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CAPÍTULO 9 Triângulos e quadriláteros

1 Triângulos

Você já aprendeu que triângulo é um polígono com três lados. Na Arquitetura e na Engenharia é muito comum o uso de estruturas com formato triangular, principalmente em telhados, prédios e pontes.

Fotografia. Vista interior da estrutura de um telhado em formato triangular. Ao fundo, porta de vidro. — Estrutura de um telhado.

Fotografia. Edifício moderno com estruturas externas de parede de vidro. Observa-se triângulos na estrutura externa. Ao redor, outros prédios. — Vista da Torre Hearst, em Midtown Manhattan, Nova Iorque, 2022.

Observe nas fotos anteriores que, no telhado e no edifício, há estruturas triangulares. Esse formato é muito utilizado em construções porque o triângulo é uma figura rígida, que não pode ser deformada.

Estruturas com formato de outros polígonos podem sofrer deformações, pois é possível alterar as medidas de abertura de seus ângulos internos sem mudar a medida de comprimento de seus lados. Podemos, por exemplo, movimentar dois lados de uma estrutura com formato de um quadrilátero e transformá-la no formato de outro, com lados de mesmas medidas de comprimento e com ângulos de medidas de abertura diferentes.

Figura geométrica. Quadrado paralelogramo. No canto superior direito há uma seta indicando sentido anti-horário. Ao lado uma seta e, ao lado dela um quadrado.

Para pensar

Ilustração. Estante de livro com inclinação acentuada para direita onde há uma mulher de cabelo castanho, blusa roxa e calça azul segurando a estante.

A estante entortou!

Como isso poderia ter sido evitado? Por quê?

Lembre-se: Escreva no caderno!

Elementos de um triângulo

Considere o triângulo á bê cê a seguir. Nele, é possível identificar três vértices, três lados e três ângulos internos.

Figura geométrica. Triângulo ABC com destaque para o lado AC, ângulo interno B e o vértice B.

• A, B e C são os vértices;

•

\overline{A B}, \overline{A C} e \overline{B C}

são os lados;

•

C \hat{A} B, A \hat{B} C e A \hat{C} B

são os ângulos internos.

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2 Construção de triângulos com régua e compasso

Se soubermos as medidas de comprimento dos lados de um triângulo, poderemos construí-lo usando régua e compasso.

Figura geométrica. Triângulo laranja ABC com as medidas: AB: 4 centímetros, BC: 2 centímetros. AC: 3 centímetros.

Para construir, por exemplo, um triângulo, como o representado, cujos lados medem 4 centímetros, 3 centímetros e 2 centímetros de comprimento, podemos seguir os passos a seguir.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

1º) Trace uma reta r e sobre ela construa o segmento

\overline{A B}

, medindo 4 centímetros de comprimento, que será um dos lados do triângulo.

Figura geométrica. Reta r. O segmento de reta AB está em destaque na reta r.

2º) Utilize um compasso com abertura medindo 3 centímetros de comprimento e, com a ponta-seca do compasso no ponto a da reta r, trace um arco.

Ilustração. Reta r. Segmento de reta AB sobre a reta r. A ponta-seca do compasso está em A, acima da reta está traçado um arco.

3º) Com abertura medindo 2 centímetros de comprimento e com a ponta-seca do compasso no ponto B da reta r, trace outro arco, de modo que ele cruze o anterior, obtendo o ponto C.

Ilustração. Reta r. Sobre ela, segmento de reta AB. Ponta-seca do compasso em B. Foi traçado um arco que cruza o arco traçado no passo anterior.

4º) Una com segmentos o ponto C aos pontos aêbê e obtenha os lados

\overline{A C}

\overline{B C}

. Por fim, pinte a região interna da figura e obtenha o triângulo á bê cê.

Figura geométrica. Reta r. Sobre ela, segmento de reta AB. Triângulo formado pelos os pontos A, B e C, que foi definido pelo arco traçado no passo anterior.

Para fazer

Descreva por meio de um fluxograma os passos para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas de comprimento dos três lados.

Condição de existência de um triângulo

Como já sabemos, o contorno de um triângulo é formado por três segmentos, que são os seus lados. Mas devemos observar que nem sempre três segmentos podem formar o contorno de um triângulo.

Por exemplo, será que é possível construir um triângulo com lados medindo 4 centímetros, 2 centímetros e 1 centímetro de comprimento?

Figura geométrica. Três segmentos de medidas de comprimento diferentes. De cima para baixo: 1 centímetro, 2 centímetros, 4 centímetros. Figura geométrica. Segmento de 4 centímetros. No limite do segmento à esquerda há um arco de raio 2 centímetro. No limite do segmento à direita há um arco de raio 1 centímetro.

Observe que os arcos não se cruzam; portanto, não é possível construir um triângulo com essas medidas de comprimento.

Para saber se existe um triângulo com lados de determinadas medidas de comprimento, podemos aplicar a condição de existência de um triângulo, também conhecida por desigualdade triangular.

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Em qualquer triângulo, a medida de comprimento de um lado deve ser menor que a soma das medidas de comprimento dos outros dois lados.

Exemplos

• Vamos verificar se é possível construir um triângulo com lados medindo 1 centímetro, 2 centímetros e 4 centímetros de comprimento.

Aplicando a condição de existência de um triângulo, temos:

1 centímetro < 2 centímetros + 4 centímetros

Ilustração. Seta apontando para q direita.

sentença verdadeira

2 centímetros < 1 centímetro + 4 centímetros

sentença verdadeira

4 centímetros < 1 centímetro + 2 centímetros

sentença falsa

Então, não é possível construir um triângulo com lados com essas medidas de comprimento.

• É possível construir um triângulo com lados medindo 7 centímetros, 3 centímetros e 5 centímetros de comprimento?

Novamente, vamos aplicar a condição de existência de um triângulo:

3 centímetros < 5 centímetros + 7 centímetros

sentença verdadeira

5 centímetros < 3 centímetros + 7 centímetros

sentença verdadeira

7 centímetros < 3 centímetros + 5 centímetros

sentença verdadeira

Então, é possível construir esse triângulo.

3 Soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo

Em todo triângulo, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos mede 180graus.

Figura geométrica. Triângulo azul ABC, com destaque para os ângulos internos a, b e c. Ao lado, a mais b mais c igual a 180 graus.

Recorde

Um ângulo cuja abertura mede 180graus corresponde ao ângulo de meia-volta.

É possível verificar essa propriedade fazendo um experimento com um modelo de triângulo de papel.

1º) Desenhe, em uma folha de papel, um triângulo qualquer e, com cuidado, recorte-o com uma tesoura sem ponta.

Ilustração. Folha de papel amarela com um triângulo escaleno desenhado, com um lápis ao lado da folha. Ao lado, a mesma folha com o triângulo recortado e uma tesoura em cima da folha.

2º) Pinte cada ângulo interno da figura de uma cor.

Ilustração. Triângulo do passo anterior, recortado em folha amarela com cada um dos seus ângulos pintados de uma cor diferente e, ao lado, lápis de cor na cor azul, vermelha e verde.

3º) Recorte o triângulo em três partes de modo que cada uma contenha apenas um dos ângulos internos. Lembre-se: manuseie a tesoura com cuidado.

Ilustração. Triângulo do passo anterior com os ângulos destacados, dividido em três partes de modo que cada pedaço tenha um dos ângulos destacados. E uma tesoura ao lado.

4º) Junte os três ângulos, formando um ângulo com abertura de medida igual a 180graus.

Ilustração. As partes do triângulo recortados no passo anterior unidos pelos ângulos, determinando um ângulo de 180°.

Assim, verificamos experimentalmente que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo qualquer mede 180graus. A demonstração desse fato será feita em outro momento.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Você conhece alguma construção que seja sustentada por uma estrutura triangular? Em caso afirmativo, descreva-a.

2. Identifique os lados, os vértices e os ângulos internos de cada triângulo.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC.

Figura geométrica. Triângulo retângulo KLM.

