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UNIDADE 2

Capítulo 4

Números racionais

Capítulo 5

Grandezas e medidas

Capítulo 6

Cálculo algébrico

Ilustração. No centro da imagem uma piscina com formato de paralelepípedo. As paredes e o fundo da piscina são compostos de azulejos quadrados azuis. Em um dos lados de medida de comprimento menor da piscina há um trampolim formado por uma base de paralelepípedo e uma prancha de formato retangular vermelha. Ao redor da piscina há espreguiçadeiras e pequenas mesinhas com superfície quadradas. Em um dos lados de maior medida de comprimento da piscina aparece o início de uma construção, com blocos cúbicos. Os blocos estão organizados em fileiras, parte em duas fileiras de altura e parte em apenas uma, aparentando que a construção está no começo. Sobre um dos blocos aparece uma marreta cujos cabo e ponta têm formato de bloco retangular. Todos os elementos da ilustração parecem ter formatos ou de cubo ou de paralelepípedo, dando a ideia de que se trata de um jogo eletrônico. Em primeiro plano, sobre a ilustração, há a imagem de dois blocos cúbicos de cores diferentes, duas engrenagens e um baú fechado.

Jogos eletrônicos

Existem vários jogos eletrônicos em que os jogadores exploram mundos tridimensionais em blocos, podendo descobrir e extrair matérias-primas e ferramentas, construir estruturas e muito mais.

Alguns dos elementos, como água, madeira, pedra e ferro, são representados por blocos com formato cúbico de mesma dimensão e podem ser empilhados para construir montanhas, casas, piscinas, entre outras estruturas. Basta usar a criatividade!

Para começar...

1. Você joga ou já jogou algum jogo eletrônico parecido com o representado na imagem? Comente.

2. De acordo com o texto, como são construídas as estruturas nesse tipo de jogo?

3. Se os blocos que representam os elementos de água tivessem arestas que medem 1 métro de comprimento, qual seria a medida do volume de cada um deles?

4. Imagine que você estivesse jogando e que os blocos de água tivessem arestas medindo 1 métro de comprimento. Quantos blocos de água seriam necessários caso você quisesse construir uma piscina com medida de volume igual a 30 metros cúbicos?

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CAPÍTULO 4 Números racionais

1 Números racionais

O pinguim-imperador habita o continente mais frio do planeta, a Antártida, e, diferentemente de outras aves, se reproduz no inverno, e não na primavera.

Conheça, a seguir, outras características dessa ave de grande porte.

Ilustração. Pinguins. À esquerda, fileira extensa de pinguins entre montanhas de gelo. Destaque para a Antártida no Globo terrestre. Termômetro indicando duas medidas de temperatura diferentes: 0 graus Celsius e menos 65 graus Celsius. Ilustração de bloco retangular de água com alguns peixes, uma lula e um krill (tipo de crustáceo) Diferentes informações sobre os pinguins da ilustração numeradas de 1 a 3. 1. Nome científico e medidas. Nome científico: Aptenodytes forsteri Medida da altura: Medida da massa: 40 kg. 2. Onde vive. Na Antártida, continente gelado que representa quase 1 décimo da medida da área continental do planeta. Sua população é estimada em 440.000 animais. 3. De que se alimenta. Pode mergulhar a uma medida de 500 metros de profundidade para se alimentar de pequenos peixes, lulas e krill (tipo de crustáceo). Pode permanecer submerso por, aproximadamente, 9 minutos. No canto direito da ilustração há 3 pinguins adultos e dois pinguins filhotes.

Para caracterizar o pinguim-imperador, utilizamos informações baseadas em números, como .440000, ‒ 65, 500, 9 e 40, que pertencem ao conjunto dos números inteiros, estudado no Capítulo 2.

E os números

\frac{1}{10}

e 1,20, a que conjunto numérico pertencem?

Dizemos que

\frac{1}{10}

é uma fração. O número 1,20 também pode ser escrito como uma fração. Observe.

1,20 =

\frac{120}{100}

Números que podem ser escritos na fórma fracionária, ou seja, na fórma

\frac{a}{b}

, sendo aêbê números inteiros e b ≠ 0, são chamados números racionais.

Logo, dizemos que

\frac{1}{10}

e 1,20 são números racionais.

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Os números 40, .440000, ‒ 65, 500 e 9 também podem ser escritos na fórma fracionária. Observe um exemplo de fórma fracionária desses números.

• 40 =

\frac{40}{1}

• .440000 =

\frac{440 000}{1}

• ‒ 65 =

‒ \frac{65}{1}

• 500 =

\frac{500}{1}

• 9 =

\frac{9}{1}

Assim, 40, .440000, ‒ 65, 500 e 9 também são números racionais.

Conjunto dos números racionais

Todo número que pode ser escrito na fórma fracionária, com denominador e numerador inteiros e denominador diferente de zero, pertence ao conjunto dos números racionais, que indicamos por

Símbolo. Símbolo que parece a letra Q maiúscula com um traço vertical no seu interior.

\{\frac{a}{b}, s e n d o a e b n ú m e r o s inteiros e b \neq 0\}

Para pensar

• Podemos dizer que todo número inteiro é também um número racional?

• Podemos dizer que os números naturais também são números racionais?

Os números racionais são usados em muitas situações do nosso dia a dia. Observe algumas delas a seguir.

Ilustração. À esquerda há uma placa escrito: Taxa de juros dois vírgula três por cento ao mês. Ao lado da placa há uma balança digital indicando a medida de massa de 1 vírgula 25 quilogramas de um pedaço de carne vermelho. Acima da balança há dois meninos conversando. O menino da esquerda tem pele branca e cabelo preto, está de camiseta vermelha, mochila, calça jeans e tênis azul e está dizendo para o outro menino: César, divida 3 por 18 na calculadora. Quanto dá? O menino da esquerda é negro, está de camiseta amarela, calça roxa, sapato vermelho, mochila preta, está segurando uma calculadora e está respondendo ao outro menino: Dá 0 vírgula 1666 reticências. À esquerda dos dois meninos há uma mulher ruiva lendo e segurando uma revista nas mãos. Ela diz: Nossa! A medida de temperatura mais baixa neste inverno poderá chegar a menos dois graus Celsius!

Observações

• A palavra “racional”, derivada de “razão”, quer dizer “comparar por meio da divisão”, e o símbolo

, vem da palavra “quociente”. vem da palavra “quociente”.

• Existem números que não são racionais, ou seja, não podem ser escritos na fórma

\frac{a}{b}

, com aêbê inteiros e b ≠ 0.

Observe alguns exemplos.

•

\sqrt{2}

= 1,41421356237reticências

•

‒ 4,121221222reticências

•

\sqrt{35}

= 5,916079783reticências

Esses números serão estudados futuramente.

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Representação dos números racionais na reta numérica

Assim como os números inteiros, os números racionais também podem ser representados na reta numérica.

Observe esta reta numérica, com a representação de alguns pontos correspondentes a números inteiros.

Ilustração. Reta numérica com os números menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3 e 4 representados nela.

Cada número inteiro corresponde a um ponto, e a medida da distância entre dois pontos consecutivos é sempre a mesma.

Marcados os números inteiros, podemos localizar os pontos dos demais números racionais. Observe, por exemplo, como Rubens e Roberta fizeram para representar os números

\frac{11}{4}

e ‒ 2,3 na reta numérica.

Ilustração. Duas cenas com um menino chamado Rubens e uma menina chamada Roberta usando uniforme da escola. As calças e as camisetas de ambos são azuis. O menino é negro e a menina é branca de cabelo preto. Na cena da esquerda Rubens está segurando um giz branco na mão e está explicando para Roberta o desenho de uma reta numérica na lousa. Essa reta mostra o intervalo de zero a três e estão destacados os números zero, um, dois, fração onze quartos e três. Rubens diz: A fração onze quatros corresponde ao número misto dois inteiros e a fração três quartos; portanto, a fração onze quartos está entre dois e três. Então, dividi o intervalo da reta entre dois e três em quatro partes iguais. O terceiro ponto a parte do dois para a direita é o que corresponde a dois inteiros e a fração três quartos, ou seja, a fração onze quartos.

Duas cenas com um menino chamado Rubens e uma menina chamada Roberta usando uniforme da escola. As calças e as camisetas de ambos são azuis. O menino é negro e a menina é branca de cabelo preto. Na cena da direita Roberta está com o giz branco na mão e está explicando para Rubens a reta numérica desenhada na lousa. Essa reta mostra o intervalo de menos três a zero e estão os números menos três, menos dois inteiros e três décimos, menos dois, menos um e zero. O intervalo entre menos dois e menos três está dividido em dez partes iguais e no intervalo de menos dois a menos dois inteiros e três décimos aparece três setas no sentido de menos dois a menos dois inteiros e três décimos. Roberta diz: O número menos dois inteiros e três décimos está entre menos três e menos dois. Então dividi o intervalo da reta entre menos três e menos dois em dez partes iguais. Em seguida, localizei o terceiro ponto a partir do menos dois para a esquerda, que corresponde ao número menos dois inteiros e três décimos.

Para pensar

Como você faria para representar o número ‒ 0,333reticências na reta numérica?

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Quais dos números a seguir são racionais? Por quê?

Ilustração. 9 quadrinhos com os seguintes números: menos 2 vírgula 3; menos 9; menos 3 fração 1 meio; raiz quadrada de 6; 2 vírgula 82; 0; menos fração 9 décimos; raiz quadrada de 9 fração 7 sobre 2

2. Responda às questões no caderno.

a) O número

\frac{17}{5}

é racional? Justifique sua resposta.

b) Na reta numérica,

\frac{17}{5}

está entre quais números naturais?

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Lembre-se: Escreva no caderno!

3. Descreva como podemos localizar na reta numérica os pontos correspondentes aos números racionais a seguir.

Ilustração. Quatro quadrinhos coloridos, em cada quadro há um número. Fração 7 sobre 5, menos fração 16 sobre 4, menos fração 1 sobre 2 e fração 1 sobre 3

• Construa uma reta numérica no caderno e localize esses números.

4. Descubra entre quais números inteiros consecutivos estão os números racionais a seguir.

‒ \frac{5}{7}

\frac{15}{6}

‒ \frac{8}{3}

‒ 3 \frac{1}{4}

\frac{9}{7}

f )

4 \frac{5}{7}

5. Juliana e Nélson leram no jornal as medidas de temperatura do dia 20 de julho de 2021.

Ilustração. Dois jornais mostrando somente suas folhas de frente, sendo que o que se encontra na parte superior tem a descrição: JORNAL, neste dia congelante, Urupema, Santa Catarina registrou menos oito virgula dois graus Célsius. O que se encontra na parte inferior com a descrição: JORNAL, As estações meteorológicas registram em Bom Jardim da Serra, Santa Catarina, menos sete virgula três graus Célsius.

Dados obtidos por Juliana e Nélson em 21 julho 2021.

Depois, fizeram os comentários a seguir.

Ilustração. Uma garota, chamada Juliana de etnia branca de cabelos marrons, com uma tiara com uma tonalidade de marrom mais escuro que os cabelos, com uma blusa verde e um cachecol rosa, diz: Nossa! Fez muito frio em Bom Jardim! Mais que em Urupema. E um garoto, chamado Nélson de etnia branca de cabelos curtos marrom com uma blusa de uma tonalidade marrom claro, responde: Não, Ju reticências Urupema foi a cidade onde fez mais frio.

a) Quem está certo: Juliana ou Nélson? Por quê?

Represente as medidas de temperatura em uma reta numérica. O que você pode concluir sobre a comparação das medidas de temperatura? Isso é válido para a comparação de qualquer número racional com outro racional? Converse com um colega sobre o modo como chegaram a essa conclusão.

6. Observe o segmento

\overline{A B}

e os pontos C, D, ê e F, que dividem

\overline{A B}

em 5 partes iguais.

• Sabendo que a representa o número 5 e B, o número 6, descubra os números racionais que representam os pontos C, D, ê e F.

7. Sabendo que aêbê dividem a parte da reta numérica entre ‒1 e 0 em 3 partes iguais e que C, D e ê dividem a parte da reta entre 0 e 1 em4 partes iguais, responda: quais são os números racionais correspondentes a esses pontos?

Ilustração. Reta numérica com os números menos 1, zero e 1 representados nela. Entre os números menos 1 e zero estão representados os pontos A e B igualmente espaçados. Entre os pontos zero e 1 estão representados os pontos C, D e E também igualmente espaçados.

8. Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas.

a) Todo número natural é inteiro, mas nem todo número natural é racional.

b) Todo número inteiro é racional, mas nem todo número inteiro é natural.

c) A raiz quadrada de 144 é um número natural, mas não é um número racional.

Que fração do quadrado azul está coberta pelo quadrado amarelo em cada caso?.

Figura geométrica. Quadrado azul dividido em quatro partes iguais por duas linhas tracejadas em suas diagonais. O lado inferior também está tracejado. Quadrado amarelo com um dos vértices no centro do quadrado azul e parte do lados coincidindo com parte das diagonais do quadrado azul, dessa maneira, o quadrado amarelo está sobrepondo o triângulo formado pela base do quadrado azul e parte de suas diagonais.

Figura geométrica. Mesma figura anterior, só que agora o quadrado amarelo encontra-se levemente deslocado para a direita. O quadrado amarelo ainda tem um vértice coincidindo com o ponto de intersecção das diagonais do quadrado azul.

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Módulo ou valor absoluto de um número racional

Observe a representação de

‒ \frac{1}{3} e + \frac{1}{3}

na reta numérica.

Ilustração. Reta numérica com os números menos 1, menos 1 terço, zero, mais 1 terço e 1 representados nela. Há uma seta partindo do zero, onde está o ponto O, e chegando no menos 1 terço, onde está o ponto A, com a cota 1 terço da unidade, e uma seta partindo do zero e chegando no mais 1 terço, onde está o ponto B, com a cota 1 terço da unidade.

Os pontos aêbê estão situados à mesma medida de distância da origem óh.

