CAPÍTULO 12 Transformações geométricas

Habilidades da BNCCBê êne cê cê trabalhadas neste Capítulo:

EF07MA19 ê éfe zero sete ême ah um nove

EF07MA20 ê éfe zero sete ême ah dois zero

EF07MA21 ê éfe zero sete ême ah dois um

EF07MA36 ê éfe zero sete ême ah três seis

Localização de pontos no plano

Objetivos

• Localizar pontos em um plano.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove e EF07MA20ê éfe zero sete ême ah dois zero, das competências gerais 1 e 2 e das competências específicas 3 e 5 da BNCCBê êne cê cê.

Habilidades da BNCCBê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento das habilidades EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove e EF07MA20ê éfe zero sete ême ah dois zero da BNCCBê êne cê cê ao permitir que os estudantes aprendam a localizar pontos em um plano cartesiano, o que é pré-requisito para que realizem transformações de polígonos representados nesse plano.

Orientações

• As noções de latitude e de longitude, bem como de coordenadas em mapas de ruas, contribuem para que os estudantes atribuam significado ao conceito de coordenadas cartesianas. Busque levantar com eles o que já conhecem sobre a ideia de latitude e de longitude. Se achar oportuno, trabalhe em parceria com o professor de Geografia, pois a relação entre Geografia (coordenadas geográficas e guia de ruas) e coordenadas cartesianas favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da BNCCBê êne cê cê. É possível dar exemplos de pontos que podemos localizar em um planisfério: uma cidade, uma montanha, um barco no oceano etcetcétera.

• Na representação do esquema das linhas de longitude e latitude, é importante que os estudantes compreendam o ponto de origem como referência para as coordenadas geográficas. Para isso, pergunte onde se localiza esse ponto, de modo que possam perceber que sua posição é no cruzamento da linha do Equador com o meridiano de Greenwichgrínitchi. Avalie também se eles identificam quais localizações estão a leste ou a oeste do meridiano de Greenwichgrínitchi e quais estão ao norte ou ao sul da linha do Equador.

• No livro do 6º ano, desta coleção, foi trabalhado o conteúdo de pares ordenados de números associados a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante. Por esse motivo, convém iniciar o Capítulo com base nesses conhecimentos.

(EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

(EF07MA20ê éfe zero sete ême ah dois zero) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

• Se julgar necessário, proponha outras questões sobre localização no planisfério apresentado no Livro do Estudante; por exemplo: “Qual é a latitude aproximada da cidade do Cairo, no Egito?” (30°graus norte); “Qual é a longitude aproximada da cidade de Túnis, na Tunísia?” (10°graus leste); “Qual é a latitude aproximada da cidade de Porto Alegre, no Brasil? E a longitude aproximada da cidade Manaus?” (30°graus sul; 60°graus oeste); “Qual ponto está localizado nas coordenadas 30°graus leste, 20°graus norte?” (B); “E o ponto que está 100°graus oeste, 40°graus norte?” (E).

• É possível também propor questões em que o estudante tenha de localizar o município onde reside; por exemplo: “Ele fica a leste ou a oeste do meridiano de Greenwichgrínitchi? Fica ao norte ou ao sul da linha do Equador?”. Além disso, você pode propor que pesquisem em um atlas ou na internet a latitude e a longitude do município.

• De maneira geral, questões desse tipo favorecem o desenvolvimento da competência específica 3, na medida em que os estudantes podem utilizar conhecimentos como localização geográfica para compreender localização de pontos no plano.

• Realize uma leitura coletiva do boxe Saiba mais a fim de promover uma discussão sobre como era possível localizar um endereço sem o uso da tecnologia e a importância dos guias de rua impressos. Traçar um paralelo entre o impresso e o uso de mapas via web no sentido de mostrar vantagens e desvantagens contribui para o desenvolvimento da competência geral 1 da BNCCBê êne cê cê. Uma vantagem do guia impresso é que ele não falhará por falta de sinal, porém ele é estático, limitado e restringe-se às informações de cada página, o que não acontece em uma mapa da web, que é dinâmico e permite um grau de detalhamento maior.

Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

• Peça aos estudantes que procurem explicar com suas palavras por que é necessário definir os dois eixos para a localização de pontos. Espera-se que eles percebam que os eixos orientam o início da contagem na malha quadriculada. Outra pergunta que pode ser feita se refere à necessidade de a posição de x ser a primeira informação do par ordenado. Espera-se que eles percebam que, se não houvesse essa definição, ficaria difícil a comunicação e o entendimento sobre a localização de pontos.