3. Verifique se é possível construir triângulos cujos lados tenham as medidas de comprimento indicadas em cada caso.

a) 6 centímetros, 8 centímetros e 5 centímetros

b) 8 centímetros, 5 centímetros e 18 centímetros

c) 7 centímetros, 4 centímetros e 3 centímetros

d) 1,5 centímetro, 4 centímetros e 5 centímetros

4. Construa no caderno triângulos com as medidas de comprimento dos lados indicadas em cada item. Lembre-se: tenha cuidado ao manusear o compasso para evitar acidentes.

a) 3 centímetros, 4 centímetros e 6 centímetros

b) 7 centímetros, 8 centímetros e 4 centímetros

c) 8 centímetros, 6 centímetros e 2 centímetros

d) 16 centímetros, 10 centímetros e 4 centímetros

• Você conseguiu construir todos os triângulos?

Faça o que se pede.

• Escreva no caderno um algoritmo que possa ser utilizado para verificar a condição de existência e construir os triângulos com as medidas de comprimento indicadas nas atividades 3 e 4.

Descreva por meio de um fluxograma o algoritmo que você elaborou.

•

Troque o fluxograma com um colega para que ele siga suas instruções e verifique se ele está correto.

6. Calcule a medida x em grau.

Figura geométrica. Triângulo com ângulos: x, 85 graus e 35 graus.

Figura geométrica. Triângulo com ângulos: x, 60 graus e 90 graus.

Figura geométrica. Triângulo com ângulos: x, 35 graus e 45 graus.

Figura geométrica. Triângulo com ângulos: x, 73 graus e 35 graus.

Figura geométrica. Triângulo com ângulos: 100 graus e 30 graus e um ângulo externo não adjacente aos outros ângulos de medida x.

Figura geométrica. Triângulo com ângulos: x, 55 graus e 90 graus.

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7. Responda às questões.

a) A abertura de dois ângulos internos de um triângulo mede, cada uma, 40graus. Qual é a medida de abertura do outro ângulo interno desse triângulo?

b) Um triângulo tem a abertura dos três ângulos com mesma medida. Qual é a medida de abertura de cada ângulo interno desse triângulo?

8. Responda às perguntas de Ana e João.

Ilustração. Ana, menina de cabelo castanho na altura do ombro, blusa vermelha, calça laranja e tênis vermelho e amarelo. Ela está sentada no chão com a mão direita levantada pedindo a vez na fala e diz: A abertura de um dos ângulos internos de um triângulo mede 23 graus e 30 minutos e outra mede 90 graus. Qual é a medida de abertura do terceiro ângulo interno desse triângulo?

Ilustração. João, menino de cabelo curto preto, camiseta amarela, calça azul tênis verde. Ele está em pé e diz: A abertura de um dos ângulos internos de um triângulo mede 15 graus e outra mede 150 graus. Qual é a medida de abertura do terceiro ângulo interno desse triângulo?

4 Classificação dos triângulos

Os triângulos recebem nomes especiais de acordo com as medidas de comprimento dos lados ou com as medidas de abertura dos ângulos internos.

Classificação dos triângulos de acordo com as medidas de comprimento dos lados

De acordo com as medidas de comprimento dos lados, os triângulos podem ser classificados em equilátero, isósceles ou escaleno.

Triângulo equilátero	Triângulo isósceles	Triângulo escaleno

Um triângulo equilátero tem os três lados congruentes.	Um triângulo isósceles tem dois lados congruentes.	Um triângulo escaleno tem os três lados com medidas de comprimento diferentes.

Observação

Os tracinhos indicam que os lados têm a mesma medida de comprimento.

Para fazer

Descreva com suas palavras como você construiria, usando régua e compasso, um triângulo equilátero dada a medida de comprimento de seu lado.

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Classificação dos triângulos de acordo com as medidas de abertura dos ângulos

De acordo com as medidas de abertura dos ângulos, os triângulos podem ser classificados em acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Triângulo acutângulo	Triângulo retângulo	Triângulo obtusângulo

Um triângulo acutângulo tem todos os ângulos internos agudos.	Um triângulo retângulo tem um ângulo interno reto.	Um triângulo obtusângulo tem um ângulo interno obtuso.

Observe um exemplo do uso de triângulos retângulos na arte.

Foto. Reprodução de um quadro composto por triângulos brancos e pretos alternados. A imagem gera uma ilusão de ótica de movimento curvo. — Luiz Sacilotto. Concreção 8455, 1984, têmpera em tela sobre duratex, 20 centímetros × 20 centímetros.

5 Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Considere o triângulo á bê cê a seguir.

Figura geométrica. Triângulo ABC com ângulo em A medindo 105 graus, ângulo em B medindo 45 graus e ângulo em C medindo 30 graus.
A medida do comprimento dos lados do triângulo são: AB: 4 centímetros. BC: 8 centímetros e AC: 5,8 centímetros.

Nesse triângulo:

• o lado

\overline{B C}

é oposto ao ângulo

B \hat{A} C

;

• o lado

\overline{A B}

é oposto ao ângulo

B \hat{C} A

;

• o lado

\overline{A C}

é oposto ao ângulo

A \hat{B} C

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Comparando as medidas de abertura dos ângulos internos desse triângulo e relacionando-as com as medidas de comprimento dos lados opostos, temos:

Esquema. 105 graus (medida de abertura do ângulo BAC) é maior do que 45 graus (medida de abertura do ângulo ABC) que é maior do que 30 graus (medida de abertura do ângulo BCA). Seta saindo de 105 graus apontando para 8 cm, seta saindo de 45 graus apontando para 5 vírgula 8 cm, seta saindo de 30 graus apontando para 4 cm 8 centímetros (medida de comprimento do lado BC) é maior do que 5 vírgula 8 centímetros (medida de comprimento do lado AC) é maior do que 4 centímetros (medida de comprimento do lado AB).

Em todo triângulo, ao ângulo com abertura de maior medida opõe-se o lado de maior medida de comprimento e, reciprocamente, ao lado de maior medida de comprimento opõe-se o ângulo com abertura de maior medida. Da mesma maneira, ao ângulo com abertura de menor medida opõe-se o lado de menor medida de comprimento.

Essa relação é válida para qualquer triângulo e será provada mais adiante, quando avançarmos no estudo da Geometria.

Podemos usar essa relação para observar que:

• um triângulo isósceles, que tem dois lados com mesma medida de comprimento, também tem os ângulos opostos a esses lados com abertura de mesma medida;

Figura geométrica. Triângulo isósceles ABC na cor rosa, indicando os dois lados congruentes e os dois ângulos internos congruentes. medida do segmento de reta AB é igual a medida do segmento reta AC medida do ângulo ACB é igual a medida do ângulo ABC.

• um triângulo equilátero tem os três ângulos internos com abertura de mesma medida:

180graus : 3 = 60graus

Figura geométrica. Triângulo equilátero ABC na cor verde, indicando os lados de mesma medida e os ângulos de mesma medida. medida do segmento de reta AB é igual a medida do segmento de reta BC é igual a medida do segmento de reta AC Medida do ângulo BCA é igual a media do ângulo CAB que é igual a medida do ângulo ABC que é igual a 60 graus

Para pensar

Todo triângulo equilátero é um polígono regular? Justifique.

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Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Escreva no caderno apenas as sentenças verdadeiras.

a) Todo triângulo equilátero é isósceles.

b) Todo triângulo equilátero é acutângulo.

c) Todo triângulo retângulo é escaleno.

d) Existe triângulo escaleno isósceles.

e) Todo triângulo isósceles é acutângulo.

f ) Existe triângulo retângulo isósceles.

g) Todo triângulo isósceles é equilátero.

2. Escreva uma equação do 1º grau que represente a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo. Depois, resolva as equações e determine, em cada caso, a medida x em grau.

Figura geométrica. Triângulo retângulo da cor alaranjada, um dos ângulos agudos mede x e o outro ângulo agudo mede x sobre 2.

Figura geométrica. Triângulo equilátero da cor vermelha, com a indicação de que os lados são congruentes e cada um dos ângulos mede x.

Figura geométrica. Triângulo isósceles na cor azul, os ângulos medem x, x menos 50 graus, x menos 70 graus.

3. Sem instrumentos de medida, como régua ou transferidor, associe os triângulos às suas classificações quanto às medidas de comprimento dos lados e quanto às medidas de abertura dos ângulos.