Essa medida de distância é representada pelo número positivo

\frac{1}{3}

, que se chama módulo ou valor absoluto dos números

- \frac{1}{3} e + \frac{1}{3}

Indicamos:

|‒ \frac{1}{3}| = \frac{1}{3} e |+ \frac{1}{3}| = \frac{1}{3}

Como

- \frac{1}{3} e + \frac{1}{3}

são números de sinais contrários e têm o mesmo módulo, dizemos que eles são opostos ou simétricos.

Comparação de números racionais

Que número é maior:

\frac{10}{4} o u \frac{12}{8}

Observe dois modos de comparar esses números.

1º) Escrevendo‑os na fórma decimal:

\frac{10}{4} = 10 : 4 = 2, 5

\frac{12}{8} = 12 : 8 = 1, 5

Como 2,5 > 1,5, concluímos que

\frac{10}{4} > \frac{12}{8}

2º) Escrevendo‑os na fórma fracionária com o mesmo denominador:

\frac{10}{4} = \frac{20}{8}

(frações equivalentes)

Como

\frac{20}{8} > \frac{12}{8}

, pois 20 > 12, concluímos que

\frac{10}{4} > \frac{12}{8}

Observação

Figura geométrica. Na parte superior há três retângulos cada um dividido em quatro partes iguais posicionados horizontalmente um após o outro. Os dois primeiros retângulos estão com as quatro partes pintadas de azul e o último retângulo tem duas partes pintadas de azul e duas partes em branco. Abaixo desses 3 retângulos há a indicação da fração 10 quartos. Na parte inferior há dois retângulos divididos em oito partes iguais cada, posicionados horizontalmente um após o outro. O primeiro retângulo está com suas 8 partes pintadas de verde claro e o segundo retângulo tem 4 partes pintadas de verde claro e 4 partes em branco. Abaixo desses 3 retângulos há a indicação da fração 12 oitavos. Sentença matemática. Fração 10 quartos. Sentença matemática. Fração 12 oitavos.

Também podemos concluir que

\frac{10}{4}

é maior que

\frac{12}{8}

analisando as figuras anteriores.

Também podemos comparar dois números racionais com base na reta numérica. O maior número está sempre à direita do menor. Por exemplo, que número é maior:

‒ \frac{3}{5} ou ‒ \frac{11}{15}

Esquema. Algoritmo mostrando a divisão de 3 por 5. Ao lado direito do algarismo 3 há o algarismo zero destacado de azul para indicar que houve a necessidade de acrescentar um zero pois não é possível dividir 3 por 5. O quociente dessa divisão é o número 0 vírgula 6 e o resto é zero.Esquema. Algoritmo mostrando a divisão de 11 por 15. Ao lado direito do número 11 há o algarismo zero destacado de azul para indicar que houve a necessidade de acrescentar um zero pois não é possível dividir 11 por 15. O quociente é 0 vírgula 733 reticências o resto obtido da primeira divisão é 5 com um zero destacado de azul à sua direta indicando que foi necessário incluir um zero pois não é possível dividir 5 por 1. O resto obtido da segunda divisão é 5 com um zero destacado de azul à sua direta indicando que foi necessário incluir um zero pois não é possível dividir 5 por 1. O resto obtido da terceira divisão é 5, e resto final é 5.

‒ \frac{3}{5} = ‒ 0, 6 e ‒ \frac{11}{15} = ‒ 0, 733 . . .

Para a representação na reta numérica, vamos aproximar ‒ 0,733reticências para ‒ 0,7.

Ilustração. Reta numérica com os números menos 1, menos 0 vírgula 7, menos 0 vírgula 6 e zero representados nela.

Então, ‒ 0,6 > ‒ 0,7, ou seja,

‒ \frac{3}{5} > ‒ \frac{11}{15}

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pensamento computacional

Renata estava comparando números decimais cujas casas decimais vão até os milésimos. Ela percebeu que é possível criar um fluxograma para utilizar sempre que quiser comparar esse tipo de número. Observe.

Esquema. Fluxograma. Início, seta para o passo com o texto ‘observe os números decimais que deseja comparar’, seta para o passo com o texto ‘compare a parte inteira’, seta para o passo com o texto ‘Elas são iguais?’ Para a pergunta desse passo há as respostas sim e não. Para a resposta não há uma seta indicando passo com o texto ‘o número cuja parte inteira é maior é o maior dos números que estão sendo comparados’ e depois uma seta que leva para o passo ‘Fim’. Para a resposta sim há uma seta que leva para o passo com texto ‘Compare os décimos’, depois seta com o texto ‘Eles são iguais?’.

Agora, utilize o fluxograma de Renata para comparar os números 15,321 e 15,324.

Clique no play e acompanhe a reprodução do Áudio.

Transcrição do áudio

Ciência da Computação

Duração: 4:08min. Página: 100.

>>[Locutor] Ciência da Computação

Vinheta.

Som de teclado e clique de mouse.

>> [PERSONAGEM 1] Juliana, me ajuda aqui! Eu preciso desenhar o hexágono, mas não estou conseguindo.

>> [PERSONAGEM 2] E pra que você precisa desenhar um hexágono, Felipe?

>> [PERSONAGEM 1] Eu preciso descobrir quantas diagonais essa figura tem. [Tom enfático] Só que sou muito ruim em desenho.

>> [PERSONAGEM 2] [Tom explicativo] Mas, Felipe, você pode resolver isso de outra maneira, não precisa desenhar. Você pode usar um algoritmo.

Som de plim de ideia.

>> [PERSONAGEM 1] Algoritmo? Que que é isso, Ju?

>> [PERSONAGEM 2] Algoritmo é uma série de instruções que, se forem executadas na sequência correta, conduzem você ao resultado desejado. Um problema muito complexo pode ser decomposto em passos simples, o passo a passo da [tom enfático] vitória!

>> [PERSONAGEM 1] [Tom animado] Vitória!? Já gostei, Ju. Explica melhor.

>> [PERSONAGEM 2] Nós usamos algoritmos o tempo todo em nossa vida. Veja, por exemplo, uma receita de bolo. Você pega uma receita, segue as instruções passo a passo e, no fim, o bolo fica pronto, certo? Você pode repetir quantas vezes quiser que, se seguir exatamente a receita, terá um bolo no final!

>> [PERSONAGEM 1] Entendi. Se eu quiser fazer um bolo diferente, vou precisar de uma receita diferente, certo?

>> [PERSONAGEM 2] Certo, mas a grande sacada é que alguns algoritmos podem ser aplicados na resolução de uma categoria [tom enfático] enorme de problemas, e não na de uma só! Essa é a supervantagem de usar algoritmos. O seu computador, por exemplo, executa todas as suas funções seguindo esses algoritmos. E ele consegue fazer isso tão rápido, que parece que pensa! A Ada Lovelace é considerada a primeira programadora da história. Escreveu o primeiro programa de computador pruma máquina chamada “Engenho Analítico”, que tinha sido projetada por Charles Babbage. Era um computador mecânico, não tinha nada de eletrônico, usava umas engrenagens pra operar seus processos. Esse computador nunca foi construído, mas toda a Ciência da Computação de hoje em dia, os computadores modernos foram inspirados nos primeiros algoritmos escritos por ela. Cientistas da computação baseiam seus estudos e a lógica da programação das máquinas em algoritmos.

>> [PERSONAGEM 1] Nossa, Ju, adorei! Então, computador e algoritmo têm tudo a ver um com o outro!

>> [PERSONAGEM 2] É isso aí! Um algoritmo escrito numa linguagem que a gente entende, tipo a receita de bolo que eu comentei antes, depois de convertido pruma linguagem de computador, passa a ser chamada de programa. E os trabalhos executados pelo computador usam esses programas. Só pra ilustrar, um computador sem programas é como uma televisão sem filme, sem novela, sem desenho, sem programação, enfim... [riso] um peso pra papel. Bom, vamos voltar pra sua tarefa! Eu tenho um algoritmo pra resolver o seu problema. Faça assim: pegue o número de lados do seu polígono e subtraia 3.

Som de teclado e clique de mouse.

>> [PERSONAGEM 1] Hum... número de lados menos 3. Tudo bem! 6 menos 3 dá 3.

>> [PERSONAGEM 2] Ok! Agora, pegue esse valor e multiplique pelo número de lados do polígono. Nesse caso, 6.

Som de teclado e clique de mouse.

>> [PERSONAGEM 1] Ju, vai dar 18. [Tom de dúvida] Mas não me parece certo isso!

>> [PERSONAGEM 2] [Tom enfático] Vai, vai dar certo, sim! Agora, pegue esse resultado e divide por 2.

Som de teclado e clique de mouse.

>> [PERSONAGEM 1] Deu 9.

>> [PERSONAGEM 2] Exatamente! Esse é o número de diagonais que você estava procurando. Ó, como prova, fiz o desenho do hexágono para mostrar para você! Exatamente igual ao resultado que você encontraria desenhando, só que com a vantagem de que você pode usar esse algoritmo pra qualquer polígono convexo. Qualquer um [tom enfático] mesmo! Quer ver? Calcule aí pra mim as diagonais do dodecágono.

>> [PERSONAGEM 1] [Tom enfático] Dode-quê?

>> [PERSONAGEM 2] [Riso] Dodecágono. Um polígono de 12 lados. Calcule aí!

>> [PERSONAGEM 1] Tudo bem, tudo bem... Vamos lá!

Som de teclado e clique de mouse.

>> [PERSONAGEM 1] Eu pego o 12, tiro 3, multiplico por 12, divido por 2. [Tom animado] Achei! São 54 diagonais! Consegui! Genial!

>> [PERSONAGEM 2] [Feliz] Há, há! Parabéns! Agora, gênio, desenha que eu quero ver!

>> [PERSONAGEM 1] [Tom contrariado] Ah, Não!!!!!

Todos os áudios inseridos neste conteúdo são da Free Sound.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Calcule o módulo ou valor absoluto dos números a seguir.

‒ \frac{1}{2}

b) 1,54

‒ \frac{7}{9}

d) ‒ 0,612

1 \frac{7}{9}

f ) ‒ 0,25

2. Qual é o menor número racional em cada caso?

- 0, 5 e - \frac{2}{3}

\frac{1}{3} e \frac{5}{4}

\frac{1}{6}

e 0,25

- \frac{1}{5} e - 0, 3

3. Usando os símbolos <, > ou =, compare os números a seguir.

a) 7,3 e

\frac{15}{4}

\frac{101}{5}

e 20,25

–3,2 e – \frac{16}{5}

d) 0,02 e

\frac{1}{50}

Ícone de atividade envolvendo Pensamento computacional.

Explique dois procedimentos diferentes para comparar dois números racionais: um que está na fórma fracionária e outro na fórma decimal.

• Construa um fluxograma para representar um dos dois procedimentos.

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5. Escreva os números racionais a seguir em ordem crescente.

Ilustração. 8 quadrinhos com os seguintes números: 5 vírgula 68, fração 30 25 avos, menos 3 vírgula 5, fração 1 meio, 5, menos fração 564 200 avos, 1 vírgula 3 e menos fração 3 quintos.

6. Identifique o menor número racional em cada caso com base na reta numérica.

a) 23 e 23,5

\frac{11}{5}

e 2,25

54 e ‒ \frac{524}{10}

d) 2 e ‒ 5,2

7. Encontre três números racionais compreendidos entre:

a) 0 e 0,001;

‒ \frac{45}{16} e ‒ \frac{25 313}{9 000}

;

\frac{5}{8} e \frac{7}{10}

;

0, 4 e \frac{3}{7}

;

\frac{9}{7} e 1, 34

;

f ) ‒ 0,1256 e ‒ 0,1427.

8. Dalva queria comprar um vaso de flores para enfeitar sua casa. Chegando à floricultura, gostou de dois vasos de orquídeas. Observe-os.

Fotografia. Dois vasos de orquídeas. À esquerda um vaso com orquídea vermelha e uma placa com o preço de 39 reais e 62 centavos. À direita um vaso com uma orquídea azul e o preço de 39 reais e 85 centavos.

• Quando foi pagar, ela contou o dinheiro e viu que tinha R$ 39,72. Qual dos vasos Dalva pôde levar para casa?

9. Observe o extrato bancário e responda à questão.

Ilustração. Extrato bancário. O título do extrato é: Banco S barra inclinada A hífen Extrato bancário. Agência 007 hífen C barra inclinada C 012345 hífen 6. Data 5 de novembro de 2021. Hora 13 horas 20 minutos e 1 segundo O extrato contém 3 colunas: uma com a data, uma com o histórico e uma com o valor em reais. Na data de 23 de setembro está escrito 'Depósito' no campo Histórico e no campo valor há o número 350 vírgula 35 mais, indicando que nesse dia foi feito um depósito de 350 reais 35 centavos. Na data de 27 de setembro está escrito "Sapataria" no campo Histórico e no campo valor há o número 75 vírgula 27 menos, indicando que nesse dia gastou-se o valor de 75 reais e 27 centavos na Sapataria. Na data de primeiro de outubro está escrito 'Frutas SA' no campo Histórico e no campo valor há o número 75 vírgula 36 menos, indicando que nesse dia gastou-se o valor de 75 reais e 36 centavos em Frutas SA. Na data de 15 de outubro está escrito 'Conta de energia' no campo Histórico e no campo valor há o número 151 vírgula 27 menos, indicando que nesse dia gastou-se o valor de 151 reais 27 centavos com a conta de luz. Na data de 30 de outubro está escrito 'Aluguel' no campo Histórico e no campo valor há o número 958 vírgula 36 menos, indicando que nesse dia gastou-se o valor de 958 reais e 36 centavos com aluguel

• Em que dia houve o maior gasto? E o menor?

10. Observe as menores medidas de temperatura registradas em alguns municípios brasileiros em 29 de julho de 2021.

Medidas de temperatura mínima registradas em alguns municípios brasileiros em 29 jul. 2021
Município	Medida de temperatura mínima
Canela (RS)	−1,2 °C
Colombo (PR)	−0,7 °C
Rancharia (SP)	−0,5 °C
Rio Brilhante (MS)	3,4 °C
Ponta Porã (MS)	2,6 °C
Chapecó (SC)	−0,1 °C

Dados obtidos em um aplicativo de previsão do tempo em 14 fevereiro 2022.

