Página quarenta e dois

Resoluções

Parte 1

Avaliação diagnóstica

MOSTRE O QUE VOCÊ JÁ SABE

▶ Páginas 12 e 13

1. Para encontrar o número de triângulos brancos na etapa 3, utilizamos uma potência de base 3 da seguinte maneira:

• etapa 0:

3^{0} = 1

• etapa 1:

3^{1} = 3

• etapa 2:

3^{2} = 9

• etapa 3:

3^{3} = 27

Portanto, na etapa 3 haverá 27 triângulos brancos.

alternativa c

2. A pizza foi dividida em 12 fatias iguais no total. Para determinar a razão entre as 4 fatias que Mateus comeu e o total de fatias da pizza, podemos fazer:

\frac{4}{12} = \frac{1}{3} ≃ 0,33 = 33 %

Portanto, a quantidade da pizza que Mateus comeu equivale a

\frac{1}{3}

da pizza, ou seja, aproximadamente 0,33 e aproximadamente 33%.

alternativa a

3. Vamos representar os três números consecutivos por (n ‒ 1), n e (n + 1). Como foi pedida uma expressão para representar o quadrado da soma desses três números, fazemos:

{[(n - 1) + n + (n + 1)]}^{2}

Portanto, a expressão algébrica é

{[(n - 1) + n + (n + 1)]}^{2}

alternativa c

4. Para encontrar a raiz de cada uma das equações, fazemos:

A) 3x ‒ 2 = 10

3x = 12

x = 4

Logo, A-dois.

B) 2x + 1 = 5

2x = 4

x = 2

Logo, B-três.

C) 3x = 15

x = 5

Logo, C-um.

Portanto, a associação correta entre cada equação e sua raiz é A-dois, B-três e C-um.

alternativa dê

5. A equipe de basquete de Juliana marcou 65 pontos no total, sendo 15 desses pontos marcados por ela. Para escrever a fração irredutível que representa a razão entre o número de pontos marcados por Juliana e o número total de pontos, podemos fazer:

\frac{15}{65} = \frac{15 : 5}{65 : 5} = \frac{3}{13}

Portanto, a fração irredutível é

\frac{3}{13} .

alternativa b

6. De acordo com a figura apresentada, as coordenadas dos vértices do triângulo são A(2, 2), B(6, 2) e C(3, 5).

Gráfico. Plano cartesiano em malha quadriculada: Eixo x com as representações dos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 e eixo y com as representações dos números 0, 1, 2, 3, 4 e 5. No plano está representado um triângulo azul com vértices nos pontos A de abscissa 2 e ordenada 2, B de abscissa 6 e ordenada 2 e C de abscissa 3 e ordenada 5.

Para determinar as coordenadas do simétrico desse triângulo em relação ao eixo xis, invertemos o sinal da ordenada de cada um dos pontos, obtendo A'(2, ‒2), B'(6, ‒2) e C'(3, ‒5). Representando no plano cartesiano o triângulo original e seu simétrico em relação ao eixo xis temos:

Sentença matemática. Plano cartesiano em malha quadriculada: Eixo x com as representações dos números menos 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 e eixo y com as representações dos números menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5. No plano está representado um triângulo azul com vértices nos pontos A de abscissa 2 e ordenada 2, B de abscissa 6 e ordenada 2 e C de abscissa 3 e ordenada 5. E um outro triângulo azul, simétrico ao primeiro, com os vértices nos pontos A linha de abscissa 2 e ordenada menos 2, B linha de abscissa 6 e ordenada menos 2 e C linha de abscissa 3 e ordenada menos 5.

Portanto, as coordenadas são A'(2, ‒2), B'(6, ‒2) e C'(3, ‒5).

alternativa a

7. Sabemos que uma hora equivale a 60 minutos. Se o relógio atrasa 5 minutos por dia, para encontrar a quantidade de dias necessários para ele atrasar 60 minutos (uma hora), podemos fazer:

60 : 5 = 12

Portanto, são necessários 12 dias.

alternativa c

8. Para determinar a medida da área de um paralelogramo, podemos calcular o produto entre as medidas da base (b) e da altura (h). Assim, A = b ⋅ h. Observando a figura, temos:

• medida da base: b = 2 centímetros + 3 centímetros = 5 centímetros

• medida da altura: h = 4 centímetros

Desse modo, temos:

A = 5 ⋅ 4 = 20

Portanto, a medida da área total do paralelogramo é 20 centímetros quadrados.

alternativa c

9. Para encontrar dois números naturais cuja soma é igual a 4, podemos fazer:

• 0 + 4 = 4

• 1 + 3 = 4

• 2 + 2 = 4

Página quarenta e três

• 3 + 1 = 4

• 4 + 0 = 4

Escrevendo os pares de números naturais como coordenadas de pontos, temos (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1) e (4, 0). Representando esses pontos no plano cartesiano, temos:

Gráfico. Plano cartesiano na malha quadriculada: Eixo x com as representações dos números 0, 1, 2, 3 e 4 e eixo y com as representações dos números 0, 1, 2, 3 e 4. No plano estão representados cinco pontos, com as coordenadas: abscissa 0 e ordenada 4, abscissa 1 e ordenada 3, abscissa 2 e ordenada 2, abscissa 3 e ordenada 1 e abscissa 4 e ordenada 0.

alternativa d

10. Foram entrevistadas duas. pessoas no total. De acordo com o gráfico, 25% dos entrevistados acharam ótimo o transporte público. Assim, para determinar a quantidade de pessoas que acharam o transporte público ótimo, devemos calcular 25% de duas. pessoas, ou seja:

\frac{25}{100} \cdot 2 000 = \frac{25 \cdot 2 000}{100} = \frac{50 000}{100} = 500

Portanto, quinhentas pessoas acharam o transporte público ótimo.

alternativa b

11. Vamos analisar cada alternativa para encontrar o polígono cuja área mede 36 centímetros quadrados.

a) Para calcular a medida da área de um quadrado cujos lados medem 6 centímetros de comprimento, fazemos:

A = ℓ = 6 = 36

Portanto, a medida da área desse quadrado é 36 centímetros quadrados.

b) Para calcular a medida da área de um triângulo cujo comprimento do lado mede 6 centímetros e a altura relativa a esse lado também mede 6 centímetros, fazemos:

A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot 6}{2} = \frac{36}{2} = 18

Portanto, a medida da área desse triângulo é 18 centímetros quadrados.

c) Para calcular a medida da área de um losango cujas diagonais medem 4 centímetros e 9 centímetros de comprimento, fazemos:

A = \frac{d \cdot D}{2} = \frac{4 \cdot 9}{2} = \frac{36}{2} = 18

Portanto, a medida da área desse losango é 18 centímetros quadrados.

d) Para calcular a medida da área de um quadrado cujos lados medem 9 centímetros de comprimento, fazemos:

A = ℓ = 9 = 81

Portanto, a medida da área desse quadrado é 81 centímetros quadrados.

