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UNIDADE 2

Capítulo 3

Congruência de triângulos

Capítulo 4

Quadriláteros

Capítulo 5

Polígonos

Fotografia. Foto retangular que mostra favo de mel com figuras que se parecem hexágonos lado a lado. Do meio para baixo há mel em alguns alvéolos do favo e aproximadamente 20 abelhas. — Abelhas no favo de mel.

A geometria das abelhas

As abelhas usam cera ou fibras vegetais para construir os alvéolos das colmeias, que servem depois para armazenar alimento ou para abrigar crias em seu desenvolvimento. Elas constroem os alvéolos de fórma otimizada e econômica, ou seja, com o maior aproveitamento do espaço, reduzindo gasto de material, de modo que uns alvéolos se encaixem perfeitamente nos outros. Note que a entrada da cavidade de cada alvéolo lembra a fórma de um polígono regular; juntos, os alvéolos cobrem perfeitamente a superfície, sem deixar espaços vazios nem tendo figuras interseccionadas. É por isso que eles não são arredondados, pois a falta de “paredes” comuns entre eles deixaria uma grande quantidade de espaços não aproveitados.

Para começar...

1. A entrada da cavidade de um alvéolo lembra qual polígono?

2. Quantos lados, ângulos internos e diagonais tem esse polígono?

3. Se quisermos cobrir perfeitamente um plano com um só tipo de polígono regular, sem deixar espaços vazios nem tendo figuras interseccionadas, devemos escolher um polígono tal que:

a) a quantidade de diagonais seja um número par.

b) a quantidade de ângulos internos seja igual à de vértices.

c) a quantidade de lados seja um número ímpar.

d) a medida de abertura do seu ângulo interno seja um divisor de 360graus

Respostas e comentários

Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas nesta Unidade:

ê éfe zero oito ême ah um quatro

ê éfe zero oito ême ah um cinco

ê éfe zero oito ême ah um seis

ê éfe zero oito ême ah dois três

Para começarreticências: 1. hexágono

2. 6 lados; 6 ângulos internos; 9 diagonais

3. alternativa d

Orientações e sugestões didáticas

Abertura da Unidade 2

Conteúdos

• Nesta Unidade, serão trabalhados conceitos relacionados às unidades temáticas Geometria e Probabilidade e Estatística que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da Bê êne cê cê listadas.

Orientações

• A abertura relaciona natureza à Geometria ao apresentar o formato dos alvéolos das colmeias. Após a leitura individual do texto, verifique se os estudantes compreenderam o tema e solicite que respondam às questões propostas.

• Durante o trabalho com as questões 1 e 2, verifique o conhecimento prévio dos estudantes acerca da identificação dos polígonos e de seus elementos. Esse conhecimento servirá de base para o desenvolvimento de novas habilidades relacionadas à classificação de polígonos, à relação entre ângulos internos e externos e à soma das medidas de abertura dos ângulos internos, entre outras.

• Promova um momento de debate para que os estudantes justifiquem suas respostas à questão 3. A pavimentação de um plano (mosaico) consiste em cobri-lo com uma mesma figura (molde), sem deixar espaços vazios ou figuras interseccionadas. Se quisermos um mosaico formado pela propagação de um só tipo de polígono regular (lados e ângulos internos congruentes), devemos escolher tal polígono de modo que seu ângulo interno seja um divisor de 360graus (para que haja um encaixe entre os polígonos).

• A construção de mosaicos usando polígonos regulares é assunto de anos anteriores, inclusive com o apoio de softwares de Geometria dinâmica. Se julgar necessário, retome algumas atividades semelhantes, ressaltando que os polígonos precisam ter pelo menos um vértice em comum e se encaixar perfeitamente, de fórma que não se sobreponham nem haja espaços entre eles. Aproveite para exemplificar a justificativa de que a entrada da cavidade de um alvéolo não pode ser arredondada. Mostre no quadro a incompatibilidade dos círculos ao recobrir uma superfície, ressaltando que haveria muitos “buracos” entre as figuras.

• As informações desta seção foram baseadas no artigo “A geometria instintiva das abelhas” (disponível em: https://oeds.link/k5xaWg; acesso em: 4 janeiro2021).

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CAPÍTULO 3 Congruência de triângulos

1 Triângulos

O formato triangular é constantemente utilizado nas mais diversas áreas, como arte, arquitetura, engenharia e computação. É comum também a utilização do formato triangular na construção de figuras não planas.

Neste Capítulo, você estudará alguns elementos e a classificação dos triângulos, e conhecerá outros conteúdos relacionados a essa figura geométrica.

Fotografia. Tela de computador com o desenho de uma garota de perfil composta de triângulos. Abaixo da tela, teclado e mouse. — Imagem de garota em 3-D composta de triângulos em tela de computador.

Fotografia. Estrutura metálica com formato esférico composta por figuras que se parecem triângulos. À esquerda, árvore com folhas alaranjadas. — Estruturas triangulares em Biosphere, museu dedicado ao meio ambiente, em Montreal, Canadá, 2020.

Considere o triângulo á bê cê.

Podemos destacar alguns de seus elementos.

• Vértices: pontos A, B e C

• Lados: segmentos

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C A}

• Ângulos internos:

A \hat{B} C

B \hat{C} A

C \hat{A} B

Em cada vértice, vamos prolongar um dos lados do triângulo á bê cê para obter seus ângulos externos.

• Ângulos externos:

\hat{a}, \hat{b} e \hat{c}

Figura geométrica. Triângulo ABC com destaque para os ângulo externos a, b e c.

Observação

Podemos indicar um triângulo á bê cê por: △á bê cê

Respostas e comentários

Habilidade da Bê êne cê cê trabalhada neste Capítulo:

ê éfe zero oito ême ah um cinco

ê éfe zero oito ême ah dois três

Os links expressos nesta coleção podem estar indisponíveis após a data de publicação deste material.

Orientações e sugestões didáticas

Triângulos

Objetivos

• Reconhecer o formato triangular em diversas áreas do conhecimento.

• Reconhecer a condição de existência de um triângulo.

• Classificar triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Orientações

• Neste tópico, retoma-se o estudo dos triângulos: elementos, condição de existência, soma das medidas de abertura de seus ângulos internos e classificação quanto aos lados e quanto aos ângulos. Faça essa retomada levando em consideração os conhecimentos adquiridos anteriormente pela turma.

• Destaque a importância da rigidez geométrica dos triângulos na Arquitetura e na Engenharia. Se possível, mostre ou peça aos estudantes que pesquisem outras imagens de estruturas em que o formato triangular esteja presente.

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Recorde

• Se os ângulos interno e externo de um triângulo possuem o mesmo vértice, eles são adjacentes.

• Em cada vértice do triângulo, o ângulo interno e o externo são adjacentes suplementares, ou seja, a soma das medidas de abertura igual a 180graus.

Assim, no triângulo á bê cê da página anterior, temos:

m e d (\hat{a}) + m e d (C \hat{A} B) = 180 °

m e d (\hat{b}) + m e d (A \hat{B} C) = 180 °

m e d (\hat{c}) + m e d (B \hat{C} A) = 180 °

Condição de existência de um triângulo

O contorno de todo triângulo é formado por três segmentos, que são seus lados. Porém, nem sempre três segmentos podem formar o contorno de um triângulo.

Acompanhe a construção, com régua e compasso, de um triângulo com lados de medidas de comprimento 3 centímetros, 2,5 centímetros e 2 centímetros.

Figura geométrica. Segmento medindo 3 centímetros.

Figura geométrica. Segmento medindo 2 vírgula 5 centímetros.