• Escreva as medidas de temperatura em ordem decrescente.

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Compreender um texto

faça as atividades no caderno

O consumo consciente também pode ser divertido

Você sabe o que é consumo consciente, também chamado sustentável? Essa é uma maneira de consumir que leva em consideração o impacto de nossas ações no meio ambiente, na sociedade em que vivemos e até mesmo na nossa vida financeira.

Leia a seguir algumas dicas, sugeridas em uma publicação do Ministério do Meio Ambiente, para praticar o consumo sustentável.

[reticências]

Ganhou, doou!

Para que os armários não fiquem cheios de coisas guardadas que não usamos mais e ocupem muito espaço que tal fazer um combinado? Para cada brinquedo ou roupa nova que ganhar ou comprar que tal doar aquilo que ficou antigo para outras crianças? E o mais legal é que para o novo dono, tudo será novo! Vale experimentar porque essa moda pode pegar!

Eu quero ou Eu preciso?

Vocês já pararam para pensar de onde vem nossa vontade de comprar alguma coisa? Será que tudo o que é anunciado na tevê nos interessa de verdade ou é um desejo passageiro? E, por último, será que precisamos de todas essas coisas e podemos comprar tudo que queremos? Por isso, que tal combinar primeiro o que vamos comprar ou se vamos comprar algo antes de ir passear num shopping ou supermercado? Assim ninguém fica triste; pais ou crianças. Outra ideia bacana é fazer uma economia junto com nossos pais para comprar algo que queremos muito ou escolher uma data bem especial para esse presente.

Ilustração. Pátio de uma escola. Em primeiro plano, três meninas uniformizadas sentadas em um banco conversando. A menina à direita fala: Já que ganhei uma mochila nova, vou doar a minha antiga. A menina no centro, pensa: Eu quero ou eu preciso? A menina à esquerda observa. Atrás, mais três crianças brincando de pular corda no pátio. Ao fundo, pode-se ver as paredes das salas de aulas do lado de fora. Essas paredes são pintadas até certa altura de vermelho e o resto de amarelo. Além disso, há janelas de vidro. Ao lado direito das 3 meninas há uma lixeira escrito Papel e com um símbolo de material reciclável desenhado. Bem ao fundo há uma porta azul que parece dar acesso à uma das salas de aula. Atrás das crianças que estão brincando de pular corda há uma palmeira, uma árvore pequena em um pequeno canteiro.

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Trocar pode ser mais divertido do que comprar...

Vocês sabiam que crianças de outros lugares e países adoram trocar coisas em feiras? Muitas vezes famílias ou grupos de amigos organizam feiras de troca em espaços públicos como praças, igrejas ou parques. A ideia é muito simples: basta escolher um tema – roupas, material escolar, jogos, brinquedos, sapatos – e levar aquilo que não usamos ou não gostamos mais para trocar por outros itens. A única regra é querer trocar [reticências].

Sabia que lanches mais saudáveis podem gerar menos lixo?

Será que podemos escolher nossos lanches de maneira mais saudável e que não deixe tanto lixo? Frutas, sucos naturais e sanduíches feitos em casa são uma boa opção para nossa saúde e para a natureza. Uma boa ideia é tentar escolher nossos lanches não só pelos personagens que estão nas embalagens, mas pelas coisas boas que esses alimentos podem trazer para nossa saúde. Usar lancheiras ou potinhos também contribui para diminuir o lixo. Peça ajuda para seus pais!

BRASIL, Ministério do Meio Ambiente e Instituto Alana. Consumismo infantil: na contramão da sustentabilidade. volume 3. Brasília, 2012. (Cadernos de consumo sustentável). Disponível em: https://oeds.link/bX1CqM. Acesso em: 14 fevereiro 2022.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Qual das dicas apresentadas no texto você pratica ou gostaria de praticar no futuro? E como ela contribui para o consumo consciente?

2. Pense no último produto que você comprou. Quais critérios você utilizou para realizar essa compra?

Ícone de atividade com uso da calculadora.

Após conhecer as dicas apresentadas no texto, Marilda economizou dinheiro para comprar alguns materiais escolares. Além disso, ela realizou uma pesquisa de preço em duas lojas. Observe o resultado obtido por ela.

Pesquisa de preços
Produto	Preço (R$)
Produto	Loja A	Loja B
Lancheira	R$ 32,30	R$ 35,90
Estojo	R$ 17,50	R$ 14,99
Caixa de lápis de cor	R$ 7,80	R$ 6,99
Caderno	R$ 14,80	R$ 15,00

Dados obtidos por Marilda em fevereiro de 2022.

a) Em relação ao preço, em qual loja é mais vantajoso comprar o estojo?

b) Marilda vai comprar cada um desses produtos na loja que oferece o menor preço. Em qual loja ela vai comprar cada um deles?

c) Escreva em ordem crescente os preços desses produtos na loja A.

d) Com a ajuda de seus pais, Marilda já economizou R$ 80,00oitenta reais. Com essa quantia é possível comprar todos esses produtos? Justifique.

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2 Adição e subtração com números racionais

Em nosso cotidiano, observamos várias situações envolvendo adição e subtração com números racionais. Observe algumas delas a seguir.

Situação 1

Ilustração. Homem de touca verde, cachecol preto, luvas pretas e casaco azul. Ele aponta para um termômetro de rua indicando a temperatura de menos 2 vírgula 7 graus Celsius. Aparece apenas o tronco do homem. Ao fundo há prédios e o céu está escuro indicando que é noite.

Nas férias de julho, Bruno viajou para uma cidade muito fria. Na noite em que ele chegou à cidade, a medida de temperatura registrada nos termômetros era de ‒2,7 graus Célsius. Na noite seguinte, a medida de temperatura caiu 1,6 grau Célsius. Qual foi a medida de temperatura na segunda noite?

Para responder à questão, podemos calcular:

(‒2,7) + (‒1,6)

Se a situação envolvesse apenas números inteiros (por exemplo, ‒2 e ‒1), resolveríamos como foi explicado no Capítulo 2 deste livro:

(‒2) + (‒1) = ‒3

Com os números racionais não inteiros, adotamos o mesmo procedimento:

(‒2,7) + (‒1,6) = ‒4,3

Assim, a medida de temperatura na segunda noite foi de ‒4,3 graus Célsius.

Situação 2

Gilberto estuda o ecossistema marinho. Em uma de suas pesquisas, ele mergulhou a uma medida de profundidade de ‒16,5 métros, ou seja, 16,5 métros abaixo do nível do mar. Após 20 minutos, ele subiu 7,4 métros para tirar fotos de alguns peixes. A qual medida de profundidade Gilberto estava quando fotografou os peixes?

Ilustração. Homem com itens próprios para mergulho nadando no fundo do mar. Ele tira fotos de peixes. Pode-se ver alguns peixes, algas e a terra no fundo do mar.

Para responder à questão, devemos calcular:

(‒16,5) + (+7,4)

Se Gilberto estivesse à medida de profundidade de ‒16 métros e, depois, subisse 7 métros, para descobrir a medida de profundidade a que ele chegou, faríamos:

Sentença matemática. Abre parênteses, menos 16, fecha parênteses, mais, abre parênteses, mais 7, fecha parênteses, igual, menos 9. Há uma cota no sinal de menos do número 9 com o seguinte texto: sinal do número com maior valor absoluto. Há uma cota no número 9 com o seguinte texto: diferença entre os valores absolutos.

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Com os números racionais não inteiros, adotamos o mesmo procedimento usado para os números inteiros. Assim:

(‒ 16,5) + (+ 7,4) = ‒ 9,1

Portanto, Gilberto fotografou os peixes à medida de profundidade de ‒ 9,1 métros.

Situação 3

No mês passado, a conta bancária de Mariana estava com saldo negativo no valor de R$ 358,27trezentos e cinquenta e oito reais e vinte e sete centavos. Neste mês, com os juros cobrados pelo banco, sua dívida passou a ser de R$ 583,54quinhentos e oitenta e três reais e cinquenta e quatro centavos. Quantos reais a mais Mariana está devendo para o banco em relação ao mês anterior?

Para responder à questão, devemos calcular:

(‒ 583,54) ‒ (‒ 358,27)

Se estivéssemos trabalhando apenas com valores inteiros (por exemplo, 583 e 358), resolveríamos como foi explicado no Capítulo 2 deste livro:

Sentença matemática. Abre parênteses, menos 583, fecha parênteses menos, abre parênteses, menos 358, fecha parênteses, igual, abre parênteses, menos 583, fecha parênteses, mais 358, igual, menos 225.
Há uma cota saindo do número mais 358 com o texto: oposto de menos 358.

Com os números racionais não inteiros, adotamos o mesmo procedimento. Observe.

(‒ 583,54) ‒ (‒ 358,27) = ‒225,27

= (‒ 583,54) + 358,27 = ‒ 225,27

Portanto, Mariana está devendo para o banco R$ 225,27duzentos e vinte e cinco reais e vinte e sete centavos a mais que no mês anterior.

Observação

As propriedades da adição com números inteiros também são válidas para a adição com números racionais não inteiros.

pensamento computacional

Paulo está com dificuldade para adicionar números racionais na fórma de fração. Para ajudá-lo, Luana vai fazer um fluxograma usando frases e símbolos. Ajude-a copiando no caderno o fluxograma representado e substituindo cada retângulo cinza por uma das instruções a seguir.

Esquema. Fluxograma que começa no passo Início. Depois há uma seta em direção a um losango com um retângulo cinza dentro. Desse losango saem duas setas: ao lado de uma está a palavra Sim e ao lado da outra está a palavra Não. A seta com a palavra Não vai em direção a um retângulo com um retângulo cinza dentro e depois para outro retângulo também com um retângulo cinza dentro. Nesse retângulo também chega à seta que saiu do losango com a palavra Sim. Depois há uma seta em direção a um losango com um retângulo cinza dentro. Desse losango saem duas setas: ao lado de uma está a palavra Sim e ao lado da outra está a palavra Não. A seta com a palavra Não vai em direção ao passo Fim, enquanto que a seta com a palavra Sim chega em um retângulo com um retângulo cinza dentro, de onde sai outra seta que também chega no passo Fim. Os espaços cinzas são espaços destinados às respostas.

1. Para simplificar a fração, divida o numerador e o denominador por um mesmo número, diferente de 0 e 1. Se necessário, repita o procedimento até obter uma fração irredutível.

2. Encontre frações equivalente às iniciais, com um mesmo denominador.

3. Responda: Os denominadores são iguais?

4. Responda: A fração que representa a soma pode ou deve ser simplificada?

5. Adicione os numeradores e conserve os denominadores.

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Paulo gostou tanto da ideia que resolveu criar um fluxograma para outra estratégia que resolve o mesmo tipo de problema: adicionar números racionais. Nessa estratégia, ele transforma todos os números racionais na fórma de fração para a fórma decimal antes de calcular a soma. Ajude-o copiando no caderno o fluxograma representado e substituindo cada retângulo cinza por uma das instruções a seguir.

1. Transforme todos os números na fórma de fração para a fórma decimal.

2. Responda: Na adição há números na fórma de fração?

3. Realize a adição dos números decimais.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Roberto reservou

\frac{1}{5}

de seu salário para gastar com lazer e

\frac{1}{4}

para comprar roupas. Qual fração total do salário de Roberto foi reservada para gastar com lazer e roupas?

Ilustração. Imagem dividida ao meio em duas partes. Nas duas há o mesmo homem de cabelo castanho, blusa verde e calça azul. Na parte da esquerda ele passeia por um museu com obras de arte. Na parte da direita ele observa uma arara com blusas escrito, sobre a arara uma placa escrito PROMOÇÃO.

2. Adicione cada número a seu oposto e escreva uma conclusão.

Ilustração. 5 quadrinhos com os seguintes números: menos fração 1 oitavo, 2 vírgula 5, fração 5 16 avos, menos fração 20 17 avos, menos 3 vírgula 4.

3. Natália foi comprar 1,5 quilograma de feijão para sua mãe. O atendente pegou uma quantidade e a balança mediu 1,68 quilograma. Ele, então, retirou o suficiente para a balança medir 1,5 quilograma. Qual medida de massa, em quilograma, de feijão o atendente retirou?

Ilustração. Homem branco de cabelo loiro coloca feijões dentro de um saco sobre uma balança marcando 1 vírgula 68 quilograma. À frente, mulher branca de cabelo castanho e blusa verde observa.

Carla reformou o banheiro de sua casa. Para completar a reforma, ela precisou comprar alguns utensílios. Observe a lista com os preços que Carla encontrou.

Esquema. Lista com preços. Porta-xampu: 32 reais e 73 centavos. Espelho: 37 reais e 62 centavos. Assento sanitário: 49 reais e 66 centavos. Ralo: 8 reais e 51 centavos. Torneira: 39 reais e 90 centavos.

Para calcular um valor aproximado de quanto ia gastar, Carla fez o cálculo a seguir, arredondando os valores.

Esquema. 33 mais 38, mais 50, mais 8 vírgula 50, mais 40, igual, 33 mais 90, mais 46 vírgula 50, igual, 169 vírgula 50. Fio azul conectando os números 38 e 8 vírgula 50 e outro fio azul conectando os números 50 e 40.

a) De acordo com os cálculos que Carla fez, ela arredondou o valor total da compra para mais ou para menos? Justifique sua resposta.

b) Carla arredondou os valores para que todos, com exceção de 8,50, ficassem inteiros. Se arredondarmos os valores até a casa dos décimos, o resultado ficará mais próximo do total real da compra?

c) Quanto exatamente Carla gastou nessa compra?

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5. Observe o quadro, que mostra as medidas de temperatura máxima e mínima registradas em três localidades.

