Página 205

CAPÍTULO 8 Polígono, circunferência e círculo

1 Polígono e seus elementos

As asas da libélula são formadas por diversas partes que lembram polígonos. Observe.

Fotografia. Libélula em tom amarelado com as asas transparentes . Destaque para asa composta de linhas polígonais fechadas. — Libélula.

Um polígono é uma linha poligonal plana fechada e simples mais sua região interna.

Recorde

Linha poligonal plana é uma linha do plano formada apenas por segmentos de reta consecutivos (quando a extremidade de um segmento é também extremidade do outro) e não colineares.

• Linhas poligonais fechadas e simples: os segmentos não se cruzam.

Ilustração. Uma linha poligonal fechada e simples, azul, construída com 7 segmentos de retas. Ilustração. Uma linha poligonal fechada e simples, azul, construída com 5 segmentos de retas.

• Linhas poligonais fechadas e não simples: os segmentos se cruzam.

Ilustração. Linhas poligonais fechadas e não simples. azuis. A linha poligonal se parece com uma estrela construída com 5 segmentos de reta. Ilustração. Linhas poligonais fechadas e não simples, azuis, construídas por 6 segmentos de reta.

Observe exemplos de polígonos e de figuras que não são polígonos.

Ilustração. 3 linhas poligonais fechadas e simples, na cor verde. Da esquerda para a direita, a primeira linha poligonal lembra um sinal de adição, construída por 12 segmentos de reta. A segunda é construída por 6 segmentos de reta. E a terceira é construída por 8 segmentos de reta. Legenda: São polígonos. Ilustração. 3 figuras planas fechadas, na cor roxa. Da esquerda para a direita, a primeira é formada por 3 linhas curvas. A segunda é oval. E a terceira é construída 4 segmentos de reta, sendo que 2 se cruzam, dividindo a figura em 2 partes. Legenda: Não são polígonos.

A linha poligonal é o contorno do polígono e separa o plano em duas regiões: a região interna do polígono e a região externa a ele.

Ilustração. Uma região de cor azul em formato de paralelogramo, no centro há outro paralelogramo com a região interna de cor amarela e os lados de cor laranja. — A linha laranja é o contorno do polígono, a parte amarela é a região interna do polígono e a parte azul é a região externa ao polígono.

Respostas e comentários

Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas neste Capítulo:

ê éfe zero sete ême ah dois dois

ê éfe zero sete ême ah dois sete

ê éfe zero sete ême ah três três

ê éfe zero sete ême ah três sete

Orientações e sugestões didáticas

Polígonos e seus elementos

Objetivos

• Reconhecer um polígono e seus elementos.

• Distinguir polígonos convexos de não convexos.

• Reconhecer polígonos regulares.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah dois sete e da competência específica 6 da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah dois sete porque os estudantes deverão verificar que, em um polígono, os ângulos internos e externos com vértice comum são adjacentes suplementares.

Orientações

• Para o desenvolvimento do conceito de polígono são apresentados exemplos de figuras que são polígonos e de figuras que não são polígonos. Reproduza as figuras que não são polígonos no quadro e incentive os estudantes a justificar o porquê de não serem polígonos com base na definição apresentada.

(ê éfe zero sete ême ah dois sete) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Página 206

Polígono convexo e polígono não convexo

Um polígono pode ser classificado em convexo ou não convexo.

Se todos os segmentos de reta com extremidades no interior de um polígono tiverem todos os seus pontos situados no interior desse polígono, ele será convexo. Observe alguns exemplos.

Ilustração. Quadrilátero com um segmento de reta na região interna do polígono. Ilustração. Triângulo obtusângulo com um segmento de reta na região interna do polígono.

Ilustração. Polígono com seis lados, com um segmento de reta na região interna do polígono. Ilustração. Polígono de cinco lados com um segmento de reta na região interna do polígono.

Se um segmento de reta tiver extremidades no interior de um polígono, mas nem todos os seus pontos estiverem situados no interior desse polígono, ele será não convexo. Observe alguns exemplos.

Ilustração. Quadrilátero com o formato que lembra uma seta, tendo um segmento de reta que começa no interior do polígono passa na região externa e termina novamente no interior. Ilustração. Polígono com oito lados, que lembra o formato de um pódio, com um segmento de reta que começa na região interna do polígono passa pela região externa e termina na região interna. Ilustração. Polígono com sete lados, com um segmento de reta que começa na região interna do polígono passa pela região externa e termina na região interna. Ilustração. Polígono com cinco lados, com um segmento de reta que começa na região interna do polígono passa pela região externa e termina na região interna.

Elementos de um polígono

Considere o polígono convexo representado e a indicação de seus elementos.

Ilustração. Polígono ABCDE convexo, em laranja, em seu interior foram traçadas suas diagonais formando uma estrela. Em destaque, os ângulos externos a, b, c, d e e.

• Lados são os segmentos de reta que limitam o polígono:

\overline{A B}, \overline{B C}, \overline{C D}, \overline{D E} e \overline{E A}

• Vértices são os pontos que são extremidades dos lados do polígono: A, B, C, D e E

• Diagonais são segmentos de reta cujas extremidades são vértices que não pertencem a um mesmo lado do polígono:

\overline{A C}, \overline{A D}, \overline{B E}, \overline{B D} e \overline{C E}

• Ângulos internos são os ângulos formados por um par de lados consecutivos que contém a região interna do polígono:

E \hat{A} B, A \hat{B} C, B \hat{C} D, C \hat{D} E e D \hat{E} A

(também podem ser indicados por

\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D} e \hat{E}

, respectivamente)

• Ângulos externos são os ângulos formados pelo prolongamento de um dos lados do polígono e por seu lado consecutivo e que não contêm a região interna do polígono:

\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}, \hat{d} e \hat{e}

Observação

Em um polígono convexo, cada ângulo interno e o ângulo externo com vértice comum são adjacentes suplementares. Assim, a soma das medidas de suas aberturas é igual a 180graus. Então, no polígono ABCDE anterior, temos:

• medida de(

\hat{A}

) + medida de(

\hat{a}

) = 180graus

• medida de(

\hat{B}

) + medida de(

\hat{b}

) = 180graus

• medida de(

\hat{C}

) + medida de(

\hat{c}

) = 180graus

• medida de(

\hat{D}

) + medida de(

\hat{d}

) = 180graus

• medida de(

\hat{E}

) + medida de(

\hat{e}

) = 180graus

Orientações e sugestões didáticas

• Após introduzir os conceitos de polígonos convexos e não convexos, desenhe alguns polígonos no quadro e peça aos estudantes que os classifiquem em convexos e não convexos. É importante avaliar se está claro para eles a distinção entre os dois conceitos.

• Ao serem apresentados os polígonos convexos, diga aos estudantes que, apesar de ter sido representado apenas um segmento de reta no interior de cada um deles, poderia ter sido tomado qualquer segmento de reta com extremidades no interior destes polígonos, que ainda assim todos os seus pontos estariam situados em seu interior.

• No boxe Observação mostra-se a relação entre ângulos internos e externos de polígonos. Julgando pertinente, retome os conceitos de ângulos adjacentes e suplementares com a turma.

• Se achar conveniente, comente com os estudantes que, em cada vértice do polígono, poderíamos considerar outro ângulo externo. Por exemplo, no vértice A, poderíamos considerar os ângulos externos formados pelo prolongamento do lado

\overline{A E}

e pelo lado

\overline{A B}

.

Página 207

Lembre-se: Escreva no caderno!

