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CAPÍTULO 2 Retas e ângulos

1 Recordando alguns conceitos

Neste Capítulo, vamos revisar alguns conceitos estudados em anos anteriores e aprender a fazer algumas construções com régua e compasso.

Elementos primitivos da Geometria

Na Geometria nem sempre é possível definir um conceito – é o que acontece, por exemplo, com as ideias de ponto, reta e plano. Por isso, eles são chamados conceitos primitivos ou elementos primitivos da Geometria.

Observe o tabuleiro de futebol de botão ilustrado. Nele, as marcas de pênalti e a marca no centro do campo dão a ideia de pontos. As linhas que delimitam o campo dão a ideia de partes de retas, e a superfície do tabuleiro dá a ideia de parte de um plano.

Ilustração. Vista de cima de campo de futebol em formato retangular.

Quadro. Os pontos não têm dimensões. Eles estão presentes em todas as figuras geométricas. Para nomeá-los, geralmente usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. Por exemplo. Abaixo, representação de um ponto P, com a letra P maiúscula. Abaixo, indicação: ponto P.

Quadro. As retas não têm espessura e são ilimitadas nos dois sentidos; por isso, para representá-las, desenhamos uma parte delas. Em uma reta, há infinitos pontos. Para nomeá-la, podemos usar letras minúsculas do nosso alfabeto ou letras maiúsculas de dois pontos pertencentes a ela. Por exemplo. Abaixo, representação de uma reta r passando pelos pontos A e B. Abaixo, indicação: reta r, ou reta a bê, ou reta bê a.

Quadro. Os planos não têm espessura e são ilimitados em todas as direções; por isso, para representá-los, desenhamos uma parte deles. Um plano tem infinitos pontos. Para nomeá-lo, geralmente usamos letras gregas minúsculas, como alfa e beta. Por exemplo. Abaixo, representação de um plano alfa verde. Abaixo, indicação: plano alfa.

Retas determinadas por pontos
Consideremos um ponto pertencente a um plano. Por esse ponto, podemos traçar quantas retas quisermos, ou seja, por esse ponto passam infinitas retas.
Consideremos agora dois pontos distintos, pertencentes ao mesmo plano. Por esses pontos, podemos traçar uma única reta.
Consideremos três ou mais pontos distintos, pertencentes ao mesmo plano. Só podemos traçar uma reta que passe ao mesmo tempo por todos os pontos se eles forem colineares, ou seja, se estiverem alinhados.

Respostas e comentários

Os links expressos nesta coleção podem estar indisponíveis após a data de publicação deste material.

Habilidades da Bê êne cê cêtrabalhadas neste Capítulo:

ê éfe zero oito ême ah um cinco

ê éfe zero oito ême ah um sete

ê éfe zero oito ême ah dois três

Orientações e sugestões didáticas

Recordando alguns conceitos

Objetivos

• Retomar alguns conceitos de Geometria estudados nos anos anteriores.

• Favorecer o desenvolvimento da competência geral 8 da Bê êne cê cê.

Orientações

• Neste tópico serão retomados alguns conceitos de Geometria estudados em anos anteriores. Ao abordar os conceitos, procure partir do conhecimento prévio dos estudantes sobre o assunto.

• Com relação aos elementos primitivos da Geometria, incentive-os a investigar, na sala de aula, elementos que dão a ideia de pontos, retas e planos. Uma das paredes da sala pode ser um exemplo de parte de um plano; a intersecção entre duas paredes, um exemplo de parte de uma reta; e a intersecção entre duas paredes e o teto pode ser um exemplo de ponto. Chame a atenção dos estudantes para a representação geométrica e a notação de cada uma dessas noções.

• Represente um ponto no quadro e peça aos estudantes que tracem retas que passem por esse ponto. Assim, poderão perceber, na prática, que por um ponto no plano passam infinitas retas. Depois, peça a um estudante que trace uma reta que passe por dois pontos e pergunte à turma se há outra reta distinta da primeira que passe por esses dois pontos. Faça experimentos também com três pontos. Esse tipo de experiência, embora simples, tem como objetivo fazer com que os estudantes compreendam ideias fundamentais que os ajudarão com futuras atividades em Geometria.

Competência geral 8: Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

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Semirreta e segmento de reta

Observe a reta r a seguir e alguns de seus pontos.

Figura geométrica: Reta r passando pelos pontos A, P e B. A distância entre os pontos A e P e os pontos P e B é a mesma

De uma reta, podemos obter semirretas e segmentos de reta.

Semirreta

Um ponto P em uma reta r determina duas semirretas em r. Esse ponto é a origem das semirretas.

Figura geométrica: Reta r passando pelos pontos A, P e B. A distância entre os pontos A e P e os pontos P e B é a mesma. Destaque em verde para o segmento PB.

A semirreta que tem origem em P e passa pelo ponto a é indicada por

\vec{PA}

. A semirreta de origem P e que passa por B é indicada por

\vec{PB}

Observações

• As semirretas

\vec{PR}

\vec{PQ}

são opostas.

Figura geométrica: Reta r passando pelos pontos R, P e Q. A distância entre os pontos R e P e os pontos P e Q é a mesma.

• As semirretas

\vec{OA}

\vec{OB}

são coincidentes.

Figura geométrica: reta r passando pelos pontos O, A e B, de modo que o ponto A está entre os pontos O e B.

Segmento de reta

Considere os pontos a e B da reta r e os pontos compreendidos entre eles.

Figura geométrica: reta r passando pelos pontos A e B.

O segmento de reta

\overline{A B}

é o conjunto de pontos formado pelo ponto a, pelo ponto B e por todos os pontos da reta compreendidos entre a e B.

Os pontos a e B são as extremidades do segmento de reta.

Nesse caso, a reta r, à qual pertencem os pontos a e B, é chamada reta suporte do segmento

\overline{A B}

Observações

• Dois segmentos que têm uma extremidade comum são denominados consecutivos.

• Dois segmentos que estão na mesma reta suporte são denominados colineares.

Figura geométrica: segmento de reta MN e segmento de reta NP, unidos pelo ponto N.

Os segmentos

\overline{M N}

\overline{N P}

são consecutivos, pois têm em comum a extremidade N.

Os segmentos

\overline{P Q}

\overline{R S}

são colineares, pois estão na mesma reta, a reta s.

Figura geométrica: segmentos de reta MN e NP.

Os segmentos

\overline{M N}

\overline{N P}

são consecutivos e colineares.

Orientações e sugestões didáticas

• Apesar de abstratas, as ideias de semirreta e segmento de reta já fazem parte da experiência dos estudantes, pois eles utilizam régua e esquadro em desenhos geométricos. Além disso, esses conceitos podem ser trabalhados a partir de situações cotidianas, como a representação de um deslocamento por ruas e avenidas em mapas.

• Oriente os estudantes a observar que as arestas de figuras não planas e os lados de figuras planas são segmentos de reta. Se julgar conveniente, proponha que liguem dois pontos quaisquer por um segmento de reta e por uma linha curva para posteriormente comparar as medidas de comprimento das linhas obtidas.

• Se achar pertinente, proponha aos estudantes que, utilizando um software de Geometria dinâmica, construam representações de retas, semirretas, semirretas opostas e coincidentes, segmentos de reta consecutivos e segmentos de reta colineares. Esse pode ser o momento oportuno para verificar se eles se apropriaram dessas noções. Peça a eles que expliquem como fizeram cada uma dessas construções.

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Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Medida de um segmento e segmentos congruentes

Como um segmento de reta tem início e fim, podemos medir seu comprimento.

Figura geométrica: segmento de reta AB na horizontal.

A medida de comprimento de um segmento

\overline{A B}

é o número de vezes que um segmento unitário, considerado unidade de medida, cabe em

\overline{A B}

. O comprimento desse segmento unitário pode medir, por exemplo, 1 centímetro, 1 milímetro, entre outros.

Dependendo da medida de comprimento do segmento, a régua é o instrumento mais adequado para medi-lo. Nesse caso, é comum o uso do centímetro ou do milímetro como unidade de medida.

O segmento

\overline{A B}

apresentado tem medida de comprimento igual a:

• 3 centímetros (se a unidade de medida de comprimento adotada for o centímetro), pois um segmento de 1 centímetro de comprimento cabe 3 vezes em

\overline{A B}

. Indicamos: AB = 3 centímetros

• 30 milímetros (se a unidade de medida de comprimento adotada for o milímetro), pois um segmento de 1 milímetro de comprimento cabe 30 vezes em

\overline{A B}

. Indicamos: AB = 30 milímetros

Esquema: segmento AB. Abaixo, régua milimetrada com medida de 3 centímetros.

Segmentos que têm a mesma medida de comprimento são denominados congruentes.

Figura geométrica. À esquerda, segmento de reta a bê na diagonal. À direita, segmento de reta cê dê na diagonal. Abaixo dos dois segmentos, o texto: Os segmentos a bê e cê dê são congruentes, pois têm a mesma medida de comprimento. Indicamos segmento a bê sinal gráfico til sobre sinal de igual segmento cê dê.

Observações

• Quando queremos dizer que as medidas de comprimento dos segmentos são iguais, escrevemos:

AB = CD

• Quando queremos dizer que os segmentos são congruentes, escrevemos:

\overline{A B}

≅

\overline{C D}

Mesmo se não tivermos régua graduada, podemos traçar um segmento congruente a outro usando régua não graduada e compasso. Observe como traçar um segmento congruente a um segmento

\overline{A B}

qualquer.

Esquema. Quadro 1: compasso aberto com ponta-seca em B e ponta com grafite em A. Abaixo, o texto: Deixe o compasso com abertura a bê. Quadro 2: continuação do quadro 1 com compasso aberto com ponta-seca em C abaixo do segmento AB e ponta com grafite desenhando um arco. Abaixo, o texto: Marque um ponto C qualquer, que será uma das extremidades do novo segmento. Em seguida, com a ponta-seca do compasso em C e abertura AB, trace um arco. Quadro 3: continuação do quadro 2 com segmento CD abaixo do segmento AB. O ponto D está sobre o arco. Abaixo, o texto: Marque um ponto D qualquer nesse arco e, com a régua não graduada, trace o segmento CD. Esse segmento é congruente ao segmento AB.

Como o compasso estava com abertura

\overline{A B}

, ao traçar o arco, construímos parte de uma circunferência de centro C e raio de medida de comprimento

\overline{A B}

; portanto, qualquer ponto desse arco determina com C um segmento congruente a

\overline{A B}

Orientações e sugestões didáticas

• Disponibilize, se possível, compassos e réguas ou peça aos estudantes que levem para a sala de aula esse material para que construam segmentos de reta congruentes, usando como guia as instruções desta página. Para essa construção, pode-se usar também um software de Geometria dinâmica. A seção Informática e Matemática da página 69 apresenta atividades envolvendo a construção de segmentos de reta e outros elementos, utilizando um software de Geometria dinâmica.

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Ângulos

Você já reparou na sua postura ou na postura de seus colegas ao usar o computador?

Uma postura errada pode gerar dores musculares em ombros, braços, costas e pescoço e até causar desvios na coluna. Por isso, é fundamental ficar atento para manter uma postura correta e confortável. Acompanhe algumas dicas a seguir.

Para observar

Com o auxílio de um colega, avalie sua postura diante da tela do computador.

Ilustração. Mulher branca, de cabelo preto amarrado, com um vestido azul e tênis vermelho, sentada em uma cadeira giratória com uma bolsa azul pendurada, na frente de uma mesa com monitor e teclado. Ao redor, as informações: Posicione-se entre 45 e 70 centímetros do monitor, garantindo um ângulo de visão com medida de abertura entre 10 graus e 20 graus. A coluna deve estar reta e apoiada no encosto da cadeira. A abertura do ângulo entre os antebraços e os braços deve medir 90 graus. A abertura do ângulo entre as coxas e o tronco também deve medir 90 graus. O monitor deve estar na altura dos olhos. O teclado e o mouse devem estar à mesma altura dos cotovelos. Se os pés alcançarem o chão, os joelhos poderão formar um ângulo cuja abertura mede 90 graus. Os pés devem estar bem apoiados no chão ou em um descanso apropriado. Se ficar um período longo usando o computador, faça pausas, alongamentos e relaxe o corpo, além de desviar o olhar da tela, para descansar também os olhos

A ilustração mostra que os ângulos formados entre algumas partes do corpo são elementos importantes para a manutenção de uma postura correta quando estamos usando o computador.

Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem em um plano com uma das regiões determinadas por elas.

