu mestrado, meu doutorado, e tenho orientado alunos, desde alunos de graduação até o seu pós-doutorado.

>> [Entrevistador] Como foi sua relação com a Matemática?

>> [Entrevistado] É... a minha relação com a Matemática, ela se deu desde o princípio numa disciplina chamada Matemática para Arquitetura, e eu tive o privilégio de ter um professor encantador nessa disciplina, porque ele não só ensinava tópicos de geometria e de cálculo, mas também é... trazia para nós discussões sobre relações entre Matemática e Filosofia, o que, então, dá pra imaginar que é encantador pensar as conexões da Matemática com a nossa própria vida, não é? E essa relação, ela foi tão bacana que, mais tarde, ela veio a influenciar a minha pesquisa de mestrado, né?, como arquiteto orientado por um matemático, não é? Então, essa relação entre Arquitetura e Matemática ela é tão estreita que ela está não só na base do curso, lá no seu princípio, mas ela, em tópicos avançados, ela pode orientar pesquisas de ponta.

>> [Entrevistador] Quais são os instrumentos da Matemática e da Geometria que você usa no dia a dia? E qual a função de cada um deles?

>> [Entrevistado] Essa posição da Matemática, né?, não só na base da... da Arquitetura, no desempenho da arquitetura, mas também na pesquisa de ponta, não é?, ela... depende de alguns instrumentos, não é? E, hoje, diante das transformações tecnológicas pelo qual... pelas quais o mundo vive, não é?, elas estão na base também, elas interferem na Arquitetura, no próprio projeto da Arquitetura. E esses instrumentos, diante dessas transformações tecnológicas, também estão mudando muito. Então, é possível a gente imaginar a nossa vida toda é... tá sendo mediada por vários tipos de software, não é?, a Arquitetura também, com softwares de computação gráfica pra facilitar o projeto, a visualização e a simulação daquilo que é projetado em direção àquilo que vai ser construído, não é? E esses instrumentos, computadorizados, né?, esses softwares, eles de certa maneira reproduzem alguns instrumentos ou o papel que alguns instrumentos analógicos realizavam para o universo de projeto, como, por exemplo, a régua, os esquadros, os transferidores, não é? De que modo? É... basicamente, permitindo a... o domínio das geometrias e como esses... os instrumentos que auxiliam no entendimento da Matemática e na Geometria, mesmo na formulação geométrica na Arquitetura, diante das transformações tecnológicas que o mundo vive hoje, a Arquitetura também tá sendo influenciada por elas, não é? Então, começam a aparecer uma série de softwares que ajudam o projeto, a visualização e a simulação num campo que nós chamamos de computação gráfica. Esses softwares, eles na verdade eles têm uma base, ao mesmo tempo, né?, de entendimento da Geometria, mas também de cálculo, que nós chamamos algébrico, né?, das formas. E eles, vamos chamar assim, reproduzem um comportamento de instrumentos que são analógicos para a relação e para a operação e mesmo pra construção dessas formas, né? Os mais conhecidos, como a régua, o esquadro, o transferidor e tudo mais que permitem que a gente trace paralelas, perpendiculares, realize um desenho preciso de polígonos, de poliedros, de perspectivas, dentre outras formas da geometria projetiva, não é? É... então, assim, ao mesmo tempo que esses instrumentos analógicos, eles continuam sendo utilizados no ensino de Arquitetura, é... eles vão sendo complementados ou mesmo substituídos por instrumentos mais complexos que também permitem o controle e o projeto e a visualização de projetos também mais complexos, né?, articulando não só a visualização, é... com o controle dessas formas, mas também, inclusive, a previsão de problemas que podem existir com a escolha, né?, de formas não tão adequadas para os problemas que enfrentamos em projeto.

>> [Entrevistador] Existe Geometria no desenho arquitetônico? É a mesma Geometria que estudamos na escola?