	Localidade A	Localidade B	Localidade C
Medida de temperatura máxima	12,4 °C	−5,1 °C	1 °C
Medida de temperatura mínima	−4,5 °C	−7,6 °C	−2,2 °C

• Agora, responda:

a) Qual é a diferença entre as medidas de temperatura máxima e mínima, nessa ordem, em cada localidade?

b) Em qual localidade a diferença de medida de temperatura foi maior?

6. Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.

a) Subtraindo-se um número do seu oposto, obtém‑se zero.

b) É possível subtrair um número racional negativo de outro racional negativo e obter um número racional positivo.

c) É possível subtrair um número racional positivo de outro número racional positivo e obter um número racional negativo.

d) Subtraindo-se um número de outro, o sinal do resultado é sempre o do número de menor módulo.

Invente um problema que possa ser resolvido por meio da seguinte adição: ‒ 55,68 + (‒ 80,00) = ‒ 135,6

3 Adição algébrica

Assim como fizemos com os números inteiros, também consideramos as operações de adição e de subtração com números racionais uma única operação, que denominamos adição algébrica.

Observe como podemos calcular as seguintes adições algébricas:

Sentença matemática. Abre parênteses, menos 0 vírgula 25, fecha parênteses, mais, abre parênteses, mais 0 vírgula 28, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 0 vírgula 45, fecha parênteses, menos, abre parênteses, mais 1 vírgula 3, fecha parênteses. Sentença matemática. Abre parênteses, menos 0 vírgula 25, fecha parênteses, mais, abre parênteses, mais 0 vírgula 28, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 0 vírgula 45, fecha parênteses, menos, abre parênteses, mais 1 vírgula 3, fecha parênteses, igual. Sentença matemática. Igual, menos 0 vírgula 25, mais 0 vírgula 28, mais 0 vírgula 45, menos 1 vírgula 3, igual. Seta indicando essa sentença com o texto ‘Eliminamos os parênteses’. Sentença matemática. Igual, 0 vírgula 03 mais 0 vírgula 45, menos 1 vírgula 3, igual, mais 0 vírgula 48, menos 1 vírgula 3, igual, menos 0 vírgula 82. Seta indicando essa sentença com o texto ‘Efetuamos as operações na ordem em que elas aparecem’. Sentença matemática. Abre parênteses, menos 0 vírgula 25, fecha parênteses, mais, abre parênteses, mais 0 vírgula 28, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 0 vírgula 45, fecha parênteses, menos, abre parênteses, mais 1 vírgula 3, fecha parênteses, igual. Sentença matemática. Abre parênteses, menos 0 vírgula 25, menos 1 vírgula 3, fecha parênteses, mais 0 vírgula 28, mais 0 vírgula 45, igual. Seta indicando essa sentença com o seguinte texto: Associamos as parcelas negativas e as parcelas positivas. Sentença matemática. Igual, menos 1 vírgula 55, mais 0 vírgula 73, igual, menos 0 vírgula 82. Seta indicando essa sentença com o texto ‘Efetuamos as operações’. Sentença matemática. Abre parênteses, menos 0 vírgula 23, mais 3, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos fração 1 quinto, mais 5, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos fração 5 meios, menos 2 vírgula 3, fecha parênteses, igual. Sentença matemática. Abre parênteses, menos 0 vírgula 23, mais 3, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos fração 0 vírgula 2, mais 5, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 2 vírgula 5, menos 2 vírgula 3, fecha parênteses, igual. Seta indicando essa sentença com o seguinte texto: Escrevemos na forma decimal os números que estão na forma fracionária. Sentença matemática. Abre parênteses, mais 2 vírgula 77, fecha parênteses, mais, abre parênteses, mais 4 vírgula 8, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 4 vírgula 8, fecha parênteses, igual. Seta indicando essa sentença com o seguinte texto: Efetuamos as operações dentro dos parênteses. Sentença matemática. Igual, mais 2 vírgula 77, mais 4 vírgula 8, mais 4 vírgula 8, igual. Seta indicando essa sentença com o seguinte texto: Eliminamos os parênteses e efetuamos as operações. Sentença matemática. Igual, mais 12 vírgula 37, igual, 12 vírgula 37.

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Desafio

Determine o valor da expressão 3c + (ei ‒ b) sabendo que

a = ‒ \frac{1}{2}

b = \frac{3}{4}

e c = 0,25.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Encontre o resultado das adições algébricas.

(‒ 0, 25) + \frac{1}{4} ‒ (0, 32 + \frac{1}{5})

\frac{3}{10} ‒ (1, 56 + \frac{4}{5}) ‒ (‒ 3, 2) + \frac{1}{10}

(‒ 0, 5 + \frac{2}{10}) ‒ (‒ 2, 36 + \frac{5}{4}) + (\frac{4}{5} + 6, 32)

‒ (‒ 0, 96 + 8, 4) + (\frac{3}{5} ‒ \frac{1}{10}) ‒ (\frac{4}{8} + 6, 1)

‒ (\frac{12}{15} ‒ 1, 85) + (0, 276 ‒ \frac{18}{12}) + (‒ 0, 398)

2. Encontre o erro, quando houver, e corrija‑o no caderno.

(‒ \frac{2}{6}) ‒ (‒ \frac{1}{6}) = ‒ \frac{1}{6}

\frac{2}{5} ‒ 0, 2 = 0, 2

\frac{2}{3} + [\frac{3}{4} + (‒ \frac{1}{6})] = \frac{4}{3}

‒ \frac{5}{4} + (‒ \frac{1}{8} + \frac{3}{2}) ‒ \frac{1}{2} = ‒ \frac{11}{8}

3. As letras a, b e c representam valores diferentes. Observe.

a = ‒ \frac{1}{2}, b = \frac{5}{3} e c = ‒ 1

Substitua os valores das letras em cada caso e calcule os resultados.

Como exemplo, observe o item a.

Ilustração. Mulher de óculos, cabelo loiro, blusa azul, jaleco e calça roxa. Está acenando com a mão direita como se estivesse explicando alguma coisa.

Quadro destacando o item a. Sentença matemática. a mais b, mais c, igual, menos fração 1 meio, mais fração 5 terços, mais, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, igual, menos fração 3 sextos, mais fração 10 sextos, menos fração 6 sextos, igual, fração 1 sexto.

b) (b + c) ‒ a

c) a + (c ‒ b)

d) [a + (‒ b + c) ‒ c]

e) ‒ a ‒ (‒ b + c)

f) ‒ a ‒ (‒ b + c) + a + b

4. Calcule e responda.

a) Qual é o número racional que adicionado a

\frac{3}{5}

tem ‒

\frac{1}{5}

como resultado?

b) Qual é o número racional que adicionado a

‒ \frac{11}{7}

resulta em

\frac{3}{14}

c) Qual é o número racional que adicionado a

\frac{2}{8}

resulta em

‒ \frac{7}{8}

d) Qual é o número racional que adicionado a

\frac{2}{6}

tem

‒ \frac{5}{6}

como resultado?

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4 Multiplicação com números racionais

Ilustração. Mulher branca de cabelo castanho, regata verde, calça azul. Ela segura uma bolsa roxa e está na frente de um balcão com uma balança marcando 1 vírgula 4 quilograma. Sobre a balança, pote com sorvete. Atrás do balcão, atendente homem branco de touca, óculos e avental.

Você já deve ter passado por situações que envolvem a multiplicação de números racionais. Observe, por exemplo, a situação a seguir.

Tatiana foi comprar sorvete de vários sabores para servir de sobremesa em um almoço com suas amigas.

Se o preço do quilograma de sorvete é R$ 15,30quinze reais e trinta centavos, quanto Tatiana pagará por 1,4 quilograma?

Temos a quantidade de sorvete que Tatiana comprou e o preço do sorvete por quilograma. Vamos, então, calcular:

(1,4) ⋅ (15,30)

Para fazer os cálculos, transformamos os números racionais em números inteiros, multiplicando-os, nesse caso, por 10.

Algoritmo da multiplicação na vertical. Primeira linha: 153. Segunda linha: sinal de multiplicação e 14. Primeiro traço. Primeira linha após o primeiro traço: 612. Segunda linha após o primeiro traço: sinal de mais e 1mil530. Segundo traço. Linha após segundo traço: 2mil142. Há a sentença matemática ‘15 vírgula 30 vezes 10’ com uma seta apontando para a primeira linha do algoritmo. Há a sentença matemática ‘1 vírgula 4 vezes 10’ apontando para a segunda linha do algoritmo.

Como cada fator foi multiplicado por 10, o resultado ficou multiplicado por 100. Para recuperar o resultado da conta original, devemos dividi-lo por 100.

.2142 : 100 = 21,42

Portanto, Tatiana pagará R$ 21,42vinte e um reais e quarenta e dois centavos por 1,4 quilograma de sorvete.

Ilustração. Mulher de óculos, cabelo loiro, blusa verde, jaleco e calça azul. Ela fala: Essa multiplicação poderia ser efetuada sem transformar os números racionais em números inteiros. Para isso, bastaria considerar no produto o total das casas decimais dos fatores. Algoritmo da multiplicação na vertical. Primeira linha: 15 vírgula 3 (uma casa decimal). Segunda linha: sinal de multiplicação e 1 vírgula 4 (uma casa decimal). Primeiro traço. Primeira linha após o primeiro traço: 612. Segunda linha após o primeiro traço: sinal de mais e 1530. Segundo traço. Linha após segundo traço: 21 vírgula 42 (duas casas decimais).

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Para determinar o sinal de um produto entre dois números racionais, vamos usar o mesmo procedimento da multiplicação de números inteiros. Observe alguns exemplos.

• Vamos calcular (+0,5) ⋅ (‒1,2).

Primeiro, calculamos o produto dos módulos dos números e, em seguida, analisamos o sinal do produto obtido.

Algoritmo da multiplicação na vertical. Primeira linha: 0 vírgula 5. Segunda linha: sinal de multiplicação e 1 vírgula 2. Primeiro traço. Primeira linha após o primeiro traço: 10. Segunda linha após o primeiro traço: sinal de mais e 050. Segundo traço. Linha após segundo traço: 0 vírgula 60. Há um seta apontando para a primeira linha com o seguinte texto: um algarismo à direita da vírgula. Há um seta apontando para a segunda linha com o seguinte texto: um algarismo à direita da vírgula. Há um seta apontando para a linha após o segundo traço com o seguinte texto: dois algarismos à direita da vírgula.

Como os dois fatores têm sinais diferentes, o produto é um número negativo. Então:

(+ 0,5) ⋅ (‒ 1,2) = ‒ 0,6

• Vamos calcular

(‒ \frac{2}{5}) \cdot (‒ \frac{5}{2})

Primeiro, calculamos o produto dos módulos dos números e, em seguida, analisamos o sinal do produto obtido.

Sentença matemática. Abre parênteses, fração dois quinto, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, fração cinco meios, fecha parênteses, igual, abre parênteses, fração dois quintos com um risco na diagonal de cada número, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, fração cinco meios com um risco na diagonal de cada número, fecha parênteses, igual, fração cujos numerador e denominador é um multiplicado por um, igual, um.

Como os fatores têm o mesmo sinal, o produto é positivo.

(‒ \frac{2}{5}) \cdot (‒ \frac{5}{2}) = 1

• Vamos calcular

(‒ 0, 2) \cdot (+ \frac{2}{3})

Primeiro, escrevemos na fórma de fração o número que está na fórma decimal, neste caso, 0,2 =

\frac{2}{10}

; depois, calculamos o produto dos módulos; por fim, analisamos o sinal do produto obtido.

Observe que os dois fatores têm sinais diferentes; logo, o produto é um número negativo. Então:

(‒ 0, 2) \cdot (+ \frac{2}{3}) = ‒ \frac{2}{15}

Para pensar

• Se 0 ⋅ 13 = 0 e 13 = 13,0, então 0 ⋅ 13,0 = 0. Mas quanto é 0 ⋅ 13,4?

• Se 0 ⋅ (‒ 8) = 0 e ‒ 8 = ‒ 8,0, então 0 ⋅ (‒ 8,0) = 0. Mas quanto é 0 ⋅ (‒ 8,6)?

Analise os questionamentos anteriores e responda: qual é o produto de um número racional por zero?

Observação

Para a multiplicação com números racionais, valem as mesmas propriedades consideradas na multiplicação com números inteiros.

Página 111

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Veja como Adriana fez o cálculo a seguir.

Quadro com sentença matemática. Abre parênteses, 1 vírgula 4, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, 9 vírgula 3, fecha parênteses, igual, fração 14 décimos, vezes, fração 93 décimos, igual, 1 mil 302 centésimos, igual, 13 vírgula 02.

• Agora, faça como Adriana e resolva a multiplicação a seguir. Escreva o resultado na fórma decimal.

(1,11) ⋅ (2,3)

2. Encontre o erro que Felipe cometeu ao fazer a multiplicação.

Ilustração. Uma mão de uma pessoa branca com um lápis verde de grafite cinza escuro, escrevendo a seguinte sentença matemática em um pedaço de papel.
Abre parênteses, menos fração 1 meio, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, mais fração cinco quartos, fecha parênteses, igual, fração com numerador abre parênteses menos 1, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, mais 5, fecha parênteses e denominador abre parênteses, menos 2, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, mais 4, fecha parênteses, igual, fração menos 5 sobre menos 8, igual, mais fração cinco oitavos

• Após detectar o erro, faça o cálculo correto no caderno.

Observe os resultados das multiplicações.

Quadro com sentença matemática. Abre parênteses, mais 0 vírgula 1, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 0 vírgula 1, fecha parênteses, igual, menos 0 vírgula 01.Quadro com sentença matemática. Abre parênteses, menos 0 vírgula 3, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 0 vírgula 3, fecha parênteses, igual, mais 0 vírgula 09.Quadro com sentença matemática. Abre parênteses, menos 0 vírgula 3, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 0 vírgula 3, fecha parênteses, igual, mais 0 vírgula 09.

