Página sessenta e quatro

Parte 3

Assim, a medida de abertura dos ângulos

A \hat{O} C

A \hat{O} B

pode ser obtida por:

m e d (A \hat{O} C) = m e d (A \hat{O} D) + m e d (D \hat{O} B) + m e d (B \hat{O} E) + m e d (E \hat{O} C)

m e d (A \hat{O} C) = 30 ° + 30 ° + 20 ° + 20 °

m e d (A \hat{O} C) = 100 °

m e d (A \hat{O} B) = m e d (A \hat{O} D) + m e d (D \hat{O} B)

m e d (A \hat{O} C) = 30 ° + 30 °

m e d (A \hat{O} C) = 60 °

3. Como

0,5 ° = 30^{'}

, temos:

57 ° : 2 = 28,5 °

. Logo, a medida de abertura dos ângulos formados é

28 ° 30^{'}

79 ° : 2 = 39,5 °

. Logo, a medida de abertura dos ângulos formados é

39 ° 30^{'}

105 ° : 2 = 52,5 °

. Logo, a medida de abertura dos ângulos formados é

52 ° 30^{'}

15 ° : 2 = 7,5 °

. Logo, a medida de abertura dos ângulos formados é

7 ° 30^{'}

4. Para traçar um ângulo com abertura medindo 90graus, os estudantes podem usar um transferidor, um dos ângulos de um esquadro, a “quina” de uma folha de papel sulfite etcétera

90 ° : 2 = 45 °

Atividades

▶ Página 84

\hat{a}

\hat{d}

abre parênteseso.p.v.fecha parênteses;

\hat{b}

\hat{e}

abre parênteseso.p.v.fecha parênteses;

\hat{c}

\hat{f}

abre parênteseso.p.v.fecha parênteses

2. Observando a figura, podemos concluir que

x = 60 °

, pela propriedade dos ângulos o.p.v. Para determinar a medida de abertura do ângulo y, temos:

y + 60 ° = 180 ° = y = 180 ° ‒ 60 ° = 120 °

Como os ângulos y e z são opostos pelo vértice, temos:

y = 120 °

z = 120 °

3. a)

x = 180 ° ‒ 40 ° = 140 °

y = 40 ° (o.p.v.)

x = 180 ° ‒ 30 ° = 150 °

y = 150 ° (o.p.v.)

y = 180 ° ‒ 120 ° = 60 °

x = 180 ° ‒ 60 ° = 120 °

x = 180 ° ‒ 160 ° = 20 °

y = 160 ° (o.p.v.)

x = y

abre parênteseso.p.v.fecha parênteses

x = y = 180 ° ‒ 20 ° = 160 °

x = 30 °

abre parênteseso.p.v.fecha parênteses

y = 180 ° ‒ 30 ° = 150 °

4. Pela imagem, temos que o ângulo y é oposto pelo vértice ao ângulo

B \hat{O} C = 20 °

. Assim, temos:

y = 20 °

A \hat{O} B

é oposto pelo vértice ao ângulo

E \hat{O} D = 110 °

Os ângulos x,

A \hat{O} B

B \hat{O} C

são adjacentes e suplementares; sendo assim:

x + 110graus + 20graus = 180graus

x = 180 ° ‒ 110 ° ‒ 20 °

x = 70 ° ‒ 20 °

x = 50 °

5. a)

Figura geométrica. Retas concorrentes. à esquerda ângulo com abertura medindo 20 graus. Abaixo, uma reta indicando que é bissetriz e ângulo com abertura medindo X graus a esquerda da reta e X graus a direita da reta

180 ° ‒ 20 ° = 160 °

x = 160 ° : 2 = 80 °

Figura geométrica. Retas concorrentes. À esquerda ângulo com abertura medindo 64 graus. À direita uma reta indicando que é bissetriz e ângulo com abertura medindo X graus a esquerda da reta e X graus a direita da reta

x = 64 ° : 2 = 32 °

6. Pela propriedade dos ângulos o.p.v., podemos determinar a medida de abertura dos ângulos

F \hat{O} A

B \hat{O} C

, como indicado na figura a seguir.

