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CAPÍTULO 3 Ângulos

1 Ângulos e suas medidas

Podemos identificar a ideia de ângulo em diferentes situações do cotidiano. Observe estas imagens.

Fotografia. Homem de cabelo curto preto, vestido com camiseta vermelha, bermuda preta e toalha branca no pescoço caminhando em uma esteira de atividade física inclinada. — A esteira tem um ângulo de inclinação.

Fotografia. Escada dobrável aberta. — A abertura da escada dá a ideia de ângulo.

Fotografia. Parte de um campo de futebol, com destaque para um de seus 4 cantos. Na imagem, há uma bandeira vermelha e branca no encontro da linha lateral com a linha de fundo. — A região de escanteio dá a ideia de ângulo.

Os giros ao redor de um ponto fixo também dão a ideia de ângulo. Acompanhe a seguir as diferentes posições da cadeira destacada, que estava próxima ao solo e passou a girar com o movimento da roda-gigante. Note que cada giro está associado à medida de um ângulo.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Fotografia. Vista frontal de uma roda-gigante localizada na cidade de Montreal, Canadá, em 2020. É possível perceber seu formato circular e cabines em volta dela. Há pessoas olhando para a roda-gigante. O chão contém neve. Ao fundo da fotografia há prédios da cidade. — Roda-gigante na cidade de Montreal, Canadá, 2020.

Ilustrações. À esquerda, representação de uma roda-gigante em preto e branco com 8 cabines em volta espaçadas igualmente. De cada cabine saem cabos que se encontram no centro da roda-gigante. Da cabine mais próxima do chão sai uma seta azul no sentido horário, contornando um trecho da roda-gigante, até a segunda cabine que está destacada em vermelho. Abaixo, o texto: giro de um 1 oitavo de volta ou ângulo de 1 oitavo de volta. À direita, representação de uma roda-gigante em preto e branco com 8 cabines em volta espaçadas igualmente. De cada cabine saem cabos que se encontram no centro da roda-gigante. Da cabine mais próxima do chão sai uma seta azul no sentido horário, contornando um trecho da roda-gigante, até a terceira cabine que está destacada em vermelho. Abaixo, o texto: giro de um 1 quarto de volta ou ângulo de 1 quarto de volta.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Conceito de ângulo

Observe como conceituamos e representamos os ângulos.

O ângulo é a união, em um plano, de duas semirretas de mesma origem com uma das regiões determinadas por elas. As semirretas são os lados do ângulo, e a origem delas é o vértice do ângulo.

Exemplos

Figuras geométricas. À esquerda, região interna limitada pela semirreta com origem no ponto O, passando pelo ponto A e pela semirreta com origem no ponto O passado pelo ponto B. Acima da figura, o texto: ângulo AOB. Abaixo da figura, o texto: lados semirretas OA e OB e vértice O.
À direita, região externa às semirretas com origem no ponto V, passando pelo ponto C e pela semirreta com origem no ponto V passando pelo ponto D. Acima da figura, o texto: ângulo CVD. Abaixo da figura, o texto: lados semirretas VC e VD e vértice V.

Observações

• O ângulo raso é formado por duas semirretas de mesma origem contidas na mesma reta e que têm sentidos opostos.

Figura geométrica. Duas semirretas na horizontal, de sentidos opostos e mesma origem. À esquerda. semirreta de origem em A que passa pelo ponto C e à direita semirreta com origem em A que passa pelo ponto B. Acima do ponto A, há uma semicircunferência indicando que o ângulo é raso.

• O ângulo nulo é formado por duas semirretas coincidentes.

Figura geométrica. Duas semirretas na horizontal, de mesmo sentido e mesma origem. Uma semirreta tem origem em A e passa pelo ponto B e outra semirreta que tem origem também em A e passa pelo ponto C. O ponto C está à direita de B.

• O ângulo de volta inteira também é formado por duas semirretas coincidentes.

Medida da abertura de um ângulo

Para medir a abertura de ângulos, usamos, como unidade de medida, o grau (pequeno círculo sobrescrito) e, como instrumento, o transferidor.

Fotografia. Transferidor transparente de 180 graus. Há marcações de ângulos de 0 grau até 180 graus no sentido horário. Há marcações de 0 grau até 180 graus também no sentido anti-horário. — Esse é um transferidor que mede 180graus. Existem, também, transferidores de 360graus de medida.

Analise como Marina mediu a abertura do ângulo representado, considerando a abertura entre as semirretas.

Ilustração. Uma menina branca loira com roupas em tons de vinho segurando um transferidor em formato de meia lua, olhando para ele e explicando como foi utilizado para medir o ângulo laranja. No primeiro balão de fala, ela diz: Coloquei o centro do transferidor sobre o vértice V do ângulo para coincidirem. No segundo balão de fala, ela diz: Depois, posicionei o transferidor de modo que a semirreta VB passasse pela marca de 0 grau sem tirar o vértice do centro. No terceiro balão de fala, ela diz: Observei a marca sobre a qual o outro lado passou. Nesse caso, a semirreta VA passou pela marca de medida sessenta graus do transferidor. No quarto balão de fala, ela diz: Portanto, a abertura do ângulo BVA mede sessenta graus. Para indicar essa medida, escrevemos: med, abre parênteses, ângulo BVA, fecha parênteses, igual a sessenta graus.

Esquema. Representação de um ângulo AVB. Sobre o ângulo está posicionado um transferidor de 180 graus. O vértice do ângulo coincide com o centro do transferidor. O lado VB do ângulo está alinhado, na horizontal, com o número 0 do transferidor e o lado VA está alinhado com o número 60 do transferidor, indicando que a abertura do ângulo é de 60 graus.

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Para resolver

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Ilustrações. À esquerda, ilustração de menino branco com cabelos castanhos, vestindo camisa azul, calça cinza e sapatos vermelhos. Ele está com as mãos erguidas e fazendo uma pergunta: Qual é a medida da abertura do ângulo COD?.
À direita, representação de um ângulo COD. Sobre o ângulo está posicionado um transferidor de 360 graus. O vértice do ângulo coincide com o centro do transferidor. O lado OC do ângulo está alinhado, na horizontal, com o número 0 do transferidor e o lado OD está alinhado com o número 220 do transferidor, indicando que a abertura do ângulo é de 220 graus.

Saiba mais

Fotografia. Aparelho retangular aberto com um relógio redondo circular no centro, utilizado para medir inclinações de superfícies. No relógio há dois ponteiros vermelhos que formam um ângulo de abertura. Na parte superior do aparelho há um espelho. Na parte inferior há um cordão vermelho preso ao aparelho. — Entre os instrumentos de medida de ângulo, há o clinômetro, usado para medir a inclinação de uma superfície plana em relação ao horizonte.

Observações

A unidade de medida grau tem submúltiplos: o minuto e o segundo. Indicamos 1 minuto por 1linha e 1 segundo por 1duas linhas.

• 1 minuto é

\frac{1}{60}

do grau, ou seja, 1 grau é igual a 60 minutos: 1pequeno círculo sobrescrito = sessenta linha

• 1 segundo é

\frac{1}{60}

do minuto, ou seja, 1 minuto é igual a 60 segundos: 1linha = sessenta duas linhas

Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso

Observe a classificação de alguns ângulos de acordo com a medida de abertura de cada um.

Ângulo reto	Ângulo agudo	Ângulo obtuso
Tem medida de abertura igual a 90°	Tem medida de abertura maior que 0° e menor que 90°.	Tem medida de abertura maior que 90° e menor que 180°.

Ângulo reto

Ângulo agudo

Ângulo obtuso

Tem medida de abertura igual a 90°

Figura geométrica. Ângulo reto. Abertura de um ângulo para a direita, Um lado do ângulo está na horizontal O outro lado está na vertical. Para indicar um ângulo reto é usado a representação de um quadradinho com um ponto no centro junto ao vértice do ângulo.

Tem medida de abertura maior que 0° e menor que 90°.

Tem medida de abertura maior que 90° e menor que 180°.

Figura geométrica. Representação de um ângulo com abertura maior que 90 graus e menor do que 180 graus.

Ângulos congruentes

Dois ângulos que têm a mesma medida de abertura são chamados congruentes.

Observe os ângulos

A \hat{O} B

C \hat{O} D

representados a seguir.

Figuras geométricas. À esquerda, representação de um ângulo AOB com abertura medindo 60 graus. À direita, representação de um ângulo COD com abertura medindo 60 graus.

medida de(

A \hat{O} B

) = medida de

(C \hat{O} D)

= 60graus

Como eles têm a mesma medida de abertura, são congruentes.

Indicamos:

A \hat{O} B ≅ C \hat{O} D

Lemos: “Ângulo

A \hat{O} B

é congruente ao ângulo

C \hat{O} D

”.

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As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Verifique, com o transferidor, a medida de abertura do menor ângulo formado pelos ponteiros dos relógios representados a seguir.