Agora, calcule mentalmente o resultado das multiplicações a seguir e converse com um colega sobre como cada um pensou para resolvê-las.

a) (‒ 0,3) ⋅ (+ 0,1)

b) (‒ 0,1) ⋅ (+ 0,2)

c) (‒ 0,1) ⋅ (‒ 0,4)

d) (‒ 0,3) ⋅ (‒ 0,4)

4. Calcule o resultado das multiplicações.

(‒ \frac{8}{9}) \cdot (+ \frac{4}{3})

b) (‒ 2,25) ⋅ (‒ 1,4)

(‒ 0, 23) \cdot (+ \frac{1}{5})

(+ \frac{12}{15})

⋅

(‒ \frac{3}{7})

e) (+ 0,2) ⋅

(‒ \frac{1}{4})

f ) (+10,5) ⋅ (‒ 8,4)

(‒ \frac{23}{4})

⋅

(‒ \frac{1}{7})

h) (‒ 0,12) ⋅

(‒ \frac{1}{10})

5. Caio comprou um par de chinelos e pagou a prazo, em duas parcelas. Observe os extratos de sua conta bancária:

Ilustração. Banco S barra inclinada A hífen Extrato bancário. Agência 007 hífen C barra inclinada C 012345 hífen 6. Data: 20 de março de 2023. HORA: 13 horas 44 minutos e 1 segundo. Data: 15 de março. Histórico: Supermercado. Valor 36 reais (sinal de negativo). Data: 16 março. Histórico: Chinelo. Valor 17 reais e 50 centavos (sinal de negativo). Ilustração. Banco S barra inclinada A hífen Extrato bancário. Agência 007 hífen C barra inclinada C 012345 hífen 6. Data: 24 de abril de 2023. HORA: 15 horas 19 minutos e 10 segundos. Data: 11 de abril. Histórico: depósito. Valor 100 reais (sinal de positivo). Data: 16 de abril. Histórico: chinelo. Valor 17 reais e 50 centavos (sinal de negativo).

• Se Caio tivesse comprado o par de chinelos à vista, ou seja, se tivesse pagado o valor total no ato da compra, qual seria o valor dessa compra apresentado no extrato do mês de março? Que operação você efetuou para obter a resposta?

6. Priscila queria comprar uma caixa de som bluetooth. Durante a pesquisa de preços que realizou, ela encontrou as ofertas a seguir.

Ilustração. Quadro com seguinte texto: Loja A. 3 vezes 57 reais e 95 centavos. Ilustração. Quadro com seguinte texto: Loja B. 6 vezes de 29 reais e 83 centavos.

• Em que loja Priscila pagaria mais caro pela caixa de som?

7. Responda às questões.

a) Qual é o dobro de 0,25?

b) Qual é o triplo de

\frac{3}{4}

c) Qual é o quádruplo de ‒1,2?

d) Qual é o quíntuplo de

‒ \frac{7}{8}

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8. Sandra quer trocar o piso da sala de sua casa, que tem formato retangular, com medidas iguais a 5,5 métros de comprimento e 4,7 métros de largura.

Ilustração. Mulher de cabelo preto, blusa lilás e saia vermelha. Ela está em pé com um caderno nas mãos em um cômodo com quadros nas paredes e vasos de flor na janela e no chão. O chão é formado por pisos de formato retangular.

a) Qual é a medida da área do piso, em metro quadrado, que ela precisará comprar?

b) Se o preço por metro quadrado do piso que ela quer é R$ 19,20dezenove reais e vinte centavos, quanto Sandra vai gastar com o piso?

Elabore um problema com base na multiplicação a seguir. Em seguida, entregue-o a um colega para que ele o resolva.

5 ⋅ (‒ 2,47) = ‒ 12,35

10.

Quanto representa

\frac{1}{2} de \frac{1}{3} de \frac{1}{4}

de uma barra de chocolate?

11.

A tecla do sinal de divisão da calculadora de Guilherme está quebrada, e ele precisa calcular a metade de 0,34. Que teclas da calculadora Guilherme poderá apertar para fazer esse cálculo?

5 Divisão com números racionais

Cíntia está trocando parte da fiação elétrica de sua casa. Para isso, comprou um fio que media 8 métros de comprimento e pagou R$ 23,20vinte e três reais e vinte centavos.

Fotografia. Carreteis de fios coloridos (vermelho, azul, amarelo e preto) lado a lado. — Carretéis de fios.

Após uma semana, ela percebeu que precisava de mais 0,5 métro de comprimento desse mesmo fio. Sabendo que o preço do fio não mudou, quanto Cíntia pagará por 0,5 métro de comprimento de fio?

Observe como Cíntia resolveu o problema.

Primeiro, ela calculou o preço por metro de fio:

Sentença matemática. Abre parênteses, 23 vírgula 20, fecha parênteses, dividido, abre parênteses, 8, fecha parênteses, igual, 2mil320, dividido, 800. Seta saindo do número 23 vírgula 20 e chegando no número 2mil320 com a indicação de que foi multiplicado por 100. Seta saindo do número 8 e chegando no número 800 com a indicação de que foi multiplicado por 100. Algoritmo da divisão. À esquerda da chave: símbolos indicativos das ordens unidade de milhar (M), centena, (C), dezena (D) e unidade (U) sobre o número 2mil320. Dentro da chave: 800. Abaixo de 2mil320: sinal de menos e 1mil600. Traço abaixo de 1mil600 e após o traço: 7mil200. Em seguida, sinal de menos e 7mil200. Traço abaixo e 0. Abaixo da chave, quociente: U: 2, d: 9.

Como o fio que Cíntia vai comprar mede 0,5 métro de comprimento, ou seja,

\frac{1}{2}

métro, ela dividiu o preço do metro por 2.

Sentença matemática. Abre parênteses, 2 vírgula 9, fecha parênteses, dividido, abre parênteses, 2, fecha parênteses, igual, 29, dividido, 20. Seta saindo do número 2 vírgula 9 e chegando no número 29 com a indicação de que foi multiplicado por 10. Seta saindo do número 2 e chegando no número 20 com a indicação de que foi multiplicado por 10.Algoritmo da divisão. À esquerda da chave: 29. Dentro da chave: 20. Abaixo de 29: sinal de menos e o número 20. Traço abaixo do número e abaixo do traço, o número 90. Abaixo de 90, sinal de menos e o número 80. Traço abaixo de 80 e o número 100. Abaixo de 100, sinal de menos e e o número 100. Abaixo de 100 o número 0. Abaixo da chave, quociente: U: 1, d: 4, C: 5.

Portanto, Cíntia pagará R$ 1,45um reais e quarenta e cinco centavos por 0,5 métro de comprimento de fio.

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Note que Cíntia multiplicou o dividendo e o divisor por um múltiplo de 10 para transformá-los em números inteiros. Além disso, como ambos são números positivos, o quociente também é positivo.

Observação

Se o dividendo e o divisor de uma divisão forem multiplicados por um mesmo número diferente de zero, a nova divisão terá o mesmo quociente.

Para analisar

Cíntia foi comprar o pedaço de fio que estava faltando. Então, para calcular o valor que ela pagaria por 0,5 métro de comprimento de fio, o vendedor pensou da seguinte maneira:

a) Escreva detalhadamente, no caderno, os cálculos que o vendedor fez.

b) Qual é a diferença entre o jeito de pensar de Cíntia e o do vendedor?

Para determinar o sinal de um quociente entre dois números racionais, vamos usar o mesmo procedimento que utilizamos na divisão com números inteiros. Acompanhe os exemplos a seguir.

• Vamos calcular (‒ 1,55) : (+ 0,25).

Primeiro, multiplicamos o dividendo e o divisor por 100, a fim de transformá-los em números inteiros:

Sentença matemática. Abre parênteses, menos 1 vírgula 55, fecha parênteses, dividido, abre parênteses, mais 0 vírgula 25, fecha parênteses, igual, abre parênteses, menos 155, fecha parênteses, dividido, abre parênteses, mais 25, fecha parênteses. Seta saindo do número menos 1 vírgula 55 e chegando no número menos 155 com a indicação de que foi multiplicado por 100. Seta saindo do número mais 0 vírgula 25 e chegando no número mais 25 com a indicação de que foi multiplicado por 100.

Depois, calculamos o quociente dos módulos:

Algoritmo da divisão. À esquerda da chave: 155. Dentro da chave: 25. Abaixo de 155: sinal de menos e número 150. Abaixo de 150: traço. Abaixo do traço: 50. Abaixo de 50: sinal de menos e 50. Abaixo de 50: traço. Abaixo do traço: 0. Abaixo da chave: 6 vírgula 2.

Como o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número negativo. Observe.

(‒ 1,55) : (+ 0,25) = ‒ 6,2

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Observação

Quando multiplicamos um número decimal por 10, por 100 ou por .1000, deslocamos a vírgula, respectivamente, uma, duas ou três casas para a direita.

• Vamos calcular

(‒ \frac{1}{2}) : (‒ \frac{3}{4})

Inicialmente, calculamos o quociente dos módulos, lembrando que na divisão de frações multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda.

Sentença matemática. Fração 1 meio, dividido, fração 3 quartos, igual, fração 1 meio com traço cortando o número 2 e substituindo-o pelo número 1, vezes, fração 4 terços com traço cortando o número 4 e substituindo-o pelo número 2, igual, fração 1 sobre 1, vezes, fração 2 terços, igual fração com numerador 1 vezes 1 e denominador 1 vezes 3, igual, fração 2 terços. Seta saindo da fração 3 quartos e chegando na fração 4 terços para indicar que a fração 3 quartos é o inverso da fração 4 terços.

Como o dividendo e o divisor têm sinais iguais, o quociente é um número positivo.

(‒ \frac{1}{2}) : (‒ \frac{3}{4}) = + \frac{2}{3}

Recorde

Dois números não nulos são inversos quando seu produto é igual a 1. Para obter o inverso de uma fração, invertemos o numerador e o denominador.

• O inverso de ‒

\frac{6}{10}

é ‒

\frac{10}{6}

, pois

(‒ \frac{6}{10})

⋅

(‒ \frac{10}{6})

= 1.

• Como (+ 0,125) ⋅ (+ 8) = 1, + 8 é o inverso de + 0,125.

Para pensar

a) Qual é o único número racional que não tem inverso?

b) Por que dois números inversos sempre têm o mesmo sinal?

• Vamos calcular

(‒ \frac{3}{7}) : (+ 0, 4)

Calculamos o quociente dos módulos, escrevendo na fórma de fração o número que está na fórma decimal.

Sentença matemática. Fração 3 sétimos, dividido, abre parênteses, 0 vírgula 4, fecha parênteses, igual, fração 3 sétimos, dividido, fração 4 décimos, igual, fração 3 sétimos, vezes, fração 10 quartos com traço nos dois números indicando que o número 10 foi trocado por 5 e o número 4 por 2, igual, fração 3 sétimos, vezes, fração 5 meios, igual, fração de numerador 3 vezes 5 e denominador 7 vezes 2, igual, fração 15 14 avos. Seta saindo de 0,4 e chegando na fração 4 décimos para indicar que fração 4 décimos é a escrita em forma de fração de 0 vírgula 4. Seta saindo da fração 4 décimos e chegando na fração 10 quartos para indicar que são inversas.

Como o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número negativo.

(‒ \frac{3}{7}) : (+ 0, 4) = ‒ \frac{15}{14}

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Calcule o quociente das divisões.

(‒ \frac{2}{3}) : (+ \frac{10}{21})

b) (‒1,5) : (‒ 0,4)

(+ \frac{6}{7}) : (‒ \frac{3}{2})

(+ 0, 75) : (‒ \frac{5}{4})

e) (‒3) : (+ 1,5)

f )

(‒ \frac{7}{5}) : (+ 2, 1)

(\frac{8}{3}) : (- 3, 5)

(‒ 6, 3) : (‒ \frac{3}{5})

2. Identifique as igualdades falsas e corrija-as no caderno.

(- \frac{5}{3}) : (‒ \frac{3}{5}) = 1

b) (+ 0,1) : (‒ 0,01) = ‒10

c) (‒ 1,3) : (+ 0,2) = ‒ 6,5

(+ \frac{7}{4}) : (‒ 0, 5) = \frac{7}{2}

3. Fabiano precisou fazer uma pesquisa para o seu trabalho da faculdade. Para isso, foi a uma loja da qual poderia acessar a internet. Ao sair, pagou R$ 8,75oito reais e setenta e cinco centavos pelas 3,5 horas de pesquisa. Quanto Fabiano pagou por hora de uso da internet?

Ilustração. Homem sentado em uma bancada com duas divisórias, ele está de frente para um computador. Ao lado, dois lugares vazios.

Responda às questões fazendo cálculos ou estimativas mentais. Depois, escreva as respostas no caderno.

a) (+ 0,001) ⋅ (+ 0,2) é menor que (‒ 5) ⋅ (+ 0,5)?

(‒ \frac{1}{2}) : 2

é maior que (‒ 0,25) ⋅ (‒ 0,5)?

c) 3 ⋅ (‒ 1) é maior que (0,3) ⋅ (‒ 5)?

d) 10% de 2 está entre 1 e 2 ou entre 0 e 1?

e) 25% de 0,4 é igual a 10% de 1?

5. Na semana passada, Gisele colocou 39,1 litros de combustível em seu carro, pagando R$ 4,08quatro reais e oito centavos por litro. Nesta semana, houve um aumento, e o litro desse combustível passou a custar R$ 4,11quatro reais e onze centavos no mesmo posto.

a) Colocando a mesma quantidade de combustível da semana passada, quanto Gisele gastará a mais nesta semana?

b) Se quiser gastar a mesma quantia que gastou na semana passada, quantos litros de combustível Gisele poderá colocar em seu carro?

c) Se Gisele pedir ao frentista, nesta semana, que coloque combustível em seu carro até inteirar R$ 20,00vinte reais, quantos litros serão colocados?

