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UNIDADE 4

Capítulo 10

Medida de área de quadriláteros e de triângulos

Capítulo 11

Proporção e aplicações

Capítulo 12

Transformações geométricas

Fotografia. Vista do alto de fileiras de painéis de captação de energia solar em chão de terra. O dia está ensolarado. — Vista aérea de placas fotovoltaicas para captação de energia solar e geração de energia elétrica em fazenda de grãos, Tabaporã (Mato Grosso), 2021.

Painéis fotovoltaicos: uma alternativa sustentável

Os painéis fotovoltaicos, popularmente conhecidos como painéis solares, são uma alternativa sustentável de produção de energia elétrica, pois utilizam uma fonte de energia renovável e não poluente: o Sol.

Instalados em locais com alto índice de incidência solar, como telhados e estacionamentos, os painéis possuem uma tecnologia que capta os raios solares e os converte em energia elétrica. A quantidade de energia elétrica produzida depende de fatores como a medida de área dos painéis e a taxa de incidência solar na região em que estão instalados.

Para começar...

1. Por que os painéis solares são considerados uma alternativa sustentável de produção de energia elétrica?

2. Você conhece outras fontes de energia sustentáveis? Comente.

3. Considerando que um painel solar com medida de área de 1 métro quadrado gere 0,8 quilouát óra em um dia, quanta energia elétrica pode ser gerada em um dia com a instalação de painéis solares que medem 9 métros quadrados?

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CAPÍTULO 10 Medida de área de quadriláteros e de triângulos

1 Medida de área

Desde a Antiguidade, os seres humanos se beneficiam do vento. Povos antigos já utilizavam esse recurso para impulsionar as embarcações a vela três séculos antes de Cristo. O aproveitamento da fórça do vento para a irrigação de terras e a moagem de grãos parece ter começado por volta de 200 antes de Cristo, na antiga Pérsia (atual Irã).

Desde a época medieval, a fórça do vento é aproveitada em moinhos nas serrarias, no bombeamento de água e, posteriormente, no início do século vinte, na geração de energia elétrica. Nesses casos, o movimento é provocado pelo contato do vento com a superfície das pás: quanto maior a medida de área da superfície, maior o contato. Com o passar do tempo, os moinhos deram espaço às turbinas eólicas, que apresentam aerodinâmica moderna e sistemas avançados de transmissão e contróle, que possibilitam a redução dos custos e melhoram o desempenho da geração de energia do vento. Essa tecnologia é considerada uma fonte de energia limpa (não poluente) e renovável.

Fotografia. Vista frontal de moinho de vento formado por uma torre de metal e hastes conectadas a um eixo central. O moinho está em um gramado e o dia está ensolarado com nuvens. — Moinho de vento na zona rural de Pindamonhangaba (São Paulo), 2020.

Fotografia. Área com torres de captação de energia eólica. Cada uma é formada por uma haste e três hélices. O chão é de terra. O dia está ensolarado e sem nuvens. — Turbinas eólicas do Parque Eólico Rei dos Ventos, em Galinhos (Rio Grande do Norte), 2020.

Para pensar

• As pás menores do moinho da foto lembram que figuras geométricas planas?

• Imagine que a superfície de uma das pás menores tenha medida de área de 6 metros quadrados. Em sua opinião, qual é a medida da área da superfície de cada uma das outras pás?

Há diversas outras situações do cotidiano em que utilizamos o conceito de área. Por exemplo, para determinar a extensão de um terreno, a quantidade necessária de tinta para pintar uma casa, o número de lajotas para revestir um piso, entre outras. Nesses casos, encontramos as medidas das respectivas superfícies – do terreno, das paredes e do piso.

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Unidade de medida de área

Para determinar a medida de área de uma superfície, é necessário escolher uma unidade de medida adequada e, em seguida, determinar quantas vezes essa unidade de medida cabe nessa superfície. No Sistema Internacional de Unidades (Sistema Internacinal de Unidades), o metro quadrado (ême 2 sobrescrito) é a unidade de medida de referência para área, que corresponde à medida da área de um quadrado cujos lados medem 1 métro de comprimento.

Do mesmo modo como com as unidades de medida de comprimento, há múltiplos e submúltiplos do metro quadrado. No quadro a seguir constam essas unidades de medida, o símbolo e a relação de cada múltiplo e submúltiplo com a unidade de medida metro quadrado.

	Múltiplos			Unidade de medida de referência	Submúltiplos
Unidade	quilômetro quadrado	hectômetro quadrado	decâmetro quadrado	metro quadrado	decímetro quadrado	centímetro quadrado	milímetro quadrado
Símbolo	km2	hm2	dam2	m2	dm2	cm2	mm2
Relação com a unidade de medida metro quadrado	1.000.000 m2	10.000 m2	100 m2	1 m2	0,01 m2	0,0001 m2	0,000001 m2

Para pensar

a) Qual operação deve ser realizada para transformar uma medida de área expressa em determinada unidade de medida em outra unidade imediatamente superior? E para transformar em uma unidade de medida imediatamente inferior?

b) Como podemos expressar 2 quilômetros quadrados em metro quadrado?

c) Como podemos expressar 50 milímetros quadrados em metro quadrado?

Medidas agrárias

Que unidades de medida são usadas para medir áreas rurais? São as mesmas que se usam em regiões urbanas? Você já ouviu falar em are, em hectare ou em alqueire?

Para regiões rurais, são usadas algumas unidades de medidas específicas, chamadas medidas agrárias.

Imagine um terreno de formato quadrado cujos lados medem 1 hectômetro (ou seja, 100 métros) de comprimento.

Figura geométrica. Terreno quadrado marrom, com cota indicando a medida do lado de 1 hectômetro.

Um terreno com essas medidas de comprimento tem uma área que mede 1 hectômetro quadrado, que corresponde a 1 hectare e indicamos por 1 agá ah.

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Agora, imagine outro terreno, de formato quadrado, cujos lados medem 1 decâmetro (ou seja, 10 métros) de comprimento.