Observe as semirretas de mesma origem

\vec{OA}

\vec{OB}

. Elas determinam duas regiões no plano que as contém (a região indicada em laranja e a indicada em azul). Cada região, com as semirretas, fórma um ângulo.

Figura geométrica: semirreta OA e semirreta OB unidas em O. Ângulo externo do vértice O destacado na cor alaranjada.

Exemplo

Figura geométrica. À esquerda, texto: A origem O é o vértice do ângulo. Ao centro, representação de semirreta OA e semirreta OB unidas em O. À direita, texto: As semirretas OA e OB de mesma origem, são os lados do ângulo.

Indicamos esse ângulo por

A \hat{O} B

B \hat{O} A

ou, simplesmente, por

\hat{O}

Observação

Para não causar confusão, colorimos apenas a região do ângulo de que estamos tratando.

Orientações e sugestões didáticas

• O conceito de ângulo é retomado por meio de uma situação que trata da postura de uma pessoa em frente ao computador. As informações dessa contextualização e do boxe Para observar contribuem para cuidados com a saúde física, evitando dores musculares em ombros, braços, costas, pescoço e coluna, o que favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, da macroárea Saúde, e da competência geral 8 da Bê êne cê cê.

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Medida de abertura de um ângulo e ângulos congruentes

Vamos relembrar como medir a abertura de um ângulo usando transferidor.

Ilustração: Um transferidor de 180 graus. Há um ângulo COD de 135 graus desenhado sobre o transferidor. Do centro do ângulo, do vértice O, parte uma reta com a indicação 'o centro do transferidor deve coincidir com o vértice do ângulo'. Do número zero do transferidor parte uma reta com a indicação 'a linha que indica zero grau deve estar alinhada com um dos lados do ângulo'. Do número 135 do transferidor parte uma reta com a indicação 'o outro lado estará sobre a marca do transferidor que indica a medida de abertura do ângulo. Nesse caso, a abertura do ângulo COD mede 135 graus'.

Indicamos a medida da abertura de

C \hat{O} D

por: medida de(

C \hat{O} D

) = 135graus

Dois ângulos que têm abertura de mesma medida são denominados congruentes.

Figura geométrica. À esquerda, semirreta BA e semirreta BC unidas em B formando ângulo de 50 graus. Semirreta ED e semirreta EF unidas em E formando ângulo de 50 graus. À direita, o texto: Os ângulos ABC e De e éfe são congruentes, pois têm a mesma medida de abertura. Indicamos ângulo ABC sinal gráfico til sobre sinal de igual ângulo Dê e éfe.

Classificação dos ângulos com abertura medindo até 180graus

Observe como um ângulo pode ser classificado de acordo com a medida de sua abertura.

Ângulo reto	Ângulo agudo	Ângulo obtuso
É o ângulo cuja abertura mede 90°. O símbolo na representação de um ângulo indica sempre que sua abertura mede 90°.	É o ângulo cuja medida de abertura é maior que 0° e menor que 90°.	É o ângulo cuja medida de abertura é maior que 90° e menor que 180°.

Ângulo reto

Ângulo agudo

Ângulo obtuso

Imagem das semirretas OA e OB formando um ângulo de 90°.

É o ângulo cuja abertura mede 90°. O símbolo na representação
de um ângulo indica sempre que sua abertura mede 90°.

Imagem das semirretas OA e OB formando um ângulo agudo.

É o ângulo cuja medida de abertura é maior que 0° e menor que 90°.

Imagem das semirretas OA e OB formando um ângulo obtuso.

É o ângulo cuja medida de abertura é maior que 90° e menor que 180°.

Ângulo nulo	Ângulo raso
É um dos ângulos formados por duas semirretas coincidentes. Sua abertura tem medida igual a 0°.	É o ângulo formado por duas semirretas opostas. Sua abertura mede 180°.

Ângulo nulo

Ângulo raso

É um dos ângulos formados por duas semirretas coincidentes. Sua abertura tem medida igual a 0°.

Imagem das semirretas opostas PR e PQ formando um ângulo de 180°.

É o ângulo formado por duas semirretas opostas. Sua abertura mede 180°.

Observações

• O ângulo reto corresponde ao giro de um quarto de volta.

• O ângulo raso corresponde ao giro de meia-volta.

Orientações e sugestões didáticas

• Nesta página, recorda-se como medir a abertura de ângulos utilizando o transferidor. Proponha aos estudantes que meçam algumas aberturas de ângulos ilustrados no livro usando um transferidor e, depois, comparem as medidas obtidas com as dos colegas.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Posições entre duas retas no plano

Duas retas no plano podem estar em diferentes posições.

• Quando as retas não se cruzam, ou seja, não têm pontos em comum, são denominadas retas paralelas.

Figura geométrica: duas retas paralelas, r e t. Ao lado, a indicação 'as retas s e t são paralelas. Indicamos: r , dois traços um sobre o outro, t'.

• Quando as retas se cruzam em apenas um ponto, ou seja, apresentam apenas um ponto em comum, são denominadas retas concorrentes.

Figura geométrica: duas retas concorrentes, s e t. Ao lado, a indicação: as retas s e t são concorrentes. Indicamos: s, dois traços cruzados em xis, t

• Quando as retas têm todos os pontos em comum, são denominadas retas coincidentes. Nesse caso, as retas r e s ocupam o mesmo lugar no plano.

Figura geométrica: retas r e s em um único traço. Ao lado, indicação: as retas r e s são coincidentes. Indicamos: r, três traços paralelos um sobre o outro, s

Observações

• Duas retas concorrentes que formam ângulos retos entre si são denominadas retas perpendiculares.

Figura geométrica: uma reta vertical a e uma reta horizontal b que se cruzam e formam quatro ângulos de 90 graus. Em seguida, o texto: As retas a e b são perpendiculares. Indicamos a símbolo composto por traço horizontal com traço vertical sobre seu centro, fim do símbolo, b.

• As retas a e b representadas a seguir não têm aparentemente pontos em comum. Basta, porém, fazer um prolongamento dessas retas para verificar que elas se cruzam, ou seja, são concorrentes.

Figura geométrica: Duas retas, a e b. A reta a é alaranjada e está inclinada para baixo, acima da reta b. A reta b é verde, está na horizontal.

Figura geométrica: Duas retas, a e b. A reta a é alaranjada e está inclinada para baixo. Parte da reta está tracejada. A reta b é verde, está na horizontal. Parte da reta b é tracejada. As retas tracejadas se cruzam num ponto identificado com a letra P maiúscula.

Orientações e sugestões didáticas

• Nesta página, os estudantes retomam os conceitos de retas paralelas e retas concorrentes. A ideia de paralelismo é importante no uso social em situações de orientação em ruas, por exemplo, e também para classificar figuras geométricas de acordo com a existência ou não de lados opostos paralelos.

• É muito importante os estudantes entenderem que, quando duas retas são perpendiculares entre si, elas são também concorrentes, pois se cruzam em um ponto. Entretanto, nem sempre duas retas concorrentes serão perpendiculares entre si. Desenhe no quadro exemplos de retas concorrentes que sejam perpendiculares ou não.

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Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Responda às questões.

a) Quantas retas passam por um ponto?

b) Quantas retas podem passar por dois pontos distintos?

c) Dados três pontos distintos, é sempre possível traçar uma reta que passe, ao mesmo tempo, por esses pontos?

2. Que segmentos de reta os pontos a, B, C e D determinam na reta s representada a seguir?

Figura geométrica: reta s que passa pelos pontos A, B, C e D.

3. Com uma régua, meça o comprimento dos segmentos e, depois, responda à questão.

Figura geométrica: segmentos de reta AB, EF, GH, CD, IJ e KL, de tamanhos diferentes.

• Quais desses segmentos de reta são congruentes?

4. Usando um transferidor, descubra a medida de abertura de cada ângulo.

a) A

\hat{O}

b) A

\hat{O}

c) A

\hat{O}

d) B

\hat{O}

e) A

\hat{O}

f) D

\hat{O}

Figura geométrica: segmentos de reta OA, OB, OC, OD, OE e OF unidos pelo ponto O.

5. No caderno, trace um segmento congruente ao segmento representado usando régua não graduada e compasso.

Figura geométrica: segmento de reta na horizontal.

6. Descubra a medida de abertura, em grau, dos ângulos em destaque formados pelos ponteiros dos relógios.

Ilustração. Relógio de ponteiros no formato circular. O ponteiro menor está no número 3 e o ponteiro maior no 12.

Ilustração. Relógio de ponteiros no formato circular. O ponteiro menor está no número 5 e o ponteiro maior no 12.

7. Usando transferidor, meça as aberturas dos ângulos destacados em cada foto e classifique-os em reto, agudo, obtuso ou raso.

Fotografia: Leque verde e preto aberto. Na base do leque há um segmento de reta horizontal.

Fotografia, Gol de campo de futebol. Há uma reta vermelha na trave vertical esquerda e uma reta vermelha na trave horizontal. Essas retas têm um vértice em comum no ângulo do gol.

8. Uma das ideias associadas a ângulos está relacionada com voltas e giros. Podemos observar isso quando movimentamos uma bússola e verificamos a mudança na posição do seu ponteiro.

Fotografia. Bússola com os quatro principais pontos cardeais. A letra N acima, L À direita, S abaixo e O à esquerda. O ponteiro está próximo de N e S.

a) Orientada por uma bússola, uma pessoa que caminhava para o norte virou para o leste, seguindo a trajetória da menor abertura de ângulo possível. Que medida de abertura do ângulo o seu giro determinou?

b) Qual é a medida de abertura do ângulo determinado pelo giro de uma pessoa que está indo para o leste e decide ir para o oeste?

Respostas e comentários

1. a) infinitas

1. b) uma reta

1. c) Não; somente se os pontos forem colineares.

\overline{A B}

;

\overline{A C}

;

\overline{A D}

;

\overline{B C}

;

\overline{B D}

;

\overline{C D}

\overline{A B}

\overline{I J}

;

\overline{G H}

\overline{C D}

4. a) 35graus

4. b) 61graus

4. c) 123graus

4. d) 50graus

4. e) 165graus

4. f) 80graus

5. Os estudantes devem seguir o procedimento indicado na página 57 para construir um segmento congruente ao segmento dado.

6. a) 90graus

6. b) 150graus

7. a) 180graus; raso

7. b) 90graus; reto

8. a) 90graus, que corresponde a

\frac{1}{4}

de volta

8. b) 180graus, que corresponde a

\frac{1}{2}

volta

Orientações e sugestões didáticas

• As atividades apresentadas nesta página estimulam os estudantes a mobilizar os conceitos que foram recordados. Durante a realização das atividades, faça um levantamento das principais dificuldades que eles apresentam e retome algum conceito, caso necessário.

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2 Mediatriz e ponto médio de um segmento

Maria desenhou o segmento

\overline{A B}

em uma folha de papel. Depois, dobrou a folha de modo que o ponto B coincidisse com o ponto a. No local em que essa dobra cruzou o segmento, ela marcou o ponto M, conforme indica a sequência de figuras a seguir. Lembre-se: o compasso deve ser manuseado com cuidado.

Ilustração. Folha de papel retangular com segmento de reta AB na diagonal. Ilustração. Folha de papel retangular com segmento AB na diagonal. O papel está dobrado para a esquerda, de modo que os pontos A e B estão um sobre o outro. Ilustração. Folha de papel retangular com segmento AB na diagonal. Destaque para a marca da dobra com ponto M no centro do segmento de reta AB.

Nesse caso, o ponto M é o ponto médio do segmento

\overline{A B}

O ponto médio de um segmento é o ponto que divide esse segmento em dois segmentos congruentes.

A reta que passa pelo ponto médio de um segmento e é perpendicular a esse segmento é chamada mediatriz do segmento.

A mediatriz de um segmento pode ainda ser definida como a figura geométrica formada por todos os pontos do plano que estão à mesma medida de distância de seus extremos.

Acompanhe a construção geométrica, com régua e compasso, da mediatriz e do ponto médio M de um segmento

\overline{A B}

qualquer. Lembre-se: o compasso deve ser manuseado com cuidado.

Ilustração. Quadro 1: Segmento AB com compasso com a ponta-seca em B e arco tracejado em uma medida maior que a metade do segmento. Abaixo, o texto: Com a ponta-seca do compasso no ponto B a abertura maior que a metade da medida de comprimento do segmento AB, trace um arco.

Ilustração. Quadro 2: Segmento AB com compasso com a ponta-seca em A. Dois arcos concorrentes tracejados. Nos encontros dos dois arcos, a indicação dos pontos C e D. A ponta com grafite do compasso está sobre o ponto C. Abaixo, o texto: Com a mesma abertura usada no item anterior e a ponta-seca no ponto A, trace um arco que cruze o arco anterior. Nos encontros dos dois arcos, marque os pontos C e D.

