Página cento e oito

Parte 12

Atividades

▶ Página 260

1. a) Medida de área do trapézio:

A = \frac{(6,9 + 4,7) \cdot 3}{2} = \frac{11,6 \cdot 3}{2} = \frac{34,8}{2} = 17,4

Logo, a medida de área do trapézio é igual a 17,4 centímetros quadrados.

b) Medida de área do losango:

A = \frac{6,9 \cdot 3}{2} = \frac{20,7}{2} = 10,35

Logo, a medida de área do losango é igual a 10,35 centímetros quadrados.

c) Medida de área do trapézio:

A = \frac{(7,3 + 2,6) \cdot 1,7}{2} = \frac{9,9 \cdot 1,7}{2} = \frac{16,83}{2} ≃ 8,42

Logo, a medida de área do trapézio é aproximadamente 8,42 centímetros quadrados.

d) Medida de área do losango:

A = \frac{5,1 \cdot 4,3}{2} = \frac{21,93}{2} ≃ 10,97

Logo, a medida de área do losango é aproximadamente 10,97 centímetros quadrados.

2. Considerando um quadradinho como unidade de medida de área, cada irmão receberá o equivalente a 6 quadradinhos.Exemplo de resposta:

Malha quadriculada. Na malha quadriculada com 6 linhas e 10 quadrinhos e representada uma figura geométrica com duas partes. Uma verde e a outra verde listrada.
A parte verde listrada tem o formato de um retângulo na vertical com 2 quadradinhos na horizontal e abaixo um formato de triangulo. A parte verde e formada por um retângulo na horizontal e um triangulo no final que se conectam com o triangulo da parte verde listrada

3. Como a medida de área do terreno é na fórma de trapézio, temos:

A_{t e r r e n o} = \frac{a \cdot (b_{1} + b_{2})}{2} = \frac{20 \cdot (36 + 24)}{2} = \frac{20 \cdot 60}{2} = \frac{1 200}{2} = 600

Logo, a medida de área do terreno é 600 métros quadrados.

Calculando a medida de área do galpão:

A_{g a l p ã o} = 10,6 \cdot 5,5 = 58,3

Logo, a medida da área do galpão é 58,3 métros quadrados.

A diferença entre a medida de área do terreno e a do galpão resulta na medida da área gramada, assim:

A_{g r a m a d a} = A_{t e r r e n o} - A_{g a l p ã o} = 600 - 58,3 = 541,70

Portanto, a medida da área gramada será 541,7 métros quadrados.

4. Temos:

Esquema. Figura composta por 3 regiões. À direita é dividida em duas regiões, a região 2 na superior, com cota na parte superior indicando 6 quilômetros e na vertical indicando comprimento de X quilômetros e com 4 ângulos retos. Na parte inferior formato de um retângulo e um triangulo. há uma cota na vertical indicando comprimento de X quilômetros. À esquerda, também com um formato de um retângulo e um triângulo na vertical com cota na parte superior indicando comprimento de X quilômetros centímetros, e na vertical cota indicando comprimento de 2X quilômetros.

A região dois é um retângulo de dimensões 6 quilômetros por x, cuja medida de área mede 12 quilômetros quadrados.

Portanto:

6 \cdot x = 12

x = \frac{12}{6}

x = 2

Portanto, o lado x do retângulo (região dois) mede 2 quilômetros.

A região um é um trapézio retângulo cujo comprimento da base maior mede 2x, da base menor mede x e da altura mede x. Sabendo que x mede 2 quilômetros, podemos fazer:

medida de área da região um:

\frac{(2 x + x) \cdot x}{2} = \frac{3 x \cdot 3}{2} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 2}{2} = 6

Logo, a medida de área da região um é 6 quilômetros quadrados.

5. Exemplo de medidas:

Esquema. Pipa dividida em 3 partes. Do lado esquerdo, formato de 2 triângulos verdes, na vertical há uma cota indicando 20 centímetros e na horizontal uma cota indicando 10 centímetros. No meio dois polígonos amarelos e uma cota na horizontal indicando 10 centímetros. E do lado direito também há o formato de 2 triângulos com uma cota na vertical indicando 30 centímetros e uma cota na horizontal indicando 15 centímetros

Exemplo de problema: Ivan fez uma pipa conforme a figura anterior. Qual é a medida de área dessa pipa?

Resolução:

Medida de área da região verde:

\frac{20 \cdot 10}{2}

= 100

Medida de área da região amarela:

\frac{(30 + 20) \cdot 10}{2}

= 250

Medida de área da região laranja:

\frac{30 \cdot 15}{2}

= 225

A_pipa = 100 + 250 + 225 = 575

Portanto, a medida de área dessa pipa é 575 centímetros quadrados.

6. Temos a seguinte figura:

Esquema. 3 losangos, uma na parte superior com as vértices ABCD na parte inferior losango EFGH e ao meio outro losango IDFJ. No ponto F ao meio há uma cota até os pontos A e o ponto C indicando 5 centímetros. Na parte inferior do ponto D ao meio até o ponto E e Ponto G também indicando 5 centímetros. Na vertical entre o ponto C e G há uma cota indicando 3 centímetros

As diagonais do losango se cruzam ao meio formando ângulos retos.

Assim:

B F = F D = 3 c m

e, portanto,

B D = 6 c m

H D = F D = 3 c m

e, portanto,

H F = 6 c m

Assim, os losangos a bê cê dê e ê éfe gê agá são congruentes e suas diagonais medem 6 centímetros e 10 centímetros.

A medida de área de cada um desses losangos é dada por:

\frac{6 \cdot 10}{2} = 30

Temos, ainda,

I J = 5 c m

Página cento e nove

Assim, as diagonais í jota e éfe dê do losango i éfe jota dê medem 5 centímetros e 3 centímetros, respectivamente.