Ilustração. Relógio vermelho circular de ponteiros com marcação dos números 1 a 12. O ponteiro das horas aponta para o número 4 e o ponteiro dos minutos aponta para o 12. O menor ângulo formado por esses ponteiros está destacado em verde.

Ilustração. Relógio vermelho circular de ponteiros com marcação dos números 1 a 12. O ponteiro das horas aponta para o número 7 e o ponteiro dos minutos aponta para o 12. O menor ângulo formado por esses ponteiros está destacado em laranja.

2. Estime a medida de abertura de cada ângulo a seguir e classifique-os em reto, agudo ou obtuso. Depois, confirme as medidas com um transferidor.

Figuras geométricas. Da esquerda para a direita, a primeira figura é a representação de um ângulo laranja cujas semirretas são perpendiculares. A segunda figura é a representação de um ângulo verde cuja medida de abertura é maior do que noventa graus e menor do que cento e oitenta graus. A terceira figura é a representação de um ângulo azul cuja medida de abertura é menor do que noventa graus.

3. Observe os ângulos destacados nas fotos e estime suas medidas de abertura.

Fotografia. Placa de trânsito em formato triangular. Há uma borda no contorno na cor vermelha. O interior tem cor branca. Há um destaque preto do ângulo formado por dois lados dessa placa — Placa de trânsito na fórma triangular.

Fotografia. Toalha quadriculada em formato retangular formada por quadradinhos brancos e vermelhos. Nela, há um ângulo destacado em preto, formado por dois segmentos perpendiculares. — Toalha quadriculada.

Fotografia. Caixa em formato de octógono com fundo preto. Dentro da caixa há alguns bombons com formatos variados. No centro da caixa, de uma ponta a outra, há uma faixa de papel na cor rosa. Um dos ângulos formados por dois lados consecutivos da caixa está destacado em azul. — Caixa de bombons na fórma octogonal.

• Agora, com um transferidor, meça as aberturas dos ângulos destacados e verifique se suas estimativas se aproximaram dos valores medidos.

4. Meça a abertura dos ângulos com um transferidor e identifique os ângulos congruentes.

Figura geométrica. Representação de ângulo agudo roxo.

Figura geométrica. Representação de ângulo obtuso verde.

Figura geométrica. Representação de ângulo obtuso rosa.

Figura geométrica. Representação de ângulo agudo amarelo.

Figura geométrica. Representação de ângulo agudo laranja.

5. Entre os ângulos representados a seguir, identifique quais são retos.

Esquema. Representação de quatro ângulos: AOB, AOC, AOD e AOE. Sobre os ângulos está posicionado um transferidor de 180 graus. O vértice dos ângulos coincide com o centro do transferidor. O lado AO, comum aos quatro ângulos, está alinhado, na horizontal, com o número 0 do transferidor e o lado OB do ângulo AOB está alinhado com o número 60 do transferidor, indicando que a abertura do ângulo é de 60 graus. O lado OC do ângulo AOC está alinhado com o número 90 do transferidor, indicando que a abertura do ângulo é de 90 graus. O lado OD do ângulo AOD está alinhado com o número 150 do transferidor, indicando que a abertura do ângulo é de 150 graus. O lado OE do ângulo AOE está alinhado com o número 180 do transferidor, indicando que a abertura do ângulo é de 180 graus.

Analise como João desenhou um ângulo com medida de abertura igual a 25graus usando um transferidor.

Ilustração. Menino negro de cabelos pretos com blusa azul, bermuda marrom e sapatos vermelhos. Ele está com uma mão erguida. Dessa mão, o dedo indicador está levantado, enquanto o menino diz: Primeiro, tracei uma semirreta OA. Em seguida, alinhei o transferidor de modo que seu centro coincidisse com o ponto O e a marca de medida zero grau estivesse sobre a semirreta. Depois, marquei um ponto alinhado com a marca de medida vinte e cinco graus.

Esquema. Representação da construção de um ângulo AOB. Sobre o ângulo está posicionado um transferidor de 180 graus. O vértice do ângulo coincide com o centro do transferidor. O lado OA está alinhado, na horizontal, com o número 0 do transferidor e o ponto B, referente ao lado OB, está alinhado ao número 25.

• Descreva como João deve proceder para terminar o traçado desse ângulo.

7. Observe o ângulo

M \hat{O} N

Figura geométrica. Representação de ângulo agudo MON na cor lilás.

a) Sem usar o transferidor, como você classificaria esse ângulo: agudo ou obtuso?

b) Agora, meça-o com um transferidor e anote a medida obtida.

c) Desenhe no caderno um ângulo

P \hat{Q} R

que seja congruente ao ângulo

M \hat{O} N

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2 Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes

Observe os ângulos

A \hat{V} B e B \hat{V} C

na figura representada.

Figura geométrica. Representação dos ângulos AVB e BVC. O lado VB é comum aos dois ângulos. O lado VA de AVB está acima de VB e o lado VC de BVC está abaixo de VB.

De acordo com a figura, os ângulos

A \hat{V} B e B \hat{V} C

têm em comum o vértice vê e o lado

\vec{V B}

. Por isso, eles são chamados ângulos consecutivos.

Todos os ângulos que têm em comum o vértice e um dos lados são chamados ângulos consecutivos.

Note que, na figura analisada anteriormente, existem outros pares de ângulos consecutivos.

Figuras geométricas. À esquerda, representação dos ângulos AVB e BVC. O lado VB é comum aos dois ângulos. O lado VA de AVB está acima de VB e o lado VC de BVC está abaixo de VB. Há destaque para os ângulos AVB e AVC. Na lateral da figura, o texto: os ângulos AVB e AVC têm em comum o vértice V e o lado VA. À direita, a representação dos ângulos AVB e BVC. O lado VB é comum aos dois ângulos. O lado VA de AVB está acima de VB e o lado VC de BVC está abaixo de VB. Há destaque para os ângulos BVC e AVC. Na lateral da figura, o texto: os ângulos BVC e AVC têm em comum o vértice V e o lado VC.

Exemplos

Figuras geométricas. À esquerda, representação dos ângulos DOE e EOF. O lado OE é comum aos dois ângulos. O lado OD de DOF forma um ângulo reto com o lado OF. Acima da figura, o texto: os ângulos DOE e EOF são consecutivos.
À direita, representação dos ângulos GOH e HOI. O lado OH é comum aos dois ângulos. O lado OG de GOI forma um ângulo raso com o lado OI. Acima da figura, o texto: os ângulos GOH e HOI são consecutivos.

Dos pares de ângulos consecutivos, apenas alguns são adjacentes.

Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são chamados ângulos adjacentes.

Exemplos

Figuras geométricas. À esquerda, representação dos ângulos AOB e BOC. O lado OB é comum aos dois ângulos. O lado OA de AOC está acima de OB e o lado OC de AOC está abaixo de OB. Acima da figura, o texto: os ângulos AOB e BOC são adjacentes. À direita, representação dos ângulos DOE e EOF. O lado OE é comum aos dois ângulos. O lado OD de DOF está à esquerda de OE o lado OF de DOF está à direita de OE. Acima da figura, o texto, os ângulos DOE e EOF são adjacentes.

Observações

Figuras geométricas. À esquerda, representação dos ângulos JOL e MON. Os ângulos possuem vértice O em comum, mas não tem lado em comum. Ao lado da figura, o texto: os ângulo JOL e MON não são consecutivos porque, apesar de terem em comum o vértice O, não têm um dos lados em comum. À direita, representação dos ângulos GOH e GOI. O lado GO de GOI forma um ângulo raso com o lado OI. Há destaque para os ângulos GOH e GOI. Ao lado da figura, o texto: os ângulos GOH e GOI não são adjacentes, pois possuem pontos internos comuns.

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3 Ângulos complementares e ângulos suplementares

Observe os ângulos a seguir.

Figuras geométricas. Da esquerda para direita, a primeira figura é a representação de um ângulo agudo vermelho ABC, a segunda é a representação de um ângulo obtuso verde JKL. e a terceira é a representação de um ângulo agudo roxo DEF.

É possível medir a abertura desses ângulos com um transferidor. Observe.

