UNIDADE 3
Capítulo 7
Equações e inequações do 1º grau
Capítulo 8
Polígono, circunferência e círculo
Capítulo 9
Triângulos e quadriláteros
Os polígonos nos Grafites
O grafite é uma fórma de arte urbana caracterizada por inscrições ou desenhos que utilizam como suporte elementos da cidade: muros, equipamentos urbanos, paredes etcétera.
Para compor suas obras, os artistas utilizam sprays de tinta que são aplicadas nas superfícies a partir de diferentes técnicas. Os grafites variam em cores e formatos, a depender do estilo e do traço de cada artista.
Entre os temas abordados, destacam-se cenas do cotidiano nas cidades, homenagens a figuras públicas e eventos históricos e, principalmente, elementos de protesto, que buscam impactar os observadores e despertar reflexões sobre determinada causa.
Para começar...
1. Você já viu algum grafite na cidade em que vive? Em caso afirmativo, comente o que achou dele.
2. Você considera o grafite uma fórma de arte acessível?
3. Quais polígonos você identifica no grafite apresentado na foto?
CAPÍTULO 7 Equações e inequações do 1º grau
1 Igualdade
Para que uma balança de dois pratos fique equilibrada, é necessário que a medida de massa total dos objetos que estiverem em um dos pratos seja igual à medida de massa total dos objetos que estiverem no outro prato.
Nesse caso, podemos representar a medida de massa dos objetos que estão nos dois pratos com uma sentença matemática em que há o sinal de igual (=), denominada igualdade. Observe os exemplos.
• A balança a seguir está equilibrada.
• Na balança a seguir, há um objeto com medida de massa ei desconhecida.
Lembre-se: Escreva no caderno!
Para pensar
Qual é a medida da massa a desconhecida, em grama, do objeto laranja na balança apresentada anteriormente?
Uma igualdade continuará sendo válida se:
• adicionarmos ou subtrairmos o mesmo número aos seus membros;
• multiplicarmos ou dividirmos seus membros por um mesmo número diferente de zero;
• elevarmos seus membros a um mesmo expoente.
Exemplos
• 3 + 8 = 15 menos 4
3 + 8 menos 2 = 15 menos 4 menos 2
9 = 9
• 16 menos 2 = 14
abre parênteses16 menos 2fecha parênteses dividido por 2 = 14 dividido por 2
7 = 7
• 5 menos 3 = 10 menos 9 + 1
abre parênteses5 menos 3fecha parênteseselevado a 2 = abre parênteses10 menos 9 + 1fecha parênteseselevado a 2
4 = 4
2 Equação
Observe as situações a seguir.
Situação 1
Amanda foi ao mercado comprar algumas caixas de leite e gastou, ao todo, R$ 15,00quinze reais.
Podemos indicar por x o número de caixas de leite compradas e escrever a seguinte sentença:
Situação 2
Flávia viu este recado no mural da escola:
Em seguida, ela se perguntou: quantos meninos e quantas meninas podem compor essa banda?
Como a soma do número de meninos com o de meninas é igual a 6, podemos indicar o número de meninas por x e o número de meninos por y e escrever a seguinte sentença matemática:
x + y = 6
As sentenças matemáticas 3x = 15 e x + y = 6 são exemplos de equações.
Equação é uma sentença matemática com sinal de igual (=) em que números desconhecidos são representados por letras, denominadas incógnitas.
Exemplos
• 2x = 4 é uma equação, e a incógnita dessa equação é x.
• aelevado a 2 = 4 é uma equação, e a incógnita dessa equação é a.
• 3m menos 5n = 7 é uma equação, e as incógnitas dessa equação são m e n.
Para investigar
Qual é a diferença entre variável e incógnita?
Observação
Em todas as equações há o sinal de igual (=), ou seja, todas representam uma igualdade. Em uma igualdade, a expressão à esquerda do sinal de igual é chamada de 1º membro e a expressão à direita é chamada de 2º membro da igualdade.
Lembre-se: Escreva no caderno!
Nem toda sentença matemática é uma equação. As sentenças a seguir, por exemplo, não são equações.
Raiz de uma equação
A incógnita de uma equação pode assumir diversos valores, mas apenas alguns deles tornam a sentença verdadeira.
Vamos retomar a situação 1 e verificar que valor de x torna verdadeira a equação 3x = 15, em que x representa o número de caixas de leite. O número 5 torna a sentença verdadeira, pois: 3 ⋅ 5 = 15.
Dizemos, então, que o número 5 é raiz da equação 3x = 15. Assim, descobrimos que Amanda comprou 5 caixas de leite.
Raiz de uma equação é um número que, ao substituir a incógnita, torna a sentença verdadeira.
Podemos verificar se um número é raiz ou não de uma equação substituindo a incógnita por ele. Se a sentença for verdadeira, o número considerado é raiz da equação; se a sentença for falsa, o número não é raiz da equação. Observe um exemplo.
Vamos verificar se menos1 é raiz da equação 8x + 3 = menos5. Para isso, substituímos x por menos1 e efetuamos as operações indicadas:
8x + 3 = menos5
8 ⋅ abre parêntesesmenos1fecha parênteses + 3 = menos5
menos 8 + 3 = menos5
menos 5 = menos5
Como menos5 = menos5 é uma sentença verdadeira, menos1 é raiz da equação 8x + 3 = menos5.
Observação
O número 1 não é raiz da equação 8x + 3 = 5.
Ao substituir x por 1 nessa equação, obtemos:
8x + 3 = 5
8 ⋅ 1 + 3 = 5
8 + 3 = 5
11 = 5
Como a sentença 11 = 5 é falsa, o número 1 não é raiz da equação 8x + 3 = 5.
Para fazer
Verifique, no caderno, se 1 é raiz da equação 8x + 3 = menos5.
Conjunto universo e conjunto solução de uma equação
Ricardo precisa descobrir a medida de comprimento do lado de um quadrado cuja área mede 49 centímetros quadrados. Acompanhe como ele pensou para resolver a situação, considerando que o comprimento do lado do quadrado mede x.
Lembre-se: Escreva no caderno!
Podemos verificar que Ricardo tem razão, pois menos7 e 7 são raízes da equação x elevado a 2 = 49.
• abre parêntesesmenos7fecha parênteseselevado a 2 = 49
49 = 49
• abre parênteses7fecha parênteseselevado a 2 = 49
49 = 49
Entretanto, observe que não faz sentido a medida de comprimento do lado do quadrado ser um número negativo: menos7. Por isso, apesar de esse número ser raiz da equação, ele não é solução do problema.
Portanto, o lado de um quadrado cuja medida de área é 49 cmétros quadrados mede 7 centímetros de comprimento.
Quando resolvemos uma equação, é necessário saber seu conjunto universo, que é representado pela letra U. O conjunto universo contém todos os números que a incógnita pode assumir.
As raízes da equação que pertencem ao conjunto universo são as soluções dessa equação e formam o seu conjunto solução. Observe os exemplos.
• Vamos resolver a equação x elevado a 2 = 16, sendo conjunto universo =
.
x = 4 ou x = menos 4 são as raízes da equação, mas somente x = 4 pertence ao conjunto universo
. Assim, a solução dessa equação é somente o número 4 e seu conjunto solução é S = abre chave4fecha chave.
• Vamos resolver a equação x elevado a 2 = 16, sendo conjunto universo =
.
x = 4 e x = menos 4 são raízes da equação e ambas fazem parte do conjunto universo
. Então, menos4 e 4 são soluções da equação e seu conjunto solução é S = {‒ 4, 4fecha chave.
Agora, vamos retomar a situação 2 da página 173.