Figura geométrica. Segmento medindo 2 centímetros.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Figura geométrica. Figura 1. Segmento na horizontal medindo 3 centímetros. Compasso com ponta-seca na extremidade direita do segmento com abertura medindo 2 vírgula 5 centímetros. Entre a ponta seca do compasso e a grafite foi traçado um segmento de reta tracejado com indicação de medida igual 2 vírgula 5 centímetros.
Abaixo está escrito: Trace um segmento medindo 3 centímetros de comprimento. Depois, com a ponta-seca do compasso em uma das extremidades do segmento e abertura medindo
2 vírgula 5 centímetros de comprimento, trace um arco.

Figura geométrica. Figura 2. Mesma figura anterior, só que agora a ponta-seca do compasso está na extremidade à esquerda com abertura de 2 centímetros. Entre a ponta seca do compasso e a grafite foi traçado um segmento de reta tracejado com indicação de medida igual 2 centímetros.
Abaixo está escrito: Com a ponta-seca do compasso na outra extremidade do segmento e abertura medindo 2 centímetros de comprimento, trace outro arco. O ponto de encontro desse arco com o arco traçado anteriormente é um vértice do triângulo.

Figura geométrica. Figura 3. Triângulo com lados medindo 2 centímetros, 2 vírgula 5 centímetros e 3 centímetros.
Abaixo está escrito: Una o vértice construído com as extremidades do segmento e obtém-se o triângulo com lados de medidas de comprimento 3 centímetros, 2 vírgula 5 centímetros e 2 centímetros.

Para fazer

Tente construir no caderno um triângulo cujos lados medem 7 centímetros, 3 centímetros e 2 centímetros de comprimento.

Você conseguiu construir o triângulo? Por quê?

Para que exista um triângulo com lados de determinadas medidas de comprimento, ele deve atender à condição de existência de um triângulo.

Em qualquer triângulo, a medida de comprimento de um lado é sempre menor que a soma das medidas de comprimento dos outros dois lados.

Respostas e comentários

Para fazer: Não, porque os arcos correspondentes às aberturas do compasso com medidas 2 centímetros e 3 centímetros de comprimento não se cruzam.

Orientações e sugestões didáticas

• Antes de estudar os conceitos desta página, pode ser feito um experimento interessante a respeito da condição de existência de um triângulo. Leve para a sala de aula diversos trios de canudinhos ou palitos de madeira com medidas de comprimento variados, de modo que alguns desses trios formem triângulos e outros não. Após as tentativas de obter triângulos, peça aos estudantes que meçam o comprimento dos lados das figuras formadas e elaborem hipóteses sobre a condição de existência de um triângulo.

• No boxe Para fazer, ao tentar construir um triângulo, os estudantes vão perceber que não é possível obter um triângulo com as medidas de comprimento indicadas.

Figura geométrica. Segmento de reta horizontal medindo 7 centímetros. Na extremidade esquerda desse segmento um segmento no sentido diagonal medindo 3 centímetros, na extremidade direita, um segmento de reta na diagonal medindo 2 centímetros.

Comente com eles que, antes de tentar construir o triângulo, é possível verificar a existência dele, pois só é possível construir um triângulo quando a soma das medidas de comprimento de dois de seus lados é maior que a medida de comprimento do terceiro lado.

• Em atividades que indicam o uso do compasso, alerte os estudantes sobre o cuidado em seu manuseio, a fim de evitar acidentes.

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Classificação dos triângulos

Observe, no quadro a seguir, a classificação dos triângulos de acordo com as medidas de comprimento dos lados ou com as medidas de abertura dos ângulos.

Fotografia. Garota de cabelo preto crespo, óculos e blusa listrada de braços cruzados e sorriso no rosto, diz: Note que os triângulos equiláteros também são isósceles, pois têm dois lados congruentes.

Classificação dos triângulos
De acordo com as medidas de comprimento dos lados			De acordo com as medidas de abertura dos ângulos
Equilátero	Isósceles	Escaleno	Acutângulo	Obtusângulo	Retângulo

Tem três lados congruentes.	Tem dois lados congruentes.	Não tem lados congruentes.	Tem três ângulos internos agudos.	Tem um dos ângulos internos obtuso.	Tem um dos ângulos internos reto.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Usando régua e transferidor, classifique os triângulos conforme as medidas de comprimento dos lados e de abertura dos ângulos.

Figura geométrica. Triângulo azul com três lados de medidas diferentes e um ângulo obtuso.

Figura geométrica. Triângulo com três lados de medidas diferentes e um ângulo reto.

Figura geométrica. Triângulo com três lados congruentes e três ângulos congruentes.

Figura geométrica. Triângulo com três lados de medidas diferentes e um ângulo obtuso.

Figura geométrica. Triângulo com três lados de medidas diferentes e três ângulos agudos.

Figura geométrica. Triângulo com dois lados congruentes e um ângulo reto.

Versão adaptada acessível

1. Responda às questões.

a) Explique as características dos triângulos isósceles, equiláteros e escalenos, levando em consideração as medidas do comprimento dos lados desses triângulos.

b) Agora, levando em consideração as medidas das aberturas dos ângulos, dê as características dos triângulos acutângulos, obtusângulos e retângulos.

Orientação para acessibilidade

Respostas

a) Triângulos isósceles têm dois lados congruentes, triângulos equiláteros têm três lados congruentes e triângulos escalenos não têm lados congruentes.

b) Triângulos acutângulos têm três ângulos internos agudos, triângulos obtusângulos têm um dos ângulos internos obtuso e triângulos retângulos têm um dos ângulos internos reto.

2. Que alternativas contêm medidas de comprimento de segmentos que possibilitam a construção de um triângulo?

a) 3,5 centímetros, 4,5 centímetros e 6,5 centímetros

b) 90 centímetros, 45 centímetros e 45 centímetros

c) 6 centímetros, 5,9 centímetros e 6,1 centímetros

d) 10 centímetros, 2 centímetros e 3 centímetros

3. Observe o triângulo que Jonas desenhou e analise as afirmações de Cátia, Lia e Flávia.

Ilustração. Caderno com triângulo roxo desenhado em que cada lado mede 2 vírgula 5 centímetros.

Ilustração. Três garotas conversando em pé de camiseta do uniforme escolar que é verde. À esquerda, Cátia, pele branca, loira de cabelo preso, calça azul diz: Esse triângulo é equilátero. No centro, Lia, pele branca, de cabelo solto na cor azul e calça azul com flores fala: Esse triângulo é acutângulo. À direita, Flávia, pele branca, de cabelo curto castanho, de calça legging cor de rosa fala: Esse triângulo não é escaleno.

• Quais afirmações são verdadeiras?

Respostas e comentários

1. a) escaleno e obtusângulo

1. b) escaleno e retângulo

1. c) equilátero e acutângulo

1. d) escaleno e obtusângulo

1. e) escaleno e acutângulo

1. f) isósceles e retângulo

2. alternativas a e c

3. as três

Orientações e sugestões didáticas

• Ao trabalhar a classificação dos triângulos quanto à medida de comprimento dos lados, é importante comentar que os triângulos equiláteros são também equiângulos e, por isso, regulares, e, ainda, que todo triângulo equilátero é também isósceles, pois tem dois lados de mesma medida de comprimento; entretanto, nem todo triângulo isósceles é equilátero.

• Explique aos estudantes que é comum usar risquinhos para indicar medidas de comprimento dos lados ou medidas de abertura de ângulos iguais.