Nome dos polígonos

Alguns polígonos são nomeados de acordo com o número de lados. Observe.

Número de lados	Nome do polígono	Número de vértices	Número de ângulos internos
3	Triângulo	3	3
4	Quadrilátero	4	4
5	Pentágono	5	5
6	Hexágono	6	6
7	Heptágono	7	7
8	Octógono	8	8
9	Eneágono	9	9
10	Decágono	10	10
11	Undecágono	11	11
12	Dodecágono	12	12
15	Pentadecágono	15	15
20	Icoságono	20	20

Note que, para cada um desses polígonos, o número de vértices, de lados e de ângulos internos é sempre o mesmo. Isso vale para qualquer polígono.

Polígonos regulares

Os polígonos podem ser classificados segundo as medidas de comprimento dos lados ou das medidas de abertura dos ângulos.

Os polígonos que têm todos os lados de mesma medida de comprimento são denominados polígonos equiláteros. Aqueles que têm todos os ângulos internos de mesma medida de abertura são denominados polígonos equiângulos. E os polígonos que têm lados de mesma medida de comprimento e ângulos de mesma medida de abertura são denominados polígonos regulares.

Ilustração. Quadrado verde com quatro ângulos internos retos. Ilustração. Pentágono azul convexo com todos os seus lados e ângulos internos congruentes. Ilustração. octógono bege convexo com todos seus lados e ângulos internos congruentes. Legenda: Polígonos regulares.

Para pensar

Fotografia. Teia de aranha em formato circular. No centro, está uma aranha amarronzada com patas listradas de coral, verde e marrom.

Uma teia de aranha é formada por diversas partes que lembram polígonos. Esses polígonos são regulares ou não regulares?

Respostas e comentários

Para pensar: polígonos não regulares

Orientações e sugestões didáticas

• A terminologia correta deve ser considerada importante no desenvolvimento de conceitos geométricos. Explore o quadro com os estudantes, pesquisando o significado de alguns prefixos ou sufixos, como equi- (traz a ideia de “igualdade”) em equilátero ou -gono (exprime a ideia de “ângulo”) em hexágono. O objetivo é evitar que memorizem a nomenclatura sem a atribuição de significado.

• Aproveite a pergunta do boxe Para pensar e peça aos estudantes para justificarem suas respostas. Espera-se que eles respondam que as paredes lembram polígonos não regulares, porque seus lados não têm a mesma medida de comprimento.

Página 208

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe o polígono e responda às questões.

Ilustração. Pentágono verde convexo ABCDE. Destaque para os ângulos externos a minúsculo, b minúsculo, c minúsculo, d minúsculo, e minúsculo.

a) Quais são seus vértices?

b) Quais são seus lados?

c) Quais são seus ângulos internos?

d) Quais são seus ângulos externos destacados na figura?

e) Quais são suas diagonais?

2. Usando régua graduada e transferidor, desenhe no caderno:

a) um quadrilátero com todos os ângulos internos com abertura medindo 90graus;

b) um polígono não equilátero e não equiângulo.

3. Observe as figuras e identifique, no caderno, a ou as afirmação ou afirmações verdadeira ou verdadeiras.

Ilustração. Polígono azul A, todos os lados são congruentes e seus ângulos internos são congruentes. Ilustração. Polígono azul B com cinco lados, dos quais dois lados são congruentes e os outros três lados são congruentes. Dos cincos ângulos internos, dois são congruentes entre si, e outros dois ângulos são congruentes entre si. Ilustração. Polígono azul C com seis lados, dos quais quatro lados são congruentes entre si e outros dois são congruentes. Dos seis ângulos internos, quatro são congruentes entre si e outros dois são congruentes entre si. Ilustração. Polígono D com quatro lados congruentes. Os ângulos internos opostos de dois a dois são congruentes.

a) O polígono a é um polígono regular.

b) O polígono C é um hexágono equiângulo.

c) O polígono D é um quadrilátero equilátero.

d) O polígono B é um pentágono equiângulo.

4. Observe a figura e, depois, responda à questão.

Ilustração. Trapézio bege. Destaque para os ângulos internos: A maiúsculo, B maiúsculo, C maiúsculo e D maiúsculo. ângulos externos: a minúsculo, b minúsculo, c minúsculo e d minúsculo.

• Qual é a relação entre os ângulos interno e externo que possuem o mesmo vértice?

Respostas e comentários

1. a) A, B, C, D e E

1. b)

\overline{A B}, \overline{B C}, \overline{C D}, \overline{D E} e \overline{E A}

1. c)

A \hat{B} C, B \hat{C} D, C \hat{D} E, D \hat{E} A e E \hat{A} B

1. d)

\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}, \hat{d} e \hat{e}

1. e)

\overline{A C}, \overline{A D}, \overline{B D}, \overline{B E} e \overline{C E}

2. a) Exemplos de resposta:

Ilustração. Quadrado com lados congruentes e quatro ângulos internos retos. Ilustração. Retângulo com quatros ângulos internos retos.

2. b) Resposta pessoal.

3. alternativas a e c

4. São adjacentes suplementares.

Orientações e sugestões didáticas

• Aproveite a atividade 2 e pergunte aos estudantes se o quadrilátero desenhado no item a é regular. A resposta dependerá do quadrilátero desenhado, uma vez que eles podem ter desenhado quadrados (quadriláteros regulares) ou retângulos (que não são regulares, pois são equiângulos, mas não são equiláteros).

Página 209

Informática e Matemática

faça as atividades no caderno

Mosaicos

Nessa seção, você vai utilizar um software de Geometria dinâmica para construir mosaicos usando apenas polígonos regulares. Para isso, os polígonos precisam ter pelo menos um vértice em comum e se encaixar perfeitamente, de fórma que não se sobreponham nem haja espaços entre eles.

Construa

Siga os passos para construir mosaicos com polígonos regulares. Para a construção de cada polígono, use a ferramenta própria para traçar polígonos regulares, destacada na ilustração.

Mosaico de quadrados

1º) A partir de dois pontos quaisquer, construa um quadrado.

2º) Selecione dois vértices consecutivos do quadrado construído e faça outro quadrado.

3º) Construa outros quadrados a partir de dois vértices consecutivos de um quadrado já existente até que o mosaico atinja as dimensões desejadas.

Ilustração. Software de geometria. Na parte superior, botões de comando. Destaque para o botão com um polígono: Ferramenta que traça polígonos regulares a partir de dois pontos. Na tela, figura composta de quadradinhos.

Mosaico de triângulos equiláteros

1º) A partir de dois pontos quaisquer, construa um triângulo equilátero.

2º) Selecione dois vértices consecutivos do triângulo construído e faça outro triângulo equilátero.

3º) Construa outros triângulos equiláteros a partir de dois vértices consecutivos de um triângulo já existente até formar o mosaico desejado.

Mosaico de hexágonos regulares

1º) A partir de dois pontos quaisquer, construa um hexágono regular.

2º) Selecione dois vértices consecutivos do hexágono construído e faça outro hexágono regular.

3º) Construa outros hexágonos regulares a partir de dois vértices consecutivos de um hexágono já existente até formar o mosaico desejado.

Orientações e sugestões didáticas

Informática e Matemática

Objetivos

• Construir mosaicos com polígonos regulares com software de Geometria dinâmica.

• Favorecer o desenvolvimento da competência geral 5, da competência específica 5 e da habilidade ê éfe zero sete ême ah dois sete da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah dois sete porque é trabalhado o desenho de mosaicos com triângulos equiláteros e hexágonos regulares e também com dois polígonos regulares diferentes entre si, situação na qual são exploradas as somas das medidas de abertura de ângulos externos de polígonos diferentes.