Na equação x + y = 6, x e y (que representam o número de meninas e o de meninos, respectivamente) devem ser números naturais. Então, há 7 modos diferentes de compor a banda:
|
Número de meninas (x) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Número de meninos (y) |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
As soluções de uma equação com duas incógnitas podem ser expressas por pares ordenados abre parêntesesx, yfecha parênteses e representadas graficamente. Observe como podemos representar em um plano, que chamamos de plano cartesiano, os pares ordenados abre parênteses0, 6fecha parênteses, abre parênteses1, 5fecha parênteses, abre parênteses2, 4fecha parênteses, abre parênteses3, 3fecha parênteses, abre parênteses4, 2fecha parênteses, abre parênteses5, 1fecha parênteses e abre parênteses6, 0fecha parênteses, que são soluções da equação apresentada no problema.
Observação
A equação x + y = 6 possui outras raízes; por exemplo:
• menos1 e 7
Verificação:
menos1 + 7 = 6
6 = 6
• 10,5 e menos 4,5
Verificação:
10,5 + (‒ 4,5fecha parênteses = 6
10,5 menos 4,5 = 6
6 = 6
Entretanto, essas raízes não podem ser solução da situação apresentada, pois xis e y representam, respectivamente, o número de meninas e o de meninos que podem compor a banda; portanto, devem ser números naturais.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1.
Observe como Rafael e Carla, calculando mentalmente, descobriram a raiz de uma equação.
a) Agora, descubra a raiz de:
Fração y sobre 3= 15
b)
Como você pensaria para encontrar o número que dividido por 3 dá 15?
Converse com um colega sobre como vocês pensaram para descobrir a raiz da equação.
2.
Encontre mentalmente a raiz de cada equação e escreva-a no caderno.
a) 10x = 15
b)
Sentença matemática. x, vezes, fração 1 meio, igual, fração 1 meio.c) x ⋅ abre parêntesesmenos1fecha parênteses = menos5
d) x ⋅
Fração 1 décimo.= 1
3. Caio foi à papelaria comprar um estojo e um caderno.
a) Escreva a equação que representa o preço x, do estojo, adicionado ao preço y, do caderno.
b) Usando a equação encontrada no item a, responda:
• Se o estojo custasse R$ 3,00três reais, qual teria sido o valor pago pelo caderno?
• Se o caderno custasse R$ 7,50sete reais e cinquenta centavos, qual teria sido o valor pago pelo estojo?
• O estojo poderia ter custado R$ 5,00cinco reais e o caderno, R$ 5,50cinco reais e cinquenta centavos? Por quê?
4. Leia e responda no caderno.
a)
b)
5. Verifique, no caderno, as equações das quais o número menos9 é raiz.
6. As balanças a seguir estão em equilíbrio. Em cada caso, descubra a medida de massa x desconhecida, em quilograma.
a)
b)
c)
7.
Escreva no caderno uma equação para cada sentença. Depois, considerando o conjunto dos números racionais como conjunto universo, encontre a solução mentalmente.
a) O triplo de um número x é 15.
b) O quadrado de um número y é
Fração um quarto..
c) Um número n adicionado a 36 é igual a 57.
d) O quadrado de um número k é menos3.
e) O quadrado de um número a adicionado a 2 é igual a menos1.
8. Escreva no caderno uma equação que relacione os dados de cada problema e resolva-o.
a) Ana comprou uma geladeira por R$ 1.200,00mil duzentos reais. Ela deu R$ 200,00duzentos reais de entrada e pagou o restante em cinco prestações iguais. Qual foi o valor da prestação?
b) Um marceneiro cortou uma tábua que media 2 metros de comprimento em dois pedaços. A medida do comprimento de um dos pedaços é o quádruplo da medida do outro. Qual é a medida do comprimento de cada pedaço?
9. Verifique se o par ordenado abre parênteses3, 1fecha parênteses é solução das equações a seguir.
a) 2x menos y = 5
b) x + y = 4
c) x menos 2y = 3
d) x + 4y = 6
10. Márcia é professora de inglês e de espanhol e possui dicionários desses dois idiomas para trabalhar com os estudantes.
a) Usando x para indicar a quantidade de dicionários de inglês e y para indicar a quantidade de dicionários de espanhol, escreva a equação correspondente a essa situação.
b) Determine duas possíveis soluções para a equação do item a.
11. Descubra os números.
• Agora, expresse a resposta que você deu por pares ordenados e, usando papel quadriculado, represente-os em um plano cartesiano.
Lembre-se: Escreva no caderno!
3 Equações equivalentes
Observe as equações.
Ao substituir x por menos3 em cada igualdade, obtemos uma sentença verdadeira. Observe.
• 8 + x = 5
8 + abre parêntesesmenos3fecha parênteses = 5
5 = 5
• x = 5 menos 8
menos3 = 5 menos 8
menos3 = menos3
• 6x = menos18
6 ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses = menos18
menos18 = menos18
Portanto, menos3 é raiz dessas três equações.
Em um mesmo conjunto universo, equações que têm as mesmas raízes são chamadas de equações equivalentes.
Em alguns casos, é necessário obter equações equivalentes para encontrar as raízes de uma equação. Vamos analisar algumas situações.
Situação 1
Em uma balança foram colocados blocos azuis de medida de massa igual a 1 quilograma cada e um bloco amarelo de medida de massa x desconhecida, em quilograma. Observe que a balança ficou equilibrada.
No prato da esquerda há um bloco de medida de massa x quilograma e 4 blocos de 1 quilograma cada. No prato da direita há 7 blocos com medida de massa igual a 1 quilograma cada. Podemos representar essa situação por meio da seguinte equação:
x + 4 = 7
Se retirarmos 4 blocos de cada prato, a balança continuará equilibrada.
Assim, podemos concluir que o bloco que ficou no prato da esquerda tem medida de massa igual a 3 quilograma. A equação a seguir pode representar essa situação:
x = 3
Lembre-se: Escreva no caderno!
Quando adicionamos ou subtraímos uma mesma quantidade nos dois membros de uma equação, obtemos uma equação equivalente à primeira. Esse é o princípio aditivo das igualdades.
Observe como o princípio aditivo das igualdades e o raciocínio empregado para resolver a equação da situação 1 podem ser expressos usando apenas a notação algébrica:
x + 4 = 7
Aplicando o princípio aditivo das igualdades, subtraímos 4 dos dois membros:
x + 4 menos 4 = 7 menos 4
x + 0 = 3
x = 3
Note que as equações x + 4 = 7 e x = 3 são equivalentes.
Situação 2
Em um dos pratos da balança a seguir, há 3 blocos verdes de medida de massa y desconhecida, em quilograma, e, no outro prato, há 18 blocos azuis, cada um com medida de massa de 1 quilograma.
Podemos representar essa situação por meio da equação:
3y = 18
Se deixarmos no prato da esquerda a terça parte dos blocos que havia, devemos fazer o mesmo no prato da direita para manter a balança equilibrada. A terça parte de 3 blocos iguais corresponde a 1 bloco e a terça parte de 18 blocos iguais corresponde a 6 blocos.
Desse modo, podemos concluir que o bloco que ficou no prato da esquerda tem medida de massa igual a 6 quilogramas. A seguinte equação representa a situação:
y = 6
Quando multiplicamos ou dividimos por um mesmo número não nulo os dois membros de uma equação, obtemos outra equação equivalente à primeira. Esse é o princípio multiplicativo das igualdades.
Observe como o princípio multiplicativo das igualdades e o raciocínio empregado para resolver a equação da situação 2 podem ser expressos usando apenas a notação algébrica.