Logo, entre as alternativas, o polígono cuja área mede 36 centímetros quadrados é o quadrado do item a.

alternativa a

Unidade 1

Capítulo 1

Atividades

▶ Páginas 16, 17 e 18

1. a) Espera-se que os estudantes identifiquem os números 2,25; 25; 1; 2022; 97; 29000-111.

b) Exemplo de resposta: 2,25 indica preço; 25, 1 e 2022 formam a data; 97 é o número da casa; 29000-111 é o código de endereçamento postal (cép).

c) Espera-se que os estudantes respondam que não, pois o número 2,25 não é um número natural.

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Os números naturais podem ser usados para fazer a contagem da quantidade de estudantes presentes na sala de aula; para compor os códigos das placas de identificação de automóveis.

3. Espera-se que os estudantes respondam que, se existisse, logo abaixo do andar –2 estaria o andar indicado pelo número –3.

4. a) A sequência dos números naturais pares pode ser representada por: 0, 2, 4, 6, 8, 10, reticências

Observe que para obter o próximo termo adiciona-se duas unidades ao termo anterior. Sendo assim, para encontrar o sucessor de um número natural n dessa sequência, podemos usar n + 2. E para o antecessor, n ‒ 2 para n ≠ 0.

b) A sequência dos números naturais ímpares pode ser representada por: 1, 3, 5, 7, 9, 11, reticências

5. a) Vamos representar os números naturais consecutivos por ( n ‒ 1 ),

n e ( n + 1 ).

Como a soma deles é .1233, temos:

( n ‒ 1 ) + n + ( n + 1 ) = .1233

3n = .1233

n = .1233 : 3

n = 411

Assim:

• n ‒ 1 = 411 ‒ 1 = 410

• n + 1 = 411 + 1 = 412

Logo, os números procurados são 410, 411 e 412.

b) Vamos representar dois números naturais consecutivos na sequência dos números pares por

n

e ( n + 2 ). Como a soma deles é 998, temos:

n + ( n + 2 ) = 998

2n = 998 ‒ 2

n = \frac{996}{2}

n = 498

Assim:

n + 2 = 498 + 2 = 500

Logo, os números procurados são 498 e 500.

c) Vamos representar três números naturais consecutivos na sequência dos números ímpares por n, ( n + 2 ) e ( n + 4 ). Como a soma deles é 165, temos:

n + ( n + 2 ) + ( n + 4 ) = 165

3n = 165 ‒ 6

n = \frac{159}{3}

n = 53

Assim:

• n + 2 = 53 + 2 = 55

• n + 4 = 53 + 4 = 57

Logo, os números procurados são 53, 55 e 57.

Página quarenta e quatro

6. a) Os termos da sequência aumentam de 15 em 15. Assim:

75 + 15 = 90

Portanto, o próximo termo dessa sequência é 90.

b) Os termos da sequência diminuem de 10 em 10. Assim:

60 ‒ 10 = 50

Portanto, o próximo termo dessa sequência é 50.

c) Os termos da sequência aumentam de 3 em 3. Assim:

15 + 3 = 18

Portanto, o próximo termo dessa sequência é 18.

d) Os termos da sequência aumentam de 8 em 8. Assim:

236 + 8 = 244

Portanto, o próximo termo dessa sequência é 244.

7. Espera-se que os estudantes percebam que se trata da sequência dos números naturais ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, reticências

8. Exemplos de respostas:

a) n + 1, sendo n um número inteiro maior ou igual a ‒ 3.

b) ‒ 44 + 10n, sendo n um número natural.

c) 30 ‒ 6n, sendo n um número natural.

d) ‒ 300 + 100n, sendo n um número natural.

9. Espera-se que os estudantes percebam que, uma vez certo, o relógio de Pedro terá de atrasar 12 horas (ou 720 minutos) para marcar novamente a hora certa. Logo, se ele atrasa apenas 1 minuto por dia, levará 720 dias para atrasar 720 minutos. Ou seja, o relógio de Pedro estará certo, aproximadamente, uma vez a cada dois anos. Entretanto, o relógio de Daniel, por mais que esteja parado, marca a hora certa duas vezes por dia. Portanto, de acordo com a regra que eles estabeleceram, o relógio de Daniel é melhor que o de Pedro.

10. Resposta pessoal. Exemplo de sequência:

Considere a sequência (.1450, .1300, .1150, reticências). Escreva os próximos três termos dessa sequência.

Os termos da sequência diminuem de 150 em 150. Assim:

• .1150 ‒ 150 = .1000

• .1000 ‒ 150 = 850

• 850 ‒ 150 = 700

Portanto, os três termos seguintes são .1000, 850 e 700.

11. Efetuando os cálculos, para o número inteiro 9, temos:

• oposto: ‒ 9

• sucessor: 9 + 1 = 10

• antecessor: 9 ‒ 1 = 8

Efetuando os cálculos para o número oposto inteiro .1451, temos:

• número inteiro: –.1451

• sucessor: ‒ .1451 + 1 = ‒ .1450

• antecessor: ‒ .1451 ‒ 1 = ‒ .1452

Efetuando os cálculos para o número antecessor inteiro .2003, temos:

• número inteiro: .2003 + 1 = .2004

• oposto: –.2004

• sucessor: .2004 + 1 = .2005

Efetuando os cálculos para o sucessor inteiro ‒ 7, temos:

• número inteiro: ‒ 7 ‒ 1 = ‒ 8

• oposto: 8

• antecessor: ‒ 8 ‒ 1 = ‒ 9

Efetuando os cálculos para o antecessor inteiro ‒ .1999, temos:

• número inteiro: ‒ .1999 + 1 = ‒ .1998

• oposto: .1998

• sucessor: ‒ .1998 + 1 = ‒ .1997

Efetuando os cálculos para o número inteiro ‒ 125, temos:

• oposto: 125

• sucessor: ‒ 125 + 1 = ‒ 124

• antecessor: ‒ 125 ‒ 1 = ‒ 126

Efetuando os cálculos para o número inteiro 0, temos:

• oposto: 0

• sucessor: 0 + 1 = 1

• antecessor: 0 ‒ 1 = ‒ 1

Efetuando os cálculos para o sucessor inteiro ..1000000, temos:

• número inteiro: ..1000000 ‒ 1 = .999999

• oposto: ‒ .999999

• antecessor: .999999 ‒ 1 = .999998

Efetuando os cálculos para o número oposto inteiro ‒ ..1000000, temos:

• número inteiro: ..1000000

• sucessor: ..1000000 + 1 = ..1000001

• antecessor: ..1000000 ‒ 1 = .999999

Portanto, o quadro deve ser preenchido como:

a	Oposto de a	Sucessor de a	Antecessor de a
9	−9	10	8
−1.451	1.451	−1.450	−1.452
2.004	−2.004	2.005	2.003
−8	8	−7	−9
−1.998	1.998	−1.997	−1.999
−125	125	−124	−126
0	0	1	−1
999.999	−999.999	1.000.000	999.998
1.000.000	−1.000.000	1.000.001	999.999

12. a) Espera-se que os estudantes concluam que o oposto do oposto de 155 é o número 155, pois:

‒ [‒ ( + 155 )] = ‒[‒155] = 155

b) Espera-se que os estudantes concluam que o oposto do oposto de ‒ 155 é ‒ 155, pois:

‒ [‒ ( ‒ 155 )] = ‒[155] = ‒ 155

13. Exemplo de correções:

a) Verdadeira, pois ‒ 1 é um número inteiro, porém, por ser negativo, não é um número natural.

b) Falsa, pois 100 é um número natural, e todo número natural é um número inteiro.

c) Verdadeira, pois ‒ 9, 8 e 100 são exemplos de números inteiros.

d) Falsa, pois todo número inteiro não negativo é um número natural.