A medida de área do losango i éfe jota dê é dada por:

\frac{5 \cdot 3}{2} = 7,5

Logo, a medida de área da figura pintada de amarelo é dada por:

Esquema. Medida de área. Área é igual a Área do losango ABCD mais área do losango EFGH menos 2 vezes Área do losango IFJD. Há um fio na área do losango IFJD há uma indicação: Área da região azul, que foi somada duas vezes nas áreas dos losangos ABCD e EFGH

A =

30 + 30 - 2 \cdot 7,5

= 45

Portanto, a medida de área da figura pintada de amarelo é 45 centímetros quadrados.

Estatística e Probabilidade

▶ Página 262

Exemplo de resposta: No gráfico de barras, em que é possível perceber de imediato que o percentual diminuiu e depois aumentou no decorrer dos anos. Apesar de o gráfico de setores apresentar as porcentagens em cada ano de fórma mais evidente, não mostra claramente a variação no período.

Atividades de Revisão

▶ Página 263

1. a) 16 ⋅ .48400 = .774400

.774400 dividido por .3200 = 242

Portanto, serão obtidos 242 lotes.

\frac{3}{4}

de 242 = 181,5

.100000 ⋅ 181,5 = ..18150000

Portanto, serão arrecadados R$ 181.500,00cento e oitenta e um mil quinhentos reais.

2. a)

A_{s a l a} = 5 m \cdot 4 m = 20 m^{2}

1 a r e = 1 {d a m}^{2} = 1 \cdot 100 m^{2} = 100 m^{2}

100 : 20 = 5

Logo, são necessárias 5 salas.

1 h m^{2} = 10 000 m^{2}

1 a l q u e i r e p a u l i s t a = 24 200 m^{2}

24 200 : 10 000 h a = 2,42 h a

3. Para determinar a quantidade de lajotas que serão necessárias para cobrir todo o piso da sala, podemos calcular a medida de área do piso, a medida de área da lajota e, por fim, dividir essas medidas. Assim:

A_piso = 5 ⋅ 5 = 25

A_lajota = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25

Quantidade de lajotas: 25 dividido por 0,25 = 100

Portanto, serão necessárias 100 lajotas.

4. Medida de área da quadra com dimensões máximas:

A = 42 m \cdot 22 m = 924 m^{2}

Medida de área da quadra com dimensões mínimas:

A = 25 m \cdot 15 m = 375 m^{2}

Variação:

924 m - 375 m = 549 m^{2}

5. a) Primeiro, transformamos hectômetro quadrado em métro quadrado:

75 h m^{2} = 75 \cdot 10 000 m^{2} = 750 000 m^{2}

Em seguida, subtraímos desse valor a medida de área do terreno vendido e a medida de área construída:

.750000 menos .1500 menos .2500 = .746000

Logo, a medida de área reservada para plantações é .746000 métros quadrados.

b) .746000 dividido por 4 = .186500

Logo, a área reservada para a plantação de feijão é de .186500 métros quadrados

6. Medida de área do quadrado maior:

4 \cdot 4 d m^{2} = 16 d m^{2}

Medida de área de cada triângulo:

(\frac{1 \cdot 3}{2}) d m^{2} = \frac{3}{2} d m^{2} =

= 1, 5 d m^{2}

Medidas de área dos quatro triângulos:

4 \cdot 1,5 d m^{2} = 6 d m^{2}

Medida de área do quadrado cinza:

16 d m^{2} - 6 d m^{2} = 10 d m^{2}

7. Primeiro dividimos a figura a seguir em figuras menores de medida de área conhecida.

Esquema. Figura composta por 2 retângulos e um quadrado. À direita, um quadrado, no interior indicando área 1 com cota na parte inferior e na vertical indicando comprimento de 3 centímetros, ao lado à direita há um retângulo na horizontal com cota na parte inferior até a sua metade indicando comprimento de 2 centímetros e uma cota na vertical indicando 2 centímetros e no interior indicando área 2. Abaixo há outro retângulo, no interior indicando área 3, com cota na parte inferior indicando comprimento de 2 centímetros e uma cota na vertical indicando 1 centímetro. Na vertical à direita uma conta de 3 centímetros da altura dos 2 retângulos.

A_{1} = 3 c m \cdot 3 c m = 9 c m^{2}

A_{2} = (3 ‒ 1) c m \cdot 5 + 2 ‒ 3 c m = 2 c m \cdot 4 c m = 8 c m^{2}

A_{3} = 2 c m \cdot 1 c m = 2 c m^{2}

A_{t o t a l} = 9 + 8 + 2 = 19^{}

Portanto, a medida da área da figura é 19 centímetros quadrados.

8. A inclinação dos triângulos não é a mesma que a dos trapézios. Assim, esses polígonos não se encaixam perfeitamente e, portanto, a composição final terá um vão entre as peças.

Capítulo 11

Atividades

▶ Página 266

1. Para 1 litro de suco concentrado, são usados 2 litros de água; então, a razão entre a quantidade de suco concentrado e a de água é

\frac{1}{2}

2. a) Se a razão é igual a 1, então o número procurado é igual (ou uma fração equivalente) a

\frac{2}{3}

b) O número procurado é 7 vezes o número 14, ou seja, 98 (

7 \cdot 14 = 98

c) A razão é

- 0,5 = - \frac{1}{2} = \frac{1}{(- 2)}

. Portanto, o número procurado é o oposto ao dobro de 0,25, ou seja, menos 0,5.

3. a) Camila marcou 6 gols e Fernanda marcou 4; logo, a razão será

\frac{6}{4} = \frac{3}{2}

b) Fernanda marcou 4 gols e o time marcou um total de 12 gols; logo, a razão será

\frac{4}{12} = \frac{1}{3} ≃ 0,33

c) Camila marcou 6 gols e o time marcou um total de 12 gols; logo, a razão será:

\frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 50 %

4. a)

\frac{120}{240 000} = \frac{12}{24 000} = \frac{1}{2 000}

Logo, a razão do número de dentistas para o número de habitantes é de

\frac{1}{2 000}

b) Espera-se que os estudantes concluam que há 2 dentistas para cada grupo de .4000 pessoas.

• Uma maneira de encontrar a resposta do item b é obter uma fração equivalente a

\frac{1}{2 000}

com o denominador .4000.