3y = 18
Aplicando o princípio multiplicativo das igualdades, multiplicamos os dois membros por
Sentença matemática. Fração 1 terço.:
=
Fração 18 terços.
y = 6
Note que as equações 3y = 18 e y = 6 são equivalentes.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. No caderno, associe cada equação da coluna da esquerda com a equação equivalente da coluna da direita.
2. Escreva no caderno uma equação equivalente a cada equação a seguir. Depois, encontre a raiz da equação.
a) x + 5 = 18
b) 3 + y = 2
c) 4z = 12
d) y + 9 = y + 2y
e) 2m = menos 4
f ) menos 5t = 25
g) 2x + x = 7 menos 10x
h) 12b menos 22 = 122
i) 42p + 19 = 229
3.
Márcia vai viajar e quer levar alguns gibis para ler durante a viagem. Se ela comprar gibis de R$ 3,00três reais cada um, ainda ficará com R$ 10,00dez reais. Se comprar o mesmo número de gibis, mas ao preço de R$ 7,00sete reais cada um, faltarão R$ 6,00seis reais. Quantos gibis de R$ 7,00sete reais Márcia pode comprar?
4 Equação do 1º grau com uma incógnita
Equações do 1º grau com uma incógnita são aquelas que podem ser escritas como uma equação equivalente da fórma ax + b = 0, em que a e b são números racionais conhecidos, com a diferente de zero. Nesse caso, a incógnita é x e a e b são chamados de coeficientes. Acompanhe os exemplos.
• 3x + 1 = 0 é uma equação do 1º grau com uma incógnita de coeficientes a = 3 e b = 1.
•
Sentença matemática. Menos fração x sobre 2, igual, zero.é equivalente a
Sentença matemática. Menos fração 1 meio x, mais zero, igual, zero.; portanto, é uma equação do 1º grau com uma incógnita de coeficientes
Sentença matemática. a igual a menos meio.e b = 0.
Vamos usar equações equivalentes para resolver equações do 1º grau com uma incógnita.
• Vamos resolver a equação 6x menos 2 = 16, considerando conjunto universo =
.
Observação
Em vez de multiplicarmos ambos os membros da equação por
fração 1 sexto, poderíamos dividi-los pelo coeficiente da incógnita x, que é 6. O resultado será o mesmo.
6x = 18
6x dividido por 6 = 18 dividido por 6
x = 3
• Agora, vamos resolver a equação 3 ⋅ abre parênteses1 menos xfecha parênteses = 5 ⋅ abre parêntesesx + 1fecha parênteses, considerando conjunto universo =
.
Como
Menos um quarto.é raiz da equação e pertence ao conjunto universo, então
S igual a, abre chaves, menos fração um quarto, fecha chaves..
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Determine a solução de cada equação a seguir considerando o conjunto universo indicado.
a) x + 7 = 3, conjunto universo =
b) x menos 3 = 2x, conjunto universo =
c) 8 menos x = 2 + x, conjunto universo =
d) 17x = menos15x, conjunto universo =
e) 3x menos 7 = 17, conjunto universo =
f ) menos x = 3x + 5, conjunto universo =
g) 100 = 4x, conjunto universo =
2. Resolva as equações considerando conjunto universo =
.
a) 2x + 7x ‒ 10 = 4x + 3 menos 2x
b) 3 ⋅ abre parêntesesx + 1fecha parênteses = 8
c) 4 ⋅ abre parêntesesx menos 6fecha parênteses = menos3
d) 2 ⋅ abre parênteses3 menos xfecha parênteses = menos4 ⋅ abre parêntesesx menos 1fecha parênteses
e) menos1 ⋅ abre parêntesesx + 4fecha parênteses = 3 ⋅ abre parêntesesx + 5fecha parênteses
f ) 3 ⋅
Abre parênteses, fração 1 terço menos x, fecha parênteses.menos abre parêntesesmenos2x + 7fecha parênteses = menos3
3. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa.
a) Considerando conjunto universo =
, a solução da equação 3x menos 21 = 5x é menos10.
b) Considerando conjunto universo =
, a solução da equação 7 ⋅ abre parênteses4 + 2xfecha parênteses menos 4x = 16 + 7x é menos 4.
4. Determine a solução de cada uma das equações a seguir, considerando conjunto universo =
.
a)
Sentença matemática. Fração x sobre 3, mais 2, igual, 8.
b)
Sentença matemática. Fração x sobre 2, mais, fração 3 meios x, igual, 1 menos, fração 7 décimos.
c) 2x +
Sentença matemática. Fração 2 terços.= 3x + 2
d)
Sentença matemática. Fração2 quintos.x + 3x menos 2 = x + 10
e)
Sentença matemática. Fração 2 terços x, mais, fração 1 quarto x, igual, 6.f )
Sentença matemática. Fração 1 meio x, menos 3x, menos fração 1 terço, igual, 8x mais 12.
5 Equações e resolução de problemas
Alguns problemas podem ser resolvidos por meio de equações do 1º grau com uma incógnita. Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Tatiana comprou um terreno de formato retangular, cuja medida do perímetro é 68 métros e um de seus lados mede 14 métros de comprimento. Qual é a medida de área desse terreno?
Observando a figura a seguir, verificamos que falta calcular a medida de comprimento do outro lado do terreno para, posteriormente, determinar a medida de área.
Note que a medida de comprimento desconhecida foi representada por x. Assim, podemos escrever uma equação que relaciona a medida de comprimento dos lados com a medida do perímetro desse terreno.
x + 14 + x + 14 = 68
Resolvendo essa equação:
Assim, os comprimentos dos lados do terreno medem 14 métros e 20 métros, e a medida de área desse terreno pode ser calculada da seguinte maneira:
14 ⋅ 20 = 280
Logo, a medida de área do terreno que Tatiana comprou é 280 métros quadrados.
Situação 2
Ao viajar por um dos trechos da Estrada Real, um motorista fez uma parada depois de percorrer
Sentença matemática. Fração 2 terços.do trajeto. Antes de retornar à estrada, verificou que a medida de distância que faltava para chegar ao destino era de 15 quilômetros. Quantos quilômetros mede esse trajeto?
Elaborado com base em: ESTRADA REAL. Mapa da Estrada Real. Disponível em: https://oeds.link/fpDsXt. Acesso em: 5 julho 2022.
Observe que os dados do problema correspondem a duas partes do trajeto:
• a primeira, que corresponde a
Sentença matemática. Fração 2 terços.da medida do percurso;
• a segunda, que corresponde à medida de distância de 15 quilômetros.
Podemos fazer um esquema para representar essa situação graficamente. A medida de comprimento do segmento, indicado por x, representa todo o percurso.
Analisando o esquema, percebemos que é possível representar o problema com a seguinte equação:
Podemos resolver essa equação do seguinte modo:
Logo: x = 45
Portanto, esse trajeto mede 45 quilômetros.
Situação 3
Bruna descobriu que mede 1,20 métro de altura e ficou curiosa para saber a medida da altura do seu pai e a da sua mãe.
Qual é a medida da altura do pai e a da mãe de Bruna?
Podemos usar a incógnita x para representar a medida da altura da mãe, em metro. Assim, temos:
Como Bruna mede 1,20 métro de altura, podemos representar essa situação com a seguinte equação:
Portanto, a mãe de Bruna mede 1,56 métro de altura, e o pai, 1,80 métro.
Para pensar
Se usarmos a incógnita x para representar a medida da altura do pai de Bruna, que equação poderemos utilizar para representar essa situação? Encontre-a e resolva-a no caderno.
Situação 4
A soma de três números inteiros consecutivos é 345. Quais são esses números?
Nesse caso, que envolve números inteiros consecutivos, sabemos que a diferença entre um número e outro é de uma unidade.
Assim, se representarmos o número intermediário por x, o seu sucessor será x + 1 e o seu antecessor, x ‒ 1.