• Os prefixos equi e iso indicam igualdade, o que sugere o significado das palavras equilátero e isósceles. A palavra escaleno vem do grego skalēnós, que significa desigual, de tamanhos diferentes, como as medidas de comprimento dos lados do triângulo escaleno.

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Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

4. Responda às questões.

a) Se dois lados de um triângulo isósceles medem 2 centímetros e 3 centímetros de comprimento, quais são as possíveis medidas de comprimento do terceiro lado?

b) As medidas de comprimento de dois lados de um triângulo escaleno são 7 centímetros e 3 centímetros. Quais são as possíveis medidas de comprimento do outro lado, sabendo que elas são menores que 8 centímetros e correspondem a um número natural?

c) As medidas de comprimento de dois lados de um triângulo escaleno são 6 centímetros e 9 centímetros. Quais são as possíveis medidas de comprimento do terceiro lado? Sabe-se que elas são menores que 11 centímetros de comprimento e estão representadas por um número natural par.

5. No quadro a seguir são apresentadas as medidas de comprimento dos segmentos

\overline{A B}, \overline{B C} e \overline{A C}

(que indicamos por A bê, BC e á cê ), expressas em centímetro, em cinco situações abre parêntesesum, dois, três, quatro e cincofecha parênteses. Em todas elas, os pontos a, B e C não estão alinhados.

	I	II	III	IV	V
AB	2	3	2	4	4
BC	3	1,5	3	4	4
AC	6	4	4	4	6

•

Faça o que se pede e, depois, compare suas respostas com as de um colega.

a) Verifique as situações em que é possível construir o △á bê cê.

b) Considere as situações indicadas no item anterior e construa os triângulos usando régua e compasso.

c) Meça a abertura dos ângulos internos de cada triângulo construído e escreva as medidas de abertura dos ângulos em grau.

d) Classifique os triângulos em relação às medidas de comprimento dos lados e da abertura dos ângulos.

Quantos triângulos isósceles é possível construir com o lado não congruente medindo 6 centímetros de comprimento?

2 Ângulos nos triângulos

Soma das medidas de abertura dos ângulos internos

As aberturas dos ângulos internos do triângulo á bê cê medem a, b e c.

Consideremos a reta r, paralela ao lado

\overline{B C}

, passando pelo vértice a.

Figura geométrica. Triangulo ABC com base BC paralela ao pé da página, com indicação dos ângulos internos a, b e c. No vértice A passa a reta r paralela à base BC. e são destacados os ângulos y e x que são determinados pela reta r e o lado AB e AC do triângulo, respectivamente.

De acordo com a figura, temos:

• x = c, pois os ângulos de medidas de abertura x e c são alternos internos;

• y = b, pois os ângulos de medidas de abertura y e b são alternos internos;

• x + a + y = 180graus.

Então, temos: c + a + b = 180graus

Assim, mostramos que:

Em qualquer triângulo, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos é 180graus.

Respostas e comentários

4. a) 2 centímetros ou 3 centímetros

4. b) 5 centímetros ou 6 centímetros

4. c) 10 centímetros, 8 centímetros ou 4 centímetros

5. Respostas na seção Resoluções neste manual.

6. infinitos

Orientações e sugestões didáticas

• A atividade 5 explora diversos conteúdos já vistos pelos estudantes e, com isso, é possível verificar se algum deles apresenta dificuldade em, por exemplo, aplicar a condição de existência de um triângulo, manusear o compasso e/ou o transferidor e classificar um triângulo em relação às medidas de comprimento dos lados e de abertura dos ângulos.

Ângulos nos triângulos

Objetivos

• Demonstrar que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é 180graus.

• Reconhecer a relação entre um ângulo externo e dois ângulos internos não adjacentes de um triângulo qualquer.

• Favorecer o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

Orientações

• Reproduza no quadro a demonstração de que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é 180graus e incentive a participação da turma. É importante enfatizar que, nessa demonstração, é empregada a relação entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Se achar conveniente, retome esse assunto com a turma.

Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

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Observação

Dadas duas retas paralelas cortadas por uma transversal, podemos destacar alguns pares de ângulos.

Figura geométrica. Reta r e reta s paralelas. E uma reta t transversal a r e s.
A intercessão da reta t com a reta r determinam os ângulos a e c, que são opostos pelo vértice e b e d que também são opostos pelo vértice.
A intercessão da reta t com a reta s determinam os ângulos e e g, que são opostos pelo vértice e f e h que também são opostos pelo vértice.

• Ângulos correspondentes:

\hat{a} e \hat{e}; \hat{b} e \hat{f}; \hat{c} e \hat{g}; \hat{d} e \hat{h}

• Ângulos alternos internos:

\hat{b} e \hat{h}; \hat{c} e \hat{e}

• Ângulos alternos externos:

\hat{a} e \hat{g}; \hat{d} e \hat{f}

Quaisquer dois ângulos correspondentes são congruentes e, portanto, quaisquer dois ângulos alternos (internos ou externos) são congruentes, desde que as retas sejam paralelas.

Relação entre um ângulo externo e dois ângulos internos não adjacentes

Observe o triângulo á bê cê.

Figura geométrica. Triângulo ABC com ângulos internos A maiúsculo, B maiúsculo, C maiúsculo e ângulos externos: a minúsculo, b minúsculo, e c minúsculo.

De acordo com a figura, temos:

medida de(

\hat{A}

) + medida de(

\hat{a}

) = 180graus

Então:

medida de(

\hat{A}

) = 180graus menos medida de(

\hat{a}

) (um)

Sabemos que:

medida de(

\hat{A}

) + medida de(

\hat{B}

) + medida de(

\hat{C}

) = 180graus (dois)

Substituindo um em dois, obtemos:

medida de(

\hat{A}

) + medida de(

\hat{B}

) + medida de(

\hat{C}

) = 180graus

180graus ‒ medida de(

\hat{a}

) + medida de(

\hat{B}

) + medida de(

\hat{C}

) = 180graus

medida de(

\hat{B}

) + medida de(

\hat{C}

) = 180graus menos 180graus + medida de(

\hat{a}

)

medida de(

\hat{B}

) + medida de(

\hat{C}

) = medida de(

\hat{a}

)

Considerando cada um dos outros ângulos externos da figura, chegaremos a:

medida de(

\hat{C}

) + medida de(

\hat{A}

) = medida de(

\hat{b}

)

medida de(

\hat{B}

) + medida de(

\hat{A}

) = medida de(

\hat{c}

)

Assim:

Em qualquer triângulo, a medida de abertura de um ângulo externo é igual à soma das medidas de abertura dos ângulos internos não adjacentes a ele.

Exemplo

Vamos determinar a medida x , em grau.

Figura geométrica. Triângulo com dois ângulos internos medindo 40 graus e 85 graus. O terceiro ângulo interno não tem a medida indicada e o ângulo externo adjacente a ele mede x. Ao lado está escrito: x é igual a 85 graus mais 40 graus; abaixo, x é igual a 125 graus.

Orientações e sugestões didáticas

• Proponha aos estudantes que se reúnam com um colega e tentem descobrir, por meio de experimentações, a relação entre a medida de abertura de um ângulo externo e dois ângulos internos não adjacentes a ele em um triângulo qualquer. Essa experimentação pode ser feita com o auxílio de um transferidor ou utilizando um software de Geometria dinâmica. Depois, reproduza a demonstração no quadro com a participação da turma. A definição de ângulos suplementares e o fato de a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo ser 180graus são aplicados nessa demonstração.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Encontre a medida x, em grau, em cada item.

Figura geométrica. Triângulo com indicação de medida dos ângulos internos: 50 graus, 78 graus e x.