Figura geométrica. Terreno quadrado verde, com cota indicando a medida do lado de 1 decâmetro.

A medida de área desse terreno é igual a 1 decâmetro quadrado, que corresponde a 1 are e indicamos por 1 a.

Saiba mais

Há ainda outras unidades de medidas agrárias, usadas em algumas regiões do Brasil; por exemplo:

• o alqueire paulista, que é equivalente a uma medida de área de .24200 métros quadrados;

• o alqueire mineiro, que é equivalente a uma medida de área de .48400 métros quadrados;

• o alqueire do norte, que é equivalente a uma medida de área de .27225 métros quadrados.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Faça as seguintes transformações.

a) 600 quilômetros quadrados em métro quadrado

b) 600 centímetros quadrados em métro quadrado

c) 0,0052 hectômetro quadrado em centímetro quadrado

d) 0,08 decâmetro quadrado em milímetro quadrado

e) 105 métros quadrados em quilômetro quadrado

f) 0,102 métro quadrado em centímetro quadrado

2. Sergipe, o menor estado brasileiro, tem medida de área de .21918,443 quilômetros quadrados. Qual é a medida de área de Sergipe em hectômetro quadrado? E em hectare?

Fotografia. Vista aérea de cidade com casas e prédios ao fundo, o mar está azul. Dia ensolarado com céu azul e poucas nuvens. — Aracaju, capital de Sergipe, 2020.

3. Responda às questões no caderno.

a) O que é maior: um terreno que mede .25000 hectares ou um de 12 quilômetros quadrados?

b) O que é menor: uma área que mede 1,56 métro quadrado ou uma de .15500 centímetros quadrados?

4. O sítio de Artur mede 2 alqueires mineiros, e o de Rafaela mede 4 alqueires paulistas. Quem tem o sítio com maior medida de área?

5. Josias comprou um terreno que mede 5 alqueires mineiros e pretende dividi-lo em 10 lotes de mesma medida de área. Determine a medida de área de cada lote, em metro quadrado.

6. Em uma área que mede 5 ares, Leandro plantará milho e feijão. Se a plantação de milho ocupar 30% da medida da área, qual será a medida, em metro quadrado, da área ocupada pela plantação de feijão?

7. Comprei um sítio que mede 12 hectares de área. Vou destinar 20% desse terreno para a plantação de árvores frutíferas e 25% para a plantação de legumes e hortaliças. Que medida de área, em metro quadrado, será destinada para plantação?

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8. Observe os anúncios e responda às questões.

Ilustração. Anúncio 1: em cartaz cinza escrito em preto. VENDE-SE. Fazenda com 356 alqueires mineiros de medida de área. Valor: 600 reais por alqueire. Anúncio 2: em cartaz cinza escrito em preto. VENDE-SE. Fazenda com 635 alqueires paulistas de medida de área. Valor: 500 reais por alqueire. Anúncio 3: em cartaz cinza escrito em preto. VENDE-SE. Fazenda com 532 alqueires do norte de medida de área. Valor: 800 reais por alqueire.

a) Qual é o valor de cada fazenda?

b) Qual das três fazendas tem maior medida de área em metro quadrado?

c) Diego observou os três anúncios e concluiu que a fazenda do primeiro anúncio tem maior medida de área e valor mais baixo. Diego está correto?

2 Medida de área do retângulo

Observe a situação a seguir.

Renato decidiu revestir o chão do corredor de sua casa com lajotas quadradas cujos lados medem 1 métro de comprimento.

Ilustração. Homem de cabelo castanho comprido, vestido de camiseta azul e calça verde. À sua esquerda, outro homem de cabelos castanhos e óculos, vestido de camisa vermelha e calça marrom. Este, está indicando um suporte com lajotas em tom de verde.

Podemos representar o chão do corredor por um retângulo e cada lajota por um quadrado.

Figura geométrica. À esquerda, retângulo cinza com os 4 ângulos retos indicados, com cota indicando a medida do comprimento, 7 metros e a largura, 2 metros. À direita, quadrado bege com os 4 ângulos retos indicados, com cota indicando a medida do lado, 1 metro.

Agora, vamos ver quantos quadrados com medida de área igual a 1 métro quadrado cabem no retângulo que representa o chão do corredor.

Esquema. Figura geométrica. Retângulo bege dividido em 14 quadrados congruentes. O lado de cada quadrado mede 1 metro. Na largura, chave indicando: medida de comprimento da largura ou da altura do retângulo relativa à base. No comprimento, chave indicando: medida do comprimento ou da base do retângulo.

Com essa representação, percebemos que cabem 14 quadrados que medem 1 métro quadrado de área, ou seja, são necessárias 14 lajotas para revestir o chão do corredor.

Portanto, a área do chão do corredor da casa de Renato mede 14 métros quadrados.

Observe o retângulo cinza e a seguir, acompanhe como podemos calcular sua medida de área:

(7 ⋅ 2) métros quadrados = 14 métros quadrados

Observação

Não se esqueça de que, para obter a medida de área do retângulo, bem como de qualquer outra figura, as medidas de comprimento usadas no cálculo devem estar expressas na mesma unidade de medida.

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Como vimos, a medida de área do retângulo cinza foi obtida pelo produto da medida de comprimento da base pela medida de comprimento da altura relativa a essa base.

Quadro. A medida de área de um retângulo de base com medida de comprimento b e altura com medida de
comprimento a é dada por: Área igual a b vezes a. Linha azul abaixo do b, indicando: medida de comprimento da base. Linha azul abaixo de a, indicando: medida de comprimento da altura relativa à base.

Medida de área do quadrado

Já vimos que o quadrado é um caso particular de retângulo. Então:

Figura geométrica. Quadrado verde com os 4 ângulos retos indicados, com cota indicando a medida do lado, l.