Como a soma dos três números é 345, podemos escrever a equação:
Portanto, os três números procurados são: 114, 115 e 116.
Situação 5
Uma prova era composta de 30 questões de múltipla escolha. A cada questão certa, o estudante ganhava 1 ponto, e, a cada questão errada, era descontado 0,25 ponto. Quantos pontos Mariana fez?
Se de 30 questões Mariana errou 5 e acertou 25, então o total de pontos que ela fez pode ser obtido pela seguinte expressão numérica:
25 ⋅ 1 menos 5 ⋅ 0,25 = 25 menos 1,25 = 23,75
Portanto, Mariana fez 23,75 pontos.
Joaquim, um colega de Mariana, disse que fez um total de 20 pontos. Quantas questões ele acertou?
Podemos recorrer ao esquema a seguir para representar essa situação.
Como a cada questão certa o estudante recebe 1 ponto e a cada questão errada perde 0,25 ponto, podemos representar essa situação com a seguinte equação:
1 ⋅ x menos 0,25 ⋅ abre parênteses30 menos xfecha parênteses = 20
Observe como podemos resolver essa equação para obter o valor de x:
Portanto, Joaquim acertou 22 questões da prova.
Cálculo mental
Sofia fez essa prova e errou apenas duas questões. Quantos pontos ela obteve?
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Um quadrado tem lado de medida de comprimento p. Se a medida do perímetro desse quadrado é 60 centímetros, qual é a medida de comprimento de p?
2. Determine a medida de comprimento dos lados de um triângulo cujo perímetro mede 24 centímetros, sabendo que essas medidas de comprimento são expressas por números naturais consecutivos.
3. As medidas dos perímetros do quadrado e do retângulo representados a seguir são iguais.
• Qual é a medida de comprimento do lado do quadrado?
4. Paulo vai construir sua casa em
Sentença matemática. Fração1 terço.da medida de área total de um terreno. Nos 160 métros quadrados restantes, ele vai construir um jardim.
a) Qual será a medida de área ocupada pela casa?
b) Qual é a medida de área total do terreno?
5. João e Pedro fizeram uma viagem de carro para Aracaju, capital de Sergipe.
• No primeiro dia, João dirigiu
Sentença matemática. Fração 1 terço.da medida de distância do percurso. No segundo dia, Pedro dirigiu
Sentença matemática. Fração 1 quinto.do percurso. Para chegar ao destino, precisaram ainda de dois dias, em que percorreram .1120 quilômetros. Quanto mede, em quilômetro, a distância percorrida em toda a viagem?
6. Em uma turma do 7º ano, 30% dos estudantes devem fazer prova de recuperação, e os 28 estudantes restantes não farão. Quantos estudantes há nessa turma?
7. O prédio onde Fernanda mora tem
Sentença matemática. Fração 1 terço.da medida da altura do prédio em que Renato mora. Sabe‑se que o prédio de Fernanda tem 10 andares e que cada andar mede 2,5 métros de altura. Qual é a medida da altura do prédio em que Renato mora?
8. Em uma rodovia, Hugo percebeu que o marcador de combustível de seu carro indicava
Fração um quarto.da medida da capacidade total do tanque. Por precaução, ele abasteceu o carro com 25 litros de álcool. Depois disso, o marcador indicou
Fração 3 quartos.da medida da capacidade total. Quantos litros de combustível cabem no tanque do carro de Hugo?
9. Em uma gráfica, três impressoras funcionam diariamente para atender às encomendas. O trabalho é dividido da seguinte maneira:
• Quantas impressões são feitas diariamente nessa gráfica?
10. A professora de Matemática vai distribuir folhas quadradas para os estudantes fazerem dobraduras. Ela estimou 10 folhas para cada estudante.
• Sabendo que os estudantes fizeram uma dobradura com cada folha recebida, responda: quantas dobraduras foram feitas nessa aula?
11. Em uma sala de aula, há 20 estudantes matriculados.
Dos 20 estudantes, quantos são meninos e quantas são meninas?
•
Verifique o número de meninos e de meninas da sua sala de aula. Depois, elabore um problema indicando o número total de estudantes e uma sentença que relacione o número de meninos e o de meninas da turma. Apresente aos colegas o problema que você elaborou.
12. Em uma maratona, os três primeiros colocados foram premiados. Eles dividiram o prêmio de R$ 10.000,00dez mil reais da seguinte maneira:
✓ o 3º colocado recebeu a menor parte;
✓ o 2º colocado recebeu R$ 2.000,00dois mil reais a mais que o 3º colocado;
✓ o 1º colocado recebeu o dobro da quantia do 2º colocado.
• Quantos reais cada atleta recebeu?
13. Vitório foi à papelaria comprar canetas coloridas. Se ele comprar 7 canetas, receberá R$ 4,50quatro reais e cinquenta centavos de troco, mas, se comprar 11, faltará R$ 1,50um reais e cinquenta centavos para pagar a conta.
a) Quanto custa cada caneta?
b) Quantas canetas Vitório poderia levar sem sobrar troco nem faltar dinheiro?
14. Em um campeonato de futebol, os dois melhores jogadores são do mesmo time. Durante o campeonato, esses dois jogadores marcaram juntos 32 gols. Se um dos jogadores marcou
Sentença matemática. Fração 1 terço.do número de gols marcados pelo outro, quantos gols marcou cada jogador?
15. Considere x, y e z as medidas de comprimento dos lados de um triângulo cujo perímetro mede 32 centímetros.
Se a medida de comprimento x é o dobro da de y e a medida de comprimento de z é igual a 14 centímetros, quais são as medidas de comprimento x e y?
•
Desenhe em seu caderno um triângulo e reescreva o enunciado anterior substituindo as informações de acordo com as medidas de comprimento dos lados desse triângulo. Depois, peça a um colega que descubra as medidas de comprimento de dois lados do triângulo que você desenhou.
16. (púqui-Rio de Janeiro) Um empresário possui, em sua conta, uma quantia que corresponde a
Sentença matemática. Fração 1 sexto.do valor dos equipamentos de que precisa para montar seu escritório. Se ele depositar R$ 780,00setecentos e oitenta reais na conta, passa a ter uma quantia, em reais, que corresponde a
Sentença matemática. Fração 3 quintos.do valor dos equipamentos.
a) Qual o valor total dos equipamentos?
b) Quantos reais esse empresário deverá depositar na sua conta para que possa comprar tudo de que precisa e ainda ficar com uma reserva de R$ 230,00duzentos e trinta reais?
17. Sônia foi a um supermercado e comprou uma embalagem com
Fração um quarto.de queijo. Se ela acrescentasse 630 gramas, teria uma peça inteira de queijo. Qual é a medida de massa, em grama, da peça inteira?
18. Régis e Amanda recebem juntos R$ 4.500,00quatro mil quinhentos reais por mês. Sabendo que o salário de Régis é
Sentença matemática. Fração 4 quintos.do salário de Amanda, calcule o salário de cada um.
19.
Roberto e Jorge gostam de jogar bolinha de gude. Eles foram à loja de brinquedos e cada um comprou uma quantidade de bolinhas. Observe a cena a seguir.
• Sabendo que, juntos, os meninos compraram 70 bolinhas de gude, responda às questões.
Dica: considere x o número de bolinhas verdes.
a) Quantas bolinhas Roberto comprou?
b) Quantas bolinhas verdes Jorge comprou?
20. O poço a contém 700 litros de água; o poço B contém 800 litros. Usando baldes com medidas de capacidade iguais, Paulo tirou 100 baldes cheios de água do poço a e Norberto tirou 120 baldes cheios de água do poço B.
