Página LXXVIII

Parte 6

6. Para associar cada recipiente à medida de capacidade correspondente, vamos expressar todas as medidas de capacidade em litro e, depois, comparar os recipientes para estimar a medida de capacidade de cada um.

um:

0,5 k L = (0,5 \cdot 1000) L = 500 L

dois:

425 c L = (425 : 100) L = 4,25 L

três: já está em litros

quatro:

2 h L = (2 \cdot 100) L = 200 L

cinco:

3000 d L = (3000 : 10) L = 300 L

seis:

125 d L = (125 : 10) d L = 12,5 L

Associando cada recipiente à medida de capacidade correspondente, temos: A – seis, B – quatro, C – três, D – dois, E – cinco, F – um.

7. Precisamos primeiro expressar todas as medidas de capacidade interna dos produtos em uma mesma unidade de medida. Para isso, podemos fazer:

2500 m L = (2500 : 1000) L = 2,5 L

5 d L = (5 : 10) L = 0,5 L

200 c L = (200 : 100) L = 2 L

Calculando o preço por litro de cada embalagem, temos:

20 : 2,5 = 8

, ou seja, R$ 8,00oito reais o litro.

5 : 0,5 = 10

, ou seja, R$ 10,00dez reais o litro.

15 : 2 = 7,5

, ou seja, R$ 7,50sete reais e cinquenta centavos o litro.

Embora a embalagem C seja a mais em conta, como ele precisa levar 7 litros, isso exigirá a compra de embalagens diferentes para a composição da quantidade com uma opção econômica.

Temos, então, as opções:

• 3 embalagens de C e duas embalagens de B:

3 \cdot R $ 15,00 + 2 \cdot R $ 5,00 = R $ 45,00 + R $ 10,00 = R $ 55,00

• duas embalagens de C, uma embalagem de A e uma embalagem de B:

2 \cdot R $ 15,00 + R $ 20,00 + R $ 5,00 = R $ 55,00

• duas embalagens de C e 6 embalagens de B:

2 \cdot R $ 15,00 + 6 \cdot R $ 5,00 = R $ 30,00 + R $ 30,00 = R $ 60,00

• uma embalagem de C, uma embalagem de A e 5 embalagens de B:

R $ 15,00 + R $ 20,00 + 5 \cdot R $ 5,00 = R $ 35,00 + R $ 25,00 = R $ 60,00

• uma embalagem de C e duas embalagens de A:

R $ 15,00 + 2 \cdot R $ 20,00 = R $ 15,00 + R $ 40,00 = R $ 55,00

• duas embalagens de A e 4 embalagens de B:

2 \cdot R $ 20,00 + 4 \cdot R $ 5,00 = R $ 40,00 + R $ 20,00 = R $ 60,00

• 14 embalagens de B:

14 \cdot R $ 5,00 = R $ 70,00

Observamos que as composições que usam mais embalagens de 0,5 litro (B) acabam encarecidas, pois elas têm o preço mais alto por litro.

Logo, há três opções mais econômicas: levar duas embalagens B e três C, ou uma embalagem A, uma B e duas C, ou duas embalagens A e uma C.

8. Podemos fazer:

• Encher o balde de 7 litros com água da fonte.

• Despejar a água que está no balde de 7 litros no balde de 5 litros até que fique cheio. Assim, ficarão 2 litros de água no balde de 7 litros.

• Esvaziar o balde de 5 litros jogando a água de volta na fonte.

• Transferir os 2 litros de água que estão no balde de 7 litros para o balde de 5 litros. Assim, faltarão 3 litros de água para enchê-lo.

• Encher novamente o balde de 7 litros com água da fonte.

• Despejar a água que está no balde de 7litros no de 5 litros até enchê-lo. Assim, são despejados os 3 litros de água que faltavam para enchê-lo.

• O balde de 7 litros ficou, assim, com 3 litros a menos, ou seja, com 4 litros.

ATIVIDADES

▶ Página 143

1. A afirmação a é verdadeira, pois toda medição que realizamos é sempre aproximada.

Espera-se que os estudantes identifiquem que a afirmação b é falsa, pois se um ambiente está muito quente ou muito frio, o resultado da medição poderá ser afetado se o que estiver sendo medido não estiver em equilíbrio térmico com o ambiente.

Além disso, a afirmação c também é falsa, pois um instrumento de medida convencional com unidade padronizada de medida pode gerar diferentes resultados de medição dependendo da precisão de quem realiza a medida e da precisão do instrumento de medida.