Figura geométrica. Triângulo com indicação de medida dos ângulos internos: 3x, 48 graus e 5x sobre 2.

Figura geométrica. Triângulo com indicação de medida dos ângulos internos: 30 graus + x, 3x e 2x.

Figura geométrica. Triângulo com ângulos internos: 45 graus, x e 39 graus.

2. As aberturas dos ângulos internos de um triângulo medem 26graus, 5x + 3graus e 4x + 7graus. Qual é o valor de x, em grau?

3. Quais são as medidas de abertura dos ângulos externos de um triângulo se as medidas de abertura de seus ângulos internos são x, x + 10graus e x + 20graus?

4. Determine as medidas a, b, c e d no triângulo á bê cê a seguir.

Figura geométrica. Triângulo ABC com ângulo interno a e ângulo externo 148 graus. ângulo interno b e ângulo externo 102 graus e ângulo interno c e ângulo externo d.

5. Determine x e y, em cada item.

Figura geométrica. Triângulo com ângulos internos 45 graus e y, ângulo oposto pelo vértice y, medindo 35 graus, e ângulo externo x, no vértice que não tem indicação no ângulo interno.

Figura geométrica. Triângulo com ângulos internos 70 graus, x e y e ângulo externo a y, medindo 135 graus.

Figura geométrica. Triângulo com ângulos internos y, 25 graus e 2x sobre 3, ângulo externo ao ângulo y medindo x

6. A abertura de um dos ângulos internos de um triângulo mede 35graus. A diferença entre as medidas de abertura dos outros dois ângulos é igual a 37graus. Quais são as medidas de abertura dos ângulos internos desse triângulo?

3 Pontos notáveis de um triângulo

Há quatro pontos em um triângulo que apresentam propriedades importantes e, por isso, são denominados pontos notáveis: baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro. Vamos estudar um pouco sobre cada um desses pontos.

Intersecção das medianas: baricentro

As medianas de um triângulo são segmentos que têm uma extremidade em um dos vértices do triângulo e a outra extremidade no ponto médio do lado oposto a esse vértice.

Respostas e comentários

1. a) 52graus

1. b) 24graus

1. c) 25graus

1. d) 96graus

2. 16graus

3. 130graus, 120graus e 110graus

4. a = 32graus, b = 78graus, c = 70graus, d = 110graus

5. a) x = 80graus e y = 35graus

5. b) x = 65graus e y = 45graus

5. c) x = 75graus e y = 105graus

6. 54graus, 91graus e 35graus

Orientações e sugestões didáticas

• As atividades propostas requerem do estudante a mobilização dos conceitos dos campos da Geometria e da Álgebra, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

• Após a resolução da atividade 6, peça aos estudantes que retomem o enunciado e confiram as respostas obtidas, ou seja, que façam os cálculos necessários com os valores encontrados para validá-los. É importante enfatizar essa validação de resultados em busca de maior autonomia do estudante.

Pontos notáveis de um triângulo

Objetivos

• Reconhecer e construir com régua e compasso os pontos notáveis de um triângulo.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um cinco da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um cinco da Bê êne cê cê ao propor aos estudantes que, usando instrumentos de desenho, construam a mediana, a altura, a bissetriz e a mediatriz de um triângulo.

Orientações

• Neste tópico, serão sistematizados os conceitos de baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro. Além de reconhecer esses pontos, os estudantes devem construí-los com o auxílio de régua e compasso, assim como resolver problemas que os envolvam.

• Antes de definir mediana, bissetriz, altura e mediatriz e suas respectivas intersecções (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro), pode-se identificá-las e obtê-las por meio de dobraduras em papel.

(ê éfe zero oito ême ah um cinco) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90graus, 60graus, 45graus e 30graus e polígonos regulares.

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Observe como construir, usando régua e compasso, uma das medianas de um triângulo.

Ilustração. Figura 1. Triângulo escaleno DEF. Mão segurando compasso. Ponta-seca do compasso no vértice F, traça um arco que cruza o segmento EF, o mesmo procedimento foi feito com a ponta-seca do compasso no vértice E e com mesma abertura. A intersecção dos arcos traçados define os pontos P, dentro do triângulo e Q fora do triângulo.
Ao lado está escrito: Para obter a mediana relativa ao lado EF, inicialmente determinamos o ponto médio desse lado. Já vimos como obter o ponto médio de um segmento na página 62: traçamos dois arcos com a mesma abertura, um com a ponta-seca do compasso em E, e o outro, com a ponta-seca em F. Para que os arcos se cruzem, o compasso deve ter abertura maior que a metade de EF. Na intersecção dos arcos, obtemos dois pontos, P e Q.

Ilustração. Figura 2. Mesma ilustração anterior. Agora, mão segurando régua e lapiseira para traçar uma reta que passe pelos pontos P e Q. Definindo o ponto M que está no segmento EF.
Abaixo está escrito: Traçamos a reta auxiliar que passa pelos pontos P e Q e cruza o lado EF. Desse modo, obtemos o ponto M, que é o ponto médio de EF.

Figura geométrica. Figura 3. Triângulo DEF da ilustração anterior com segmento definido pelos pontos DM.
Abaixo está escrito: Traçamos o segmento que une o vértice D ao ponto M. Segmento de reta DM é a mediana relativa ao lado EF.

A intersecção das medianas de um triângulo determina um ponto chamado baricentro.

Observe o triângulo á bê cê .

Figura geométrica. Triângulo ABC. M1 é o ponto médio de BC, BM1 é congruente a CM1. M2 é o ponto médio de AC, AM2 é congruente a CM2. M3 é o ponto médio de AB, AM3 é congruente a BM3. A intercessão dos segmentos AM1, BM2 e CM3, definem o ponto G.

• múltiplos de é o ponto médio de

\overline{B C}

; então,

{\overline{A M}}_{1}

é a mediana relativa ao lado

\overline{B C}

• múltiplos de é o ponto médio de

\overline{A C}

; então,

{\overline{B M}}_{2}

é a mediana relativa ao lado

\overline{A C}

• múltiplos de é o ponto médio de

\overline{A B}

; então,

{\overline{C M}}_{3}

é a mediana relativa ao lado

\overline{A B}

• G é o baricentro do triângulo.

Para fazer

O baricentro de um corpo qualquer é considerado seu centro de gravidade (ou centro de massa). Se apoiarmos um corpo em seu baricentro, ele ficará em equilíbrio. Vamos verificar?

Ilustração. Mão de uma pessoa segurando um lápis com a ponta para cima. Um triângulo feito de cartolina está apoiado no lápis de maneira equilibrada.

a) Desenhe um triângulo em uma cartolina e determine o seu baricentro, conforme explicado anteriormente. Depois, recorte esse triângulo usando uma tesoura sem pontas.

b) Apoie o ponto que representa o baricentro do triângulo na ponta de um lápis. Então, verifique se o triângulo se manteve em equilíbrio.

Respostas e comentários

Para fazer: Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Para obter as medianas e sua intersecção (baricentro) com dobraduras de papel, peça aos estudantes que recortem triângulos quaisquer (inicialmente triângulos escalenos e acutângulos) e sigam os procedimentos indicados a seguir.

1. Obter os pontos médios múltiplos de índice 1, múltiplos de índice 2 e múltiplos de índice 3 dos lados

\overline{B C}

\overline{A C}

\overline{A B}

por dobradura de um lado sobre ele mesmo.

2. Traçar as medianas

\overline{A M_{1}}

\overline{B M_{2}}

\overline{C M_{3}}

, obtendo o baricentro G.

