Página noventa e dois

Parte 7

c) Os monômios não são semelhantes, pois a parte literal deles é diferente.

2. a)

x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = (1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1) \cdot x^{1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1} = x^{6}

8 y \cdot 3 y^{5} \cdot y^{10} = (8 \cdot 3 \cdot 1) \cdot y^{1 + 5 + 10} = 24 y^{16}

2 x y^{5} \cdot (‒ 4 x y) \cdot x^{3} y^{6} = [2 \cdot (‒ 4) \cdot 1] \cdot x^{1 + 1 + 3} \cdot y^{5 + 1 + 6} = ‒ 8 x^{5} y^{12}

a b \cdot a b \cdot 3 a b \cdot (‒ a b) = [1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot (‒ 1)] \cdot a^{1 + 1 + 1 + 1} \cdot b^{1 + 1 + 1 + 1} =

‒ 3 a^{4} b^{4}

3. a) Temos a figura:

Figura geométrica: retângulo cuja base mede 3 x e a altura mede x. O retângulo foi decomposto em um quadrado azul cujo lado mede x e um retângulo verde cuja base mede 2 x e a altura mede x.

Cálculo de P e S:

• P = 3x + x + 3x + x = 8x

• S = 3x ⋅ x = 3x2

Logo, P = 8x e S = 3x2.

b) Temos a figura:

Figura geométrica: quadrado cujo lado mede 2 x. O quadrado foi decomposto em dois quadrados azuis cujo lado mede x e um retângulo verde cuja base mede 2 x e a altura mede x.

Cálculo de P e S:

• P = 2x + 2x + 2x + 2x = 8x

• S = 2x ⋅ 2x = 4x2

Logo, P = 8x e S = 4x2.

c) Temos a figura:

Figura geométrica: polígono de 6 lados de medida: 2 x; x; 0 vírgula 5 x; 1 vírgula 5 x; 1 vírgula 5 x; 1 vírgula 5 x mais x. O polígono foi decomposto em um quadrado amarelo cujo lado mede 1 vírgula 5 x e um retângulo verde cuja base mede x e a altura mede 2 x.

Cálculo de P e S:

• P = 1,5x + 1,5x + 1,5x + x + 2x + x + 0,5x = 9x

• S = 1,5x ⋅ 1,5x + x ⋅ 2x =

2, 25 x^{2} + 2 x^{2}

= 4,25x2

Logo, P = 9x e S = 4,25x2.

d) Temos a figura:

Figura geométrica: retângulo cuja base mede 3 x e a altura mede 2 vírgula 5 x. O retângulo foi decomposto em 2 quadrados amarelos cujo lado mede 1 vírgula 5 x, um retângulo verde cuja base mede 2 x e a altura mede x e um quadrado azul cujo lado mede x.

Cálculo de P e S:

• P = 3x + 2,5x + 3x + 2,5x = 11x

• S = 3x ⋅ 2,5x =

7, 5 x^{2}

Logo, P = 11x e S = 7,5x2.

Atividades

▶ Páginas 191 e 192

1. a)

(+ 24 a^{5} b^{3} c^{2}) : (+ 6 a^{4} b^{1} c^{2}) = \frac{+ 24 a^{5} b^{3} c^{2}}{+ 6 a^{4} b^{1} c^{2}} = \frac{24}{6} \cdot \frac{a^{5}}{a^{4}} \cdot \frac{b^{3}}{b^{1}} \cdot \frac{c^{2}}{c^{2}}

4 a^{5 - 4} b^{3 ‒ 1} c^{2 ‒ 2} = 4 a b^{2}

(‒ 100 x^{6} y^{4} z) : (‒ 25 x y z) = \frac{‒ 100 x^{6} y^{4} z}{‒ 25 x y z} = \frac{‒ 100}{‒ 25} \cdot \frac{x^{6}}{x} \cdot \frac{y^{4}}{y} \cdot \frac{z}{z}

4 x^{6 ‒ 1} y^{4 ‒ 1} z^{1 ‒ 1} = 4 x^{5} y^{3}

13 a 3 b 0 c 6 : ‒ 0 , 5 a 2 c 6 = 13 a 3 b 0 c 6 ‒ 0 ,5 a 2 c 6 = 13 ‒ 0 ,5 ⋅ a 3 a 2 ⋅ c 6 c 6

‒ 26 a^{3 ‒ 2} c^{6 ‒ 6} = ‒ 26 a

\frac{2}{3} x y : (‒ \frac{1}{2} x y) = \frac{\frac{2}{3} x y}{‒ \frac{1}{2} x y} = \frac{\frac{2}{3}}{‒ \frac{1}{2}} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{y}{y} = [\frac{2}{3} \cdot (‒ \frac{2}{1})] \cdot x^{1 ‒ 1} y^{1 ‒ 1} = ‒ \frac{4}{3}

2. a)

4 a b^{2} \cdot 6 a^{4} b^{1} c^{2} = 4 \cdot 6 \cdot a^{1 + 4} b^{2 + 1} c^{2} = 24 a^{5} b^{3} c^{2}

Portanto, o produto é igual ao dividendo.

4 x^{5} y^{3} \cdot (‒ 25 x y z) = 4 \cdot (‒ 25) \cdot x^{5 + 1} y^{3 + 1} z = ‒ 100 x^{6} y^{4} z

Portanto, o produto é igual ao dividendo.

‒ 26 a \cdot (‒ 0, 5 a^{2} c^{6}) = ‒ 26 \cdot (‒ 0, 5) \cdot a^{1 + 2} c^{6} = 13 a^{3} c^{6} = 13 a^{3} b^{0} c^{6}

Portanto, o produto é igual ao dividendo.

(‒ \frac{4}{3}) \cdot (‒ \frac{1}{2} x y) = (‒ \frac{4}{3}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) \cdot x y = \frac{2}{3} x y

Portanto, o produto é igual ao dividendo.

3. a) Subtraindo yes de ‒ 22yes, temos:

‒ 22yes ‒ yes = ( ‒ 22 ‒ 1 )yes = ‒ 23yes

Portanto, o monômio é ‒ 23yes.

b) Dividindo

12 y^{2} e^{3} s

por yes, temos:

12 y^{2} e^{3} s : y e s = 12 y^{2 ‒ 1} e^{3 ‒ 1} s^{1 ‒ 1} = 12 y e^{2}

Portanto, o monômio é 12ye ².

4. Exemplos de respostas:

(12 x^{3} a) : (12 x^{3} a) = \frac{12}{12} x^{3 ‒ 3} a^{1 ‒ 1} = 1

(0, 5 m t^{2}) : (m t) = 0, 5 m^{1 ‒ 1} t^{2 ‒ 1} = 0, 5 t

(x y z) : (0, 5 x) = (x y z) : (\frac{1}{2} x) = \frac{1}{\frac{1}{2}} x^{1 ‒ 1} y z = 2 y z

5. • Medida do volume da caçamba no projeto antigo: 6x ⋅ ℓ ⋅ x

• Medida do volume da caçamba no projeto novo: 4x ⋅ ℓ ⋅ h

Igualando as medidas dos volumes, temos:

6x ⋅ ℓ ⋅ x = 4x ⋅ ℓ ⋅ h

6 x^{2} ℓ = 4 x ℓ h

\frac{6 x^{2} ℓ}{4 x ℓ} = h

h = 1,5x

Portanto, a medida da nova altura da caçamba deve ser 1,5x.