6. Copie e complete em seu caderno o problema a seguir, sabendo que ele pode ser resolvido por meio da seguinte divisão: (‒ 175,92) : 3 = ‒ 58,64

7. Observe como Talita usou o raciocínio da operação inversa para verificar se está correta a seguinte divisão:

(‒ 3,48) : (‒ 0,8) = + 4,35

Ilustração. Menina de cabelo castanho. Tiara verde, blusa rosa e saia listrada. Ela fala: Multipliquei o quociente pelo divisor: abre parênteses, mais 4 vírgula 35, fecha parênteses, dividido, abre parênteses, menos 0 vírgula 8, fecha parênteses, igual, menos 3 vírgula 48. Como o resultado que encontrei é igual ao dividendo, concluí que a divisão está correta.

• Agora é a sua vez! Verifique se as divisões a seguir estão corretas. Depois, corrija as que não estiverem.

a) 4,22 : 0,5 = 8,44

b) (‒ 6,825) : (+2,1) = ‒2,25

(+ \frac{1}{5})

: (‒ 0,6) = ‒3

d) (‒ 7,95) :

(‒ \frac{5}{6})

= 9,54

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Educação Financeira

faça as atividades no caderno

Pagar com cartão...

Ilustração em 3 quadros apresenta a filha, menina de cabelo castanho, blusa amarela e short azul. Ao lado, mãe, mulher de cabelo castanho e vestido verde. Elas estão na entrada de uma loja com toldo vermelho. Acima, a informação: Bolsas e Mochilas. À esquerda, arara com bolsas penduradas. Quadro 1. A filha fala: Nossa, mãe, quantas mochilas bacanas! A mãe diz: Outra mochila? Você já tem três, não precisa de uma nova! Além disso, não tenho dinheiro. A filha continua: Mas, mãe, é só pagar com o cartão. A mãe responde: Como assim? Você acha que comprar no cartão nos tira a responsabilidade de pagar?

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O que você faria?

Imagine que você já seja adulto, tenha seu emprego e receba um salário fixo por mês. E, claro, tenha despesas mensais fixas e outras variáveis. Você não tem dinheiro no momento, mas tem um cartão de crédito.

O que você faria: compraria outra mochila para sua filha no cartão de crédito?

Forme com os colegas dois grupos na sala: um que compraria e outro que não compraria a mochila.

Discutam as vantagens e as desvantagens de comprar a mochila e depois façam uma lista dos argumentos para realizar ou não a compra.

Calcule

Observe a fatura do cartão de crédito de Isabela e responda às questões.

Ilustração. Fatura do cartão de crédito. BANCO REI. Titular: Isabela da Silva. Cartão: 99999999999. Vencimento: 05 de junho de 2024. Pagamento total: 546 reais e 99 centavos. Pagamento mínimo: 82 reais e 5 centavos. Parcelamento: 2 vezes 92 reais e 8 centavos. Lançamentos detalhados. Data: 4 de maio. Estabelecimento: Casa Nordeste. Valor em 130 reais e 99 centavos. Data: 12 de maio. Estabelecimento: Supermercado H. Valor em 41 reais e 50 centavos. Data: 25 de maio. Estabelecimento: Casa do Celular. Valor em 250 reais e 50 centavos. Data: 26 de maio. Estabelecimento: Supermercado H. Valor em 124 reais.

a) Na fatura, aparece uma opção de parcelamento em 12 vezes. Qual será o valor total pago se Isabela optar por parcelar essa fatura? Esse valor corresponde a mais ou a menos que o dobro do valor total da fatura?

b) Qual será o custo adicional que Isabela terá ao não pagar a fatura total, parcelando-a em 12 vezes?

Reflita

Converse com alguns familiares e depois discuta com os colegas as questões a seguir.

a) O cartão de crédito é uma boa alternativa para comprar algo quando não se tem dinheiro no momento?

b) Que cuidados devemos ter ao usar um cartão de crédito?

c) Por que algumas pessoas falam que pagar no cartão pode ter um efeito “bola de neve”?

d) No pagamento com cartão de débito isso também acontece?

e) Você acha que, quando compram no cartão, as pessoas tendem a gastar mais do que se comprassem com dinheiro? Por quê?

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6 Potenciação de números racionais

Potenciação com número racional na base e número inteiro não negativo no expoente

Observe a seguinte situação.

Gabriel levava uma vida sedentária, ou seja, não fazia nenhuma atividade física. Para mudar isso, ele resolveu começar a caminhar no parque perto de sua casa. Com a ajuda de um profissional, montou um programa de condicionamento físico. Na primeira semana, Gabriel caminhará uma volta e meia na pista de corrida do parque e, nas semanas seguintes, caminhará 1,5 vez o número de voltas da semana anterior. Mantendo esse ritmo, quantas voltas inteiras Gabriel dará na 4ª semana?

Ilustração. Caminho circular. Sobre ele há uma silhueta de uma pessoa caminhando e duas setas circulares sobre o caminho na mesma direção em que a pessoa caminha. Ilustração. Caminho circular inclinado. Sobre ele há uma silhueta de uma pessoa sentada como se estivesse pensando e um ponto de interrogação no centro.

Para resolver essa questão, podemos usar multiplicações de fatores iguais ou a operação de potenciação. Observe, no quadro a seguir, o cálculo de quanto Gabriel percorrerá em cada uma das quatro primeiras semanas.

Logo, na 4ª semana, Gabriel dará 5 voltas inteiras.

Como você observou, o cálculo das potências com números racionais, seja na fórma decimal, seja na fórma de fração, é realizado de modo parecido ao das potências com números inteiros.

Para todo número racional a e número inteiro n, sendo n > 1, definimos:

Esquema. a elevado a n, igual, a vezes a, vezes a, reticências, a. a: base; n: expoente; 'a vezes a vezes a ... a': n fatores.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Exemplos

•

{(\frac{5}{2})}^{4} = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{625}{16}

•

{(‒ \frac{2}{3})}^{2} = (‒ \frac{2}{3}) \cdot (‒ \frac{2}{3}) = + (\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3}) = + \frac{4}{9}

• (3,2)2 = 3,2 ⋅ 3,2 = 10,24

• (‒1,2)3 = (‒1,2) ⋅ (‒1,2) ⋅ (‒1,2) = ‒1,728

Além disso, definimos:

• Toda potência de expoente 1 que tem como base um número racional é igual à própria base, ou seja, sendo a um número racional, a 1 = a.

• Toda potência de expoente zero que tem como base um número racional não nulo é igual a 1, ou seja, sendo a um número racional diferente de zero, a 0 = 1.

Exemplos

•

{(‒ \frac{15}{4})}^{0} = 1

• (0,2)0 = 1

•

{(\frac{2}{3})}^{1} = \frac{2}{3}

• (‒ 5,8)1 = ‒ 5,8

Potenciação com número racional na base e número inteiro negativo no expoente

Suzana estava fazendo a lição de Matemática e, quando surgia alguma dúvida, perguntava a seu irmão mais velho, Mauro. Observe a seguir as dúvidas de Suzana.

Ilustração. À esquerda, menina branca de cabelo castanho preso e blusa lilás. Ela pergunta: qual é o valor de 3 elevado a menos 1? E de 3 elevado a menos 2. Ao lado, rapaz branco de cabelo preto e blusa vermelha. Ambos estão sentados um ao lado do outro ao redor da mesa e estão escrevendo cada um em um caderno. Parecem estar em uma sala onde as paredes são azuis e há uma fotografia de uma pessoa na parede. No teto, sobre a mesa, há uma luminária com uma lâmpada acesa.

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Para ajudar a irmã, Mauro escreveu esta sequência:

Esquema. Quadro com duas linhas e 7 colunas. Cada célula da primeira linha contém os seguintes termos: n, 4, 3, 2, 1, 0, menos 1 e menos 2. Cada célula da segunda linha contém os seguintes termos: 3 elevado a n, 81, 27, 9, 3, 1, ponto de interrogação e ponto de interrogação. Sobre a primeira linha há a indicação com uma seta, a partir do termo 4, de que o próximo termo é igual ao termo anterior menos 1. Abaixo da segunda linha há a indicação com uma seta, a partir do termo 81, de que o próximo termo é igual ao termo anterior dividido por 3. No termo ‘menos 1’ da primeira linha há uma seta apontando para a seguinte sentença matemática: 3 elevado a menos 1, igual, 1 dividido por 3, igual, fração 1 terço, igual, fração numerador 1 e denominador 3 elevado a 1, igual, abre parênteses, fração 1 terço, fecha parênteses, elevado a 1. No último termo ‘ponto de interrogação’ da segunda linha há uma seta apontando para a seguinte sentença matemática: 3 elevado a menos 2, igual, fração 1 terço dividido por 3, igual, fração 1 terço vezes fração 1 terço, igual, fração 1 nono, igual, fração numerador 1 e denominador 3 elevado ao quadrado, igual, abre parênteses, fração 1 terço, fecha parênteses, elevado ao quadrado.

Suzana observou a sequência e chegou à seguinte conclusão:

Quadro com sentenças matemáticas. 3 elevado a menos 1, igual, fração 1 terço. E 3 elevado a menos 2, igual, fração 1 nono.

Para calcular

Qual é o valor de 3 ‒ 3? E de 3 ‒ 4?

Após tirar sua dúvida, Suzana calculou o valor de

{(\frac{3}{4})}^{- 1}

e de

{(\frac{3}{4})}^{- 2}

Primeiro, ela observou esta sequência:

Esquema. Quadro com 2 linhas e 6 colunas. Cada célula da primeira linha contém os seguintes termos: n, 2, 1, zero, menos 1, menos 2. Cada célula da segunda linha contém as seguintes sentenças matemáticas: abre parênteses, fração 3 quartos, fecha parênteses, elevado a n; fração 3 quartos vezes fração 3 quartos, igual, fração 9 16 avos; fração 3 quartos; 1; 1 dividido, fração 3 quartos, igual, fração 4 terços, igual, abre parênteses, fração 4 terços, fecha parênteses, elevado a 1; fração 4 terços, dividido, fração 3 quartos, igual, fração 16 nonos, igual, abre parênteses, fração 4 terços, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Sobre cada termo da primeira linha, a partir do segundo termo, há uma seta indicando que o próximo termo é obtido subtraindo 1 do termo anterior. Sobre cada termo da segunda linha, a partir do segundo termo, há uma seta indicando que cada termo é obtido dividindo o termo anterior por fração 3 quartos.

Depois, concluiu que:

Quadro com sentenças matemáticas. Abre parênteses, fração 3 quartos, fecha parênteses, elevado a menos 1, igual, abre parênteses, fração 4 terços, fecha parênteses, elevado a 1. E, abre parênteses, fração 3 quartos, fecha parênteses, elevado a menos dois, igual, abre parênteses, fração 4 terços, fecha parênteses, elevado a 2.

Para todo número racional a, com a ≠ 0, definimos:

a ‒ n =

\frac{1}{a^{n}} = {(\frac{1}{a})}^{n}

, em que n é um número natural e

\frac{1}{a}

é o inverso de a.

Exemplos

•

{(\frac{1}{5})}^{‒ 1} = {(\frac{5}{1})}^{1} = 5^{1} = 5

•

{(‒ \frac{2}{3})}^{‒ 2} = {(‒ \frac{3}{2})}^{2} = (‒ \frac{3}{2}) \cdot (‒ \frac{3}{2}) = + \frac{9}{4}

•

{(‒ 3, 5)}^{‒ 3} = {(‒ \frac{7}{2})}^{‒ 3} = {(‒ \frac{2}{7})}^{3} = (‒ \frac{2}{7}) \cdot (‒ \frac{2}{7}) \cdot (‒ \frac{2}{7}) = ‒ \frac{8}{343}

Para pensar

Sendo a um número não nulo, expresse de outra fórma as seguintes potências: a ^‒1, a ^‒5 e a ^‒ 15. Como poderíamos escrever a ^‒n?

Página 121

Propriedades

As propriedades da potenciação com números inteiros também valem quando a base é um número racional diferente de zero e seus expoentes são números inteiros.

Produto de potências de mesma base

Para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e adicionamos os expoentes. Então, se a é um número racional diferente de zero e m e n, números inteiros, temos: am ⋅ an = am + n

Lembre-se: Escreva no caderno!

Exemplos

• (‒1,9)3 ⋅ (‒1,9) ^‒1 = (‒1,9)3 ⁺ (^‒1) = (‒1,9)2

•

{(\frac{1}{3})}^{‒ 2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{5} \cdot {(\frac{1}{3})}^{‒ 4} = {(\frac{1}{3})}^{‒ 2 + 5 + (‒ 4)} = {(\frac{1}{3})}^{‒ 1}

• (5,4)2 ⋅ (5,4)3 ⋅ (5,4) ^‒ 6 = (5,4)2 ⁺ 3 ⁺ (^‒ 6) = (5,4) ^‒1

Quociente de potências de mesma base

Para dividir qualquer potência por outra de mesma base não nula, conservamos a base e subtraímos os expoentes. Assim, se a é um número racional diferente de zero; e m e n, números inteiros, temos: a^m : aⁿ = a^m^‒ⁿ

Exemplos

• (4,6) ^‒ 2 : (4,6) 3 = (4,6) ^‒ 2 ^‒ (⁺3) = (4,6) ^‒ 5

•

{(‒ \frac{6}{7})}^{‒ 8} : {(‒ \frac{6}{7})}^{‒ 3} = {(‒ \frac{6}{7})}^{‒ 8 ‒ (‒ 3)} = {(‒ \frac{6}{7})}^{‒ 5}

• (2,8)2 : (2,8) ^‒ 4 = (2,8)2 ^‒ (^‒ 4) = (2,8)6

Potência de potência

Para elevar uma potência a um expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. Assim, se a é um número racional diferente de zero; e m e n, números inteiros, temos: (a^m)ⁿ = a^m^⋅ⁿ

Exemplos

Abre colchetes, abre parênteses, 3 vírgula 7, fecha parênteses, elevado a menos 2, fecha colchetes, elevado a 3, igual, abre parênteses, 3 vírgula 7, fecha parênteses, elevado a, começo do expoente, abre parênteses, menos 2, fecha parênteses, vezes 3, fim do expoente, igual, 3 vírgula 7 elevado a menos 6. Sentença matemática. Abre colchetes, abre parênteses, menos fração 2 quintos, fecha parênteses, elevado a 4, fecha colchetes, elevado a menos 6, igual, abre parênteses, menos fração 2 quintos, fecha parênteses, elevado a, começo do expoente, 4 vezes, abre parênteses, menos 6, fecha parênteses, fim do expoente, igual, abre parênteses, menos fração 2 quintos, fecha parênteses, elevado a menos 24.Sentença matemática. Abre colchete, abre parênteses, 8,3, fecha parênteses, elevado ao quadrado, fecha colchetes, elevado a 4, igual, abre parênteses, 8,3, fecha parênteses, elevado a, começo do expoente, 2 vezes 4, fim do expoente, igual, 8,3 elevado a 8.