Figura geométrica. 3 Retas, duas nas diagonais, uma AOB, e outra EOB. Ao meio há outra reta FOC. No cruzamento há um ponto O. À esquerda dois ângulos, entre a reta ao meio. Na parte superior, FOA com abertura medindo 60 graus e na parte inferior FOE com abertura medindo 30 graus À direita dois ângulos, entre a reta ao meio. Na parte superior, COB com abertura medindo 30 graus e na parte inferior COD com abertura medindo 60 graus

A medida de abertura do ângulo

A \hat{O} B

pode ser obtida por:

m e d (A \hat{O} B) = 180 ° ‒ m e d (F \hat{O} E) ‒ m e d (F \hat{O} A) = 180 ° ‒ 30 ° ‒ 60 ° = 90 °

Portanto,

m e d (A \hat{O} B) = 90 °

7. a) A medida de abertura dos ângulos

\hat{b}

\hat{d}

\hat{f}

\hat{h}

é 90graus.

A medida de abertura dos ângulos

\hat{e}

\hat{c}

é 75graus.

A medida de abertura dos ângulos

\hat{g}

\hat{i}

é 105graus.

\hat{g}

\hat{i}

abre parênteseso.p.v.fecha parênteses;

\hat{e}

\hat{c}

abre parênteseso.p.v.fecha parênteses;

\hat{f}

\hat{h}

abre parênteseso.p.v.fecha parênteses ;

\hat{b}

\hat{d}

abre parênteseso.p.v.fecha parênteses

c) São ângulos suplementares, pois a soma das medidas de abertura desses ângulos é igual a 180graus.

Informática e Matemática

▶ Página 85

Resoluções e comentários em Orientações.

INFORMÁTICA E MATEMÁTICA

▶ Página 87

Resoluções e comentários em Orientações.

Página sessenta e cinco

Atividades

▶ Página 88

1. Pela propriedade de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal, α e β são congruentes.

alternativa c

2. a)

x = 60 °

(ângulos correspondentes) e

y = 120 °

(ângulos correspondentes)

m = 45 °

(ângulos correspondentes) e

n = 45 °

(o.p.v.)

3. a) Na figura temos o ângulo de medida de abertura b oposto pelo vértice a um ângulo de medida de abertura 135graus; logo,

b = 135 °

. Já a e b são medidas de abertura de ângulos suplementares; assim, temos:

a = 180 ° ‒ b

a = 180 ° ‒ 135 º

a = 45 °

Portanto,

a = 45 °

b = 135 °

b) Na figura temos o ângulo de medida de abertura a oposto pelo vértice ao ângulo de medida de abertura b.

Podemos observar que b e 60graus são medidas de abertura de ângulos suplementares; assim, temos:

b = 180 ° ‒ 60 °

b = 120 ° = a

Portanto,

a = 120 °

b = 120 °

c) Na figura temos que a e b são medidas de abertura de ângulos suplementares, e que a mede 127graus. Assim, temos:

b = 180 ° ‒ 127 °

b = 53 °

Portanto,

a = 127 °

b = 53 °

d) Na figura temos o ângulo oposto pelo vértice ao ângulo a tem medida de abertura de 82graus. Assim, temos:

a = 82 °

b = 180 ° ‒ 20 ° ‒ 82 °

b = 78 °

Portanto,

a = 82 °

b = 78 °

Estatística e Probabilidade

▶ Página 90

1. a) Observando o gráfico, temos: Cidade E: menos 5 graus Célsius; Cidade C: menos 9 graus Célsius

b) Observando o gráfico, temos: Cidade D: 7 graus Célsius; Cidade A: menos 18 graus Célsius

2. a) Em 2021, pois a coluna é mais alta do lado positivo.

b) Em 2022, pois a coluna é mais alta do lado negativo.

c) Em 2018, houve lucro de 10 milhões de reais, pois a coluna está acima do eixo horizontal; em 2019, houve prejuízo de 5 milhões de reais, pois a coluna está abaixo do eixo horizontal.