Ilustração. Quadro 3: uma reta AB horizontal e uma reta vertical que passa pelos pontos C e D. No encontro das duas retas há a indicação de um ponto M e de um ângulo de 90 graus. Na reta vertical está indicado 'mediatriz'. Abaixo, o texto: Trace a reta que passa pelos pontos C e D. Essa reta é a mediatriz de AB e cruza o segmento no ponto médio M do segmento AB.

Observação

A justificativa para a validade dessa construção será apresentada no Capítulo 4.

Clique no play e acompanhe as informações do vídeo.

Orientações e sugestões didáticas

Mediatriz e ponto médio de um segmento

Objetivos

• Definir o ponto médio de um segmento de reta.

• Compreender o conceito de mediatriz de um segmento.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um cinco da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um cinco porque trabalha a construção da mediatriz de um segmento de reta utilizando instrumentos de desenho.

Orientações

• No início do tópico, mostra-se como obter o ponto médio de um segmento de reta qualquer por meio de dobradura. Incentive os estudantes a reproduzir esse experimento e a checar, com o auxílio de uma régua, que o ponto obtido é de fato o ponto médio do segmento de reta.

• Em seguida, mostra-se como construir a mediatriz de um segmento de reta qualquer utilizando régua e compasso. Peça aos estudantes que reproduzam essa construção no caderno. Reforce a orientação de que devem utilizar o compasso com cuidado.

• Chame a atenção dos estudantes para o fato de a mediatriz de um segmento ser o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à mesma medida de distância de seus extremos. Oriente-os a verificar isso, experimentalmente, com o auxílio de uma régua.

• Na seção Informática e Matemática da página 69, é proposto aos estudantes que realizem essa construção para verificar experimentalmente sua validade. Caso considere coerente, proponha a atividade com o software de Geometria dinâmica nesse momento.

(ê éfe zero oito ême ah um cinco) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90graus, 60graus, 45graus e 30graus e polígonos regulares.

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Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

3 Traçando retas perpendiculares e retas paralelas com régua e compasso

Você vai aprender a traçar retas perpendiculares e paralelas usando régua e compasso.

Retas perpendiculares

Considere uma reta r e um ponto P, fóra da reta ou que pertença a ela. Observe como traçar, usando régua e compasso, uma reta perpendicular a r passando por P.

1. Com a ponta-seca do compasso em P, trace um arco que cruze a reta r em dois pontos, a e B.

2. Trace a mediatriz m de

\overline{A B}

. A reta m é perpendicular a

\overline{A B}

e, portanto, perpendicular a r.

Ilustração. Início da construção de uma reta perpendicular a uma reta r que deverá passar pelo ponto P externo à reta r. Quadro 1: Uma reta passando pelos pontos A e B na diagonal. A ponta-seca do compasso está num ponto P exterior à reta, a ponta com grafite está sobre um arco que passa pelos pontos A e B.

Ilustração. Última etapa da construção de uma reta perpendicular a uma reta r passando pelo ponto P externo à reta. Quadro 2: Uma reta r passando pelos pontos A e B na diagonal. Há um arco passando pelo pontos A e B. Há uma reta vertical m passando pelo ponto P e pelo centro da reta r. Na intersecção das duas retas, há um ângulo de 90 graus.

Ilustração. Início da construção de uma reta perpendicular a uma reta r passando pelo ponto P que está sobre a reta r. Quadro 1: Uma reta passando pelos pontos A, B e P na diagonal. . A ponta-seca do compasso está sobre o ponto P, a ponta com grafite está sobre um arco que passa pelos pontos A e B.

Ilustração. Última etapa da construção de uma reta perpendicular a uma reta r passando pelo ponto P sobre a reta. Quadro 2: Uma reta r passando pelos pontos A, B e P na diagonal. Há um arco passando pelo pontos A e B. Há uma reta vertical m passando pelo ponto P e pelo centro da reta r. Na intersecção das duas retas, há um ângulo de 90 graus.

Em ambos os casos, pela construção, os pontos a e B estão à mesma medida de distância de P, ou seja: pê á = PB. Isso garante que P pertença à mediatriz m de

\overline{A B}

e, portanto, que m seja a reta perpendicular a r, passando por P.

Observação

Quando queremos traçar uma reta perpendicular à reta r sem a condição de passar por um ponto P dado, podemos considerar dois pontos quaisquer, a e B, na reta e traçar a mediatriz de

\overline{A B}

Figura geométrica: Uma reta r passando pelos pontos A e B. Uma reta m perpendicular à reta r, passando pelo centro da reta r.

Orientações e sugestões didáticas

Traçando retas perpendiculares e retas paralelas com régua e compasso

Objetivo

• Traçar retas perpendiculares e retas paralelas utilizando régua e compasso.

Orientações

• É esperado que os estudantes já tenham visto como traçar retas paralelas e perpendiculares utilizando régua e esquadro. Agora, eles vão fazer isso utilizando régua e compasso. Antes da leitura das próximas páginas, pergunte se alguém da turma sabe como se constrói uma reta perpendicular ou uma paralela a uma reta dada. Trabalhe este tópico como um jogo, desafiando-os a construir; se algum estudante obtiver êxito, peça a ele que explique aos colegas.

• Neste tópico, a construção da reta perpendicular a uma reta dada é feita usando-se a mediatriz. Pergunte aos estudantes por que pê á = PB. Eles devem perceber que pê á = PB pois a e B pertencem a um mesmo arco de circunferência com centro em P.

Página 64

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Retas paralelas

Considere uma reta r e um ponto P fóra dela. Observe um modo de traçar, usando régua e compasso, uma reta paralela a r passando por P.

Ilustração. Quadro 1: uma reta r passando pelo ponto A, A ponta-seca do compasso está sobre o ponto P, exterior à reta. A ponta com grafite do compasso está sobre o arco que passa pelo ponto A. Abaixo, o texto: Com a ponta-seca do compasso em P, trace um arco que cruze a reta r, determinando um ponto A.

Ilustração. Quadro 2: uma reta r passando pelos pontos B e A. A ponta-seca do compasso está sobre o ponto A. Há um arco passando pelo ponto A. A ponta com grafite do compasso está sobre um arco que passa pelos pontos B e P. Abaixo o texto: Com a mesma abertura usada no item anterior e a ponta-seca do compasso em A, trace um arco que cruze a reta r em um ponto B.

Ilustração. Quadro 3: uma reta r passando pelo ponto B e A. A ponta-seca do compasso está sobre o ponto A. Há um arco passando pelos pontos A e C. A ponta com grafite do compasso está sobre um arco que passa pelo ponto C. Há um arco que passa pelos pontos B e P. Abaixo, o texto: Deixe o compasso com abertura BP e, com a ponta-seca em A, trace um arco que cruze o primeiro arco traçado (no item 1). No encontro dos dois arcos, marque o ponto C.

Ilustração Quadro 4: uma reta r passando pelos pontos B e A. Há um arco passando pelos pontos A e C. Há um arco que passa pelo ponto C. Há um arco que passa pelos pontos B e P. Há uma reta paralela à reta r, passando pelos pontos P e C. Abaixo, o texto: Trace a reta PC. Essa reta é paralela à reta r passando por P.

Quando queremos traçar uma reta paralela à reta r sem a condição de passar por um ponto P dado, basta considerar um ponto qualquer fóra da reta e seguir os passos apresentados anteriormente.

Observação

A justificativa para a validade dessa construção será apresentada no Capítulo 4.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Resolva o problema.

• André, Beatriz e Caio moram na rua Retona, cada um em uma casa.

• A rua Retona não tem curva.

• Beatriz mora à mesma medida de distância de André e de Caio.

a) Se André, ao sair de casa, caminha 73 métros em linha reta por essa rua para chegar à casa de Beatriz, qual é a medida de distância entre as casas de André e de Caio?

b) Se você representar a rua Retona por uma reta e as casas por pontos, qual delas representará o ponto médio do segmento cujas extremidades serão as outras duas casas?

Respostas e comentários

1. a) 146 métros

1. b) a casa de Beatriz

Orientações e sugestões didáticas

• Solicite aos estudantes que construam retas paralelas utilizando régua e compasso. Após terminarem a construção, peça que verifiquem com régua e esquadro se a reta obtida é de fato paralela à reta inicial.

• É importante que todos os estudantes saibam fazer as construções apresentadas com régua e compasso, pois, além de ser motivados para o processo de aprendizagem, eles estarão trabalhando estratégias e tomada de decisões, que futuramente poderão auxiliar na resolução de problemas geométricos.

Página 65

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

2. Observe a figura que João fez e responda às questões sem medir o comprimento dos segmentos.

Ilustração. Caderno aberto em uma página com as informações: AC = 14,6 centímetros e DE = 6,6 centímetros no canto superior esquerdo. Abaixo, reta diagonal passando pelos pontos: A, B, C, D e E.

Sabendo que B é o ponto médio de

\overline{A C}

e que D é o ponto médio de

\overline{C E}

, determine a medida de comprimento:

a) dos segmentos

\overline{B C}

\overline{A E}

\overline{C D}

\overline{B E}

;

b) de um segmento

\overline{A F}

, levando em conta que F é o ponto médio de

\overline{A E}

;

c) de um segmento

\overline{A G}

, considerando que G é o ponto médio do segmento

\overline{C D}

3. Usando régua não graduada e compasso, trace no caderno um segmento congruente ao segmento a seguir e determine seu ponto médio e sua mediatriz.

Figura geométrica: segmento de reta azul.

4. Construa no caderno, com régua e compasso, um segmento

\overline{A B}

de medida 4,5 centímetros de comprimento, seu ponto médio M e o ponto médio N do segmento

\overline{M B}

5. No caderno, trace uma reta s e um ponto a qualquer fóra dessa reta. Trace a reta paralela a s passando por A.

6. No caderno, trace uma reta t e um ponto B qualquer fóra dessa reta. Trace a reta perpendicular a t passando por B.

7. Copie no caderno a alternativa correta.

Gilberto é dono de duas lojas de produtos para animais, representadas a seguir pelos pontos ae B.

Figura geométrica: representação de um ponto, abaixo a letra A maiúscula. Há uma seta com a indicação 'Loja 1'. À direita do ponto A, há a representação de um ponto. abaixo a letra B maiúscula. Há uma seta com a indicação 'Loja 2'.

Sabendo que Gilberto tem um depósito localizado em um ponto C que está à mesma medida de distância das duas lojas (ou seja, á cê = BC), pode-se afirmar que o depósito está:

a) no ponto médio do segmento

\overline{A B}

b) no encontro entre a circunferência de centro em B e raio

\overline{A B}

e a circunferência de centro em A e raio

\overline{A B}

c) em algum ponto da mediatriz do segmento

\overline{A B}

d) em uma perpendicular à reta

\overset{\leftrightarrow}{A B}

passando por a.

e) em uma perpendicular à reta

\overset{\leftrightarrow}{A B}

passando por B.

4 Bissetriz

A bissetriz de um ângulo é a semirreta que tem origem no vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes.

Exemplo

A semirreta

\vec{O R}

é bissetriz de

A \hat{O} B

, pois os ângulos

A \hat{O} R

R \hat{O} B

são congruentes: a abertura de ambos mede 30graus.

Figura geométrica: semirretas OA, OR e OB, unidas em O. Há a indicação dos ângulos de 30 graus AOR e ROB.

A bissetriz de um ângulo pode ainda ser definida como a figura geométrica formada por todos os pontos do plano que estão à mesma medida de distância dos lados desse ângulo.

Observação

A medida de distância entre um ponto e uma semirreta é dada pela medida de comprimento do segmento perpendicular à semirreta que tem um extremo nela e o outro no ponto. Da mesma fórma, pode-se determinar a medida de distância entre um ponto e uma reta ou um segmento de reta.

Figura geométrica: reta passando pelos pontos O, P' e A. Há uma reta perpendicular passando pelos pontos P' e P.

A medida de distância entre P e

\vec{O A}

é igual à de '.

Respostas e comentários

2. a) BC = 7,3 centímetros; AE = 27,8 centímetros; CD = 6,6 centímetros; BE = 20,5 centímetros

2. b) 13,9 centímetros

2. c) 17,9 centímetros

3. Resposta em Orientações.

4. Resposta em Orientações.

5. Resposta em Orientações.

6. Resposta em Orientações.

7. alternativa c

Orientações e sugestões didáticas

• Resposta da atividade 3:

Figura geométrica: Duas retas perpendiculares passando pelo ponto M. À esquerda e direita dos eixos, dois arcos que se cruzam nas extremidades.