Página cento e dez

5. Para saber a porcentagem de meninas em relação ao número total de crianças, fazemos:

\frac{10}{32} = 0,3125 = \frac{31,25}{100} = 31,25 %

Logo, 31,25% das crianças que foram acampar são meninas.

6. a) Medida de área do quadrado rosa: 4

Medida de área do quadrado amarelo: 100

\frac{4}{100} = 0,04 = 4 %

A porcentagem da medida de área do quadrado rosa em relação à medida de área do quadrado amarelo é 4%.

b) Medida de área do quadrado verde: 16

Medida de área do quadrado cinza: 36

\frac{16}{36} = \frac{4}{9}

A razão entre a medida de área do quadrado verde e a medida de área do quadrado cinza é

\frac{4}{9}

c) Medida de área do maior quadrado: 100

Medida de área total do retângulo: 160

\frac{100}{160} = \frac{5}{8}

A fração irredutível da razão entre a medida de área do maior quadrado e a medida de área total do retângulo é

\frac{5}{8}

7. Medida do perímetro: 42 métros

Sendo um terreno no formato retangular, então se um lado mede 15 métros de comprimento, o lado oposto mede também 15 métros. Assim, os outros dois lados medirão:

42 - 15 - 15 = 12

12 : 2 = 6

Os outros dois lados medirão cada um 6 m de comprimento.

Assim, a razão entre a medida de comprimento do lado maior e a do lado menor desse terreno será igual a:

\frac{l a d o m a i o r}{l a d o m e n o r} = \frac{15}{6} = 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{250}{100} = 250 %

8. Para que a razão dê como resultado um número menor que 1 e maior que 0, quer dizer que o valor absoluto do numerador é menor que o valor absoluto do denominador, porém a e b são negativos; nesse caso, o número que tem maior valor absoluto é menor.

Portanto, o número b é menor.

Atividades

▶ Página 269

1. a) É proporção, pois:

\frac{4}{10} = \frac{2}{5}

b) Não é proporção, pois:

\frac{8}{32} = \frac{1}{4} \neq \frac{2}{7}

c) É proporção, pois:

\frac{9}{0,25} = \frac{81}{2,25}

d) É proporção, pois:

\frac{1,5}{6} = \frac{0,5}{2}

e) É proporção, pois:

\frac{35}{28} = \frac{5}{4}

f) Não é proporção, pois:

\frac{148}{93} ≃ 1,6

\frac{37}{24} ≃ 1,5

\frac{2}{3} = \frac{10}{15}

;

\frac{2}{10} = \frac{3}{15}

;

\frac{15}{3} = \frac{10}{2}

;

\frac{15}{10} = \frac{3}{2}

;

\frac{3}{2} = \frac{15}{10}

;

\frac{10}{2} = \frac{15}{3}

;

\frac{3}{15} = \frac{2}{10}

;

\frac{10}{15} = \frac{2}{3}

\frac{42}{x} = \frac{252}{186}

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:

42 \cdot 186 = x \cdot 252

x = \frac{42 \cdot 186}{252}

x = 31

Portanto, o valor de x é 31.

4. Indicando por x a quantidade de biscoitos feitos, temos:

\frac{12}{x} = \frac{4}{15}

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:

4 \cdot x = 12 \cdot 15

4 x = 180

x = \frac{180}{4}

x = 45

Logo, foram feitos 45 biscoitos.

5. As razões entre a medida de distância e a de tempo, na subida e na descida, não formam uma proporção, pois:

\frac{220}{40} = 5, 5 e \frac{220}{30} ≃

7,3.

\frac{1,80}{3} = \frac{x}{7}

3 x = 1,80 \cdot 7

3 x = 12,6

x = \frac{12,6}{3}

x = 4,2

Logo, a altura da árvore mede 4,2 métros.

Atividades

▶ Página 271

1. a) De 5 para 10 horas, o número de camisetas dobra, pois passa de 400 para 800.

De 5 para 15 horas, esse número triplica, pois passa de 400 para .1200.

b) Sim, são diretamente proporcionais.

Para confirmar, podemos encontrar a constante de proporcionalidade:

\frac{400}{5} = \frac{800}{10} = \frac{1 200}{15} = 80

Portanto, a constante de proporcionalidade é 80.

2. Um dos modos de calcular é observar que os números da sequência ésse minúsculo₂ são obtidos multiplicando-se por 0,2 os números da sequência ésse minúsculo₁. Logo, o quadro completo é:

Esquema. Quadro com 2 linhas e 4 colunas. Na primeira linha, sequência 1, da esquerda para direita, há os números 1, 2, 3 e 4.
Na segunda linha, sequência 2, da esquerda para direita, há os números 0 vírgula 2, 0 vírgula 4, 0 vírgula 6, e 0 vírgula 8.

3. Para encontrar a constante de proporcionalidade, basta fazer:

\frac{24}{4} = \frac{12}{2} = \frac{6}{1} = \frac{3}{0,5} = 6

Portanto, a constante de proporcionalidade é 6.

4. Sabendo que

k = 4

, para calcularmos os valores de x, y e z substituímos k por 4:

x = 3 \cdot 4 = 12

y = 5 \cdot 4 = 20

z = 7 \cdot 4 = 28

Portanto, dividindo o número 60 em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 7, Thaís obterá os números 12, 20 e 28.

5. Podemos dividir o número 52 em partes inversamente proporcionais da seguinte maneira:

Página cento e onze

\frac{a}{\frac{1}{2}} + \frac{b}{\frac{1}{3}} + \frac{c}{\frac{1}{4}} = \frac{a + b + c}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = \frac{52}{\frac{6 + 4 + 3}{12}} = \frac{52}{\frac{13}{12}} = 52 \cdot \frac{12}{13} = 48 = k

\frac{a}{\frac{1}{2}} = 48

\frac{b}{\frac{1}{3}} = 48

\frac{c}{\frac{1}{4}} = 48

a =

b = 16

c = 12

Portanto, 24, 16 e 12 são inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, nessa ordem.