Esquemas. Da esquerda para a direita, o primeiro esquema é a representação de um ângulo ABC. Sobre o ângulo está posicionado um transferidor de 180 graus. O vértice do ângulo coincide com o centro do transferidor. O lado BA do ângulo está alinhado, na horizontal, com o número 0 do transferidor e o lado BC está alinhado com o número 30 do transferidor, indicando que a abertura do ângulo é de 30 graus. Abaixo da figura, a sentença: medida da abertura do ângulo ABC é igual a 30 graus. O segundo esquema é a representação de um ângulo JKL. Sobre o ângulo está posicionado um transferidor de 180 graus. O vértice do ângulo coincide com o centro do transferidor. O lado KJ do ângulo está alinhado, na horizontal, com o número 0 do transferidor e o lado KL está alinhado com o número 120 do transferidor, indicando que a abertura do ângulo é de 120 graus. Abaixo da figura, a sentença: medida da abertura do ângulo JKL é igual a 120 graus. O terceiro esquema é a representação de um ângulo DEF. Sobre o ângulo está posicionado um transferidor de 180 graus. O vértice do ângulo coincide com o centro do transferidor. O lado ED do ângulo está alinhado, na horizontal, com o número 0 do transferidor e o lado EF está alinhado com o número 60 do transferidor, indicando que a abertura do ângulo é de 60 graus. Abaixo da figura, a sentença: medida da abertura do ângulo DEF é igual a 60 graus.

Que par de ângulos tem a soma de suas medidas de abertura igual a 90graus? E que par de ângulos tem a soma de suas medidas de abertura igual a 180graus?

Quando a soma das medidas de abertura de dois ângulos é igual a 90graus, os ângulos são chamados complementares.

Assim, como a soma de suas medidas de abertura é 90graus, os ângulos

A \hat{B} C

D \hat{E} F

são complementares. Também podemos dizer que

A \hat{B} C

é o complemento de

D \hat{E} F

e que

D \hat{E} F

é o complemento de

A \hat{B} C

Quando a soma das medidas de abertura de dois ângulos é igual a 180graus, os ângulos são chamados suplementares.

Como a soma de suas medidas de abertura é 180graus, os ângulos

D \hat{E} F

J \hat{K} L

são suplementares. Também podemos dizer que

D \hat{E} F

é o suplemento de

J \hat{K} L e que J \hat{K} L

é o suplemento de

D \hat{E} F

Observações

Observe os ângulos ilustrados.

• Os ângulos

D \hat{O} E

E \hat{O} F

são adjacentes. Além disso, a soma de suas medidas de abertura é 90graus. Esses ângulos são adjacentes complementares.

• Os ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

são adjacentes. Além disso, a soma de suas medidas de abertura é 180graus. Esses ângulos são adjacentes suplementares.

Figura geométrica. Representação dos ângulos COB e BOA. O lado OB comum aos dois ângulos. O ângulo COA é raso.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe a figura a seguir e verifique se os pares de ângulos indicados nos itens são complementares ou suplementares.

Figura geométrica. Representação dos ângulos DOC e COA. O lado OC é comum aos dois ângulos. O lado OD forma um ângulo raso com o lado OA. O ângulo COA é reto. Há uma semirreta com vértice em O no interior de COA, dividindo-o nos ângulos COB e BOA.

A \hat{O} B e B \hat{O} C

B \hat{O} C e C \hat{O} D

A \hat{O} B e B \hat{O} D

A \hat{O} B e C \hat{O} D

2. No caderno, determine a medida da abertura do complemento e do suplemento de cada ângulo a seguir.

Figura geométrica. Representação de ângulo vermelho com medida de 40 graus.

Figura geométrica. Representação de ângulo azul com medida de 75 graus.

3. Luciana quer escolher duas mesas triangulares para compor uma mesa retangular. Observe os tampos das mesas a seguir e escreva no caderno os pares de tampos com os quais é possível formar uma mesa retangular.

Ilustrações. Na parte de cima e à esquerda vista superior de uma mesa A em formato triangular azul. Os ângulos internos medem quarenta e cinco graus, quarenta e cinco graus, e noventa graus. Ainda, na parte de cima, só que do lado direito, vista superior de uma mesa B em formato triangular azul. Os ângulos internos medem trinta graus, sessenta graus, e noventa graus.
Na linha de baixo, à esquerda, vista superior de uma mesa C em formato triangular azul. Os ângulos internos medem cinquenta graus, quarenta graus, e noventa graus. Na mesma linha, só que do lado direito, vista superior de uma mesa D em formato triangular azul. Os ângulos internos medem cinquenta graus, quarenta graus, e noventa graus.
Na parte de baixo e à esquerda, vista superior de uma mesa E em formato triangular azul. Os ângulos internos medem trinta graus, sessenta graus, e noventa graus. Ainda, na parte de baixo, só que do lado direito, vista superior de uma mesa F em formato triangular azul. Os ângulos internos medem quarenta e cinco graus, quarenta e cinco graus, e noventa graus.

4. Observe as figuras a seguir. Em quais itens os ângulos

A \hat{O} B e B \hat{O} C

são adjacentes complementares? E em quais são adjacentes suplementares?

Figura geométrica. Representação dos ângulos BOC e COA. O lado OC é comum aos dois ângulos. O lado OB de BOA está à esquerda de OC e o lado OA de BOA está à direita de OC. Há destaque para os ângulos BOC e BOA.

Figura geométrica. Representação dos ângulos COB e AOB. O lado OB é comum aos dois ângulos. Os ângulos COB e AOB são retos.

Figura geométrica. Representação dos ângulos COB e AOB. O lado OB é comum aos dois ângulos. O lado OC de COA está à esquerda de OB e o lado OA de COA está à direita de OB.

Figura geométrica. Representação do ângulo reto AOC. Do vértice O, parte uma semirreta OB no interior do ângulo. Há destaque para os ângulos AOB e BOC, que possuem OB em comum.

5. Bruna dobrou uma folha retangular, formando um ângulo com medida de abertura igual a 65graus, como mostrado na ilustração. Ao desdobrar a folha, Bruna viu que a dobra determinava outro ângulo além do ângulo cuja abertura mede 65graus.

Ilustração. Mulher negra com cabelos pretos, usando óculos, camiseta rosa com estrelas brancas, saia azul e sapatos vermelhos. Ela segura um cartaz retangular branco com uma linha tracejada que divide um canto do retângulo em dois ângulos. Um deles está marcado com sessenta e cinco graus. O outro, adjacente ao primeiro, está marcado com uma interrogação.

• Determine a medida da abertura do outro ângulo sem usar o transferidor.

6. Responda às questões no caderno.

a) Qual é a metade da medida da abertura do suplemento do ângulo de medida igual a 34graus?

b) Quanto vale o triplo da medida da abertura do complemento do ângulo de medida igual a 72graus?

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Lembre-se: Escreva no caderno!

7. Copie no caderno apenas as afirmações verdadeiras.

a) Dois ângulos complementares sempre são, ambos, agudos.

b) Dois ângulos suplementares podem ser ambos agudos.

c) Dois ângulos suplementares podem ser ambos obtusos.

d) Dois ângulos suplementares podem ser ambos retos.

8. Desenhe no caderno três pares de ângulos que sejam complementares e três pares de ângulos que sejam suplementares.

9. Descubra as medidas de abertura dos ângulos descritos a seguir e registre-as no caderno.

Ilustração. Menino branco com cabelos castanhos, vestindo uma camisa azul com poucas listras amarelas, calça marrom e sapatos pretos. Ele está com as mãos para traz enquanto diz: São dois ângulos suplementares, em que um tem o dobro da medida da abertura do outro.

4 Bissetriz de um ângulo

Observe a situação a seguir.

Adriano fabrica aviões de aeromodelismo. Em uma manobra para testar o último modelo que ele construiu, a aeronave caiu e quebrou uma parte, que precisaria ser substituída. A parte danificada pode ser observada no detalhe da ilustração a seguir.

Ilustração. Avião de aeromodelismo na cor branca com parte da hélice do avião na cor vermelha. Ele está parado no chão. Da parte traseira do avião sai uma seta vermelha para destacar uma peça em formato triangular que foi quebrada.

Entretanto, surgiu um imprevisto: não havia peça sobressalente em estoque. Então, foi necessário fabricar uma nova peça. Para isso, cortou uma chapa de alumínio e dobrou-a bem na linha central.

Ilustração. Representação da peça do avião que foi quebrada. Ela tem formato triangular na cor cinza e pequenos furos no contorno. Há a indicação de um ângulo de trinta graus cujas semirretas são dois lados dessa peça. Do vértice desse ângulo, há uma reta que o divide em dois ângulos de quinze graus, com a indicação: linha da dobra.

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Os lados dessa peça dão a ideia de ângulo. Observe que a linha da dobra divide esse ângulo em dois outros de mesma medida de abertura.

A semirreta

\vec{V C}

divide o ângulo

A \hat{V} B

em dois outros de mesma medida de abertura, ou seja, em dois ângulos congruentes:

A \hat{V} C e C \hat{V} B

Dizemos, então, que a semirreta

\vec{V C}

é a bissetriz do ângulo

A \hat{V} B

Figura geométrica. Representação de ângulo agudo vermelho AVB. Foi traçada uma semirreta VC, interior ao ângulo, dividindo-o em duas partes de mesma medida, 15 graus. Abaixo, está escrito: medida do ângulo AVC é igual a 15 graus; medida do ângulo CVB é igual a 15 graus.