Orientações

• Nesta seção, os estudantes utilizarão um software de Geometria dinâmica para construir mosaicos usando apenas polígonos regulares. Em Construa, eles deverão construir mosaicos de quadrados, triângulos equiláteros, hexágonos regulares e um composto de polígonos regulares diferentes. Os mosaicos, além de ser uma fonte de exploração de conceitos geométricos, também possuem função artística. Atividades como essa, em que os estudantes utilizam tecnologias digitais para produzir conhecimento, contribuem para que eles exerçam protagonismo, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 5 da Bê êne cê cê.

• Comente com os estudantes que, na construção de um polígono regular, a ordem de seleção dos vértices determina o lado em que o polígono será construído. Caso um polígono se sobreponha a outro, oriente-os a desfazer a construção do polígono sobreposto e, então, modificar a ordem de seleção dos vértices.

Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de fórma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

(ê éfe zero sete ême ah dois sete) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

Página 210

▶ Informática e Matemática

Mosaico composto de dois polígonos regulares diferentes

Para compor um mosaico, também podemos combinar dois ou mais polígonos regulares. Siga os passos a seguir e construa um mosaico formado por octógonos regulares e quadrados.

1º) A partir de dois pontos quaisquer, construa um octógono regular.

2º) Selecione dois vértices consecutivos do octógono regular construído e faça um quadrado.

3º) Alterne a construção de octógonos e quadrados seguindo o padrão mostrado no mosaico aqui representado até formar o mosaico desejado.

investigue

Faça o que se pede utilizando as ferramentas do software.

a) Movimente os pontos móveis dos mosaicos construídos, mudando a medida de comprimento de seus lados. O que aconteceu com as medidas de abertura dos ângulos internos dos polígonos quando modificamos as medidas de comprimento dos lados dos polígonos?

b) Se, em um dos três primeiros mosaicos construídos, escolhermos um vértice de um polígono cercado por polígonos em toda a sua volta, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos dos polígonos ao redor desse vértice será 360graus.

Ilustração. Quadrado maior dividido em quatro quadrados menores. No centro, nos pontos de encontro dos quadrados menores, o ponto está circulado de verde. Ilustração. Hexágono regular dividido em seis triângulos congruentes. No centro, nos pontos de encontro dos triângulos, o ponto está circulado de verde. Ilustração. Malha formada por hexágonos regulares. No centro, nos pontos de encontro dos hexágonos, o ponto está circulado de verde.

• Considerando essa informação, é possível determinar as medidas de abertura dos ângulos internos desses polígonos. Calcule a medida de abertura do ângulo interno do triângulo equilátero e do hexágono regular.

c) Observe o mosaico construído com octógonos regulares e quadrados.

Ilustração. Mosaico formado por hexágonos e quadrados.

• Como podemos descobrir a medida de abertura do ângulo interno do octógono regular? Qual é essa medida?

Respostas e comentários

Investigue: a) As medidas de abertura dos ângulos internos dos polígonos regulares não mudaram.; b) triângulo equilátero: 60graus; hexágono regular: 120graus; c) Resposta em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• De modo geral, os softwares de Geometria dinâmica permitem que as cores dos polígonos sejam modificadas. Peça aos estudantes que pintem alguns polígonos e variem as formas utilizadas para obter diferentes padrões de mosaicos.

• Em Investigue, os estudantes deverão calcular as medidas de abertura dos ângulos internos de alguns polígonos regulares sem o uso de fórmulas. Para isso, deverão fazer uso das ferramentas do software e analisar a figura construída. Atividades como essa, em que a tecnologia digital é utilizada para resolver problemas ou investigar propriedades, contribuem para o desenvolvimento da competência específica 5 da Bê êne cê cê.

• No item c, espera-se que os estudantes percebam que, se escolhermos um vértice do mosaico, teremos ao seu redor dois octógonos e um quadrado. Como a abertura do ângulo interno de um quadrado mede 90graus, a medida de abertura dos dois ângulos do octógono é 360graus ‒ 90graus, que é igual a 270graus. Então, para descobrir a medida de abertura de um ângulo interno do octógono, basta obter a metade de 270graus, que é 135graus.

Página 211

2 Circunferência e círculo

Observe a fotografia.

Fotografia. Atleta de ginástica rítmica de cabelo preto e roupa colorida está com os braços para o lado e o tronco abaixado para frente, a cabeça está dentro de um bambolê, apoiado em seu pescoço. — Rut Castillo, do México, durante competição de ginástica rítmica nos Jogos Olímpicos de Tóquio, Japão, 2021.

O bambolê usado pela ginasta lembra qual figura geométrica?

Em nosso dia a dia, percebemos a presença de formas circulares em vários objetos. O bambolê é um exemplo de objeto que lembra uma circunferência.

Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma medida de distância de um ponto fixo desse plano. O ponto fixo é chamado centro da circunferência.

Na figura a seguir, por exemplo, a linha verde representa uma circunferência cujo centro é o ponto óh, e a distância desse ponto a qualquer ponto da circunferência mede 1,5 centímetro de comprimento.

Ilustração. Circunferência, em verde, no centro há o ponto O. Quatro segmentos traçados, cada um medindo 1,5 centímetro, começam no ponto O e tocam a circunferência.

Na foto a seguir, a parte azul da roda-gigante em que as cabines estão presas lembra uma circunferência. Note que a medida da distância entre o centro da roda e qualquer ponto dessa parte azul é a mesma.

Fotografia. Roda-gigante com cabines coloridas. Ao fundo, árvores e o céu azul. — Roda-gigante.

Para traçar uma circunferência, podemos contornar objetos circulares, utilizar fios e linhas ou usar um compasso.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Ilustração. Três garotas desenhando circunferências. Uma das meninas é loira e usa uma blusa roxa, outra é negra e usa uma blusa amarela, a última parece ser oriental e usa uma blusa verde. A garota loira está usando um pote para desenhar a circunferência. A garota negra está usando um lápis amarrado em uma haste para desenhar a circunferência. A última garota está usando um compasso para desenhar a circunferência.

Orientações e sugestões didáticas

Circunferência e círculo

Objetivos

• Distinguir os conceitos de circunferência e círculo.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero sete ême ah dois dois e ê éfe zero sete ême ah três três.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah dois dois porque os estudantes deverão construir circunferências utilizando o compasso e reconhecê-las como lugar geométrico. Já a habilidade ê éfe zero sete ême ah três três tem seu desenvolvimento favorecido porque os estudantes deverão estabelecer o número π como a razão entre as medidas de comprimento de uma circunferência e de seu diâmetro.

Orientações

• Antes de iniciar o tópico, explore os conhecimentos prévios dos estudantes sobre o termo “circunferência”.

• Peça aos estudantes que construam circunferências contornando objetos circulares com fios e linhas e, também, usando o compasso. Nas circunferências construídas com compasso, peça que meçam a distância do centro a alguns pontos delas. A ideia é que eles verifiquem, antes da formalização, que a circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão a uma mesma medida de distância de um ponto fixo desse plano. Em propostas como esta, que indicam o uso do compasso, alerte os estudantes sobre o cuidado em seu manuseio, a fim de evitar acidentes.

(ê éfe zero sete ême ah dois dois) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

(ê éfe zero sete ême ah três três) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

Página 212

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Raio e diâmetro de uma circunferência

Qualquer segmento de reta cujas extremidades são o centro e um ponto qualquer da circunferência chama-se raio da circunferência.