Figura geométricas. A: Triângulo na cor roxa, com um ângulo reto e indicação de três lados não congruentes. B: Triângulo na cor azul com indicação de dois lados congruentes e um ângulo obtuso. C: Triângulo laranja com indicação de dois lados congruentes, e todos os ângulos agudos. D: Triângulo amarelo com indicação de três lados congruentes. E: Triângulo verde com indicação de dois lados congruentes e um ângulo reto. F: Triângulo rosa com indicação de três lados não congruentes e um ângulo obtuso.

I: Equilátero e acutângulo. II: Isósceles e acutângulo. III: Escaleno e retângulo. IV: Isósceles e obtusângulo. V: Escaleno e obtusângulo. VI: Isósceles e retângulo.

4. Calcule a medida x em grau.

Figura geométrica. Triângulo rosa FGH. Indicação de dois lados de mesma medida FG e FH. Medida do ângulo de F é 125 graus, medida do ângulo G é x.

5. Observe o triângulo á bê cê, em que

\overline{B C}

é o lado com a maior medida de comprimento, e

\overline{A C}

, com a menor.

Sabendo que as aberturas dos ângulos internos desse triângulo medem x, 3x e 5x, determine, em grau, a medida de abertura:

a) do ângulo oposto ao lado

\overline{B C}

;

b) do ângulo oposto ao lado

\overline{A C}

;

c) do ângulo oposto ao lado

\overline{A B}

6. Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38 centímetros e 14 centímetros de comprimento, quanto mede o comprimento do terceiro lado?

7. Construa o triângulo indicado em cada item e, depois, responda à questão.

a) Equilátero com lados que medem 3 centímetros de comprimento.

b) Isósceles com lados que medem 5 centímetros e 7 centímetros de comprimento.

c) Escaleno com lados que medem 4 centímetros, 5 centímetros e 7 centímetros de comprimento.

• Há apenas um triângulo que satisfaz cada um dos itens anteriores? Justifique.

Resolva os problemas.

a) Sabendo que á bê cê é um triângulo isósceles, que

\vec{B M}

é a bissetriz do ângulo

A \hat{B} C e q u e \vec{C M}

é a bissetriz do ângulo

A \hat{C} B

, encontre a medida x, em grau.

Figura geométrica. Triângulo ABC com incentro M, ângulo x definido pela bissetriz tracejada CM e bissetriz tracejada BM. Ângulo reto em A.

b) Se o triângulo á bê cê fosse equilátero, qual seria a medida x em grau?

Figura geométrica. Triângulo ABC com incentro M, ângulo x definido pela bissetriz tracejada CM e bissetriz tracejada BM. Os ângulos do triângulo são agudos.

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6 Quadriláteros

Você já aprendeu que um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Observe na figura a seguir um exemplo de quadrilátero e seus elementos.

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD com diagonais AC e BC.

• Vértices: A, B, C e D

• Lados:

\overline{A B}, \overline{B C}, \overline{C D} e \overline{D A}

• Ângulos internos:

D \hat{A} B, A \hat{B} C, B \hat{C} D e C \hat{D} A

• Diagonais:

\overline{A C} e \overline{B D}

Os quadriláteros que possuem lados opostos paralelos são denominados quadriláteros notáveis. De acordo com o número de pares de lados opostos paralelos, o quadrilátero pode ser um trapézio ou um paralelogramo.

Trapézios

Os trapézios são quadriláteros que têm somente um par de lados opostos paralelos. Observe os exemplos.

Figura geométrica. Trapézio lilás ABCD. Segmento de reta AB é paralelo ao segmento de reta DC.

Figura geométrica. Trapézio lilás EFHG. Segmento de reta EH é paralelo ao segmento de reta FG.

Figura geométrica. Trapézio lilás IJKL. Segmento de reta IJ é paralelo ao segmento de reta LK.

Observação

A notação // indica que duas retas ou dois segmentos são paralelos.

Figura geométrica. Retas u e v paralelas. Abaixo u duas barras inclinadas v. Utilizando notação para indicar que a reta u é paralela a reta v.

Paralelogramos

Os paralelogramos são quadriláteros que têm dois pares de lados opostos paralelos. Observe os exemplos.

Figura geométrica. Paralelogramo ABCD. Segmento de reta AB paralelo ao segmento de reta DC e segmento de reta AD paralelo ao segmento de reta BC. Figura geométrica. Paralelogramo retângulo IJKL. Segmento de reta IJ paralelo ao segmento de reta LK e segmento de reta IL paralelo ao segmento de reta JK. Figura geométrica. Paralelogramo quadrado losango NOPQ. Segmento de reta NO é paralelo ao segmento de reta QP e o segmento de reta NQ é paralelo ao segmento de reta OP.

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Outros quadriláteros

Se o quadrilátero não tem nenhum par de lados opostos paralelos, não recebe nomenclatura especial. Observe os exemplos.

Figura geométrica. Quadrilátero convexo azul ABCD de lados de diferentes medidas. Figura geométrica. Quadrilátero EFGH de lados não paralelos e de diferentes medidas. Figura geométrica. Quadrilátero JKLM de lados não paralelos e de diferentes medidas.

7 Soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero

Em um quadrilátero convexo a bê cê dê qualquer, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos mede 360graus.

Figura geométrica. Quadrilátero azul ABCD com lados não paralelos e de diferentes medidas, com destaque para os ângulos internos a, b, c e d. Ao lado, a mais b mais c mais d igual a 360 graus.

Assim como fizemos com os triângulos, é possível fazer um experimento com um modelo de quadrilátero de papel. Lembre-se: para evitar acidentes, sempre manuseie a tesoura com cuidado.

1º) Em uma folha de papel, desenhe um quadrilátero qualquer; depois, recorte-o.

Ilustração. Folha verde com um quadrilátero desenhado com um lápis ao lado. Ao lado, a mesma folha ao lado com o quadrilátero recortado e uma tesoura em cima.

2º) Pinte cada ângulo interno da figura de uma cor.

Ilustração. Quadrilátero recortado do papel verde com os ângulos pintados de cores diferentes e ao lado lápis de cor nas cores laranja, azul, vermelho e verde.

3º) Recorte a figura em quatro partes, de modo que cada uma contenha apenas um dos ângulos internos.

Ilustração. Quadrilátero com os ângulos internos pintados de cores diferentes recordados em quatro partes de maneira que cada parte tenham um ângulo.

4º) Reúna os pedaços recortados de modo que os quatro ângulos pintados fiquem no centro. Observe que a abertura do ângulo formado pelas quatro cores mede 360graus, ou seja, corresponde ao ângulo de uma volta completa.

Ilustração. As partes do quadriláteros recortado no passo anterior com os ângulos unidos no centro.

Assim, verificamos experimentalmente que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero mede 360graus. A demonstração desse fato será feita em outro momento.

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Podemos aplicar o que acabamos de verificar para calcular a medida desconhecida da abertura de um dos ângulos internos de um quadrilátero.

Observe como podemos encontrar a medida de abertura do ângulo

A \hat{B} C

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD. Em A, ângulo de 120 graus, em B ângulo x, em C ângulo de 135 graus e em D ângulo de 60 graus.

Como a bê cê dê é um quadrilátero convexo, a soma das medidas de abertura dos seus ângulos internos mede 360graus. Assim, temos:

60graus + 120graus + 135graus + x = 360graus

315graus + x = 360graus

x = 360graus ‒ 315graus

x = 45graus

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Em cada quadrilátero, identifique os vértices, os lados, os ângulos internos e as diagonais.

Figura geométrica. Quadrilátero trapézio retângulo EFGH.

2. Observe a figura e responda: esse quadrilátero é um paralelogramo? Justifique.

Versão adaptada acessível

2. Represente dois quadriláteros. Um deles deve ser paralelogramo e outro não.

3. Classifique os quadriláteros em paralelogramo ou trapézio. Justifique sua resposta.

Figura geométrica. Quadrilátero PQRS. segmento de reta SP paralelo ao segmento de reta RQ segmento de reta PQ paralelo ao segmento de reta SR

Figura geométrica. Quadrilátero JKLM. Segmento de reta JK paralelo ao segmento de reta ML Segmento de reta JM paralelo ao segmento de reta KL

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD. Segmento AB paralelo ao segmento DC Segmento AD paralelo ao segmento BC

Figura geométrica. Quadrilátero MNOP. Segmento de reta PM paralelo ao segmento de reta ON

Figura geométrica. Quadrilátero CDEF. Segmento de reta CD paralelo ao segmento de reta FE

Figura geométrica. Quadrilátero GHIJ. Segmento de reta GH paralelo ao segmento de reta JI Segmento de reta GJ paralelo ao segmento de reta HI

4. No caderno, classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa.

a) Todo quadrilátero é um paralelogramo.

b) Todo paralelogramo é um trapézio.

c) Um trapézio tem somente um par de lados opostos paralelos.