>> [Entrevistado] Dentro da Matemática, é... nós podemos dizer que a Geometria é um dos campos de maior conexão com o projeto e o desenho arquitetônico. Não só pro desenho, mas também pra compreensão dessas formas. E também pro cálculo dessas formas. Por exemplo, é importante saber como desenhar um quadrado, um retângulo, por exemplo, mas também saber como fazer o cálculo dessa área, não é? Ou, então, de um poliedro específico e o cálculo de seu volume. Essa... essa compreensão, que é, por um lado, geométrica e, por outro lado, também algébrica, ela é chave pra que a gente consiga é ter o domínio efetivo daquilo que está sendo projetado, não é? E também é importante compreender operações geométricas, como rotação, reflexão e translação dessas formas. Muitas vezes, uma obra... ela é composta de poliedros, não é?, e operações geométricas feitas com esses poliedros. Então, elas não são feitas só de um poliedro simples, mas é... podemos chamar assim de uma composição um pouco mais complexa de poliedros e a relação entre eles, ou mesmo a interferência de uns nos outros, ela é, é decisiva pra que a gente consiga, por exemplo, fazer o desenho de um telhado, não é? O desenho de um telhado, ele é muitas vezes o encontro, não é?, de superfícies um pouco mais complexas do que aquelas que comumente a gente vê, como, por exemplo, um cubo, não é? Então, a Geometria que a gente aprende na escola, ela é a base, com certeza, ela é a base para outros conceitos e operações um pouquinho mais complexos e que, inclusive hoje, como eu estava comentando anteriormente, elas podem ser realizadas com o software, não é?, mas é fundamental que o operador desse software, o técnico, o arquiteto, ele tenha a compreensão desses conceitos, porque um software sozinho não realiza um projeto, não é? Ele é extensão da compreensão e do conhecimento do arquiteto que tá ali operando aquele... aquele instrumento, né?, um software como instrumento.

Studio Núcleo de Criação

Página 173

ATIVIDADES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1. Pegue uma folha de papel retangular e faça o que se pede.

Ilustração. Sequência de 3 quadros. No quadro à esquerda está escrito: Primeiro. Dobre a folha ao meio. Abaixo, menino de pele preta e cabelos pretos, usando camiseta amarela, segurando uma folha na horizontal, com uma linha pontilhada no meio e uma seta vermelha da direta para a esquerda indicando o sentido da dobra.
No quadro à direita está escrito: Segundo. Dobre-a novamente ao meio. Abaixo, o mesmo menino da ilustração anterior, segurando a folha dobrada, para fazer uma dobra no meio novamente. A folha tem um linha pontilhada no meio e uma seta de cima para baixo mostrando o sentido da dobra.
No último quadro, abaixo, está escrito: Terceiro. Desdobre-a e, utilizando uma régua, trace linhas sobre os vincos que se formaram com as dobras. O mesmo menino da ilustração anterior aparece abaixo, mostrando a folha que ficou dobrada em quatro partes.

• Agora, responda às questões.

a) As linhas que você traçou dão ideia de retas paralelas ou de retas concorrentes?

b) Essas linhas são perpendiculares? Justifique sua resposta.

2. Observe as retas que Karina traçou no quadro e responda à questão.

Ilustração. Quadro de giz em que estão desenhadas a representação de duas retas: uma reta na horizontal e abaixo outra inclinada.

• As retas traçadas são paralelas? Justifique sua resposta por meio de uma figura.

3. Observe atentamente a figura e responda: as linhas horizontais são paralelas?

Ilustração. Linhas horizontais, em cada linha há quadrados pretos e brancos intercalados e sem alinhamento entre as cores de uma linha para outra.

4. Observe o trecho de um mapa e responda às questões de acôrdo com esse trecho.

Mapa. Planta baixa de parte do bairro em que fica a casa de Patrícia. Três ruas na horizontal e paralelas: Rua da casa da Patrícia, a Rua da escola e a rua do clube e do mercado. Em frente a casa da Patrícia, tem uma rua perpendicular que cruza a rua da escola e chega na rua do clube e do mercado. Passando o primeiro quarteirão, à esquerda da casa da Patrícia, tem uma rua transversal que cruza a rua da escola e chega na rua do clube e do mercado. Em frente a escola tem uma rua perpendicular que chega na rua do clube e do mercado e a última rua do mapa é perpendicular que cruza a rua da escola e chega na rua do clube e do mercado.