Atividades

▶ Páginas 274 e 275

1. a) Não. Espera-se que os estudantes percebam que a altura de uma pessoa aumenta quando a idade aumenta. Entretanto, o aumento não é diretamente proporcional, ou seja, quando dobramos a idade, a medida da altura não é dobrada; quando triplicamos a idade, a medida da altura não é triplicada.

b) Sim, pois, considerando que as folhas têm a mesma massa, ao duplicarmos a quantidade de folhas, a medida da massa do livro será duplicada, por exemplo.

c) Sim, pois se a quantidade de litros de água dobrar, o valor pago também dobrará, por exemplo.

2. a) O preço passa de 8 reais para 16 reais, ou seja, ele dobra. O preço reduz a um quinto, pois 8 reais corresponde a um quinto de 40 reais.

b) Sim, pois as grandezas variam na mesma razão.

3. a)

\frac{5}{10} = \frac{20}{x} \Rightarrow x = 40

\frac{5}{20} = \frac{20}{y} \Rightarrow y = 80

\frac{5}{30} = \frac{20}{z} \Rightarrow z = 120

\frac{5}{20} = \frac{10}{40} = \frac{20}{80} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4}

c) Para calcular os valores da coluna relativa à grandeza B, basta multiplicar os valores da coluna A por 2, assim:

Grandeza B
10
20
40
60

4. Inicialmente, vamos dividir os 288 reais em três partes: á, b e c.

a + b + c = 288,00

As letras a, b e c indicam as partes da quantia repartida entre as crianças e são diretamente proporcionais as idades delas, que são: 8, 10 e 12 anos. Então:

\frac{a}{8} = \frac{b}{10} = \frac{c}{12} = k (I)

\frac{a}{8} = k \Rightarrow a = 8 k

\frac{b}{10} = k \Rightarrow b = 10 k

\frac{c}{12} = k \Rightarrow c = 12 k

Substituindo esses valores na equação (um), temos:

8 k + 10 k + 12 k = 288

30 k = 288

k = 9,6

Como k = 9,6 e a = 8k, então: a = 8 ⋅ 9,6 = 76,8

Como k = 9,6 e b = 10k, então: b = 10 ⋅ 9,6 = 96

Como k = 9,6 e c = 12k, então: c = 12 ⋅ 9,6 = 115,2

Portanto, a criança de 8 anos receberá R$ 76,80setenta e seis reais e oitenta centavos; a de 10 anos, R$ 96,00noventa e seis reais; e a de 12 anos, R$ 115,20cento e quinze reais e vinte centavos.

5. a) Dois irmãos compraram um carro juntos. Juliana pagou R$ 19.000,00dezenove mil reais e Lucas, R$ 11.000,00onze mil reais. Depois de alguns anos, venderam o carro por R$ 22.500,00vinte e dois mil quinhentos reais e dividiram o valor da venda em partes diretamente proporcionais aos valores pagos. Quanto Juliana recebeu? E Lucas?

b) Dividir .22500 em duas partes: x e y, respectivamente, de Juliana e Lucas. Ou seja:

x + y = .22500

Além disso, devemos ter:

\frac{x}{19 000} = k \Rightarrow x = 19 000 k

\frac{y}{11 000} = k \Rightarrow y = 11 000 k

Voltando à equação inicial, temos:

.19000k + .11000k = .22500

.30000k = .22500

k = \frac{22 500}{30 000} = \frac{225}{300} = 0,75

Logo, como

k = 0,75

, podemos calcular x e y.

x = .19000k ⇒ x = .19000 ⋅ 0,75 ⇒ x = .14250

y = .11000k ⇒ x = .11000 ⋅ 0,75 ⇒ x = .8250

Portanto, Juliana recebeu R$ 14.250,00quatorze mil duzentos e cinquenta reais e Lucas recebeu R$ 8.250,00oito mil duzentos e cinquenta reais.

Atividades

▶ Página 277

1. a)

\frac{2}{4} = \frac{3}{6}

\frac{1}{2}

, então as grandezas são diretamente proporcionais.

\frac{1}{48} \neq \frac{2}{24}

, mas

\frac{1}{\frac{1}{48}}

\frac{2}{\frac{1}{24}}

= 48 e quando x dobra, y fica reduzido à metade, ou seja, uma varia sempre na razão inversa da outra; logo, x e y são grandezas inversamente proporcionais.

2. As grandezas são inversamente proporcionais, pois

\frac{10}{\frac{1}{4}} = \frac{8}{\frac{1}{5}}

\frac{4}{\frac{1}{10}} = 40

Os estudantes podem, por exemplo, dizer que, quando se divide por 2 o número de estudantes no grupo, a quantidade de grupos é dobrada.

\frac{9}{5}

≠

\frac{15}{3}

; portanto, não são diretamente proporcionais.

\frac{15}{\frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{1}{5}} = 45

Portanto, são inversamente proporcionais.

4. Exemplo de resposta: São necessários 2 minutos para encher um balde usando uma mangueira. Se forem usadas duas mangueiras com a mesma vazão, demoraria 1 minuto. Quanto tempo levaria para encher o balde se fossem usadas 4 mangueiras que têm a mesma vazão?

\frac{2}{1} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{x}{\frac{1}{4}}

\frac{x}{\frac{1}{4}} = 2 \Rightarrow x = 2 \cdot \frac{1}{4} \Rightarrow x = 0,5

Levaria 0,5 minuto ou 30 segundos.

Página cento e doze

Atividades

▶ Páginas 279 e 280

1. A quantidade de latas de leite condensado e a quantidade de docinhos são diretamente proporcionais. Indicando por x o número de latas, temos:

\frac{1}{x} = \frac{50}{300} \Rightarrow 50 \cdot x = 300 \cdot 1 \Rightarrow x = 6

Portanto, Júlia vai precisar de 6 latas de leite condensado.