• Resposta da atividade 4:

Ilustração: reta horizontal passando pelos pontos A, M, N e B.

• Exemplo de resposta da atividade 5:

Figura geométrica: Reta diagonal passando pelo ponto A. Abaixo, uma reta s paralela. Há um arco passando pelo ponto A e pelas duas retas.

• Exemplo de resposta da atividade 6:

Figura geométrica: Uma reta horizontal passando pelo ponto B. Uma reta t vertical perpendicular à reta horizontal.

Bissetriz

Objetivo

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades da Bê êne cê cê ê éfe zero oito ême ah um cinco e ê éfe zero oito ême ah um sete.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah um cinco e ê éfe zero oito ême ah um sete porque trabalha a construção da bissetriz de um ângulo qualquer e ângulos com aberturas medindo 90graus, 60graus, 45graus e 30graus utilizando instrumentos de desenho.

Orientações

• No início do tópico, define-se a bissetriz de um ângulo qualquer. No futuro, esse ente geométrico auxiliará na resolução de muitas atividades da Geometria, como as que trabalham com a bissetriz dos ângulos internos do triângulo.

• Chame a atenção dos estudantes para o fato de a bissetriz de um ângulo ser o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à mesma medida de distância dos lados desse ângulo.

(ê éfe zero oito ême ah um sete) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

Página 66

Atenção! Cuidado ao usar a tesoura e o compasso.

Vamos recordar a construção da bissetriz de um ângulo por meio de uma dobradura. Em seguida, vamos utilizar um transferidor para fazer essa construção e, depois, aprender como construí-la usando régua e compasso.

Para construir a bissetriz de um ângulo usando dobradura, será necessário ter folha, régua, lápis e tesoura.

Fotografia: Uma folha de papel com o desenho da abertura de um ângulo. No canto superior esquerdo da folha há um lápis preto. Abaixo, o texto: Desenhe um ângulo na folha de papel.

Fotografia: um papel dobrado no formato triangular com uma tesoura abaixo. Abaixo, o texto: Recorte a parte do papel em que está desenhado o ângulo e dobre-a ao meio, de maneira que os lados do ângulo coincidam.

Fotografia: uma folha de papel dobrada no formato triangular. Há uma marca de dobradura no meio do triângulo. Abaixo, o texto: Desdobre o papel. O vinco no interior do ângulo representa parte da bissetriz do ângulo.

Para fazer

Outro modo de traçar a bissetriz de um ângulo é usando transferidor.

Com o transferidor, desenhe um ângulo com abertura medindo 90graus e trace sua bissetriz. A bissetriz dividirá o ângulo em dois ângulos com qual medida de abertura?

Acompanhe agora a construção da bissetriz de um ângulo com régua e compasso.

Ilustração. Quadro 1: semirretas OB e OC, unidas em O. Abaixo, o texto: Em uma folha de papel, desenhe um ângulo qualquer BÊ Ó CÊ.

Ilustração. Quadro 2: Semirreta OB passando pelo ponto P e semirreta OC passando pelo ponto Q, unidas no ponto O. Há um arco passando pelos pontos P e Q. Há um compasso com a ponta-seca sobre o ponto O e a ponta com grafite sobre o ponto P. Abaixo, o texto: Em seguida, com a ponta-seca do compasso no vértice O e uma abertura qualquer, trace um arco, determinando o ponto P na semirreta OB e o ponto Q na semirreta OC.

Ilustração. Quadro 3: Semirreta OB passando pelo ponto P e semirreta OC passando pelo ponto Q, unidas no ponto O. Há um arco passando pelos pontos P e Q. Há um compasso com a ponta-seca sobre o ponto Q e a ponta com grafite sobre um arco. Abaixo, o texto: Com a ponta-seca do compasso em P e uma abertura qualquer, trace um pequeno arco. Com a mesma abertura, repita o procedimento com a ponta-seca em Q.

Ilustração. Quadro 4: Semirreta OB passando pelo ponto P e semirreta OC passando pelo ponto Q, unidas no ponto O. Semirreta OD, partindo do ponto O. Há um arco passando pelos pontos P e Q. Abaixo, o texto: Os arcos traçados interceptam-se no ponto D. A semirreta ó dê é a bissetriz do ângulo BÊ Ó CÊ.

Observação

A justificativa para a validade dessa construção será apresentada no Capítulo 3.

Respostas e comentários

Para fazer: 45graus

Orientações e sugestões didáticas

• No começo desta página, a intenção é que os estudantes compreendam a ideia de bissetriz de um ângulo por meio de dobraduras. Incentive-os a reproduzir o experimento ilustrado.

• Deve-se garantir que, ao traçar um arco de raio com qualquer medida de comprimento, os dois pontos marcados sobre os lados do ângulo estarão à mesma medida de distância do vértice.

• Resolução do boxe Para fazer:

Esquema: Transferidor de 180 graus. Sobre ponto O no centro do transferidor, semirreta OB reta em 0 grau. Semirreta OA em 45 graus. Semirreta OC com 90 graus. Há a indicação da distância dos pontos A até B de 45 graus.

• Logo, a bissetriz dividirá o ângulo cuja abertura mede 90graus em dois ângulos de abertura medindo 45graus.

Página 67

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Construção de alguns ângulos usando régua e compasso

Vamos construir, a partir de uma semirreta, alguns ângulos usando régua e compasso.

Figura geométrica: reta horizontal passando pelos pontos O e A.

Ângulo com medida de abertura de 90graus

Para construir um ângulo cuja abertura mede 90graus, considere a reta

\overset{\leftrightarrow}{O A}

e trace a perpendicular a essa reta passando por óh. Em seguida, escolha uma das semirretas determinadas nessa perpendicular de origem em óh.

Figura geométrica: reta horizontal passando pelos pontos O e A. Figura geométrica: reta horizontal passando pelos pontos O e A. Há uma reta vertical passando pelo ponto O perpendicular. Figura geométrica: reta horizontal passando pelos pontos O e A. Reta vertical passando pelos pontos O e B, unidas em O. Há a representação do ângulo reto em O.

Ângulo com medida de abertura de 45graus

Para obter um ângulo cuja abertura mede 45graus, construa um ângulo com abertura medindo 90graus, trace a bissetriz desse ângulo e considere qualquer ângulo determinado por um dos lados do ângulo inicial e pela bissetriz.

Figura geométrica: semirreta OA horizontal e semirreta OB vertical, unidas pelo ponto O, formando um ângulo de 90 graus. Há uma semirreta OC, partindo do centro do ponto O. Ao lado, texto: medida de ângulo A Ó CÊ igual a 45 graus. Medida do ângulo CÊ Ó BÊ igual a 45 graus.

Ângulo com medida de abertura 60graus

Considere um modo de construir um ângulo cuja abertura mede 60graus.

Ilustração. Quadro 1: Semirreta OA passando pelo ponto P. Há um compasso com a ponta-seca sobre o ponto O e a ponta com grafite sobre um arco que passa pelo ponto P. Abaixo, o texto: Com a ponta-seca do compasso em O e uma abertura qualquer, trace um arco que cruze a semirreta OA em um ponto P.

Ilustração. Quadro 2: Semirreta OA passando pelo ponto P. Há um compasso com a ponta-seca sobre o ponto P. Há um arco que passa pelo ponto P. A ponta com grafite do compasso está sobre um arco menor que cruza o arco maior. Abaixo, o texto: Com a mesma abertura usada no item anterior e a ponta-seca do compasso em P, trace um arco que cruze o primeiro arco.

Ilustração. Quadro 3: Semirreta OB e semirreta OA que passa pelo ponto P, ambas são unidas pelo ponto O, formando uma abertura de ângulo. Há um arco que passa pelos pontos B e P. Abaixo, o texto: No encontro dos arcos, marque um ponto B e trace a semirreta OB. A abertura do ângulo A O B mede 60 graus.

Observação

A justificativa para a validade da construção do ângulo cuja abertura mede 60graus será apresentada no Capítulo 3.

Orientações e sugestões didáticas

• Nesta página, mostra-se como construir ângulos com aberturas medindo 90graus, 45graus, 60graus e, na próxima página, o ângulo com medida de abertura de 30graus, utilizando instrumentos de desenho. Proponha aos estudantes que reproduzam essas construções em seus cadernos. Em atividades que indicam o uso do compasso, alerte a turma sobre o cuidado em seu manuseio, a fim de evitar acidentes.

• Na construção de cada um desses ângulos, os estudantes deverão mobilizar os conceitos e os procedimentos estudados anteriormente. Esse pode ser o momento oportuno de avaliar o que aprenderam.

Página 68

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Ângulo com medida de abertura de 30graus

Para obter um ângulo cuja abertura mede 30graus, construa um ângulo com abertura medindo 60graus, trace a bissetriz desse ângulo e considere um dos ângulos determinados por um dos lados do ângulo inicial e pela bissetriz.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Meça as aberturas dos ângulos com transferidor e, depois, responda às questões no caderno.

Figura geométrica: semirretas OA, OB e OC, unidas em O.

a) Quanto mede a abertura do ângulo

A \hat{O} B

? E a do ângulo

B \hat{O} C

b) Qual é a relação entre os ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

c) Qual é a relação entre a semirreta

\vec{OB}

e o ângulo

A \hat{O} C

2. Descubra a medida de abertura dos ângulos

A \hat{O} C

B \hat{O} C

em cada caso, sabendo que

\vec{OC}

é bissetriz de

A \hat{O} B

a) medida de(

A \hat{O} B

) = 120graus

Figura geométrica: Semirretas OA, OC e OB unidas pelo ponto O. A semirreta OC parte da metade do ângulo O.

b) medida de(

A \hat{O} B

) = 18graus

3. Na figura a seguir, a semirreta

\vec{OR}

é a bissetriz do ângulo

A \hat{O} C

e o ângulo

A \hat{O} B

é raso. Quanto mede a abertura do ângulo

C \hat{O} D

Figura geométrica: Reta BA com ponto O no centro. da esquerda para a direita, partindo do ponto O, a semirreta OD que forma um ângulo de 30 graus com a reta BA, semirreta OC e a semirreta OR, que forma um ângulo de 20 graus com a reta BA.

4. O ângulo raso a seguir foi dividido em seis ângulos de mesma medida de abertura, e

\vec{OC}

é bissetriz de

A \hat{O} B

Figura geométrica: Reta horizontal com um ponto O central. A partir do ponto O central, partem 5 retas que têm a mesma abertura de ângulo. A primeira reta passa pelo ponto A. A quarta reta passa pelo ponto B e a quinta reta passa pelo ponto D. No centro da segunda e da terceira retas, há uma reta destacada em vermelho, que sai do ponto O e passa pelo ponto C.

a) Quanto mede a abertura do ângulo

A \hat{O} C

b) Quanto mede a abertura do ângulo

C \hat{O} D

5. O lugar do plano formado por todos os pontos que estão à mesma medida de distância de duas semirretas de mesma origem é denominado:

a) mediatriz.

b) ponto médio.

c) bissetriz.

d) circunferência.

Desenhe um ângulo raso e trace a bissetriz usando régua e compasso. Quais foram os ângulos formados?

Junte-se a um colega. Comparem a construção que vocês fizeram com a demonstrada na página 63 para uma reta perpendicular à outra passando por um ponto pertencente à reta.

7. Desenhe, usando régua e compasso, um ângulo cuja abertura mede 15graus. Como você fez para obter esse ângulo?

Respostas e comentários

1. a) 30graus; 30graus

1. b) São congruentes.

1. c) A semirreta é a bissetriz desse ângulo.

2. a) medida de(

A \hat{O} C

) = 60graus; medida de(

B \hat{O} C

) = 60graus;

2. b) medida de(

A \hat{O} C

) = 9graus; medida de(

B \hat{O} C

) = 9graus

3. 110graus

4. a) 45graus

4. b) 75

5. alternativa c

6. Respostas em Orientações.

7. Resposta em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Exemplo de resposta da atividade 6:

Figura geométrica: reta horizontal passando pelos pontos A e B. Reta vertical formando um ângulo de 90 graus com a reta horizontal. Há dois arcos que formam uma figura oval.

Foram formados dois ângulos retos. Espera-se que os estudantes percebam que os passos são os mesmos.