Quadro. A medida de área de um quadrado de lado com medida de comprimento l é dada por: Área igual a l vezes l, igual a l ao quadrado. Linha azul abaixo do primeiro e do segundo l, indicando: medida de comprimento do lado. Linha azul abaixo do l ao quadrado, indicando: medida de comprimento do lado ao quadrado.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Faça o que se pede.

a) Desenhe três retângulos diferentes que meçam 12 centímetros de perímetro cada um.

b) Determine a medida de área de cada um dos retângulos que você construiu.

2. Um retângulo mede 40 centímetros quadrados de área. Sabendo que as medidas de comprimento de seus lados, em centímetro, são dadas por números naturais, e que a medida de comprimento da base é 3 centímetros maior que a da altura, calcule a medida de comprimento da altura desse retângulo.

3. (saréspi) O piso de uma varanda é feito com ladrilhos quadrados de dois tamanhos. A medida do lado do ladrilho maior é o dobro da medida do lado do ladrilho menor.

Ilustração. Seis quadrados azuis, intercalados com 5 pequenos quadrados amarelos. Formando um mosaico.

Considere as afirmativas.

um. O perímetro do ladrilho maior é o dobro do perímetro do ladrilho menor.

dois. O perímetro do ladrilho maior é o quádruplo do perímetro do ladrilho menor.

três. A área do ladrilho maior é o dobro da área do ladrilho menor.

quatro A área do ladrilho maior é o triplo da área do ladrilho menor.

É correta apenas a alternativa:

a. um

b. dois

c. três

d. quatro

4. Determine quantas lajotas quadradas cujos lados medem 15 centímetros de comprimento são necessárias para revestir o piso de um banheiro que mede 2,3 métros de largura por 3 métros de comprimento. Desconsidere eventuais perdas e o espaço para o rejunte entre as lajotas.

Ilustração. Vista de cima de ambiente em fase de assentamento de lajotas, parte já assentada. Sobre as lajotas, saco de cimento e recipiente com cimento. Ao fundo, porta. À esquerda, pia com espelho.

• Quantas lajotas seriam necessárias se, em vez de o lado da lajota medir 15 centímetros de comprimento, medisse 30 centímetros?

5. Uma decoradora de ambientes deseja forrar com tecido um pufe, que lembra um cubo, que mede 50 centímetros de largura. Calcule a medida de área de tecido, em metro quadrado, que ela usará sabendo que a base do pufe não será forrada.

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3 Figuras equidecomponíveis

Observe as figuras coloridas a seguir.

Ilustração. Malha quadriculada com cota indicando a medida de um quadradinho, 1 centímetro. Nele há 4 figuras. Figura roxa composta por 5 quadradinhos, sendo 3 horizontais, 1 abaixo do primeiro quadradinho e outro abaixo do terceiro quadradinho. Figura azul composta por 5 quadradinhos sendo 3 na horizontal e dois na vertical, abaixo do primeiro quadradinho da horizontal. Figura verde composta por 5 quadradinhos. Sendo 3 na vertical e dois na horizontal, à esquerda do quadradinho do meio da vertical. Figura laranja composta por 5 quadradinhos, sendo 3 horizontais, 1 abaixo do primeiro quadradinho e outro abaixo do segundo quadradinho.

Compare os formatos dessas figuras e, depois, as medidas de suas áreas. O que você percebeu?

Apesar de essas figuras terem formatos diferentes, podemos decompô-las em 5 quadradinhos e, com eles, formar cada uma das outras figuras da malha quadriculada. Por essa razão, dizemos que essas figuras são equidecomponíveis.

Além disso, os quadradinhos medem 1 centímetro quadrado, de modo que todas as figuras anteriores têm 5 centímetros quadrados de medida de área. Por terem a mesma medida de área, dizemos que essas figuras são equivalentes.

Sempre que conseguirmos decompor um polígono em outras figuras e, com elas, formar um segundo polígono, este terá a mesma medida de área que o primeiro. Ou seja:

Se dois polígonos são equidecomponíveis, eles são equivalentes.

Por isso, quando o cálculo da medida da área de uma figura for muito complicado, poderemos decompô-la e formar uma figura cuja área sabemos calcular.

Observe, a seguir, a ilustração do pentágono e como podemos, por exemplo, formar um quadrado a partir dele. Assim, para saber a medida da área do pentágono, basta calcular a medida da área do quadrado que foi formado.

Ilustração. Pentágono composto por várias partes coloridas com formatos de triângulos e de quadriláteros.

Ilustração. Pentágono composto por várias partes coloridas com formatos de triângulos e de quadriláteros. A metade da figura, à direita, está com as partes separadas.

Ilustração. Pentágono composto por várias partes coloridas com formatos de triângulos e de quadriláteros. A figura está com todas as partes separadas.

Ilustração. Parte de um quadrado composto por várias partes coloridas com formatos de triângulos e de quadriláteros.

Ilustração. Quadrado composto por várias partes coloridas com formatos de triângulos e de quadriláteros.

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Atenção! Cuidado ao usar o compasso e a tesoura.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Você sabe como transformar um quadrado em um retângulo de mesma medida de área? Construa um quadrado em uma folha colorida, recorte-o e cole-o no caderno para responder à questão.

2. Copie no caderno o paralelogramo ilustrado.

Figura geométrica. Paralelogramo verde com ícone de modelo à esquerda

• Agora, responda.

Como podemos transformar o paralelogramo em um retângulo de mesma medida de área?

ícone de atividade de elaboração de problema

Crie no caderno uma figura que possa ser transformada em um retângulo de mesma medida de área. Em seguida, troque de caderno com um colega, decomponha a figura criada por ele e componha um retângulo.

4 Medida de área do paralelogramo

Observe o paralelogramo a bê cê dê a seguir. Nele, traçamos a altura

\overline{A H}

, relativa à base

\overline{D C}

Esquema. Figura geométrica. Paralelogramo amarelo de vértices ABCD. Distância do ponto A até o lado DC indicada pelo segmento AH. Cota da altura do paralelogramo indicando a medida a. Cota da base do paralelogramo indicando a medida b.

