Página LVIIIcinquenta e oito

Parte 3

c) Espera-se que os estudantes construam um gráfico parecido com o exemplo apresentado a seguir.

ANATEL. Disponível em: https://oeds.link/QULFxv. Acesso em: 25 jun.junho 2022.

d) Os estudantes terão de decidir qual escala adotar. É fundamental que eles percebam que essa escolha é muito importante para a clareza das informações. Também convém orientá-los sobre a importância de indicar título, fonte, nome e valores dos eixos, para que qualquer pessoa possa compreender o gráfico perfeitamente, sem que seja necessária uma tabela.

4. Espera-se que os estudantes construam um gráfico parecido com o exemplo apresentado a seguir.

CPTEC-INPE. Disponível em: https://oeds.link/q6wpSH. Acesso em: 6 fev.fevereiro 2022.

Atividades de revisão

▶ Páginas 53 e 54

1. a) O maior número natural de 7 algarismos deve ter 7 algarismos 9, ou seja, 9.999.9999999999. E o sucessor é 9.999.9999999999 + 1, ou seja, 10.000.00010000000.

b) Chamando de n, n + 1 e n + 2 os três números naturais consecutivos, podemos escrever:

n + ​( n + 1 )​ + ​( n + 2 )​ = 3,0183018

3n = 3.0183018 ‒ 3

3n = 3.0153015

 

$$n=\frac{3015}{3}$$

n igual fração 3 mil 015 sobre 3

n = 1.0051005

Assim, temos:

• n = 1.0051005

• n + 1 = 1.0051005 + 1 = 1.0061006

• n + 2 = 1.0051005 + 2 = 1.0071007

Logo, esses números são 1.0051005, 1.0061006 e 1.0071007.

c) O menor número natural é 0. O sucessor de 0 é 1. Não há antecessor do zero no conjunto dos números naturais.

2. a) A maior medida de temperatura prevista foi 7 °Cgraus Célsius.

b) A menor medida de temperatura prevista foi ‒36 °Cgraus Célsius.

c) Para determinar a diferença entre as medidas de temperatura máxima e a mínima, basta calcular a diferença entre a maior e a menor medida de temperatura.

• Tóquio: 7 °Cgraus Célsius ‒ 0 °Cgraus Célsius = 7 °Cgraus Célsius

• Inuvik: ‒ 23 °Cgraus Célsius ‒ ​( ‒ 36 °Cgraus Célsius )​ = ‒ 23 °Cgraus Célsius + 36 °Cgraus Célsius = 13 °Cgraus Célsius

• Ulan Bator: ‒ 11 °Cgraus Célsius ‒ ​( ‒ 23 °Cgraus Célsius )​ = ‒ 11 °Cgraus Célsius + 23 °Cgraus Célsius = 12 °Cgraus Célsius

• Oslo: 3 °Cgraus Célsius ‒ ​( ‒ 2 °Cgraus Célsius )​ = 3 °Cgraus Célsius + 2 °Cgraus Célsius = 5 °Cgraus Célsius

3. a)

$$\frac{5}{4}=5:4=\mathrm{1,25}$$

Fração cinco quartos, igual a 5 dividido por 4, igual a 1,25.

b)

$$\frac{7}{8}=7:8=\mathrm{0,875}$$

Fração sete oitavos, igual a 7 dividido por 8, igual a 0,875.

c)

$$\frac{61}{15}=61:15=\mathrm{4,0}\bar{6}$$

Fração sessenta e um sobre quinze, igual a 61 dividido por 15, igual a 4,06, com traço acima do seis indicando dízima periódica.

d)

$$2\frac{4}{11}=\frac{11\cdot 2+4}{11}=\frac{26}{11}=26:11=2,\overline{36}$$

Número misto dois inteiros e quatro sobre onze, igual a fração de numerador onze vezes dois mais quatro e denominador onze, igual a vinte e seis sobre onze, igual a vinte e seis dividido por onze, igual a dois vírgula trinta e seis, com traço acima do 36 indicando dízima periódica.