5. Em cada figura, descubra a medida x, em grau.

Figura geométrica. Trapézio isósceles verde com dois ângulos medindo 110 graus cada e dois ângulos medindo x.

Figura geométrica. Trapézio roxo com dois ângulos retos, um ângulo medindo 145 graus e o outro ângulo medindo x.

Figura geométrica. Quadrilátero com um ângulo medindo 10 graus, um ângulo medindo 60 graus, um ângulo medindo 120 graus e o outro medindo x.

Figura geométrica. Quadrilátero com um ângulo medindo 15 graus, um ângulo medindo 170 graus, um ângulo medindo 40 graus e um ângulo medindo x.

6. Observe o trapézio a bê cê dê, formado pelas retas r, s, t e u. Depois, faça o que se pede.

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD definido por duas retas paralelas t e u, e duas retas r e s transversais às anteriores e não paralelas entre si. São destacados os ângulos internos a, b, c e d. O ângulo 130° é oposto pelo vértice do ângulo a, ângulo 70 graus é oposto pelo vértice do ângulo b, e 50 graus é oposto pelo vértice do ângulo d.

a) Indique os pares de retas concorrentes que você pode identificar na figura.

b) Determine as medidas de a, b e d e cite a propriedade que permite obter essas medidas.

c) Escreva uma equação que permita determinar a medida c. Depois, resolva-a.

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7. Calcule em cada caso a medida x, em grau.

Figura geométrica. Quadrilátero irregular definido por 4 retas. Um dos ângulos internos mede x. A medida dos outros ângulos são definidas por ângulos opostos pelo vértice. Um dos ângulos oposto pelo vértice mede 25 graus, o outro oposto pelo vértice mede 145 graus, e o último ângulo interno desse quadrilátero, tem como medida do ângulo oposto pelo vértice 145 graus.

Figura geométrica. Paralelogramo definido por duas retas paralelas, com duas retas concorrentes, essas paralelas entre si. Um dos ângulos internos do paralelogramo mede x. O ângulo oposto do ângulo que mede x, tem 60 graus como medida do ângulo oposto pelo vértice. Nos outros dois ângulos, o ângulo oposto pelo vértice mede 120 graus.

8. Observe os triângulos isósceles.

Figura geométrica. Triângulo isósceles amarelo com um ângulo medindo 40 graus, e os ângulos da base medindo 70 graus e 70 graus. Figura geométrica. Triângulo isósceles azul com ângulo de 40 graus, e ângulos da base medindo 70 graus e 70 graus.

Eles foram sobrepostos de modo que foi obtida a figura a seguir.

Figura geométrica. Triângulo amarelo da imagem anterior tem como vértices F no ângulo de 40 graus, C e D nos ângulos de 70 graus. O triângulo azul, agora tem como base que coincide com o lado CD do triângulo amarelo um dos lados congruentes ao outro. Ele tem como vértice A o ângulo de 40 graus, o vértice D de medida 70 graus coincide com o vértice D do triângulo amarelo. E o vértice E do triângulo azul está no lado FD do triângulo amarelo.
Com a sobreposição desses dois triângulos é definido um quadrilátero verde BECD, em que E é o ponto em que o lado AE do triângulo azul encontra o lado FC do triângulo amarelo.

• Determine:

a) as medidas de abertura dos ângulos internos do quadrilátero BCDE;

b) as medidas de abertura dos ângulos internos do triângulo á bê cê.

Em um quadrilátero a bê cê dê, o ângulo

A \hat{B} C

é suplementar a um ângulo com abertura de medida 140graus.

B \hat{C} D

é um ângulo reto e a abertura de

C \hat{D} A

mede 70graus. Sabendo que

\vec{A P}

é a bissetriz do ângulo

D \hat{A} B

, determine a medida de abertura do ângulo

P \hat{A} B

8 Trapézios

Como já vimos, os trapézios são quadriláteros que têm somente um par de lados opostos paralelos.

Nos trapézios os lados paralelos são denominados bases.

Observe que o trapézio possui duas bases: a base menor e a base maior.

Figura geométrica. Trapézio amarelo com destaque para a base menor, que é paralela à base maior. E indicação dos outros lados que não são paralelos entre si.

No quadro a seguir, apresentamos três modos de classificar um trapézio em relação à medida de comprimento de seus lados e à medida de abertura de seus ângulos.

Trapézio isósceles	Trapézio escaleno	Trapézio retângulo

Um trapézio isósceles tem os lados não paralelos congruentes.	Um trapézio escaleno tem os lados não paralelos com medidas de comprimento diferentes.	Um trapézio retângulo é um trapézio escaleno que tem dois ângulos retos.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Identifique a base maior e a base menor de cada trapézio.

Figura geométrica. Trapézio roxo isósceles ABDC. AC e BD são os lados não paralelos.

Figura geométrica. Trapézio KLMN as bases paralelas são KL e NM. O lado KN é maior do que o lado LM.

Versão adaptada acessível

1. Como você reconhece quais são as bases maior e menor em um trapézio?

2. O trapézio a bê cê dê é isósceles. Qual é a medida de comprimento x do lado

\overline{A D}

desse trapézio?

Figura geométrica. Trapézio isósceles ABCD azul. Lado AD mede x. Lado BC mede 2 centímetros.

3. Escreva uma equação que represente a informação dada e determine a medida de comprimento de x.

a) A medida do perímetro do trapézio isósceles a bê cê dê é 10,5 centímetros.

Figura geométrica. Trapézio isósceles ABCD rosa. Base AD mede 3x. base BC mede 4 x mais 1 centímetro. Lado CD mede 3 centímetros.

b) A medida do perímetro do trapézio isósceles ê éfe gê agá é o dobro da medida do perímetro do retângulo í jota cá éle.

Figura geométrica. Trapézio isósceles EFGH azul. Lado EF mede 4 centímetros. base menor EH mede x. Lado HG mede 4 centímetros. base maior FG mede 3x menos 9 vírgula 2 centímetros.

Figura geométrica. Retângulo IJKL amarelo. Lado KL mede 3 vírgula 9 centímetros. Lado JK mede 2 centímetros.

9 Paralelogramos

Como já estudamos, os paralelogramos são quadriláteros que têm dois pares de lados opostos paralelos. No dia a dia, encontramos diversos objetos que lembram paralelogramos.

Observe os exemplos a seguir.

Fotografia. Vista da lateral de edifício em formato de um paralelogramo. Ao fundo, árvores. — Edifício Dockland, em Hamburgo, Alemanha, 2021. A lateral desse edifício lembra um paralelogramo.

Fotografia. Vista de cima de uma quadra de tênis com rede no meio. As linhas que definem os limites da quadra têm formato de paralelogramos. — As regiões que compõem a quadra de tênis lembram paralelogramos.

De acordo com as medidas de comprimento dos lados e de abertura dos ângulos, um paralelogramo pode ser classificado como retângulo, losango ou quadrado.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Retângulo

Um paralelogramo com quatro ângulos retos é denominado retângulo.

Observe alguns exemplos.

Figura geométrica. Retângulo cor de rosa em posição diagonal com destaque para os 4 ângulos retos. Figura geométrica. Retângulo cor de rosa com 4 ângulos retos. Figura geométrica. Retângulo quadrado cor de rosa com 4 ângulos retos.

Em um retângulo, os lados opostos são congruentes.

Figura geométrica. Retângulo ABCD azul indicando os 4 ângulos retos e a congruência dos lados opostos. Segmento de reta AB congruente ao segmento de reta CD segmento de reta AC congruente ao segmento de reta BD

Losango

O losango é um paralelogramo com quatro lados congruentes.

Observe alguns exemplos de losango.