Recorde

Em um paralelogramo, os lados opostos paralelos são congruentes.

Podemos decompor esse paralelogramo em dois polígonos – o triângulo ADH e o trapézio ABCH – e com esses polígonos compor um retângulo, conforme indicado no esquema:

Esquema. Figura geométrica. À esquerda, paralelogramo ABCD, formado pelo trapézio amarelo ABCH e pelo triângulo roxo ADH. H é ponto comum da base DC e altura AH. Cota da altura, indicando a medida a e cota da base, indicando a medida b. Triângulo pontilhado à direita do paralelogramo, formado por um dos lados do paralelogramo e altura externa do paralelogramo. Seta partindo do triângulo roxo e indicando o triângulo pontilhado. Seta partindo do paralelogramo ABCD para a direita. À direita, retângulo ABH linha H, formado pelo trapézio amarelo ABCH e pelo triângulo roxo BDH linha. C e D são coincidentes e pertencem ao lado HH linha. Cota da altura, indicando a medida a e cota do comprimento, indicando a medida b.

Após a decomposição do paralelogramo e a composição do retângulo, observe que o paralelogramo e o retângulo têm:

• altura de medida a de comprimento;

• base de medida b de comprimento;

• mesma medida de área.

Esquema. À esquerda, paralelogramo amarelo de vértices ABCD. Cota da altura do paralelogramo, indicando a medida a. Cota da base do paralelogramo, indicando a medida b. À direita, retângulo amarelo de vértices ABH linha H. Cota da altura do retângulo, indicando a medida a. Cota do comprimento do retângulo, indicando a medida b.

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Assim:

Quadro. A medida de área de um paralelogramo é dada por: Área igual a b vezes a. Linha azul abaixo do b, indicando: medida de comprimento da base. Linha azul abaixo de a, indicando: medida de comprimento da altura relativa à base.

Observação

A expressão anterior pode ser usada para calcular a medida de área de qualquer paralelogramo, com lados de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras.

Exemplo

Vamos determinar a medida de área do paralelogramo a bê cê dê.

Figura geométrica. Paralelogramo verde de vértices ABCD. Cota da medida do comprimento da base, indicando 8 metros. Cota da medida de comprimento da altura, indicando 3 vírgula 5 metros.

Medida de área:

a = b ⋅ a

a = 8 métros ⋅ 3,5 métros

a = 28 métros quadrados

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Determine a medida de área dos paralelogramos.

Ilustração. Paralelogramo azul na vertical. A medida da base é 5 vírgula 6 centímetros e a medida da altura é 6 vírgula 7 centímetros.

Ilustração. Paralelogramo laranja, medida do comprimento da base, 6 centímetros. Cota da medida de comprimento da altura, indicando 3 vírgula 4 centímetros.

2. Faça o que se pede.

a) A medida de área de um paralelogramo é 146,26 centímetros quadrados. Sabendo que sua altura mede 7,1 centímetros de comprimento, determine a medida de comprimento da base relativa a essa altura.

b) No paralelogramo a bê cê dê, o lado

\overline{A B}

mede 2 centímetros, a altura relativa ao lado

\overline{B C}

mede 1,7 centímetro e o perímetro mede 12 centímetros de comprimento. Determine a medida de área desse paralelogramo.

3. Em um paralelogramo a bê cê dê, o segmento

\overline{A E}

é perpendicular ao lado

\overline{D C}

e mede 3 centímetros de comprimento. Sabendo que o lado

\overline{D C}

mede 5 centímetros de comprimento, calcule a medida de área desse paralelogramo.

4. Desenhe um paralelogramo que seja equivalente a um quadrado cujo lado mede 5 centímetros de comprimento.

• Existe apenas uma solução para esse problema? Explique sua resposta.

5. Determine a medida de área do paralelogramo e, depois, responda à questão.

Figura geométrica. Paralelogramo verde, medida do comprimento da base, 7 centímetros. Cota da medida de comprimento da altura, indicando 5 centímetros.

• Se dobrarmos a medida de comprimento da altura desse paralelogramo e dividirmos a medida de comprimento de sua base por 2, o que acontecerá com a medida de área?

6. Ricardo é marceneiro e recebeu uma encomenda para fazer porta-retratos. Cada porta-retrato terá o formato de um paralelogramo, como na figura a seguir (os objetos não terão emendas).

Figura geométrica. Paralelogramo bege, medida do comprimento da base, 20 centímetros. Cota da medida de comprimento da altura, indicando 10 centímetros.

• Para produzir esses porta-retratos, Ricardo comprará placas de madeira, de formato retangular, que medem 80 centímetros de largura e 100 centímetros de comprimento. Quantas placas serão necessárias para fazer 40 porta-retratos?

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5 Medida de área do triângulo

As regiões triangulares a seguir são iguais e formam um paralelogramo, conforme indicado no esquema:

Esquema. Figura geométrica.
À esquerda, dois triângulos congruentes verdes de vértices ABD, com cotas na altura indicando a medida a e na base indicando a medida b. O primeiro triângulo tem o vértice D voltado para baixo e o segundo triângulo tem o vértice B voltado para cima. Seta partindo dos triângulos congruentes para a direita. À direita, paralelogramo verde ABCD formado com os dois triângulos congruentes, com cotas na altura, indicando a medida a, e na base, indicando a medida b.

Após a composição do paralelogramo a bê cê dê, é possível observar que:

• os triângulos e o paralelogramo têm altura de mesma medida de comprimento (a);

• os triângulos e o paralelogramo têm base de mesma medida de comprimento (b);

• a medida de área do paralelogramo é igual à soma das medidas de áreas dos dois triângulos.

Como as regiões triangulares são iguais, a medida de área de cada uma é igual à metade da medida de área do paralelogramo.

Figura geométrica. À esquerda, triângulo de vértices DBC. Cota da altura do triângulo, indicando a medida a. Cota da base do triângulo, indicando a medida b. À direita, paralelogramo verde de vértices ABCD. Cota da altura do paralelogramo, indicando a medida a. Cota da base do paralelogramo, indicando a medida b.