• Exemplo de resposta da atividade 7:

Figura geométrica: Semirretas AC e AB, unidas pelo ponto A. Há uma reta que parte do ponto A, dividindo esse ângulo ao meio. Há um arco que passa pelos pontos P e Q que estão sobre as semirretas AC e AB, respectivamente.

Os estudantes podem ter construído o ângulo por meio da bissetriz de um ângulo cuja abertura mede 30graus.

Página 69

8. Calcule a medida de abertura do ângulo

A \hat{O} B

em cada caso, sabendo que

\vec{O C}

é bissetriz de

A \hat{O} B

Figura geométrica: Semirretas OA, OC e OB unidas pelo ponto O. O ângulo AOC tem medida 5x menos 8 graus. O ângulo COB tem medida 4x mais 7 graus.

Figura geométrica: Semirretas OA, OC, OD e OB unidas pelo ponto O. O ângulo AOC tem medida 3x. O ângulo COD tem medida 75 graus menos 2x. O ângulo DOB tem medida de 30 graus.

9. Na figura, a abertura do ângulo

A \hat{O} B

mede 68graus,

\vec{O C}

é bissetriz de

A \hat{O} B

\vec{O D}

é bissetriz de

A \hat{O} C

Determine a medida de abertura do ângulo

D \hat{O} B

Figura geométrica: Semirretas OB, OC, OD e OA, unidas pelos pontos O.

10. Observe a figura e considere que o ângulo

E \hat{O} A

é raso.

Figura geométrica: Semirreta horizontal EA com ponto O no centro. Semirreta OD, formando um ângulo de 27 graus. Semirreta OC, formando o ângulo DOC de medida 2x mais 25 graus. Semirreta OB, formando o ângulo COB de medida 6x menos 15 graus. Semirreta AOB com ângulo AOB medindo 63 graus.

a) Determine o valor de x, em grau, sabendo que a semirreta

\vec{O C}

é bissetriz do ângulo

B \hat{O} D

b) Determine a medida de abertura do ângulo

A \hat{O} D

11. Gustavo, Mariana, Ricardo, Fernanda e Carmem mediram a abertura de um ângulo

A \hat{O} B

com o transferidor e afirmaram:

Ilustração. Gustavo, menino negro de cabelo castanho e camiseta azul diz: 'A bissetriz do ângulo o divide em dois ângulos cuja abertura mede 46 graus'. Mariana, menina branca de cabelo preto amarrado e camiseta vermelha diz: 'ângulo AOB é obtuso'. Ricardo, menino branco de cabelo ruivo, diz: 'AOB é agudo'. Fernanda, menina negra de cabelo castanho, uma tiara azul e camiseta verde diz: 'AOB é reto'. Carmem, menina branca de cabelo preto e camiseta rosa diz: 'A medida da abertura de AOB é menor que a medida de um ângulo raso'.

• Se três deles estão certos, quem está enganado?

Informática e Matemática

faça as atividades no caderno

Lugares geométricos

Mediatriz e ponto médio

ConstruA

Siga os passos a seguir para construir a mediatriz e o ponto médio de um segmento de reta.

1º) Construa um segmento de reta

\overline{A B}

em um software de Geometria dinâmica.

Ilustração. Software de geometria. Na parte superior, botões de comandos. Destaque para Ferramenta para traçar circunferência. Ferramenta para traçar circunferência com raio definido. Na tela, duas circunferências, sendo a da esquerda com ponto central A e a da direita com ponto central B formando segmento AB. Reta m traçada na intersecção das circunferências formando ponto M central ao segmento AB.

Respostas e comentários

8. a) 134graus

8. b) 126graus

9. 51graus

10. a) 10graus

10. b) 153graus

11. Ricardo e Fernanda

Orientações e sugestões didáticas

Informática e Matemática

Objetivo

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah um cinco e ê éfe zero oito ême ah um sete, da competência geral 5 e das competências específicas 2, 5 e 8 da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• A seção favorece o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah um cinco e ê éfe zero oito ême ah um sete da Bê êne cê cê porque trabalha a construção de mediatriz, bissetriz e ângulo cuja abertura mede 60graus utilizando um software de Geometria dinâmica.

Orientações

• Se achar conveniente, mostre aos estudantes outro modo de construir a mediatriz e o ponto médio. Essa construção também será útil caso o software utilizado não tenha a ferramenta de construir uma circunferência com raio com medida de comprimento definida.

1º) Construa um segmento de reta

\overline{A B}

2º) Trace uma circunferência c, de centro em a, passando por B.

3º) Trace uma circunferência d, de centro em B, passando por a.

4º) Marque os pontos C e D, intersecções das circunferências c e d.

5º) Trace a reta mediatriz m passando pelos pontos C e D.

6º) Marque o ponto médio M, intersecção da reta m com o segmento de reta

\overline{A B}

Figura geométrica: Duas circunferências, sendo a da esquerda com ponto central A e a da direita com ponto central B formando segmento AB. Reta m traçada na intersecção das circunferências formando ponto M central ao segmento AB, ponto C na intersecção superior das circunferências e ponto D na intersecção inferior das circunferências.

(ê éfe zero oito ême ah um sete) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de fórma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

Competência específica 8: Interagir com seus pares de fórma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Página 70

▶ Informática e Matemática

2º) Seguindo os procedimentos para a construção da mediatriz e do ponto médio com régua e compasso da página 62, construa a mediatriz m e o ponto médio M do segmento

\overline{A B}

usando o software.

Em vez do compasso, no software de Geometria dinâmica usamos a ferramenta para traçar circunferências (quando, no traçado do arco, o compasso pode ter qualquer abertura) ou a ferramenta para traçar circunferência com raio definido (quando, no traçado do arco, o compasso tem a mesma abertura usada anteriormente ou a abertura determinada pela medida de comprimento de algum segmento).

Investigue

Faça o que se pede usando as ferramentas do software.

a) Meça o comprimento dos segmentos de reta

\overline{A M}

\overline{M B}

e a abertura do ângulo formado entre m e o segmento

\overline{A B}

. Depois, movimente a construção geométrica por meio dos pontos móveis (a e B). Que relação você pôde observar entre as medidas obtidas?

b) Ao realizar no software a construção apresentada no livro, você verificou que M é, de fato, o ponto médio de

\overline{A B}

e que m é sua mediatriz?

c) Marque um ponto G qualquer sobre a reta m e meça os comprimentos dos segmentos

\overline{A G}

\overline{B G}

. O que você percebeu em relação às medidas realizadas? O que aconteceu quando você movimentou o ponto G ao longo da reta?

Ilustração. Software de geometria. Na parte superior, botões de comandos. Na tela, duas circunferências, sendo a da esquerda com ponto central A e a da direita com ponto central B formando o segmento AB. Reta m vertical passando pelos dois pontos de intersecção das circunferências. No centro dessa intersecção o ponto M, central ao segmento AB. Acima, na reta m, ponto G, à esquerda do ponto a indicação AG = 3,12 e à direita do ponto, a indicação BG = 3,12.

Bissetriz

Construa

Siga os passos a seguir para construir a bissetriz de um ângulo.

1º) Construa um ângulo

B \hat{O} C

qualquer. Para isso, trace duas semirretas de mesma origem óh,

\vec{OB}

\vec{OC}

2º) Seguindo os procedimentos para a construção da bissetriz de um ângulo com régua e compasso da página 66, construa a bissetriz

\vec{OD}

do ângulo

B \hat{O} C

Ilustração. Software de geometria. Na parte superior, botões de comandos. Na tela, circunferência com ponto O no centro. À direita, semirreta OB e semirreta OC com uma circunferência em cada reta passando pelo centro, reta com ponto D entre as retas B e C, formando ponto D.

Alguns softwares apresentam uma ferramenta para esconder construções. É interessante utilizar esse recurso e esconder alguns traçados, permitindo melhor visualização nas investigações.

Respostas e comentários

Investigue: a) Espera-se que os estudantes respondam que observaram que as medidas de comprimento dos segmentos

\overline{A M}

\overline{M B}

são iguais e que a medida de abertura do ângulo formado entre m e

\overline{A B}

é 90graus.

b) Espera-se que os estudantes respondam “sim”.

c) Espera-se que os estudantes percebam que á gê = BG. Mesmo movimentando o ponto G sobre a reta m, a relação se mantém.

Orientações e sugestões didáticas

• Em Investigue, os estudantes terão a oportunidade de verificar experimentalmente que mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à mesma medida de distância de seus extremos. Essa utilização da tecnologia digital para produzir conhecimento favorece o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 2 da Bê êne cê cê.

• Se achar conveniente, mostre aos estudantes outro modo de construir a bissetriz de um ângulo qualquer.

1º) Dado um ângulo

B \hat{O} C

qualquer, trace uma circunferência c de centro em óh e raio qualquer.

2º) Marque os pontos P em

\vec{OB}

e Q em

\vec{OC}

, intersecções dessas semirretas com a circunferência c.

3º) Trace uma circunferência d de centro em P, passando por Q.

4º) Trace uma circunferência e de centro em Q, passando por P.

5º) Marque o ponto D, uma das intersecções entre as circunferências d e e.

6º) Trace a semirreta

\vec{OD}

que é a bissetriz do ângulo

B \hat{O} C

Figura geométrica: Circunferência com ponto O no centro. À direita, reta com origem em O que passa pelos pontos P e B unida com reta com origem em O que passa pelos pontos Q e C. Há uma reta que parte de O e passa pelo ponto D. Essa reta divide o ângulo BOC em dois. Há uma circunferência com centro no ponto P e uma circunferência com centro no ponto Q.

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Investigue

Faça o que se pede usando as ferramentas do software.

a) Meça as aberturas dos ângulos

D \hat{O} B

C \hat{O} D

. Qual é a relação entre essas medidas? Movimente os pontos móveis da construção para verificar se a relação se mantém.

b) Ao realizar no software a construção apresentada no livro, você pôde verificar que

\vec{OD}

é, de fato, a bissetriz do ângulo

B \hat{O} C

c) Marque um ponto ê qualquer na semirreta

\vec{OD}

. Trace uma reta r, perpendicular a

\vec{OB}

, passando por ê, e uma reta s, perpendicular a

\vec{OC}

, passando por ê. Depois, marque F e G, intersecções das perpendiculares com os lados do ângulo.

• Meça os comprimentos dos segmentos

\overline{E G}

\overline{E F}

. O que essas medidas representam?

• Movimente o ponto ê sobre a semirreta

\vec{OD}

. Que relação você observa entre as medidas realizadas?

Ilustração. Software de geometria. Na parte superior, botões de comandos. Na tela, semirreta OB e semirreta OC, unidas pelo ponto O. Reta vertical s, formando ponto G em C. Semirreta diagonal OE passando pelo ponto D e ponto E com reta s. Reta diagonal r com ponto F na reta B. EF igual 1,87. EG igual 1,87.

Para explorar

Construa, no software de Geometria dinâmica, um ângulo cuja abertura mede 90graus, um com abertura de medida 45graus e um cuja abertura mede 30graus. Explore as ferramentas do software e analise se há formas de construir esses ângulos diferentes das que vimos.

•

Converse com um colega e verifique se vocês fizeram as construções da mesma maneira. Caso tenham feito de maneiras diferentes, expliquem um ao outro como cada um fez.

Ângulo com medida de abertura de 60graus

construa

Siga os passos a seguir para construir um ângulo cuja abertura mede 60graus.

1º) Construa uma semirreta

\vec{AB}

2º) Seguindo os procedimentos para a construção de um ângulo de abertura medindo 60graus com régua e compasso da página 67, construa o ângulo

B \hat{A} D

Investigue

Faça o que se pede usando as ferramentas do software.

• Meça a abertura do ângulo

B \hat{A} D

e movimente os pontos móveis da construção. Ao realizar no software a construção apresentada no livro, você verificou que a abertura do ângulo

B \hat{A} D

mede realmente 60graus?

Respostas e comentários

Investigue: a) Os ângulos

D \hat{O} B

C \hat{O} D

têm abertura de mesma medida.

b) Espera-se que os estudantes respondam “sim”.

Para explorar: Resposta e comentários em Orientações.

Investigue: c) Representam as medidas de distância entre o ponto ê e a semirreta

\vec{OB}

e entre ê e a semirreta

\vec{OC}

, respectivamente. Espera-se que os estudantes percebam que ê éfe = é gê, ou seja, as medidas de distância entre ê e cada lado do ângulo são iguais.

Investigue: Espera-se que os estudantes respondam “sim”.

Orientações e sugestões didáticas

• No item a de Investigue desta página, os estudantes terão a oportunidade de verificar experimentalmente que a bissetriz de um ângulo qualquer é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à mesma medida de distância dos lados desse ângulo.