Figura geométrica.
Sequencia de imagens.
Imagem 1. Triângulo ABC com o lado BC dobrado ao meio de modo que o vértice B coincida com o vértice C, definindo o ponto M1 em BC.
Imagem 2. Triângulo ABC com o lado AC dobrado ao meio de modo que o vértice A coincida com o vértice C, definindo o ponto M2 em AC. Imagem 3. Triângulo ABC com o lado AB dobrado ao meio de modo que o vértice A coincida com o vértice B, definindo o ponto M3 em AB. Imagem 4. Triângulo ABC com indicação dos pontos M1, M2 e M3 definidos nas imagens anteriores. E do ponto G que é a intersecção dos segmentos AM1, BM2 e CM3.

• Ao trabalhar o boxe Para fazer, os estudantes terão a oportunidade de verificar na prática que o triângulo fica em equilíbrio ao apoiar o baricentro na ponta do lápis. Caso o triângulo não fique em equilíbrio, peça aos estudantes que verifiquem se o baricentro foi obtido corretamente.

Página 89

Informática e Matemática

faça as atividades no caderno

Investigando uma propriedade do baricentro

Nesta seção, vamos usar um software de Geometria dinâmica para construir e investigar uma propriedade do baricentro.

Construa

Siga os passos para construir um triângulo e obter seu baricentro.

1º) Construa um triângulo á bê cê qualquer.

2º) Construa dê, ê e éfe, pontos médios dos lados

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{A C}

, respectivamente.

3º) Trace a mediana relativa a cada lado do triângulo unindo, com um segmento de reta, o ponto médio de um lado ao vértice oposto a esse lado.

4º) Marque o ponto G, intersecção das medianas do triângulo. Esse ponto é o baricentro.

Ilustração. Tela de software de geometria dinâmica. Na parte superior, botões de comando: mover, ponto, reta definida por dois pontos, reta perpendicular, polígono, circunferência, medida de ângulo e simetria.
O comando ponto está selecionado, e dá as opções de ponto, intersecção de dois objetos e ponto médio. A opção intersecção de dois objetos está selecionada.
Na tela, triângulo ABC, D é ponto médio de AB, E é ponto médio de BC e F é ponto médio de AC.
São traçados os segmentos AE, BF e CD, e sua intercessão define o ponto G.

INVESTIGUE

Faça o que se pede usando as ferramentas do software.

a) Meça as distâncias á gê e gê é. Você consegue perceber alguma relação entre essas medidas?

b) Meça as distâncias bê gê e e observe-as. Repita o procedimento com cê gê e gê dê. É possível perceber alguma relação entre os pares de medidas?

Movimente os pontos a, B e C, mudando a configuração do triângulo, e observe se a relação entre os pares de medidas se mantém. Converse com um colega e verifique se ele observou a mesma relação que você.

Respostas e comentários

Investigue: Comentários em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

Informática e Matemática

Objetivos

• Investigar uma propriedade do baricentro utilizando um software de Geometria dinâmica.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um cinco, da competência geral 5 e das competências específicas 2 e 4 da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um cinco da Bê êne cê cê ao propor aos estudantes que construam, usando software de Geometria dinâmica, o baricentro de um triângulo qualquer.

Orientações

• Nesta seção, os estudantes deverão construir o baricentro de um triângulo qualquer e verificar, com base em observações sistemáticas, que esse ponto divide cada mediana do triângulo em duas partes, sendo que a parte que contém o vértice tem o dobro da medida de comprimento da parte que contém o ponto médio do lado, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 4 da Bê êne cê cê.

• O uso do software promovido por esta seção contribui para que os estudantes desenvolvam a competência geral 5 e a competência específica 2 da Bê êne cê cê, uma vez que terão de assumir uma postura investigativa e produzir argumentos com base em observações sistemáticas de aspectos quantitativos (medida das partes em que o baricentro divide as medianas) fornecidos pelo software ao movimentar a construção realizada.

• No item a de Investigue, espera-se que os estudantes respondam que o comprimento de á gê mede o dobro do comprimento de gê é ou que o comprimento de gê é mede a metade do comprimento de á gê. No item b, espera-se que percebam que a medida de distância de cada vértice ao baricentro é o dobro da medida de distância entre o baricentro e o ponto médio do lado oposto. Ao responderem o item c, os estudantes devem verificar que a relação entre os pares de medidas se mantém e, depois, confirmar esta constatação com um colega.

Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de fórma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Competência específica 4: Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

Página 90

Intersecção das alturas: ortocentro

As alturas de um triângulo são segmentos que têm uma extremidade em um dos vértices do triângulo e a outra na reta suporte do lado oposto ao vértice, formando um ângulo com abertura medindo 90graus com essa reta.

Observe como construir, usando régua e compasso, uma das alturas de um triângulo.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Recorde

Para obter a reta suporte de um segmento, basta prolongá-lo nos dois sentidos.

Figura geométrica. Segmento de reta AB, com reta tracejada para além do segmento AB.

Figura geométrica. Figura 1. Triângulo ABC, reta r suporte ao lado BC. Com ponta-seca do compasso em A, traça dois arcos que cruzam a reta r, o ponto M está entre B e C, e o ponto N, à direita de C.
Ao lado está escrito: Para obter a altura relativa ao lado BC, inicialmente traçamos a reta suporte desse lado; vamos indicá-la por r. Note que a altura estará na reta perpendicular a r passando pelo vértice A. Podemos obter essa perpendicular pelo modo visto na página 63: traçando um arco com centro em A que cruze a reta r em dois pontos, M e N.

Figura geométrica. Figura 2. Triângulo ABC, reta r suporte ao lado BC. Com ponta-seca do compasso no ponto M traça-se um arco que corta a reta r. O mesmo é feito com a ponta-seca do compasso em N. A intersecção dos arcos definem os pontos P, fora do triângulo e Q dentro do triângulo.
Abaixo está escrito: Traçamos dois arcos de mesma abertura, abre parênteses, maior que a metade de MN, fecha parênteses, com centros em N e em M, e obtemos dois pontos, P e Q.

Figura geométrica. Figura 3. Triângulo ABC, reta r suporte ao lado BC. Os pontos P e Q determinados no passo anterior. Traça-se a reta P Q que passa por A. A intersecção dessa reta com o lado BC determina o ponto H. O segmento AH forma um ângulo reto com o lado BC do triângulo.
Abaixo está escrito: Traçamos a reta PQ, que interceptará a reta suporte do lado BC no ponto H. AH é a altura relativa ao lado BC.

O ponto de encontro das retas suporte das alturas é denominado ortocentro.

Observe as alturas e o ortocentro de diferentes tipos de triângulo.

a) Triângulo acutângulo

Figura geométrica. Triângulo ABC, o ponto H1 pertence ao segmento BC, o ponto H2 pertence ao segmento AC, o ponto H3 pertence ao segmento AB. O segmento AH1 é perpendicular ao lado BC. O segmento BH2 é perpendicular ao lado AC. O segmento CH3 é perpendicular ao lado AB.
A intersecção dos segmentos AH1, BH2 e CH3, definem o ponto H.

•

{\overline{A H}}_{1}

é a altura relativa ao lado

\overline{B C}

•

{\overline{B H}}_{2}

é a altura relativa ao lado

\overline{A C}

•

{\overline{C H}}_{3}

é a altura relativa ao lado

\overline{A B}

• H é o ortocentro do triângulo á bê cê.

Nesse caso, as alturas encontram-se na região interna do triângulo.

Observação

Uma das extremidades de uma altura é o vértice. A outra extremidade é um ponto denominado pé da altura.