A bissetriz de um ângulo é a semirreta interna ao ângulo que tem origem em seu vértice e o divide em dois ângulos congruentes.

Observe como Francisco e Carla determinaram a bissetriz de um ângulo que mede 70graus.

Usando um transferidor, Francisco desenhou o ângulo cuja abertura mede 70graus em uma folha de papel sulfite. Em seguida, recortou o ângulo pelos lados.

Ilustração. Busto de um menino branco com cabelos castanhos, vestindo blusa amarela. Ele está segurando uma folha em formato retangular com um ângulo de setenta graus desenhado. Nesse momento, está recortando com tesoura parte de uma das semirretas.

Depois, dobrou a folha de papel, fazendo coincidir os dois lados que formam o ângulo.

Ilustração. Busto de um menino branco com cabelos castanhos, vestindo blusa amarela. Ele está segurando uma folha que foi dobrada e agora está com formato triangular, cujo ângulo do vértice mede trinta e cinco graus.

Por último, desdobrou a folha e verificou que a marca da dobra no papel indica a bissetriz do ângulo cuja abertura mede 70graus.

Ilustração. Busto de um menino branco com cabelos castanhos, vestindo blusa amarela. Ele está segurando uma folha que foi dobrada e mostrando a marca da dobra que ficou no meio do ângulo, dividindo-o em dois ângulos de mesma medida.

Em uma folha de papel sulfite, Carla desenhou o ângulo cuja abertura mede 70graus usando um transferidor.

Depois, pensou:

Ilustração. Menina negra de cabelos pretos, sentada em uma cadeira de rodas e desenhando em uma folha que está em cima de uma mesa. Na folha, ela desenhou um ângulo. Ao lado da folha há um transferidor. Um balão de pensamento acompanha a menina: Se a bissetriz determina dois ângulos de mesma medida de abertura, posso dividir a medida do ângulo por 2. Abaixo há a indicação: setenta graus divididos por dois é igual a trinta e cinco graus

Carla mediu e marcou o ângulo com abertura de 35graus usando um transferidor e, com o auxílio de uma régua, traçou a semirreta de origem no vértice, dividindo o ângulo cuja abertura mede 70graus em duas partes iguais.

Ilustração. Vista superior de uma folha retangular branca com um ângulo desenhado. Sobre o ângulo está posicionado um transferidor de 180 graus. O vértice do ângulo coincide com o centro do transferidor. Um lado do ângulo está alinhado, na horizontal, com o número 0 do transferidor e o outro lado está alinhado com o número 70 do transferidor, indicando que a abertura do ângulo é de 70 graus. Uma mão segura o transferidor na folha de papel. A outra mão segura um lápis posicionado com a ponta posicionada no número 35 do transferidor.

Ilustração. Vista superior de uma folha retangular branca com um ângulo de abertura de setenta graus desenhado. Foi traçada uma semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais. Uma mão está segurando a folha. A outra mão está com lápis apoiado em parte dessa semirreta.

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Para pensar

Em sua opinião, qual dos procedimentos para determinar a bissetriz de um ângulo foi mais prático: o de Francisco ou o de Carla? Justifique.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe a medida da abertura de cada ângulo a seguir. Traçando a bissetriz desses ângulos, obtemos dois ângulos congruentes em cada caso. Quanto mede a abertura dos ângulos obtidos?

Figura geométrica. Representação de ângulo roxo cuja medida é setenta graus.

Figura geométrica. Representação de ângulo laranja cuja medida é cinquenta graus.

Figura geométrica. Representação de ângulo amarelo cuja medida é cento e trinta graus.

Figura geométrica. Representação de ângulo azul cuja medida é cento e oitenta graus.

2. Na figura a seguir, determine a medida da abertura dos ângulos

A \hat{O} C e A \hat{O} B

sabendo que

\vec{O D} e \vec{O E}

são bissetrizes de

A \hat{O} B e B \hat{O} C

, respectivamente.

Figura geométrica. Representação dos ângulos COE, EOB, BOD e DOA. Os ângulos COE e BOE tem o lado OE comum. A medida de BOE é 20 graus. Os ângulos EOB e BOD tem o lado OB em comum. A medida de BOD é 30 graus. Os ângulos BOD e DOA tem o lado OD em comum.

Para calcular a medida de abertura dos ângulos obtidos após traçarmos a bissetriz de um ângulo cuja abertura mede 45graus, fazemos:

Ilustração. Representação de teclas e visor de calculadora com a seguinte operação: quarenta e cinco dividido por dois é igual a vinte e dois vírgula cinco

Ou seja, a medida de abertura dos ângulos obtidos é 22,5graus.

Observe que:

22,5graus = 22graus + 0,5grau

Para expressar essa medida em grau e minuto, devemos transformar a parte decimal (0,5grau) em minuto.

Então, fazemos:

Esquema relacionando um grau igual a sessenta minutos em uma linha; na outra linha, zero vírgula cinco grau igual a trinta minutos. No esquema há uma seta da primeira igualdade para a segunda com a indicação de metade.

Logo, a abertura desses ângulos mede vinte e dois graus e trinta e minutos.

• Agora, usando uma calculadora, determine a medida da abertura dos ângulos formados pela bissetriz de cada ângulo a seguir. Expresse a medida em grau e minuto.

a) 57graus

b) 79graus

c) 105graus

d) 15graus

4. Construa, da maneira que preferir, um ângulo que meça 90graus e trace sua bissetriz. Depois, responda: qual é a medida da abertura de cada ângulo obtido?

5 Ângulos opostos pelo vértice

Observe as retas concorrentes

\overset{\leftrightarrow}{C D} e \overset{\leftrightarrow}{E F,}

que se interceptam no ponto óh.

Figura geométrica. Representação de duas retas se cruzando em um ponto O. Uma reta é azul e passa pelos pontos E e F em lados opostos a O. A outra reta é verde e passa pelos pontos C e D em lados opostos a O.

Página 82

Essas retas definem quatro semirretas com origem no ponto óh:

\vec{O C}, \vec{O D}, \vec{O E} e \vec{O F}

. As semirretas

\vec{O C} e \vec{O D}

são denominadas semirretas opostas, assim como as semirretas

\vec{O E} e \vec{O F}

As retas

\overset{\leftrightarrow}{C D} e \overset{\leftrightarrow}{E F}

também definem os ângulos

C \hat{O} E, C \hat{O} F, D \hat{O} F

D \hat{O} E

Figura geométrica. Representação de duas retas concorrentes em um ponto O. Uma delas passa pelos pontos C e D, em lados opostos de O. A outra passa pelos pontos E e F em lados opostos de O. Há destaque para o par de ângulos EOC e DOF, opostos pelo vértice O, e o par de ângulos EOD e COF, opostos pelo vértice O.

Note que os ângulos

D \hat{O} E e C \hat{O} F

têm o vértice óh em comum e que as semirretas

\vec{O D} e \vec{O E}

(que formam o ângulo

D \hat{O} E

) são opostas, respectivamente, às semirretas

\vec{O C} e \vec{O F}

(que formam o ângulo

C \hat{O} F

). Então, dizemos que os ângulos

D \hat{O} E e C \hat{O} F

são ângulos opostos pelo vértice (indicamos: o.p.v.).

Dois ângulos com vértice comum são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Da mesma fórma, os ângulos

C \hat{O} E e D \hat{O} F

têm o vértice óh em comum e as semirretas

\vec{O C} e \vec{O E}

(que formam o ângulo

C \hat{O} E

) são opostas, respectivamente, às semirretas

\vec{O D} e \vec{O F}

(que formam o ângulo

D \hat{O} F

). Então, os ângulos

C \hat{O} E e D \hat{O} F

também são opostos pelo vértice.

Página 83

Lembre-se: Escreva no caderno!

Propriedade

Na figura a seguir, os ângulos

A \hat{O} B e C \hat{O} D

são opostos pelo vértice.

Figura geométrica. Representação de duas retas concorrentes em um ponto O. Uma delas passa pelos pontos A e C, em lados opostos de O. A outra passa pelos pontos B e D em lados opostos de O. Há destaque para o par de ângulos AOB e COD, opostos pelo vértice O.

Observe agora os ângulos

A \hat{O} B e B \hat{O} C

Os ângulos

A \hat{O} B e B \hat{O} C

são adjacentes suplementares. Então, a soma de suas medidas de abertura é igual a 180graus.

medida de

(A \hat{O} B)

+ medida de

(B \hat{O} C)

= 180graus (um)

Agora, considere os ângulos

C \hat{O} D e B \hat{O} C

Os ângulos

C \hat{O} D e B \hat{O} C

também são adjacentes suplementares. Então, a soma de suas medidas de abertura é igual a 180graus.

medida de

(C \hat{O} D)

+ medida de

(B \hat{O} C)

= 180graus (dois)

Comparando um e dois, temos:

Esquema analisando as duas expressões matemáticas anteriores. Na primeira linha, há medida do ângulo AOB mais medida do ângulo BOC é igual a 180 graus Na segunda linha há medida do ângulo COD mais medida do ângulo BOC é igual a 180 graus. Um contorno retangular azul destaca como medidas iguais a expressão medida do ângulo BOC. Outro contorno retangular azul destaca como medidas iguais 180 graus.