Figura geométrica. Losango com indicação de lados congruentes. Figura geométrica. Losango com indicação de lados congruentes. Figura geométrica. Losango com indicação de lados congruentes. Figura geométrica. Losango quadrado com indicação de lados congruentes.

Foto. Calçada com padrão definido por composição de quatro losangos brancos unidos pelo vértice que contém a diagonal maior. O espaço livre entre os losangos forma figuras com oito lados. — Calçada com alguns padrões que lembram losangos.

Quadrado

O quadrado é um paralelogramo com quatro ângulos retos e quatro lados congruentes.

Observe alguns exemplos.

Figura geométrica. Quadrado com indicação de quatro ângulos retos e quatro lados congruentes. Figura geométrica. Quadrado com indicação de quatro ângulos retos e quatro lados congruentes. Figura geométrica. Quadrado com indicação de quatro ângulos retos e quatro lados congruentes. Figura geométrica. Quadrado com indicação de quatro ângulos retos e quatro lados congruentes.

Observação

Todo quadrado também é um retângulo, pois tem todos os ângulos internos retos, e também é um losango, pois tem todos os lados com a mesma medida de comprimento.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Classifique os paralelogramos em retângulo, losango ou quadrado.

Figura geométrica. Quadrilátero com indicação de quatro lados congruentes.

Figura geométrica. Quadrilátero com indicação de quatro ângulos retos e pares de lados opostos paralelos e congruentes entre si.

Figura geométrica. Quadrilátero com indicação de quatro lados congruentes e 4 ângulos retos.

2. Para montar a bandeira do estado do Ceará, Anita fez uma composição de peças e, entre elas, há duas que lembram quadriláteros.

Ilustração. Bandeira do Estado do Ceará. Quadrilátero verde com quatro ângulos retos, e pares de lados opostos paralelos e congruentes, dentro dessa figura um quadrilátero amarelo de lados de mesma medida ângulos opostos de mesma medida, e pares de ângulos de medidas diferentes; no centro, dentro do losango um círculo branco, e dentro dele um brasão.

Olhando rapidamente, seria possível dizer que ela usou peças que lembram um retângulo e um losango. O que você faria para ter a certeza da classificação desses quadriláteros? Justifique.

3. Calcule em cada caso a medida x, em grau.

Figura geométrica. Quadrilátero com medida dos ângulos internos 20 graus, x, 20 graus e 160 graus.

Figura geométrica. Quadrilátero com ângulos medindo 40 graus, x, 40 graus, 140 graus.

Figura geométrica. Quadrilátero com ângulos medindo 150 graus, x, 150 graus, 30 graus.

Figura geométrica. Quadrilátero com ângulos: 100 graus, x, 80 graus, 100 graus.

• Com base nos resultados obtidos em cada item, o que você pode afirmar sobre as medidas de abertura dos ângulos opostos em cada um dos quadriláteros?

4. Determine a medida x sabendo que a medida do perímetro do losango ême êne ó pê é igual ao dobro da medida do perímetro do quadrado a bê cê dê.

Figura geométrica. Losango MNOP com indicação da medida do lado MP de 4 centímetros. Figura geométrica. Quadrado ABCD com indicação de medida de lado x.

5. Calcule as medidas de x e de y sabendo que:

a) a medida de y é igual ao dobro da medida de x e a medida do perímetro do retângulo a bê cê dê é igual à medida do perímetro do quadrado ê éfe gê agá;

Figura geométrica. Retângulo ABCD com lados AD e BC medindo x e lados AB e DC medindo y. Figura geométrica. Quadrado EFGH com lado EF medindo x mais 1.

b) a medida de y é igual a um terço da medida de x e a medida do perímetro do losango PQRS é igual à medida do perímetro do quadrado í jota cá éle.

Figura geométrica. Paralelogramo PQRS com lado PQ de 6y. Figura geométrica. Quadrilátero IJKL com lado IJ medindo x + 1.

Um quadrado de cartolina foi dividido e recortado, obtendo-se peças poligonais. Com algumas dessas peças, foi possível formar um octógono, conforme a figura a seguir.

Figura geométrica. Quadrado composto por três faixas. A primeira faixa é composta por um quadrado, um trapézio retângulo e um triângulo, segunda faixa composta por dois trapézios congruentes ao trapézio da primeira faixa. Faixa três com os mesmos elementos da primeira faixa. Há uma diagonal traçada e a imagem de uma tesoura indicando que é para recortar nessa diagonal, que na primeira faixa define o ângulo de 45 graus na base maior do trapézio. Na imagem ao lado, há um octógono formado pelos quatro trapézios da imagem anterior com um quadrado, também da imagem anterior no centro.

a) Qual é a medida de abertura dos ângulos internos do octógono?

b) As peças que não foram utilizadas totalizam que fração do quadrado?

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Lembre-se: Escreva no caderno!

10 Construção de quadrados com régua e compasso

Vamos construir um quadrado cujo lado mede 2 centímetros de comprimento, conforme o esboço representado a seguir.

Figura geométrica. Quadrado ABCD com cada lado medindo 2 centímetros de comprimento.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Para isso, podemos seguir os passos mostrados a seguir.

1º) Trace uma reta r e, sobre ela, construa o segmento

\overline{A B}

, de medida de comprimento igual a 2 centímetros, que será um dos lados do quadrado.

Figura geométrica. Reta r. Sobre ela, segmento de reta AB, com ponto A a esquerda de B.

2º) Com a ponta-seca do compasso no ponto a e com uma abertura qualquer, marque dois pontos, êêéfe, sobre r.

Figura geométrica. Reta r. Sobre ela, segmento de reta AB. Ponta-seca do compasso em A, traçando dois arcos, um entre AB, definindo o ponto F sobre a reta r e outro a esquerda de A, definindo o ponto E sobre a reta r.

3º) Abra o compasso com uma abertura maior que a anterior e trace dois arcos: um com a ponta-seca do compasso em ê e o outro com a ponta-seca em F.

Os dois arcos se cruzarão em um ponto, que indicaremos por G.

Figura geométrica. Reta r. Sobre ela, segmento de reta AB. Com a ponta-seca do compasso em F, e com a abertura do compasso maior do que a usada no passo anterior traçar um arco acima do ponto A, definindo o ponto G.

4º) Una os pontos G e a, traçando a reta s, que é perpendicular a r. Depois, com a abertura medindo 2 centímetros de comprimento e a ponta-seca do compasso em a, obtenha o ponto D sobre a reta s.

Figura geométrica. Reta r. Sobre ela, segmento de reta AB. Reta s perpendicular a reta r, passando por A e por G. Com o compasso, definir o ponto D que dista 2 centímetros do ponto A.

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5º) Trace dois arcos utilizando o compasso com abertura medindo 2 centímetros de comprimento: um com a ponta-seca em B e o outro com a ponta-seca em D. Na intersecção desses arcos, marque o ponto C.

6º) Trace os segmentos

\overline{CD} e \overline{CB}

. Por fim, pinte a região interna da figura e obtenha o quadrado a bê cê dê.

Lembre-se: Escreva no caderno!

pensamento computacional

É possível construir polígonos utilizando aplicativos de desenho. Na imagem a seguir, o triângulo equilátero na malha foi construído por meio dos comandos à esquerda.

Ilustração. Tela de aplicativos de desenho em que os comandos são por meio de linguagem materna. Na parte superior esquerda, botões de comandos. Repita 3 vezes. Passos Caminhar 3 unidades de distância Virar no sentido anti-horário 120 graus. Os números que aparecem no comando pode ser substituído por outros valores. Ao lado dos comandos uma malha quadriculada, com eixos cartesianos, com um ponto verde na origem e um pequeno rato que é o objeto que vai fazer o deslocamento na malha quadriculada. O deslocamento do comando produziu um triângulo equilátero. Acima da malha quadriculada há três botões, iniciar, pular etapa e apagar.

• Com base nesse exemplo, faça no caderno o que se pede.

a) Que sequência de comandos você forneceria para construir um quadrado de lado medindo duas unidades de comprimento nesse aplicativo?

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b) Agora, crie um fluxograma para representar uma sequência de passos que leve à construção de um quadrado cujo lado mede 10 unidades de comprimento.