Sabendo que os dois poços ficaram com a mesma quantidade de água, responda: qual é a medida de capacidade, em litro, de cada balde?
21.
Elabore um problema que possa ser resolvido com uma equação do 1º grau com uma incógnita. Depois, peça a um colega que resolva o seu problema e resolva o problema criado por ele.
6 Desigualdade
Observe a medida da velocidade registrada pela lombada eletrônica em cada situação a seguir.
Podemos indicar se a medida da velocidade registrada está acima ou abaixo da medida de velocidade máxima permitida na via usando sentenças matemáticas:
Sentenças como essas são denominadas desigualdades. As desigualdades são sentenças matemáticas em que aparecem um dos sinais:
> (maior que)
< (menor que)
≠ (diferente de)
⩾ (maior que ou igual a)
⩽ (menor que ou igual a)
Assim como nas igualdades, chamamos de 1º membro a expressão que está à esquerda do sinal de desigualdade e de 2º membro a expressão que está à direita do sinal de desigualdade.
Exemplos
Para pensar
No Brasil, alguns veículos, como os de transporte escolar, são obrigados a usar um equipamento conhecido como tacógrafo. Esse aparelho registra, para efeito de fiscalização, a medida do tempo de viagem, a medida de distância percorrida e a medida da velocidade do veículo.
Você já tinha ouvido falar desse aparelho?
Lembre-se: Escreva no caderno!
Observação
Observe duas propriedades que valem para as desigualdades.
• Propriedade simétrica
Exemplo: se 12 + 4 < 25, então 25 > 12 + 4
• Propriedade transitiva
Exemplo: sendo 3 menos 2 < 8 e 8 < 11 + 5, então 3 menos 2 < 11 + 5
Princípios de equivalência das desigualdades
Antes de estudar os princípios de equivalência das desigualdades, observe o que costumamos dizer sobre os sinais que usamos para expressá-las:
< e < têm o mesmo sentido;
> e > têm o mesmo sentido;
⩽ e ⩽ têm o mesmo sentido;
⩾ e ⩾ têm o mesmo sentido;
< e > têm sentidos opostos;
> e < têm sentidos opostos;
⩽ e ⩾ têm sentidos opostos;
⩾ e ⩽ têm sentidos opostos.
Princípio aditivo da desigualdade
Acompanhe nos exemplos o que acontece quando adicionamos um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade em que aparecem os sinais < ou > ou ⩽ ou ⩾.
• Adicionando um número positivo aos dois membros de uma desigualdade:
• Adicionando um número negativo aos dois membros de uma desigualdade:
• Adicionando o número zero aos dois membros de uma desigualdade:
Observe que adicionar ou subtrair um mesmo número dos dois membros da desigualdade não altera o sentido da desigualdade inicial. Esse é o princípio aditivo da desigualdade.
Lembre-se: Escreva no caderno!
Exemplos
• menos2 < 15
menos2 + 7 < 15 + 7
5 < 22
• 31,5 > 10
31,5 menos 20 > 10 menos 20
11,5 > menos 10
• menos7 < 1
menos7 + 0 < 1 + 0
menos7 < 1
Princípio multiplicativo da desigualdade
Acompanhe nos exemplos o que acontece quando multiplicamos os dois membros de uma desigualdade em que aparecem os sinais < ou > ou ⩽ ou ⩾ por um mesmo número:
• Multiplicando os dois membros de uma desigualdade por um número positivo.
• Multiplicando os dois membros de uma desigualdade por um número negativo:
• Multiplicando os dois membros de uma desigualdade por zero:
Observe que, se o número considerado é:
• positivo, obtemos outra desigualdade de mesmo sentido;
• negativo, obtemos outra desigualdade de sentido contrário;
• zero, obtemos uma igualdade abre parênteses0 = 0fecha parênteses.
Esse é o princípio multiplicativo da desigualdade.
Exemplos
• menos2 < 15
menos2 ⋅ 7 < 15 ⋅ 7
menos14 < 105
• 31,5 > 10
31,5 ⋅ abre parêntesesmenos10fecha parênteses < 10 ⋅ abre parêntesesmenos10fecha parênteses
menos315 < menos100
• menos7 < 1
menos7 ⋅ 0 = 1 ⋅ 0
0 = 0
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Copie no caderno as sentenças que representam uma desigualdade.
a) 2 + 1 > menos1
b)
Sentença matemática. Abre parênteses, fração 1 terço elevado a 2, fecha parênteses, igual, fração 1 nono.c)
Fração 3 quartos.menos 1 ≠ menos1
d) 12 + 12 > 1
e) 5 menos 10 < 0
f) n menos 1 = 0
2. Copie as desigualdades a seguir identificando o 1º e o 2º membros de cada uma delas.
a) 1 menos 2 < 0
b) 2 ⩾ menos3 menos 4
c)
Sentença matemática. Menos 1, menor que, fração 1 terço.
d) 7 ⩽ 52
3. Identifique qual das desigualdades é falsa.
a) 252 dividido por 12 menos 35 > menos3 ⋅ 5
b) abre parênteses4 + 12fecha parênteses dividido por 2 < 3elevado a 2
c) 5elevado a 3 menos 25 > 10elevado a 2
d) 15 menos 3 ⋅ 4 < 36 dividido por 9
e) 98 > 256 dividido por 2elevado a 2
4. (Saresp) Observe atentamente as retas ordenadas a seguir:
A ordenação correta entre os números representados pelas letras x, y e z é:
a) x < y < z
b) x < z < y
c) y < x < z
d) y < z < x
5. Com base no que você estudou sobre o princípio aditivo e sobre o princípio multiplicativo da desigualdade, reescreva cada sentença no caderno substituindo o ◼ pelo sinal de desigualdade adequado.
a) 10 + 1 > 2
10 + 1 menos 5 ◼ 2 menos 5
6 ◼ menos3
b) 4 ⋅ 2 < 20
4 ⋅ 2 ⋅ abre parêntesesmenos5fecha parênteses ◼ 20 ⋅ abre parêntesesmenos5fecha parênteses
menos 40 ◼ menos100
c) 7 ⩽ 10elevado a 2
7 + 10 ◼ 10elevado a 2 + 10
17 ◼ 110
d) 9elevado a 2 ⩾ 9
Sentença matemática. 9 elevado ao quadrado, vezes, abre parênteses, fração 1 terço, fecha parênteses, quadradinho cinza, 9 vezes, abre parênteses, fração 1 terço, fecha parênteses.
27 ◼ 3
6. Classifique cada afirmação a seguir em verdadeira ou falsa.
a) Se 1 + 6 < 10, então 1 + 6 + abre parêntesesmenos 6fecha parênteses > 10 + abre parêntesesmenos 6fecha parênteses.
b) Se 3 ⋅ 7 > 20, então
Sentença matemática. 3 vezes 7, vezes fração 1 terço, maior que, 20 vezes, fração 1 terço..
c) Se menos x ⩾ 8, então menos x ⋅ abre parêntesesmenos1fecha parênteses ⩽ 8 ⋅ abre parêntesesmenos1fecha parênteses.
7. Escreva uma desigualdade para representar cada situação a seguir.
a)
b)
• Agora, responda: qual é o maior número de ovos que pode haver no pote?
8. Observe as figuras representadas a seguir.
• Calcule a medida de área dessas figuras e escreva uma desigualdade para relacionar essas medidas de área.
9. (saréspi) Em um jogo de dados, Zezo tirou 3 vezes o número 6 e depois o número 12. Já Ricardo tirou o 9 na primeira jogada, o 7 na rodada seguinte e o 10 nas terceira e quarta jogadas. É correto dizer que:
a) Ricardo está 16 pontos na frente de Zezo.
b) Zezo está 4 pontos na frente de Ricardo.
c) Ricardo está 6 pontos na frente de Zezo.
d) Zezo está 1 ponto na frente de Ricardo.