• Depois de avançar com as características das coordenadas cartesianas, retome a relação entre as coordenadas cartesianas e as geográficas, fazendo as perguntas:

a) Qual eixo cartesiano corresponderia à linha do Equador? (Espera-se que os estudantes identifiquem o eixo horizontal ou eixo x.)

b) Qual eixo cartesiano corresponderia ao Meridiano de Greenwichgrínitchi? (Espera-se que os estudantes identifiquem o eixo vertical ou eixo y.)

c) O que substitui a referência norte e sul e leste e oeste no plano cartesiano? (Espera-se que os estudantes identifiquem os sinais positivo e negativo.)

Para fazer: C(abre parênteses‒menos 2, ‒menos 1)fecha parênteses, D(abre parênteses2, ‒menos 1)fecha parênteses e O(abre parênteses0, 0)fecha parênteses

1. Aa(abre parênteses2, 3)fecha parênteses; B(abre parênteses5, 0)fecha parênteses; C(abre parênteses‒menos 3, 1)fecha parênteses; D(abre parênteses‒menos 5, 4)fecha parênteses; E(abre parênteses‒menos 4, ‒menos 1)fecha parênteses; F(abre parênteses0, ‒menos 1)fecha parênteses; G(abre parênteses4, ‒menos 1)fecha parênteses

2. Respostas em Orientações.

3. Resposta em Orientações.

• No boxe Para fazer, estimule os estudantes a responder oralmente a questão. Assim, é possível verificar os conhecimentos prévios deles e, se for o caso, auxiliar os que apresentam dificuldades em reconhecer as coordenadas dos pontos solicitados

• Resposta do item aa da atividade 2:

• Resposta do item b da atividade 2:

• Resposta da atividade 3:

A figura formada é um triângulo.

4. Respostas em Orientações.

Para investigar: Espera-se que os estudantes percebam que foi por meio de uma transformação geométrica. Em Aa, reflexão; em B, translação; e, em C, rotação.

• Resposta do item aa da atividade 4: Aá'linha(abre parênteses3, 3)fecha parênteses; Bbit'linha(abre parênteses4, 1)fecha parênteses; Ccentésimo'linha(abre parênteses0, 2)fecha parênteses; Ddivisores de 'linha(abre parênteses4, 2)fecha parênteses; E'linha(abre parênteses1, 2)fecha parênteses e Féfe'linha(abre parênteses2, 0)fecha parênteses:

• Resposta do item b da atividade 4:

Espera-se que os estudantes digam, com suas palavras, que o ponto F'linha está sobre o eixo das abscissas, o ponto C'linha, sobre o eixo das ordenadas, e os demais pontos estão todos no 1º quadrante.

Transformações geométricas

Objetivo

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um e da competência geral 2 da BNCCBê êne cê cê.

Habilidade da BNCCBê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um porque trabalha com o reconhecimento de figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão.

Orientações

• Antes de iniciar este tópico e se julgar oportuno, apresente aos estudantes algumas imagens de padrões em ladrilhos, tecidos, faixas decorativas ou obras de arte, para promover uma roda de conversa sobre como esses padrões são formados. Verifique, por exemplo, se eles concluem que uma mesma figura se repete, podendo ou não estar na mesma posição.

• No boxe Para investigar, os estudantes podem explicar as questões com suas palavras. No caso do exemplo A, eles podem dizer que a figura 1 foi “espelhada”; no caso do exemplo B, que a figura 1 “deslizou” ou “escorregou”, e, no caso do exemplo C, que a figura 1 foi “girada”. Valorize as respostas deles. Momentos como esse colocam os estudantes como protagonistas e favorecem o desenvolvimento da competência geral 2 da BNCCBê êne cê cê.

(EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

Reflexão

Objetivo

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove e EF07MA20ê éfe zero sete ême ah dois zero da BNCCBê êne cê cê.