4. a)

$$\mathrm{2,5}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$$

Sentença matemática. .Dois vírgula cinco, igual a vinte e cinco sobre dez igual a cinco sobre dois.

b) Indicamos a dízima por x: x = 17,333...reticências (Ium)

Multiplicando ambos os membros da igualdade (Ium) por 10, temos: 10x = 173,333...reticências (IIdois)

Subtraindo membro a membro (Ium) de (IIdois), temos: 9x = 156

Logo:

 

$$x=\frac{156}{9}=\frac{52}{3}$$

Sentença matemática. x igual a cento e cinquenta e seis sobre nove, igual a cinquenta e dois sobre três.

Portanto,

$$17,\bar{3}=\frac{52}{3}$$

Sentença matemática. Dezessete vírgula três, com traço acima do três indicando dízima periódica, igual a cinquenta e dois sobre três.

.

c) Indicamos a dízima por x: x = 1,777...reticências (Ium)

Multiplicando ambos os membros da igualdade (Ium) por 10, temos: 10x = 17,777...reticências (IIdois)

Subtraindo membro a membro (Ium) de (IIdois), temos:

$$9x=16$$

9 x igual a 16

Página LIXcinquenta e nove

Logo:

 

$$x=\frac{16}{9}$$

Sentença matemática. x igual a Fração: dezesseis sobre nove.

Portanto,

$$1,\bar{7}=\frac{16}{9}$$

Sentença matemática. Um vírgula sete com traço acima do sete indicando dízima periódica, igual a 16 sobre 9.

.

d) Indicamos a dízima por x: x = 1,2525...reticências (Ium)

Multiplicando ambos os membros da igualdade (Ium) por 100, temos: 100x = 125,2525...reticências (IIdois)

Subtraindo membro a membro (Ium) de (IIdois), temos: 99x = 124

Logo:

 

$$x=\frac{124}{99}$$

Sentença matemática. x igual a Fração: cento e vinte e quatro sobre noventa e nove.

Portanto,

$$1,\overline{25}=\frac{124}{99}$$

Sentença matemática. Um vírgula vinte e cinco com traço acima do vinte e cinco indicando dízima periódica igual a fração 124 sobre 99.

.

e) Indicamos a dízima por x: x = 0,145145...reticências (Ium)

Multiplicando ambos os membros da igualdade (Ium) por 1.0001000, temos: 1.0001000x = 145,145145...reticências

Subtraindo membro a membro (Ium) de (IIdois), temos: 999x = 145

Logo:

 

$$x=\frac{145}{999}$$

Sentença matemática. x igual a Fração cento e quarenta e cinco sobre novecentos e noventa e nove.

Portanto,

$$0,\overline{145}=\frac{145}{999}$$

Sentença matemática. Zero vírgula cento e quarenta e cinco com traço acima do cento e quarenta e cinco indicando dízima periódica, igual a fração 145 sobre 99.

.

f) Indicamos a dízima por x: x = 1,789789...reticências (Ium)

Multiplicando ambos os membros da igualdade (Ium) por 1.0001000, temos: 1.0001000x = 1.7891789,789789...

Subtraindo membro a membro (Ium) de (IIdois), temos: 999x = 1.7881788

Logo:

 

$$x=\frac{1788}{999}$$

Sx igual a Fração um mil setecentos e oitenta e oito sobre novecentos e noventa e nove

 

$$x=\frac{596}{333}$$

x igual a Fração um mil setecentos e oitenta e oito sobre novecentos e noventa e nove

Portanto,

$$1,\overline{789}=\frac{596}{333}$$

Um vírgula setecentos e oitenta e nove com traço acima do setecentos e oitenta e nove indicando dízima periódica, igual a fração 596 sobre 333.

.

5. Para escrever os números em ordem crescente, podemos, primeiro, escrevê-los na formafórma decimal com aproximação de uma casa. Assim, temos:

Colocando os números obtidos em ordem crescente, temos:

 

$$\mathrm{‒}6,\bar{4}$$

Sentença matemática. Números: menos 6,4 com traço acima do quatro indicando dízima periódica; fração três sobre dez; fração cinco sobre três; fração sete sobre dois; quatro vírgula cinco; fração vinte e quatro sobre cinco.