Educação Financeira
faça as atividades no caderno
Comprar mais ou comprar menos?
O que você faria?
Imagine que você esteja nessa padaria diante das duas situações mostradas. Depois, copie os quadros a seguir no caderno e complete-os para descrever as circunstâncias nas quais vale ou não a pena fazer uma compra.
|
Vale a pena comprar o bolo inteiro quando... |
Vale a pena comprar o bolo em pedaços quando... |
|---|---|
▶ Educação Financeira
|
Compensa aproveitar a promoção se... |
Não compensa aproveitar a promoção se... |
|---|---|
Calcule
1. Observe na ilustração os preços dos bolos e, depois, responda às questões.
a) Quantos pedaços de bolo formam o bolo inteiro?
b) Se você comprasse 6 pedaços de bolo, quanto gastaria?
c) Quantos pedaços de bolo podem ser comprados com o preço de um bolo inteiro?
d) O preço do bolo inteiro e o preço do pedaço são proporcionais? Justifique sua resposta. Dica: serão proporcionais se o preço de 6 pedaços (equivalentes ao bolo inteiro) for igual ao preço do bolo inteiro.
e) Se você quisesse comprar 3 pedaços de bolo, o que faria: compraria o bolo inteiro ou os 3 pedaços à parte? Justifique sua resposta.
f ) Se alguém comprasse o bolo inteiro por impulso, sem de fato precisar, que problemas essa atitude acarretaria? Exemplifique com uma situação.
2. Agora, observe os preços da promoção de tortas e, depois, responda às questões.
a) O preço unitário e o da promoção são proporcionais? Por quê?
b) Quais poderiam ser os preços de 1, 2 e 3 tortas para que fossem proporcionais?
c) Quanto você economizaria se aproveitasse a promoção?
d) Que problemas uma compra por impulso acarretaria? Exemplifique com uma situação.
Reflita
Nos mercados, em geral, há muitas ofertas tentadoras; por isso, precisamos pensar com responsabilidade e ter cautela para decidir o que e quanto comprar.
a) Você, ou alguém de sua família, já fez uma compra por impulso? Se a resposta for positiva, essa compra gerou desperdícios ou algum outro problema?
b) Você já ouviu falar em vendas no atacado (em grande ou média quantidade)? A que público é direcionado esse tipo de venda? Por quê?
c) Você e sua família já fizeram compras no atacado? Em caso afirmativo, em que situação?
7 Inequação do 1º grau com uma incógnita
Observe a seguir alguns exemplos de desigualdade.
Toda desigualdade que tem uma ou mais incógnitas e cada incógnita tem expoente maior ou igual a 1 é chamada de inequação.
Entre as desigualdades apresentadas anteriormente, as inequações x menos 2 > 4x e x + y < 3 são do 1º grau. Entre elas, observe que a inequação x + y < 3 tem duas incógnitas e a inequação x menos 2 > 4x tem uma incógnita.
Toda inequação do 1º grau com uma incógnita pode ser escrita de uma das fórmas a seguir:
ax + b ≠ 0
ax + b > 0
ax + b < 0
ax + b ⩾ 0
ax + b ⩽ 0
em que ei é um número racional diferente de zero, b é um número racional qualquer e x é a incógnita.
Exemplos
Outros exemplos de inequações do 1º grau com uma incógnita.
• 2x > menos 5
•
Sentença matemática. Menos fração x sobre 2, menor que ou igual a, 7.
• x menos 1 ⩾ 0
As soluções de uma inequação são todos os números de determinado conjunto universo que ao substituírem as incógnitas tornam a sentença verdadeira.
Para resolver uma inequação, empregamos os princípios de equivalência das desigualdades. Acompanhe, por exemplo, como resolver a inequação x + 6 > 2, sendo conjunto universo =
.
Portanto, todo número inteiro maior que ‒ 4 é solução dessa inequação.
Observe como podemos representar essa solução na reta numérica.
Observação
Nessa representação feita na reta numérica, os números correspondentes aos pontos indicados com “bolinhas cheias” são algumas das infinitas soluções da inequação x + 6 > 2, sendo conjunto universo =
.
A “bolinha vazia” indica que menos 4 não é solução. A partir do menos 4, todos os números inteiros maiores que ele são soluções dessa inequação.
Observe agora a resolução da inequação 3 ⋅ abre parênteses1 menos xfecha parênteses ⩽ 7, sendo U =
.
Portanto, todo número racional maior ou igual a
Sentença matemática. Menos fração 4 terços.é solução dessa inequação.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Copie no caderno as desigualdades a seguir que são inequações do 1º grau com uma incógnita.
a) x + 3 ⩾ 3x menos 1
b) x < 0
c)
Sentença matemática. y maior que, fração 1 meio, menos 4.d) 7 menos x ⩽ x
e) x menos 5y < 12 + x elevado a 2
f ) 10y elevado a 2 ⩾ 2y menos 3
g) 9 + 2x > 5 ⋅ abre parêntesesx menos 3fecha parênteses
h) 7x menos 5 ⩽ z + 6
2. Associe cada inequação à solução correspondente, sendo conjunto universo =
.
3. Considere a inequação 3x menos 4 ⋅ abre parêntesesx menos 2fecha parênteses ⩾ x + 4. Sabendo que U =
, identifique a opção em que a solução dessa inequação está representada.
a) x > 1
b) x ⩽ 2
c) x > 0
d) x ⩽ 5
4. Resolva as inequações a seguir.
a) x + 7 < 10, sendo conjunto universo =
.
b) 10x < 30, sendo conjunto universo =
.
c) 2 menos x ⩽ x + 8, sendo conjunto universo =
.
d) 12x < 4x + 5, sendo conjunto universo =
.
e) 4 ⋅ abre parêntesesx + 5fecha parênteses ⩽ 3x + 10, sendo conjunto universo =
.
5. Responda às questões a seguir.
a) Qual é o maior número inteiro que é solução da inequação 5 menos 3 ⋅ abre parêntesesx menos 2fecha parênteses > x menos 2x + 1?
b) Quais elementos do conjunto a = abre chavemenos2, 0, 1fecha chave tornam a sentença 4x + 7 < 3x + 8 verdadeira?
c) Marcelo pensou em um número natural e adicionou esse número ao seu triplo. O resultado obtido foi maior que 16. Qual é o menor número em que ele pode ter pensado?
d) O dobro de um número racional y é menor que a diferença entre o triplo desse número e 14. Que valores y pode assumir?
Lembre-se: Escreva no caderno!
6. (Colégio Militar de Brasília-Distrito Federal) O produto de todas as soluções inteiras que satisfazem, simultaneamente, as desigualdades 3abre parêntesesx + 1fecha parênteses < 9 + 2x, 15x + 5 < 5x + 5 e 16 menos 2abre parêntesesx menos 2fecha parênteses > 1 menos 3abre parêntesesx menos 5fecha parênteses é:
a) 0
b) 6
c) menos6
d) 24
e) menos24
7. Observe o quadrado e o retângulo e responda à questão.
• Considerando que a medida do perímetro do quadrado é maior que a medida do perímetro do retângulo, qual é o menor número inteiro que x pode assumir?
8. Em uma concessionária, um carro popular custa o dobro do que custa uma moto.
• Considerando que o preço da moto é x reais e que o carro e a moto juntos custam mais de .45000 reais, responda às questões.
a) Que inequação relaciona as informações do enunciado?
b) O valor do carro é maior ou menor que .30000 reais? Use a inequação encontrada no item a para justificar sua resposta.