Habilidades da BNCCBê êne cê cê

• Este tópico contribui para o desenvolvimento da habilidade EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove por favorecer o reconhecimento das relações entre as coordenadas dos vértices de uma figura e de sua simétrica em relação ao eixo x e ao eixo y. Já a habilidade EF07MA20ê éfe zero sete ême ah dois zero tem seu desenvolvimento favorecido porque trabalha o reconhecimento e a representação, no plano cartesiano, do simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

Orientações

• Para verificar se os estudantes compreenderam o conceito de figuras simétricas em relação a uma reta, desenhe no quadro figuras que parecem ser simétricas em relação a uma reta, mas não são. As figuras podem ter formatos diferentes ou ter o mesmo formato com medidas correspondentes diferentes. Depois, peça aos estudantes que justifiquem o motivo pelo qual elas não são simétricas em relação à reta dada.

(EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

(EF07MA20ê éfe zero sete ême ah dois zero) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

• Peça a eles que desenhem no caderno outras figuras que apresentem mais de um eixo de simetria. Depois, incentive-os a compartilhar com os colegas os desenhos feitos.

Para investigar: a) O triângulo A''duas linhasB''duas linhasC''duas linhas.

b) A'''três linhas(abre parênteses‒menos1, 3)fecha parênteses, B'''três linhas(abre parênteses‒menos2, 1)fecha parênteses e C'''três linhas(abre parênteses‒menos5, 2)fecha parênteses

1. Resposta em Orientações.

2. Resposta em Orientações.

• Na resolução do item b do boxe Para investigar, espera-se que os estudantes respondam que as coordenadas dos vértices do triângulo A’’’B’’’C’’’ serão obtidas multiplicando as abscissas das coordenadas dos vértices do triângulo ABC. Assim, temos A’’’(‒1, 3)fecha parênteses, B’’’(‒2, 1)fecha parênteses e C’’’(‒5, 2)fecha parênteses.

• A fim de favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA20ê éfe zero sete ême ah dois zero, o texto mostra como representar, no plano cartesiano, o simétrico de um triângulo em relação aos eixos. Além disso, ao verificar que é possível obter as coordenadas do vértice de uma figura simétrica em relação a um dos eixos cartesianos fazendo uma multiplicação conveniente por ‒menos1, a habilidade EF0MA19 é favorecida.

• Resposta da atividade 1:

• Resposta da atividade 2:

3. Resposta em Orientações.

4. a) Multiplicando as ordenadas dos pontos Aa, B e C por ‒menos1.

4. b) A'linha(abre parênteses0, ‒menos3)fecha parênteses, B'linha(abre parênteses1, ‒menos1)fecha parênteses e C'linha(abre parênteses4, ‒menos2)fecha parênteses

5. Resposta em Orientações.

6. Resposta em Orientações.

7. a) A'linha(abre parênteses2, 4)fecha parênteses, B'linha(abre parênteses‒menos2, 5)fecha parênteses e C 'linha(‒1, 2)fecha parênteses

7. b) Resposta em Orientações.

• Resposta da atividade 3:

• Resposta da atividade 5:

• Resposta da atividade 6:

• Resposta da atividade 7b:

• No momento de encontrar a simetria central do polígono ABCDEá bê cê dê é em relação ao ponto O, reproduza a malha, o ponto O e o polígono no quadro e estimule os estudantes a descrever a localização dos pontos A'linha, B'linha, C'linha, D'linha e E'linha em relação ao ponto O.

• Explique aos estudantes que as afirmações de que dois pontos são simétricos em relação a determinado ponto, ou de que um ponto é simétrico a outro ponto ou, ainda, de que um ponto é a imagem de outro são equivalentes.

1. Resposta em Orientações.

2. Resposta em Orientações.

• O texto mostra como representar, no plano cartesiano, o simétrico de um triângulo em relação à origem do plano cartesiano, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA20ê éfe zero sete ême ah dois zero. Além disso, observar as coordenadas correspondentes dos dois triângulos e concluir que, para obter as coordenadas do simétrico de determinado polígono em relação à origem, basta multiplicar as coordenadas do ponto inicial por ‒menos1 favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove.

• Resposta da atividade 1:

• Resposta da atividade 2:

3. Resposta em Orientações.

4. a) Multiplicando as abscissas e as ordenadas dos pontos Aa, B e C por ‒menos1.

4. b) Aá'linha ícone de altura(abre parênteses1, ‒menos 4)fecha parênteses, Bbit'linha ícone de altura(abre parênteses5, 0)fecha parênteses e Ccentésimo'linha ícone de altura(abre parênteses2, ‒menos 1)fecha parênteses

5. Resposta em Orientações.

• Resposta da atividade 3:

• Resposta da atividade 5:

Translação

Objetivo

• Favorecer o desenvolvimento da seguinte habilidade da BNCCBê êne cê cê: EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um.