• No boxe Para explorar, os estudantes são incentivados a pensar sobre modos de construir ângulos com aberturas de outras medidas, como 90graus, 45graus e 30graus. Espera-se que eles percebam que os softwares de Geometria dinâmica apresentam ferramentas que facilitam essas construções; alguns, por exemplo, têm a ferramenta para construir ângulo com medida de abertura dada, para traçar a bissetriz, para construir a perpendicular etcétera Caso os estudantes tenham dificuldades, após a troca de ideias em duplas, peça a alguns deles que exponham para a turma as ferramentas que utilizaram. Incentive-os a interagir com seus pares de fórma cooperativa, buscando identificar aspectos consensuais ou não na discussão, que deve estar pautada nos conceitos e procedimentos estudados até então. Dessa fórma, a competência específica 8 da Bê êne cê cê tem seu desenvolvimento favorecido.

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Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Leitura e interpretação de gráficos de linha

Observe, no gráfico de linha a seguir, a receita cambial turística do Brasil de 2010 a 2020.

Gráfico de linhas. RECEITA CAMBIAL TURÍSTICA DO BRASIL. No eixo horizontal, Ano: 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019 e 2020. No eixo vertical, receita (milhões de dólares): 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000 e 8000. Pontos, da esquerda para a direita, abscissa 2010, ordenada 5261; abscissa 2011, ordenada 6095; abscissa 2012, ordenada 6378; abscissa 2013, ordenada 6474; abscissa 2014, ordenada 6843; abscissa 2015, ordenada 5844; abscissa 2016, ordenada 6024; abscissa 2017, ordenada 5921; abscissa 2018, ordenada 5921; abscissa 2019, ordenada 5995; abscissa 2020, ordenada 3044.

Dados obtidos em: BRASIL. Ministério do Turismo. Receita e Despesa Cambial Turística no Brasil. Disponível em: https://oeds.link/X1tRLj. Acesso em: 15 julho 2022.

Ilustração. Garota branca de cabelo ruivo, óculos de sol, regata azul e saia. Ela puxa uma mala de viagem de rodinhas e carrega uma bolsa nos ombros e diz: 'A receita cambial turística representa os gastos de visitantes estrangeiros no país. Como a receita está apresentada em milhões de dólares, as quantidades indicadas no gráfico devem ser multiplicadas por 1 000 000'.

▶ Qual foi a receita cambial turística do Brasil em 2011?

▶ Em que ano do período considerado a receita cambial turística do Brasil foi menor? E maior?

▶ Em que anos houve queda na receita em relação ao ano anterior?

Para responder a essas questões, devemos observar as informações indicadas no gráfico. Na linha horizontal, temos os anos; na linha vertical, temos a receita cambial.

Associando as informações dessas duas linhas, verificamos que, em 2011, a receita foi de .6095 milhões de dólares, ou seja, ...6095000000 de dólares.

A receita foi menor no ano representado pelo ponto mais baixo do gráfico, ou seja, em 2020, e maior no ano representado pelo ponto mais alto do gráfico, ou seja, em 2014.

Os anos que apresentaram queda na receita em relação ao ano anterior foram: 2015, 2017 e 2020. Como, pelo gráfico, não está indicada a receita cambial turística em 2009, não é possível saber se em 2010 houve queda ou aumento na receita em relação ao ano anterior.

Observe que, mesmo que os valores não estivessem expressos em cada ponto do gráfico, poderíamos responder às duas últimas questões apenas observando a localização aproximada dos pontos e a inclinação das linhas que compõem o gráfico.

Para fazer

Pergunte a seus familiares ou pesquise na internet o grande evento internacional que ocorreu no Brasil em 2014. Você acha que esse evento contribuiu para que os gastos de turistas estrangeiros no Brasil nesse ano fossem maiores que nos outros anos representados no gráfico?

Respostas e comentários

Para fazer: Copa do Mundo de Futebol; resposta pessoal

Orientações e sugestões didáticas

Estatística e Probabilidade

Objetivos

• Ler e interpretar gráficos de linha.

• Favorecer o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, da macroárea Saúde.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois três e da competência específica 4 da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• O estudo desta seção contribui para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois três da Bê êne cê cê, pois os estudantes vão ler e interpretar gráficos de linha.

Orientações

• Os gráficos de linha são frequentemente usados para a apresentação de dados que variam ao longo de determinado período de tempo ou para identificar tendências de acréscimo ou decréscimo dos dados apresentados. Sua aparência deve permitir ao leitor a verificação de intervalos de crescimento, de decréscimo ou de constância da variável representada.

• Ao trabalhar o boxe Para fazer, espera-se que os estudantes percebam que eventos desse nível contribuem para o aumento dos gastos de turistas estrangeiros no Brasil.

(ê éfe zero oito ême ah dois três) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Competência específica 4: Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe o número de reclamações nos serviços de telefonia, internet e tê vê por assinatura no Brasil.

Gráfico de linhas. NÚMERO DE RECLAMAÇÕES NOS SERVIÇOS DE COMUNICAÇÃO. No eixo horizontal, Semestre: 1° sem. 2019, 2° sem. de 2019, 1° sem. de 2020, 2° sem. 2020 e 1° sem. 2021. No eixo vertical, número de reclamações (em milhares): 1200, 1250, 1300, 1350, 1400, 1450, 1500, 1550 e 1600. Pontos, da esquerda para a direita, abscissa 1° sem. 2019, ordenada 1553; abscissa 2° sem. de 2019, ordenada 1426; abscissa 1° sem. de 2020, ordenada 1521; abscissa 2° sem. 2020, ordenada 1442; abscissa 1° sem. 2021, ordenada 1223.

Dados obtidos em: BRASIL. Ministério da Comunicação. Agência Nacional de Telecomunicações (). Relatório Semestral de Reclamações 1º – 2021. Elaborado por: CALDAS, Gabriel Bahia; MARCOMINI, Adriano Cortez, Brasília, julho 2021. Disponível em: https://oeds.link/hmuDYg. Acesso em: 9 fevereiro 2022.

Observação

Na linha vertical do gráfico, o símbolo

Figura composta, de cima para baixo, por segmento vertical, fio com forma triangular para esquerda, fio com forma triangular para direita e segmento vertical.

indica que, no trecho de zero a .1200, a escala adotada (de 50 em 50) não foi obedecida.

a) A que assunto o gráfico se refere?

b) O gráfico apresenta dados referentes a qual período?

c) Quantas reclamações foram realizadas em 2020?

d) Do 1º semestre de 2019 ao 1º semestre de 2021, a quantidade de reclamações nos serviços de comunicação aumentou ou diminuiu?

A escola Alegria de Viver implantou um programa de prevenção de cáries. Para analisar o resultado desse programa, a cada ano a escola faz a contagem do número de estudantes com cárie. Observe o gráfico construído com base nas contagens feitas de 2017 a 2021.

Gráfico de linhas. NÚMERO DE ESTUDANTES COM CÁRIE. No eixo horizontal, Ano: 2017, 2018, 2019, 2020 e 2021. No eixo vertical, número de estudantes: 50, 100, 150, 200, 250, 300 e 350. Pontos, da esquerda para a direita, abscissa 2017, ordenada 308; abscissa 2018, ordenada 315; abscissa 2019, ordenada 265; abscissa 2020, ordenada 217; abscissa 2021, ordenada 171.

Dados obtidos pela escola Alegria de Viver no final de 2021.

a) Podemos dizer que o número de estudantes com cárie decresceu em todo o período?

b) No período apresentado, em qual ano houve mais estudantes com cárie?

c) Em qual ano havia exatamente 217 estudantes com cárie nessa escola?

d) O que aconteceu com o número de estudantes com cárie de 2018 a 2021?

Respostas e comentários

1. a) Ao número de reclamações nos serviços de comunicação no Brasil.

1. b) Do 1º semestre de 2019 ao 1º semestre de 2021.

1. c) duas.novecentas e sessenta e três.

1. d) diminuiu

2. a) Não, pois de 2017 a 2018 houve um aumento nesse número.

2. b) em 2018

2. c) em 2020

2. d) decresceu

Orientações e sugestões didáticas

• Com base em dados reais e atualizados, os estudantes serão desafiados a interpretar diferentes gráficos de linha. As atividades propostas servem não apenas para que pensem matematicamente, mas também para que reflitam a respeito de alguns assuntos da atualidade. Nesse âmbito, as atividades favorecem o desenvolvimento da competência específica 4 da Bê êne cê cê.

• Na atividade 1, chame a atenção dos estudantes para o fato de que a quantidade de reclamações está representada em milhares e, por isso, a quantidade indicada no gráfico, em cada semestre, deve ser multiplicada por .1000.

• A atividade 2 possibilita desenvolver o Tema Contemporâneo Transversal Saúde, da macroárea Saúde, ao tratar de um assunto relacionado à higiene bucal. Reforce aos estudantes que uma fórma de prevenir as caries é escovar os dentes após as refeições, ao acordar e ao dormir, além de usar fio dental. É possível conversar com um profissional da área (que atenda na escola ou em algum posto de saúde próximo) que oriente os estudantes sobre como devem realizar as escovações e se prevenir de outras doenças relacionadas à falta de higiene bucal.

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▶ Estatística e Probabilidade

3. Observe o gráfico a seguir.

Gráfico de linhas. PORCENTAGEM DOS DOMICÍLIOS BRASILEIROS COM ACESSO À INTERNET. No eixo horizontal, Ano: 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019 e 2020. No eixo vertical, porcentagem dos domicílios: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 e 90. Pontos, da esquerda para a direita, abscissa 2014, ordenada 50%; abscissa 2015, ordenada 51%; abscissa 2016, ordenada 54%; abscissa 2017, ordenada 61%; abscissa 2018, ordenada 67%; abscissa 2019, ordenada 71%; abscissa 2020, ordenada 83%.

Dados obtidos em: CENTRO Regional de Estudos para o Desenvolvimento da Sociedade da Informação (cetíqui ponto bê érre). tíc Domicílios 2020: lançamento dos resultados. Disponível em: https://oeds.link/WIrbPM. Acesso em: 12 fevereiro 2022.

a) O que ocorreu com a porcentagem de domicílios com acesso à internet de 2014 a 2020?

b) Considerando o período apresentado no gráfico, em que mais da metade dos domicílios tinha acesso à internet?

Observe o gráfico sobre casos de Covid-19 no Brasil.

Gráfico de linhas. CASOS ACUMULADOS DE COVID-19 NO BRASIL ATÉ AS PRIMEIRAS SEMANAS DE 2022. No eixo horizontal, semana: 1ª, 2ª, 3ª, 4ª, 5ª e 6ª. No eixo vertical, casos acumulados (em domicílios): 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 e 28. Pontos, da esquerda para a direita, abscissa 1ª, ordenada 22499425; abscissa 2ª, ordenada 22975723; abscissa 3ª, ordenada 23909175; abscissa 4ª, ordenada 25214622; abscissa 5ª, ordenada 26473273; abscissa 6ª, ordenada 26776620.

Dados obtidos em: BRASIL. Ministério da Saúde. Painel Coronavírus, cêrca de2022. Disponível em: https://oeds.link/mH7eJZ. Acesso em: 9 fevereiro 2022.

a) Da 4ª para a 5ª semana de 2022, quantos novos casos de Covid-19 foram registrados?

b) Entre quais semanas de 2022 os casos acumulados de Covid-19 atingiram a marca de 24 milhões?

c) Considerando as próximas semanas, é possível que em algum momento o gráfico indique queda em relação à semana anterior? Justifique.

Respostas e comentários

3. a) A porcentagem de domicílios com acesso à internet aumentou a cada ano.

3. b) de 2015 a 2020

4. a) ..1258651 casos

4. b) Entre a terceira e a quarta semana.

4. c) Não é possível, pois são valores acumulados, ou seja, o número pode permanecer o mesmo ou aumentar.

Orientações e sugestões didáticas

• Se julgar oportuno, amplie a proposta dessas atividades e peça aos estudantes que pesquisem, em jornais, revistas e internet, gráficos desse tipo e os levem para a sala de aula a fim de discutir com os colegas o que eles representam.

• A atividade 4 possibilita desenvolver o Tema Contemporâneo Transversal Saúde, da macroárea Saúde, ao tratar de um assunto relacionado à pandemia iniciada em 2019. Cabe destacar que a análise dos dados foi de extrema importância para as tomadas de decisões nos dois primeiros anos da pandemia, como a quantidade de casos acumulados, de casos novos, de óbitos, de pessoas vacinadas, de doses de vacinas aplicadas, a ocupação de leitos em hospitais etcétera Com isso, gráficos como o apresentado na atividade eram veiculados pela mídia para manter a população informada e com dados atualizados.