Partindo de sua casa, Patrícia atravessa a rua e segue em frente pela rua perpendicular à de sua casa. Depois, pega a primeira rua paralela à de sua casa virando à esquerda. Em seguida, entra na primeira rua perpendicular à rua em que está e vai até o final do quarteirão.

a) Onde Patrícia chegou?

b) Descreva um caminho que levaria Patrícia de sua casa ao clube.

5.

Ilustração. Ícone de elaboração de problemas.

Reúna-se com dois colegas para fazer um mapa dos arredores da escola onde você estuda.

Utilizem régua e esquadro para desenhar as ruas. Desenhem pontos de referência, como farmácias, semáforos, hospitais etcétera. Depois, elaborem questões para os outros grupos sobre caminhos que uma pessoa pode fazer para sair de determinado lugar e chegar a outro.

Página 174

Estatística e Probabilidade

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Construção de gráficos de barras duplas

Eduardo mora no município de Tranquilidade. Para fazer um trabalho sobre o crescimento populacional da cidade onde vive, ele coletou dados nos arquivos da prefeitura e os organizou na tabela a seguir.

Ilustração. Menino de pele branca e cabelo castanho, camisa rosa e calça azul, em frente a um arquivo retirando da gaveta uma pasta. Atrás, uma mulher de cabelo castanho comprido, de óculos, usando camiseta verde de manga longa, sentada de frente para sua mesa fazendo anotações, à sua direta e em cima da mesa um computador.

Distribuição da população urbana da cidade de Tranquilidade
	População
1993	5.000	4.000
2003	7.000	5.500
2013	9.000	7.000
2023	10.000	8.500

Dados obtidos por Eduardo na prefeitura de Tranquilidade entre 1993 e 2023.

▶ Como Eduardo poderá representar os dados da tabela em um gráfico de barras horizontais duplas? E em um gráfico de barras verticais duplas?

Construção do gráfico de barras horizontais duplas

Como em sua pesquisa Eduardo divide a população urbana em masculina e feminina, deverá representar cada ano com duas barras horizontais de cores diferentes: uma para indicar a população masculina e outra para indicar a população feminina.

Para apoiar as barras, Eduardo deverá traçar uma linha vertical e, para determinar o comprimento de cada barra, precisará usar uma escala, assim como se faz na construção de um gráfico de barras simples. Nesse caso, ele poderá utilizar a escala variando de .1000 em .1000.

Para não confundir as barras, ele deverá fazer uma legenda, identificando-as.

Assim como a tabela, o gráfico deverá ter título e indicação da fonte dos dados. Dessa fórma, Eduardo obterá o gráfico a seguir.

Gráfico. Título do gráfico de barras horizontais duplas: Distribuição da população urbana da cidade de Tranquilidade.
Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo vertical estão indicados de baixo para cima os anos 1993, 2000, 2013 e 2023. Ele está rotulado como Ano.
O eixo horizontal tem 11 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, da esquerda para a direita, os números: 0, 1 mil, 2 mil, 3 mil, 4 mil, 5 mil, 6 mil, 7 mil, 8 mil, 9 mil e 10 mil. Ele está rotulado como População.
À direita do gráfico a legenda: cor azul para população masculina e cor vermelha para população feminina.
No eixo vertical tem quatro barras horizontais vermelhas e quatro barras horizontais azuis com a mesma largura, indicando que no ano de 1993 a população feminina era de 5 mil e a masculina era de 4 mil. No ano de 2003 a população feminina era de 7 mil e a masculina era de 5 mil e 500. No ano de 2013 a população feminina era de 9 mil e a masculina era de 7 mil. No ano de 2023 a população feminina era de 10 mil e a masculina era de 8 mil e 500.