Potência de um produto

Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator a esse expoente. Portanto, se aêbê são números racionais diferentes de zero, e m é um número inteiro, temos: (a ⋅ b)^m = a^m ⋅ b^m

Página 122

Lembre-se: Escreva no caderno!

Exemplos

•

{[0, 4 \cdot (‒ \frac{1}{5})]}^{‒ 1} = {(0, 4)}^{‒ 1} \cdot {(‒ \frac{1}{5})}^{‒ 1} =

= {(\frac{4}{10})}^{‒ 1} \cdot {(‒ \frac{1}{5})}^{‒ 1} = (\frac{10}{4}) \cdot (‒ 5) = ‒ \frac{50}{4} = ‒ \frac{25}{2}

• (0,5 ⋅ 2) ^‒2 = (0,5) ^‒2 ⋅ (2)^‒2 =

{(\frac{1}{2})}^{‒ 2}

⋅ (2) ^‒ 2 = 22 ⋅ 2 ^‒2 = 22 ⁺ (^‒2) = 20 = 1

Potência de um quociente

Para elevar um quociente a um expoente, elevamos o dividendo e o divisor a esse expoente. Portanto, se a e b são números racionais diferentes de zero, e m é um número inteiro, temos:

{(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}

Exemplos

•

{[5 : (\frac{1}{2})]}^{‒ 3} = {(5)}^{‒ 3} : {(\frac{1}{2})}^{‒ 3} = 0, 008 : 8 = 0, 001

• [(‒2,7) : (1,8)]2 = (‒2,7)2 : (1,8)2 = 7,29 : 3,24 = 2,25

Para pensar

Se a base de uma potência é um número racional maior que zero e menor que 1, e o expoente é 3, o valor dessa potência é um número maior ou menor que 1? Dê um exemplo.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Copie e complete as sentenças no caderno.

{(\frac{5}{2})}^{3} \cdot {(\frac{5}{2})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{3 + 2} = {(\frac{5}{2})}^{5} =

◼

b) (0,8)5 : (0,8)3 = ◼ = ◼ = ◼

c) [(3,2)2]2 = ◼ = ◼ = ◼

{(\frac{3}{7})}^{1} \cdot {(\frac{3}{7})}^{4} =

◼ = ◼ = ◼

{(\frac{3}{10})}^{7} : {(\frac{3}{10})}^{2} =

◼ = ◼ = ◼

2. Calcule as potências de base negativa.

{(‒ \frac{1}{2})}^{2}

{(‒ \frac{1}{3})}^{3}

{(‒ \frac{1}{2})}^{4}

{(‒ \frac{1}{2})}^{5}

•

Reúna-se com os colegas e pensem em outras potências de base racional negativa e expoente inteiro positivo. Em seguida, respondam: em relação ao sinal do resultado da potência de base negativa, o que sugerem os cálculos que vocês fizeram?

3. Carina estava estudando Biologia e descobriu que as bactérias podem se reproduzir com muita rapidez, dando origem a um número grande de descendentes. Em alguns casos, cada bactéria se divide em duas outras bactérias geneticamente iguais. Supondo que uma colônia, iniciada por uma bactéria, dobre seu número a cada 10 minutos, quantas bactérias existirão após uma hora e 20 minutos?

Fotografia. Bactérias em formato cilíndrico de cor alaranjada. O fundo é escuro. — Bactéria Shigella ésse pê colorizada artificialmente. Imagem ampliada cérca de 10.000 vezes.

Página 123

4. Murilo queria juntar dinheiro, e, para isso, fez um plano de economia. No primeiro dia, guardou R$ 0,50zero reais e cinquenta centavos em seu cofrinho e, nos dias seguintes, depositou o triplo da quantia que havia depositado no dia anterior. Quanto Murilo depositou no 7º dia?

5. Corrija no caderno a sentença errada.

{(\frac{4}{3})}^{‒ 2} = {(\frac{3}{4})}^{2}

{(\frac{3^{2}}{2^{2}})}^{‒ 1} = \frac{9}{4}

Qual deve ser o expoente x da potência para que a igualdade seja verdadeira?

{(\frac{6}{5})}^{x} = (\frac{25}{36})

7. Observe o diálogo.

Ilustração. Rapaz de cabelo preto, óculos, blusa azul e calça laranja. Ele fala: Fábia, vamos ver se você sabe essa! Para quais valores inteiros de k a expressão "abre parênteses, menos 15, fecha parênteses, elevado a menos 2k é negativa? Ao lado, menina de cabelo castanho, blusa verde e calça azul. Ela diz: Apenas para números ímpares!

• Agora, responda: você concorda com a resposta de Fábia? Justifique sua resposta.

7 Raiz quadrada

Acompanhe a situação a seguir.

Sílvia comprou um terreno quadrado que tem 72,25 metros quadrados de medida de área para construir uma casa.

Que cálculo ela pode fazer para descobrir a medida de comprimento do lado desse terreno?

Considerando x a medida de comprimento do lado, temos:

Figura geométrica. Quadrado com lados medindo x.
Sentença matemática.
Medida da área, igual, x vezes x
75 vírgula 25, igual, x vezes x
75 vírgula 25, igual, x ao quadrado.

O número x, positivo, que elevado ao quadrado resulta em 72,25, é a raiz quadrada de 72,25. Sílvia sabe que esse número é maior que 8, pois 82 = 64, e menor que 9, pois 92 = 81. Por tentativa, é possível que Sílvia determine o produto:

8,5 ⋅ 8,5 = 72,25

Então,

\sqrt{72, 25}

= 8,5, ou seja, a medida de comprimento do lado do terreno é 8,5 métros.

A raiz quadrada de um número racional a é um número não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em a.

Para pensar

A medida de comprimento do lado de cada quadrado de contorno roxo pode ser associada a que raiz quadrada?

Figura geométrica. Malha quadriculada com 4 quadrados. a) quadrado ocupando 1 quadradinho, ou seja, com lados medindo 1 quadradinho, ou seja, com lados medindo 2 quadradinhos. b) quadrado ocupando 4 quadradinhos. c) quadrado ocupando 9 quadradinhos, ou seja, com lados medindo 3 quadradinhos. d) quadrado ocupando 25 quadradinhos, ou seja, com lados medindo 5 quadradinhos.

Página 124

Agora, vamos examinar a raiz quadrada de 0,36.

Há dois números racionais que, elevados ao quadrado, resultam em 0,36:

(+ 0,6)2 = 0,36 e (‒ 0,6)2 = 0,36

Mas, pela definição, a raiz quadrada deve ser um número não negativo; portanto:

\sqrt{0, 36}

= + 0,6. Ou seja, a raiz quadrada é única.

Para que a raiz quadrada de um número racional a tenha como resultado um número racional, é preciso que a seja um racional quadrado perfeito, isto é, um racional que possa ser escrito como potência de base racional e expoente 2.

Exemplos

•

\sqrt{\frac{1}{4}}

é um número racional, porque

\frac{1}{4}

é um número racional quadrado perfeito, já que podemos escrever:

\frac{1}{4} = {(\frac{1}{2})}^{2}

•

\sqrt{1, 21}

é um número racional, porque 1,21 é um número racional quadrado perfeito, já que podemos escrever: 1,21 = 1,12

Observações

•

\sqrt{0, 3}

não é um número racional, porque 0,3 não é número racional quadrado perfeito.

•

\sqrt{‒ 0, 25}

não é um número racional, porque não existe um número racional que, elevado ao expoente 2, resulte em um número negativo.

8 Expressões numéricas

Na gincana de Matemática do 7º ano, Paula e Neto resolveram de maneiras diferentes a expressão

{(‒ \frac{1}{5})}^{4} : {(‒ \frac{1}{5})}^{2} ‒ 4^{‒ 1} \cdot \sqrt{0, 25}

Observe os cálculos que cada um fez.

Paula preferiu calcular com frações.

<descrição>
Quadro com sentença matemática. Abre parênteses, menos fração 1 quinto, fecha parênteses, elevado a quatro, dividido, abre parênteses menos fração 1 quinto, fecha parênteses, elevado ao quadrado, menos 4 elevado a menos 1, vezes, raiz quadrada de 0 vírgula 25, igual, abre parênteses, menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado a quatro, dividido, abre parênteses, menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado, menos, fração 1 quarto, vezes, 0 vírgula 5, igual, abre parênteses, menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado, menos 0 vírgula 25, vezes, 0 vírgula 5, igual, 0 vírgula 04, menos, 0 vírgula 125, igual, menos 0 vírgula 085. Há cota indicando que abre parênteses, menos fração 1 quinto, fecha parênteses, elevado a quatro resultou em menos 0,2, fecha parênteses, elevado a quatro. Há cota indicando que abre parênteses menos fração 1 quinto, fecha parênteses, elevado ao quadrado resultou em menos 0,2, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Há cota indicando que 4 elevado a menos 1 resultou em fração 1 quarto. Há cota indicando que menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado a quatro, dividido, abre parênteses, menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado resultou em menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Há cota indicando que fração 1 quarto resultou em 0 vírgula 25. Há cota indicando que menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado resultou em 0 vírgula 04. Há cota indicando que 0 vírgula 25 vezes 0,5 resultou em 0 vírgula 125. Há cota indicando que raiz quadrada de 0 vírgula 25 resultou em fração 1 quarto. Há cota indicando que raiz quadrada de fração 25 centésimos resultou em fração 5 décimos. Há cota indicando que fração 1 quarto, vezes, fração 5 décimos resultou em fração 5 40 avos mais 8, 200 avos menos 25, 200 avos igual a menos 17, 200 avos

Neto optou pela fórma decimal.

Quadro com sentença matemática. Abre parênteses, menos fração 1 quinto, fecha parênteses, elevado a quatro, dividido, abre parênteses menos fração 1 quinto, fecha parênteses, elevado ao quadrado, menos 4 elevado a menos 1, vezes, raiz quadrada de 0 vírgula 25, igual, abre parênteses, menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado a quatro, dividido, abre parênteses, menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado, menos, fração 1 quarto, vezes, 0 vírgula 5, igual, abre parênteses, menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado, menos 0 vírgula 25, vezes, 0 vírgula 5, igual, 0 vírgula 04, menos, 0 vírgula 125, igual, menos 0 vírgula 085. Há cota indicando que abre parênteses, menos fração 1 quinto, fecha parênteses, elevado a quatro resultou em menos 0,2, fecha parênteses, elevado a quatro. Há cota indicando que abre parênteses menos fração 1 quinto, fecha parênteses, elevado ao quadrado resultou em menos 0,2, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Há cota indicando que 4 elevado a menos 1 resultou em fração 1 quarto. Há cota indicando que menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado a quatro, dividido, abre parênteses, menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado resultou em menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Há cota indicando que fração 1 quarto resultou em 0 vírgula 25. Há cota indicando que menos 0 vírgula 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado resultou em 0 vírgula 04. Há cota indicando que 0 vírgula 25 vezes 0,5 resultou em 0 vírgula 125 igual a menos 0,085

Portanto, os dois chegaram ao mesmo resultado, pois

‒ \frac{17}{200} = ‒ 0, 085

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Nas expressões numéricas, devemos efetuar as operações respeitando esta ordem:

1º) potenciação e radiciação (raiz quadrada);

2º) multiplicação e divisão;

3º) adição algébrica.

Observação

Em expressões numéricas com sinais de agrupamento, devemos efetuar as operações, eliminando-os na ordem a seguir:

1º) parênteses;

2º) colchetes;

3º) chaves.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Responda às questões.

a) Qual é a medida de comprimento do lado de um quadrado cuja medida da área é igual a 20,25 métros quadrados?

b) Qual é a medida da área de um quadrado cujo lado mede

\sqrt{64} m

de comprimento?

c) Qual é a medida de comprimento do lado de um quadrado de medida de área igual a 38,44 centímetros quadrados?

2. Fábio recortou uma folha de papel e fez diversos quadrados. Então, verificou que as medidas de comprimento dos lados dos quadrados eram expressas por números quadrados perfeitos.

Descubra quais dos números a seguir não podem ser considerados medidas de comprimento dos lados dos quadrados recortados por Fábio.

Márcia quer emoldurar dois de seus quadros que têm formato quadrado, com medidas de área de 201,64 centímetros quadrados e 412,09 centímetros quadrados, respectivamente. Se cada centímetro de comprimento da moldura que Márcia quer comprar custa R$ 1,65um reais e sessenta e cinco centavos, quanto ela gastará para emoldurar os dois quadros?

Sentença matemática. 1 meio. Sentença matemática. 25 Sentença matemática. 144 Sentença matemática. 20

4. Calcule o valor de cada uma das expressões numéricas no caderno.

(1, 4 ‒ \sqrt{49}) \cdot (0, 2 + 1, 5)

(‒ \sqrt{\frac{1}{9}} + \frac{2}{5}) \cdot (‒ \frac{6}{7})

+ 2, 4 \cdot (‒ \frac{3}{2^{2}} ‒ \frac{1}{2})

\frac{3}{5} + (‒ \frac{1}{6}) \cdot (+ \sqrt{0, 16})

Juliana estava estudando potências e raízes e percebeu o seguinte:

Ilustração. Uma garota, de etnia branca, cabelos loiros, olhos castanhos, blusa azul com uma listra unica amarelada, e vestimenta inferior roxo, está sorrindo e com uma mão levantada na altura do nariz e a outra atrás do corpo. Ela diz: Elevando alguns números ao quadrado, podemos obter um valor menor que o numero inicial. E extraindo a raiz quadrada de alguns números, podemos obter um valor maior que o número inicial.