Portanto:

Quadro. A medida de área de um triângulo é dada por: Área igual ao produto b vezes a, sobre 2. Linha azul acima do b, indicando: medida de comprimento da base. Linha azul acima de a, indicando: medida de comprimento da altura relativa à base.

Observação

A expressão anterior pode ser usada para calcular a medida de área de qualquer triângulo, com lados de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras.

Exemplo

Vamos determinar a medida de área do triângulo á bê cê a seguir.

Figura geométrica. Triângulo de vértices ABC. Cota da altura do triângulo, indicando a medida 1 vírgula 5 centímetros. Cota da base do triângulo, indicando a medida 5 centímetros.

A = \frac{b \cdot a}{2}

A = \frac{5 cm \cdot 1,5 cm}{2} = {3,75 cm}^{2}

Logo, a área do triângulo á bê cê mede 3,75 centímetros quadrados.

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Para calcular a medida de área de um triângulo, podemos considerar como base qualquer um de seus lados e tomar a medida de comprimento da altura relativa ao lado escolhido.

Observe as diferentes maneiras de calcular a medida de área do triângulo á bê cê a seguir.

Figura geométrica. Triângulo amarelo de vértices ABC. O ponto M pertence ao segmento AC, o ponto N pertence ao segmento CB e o ponto O pertence ao segmento AB. AN é altura relativa à base BC, ângulo reto indicado entre eles. BM é altura relativa à base AC, ângulo reto indicado entre eles. CO é altura relativa à base AB, ângulo reto indicado entre eles. AB tem medida 3 vírgula 9 centímetros; BC tem medida 4 vírgula 5 centímetros e AC tem medida 3 centímetros.

BM ≃ 3,85 centímetros

cê ó ≃ 2,96 centímetros

á êne ≃ 2,56 centímetros

A ≃

\frac{3 c m \cdot 3, 85 c m}{2} ≃ 5, 77 c m^{2}

(base

\overline{A C}

e altura

\overline{B M}

)

A ≃

\frac{3, 9 c m \cdot 2, 96 c m}{2} ≃ 5, 77 c m^{2}

(base

\overline{A B}

e altura

\overline{C O}

)

A ≃

\frac{4, 5 c m \cdot 2, 56 c m}{2} ≃ 5, 77 c m^{2}

(base

\overline{B C}

e altura

\overline{A N}

)

Desafio

Se a área da figura mede 1 centímetro quadrado e todos os triângulos que a compõem são equiláteros, quanto mede a área do triângulo azul?

Figura geométrica. Triângulo equilátero verde. Na parte interior, triângulo vermelho inscrito no triângulo verde, de forma a dividi-lo em 4 triângulos congruentes. Na parte interior do triângulo vermelho, triângulo azul inscrito no triângulo vermelho, de forma a dividi-lo em outros 4 triângulos congruentes.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Calcule quanto mede a área de cada triângulo.

Figura geométrica. Triângulo verde, cota da altura do triângulo, indicando a medida 3 centímetros. Cota da base do triângulo, indicando a medida 7 centímetros.

Figura geométrica. Triângulo retângulo roxo, com um dos lados indicando a medida 3 centímetros, e o lado adjacente e perpendicular a ele com medida 4 centímetros.

2. Determine a medida de área do triângulo obtusângulo a seguir.

Figura geométrica. Triângulo laranja. Cota da altura do triângulo, indicando a medida 2 vírgula 1 centímetros. Cota da base do triângulo, indicando a medida 7 vírgula 3 centímetros.

3. A área de lazer de um condomínio será ampliada com a construção de um jardim, como mostrado no esquema.

Figura geométrica. Triângulo retângulo verde, abaixo com um lado comum, um paralelogramo verde. O triângulo tem um lado na vertical de medida 6 metros, adjacente e perpendicular a ele, lado do paralelogramo de medida 10 metros. Cota indicando a distância entre o vértice do triângulo e o vértice do paralelogramo, 2 metros. Cota indicando a medida da altura do paralelogramo: 8 metros.

Quanto medirá a área ocupada pelo jardim?

4. Analise a figura a seguir e descubra a relação entre as medidas de área dos triângulos á bê cê, á bê dê e á bê é.

Figura geométrica. Retas r e s paralelas. C, D e E pertencem à reta r e os pontos A e B pertencem à reta s. Triângulo ABC amarelo, triângulo ABD vermelho e triângulo ABE azul.

O esquema a seguir representa um terreno onde serão plantados três tipos de hortaliça. Elabore um problema com base nesse esquema. Depois, troque de problema com um colega e resolva o problema proposto por ele.

Figura geométrica. Figura formada por um retângulo, um quadrado e um triângulo retângulo. Retângulo à esquerda com os 4 ângulos retos indicados. No interior, escrito couve. Cota na vertical, indicando o comprimento do retângulo, 80 metros. Cota na horizontal, indicando a largura, 60 metros. À direita, adjacente ao retângulo e na parte inferior, um quadrado com os 4 ângulos retos indicados. No interior, escrito espinafre. Cota na vertical, indicando o comprimento do lado, 40 metros. Cota na horizontal, indicando o comprimento do quadrado e do retângulo juntos, 100 metros. Acima, adjacente ao quadrado e ao retângulo e na parte superior, um triângulo retângulo com o ângulo reto indicado. No interior, escrito alface.

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6 Medida de área do trapézio

O trapézio a bê cê dê a seguir pode ser decomposto em dois triângulos com bases de medidas bit₁ e bit₂ de comprimento e altura de mesma medida a de comprimento.

Esquema. Figura geométrica. À esquerda trapézio azul de vértices ABCD, com a diagonal BC pontilhada. Cotas na base maior indicando a medida b2 e na base menor indicando a medida b1. Cota indicando a medida da altura, a. À direita, trapézio anterior, separado em dois triângulos: ABD e BCD. O triângulo ABD, tem o número 1 em seu interior e cotas indicando a medida da base, b1; e medida da altura, a. O triângulo BCD, tem o número 2 em seu interior e cotas indicando a medida da base, b2; e medida da altura, a. Seta da esquerda para a direita, partindo do trapézio e indicando os triângulos.