Habilidade da BNCCBê êne cê cê

• Este tópico contribui para o desenvolvimento da habilidade EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um da BNCCBê êne cê cê por favorecer o reconhecimento e a construção de figuras obtidas por simetria de translação.

Orientações

• Comente com os estudantes que eles podem pensar na translação de uma figura como se ela deslizasse sobre o plano sem girar. Diga a eles que a direção, o sentido e a medida de distância que a figura deverá se deslocar em uma translação são indicados pelo vetor da translação.

(EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Para analisar: Exemplo de resposta: A reflexão em relação a uma reta (ou em relação a um ponto) e a translação são isometrias.

1. Respostas em Orientações.

• É importante que os estudantes, aos poucos, percebam que em uma translação todos os pontos da figura se deslocam da mesma maneira e que o formato e as medidas da figura inicial são conservados.

• Resposta da atividade 1aum á:

• Resposta da atividade 1b:

2. Resposta em Orientações.

3. Não, pois a figura 2 não tem as mesmas medidas de comprimento da figura 1.

4. horizontal

• Resposta da atividade 2:

Rotação

Objetivo

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da BNCCBê êne cê cê: EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um.

Habilidade da BNCCBê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um da BNCCBê êne cê cê porque proporciona o reconhecimento e a construção de figuras obtidas por simetria de rotação.

Orientações

• Comente com os estudantes que uma rotação fica bem definida quando são fornecidos a medida de giro, o centro da rotação e o sentido do giro (horário ou anti-horário).

• É importante que eles, aos poucos, percebam que, assim como a reflexão e a translação, o formato e as medidas da figura inicial são conservados.

(EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

• Nesta página, mostra-se como construir, utilizando instrumentos de desenho, o triângulo obtido pela rotação do triângulo ABCá bê cê, em torno do ponto O, considerando um giro cuja medida é de 90º no sentido horário. Peça aos estudantes que reproduzam no caderno a rotação descrita. Aproveite a oportunidade para retomar conceitos como semirreta e congruência de segmentos de reta.

Para analisar: Espera-se que os estudantes respondam, com as próprias palavras, que a reflexão em relação a um ponto Oóh é equivalente a uma rotação de centro Oóh e um giro com medida igual a 180°graus.

• Após terminarem a construção, peça aos estudantes que compartilhem a figura que obtiveram. Você pode também pedir que comparem as medidas de comprimento dos segmentos e de abertura dos ângulos correspondentes de ambas as figuras para verificar que são iguais.

• No boxe Para analisar, comente com os estudantes que a reflexão em relação a um ponto é um caso particular de rotação.

1. a) 90°graus

1. b) a figura verde

1. c) 270°graus no sentido anti-horário ou 90°graus no sentido horário.

1. d) 360°graus

2. a) rotação com um giro de medida igual a 180°graus no sentido horário ou rotação com um giro de medida igual a 180°graus no sentido anti-horário

2. b) rotação com um giro de medida igual a 90°graus no sentido horário ou rotação com um giro de medida igual a 270°graus no sentido anti-horário

3. Resposta em Orientações.

4. Resposta em Orientações.

5. rotação com giro de medida igual a 180°graus no sentido horário (ou rotação com giro de medida igual a 180°graus no sentido anti-horário), em torno da origem do plano cartesiano

6. Resposta em Orientações.

• Exemplo de resposta da atividade 3:

• Exemplo de resposta da atividade 4:

• Na atividade 5, verifique se os estudantes percebem que multiplicar as coordenadas dos vértices por ‒menos1 pode resultar em uma rotação com giro de 180°graus da figura em relação à origem ou em uma reflexão em relação à origem.

• Resposta da atividade 6:

Espera-se que estudantes respondam que é possível afirmar que o triângulo STU é a imagem por uma rotação de medida igual a 90°graus, em torno da origem, no sentido horário do triângulo PQR.

Informática e Matemática

Objetivo

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um, da competência geral 5 e das competências específicas 2 e 5 da BNCCBê êne cê cê.

Habilidade da BNCCBê êne cê cê

• A seção favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um da BNCCBê êne cê cê porque trabalha a construção de figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando um software de Geometria dinâmica.