Dados obtidos por Eduardo na prefeitura de Tranquilidade entre 1993 e 2023.

Ilustração. Mulher de pele branca e cabelos loiro, olhos azuis, usando terno e saia azul, a mão direita segurando uma prancheta e a mão esquerda com a palma para cima, tem o balão de fala: lembre-se de que as barras devem ter sempre a mesma largura.

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Construção do gráfico de barras verticais duplas

Nesse gráfico, assim como no de barras horizontais duplas, Eduardo deverá representar cada ano por duas barras de cores diferentes, uma para indicar a população masculina e outra para indicar a população feminina. Esse código de cores deverá ser mostrado em uma legenda.

Eduardo deverá traçar uma linha horizontal para apoiar as barras verticais, que devem ter a mesma largura, e, para determinar a altura de cada barra, precisará usar uma escala.

Acrescentando o título e a indicação da fonte dos dados, Eduardo obterá o gráfico a seguir.

Gráfico. Título do gráfico de barras verticais duplas: Distribuição da população urbana da cidade de Tranquilidade.
Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
O eixo vertical tem 8 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima a população: 0, quebra de escala, 4 mil, 5 mil, 6 mil, 7 mil, 8 mil, 9 mil e 10 mil. Ele está rotulado como População.
No eixo horizontal estão indicados, da esquerda para a direita, os anos, 1993, 2003, 2013 e 2023. Ele está rotulado como Ano.
À direita do gráfico, a legenda: cor azul para a população masculina e cor vermelha para a população feminina.
Sobre o eixo horizontal há quatro barras verticais azuis e quatro barras verticais vermelhas com a mesma largura, indicando que no ano de 1993 a população masculina era de 4 mil e a população feminina era de 5 mil. No ano de 2003 a população masculina era de 5 mil e 500 e a população feminina era de 7 mil. No ano de 2013 a população masculina era de 7 mil e a população feminina era de 9 mil. No ano de 2023 a população masculina era de 8 mil e 500 e a população feminina era de 10 mil.

Dados obtidos por Eduardo na prefeitura de Tranquilidade entre 1993 e 2023.

Fotografia. Menino de pele branca e cabelo loiro, camiseta branca, calça jeans, segurando com a mão esquerda um caderno de anotações e com a mão direita uma caneta, com balão de fala: na linha vertical desse gráfico, você vê o símbolo de quebra de escala (pico duplo, lembra a letra z inclinada) para indicar que no trecho de zero a 4 mil a escala adotada (de 1 mil em 1 mil) não está sendo obedecida.

ATIVIDADES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1. Na fase final do campeonato de basquete, as equipes X e Y disputaram o título em uma série de três partidas. A tabela a seguir registra a porcentagem da medida de tempo da posse de bola de cada equipe.

Posse de bola durante o jogo (em %)
	Equipe
1ª	39	61
2ª	48	52
3ª	55	45

Dados obtidos pela equipe organizadora do campeonato em março de 2023.

• Construa um gráfico de barras verticais duplas. Considerando o tempo das três partidas juntas, responda: que equipe ficou mais tempo com a posse de bola?

2. Fernando, técnico do time de futebol de salão Bola na Rede, organizou na tabela a seguir os gols marcados e os gols sofridos pelo time durante as últimas quatro partidas.

Gols marcados e gols sofridos pelo time Bola na Rede
	Gols
3/10/2023	7	2
10/10/2023	5	0
17/10/2023	9	4
24/10/2023	2	5

Dados obtidos por Fernando nas quatro últimas partidas.

• Construa um gráfico de barras horizontais duplas para representar os dados apresentados na tabela.

Página 176

▶ Estatística e Probabilidade

3. De acôrdo com a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua (Pnad Contínua), Segundo Trimestre de 2020, divulgada pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É), as mulheres brasileiras ainda são a maioria entre as pessoas em idade de trabalhar. No segundo trimestre de 2020, elas representavam 53% dessa população.