2. Exemplos de resposta: porque os cronômetros são diferentes (diferença na calibração) ou ainda porque um dos cronômetros (ou ambos) não foram parados no exato momento que a menina completou a volta na quadra (uma foi mais rápida que a outra).

3. Exemplos de resposta: a balança está apresentando variação no resultado; Diego está se posicionando de fórma diferente na balança e isso pode estar gerando variação.

TRABALHO EM EQUIPE

▶ Página 144

Resoluções e comentários em Orientações.

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

▶ Páginas 146 e 147

1. a) Em abril; 18 árvores, pois:

6 \cdot 3 = 18

b) 30 árvores, pois:

10 \cdot 3 = 30

c) Como cada figura no gráfico equivale a 3 três árvores, então nos meses em que deverão ser plantadas 12 árvores deverá haver 4 árvores. Isso acontece nos meses de fevereiro, março e junho.

2. a) Ucrânia: 24 medalhas (

12 \cdot 2 = 24

);

Brasil:

22 m e d a l h a s (11 \cdot 2 = 22

);

Itália:

14 m e d a l h a s (7 \cdot 2 = 14

);

Irã:

12 m e d a l h a s (6 \cdot 2 = 12

);

Uzbequistão: 8 medalhas (

4 \cdot 2 = 8

22 - 8 = 14

Portanto, a diferença solicitada é de 14 medalhas.

c) 8º lugar. Como o número de medalhas de ouro conquistadas pela Austrália está entre o número de medalhas de ouro conquistadas pelo Brasil (7º colocado) e pela Itália (9º colocado), então a Austrália terminou os Jogos Paralímpicos em Tóquio, em 2021, como 8º colocado.

Página LXXIX

3. a)

400 a u t o m ó v e i s, p o i s: 4 \cdot 100 = 400

b) em 2023;

500 a u t o m ó v e i s, p o i s: 5 \cdot 100 = 500

1800 a u t o m ó v e i s, p o i s: 18 \cdot 100 = 1800

4. a) .20000 CDs, pois:

20 \cdot 1000 = 20000

b) Rock e forró.

5. a) O mais visitado foi o centro histórico. Foi visitado por .1750 turistas (

5 \cdot 350 = 1750

turistas).

b) O menos visitado foi o centro comercial. Foi visitado por 700 turistas (

2 \cdot 350 = 700

c) Como o investimento será de 100 reais por turista, temos: 700 · 100 = .70000.

Portanto, o novo investimento da prefeitura será de .70000 reais.

ATIVIDADES DE REVISÃO

▶ Página 148

1. Colocando todas as medidas, em metro, temos:

• Caminho do João:

Partida até o ponto A: 6 métros

Ponto A até o ponto B:

190 d m = (190 : 10) m = 19 m

Ponto B até a chegada:

0,5 d a m = (0,5 \cdot 10) m = 5 m

Total:

6 m + 19 m + 5 m = 30 m

• Caminho do Pedro:

Partida até o ponto D: 4 métros

Ponto D até o ponto C:

180 d m = (180 : 10) m = 18 m

Ponto C até a chegada:

0,09 h m = (0,09 \cdot 100) m = 9 m

Total:

4 m + 18 m + 9 m = 31 m

a) O mais curto é o caminho que João tomou.

31 m - 30 m = 1 m

1 m = 100 c m

2. a) Convertendo todas as medidas em centímetro, temos:

15 d m = 15 \cdot 10 c m = 150 c m

0,8 m = 0,8 \cdot 100 c m = 80 c m

2117 m m = 2117 : 10 c m = 211,7 c m

P = 69 c m + 150 c m + 80 c m + 211,7 c m = 510,7 c m

b) Como todas as medidas estão em decímetro, vamos calcular a medida do perímetro e, depois, fazer a conversão:

P = 1 + 1 + 1,5 + 0,5 + 1 + 0,5 + 1,5 + 2 = 9

Portanto, o perímetro mede 9 decímetros.

Transformando 9 decímetros para centímetros, temos:

9 \cdot 10 c m = 90 c m

3. Calculando a medida do perímetro do retângulo, temos:

P = 2 + 2 + 5 + 5 = 14

Portanto, o perímetro do retângulo mede 14 decâmetros.