2. Como as grandezas são diretamente proporcionais, temos:

\frac{2}{6} = \frac{4}{x} \Rightarrow 2 \cdot x = 4 \cdot 6 \Rightarrow x = \frac{24}{2} \Rightarrow x = 12

\frac{2}{6} = \frac{y}{30} \Rightarrow 6 \cdot y = 2 \cdot 30 \Rightarrow y = \frac{60}{6} \Rightarrow y = 10

3. O custo é diretamente proporcional ao número de funcionários. Indicando por

x o custo de 150 funcionários, temos:

\frac{100}{150} = \frac{3 000}{x} \Rightarrow 100 x = 150 \cdot 3 000 \Rightarrow x = \frac{450 000}{100} \Rightarrow x = 4 500

Portanto, alimentar 150 funcionários custaria durante o mesmo período para a empresa R$ 4.500,00quatro mil quinhentos reais.

Mangueiras	Medida de vazão (L/min)
3	12
7	x

Se aumenta a quantidade de mangueiras, aumenta a medida de vazão por minuto, portanto as grandezas são diretamente proporcionais. Então:

\frac{3}{7} = \frac{12}{x} \Rightarrow 3 x = 7 \cdot 12 \Rightarrow 3 x = 84 \Rightarrow x = 28

Portanto, a medida de vazão será de 28 litros de água por minuto.

5. A torneira tradicional gasta 80 litros em 5 minutos. Isso quer dizer que ela tem uma medida de vazão de 16 litros por minuto

(80 : 5 = 16)

Como essa torneira fica aberta por 25 minutos durante 1 dia e há seis torneiras desse tipo, seu gasto diário é de .2400 litros abre parênteses25 ⋅ 16 ⋅ 6 = .2400fecha parênteses.

No entanto, com a mesma medida de vazão, as seis torneiras automáticas ficam abertas 15 minutos por dia. Logo, seu gasto diário é de .1440 litros abre parênteses15 ⋅ 16 ⋅ 6 = .1440fecha parênteses.

Portanto, a economia diária será de 960 litros, pois abre parênteses.2400 menos .1440 = 960fecha parênteses.

6. Se uma torneira com medida de vazão de 6 litros por minuto enche um balde em 2 minutos, então para poder encher o mesmo balde em metade do tempo a vazão da torneira deverá dobrar, pois as grandezas são inversamente proporcionais.

Logo, a medida de vazão deverá ser de 12 litros por minuto.

Quantidade de páginas	Valor recebido
127	1.789
587	x

Se aumenta a quantidade de páginas, aumenta o valor recebido, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

\frac{127}{587} = \frac{1 789}{x} \Rightarrow 127 x = 587 \cdot 1 789 \Rightarrow x = \frac{587 \cdot 1789}{127} \Rightarrow x = \frac{1 050 143}{127} \Rightarrow x ≃ 8 268,84

Deverá receber aproximadamente R$ 8.268,84oito mil duzentos e sessenta e oito reais e oitenta e quatro centavos.

8. A razão entre a medida de altura e a medida de comprimento da foto original é

\frac{2}{3}

. A foto ampliada medirá 15 centímetros de altura e c centímetros de comprimento, de modo que:

\frac{15}{c} = \frac{2}{3}

Assim:

2 \cdot c = 15 \cdot 3

c = \frac{15 \cdot 3}{2} \Rightarrow c = 22,5

Portanto, a medida do comprimento da foto ampliada se as proporções forem mantidas é 22,5 centímetros.

9. O total de litros de combustível vendidos por dia é de .25850 litros, pois:

.15635 litros + .10215 litros = .25850 litros

Litros de combustível vendidos	Número de dias
25.850	1
103.400	x

25 850 \cdot x = 1 \cdot 103400 \Rightarrow x = \frac{103 400}{25 850} \Rightarrow x = 4

alternativa c

10. a)

\frac{1 000}{4} = \frac{x}{9} \Rightarrow 4 x = 1 000 \cdot 9 \Rightarrow x = \frac{9 000}{4} \Rightarrow x = 2 250

Seriam despejados .2250 litros por hora.

\frac{2 250}{1} = \frac{18 000}{y} \Rightarrow 2 250 y = 1 \cdot 18 000 \Rightarrow y = \frac{18 000}{2 250} \Rightarrow y = 8

Serão necessárias 8 horas.

11.

Quantidade de calças	Quantidade de tecido
78	260
99	x

\frac{78}{99} = \frac{260}{x} \Rightarrow 78 x = 99 \cdot 260 \Rightarrow x = \frac{25 740}{78} \Rightarrow x = 330

Para fabricar 99 calças serão necessários 330 metros de tecido, ou seja, 70 metros a mais.

12.

Medida de velocidade (km/h)	Medida de tempo (h)
60	3
90	x

Como as grandezas são inversamente proporcionais, fazemos:

\frac{60}{90} = \frac{x}{3} \Rightarrow 90 \cdot x = 60 \cdot 3 \Rightarrow 90 x = 180 \Rightarrow x = \frac{180}{90} \Rightarrow x = 2

Portanto, se a medida de velocidade for 90 quilômetros por hora ele gastará 2 horas.

13. Tempo e vazão são grandezas inversamente proporcionais. Portanto, a resolução correta seria:

\frac{x}{3} = \frac{15}{10} \Rightarrow 15 \cdot 3 = x \cdot 10 \Rightarrow x = 4,5

Portanto, a bomba antiga levará 4,5 minutos para encher o tanque.

Página cento e treze

14. a) Elas ficaram sobrepostas. Observe:

Esquema. Ampliação de retângulos. O primeiro com as vértices ABCD. A primeira ampliação tem aumento na vertical e na horizontal, as vértices A linha B linha C linha e D linha e a segunda ampliação também com aumento na vertical e na horizontal com A duas linhas B duas linhas C duas linhas D duas linhas. Há uma reta na diagonal passando pelos pontos A C C linha e C duas linhas

b) Exemplo de resposta: Para ampliar ou reduzir um retângulo, é possível traçar a diagonal, prolongá-la e determinar as dimensões de novos retângulos, que serão proporcionais às dimensões do retângulo original.

15. Temos a metade das bananas para exatamente a metade de macacos. Se cada macaco come uma banana em 6 minutos, então 3 macacos comem 3 bananas em 6 minutos. Se cada um come uma banana em 6 minutos, 18 minutos são suficientes para que cada um coma 3 bananas. Se são 18 bananas, são então necessários 6 macacos comendo 3 bananas cada um.