; 0,3;

$$1,\bar{6}$$

Um vírgula seis, com traço acima do seis indicando dízima periódica

;

$$\text{3,5}$$

três vírgula cinco

; 4,5;

$$\text{4,8}$$

quatro vírgula oito

Ou seja:

 

$$\mathrm{‒}6,\bar{4}$$

Menos seis vírgula quatro, com traço acima do quatro indicando dízima periódica

;

$$\frac{3}{10}$$

fração três sobre dez

;

$$\frac{5}{3}$$

fração cinco sobre três

;

$$\frac{7}{2}$$

fração sete sobre dois

; 4,5;

$$\frac{24}{5}$$

fração vinte e quatro sobre cinco

Representando-os na reta numérica, temos:

6. a) • Para calcular o valor de

$$\frac{1}{11}$$

um sobre onze

, devemos digitar

na calculadora. O resultado será 0,090909...reticências =

$$0,\overline{09}$$

zero vírgula zero, nove, com um traço acima do zero e nove indicando dízima periódica

.

• Para calcular o valor de

$$\frac{2}{11}$$

dois sobre onze

, devemos digitar

na calculadora. O resultado será 0,181818...reticências =

$$0,\overline{18}$$

0,18 com um traço acima do dezoito indicando dízima periódica

.

• Para calcular o valor de

$$\frac{3}{11}$$

três sobre onze

, devemos digitar

na calculadora. O resultado será 0,272727...reticências =

$$0,\overline{27}$$

0,27 com um traço acima do vinte e sete indicando dízima periódica

.

• Para calcular o valor de

$$\frac{4}{11}$$

quatro sobre onze

, devemos digitar

na calculadora. O resultado será 0,363636...reticências =

$$0,\overline{36}$$

0,36 com um traço acima do 36 indicando dízima periódica.

.

• Para calcular o valor de

$$\frac{5}{11}$$

cinco sobre onze

, devemos digitar

na calculadora. O resultado será 0,454545...reticências =

$$0,\overline{45}$$

0,45 com um traço acima do 45 indicando dízima periódica

.

É possível concluir que o período é formado por múltiplos de 9.

b) • Usando o mesmo padrão identificado no item a, temos que

$$\frac{6}{11}$$

seis sobre onze

= 0,545454...reticências =

$$0,\overline{54}$$

0,54 com um traço acima do 54 indicando dízima periódica

.

• Usando o mesmo padrão identificado no item a, temos que

$$\frac{7}{11}$$

sete sobre onze

= 0,636363...reticências =

$$0,\overline{63}$$

0,63 com um traço acima do 63 indicando dízima periódica

.

• Usando o mesmo padrão identificado no item a, temos que

$$\frac{8}{11}$$

oito sobre onze

= 0,727272...reticências =

$$0,\overline{72}$$

0,72 com um traço acima do 72 indicando dízima periódica

.

• Usando o mesmo padrão identificado no item a, temos que

$$\frac{9}{11}$$

nove sobre onze

= 0,818181...reticências =

$$0,\overline{81}$$

0,81 com um traço acima do 81 indicando dízima periódica

.

• Usando o mesmo padrão identificado no item a, temos que

$$\frac{10}{11}$$

dez sobre onze

= 0,909090...reticências =

$$0,\overline{90}$$

0,90 com um traço acima do noventa indicando dízima periódica

.

Portanto, as respostas são:

$$0,\overline{54}$$

Zero vírgula cinquenta e quatro, com um traço acima do cinquenta e quatro indicando dízima periódica;

;

$$0,\overline{63}$$

Zero vírgula sessenta e três, com um traço acima do sessenta e três indicando dízima periódica;

;

$$0,\overline{72}$$

Z Zero vírgula setenta e dois, com um traço acima do setenta e dois indicando dízima periódica;

;

$$0,\overline{81}$$

Zero vírgula oitenta e um, com um traço acima do oitenta e um indicando dízima periódica

;

$$0,\overline{90}$$

Zero vírgula noventa com um traço acima do noventa indicando dízima periódica.