3. a) Congelados e sorvetes, pois a medida de temperatura de armazenamento desses produtos é menor do que zero.

b) Bebidas e frutas, pois a medida de temperatura de armazenamento desses produtos é maior do que zero.

4. Mais alta em 27/12/2023, pois é a única barra à direita do eixo vertical, e a mais baixa em 3/9/2023, pois é a barra de maior comprimento à esquerda do eixo vertical.

Atividades de revisão

▶ Página 91

1. a) Na casa em Heppenheim a medida de abertura do ângulo é igual a 83graus e na casa na comunidade quilombola de Mangabeira a medida de abertura do ângulo é igual a 143graus.

b) Comente com os estudantes que, em locais onde neva, os telhados têm inclinação menor que os telhados de locais mais quentes, para evitar o acúmulo de neve.

2. Analisando as alternativas, temos:

m e d (B \hat{O} A) < m e d (B \hat{O} C)

m e d (B \hat{O} P) = m e d (B \hat{O} M)

m e d (B \hat{O} P) < m e d (R \hat{O} B)

m e d (B \hat{O} J) < m e d (B \hat{O} L)

alternativa b

3. Analisando as alternativas, temos:

m e d (A \hat{O} F) = m e d (D \hat{O} C)

e são opostos pelo vértice

m e d (A \hat{O} F) = m e d (A \hat{O} C)

e são adjacentes

m e d (A \hat{O} B) = m e d (B \hat{O} C)

e são adjacentes

m e d (E \hat{O} F) < m e d (A \hat{O} D)

alternativa a

4. De acordo com o enunciado, temos

m e d (A \hat{V} C) = m e d (A \hat{V} D)

. Assim, se

m e d (A \hat{V} C) = 80 °

, então

m e d (C \hat{V} D) = 160 °

5. 180graus menos 105graus menos 60graus = 15graus

90graus menos 60graus = 30graus

180graus menos 30graus = 150graus

Esquema. Reta na diagonal e 3 retas conectadas em ponto com aberturas de ângulos. Na parte inferior, da direita para esquerda medida de angulo de 30 graus e outra medida de angulo com 150 graus, há um polígono roxo essas aberturas Na parte superior, da direita para esquerda há abertura de angulo de 60 graus, do lado abertura de angulo de 15 graus, há um polígono roxo entre a abertura, e até o final da reta 105 graus.

6. a)

x = 40 °

abre parênteseso.p.v.fecha parênteses

x = 180 ° ‒ 110 ° = 70 °

x = 180 ° ‒ 150 ° = 30 °

x = 120 °

(o.p.v.)

7. a)

y = 180 ° ‒ 60 ° ‒ 80 ° = 40 °

Sabemos que a medida de abertura do ângulo

B \hat{O} C

é igual a 60graus comparando ao ângulo oposto pelo vértice. Se x é a bissetriz desse ângulo, temos:

x = 30 °

y = 30 °

(o.p.v.)

x = 180 ° ‒ 30 ° ‒ 40 ° = 110 °

Página sessenta e seis

Para finalizar

▶ Páginas 92 e 93

Resoluções e comentários em Orientações.