Página quarenta e cinco

14. O termômetro marca 12 graus Célsius.

Ilustração: Termômetro. De cima para baixo, as marcações são 20, 10, 0, menos 10 e menos 20. O termômetro tem o símbolo que indica grau Celsius. Há uma seta na marca de 12 graus Celsius.

Para determinar a medida da temperatura que o termômetro marcará ao baixar 15 graus, podemos fazer:

12 graus Célsius ‒ 15 graus Célsius = ‒ 3 graus Célsius

Portanto, o termômetro marcará ‒ 3 graus Célsius.

15. A: 125 ‒ 137 = ‒ 12

B: 623 ‒ 232 = 391

C: .1040 ‒ .1100 = ‒ 60

D: 323 ‒ 402 = ‒ 79

E: 729 ‒ 701 = 28

F: 630 ‒ .1200 = ‒ 570

a) As subtrações que têm como resultado um número natural são as indicadas nos itens B e .

b) Todas as subtrações têm como resultado um número inteiro.

16. Observe os exemplos.

• O oposto de 5 é ‒ 5. Logo: 5 + ( ‒ 5 ) = 0.

• O oposto de ‒ 20 é 20. Logo: ‒ 20 + 20 = 0.

• O oposto de n é ‒ n. Logo: n + ( ‒ n ) = 0.

Portanto, a soma de dois números opostos é sempre zero.

17. Os gols sofridos são representados por números inteiros negativos e os gols marcados, por números inteiros positivos. Como o saldo de gols é ‒ 15, se o time Unidos do Bairro sofrer 3 gols e fizer 1 gol, teremos:

‒ 15 ‒ 3 + 1 = ‒ 18 + 1 = ‒ 17

Logo, o novo saldo de gols será ‒ 17 gols.

Atividades

▶ Página 22

1. a)

\frac{6}{4}

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão 6 por 4. Na primeira linha, à esquerda, 6, dentro da chave, 4. Abaixo do 6, menos 4. Abaixo da chave, um vírgula cinco. Abaixo do menos 4, traço horizontal. Abaixo do traço, vinte. Abaixo do 20, menos vinte. Abaixo do menos vinte, traço horizontal. Abaixo do traço, zero.

Portanto,

\frac{6}{4} = 1,5

\frac{1}{9}

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão 10 por 9. Na primeira linha, à esquerda, 10, dentro da chave, 9. Abaixo do 10, 10. Abaixo da chave, zero vírgula um, um, um, reticências. Abaixo do 10, 10. Abaixo do 10, 1.

Portanto,

\frac{1}{9} = 0,111 . . . = 0, \overline{1}

\frac{1}{3}

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão 10 por 3. Na primeira linha, à esquerda, 10, dentro da chave, 3. Abaixo do 10, menos 9. Abaixo da chave, 0 vírgula três, três, reticências. Abaixo do menos 9 traço horizontal. Abaixo do traço, 10. Abaixo do 10, menos 9. Abaixo do menos 9, traço horizontal. Abaixo do traço, 1.

Portanto,

\frac{1}{3} = 0,333 . . . = 0, \overline{3}

7 \frac{3}{4} = \frac{28 + 3}{4} = \frac{31}{4}

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão 31 por 4. Na primeira linha, à esquerda, 31, dentro da chave, 4. Abaixo do 31, 30. Abaixo da chave, sete vírgula setenta e cinco. Abaixo do 30, 20. Abaixo do 20, zero.

Portanto,

7 \frac{3}{4} = 7,75

• Dos resultados obtidos, 1,5 e 7,75 são decimais exatos e

0, \overline{1}

0, \overline{3}

são dízimas periódicas.

2. a) Na figura um, de um total de 25 quadradinhos, 9 estão pintados inteiramente e 12 estão pintados pela metade. Como a cada duas metades obtemos um quadradinho inteiro, com 12 metades teremos 6 quadradinhos inteiros. Assim, temos 15 quadradinhos pintados de azul, pois 9 + 6 = 15. Representando em fração, temos:

\frac{15}{25} = \frac{3}{5}

Na figura dois, de um total de 25 quadradinhos, 13 estão pintados inteiramente e 10 estão pintados pela metade. Como a cada duas metades temos um quadradinho inteiro, teremos 5 quadradinhos inteiros. Assim, temos 18 quadradinhos pintados de azul, pois 13 + 5 = 18. Representando em fração, temos:

\frac{18}{25}

Logo, um número racional na fórma de fração que representa a parte colorida de azul na figura um é

\frac{3}{5}

e na figura dois,

\frac{18}{25}

b) Pelo item a, sabemos que na figura um há 15 quadradinhos pintados de azul, ou seja, 10 quadradinhos brancos ( 25 ‒ 15 = 10 ). Para representar na fórma decimal, podemos fazer:

\frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0, 4

Na figura dois há 18 quadradinhos pintados de azul, ou seja, 7 quadradinhos brancos ( 25 ‒ 18 = 7 ). Para representar na fórma decimal, podemos fazer:

\frac{7}{25} = 0,2 8

Logo, um número racional na fórma decimal que representa a parte branca na figura um é 0,4 e na figura dois é 0,28.

3. Utilizando uma calculadora, obtemos os seguintes resultados:

1 : 9 = 0,111 \dots = 0, \overline{1}

2 : 9 = 0,222 . . . = 0, \overline{2}

3 : 9 = 0,333 . . . = 0, \overline{3}

4 : 9 = 0,444 . . . = 0, \overline{4}

Página quarenta e seis

Espera-se que os estudantes identifiquem o padrão existente nessas divisões por 9 e, sem usar a calculadora, determinem que o resultado de cada divisão será:

•

5 : 9 = 0,555 . . . = 0, \overline{5}

•

6 : 9 = 0,666 . . . = 0, \overline{6}

•

7 : 9 = 0,777 . . . = 0, \overline{7}

•

8 : 9 = 0,888 . . . = 0, \overline{8}

4. Para escrever os números em ordem crescente, podemos representar as frações como números decimais a fim de facilitar a comparação entre esses números, para, então, ordená-los do menor para o maior valor. Assim, temos:

•

\frac{8}{7} ≃ 1,14

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão 8 por 7. Na primeira linha, à esquerda, 8, dentro da chave, 7. Abaixo do 8, menos sete. Abaixo da chave, um vírgula catorze, reticências. Abaixo do menos sete, traço horizontal. Abaixo do traço, dez. Abaixo do dez, menos sete. Abaixo do menos sete, traço horizontal. Abaixo do traço, trinta. Abaixo do trinta, menos vinte e oito. Abaixo do menos vinte e oito, traço horizontal. Abaixo do traço, dois.