Qualquer segmento de reta que tem as duas extremidades na circunferência e que passa pelo seu centro chama-se diâmetro.

Na circunferência representada:

Ilustração. Circunferência de centro O, em marrom. Na circunferência, há os pontos P, F, M e A. O diâmetro traçado é FA e o raio OA mede 2 centímetros.

• óh é o centro;

• a, F, P e M são alguns pontos da circunferência;

•

\overline{A O}

é um raio;

•

\overline{F A}

é um diâmetro.

O comprimento do raio dessa circunferência mede 2 centímetros e o comprimento do diâmetro mede 4 centímetros.

Comprimento de uma circunferência

Camila desenhou três circunferências usando um compasso e indicou a medida de comprimento de seus diâmetros.

Ilustração. Circunferência, em azul. Traçado o diâmetro que mede cinco centímetros. Ilustração. Circunferência, em laranja. Traçado o diâmetro que mede dez centímetros. Ilustração. Circunferência, em verde. Traçado o diâmetro que mede quinze centímetros.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Ilustração. Garota branca de cabelo castanho e blusa azul sentada de frente para uma mesa recortando círculos com uma tesoura.

Em seguida, ela colocou uma linha sobre o contorno de cada circunferência e, depois, mediu o comprimento aproximado de cada linha.

A medida do comprimento de cada linha corresponde à medida do comprimento da circunferência. Considere as medidas aproximadas dos comprimentos das circunferências C₁, C₂ e C₃ que Camila obteve ao medir o comprimento das linhas.

C₁

Esquema. Seta azul apontando para ilustração de um segmento de reta azul com indicação de 15,7 centímetros de medida de comprimento.

C₂

Esquema. Seta azul apontando para ilustração de um segmento de reta laranja com indicação de 31,5 centímetros de medida de comprimento.

C₃

Esquema. Seta azul apontando para ilustração de um segmento de reta verde com indicação de 47 centímetros de medida de comprimento.

Observe os valores que Camila obteve ao calcular o quociente entre a medida aproximada do comprimento de cada circunferência e a medida do diâmetro correspondente.

C₁:

\frac{15, 7}{5}

= 3,14 C₂:

\frac{31, 5}{10}

= 3,15 C₃:

\frac{47}{15}

= 3,1333reticências

Como é possível perceber, os valores obtidos por Camila nesses quocientes estão próximos de 3,14.

Orientações e sugestões didáticas

• Proponha aos estudantes que reproduzam o experimento feito por Camila e tenham a oportunidade de verificar na prática que o quociente entre a medida aproximada do comprimento da circunferência e a medida de comprimento do diâmetro correspondente é próximo de 3,14. Neste experimento, acompanhe o processo e certifique-se de que eles manuseiam os compassos com cuidado.

Página 213

Os números próximos de 3,14 que Camila obteve ao dividir as medidas dos comprimentos das circunferências pelas medidas dos comprimentos dos diâmetros correspondentes, na mesma unidade, são aproximações de um número não racional chamado pi (representado pela letra grega π).

π = 3,14159265reticências

Observação

O número π não é racional porque tem infinitas casas decimais e não tem parte periódica.

Transcrição do áudio

Uma breve história do pi

Duração: 3:04min. Página: 213.

>> [LOCUTOR] Uma breve história do pi

Música de fundo.

>> [LOCUTOR] Quando nossos antepassados começaram a observar o mundo ao seu redor com maior atenção, acabaram fazendo algumas relações entre objetos da natureza e objetos da Matemática, como as formas geométricas, por exemplo.

>> [LOCUTOR] Quando jogamos uma pedra num lago, vemos que se formam ondulações semelhantes a várias circunferências de diferentes tamanhos e com um centro em comum.

>> [LOCUTOR] Enfim, além de notarmos alguns padrões na natureza e de fazermos essas relações com círculos e circunferências, em um momento da nossa existência resolvemos estudar esses objetos.

>> [LOCUTOR] No caso da circunferência, que é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma distância de um ponto fixo desse plano, nós nos perguntamos:

>> [LOCUTOR] Será que existe alguma relação entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro?

>> [LOCUTOR] Temos conhecimento, por meio de registros históricos, de que civilizações antigas, como a egípcia, por exemplo, já sabiam que o quociente entre a medida do comprimento da circunferência e a medida do seu diâmetro era constante.

>> [LOCUTOR] O mais impressionante é que, qualquer que fosse o tamanho da circunferência, o quociente era sempre o mesmo, uma constante muito próxima de 3.

>> [LOCUTOR] Por volta de 287 a.C., nascia em Siracusa, na atual Sicília, região da Itália, um dos maiores matemáticos de todos os tempos, chamado Arquimedes.

>> [LOCUTOR] Ele foi o primeiro a encontrar, matematicamente, um número muito próximo de pi, algo entre 223 71 avos e 22 sétimos.

>> [LOCUTOR] No final do século V, o chinês TsuCh’ung-Chih, chegou a um valor ainda mais preciso que o de Arquimedes, um número próximo de 3,1415926.

>> [LOCUTOR] Percebeu-se mais tarde, que o número pi não é racional porque tem infinitas casas decimais e não tem parte periódica.

>> [LOCUTOR] Mais de 1500 anos depois, em 2010, com a ajuda de um computador, um engenheiro japonês conseguiu calcular o valor de pi com 5 trilhões de casas decimais!

>> [LOCUTOR] Sua máquina demorou três meses ininterruptos para efetuar o cálculo.

>> [LOCUTOR] E, hoje, você está aqui aprendendo um pouco mais sobre a história do pi.

>> [LOCUTOR] O tempo passa, e a nossa curiosidade sobre esse número permanece.

Música de fundo.

O áudio inserido neste conteúdo é da Incompetech.

Círculo

A figura geométrica formada por uma circunferência e sua região interna chama-se círculo.

Ilustração. Circunferência, em verde. Ilustração. Circunferência tracejada em verde, a região interna esta pintada de verde. Ilustração: Circulo, em verde.

É preciso prestar atenção para não confundir circunferência com círculo.

Observe alguns objetos que lembram círculos.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Fotografia. Placa de sinalização de trânsito proibindo estacionar. Placa circular com fundo branco e borda vermelha com a letra E no centro, uma linha diagonal vermelha está sobre a letra E. — Placa “proibido estacionar”.

Fotografia. Moeda de 1 real. A borda é dourada e o centro é prateado. — Moeda de 1 real.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. No caderno, classifique os segmentos considerando que o centro da circunferência é o ponto óh.

Ilustração. Circunferência, em roxo. No centro, o ponto O. Na circunferência, há os pontos A, B, C, D e E. Traçados os segmentos OA, OB, OC e OD. Traçado o segmento BD que passa pelo o ponto O.

a)

\overline{O C}

b)

\overline{O A}

c)

\overline{B D}

d)

\overline{O E}

e)

\overline{C E}

f)

\overline{O D}

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

2. Com um compasso, construa uma circunferência de centro óh e diâmetro com medida de comprimento igual a 4 centímetros. Depois, faça o que se pede.

a) Trace um raio

\overline{A O}

e um diâmetro

\overline{A B}

.

b) Determine a medida de comprimento dessa circunferência.

•

Converse com um colega e verifique se vocês determinaram a medida de comprimento da circunferência do mesmo modo.

Respostas e comentários

1. a) raio

1. b) raio

1. c) diâmetro

1. d) raio

1. e) diâmetro

1. f) raio

2. Respostas em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• É importante que os estudantes percebam a diferença entre circunferência e círculo – o círculo constitui a região compreendida pela circunferência e sua região interna.