Unidade 2

Capítulo 4

Atividades

▶ Páginas 97 e 98

1. São racionais os números

- 2,3; - 9; - 3 \frac{1}{2}; 2,82; 0; - \frac{9}{10}; \sqrt{9}; \frac{7}{2}

. Isso porque podem ser escritos na fórma

\frac{a}{b}

, com a e b inteiros e b ≠ 0

. Por exemplo, menos2,3 = menos

\frac{23}{10}

; menos9 = menos

\frac{18}{2}

; menos3

\frac{1}{2}

= menos

\frac{7}{2}

; 2,82 = =

\frac{282}{100}

; 0 =

\frac{0}{2}

;

\sqrt{9}

\frac{3}{1}

2. a) Sim; porque

\frac{17}{5}

é fração cujo numerador e denominador são números inteiros e o denominador é um número inteiro não nulo.

b) 3 e 4, pois

\frac{17}{5} = 3,4

3. Espera-se que os estudantes digam que devemos dividir o numerador pelo denominador para termos a representação desse número na fórma decimal; dessa maneira, conseguimos saber entre quais números inteiros esse número estará e mais próximo de qual.

Assim, menos

\frac{16}{4}

= menos4; menos

\frac{1}{2}

= menos0,5;

\frac{1}{3}

≃

0,3 e

\frac{7}{5}

= 1,4.

Ilustração. Reta numérica, dividida em 6 partes por meio de tracinhos dos números inteiros e subdivisão dos tracinhos nas frações acima. Da esquerda para a direita, estão representados os números menos 16 quartos, tracinho sem identificação, tracinho sem identificação, tracinho sem identificação, menos 1 meio, zero, 1 terço, 1 e 7 quintos

4. a) menos 1 e 0, pois

- \frac{5}{7} ≃ - 0,71

b) 2 e 3, pois

\frac{15}{6} = 2,5

c) menos 3 e menos 2, pois

- \frac{8}{3} ≃ - 2,7

d) menos 4 e menos 3, pois

- 3 \frac{1}{1} = - 3,25

e) 1 e 2, pois

\frac{9}{7} ≃ 1,29

f) 4 e 5, pois

4 \frac{5}{7} ≃ 4,71

5. a) Nélson, pois menos8,2 graus Célsius (medida da temperatura em Urupema) é menor que menos7,3 graus Célsius (medida da temperatura em Bom Jardim).

Ilustração. Reta numérica, dividida em 13 partes iguais por meio de tracinhos. Da esquerda para a direita, estão representados os números, tracinho sem identificação, menos 8 virgula 5,tracinho sem identificação, menos 8, tracinho sem identificação, tracinho sem identificação, tracinho sem identificação, tracinho sem identificação, tracinho sem identificação, tracinho sem identificação, menos 7 virgula 3, tracinho sem identificação, tracinho sem identificação, menos 7

Espera-se que os estudantes percebam que a reta numérica é um auxílio para a comparação das medidas de temperatura e, também, de números racionais. Com a reta, podemos observar que

‒ 8,2 < ‒ 7,

3, confirmando, assim, que Nélson estava certo. Os estudantes podem notar que, na comparação de dois números, o maior está sempre à direita do menor na reta numérica.

6. Como o ponto A representa o número 5, o ponto B, o número 6 e os outros pontos dividem o segmento de reta em 5 partes iguais, então cada ponto está a uma medida de distância de 0,2 de outro ponto.

Desse modo, temos: C: 5,2 ou

5 \frac{1}{5}

; D: 5,4 ou

5 \frac{2}{5}

; E: 5,6 ou

5 \frac{3}{5}

; F: 5,8 ou

5 \frac{4}{5}

7. Raciocínio análogo ao da atividade anterior.

Nesse caso, temos: A:

- \frac{2}{3}

; B:

- \frac{1}{3}

; C:

\frac{1}{4}

ou 0,25; D:

\frac{1}{2}

ou 0,5; E:

\frac{3}{4}

ou 0,75.

8. a) Falsa, pois todo número natural também pode ser escrito na fórma

\frac{a}{b}

, com a e b inteiros e

b \neq 0

b) Verdadeira, pois menos 2, por exemplo, é um número inteiro e racional, mas não é um número natural.

c) Falsa, pois todo número natural também é um número racional.

9. a)

\frac{1}{4}

, pois o quadrado azul está dividido em 4 partes iguais e o quadrado amarelo cobre uma delas.