Orientações

• O uso do software de Geometria dinâmica permite que os estudantes superem suas dificuldades de aprendizagem relacionadas ao tema de estudo. Propostas como essa possibilitam aos estudantes visualizar, explorar, conjeturar, validar, compreender e comunicar os conceitos geométricos de formafórma interativa e atrativa, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 5 e das competências específicas 2 e 5 da BNCCBê êne cê cê.

• Oriente os estudantes a salvar cada uma das construções separadamente para que, ao final da seção, possam retomar as construções feitas para realizar investigações.

(EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de formafórma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

Investigue: Espera-se que os estudantes respondam que observaram que as medidas de comprimento dos lados e de abertura dos ângulos correspondentes são iguais.

• Em Investigue, os estudantes vão verificar que a reflexão em relação a uma reta, a reflexão em relação a um ponto, a translação e a rotação são isometrias.

Outras transformações geométricas no plano cartesiano

Objetivo

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da BNCCBê êne cê cê: EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove.

Habilidade da BNCCBê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove da BNCCBê êne cê cê porque trabalha com a multiplicação das coordenadas dos vértices de um polígono por um número inteiro não nulo e diferente de ‒menos1.

Orientações

• Comente com os estudantes que a multiplicação das coordenadas dos vértices de um polígono por um número inteiro não nulo e diferente de ‒menos1 faz com que a figura original seja ampliada. Ao realizar essa multiplicação por apenas uma das coordenadas (abscissas ou ordenadas), a figura original é deformada.

• Para ampliar o estudo sobre a multiplicação das coordenadas por números inteiros menores que ‒menos1, questione os estudantes perguntando “Por que o retângulo Aá’Bbit’Ccentésimo’Ddivisores de ’ ficou invertido?”. Espera-se que os estudantes percebam que multiplicar as coordenadas dos vértices por ‒menos2 significa refletir o retângulo ABCDa bê cê dê em relação à origem e depois realizar uma ampliação, obtendo o retângulo Aá’Bbit’Ccentésimo’Ddivisores de ’.

(EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

1. a) Exemplo de resposta: Podemos afirmar que o triângulo A'linhaB'linhaC'linha é uma ampliação do triângulo ABCá bê cê.

1. b) Multiplicando as coordenadas dos vértices do triângulo ABCá bê cê por 3.

2. a) Resposta em Orientações.

2. b) Espera-se que os estudantes percebam que o triângulo A'linhaB'linhaC'linha é uma ampliação invertida do triângulo ABCá bê cê.

3. Respostas em Orientações.

• No boxe Para pensar, aproveite a pergunta para verificar se os estudantes sabem identificar qual é a abcissa e qual é a ordenada das coordenadas. Certifique-se de que eles compreendem que, ao multiplicar um dos eixos, o ponto do plano correspondente muda, deformando a figura original.

• Resposta do item aa dada atividade 2: A’(abre parênteses12, ‒menos6)fecha parênteses, B’(abre parênteses12, ‒menos3)fecha parênteses e C’(abre parênteses3, ‒menos3)fecha parênteses.

• Resposta dos itens aa e b da atividade 3:

As transformações nas artes

Objetivos

• Trabalhar com o Tema Contemporâneo Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras, da macroárea Multiculturalismo, ao propor uma conversa sobre grafismos indígenas.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um, das competências gerais 3 e 9 e da competência específica 3 da BNCCBê êne cê cê.

Habilidade da BNCCBê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um da BNCCBê êne cê cê ao veicular o estudo das transformações geométricas às representações planas de obras de arte e aos grafismos indígenas.

Orientações

• Peça aos estudantes que observem a reprodução da obra Peixe/pato/lagarto, de M. C. Escherécher, a fim de reconhecer as transformações geométricas presentes nela. Se julgar conveniente, proponha a eles que pesquisem outras reproduções de obras de arte em que é possível reconhecer a presença de algumas das transformações geométricas estudadas. Momentos como esse, em que os estudantes apreciam uma obra de arte e percebem a presença de conceitos matemáticos, favorecem o desenvolvimento da competência geral 3 e da competência específica 3 da BNCCBê êne cê cê.

(EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

Para analisar: Resposta em Orientações.

• As imagens desta página exemplificam como a reflexão, a translação e a rotação estão presentes na pintura corporal e na cestaria indígenas.