• Exemplo de resposta do item a da atividade 2:

Ilustração. Circunferência, em preto. No centro da circunferência o ponto O, nas extremidade os pontos A e o ponto B oposto a A. Traçado o diâmetro AB que passo por O medindo 4 cm, A distância A a O é igual a 2 cm e a distância de O a B é igual a 2 cm.

• No item b, espera-se que os estudantes encontrem um valor próximo de 12,56 centímetros para a medida de comprimento dessa circunferência. É importante que eles determinem essa medida como preferirem, mas, ao final, formalize dizendo que, se soubermos que a razão entre as medidas de comprimento da circunferência e do diâmetro mede aproximadamente 3,14, poderemos escrever

\frac{C}{D}

= 3,14 e resolver a equação

\frac{C}{4}

= 3,14 para encontrar a medida desse comprimento.

• Em propostas de trabalho em conjunto como esta, incentive os estudantes a desenvolverem a capacidade argumentativa, ao expressarem a fórma como determinaram a medida de comprimento da circunferência. Nessa conversa, é essencial que haja respeito e empatia para compreender o modo como o colega realizou a mesma tarefa.

• Ao usar o compasso, alerte-os a respeito de eventuais riscos, a fim de preservar a integridade física dos estudantes.

Página 214

3. Considere que

\overline{C B}

é um diâmetro da circunferência a seguir e que A é um ponto qualquer dessa circunferência diferente de B e de C.

Ilustração. Circunferência, em laranja. No centro, o ponto O. Na circunferência estão os pontos A, B e C. O ponto B é oposto a C. Traçado o segmento CB

a) Podemos afirmar que os pontos a, óh e B determinam um triângulo isósceles? Por quê?

b) Podemos afirmar que os pontos a, B e C determinam um triângulo isósceles? Por quê?

4. Observe os pares de circunferências a seguir e determine se elas têm algum ponto em comum.

a)

Ilustração. Duas circunferências com o mesmo centro. A circunferência em verde e maior que a circunferência em laranja

b)

Ilustração. Uma circunferência menor laranja à esquerda encostada em uma circunferência maior verde à direita.

c)

Ilustração. Duas circunferências afastadas. Circunferência laranja menor que a circunferência verde.

d)

Ilustração. Duas circunferências, uma verde maior, outra laranja menor. Uma está se sobrepondo a uma parte da outra.

Versão adaptada acessível

4. Represente o que se pede em cada item.

a) Duas circunferências que não têm ponto em comum.

b) Duas circunferências que têm um ponto em comum.

c) Duas circunferências que têm dois pontos em comum.

Orientação para acessibilidade

Resposta

a) Exemplo de resposta: circunferências do item c da atividade não adaptada.

b) Exemplo de resposta: circunferências do item b da atividade não adaptada.

c) Exemplo de resposta: circunferências do item d da atividade não adaptada.

Se achar oportuno ofereça material concreto para a realização da atividade.

5. Podemos dividir o círculo em partes chamadas setores circulares. Observe o círculo a seguir, de centro óh, dividido em três setores circulares.

Ilustração. Círculo vermelho claro. No centro, o ponto O, traçados três segmentos que começam no ponto B e terminam na borda do circulo criando três setores circulares. O menor setor representa um oitavo do círculo, outro setor representa um quarto do círculo e o último representa o restante do círculo. Ilustração. Círculo em vermelho claro. Os três setores circulares estão separados.

Agora, observe os setores circulares destacados em cada item e associe-os a partes de giros e medidas de aberturas de ângulos.

a)

Ilustração. Círculo tracejado, um quarto do círculo está pintado de laranja.

b)

Ilustração. Círculo tracejado, a metade do círculo está pintada de laranja.

c)

Ilustração. Círculo tracejado, três quartos do círculo estão pintados de laranja.

6. Em uma fábrica de rodas para bicicletas, essas peças são embaladas em caixas.

Ilustração. Homem branco de bigode, cabelo preto e blusa azul está de frente para uma caixa segurando uma roda de bicicleta. Ao lado, carrinho com uma caixa.

Desprezando a espessura da caixa, responda às questões.

a) Se o raio de uma roda medir 17 centímetros de comprimento, qual deverá ser, no mínimo, a medida do comprimento da caixa?

b) Se o comprimento da caixa medir 62 centímetros, qual será a medida máxima do comprimento do raio da roda que a caixa comportará?

7. Míriam está fazendo uma toalha circular e quer aplicar renda em seu contorno. Qual medida de comprimento da renda, em metro, Míriam deverá usar se o diâmetro da toalha mede 1,5 métro de comprimento?

Respostas e comentários

3. a) Sim, pois

\overline{O A}

e

\overline{O B}

são raios e, portanto, têm a mesma medida de comprimento.

3. b) Não, pois A bê ≠ BC e á cê ≠ BC e por isso não podemos afirmar que

\overline{A B}

e

\overline{A C}

têm a mesma medida de comprimento.

4. a) Não têm pontos em comum.

4. b) Têm um ponto em comum.

4. c) Não têm pontos em comum.

4. d) Têm dois pontos em comum.

5. a) giro de um quarto de volta ou ângulo cuja abertura mede 90graus

5. b) giro de meia-volta ou ângulo cuja abertura mede 180graus (ângulo raso)

5. c) giro de três quartos de volta ou ângulo cuja abertura mede 270graus

6. a) 34 centímetros

6. b) 31 centímetros

7. aproximadamente 4,71 métros

Orientações e sugestões didáticas

• Para realizar a atividade 6, os estudantes deverão mobilizar a ideia de circunferência como lugar geométrico e a relação entre as medidas de comprimento do raio e do diâmetro de uma circunferência. Esse pode ser o momento oportuno para avaliar se eles têm alguma dúvida.

Página 215

Trabalho em equipe

faça as atividades no caderno

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Criando obra de arte

Você já percebeu como a Geometria influencia a arte? Muitos artistas a estudam profundamente para criar suas obras. Agora, você vai conhecer duas pinturas do Cubismo e criar sua própria obra de arte. No Cubismo, os artistas usavam formas geométricas para mostrar que tudo o que existia no mundo real podia ser fragmentado.

Justificativa

O contato com obras de arte amplia o universo cultural.

Objetivo

Criar uma obra de arte com figuras geométricas estudadas neste capítulo.

MATERIAL NECESSÁRIO

• uma folha de cartolina;

• revistas, embalagens flexíveis ou papéis coloridos para recortar;

• tesoura com pontas arredondadas;

• cola branca;

• caneta hidrográfica preta ou outro tipo de caneta preta de ponta porosa.

Procedimento

• Reúna-se com três colegas e elaborem um trabalho de colagem. Para isso, vocês podem fazer um desenho na cartolina que será coberto com os recortes.

• Recortem diversas figuras geométricas planas nas formas e nos tamanhos que preferirem.

• Colem os recortes na cartolina preenchendo o espaço interno do desenho feito e, depois, contornem a figura com a caneta preta.

APRESENTAÇÃO

• Os trabalhos podem ser expostos na sala de aula ou em painéis na escola.

Pintura abstrata retratando jogadores de xadrez. As formas da pintura são linhas escuras e ondulações em tons de verde, bege, marrom e amarelo. — Marcel diuchomp. Retrato de jogadores de xadrez, 1911, óleo sobre tela, 100,6 centímetros × 100,5 centímetros.