.

7. Como as alternativas de resposta estão em potências de base fracionária, vamos transformar o decimal em fração.

 

$$\mathrm{0,064}=\frac{64}{1000}=\frac{4^3}{{10}^3}=\frac{{\left(2^2\right)}^3}{{\left(2\cdot 5\right)}^3}=\frac{2^6}{2^3\cdot 5^3}=\frac{2^3}{5^3}={\left(\frac{2}{5}\right)}^3$$

Sentença matemática. Zero vírgula zero, seis, quatro igual a sessenta e quatro sobre mil, igual a fração com numerador quatro elevado a três e denominador dez elevado a três, igual a fração com numerador, abre parênteses, dois elevado a dois, fecha parênteses, elevado a três e denominador, abre parênteses, dois vezes cinco, fecha parênteses, elevado a 3, igual a fração com numerador 2 elevado a 6 e denominador 2 elevado a 3 vezes 5 elevado a 3, igual a dois elevado a 3 sobre cinco elevado a três, igual a, abre parênteses, dois quintos, fecha parênteses, elevado a três.

alternativa c

8. a)

$$3^{\mathrm{‒}1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^1=\frac{1}{3}$$

Sentença matemática. Três elevado a menos um, igual a, abre parênteses, um terço, fecha parênteses, elevado a um, igual a um terço.

b)

$${\left(\frac{1}{5}\right)}^{\mathrm{‒}3}=5^3=125$$

Sentença matemática. Abre parênteses, um quinto, fecha parênteses, elevado a menos três, igual a cinco elevado a três, igual a cento e vinte e cinco.

c)

$${\left(\mathrm{0,1}\right)}^{\mathrm{‒}6}={\left(\frac{1}{10}\right)}^{\mathrm{‒}6}={10}^6=1000000$$

Sentença matemática. Abre parênteses, zero vírgula um, fecha parênteses, elevado a menos seis, igual a, abre parênteses, um sobre dez, fecha parênteses, elevado a menos seis, igual a dez elevado a seis, igual a um milhão.

9. Para comparar potências, devemos lembrar que, se a base é um número maior que 1, quanto maior for o expoente a que ela estiver elevada, maior será a potência obtida como resultado. No entanto, se a base é um número compreendido entre 0 e 1, quanto maior for o expoente a que ela estiver elevada, menor será a potência obtida como resultado. Assim:

a) Como 4 > 2 e

$$\frac{1}{47}$$

Sentença matemática. Fração: um sobre quarenta e sete.

é um número entre 0 e 1, temos:

 

$${\left(\frac{1}{47}\right)}^4<{\left(\frac{1}{47}\right)}^2$$

Sentença matemática. Abre parênteses, um sobre quarenta e sete, fecha parênteses, elevado a quatro menor que, abre parênteses, um sobre quarenta e sete, fecha parênteses, elevado a dois.

b) Como ‒ 5 > ‒ 6 e

$$\frac{1}{10}$$

Sentença matemática. Fração: um sobre dez.

é um número entre 0 e 1, temos:

 

$${\left(\frac{1}{10}\right)}^{\mathrm{‒}5}<{\left(\frac{1}{10}\right)}^{\mathrm{‒}6}$$

Sentença matemática. Abre parênteses, um sobre dez, fecha parênteses, elevado a menos cinco menor que, abre parênteses, um sobre dez, fecha parênteses, elevado a menos seis.

c) Como

$$\mathrm{‒}23<22$$

Sentença matemática. Menos vinte e três menor que vinte e dois.

e 59 é um número maior que 1, temos:

$${59}^{\mathrm{‒}23}<{59}^{22}$$

Sentença matemática. Cinquenta e nove elevado a menos vinte e três menor que cinquenta e nove elevado a vinte e dois.

d) Como 7 > ‒ 8 e

$$\frac{4}{3}$$

Sentença matemática. Fração: quatro terços.

é um número maior que 1, temos:

 

$${\left(\frac{4}{3}\right)}^7>{\left(\frac{4}{3}\right)}^{\mathrm{‒}8}$$

Sentença matemática. Abre parênteses, quatro terços, fecha parênteses, elevado a sete maior que, abre parênteses, quatro terços, fecha parênteses, elevado a menos oito.