Distribuição percentual das pessoas em idade de trabalhar (14 anos ou mais), por sexo
2º trimestre – 2015-2020
	Gênero
2020	53	47
2019	52,5	47,5
2018	52,4	47,6
2017	52,2	47,8
2016	52,2	47,8
2015	52,3	47,7

Dados obtidos em: í bê gê É. Indicadores í bê gê É: Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua, Segundo Trimestre. Rio de Janeiro: í bê gê É, 2020.

Fotografia. Homem de pele branca e cabelo preto, óculos e máscara de proteção, sentado manuseando uma máquina de costurar. Ao fundo outras pessoas manuseando máquinas de costura. — Pessoas trabalhando em uma confecção localizada na cidade de Santa Cruz do Capibaribe (Pernambuco), 2020.

a) De acôrdo com a tabela, em que ano a porcentagem de mulheres em idade de trabalhar foi maior? Qual foi essa porcentagem?

b) É possível afirmar que a porcentagem de mulheres trabalhando só aumentou no período avaliado? Por quê?

c) Construa um gráfico de barras duplas, horizontais ou verticais, organizando os dados da tabela. Não se esqueça de fazer uma legenda indicando as barras que representam as mulheres e as que representam os homens.

4. Adriano fez uma pesquisa sobre a variação da medida de temperatura no município onde ele mora. Observe, nos gráficos a seguir, as medidas das temperaturas mínimas e máximas registradas em alguns dias do mês de janeiro de 2023.

Gráfico. Título do gráfico de barras verticais: Medidas das temperaturas mínimas, abre parênteses, em graus Celsius, fecha parênteses, em janeiro de 2023.
Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
O eixo vertical tem 7 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima, a medida da temperatura: 0, 5, 10, 15, 20, 25 e 30. Ele está rotulado como Medida da temperatura em grau Celsius.
No eixo horizontal estão indicados, da esquerda para a direita, os dias 14, 15, 16, 17 e 18. Ele está rotulado como Dia.
Sobre o eixo horizontal há 5 barras verticais vermelhas com a mesma largura, indicando que no dia 14 a medida da temperatura foi de 24 graus Célsius, no dia 15 a medida da temperatura foi de 25 graus Célsius, no dia 16 a medida da temperatura foi de 24 graus Célsius, no dia 17 a medida da temperatura foi de 23 graus Célsius e no dia 18 a medida da temperatura foi de 22 graus Célsius.

Dados obtidos por Adriano em janeiro de 2023.

Gráfico. Título do gráfico de barras verticais: Medidas das temperaturas máximas, abre parênteses, em grau Celsius, fecha parênteses, em janeiro de 2023.
Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
O eixo vertical tem 9 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima, a medida da temperatura: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 e 40. Ele está rotulado como Medida da temperatura em grau Celsius.
No eixo horizontal estão indicados, da esquerda para a direita, os dias 14, 15, 16, 17 e 18. Ele está rotulado como Dia.
Sobre o eixo horizontal há 5 barras verticais vermelhas com a mesma largura, indicando que no dia 14 a medida da temperatura foi de 35 graus Célsius, no dia 15 a medida da temperatura foi de 36 graus Célsius, no dia 16 a medida da temperatura foi de 35 graus Célsius, no dia 17 a medida da temperatura foi de 34 graus Célsius e no dia 18 a medida da temperatura foi de 35 graus Célsius.

Dados obtidos por Adriano em janeiro de 2023.

a) Nesse período, em qual dia Adriano registrou a menor medida de temperatura? E a maior?

b) Nesse período, em qual dia foi observada a maior variação na medida da temperatura na cidade onde Adriano mora? De quantos graus Celsius foi essa variação?

c) Como esses gráficos apresentam as medidas de temperaturas máximas e mínimas para o mesmo período na mesma cidade, os dados podem ser representados em apenas um gráfico. Construa um gráfico de barras verticais duplas para representar os dados observados nos gráficos anteriores. Não se esqueça de fazer uma legenda de cores para identificar as barras.