Pintura abstrata representando natureza morta: a mesa.
No centro, há uma forma oval em tons de laranja e marrom. No fundo, formas retas em tom de azul. — Juan Gris. Natureza morta: a mesa, 1914, colagem e carvão sobre tela, 59,7 centímetros × 44,5 centímetros.

Orientações e sugestões didáticas

Trabalho em equipe

Objetivos

• Aplicar, por meio de trabalhos em grupo, os conceitos estudados.

• Favorecer o desenvolvimento das competências gerais 3, 4 e 9 e da habilidade ê éfe zero sete ême ah dois dois da Bê êne cê cê.

Habillidade da Bê êne cê cê

• Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah dois dois porque os estudantes farão composições artísticas com as figuras geométricas estudadas neste capítulo.

Orientações

• O trabalho proposto pode ser explorado em conjunto com o professor de Arte. Assim, ambos poderão orientar os estudantes sobre os conceitos artísticos envolvidos e o modo de desenvolver o trabalho. Essa relação entre Matemática e Arte favorece o desenvolvimento da competência geral 3 da Bê êne cê cê e a utilização da linguagem artística para expressar experiências, informações, ideias e sentimentos favorece o desenvolvimento da competência geral 4.

• Oriente os estudantes a contornar as figuras com a caneta preta somente depois que a cola secar.

• Comente com eles que no Brasil há muitos artistas talentosos em todas as áreas da cultura. Porém, muitos desses artistas ainda são desconhecidos do público geral.

• A organização da exposição é uma etapa muito importante nesse trabalho; ela permitirá aos estudantes se envolver com questões relativas à gestão de tempo, de material e de pessoas, o que servirá para o desenvolvimento de atitudes relativas à liderança e ao trabalho em grupo. Isso ficará claro ao terem de decidir o desenho a ser feito, muitos as cores dos recortes, como os recortes serão colados e de que modo as tarefas serão divididas entre os componentes do grupo. Nessa atividade, a competência geral 9 da Bê êne cê cê é favorecida.

• Oriente os estudantes para terem cuidado com o manuseio de material perfurocortante para a realização do trabalho proposto, a fim de que evitem acidentes.

(ê éfe zero sete ême ah dois dois) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Página 216

Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Construção de gráficos de setores

Uma pesquisa realizada em março de 2023 na escola de futebol Golaço revelou os times pelos quais os estudantes torcem. O resultado dessa pesquisa está apresentado na tabela a seguir.

Times pelos quais os estudantes torcem
Time	Porcentagem de estudantes
Internacional	50%
Grêmio	25%
Juventude	12,5%
Caxias	12,5%

Dados obtidos pela escola de futebol golaço em março de 2023.

Para construir o gráfico de setores referente a essa pesquisa, precisamos determinar a medida de abertura do ângulo associado a cada setor correspondente aos dados da tabela.

Como o círculo corresponde ao total de torcedores, associamos o ângulo de medida de abertura igual a 360graus a 100% dos estudantes que responderam à pesquisa. Com base nessa informação, podemos obter a medida de abertura do ângulo associado ao setor correspondente a cada dado apresentado na tabela.

Internacional

Vamos determinar 50% de 360graus:

\frac{50}{100} \cdot 360 ° = \frac{1}{2} \cdot 360 ° = 180 °

Grêmio

Vamos determinar 25% de 360graus:

\frac{25}{100} \cdot 360 ° = \frac{1}{4} \cdot 360 ° = 90 °

Juventude

Vamos determinar 12,5% de 360graus:

\frac{12, 5}{100} \cdot 360 ° = \frac{125}{1000} \cdot 360 ° = \frac{1}{8} \cdot 360 ° = 45 °

Caxias

Vamos determinar 12,5% de 360graus:

\frac{12, 5}{100} \cdot 360 ° = \frac{125}{1000} \cdot 360 ° = \frac{1}{8} \cdot 360 ° = 45 °

Ilustração. Menina branca de óculos, cabelo preto, camisa vermelha, calção branco e chuteiras. Ela está com um pé sobre uma bola de futebol e fala: Cada porcentagem está relacionada a um setor com determinada medida de abertura de ângulo do círculo. Por exemplo, a porcentagem de torcedores do Internacional está associada a um setor com ângulo de medida de abertura igual a 180°.

Orientações e sugestões didáticas

Estatística e Probabilidade

Objetivos

• Construir gráficos de setores.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero sete ême ah três sete.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah três sete porque os estudantes construirão gráficos de setores para depois interpretá-los e analisá-los.

Orientações

• O tema desta seção é a construção de gráficos de setores com base em dados representados em tabelas. Comente com a turma que, nesse tipo de gráfico, os dados quando adicionados compõem o todo de determinado aspecto da realidade, e que esse gráfico é útil para fazer comparações entre as partes e de cada uma delas com o todo.

• Diga aos estudantes que, em alguns casos, o cálculo da porcentagem fica aproximado quando representado no gráfico, pois, ao desenharmos o ângulo do setor circular usando o transferidor, há uma imprecisão nos casos em que a medida de abertura do ângulo é muito pequena.

(ê éfe zero sete ême ah três sete) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

Página 217

Portanto, o círculo deverá ser dividido em 4 setores com as seguintes medidas de abertura: um de 180graus, um de 90graus e dois de 45graus. Depois, cada setor deve ser pintado com uma cor diferente.

Gráfico de setores colorido. Título: Times pelos quais os estudantes torcem.
Setor vermelho, ângulo de 180 graus, representa 50% e corresponde ao Internacional. Setor amarelo, ângulo de 90 graus, representa 25% e corresponde ao Grêmio. Setor azul, ângulo de 45 graus, representa 25% e corresponde ao Juventude. Setor verde, ângulo de 45 graus, representa 25% e corresponde ao Caxias.

Dados obtidos pela escola de futebol Golaço em março de 2023.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Uma pesquisa realizada em 2019 pelo Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovação analisou a opinião dos entrevistados sobre os investimentos em pesquisa científica e tecnológica no Brasil.

Observe, na tabela a seguir, os dados dessa pesquisa e, depois, faça o que se pede.

Investimentos em pesquisas científicas e tecnológicas no Brasil
Classificação	Porcentagem de entrevistados
Aumentar os investimentos	66%
Manter os investimentos	24%
Diminuir os investimentos	6%
Não sabe/não respondeu	4%

Fonte: PORTAL DA USP. Maioria dos brasileiros é otimista em relação à ciência e tecnologia. Jornal da USP, São Paulo, 23 julho. 2019. Disponível em: https://oeds.link/OIlzA0. Acesso em: 9 agosto 2022.

a) Qual é a soma das porcentagens da tabela?

b) Em um gráfico de setores construído com base nessa tabela, qual classificação representará o maior setor?

c) Com base nesses dados, construa um gráfico de setores. Não se esqueça de informar o título e a fonte dos dados.

d) Se você fizesse parte da pesquisa, qual seria a sua resposta?

Respostas e comentários

1. a) 100%

1. b) Aumentar os investimentos.

1. c) Resposta em Orientações.

1. d) Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Aproveite a situação apresentada na atividade 1 para verificar a relação que os estudantes têm com a tecnologia. Questione-os sobre os lugares em que fazemos uso da tecnologia.

• Resposta do item c da atividade 1:

Gráfico de setores colorido. Título: INVESTIMENTOS EM PESQUISAS CIENTÍFICAS E TECNOLÓGICAS. Os dados de cada setor são: 66%: aumentar os investimentos, setor verde. 24%: manter os investimentos, setor laranja. 6%: diminuir os investimentos, setor vermelho. 4%: não sabe/não respondeu, setor azul.