• Escreva, no caderno, alguns exemplos em que ocorre o que Juliana percebeu.

Daniela calculou

\sqrt{0, 09}

com uma calculadora.

Sequência de teclas de calculadora. 0, ponto, 0, 9, raiz quadrada. Visor de calculadora com o número 0,3.

Então, ela começou a apertar a tecla

várias vezes e obteve outros resultados. Depois de um tempo, por mais que Daniela apertasse a tecla

, a calculadora sempre indicava o mesmo número.

a) Qual foi o último número encontrado por Daniela?

b) Se Daniela começasse a calcular a raiz quadrada de outro número, o resultado seria o mesmo?

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Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Construção de pictogramas

Larissa trabalha em uma fábrica que recicla latas de alumínio.

Observe a seguir uma tabela com o percentual de latas de alumínio recicladas por essa fábrica entre 2019 e 2023.

Percentual de latas de alumínio recicladas pela fábrica entre 2019 e 2023
Ano	2019	2020	2021	2022	2023
Percentual	75%	90%	85%	95%	100%

Dados obtidos pela fábrica em dezembro de 2023.

Com os dados da tabela, Larissa construiu o gráfico a seguir.

Pictograma. PERCENTUAL DE LATAS DE ALUMÍNIO RECICLADAS PELA FÁBRICA ENTRE 2019 E 2023. A legenda é indicada por latas (cada lata representa 5 por cento do total de latas recebidas. 2 mil 19: 15 latas. 2 mil 20: 18 latas. 2 mil 21: 17 latas. 2 mil 22: 19 latas. 2 mil 23: 20 latas.

Dados obtidos pela fábrica em dezembro de 2023.

Ilustração. Uma garota de etnia branca, cabelos castanhos na altura dos ombros, usando óculos de armação rosa, vestindo uma camiseta verde e uma calça azul, com uma bota cano alto de cor marrom, sentada em um banco com assento azul, se encontra em um balcão amarelo com a parte superior laranja, uma mão era sobre o balcão e o outro braço esta com o cotovelo apoiado, a sua frente a um copo azul e verde com um canudo. Ela diz: Na coluna que representa o ano de 2 mil e 19, há 15 latas, o que indica que foram recicladas 75 por cento das latas de alumínio recebidas nesse ano, abre parênteses, 15, vezes, 5, igual, 75, fecha parênteses. Já na coluna que representa o ano de 2020, há 18 latas, o que indica que foram recicladas 90 por cento das latas de alumínio recebidas nesse ano, abre parênteses, 18, vezes, 5, igual, 90, fecha parênteses.

Gráficos como esse, em que utilizamos ícones para representar os dados, são chamados de pictogramas. Nesse pictograma, escolheu-se o ícone

Ilustração. Lata com simbolo de reciclagem.

para representar o percentual de reciclagem das latas de alumínio recebidas pela fábrica.

Note que cada

representa 5% das latas recebidas.

Para investigar

Reúna-se com alguns colegas e façam uma pesquisa sobre a importância da reciclagem para o meio ambiente.

Página 127

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe a tabela a seguir.

Número de sementes de árvores plantadas no 1º semestre de 2023 em um parque
Mês	Número de sementes plantadas
Janeiro	160
Fevereiro	240
Março	80
Abril	120
Maio	200
Junho	80

Dados obtidos por Lorena em julho de 2023.

Pictograma. NÚMERO DE SEMENTES DE ÁRVORES PLANTADAS NO PRIMEIRO SEMESTRE DE 2023 EM UM PARQUE. A legenda é indicada por semente (cada semente equivale a 40 sementes plantadas). Janeiro: 4 sementes. Fevereiro: 6 sementes. Março: duas ementes. Abril: uma semente. Maio: 4 sementes. Junho: duas sementes.

Dados obtidos por Lorena em julho de 2023.

• Considerando que cada

corresponde a 40 sementes plantadas, Lorena começou a construir o pictograma anterior com base na tabela. Copie o pictograma no caderno e complete-o.

2. Segundo a projeção da população realizada pelo í bê gê É, em 2028 haverá quase 223 milhões de habitantes no Brasil. Esse total divide-se em aproximadamente 114 milhões de mulheres e 108 milhões de homens.

a) De acordo com essa projeção, haverá mais homens ou mais mulheres? Quanto(a)s a mais?

b) Construa um pictograma. Para isso, você deve:

• escolher um ícone; geralmente, o ícone está ligado ao assunto tratado – nesse caso, ele pode ser, por exemplo, um bonequinho para representar os habitantes;

• definir a quantidade de habitantes que cada ícone representará.

Definidos o ícone e a quantidade por ele representada, construa o pictograma sobre a projeção do número de habitantes do Brasil, separando-os em homens e em mulheres.

Ilustração. Uma garota em pé, caminhando, etnia negra, cabelos escuros, tênis cinza, calça azul, camiseta azul com um colete cinza por cima, uma bolsa laranja de um alça, um boné azul, esta escrevendo algo com uma caneta de cor azul em um caderno. Ela diz: Não se esqueça de fazer uma legenda indicando o valor que representa cada ícone e de colocar o titulo do pictograma a fonte dos dados, e: Para definir a quantidade de habitantes que corresponderá a cada ícone, procure um alor que seja divisor de 114 milhões e 108 milhões.

3. Construa um pictograma com base nos dados da tabela a seguir.

Projeção aproximada da população de alguns estados do Brasil em 2035
Estado	População aproximada
Sergipe	2.500.000
Rondônia	2.000.000
Distrito Federal	3.500 000
Amazonas	5.000.000
Acre	1.000.000

Dados obtidos em: í bê gê É. Projeção da população do Brasil e das unidades da federação. Disponível em: https://oeds.link/CTYaqr. Acesso em: 20 maio 2022.

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Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Observe as fichas a seguir e copie no caderno apenas os números racionais.

5 fichas com os seguintes números: menos 98; fração 5 terços; 5 inteiros e fração 9 13 avos; fração menos 2 terços.

2. Qual(is) é(são) a(s) afirmação(ões) falsa(s)? Corrija-a(s) no caderno.

a) Na reta numérica, o número ‒ 0,25 está entre os números

‒ \frac{8}{7} e ‒ \frac{1}{7}

b) Na reta numérica, o número |‒ 0,63| está entre os números

\frac{7}{9} e \frac{8}{9}

c) Na reta numérica, o número

\frac{13}{10}

está entre os números 1,2 e |‒1,63|.

3. Na última terça-feira, Mário passou seu tempo da seguinte fórma: durante

\frac{1}{4}

do dia, ele esteve no colégio; dedicou

\frac{2}{12}

do dia aos estudos em casa e

\frac{3}{24}

do dia às refeições; passou

\frac{1}{3}

dormindo e

\frac{1}{8}

praticando esportes. A que atividade Mário dedicou a maior parte de seu dia?

4. Descubra se Júlia e Ricardo estão corretos.

Ilustração. Júlia e Ricardo estão sentados em um banco conversando. Júlia fala: 5 inteiros é maior que 4 inteiros. Portanto, 5 vírgula 6 é maior que 4 vírgula 9. Ricardo diz: 9 décimos é maior que 6 décimos. Portanto, 4 vírgula 9 é maior que 5 vírgula 6.

5. Júnior gosta de fazer economia. Ele deposita em um cofrinho todo o dinheiro economizado. Durante a última semana, Júnior conseguiu guardar 9 moedas de R$ 1,00um reais, 11 moedas de R$ 0,50zero reais e cinquenta centavos, 15 moedas de R$ 0,25zero reais e vinte e cinco centavos, 23 moedas de R$ 0,10zero reais e dez centavos e 13 moedas de R$ 0,05zero reais e cinco centavos. Quantos reais Júnior conseguiu guardar durante essa semana?

Lucas foi ao supermercado e comprou uma lata de ervilhas por R$ 2,25dois reais e vinte e cinco centavos, um pacote de macarrão por R$ 4,30quatro reais e trinta centavos e um chocolate por R$ 3,75três reais e setenta e cinco centavos. Enquanto estava na fila do caixa, ele resolveu calcular mentalmente o valor que gastaria com as compras. Ele fez a conta da seguinte maneira:

(2,25 + 3,75) + 4,30 = 6,00 + 4,30 = 10,30

Por que Lucas decidiu agrupar os números dessa fórma?

7. Determine o valor de cada expressão sabendo que a = ‒ 0,5, b =

\frac{3}{4}

e c = 0,25.

a) a + b ‒ c

b) 2a + c ‒ b

c) 3c + (a ‒ b)

d) 2b ‒ (a + c)

8. Reescreva as operações indicadas substituindo o ◼ por um número racional.

a) (‒ 0,8) + ◼ = 0

b) ◼ +

(‒ \frac{2}{3})

= ‒1

\frac{10}{7} + (‒ \frac{1}{4})

= ◼ +

\frac{10}{7}

‒ \frac{1}{5}

+ ◼ =

‒ \frac{1}{5}

e) (1,5) + [(‒1,7) + (5,3)] = [(1,5) + (◼)] + (5,3)

Uma balança de dois pratos iguais fica equilibrada quando em um dos pratos há uma barra de ouro e no outro há

\frac{3}{4}

de uma barra de ouro e

\frac{3}{4}

de 1 quilograma.

Ilustração. Balança com dois pratos. No prato à esquerda. Uma barra de ouro. No prato à direita, uma barra de outo menor e um peso. A balança está equilibrada.

• Qual é a medida de massa de uma barra de ouro?

10. Em uma pesquisa de opinião, os resultados foram:

\frac{2}{5}

das pessoas entrevistadas disseram preferir Matemática,

\frac{1}{4}

afirmou preferir Geografia,

\frac{1}{3}

escolheu Língua Portuguesa, e as demais não indicaram preferência por nenhuma disciplina específica. Que fração do total de pessoas não tem preferência por uma disciplina específica?

Página 129

11.

Elabore um problema cuja solução possa ser encontrada pelas operações a seguir.

Quadro verde com sentença matemática. 121 vírgula 5 mais 78 vírgula 66, igual, 199 vírgula 91. Quadro azul com sentença matemática. 200 vírgula 00 menos 199 vírgula 91, igual, 0 vírgula 09.

12. A estação Rádio da Escola realizou uma pesquisa para identificar os gêneros musicais preferidos pelos estudantes.

• Sabendo que alguns estudantes não têm preferência por gênero musical, que fração representa o número de estudantes que não preferem róqui nem pagode?

13. Para fazer um churrasco, Antônia comprou 4,5 quilogramas de carne bovina e 1,5 quilograma de linguiça.

Ilustração. Mulher de cabelo loiro, blusa vermelha, calça azul, avental e botas. Ela segura uma bandeja com alimentos. Ao fundo, churrasqueira.

Se o preço de 1 quilograma da carne bovina era R$ 20,70vinte reais e setenta centavos e o da linguiça era R$ 10,80dez reais e oitenta centavos, quanto Antônia gastou?

14.

Observe as teclas de memória da calculadora:

Tecla de calculadora. Adiciona números da memória.

: adiciona (guarda) números na memória

Tecla de calculadora. Subtrai números da memória.

: subtrai (retira) números da memória

Tecla de calculadora com as letras M R C maiúsculas.

: adiciona (guarda) números na memória após usar as teclas

Observe uma maneira de calcular o valor da expressão: 0,1 ‒ 0,9 + 0,5 ‒ 0,8

Temos:

0,1 ‒ 0,9 + 0,5 ‒ 0,8 = +(0,1 + 0,5) ‒ (0,9 + 0,8)

Sequência de teclas de calculadora: zero, ponto, 1, mais, zero, ponto 5, tecla adiciona números da memória, zero, ponto, 9, mais, zero, ponto, 8, tecla subtrai números da memória, tecla exibe o que resultou na memória.

Obtemos:

Visor de calculadora com o número menos 1 vírgula 1.

• Agora, calcule a expressão a seguir usando uma calculadora, conforme a explicação dada.

‒1,5 + 3 ‒ 0,3 + 2,1 ‒ 0,4

15. Se Carlos gasta 0,4 litro de tinta para pintar

\frac{3}{4}

de uma parede, que fração da parede ele pintaria com uma lata de 0,5 litro de tinta?

Ilustração. Homem loiro de macacão azul segura um rolo com tinta. Atrás, muro laranja. Ao lado, rolo, tintas e pincéis.

16.

Elabore um problema cuja solução possa ser encontrada por meio dos cálculos a seguir.

Quadro cinza com sentença matemática. menos 2 mil 225 vírgula 90 dividido por 10, igual, menos 222 vírgula 59. Quadro roxo com sentença matemática. Módulo de menos 222 vírgula 59, igual, 222 vírgula 59.

17. Represente a multiplicação a seguir com uma só potência de base 3.

\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} \cdot \frac{1}{27} \cdot 81 \cdot 3^{‒ 3}

18.

Anderson está treinando para participar de uma prova de triatlo – modalidade esportiva que combina, de fórma sequencial e sem interrupção, provas com certa medida de distância em cada modalidade: de natação (1,5 quilômetro), ciclismo (40 quilômetros) e corrida (10 quilômetros).

Ilustração. Homem careca de regata azul e bermuda roxa. Ele está em pista numerada. Ao fundo, prédios.

Na primeira semana, a medida de distância no treino em cada modalidade foi esta: nadar 100 métros, pedalar .2000 métros e correr 500 métros. Em cada semana seguinte, ele dobrou as medidas das distâncias do treino da semana anterior. Na 6ª semana, Anderson já estava treinando exatamente as medidas de distância oficiais da prova do triatlo?