Transformando para metro, temos:

14 \cdot 10 m = 140 m

Como Gilberto pretende dar duas voltas de arame ao redor o terreno, então:

2 ⋅

140 m = 280 m

0,3 µ m = 0,3 : 1000 m m = 0,0003 m m

10 µ m = 10 : 1000 = 0,01 m m

5. Lembrando que uma unidade astronômica, ou 1 U A, equivale a ...149597870700 metros, temos:

5,2 \cdot 149597870700 = 777908927640 m = 777908 927,640 k m

, ou seja, aproximadamente 780 000 000 quilômetros.

b) Exemplo de resposta:

7,8 \cdot 10^{8} k m

6. a) Daniela (.1020 segundos)

b) Mariana (.1980 segundos)

1980 s ‒ 1020 s = 960

segundos; como 1 minuto tem 60 segundos, então para transformar segundos em minutos, fazemos:

960 : 60 = 16

Portanto, a diferença entre as medidas de tempo do primeiro e do último colocado foi 16 minutos.

10000 h g : 200 = 50 h g

Para transformar hectogramas em quilogramas, fazemos:

50 : 10 = 5

Logo, foram colocados 5 quilogramas de soja em cada pacote.

Capítulo 6

ATIVIDADES

▶ Página 151

1. Exemplos de resposta:

(n ‒ 1) + n + (n + 1)

(x + y) ²

x ² + y ²

\frac{m}{3} + s

2. a) Espera-se que os estudantes percebam que a medida de área do carpete corresponde à medida da área do chão do quarto, que pode ser expressa por

x \cdot y

b) A medida de comprimento de rodapé, incluindo o espaço da porta, corresponde à medida do perímetro do quarto, que pode ser expressa por

x + y + x + y

, ou seja,

2 x + 2 y

3. Em todas as sentenças, há uma adição entre um número e seu oposto; então, algebricamente podemos escrever:

x + (- x) = 0

4. Como, ao adicionar qualquer número ao elemento neutro, obtém-se como soma o próprio número, então algebricamente podemos escrever:

a + 0 = a

5. Significa que o produto de um número por 1 é igual ao próprio número; então, algebricamente podemos escrever:

a \cdot 1 = a .

ATIVIDADES

▶ Página 153

1. a) Substituindo

x

por 1 e

y

por 3 na expressão e efetuando as operações indicadas, temos:

- 4 \cdot 1 \cdot 3 = - 12

Portanto, para

x = 1

y = 3,

o valor numérico da expressão

- 4 \cdot x \cdot y é - 12

b) Substituindo

a

por 5 e

b

por

- 1,

na expressão e efetuando as operações indicadas, temos:

3 \cdot 5 + (- 1) = 15 + (- 1) = 14

Portanto, para

a = 5

b = - 1

o valor numérico da expressão

3 \cdot a + b

é 14.

c) Substituindo

x

por 1 e

y

por 0, na expressão e efetuando as operações indicadas, temos:

3 \cdot 1 ² + 2 \cdot 0 = 3 + 0 = 3

Portanto, para

x = 1

y = 0

, o valor numérico da expressão

3 \cdot x^{2} + 2 \cdot y

é 3.

Página LXXX

d) Substituindo x por menos 3 e z por

\frac{1}{2}

na expressão e efetuando as operações indicadas, temos:

2 \cdot (- 3) + \frac{1}{2} - 9 = (- 6) + \frac{1}{2} - 9 = \frac{2 \cdot (- 6) + 1 + 2 \cdot (- 9)}{2} = \frac{- 12 + 1 + (- 18)}{2} = - \frac{29}{2}

Portanto, para

x = - 3

z = - 1

, o valor numérico da expressão

2 \cdot x + z - 9

- \frac{29}{2}

2. a) A medida do perímetro pode ser expressa por:

a + a + b + a + b + a = 4 \cdot a + 2 \cdot b

b) Substituindo a por 5 e b por 7 na expressão e efetuando as operações indicadas, temos:

4 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 20 + 14 = 34

Portanto, a medida do perímetro, nas condições dadas, é 34 centímetros.

c) A medida do perímetro pode ser expressa por:

a \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b

d) Substituindo a por 5 e b por 7 na expressão e efetuando as operações indicadas, temos:

5 \cdot 5 + 5 \cdot 7 = 25 + 35 = 60

Portanto, a medida de área é 60 centímetros quadrados.

3. Preço do aparelho: x reais

Desconto: 20 reais

Valor total:

x - 20

reais

alternativa d

4. a)

R $ 17, 00, p o i s: 2,40 \cdot 5 + 5 = 12 + 5 = 17

R $ 245, 00, p o i s: 2,40 \cdot 100 + 5 = 240 + 5 = 245

R $ 6, 80, p o i s: 2,40 \cdot 0,75 + 5 = 1,8 + 5 = 6,80

R $ 2885, 00, p o i s:2,40\cdot1200+5=2880+5=2885

R $ 21, 12, p o i s: 2,40 \cdot 6,3 + 5 = 15,12 + 5 = 20,12

R $ 30, 20, p o i s: 2,40 \cdot 10,5 + 5 = 25,2 + 5 = 30,20

5. a) O valor fixo é R$ 400,00.quatrocentos reais

16 c + 40 p + 400

c) Para c = 20 e p = 30, temos:

16 \cdot 20 + 40 \cdot 30 + 400 = 320 + 1200 + 400 = 1920

Logo, R$ 1.920,00mil novecentos e vinte reais.