•

\frac{4}{3} = 1, \overline{3}

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão 4 por 3. Na primeira linha, à esquerda, 4, dentro da chave, 3. Abaixo do 4, menos três. Abaixo da chave, um vírgula trinta e três, reticências. Abaixo do menos 3, traço horizontal. Abaixo do traço, 10. Abaixo do 10, menos nove. Abaixo do menos nove, traço horizontal. Abaixo do traço, dez. Abaixo do dez, menos nove. Abaixo do menos nove, traço horizontal. Abaixo do traço, um.

•

‒ \frac{3}{4} = ‒ 0,75

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão 30 por 4. Na primeira linha, à esquerda, 30, dentro da chave, 4. Abaixo do 30, menos vinte e oito. Abaixo da chave, zero vírgula setenta e cinco, reticências. Abaixo do menos vinte e oito, traço horizontal, Abaixo do traço, 20. Abaixo do 20, menos vinte. Abaixo do menos vinte, traço horizontal, abaixo do traço, zero.

Portanto, escrevendo os números em ordem crescente, temos:

‒ 1,4

;

‒ \frac{3}{4}

;

\frac{8}{7}

;

\frac{4}{3}

;

1, 91 \overline{6}

5. a)

0, \overline{2} + 0, \overline{5} ‒ 0, \overline{7} = 0,2222 . . . + 0,5555 . . . ‒ 0,7777 . . . = 0

b) Obtendo as frações geratrizes das dízimas periódicas

0, \overline{8}

5, \overline{6}

, temos:

x = 0,888... (um)

10x = 8,888... (dois)

9x = 8 (dois – um)

x = \frac{8}{9}

y = 5,666... (três)

10y = 56,666... (quatro)

9y = 51 (quatro – três)

y = \frac{51}{9}

Então, podemos fazer:

0, \overline{8} : 5, \overline{6} = \frac{8}{9} : \frac{51}{9} = \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{51} = \frac{8}{51}

c) Obtendo as frações geratrizes das dízimas periódicas

1,8 \overline{3}

0,5 \overline{27}

, temos:

x = 1,8333... (um)

10x = 18,333... (dois)

100x = 183,333... (três)

90x = 165 (três – dois)

x = \frac{165}{90} = \frac{33}{18} = \frac{11}{6}

y = 0,52727... (quatro)

10y = 5,2727... (cinco)

.1000y = 527,2727... (seis)

990y = 522 (seis – cinco)

y = \frac{522}{990} = \frac{29}{55}

Então, podemos fazer:

1,8 \overline{3} \cdot 0,5 \overline{27} = \frac{11}{6} \cdot \frac{29}{55} = \frac{29}{30}

6. Podemos começar pela 1ª coluna. Para determinar o número que falta para que a soma seja igual a 30, podemos fazer:

30 ‒ (\frac{19}{3} + \frac{23}{3} + 6) = 30 ‒ (\frac{42}{3} + 6) = 30 ‒ (14 + 6) = 30 ‒ 20 = 10

Na 3ª linha, podemos fazer:

30 ‒ (\frac{23}{3} + 7 + \frac{20}{3}) = 30 ‒ (\frac{23 + 21 + 20}{3}) = 30 ‒ \frac{64}{3} = \frac{90 ‒ 64}{3} = \frac{26}{3}

Assim, ficamos com o seguinte quadrado mágico:

Quadro: 4 linhas e 4 colunas. Primeira linha, da esquerda para a direita: dez; dezessete sobre três; quadrado vazio; nove. Segunda linha, da esquerda para a direita: dezenove sobre três; quadrado vazio; oito; quadrado vazio. Terceira linha. da esquerda para a direita: vinte e três sobre três; sete; vinte sobre três; vinte e seis sobre três. Quarta linha, da esquerda para a direita: seis; nove; quadrado vazio; quadrado vazio.

Na 1ª linha, podemos fazer:

30 ‒ (10 + \frac{17}{3} + 9) = 30 ‒ (\frac{30 + 17 + 27}{3}) = 30 ‒ \frac{74}{3} = \frac{90 ‒ 74}{3} = \frac{16}{3}

Na 2ª coluna, podemos fazer:

30 ‒ (\frac{17}{3} + 7 + 9) = 30 ‒ (\frac{17 + 21 + 27}{3}) = 30 ‒ \frac{65}{3} = \frac{90 ‒ 65}{3} = \frac{25}{3}

Assim, ficamos com o seguinte quadrado mágico:

Quadro: 4 linhas e 4 colunas. Primeira linha, da esquerda para a direita: dez; dezessete sobre três; dezesseis sobre três; nove. Segunda linha, da esquerda para a direita: dezenove sobre três; vinte e cinco sobre três; oito; quadrado vazio. Terceira linha. da esquerda para a direita: vinte e três sobre três; sete; vinte sobre três; vinte e seis sobre três. Quarta linha, da esquerda para a direita: seis; nove; quadrado vazio; quadrado vazio.

Na 2ª linha, podemos fazer:

30 ‒ (\frac{19}{3} + \frac{25}{3} + 8) = 30 ‒ (\frac{19 + 25 + 24}{3}) = 30 ‒ \frac{68}{3} = \frac{90 ‒ 68}{3} = \frac{22}{3}

Na 3ª coluna, podemos fazer:

30 ‒ (\frac{16}{3} + 8 + \frac{20}{3}) = 30 ‒ (\frac{36}{3} + 8) = 30 ‒ 20 = 10

Página quarenta e sete

Assim, ficamos com o seguinte quadrado mágico:

Por fim, na 4ª linha, podemos fazer:

30 ‒ (6 + 9 + 10) = 30 ‒ 25 = 5

Logo:

Ilustração: menina branca, de cabelo castanho comprido, calça verde e camiseta rosa. À direita um menino branco, de cabelo curto preto, de camisa laranja e calça jeans carrega em um carrinho de mão 16 cubos empilhados, sendo 4 linhas com 4 cubos cada. Na face aparente do cubo há alguns números, na seguinte ordem: de cima para baixo, Primeira linha da esquerda para a direita: dez; dezessete sobre três; dezesseis sobre três; nove. Segunda linha, da esquerda para a direita: dezenove sobre três; vinte e cinco sobre três; oito; vinte e dois sobre três. Terceira linha. da esquerda para a direita: vinte e três sobre três; sete; vinte sobre três; vinte e seis sobre três. Quarta linha, da esquerda para a direita: seis; nove; dez; cinco.