• Comente com os estudantes que os grafismos indígenas muitas vezes estão associados às formasfórmas observadas na natureza. Esse pode ser o momento oportuno para trabalhar com o Tema Contemporâneo Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras da macroárea Multiculturalismo. Em parceria com o professor de Arte, proponha aos estudantes que façam um trabalho sobre como as transformações geométricas estão presentes em diversas manifestações artísticas e culturais. Essa proposta também pode contar com o professor de História, para que os estudantes possam refletir sobre a importância dos indígenas na formação do povo brasileiro. Por meio desse trabalho eles terão a oportunidade de desenvolver a competência geral 3 e a competência específica 3 da BNCCBê êne cê cê.

• A valorização das matrizes indígenas e africanas como elementos identificados em objetos de conhecimento matemático contribui com o desenvolvimento da competência geral 9 da BNCCBê êne cê cê.

• Exemplos de resolução do boxe Para analisar:

Translação do lagarto.

Rotação dos patos.

1. a) Exemplo de resposta:

Emblemágico: reflexão em relação a uma reta; Emblemágico 78: reflexão em relação a uma reta.

1. b) Espera-se que os estudantes abordem na pesquisa algumas influências originárias do povo africano, por exemplo, na música e na dança: jongo, roda de capoeira, maracatu e samba de roda; nos instrumentos musicais: berimbau, tambores e agogô; na culinária: azeite de dendê; e nos aspectos da língua.

2. Exemplo de resposta: Reflexão em relação a uma reta, translação e rotação.

3. Resposta pessoal.

• No item aa da atividade 1, os estudantes vão observar duas obras do artista brasileiro Rubem Valentim. A fonte de inspiração das obras desse artista é o universo religioso, principalmente aquele relacionado ao candomblé ou à umbanda. Em suas obras, estão presentes signos ou emblemas em que é possível reconhecer a presença de simetria de reflexão e/ou translação. Se achar conveniente, peça aos estudantes que pesquisem outras obras desse artista na internet e as analisem, a fim de identificar as transformações geométricas presentes nelas.

• Aproveite para trabalhar o Tema Contemporâneo Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras da macroárea Multiculturalismo no item b da atividade 1, em que é solicitado aos estudantes que pesquisem a influência da cultura africana na formação do povo brasileiro. Esse pode ser o momento oportuno para propor um projeto interdisciplinar em parceria com o professor de História. É importante que eles reconheçam que essa cultura influenciou diversas áreas, como a culinária (com comidas como vatapá, acarajé, caruru etc.etcétera), a religiosa (candomblé, umbanda, catimbó etc.etcétera), a musical (samba, afoxé, maracatu, capoeira etc.etcétera), entre outras. Dessa formafórma, a competência específica 3 da BNCCBê êne cê cê tem seu desenvolvimento favorecido.

Estatística e Probabilidade

Objetivos

• Definir os conceitos de população e amostra de uma população.

• Distinguir uma pesquisa censitária de uma pesquisa amostral.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA36ê éfe zero sete ême ah três seis, das competências gerais 9 e 10 e das competências específicas 7 e 8 da BNCCBê êne cê cê.

Habilidade da BNCCBê êne cê cê

• Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA36ê éfe zero sete ême ah três seis da BNCCBê êne cê cê ao trabalhar o planejamento e a realização de uma pesquisa estatística envolvendo o tema da realidade social e identificando a necessidade de ser censitária ou amostral, além de interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

Orientações

• Ao trabalhar a distinção entre pesquisa censitária e amostral, comente com os estudantes que, na maior parte das vezes, a tolerância a erros em uma pesquisa censitária é menor que em uma pesquisa amostral; no entanto, as pesquisas censitárias costumam ser inviáveis do ponto de vista econômico e levam um tempo maior para que sejam concluídas. Comparações como essa fornecem subsídios para que os estudantes possam identificar a necessidade de a pesquisa que vão realizar ser censitária ou amostral.

• Outro aspecto importante a destacar é que, na pesquisa amostral, deve haver um cuidado na seleção da amostra para que ela não seja tendenciosa e se aproxime da resposta que seria dada pela população. Futuramente, serão estudados diferentes tipos de amostra.