Figura geométrica. Triângulo. Indicação de vértice, segmento que sai do vértice indicado e é perpendicular ao lado oposto do vértice. Onde o segmento cruza o lado oposto ao vértice que ele sai há um símbolo de ângulo reto e a indicação pé da altura.

Orientações e sugestões didáticas

• Para obter as alturas e sua intersecção (ortocentro) com dobraduras de papel, peça aos estudantes que recortem triângulos quaisquer (exceto obtusângulos, pois nesse caso o ortocentro encontra-se na região externa do triângulo) e sigam os procedimentos indicados a seguir.

1. Dobrar um lado sobre ele mesmo, de modo que o vinco passe pelo vértice que não pertence a esse lado, obtendo as alturas

\overline{A H_{1}}

\overline{B H_{2}}

\overline{C H_{3}}

2. As três alturas de um triângulo encontram-se em um mesmo ponto H, chamado ortocentro do triângulo.

Figura geométrica. Sequência de imagens. Imagem 1. Triângulo ABC com lado BC dobrado de modo que o ponto C esteja sobre o lado BC e a dobra contenha o vértice A e seja perpendicular ao lado BC. O ponto da dobra é chamado H1. Imagem 2. Triângulo ABC com lado AC dobrado de modo que o ponto C esteja sobre o lado AC e a dobra contenha o vértice B e seja perpendicular ao lado AC. O ponto da dobra é chamado H2. Imagem 3. Triângulo ABC com lado AB dobrado de modo que o ponto B esteja sobre o lado AB e a dobra contenha o vértice C e seja perpendicular ao lado AB. O ponto da dobra é chamado H3. Imagem 4. Triângulo ABC com os segmentos AH1, BH2 e CH3 destacados. A intersecção desses segmentos definem o ponto H.

Página 91

b) Triângulo retângulo

Figura geométrica. Triângulo ABC com destaque para os lado AC e AB, e para o vértice A. Está destacado o segmento AH1 que é perpendicular ao lado BC.

•

{\overline{A H}}_{1}

é a altura relativa ao lado

\overline{B C}

•

\overline{B A}

é a altura relativa ao lado

\overline{A C}

•

\overline{C A}

é a altura relativa ao lado

\overline{A B}

• a é o ortocentro do triângulo á bê cê.

Nesse caso, uma das alturas coincide com o lado

\overline{A B}

; outra altura, com o lado

\overline{A C}

; e o ortocentro, com o vértice a.

c) Triângulo obtusângulo

Figura geométrica. Triângulo obtusângulo ABC. A altura relativa ao lado AC, define o ponto H2 nesse lado do triângulo. A altura relativa ao lado AB, define o ponto H3 que está fora do lado do triângulo. A altura relativa ao lado BC, define o ponto H1 que está fora do lado do triângulo. O prolongamento dos segmentos AH1, BH2 e CH3 definem o ponto H que está fora do triângulo.

•

{\overline{A H}}_{1}

é a altura relativa ao lado

\overline{B C}

•

{\overline{B H}}_{2}

é a altura relativa ao lado

\overline{A C}

•

{\overline{C H}}_{3}

é a altura relativa ao lado

\overline{A B}

• H é o ortocentro do triângulo á bê cê.

Nesse caso, as retas suporte das alturas de um triângulo obtusângulo encontram-se na região externa do triângulo.

Desafio

Sabendo que

\overline{A D}

é a altura relativa ao lado

\overline{B C}

do triângulo á bê cê, calcule a medida de abertura do ângulo

C \hat{A} D

Figura geométrica. Triângulo ABC com ângulo 50 graus em B e 40 graus em C. Altura relativa ao lado BC determina o ponto D.

Intersecção das bissetrizes: incentro

As bissetrizes de um triângulo são os segmentos que dividem os seus ângulos internos em dois ângulos congruentes e têm uma extremidade em um dos vértices do triângulo e a outra no lado oposto a esse vértice.

Observe como construir, usando régua e compasso, uma das bissetrizes de um triângulo.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Ilustração. Figura 1. Triângulo DEF. Mão de uma pessoa com o compasso aberto com a ponta-seca em D, traça um arco que define os pontos P em DF e Q em DE.
Abaixo está escrito: Para obter a bissetriz relativa ao ângulo F DE, podemos seguir os passos vistos na página 66: com a ponta-seca do compasso no vértice D e uma abertura qualquer, traçamos um arco que cruze os dois lados do triângulo que apresentam o vértice D, obtendo dois pontos, P e Q.

Ilustração. Figura 2. Triângulo DEF. Mão de uma pessoa com o compasso aberto com a ponta-seca em Q traça um arco fora do triângulo. O mesmo foi feito com a ponta-seca no ponto P e determina o ponto G, fora do triângulo, na intersecção desses arcos.
Abaixo está escrito: Traçamos dois arcos com a mesma abertura, um com a ponta-seca em P e o outro em Q. Na intersecção desses arcos, obtemos um ponto G.

Ilustração. Figura 3. Triângulo DEF. Mão de uma pessoa segurando uma régua sobre D e G, traçando um segmento de reta, que ao interceptar o lado EF determina o ponto H.
Abaixo está escrito: Traçamos a semirreta DG. A intersecção dessa semirreta com o lado EF determina um ponto H. DH é a bissetriz do triângulo relativa ao ângulo FDE .

Respostas e comentários

Desafio: 50graus

Orientações e sugestões didáticas

• Resolução do boxe Desafio:

Observando o triângulo á dê cê, temos que o ângulo

A \hat{D} B

é externo a ele e sua abertura mede 90graus. Desse modo, utilizando a relação de um ângulo externo e dois ângulos internos não adjacentes, podemos fazer:

medida de(

C \hat{A} D

) + 40graus = 90graus

medida de(

C \hat{A} D

) = 50graus

Logo,

C \hat{A} D

mede 50graus.

• Para obter as bissetrizes e sua intersecção (incentro) com dobraduras de papel, peça aos estudantes que recortem triângulos quaisquer (inicialmente triângulos escalenos e acutângulos) e sigam o procedimento indicado a seguir.

Dobrar de modo que um lado fique sobreposto a outro, obtendo as bissetrizes internas

\overline{A S_{1}}

\overline{B S_{2}}

\overline{C S_{3}}

, além do incentro I do triângulo.

Figura geométrica. Sequência de imagens.
Imagem 1. Triângulo ABC com o lado BC dobrado de modo que o ângulo A seja dividido em duas partes iguais. S1 é o ponto que divide o segmento BC em duas partes.
Imagem 2. Triângulo ABC com o lado AC dobrado de modo que o ângulo B seja dividido em duas partes iguais. S2 é o ponto que divide o segmento AC em duas partes.
Imagem 3. Triângulo ABC com o lado AB dobrado de modo que o ângulo C seja dividido em duas partes iguais. S3 é o ponto que divide o segmento AB em duas partes.
Imagem 4. Triângulo ABC. Segmento AS1 é bissetriz do ângulo A. Segmento BS2 é bissetriz do ângulo B. Segmento CS3 é bissetriz do ângulo C. O encontro dos três segmentos determinam o ponto I.

Página 92

O ponto de encontro das três bissetrizes de um triângulo é denominado incentro.

No triângulo á bê cê a seguir:

Figura geométrica. Triângulo ABC. AI1 divide o ângulo A em dois ângulos congruentes de medida alfa. BI2 divide o ângulo B em dois ângulos congruentes de medida beta. CI3 divide o ângulo C em dois ângulos congruentes de medida gama.
A intersecção dos segmentos AI1, BI2, CI3 determinam o ponto I.