9. Uma empresa de telefonia celular oferece os dois planos descritos a seguir.
Plano a: parcela fixa de R$ 35,00trinta e cinco reais mais R$ 0,50zero reais e cinquenta centavos por minuto utilizado.
Plano B: R$ 1,20um reais e vinte centavos por minuto utilizado.
a) Qual é o plano mais vantajoso para quem utiliza 40 minutos por mês?
b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano a é mais vantajoso que o plano B?
Estatística e Probabilidade
faça as atividades no caderno
Média aritmética e amplitude
Na escola em que Isabela estuda será organizada uma gincana em que cada equipe deve ter 6 participantes com estudantes do 6º ao 9º ano. Isabela mede 1,61 métro de altura e quer entrar em uma equipe em que as medidas de altura dos participantes sejam próximas da dela. Por isso, o professor de Educação Física verificou as equipes que já estavam com 5 participantes e deu a Isabela duas opções.
Isabela decidiu participar da equipe Vamos Juntos, mas, ao verificar o registro da medida da altura dos participantes dessa equipe, percebeu que seus colegas não tinham a medida de altura próxima da dela.
Quando analisou o registro da medida de altura dos participantes da equipe fórça Já, notou que todos tinham a medida de altura próxima da dela.
Note que analisar apenas a média das medidas de altura dos participantes das duas equipes não foi suficiente para garantir que eles teriam a medida de altura próxima da de Isabela. Para isso, seria necessário verificar a amplitude, que nesse caso corresponde à diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados.
Observe como calcular a amplitude das medidas de altura dos participantes de cada equipe:
Repare que a amplitude das medidas de altura dos participantes da equipe fórça Já é menor que a das medidas de altura dos participantes da equipe Vamos Juntos. Isso quer dizer que, na equipe fórça Já, os dados estão mais próximos um do outro, enquanto na equipe Vamos Juntos os dados estão mais dispersos.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Observe na tabela a medida de massa de algumas atletas da Seleção Brasileira de Judô em 2022.
|
Atleta |
Medida de massa (em kg) |
|---|---|
|
Amanda Lima |
48 |
|
Yasmim Lima |
52 |
|
Rafaela Silva |
57 |
|
Ketleyn Quadros |
63 |
|
Maria Portela |
70 |
|
Mayra Aguiar |
78 |
Dados obtidos em: CBJ Brasil. Disponível em: https://oeds.link/NW1Fz2. Acesso em: 4 abril 2022
a) Calcule a média aritmética dessas medidas de massa.
b) Determine a amplitude desse conjunto de dados.
c) Que medida de massa pode ser inserida nesse conjunto de dados de modo que sua amplitude continue a mesma?
2. A professora de pilates resolveu anotar a idade de seus alunos como mostrado a seguir.
a) Calcule a média aritmética dessas idades.
b) Qual é a menor idade? E qual é a maior idade?
c) Qual é a amplitude desse conjunto de dados?
▶ Estatística e Probabilidade
Lembre-se: Escreva no caderno!
3. A professora de Matemática do 7º ano aplicou a mesma avaliação para duas turmas. Observe as notas que os estudantes de cada turma obtiveram.
a) Qual foi a nota média de cada turma?
b) Qual é a amplitude das notas de cada turma?
c) Para ser aprovados nessa avaliação, os estudantes deveriam ter notas iguais ou superiores a 5. Qual das turmas tem mais estudantes reprovados?
4. Três pequenas empresas de uma cidade se cadastraram para um curso de capacitação oferecido pela prefeitura. Observe nas tabelas a seguir o número de funcionários de cada empresa e seus respectivos salários em dezembro de 2023.
|
Cargo |
Salário |
Número de funcionários |
|---|---|---|
|
Júnior |
R$ 1.175,00 |
8 |
|
Pleno |
R$ 1.960,00 |
2 |
|
Sênior |
R$ 2.410,00 |
1 |
Dados obtidos pela empresa ei em dezembro de 2023.
|
Cargo |
Salário |
Número de funcionários |
|---|---|---|
|
Júnior |
R$ 1.050,00 |
3 |
|
Pleno |
R$ 1.300,00 |
5 |
|
Sênior |
R$ 2.050,00 |
4 |
Dados obtidos pela empresa B em dezembro de 2023.
|
Cargo |
Salário |
Número de funcionários |
|---|---|---|
|
Júnior |
R$ 1.150,00 |
2 |
|
Pleno |
R$ 1.850,00 |
6 |
|
Sênior |
R$ 2.640,00 |
2 |
Dados obtidos pela empresa C em dezembro de 2023.
a) Qual é o salário médio dos funcionários de cada empresa?
b) A primeira empresa a participar do curso de capacitação oferecido pela prefeitura foi a que tem os funcionários cujos salários apresentam a menor amplitude. Qual é essa empresa?
Compreender um texto
faça as atividades no caderno
Jovens na proteção do meio ambiente
O poder dos jovens na proteção do meio ambiente
Já ouviu falar no movimento Friday [Fridays] for future (sexta [sextas] para o futuro)? Ele nasceu na Suécia, a partir da ação de Greta Túmberg, uma jovem de 16 anos. Ela estava muito preocupada com as mudanças climáticas e pensou que precisava descobrir um jeito de protestar contra o que estava acontecendo.
Greta passou a ir todas as sextas-feiras para a porta do Parlamento sueco, na cidade de Estocolmo, para exigir que fossem tomadas medidas que evitem o aquecimento global. “Como não posso votar, essa é uma das maneiras que eu posso fazer minha voz ser ouvida”, declarou durante uma entrevista.
[reticências]
Pensar global, agir local
[reticências] além da participação nas manifestações, uma boa fórma de apoiar Greta é ter consciência de que pequenas ações do dia a dia podem melhorar o meio ambiente.
É preciso, sim, estar ligado ao que acontece no mundo, mas podemos e devemos agir em nosso meio, em nossa casa e escola. O seu exemplo pode influenciar amigos, vizinhos e família, estabelecendo uma corrente do bem.
▶ Compreender um texto
Recusar, Refletir, Reduzir, Reutilizar, Reciclar… e revolucionar!
As ações mais efetivas que podemos praticar em quase todos os lugares são reciclar e reutilizar materiais. A seguir, algumas dicas sobre como colocar em prática estes 5Rs que podem salvar o meio ambiente!
• Repensar o que nós consumimos: [reticências] Pense bem: será que é preciso comprar algo novo ou dá para reaproveitar algo que já temos em casa?
• Recusar produtos que prejudiquem o meio ambiente: sabe o canudinho que vem com o suco? O copinho descartável de água? A sacolinha plástica do mercado? Que tal levar seu copo reutilizável na mochila e usar sacolas de pano?
• Reduzir a produção de lixo: em vez de comprar vários pacotinhos de biscoito, que tal comprar um pacote grande e guardar em um pote?
• Reutilizar: dar utilidade a um objeto que, a princípio, foi fabricado para outro fim. É o caso do artesanato feito com garrafas péti, ou da latinha que você enfeita e usa para acomodar os seus lápis, por exemplo;
• Reciclar, que significa transformar resíduos em novos produtos, como as roupas tecidas com um fio feito a partir de garrafas péti [reticências].
BRASIL. Câmara dos Deputados. O poder dos jovens na proteção do meio ambiente. Plenarinho: o jeito criança de ser cidadão, Brasília, Distrito Federal, 26 fevereiro 2020. Disponível em: https://oeds.link/prDlOB. Acesso em: 31 maio 2022.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Qual é o gênero do texto apresentado? Onde e quando ele foi publicado?