Portanto, podemos concluir que os ângulos

A \hat{O} B

C \hat{O} D

têm medidas de abertura iguais, ou seja, são congruentes. Assim, temos a seguinte propriedade:

Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida de abertura, isto é, são congruentes.

Exemplo

Os ângulos

C \hat{O} E

B \hat{O} D

são congruentes, assim como os ângulos

E \hat{O} B

D \hat{O} C

Figura geométrica. Representação de duas retas concorrentes em um ponto O. Uma delas passa pelos pontos B e C, em lados opostos de O. A outra passa pelos pontos D e E em lados opostos de O. Há destaque para os pares de ângulos congruentes, opostos pelo vértice O.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Uma equipe de pilotos de avião fez uma manobra em que os ângulos formados pelos rastros de fumaça deveriam ser congruentes. Houve um erro de cálculo e os ângulos formados não ficaram todos congruentes, como mostra a ilustração.

Ilustração. Três aviões realizando uma manobra que deixa rastros de fumaça. Eles se cruzaram em um mesmo ponto de modo que os rastros de fumaça lembram retas cortadas em um ponto, formando seis ângulos, nomeados no sentido anti-horário como a, b, c, d, e, f.

Descubra os ângulos que são congruentes e registre a resposta no caderno.

2. Analise a imagem e calcule, em grau, a medida da abertura dos ângulos

\hat{x}, \hat{y} e \hat{z}

Ilustração. Casa vista de frente com duas janelas e uma porta. Ao lado da casa, há um quintal com uma árvore. O quintal é limitado por uma cerca de madeira cuja frente é formada por três retângulos. Cada retângulo possui duas tábuas de madeira que lembram as suas diagonais. No retângulo central, foram destacados os ângulos formados pelo cruzamento dessas tábuas. Um deles mede sessenta graus, o oposto a ele mede x. O terceiro mede y e o oposto a ele mede z.

3. Nas figuras a seguir, x e y indicam as medidas de abertura dos ângulos (em grau). Determine os valores de x e de y em cada caso.

Figura geométrica. Representação em roxo de duas retas que se cruzam em um ponto, formando quatro ângulos. Um ângulo do cruzamento mede quarenta graus e o oposto a ele mede y. Um dos ângulos obtusos mede x.

Figura geométrica. Representação em laranja de duas retas que se cruzam em um ponto, formando quatro ângulos. Os ângulos obtusos medem x e y. Um dos ângulos agudos mede 30 graus.

Figura geométrica. Representação de duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal, formando 8 ângulos. São destacados dois ângulos complementares cujas medidas são cento e vinte graus e y em uma reta com a transversal. Na outra reta com a transversal são destacados dois ângulos complementares cujas medidas são x e sessenta graus.

Figura geométrica. Representação em vermelho de duas retas que se cruzam em um ponto, formando quatro ângulos.
Os ângulos obtusos medem y e 160 graus. Um dos ângulos agudos mede x.

Figura geométrica. Representação em vermelho de duas retas que se cruzam em um ponto, formando quatro ângulos. Os ângulos obtusos medem x e y. Um dos ângulos agudos mede 20 graus.

Figura geométrica. Representação em azul de duas retas que se cruzam em um ponto, formando quatro ângulos. Os ângulos agudos medem x e 30 graus. Um dos ângulos obtusos mede y.

4. Calcule no caderno as medidas de x e de y.

Figura geométrica. Representação de três retas que se cruzam em um mesmo ponto O. Em lados opostos de O, em uma reta, há os pontos A e D. Em lados opostos de O em outra reta, há os pontos B e E. Em lados opostos de O na terceira reta há os pontos C e F. São destacados os ângulos DOE cuja medida é cento e dez graus, o ângulo EOF cuja medida é y, o ângulo oposto a ele, cuja medida é vinte graus, e o ângulo AOF cuja medida é x.

5. Determine a medida x, em grau, em cada caso.

Figura geométrica. Representação em roxo de duas retas que se cortam em um ponto. O menor ângulo do cruzamento mede vinte graus. Do maior ângulo do cruzamento é traçada a bissetriz dele. A medida do ângulo que a bissetriz forma com um lado do maior ângulo é x.

Figura geométrica. Representação em verde de duas retas que se cortam em um ponto. O menor ângulo do cruzamento mede sessenta e quatro graus. Do ângulo oposto a esse é traçada a bissetriz dele. A medida do ângulo que a bissetriz forma com um lado desse ângulo oposto é x.

6. Qual é a medida da abertura do ângulo

A \hat{O} B

Figura geométrica. Representação em azul de três retas que se cruzam em um mesmo ponto O. Em lados opostos de O, em uma reta, há os pontos A e D. Em lados opostos de O em outra reta, há os pontos B e E. Em lados opostos de O na terceira reta há os pontos C e F. São destacados os ângulos COD cuja medida é sessenta graus e o ângulo FOE cuja medida é trinta graus.

7. O esquema a seguir representa um condomínio residencial. As ruas são representadas por segmentos de reta que se cruzam.

Ilustração. Esquema representando a vista superior de uma cidade com destaque para três ruas. Uma delas é uma Rua A que cruza as outras duas Rua B e Rua C. No cruzamento da Rua A com a Rua B são destacados os quatro ângulos formados, todos de mesma medida, b, h, d, f. No cruzamento da Rua A com a Rua C são destacados os quatro ângulos, sendo e e c opostos pelo vértice, enquanto g e i são opostos pelo vértice.

a) Usando um transferidor, determine a medida da abertura dos ângulos formados pelos cruzamentos das ruas aêbê e das ruas aêcê.

b) Quais são os pares de ângulos opostos pelo vértice?

c) Analisando o esquema, o que se pode dizer a respeito dos ângulos adjacentes?

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Informática e Matemática

faça as atividades no caderno

Ângulos opostos pelo vértice

Nesta seção, você vai utilizar um software de Geometria dinâmica, que seu professor indicará, para construir duas retas concorrentes, identificar os pares de ângulos opostos pelo vértice determinados por essas retas e verificar uma regularidade em relação a esses ângulos.

Construa

Siga os passos a seguir para construir e determinar dois pares de ângulos opostos pelo vértice.

1º) Trace uma reta

\overset{\leftrightarrow}{A B}

2º) Trace uma reta

\overset{\leftrightarrow}{C D}

cruzando a reta

\overset{\leftrightarrow}{A B}

3º) Marque o ponto óh, intersecção das retas

\overset{\leftrightarrow}{A B}

\overset{\leftrightarrow}{C D}

Ilustração. Tela similar a de um software de geometria analítica. Na parte superior, há uma barra com diversos botões. Da esquerda para a direita, os botões correspondem às ferramentas: mover, ponto, reta, reta perpendicular, polígono, circunferência, ângulo e reflexão. O botão ponto aparece selecionado. Abaixo do botão ponto aparecem da esquerda para a direita os botões que correspondem às seguintes ferramentas: Ponto, intersecção de dois objetos e ponto médio. O botão intersecção de dois objetos está selecionado. No canto superior direito aparecem os botões minimizar, maximizar e fechar. Na tela estão representadas duas retas concorrentes que interceptam no ponto O. Uma destas retas passa pelos pontos A e B e a outra passa pelos pontos C e D. Do lado direito da tela, há um fio azul com a seguinte informação: Normalmente, nos softwares de Geometria dinâmica, há uma barra com diversas opções de ferramentas com as quais podemos marcar pontos, traçar retas, construir polígonos, medir ângulos etc.

Investigue

a) Usando a ferramenta de medir ângulos do software, meça os quatro ângulos determinados pelas retas

\overset{\leftrightarrow}{A B}

\overset{\leftrightarrow}{C D}

b) Que pares de ângulos são opostos pelo vértice?

c) Movimente os pontos móveis na construção e verifique o que acontece com as medidas dos ângulos. O que é possível observar em relação às medidas dos ângulos opostos pelo vértice?

lustração. Tela similar a de um software de geometria analítica. Na parte superior, há uma barra com diversos botões. Da esquerda para a direita, os botões correspondem às ferramentas: mover, ponto, reta, reta perpendicular, polígono, circunferência, ângulo e reflexão. O botão ângulo aparece selecionado. Abaixo do botão ângulo aparecem da esquerda para a direita os botões que correspondem às seguintes ferramentas: ângulo, distância, inclinação e área. O botão ângulo está selecionado. No canto superior direito aparecem os botões minimizar, maximizar e fechar. Na tela estão representadas duas retas concorrentes que se interceptam no ponto O. Uma destas retas passa pelos pontos A e B e a outra passa pelos pontos C e D. Estão indicadas as medidas dos ângulos. O ângulo AOD mede 46 vírgula 84 graus, o ângulo DOB mede 133 vírgula 16 graus, o ângulo BOC mede 46 vírgula 84 graus e o ângulo COA mede 133 vírgula 16 graus. Do lado esquerdo da tela, há um fio azul com a seguinte informação: Em alguns softwares de Geometria dinâmica, ao clicar com o botão direito do mouse sobre uma medida, é possível escolher o número de casas decimais para o qual ela será arredondada.