\frac{1}{4}

, pois o quadrado amarelo foi apenas rotacionado pelo mesmo vértice e, portanto, continua cobrindo a mesma parte do item anterior.

Atividades

▶ Páginas 100 e 101

1. a)

\frac{1}{2}

b) 1,54

\frac{7}{9}

d) 0,612

1 \frac{7}{9}

f) 0,25

2. a)

- 0,5 = - \frac{5}{10}

Assim, temos que

- \frac{2}{3} = - \frac{20}{30}

- \frac{5}{10} = - \frac{15}{30}

- \frac{15}{30} > - \frac{20}{30}

, pois

- 15 > - 20

, então:

- 0,5 > - \frac{2}{3}

Portanto,

- \frac{2}{3}

é o menor entre os racionais em questão.

b) Temos que

\frac{1}{3} = \frac{4}{12}

\frac{5}{4} = \frac{15}{12}

\frac{15}{12} > \frac{4}{12}

, pois

15 > 4

, então:

\frac{5}{4} > \frac{1}{3}

Portanto,

\frac{1}{3}

é o menor entre os racionais em questão.

0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

Temos que

\frac{1}{6} = \frac{2}{12}

\frac{1}{4} = \frac{3}{12}

\frac{3}{12} > \frac{2}{12}

, pois

3 > 2

, então:

\frac{1}{4} > \frac{1}{6}

Portanto,

\frac{1}{6}

é o menor entre os racionais em questão.

- 0,3 = - \frac{3}{10}

Temos que

- \frac{3}{10}

- \frac{1}{5} = - \frac{2}{10}

- \frac{2}{10} > - \frac{3}{10}

, pois

- 2 > - 3

, então:

- \frac{1}{5} > - 0,3

Portanto, − 0,3 é o menor entre os racionais em questão.

Página sessenta e sete

3. a) Escrevendo

\frac{15}{4}

na fórma decimal, temos

\frac{15}{4} = 3,75

Como

7,3 > 3,75

, temos

7,3 > \frac{15}{4}

\frac{15}{4} < 7,3

b) Escrevendo

\frac{101}{5}

na fórma decimal, temos

\frac{101}{5} = 20,20

Como

20,20 < 20,25,

temos

\frac{101}{5} < 20,25

20,25 > \frac{101}{5}

c) Escrevendo

- \frac{16}{5}

na fórma decimal, temos

- \frac{16}{5} = - 3,2

Como

- 3,2 = - 3,2,

temos

- 3,2 = - \frac{16}{5}

d) Escrevendo

\frac{1}{50}

na fórma decimal, temos

\frac{1}{50} = 0,02

Portanto,

0,02 = \frac{1}{50}

4. Um procedimento pode ser:

Passo 1 – Escreva a fração na fórma decimal.

Passo 2 – Observe os dois números decimais e compare as partes inteiras, o número cuja parte inteira é maior será o maior dos números que estão sendo comparados.

Passo 3 – Se as partes inteiras forem iguais, compare os algarismos dos décimos; se forem diferentes, o número cujo algarismo dos décimos for maior será o maior dos números que estão sendo comparados.

Passo 4 – Se os algarismos dos décimos forem iguais, comparamos o algarismo dos centésimos; se forem diferentes, o número cujo algarismo dos centésimos for maior será o maior dos números que estão sendo comparados.

Passo 5 – Se os algarismos dos centésimos forem iguais, repetimos o passo 3 para os algarismos dos milésimos, e assim por diante.

Outro procedimento pode ser:

Passo 1 – Escreva o número decimal na fórma fracionária.

Passo 2 – Observe as duas frações e compare os denominadores. Caso forem diferentes, escreva frações equivalentes com o mesmo denominador.

Passo 3 – Compare os numeradores das frações, a fração maior será a que tiver maior numerador.