(EF07MA36ê éfe zero sete ême ah três seis) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Competência específica 7: Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competência específica 8: Interagir com seus pares de formafórma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

1. alternativa a

2. a) população: clientes que compraram produtos na loja no último mês; pesquisa censitária

2. b) população: os 240 moradores do prédio; pesquisa amostral

2. c) população: todos os alunos da academia; pesquisa censitária

3. Resposta e comentários em Orientações.

• Na atividade 3, os estudantes, em grupos, vão planejar e realizar uma pesquisa estatística seguindo o roteiro proposto. Na escolha do tema, incentive-os a optar por algo que envolva a realidade social, por exemplo lixo e reciclagem, igualdade de gênero, inclusão social, mobilidade urbana etc.etcétera, o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 7 da BNCCBê êne cê cê.

Oriente-os a formular questões claras e objetivas. Isso não só facilita a coleta dos dados como também diminui as chances de a pessoa consultada não compreender a questão proposta.

Para decidir como será feita a coleta de dados, os estudantes devem levar em consideração variáveis como o tempo, o tipo de pesquisa (censitária ou amostral) e o tema escolhido.

Eles devem decidir o tipo de gráfico a ser usado e colocar em prática os conhecimentos adquiridos anteriormente para escolher os gráficos que melhor representem os dados da pesquisa. Estimule-os a construir os gráficos de que precisam com o auxílio de planilhas eletrônicas.

Por fim, eles devem retomar as questões propostas inicialmente e respondê-las. É importante que compartilhem suas conclusões com os colegas de turma.

A realização de projetos como esse coloca os estudantes no papel de protagonistas do seu processo de aprendizagem e contribui para que trabalhem coletivamente e desenvolvam a competência de pensar de maneira interdependente, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e da competência específica 8 da BNCCBê êne cê cê.

Trabalho em equipe

Objetivos

• Aplicar, por meio de trabalhos em grupos, os conceitos estudados.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA36ê éfe zero sete ême ah três seis, das competências gerais 9 e 10 e das competências específicas 7 e 8 da BNCCBê êne cê cê.

Habilidade da BNCCBê êne cê cê

• Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA36ê éfe zero sete ême ah três seis da BNCCBê êne cê cê na medida em que os estudantes vão planejar e realizar uma pesquisa sobre hábitos esportivos, identificando a necessidade de ser censitária ou amostral, além de interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

Orientações

• Ao organizar e realizar a pesquisa proposta na seção, os estudantes devem dividir tarefas, compartilhar conhecimentos, respeitar a opinião dos colegas, desenvolvendo, assim, aspectos das competências gerais 9 e 10 e das competências específicas 7 e 8 da BNCCBê êne cê cê.

• Após todos produzirem seus relatórios, sugira que os grupos realizem uma apresentação dos resultados das pesquisas. Nesse momento, promova uma comparação dos dados obtidos, bem como das conclusões de cada um dos grupos.

(EF07MA36ê éfe zero sete ême ah três seis) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Competência específica 7: Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competência específica 8: Interagir com seus pares de formafórma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

1. a) falsa

1. b) verdadeira

1. c) falsa

1. d) verdadeira

2. a) Espera-se que os estudantes concordem.

2. b) Exemplo de resposta: O polígono A'linhaB'linhaC'linhaD'linha foi obtido do polígono ABCDa bê cê dê por meio de um giro, no sentido anti-horário, com medida de 75°graus ao redor do ponto Oóh.

3. a) Exemplo de resposta: reflexão em relação à reta, reflexão em relação a um ponto, translação e rotação.

3. b) Resposta pessoal.

Atividades de revisão

Objetivos

• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do Capítulo.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove, EF07MA20ê éfe zero sete ême ah dois zero, EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um e da competência geral 9 da BNCCBê êne cê cê.

Habilidades da BNCCBê êne cê cê

• As atividades desta seção contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF07MA19ê éfe zero sete ême ah um nove da BNCCBê êne cê cê na medida em que os estudantes realizam transformações de polígonos representados no plano cartesiano decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro. Favorecem também o desenvolvimento das habilidades EF07MA20ê éfe zero sete ême ah dois zero e EF07MA21ê éfe zero sete ême ah dois um da BNCCBê êne cê cê, pois apresentam situações que envolvem o reconhecimento e a representação de figuras obtidas por meio de simetria de reflexão, translação e rotação.

Orientações

• Nesse momento, a proposta é resolver as atividades individualmente. Assim, é possível identificar o que aprenderam e as dificuldades que estão enfrentando.

• O item b da atividade 3 possibilita o estímulo à valorização da diversidade e o respeito à produção artística do outro, favorecendo a competência geral 9.