Atividades

▶ Página 193

1. a)

{(‒ 3 a^{7} b y^{4})}^{4} = {(‒ 3)}^{4} \cdot {(a^{7})}^{4} \cdot b^{4} \cdot {(y^{4})}^{4} = 81 a^{28} b^{4} y^{16}

{(‒ \frac{1}{2} x^{3} y z^{2})}^{3} = {(‒ \frac{1}{2})}^{3} \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot y^{3} \cdot {(z^{2})}^{3} = ‒ \frac{1}{8} x^{9} y^{3} z^{6}

Página noventa e três

2. a)

{(‒ x + 2 x + 4 x)}^{2} ‒ {(‒ x + 5 x)}^{2} = {[(‒ 1 + 2 + 4) x]}^{2} ‒ {[(‒ 1 + 5) x]}^{2}

{(5 x)}^{2} ‒ {(4 x)}^{2} = 25 x^{2} ‒ 16 x^{2} = 9 x^{2}

(‒ 5 x y) \cdot {(‒ y)}^{2} + {(‒ 3 y)}^{3} \cdot (‒ 2 x) = (‒ 5 x y) \cdot y^{2} + (‒ 27 y^{3}) \cdot (‒ 2 x)

‒ 5 x y^{3} + 54 x y^{3} = 49 x y^{3}

(‒ 12 a^{5} y^{7}) : {(‒ 2 a^{2} y^{3})}^{2} ‒ (‒ 3 a y)

(‒ 12 a^{5} y^{7}) : [{(‒ 2)}^{2} \cdot {(a^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2}] ‒ (‒ 3 a y) =

(‒ 12 a^{5} y^{7}) : (4 a^{4} y^{6}) + 3 a y = (\frac{‒ 12 a^{5} y^{7}}{4 a^{4} y^{6}}) + 3 a y

‒ 3 a^{5 ‒ 4} y^{7 ‒ 6} + 3 a y = ‒ 3 a y + 3 a y = 0

{(\frac{2 a^{4} y^{2}}{3})}^{3} : {(‒ \frac{4 a^{5} y^{3}}{6})}^{2} = [{(\frac{2}{3})}^{3} \cdot {(a^{4})}^{3} \cdot {(y^{2})}^{3}] : [{(‒ \frac{4}{6})}^{2} \cdot {(a^{5})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2}] =

(\frac{8}{27} \cdot a^{12} \cdot y^{6}) : (\frac{16}{36} \cdot a^{10} \cdot y^{6}) = \frac{\frac{8}{27}}{\frac{16}{36}} \cdot a^{12 ‒ 10} \cdot y^{6 ‒ 6} = \frac{2 a^{2}}{3}

{(\frac{m n}{0, 5})}^{2} \cdot (‒ 0, 25 m n^{2}) = \frac{m^{2} n^{2}}{0, 25} \cdot (‒ 0, 25 m n^{2}) = \frac{‒ 0, 25}{0, 25} \cdot m^{2 + 1} \cdot n^{2 + 2}

‒ m ³ n^{4}

3. a)

{(‒ 1, 1 x ³ y z^{2})}^{3} = {(‒ 1, 1)}^{3} \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot y^{3} \cdot {(z^{2})}^{3} = ‒ 1, 331 x^{9} y^{3} z^{6}

{(6 a b^{2} + 3 b^{2} a)}^{2} = {(9 a b^{2})}^{2} = 81 a^{2} b^{4}

4. a) Como a medida do comprimento da aresta de cada cubo é indicada por 2x, para calcular a medida do volume, podemos fazer:

{(2 x)}^{3} = 2^{3} \cdot x^{3} = 8 x ³

Logo, o monômio que representa a medida do volume de cada cubo é

8 x ³

b) Como a figura é formada por 7 cubos idênticos, para calcular a medida do volume total, devemos multiplicar a medida do volume de um cubo por 7:

7 \cdot 8 x^{3}

= 56x³

Logo, o monômio que representa a medida do volume total da figura é 56x³.

c) Substituindo x por 2,5 em 56x³, temos:

56 \cdot {(2, 5)}^{3}

= 56 ⋅ 15,625 = 875

Logo, a medida do volume dessa figura para x = 2,5 cm é 875 cm³.

Atividades

▶ Páginas 194 e 195

1. Exemplos de respostas:

a) 5a ‒ 7

‒ x^{2} + 4 x + a ‒ 2 b ‒ \frac{5}{2}

3 p q^{2} + q

2. a) Não está de acordo com as condições, pois seu termo independente é 12, e não 0.

b) Seu termo independente é zero. Substituindo x por ‒ 1, temos:

\frac{3 x}{5} + x^{3} = \frac{3 \cdot (‒ 1)}{5} + {(‒ 1)}^{3} = ‒ \frac{3}{5} ‒ 1 = ‒ \frac{3}{5} ‒ \frac{5}{5} = ‒ \frac{8}{5}

Como o valor numérico é diferente de 12, esse item não está de acordo com uma das condições citadas.

c) Seu termo independente é 0. Substituindo x por ‒ 1, temos:

20 x^{2} + 8 x = 20 \cdot {(‒ 1)}^{2} + 8 \cdot (‒ 1) = 20 ‒ 8 = 12

Como o valor numérico é igual a 12, esse item está de acordo com ambas as condições citadas.

d) Não está de acordo com as condições, pois seu termo independente é ‒ 12, e não 0.

alternativa c

3. a) Medida da área da região vermelha: A = 3 ⋅ 3 = 9

b) Medida da área da região verde: A =

2 \cdot (3 \cdot 4 x)

= 2 ⋅ 12x = 24x

c) Medida da área da região laranja: A =

5 \cdot (x \cdot x) = 5 x^{2}

d) Medida da área da região azul: A =

(4 x \cdot 4 x) ‒ 5 x^{2} = 16 x^{2} ‒ 5 x^{2}

= 11x2

4. a) Temos que:

A D = A B + B C + C D = a^{2} b + \frac{x}{2} + y

Logo, o polinômio que representa á dê é

a^{2} b + \frac{x}{2} + y

b) Temos que:

AD = AB ‒ DB = 5xy ‒ 2xy = 3xy

Logo, o polinômio que representa á dê é 3xy.

5. a) 28 + x e 7 + x

b) 0,25x + 0,05y + z

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Ana foi à quitanda e comprou x bananas, y mamões e z peras, em que x, y e z são números naturais. Vera comprou na mesma quitanda 3x de bananas, dois mamões e 2z de peras. Escreva um polinômio que representa a quantidade de frutas compradas pelas duas juntas.

7. As duas tábuas retangulares têm x metros por 40 centímetros ou 0,4 metro. Como são duas tábuas laterais, temos:

2 ⋅ x ⋅ 0,4 = 0,8x

As quatro prateleiras retangulares têm y metros por 0,4 metro. Como são quatro prateleiras, temos:

4 ⋅ y ⋅ 0,4 = 1,6y

Para determinar o preço da estante, multiplicamos a soma das medidas das áreas das tábuas por 40 e adicionamos os R$ 30,00trinta reais da entrega. Assim:

40 ⋅ ( 0,8x + 1,6y ) + 30 = 32x + 64y + 30

8. a) • preço de x centos de salgados: 60x

• preço de y centos de doces: 68y

Logo, o polinômio que representa o total arrecadado por essa encomenda é 60x + 68y.

b) Podemos fazer:

3 \cdot (60 x + 68 y)

= 180x + 204y

Logo, o polinômio que representa o total arrecadado por três dessas encomendas é 180x + 204y.

9. a)

\frac{3 x + 5}{2} + 4

, sendo x um número natural entre 1 e 10.

b) Se o rato da direita tivesse pensado no número 5, então o resultado obtido seria:

\frac{3 \cdot 5 + 5}{2} + 4 = \frac{15 + 5}{2} + 4 = \frac{20}{2} + 4 = 10 + 4 = 14

10. Representação das embalagens confeccionadas por Marlene:

Figura geométrica: paralelepípedo amarelo com dimensões representadas por x, y e z.

Página noventa e quatro

De acordo com a figura, temos:

• 2 retângulos cujos lados medem x e y e medida de área igual a 2xy;

• 2 retângulos cujos lados medem y e z e medida de área igual a 2yz;

• 2 retângulos cujos lados medem x e z e medida de área igual a 2xz.

Para calcular a medida de área da superfície total da embalagem, basta adicionar as medidas de áreas dos retângulos:

2xy + 2yz + 2xz

11. De acordo com o enunciado da atividade, temos:

• preço da mesa com desconto de 15%: ( 1 ‒ 0,15 ) ⋅ y ⋅ 1 = 0,85y

• preço das cadeiras com desconto de 15%: ( 1 ‒ 0,15 ) ⋅ x ⋅ 6 = 5,1x

Portanto, o polinômio que representa o preço do conjunto, em reais, é 0,85y + 5,1x.