Atividades

▶ Página 283

1. a)

\frac{14}{100} \cdot 112 = 15,68

;

112 + 15,68 = 127,68

\frac{4}{100} \cdot 208,5 = 8,34

;

208,50 + 8,34 = 216,84

\frac{26}{100} \cdot 58,30 = 15,158

;

15,158 + 58,30 ≃ 73,46

\frac{32,5}{100} \cdot 47,80 = 15,535

;

15,535 + 47,80 ≃ 63,34

99 - 1 %

de 99:

99 - \frac{1 \cdot 99}{100} = 99 - 0,99 = 98,01

Portanto, o valor obtido será R$ 98,01noventa e oito reais e um centavos.

3. Aplicando a regra de três simples, temos:

\frac{78}{100} = \frac{156}{x} \Rightarrow 78 \cdot x = 156 \cdot 100 \Rightarrow x = \frac{15 600}{78} \Rightarrow x = 200

Portanto, Mariana tem duzentas figurinhas.

4. Loja A: se terá 20% de desconto, então à vista será pago 80% do valor:

\frac{80}{100} \cdot 1 500 = 1 200

Loja B: se terá 10% de desconto, então à vista será pago 90% do valor:

\frac{90}{100} \cdot 1 400 = 1 260

Portanto, na Loja A será pago um valor menor se a compra for feita à vista.

5. Foram reprovados 140 candidatos que participaram do concurso, pois:

210 - 70 = 140

Aplicando a regra de três simples, temos:

\frac{210}{140} = \frac{100}{x} \Rightarrow 210 \cdot x = 140 \cdot 100 \Rightarrow x = \frac{14 000}{210} \Rightarrow x ≃ 66,66 %

Portanto, foram reprovados aproximadamente 66,66% dos candidatos.

100 % + 15 % = 115 %

115% de x:

\frac{115}{100} \cdot x = 460 000 \Rightarrow x = \frac{460 000 \cdot 100}{115} \Rightarrow x = 400 000

Portanto, Márcia havia pago R$ 400.000,00quatrocentos mil reais pela casa.

7. Exemplo de resposta: Uma TV estava sendo vendida com 10% de desconto para pagamento à vista. Qual será o preço dessa TV, se ela for paga à vista?

8. Resposta pessoal. Outra estratégia que pode ser utilizada para resolver o problema é utilizar a regra de três.

Se houve um desconto de 40%, significa que foi pago 60% do valor.

\frac{150}{x} = \frac{100}{60} \Rightarrow 100 \cdot x = 150 \cdot 60 \Rightarrow x = \frac{9 000}{100} \Rightarrow x = 90

Para calcular o valor do desconto, fazemos:

150 menos 90 = 60

Portanto, o desconto foi de 60 reais e o valor atual da bicicleta é 90 reais.

100 % + 10 % = 110 %

110% de

x : \frac{110}{100} \cdot x = 165 \Rightarrow x = \frac{165 \cdot 100}{110} \Rightarrow x = 150

Portanto, o valor de conta sem a taxa de serviço seria de R$ 150,00cento e cinquenta reais.

10. 100% menos 65% = 35%

35% de .1200:

\frac{35}{100} \cdot 1 200 = 420

Portanto, 420 telespectadores entrevistados assistiram a mais de 50% das competições olímpicas.

Compreender um texto

▶ Página 285

Resoluções e comentários em Orientações.

Atividades

▶ Página 289

1. a) j = .12650 ⋅ 0,06 ⋅ 3

j = .2277

Logo, o juro obtido após 3 anos será de R$ 2.277,00dois mil duzentos e setenta e sete reais.

b) Considerando x a medida de tempo, em anos, temos:

.12650 + x ⋅ 0,06 ⋅ .12650 = .16445

759x = .3795

x = \frac{3 795}{759}

x = 5

Logo, Paulo terá o montante R$ 16.445,00dezesseis mil quatrocentos e quarenta e cinco reais após 5 anos.

2. Exemplo de resposta: Calcule o juro simples produzido por um capital de R$ 1.400,00mil quatrocentos reais, à taxa de 4,6% ao mês, durante 6 meses.

j = .1400 ⋅ 0,046 ⋅ 6

j = 386,40

Logo, o juro produzido é de R$ 386,40trezentos e oitenta e seis reais e quarenta centavos.

200 + 200 \cdot 0,02 \cdot 8 = 200 + 32 = 232

Logo, Luciano deverá R$ 232,00duzentos e trinta e dois reais depois de 8 meses.

4. a)

750 + 750 \cdot 0,05 \cdot 6 = 750 + 225 = 975

O montante final será R$ 975,00novecentos e setenta e cinco reais.

700 + 700 \cdot 0,04 \cdot 6 = 700 + 168 = 868

O montante final será R$ 868,00oitocentos e sessenta e oito reais.

600 \cdot 0,03 \cdot 7 = 126

O juro recebido é R$ 126,00cento e vinte e seis reais.

5. Considerando x o valor que a pessoa deve aplicar, temos:

x + 0, 04 \cdot 14 \cdot x = 234

x + 0,56 x = 234

1,56 x = 234

x = 150

O investidor deve aplicar R$ 150,00cento e cinquenta reais.

Página cento e catorze

6. Considerando x a medida de tempo, em meses, fazemos:

83,25 = 370 ⋅

\frac{2, 5}{100} \cdot x

83,25 = 9,25 x

x =

\frac{83, 25}{9, 25} = 9

Logo, o capital deve ficar aplicado por 9 meses.

7. a) Temos: 3 ⋅ R$ 1.650,00mil seiscentos e cinquenta reais = R$ 4.950,00quatro mil novecentos e cinquenta reais.