Atividades

▶ Página 25

1. Observando a reta numérica apresentada na atividade, temos:

Figura geométrica. Reta numérica: da esquerda para a direita, os números: menos sete, menos seis, menos cinco, menos quatro, menos três, menos dois, menos um, zero, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete.

• ‒ 7: número negativo e não positivo

• ‒ 2: número negativo e não positivo

• 0: número natural e não positivo

• 1: número natural e positivo

• 5: número natural e positivo

Portanto, o quadro preenchido fica da seguinte maneira:

	Número negativo	Número natural	Número positivo	Número não positivo
−7	X			X
−2	X			X
0		X		X
1		X	X
5		X	X

2. Espera-se que os estudantes localizem corretamente os números na reta numérica, de acordo com o esquema feito a seguir.

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita. Há a marcação de 17 traços verticais igualmente espaçados na reta. Da esquerda para a direita, no primeiro traço há uma seta para cima com o número menos oito dentro de um quadro. No segundo traço, há uma seta para baixo com o número menos sete dentro de um quadro. No quinto traço, há uma seta para cima com o número menos quatro dentro de um quadro. No oitavo traço, há uma seta para baixo com o número menos um dentro de um quadro. No nono traço há o número zero. No décimo traço, há o número um. No décimo terceiro traço há uma seta para baixo, com o número quatro dentro de um quadro. No décimo sétimo traço, há uma seta para cima com o número oito dentro de um quadro.

3. Espera-se que os estudantes copiem a reta numérica e indiquem os números conforme indicado a seguir:

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita. Da esquerda para a direita, os números: menos seis, menos cinco vírgula dois, menos cinco, menos quatro, menos três vírgula um, menos três, menos dois vírgula cinco, menos dois, menos um vírgula três, menos um, zero, um, um vírgula três, dois, dois vírgula cinco, três, três vírgula um, quatro, cinco, cinco vírgula dois, seis.

Espera-se que os estudantes escrevam os números na seguinte ordem:

‒ 5,2; ‒ 3,1; ‒ 2,5; ‒1,3; 1,3; 2,5; 3,1; 5,2

4. • Para representar

‒ \frac{3}{8}

na fórma decimal, vamos efetuar a divisão de 3 por 8.

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão 30 por 8. Na primeira linha, à esquerda, 30, dentro da chave, 8.
Abaixo do 30, 60. Abaixo da chave, zero vírgula três, sete, cinco. Abaixo do sessenta, 40. Abaixo do 40, zero.

Logo,

‒ \frac{3}{8} = ‒ 0,375

• Para representar

\frac{5}{3}

na fórma decimal, vamos efetuar a divisão de 5 por 3.

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão 5 por 3. Na primeira linha, à esquerda, 5, dentro da chave, 3. Abaixo do 5, 20. Abaixo da chave, um vírgula seis, seis, seis, reticências. Abaixo do 20, 20. Abaixo do 20, 20. Abaixo do 20, 2.

Logo,

\frac{5}{3} = 1,666 \dots

• Para representar

\frac{7}{6}

na fórma decimal, vamos efetuar a divisão de 7 por 6.

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão 7 por 6. Na primeira linha, à esquerda, 7, dentro da chave, 6. Abaixo do 7, 10. Abaixo da chave, um vírgula um, seis, seis, reticências. Abaixo do 10, 40. Abaixo do 40, 40. Abaixo do 40, 4.

Logo,

\frac{7}{6} = 1,166 \dots

• Para representar

‒ \frac{7}{10}

na fórma decimal, vamos efetuar a divisão de 7 por 10.

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão 70 por 10. Na primeira linha, à esquerda, 70, dentro da chave, 10. Abaixo do 70, 0. Abaixo da chave, zero vírgula sete.

Logo,

‒ \frac{7}{10} = ‒ 0,7

Escrevendo os números decimais na ordem decrescente, temos:

1,666reticências, 1,1666reticências; ‒ 0,375; ‒ 0,7

Página quarenta e oito

Portanto, os números indicados em ordem decrescente são:

\frac{5}{3}

;

\frac{7}{6}

;

‒ \frac{3}{8}

;

‒ \frac{7}{10}

Portanto, a localização aproximada desses números na reta numérica é:

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita, com a marcação de traços verticais para os pontos menos um, zero e 1. Entre menos um e zero, estão marcados os pontos menos 7 décimos e menos 3 oitavos. Depois do 1, estão marcados os pontos 7 sextos e 5 terços.

5. a) Falsa, pois

\frac{1}{3} = 0,333 \dots

está entre 0 e 1, enquanto ‒

\frac{5}{8}

= ‒ 0,625 está entre ‒ 1 e 0. Representando

\frac{1}{3}

‒ \frac{5}{8}

na reta numérica, temos:

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita e 5 marcações igualmente espaçadas com os números menos três, menos dois, menos um, zero e um da esquerda para a direita. Entre os números menos um e zero, um ponto com o número menos cinco oitavos. Entre os números zero e um, um ponto com o número um terço.

b) Falsa, pois, entre quaisquer números racionais, existem infinitos números racionais.

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita. Há 4 traços verticais igualmente espaçados marcados na reta. Da esquerda para a direita, o primeiro traço tem o número menos três, o segundo traço, o número menos dois, o quarto traço, o número zero. Entre o menos três e o menos dois, há uma chave acima com a indicação 'infinitos números racionais'.

c) Verdadeira, pois ‒ 200 é o antecessor de ‒ 199.

6. Exemplos de respostas:

a) Número racional que esteja entre 1 e 11: 6.

b) Número racional que esteja entre ‒ 3 e 0: ‒ 2.

c) Número racional que esteja entre 1 e 2:

\frac{3}{2}

d) Número racional que esteja entre ‒ 3 e ‒ 2: ‒ 2,5.

7. Os estudantes podem apresentar as respostas na fórma decimal ou na fórma fracionária.

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita, há 5 pontos marcados igualmente espaçados. Da esquerda para a direita, o primeiro ponto tem o número zero. O quarto ponto tem uma seta para baixo com o número 0,75 dentro de um quadro. O quinto ponto tem o número 1.

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita, há 3 pontos marcados igualmente espaçados. Da esquerda para a direita, o primeiro ponto tem o número menos cinco, o segundo ponto tem uma seta para baixo com o número menos quatro vírgula cinco dentro de um quadro. O terceiro ponto tem o número menos quatro.

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita. Há 4 pontos marcados igualmente espaçados. Da esquerda para a direita, o primeiro ponto tem o número um. O terceiro ponto tem uma seta para baixo com o número misto um inteiro e dois terços dentro de um quadro. O quarto ponto tem o número dois.