Atividades

▶ Página 197

1. Exemplos de respostas:

a) 3x; ‒ 4

b) ‒ 4x + 8; 5x ‒ 3y

3 x^{2} + 2 x + 1

;

7 x^{2} ‒ \frac{1}{2} y + z

d) 4x2; 7x ‒ 5y + 2z

2. a)

3 a^{3} + 2 b^{5} ‒ 5 + 2 z^{2} ‒ 7 a^{3} + 10

(3 ‒ 7) a^{3} + 2 b^{5} + (‒ 5 + 10) + 2 z^{2}

‒ 4 a^{3} + 2 b^{5} + 5 + 2 z^{2}

5 a b ‒ 10 a b^{2} + 14 a b ‒ a = (5 + 14) a b ‒ 10 a b^{2} ‒ a

19 a b ‒ 10 a b^{2} ‒ a

12 m^{2} + 9 m n + 9 m n ‒ 12 m^{2} = (12 ‒ 12) m^{2} + (9 + 9) m n

= 18mn

12 c^{2} + 8 c d + 8 c d ‒ 12 c^{2} = (12 ‒ 12) c^{2} + (8 + 8) c d

= 16cd

3. Reduzindo cada polinômio, temos:

5 a^{3} ‒ 3 a ‒ 7 ‒ 2 ‒ 7 a^{3} + a ‒ a

(5 ‒ 7) a^{3} + (‒ 3 + 1 ‒ 1) a + (‒ 7 ‒ 2)

‒ 2 a^{3} ‒ 3 a ‒ 9

Esse polinômio também é chamado trinômio.

7 x^{3} y + 4 x y^{3} ‒ 8 x^{3} y + 7 x^{3} y ‒ 4 x y^{3} =

= (7 ‒ 8 + 7) x^{3} y + (4 ‒ 4) x y^{3} = 6 x^{3} y

Esse polinômio também é chamado monômio.

a^{2} x^{5} + a y^{5} ‒ a^{4} z + a y^{5} ‒ a^{2} x^{5} ‒ a^{4} z ‒ a y^{5} =

(1 ‒ 1) a^{2} x^{5} + (1 + 1 ‒ 1) a y^{5} + (‒ 1 ‒ 1) a^{4} z

a y^{5} ‒ 2 a^{4} z

Esse polinômio também é chamado binômio.

d) bxy + xy ‒ 3xy = bxy + ( 1 ‒ 3 )xy = bxy ‒ 2xy

Esse polinômio também é chamado binômio.

alternativa a

4. A afirmação é falsa, pois, por exemplo, 2x + 1 é um polinômio, mas não é um monômio.

5. Exemplos de respostas:

2 t^{3} + \frac{1}{2} t^{2} ‒ t^{3} + \frac{1}{2} t^{2} + 1

3 t^{2} ‒ 2 t^{2} + 11 t^{4} ‒ t^{4} ‒ 1

6. a)

x^{5} + 3 x^{4} + 8 = x^{5} + 3 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x + 8

10 + x^{2} ‒ x^{5} + 3 x = ‒ x^{5} + 0 x^{4} + 0 x^{3} + x^{2} + 3 x + 10

c) Já está na fórma completa.

x + 2 x^{4} + 6 = 2 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + x + 6

7. a) x + y

b) 2x + 4y

8. a) A obra tem dois custos diferentes: a grama e o muro. A grama é vendida por metro quadrado. Para encontrar a medida da área do terreno, em metro quadrado, podemos fazer:

x ⋅ 2x = 2x2

Como o metro quadrado da grama custa R$ 5,00cinco reais, o gasto com grama será:

5 ⋅ 2x ² = 10x2

O muro também é vendido por metro quadrado. A medida da altura do muro é 1 métro e sua extensão pode ser representada pela medida do perímetro da figura a seguir.

Figura geométrica: retângulo verde com dimensões de x e dois x.

Para descobrir a medida de seu perímetro, já descontando a passagem de 1 metro, podemos fazer:

2x + x + 2x + x ‒ 1 = 6x ‒ 1

Como a medida da altura é 1 métro, a medida da área do muro, em metro quadrado, será ( 6x ‒ 1 ) ⋅ 1, ou seja, (6x ‒ 1). Como o metro quadrado do muro custa R$ 7,00sete reais, o gasto com o muro será:

7 ⋅ ( 6x ‒ 1 ) = 42x ‒ 7

Logo, o custo total da obra pode ser representado pelo polinômio 10x2 + 42x ‒ 7.

b) Para x = 6, temos:

10 x^{2} + 42 x ‒ 7 = 10 \cdot 6^{2} + 42 \cdot 6 ‒ 7 = 360 + 252 ‒ 7 = 605

Logo, o custo da obra será R$ 605,00seiscentos e cinco reais.

9. Temos a seguinte figura:

Figura geométrica: Figura retangular na parte superior medindo 3 x por 3 x + 8. Abaixo, figura medindo 8 por 4. A medida das duas figuras à esquerda é 3 x + 4.

a) Para calcular o valor de x, primeiro escrevemos a expressão que representa a medida do perímetro dessa figura.

(3 x + 4) + (3 x + 8) + (3 x + 4) + (3 x + 8)

= 12x + 24

Como o perímetro da figura mede 48 centímetros, temos:

12x + 24 = 48

12x = 48 ‒ 24

12x = 24

x = 2

Logo, x = 2.

Página noventa e cinco

b) Decompondo a figura em dois retângulos, temos:

Figura geométrica: Figura retangular na parte superior A, medindo 3 x por 3 x + 8. Abaixo, figura B medindo 8 por 4. A medida das duas figuras à esquerda é 3 x + 4.

Assim, a medida da área da figura é dada por:

(3 x + 8) \cdot 3 x + 8 \cdot 4 = (9 x^{2} + 24 x) + 32 = 9 x^{2} + 24 x + 32

Logo, o polinômio que representa a medida da área da figura em função de x é 9x2 + 24x + 32 e seu grau é 2.

10. Para encontrar o polinômio que representa a medida do volume da figura, basta calcular a medida do volume de cada bloco e, depois, adicioná-las. Assim:

• medida do volume do bloco alaranjado: 4 ⋅ 5 ⋅ 2 = 40

• medida do volume do bloco azul: 4 ⋅ 5 ⋅ x = 20x

• medida do volume do bloco rosa: 4 ⋅ x ⋅ 2 = 8x

• medida do volume do bloco verde:

4 \cdot x \cdot x = 4 x^{2}

Adicionando os valores obtidos, temos:

40 + 20 x + 8 x + 4 x^{2} = 4 x^{2} + 28 x + 40

Logo, o polinômio que representa a medida do volume da figura é

4 x^{2} +28x+40

e seu grau é 2.

Atividades

▶ Página 200

1. a)

(2 x + 3 y ‒ 4 z + 8) + (x ‒ y + 2 z ‒ 2)

(2 + 1) x + (3 ‒ 1) y + (‒ 4 + 2) z + (8 ‒ 2) = 3 x + 2 y ‒ 2 z + 6

(7 x y + 4 x + 8 z ‒ 15) ‒ (6 x + 10 y ‒ 3)

7 x y + (4 ‒ 6) x + (‒ 10) y + 8 z + (‒ 15 + 3)

= 7xy ‒ 2x ‒ 10y + 8z ‒ 12

(\frac{x}{3} + y ‒ z^{2}) + (\frac{x}{2} + 4 y ‒ 3 z^{2}) =

(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) x + (1 + 4) y + (‒ 1 ‒ 3) z^{2} =

\frac{5 x}{6} + 5 y ‒ 4 z^{2}

(\frac{1}{5} + x y ‒ a^{2} ‒ 7) ‒ (2 x y + 7 a^{2}) =

(\frac{1}{5} ‒ 7) + (1 ‒ 2) x y + (‒ 1 ‒ 7) a^{2} =

‒ \frac{34}{5} ‒ x y ‒ 8 a^{2}

2. Se

P + Q = m^{4} + 5 m^{3} + 3 m^{2} ‒ 3 m ‒ 1

Q + R = m^{4} ‒ 5 m^{3}

, então:

(Q + R) - R = {(m}^{4} - 5 m^{3}) - (- 5 m^{3} + 3 m)

Q = m^{4} ‒ 5 m^{3} + 5 m^{3} ‒ 3 m

Q = m^{4} ‒ 3 m

Assim:

(P + Q) - Q = (m^{4} + 5 m^{3} + 3 m^{2} ‒ 3 m ‒ 1) - (m^{4} - 3 m)

P = m^{4} + 5 m^{3} + 3 m^{2} ‒ 3 m ‒ 1 ‒ m^{4} + 3 m

P = 5 m^{3} + 3 m^{2} ‒ 1

3. a)

A + B = (6 x^{2} - 8 x + 1) + (‒ 9 x^{2} - 2 x + 7) = - 3 x^{2} - 10 x + 8

B + A = A + B = ‒ 3 x^{2} - 10 x + 8

A + B + C = (A + B) + C = (‒ 3 x^{2} - 10 x + 8) + (7 x^{3} + x^{2})

7 x^{3} - 2 x^{2} - 10 x + 8

B + C + A = A + B + C = 7 x^{3} ‒ 2 x^{2} ‒ 10 x + 8

A ‒ B = (6 x^{2} ‒ 8 x + 1) ‒ (‒ 9 x^{2} ‒ 2 x + 7) = 15 x^{2} ‒ 6 x ‒ 6

B ‒ A = ‒ (A ‒ B) = ‒ (15 x^{2} ‒ 6 x ‒ 6) = ‒ 15 x^{2} + 6 x + 6

C ‒ B + A = (7 x^{3} + x^{2}) ‒ (‒ 9 x^{2} ‒ 2 x + 7) + (6 x^{2} ‒ 8 x + 1) =

7 x^{3} + x^{2} + 9 x^{2} + 2 x ‒ 7 + 6 x^{2} ‒ 8 x + 1 = 7 x^{3} + 16 x^{2} - 6 x ‒ 6

C ‒ (B + A) = (7 x^{3} + x^{2}) - (‒ 3 x^{2} - 10 x + 8)

7 x^{3} + x^{2} + 3 x^{2} + 10 x - 8

7 x^{3} + 4 x^{2} + 10 x - 8

4. a) Medida do perímetro das figuras:

• retângulo:

P_{r} = (2 x + 5) + (2 + x) + (2 x + 5) + (2 + x)

= 6x + 14

• hexágono:

P_{h} = (x + 3) + (x + 3) + (x + 3) + (x + 3) + (x + 3) +

(x + 3) = 6 x + 18

b) Para

x = 5

, temos:

• retângulo:

P_{r} = 6 x + 14 = 6 \cdot 5 + 14 = 30 + 14 = 44

• hexágono:

P_{h} = 6 x + 18 = 6 \cdot 5 + 18 = 30 + 18 = 48

5. a) Sendo P o polinômio procurado, temos:

P + (5 x^{2} ‒ x + 3) = 0

P = ‒ (5 x^{2} ‒ x + 3)

P = ‒ 5 x^{2} + x ‒ 3

b) Sendo Q o polinômio procurado, temos:

(2 x^{2} ‒ x + 1) ‒ Q = ‒ x ‒ 3

2 x^{2} ‒ x + 1 + x + 3 = Q

2 x^{2} + (‒ 1 + 1) x + (1 + 3) = Q

Q = 2 x^{2} + 4

c) Sendo R o polinômio procurado, temos:

(x^{3} + 2 x ‒ 1) + R = 6 x^{2} + 2 x ‒ 3

R = 6 x^{2} + 2 x ‒ 3 ‒ (x^{3} + 2 x ‒ 1)

R = 6 x^{2} + 2 x ‒ 3 ‒ x^{3} ‒ 2 x + 1

R = ‒ x^{3} + 6 x^{2} ‒ 2

6. a) Substituindo o quadradinho pelo sinal ‒, temos:

(x^{5} + 3 x^{2} + 9) ‒ (x^{4} + 3 x^{2} ‒ 9) = x^{5} + 3 x^{2} + 9 ‒ x^{4} ‒ 3 x^{2} + 9=

x^{5} ‒ x^{4} + 18

b) Substituindo o quadradinho pelo sinal ‒, temos:

x 5 + 3 x 2 + 9 ‒ x 4 ‒ 3 x 2 + 9 = x 5 + 3 x 2 + 9 ‒ x 4 + 3 x 2 ‒ 9 =

x^{5} ‒ x^{4} + 6 x^{2}

c) Substituindo o quadradinho pelo sinal +, temos:

x 5 + 3 x 2 ‒ 9 + x 4 ‒ 3 x 2 + 9 = x 5 + 3 x 2 ‒ 9 + x 4 ‒ 3 x 2 + 9 =

x^{5} + x^{4}

d) Substituindo o quadradinho pelo sinal ‒, temos:

{(x}^{5} + 3 x^{2} ‒ 9)‒(x^{4} ‒ 3 x^{2} + 9)=x^{5}+3x^{2}‒9‒x^{4}+3x^{2}‒9=

x^{5} ‒ x^{4} + 6 x^{2} ‒ 18

7. a) Como A + B = A, então B só pode ser o polinômio nulo.

b) O polinômio procurado deve ser o oposto de C, ou seja,

‒ C = ‒ 5 x y ‒ 3 x^{2} + 7

8. a) A afirmação é verdadeira.

b) A afirmação é verdadeira.

c) A afirmação é verdadeira.

9. a) O grau da soma de dois polinômios de grau 2 nem sempre é 2.

b) Sentença verdadeira.

c) Um polinômio de grau 2 adicionado a um polinômio de grau 3 não pode resultar em um polinômio de grau 5.

Página noventa e seis

Atividades

▶ Páginas 202 e 203

1. a)

(3 x) \cdot (‒ 1,4 x^{2} y) \cdot (‒ 5 y) = 3 \cdot (‒ 1,4) \cdot (‒ 5) \cdot x^{3} \cdot y^{2} = 21 x^{3} y^{2}

‒ 2 a \cdot (x + 4) = ‒ 2 a x ‒ 8 a

(x + 5) \cdot (x^{2} + 2 x ‒ 10) = x^{3} + 2 x^{2} ‒ 10 x + 5 x^{2} + 10 x ‒ 50

x^{3} + 7 x^{2} ‒ 50

(b ‒ a) \cdot (2 b ‒ a) = 2 b^{2} ‒ b a ‒ a \cdot 2 b + a^{2} = 2 b^{2} ‒ 3 a b + a^{2}

(5 ‒ x) \cdot (x^{2} + 1) = 5 x^{2} + 5 ‒ x^{3} ‒ x = ‒ x^{3} + 5 x^{2} ‒ x + 5

2. a)

A \cdot C = (2 x ‒ 3) \cdot (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x ‒ 3 x ‒ 3 = 2 x^{2} ‒ x ‒ 3

C \cdot A = (x + 1) \cdot (2 x ‒ 3) = 2 x^{2} ‒ 3 x + 2 x ‒ 3 = 2 x^{2} ‒ x ‒ 3

A \cdot B \cdot C = (2 x^{2} ‒ x ‒ 3) \cdot 3 x = 6 x^{3} ‒ 3 x^{2} ‒ 9 x

C \cdot A \cdot B = (2 x^{2} ‒ x ‒ 3) \cdot 3 x = 6 x^{3} ‒ 3 x^{2} ‒ 9 x

• É verdade que os itens anteriores são exemplos de que a ordem dos fatores não altera o produto.

3. a)

(x^{2} + 2) \cdot (3 x^{2} + 10 x ‒ 1) =

= 3 x^{4} + 10 x^{3} ‒ x^{2} + 6 x^{2} + 20 x ‒ 2 =

= 3 x^{4} + 10 x^{3} + 5 x^{2} + 20 x ‒ 2

{(x + 3)}^{2} \cdot (x^{2} ‒ 4 x + 4) =

= (x + 3) \cdot (x + 3) \cdot (x^{2} ‒ 4 x + 4) =

= {(x}^{2} + 3 x + 3 x + 9) \cdot (x^{2} ‒ 4 x + 4) =

= (x^{2} + 6 x + 9) \cdot (x^{2} ‒ 4 x + 4) =

{= x}^{4} ‒ 4 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x^{3} ‒ 24 x^{2} + 24 x + 9 x^{2} ‒ 36 x + 36 =

= x^{4} + 2 x^{3} ‒ 11 x^{2} ‒ 12 x + 36

(x ‒ y + 5) \cdot (2 x ‒ 5 y ‒ 1) =

= 2 x^{2} ‒ 5 x y ‒ x ‒ 2 x y + 5 y^{2} + y + 10 x ‒ 25 y ‒ 5 =

= 2 x^{2} + 5 y^{2} ‒ 7 x y + 9 x ‒ 24 y ‒ 5

4. O erro ocorreu na última passagem: o resultado de

m^{7} ‒ m^{6}

não é zero.