10. a)

$$5^2-5^3=25-125=-100=-{10}^2$$

Sentença matemática. Cinco ao quadrado menos cinco elevado a três, igual a vinte e cinco menos cento e vinte e cinco, igual a menos cem, igual a menos dez elevado a dois.

b)

$$2\cdot \left(2^2\cdot 2\right)=2\cdot \left(2^{2+1}\right)=2\cdot 2^3=2^{1+3}=2^4$$

Sentença matemática. Dois vezes, abre parênteses, dois elevado a dois vezes dois, fecha parênteses, igual a dois vezes, abre parênteses, dois elevado ao expoente dois mais um, fecha parênteses igual a dois vezes dois elevado a três, igual a dois elevado ao expoente um mais três, igual a dois elevado a quatro.

c)

$$5^{\mathrm{‒}1}\cdot 5^2=5^{\mathrm{‒}1+2}=5^1$$

Sentença matemática. Cinco elevado a menos um vezes cinco elevado a dois, igual a cinco elevado ao expoente menos um mais dois, igual a cinco elevado a um.

d)

$$3^0-2^{-1}=1-\frac{1}{2}=\frac{2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=2^{-1}$$

Sentença matemática. Três elevado a zero menos dois elevado a menos um, igual a um menos um meio igual a dois sobre dois menos um meio igual a um meio igual a dois elevado a menos um.

e)

$${10}^2:5^2={\left(10:5\right)}^2=2^2$$

Sentença matemática. Dez elevado a dois dividido por cinco elevado a dois, igual a, abre parênteses, dez dividido por cinco, fecha parênteses, elevado a dois, igual a dois elevado a dois.

f)

$${10}^{\mathrm{‒}1}\cdot {10}^3={10}^{\mathrm{‒}1+3}={10}^2$$

Sentença matemática. Dez elevado a menos um vezes dez elevado a três, igual a dez elevado ao expoente menos um mais três, igual a dez elevado a dois.

Página LXsessenta

11. Organizando os dados em um quadro, temos:

Observamos que as quantidades de bactérias são potências de base 2 cujos expoentes são iguais ao tempo decorrido em horas. Assim:

b) Após 10 horas, ele encontrará 210 bactérias, ou seja, 1.0241024 bactérias.

12. Como a folha foi dividida em 2 partes e depois dobrada 6 vezes dessa mesma maneira, temos:

Logo, a folha ficou dividida em 64 partes.

15. Para determinar o valor do expoente, basta fatorar 15.62515625.

16. Simplificando a expressão, temos:

alternativa d

18. a) Para calcular a medida do volume do cubo, podemos fazer:

Logo, a medida do volume do cubo de aresta medindo 20 cmcentímetros é 8.0008000 cm³centímetros cúbicos.

b) Resposta possível: O nome da operação que permite calcular a medida desse volume é potenciação.

d) O nome da operação que permite calcular a medida de comprimento dessa aresta é radiciação.

Logo, ◼ é qualquer número natural ímpar maior que 2.

Logo, ◼ = 5.

Logo, ◼ é qualquer número natural maior ou igual a 2.

Logo, ◼ = ‒ 216.

Indicamos a dízima por x: x = 1,222...reticências (Ium)

Multiplicando ambos os membros da igualdade (I) por 10, temos: 10x = 12,222...reticências (II)

Subtraindo membro a membro (Ium) de (IIdois), temos: 9x = 11

Logo:

Portanto:

Indicamos a dízima por x: x = 0,111...reticências(Ium)

10x ‒ x = 1,111... reticências‒  0,111...reticências

Subtraindo membro a membro (Ium) de (IIdois), temos: 9x = 1

Logo:

Portanto:

Página LXIsessenta e um

Indicamos a dízima por x: x = 0,666...reticências (Ium)

Multiplicando ambos os membros da igualdade (Ium) por 10, temos: 10x = 6,666...reticências (IIdois)