Página 86

6 Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

Observe no boxe a seguir informações importantes sobre a posição de duas retas em um mesmo plano.

Recorde

• Duas retas em um mesmo plano podem ser paralelas. Nesse caso, elas possuem a mesma distância uma da outra em todo o plano, infinitamente. (Elas não se interceptam em nenhum ponto.) Assim, não determinam nenhum ângulo entre elas.

Figura geométrica. Representação em rosa de duas retas paralelas r e s. A distância entre cada ponto de uma reta à outra é a mesma.

Indicamos: r // s

• Duas retas em um mesmo plano podem ser concorrentes. Nesse caso, elas se interceptam em um ponto, determinando quatro ângulos cujas medidas são menores que 180graus.

Figura geométrica. Representação em vermelho de duas retas t e u que se cruzam em um ponto.

Como vimos neste Capítulo, as retas concorrentes se cruzam determinando quatro ângulos (sendo dois pares de ângulos o.p.v.).

Figura geométrica. Representação em azul de duas retas r e s que se cruzam em um ponto. Há destaque para cada par de ângulos opostos pelo vértice.

As retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes, pois também se cruzam, determinando quatro ângulos, que têm a mesma medida, 90graus.

Figura geométrica. Representação em azul de duas retas t e u que se cruzam em um ponto formando quatro ângulos de mesma medida. Há indicação de quadradinho para simbolizar a perpendicularidade.

Ao traçar uma reta que corta duas retas paralelas, determinamos oito ângulos.

Figura geométrica. Representação em azul de duas retas paralelas m e n que se cruzam com uma transversal t em pontos distintos. Há destaque para alguns ângulos. No cruzamento de m com t, em roxo o ângulo agudo a, em laranja o ângulo oposto c, em verde o ângulo complementar b e em azul o quarto ângulo d. No cruzamento de n com t, em roxo o ângulo agudo e, em laranja o ângulo oposto g, em verde o ângulo complementar f e em azul o quarto ângulo h.

Assim:

\hat{a} e \hat{e}

são correspondentes;

\hat{b} e \hat{f}

são correspondentes;

\hat{c} e \hat{g}

são correspondentes;

\hat{d} e \hat{h}

são correspondentes.

Observação

Quando as retas são concorrentes e não são perpendiculares, podemos chamá-las de retas oblíquas.

Página 87

Para investigar

1. Observe os ângulos formados quando uma reta t intercepta duas retas paralelas, r e s.

Figura geométrica. Malha quadriculada com duas retas paralelas r e s e uma transversal t a elas na cor laranja. As retas paralelas também estão paralelas ao comprimento da malha. No cruzamento da reta r com a reta t estão destacados os quatro ângulos, sendo 1 e 3 obtusos opostos pelo vértice, e os ângulos 2 e 4 agudos opostos pelo vértice. No cruzamento da reta s com a reta t estão destacados os ângulos obtusos 5 e 7 opostos pelo vértice, e os ângulos agudos 6 e 8 opostos pelo vértice.

Com o auxílio de um transferidor, meça os ângulos formados. Quais deles têm a mesma medida de abertura?

No caderno, trace, da maneira que preferir, duas retas paralelas e uma reta que cruze essas paralelas. Essas retas determinarão oito ângulos. Com o auxílio de um transferidor, meça cada um desses ângulos, anote a medida da abertura junto ao ângulo e pinte os ângulos que têm mesma medida da abertura com a mesma cor.

a) Quantas cores diferentes você usou para pintar os ângulos?

b) Que relação você percebeu entre as medidas de abertura dos ângulos determinados?

Compare sua figura com a de alguns colegas. Os ângulos determinados por vocês têm as mesmas medidas de abertura? A relação que você percebeu no item b também vale na figura dos colegas?

Informática e Matemática

faça as atividades no caderno

Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal

Vamos agora utilizar um software de Geometria dinâmica para investigar se a relação entre as medidas dos ângulos vale para quaisquer paralelas cortadas por uma transversal.

Construa

Siga os passos a seguir para construir duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

1º) Trace uma reta

\overset{\leftrightarrow}{A B}

2º) Usando a ferramenta de traçar retas paralelas, trace uma reta

\overset{\leftrightarrow}{C D}

paralela a

\overset{\leftrightarrow}{A B}

3º) Trace uma reta

\overset{\leftrightarrow}{E F}

que cruze as retas paralelas

\overset{\leftrightarrow}{C D}

\overset{\leftrightarrow}{A B}

4º) Marque o ponto G, intersecção das retas

\overset{\leftrightarrow}{A B}

\overset{\leftrightarrow}{E F}

5º) Marque o ponto H, intersecção das retas

\overset{\leftrightarrow}{C D}

\overset{\leftrightarrow}{E F}

Investigue

a) Usando a ferramenta de medir ângulos do software, meça a abertura dos oito ângulos obtidos na construção anterior.

b) Identifique os pares de ângulos correspondentes e os de ângulos opostos pelo vértice.

c) Que relação é possível perceber entre os pares de ângulos correspondentes? E entre os pares de ângulos opostos pelo vértice?

Página 88

Propriedade

Verificamos experimentalmente a seguinte propriedade:

Os ângulos correspondentes, determinados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal, são congruentes.

Resumindo, dadas duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal, temos:

Figura geométrica. Representação em cor verde de duas retas paralelas r e s cortadas por uma transversal m. São destacados os pares de ângulos opostos pelo vértice em cada cruzamento. No cruzamento de r com m, os ângulos obtusos são a e c, e os ângulos agudos são b e d. No cruzamento de s com m, os ângulos obtusos são e e g, e os ângulos agudos são h e f.

medida de(

\hat{a}

) = medida de(

\hat{e}

) (ângulos correspondentes)

medida de(

\hat{c}

) = medida de(

\hat{g}

) (ângulos correspondentes)

medida de(

\hat{a}

) = medida de(

\hat{c}

) (ângulos opostos pelo vértice)

medida de(

\hat{e}

) = medida de(

\hat{g}

) (ângulos opostos pelo vértice)

Logo: medida de(

\hat{a}

) = medida de(

\hat{e}

) = medida de(

\hat{g}

) = medida de(

\hat{c}

)

Ou seja,

\hat{a}

\hat{e}

\hat{c}

\hat{g}

são congruentes.

medida de(

\hat{b}

) = medida de(

\hat{f}

) (ângulos correspondentes)

medida de(

\hat{d}

) = medida de(

\hat{h}

) (ângulos correspondentes)

medida de(

\hat{b}

) = medida de(

\hat{d}

) (ângulos opostos pelo vértice)

medida de(

\hat{f}

) = medida de(

\hat{h}

) (ângulos opostos pelo vértice)

Logo: medida de(

\hat{b}

) = medida de(

\hat{f}

) = medida de(

\hat{h}

) = medida de(

\hat{d}

)

Ou seja,

\hat{b}

\hat{f}

\hat{d}

\hat{h}

são congruentes.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. (Saresp) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas cortadas pela transversal t.

A relação entre os ângulos α e β marcados na figura é:

Figura geométrica. Esquema em rosa representando duas retas paralelas s e r cortadas por uma transversal t. Há destaque para o ângulo agudo alfa formado pelo cruzamento de t e s. Há destaque para o ângulo agudo beta formado pelo cruzamento de r e t.

a) α + β = 90graus

b) α + β = 180graus

c) α = β

d) α = 270graus ‒ β

2. Observe as retas r e s, sendo r // s. No caderno, determine as medidas de abertura dos ângulos em cada figura.

Figura geométrica. Representação em vermelho de duas retas r e s cortadas por uma transversal t. Há destaque para os ângulos de sessenta graus e cento e vinte graus no cruzamento de r com t, localizados acima de r. Há destaque para os ângulos x e y no cruzamento de s com t, localizados acima de s.

Figura geométrica. Representação em verde de duas retas paralelas r e s cortadas por uma transversal t. Há destaque para os ângulos agudos m e n no cruzamento de r com t. Há destaque para o ângulo agudo de quarenta e cinco graus formado pelo cruzamento de s com t.