Resolução correta:

(m^{2} ‒ m) \cdot (m^{5} ‒ 11 m ‒ 1) =

m^{7} ‒ 11 m^{3} ‒ m^{2} ‒ m^{6} + 11 m^{2} + m =

=

m^{7} ‒ m^{6} ‒ 11 m^{3} + 10 m^{2} + m

5. a) Multiplicando 3x por

(x + 4)

, temos:

3 x \cdot (x + 4) = 3 x^{2} + 12 x

Multiplicando o resultado obtido por ele mesmo:

(3 x^{2} + 12 x) \cdot (3 x^{2} + 12 x) = 9 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{3} + 144 x^{2} = 9 x^{4} + 72 x^{3} + 144 x^{2}

Paula obteve o polinômio

9 x^{4} + 72 x^{3} + 144 x^{2}

b) Efetuando a multiplicação indicada, temos:

(x ‒ 2) \cdot (x ‒ 2) \cdot (x ‒ 2) =

(x^{2} ‒ 2 x ‒ 2 x + 4) \cdot (x ‒ 2) =

(x^{2} ‒ 4 x + 4) \cdot (x ‒ 2) =

x^{3} ‒ 2 x^{2} ‒ 4 x^{2} + 8 x + 4 x ‒ 8 =

x^{3} ‒ 6 x^{2} + 12 x ‒ 8

Renata obteve o polinômio

x^{3} ‒ 6 x^{2} + 12 x ‒ 8

6. Os polinômios que representam as medidas da área das figuras são:

(x + 1) \cdot (1 + y)

(x + 3 y) \cdot (x + y)

(4 x + 2 y + z + 4) \cdot (x + 2 z + 3)

7. Exemplos de resposta:

a) Se multiplicarmos dois polinômios de grau 2, o resultado poderá ser um polinômio de grau 4. Por exemplo:

(x^{2} ‒ 1) \cdot (x^{2} ‒ 1) = x^{4} ‒ x^{2} ‒ x^{2} + 1 = x^{4} ‒ 2 x^{2} + 1

b) Se multiplicarmos um polinômio de grau 2 por um polinômio de grau 3, o resultado poderá ser um polinômio de grau 5. Por exemplo:

(x^{2} + x) \cdot (x^{3} ‒ 1) = x^{5} ‒ x^{2} + x^{4} ‒ x = x^{5} + x^{4} ‒ x^{2} ‒ x

8. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Ilustração. Retângulo cujo comprimento mede 5 centímetros e cuja altura mede 2 centímetros.

a) A medida da área desse retângulo é dada por 2 ⋅ 5 = 10, ou seja, 10 centímetros quadrados.

b) • Medida de comprimento do lado menor: x

• Medida de comprimento do lado maior: 2x + 1

Logo, as medidas de comprimento dos lados desse retângulo podem ser representadas por x e 2x + 1.

Atividades

▶ Página 205

1. a) O resultado de

(x^{3} y + x^{2} y^{2} + x^{2} y) : (x^{2} y) = x + y + 1

, pois:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão x elevado a três, y mais x elevado a dois, y elevado a dois, mais x ao quadrado, y, por x ao quadrado, y. Na primeira linha, à esquerda, x elevado a três, y mais x elevado a dois, y elevado a dois, mais x ao quadrado, y,, dentro da chave, x ao quadrado, y.
Abaixo do x elevado a três, y, menos x elevado a três, y. Abaixo da chave, x mais y mais um. Abaixo do menos x elevado a três, y, um traço horizontal. Abaixo do traço, x ao quadrado, y ao quadrado, menos x ao quadrado, y ao quadrado. Abaixo de menos x ao quadrado, y ao quadrado, um traço horizontal. Abaixo do traço, x ao quadrado, y. Abaixo do x ao quadrado, y, menos x ao quadrado, y. Abaixo, do menos x ao quadrado, y, um traço horizontal. Abaixo do traço, zero.

b) O resultado de

(6 x^{4} y^{2} ‒ 6 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y^{2}) : (6 x^{2} y^{2}) = x^{2} ‒ x + 1

, pois:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão seis x elevado a quatro, y elevado a dois menos seis x elevado a três, y elevado a dois mais seis x elevado a dois, y elevado a dois por seis x elevado a dois, y elevado a dois.
Na primeira linha, à esquerda, seis x elevado a quatro, y elevado a dois, dentro da chave, seis x ao quadrado, y ao quadrado.
Abaixo do seis x elevado a quatro, y elevado a dois, menos seis x elevado a quatro, y elevado a dois.
Abaixo da chave, x ao quadrado menos x mais um.
Abaixo do menos seis x elevado a quatro, y elevado a dois, um traço horizontal.
Abaixo do traço, seis x ao quadrado, y ao quadrado mais x ao quadrado, y.
Abaixo do menos seis x ao quadrado, y ao quadrado, menos seis x ao quadrado, y ao quadrado.
Abaixo do menos seis x ao quadrado, y ao quadrado, traço horizontal.
Abaixo do traço, zero.

c) O resultado de

(3 a^{3} b^{3} ‒ 3 a^{2} b^{4} + 3 a^{2} b^{3}) : (3 a^{2} b^{3}) = a ‒ b + 1

, pois:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão de três a elevado a três, b elevado a três, menos três a elevado a dois, b elevado a quatro, mais três a elevado a dois, b elevado a três por três a ao quadrado, b elevado a três.
Na primeira linha, três a elevado a três, b elevado a três, menos três a elevado a dois, b elevado a quatro, mais três a elevado a dois, b elevado a três, dentro da chave, três a ao quadrado, b elevado a três.
Abaixo do três a elevado a três b elevado a três, menos três a elevado a três, b elevado a três.
Abaixo da chave, a menos b mais um.
Abaixo do menos três a elevado a três, b elevado a três, traço horizontal.
Abaixo do traço, menos três a ao quadrado b elevado a quatro mais três ao quadrado b elevado a três.
Abaixo do menos três a ao quadrado b elevado a quatro, mais três a ao quadrado b elevado a quatro.
Abaixo do mais três a ao quadrado b elevado a quatro, traço horizontal.
Abaixo do traço, três a ao quadrado b elevado a três.
Abaixo do três a ao quadrado b elevado a três, menos três a ao quadrado b elevado a três.
Abaixo do menos três a ao quadrado b elevado a três, traço horizontal.
Abaixo do traço, zero.

2. a) Efetuando a divisão, temos:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão de x elevado a três mais três x elevado a dois menos sete x menos três por x menos dois.
Na primeira linha, à esquerda, x elevado a três mais três x elevado a dois menos sete x menos três. Dentro da chave, x menos dois.
Abaixo de x elevado a três mais três x elevado a dois, menos x elevado a três mais dois x elevado a dois.
Abaixo, da chave, x ao quadrado mais cinco x mais três.
Abaixo do menos x elevado a três mais dois x elevado a dois, traço horizontal.
Abaixo do traço, cinco x ao quadrado menos sete x menos três.
Abaixo do cinco x ao quadrado menos sete x menos três, menos cinco x ao quadrado mais dez x.
Abaixo do menos cinco x elevado a dois mais dez x, traço horizontal.
Abaixo do traço, três x menos três.
Abaixo, menos três x mais seis.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo do traço, três.

Logo,

Q = x^{2} + 5 x + 3

e R = 3.