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita. Há 11 pontos marcados igualmente espaçados. Da esquerda para a direita, o primeiro ponto tem o número menos um. O quarto ponto tem uma seta para baixo com o número menos 0,7 dentro de um quadro. No décimo primeiro ponto tem o número zero.

8. Exemplo de reta numérica que pode ser desenhada pelos estudantes:

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita, da esquerda para a direita, os números: menos um; menos três sobre cinco; zero; um.

a) Espera-se que os estudantes identifiquem que o ponto correspondente ao número

‒ \frac{3}{5}

na reta numérica está localizado à direita do ponto que representa ‒ 1.

b) Espera-se que os estudantes respondam que o número natural representado pelo ponto localizado entre os pontos correspondentes a ‒ 1 e 1 é o número 0.

• Resposta pessoal. Exemplo de questão: Represente na reta numérica os pontos correspondentes aos números

\frac{5}{3}

\frac{3}{10}

‒ \frac{3}{2}

. Agora, responda aos itens a seguir.

a) O ponto correspondente ao número

‒ \frac{3}{2}

na reta numérica está localizado à direita ou à esquerda do ponto que representa ‒1?

b) O ponto que representa determinado número natural está localizado entre os pontos correspondentes a

\frac{3}{10}

\frac{5}{3}

. Qual é o número natural representado por esse ponto?

Resolução: Representando os números na reta numérica, temos:

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita, da esquerda para a direita, os números: menos três, menos dois, menos três meios, menos um, zero, três sobre dez, um, cinco terços, dois, três.

a) O ponto está localizado à esquerda.

b) O número natural representado por esse ponto é o 1.

9. Essa atividade oferece aos estudantes a oportunidade de observar o que ocorre com um número racional escrito na fórma fracionária conforme aumentamos seu denominador. Para cada uma dessas frações existe um ponto correspondente na reta numérica e, quanto maior for o denominador, mais próximo do zero ficará o número. Vale lembrar aos estudantes que eles não precisam produzir explicações escritas de maneira formal. O mais importante é que possam se expressar oralmente, de modo que expliquem o que foi observado. Nesse mesmo sentido, a representação na reta numérica poderá ser aproximada.

a) Representando os números na reta numérica, temos:

Figura geométrica. Reta numérica com seta para a direita, há marcação dos pontos 0 e 1. Entre os pontos zero e um, há nove traços identificados, da esquerda para a direita, com os números: um sobre dez, um sobre nove, um sobre oito, um sobre sete, um sobre seis, um sobre cinco, um sobre quatro, um sobre três e um sobre dois.

b) Exemplo de resposta: Os pontos que correspondem aos números da sequência ficam cada vez mais próximos do ponto que corresponde ao zero.

Atividades

▶ Página 27

1. Nessa atividade, são apresentadas algumas fotos com números que pertencem a diferentes conjuntos numéricos. Organize os estudantes em grupos e peça a eles que também apresentem situações do cotidiano que contenham números que correspondam a cada conjunto numérico. Pode-se organizar na lousa ou em um painel um quadro com os conjuntos numéricos e pedir a cada grupo que o preencha com a situação que identificou de cada conjunto numérico. Os estudantes poderão ter dificuldades para encontrar nas situações do cotidiano números que pertençam ao conjunto dos números irracionais. Essa conclusão é importante para que percebam que os números irracionais são utilizados em cálculos matemáticos, por exemplo na raiz quadrada.

Espera-se que os estudantes respondam que:

Página quarenta e nove

a) os números que aparecem na foto desse item pertencem ao conjunto dos números racionais e reais.

b) os números que aparecem na foto desse item pertencem ao conjunto dos números naturais, inteiros, racionais e reais.

c) os números que aparecem na foto desse item pertencem ao conjunto dos números racionais e reais.

d) os números que aparecem na foto desse item pertencem ao conjunto dos números naturais, inteiros, racionais e reais.

2. a) Espera-se que os estudantes respondam que não é possível identificar apenas com os algarismos visíveis na tela da calculadora. Explique que o número que aparece no visor da calculadora é parte da representação decimal de

\frac{1}{19}

, que é um número racional. Além disso, o período da dízima só começa a se repetir após a 19ª casa decimal.

b) Espera-se que os estudantes respondam que não, pois às vezes o período de uma dízima periódica é muito grande e em sua representação decimal expressamos um número insuficiente de casas após a vírgula para identificar esse período.

3. Exemplos de respostas:

7 = \frac{14}{2}

0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}

‒ 7 = ‒ \frac{7}{1}

‒ 1,32 = ‒ \frac{132}{100}

e) Indicamos a dízima por x: x = 0,666... (um)

Multiplicando ambos os membros da igualdade (um) por 10, temos: 10x = 6,666... (dois)

Subtraindo membro a membro (um) de (dois), temos: 9x = 6

Logo:

x = \frac{6}{9}

Portanto,

0,666 \dots = \frac{6}{9}

f) Indicamos a dízima por xis: x = 1,555... (um)

Multiplicando ambos os membros da igualdade (um) por 10, temos: 10x = 15,555... (dois)

Subtraindo membro a membro (um) de (dois), temos: 9x = 14

Logo:

x = \frac{14}{9}

Portanto,

1,555 \dots = \frac{14}{9}

24,3 = \frac{243}{10}

1,05 = \frac{105}{100}

4. Espera-se que os estudantes percebam que:

\frac{32}{4} = 8

pertence ao conjunto dos números naturais.

\frac{32}{4} = 8

e ‒ 27 pertencem ao conjunto dos números inteiros.

\frac{32}{4} = 8

, ‒ 27,

\frac{3}{5}

1, \overline{35}

são números racionais.

‒ \sqrt{2}

e π são números irracionais.

‒ \sqrt{2}

e π são números reais e não racionais.

\frac{32}{4} = 8

, ‒ 27,

\frac{3}{5}

1, \overline{35}

são números reais e não irracionais.

5. Exemplos de respostas:

a) Número inteiro e não natural: ‒ 15.

b) Número real e não racional: π.

c) Número racional e não inteiro: 0,5678.

d) Número inteiro e irracional: não é possível.

6. a) Todo número irracional é um número real.

b) Todo número racional é um número real.

c) Como o conjunto dos números inteiros está contido nos conjuntos dos números racionais e reais, então existem duas possibilidades para completar a frase:

• Todo número inteiro é um número racional.

• Todo número inteiro é um número real.

d) Como o conjunto dos números naturais está contido nos conjuntos dos números inteiros, racionais e reais, então existem três possibilidades de completar a frase:

• Todo número natural é um número inteiro.

• Todo número natural é um número racional.

• Todo número natural é um número real.