Dica: utilize as estruturas a seguir como base para a construção do fluxograma e ligue-as utilizando setas, indicando o sentido dos passos a serem seguidos.

Fluxograma com 4 caixas de texto. Primeira, caixa de texto vazia para iniciar o fluxograma. Ao lado, caixa com o texto indicação de um passo ou de uma ação. Há uma seta acima e outra seta abaixo dessa caixa, dano ideia de continuidade. Ao lado, duas caixas de texto, uma acima da outra. Na primeira, o texto: primeiro passo de uma repetição; na segunda, o texto: segundo passo de uma repetição. Há setas interligando as caixas, acima, entre elas, abaixo e ao lado.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

1. Construa os seguintes quadrados no caderno, usando régua e compasso e seguindo as medidas de comprimento indicadas nos esboços.

Figura geométrica. Quadrado laranja com indicação de medida do comprimento do lado 5 centímetros.

Figura geométrica. Quadrado verde com indicação de medida do comprimento do lado 7 centímetros.

2. Responda às questões no caderno.

a) Ana construiu um paralelogramo com todos os ângulos internos congruentes. Que paralelogramo ela construiu?

b) Lucas construiu um paralelogramo com os quatro lados de medidas de comprimento iguais. Que paralelogramo ele construiu?

3. Descubra que quadrilátero Rodrigo construiu. “Primeiro, construí um segmento

\overline{P Q}

, de medida de comprimento igual a 5 centímetros, sobre uma reta r. Depois, tracei uma reta u, perpendicular a r, passando por P, e sobre ela construí um segmento

\overline{P S}

medindo 2 centímetros de comprimento. Tracei outra reta perpendicular a r, passando por Q, e sobre ela construí um segmento

\overline{Q R}

de medida de comprimento igual a 2 centímetros. Uni os pontos R e S e obtive um quadrilátero.”

4. No caderno, descreva como você construiria o retângulo a seguir usando régua e compasso.

Figura geométrica. Retângulo com lados medindo 6 centímetros por 3 centímetros.

5. Ana construiu um trapézio retângulo. Observe como ela descreveu sua construção.

“Primeiro, construí uma reta r e, sobre ela, um segmento

\overline{A B}

, que media 2 centímetros de comprimento. Depois, tracei uma reta s, perpendicular a r, passando por a, e sobre ela construí um segmento

\overline{A D}

que media 4 centímetros de comprimento. Tracei outra reta perpendicular a r, passando por B, e sobre ela construí um segmento

\overline{B C}

, que media 6 centímetros de comprimento. Uni os pontos C e D e obtive um trapézio retângulo.”

• Construa esse trapézio no caderno seguindo a descrição de Ana.

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Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Leitura e interpretação de gráficos de setores

Na empresa em que trabalha, Felipe recebe R$ 1.800,00mil oitocentos reais de salário líquido. Ele utiliza esse valor para gastar com lazer, alimentação e vestuário e guarda uma parte na caderneta de poupança. Para visualizar melhor essa distribuição, Felipe construiu o gráfico de setores a seguir.

Gráfico de setores. Título: DISTRIBUIÇÃO MENSAL DO SALÁRIO DE FELIPE. Setor laranja: Alimento e vestuário: 55 por cento. Setor azul claro: Lazer: 30 por cento. Setor verde: Poupança: 15 por cento.

Dados obtidos por Felipe em maio de 2023.

▶ Com as informações do gráfico, é possível determinar a finalidade para a qual Felipe reserva cada parte do seu salário e calcular esses valores?

Vamos analisar alguns elementos do gráfico.

O título “Distribuição mensal do salário de Felipe” informa o que o gráfico contém.

No gráfico, cada setor (identificado com uma cor diferente) representa um tipo de gasto: alimentação e vestuário (55%), lazer (30%) e poupança (15%). Juntos, esses gastos totalizam 100% do salário mensal de Felipe.

A fonte, localizada a seguir do gráfico, informa que os dados foram obtidos por Felipe em maio de 2023.

Assim:

• Para saber a finalidade para a qual Felipe reserva a maior parte de seu salário, basta comparar as medidas de abertura dos ângulos dos setores ou as porcentagens indicadas no gráfico. Pelos dois modos, concluímos que o maior gasto de Felipe é com alimentação e vestuário (55% do salário).

Como sabemos que o salário de Felipe é de R$ 1.800,00mil oitocentos reais e que o gasto com alimentação e vestuário representa 55% desse valor, podemos calcular o valor gasto com esses itens:

55% de .1800 =

\frac{55}{100}

⋅ .1800 = 990

Portanto, Felipe gasta mensalmente R$ 990,00novecentos e noventa reais com alimentação e vestuário.

• Analisando o gráfico, percebemos que o valor que Felipe guarda na caderneta de poupança representa 15% do salário.

Vamos calcular esse valor em real.

15% de .1800 =

\frac{15}{100}

⋅ .1800 = 270

Logo, Felipe reserva para investir na poupança R$ 270,00duzentos e setenta reais mensais.

• Finalmente, para descobrir o valor que Felipe reserva para gastar com lazer, podemos calcular 30% de R$ 1.800,00mil oitocentos reais. Podemos, ainda, adicionar os valores reservados para investir na poupança e para gastar com alimentação e vestuário e, em seguida, subtrair essa soma de R$ 1.800,00mil oitocentos reais:

R$ 1.800,00mil oitocentos reais ‒ (R$ 990,00novecentos e noventa reais + R$ 270,00duzentos e setenta reais) = R$ 540,00quinhentos e quarenta reais

Portanto, Felipe reserva R$ 540,00quinhentos e quarenta reais para gastar com lazer.

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▶ Estatística e Probabilidade

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

A medida do volume de água no planeta Terra é de aproximadamente ...1500000000 quilômetros cúbicos (quilômetros cúbicos) de água, sendo 97% do total composto de água salgada e apenas 3% de água doce. Observe no gráfico a seguir a distribuição dessa água.

Gráfico de setores. Título: DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA NO PLANETA TERRA. Setor azul. Água do mar (água salgada): 97 por cento. Setor verde: Rios, lagos e águas subterrâneas (água doce): 1,25 por cento. Setor vermelho: Água congelada (água doce): 1,75 por cento.

Dados obtidos em: SERVIÇO Geológico do Brasil (SGB). Coisas que Você Deve Saber sobre a Água. Disponível em: https://oeds.link/sMnrxE. Acesso em: 30 maio 2022.

Ilustração. Menino branco cadeirante de cabelo castanho, camiseta bege, calça azul e tênis vermelho. Ao lado dele, como uma figura fora de escala tem uma torneira que sai uma gota, dentro dessa gota está representado o planeta Terra. O garoto diz: Lembre-se de que, nesse tipo de gráfico, os setores são divididos em diferentes tamanhos, conforme a porcentagem correspondente.

• Agora, responda às questões.

a) De acordo com o gráfico, como é a divisão de água doce em nosso planeta?

b) Qual é a medida do volume, em quilômetro cúbico, de água doce não congelada?

c) E a de água salgada?

2. Em janeiro de 2023 houve eleição para presidente do grêmio estudantil de uma escola com .1100 estudantes. Concorreram nessa eleição 4 candidatos: Vinícius, Fernanda, Pedro e Daniela. Observe o gráfico feito pela coordenação da escola para divulgar o resultado da eleição.

Gráfico de setores. Título: ELEIÇÃO PARA PRESIDENTE DO GRÊMIO ESTUDANTIL. Setor verde: Vinícius: 32 por cento. Setor vermelho: Daniela: 30 por cento. Setor amarelo: Pedro: 22 por cento. Setor azul: Fernanda: 16 por cento.

Dados obtidos pela coordenação da escola em janeiro de 2023.

• Agora, responda às questões.

a) Qual foi o candidato que recebeu a maior porcentagem dos votos? Qual foi essa porcentagem?

b) Quantos votos recebeu quem obteve menos votos?

c) Qual foi a diferença de votos entre o candidato mais votado e o menos votado?

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3. Ricardo trabalha na prefeitura de sua cidade e realizou uma pesquisa entre 7 de novembro de 2023 e 8 de dezembro de 2023 para saber a medida de tempo médio de deslocamento diário que os trabalhadores entrevistados gastam de casa ao trabalho.