Página noventa e sete

b) Efetuando a divisão, temos:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão de dois x elevado a quatro mais zero x elevado a três mais zero x elevado a dois menos três x menos um por x ao quadrado mais dois x menos três.
Na primeira linha, à esquerda, dois x elevado a quatro mais zero x elevado a três mais zero x elevado a dois menos três x menos um. Dentro da chave, x ao quadrado mais dois x menos três.
Abaixo de dois x elevado a quatro mais zero x elevado a três mais zero x elevado a dois, menos dois x elevado a quatro menos quatro x elevado a três mais seis x elevado a dois.
Abaixo da chave, dois x ao quadrado menos quatro x mais catorze.
Abaixo de menos dois x elevado a quatro menos quatro x elevado a três mais seis x elevado a dois, traço horizontal.
Abaixo do traço, menos quatro x elevado a três mais seis x ao quadrado menos três x menos um.
Abaixo do menos quatro x elevado a três mais seis x ao quadrado menos três x, mais quatro x elevado a três mais oito x elevado a dois menos doze x.
Abaixo do mais seis x ao quadrado menos três x, mais quatro x elevado a três mais oito x elevado a dois menos doze x, reta horizontal.
Abaixo da reta, catorze x ao quadrado menos quinze x menos um.
Abaixo de catorze x ao quadrado menos quinze x menos um, menos catorze x ao quadrado menos vinte e oito x mais quarenta e dois.
Abaixo do menos catorze x ao quadrado menos vinte e oito x mais quarenta e dois, reta horizontal.
Abaixo da reta, menos quarenta e três x mais quarenta e um.

Logo,

Q = {2 x}^{2} ‒ 4 x + 14

e R = ‒ 43x + 41.

c) Efetuando a divisão, temos:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão quatro x ao quadrado menos cinco x mais cinco por x ao quadrado mais um.
Na primeira linha, à esquerda, quatro x ao quadrado menos cinco x mais cinco. Dentro da chave, x ao quadrado mais um.
Abaixo de quatro x ao quadrado, menos quatro x ao quadrado menos quatro.
Abaixo da chave, quatro.
Abaixo de menos quatro x ao quadrado menos quatro, uma reta horizontal.
Abaixo da reta, menos cinco x mais um.

Logo, Q = 4 e R = ‒ 5x + 1.

3. a) Efetuando a divisão, temos:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão x elevado a três menos três x elevado a dois por x menos um.
Na primeira linha, à esquerda, x elevado a três menos três x elevado a dois por x. Dentro da chave, x menos um.
Abaixo do x elevado a três menos três x elevado a dois, menos x elevado a três mais um x elevado a dois.
Abaixo da chave, x ao quadrado menos dois x menos dois.
Abaixo do menos x elevado a três mais um x elevado a dois, reta horizontal.
Abaixo da reta, menos dois x ao quadrado.
Abaixo do menos dois x ao quadrado, dois x ao quadrado menos dois x.
Abaixo do dois x ao quadrado menos dois x, reta horizontal.
Abaixo da reta, menos dois x.
Abaixo do menos dois x, dois x menos dois.
Abaixo do dois x menos dois, reta horizontal.
Abaixo da reta, menos dois.

Logo, o resto é igual a ‒ 2.

b) Efetuando a divisão, temos:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão x elevado a dois menos três x mais nove por x mais três.
Na primeira linha, à esquerda x elevado a dois menos três x mais nove. Dentro da chave, x mais três.
Abaixo de x elevado a dois menos três x, menos x elevado a dois menos três x. Abaixo da chave, x menos seis.
Abaixo do menos x elevado a dois menos três x, reta horizontal.
Abaixo da reta, menos seis x mais nove.
Abaixo de menos seis x mais nove, seis x mais dezoito.
Abaixo de seis x mais dezoito, uma reta horizontal.
Abaixo da reta, vinte e sete.

Logo, o resto é igual a 27.

c) Efetuando a divisão, temos:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão x elevado a quatro mais zero x elevado a três menos x elevado a dois mais nove x.
Na primeira linha, à esquerda x elevado a quatro mais zero x elevado a três menos x elevado a dois mais nove x, dentro da chave, x ao quadrado mais um.
Abaixo do x elevado a quatro mais zero x elevado a três menos x elevado a dois mais nove x, mais dois x elevado a dois mais dois.
Abaixo do dois x elevado a dois mais dois, reta horizontal.
Abaixo da reta, nove x mais dois.

Logo, o resto é igual a 9x + 2.

4. a) De acordo com as informações deste item, temos:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão dois x elevado a quatro mais três x elevado a três mais zero x elevado a dois menos dois x menos três por dois x mais três.
Na primeira linha, à esquerda dois x elevado a quatro mais três x elevado a três mais zero x elevado a dois menos dois x menos três. Dentro da chave, dois x mais três.
Abaixo do dois x elevado a quatro mais três x elevado a três, menos dois x elevado a quatro menos três x elevado a três.
Abaixo da chave, x elevado a três menos um.
Abaixo do menos dois x elevado a quatro menos três x elevado a três, traço horizontal.
Algoritmo usual da adição, na primeira linha: menos dois x menos três.
Abaixo, mais dois x mais três.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo do traço, zero.

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão x elevado a cinco mais x elevado a quatro mais x elevado a três menos x elevado a dois menos x menos um por x ao quadrado mais x mais um.
Na primeira linha, à esquerda x elevado a cinco mais x elevado a quatro mais x elevado a três menos x elevado a dois menos x menos um. Dentro da chave, x ao quadrado mais x mais um.
Abaixo do x elevado a cinco mais x elevado a quatro mais x elevado a três, menos x elevado a cinco menos x elevado a quatro menos x elevado a três.
Abaixo do menos x elevado a cinco menos x elevado a quatro menos x elevado a três, traço horizontal.

Algoritmo usual da adição, de cima para baixo, na primeira linha: menos x ao quadrado menos x menos um.
Abaixo, x ao quadrado mais x mais um.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo do traço, zero.

Logo, a afirmação é verdadeira, pois os quocientes são iguais.

b) De acordo com as informações deste item, temos:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão x elevado a quatro mais zero x elevado a três mais zero x elevado a dois mais zero x mais um por x elevado a três menos um.
Na primeira linha, à esquerda, x elevado a quatro mais zero x elevado a três mais zero x elevado a dois mais zero x mais um. Dentro da chave, x elevado a três menos um.
Abaixo de x elevado a quatro mais zero x elevado a três mais zero x elevado a dois mais zero x mais um, menos x elevado a quatro mais um x.
Abaixo de menos x elevado a quatro mais um x, reta horizontal.
Abaixo da reta, um x mais um.

O resto é igual a x + 1, que é um binômio.

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão a ao quadrado mais zero a mais um por a menos um.
Na primeira linha, à esquerda, a ao quadrado mais zero a mais um, dentro da chave, a menos um.
Abaixo de a ao quadrado mais zero a, menos a ao quadrado mais um a.
Abaixo da chave, a mais um.
Abaixo de menos a ao quadrado mais um a, reta horizontal.
Abaixo do traço, um a mais um.
Abaixo do um a mais um, menos um a mais um.
Abaixo do menos um a mais um, reta horizontal.
Abaixo da reta, dois.

O resto é igual a 2, que é um monômio.

Logo, a afirmação é falsa, pois um dos quocientes não é um monômio.

CORREÇÃO: O resto da divisão

(x^{4} + 1) : (x^{3} ‒ 1)

é um binômio

(x + 1)

, e o resto da divisão

(a^{2} + 1) : (a ‒ 1)

é um monômio (2).

5. a) Calculando a divisão, temos:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão x elevado a dois mais zero x menos nove por x mais três.
Na primeira linha, à esquerda x elevado a dois mais zero x menos nove. Dentro da chave, x mais três.
Abaixo do x elevado a dois mais zero x, menos x elevado a dois menos três x.
Abaixo da chave, x menos três.
Abaixo do menos x elevado a dois menos três x, reta horizontal.
Abaixo da reta, menos três x menos nove.
Abaixo de menos três x menos nove, três x mais nove.
Abaixo do três x mais nove, reta horizontal.
Abaixo da reta, zero.

Logo, Q = x ‒ 3 e R = 0.

b) Calculando a divisão, temos:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão x elevado a dois mais zero x menos nove por x menos três.
Na primeira linha, à esquerda x elevado a dois mais zero x menos nove. Dentro da chave, x menos três.
Abaixo do x elevado a dois mais zero x, menos x elevado a dois mais três x.
Abaixo da chave, x mais três.
Abaixo do três x menos nove, menos três x mais nove.
Abaixo do menos três x mais nove, reta horizontal.
Abaixo da reta, zero.