Calculando as medidas de área desses triângulos, temos:

A_{△_{1}} = \frac{b_{1} \cdot a}{2}

A_{△_{2}} = \frac{b_{2} \cdot a}{2}

A medida de área do trapézio é igual à soma das medidas de área dos triângulos.

A = A_{△_{1}} + A_{△_{2}}

A = \frac{b_{1} \cdot a}{2} + \frac{b_{2} \cdot a}{2} = \frac{a}{2} \cdot (b_{1} + b_{2})

Assim:

Quadro. A medida de área de um trapézio é dada por: Área igual a fração a vezes, abre parênteses, b1 mais b2, fecha parênteses, sobre 2. Linha azul acima do a, indicando: medida de comprimento da altura. Linha azul acima de b1, indicando: medida de comprimento da base menor. Linha azul acima de b2, indicando: medida de comprimento da base maior.

Observação

A expressão anterior pode ser usada para calcular a medida de área de qualquer trapézio, com lados de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras.

Para pensar

Mariana foi contratada por uma empresa para reformar um salão de festas cujo piso tem a fórma de um trapézio, conforme o esquema a seguir.

Figura geométrica. Trapézio verde. Cota da altura do trapézio, indicando a medida 4 metros. Base maior de medida 16 metros, base menor de medida 10 metros, outros lados de medida 5 metros.

Para revestir o piso, Mariana escolheu uma lajota quadrada cujo lado mede 30 centímetros de comprimento.

a) Qual é a medida da área do piso do salão?

b) Quantas lajotas Mariana deverá comprar para cobrir completamente o piso do salão, considerando que devem ser comprados 5% a mais de lajotas para repor perdas em caso de quebra?

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7 Medida de área do losango

O losango a bê cê dê a seguir pode ser decomposto em dois triângulos com base de medida divisores de ₂ de comprimento e medida de altura

\frac{d_{1}}{2}

de comprimento.

Esquema. Figura geométrica.
À esquerda losango roxo de vértices ABCD, com a diagonal AC pontilhada. Cotas da diagonal BD, indicando a medida d1 e da diagonal AC, indicando a medida d2. À direita, losango anterior, separado em dois triângulos: ABC e ADC. O triângulo ABD, tem o número 1 em seu interior e cotas indicando a medida da base, d2; e medida da altura, d1 sobre 2. O triângulo ADC, tem o número 2 em seu interior e cotas indicando a medida da base, d2; e medida da altura, d1 sobre 2. Seta da esquerda para à direita, partindo do losango e indicando os triângulos.

Observação

Como o losango é um paralelogramo de lados de mesma medida de comprimento, as regiões triangulares, obtidas com a decomposição do losango a bê cê dê, são iguais.

A medida de área do losango é igual à soma das medidas de área dos triângulos á bê cê e á dê cê.

A = A_{△_{1}} + A_{△_{2}}

A = \frac{d_{2} \cdot \frac{d_{1}}{2}}{2} + \frac{d_{2} \cdot \frac{d_{1}}{2}}{2} = \frac{d_{2} \cdot d_{1}}{4} + \frac{d_{2} \cdot d_{1}}{4} = \frac{2 \cdot d_{2} \cdot d_{1}}{4} = \frac{d_{2} \cdot d_{1}}{2}

Portanto:

Quadro. A medida de área de um losango é dada por: Área igual a fração produto d1 vezes d2, sobre 2. Linha azul acima de d1, indicando: medida de comprimento da diagonal menor. Linha azul acima de d2, indicando: medida de comprimento da diagonal maior.

Observação

A expressão anterior pode ser usada para calcular a medida de área de qualquer losango, com lados de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras.

Exemplo

Vamos determinar a medida de área do losango a bê cê dê.

Figura geométrica. Losango vermelho de vértices ABCD. Cotas das diagonais do losango, indicando as medidas 5 centímetros e 7 vírgula 2 centímetros.

A =

\frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}

A =

\frac{5 c m \cdot 7, 2 c m}{2}

\frac{36}{2} c m^{2}

= 18 centímetros quadrados

Então, a área do losango a bê cê dê mede 18 centímetros quadrados.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Determine a medida de área de cada figura.

Figura geométrica. Trapézio azul. Cota da altura do trapézio, indicando a medida 3 centímetros. Base maior de medida 6 vírgula 9 centímetros, base menor de medida 4 vírgula 7 centímetros.

Figura geométrica. Losango vermelho, cotas das diagonais do losango, indicando as medidas 3 centímetros e 6 vírgula 9 centímetros.

Figura geométrica. Trapézio amarelo. Cota da altura do trapézio, indicando a medida 1 vírgula 7 centímetros. Base maior de medida 7 vírgula 3 centímetros, base menor de medida 2 vírgula 6 centímetros.

Figura geométrica. Losango azul, cotas das diagonais do losango, indicando as medidas 4 vírgula 3 centímetros e 5 vírgula 1 centímetros.

2. O esquema a seguir representa um terreno que será repartido entre quatro irmãos.

Figura geométrica. Trapézio retângulo dividido em quadrados iguais e triângulos iguais. Na primeira linha, da esquerda para a direita, 4 quadradinhos e um triângulo retângulo. Na segunda linha, da esquerda para a direita, 5 quadradinhos e um triângulo retângulo. Na terceira linha, da esquerda para a direita, 6 quadradinhos e um triângulo retângulo. Na quarta linha, da esquerda para a direita, 7 quadradinhos e um triângulo retângulo.

• Como esse terreno poderá ser repartido para que as partes recebidas pelos irmãos tenham a mesma medida de área?