2. De acordo com o texto, como surgiu o movimento Fridays for future (sexta para o futuro)?
3. Os estudantes do 7º ano da escola em que Tobias estuda organizaram uma campanha de separação e coleta de garrafas péti. A tabela apresenta a quantidade de garrafas péti coletadas mensalmente pelas turmas a e bê.
|
Mês |
Quantidade arrecadada (em quilograma) |
|
|---|---|---|
|
Turma A |
Turma B |
|
|
Março |
20 |
18 |
|
Abril |
29 |
19 |
|
Maio |
23 |
37 |
|
Junho |
28 |
15 |
|
Julho |
27 |
34 |
|
Agosto |
23 |
13 |
|
Setembro |
28 |
28 |
|
Outubro |
26 |
30 |
|
Novembro |
25 |
11 |
Dados obtidos pela escola em 2023.
a) Em média, quantos quilogramas de garrafas péti foram coletados pela turma a por mês? E pela turma B?
b) Entre as turmas a e bê, qual teve uma regularidade maior na arrecadação de garrafas? Justifique sua resposta.
4.
Você já praticou ou pratica algum dos 5Rs apresentados no texto? Reúna-se em grupo e compartilhe as experiências vivenciadas.
Atividades de revisão
faça as atividades no caderno
1. Escreva a equação correspondente a cada sentença a seguir. Depois, resolva‑a.
a) O resultado da adição do triplo de um número com 3 é igual a 24. Qual é esse número?
b) A diferença entre o dobro de um número e 25 é igual a 7. Qual é esse número?
c) Metade de um número menos 1 tem como resultado 3. Que número é esse?
d) Três quartos de um número adicionados a 5 resulta em
Sentença matemática. 1 meio.. Que número é esse?
2. Associe as equações equivalentes.
3. Responda às questões.
a) Qual é a raiz da equação
Sentença matemática. Fração 3 quintos x, igual, 1.?
b) Qual é a solução dessa equação se conjunto universo =
?
c) Qual é a solução dessa equação se conjunto universo =
?
d) Qual é a solução dessa equação se conjunto universo =
?
4. Considerando conjunto universo =
, determine a solução das equações a seguir.
a) 4x + 13 = x menos 17
b)
fração numerador x mais 1, denominador 3 igual fração numerador 1 menos x denominador 2c) 3abre parêntesesy menos 5fecha parênteses = 25 + 2y
5. Observe a figura e faça o que se pede.
a) Escreva a expressão correspondente à medida do perímetro da figura.
b) Determine a medida de comprimento de x para que o perímetro da figura meça 60 centímetros.
c) Se x = 100 centímetros, qual será a medida do perímetro da figura?
d) Escreva a expressão correspondente à medida de área da figura.
6. (saébi) Uma prefeitura aplicou R$ 850 miloitocentos e cinquenta reais na construção de 3 creches e um parque infantil. O custo de cada creche foi de R$ 250 milduzentos e cinquenta reais. A expressão que representa o custo do parque, em mil reais, é:
a) x + 850 = 250
b) x menos 850 = 750
c) 850 = x + 250
d) 850 = x + 750
7. O entregador de uma empresa recebe mensalmente um salário fixo de R$ 1.280,00mil duzentos e oitenta reais mais R$ 0,70zero reais e setenta centavos por quilômetro percorrido.
• Qual foi a medida de distância, em quilômetro, que o entregador percorreu para receber esse salário?
8. Ari foi contratado para trocar o piso de um salão. Ele cobrou R$ 300,00trezentos reais para tirar o piso velho e mais uma quantia por metro quadrado de piso novo assentado.
Sabendo que o salão mede 57 métros quadrados e que a mão de obra total ficou em R$ 1.326,00mil trezentos e vinte e seis reais, responda: quanto Ari cobrou por metro quadrado de piso novo assentado?
9. Um alpinista aceitou o desafio de escalar o maior pico da América: o Aconcágua. Durante a subida, enfrentou uma forte tempestade e, por segurança, parou quando faltavam
Sentença matemática. Fração 3 quintosda medida da distância total. Se ele tivesse subido mais 696 metros, teria percorrido aproximadamente metade da medida da distância total. Quanto mede, aproximadamente, a altitude desse pico?
10. João colocou o carro dele à venda, e Marcos propôs pagar pelo carro R$ 16.800,00dezesseis mil oitocentos reais.
Se João vender o carro por esse valor, perderá
Sentença matemática. Fração 3 décimosdo valor de mercado. Qual é o preço de mercado do carro de João?
▶ Atividades de revisão
11. Beatriz comprou uma caixa com 14 lápis para dividir entre seus três filhos de acordo com a quantidade que cada um precisava. Assim, Ricardo recebeu 3 lápis a menos que Jorge, e Régis ganhou 2 lápis a mais que Jorge. Quantos lápis ganhou cada um dos filhos?
12. Letícia queria organizar seus filmes em di vi di. Para isso, ela os enfileirou em uma estante, separando-os por gênero: aventura, comédia e ficção científica. Ao final, ela contou 56 dê vê dês. A quantidade de filmes de ficção científica corresponde à metade da quantidade de filmes de comédia, que, por sua vez, corresponde à metade da quantidade de filmes de aventura. Quantos filmes de cada gênero Letícia tem?
13. Resolva as inequações considerando conjunto universo =
.
a) 3abre parênteses4x menos 8fecha parênteses + 2 ⩾ 5 menos 2abre parênteses3 menos 2xfecha parênteses
b)
Sentença matemática. fração x mais 2 sobre 4 menor ou igual a fração x menos 3 sobre 6.c)
Sentença matemática. x menos, fração com numerador x mais 1 e denominador 3, menor ou igual a, fração x sobre 2.d) 2abre parêntesesx menos 1fecha parênteses menos abre parênteses1 menos xfecha parênteses ⩾ 3abre parêntesesx + 2fecha parênteses
14. Observe as figuras a seguir.
• Para que valores de x a medida do perímetro do triângulo é maior que a medida do perímetro do retângulo?
15. Certo guindaste suporta uma carga com medida máxima de 12 toneladas de massa.
Sabendo que ele vai transportar dois contêineres de mesma medida de massa x e uma caixa cuja massa mede 4 toneladas, faça o que se pede.
a) Escreva uma inequação que represente essa situação.
b) Qual é a medida de massa máxima que cada contêiner pode ter?
16. No fim do ano, uma empresa oferece aos funcionários um vale-presente e uma cesta de Natal. Para isso, é destinado um orçamento de R$ 25.000,00vinte e cinco mil reais, dos quais R$ 15.000,00quinze mil reais são gastos com as cestas e o restante determina o valor do vale-presente. Sabendo que há 48 funcionários nessa empresa, qual é o maior valor inteiro que o vale-presente pode ter para não estourar o orçamento?
17. Alexandre e Mara estão poupando uma quantia há algum tempo para comprar um carro que custa R$ 34.000,00trinta e quatro mil reais. Observe a cena e responda às questões a seguir.
a) O dinheiro que eles têm na aplicação e na poupança é suficiente para comprar o carro?
b) Que desigualdade podemos escrever para relacionar a quantia que Alexandre e Mara têm e o valor do carro?
18. Em uma escola, para um estudante ser aprovado, deve ter a média das notas dos 4 bimestres maior ou igual a 5. Observe as notas de um estudante.
|
1º bimestre |
2º bimestre |
3º bimestre |
4º bimestre |
|---|---|---|---|
|
3,0 |
5,0 |
4,5 |
? |
Qual é a nota mínima que esse estudante precisa tirar no 4º bimestre para ser aprovado?
19. Rafael e Henrique têm menos de 30 anos, mas, se adicionarmos a idade dos dois, obteremos um valor maior que 30. A idade do mais velho corresponde ao quádruplo da idade do mais novo. Qual é a idade de cada um?