Logo, Q = x + 3 e R = 0.

c) Antes de efetuar a divisão, vamos encontrar a fórma reduzida de D:

D = {(x + 3)}^{2} = (x + 3) \cdot (x + 3) = x^{2} + 6 x + 9

Agora, vamos dividir D por B:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão x elevado a dois mais seis x mais nove por x mais três.
Na primeira linha, à esquerda x elevado a dois mais seis x mais nove. Na chave, x mais três. Abaixo da chave, x mais três.
Abaixo de x ao quadrado mais seis x, menos x ao quadrado menos três x.
Abaixo de menos x ao quadrado menos três x, reta horizontal.
Abaixo da reta, três x mais nove.
Abaixo do três x mais nove, menos três x menos nove.
Abaixo de menos três x menos nove, reta horizontal.
Abaixo da reta, zero.

Logo, Q = x + 3 e R = 0.

d) Vamos usar a fórma reduzida de D, encontrada no item anterior:

x^{2} + 6 x + 9

Agora, vamos dividir D por C:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão x elevado a dois mais seis x mais nove por x menos três.
Na primeira linha, à esquerda x elevado a dois mais seis x mais nove. Na chave, x menos três.
Abaixo da chave, x mais nove.
Abaixo de x ao quadrado mais seis x, menos x ao quadrado mais três x.
Abaixo de menos x ao quadrado mais três x, reta horizontal.
Abaixo da reta, nove x mais nove.
Abaixo do nove x mais nove, menos nove x mais vinte e sete.
Abaixo de menos nove x mais vinte e sete, reta horizontal.
Abaixo da reta, trinta e seis.

Logo, Q = x + 9 e R = 36.

Página noventa e oito

6. a) Para obter o polinômio que indica a medida da largura do retângulo, devemos dividir o polinômio que indica a medida de sua área pelo polinômio que indica a medida de seu comprimento. Assim:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão de trinta e seis x elevado a dois menos três x menos três por doze x mais três.
Na primeira linha, à esquerda trinta e seis x elevado a dois menos três x menos três. Dentro da chave, doze x mais três.
Abaixo, menos trinta e seis x elevado a dois menos nove x.
Abaixo da chave, três x menos um.
Abaixo do menos trinta e seis x elevado a dois menos nove x, traço horizontal
Abaixo do traço horizontal, menos doze x menos três.
Abaixo do menos doze x, menos três, doze x mais três.
Abaixo do doze x mais três, traço horizontal.
Abaixo do traço, zero.

Logo, o polinômio que indica a medida da largura desse retângulo é 3x ‒ 1.

b) Basta substituir x por 1 em

36 x^{2} ‒ 3 x ‒ 3

para encontrar a medida da área do retângulo, em centímetro quadrado.

36 x^{2} ‒ 3 x ‒ 3 = 36 \cdot 1^{2} ‒ 3 \cdot 1 ‒ 3 = 36 ‒ 3 ‒ 3 = 30

Logo, a medida da área desse retângulo, para x = 1 centímetro, é 30 centímetros quadrados.

7. Como Mariana dividiu um polinômio de grau 3 por outro e obteve como quociente um polinômio de grau 1, o polinômio divisor só pode ser de grau 2, pois 3 ‒ 1 = 2. Já Gisele dividiu um polinômio de grau 3 por um monômio e obteve como quociente um polinômio de grau 2. Logo, o monômio divisor só pode ser de grau 1, pois 3 ‒ 2 = 1.

8. Exemplos de respostas:

a) Como o resto da divisão de P por M é igual a zero, então P é obtido multiplicando-se um polinômio M, que tem grau 2 (divisor), por um polinômio Q de grau 1. Vamos considerar

M = x^{2} + x

e Q = x + 1. Assim:

P = (x^{2} + x) \cdot (x + 1) = x^{3} + x^{2} + x^{2} + x = x^{3} + 2 x^{2} + x

Logo, podemos ter

M = x^{2} + x

P = x^{3} + 2 x^{2} + x

b) Temos que P = x ⋅ M. Como

M tem grau 2, vamos considerar

M = x^{2} + 2

. Assim:

P = x \cdot (x^{2} + 2) = x^{3} + 2 x

Logo, podemos ter

M = x^{2} + 2

P = x^{3} + 2 x

Estatística e Probabilidade

▶ Páginas 206, 207 e 208

1. Como o enunciado da atividade pede que, na construção do gráfico, os dados sejam apresentados na fórma percentual, então vamos encontrar o percentual que cada cor representa na preferência de todos os estudantes da turma.

Quantidade de estudantes da turma: 15 + 10 + 5 + 2 + 8 = 40

Então:

Azul:

\frac{15}{40}

= 0,375 = 37,5%

Verde:

\frac{10}{40}

= 0,25 = 25%

Vermelho:

\frac{5}{40}

= 0,125 = 12,5%

Amarelo:

\frac{2}{40}

= 0,05 = 5%

Roxo:

\frac{8}{40}

= 0,2 = 20%

Com esses dados e uma planilha eletrônica podemos construir um gráfico para representar as cores preferidas dos estudantes da turma.

Esquema: Planilha eletrônica. Acima, A1. Fórmula. Na coluna A1 a A5 estão as cores. Na coluna B1 a B5, porcentagem. Os dados são: Azul: 37,50%. Verde: 25%. Vermelho: 12,5%. Amarelo: 5%. Roxo: 20%.
Ao lado, gráfico de setores. Cores preferidas dos estudantes da turma. Os dados são: Azul: 37,50%. Verde: 25%. Vermelho: 12,5%. Amarelo: 5%. Roxo: 20%.

Dados obtidos pela professora da turma em junho de 2023.

2. a) Exemplo de resposta: O gráfico de linhas, pois mostra como o número de mortes no trânsito variou de 2014 a 2020.

b) Não, porque, entre todos os anos apresentados, o número de mortes no trânsito diminuiu.

c) .44823 ‒ .31088 = .13735

.13735 : .44823 ≃ 0,306 = 30,6%

O percentual da diminuição de mortes no trânsito entre 2014 e 2020 foi de aproximadamente 31%.

3. a) Espera-se que os estudantes escolham o gráfico de linhas, pois expressa a variação dos dados ao longo do tempo.

b) Espera-se que os estudantes escolham o gráfico de barras duplas, pois permite a comparação entre o número de estudantes aprovados e reprovados de anos diferentes.

c) Espera-se que os estudantes escolham o gráfico de setores, pois permite a comparação entre os percentuais de materiais de cada tipo que a cooperativa reciclou.

4. Resposta pessoal. Exemplo de problema: Sabendo que a turma tem 40 estudantes, quantos obtiveram nota 6 no 1º bimestre?

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

▶ Páginas 209 e 210

Resoluções e comentários em Orientações.

Atividades de revisão

▶ Página 211

1. a) Caso Jorge tivesse 9 métros de comprimento de tela, então a medida do comprimento do lado do galinheiro seria 3 métros, pois 9 : 3 = 3 (apenas 3 lados do galinheiro seriam fechados com tela). Assim, a medida da área do galinheiro seria 9 métros quadrados, pois 3 ⋅ 3 = 9.

A = \frac{c^{2}}{9}

2. De acordo com as informações, temos:

\frac{1}{3} \cdot 3 x + \frac{3}{5} \cdot 2 y = x + \frac{6}{5} y

3. De acordo com o esquema apresentado, temos:

V = (a \cdot a \cdot b) + (a \cdot a \cdot 2 b) + (2 a \cdot a \cdot b) = a^{2} b + 2 a^{2} b + 2 a^{2} b = 5 a^{2} b

4. a) Estacionamento a: 3,00 + 1,20x

Estacionamento B: 4,00 + 0,80x

b) Para 6 horas no estacionamento a, Vítor deve pagar:

3,00 + 1,20 ⋅ 6 = 3,00 + 7,20 = 10,20

Página noventa e nove

Para 6 horas no estacionamento B, ele deve pagar:

4,00 + 0,80 ⋅ 6 = 4,00 + 4,80 = 8,80

Portanto, para 6 horas, será mais vantajoso Vítor guardar o carro no estacionamento B.