Gráfico de setores. Título: MEDIDA DE TEMPO MÉDIO DE DESLOCAMENTO DIÁRIO DE CASA AO TRABALHO (IDA E VOLTA). Setor azul claro: Trabalho em casa: 36 por cento. setor roxo: Não sabe/não lembra: 3 por cento. setor lilás: Mais de 2 horas a 3 horas: 5 por cento. setor amarelo: Mais de 30 minutos a uma hora: 8 por cento. setor verde: Até 30 minutos: 9 por cento. setor vermelho: Mais de 1 hora e 30 minutos a 2 horas: 18 por cento. setor azul: Mais de 1 hora a 1 hora e 30 minutos: 21 por cento.

Dados obtidos por Ricardo em 2023.

a) O que respondeu a maior parte dos entrevistados?

b) Que porcentagem dos entrevistados demora até 30 minutos para se deslocar de casa ao trabalho?

c) Qual é a porcentagem dos entrevistados que demora até duas horas para se deslocar de casa ao trabalho?

d) Sabendo que .1000 pessoas foram entrevistadas, quantas demoram mais de duas horas para chegar ao trabalho?

Na mesma pesquisa realizada por Ricardo, os .1000 entrevistados atribuíram notas de 1 a 10 a seu nível de satisfação com a segurança no trânsito. Observe o resultado a seguir.

Gráfico de setores. Título: NÍVEL DE SATISFAÇÃO COM A SEGURANÇA NO TRÂNSITO. setor verde: De 1 a 5: 85 por cento. setor azul: De 6 a 8: 12 por cento. setor amarelo: De 9 a 10: 3 por cento.

Dados obtidos por Ricardo em 2023.

Ilustração. Vista de cima de um carro azul parado antes da faixa de pedestres, o semáforo está com sinal vermelho para o carro. À direita, placa circular escrito 50 quilômetros.

a) Quantas pessoas atribuíram notas de 1 a 5 a seu nível de satisfação com a segurança no trânsito? De acordo com esses dados, os entrevistados se sentem seguros no trânsito?

b) Quantas pessoas entrevistadas estão muito satisfeitas com a segurança no trânsito?

c) O que você acha que poderia ser feito para melhorar a segurança no trânsito?

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Ilustração. Ícone. Caderno na vertical com um lápis.

Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

1. No triângulo a seguir, identifique os lados, os vértices e os ângulos internos.

Figura geométrica. Triângulo obtusângulo ABC.

2. (ó bê ême) Quantos triângulos há na figura a seguir?

Figura geométrica. Pentágono, com triângulo equilátero sobreposto com um vértice em comum ao pentágono e outros vértices fora da área do pentágono. Trapézio isósceles com a base menor acima, e os vértices da base menor encostam nos lados do triângulos.

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

3. Em cada caso, determine a medida de abertura do ângulo desconhecida.

Figura geométrica. Triângulo com ângulo de 70 graus e 65 graus.

Figura geométrica. Triângulo com ângulo de 48 graus e 90 graus.

Figura geométrica. Triângulo com ângulo de 120 graus e 25 graus.

Figura geométrica. Triângulo com ângulo de 55 graus e 35 graus.

Figura geométrica. Triângulo com ângulo de 80 graus e 45 graus.

Figura geométrica. Triângulo com ângulo de 50 graus e ângulo externo não adjacente ao ângulo de 50 graus que mede 115 graus.

4. Um triângulo isósceles tem um ângulo interno com medida de abertura igual a 20graus. Quais são as medidas de abertura dos outros dois ângulos internos desse triângulo?

5. Construa em seu caderno um triângulo:

a) equilátero de lados medindo 5 centímetros de comprimento;

b) isósceles de lados medindo 5 centímetros, 5 centímetros e 8 centímetros de comprimento;

c) escaleno de lados medindo 6 centímetros, 7 centímetros e 10 centímetros de comprimento.

6. O tangram é formado por sete peças geométricas.

Ilustração. Peças do tangram sobrepostas a uma malha quadriculada. As peças são: triângulo grande rosa, triângulo grande verde, paralelogramo amarelo, triângulo médio laranja, quadrado lilás, triângulo pequeno rosa escuro, triângulo pequeno azul. Todas as peças justapostas formam um quadrado.

Usando todas essas peças, sem que elas sejam sobrepostas, é possível formar diversas figuras, como os exemplos a seguir.

Ilustração. Gato representado usando as peças do tangram. As peças são: dois triângulos pequenos para representar a orelha, um quadrado como cabeça, dois triângulos grandes para representar o corpo e um paralelogramo, representando a cauda. Ilustração. Casa representada usando todas as peças do tangram. O quadrado representa a chaminé, o paralelogramo e um triângulo grande representam o telhando, os dois triângulos pequenos, o triângulo médio e um triângulo grande, formam um retângulo que representam a casa. Ilustração. Pessoa representada com peças do tangram. O quadrado representa a cabeça, os dois triângulos maiores representam o corpo, o losango representa um braço, o triângulo médio e um triângulo pequeno representa uma perna e a outra perna é representada por um triângulo.

Note que cinco peças do tangram são triângulos. Observe o tangram representado na malha quadriculada e analise as medidas de comprimento dos lados e as medidas de abertura dos ângulos internos desses triângulos e faça o que se pede.

a) Classifique os triângulos de acordo com as medidas de comprimento dos lados e as medidas de abertura dos ângulos.

b) Considere que podemos classificar esses triângulos, de acordo com as medidas de comprimento de seus lados, em: pequeno, médio e grande. Quantos triângulos pequenos são necessários para formar um triângulo grande?

7. Luciana fez o esboço de alguns triângulos que vai construir. Analise as medidas de comprimento dos lados dos triângulos e responda à questão.

Figuras geométricas. I: Triângulo equilátero ABC em que cada um de seus lados medem 3 cm. II: Triângulo isósceles ABC. O lado AC medindo 2 centímetros, lado AB medindo 7 centímetros, lado BC medindo 6 centímetros. III: Triângulo isósceles ABC. O lado AC medindo 2 centímetros, lado AB medindo 6 centímetros, lado BC medindo 5 centímetros. IV: Triângulo isósceles ABC. O lado AC medindo 2 centímetros, lado AB medindo 3 centímetros, lado BC medindo 7 centímetros. V: Triângulo isósceles ABC. O lado AC medindo 5 centímetros, lado AB medindo 4 centímetros, lado BC medindo 10 centímetros.

• Os esboços de Luciana estão corretos? Explique.

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8. Observe os esboços e, se possível, construa os triângulos no caderno. Você pode usar régua, compasso e transferidor.

Figura geométrica. Triângulo isósceles com lados congruentes medindo 4 centímetros e o outro lado medindo 3 centímetros.

Figura geométrica. Triângulo equilátero com indicação de que o lado mede 6 centímetros e os ângulos internos medem 60°

Figura geométrica. Triângulo retângulo em que a base mede 5 centímetros e a altura mede 4 centímetros.

Figura geométrica. Triângulo escaleno com indicação de medida dos lados 4 centímetros, 5 centímetros e 10 centímetros.

9. Laís está desenhando um triângulo. Ela desenhou o maior lado medindo 10 centímetros de comprimento e outro lado medindo 6 centímetros de comprimento. Qual deve ser a medida mínima inteira de comprimento do terceiro lado para que esse triângulo exista?

10. Usando apenas régua e compasso, verifique no caderno se é possível construir um triângulo utilizando os três segmentos fornecidos em cada item.

Figura geométrica. Três segmentos de reta de medidas de comprimento diferentes.

11. Observe a representação de três estruturas de metal unidas por rebites.

Figura geométrica. Figura formada hexagonal composta por dois triângulos e dois hexágonos. por dois triângulos e dois hexágonos. Interno ao hexágono maior há dois vértices, que são vértices dos triângulos que não tem vértice em comum. Figura geométrica, contorno de um pentágono. Figura geométrica. Contorno de um retângulo dividido em três figuras iguais que se parecem com contornos de 3 quadrados.

• Copie as figuras no caderno e desenhe hastes nas estruturas para que elas se tornem não deformáveis.

12. Escreva uma equação do 1º grau que represente a soma das medidas de abertura dos ângulos internos do triângulo a seguir e, depois, determine a medida x.