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Atividades de revisão

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1. Descubra o que há em comum nos ângulos destacados a seguir.

Ilustração. 1. Caderno espiral verde no canto superior direito da capa com indicação de vértice de ângulo com um lado na horizontal e outro na vertical.

Ilustração. 2. Mesa em madeira, no canto superior esquerdo, entre o tampo e a perna, uma indicação de vértice de ângulo com um lado na horizontal e outro na vertical.

Ilustração. 3. Parte da fachada de uma casa com uma porta a esquerda e janela em formato retangular a direita. No canto superior esquerdo da porta tem a indicação de vértice de ângulo com um lado na horizontal e outro na vertical. No centro, na parte de baixo da janela tem a indicação de vértice de ângulo com um lado na horizontal e outro na vertical.

Ilustração. 4. Quadro de giz, no canto superior esquerdo tem a indicação de vértice de ângulo com um lado na horizontal e outro na vertical.

2. Classifique em agudo, obtuso ou reto os ângulos destacados nas letras a seguir.

Ilustração. Quadro de giz com as letras, em maiúsculo, A, N, W, T, F, H, K, L, V, X, M. Nas letras há a indicação de ângulo. Na letra A o vértice do ângulo está na parte superior. Na letra N o vértice do ângulo está na parte superior do lado esquerdo. Na letra W o vértice do ângulo está no centro da parte superior. Na letra T o vértice do ângulo está na parte superior do lado direito. Na letra F o vértice do ângulo está na parte superior. Na letra H o vértice do ângulo está do lado esquerdo, acima da linha horizontal. Na letra K o vértice do ângulo é formado pela abertura das linhas inclinadas. Na letra L o vértice do ângulo está na parte inferior do lado. Na letra Z o vértice do ângulo está na parte superior direita. Na letra V o vértice do ângulo está na parte inferior. Na letra X o vértice do ângulo é formado no cruzamento das linhas na abertura do lado esquerdo. Na letra M o vértice do ângulo está na parte inferior central.

3. Classifique em reto, agudo ou obtuso o ângulo formado em cada caso.

a)

Ilustração. Dobradura para formar ângulo em dois passos.
Primeiro passo: Mão de pessoa segurando uma folha na vertical, com linha tracejada no meio e na horizontal e seta de cima para baixo indicando a dobra.
Segundo passo: Mão de pessoa segurando a folha que foi dobrada ao meio na horizontal, com linha tracejada no meio e na vertical com seta da direita para a esquerda indicando a dobra.
Final: Folha dobrada no formato de um quadrado com indicação de ângulo no canto inferior direito.

b)

c)

4. Faça 12 pontos no caderno conforme ilustrado a seguir.

Figura geométrica. Modelo. Retângulo verde com 12 pontos, distribuídos em 3 linhas com 4 pontos cada, igualmente espaçados.

• Trace cinco segmentos de reta, sem tirar o lápis do papel, passando por todos os pontos.

5. Observe os giros que Jade fez com seu skate.

a)

Ilustração. Menina de pele branca, cabelo castanho amarrado e olhos verdes, camiseta verde, bermuda cinza, capacete vermelho, fazendo manobra com seu skate roxo. Sua manobra teve inicio da direita para esquerda fazendo um giro, com marcação abaixo do skate formando duas semirretas partindo do mesmo ponto de origem, indicando que para completar o giro faltou 90 graus.

b)

• Aproximadamente, que fração de uma volta Jade descreveu em cada giro?

6. Observe as sequências a seguir. Supondo que o padrão se mantém em cada uma delas, desenhe no caderno as duas próximas figuras de cada sequência.

a)

Figuras geométricas. Círculo divido em quatro partes iguais, pintadas em três etapas diferentes nas cores vermelho, marrom, verde e azul.
Primeira etapa: lado direito da parte superior vermelho, lado esquerdo da parte superior marrom, lado esquerdo da parte inferior verde e lado direito da parte inferior azul.
Segunda etapa: lado direito da parte superior marrom, lado esquerdo da parte superior verde, lado esquerdo da parte inferior azul e lado direito da parte inferior vermelho.
Terceira etapa: lado direito da parte superior verde, lado esquerdo da parte superior azul, lado esquerdo da parte inferior vermelho e lado direito da parte inferior marrom.

b)

c)

• Agora, escreva como você pensou para desenhar as figuras.