Fonte: PORTAL DA USP. Maioria dos brasileiros é otimista em relação à ciência e tecnologia. Jornal da USP, São Paulo, 23 julho 2019. Disponível em: https://oeds.link/OIlzA0. Acesso em: 9 agosto 2022.

• Ao usar o compasso para a construção do gráfico de setores, oriente os estudantes a terem cuidado com seu manuseio, a fim de manter sua integridade física.

Página 218

▶ Estatística e Probabilidade

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

2. A tabela a seguir apresenta a distribuição do consumo de água no mundo.

Consumo de água no mundo
Tipo	Porcentagem
Agrícola	69%
Industrial	19%
Outros	12%

Fonte dos dados: KONCAGÜL, E. TRAN, M. CONNOR, R. Relatório mundial das Nações Unidas sobre desenvolvimento dos recursos hídricos 2021: o valor da água; fatos e dados. [S. l.]: Unesco, 2021. Disponível em: https://oeds.link/DA5aML. Acesso em: 9 ago. 2022.

• Com base nos dados da tabela e usando compasso e transferidor, construa um gráfico de setores em uma folha de papel sulfite após responder às questões a seguir.

a) Qual será o título do gráfico? E a fonte?

b)

Qual deve ser a medida de abertura do ângulo do setor circular que representará a porcentagem do consumo agrícola? E a medida de abertura do ângulo do setor circular que representará o consumo industrial?

Ilustração. Plantação. À frente, menino de cabelo preto, blusa verde e bermuda azul fala: Calcule a medida de abertura do ângulo de cada setor circular. Lembre-se de que o círculo todo mede 360º.

c) Qual é a soma das porcentagens apresentadas na tabela?

d) Como podemos calcular a medida de abertura do ângulo do setor circular associado a outros consumos usando os resultados obtidos no item b?

3. Leia o texto e analise os dados da tabela.

Ilustração. Papel amarelo com o texto: Cuidado ao abrir os e-mails que chegam à sua caixa de entrada. Os e-mails indesejados podem ser spams publicitários, tentativas de roubar dados pessoais ou até e-mails que espalham vírus nos computadores. De acordo com uma análise feita no primeiro trimestre de 2020, quase 55% dos e-mails enviados no mundo naquele período continham spams.

De onde saem os spams que vão parar no seu e-mail
País	Porcentagem de spams
China	5,2%
Estados Unidos	9,6%
Alemanha	9,4%
França	6,3%
Rússia	20,7%
Vietnã	2,6%
Índia	2,2%

Fonte dos dados: SHCHERBAKOVA, T.; SIDORINA, T.; KULIKOVA, T. Spam and phishing in Q1 2020. SecureList, [Sulpontolesteponto], 26 may 2020. Disponível em: https://oeds.link/zhLDEF. Acesso em: 8 agosto2022.

a) A soma das porcentagens indicadas na tabela é igual a 100%? Em caso negativo, quanto falta para 100%?

b) Em uma folha de papel sulfite e usando compasso e transferidor, construa um gráfico de setores com os dados da tabela. Identifique com a palavra Outros o setor que falta para completar o círculo.

Ilustração. Quadro retangular com o texto: Para construir o gráfico, calcule, antes, as medidas de abertura aproximadas do ângulo de cada setor que representa os dados da tabela.

Respostas e comentários

2. a) Resposta em Orientações.

2. b) 248,4graus; 68,4graus

2. c) 100%

2. d) Subtraindo (248,4 + 68,4) de 360º, obtemos 43,2graus.

3. a) Não; faltam 44%.

3. b) Resposta em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Resposta da atividade 2:

Gráfico de setores colorido. Título: CONSUMO DE ÁGUA NO MUNDO. Os dados de cada setor são: agrícola: 69%, setor azul claro. Industrial: 19%, setor azul escuro. Outros: 12%, setor amarelo.

Fonte dos dados: KONCAGÜL, E. TRAN, M. CONNOR, R. Relatório mundial das Nações Unidas sobre desenvolvimento dos recursos hídricos 2021: o valor da água; fatos e dados. [sem local]: Unesco, 2021. Disponível em: https://oeds.link/MQa4fW. Acesso em: 9 agosto 2022.

• No item a da atividade 2, os estudantes devem responder que o título do gráfico é “Consumo de água no mundo” e a fonte dos dados é o Relatório mundial das Nações Unidas sobre desenvolvimento de recursos hídricos 2021: o valor da água; fatos e dados, publicado pela Unesco.

• Resposta do item b da atividade 3:

Gráfico de setores colorido. Título: DE ONDE SAEM OS SPAMS QUE VÃO PARAR NO SEU E-MAIL. Os dados de cada setor são: Rússia: 20,7%, setor verde escuro. Estados Unidos: 9,6%, setor verde claro. Alemanha: 9,4%, setor laranja. França: 6,3%, setor vermelho. China: 5,2%, setor lilás. Vietnã: 2,6%, setor roxo. Índia: 2,2%, setor azul claro. Outros: 44%, setor cinza.

Fonte dos dados: SHCHERBAKOVA, T.; SIDORINA, T.; KULIKOVA, T. Spam and phishing in Q1 2020. SecureList, [sem local], 26 may 2020. Disponível em: https://oeds.link/zhLDEF. Acesso em: 8 agosto2022.

• Ao usar o compasso para a construção dos gráficos de setores, oriente os estudantes a terem cuidado com seu manuseio, a fim de manter sua integridade física.

Página 219

Atenção! Cuidado ao usar o compasso e a tesoura.

Ilustração. Ícone. Caderno na
vertical com um lápis.

Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Calcule a medida de x e de y em cada caso.

a)

Ilustração: Trapézio. Destaque para os ângulos internos com as medidas x, x, 50 graus e y; ângulos externos 50 graus e 130 graus que são adjacente a x e y, respectivamente.

b)

Ilustração. Hexágono convexo. Destaque para os ângulos internos: x+15 graus, y, x, y ,y, x; os ângulos externos 55 graus, 70 graus e x-55 graus são adjacentes aos ângulos x+15 graus, x e y, respectivamente.

2.

(enêm) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a fórma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras.

Ilustração. Figura composta por 4 linhas e 4 colunas de ladrilhos na cor azul. Cada ladrilho tem uma forma oval com duas retas perpendiculares. — Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano

Ilustração. três heptágonos iguais e um diferente com um lado sobreposto. — Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição)

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos.

Nome	Triângulo	Quadrado	Pentágono
Figura
Ângulo interno	60°	90°	108°

Nome	Hexágono	Octógono	Eneágono
Figura
Ângulo interno	120°	135°	140°

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a fórma de um

a) triângulo.

b) quadrado.

c) pentágono.

d) hexágono.

e) eneágono.

3. Observe a ilustração da circunferência de centro óh. Depois, transcreva no caderno apenas as afirmações verdadeiras.

Ilustração. Circunferência, em azul. No centro, o ponto O. Na circunferência, há os ponto E e D, que são opostos, os pontos B e C que são opostos e os pontos D e F que são opostos;

traçados o segmento ED, o segmento DC e o segmento DF;

Segmento ED é paralelo ao segmento DC;

Os segmento BC e DF passam pelo ponto O.

a) O segmento

\overline{E D}

é raio da circunferência.

b) Os segmentos

\overline{B C} e \overline{F D}

são diâmetros da circunferência.

c) A medida de comprimento do diâmetro é a metade da medida de comprimento do raio.

d) O é um ponto da circunferência.

e) A medida de comprimento do raio é igual à metade da medida de comprimento do diâmetro.