3. Nas figuras a seguir, as retas r e s são paralelas. Calcule as medidas de a e de b em cada caso.

Figura geométrica. Esquema em laranja representando duas retas paralelas s e r cortadas por uma transversal t. Há destaque para o ângulo agudo a formado pelo cruzamento de t e r. Há destaque para os ângulos obtusos b e o oposto a ele que mede cento e trinta e cinco graus, formados pelo cruzamento de s e t.

Figura geométrica. Esquema em roxo representando duas retas paralelas s e r cortadas por uma transversal t. Há destaque para o ângulo agudo, cuja medida é sessenta graus, formado pelo cruzamento de r e t. Há destaque para os ângulos agudos a e b opostos pelo vértice formados no cruzamento de s com t.

Figura geométrica. Esquema em azul representando duas retas paralelas s e r cortadas por uma transversal t. Há destaque para o ângulo obtuso, cuja medida é cento e vinte e sete graus, formado pelo cruzamento de r e t. Há destaque para os ângulos complementares a e b formados no cruzamento de s com t.

Figura geométrica. Esquema em verde representando duas retas paralelas s e r cortadas por uma transversal t. Há destaque para os ângulos complementares cujas medidas são a e b mais vinte graus, formados pelo cruzamento de r e t. Há destaque para o ângulo agudo cuja medida é oitenta e dois graus, formado no cruzamento de s com t.

Página 89

Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Leitura e interpretação de gráficos de barras

Geraldo administra uma pequena empresa de confecção de roupas. Com as informações sobre o saldo do movimento financeiro da empresa (lucro ou prejuízo) e as vendas do segundo semestre de 2022, ele construiu dois gráficos.

Gráfico de barras simples horizontais. Gráfico representando o saldo mensal em milhares de reais. No eixo vertical estão indicados os meses, de baixo para cima: julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro. No eixo horizontal estão indicados os saldos, da esquerda para a direita: menos quinze, menos dez, menos cinco, zero, cinco, dez, quinze, vinte. O saldo de cada mês foi: julho: menos três; agosto: menos sete; setembro: nove; outubro: menos doze; novembro: treze; dezembro: dezoito.

Dados obtidos por Geraldo em janeiro de 2023.

Gráfico de barras simples verticais. Gráfico representando a venda mensal em milhares de reais. No eixo horizontal estão indicados os meses, da esquerda para a direita: julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro. No eixo vertical estão indicadas as vendas, de baixo para cima: 0, 2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26. A venda de cada mês foi: julho: 2 agosto: 5 setembro: 14 outubro: 7 novembro: 19 dezembro: 25

Dados obtidos por Geraldo em janeiro de 2023.

Ilustração. Homem branco de barba e cabelos castanhos, vestindo uma camisa branca com camiseta aberta azul, calça azul escuro e sapatos no mesmo tom. Ele está com um braço abaixado e outro apontando para os gráficos, dizendo: Em um gráfico de barras, podemos optar por não representar a linha que indica os valores das barras, como feito no gráfico referente às vendas. Caso a linha não seja representada, o valor correspondente a cada barra deve ser sempre indicado junto a ela.

▶ Em que meses a empresa teve lucro?

▶ Em que mês ela vendeu mais?

As informações sobre a empresa foram representadas em um gráfico de barras horizontais, que mostra os dados sobre o saldo da empresa no período de julho a dezembro de 2022, e em um gráfico de barras verticais, que se refere às vendas realizadas no mesmo período.

Os gráficos apresentam a expressão “em milhares de reais”, o que significa que o valor referente a cada barra deve ser multiplicado por 1.000.

Para determinar quais foram os meses em que a empresa teve lucro, devemos observar o gráfico de barras horizontais. Note que ele mostra valores negativos (à esquerda da linha vertical) e positivos (à direita da linha), ou seja, apresenta os saldos negativos e os saldos positivos da empresa. Se o valor do saldo for negativo, a empresa teve prejuízo; se for positivo, ela teve lucro. Portanto, a empresa teve lucro nos meses de setembro (R$ 9.000,00nove mil reais), novembro (R$ 13.000,00treze mil reais) e dezembro (R$ 18.000,00dezoito mil reais), pois as barras correspondentes a esses meses mostram valores positivos.

Para responder em que mês a empresa vendeu mais, é preciso observar e comparar apenas as informações do gráfico de barras verticais. Como esse gráfico apresenta apenas barras correspondentes a números positivos, a barra mais alta representa o mês em que o valor das vendas foi maior. A barra mais alta corresponde ao mês de dezembro; portanto, nesse mês a empresa vendeu mais (R$ 25.000,00vinte e cinco mil reais).

Página 90

▶ Estatística e Probabilidade

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. A professora Maria apresentou o gráfico a seguir com a medida de temperatura mínima no dia 30 de janeiro de 2022 em cidades de diferentes países.

Gráfico de barras simples verticais. Gráfico representando as medidas das temperaturas mínimas registradas em 30 de janeiro de 2022. No eixo horizontal estão indicadas as cidades, da esquerda para a direita: A, B, C, D, E, F. No eixo vertical estão indicadas as medidas de temperatura, em graus Celsius, de baixo para cima: menos 25, menos 20, menos 15, menos 10, menos 5, 0, 5, 10, 15. A medida de temperatura registrada em cada cidade foi: A: menos 18 graus Celsius B: 5 graus Celsius C: menos 9 graus Celsius D: 7 graus Celsius E: menos 5 graus Celsius F: menos 17 graus Celsius

Dados obtidos pela professora Maria em 3 fevereiro 2022.

a) Qual foi a medida de temperatura mínima na cidade ê? E na cidade C?

b) Para qual dessas cidades a medida de temperatura mínima foi mais alta? De quantos graus? E a medida de temperatura mais baixa? De quantos graus?

2. O gerente da Empresa de Alimentos ésse á construiu um gráfico, em janeiro de 2023, com o saldo da empresa de 2018 a 2022.

Gráfico de barras simples verticais. Gráfico representando o saldo da empresa de alimentos S.A. em milhões de reais. No eixo horizontal estão indicados os anos, da esquerda para a direita: 2mil18, 2mil19, 2mil20, 2mil21, 2mil22. Os anos que tiveram saldo positivo estão com barras azuis e o saldo indicado acima da barra. Os anos que tiveram saldo negativo estão com barras vermelhas e o saldo abaixo da barra. O saldo de cada ano foi: 2mil18: dez 2mil19: menos cinco 2mil20: quinze 2mil21: vinte 2mil22: menos dez

Dados obtidos pelo gerente da Empresa de Alimentos ésse á em janeiro de 2023.

a) Em que ano o lucro foi maior?

b) Em que ano o prejuízo foi maior?

c) Explique os valores representados nas colunas dos anos 2018 e 2019.

3. Carlos é responsável pelo contrôle da medida de temperatura de armazenamento das mercadorias do supermercado em que trabalha. Em março de 2023, ele montou uma tabela para servir de base para controlar a medida da temperatura de algumas mercadorias.

Controle da medida da temperatura
Seção	Medida da temperatura
Bebidas	15 °C
Frutas	10 °C
Congelados	−15 °C
Sorvetes	−18 °C

Dados obtidos por Carlos em março de 2023.

• Carlos vai construir um gráfico de barras horizontais com base nessa tabela.

a) O registro da medida da temperatura de quais itens vai ficar à esquerda da linha vertical, que corresponde a 0 grau Célsius?

b) O registro da medida da temperatura de quais itens vai ficar à direita da linha vertical?

4. Em quatro ocasiões, a sorveteria de Cléo sofreu prejuízos com a queda de energia. No gráfico a seguir estão os dados desses dias.

Gráfico de barras simples horizontais. Gráfico representando a medida da temperatura, em graus Celsius, do freezer após o retorno da energia. No eixo horizontal estão indicadas as medidas da temperatura, em graus Celsius, da esquerda para a direita: menos quinze, menos dez, menos cinco, zero, cinco No eixo vertical estão indicadas as datas, de baixo para cima: 3 do 9 de 2mil23, 31 do 10 de 2mil23, 14 do 11 de 2mil23, 27 do 12 de 2mil23. A medida de temperatura de cada data foi: 3 do 9 de 2mil23: menos 12 31 do 10 de 2mil23: menos 3 14 do 11 de 2mil23: menos 8 27 do 12 de 2mil23: 5

Dados obtidos por Cléo ao longo de 2023.

• Em que dia, após o retorno da energia, a medida da temperatura do freezer estava mais alta? E em que dia estava mais baixa?

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Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Observe o destaque nos telhados de duas casas situadas em diferentes lugares do mundo.

Fotografia. Vista frontal da casa que possui uma parte retangular branca com linhas tracejadas em azul e um telhado branco com linhas azuis. O telhado tem formato de triângulo. Em destaque vermelho, foi contornado ângulo agudo do vértice desse telhado. É possível identificar cinco janelas, sendo duas ao lado de uma porta, duas na parte retangular e uma centralizada na parte triangular. — Casa em Heppenheim, na Alemanha, 2020.