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Educação Financeira

faça as atividades no caderno

Mensagens e mais mensagens!

Hoje em dia, é comum recebermos mensagens no celular e por e-mail não apenas de pessoas conhecidas, mas também de lojas e empresas anunciando promoções.

Ilustração 1. Moça branca de cabelo preto e blusa rosa está de frente para um monitor com as informações: 'Só até amanhã! Não perca! Toda a coleção de inverno com até 70 por cento de desconto. Leve esta mensagem impressa e ganhe brinde. Ela pensa: Oba! Já vou imprimir a mensagem!' Ilustração 2. Moço negro de cabelo preto e blusa verde segura um tablet com o texto: Aproveite! Neste mês, nas compras acima de R$ 150,00, você ganha R$ 10,00 de desconto para usar em sua próxima compra. Ele pensa: 'Parece interessante, mas vou ter que gastar tudo isso? E, depois, será que voltarei à loja para usar o bônus?' Ilustração 3. Moço branco de cabelo castanho está de costas e segura um celular com o texto na tela: Quer navegar à vontade? Troque seu plano de celular e economize. Ligue agora! Ele pensa: 'Justamente o que preciso! Vou trocar o plano para experimentar!' Ilustração 4. Moça de cabelo castanho e blusa rosa. Ela olha para o celular com o texto: 'Você é fã da série Like? Mande uma mensagem para 1234 e concorra a um chaveiro exclusivo da série. Ela pensa: Eu adoro essa série, mas nem pensar em gastar meus créditos para concorrer a um chaveiro!'

O que você faria?

Imagine-se no lugar de quem recebeu cada uma das mensagens e escolha entre as opções a seguir o pensamento que mais combina com você. Se nenhum deles for adequado, escreva sua opção.

1ª mensagem

a) Não vale a pena ir até a loja porque o brinde deve ser algo bem sem graça. Além disso, vou ter de gastar tempo e dinheiro para ir até lá.

b) Essa loja é bem perto de casa. Não custa nada passar lá e ver se a promoção vale mesmo a pena.

c) Não estou precisando de roupa de inverno. O que vou fazer lá?

2ª mensagem

a) Já recebi uma mensagem como essa e fui até a loja. Comprei um produto de R$ 120,00cento e vinte reais e, para inteirar os R$ 150,00cento e cinquenta reais, acabei comprando mais um produto. Depois, nem voltei à loja para usar o bônus.

b) Vou hoje até a loja! Eu adoro ganhar esses bônus e sempre os uso depois.

c) Nessa loja só tem produtos legais! Vou até lá com o dinheiro que recebi de presente de aniversário do meu avô.

Respostas e comentários

O que você faria: Respostas em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

Educação Financeira

Objetivos

• Refletir sobre o uso consciente de recursos financeiros.

• Favorecer o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira, da macroárea Economia.

• Favorecer o desenvolvimento das competências gerais 7 e 9 e da competência específica 4 da Bê êne cê cê.

Orientações

• As novas tecnologias abriram um leque de possibilidades de comunicação, e os jovens são atualmente o principal alvo das campanhas publicitárias dessa área. A leitura das mensagens e as discussões que se desenvolverão a partir dela podem auxiliar os estudantes a distinguir “oportunidades” de “estratagemas”, assim como refletir sobre seus gastos e identificar que uma mesma situação pode ser interessante para uma pessoa, mas não para outra.

• O trabalho com esta seção possibilita desenvolver o Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira, da macroárea Economia, ao abordar a publicidade veiculada em meio eletrônico para atrair o consumidor a realizar compras. A análise das situações apresentadas leva a uma reflexão sobre as vantagens e desvantagens de realizar as compras por meio de propagandas nesses meios, que envolvem uma série de fatores e particularidades para cada pessoa. É importante os estudantes entenderem que nem sempre vale a pena comprar pensando apenas no bom desconto. Afinal, antes de o consumidor considerar o desconto de um produto ou serviço, deve avaliar se precisa dele.

• A intenção em O que você faria? não é determinar qual opção é a correta e descartar as demais, visto que não existe apenas uma opção certa. Ela depende muito de cada pessoa e de cada situação. O objetivo é que os estudantes reflitam sobre as possíveis consequências de suas escolhas, mesmo que elas envolvam quantias pequenas (como o custo de uma mensagem). Em outras palavras, mesmo que os gastos pareçam insignificantes, é fundamental controlar a impulsividade para não embarcar em todas as propagandas a que somos expostos.

• Incentive os estudantes a justificar suas escolhas em cada um dos casos em discussão.

Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Página 76

▶ Educação Financeira

3ª mensagem

a) Vou mudar de plano o mais rápido possível para poder usar a internet no celular.

b) Será que esse plano é muito caro? Vou pesquisar melhor.

c) Que legal! Vou testar durante um mês e, se não gostar, cancelo o serviço depois.

4ª mensagem

a) Eu adoro essa série! Quero ganhar tudo o que tiver sobre ela! Vou mandar a mensagem agora!

b) Eu mandaria a mensagem se tivesse certeza de que iria ganhar o chaveiro, mas é sorteio.

c) Já participei de sorteios desse tipo e só desperdicei os créditos do meu celular; nunca ganhei nada.

Calcule

Geralmente, não pensamos que podemos ter gastos ao participar de promoções. Responda às questões a seguir para ter uma ideia de valores e avaliar se é vantajoso aproveitá-las.

a) Se você responder à 4ª mensagem, terá de pagar algo?

b) Você sabe quanto custa cada serviço oferecido por uma operadora de telefonia celular? Se não souber, faça uma pesquisa para descobrir. Depois, organize os dados em uma tabela e calcule os gastos com um ou mais serviços anualmente.

c) Caso você tenha celular, existem serviços que são cobrados e você não os utiliza? Quais são os gastos com esses serviços durante um ano?

d) Qual seria o tempo gasto e o custo para se deslocar até uma loja que está oferecendo descontos?

Reflita

Forme um grupo com alguns colegas para conversar sobre situações como as apresentadas nos quadrinhos da página anterior. Procurem debater alguns aspectos, orientando-se pelas perguntas a seguir.

a) Como cada um se posicionou em relação às situações? Vocês pensam da mesma maneira ou de formas diferentes?

b) Que mensagens vocês ou pessoas de sua família costumam receber pelo celular ou por e-mail ? Elas são úteis? Vocês aproveitam as promoções?

c) Vocês já pararam para pensar no tempo e no dinheiro gastos na leitura e na resposta dessas mensagens?

d) Vocês acham que a loja que enviou a primeira mensagem oferece 70% de desconto em todas as peças de inverno?

e) Uma pessoa que não está precisando do produto em oferta deve ir à loja para verificar a promoção? Se ela de fato estiver precisando, vale a pena conferir?

f) Vocês sabiam que, em geral, é trabalhoso cancelar assinaturas de serviços?

Ilustração. Homem branco de cabelo curto, camiseta branca. agasalho vermelho e azul e calça. Ela está de frente para uma mesa com duas folhas de papel e um envelope. O homem fala ao celular: 'Por favor, não quero mais ouvir músicas. Quero apenas cancelar minha assinatura'.

g) Vocês sabiam que muitas promoções, como bônus de desconto, têm validade limitada?

h) Se tivessem de dar um conselho sobre esse tema a um amigo, o que vocês diriam?

Respostas e comentários

Calcule: Respostas e comentários em Orientações.

Reflita: Comentários em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Em Calcule, nos itens a, b e c, dê um tempo aos estudantes para que pesquisem o preço dos serviços de telefonia, uma vez que os valores podem variar muito, dependendo da época, do plano e da operadora. No item d, peça que escolham uma loja já conhecida por eles para simular as situações.

• Com os cálculos realizados, a turma poderá avaliar se é vantajoso ou não aproveitar as promoções. Essa atitude também é válida no dia a dia, quando nos deparamos com diversas promoções.

• Em Reflita, os estudantes são estimulados a perceber que, mesmo em situações simples e corriqueiras, podemos ser conduzidos a consumir além da necessidade. É importante mostrar, porém, que há também situações em que uma promoção pode ser muito vantajosa. O questionamento “Vocês pensam da mesma maneira ou de maneiras diferentes?” favorece o pensamento com flexibilidade, uma vez que os estudantes precisarão imaginar e considerar outros caminhos possíveis para uma mesma situação.

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Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Quatro pontos distintos abre parêntesesA, B, C e Dfecha parênteses estão, nessa ordem, dispostos na reta r.

Sabendo que á cê = 50,32 milímetros, BC = 33,73 milímetros e BD = 46,91 milímetros, responda: qual é a medida de comprimento dos segmentos

\overline{C D}

\overline{A D}

2. Desenhe, no caderno, os segmentos

\overline{A B}

\overline{C D}

, tais que A bê = 5,5 centímetros e CD = 6,9 centímetros.

Ilustração. Menino branco de cabelo preto e blusa amarela está sentado desenhando em um papel. Sobre a mesa, um compasso, uma borracha, um lápis que o menino segura com mão direita e uma régua.

• Em seguida, com régua e compasso, determine o ponto médio desses segmentos. Lembre-se: use o compasso com cuidado.

3. Observe os ângulos a seguir.

Ilustração: semirretas OE, OD, OC, OB e OA partindo do ponto O e formando várias aberturas de ângulos.

Com o auxílio de um transferidor, responda:

a) Quais são os ângulos obtusos?

b) Quanto mede a abertura de cada um desses ângulos obtusos?

4. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa.

a) Um ângulo cuja abertura mede 29graus é obtuso.

b) A abertura de qualquer ângulo agudo é menor que a de um ângulo reto.

c) Um ângulo raso é maior que um ângulo agudo.

d) A abertura de qualquer ângulo obtuso é maior que 85graus.

5. Paula desenhou quatro ângulos: um agudo, um obtuso, um reto e um raso. A medida de abertura do ângulo agudo é um terço da medida de abertura do ângulo reto. A medida de abertura do ângulo obtuso é o quíntuplo da medida de abertura do ângulo agudo. Quanto mede a abertura do ângulo obtido pela bissetriz do ângulo obtuso?

Na figura a seguir, sabe-se que medida de(

A \hat{O} B

) = 40graus e medida de(

B \hat{O} C

) = 80graus.

Ilustração: semirretas OC, OD, OB, OE e OA partindo do ponto O e formando várias aberturas de ângulos.

a) Quanto mede a abertura do ângulo A

\hat{O}

b) Se

\vec{OD}

é bissetriz de

B \hat{O} C

\vec{OE}

é bissetriz de

A \hat{O} B

, quanto mede a abertura de

D \hat{O} E

c) Quanto deveria medir a abertura do ângulo

A \hat{O} C

para que a abertura do ângulo formado pelas bissetrizes

\vec{OD}

\vec{OE}

medisse 70graus?

7. A praça representada na ilustração a seguir fica na esquina entre a Rua da Alegria e a Rua Coronel. Deseja-se instalar um monumento nessa praça que fique à mesma medida de distância das duas ruas.

Ilustração. Duas retas cruzadas representando ruas à esquerda de uma praça. Rua vertical com o nome Rua da Alegria. Rua horizontal com o nome Rua Coronel.

• Descreva no caderno um possível local para a instalação do monumento e responda: há somente uma possibilidade para a escolha desse local?

Respostas e comentários

1. 13,18 milímetros e 63,5 milímetros

2. Resposta na seção Resoluções neste manual.

3. a)

A \hat{O} C

A \hat{O} D

A \hat{O} E

B \hat{O} D

B \hat{O} E

3. b) medida de(

A \hat{O} C

) = 102graus;

medida de(

A \hat{O} D

) = 130graus;

medida de(

A \hat{O} E

) = 155graus;

medida de(

B \hat{O} D

) = 100graus;

medida de(

B \hat{O} E

) = 125graus

4. a) falsa

4. b) verdadeira

4. c) verdadeira

4. d) verdadeira

5. 75graus

6. a) 120graus

6. b) 60graus

6. c) 140graus

7. Espera-se que os estudantes percebam que o monumento deve ser instalado em qualquer ponto da bissetriz do ângulo formado pelas ruas e que seja interno à região determinada pela praça; portanto, esse local não é único.

Orientações e sugestões didáticas

Atividades de revisão

Objetivos

• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do Capítulo.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um sete da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• As atividades desta seção contribuem para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um sete da Bê êne cê cê, pois os estudantes vão aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

Orientações

• Na atividade 7, os estudantes vão aplicar o conceito de bissetriz como lugar geométrico para resolver um problema: a construção de um monumento que fique à mesma medida de distância de duas ruas.