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▶ Atividades de revisão

7. Transcreva no caderno apenas as afirmações verdadeiras.

a) Jonas desenhou um ângulo de medida de abertura menor que 120graus. Esse ângulo pode ser reto, agudo ou obtuso.

b) O ângulo obtuso está associado a um giro de menos de

\frac{1}{4}

de volta.

c) A abertura de um ângulo de

\frac{1}{2}

volta mede 180graus.

8. Observe a ilustração e a descrição do caminho que Kátia percorreu.

Ilustração. Visão aérea de um trecho de mapa. Na parte superior da imagem, da esquerda para a direita, tem uma loja de roupas roxa, uma loja de brinquedos laranja e um bazar azul. No meio, uma rua com a faixa de pedestre, a faixa fica após o bazar. Na parte inferior da imagem, de frente para a rua, da esquerda para a direita, tem uma Farmácia em azul, uma quitanda em verde e uma loja de informática em vermelho. No meio da rua tem um caminhão vermelho. Na frente da loja de roupas tem uma mulher de vestido vermelho e uma bolsa azul.

1ª) Kátia saiu da loja de roupas e deu um giro de

\frac{1}{4}

de volta para a esquerda;

2ª) andou em linha reta, passou por duas lojas e parou;

3ª) deu um giro de

\frac{1}{4}

de volta para a direita e atravessou a rua;

4ª) deu um giro de

\frac{1}{4}

de volta para a direita, andou em linha reta, passou por duas lojas e parou;

5ª) deu um giro de

\frac{1}{2}

volta, andou em linha reta e entrou na segunda loja.

• Agora, responda às questões.

a) Onde Kátia entrou?

b) Se Kátia saísse da loja de roupas, désse um giro de

\frac{1}{2}

volta e andasse em frente, onde ela entraria?

c) Por que não foi necessário dizer no 5º passo que o giro de

\frac{1}{2}

volta foi para a direita ou para a esquerda?

9. Desenhe no caderno dois segmentos,

\overline{A B} e \overline{B D}

, congruentes e que estejam em uma mesma reta r. Em seguida, trace a reta r passando pelos pontos a e D.

Marque um ponto C que não pertença à reta r e desenhe uma reta s passando pelos pontos B e C.

• As retas r e s são paralelas ou concorrentes?

10. Copie os pontos a seguir no caderno. Depois, unindo-os com segmentos de reta, desenhe:

Ilustração. Modelo. 9 pontos vermelhos distribuídos em formato que lembra um quadrado, com 3 linhas e com 3 pontos cada, igualmente espaçados.

a) um ângulo reto;

b) um ângulo obtuso;

c) um ângulo agudo;

d) uma figura plana que tenha um ângulo reto;

e) uma figura plana que tenha um ângulo agudo.

11. Responda às questões.

a)

O giro que o ponteiro das horas de um relógio faz em uma hora está associado a um ângulo cuja abertura mede quantos graus?

b) Os destaques nos relógios a seguir estão associados a medidas de abertura de ângulos de quantos graus?

Ilustração. Relógio de ponteiros, com o ponteiro das horas no número 4 e o ponteiro dos minutos no número 12, com indicação de ângulo na abertura interna dos ponteiros.

Ilustração. Relógio de ponteiros, com o ponteiro das horas no número 7 e o ponteiro dos minutos no número 12, com indicação de ângulo na abertura externa dos ponteiros.

c) O giro que o ponteiro dos minutos faz em 25 minutos está associado a um ângulo cuja abertura mede quantos graus?

d)

Converse com um colega sobre como cada um raciocinou para responder a essas questões.