•

{\overline{A I}}_{1}

é a bissetriz relativa ao ângulo

B \hat{A} C

;

•

{\overline{B I}}_{2}

é a bissetriz relativa ao ângulo

A \hat{B} C

;

•

{\overline{C I}}_{3}

é a bissetriz relativa ao ângulo

A \hat{C} B

;

• ih é o incentro do triângulo á bê cê.

Circunferência inscrita a um triângulo

A bissetriz equidista dos lados que formam o ângulo, e como o incentro é a intersecção das bissetrizes, esse ponto é equidistante dos três lados do triângulo. Portanto, a medida de distância é sempre a mesma entre o incentro e qualquer um dos lados do triângulo.

Figura geométrica. Triângulo ABC. I é o incentro. Segmentos AI, BI e CI.
A partir do incentro há segmentos tracejados que são perpendiculares aos lados dos triângulos e definem os pontos P, Q e R de modo que P pertence ao segmento AB, Q pertence ao segmento AC e R pertence ao segmento BC.
Ao lado está escrito: I é o incentro do triângulo ABC. IR é congruente a IP que é congruente a IQ.

Observação

Usamos o símbolo

para indicar a congruência entre dois segmentos, entre dois ângulos ou entre dois polígonos.

Assim, podemos traçar uma circunferência de centro ih e raio

\overline{IP}

, que contém apenas um ponto em comum com cada lado do triângulo. Essa circunferência é inscrita ao triângulo.

Intersecção das mediatrizes: circuncentro

As mediatrizes de um triângulo são as mediatrizes de cada um de seus lados, ou seja, são as retas perpendiculares aos seus lados que passam pelo ponto médio do lado correspondente.

Observe como construir, usando régua e compasso, uma das mediatrizes de um triângulo.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Ilustração. Figura 1. Triângulo ABC. Mão de uma pessoa com o compasso aberto com a ponta-seca em B traça arco que corta AB.
Ao lado está escrito: Para traçar a mediatriz do lado AB, basta seguir os procedimentos estudados na página 62 para construir a mediatriz de um segmento: com a ponta-seca do compasso no vértice B e abertura maior que a metade da medida de comprimento do lado AB, traçamos um arco.

Orientações e sugestões didáticas

• Por meio das construções feitas com papel é possível verificar experimentalmente algumas propriedades, como o fato de o incentro ser equidistante dos três lados do triângulo. Peça aos estudantes que tracem a circunferência inscrita ao triângulo que construíram.

• Oriente os estudantes para terem cuidado com o manuseio do compasso para a realização do trabalho proposto, a fim de que evitem acidentes.

• Proponha aos estudantes que obtenham as mediatrizes de triângulos quaisquer e sua intersecção (circuncentro) utilizando um software de Geometria dinâmica. Depois, oriente-os a verificar experimentalmente que esse ponto é equidistante dos três vértices dos triângulos e a construir a circunferência circunscrita a ele.

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Ilustração. Figura 2. Triângulo ABC. Mão de uma pessoa com o compasso aberto com a ponta-seca em A, traça arco que corta AB. a intercessão com o arco traçado no passo anterior, define os pontos E acima do segmento AB e ponto F abaixo dele.
Abaixo está escrito: Com a mesma abertura e a ponta-seca no vértice A, traçamos outro arco que cruza o primeiro, obtendo dois pontos, E e F.

Figura geométrica. Figura 3. Triângulo ABC. Reta definida pelos pontos E e F perpendicular ao segmento AB, determina o ponto M no lado AB.
Abaixo está escrito: Traçamos a reta que passa pelos pontos E e F. Essa reta é a mediatriz do triângulo relativa ao lado AB , e M é o ponto médio desse lado.

Um triângulo tem três mediatrizes. A intersecção delas determina um ponto chamado circuncentro.

No triângulo á bê cê:

Figura geométrica. Triângulo ABC. M1 é reta perpendicular a BC que passa pelo seu ponto médio. M2 é reta perpendicular a AC que passa pelo seu ponto médio. M3 é reta perpendicular a AB que passa pelo seu ponto médio. As retas M1, M2 e M3 se interceptam e determinam o ponto O.

• míndice 1 é a mediatriz relativa ao lado

\overline{B C}

;

• míndice 2 é a mediatriz relativa ao lado

\overline{A C}

;

• míndice 3 é a mediatriz relativa ao lado

\overline{A B}

;

• óh é o circuncentro do triângulo á bê cê.

Circunferência circunscrita a um triângulo

Cada mediatriz equidista dos extremos do segmento, e como o circuncentro é a intersecção das mediatrizes, esse ponto é equidistante dos três vértices do triângulo. Portanto, a distância entre o circuncentro e qualquer um dos vértices do triângulo é sempre a mesma.

Assim, podemos traçar uma circunferência de centro óh e raio

\overline{AO}

que passa pelos três vértices do triângulo. Essa circunferência é circunscrita ao triângulo.

Figuras geométricas. Três triângulos ABC, cada um com as três mediatrizes determinando o ponto O. Nos três triângulos, circunferência circunscrita de centro O que passa pelos vértices A, B e C e tem raio A O, B O e C O.
À esquerda, triângulo acutângulo verde em que o ponto O é interno ao triângulo e estão traçados os segmentos A O, B O e C O.
Ao centro, triângulo retângulo azul em que o ponto O é o ponto médio do lado BC, que é oposto ao ângulo reto A. À direita, triângulo obtusângulo rosa em que o ponto O é externo ao triângulo.

Ilustração. Jovem de cabelo roxo, óculos redondos e camiseta amarela. Ela está apoiada sobre uma mesa com folhas brancas. Na folha a frente dela está desenhado um círculo, com um lápis na mão esquerda e diz: Em alguns triângulos, assim como ocorre com o ortocentro, o circuncentro pode estar localizado na região externa, como neste triângulo rosa.

Orientações e sugestões didáticas

• Após fazer as construções em triângulos escalenos e acutângulos, oriente os estudantes a investigar esses mesmos elementos em triângulos retângulos, em triângulos obtusângulos e em triângulos isósceles e equiláteros. Eles deverão observar alguns casos curiosos, como o do triângulo obtusângulo, cujo ortocentro é um ponto externo ao triângulo, o do triângulo retângulo, cujo ortocentro é o vértice do ângulo reto, e o do triângulo equilátero, cujos baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro coincidem.

Página 94

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

1. Um quadro ficará em posição de equilíbrio se o ponto pelo qual for pendurado estiver na mesma linha vertical que seu centro de gravidade.

Figura geométrica. Triângulo escaleno obtusângulo azul com vértice indicado oposto ao menor lado. Triângulo isósceles verde com o vértice oposto a um dos lados não congruentes destacado.Triângulo escaleno retângulo, com o vértice do ângulo reto em destaque.

• Qual dos quadros triangulares apresentados fica em equilíbrio quando pendurado pelo ponto indicado?

2. Durante a construção de um condomínio formado por três prédios, a construtora pretende estocar os materiais em local que esteja à mesma distância dos três prédios. Sabendo que esses prédios não estarão alinhados, qual é o ponto mais próximo dos três?

3. No triângulo á bê cê,

\overset{\leftrightarrow}{A D}

é a mediatriz e

\overline{A D}

é a altura relativas ao lado

\overline{B C}

Figura geométrica. Triângulo ABC. A reta AD é mediatriz do lado BC, de modo que o ponto D dista 2 centímetros do vértice C. O lado AB mede 4 centímetros, o lado AC mede 4 centímetros, e o ângulo interno em C mede 60 graus.

a) Qual é a medida de abertura do ângulo

D \hat{A} C

b) Qual é a medida do perímetro do triângulo á bê cê, ou seja, a soma das medidas de comprimento de seus lados?