Subtraindo membro a membro (Ium) de (IIdois), temos: 9x = 6

Logo:

Portanto:

Indicamos a dízima por x: x = 0,555...reticências (Ium)

Multiplicando ambos os membros da igualdade (Ium) por 10, temos: 10x = 5,555...reticências (IIdois)

Subtraindo membro a membro (Ium) de (IIdois), temos: 9x = 5

Logo:

Portanto:

Multiplicando ambos os membros da igualdade (Ium) por 10, temos: 10x = 4,444...reticências (IIdois)

Subtraindo membro a membro (Ium) de (IIdois), temos: 9x = 4

Logo:

Portanto:

21. a) Vamos dividir 540 por alguns números naturais e determinar se o número obtido tem raiz quadrada.

Portanto, n = 15.

b) Vamos multiplicar 24 por alguns números naturais e determinar se o produto obtido tem raiz quadrada exata.

Portanto, a = 6.

22. O procedimento adotado pelo comerciante está incorreto, pois o valor final será 96% do valor inicial. Isso ocorre porque o acréscimo de 20% é calculado sobre um preço menor que o preço sobre o qual foi aplicado o desconto.

23. Convertendo as medidas de comprimento que aparecem no texto para quilômetros e escrevendo os números em notação científica, temos o que segue.

a) Sabendo que 1 kmquilômetro = 1.0001000 mmétros, para transformar de metros para quilômetros, basta dividir o número por 1.0001000. Assim:

Página LXIIsessenta e dois

Capítulo 2

Atividades

▶ Página 61

1. a) Espera-se que os estudantes concluam que, por um ponto, passam infinitas retas.

b) Espera-se que os estudantes concluam que, por dois pontos distintos, passa uma única reta.

c) Espera-se que os estudantes concluam que, dados três pontos distintos, não é sempre possível traçar uma reta que passe, ao mesmo tempo, por esses pontos. Só será possível traçar uma reta nessas condições, se os pontos forem colineares.

2. Os segmentos de reta que os pontos A, B, C e D determinam na reta s são:

;

;

;

;

3. Para realizar essa atividade, os estudantes podem comparar a medida do comprimento de cada segmento com um compasso ou utilizar uma régua para medir o comprimento de cada um deles. Medindo com uma régua graduada, eles devem determinar que:

mede 1,4 cmcentímetros;

mede 3,5 cmcentímetros;

mede 3,9 cmcentímetros;

mede 3,5 cmcentímetros;

mede 1,4 cmcentímetros;

mede 3,0 cmcentímetros.

e

;

e

.

4. Com o auxílio de um transferidor, espera-se que os estudantes cheguem aos seguintes resultados:

5. Os estudantes devem seguir o procedimento indicado na página 57 do LE para construir um segmento congruente ao segmento dado.

6. A cada hora que passa, o ponteiro menor gira 30°graus, pois 360°graus : 12 = 30°graus.

7. a)

Esse ângulo mede 180°graus e, por isso, é congruente ao ângulo destacado na foto. Sendo assim, é classificado como ângulo raso.

b)

Esse ângulo mede 90°graus e, por isso, é congruente ao ângulo destacado na foto. Sendo assim, é classificado como ângulo reto.

Atividades

▶ Páginas 64 e 65

1. a) Como Beatriz mora à mesma medida de distância de André e de Caio, concluímos que a casa dela está entre as casas de André e de Caio, pois os três moram em uma mesma rua que não tem curva. Representando por A, B e C as casas de André, Beatriz e Caio, respectivamente, podemos fazer o esquema a seguir.

Como AB = BC e AC = AB + BC, temos:

AC = AB + BC = AB + AB = 2 · AB = 2 · 73 = 146

Logo, a medida de distância entre as casas de André e de Caio é 146 metros.

b) A casa de Beatriz representa o ponto médio, pois está à mesma medida de distância das casas de André e de Caio.

e

cmcentímetros, temos:

e DE = 6,6 cmcentímetros, então

CD = DE = 6,6 cmcentímetros. Logo, temos:

AE + AB + BC CD + DE = AC + CD + DE

BE = BC + CD + DE