5. a) De acordo com a figura, temos:

A_{v e r d e} = (3 x + 2 y) \cdot (x + y) ‒ (2 x \cdot 2 y) =

(3 x^{2} + 3 x y + 2 x y + 2 y^{2}) ‒ 4 x y =

3 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} ‒ 4 x y =

3 x^{2} + 2 y^{2} + x y

b) Considerando x = 3 e y = 1, temos:

3 x^{2} + 2 y^{2} + x y = 3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 = 3 \cdot 9 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1

= 27 + 2 + 3 = 32

6. a) Considerando os polinômios M

e N

, temos:

•

M + N = (3 x^{4} ‒ 6 x^{2} + 1) + (3 x^{4} ‒ 5 x^{2} ‒ 2) = 6 x^{4} ‒ 11 x^{2} ‒ 1

•

M ‒ N = (3 x^{4} ‒ 6 x^{2} + 1) ‒ (3 x^{4} ‒ 5 x^{2} ‒ 2) = ‒ x^{2} + 3

Logo:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão seis x elevado a quatro mais zero x elevado a três menos onze x elevado a dois mais zero x menos um por menos x ao quadrado mais três.
Na primeira linha, à esquerda seis x elevado a quatro mais zero x elevado a três menos onze x elevado a dois mais zero x menos um e dentro da chave, menos x ao quadrado mais três.
Abaixo de seis x elevado a quatro mais zero x elevado a três menos onze x elevado a dois, menos seis x elevado a quatro mais dezoito x elevado a dois.
Abaixo da chave, menos seis x elevado a dois menos sete. Abaixo de menos seis x elevado a quatro mais dezoito x elevado a dois, linha horizontal. Abaixo da linha, sete x ao quadrado mais zero x menos um. Abaixo do sete x ao quadrado mais zero x menos um, menos sete x ao quadrado mais vinte e um. Abaixo do menos sete x ao quadrado mais vinte e um, linha horizontal. Abaixo da linha, vinte.

Portanto, o resto da divisão é 20.

b) Efetuando a divisão, temos:

Esquema: algoritmo usual de divisão, com a divisão x elevado a cinco mais dois x elevado a quatro mais zero x elevado a três menos x ao quadrado mais zero x mais três por x ao quadrado mais cinco.
Na primeira linha, à esquerda elevado a cinco mais dois x elevado a quatro mais zero x elevado a três menos x ao quadrado mais zero x mais três. Dentro da chave, x ao quadrado mais cinco.
Abaixo de x elevado a cinco mais dois x elevado a quatro mais zero x elevado a três, menos x elevado a cinco menos cinco x elevado a três.
Abaixo da chave, x elevado a três mais dois x elevado a dois menos cinco x menos onze.
Abaixo de menos x elevado a cinco menos cinco x elevado a três, linha horizontal.
Abaixo da linha, dois x elevado a quatro menos cinco x elevado a dois menos x ao quadrado mais zero x mais três.
Abaixo do dois x elevado a quatro menos cinco x elevado a três menos x ao quadrado, menos dois x elevado a quatro menos dez x elevado a dois.
Abaixo do menos dois x elevado a quatro menos dez x elevado a dois, linha horizontal.
Abaixo da linha, menos cinco x elevado a três menos onze x ao quadrado mais zero x mais três.
Abaixo do menos cinco x elevado a três menos onze x ao quadrado mais zero x, cinco x elevado a três mais vinte e cinco x.
Abaixo do cinco x elevado a três mais vinte e cinco x, linha horizontal.
Abaixo da linha, menos onze x ao quadrado mais vinte e cinco x mais três.
Abaixo do menos onze x ao quadrado mais vinte e cinco x mais três, onze x elevado a dois mais cinquenta e cinco.
Abaixo de onze x elevado a dois mais cinquenta e cinco, linha horizontal.
Abaixo da linha, vinte e cinco x mais cinquenta e oito.

Portanto, o resto da divisão é 25x + 58.

O valor numérico do resto para x = ‒ 0,2 é:

25x + 58 = 25 ⋅ ( ‒ 0,2 ) + 58 = ‒ 5 + 58 = 53

7. Respostas pessoais. As etapas apresentadas nesta atividade podem variar de uma calculadora para outra. Oriente os estudantes caso levem calculadoras que funcionem de maneira diferente da indicada.

• A expressão algébrica pode ser indicada por:

\sqrt{(x ‒ 1) \cdot (x + 1) + 1} = x

8. a) Devemos encontrar um polinômio P tal que:

P : ( x ‒ 5 ) = x + 3 e resto 0

Aplicando a operação inversa, temos:

(x ‒ 5) \cdot (x + 3) = x^{2} + 3 x ‒ 5 x ‒ 15 = x^{2} ‒ 2 x ‒ 15

Portanto, o polinômio P é

x^{2} ‒ 2 x ‒ 15

b) Devemos encontrar um polinômio P tal que:

P : \underset{D}{\underset{⏟}{(x^{2} ‒ x)}} t e m q u o c i e n t e \underset{Q}{\underset{⏟}{(x^{3} + 2 x + 4)}} e r e s t o \underset{R}{\underset{⏟}{(4 x + 6)}}

Para isso, fazemos:

D \cdot Q = (x^{2} ‒ x) \cdot (x^{3} + 2 x + 4) =

x^{5} + 2 x^{3} + 4 x^{2} ‒ x^{4} ‒ 2 x^{2} ‒ 4 x =

x^{5} ‒ x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} ‒ 4 x

Adicionando o polinômio obtido ao resto

R

, temos:

(x^{5} ‒ x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} ‒ 4 x) + (4 x + 6) = x^{5} ‒ x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 6

Portanto, o polinômio P é

x^{5} ‒ x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 6

Capítulo 8

Atividades

▶ Página 215

1. Duas decisões podem ser tomadas:

d_{1}

, representando a escolha do modelo de telefone entre as 10 opções possíveis e

d_{2},

representando a escolha da cor do telefone entre as 4 opções possíveis. Portanto, o número de escolhas possíveis de tomar as decisões

d_{1}

d_{2}

é dado por:

10 ⋅ 4 = 40

2. Três decisões podem ser tomadas:

d_{1}

(escolher uma bola vermelha entre as 3 opções possíveis),

d_{2}

(escolher uma bola azul entre as 5 opções possíveis) e

d_{3}

(escolher uma bola roxa entre as 4 opções possíveis). Portanto, o número de escolhas possíveis de tomar as decisões

d_{1}

d_{2}

d_{3}

é dado por:

3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60

Logo, Paulo poderá formar 60 trios.

Atividades

▶ Página 217

1. Para o algarismo das dezenas, há 9 possibilidades (o algarismo 0 não serve). Já para o algarismo das unidades, há 10 possibilidades. Logo, há 90 números de dois algarismos, pois:

9 ⋅ 10 = 90

2. Para o primeiro algarismo, há 9 possibilidades (o algarismo 0 não serve); para o segundo, 9 possibilidades (deve ser distinto do primeiro, mas o 0 agora serve); e, para o terceiro, 8 possibilidades (o terceiro algarismo deve ser diferente dos outros dois). Logo, há 648 números de três algarismos distintos, pois:

9 ⋅ 9 ⋅ 8 = 648

3. Para o primeiro algarismo, há 6 possibilidades; para o segundo, 5 possibilidades (deve ser distinto do primeiro); e, para o terceiro, 4 possibilidades (o terceiro algarismo deve ser diferente dos outros dois). Logo, há 120 números de três algarismos distintos formados com os algarismos 2, 4, 6, 7, 8 e 9, pois:

6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120

4. Para a primeira pessoa da fila, há 7 possibilidades; para a segunda, há 6 possibilidades; para a terceira, há 5 possibilidades; e será assim até o final da fila, de modo que podemos fazer:

7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = .5040

Portanto, 7 pessoas podem ficar em fila de .5040 maneiras diferentes.

5. a) Para formar números de três algarismos com os dígitos 4, 5, 6, 7 e 8 que sejam menores que 700, temos de considerar que, para o primeiro algarismo, há 3 possibilidades (os algarismos 7 e 8 não servem, pois o número formado seria maior que 700); para o segundo, 5 possibilidades; e, para o terceiro, 5 possibilidades. Logo, há 75 números de três algarismos que podem ser formados, pois:

3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75