7. Para escrever os números em ordem crescente, podemos, primeiro, escrevê-los na fórma decimal, com aproximação de uma casa decimal. Assim, temos:

Quadro com duas linhas e três colunas. Na primeira linha, da esquerda para a direita, menos doze sobre cinco igual a menos dois vírgula quatro; três, vírgula sessenta e dois com traço acima do sessenta e dois indicando dízima periódica; menos um vírgula dois com traço acima do dois indicando dízima periódica. Na segunda linha, da esquerda para a direita, quarenta sobre sete aproximadamente cinco vírgula sete; menos pi aproximadamente menos três vírgula um; três vírgula sessenta e dois com traço acima do dois indicando dízima periódica.

Escrevendo os números obtidos em ordem crescente, temos:

‒ 3,1; ‒ 2,4;

‒ 1, \overline{2}

;

3, 6 \overline{2}

;

3, \overline{62}

; 5,7

Ou seja:

‒ π;

‒ \frac{12}{5}

;

‒ 1, \overline{2}

;

3, 6 \overline{2}

;

3, \overline{62}

;

\frac{40}{7}

8. Respostas pessoais. Exemplos de respostas:

a) Números irracionais maiores que 2,5 e menores que 3:

\sqrt{7} ≃ 2,6

\sqrt{8} ≃ 2,8

b) Números racionais maiores que

‒ \frac{7}{8}

e menores que

‒ \frac{3}{4}

‒ \frac{7}{8} = ‒ 0,875

‒ \frac{3}{4} = ‒ 0,75

‒ \frac{7}{9} = ‒ 0, \overline{7}

;

‒ \frac{8}{10} = ‒ 0,8

Trabalho em equipe

▶ Página 28

Resoluções e comentários em Orientações.

Atividades

▶ Páginas 31 e 32

1. São 7 mulheres, cada mulher com 7 sacos, cada saco com 7 gatos, cada gato com 7 gatinhos. Então, temos:

7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{4} = 2 401

Portanto, havia /2401 gatinhos.

2. a)

3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27

{(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}

4^{0} = 1

{(‒ 5)}^{2} = (‒ 5) \cdot (‒ 5) = 25

Página cinquenta

{(‒ \frac{1}{5})}^{3} = (‒ \frac{1}{5}) \cdot (‒ \frac{1}{5}) \cdot (‒ \frac{1}{5}) = ‒ \frac{1}{125}

{(‒ 7)}^{3} = (‒ 7) \cdot (‒ 7) \cdot (‒ 7) = ‒ 343

3. a)

2^{‒ 1} = {(\frac{1}{2})}^{1} = \frac{1}{2}

2^{‒ 2} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

{(‒ 2)}^{‒ 2} = {(‒ \frac{1}{2})}^{2} = (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}

{(‒ 2)}^{‒ 3} = {(‒ \frac{1}{2})}^{3} = (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) = ‒ \frac{1}{8}

{(\frac{1}{2})}^{‒ 1} = 2^{1} = 2

{(‒ \frac{1}{2})}^{‒ 1} = {(‒ 2)}^{1} = ‒ 2

{(‒ \frac{1}{2})}^{‒ 4} = {(‒ 2)}^{4} = (‒ 2) \cdot (‒ 2) \cdot (‒ 2) \cdot (‒ 2) = 16

4. a)

1^{4} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

1^{‒ 2} = {(\frac{1}{1})}^{2} = (\frac{1}{1}) \cdot (\frac{1}{1}) = \frac{1}{1} = 1

1^{0} = 1

1^{101} = 1

• Exemplo de resposta: Quando a base de uma potência é 1, o resultado também é igual a 1.

5. • Na 1ª linha, basta resolver a potência:

2^{6} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64

• Fatorando o resultado da 2ª linha, temos:

27 = 3^{3}

Sabendo que o expoente é negativo, então:

3^{3} = {(\frac{1}{3})}^{‒ 3}

• Na 3ª linha, vamos fatorar o resultado para determinar o expoente.

\frac{4}{25} = \frac{2^{2}}{5^{2}} = {(\frac{2}{5})}^{2}

• Fatorando o resultado da 4ª linha, temos:

\frac{1}{32} = \frac{1}{2^{5}} = {(\frac{1}{2})}^{5} = 2^{‒ 5}

Portanto, há duas potências possíveis para que o resultado seja

\frac{1}{32}

Potência	Base	Expoente	Resultado
26	2	6	64
$abre parênteses divisão de 1 sobre 3 fecha parênteses elevado a menos 3$	$divisão de 1 sobre 3$	−3	27
$abre parênteses divisão de 2 sobre 5 fecha parênteses elevado a 2$	$divisão de 2 sobre 5$	2	$divisão de 4 sobre 25$
$abre parênteses divisão de 1 sobre 2 fecha parênteses elevado a 5$ ou (2)−5	$divisão de 1 sobre 2$ ou 2	5 ou −5	$divisão de 1 sobre 32$

• Espera-se que os estudantes percebam que sim, a 4ª linha.

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

•

{(\frac{2}{5})}^{2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}

•

{(‒ \frac{1}{3})}^{4} = (‒ \frac{1}{3}) \cdot (‒ \frac{1}{3}) \cdot (‒ \frac{1}{3}) \cdot (‒ \frac{1}{3}) = \frac{1}{81}

•

2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

•

{(‒ 4)}^{3} = (‒ 4) \cdot (‒ 4) \cdot (‒ 4) = ‒ 64

•

{(‒ 2)}^{5} = (‒ 2) \cdot (‒ 2) \cdot (‒ 2) \cdot (‒ 2) \cdot (‒ 2) = ‒ 32

a) Espera-se que os estudantes percebam que as potências cujas bases são positivas tiveram resultado positivo.

b) Espera-se que os estudantes percebam que as potências cujas bases são negativas tiveram resultado positivo quando os expoentes eram pares e resultado negativo quando os expoentes eram ímpares.

7. •

10^{‒ 1} = {(\frac{1}{10})}^{1} = \frac{1}{10} = 0,1

•

10^{‒ 2} = {(\frac{1}{10})}^{2} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100} = 0,01

•

10^{‒ 5} = {(\frac{1}{10})}^{5} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100 000} = 0,00001

•

10^{‒ 11} = {(\frac{1}{10})}^{11} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}

\frac{1}{100 000 000 000} = 0, 00000000001

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Quanto maior for o expoente da potência, mais perto do zero eles ficam posicionados na reta numérica.

8. Observando a sequência apresentada, notamos que o número de bolinhas de cada figura é o dobro do número de bolinhas da figura anterior. Organizando os dados em um quadro, temos:

Quadro com 2 linhas e 5 colunas. Na primeira linha, da esquerda para a direita, identificadas como: Figura; 1; 2; 3; 4. Na segunda linha, da esquerda para a direita, identificadas como: Número de bolinhas; 1 igual a dois elevado a zero; dois igual a dois elevado a um; quatro igual a dois elevado a dois; oito igual a dois elevado a três. Abaixo da segunda linha, uma seta que parte da segunda coluna para a terceira com a indicação de multiplicação por dois. Uma seta que parte da terceira coluna para a quarta com a indicação de multiplicação por dois. Uma seta que parte da quarta coluna para a quinta com a indicação de multiplicação por dois.

a) Logo, o número de bolinhas da figura 5 será o dobro do número de bolinhas da figura 4, ou seja, 2 ⋅ 8 = 16.