4. Com um compasso ou usando objetos de formato circular, trace circunferências.

a) Marque o centro de cada circunferência.

b) Com uma régua, meça o comprimento dos raios das circunferências.

c)

Reúna-se com um colega e troquem ideias sobre como traçaram as circunferências e identificaram os raios.

5. Em uma folha de papel, desenhe uma circunferência qualquer e pinte o círculo determinado por ela. Depois, responda às questões e faça o que se pede.

a) O centro da circunferência é um ponto do círculo? É um ponto da circunferência?

b) Os pontos da circunferência fazem parte do círculo?

c) Recorte o círculo que você desenhou e faça experiências com dobras para descobrir quantos eixos de simetria ele tem.

Ilustração. À esquerda, menina branca de cabelos loiros e camiseta rosa desenha uma circunferência com um compasso em uma folha. À frente dela, menino branco de cabelo preto e blusa azul pinta um círculo em uma folha.

Respostas e comentários

1. a) x = 130graus; y = 50graus

1. b) x = 110graus; y = 125graus

2. alternativa b

3. alternativas b e e

4. Respostas pessoais.

5. a) sim; não

5. b) sim

5. c) Espera-se que os estudantes percebam que há infinitos eixos de simetria.

Orientações e sugestões didáticas

Atividades de revisão

Objetivos

• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do capítulo.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero sete ême ah dois dois, ê éfe zero sete ême ah dois sete e ê éfe zero sete ême ah três três, da competência geral 3 e da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• A habilidade ê éfe zero sete ême ah dois dois é desenvolvida nesta seção por meio da resolução das atividades 3, 4, 5, 6 e 7.

• A habilidade ê éfe zero sete ême ah dois sete é desenvolvida nesta seção por meio da resolução das atividades 1 e 2.

• A habilidade ê éfe zero sete ême ah três três é desenvolvida nesta seção por meio da resolução da atividade 8.

Orientações

• Para encontrar o centro das circunferências da atividade 4, os estudantes podem recorrer à experimentação, traçando segmentos entre dois pontos da circunferência até obter o maior possível. Usando técnicas de desenho geométrico, procede-se da seguinte fórma: traça-se um segmento qualquer ligando dois pontos da circunferência, a e B; depois, determina-se o ponto médio M do segmento

\overline{A B}

e, por M, traça-se uma reta perpendicular a esse segmento, que corta a circunferência nos pontos C e D. Assim,

\overline{C D}

é um diâmetro da circunferência, e o centro da circunferência é o ponto médio O desse segmento. Encontrando o diâmetro, encontra-se o raio da circunferência.

Ilustração. Circunferência, em preto. No centro, ponto O. Na circunferência, há os pontos A,B,C e D; Os pontos A e B são opostos um ao outro; Os pontos C e D são opostos um ao outro; Traçados os segmentos tracejados AB e o segmento CD, que passa pelo ponto O, a intersecção entre os segmentos é o ponto M; Traçado um diâmetro tracejado que passa pelo ponto O e é paralelo ao segmento AB

• Ao usar o compasso na realização das atividades, oriente os estudantes a manuseá-lo com cuidado, a fim de manter sua integridade física.

(ê éfe zero sete ême ah dois dois) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

(ê éfe zero sete ême ah dois sete) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

(ê éfe zero sete ême ah três três) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

Página 220

▶ Atividades de revisão

Lembre-se: Escreva no caderno!

6. Se a parte livre da corda com a qual o cavalo está amarrado mede 4,35 métros de comprimento, qual é a medida de comprimento do cercado circular, em metro? (Considere: π = 3,14)

Atenção! Cuidado ao usar o compasso e a tesoura.

Ilustração. Gramado circular cercado visto de cima; No meio do cercado, há um tronco de madeira no qual um cavalo está amarrado com uma corda; O cavalo está do lado esquerdo com a corda bem esticada.

7.

Observe as pinturas a seguir. Preste atenção às cores, às formas utilizadas e à composição de cada uma.

Pintura. Formas triangulares e circulares sobrepostas em tons de amarelo, vermelho e laranja sobre fundo bege. — Wassily Kandinsky. On the Points [Nos pontos], 1928, óleo sobre tela, 140 centímetros por 140 centímetros.

Pintura. Círculos sobrepostos em tons de vermelho, amarelo, branco e azul. — Belmiro Barbosa de Almeida. Maternidade em círculos, 1908, óleo sobre tela, 46 centímetros por 61 centímetros.

a) Escreva um texto sobre o uso de formas geométricas na arte e dê sua opinião sobre as obras desta atividade.

b)

Usando régua e compasso, faça um desenho composto de círculos, circunferências e polígonos. Pinte seu desenho com as cores que preferir e apresente-o aos colegas.

8. Arquimedes, matemático grego que viveu no século três antes de Cristo, utilizou a fórma fracionária para representar, de maneira aproximada, o número irracional π.

Pintura. Retrato de homem branco de cabelos e barba grisalhos. Ele olha para baixo e está usando roupas escuras com detalhes em dourado. Na mão direita, ele segura um compasso. — Arquimedes, retratado por Giuseppe Nogari no século dezoito. Giuseppe Nogari. Archimedes, óleo sobre tela, 55 centímetros por 44,5 centímetros.

π

= 3, 141592 . . . ≃ \frac{22}{7}

a) Arredonde os números 3,141592reticências e

\frac{22}{7}

para a 2ª casa decimal e compare-os. O que você observa?

b) E se arredondá-los para a 3ª casa decimal?

Respostas e comentários

Respostas do professor:

6. aproximadamente 27,3 métros

7. a) Resposta pessoal.

7. b) Resposta pessoal.

8. a) π ≃ 3,14 e

\frac{22}{7}

≃ 3,14; os números arredondados são iguais.

8. b) π ≃ 3,142 e

\frac{22}{7}

≃ 3,143; a diferença entre os números arredondados é de 1 milésimo.

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 7, os estudantes apreciarão reproduções de obras de arte em que estão presentes formas circulares. Antes que escrevam o texto, peça a eles que pesquisem outras obras de arte em que seja possível identificar figuras que lembrem circunferências ou círculos. Incentive-os a fazer uma observação detalhada e a opinar sobre a presença da Geometria nas obras de arte. Converse com o professor de Arte sobre a possibilidade de um trabalho conjunto. Os estudantes podem, por exemplo, fazer as próprias produções artísticas com base em figuras geométricas, e depois toda a turma pode montar um painel para expor os trabalhos. Por meio dessa atividade, os estudantes percebem como Matemática e Arte podem estar relacionadas, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 3 e da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

• Após realizar as atividades desta seção, entregue para cada estudante uma ficha de autoavaliação dos conteúdos trabalhados neste Capítulo. Desse modo, é possível acompanhar as aprendizagens e possíveis dificuldades dos estudantes.

A seguir, são sugeridas algumas questões. É importante que cada item seja analisado e adaptado à realidade da turma.

Eu...	Sim	Às vezes	Não
... sei reconhecer polígonos?
... sei diferenciar polígonos convexos e não convexos?
... conheço os elementos de um polígono?
... compreendo as características de um polígono regular?
... reconheço uma circunferência e seus elementos?
... sei determinar a medida de abertura de um ângulo correspondente a um setor de um gráfico de setores?
...sei identificar raios e diâmetros de circunferências a partir de seu centro e de alguns de seus pontos?
... tenho um bom relacionamento com meus colegas de sala?
... consigo expor minhas ideias e opiniões em grupo?
... tenho facilidade para compreender os conteúdos?
... realizo as tarefas propostas?