Figura geométrica. Triângulo com indicação de medida dos ângulos: 2x menos 10 graus, x mais 10 graus e 3x mais 30 graus.

13. Classifique cada paralelogramo em retângulo ou losango.

Figura geométrica. Quadrilátero com indicação de 4 ângulos retos.

Figura geométrica. Quadrilátero com indicação de 4 ângulos retos e 4 lados

14. No caderno, associe cada trapézio a uma classificação.

A: Figura geométrica. Trapézio com todos os lados com medidas diferentes. B: Figura geométrica. Trapézio com dois ângulos retos C: Figura geométrica. Trapézio com os lados não paralelos congruentes. I: Trapézio retângulo. II: Trapézio isósceles. III: Trapézio escaleno.

15. Construa, usando régua e compasso, um quadrado de lados medindo 4 centímetros de comprimento.

16. Gabriel tinha dois triângulos isósceles de papelão com medidas de comprimento iguais e, com eles, compôs uma figura, como mostra a ilustração a seguir.

Ilustração. Menino de cabelo castanho, camiseta azul com listras segura dois triângulos isósceles, um em cada mão. Ao lado, o mesmo menino segura os dois triângulos lado a lado pelo lado maior formando um quadrilátero.

• Com o auxílio de régua e esquadro, descubra que figura ele compôs com os dois triângulos.

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▶ Atividades de revisão

17. Determine a medida x considerando a medida do perímetro indicada em cada figura.

Figura geométrica. Quadrado com indicação de 4 ângulos retos e indicação da medida x de um dos lados. Legenda: medida do perímetro do quadrado: 24 centímetros.

Figura geométrica. Retângulo com 4 ângulos retos e medida dos lados x por 3x. Legenda: Medida do perímetro do retângulo: 60 centímetros.

18. Calcule, em cada caso, a medida x em grau.

Figura geométrica. Trapézio retângulo ABCD, com indicação de dois ângulos retos em que um dos ângulos internos mede 120 graus.

Figura geométrica. Trapézio retângulo com indicação de dois ângulos retos. Os outros dois ângulos internos medem 3x e 2x, o ângulo externo ao ângulo de 2x mede 3x.

19. No caderno, classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa.

a) Todo quadrilátero é um quadrado.

b) Todo quadrado é um quadrilátero.

c) Um retângulo é também um paralelogramo.

d) Um losango que também é um retângulo pode ser classificado como quadrado.

e) Todo quadrado é um losango.

f) Todo quadrado é um retângulo.

g) Todo quadrado é um paralelogramo.

20. Sabendo que os tracinhos indicam que os segmentos têm a mesma medida de comprimento, responda às questões.

a) Quantos trapézios isósceles podemos identificar na figura?

b) E quantos losangos podemos identificar?

Ilustração. Triângulo equilátero grande ACE, composto por 4 triângulos equiláteros menores. Os triângulos menores são definidos pelos vértices BCD, FDE, ABF e FBD.

21. Compondo triângulos equiláteros idênticos, formamos outros triângulos equiláteros. Observe a sequência.

Figura geométrica. Sequência de figuras. Primeira figura um triângulo. Segunda figura um triângulo composto por 4 triângulos. Terceira figura. Triângulo composto por 9 triângulos. reticências.

• Agora, responda: qual é a medida do perímetro de um triângulo formado por 64 triângulos equiláteros cujos lados medem 1 centímetro de comprimento?

22. Marcela desenhou quatro triângulos equiláteros, cada um com perímetro medindo 12 centímetros, justapostos a um quadrado, de modo que um dos lados de cada triângulo se apoiasse sobre um dos lados do quadrado sem que sobrasse ou faltasse nenhuma parte dos lados dos dois polígonos.

a) Que polígono Marcela formou nessa composição?

b) Qual é a medida do perímetro do polígono formado?

23. Determine as medidas x, y e z, em grau, na figura a seguir.

Figura geométrica. Primeiro triângulo com os ângulos da base medindo 60 graus, y e o terceiro ângulo medindo 50 graus. Sobre essa figura foi sobreposto um triângulo retângulo, em que a medida da hipotenusa está na horizontal e o ângulo de 60 graus coincide com o ângulo de 60 graus do primeiro triângulo, o terceiro ângulo, que também está base, mede x. A parte do primeiro triângulo que não foi sobreposta forma um terceiro triângulo com medidas dos ângulos z, medida igual ao suplemento do ângulo de 90 graus do triângulo retângulo e ângulo de 50 graus que coincide com um ângulo do primeiro triângulo.

24.

Na figura, A bê = á cê , A Ê = á dê = dê ê e a abertura do ângulo

B \hat{A} D

mede 30graus.

Ilustração. Triângulo ABD com um ângulo de 30 graus em A. Ao lado, triângulo ADE e abaixo, triângulo ECD com ângulo x em D.

• Então, a abertura do ângulo x mede:

a) 10graus

b) 20graus

c) 15graus

d) 30graus

e) 45graus

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Para finalizar

faça as atividades no caderno

organize suas ideias

Observe e responda

Analise estas imagens.

Ilustração. Bandeira do Brasil. Retângulo verde com sobreposição de losango amarelo no centro. Dentro do losango, um círculo azul no centro, sobre o círculo há uma faixa com formato de arco com as palavras: ORDEM E PROGRESSO. Acima da faixa há uma estrela. E sob a faixa há 26 estrelas. — Bandeira do Brasil.

Ilustração. Menina de cabelo preto e camiseta azul escreve no quadro de giz: 64 vezes um meio igual x sobre 4 vezes 64 32 vezes 1 igual x vezes 16.

Obra de arte. Quadro com formas geométricas: circulo, triângulos, retas e quadriláteros. O fundo é claro e há diferentes texturas como traços, pontilhados e padrões em xadrez. — Tony Lima. Esfera amarela, 2004, óleo sobre tela, 40 centímetros × 60 centímetros.

Com base nas imagens e também no que você aprendeu nesta Unidade, responda às questões no caderno.

1. A sentença matemática do quadro é uma equação ou uma inequação? Qual é o valor de x?

2. Que figuras geométricas podemos associar à bandeira do Brasil? E ao quadro de Tony Lima?

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▶ Para finalizar

Registre

Para finalizar o estudo desta Unidade, reúna-se com um colega e façam o que se pede.

1. O que é uma equação? Como vocês diferenciam uma equação de uma expressão algébrica qualquer? Deem exemplos.

2. Como vocês diferenciam um círculo de uma circunferência?

3. Qual é a diferença entre os polígonos convexos e os não convexos?

4. Que características são comuns a todos os triângulos? Que características podem variar de triângulo para triângulo?

5. Quais são os quadriláteros notáveis? Deem exemplos explicando as características de cada grupo.

6. Na abertura desta Unidade, vocês responderam a algumas questões do boxe Para começar... Retomem as questões e avaliem se vocês dariam outras respostas a elas agora. Depois, escrevam um texto explicando o que vocês aprenderam nesta Unidade.

Para conhecer mais

Equação: o idioma da Álgebra

(Coleção Contando a história da Matemática)

Oscar Guelli São Paulo: Ática, 1999.

Na Antiguidade, os estudos matemáticos voltavam-se mais à Geometria do que à Álgebra. Diofante, um sábio do qual se sabe muito pouco, foi quem, possivelmente, iniciou os estudos sobre a Álgebra. Desde então, esses estudos não pararam de se desenvolver. Esse livro traz um pouco da história da Álgebra, muitas atividades desafiadoras e curiosidades sobre equações.

Capa de livro. Título: Equação: o idioma da Álgebra. Imagem com fundo cor de rosa com diversos números e letras com pernas, braços e olhos.

Calvin, o detetive

Bill Wise

São Paulo: Melhoramentos, 2013.

Uma série de crimes precisa ser resolvida pelo chefe de polícia Artur e seu ajudante mirim Calvin. A chave desses mistérios está nos números, o que exige do leitor atenção e síntese dos fatos. Os problemas desenvolvem o raciocínio lógico e as habilidades matemáticas de maneira divertida e lúdica.

Capa de livro. Título: Calvin, o detetive. Imagem com fundo laranja com um menino de pele clara usando óculos, boné com uma lanterna nas mãos. Da lanterna sai um feixe de luz com números e símbolos.