Para calcular o valor, em real, do juro cobrado, determinamos a diferença do valor à vista e o parcelado:

R$ 4.950, 0quatro mil novecentos e cinquenta reais0 menos R$ 4.200,00quatro mil duzentos reais = R$ 750,00setecentos e cinquenta reais

Considerando x a taxa de juro cobrada, fazemos:

750 = 4 200 · x · 3

750 = .12600x

x =

\frac{750}{12 600}

x ≃ 0,0595 = 5,95%

Logo, a taxa de juro simples mensal é de 5,95%.

b) R$ 4.200,00quatro mil duzentos reais − R$ 4.000,00quatro mil reais = R$ 200,00duzentos reais

Assim, é necessário calcular por quanto tempo R$ 4.000,00quatro mil reais deve ficar aplicado para produzir R$ 200,00duzentos reais de juro a uma taxa de juro simples de 2,5% ao mês. Considerando x o tempo, em mês, temos:

200 = .4000 ⋅ 0,025 ⋅ x

200 = 100x

x = \frac{200}{100} = 2

Logo, seria necessário aguardar 2 meses.

• Espera-se que os estudantes respondam que é mais vantajoso comprar o televisor com pagamento à vista, pois aplicando o capital de R$ 4.000,00quatro mil reais, após dois meses é possível comprá-lo à vista. E a prazo, o valor pago de juros é R$ 750,00setecentos e cinquenta reais.

Educação Financeira

▶ Página 291

Resoluções e comentários em Orientações.

Estatística e Probabilidade

▶ Páginas 293 e 294

1. a)

Ilustração. Parte de uma planilha eletrônica mostrando as linhas de 1, 2, 3 e 4, e as colunas A, B, C, D, E, F e G. As linhas e colunas formam as células denominadas por: coluna-linha.
Na linha 1 e colunas de A a G, a célula mesclada mostra o título Peças vendidas no segundo semestre de 2022.
Célula A 2: mês.
Célula A 3: quantidade de peças.
Célula B 2: julho.
Célula B 3: 427.
Célula C 2: agosto.
Célula C 3: 312.
Célula D 2: setembro.
Célula D 3: 284.
Célula E 2: outubro.
Célula E 3: 465.
Célula F 2: novembro.
Célula F 3: 548.
Célula G 2: dezembro.
Célula G 3: 640.
Fonte: Dados obtidos por Reginaldo em janeiro de 2023.

b) Gráfico de barras, pois por meio dele é possível visualizar a variação de vendas.

Gráfico em barras simples verticais. Gráfico representando Peças vendidas no segundo semestre de 2022. No eixo vertical, está indicada a Quantidade de peças vendidas. De baixo para cima: 0 peça, 100 peças, 200 peças, 300 peças, 400 peças, 500 peças, 600 peças e 700 peças. No eixo horizontal, estão indicados os meses. Da esquerda para a direita: julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro. A quantidade de peças vendidas por mês são: Julho, 427; Agosto, 312; setembro, 284; outubro, 465; novembro, 548; dezembro, 640.

Dados obtidos por Reginaldo em janeiro de 2023.

2. a) Gráfico de setores, mostrando em porcentagem a intenção dos votos; gráfico de barras, mostrando em porcentagem a intenção dos votos ou os números relacionados à intenção dos votos.

b) Juliana pode indicar como “Não sei” ou “Indecisos”.

3. a)

Ilustração. Parte de uma planilha eletrônica mostrando as linhas de 1 a 18 e as colunas A, B, C, D, E, F Na linha 1, há uma linha com o título Hábitos de leitura dos brasileiros por regiões 2015 Na linha 2: Na coluna B identificando a região norte, na coluna C identificando a região centro oeste, na coluna D identificando a região nordeste, na coluna E identificando a região sudeste, na coluna F identificando a região sul Na linha 3: Na A coluna identificando leitor, na coluna B 53 por cento, na coluna C 57 por cento, na coluna D 51 por cento, na coluna E 61 por cento, na coluna F 50 por cento Na linha 4: Na A coluna identificando não leitor, na coluna B 47 por cento, na coluna C 43 por cento, na coluna D 49 por cento, na coluna E 39 por cento, na coluna F 50 por cento Abaixo gráfico em barras duplas nas verticais. Barra verde representas os leitores e barra laranja representa os não leitores No eixo vertical, estão indicadas as porcentagens. De baixo para acima: 0 por cento, 10 por cento, 20 por cento, 30 por cento, 40 por cento, 50 por cento, 60 por cento No eixo horizontal, estão indicadas as regiões. Da esquerda para a direita: Região norte, região centro oeste, região nordeste e região sudeste e região sul

INSTITUTO PRÓ-LIVRO. Disponível em: https://oeds.link/WXjhJW. Acesso em: 6 fevereiro 2022.

Ilustração. Parte de uma planilha eletrônica mostrando as linhas de 1 a 27 e as colunas A, B, C, D, E, F Na linha 1, há uma linha com o título Hábitos de leitura dos brasileiros por regiões 2019 Na linha 2: Na coluna B identificando a região norte, na coluna C identificando a região centro oeste, na coluna D identificando a região nordeste, na coluna E identificando a região sudeste, na coluna F identificando a região sul Na linha 3: Na A coluna identificando leitor, na coluna B 63 por cento, na coluna C 46 por cento, na coluna D 48 por cento, na coluna E 51 por cento, na coluna F 58 por cento Na linha 4: Na A coluna identificando não leitor, na coluna B 37 por cento, na coluna C 54 por cento, na coluna D 52 por cento, na coluna E 49 por cento, na coluna F 42 por cento Abaixo gráfico de setores de cada região. Parte verde representas os leitores e parte laranja representa os não leitores Na região norte 63 por cento de leitor e 37 por cento de não leitor Na região nordeste 48 por cento de leitor e 52 por cento de não leitor Na região sul 58 por cento de leitor e 42 por cento de não leitor Na região centro oeste 46 por cento de leitor e 54 por cento de não leitor Na região sudeste 51 por cento de leitor e 49 por cento de não leitor

INSTITUTO PRÓ-LIVRO. Disponível em: https://oeds.link/fkT7bO. Acesso em: 6 fevereiro 2022.

Página cento e quinze

c) Espera-se que os estudantes respondam no gráfico de barras duplas, pois conseguem ver região por região em uma única visualização.