6. a) Contando o contorno todo dessa figura, teremos 24 lados de quadrados que a compõem. Logo, a medida do perímetro será representada por 24x.

24 \cdot 3,7 = 88,8

Logo, a medida do perímetro é 88,8 centímetros.

c) Como cada quadradinho tem uma medida de área igual a xelevado a 2 e temos um total de 12 quadradinhos, então a medida da área dessa figura pode ser representada por: 12xelevado a 2

12 \cdot {0,6}^{2} = 12 \cdot 0,36 = 4,32

Logo, a medida de área é 4,32 centímetros quadrados.

7. a) O retângulo A é formado por 8 quadradinhos de área medindo y centímetros quadrados.

8 \cdot y = 8 y

A área do retângulo A mede 8y centímetros quadrados.

b) O quadrado B é formado por 9 quadradinhos de área y centímetro quadrado.

9 \cdot y = 9 y

A área do quadrado B mede 9y centímetros quadrados.

c) O triângulo C é formado por 4 quadradinhos e

\frac{1}{2}

quadradinho de área medindo y centímetros quadrados.

4 \cdot y + \frac{1}{2} \cdot y = 4 y + \frac{1}{2} y = \frac{8}{2} y + \frac{1}{2} y = \frac{9}{2} y

A área do triângulo C mede

\frac{9}{2} y

centímetros quadrados.

8 y : 2 = 4 y

A metade da medida da área do retângulo A é 4y centímetros quadrados.

9 y : 3 = 3 y

A terça parte da medida da área do quadrado B é 3y centímetros quadrados.

ATIVIDADES

▶ Página 155

1. a)

29 a + 4 a - 21 a = 33 a - 21 a = 12 a

x + 3 x - x + 5 x - x = 4 x - x + 5 x - x = 3 x + 5 x - x = 8 x - x = 7 x

3 x + 4 x^{3} - 5 x + x ² + 2 x = (3 x - 5 x + 2 x) + 4 x^{3} + x ² = 4 x^{3} + x ²

\frac{3}{4} y - \frac{y}{5} + \frac{7}{2} y = \frac{15 y - 4 y + 70 y}{20} = \frac{81 y}{20}

4 a + 5 b + \frac{7}{2} a - b = (4 a + \frac{7}{2} a) + (5 b - b) = (\frac{8 a + 7 a}{2}) + 4 b = \frac{15}{2} a + 4 b

2. Kevin errou ao aplicar a propriedade distributiva, pois colocou o número 1 da expressão dentro dos parênteses.

3. a)

75 d + 0,50 q

, com d representando o número de dias que o carro ficou alugado e q, o número de quilômetros rodados.

b) Substituindo d por 4 e q por 100 na expressão e efetuando as operações indicadas, temos:

75 \cdot 4 + 0,50 \cdot 100 = 300 +50=350

Logo, Ivo pagou R$ 350,00trezentos e cinquenta reais.

ATIVIDADES

▶ Página 159

1. a) São todos os números naturais menores que 6 com exceção do 6:

(0, 1, 2, 3, 4, 5)

b) São todos os números inteiros que estão entre menos 3 e 2 com exceção do

- 3

e do 2:

(- 2, - 1, 0, 1)

c) Sequência dos números divisíveis por 1 e por eles mesmos:

(2, 3, 5, 7, 11, . . .)

d) Nesse caso, há apenas três números inteiros cujo módulo é menor que 2:

(- 1, 0, 1)

e) São todos os números naturais divisíveis por 2 incluindo o 6:

(6, 8, 10, 12, 14, . . .)

2. a)

a_{n} = 2 n

a_{n} = 2 n - 1

3. a) Para

a_{n} = 7 n

, temos:

a_{1} = 7 \cdot 1 = 7

a_{2} = 7 \cdot 2 = 14

a_{3} = 7 \cdot 3 = 21

a_{4} = 7 \cdot 4 = 28

Logo, a sequência será abre parênteses7, 14, 21, 28, ...fecha parênteses.