3. Um terreno tem a fórma de um trapézio de bases medindo 36 métros e 24 métros e altura de 20 métros de comprimento. Foi construído no local um galpão retangular de lados medindo 10,6 métros e 5,5 métros de comprimento. No restante do terreno, plantou-se grama. Qual é a medida da área do terreno que foi gramada?

4. Com base na representação do loteamento a seguir, determine a medida da área da região a, sabendo que a área da região B mede 12 quilômetros quadrados.

Figura geométrica. Retângulo bege formado por um trapézio retângulo à esquerda, outro retângulo à direita e adjacente a ele, outro trapézio retângulo abaixo. O trapézio à esquerda, com ângulo reto no canto superior esquerdo do retângulo maior, tem no interior o escrito região A e cota na sua altura indicando a medida x. O retângulo à direita, com os 4 ângulos retos indicados, tem no interior o escrito região B e cota na sua altura indicando a medida x e no seu comprimento, indicando a medida, 6 quilômetros. O trapézio abaixo, com ângulo reto no canto inferior direito do retângulo maior, tem no interior o escrito região C e cota na sua altura indicando a medida x.

A figura a seguir representa uma pipa. No caderno, defina as medidas de comprimento como achar conveniente e elabore um problema que envolva o cálculo da medida de área dessa pipa. Depois, troque de problema com um colega e resolva o problema proposto por ele.

Figura geométrica. Figura composta por 2 triângulos retângulos verdes, 2 trapézios retângulos amarelos e dois triângulos laranja. Da esquerda para a direita, 2 triângulos retângulos verdes com seus ângulos retos adjacentes entre si. À direita e adjacentes aos triângulos verdes, dois trapézios retângulos amarelos, com seus ângulos retos adjacentes entre si. À direita e adjacentes aos trapézios amarelos, dois trapézios triângulos laranja, com seus ângulos retos adjacentes entre si. Cotas para a soma das medidas dos lados adjacentes dos triângulos verdes, altura do triângulo verde, altura do trapézio amarelo, altura do triângulo laranja e soma das medidas dos lados adjacentes do s triângulos laranja.

Calcule quanto mede a área da parte pintada de amarelo na figura, sabendo que ela é formada por dois losangos parcialmente sobrepostos.

Figura geométrica. Figura formada por dois losangos amarelos com parte sobreposta, formando outro losango azul. Cota da diagonal, na horizontal do losango amarelo de 10 centímetros. Cota da diagonal, na horizontal do losango azul do losango, indicando a medida de 5 centímetros. Cota indicando, na vertical a distância de cima para baixo, do vértice do losango amarelo ao vértice do losango azul de 3 centímetros; diagonal, na vertical do losango azul, 3 centímetros e distância do vértice do losango azul ao vértice do losango amarelo de 3 centímetros.

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Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Comparação de dados representados em gráficos de barras e de setores

O saneamento básico de uma cidade se reflete na qualidade da água utilizada para abastecimento.

No município fictício de Bela, o esgoto coletado é tratado, mas o esgoto não coletado é lançado ao solo, poluindo-o. Como não são todos os bairros que têm coleta de esgoto, a prefeitura de Bela implantou um programa para melhorar essa situação.

Observe a seguir o gráfico de barras e o gráfico de setores que representam os mesmos dados sobre a porcentagem de esgoto sanitário coletado e não coletado em Bela de 2020 a 2023.

Gráfico. Gráfico de barras verticais. Título: ESGOTO SANITÁRIO COLETADO E NÃO COLETADO (EM PORCENTAGEM). No eixo horizontal, Ano. No eixo vertical, porcentagem. Os dados são: 2020: não coletado, 59; coletado, 41. 2021: não coletado, 50; coletado, 50. 2022: não coletado, 42 vírgula 5; coletado: 57 vírgula 5. 2023: não coletado, 36; coletado, 64.
Abaixo, 4 gráficos de setores. Título: ESGOTO SANITÁRIO COLETADO E NÃO COLETADO (EM PORCENTAGEM). Gráfico de 2020: não coletado, 59; coletado, 41. Gráfico de 2021: não coletado, 50; coletado, 50. Gráfico de 2022: não coletado, 42 vírgula 5; coletado: 57 vírgula 5. Gráfico de 2023: não coletado, 36; coletado, 64.

Dados obtidos pela prefeitura de Bela de 2020 a 2023.

▶ Em qual dos tipos de gráfico você acha que é possível observar com mais clareza a evolução do esgoto sanitário em Bela ao longo do tempo?

▶ Em qual deles você acha que é possível observar melhor, em determinado ano, a relação da quantidade de esgoto coletado com a quantidade total?

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▶ Estatística e Probabilidade

Dependendo dos dados comparados, ora um, ora outro tipo de gráfico revela-se mais eficiente. Em alguns casos, a eficácia de ambos é idêntica. Observe a seguir a comparação desses gráficos em relação à situação apresentada.

Gráfico de barras verticais	Gráfico de setores
As barras verticais apresentam, a cada ano, a porcentagem de esgoto coletado (barra azul) e a de esgoto não coletado (barra vermelha). Observando as barras azuis, facilmente concluímos que a porcentagem de esgoto coletado aumentou ao longo do período apresentado.	Os círculos estão divididos em duas partes: a que representa a porcentagem de esgoto coletado (setor azul) e a que representa a porcentagem de esgoto não coletado (setor vermelho). Observando o gráfico de setores relativo a 2022, por exemplo, percebemos que nesse ano a maior parte do esgoto produzido já era coletada e, portanto, tratada.

ATIVIDADE

faça A ATIVIDADE no caderno

Segundo a Declaração Universal dos Direitos da Criança, toda criança tem direito à educação e à saúde, mas esse direito nem sempre é respeitado. Os gráficos a seguir apresentam a porcentagem aproximada de crianças menores de um ano de idade vacinadas no Brasil em 2016, 2017, 2018 e 2019.

Observe os gráficos e responda à questão.