(ê éfe zero oito ême ah um sete) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

Página 78

▶ Atividades de revisão

A figura a seguir representa um projeto para a construção de um parque.

Ilustração. Parque com entrada 1 à esquerda e reta diagonal até a entrada 2 à direita. Acima da diagonal, parquinho, lanchonete e algumas árvores. Abaixo, lago azul, algumas árvores e quadras alaranjadas.

Deseja-se inserir nesse projeto um ponto para representar a localização de um banheiro que fique na Rua a e que esteja à mesma medida de distância do parquinho e da lanchonete.

a) Converse com um colega sobre como é possível determinar esse ponto.

b) Em uma folha, copiem, da figura anterior, os pontos que representam o parquinho e a lanchonete e o segmento que representa a Rua a. Usando régua e compasso, encontrem o ponto que representa a localização do banheiro.

9. A figura a seguir representa a vista aérea de um lago e das duas passarelas que o cruzam,

\overline{A B}

\overline{A C}

Deseja-se construir uma fonte nesse lago atendendo às seguintes condições:

• a fonte deve estar à mesma medida de distância das duas passarelas;

• a medida de distância entre a fonte e o ponto a deve ser igual à medida de distância entre B e C.

Ilustração: Lago azul. Na parte inferior esquerda, ponto A. Semirretas AB e AC unidas pelo ponto A. Dentro do lago a indicação com a palavra 'lago'.

Indique, no caderno, a alternativa correta. Para atender às condições, a fonte deverá ficar:

a) no ponto de encontro entre a mediatriz do segmento

\overline{B C}

e a bissetriz do ângulo

B \hat{A} C

b) no ponto de encontro entre a circunferência de centro B e raio medindo BC de comprimento e a bissetriz do ângulo

B \hat{A} C

c) no ponto de encontro entre a circunferência de centro a e raio medindo BC de comprimento e a mediatriz do segmento

\overline{B C}

d) no ponto de encontro entre a circunferência de centro a e raio medindo BC de comprimento e a bissetriz do ângulo

B \hat{A} C

e) no ponto médio do segmento

\overline{B C}

• Agora, reproduza a figura em uma folha e determine, usando régua e compasso, a localização da fonte de acordo com a alternativa que você escolheu.

Respostas e comentários

8. a) Espera‑se que os estudantes percebam que o ponto deve estar na mediatriz do segmento com extremos na lanchonete e no parquinho e que pertença ao segmento que representa a Rua a.

8. b) Resposta em Orientações.

9. Resposta em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 8, os estudantes deverão aplicar o conceito de mediatriz como lugar geométrico para resolver um problema: representar a localização de um banheiro em uma rua de modo que esteja à mesma medida de distância de dois pontos fixos (parquinho e lanchonete). Espera-se que os estudantes percebam que o banheiro deve estar na intersecção do segmento de reta que representa a rua a com a mediatriz do segmento cujas extremidades são os pontos que correspondem à localização da lanchonete e do parquinho.

• Resposta do item b da atividade 8:

Ilustração. Parque com entrada 1 à esquerda e diagonal (Rua A) até a entrada 2 à direita. Acima da diagonal, algumas árvores, parquinho e lanchonete. Abaixo, lago e quadras. Reta (Mediatriz) passa entre o Parquinho e a lanchonete e parte sobre o lago. Mediatriz e Rua A se cruzam no ponto Banheiro.

• Na atividade 9, os estudantes vão aplicar os conceitos de circunferência e bissetriz como lugares geométricos para resolver um problema: representar a localização de uma fonte. Espera-se que eles percebam que a fonte deve estar na intersecção da bissetriz do ângulo

B \hat{A} C

com a circunferência de centro A e raio de medida de comprimento igual à do segmento

\bar{B C}

, ou seja, alternativa d.

Ilustração. Lago cinza. Na parte inferior esquerda, ponto A. Semirretas AB e AC unidas pelo ponto A. Há uma seta com a indicação 'Lago'. Há uma reta que divide o ângulo BAC ao meio, com a indicação 'bissetriz'. Há um ponto na bissetriz e um arco que tem centro nesse ponto. Há uma seta partindo do ponto com a indicação 'fonte'.

• Sugerimos algumas questões para que os estudantes possam refletir sobre suas aprendizagens e possíveis dificuldades no estudo deste Capítulo, as quais devem ser adaptadas à realidade da turma. Oriente-os a fazer a autoavaliação, respondendo às questões no caderno com “sim”, “às vezes” ou “não”.

Eureticências

reticências sei construir a mediatriz de um segmento?

pontoreticências sei construir a bissetriz de um ângulo?

reticências sei definir ponto médio de um segmento de reta?

reticências compreendo os conceitos de mediatriz e bissetriz?

reticências compreendo a diferença entre reta, semirreta e segmento de reta?

reticências sei ler e interpretar gráficos de linha?

reticências sei traçar retas paralelas?

reticências sei traçar retas perpendiculares?

reticências sei construir alguns ângulos usando régua e compasso?

reticências cuido do meu material escolar?

reticências tenho um bom relacionamento com meus colegas de sala?

reticências consigo expor minhas ideias e opiniões em grupo?

reticências realizo as tarefas propostas?

Em todo caso, conforme sugerido nas Orientações Gerais deste Manual do Professor, outros aspectos devem ser avaliados de fórma equilibrada, além dos conteúdos e conceitos desenvolvidos no Capítulo.

Página 79

Para finalizar

faça as atividades no caderno

organize suas ideias

Observe e responda

Analise estas imagens.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Fotografia. Extrato bancário com as informações: DEMONSTRATIVO DE OPERAÇÃO. 01/08/2022. 07:42:29 (Horário de Brasília). Extrato. 14/05: juros poupança salário: 2,66. 15/05: INT TED 847082: menos 2,500,00. 15/05: PAGTO ADIANT SALARIAL: 2.969,32. 22/05: SAQUE 24H 00766493: menos 170,00. 30/05: PAGTO SALÁRIO: 1949,20. igual Saldo disponível para saque: 2.329,20. mais LIS/ADIC (SUJ ENCARGOS): 8.400,00. igual VALOR TOTAL DISP P/ SAQUE: 10.729,20. CENTRAL DE ATENDIMENTO. (CAPITAIS E REGIÕES METROPOLITANAS). — Extrato bancário.

Fotografia. Quadro de giz com a escrita da representação do número pi igual a 3,141592653589793... — Número escrito no quadro.

Fotografia. Vista de cima de mesa com dois bolos diferentes divididos, o de chocolate é dividido em 8 partes iguais e o de laranja dividido em 4 partes iguais. Ao redor, balas, doces, pirulitos e serpentinas. — Mesa de festa de aniversário.

Fotografia Termômetro com graus de menos 50 a 50 na escala Celsius à esquerda e graus de menos 60 a 120 na escala Farenheit à direita. Há uma reta vermelha na vertical que parte do ponto menos 50 e chega ao ponto menos 10 na escala Celsius. — Termômetro nas escalas céucius(grau Célsius) e Farenheit(grau Farenrráite).

Fotografia. Relógio redondo de ponteiros. O ponteiro menor está no número 9 e o ponteiro maior no número 12. — Relógio de parede.

Com base nas imagens e também no que você aprendeu nesta Unidade, faça o que se pede.

1. Relacione cada imagem apresentada anteriormente com um tipo de número. Justifique.

2. Que tipo de número pertence ao conjunto dos números reais? Cite exemplos.

Respostas e comentários

Observe e responda: 1. Resposta pessoal.

Observe e responda: 2. Números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Exemplos pessoais.

Orientações e sugestões didáticas

Para finalizar

Objetivo

• Analisar o que foi estudado na Unidade e avaliar o aprendizado.

Orientações

• Tendo como ponto de partida a observação de imagens que retomam, de alguma maneira, assuntos discutidos na Unidade, os estudantes são convidados a realizar algumas sínteses sobre as principais ideias exploradas.

• Em Observe e responda, na atividade 1, espera-se que os estudantes mencionem os números na fórma decimal, no extrato bancário; o π como um número irracional; a possibilidade de representar as fatias de bolo com números na fórma de fração; os números inteiros registrados no termômetro; e os números naturais no relógio.

Página 80

▶ Para finalizar

Lembre-se: Escreva no caderno!

3. Podemos afirmar que todo número inteiro é racional? Explique com exemplos.

4. Qual é a medida de abertura do menor ângulo formado entre o ponteiro das horas e o dos minutos na foto do relógio da página anterior?

5. Na foto do relógio, classifique as menores medidas de abertura dos ângulos formados entre o ponteiro:

a) das horas e o dos segundos;

b) dos minutos e o dos segundos.

Invente um problema para a imagem dos bolos. Em seguida, apresente-o para um colega resolver e resolva o problema criado por ele.

Registre

Para finalizar o estudo desta Unidade, reúna-se com alguns colegas para fazer o que se pede.

1. Expliquem como podemos diferenciar a escrita decimal de um número racional da escrita decimal de um número irracional.

2. Expliquem o que vocês entenderam por bissetriz de um ângulo e por mediatriz de um segmento.

Figura geométrica: semirretas OA, OR e OB unidas em O. A semirreta OR divide o ângulo AOB ao meio. Há a indicação de que os ângulos AOR e RBO medem 35°. Há uma seta partindo da semirreta OR com a indicação: Bissetriz de AOB.

Figura geométrica: uma reta AB horizontal e uma reta vertical. No encontro das duas retas há a indicação de um ponto M e de um ângulo de 90 graus. Na reta vertical há a indicação de 'mediatriz de AB' e no ponto M há a indicação de 'ponto médio de AB'.

3. Na abertura desta Unidade, vocês responderam a algumas questões no boxe “Para começarreticências”. Compare as respostas dadas àquelas questões com as respostas que vocês dariam agora e escrevam um texto explicando o que vocês aprenderam nesta Unidade.

Para conhecer mais

História de potências e raízes

(Coleção Contando a história da Matemática)

Oscar Guelli

São Paulo: Ática, 2010.

A potenciação é a quinta operação matemática. Você pode aprender mais sobre essa operação em um livro cheio de histórias sobre riquezas incalculáveis, medidas de distâncias enormes, números e cálculos fantásticos. Nesse livro, você vai aprender sobre as propriedades da potenciação, a propriedade distributiva, a radiciação e os números decimais.

Fotografia: Capa de livro. Contando a história da Matemática. História de potências e raízes. Fundo vermelho com ilustrações e números coloridos. Autor: Oscar Guelli.

Respostas e comentários

Observe e responda:

3. Sim. Exemplos de resposta: 7 =

\frac{14}{2}

; menos 2 = menos

\frac{6}{3}

Observe e responda: 4. 90graus

Observe e responda: 5. a) obtuso

Observe e responda: 5. b) agudo

Observe e responda: 6. Resposta pessoal.

Registre: 1. A escrita decimal de um número racional tem uma quantidade finita de casas decimais ou uma quantidade infinita de casas decimais periódicas. Já a do número irracional tem infinitas casas decimais não periódicas.

Registre: 2. Resposta pessoal.

Registre: 3. Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Em Observe e responda, na atividade 6, um exemplo de problema pode ser: No fim da festa, restaram três fatias do bolo de chocolate e uma fatia do bolo de laranja. Escreva uma fração que represente a quantidade de fatias de bolo que restaram.

(\frac{5}{8})

• Em Registre, na atividade 2, espera-se que os estudantes expliquem que a bissetriz de um ângulo é a semirreta que tem origem no vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes. A bissetriz de um ângulo pode ainda ser definida como a figura geométrica formada por todos os pontos do plano que estão à mesma medida de distância dos lados desse ângulo. Já a reta que passa pelo ponto médio de um segmento e é perpendicular a esse segmento é chamada mediatriz do segmento. A mediatriz de um segmento pode ainda ser definida como a figura geométrica formada por todos os pontos do plano que estão à mesma medida de distância de seus extremos.

• Em Registre, questões apresentadas na abertura são retomadas na atividade 3 para que os próprios estudantes tenham possibilidade de avaliar sua evolução, bem como para que o professor possa tirar dúvidas ainda existentes.

• Para complementar o trabalho com esta seção, sugira aos estudantes que reavaliem as atividades dos capítulos desta Unidade e:

– listem no caderno as atividades que tiveram dificuldades em resolver.

– relacionem as atividades que listaram com os conteúdos estudados.

– organizem-se em grupos e resolvam as atividades listadas.