Fluxograma para a comparação de dois números racionais na fórma fracionária.

Fluxograma. Comparação de dois números racionais na forma fracionária, com 10 quadros ligadas por setas, o fluxograma é representado na vertical e as setas são multidirecionais. Na parte superior, primeiro tem o Início, seta para baixo, Observe as duas frações, seta para baixo, Compare os denominadores, seta para baixo, São iguais? Seta na horizontal da opção não. Calcule o mmc. Seta para cima encontre uma fração equivalente a cada uma das frações com o denominador igual ao mmc. Seta para cima. Compare os numeradores novos. Seta para horizontal A fração cujo numerador for maior é a maior das frações que estão sendo comparadas. Seta para baixo e Fim Voltando para a opção, se são iguais os denominadores, se sim, seta para baixo A fração cujo numerador for maior é a maior das frações que estão sendo comparadas. Seta para a opção fim

5. Primeiro, podemos colocar todos os números na fórma decimal:

\frac{30}{25} = 1,2

\frac{1}{2} = 0,5

- \frac{564}{200} = - 2,82

- \frac{3}{5} = - 0,6

Agora ordenamos do menor para o maior:

- 3,5 < - \frac{564}{200} < - \frac{3}{5} < \frac{1}{2} < \frac{30}{24} < 1,3 < 5 < 5,68

6. Vamos localizar todos os números dados em uma mesma reta numérica.

Ilustração. Reta numérica, dividida em 3 partes iguais por meio de tracinhos.
Da esquerda para a direita, estão representados os números, menos 524 sobre 10, próximo ao outro tracinho, a identificação dos números, menos 5 virgula 2, 0, 2, 11 sobre 5 e 2 virgula 25, no próximo tracinho 23 e 23 virgula 5, no ultimo tracinho 54

Agora, vamos fazer as comparações pedidas, o número que estiver à esquerda do outro é o menor.

a) 23

\frac{11}{5}

- \frac{524}{10}

d) –5,2

7. Exemplos de respostas:

0,0001; 0,0009; 0,00052

- 2,81251; - 2,81252; - 2,81253

•

- \frac{45}{16} = - 2,8125

•

- \frac{25313}{9000} ≃ - 2,81255 \dots

0,63; 0,66; 0,69

•

\frac{5}{8} = 0,625

•

\frac{7}{10} = 0,7

d) 0,41; 0,419; 0,4156

•

\frac{3}{7} ≃ 0,42857 \dots

1,3; 1,339; 1,32

•

\frac{9}{7} ≃ 1,28

- 0,129; - 0,13; - 0,135

8. Dalva pode levar o vaso de R$ 39,62trinta e nove reais e sessenta e dois centavos, pois é um valor maior que R$ 39,62trinta e nove reais e sessenta e dois centavos e menor que R$ 39,85trinta e nove reais e oitenta e cinco centavos.

9. Os gastos estão representados pelos números negativos em vermelho; assim, houve maior gasto no dia 30/10, pois R$ 958,36novecentos e cinquenta e oito reais e trinta e seis centavos representa o maior valor descontado no extrato. E o menor gasto foi no dia 27/9, pois R$ 75,27setenta e cinco reais e vinte e sete centavos representa o menor valor descontado no extrato.

10. Os estudantes podem utilizar uma reta numérica como suporte para ordenar os números que representam as medidas de temperatura e, então, ordená-los em ordem decrescente: 3,4 graus Célsius ; 2,6 graus Célsius ; menos0,1 grau Célsius ; menos0,5 grau Célsius ; menos0,7 grau Célsius ; menos1,2 grau Célsius

Compreender um texto

▶ Página 103

Resoluções e comentários em Orientações.

Atividades

▶ Páginas 106 e 107

1. Escrevendo na fórma fracionária com o mesmo denominador: Assim:

\frac{1}{5} = \frac{4}{20}

\frac{1}{4} = \frac{5}{20}

; então:

\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{9}{20}