Fotografia. Vista frontal de uma casa quilombola colorida em azul. É possível identificar uma porta aberta, uma janela retangular e uma área aberta como se fosse garagem. O terreno da casa é chão de terra. Há destaque para o ângulo formato no telhado que lembra um triângulo obtusângulo. — Casa e comércio na comunidade quilombola de Mangabeira (Mocajuba,Pará), 2020.

a) A medida da abertura do ângulo destacado em cada telhado determina sua inclinação. Com um transferidor, meça a abertura dos ângulos.

b) Em sua opinião, por que essas casas têm telhados com inclinações diferentes?

2. Identifique a figura em que a semirreta

\vec{O B}

é a bissetriz do ângulo dado.

Figura geométrica. Representação dos ângulos AOB e BOC. O lado OB é comum aos dois ângulos. O lado OA de AOC está acima de OB e o lado OC de AOC está abaixo de OB.

Figura geométrica. Esquema representando dois ângulos MOB e BOP que possuem OB como lado comum. O lado OM está à esquerda de OB e o lado OP está à direita de OB.

Figura geométrica. Esquema representando dois ângulos POB e ROB que possuem OB como lado comum. O lado OP está à esquerda de OB e o lado OR está à direita de OB.

Figura geométrica. Esquema representando dois ângulos JOB e LOB que possuem OB como lado comum. O lado JO está à esquerda de OB e o lado OL está à direita de OB.

Versão adaptada acessível

2. Responda à questão.

Para que o segmento

\vec{O B}

seja bissetriz do ângulo

A \hat{O} C

, o que será necessário que ocorra com as medidas das aberturas dos ângulos

A \hat{O} B e B \hat{O} C

3. Em que alternativa é identificado um par de ângulos opostos pelo vértice?

A \hat{O} F e D \hat{O} C

A \hat{O} F e A \hat{O} C

A \hat{O} B e B \hat{O} C

E \hat{O} F e A \hat{O} D

Figura geométrica. Esquema representando três retas vermelhas se cruzando em um ponto O. Em lados opostos de O em uma reta estão os pontos A e D. Em lados opostos de O na outra reta estão os pontos F e C. Em lados opostos de O na terceira reta estão os pontos E e B. A nomeação dos pontos das retas, a partir de A, segue o sentido anti-horário.

4. A semirreta

\vec{V A}

é a bissetriz do ângulo

C \hat{V} D

. Sabendo que a abertura do ângulo

A \hat{V} C

mede 80graus, determine a medida de abertura de

C \hat{V} D

5. Mariana recebeu de sua professora uma folha com uma figura para reproduzir no caderno. Seu irmão derrubou suco sobre a folha e parte da figura foi borrada.

Figura geométrica. Esquema representando cinco ângulos que partem de um mesmo vértice. Juntos, formam 360 graus e possuem medidas diferentes. Um dele mede 105 graus. Os outros dois no sentido anti-horário possuem duas marcas roxas, sendo a primeira de um ângulo obtuso e a segunda de um ângulo agudo. O quarto possui um ângulo de 60 graus e o quinto possui uma marca roxo em um ângulo agudo.

• Sem usar um transferidor, descubra as medidas de abertura dos ângulos que estão faltando na figura.

6. Determine a medida de x, em grau, em cada caso.

Figura geométrica. Esquema em verde de duas retas que se cruzam em um ponto. Um ângulo agudo mede quarenta graus e o outro mede x.

Figura geométrica. Esquema em laranja de duas retas que se cruzam em um ponto. Um ângulo agudo mede x e o ângulo complementar mede cento e dez graus.

Figura geométrica. Esquema em roxo de duas retas que se cruzam em um ponto. Um ângulo agudo mede x e o ângulo complementar mede cento e cinquenta graus.

Figura geométrica. Esquema em azul de duas retas que se cruzam em um ponto. Um ângulo obtuso mede cento e vinte graus e o outro mede x.

7. Calcule as medidas x e y, em grau, em cada caso.

Figura geométrica. Esquema em laranja representando três retas que se cruzam em um ponto O. Em lados opostos de O em uma reta estão os pontos C e F. Em lados opostos de O em outra reta estão os pontos B e E. Em lados opostos de O na terceira reta estão os pontos A e D. O ângulo FOE mede sessenta graus. O ângulo AOF mede y. O ângulo AOB mede oitenta graus. Foi traçada a bissetriz do ângulo BOC. A medida do ângulo que a bissetriz forma com o lado OB é x.

Figura geométrica. Esquema em azul representando três retas que se cruzam em um ponto O. Em lados opostos de O em uma reta estão os pontos C e F. Em lados opostos de O em outra reta estão os pontos B e E. Em lados opostos de O na terceira reta estão os pontos A e D. O ângulo COD mede trinta graus. O ângulo COB mede x. O ângulo AOF mede y. Foi traçada a bissetriz do ângulo AOB. A medida do ângulo que a bissetriz forma com o lado OA é 20 graus.

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Para finalizar

faça as atividades no caderno

organize suas ideias

Observe e responda

Considere estas imagens.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Ilustração. Professor de educação física branco, cabelos castanhos, vestindo regata marrom. Ele está com um dedo levantado enquanto fala para quatro estudantes que estão diante dele. Há uma estudante negra de cabelos castanhos, um estudante branco de cabelos pretos, uma estudante branca de cabelos ruivos e um estudante branco de cabelos castanhos. O professor diz: Vamos dividir a turma em times com
a mesma quantidade de estudantes em cada time.

Fotografia. Medidor de temperatura localizado em uma praça na Lapônia. Há neve no chão e em parte do medidor. Ele está marcando menos cinco no visor digital que fica na parte superior. O medidor possui na parte inferior uma marcação analógica variando de 10 em 10 graus, iniciando em menos quarenta e finalizando em quarenta. Há uma marcação luminosa na cor vermelha até a faixa entre menos 10 e 0. — Medidor de temperatura na Lapônia, Finlândia. Foto de 2017.

Ilustração. Esquema representando a vista lateral desde o topo de uma serra, passando pela depressão e o nível do mar. Há um navio no mar. Está indicada a altura do topo da serra como 400 metros, a altura do nível do mar como zero metro e a altura da depressão como menos cinquenta metros.

Figura geométrica. Duas retas paralelas r e s cortadas por uma transversal t. Estão indicados dois ângulos alternos internos cujas medidas são 45 graus e x. O ângulo complementar a x na parte externa mede y. Ilustração de luminária articulada vermelha. Ela possui uma base arredondada e a articulação forma um ângulo obtuso que recebeu destaque em verde. A parte que contém a lâmpada é arredondada em formato de meia esfera vermelha. — Luminária articulada.

Com base nas imagens e também no que você aprendeu nesta Unidade, faça o que se pede.

Elabore um problema que possa ser resolvido com base na primeira imagem envolvendo o conceito de divisibilidade.

2. Nas imagens 2 e 3, os números inteiros negativos foram usados para representar o quê?

Em que outras situações os números inteiros negativos são utilizados? Crie situações-problema que exemplifiquem esse uso.

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4. Observe as retas paralelas r e s cortadas por uma transversal. Qual é a medida de x e a de y na imagem 4?

5. Observe o ângulo destacado na foto da luminária. Ele é agudo, reto ou obtuso?

Registre

Para finalizar o estudo desta Unidade, faça o que se pede.

Escreva um texto para explicar a um colega como se obtêm o ême ême cê e o ême dê cê entre dois números. Exemplifique esses conceitos com situações.

2. Há alguma relação entre o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números naturais? Explique sua resposta com um desenho ou esquema.

3. Explique o passo a passo para realizar a medição da abertura de um ângulo utilizando um transferidor.

4. Na abertura desta Unidade, você respondeu a algumas questões no boxe “Para começarreticências”. Compare as respostas dadas àquelas questões com as respostas que você daria agora e escreva um texto explicando o que você aprendeu nesta Unidade.

Para conhecer mais

Números com sinais: uma grande invenção!

(Coleção Contando a história da Matemática)

Oscar Guelli

São Paulo: Ática, 2000.

Além de abordar temas da história da Matemática, como o surgimento dos sinais de adição e de subtração, esse livro traz jogos, curiosidades e passatempos instigantes envolvendo números positivos e negativos, os sinais de maior e de menor, mensagens em código e muito mais.

História de sinais

(Coleção A descoberta da Matemática)

Luzia Faraco Ramos

São Paulo: Ática, 2008.

Um hóspede inesperado contraria a rotina de Milena e de suas amigas. O encontro de Alexandre e Milena vai trazer muitas mudanças para a vida da garota. Romance, intrigas e ciúme compõem uma interessante história que envolve conteúdos matemáticos, como operações com sinais e cálculo de expressões. No final do livro, há um minialmanaque com curiosidades, desafios e passatempos matemáticos.