Página LXXXI

b) Para

a_{n} = n^{3}

, temos:

a_{1} = 1^{3} = 1

a_{2} = 2^{3} = 8

a_{3} = 3^{3} = 27

a_{4} = 4^{3} = 64

Logo, a sequência será

(1, 8, 27, 64, . . .)

c) Para

a_{n} = n^{2} + n

, temos:

a_{1} = 1^{2} + 1 = 2

a_{2} = 2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6

a_{3} = 3^{2} + 3 = 9 + 3 = 12

a_{4} = 4^{2} + 4 = 16 + 4 = 20

Logo, a sequência será

(2, 6, 12, 20, . . .)

d) Para

a_{n} = 3 n^{2} - 2

, temos:

a_{1} = 3 \cdot 1^{2} - 2 = 3 - 2 = 1

a_{2} = 3 \cdot 2^{2} - 2 = 12 - 2 = 10

a_{3} = 3 \cdot 3^{2} - 2 = 27 - 2 = 25

a_{4} = 3 \cdot 4^{2} - 2 = 48 - 2 = 46

Logo, a sequência será

(1, 10, 25, 46, . . .)

4. a) 1º termo

= 10 + 1 = 11

2º termo

= 10 + 2 = 12

3º termo

= 10 + 3 = 13

4º termo

= 10 + 4 = 14

5º termo

= 10 + 5 = 15

6º termo

= 10 + 6 = 16

Logo, o 5º e o 6º termos são: 15 e 16.

b) A expressão que indica o enésimo termo é

(10 + n)

5. a) 1ª:

2 \cdot 1 = 2

2ª:

2 \cdot 2 = 4

3ª:

2 \cdot 3 = 6

4ª:

2 \cdot 4 = 8

nª

: 2 \cdot n

A expressão é 2n.

2 \cdot 99 = 198

O 99º termo da sequência é 198.

6. a) 1ª posição: 1 quadrinho

2ª posição: 3 quadrinhos

3ª posição: 5 quadrinhos

4ª posição: 7 quadrinhos

Logo, na 5ª posição terá 9 quadradinhos.

b) Exemplo de resposta:

2 p ‒ 1

2 \cdot 20 - 1 = 39

Logo, na 20ª posição haverá 39 quadradinhos.

7. a)

Ilustração. 4 quadrinhos na vertical formados por palitos. 5 palitos na horizontal, e 4 à direita e 4 à esquerda.

Logo, para construir 4 quadrados, precisamos de 13 palitos.

Ilustração. 5 quadrinhos na vertical formados por palitos. 6 palitos na horizontal, e 5 à direita e 5 à esquerda.

Logo, para construir 5 quadrados, precisamos de 16 palitos.

[4 + 3 (x - 1)]

palitos.

4 + 3 \cdot (15 - 1) = 4 + 3 \cdot 14 = 4 + 42 = 46

Logo, 46 palitos.

INFORMÁTICA E MATEMÁTICA

▶ Página 162

Resoluções e comentários em Orientações.

ATIVIDADES

▶ Página 163

1. Exemplos de respostas:

(3, 6, 9, 12, 15, \dots) \to a_{n} = 3 \cdot n

(+ 2, + 7, + 12, \dots) \to a_{n} = n + 5

2. Exemplos de resposta:

a_{1} = 4

;

a_{n + 1} = a_{n} + 4

a_{1} = 1

;

a_{n + 1} = 6 a_{n}

3. Os dois representaram a sequência corretamente.

4. A – dois, B – quatro, C – um, D – três, E – cinco

Tanto a sequência:

• A quanto a sequência dois representam a sequência:

(1, 2, 3, 4, . . .)

• B quanto a sequência quatro representam a sequência:

(1, 5, 9, 13, . . .)

• C quanto a sequência um representam a sequência:

(6, 12, 18, 24, . . .)

• D quanto a sequência três representam a sequência:

(10, 10, 10, 10, . . .)

• E quanto a sequência cinco representam a sequência:

(3, 5, 7, 9, . . .)

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

▶ Páginas 165 e 166

1. a) maior: R$ 166,79cento e sessenta e seis reais e setenta e nove centavos; menor: R$ 148,25cento e quarenta e oito reais e vinte e cinco centavos; diferença:

166,79 - 148,25 = 18,54

Logo, a diferença pedida é R$ 18,54dezoito reais e cinquenta e quatro centavos.

b) Média

= \frac{166,79 + 154, 77 + 162,74 + 148,25 + 149,35}{5} = \frac{781,9}{5} = 156,38

Logo, a média aritmética dos preços é de R$ 156,38cento e cinquenta e seis reais e trinta e oito centavos.