Gráfico. Acima, 4 gráficos de
setores. Título: COBERTURA DE VACINAS OBRIGATÓRIAS A CRIANÇAS MENORES DE UM ANO DE IDADE - BRASIL. Gráfico de 2016. imunizadas, 87 por cento; não imunizadas, 23 por cento. Gráfico de 2017: imunizadas, 82 vírgula 1 por cento; não imunizadas, 17 vírgula 9 por cento. Gráfico de 2018: imunizadas, 85 vírgula 2 por cento; não imunizadas, 14 vírgula 8 por cento. Gráfico de 2019: imunizadas, 79 vírgula 6 por cento; não imunizadas, 20 vírgula 4 por cento. Abaixo, gráfico de barras verticais. Título: COBERTURA DE VACINAS OBRIGATÓRIAS A CRIANÇAS MENORES DE UM ANO DE IDADE - BRASIL. No eixo horizontal, Ano. No eixo vertical, porcentagem. Os dados são: 2016. imunizadas, 87 por cento; não imunizadas, 23 por cento. 2017: imunizadas, 82 vírgula 1 por cento; não imunizadas, 17 vírgula 9 por cento. 2018: imunizadas, 85 vírgula 2 por cento; não imunizadas, 14 vírgula 8 por cento. 2019: imunizadas, 79 vírgula 6 por cento; não imunizadas, 20 vírgula 4 por cento.

FUNDAÇÃO ABRINQ. Cenário da Infância e Adolescência no Brasil 2021. primeira edição Disponível em: https://oeds.link/T1GFjx. Acesso em: 1º junho. 2022.

• Em qual dos tipos de gráfico é possível observar com mais clareza a variação da porcentagem de crianças menores de um ano de idade vacinadas no período representado? Justifique.

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Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Uma fazenda que mede 16 alqueires mineiros será dividida em lotes que medem .3200 métros quadrados de área cada um.

a) Quantos lotes serão obtidos com essa divisão?

b) Se cada lote for vendido por R$ 100.000,00cem mil reais, quanto será arrecadado com a venda de

\frac{3}{4}

desses lotes?

2. Responda às questões no caderno.

a) Quantas salas retangulares que medem 4 métros de comprimento e 5 métros de largura são necessárias para formar 1 are?

b) A medida de área correspondente a 1 alqueire paulista é equivalente à medida de área de quantos hectares?

3. Antônio vai trocar o piso de uma sala de formato quadrado cujo lado mede 5 métros de comprimento. Se ele pretende utilizar lajotas quadradas de lado medindo 0,5 métro de comprimento, quantas lajotas serão necessárias para cobrir todo o piso da sala?

4. Determine a variação da medida da área de uma quadra oficial de futebol de salão sabendo que a medida de comprimento máximo é 42 métros e a mínima é 25 métros e que a medida da largura máxima é 22 métros e a mínima é 15 métros de comprimento.

5. Alberto tem um terreno cuja área mede 75 hectômetros quadrados. Dessa medida de área ele vendeu .2500 métros quadrados do terreno, fez uma construção medindo .1500 métros quadrados de área e o restante da área reservou para fazer plantações de milho e de feijão.

Ilustração. Terreno de formato irregular, com grande área marrom, indicando área reservada para a plantação. Na parte superior à esquerda, pequena área verde, indicando Terreno vendido. Na parte superior á direita da área marrom, área pequena laranja, indicando área construída.

a) Que medida de área, em metro quadrado, Alberto reservou para as plantações?

b) Qual será a medida de área ocupada pela plantação de feijão, sabendo que a plantação de milho ocupará o triplo dessa medida de área?

6. Determine a medida de área do quadrado cinza na figura a seguir.

Figura geométrica. Quadrado formado por 1 quadrado cinza no centro com os 4 ângulos retos indicados e 4 triângulos retângulos vermelhos, adjacentes aos lados do quadrado cinza, em que seus ângulos retos são coincidentes com o quadrado formado. Os lados dos triângulos que formam os lados do quadrado maior têm medidas 1 decímetro e 3 decímetros.

7. Calcule a medida de área da figura a seguir.

Figura geométrica. Octógono formado por: segmento na horizontal com medida 3 centímetros; para baixo, segmento na vertical com medida 1 centímetro; para direita, segmento na horizontal sem medida indicada; para baixo, segmento na vertical com medida de 3 centímetros; para esquerda, segmento na horizontal com medida 2 centímetros; para cima, segmento na vertical sem medida indicada; para esquerda, segmento na horizontal com medida de 5 centímetros; para cima, segmento na vertical com medida de 3 centímetros.

João dividiu uma malha quadriculada e a pintou de modo que se formassem dois triângulos e dois trapézios.

Figura geométrica. À esquerda, malha quadriculada quadrada com indicação da medida de lado 8 centímetros. Abaixo, indicação: medida de área: 64 centímetros quadrados. À direita, a mesma malha dividida em 4 partes: 1 triângulo retângulo verde, um triângulo retângulo vermelho, um trapézio retângulo bege e um trapézio retângulo amarelo. Na parte superior os triângulos verde e vermelho são congruentes e formam um retângulo de 3 quadradinhos de largura e 8 quadradinhos de comprimento. Na parte inferior os trapézios bege e amarelo são congruentes e formam um retângulo de 5 quadradinhos de largura e 8 quadradinhos de comprimento.

Em seguida, com esses quatro polígonos, João compôs um retângulo com mesma medida de área da malha quadriculada inicial. Observe como ele fez.

Figura geométrica. Malha quadriculada retangular com indicação da medida de largura 5 centímetros e comprimento 13 centímetros. A malha foi dividida em 4 partes: 1 triângulo retângulo verde, um triângulo retângulo vermelho, um trapézio retângulo bege e um trapézio retângulo amarelo. Na parte superior o triângulo verde e o trapézio bege formam um triângulo que representa a metade do retângulo da malha. Na parte inferior o trapézio amarelo e o triângulo vermelho formam outro triângulo representando a outra metade do retângulo formado pela malha. Abaixo, indicação: medida de área: 65 centímetros quadrados.

• Descubra o erro que João cometeu na composição do retângulo.