Portanto, a figura 5 terá 16 bolinhas.

Ilustração: Figura com 16 bolinhas vermelhas distribuídas em 4 linhas com 4 bolinhas cada. Abaixo da figura, a indicação 'Figura 5'.

b) Espera-se que os estudantes percebam que se trata de uma sequência de potências de base 2. Chamando de

n a posição de cada figura, notamos que o expoente em cada uma é ( n ‒ 1 ).

• Figura 1 → n = 1 →

2^{0}

(uma bolinha)

• Figura 2 → n = 2 →

2^{1}

(duas bolinhas)

• Figura 3 → n = 3 →

2^{2}

(4 bolinhas)

• Figura 4 → n = 4 →

2^{3}

(8 bolinhas)

Página cinquenta e um

• Figura 5 → n = 5 →

2^{4}

(16 bolinhas)

• Figura 10 → n = 10 →

2^{9}

(quinhentas e doze bolinhas)

Portanto, o número de bolinhas da figura 10 será igual a

2^{9}

, ou seja, quinhentas e doze bolinhas.

9. a) Reescrevendo a sequência, temos:

3^{3}

3^{2}

3^{1}

,reticências

Observamos que os expoentes das potências diminuem de 1 em 1. Assim, os próximos termos da sequência serão:

•

3^{0} = 1

•

3^{‒ 1} = \frac{1}{3}

•

3^{‒ 2} = \frac{1}{9}

•

3^{‒ 3} = \frac{1}{27}

•

3^{‒ 4} = \frac{1}{81}

b) Reescrevendo a sequência, temos:

5^{‒ 1}

5^{‒ 2}

5^{‒ 3}

,reticências

Observamos que os expoentes das potências diminuem de 1 em 1. Assim, os próximos termos da sequência serão:

•

5^{‒ 4} = \frac{1}{625}

•

5^{‒ 5} = \frac{1}{3 125}

•

5^{‒ 6} = \frac{1}{15 625}

•

5^{‒ 7} = \frac{1}{78 125}

•

5^{‒ 8} = \frac{1}{390 625}

10. a)

5^{0} + {(0,25)}^{‒ 2} ‒ {(0,5)}^{‒ 2} ‒ 2^{4} =

= 1 + {(\frac{1}{4})}^{‒ 2} ‒ {(\frac{1}{2})}^{‒ 2} ‒ 16 =

= 1 + 4^{2} ‒ 2^{2} ‒ 16 =

= 1 + 16 ‒ 4 ‒ 16 =

= ‒ 3

{(\frac{1}{2} ‒ 1)}^{‒ 1} + {(‒ 2)}^{3} =

{= (\frac{1}{2} ‒ \frac{2}{2})}^{‒ 1} + (‒ 8) =

= {(‒ \frac{1}{2})}^{‒ 1} ‒ 8 =

= ‒ 2 ‒ 8 =

= ‒ 10

11. Espera-se que os estudantes leiam e interpretem o texto para completar corretamente o quadro da seguinte maneira:

Horário	Quantidade de pessoas que receberam o e-mail	Potência
13 h	4	41
13 h 30 min	4 ⋅ 4 = 16	42
14 h	4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64	43
14 h 30 min	4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 256	44

• Para saber quantas pessoas receberam o e-mail até as 14 horas 30 minutos, adicionamos os valores da segunda coluna:

4 + 16 + 64 + 256 = 340

Portanto, trezentas e quarenta pessoas receberam o e-mail até as 14 horas 30 minutos.

Atividades

▶ Página 34

1. Para expressar os números em notação científica, fazemos:

0,02 = 2 \cdot 10^{‒ 2}

0,0002 = 2 \cdot 10^{‒ 4}

200 000 = 2 \cdot 10^{5}

1 002 = 1,002 \cdot 10^{3}

0,000012 = 1,2 \cdot 10^{‒ 5}

1 200 000 000 = 1,2 \cdot 10^{9}

0,000000371 = 3,71 \cdot 10^{‒ 7}

12 560 000 000 = 1,256 \cdot 10^{10}

0,0000000007 = 7 \cdot 10^{‒ 10}

456,987 = 4,56987 \cdot 10^{2}

2. Para resolver o problema, podemos fazer:

• 100 bilhões:

100 000 000 000 = 10^{11}

• número total aproximado de estrelas:

10^{11} \cdot 10^{11} = 10^{11 + 11} = 10^{22}

Logo, existem no Universo, em média, 10²² estrelas.

3. As potências de base 10 cujo expoente é um inteiro negativo são menores que as potências de base 10 cujo expoente é um inteiro positivo. Além disso, considerando a relação entre o expoente e o número de algarismos zero desses números, temos:

10^{‒ 11}

10^{‒ 10}

10^{‒ 5}

10^{2}

10^{5}

10^{7}

4. Efetuando as operações, temos:

a) 37,3 ⋅ 10–2 + 0,01 ⋅ 102 = 0,373 ⋅ 100 + 1 ⋅ 100 =

= (0,373 + 1) ⋅ 100  = 1,373 ⋅ 100

b) 0,00034 + 25,2 ⋅ 10–2 = 0,0034 ⋅ 10–1 + 2,52 ⋅ 10–1 =

= (0,0034 + 2,52) ⋅ 10–1 = 2,5234 ⋅ 10–1

c) 13 200 ⋅ 103 ‒ 5,4 ⋅ 105 = 1,32 ⋅ 107 ‒ 0,054 ⋅ 107 =

= (1,32 ‒ 0,054) ⋅ 107 = 1,266 ⋅ 107

5. Para encontrar os possíveis valores de x, fazemos:

2,53 \cdot 10^{4} < x < 2,54 \cdot 10^{4}

2,53 ⋅ .10000 < x < 2,54 ⋅ .10000

.25300 < x < .25400

Como x é menor que .25400, então vamos contar até .25399. Logo, .25399 ‒ .25300 = 99.

Portanto, há 99 possíveis valores para x.

6. Escrevendo os números informados em notação decimal, temos:

•

3,66 \cdot 10^{8} = 3,66 \cdot 100 000 000 = 366 000 000

•

1,39 \cdot 10^{9} = 1,39 \cdot 1 000 000 000 = 1 390 000 000

•

5,89 \cdot 10^{3} = 5,89 \cdot 1 000 = 5 890

•

3,24 \cdot 10^{2} = 3,24 \cdot 100 = 324

Escrevendo os números obtidos em ordem crescente, temos:

324; .5890; ..366000000; ...1390000000

Portanto:

3,24 \cdot 10^{2}

;

5,89 \cdot 10^{3}

;

3,66 \cdot 10^{8}

;

1,39 \cdot 10^{9}