4. a)

Ilustração. Parte de uma planilha eletrônica mostrando as linhas de 1 a 16 e as colunas A e B. Na linha 1, há uma linha com o título Quantidade de açúcar em algumas frutas (em 100 gramas). Na linha 2: na coluna A, fruta; na coluna B, quantidade de açúcar (em grama). Na linha 3: na coluna A, limão; na coluna B, 2,50. Na linha 4: na coluna A, morango; na coluna B, 4,60. Na linha 5: na coluna A, melancia; na coluna B, 5,50. Na linha 6: na coluna A, kiwi; na coluna B, 8,99.

MUNDO Boa fórma. Disponível em: https://oeds.link/WL1wV9. Acesso em: 6 fevereiro 2022.

b) Exemplo de resposta:

Ilustração. Gráfico, continuação da ilustração anterior, agora na planilha eletrônica mostrando gráfico com os resultados da planilha. Gráfico em barras simples verticais. Gráfico representando o ' Quantidade de açúcar em algumas frutas em 100 gramas. No eixo vertical, estão indicados Quantidade de açúcar em grama. De baixo para acima: 0 grama 1 grama, 2 gramas, 3 gramas, 4 gramas, 5 gramas, 6 gramas, 7 gramas, 8 gramas, 9 gramas, 10 gramas No eixo horizontal, estão indicadas as frutas. Da esquerda para a direita: Limão, morango, melancia e Kiwi A quantidade de açúcar por frutas são: Limão, 2 virgula 50 Morango, 4 virgula 60 Melancia, 5 virgula 50 Kiwi, 8 virgula 99

MUNDO Boa fórma. Disponível em: https://oeds.link/THSvda. Acesso em: 17 julho 2022.

Atividades de revisão

▶ Páginas 295 e 296

1. Exemplo de resposta:

\frac{4}{3}

, pois

\frac{4}{3} = \frac{12}{9}

2. a) Como

\frac{18}{24} = \frac{3}{4}

\frac{2,5}{9,5} = \frac{25}{95} = \frac{5}{19}

, então as razões não formam uma proporção.

b) Como

\frac{51}{68} = \frac{3}{4}

\frac{16,5}{22} = \frac{165}{220} = \frac{3}{4}

, então as razões formam uma proporção.

3. a) Como o maior triângulo foi dividido em 9 triângulos idênticos, significa que a medida de área do maior triângulo é 9 vezes maior que a medida de área de um dos triângulos menores. Portanto, a razão pedida é

\frac{1}{9}

b) Aproximadamente 11%, pois

\frac{1}{9} ≃ 0,11

c) O triângulo maior foi dividido em 9 partes iguais, das quais 3 não estão pintadas de azul; logo, temos

\frac{3}{9}

\frac{1}{3}

d) Como

\frac{1}{3}

não está pintado de azul, então significa que

\frac{2}{3}

estão pintados de azul. Logo, a fração irredutível é

\frac{2}{3}

e) Aproximadamente 33% e 67%, respectivamente, pois

\frac{1}{3} ≃ 0,33

\frac{2}{3} ≃ 0,67

4. a) Como a constante de proporcionalidade é 3 e as sequências de números são diretamente proporcionais, fazemos:

81 dividido por 3 = 27

90 dividido por 3 = 30

99 dividido por 3 = 33

108 dividido por 3 = 36

117 dividido por 3 = 39

Assim:

Esquema. S 1, seta para direita, 81, 90, 99, 108, 117. Abaixo, S 2 seta para direita, 27, 30, 33, 36, 39.

b) Como a constante de proporcionalidade é 20 e as sequências de números são inversamente proporcionais, fazemos:

20 dividido por 10 = 2

20 dividido por 5 = 4

20 dividido por 2,5 = 8

20 dividido por 4 = 5

20 dividido por 1,25 = 16

Assim:

Esquema. S 1, seta para direita, 10, 5, 2 vírgula 5, 4, 1 vírgula 25. Abaixo, S 2 seta para direita, 2, 4, 8, 5, 16.

5. Para saber o preço de uma camiseta, fazemos:

120 : 3 = 40

Como uma camiseta custa 40 reais, então para calcular o preço de 5 camisetas, fazemos:

5 \cdot 40 = 200

Logo, Bianca pagará R$ 200,00duzentos reais por 5 camisetas.

Medida de velocidade (km/h)	Medida de tempo (h)
200	3
280	x

Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais, então:

\frac{200}{280} = \frac{x}{3} \Rightarrow 280 x = 600 \Rightarrow x = \frac{600}{280} \Rightarrow x ≃ 2, 14

2,14 horas = 2,14 · 60 minutos = 128,4 minutos

O trem gastaria aproximadamente 128 minutos.

7. a, b e c indicam as partes da quantia repartida e são diretamente proporcionais aos investimentos, que são: .8000, .6000 e .12000. Então:

a + b + c = .91000 (um)

\frac{a}{8 000} = \frac{b}{6 000} = \frac{c}{12 000} = k

\frac{a}{8 000} = k \Rightarrow a = 8 000 k

\frac{b}{6 000} = k \Rightarrow b = 6 000 k

\frac{c}{12 000} = k \Rightarrow c = 12 000 k

Substituindo esses valores na equação (um), temos:

.8000k + .6000k + .12000k = .91000

.26000k = .91000

k = \frac{91 000}{26 000} \Rightarrow k = 3,5

Como k = 3,5 e a = .8000k, então: a = .8000 ⋅ 3,5 = .28000

Como k = 3,5 e b = .6000k, então: b = .6000 ⋅ 3,5 = .21000

Como k = 3,5 e c = .12000k, então: c = .12000 ⋅ 3,5 = .42000

Portanto, eles receberam R$ 28.000,00vinte e oito mil reais, R$ 21.000,00vinte e um mil reais e R$ 42.000,00quarenta e dois mil reais, respectivamente.

8. Para a construção dessa laje foram utilizados .1400 quilogramas de cimento abre parênteses35 ⋅ 40 = .1400fecha parênteses.