4. Calcule a medida do perímetro do triângulo sabendo que

\overline{E M}

é a mediana relativa ao lado

\overline{B C}

Figura geométrica. Triângulo EBC a mediana que parte do ponto E define o ponto M no segmento BC. EC mede x mais 1, CM mede 2x menos 2, BM mede x mais 3, EB mede 2x mais 3.

5. Construa um triângulo equilátero e encontre o baricentro, o ortocentro e o incentro dele.

a) O que você observou?

Converse com um colega, e verifiquem se vocês chegaram à mesma conclusão.

Reúna-se com um colega e leiam o texto.

Em um triângulo qualquer, o incentro (I) do triângulo é único.

Figura geométrica. Triângulo qualquer azul com as bissetrizes traçadas e o ponto I, incentro.

Por isso, é possível traçar apenas uma circunferência inscrita nesse triângulo.

Figura geométrica. Triângulo com circunferência inscrita com centro em I.

Agora, respondam no caderno.

• Dada uma circunferência, é possível traçar apenas um triângulo, de maneira que essa circunferência seja inscrita nele?

4 Congruência

Dizemos que segmentos congruentes são aqueles que têm mesma medida de comprimento, e ângulos congruentes, os que têm mesma medida de abertura. Agora, vamos ampliar o estudo sobre a congruência de duas figuras planas.

Respostas e comentários

1. o quadro verde

2. O circuncentro do triângulo com vértices nos três prédios.

3. a) 30graus

3. b) 12 centímetros

4. 35

5. a) Os três pontos coincidem.

5. b) Espera-se que os estudantes concluam que as construções feitas por eles sugerem que nos triângulos equiláteros, o baricentro, o ortocentro e o incentro são pontos coincidentes.

6. Resposta na seção Resoluções neste manual.

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 2, espera-se que os estudantes tracem um triângulo pelos três pontos que representam os prédios e as respectivas mediatrizes desse triângulo. Dessa maneira, é possível obter o ponto C (circuncentro do triângulo) que é equidistante dos vértices do triângulo.

• Na atividade 4, é necessário determinar o valor de x para calcular a medida do perímetro do triângulo . Os estudantes devem estar atentos à informação de que

\overline{E M}

é a mediana relativa ao lado

\overline{B C}

. Verifique se eles já estão familiarizados com o termo “mediana” e, se necessário, retome o conceito com a turma.

Congruência

Objetivo

• Compreender o conceito de congruência de triângulos e reconhecer triângulos congruentes segundo um dos casos: éle á éle, éle éle éle, á éle á , e éle á á ó.

Orientações

• Neste tópico, são propostas diferentes situações que exploram os casos de congruência de triângulos. Os casos são: éle á éle, éle éle éle, á éle á , éle á á ó e o do triângulo retângulo.

Página 95

Para entender o conceito de congruência de duas figuras, imagine que seja possível “deslocar” uma delas até que fique perfeitamente sobreposta à outra. Essa é a ideia da congruência.

Dizemos que dois polígonos são congruentes quando atendem simultaneamente a estas duas condições:

• os lados correspondentes são congruentes;

• os ângulos correspondentes são congruentes.

Observe os triângulos na malha quadriculada a seguir.

Figuras geométricas. Malha quadriculada com triângulo ABC. Ao lado, triângulo DEF, idêntico ao anterior.

Os lados correspondentes são congruentes:

\overline{AB} ≅ \overline{DE}, \overline{BC} ≅ \overline{EF} e \overline{CA} ≅ \overline{FD}

Os ângulos correspondentes são congruentes:

\hat{A} ≅ \hat{D}, \hat{B} ≅ \hat{E} e \hat{C} ≅ \hat{F}

Logo, o triângulo á bê cê é congruente ao triângulo dê ê éfe. Indicamos essa congruência assim:

△á bê cê ≅ △dê ê éfe

Note que, para concluir que os triângulos são congruentes, verificamos as congruências entre os lados correspondentes e entre os ângulos correspondentes. Porém, não é necessário checar todas essas medidas: se verificarmos a congruência de alguns elementos, escolhidos convenientemente, a congruência dos outros já estará garantida.

É importante observar que há uma ordem correta para representar a congruência. Devemos escrever os vértices na ordem em que ocorrem as correspondências dos ângulos e dos lados.

No exemplo anterior, o triângulo á bê cê não é congruente ao triângulo éfe dê é, pois os ângulos

\hat{A} e \hat{F}, \hat{B} e \hat{D}, \hat{C} e \hat{E}

não são congruentes, assim como não são congruentes os lados

\overline{A B}

\overline{F D}

\overline{B C}

\overline{D E}

, e

\overline{C A}

\overline{E F}

A seguir, veremos casos em que se relacionam condições mínimas para garantir a congruência de dois triângulos.

Casos de congruência de triângulos

Caso lado-ângulo-lado (éle á éle)

Dois triângulos são congruentes se têm um ângulo correspondente congruente e os dois lados correspondentes que formam esse ângulo também congruentes.

• Lado

Ilustração. Seta azul apontando da esquerda para a direita.

\overline{AB} ≅ \overline{XY}

• Ângulo

\hat{B} ≅ \hat{Y}

• Lado

\overline{B C} ≅ \overline{YZ}

Então: △á bê cê ≅ △XYZ

Orientações e sugestões didáticas

• Ao trabalhar o conceito de congruência de triângulos, pode-se comentar com os estudantes que o modo usual de representar que dois triângulos, á bê cê e , são congruentes (á bê cê≅ ) indica que o vértice a corresponde ao vértice á linha, o vértice bê corresponde ao vértice e o vértice cê corresponde ao vértice .

Página 96

Lembre-se: Escreva no caderno!

Caso lado-lado-lado (éle éle éle)

Dois triângulos que têm os três lados correspondentes congruentes são congruentes.

• Lado

\overline{A B} ≅ \overline{L M}

• Lado

\overline{B C} ≅ \overline{M N}

• Lado

\overline{C A} ≅ \overline{N L}

Logo: △á bê cê ≅ △LMN

Exemplo

Vamos verificar se os triângulos á bê cê e cê dê á a seguir são congruentes.

• Lado

A bê = CD = 4

• Lado

BC = dê á = 3

• Lado

á cê = 5 (

\overline{A C}

é comum aos dois triângulos)

Logo: △á bê cê ≅ △cê dê á

Para pensar

Observe os triângulos á bê cê e pê quê érre.

Figuras geométricas. Triângulo escaleno obtusângulo ABC. O lado AB mede 2 vírgula 1 centímetros. O lado BC mede 2 vírgula 8 centímetros. Ângulo C mede 30 graus. Ao lado, triângulo PQR. O lado PQ mede 2 vírgula 1 centímetros, o lado QR mede 2 vírgula 8 centímetros, e o ângulo R mede 30 graus.

a) Os triângulos têm dois lados correspondentes congruentes?

b) Os triângulos têm um ângulo correspondente congruente?

c) Podemos dizer que esses triângulos são congruentes pelo caso éle á éle? Justifique.

Caso ângulo-lado-ângulo (á éle á )

Dois triângulos são congruentes se têm, respectivamente, um lado congruente e os dois ângulos adjacentes a esse lado também congruentes.

Observe os triângulos á bê cê e a seguir.

• Ângulo

\hat{B} ≅ \hat{T}

• Lado

\overline{BC} ≅ \overline{TU}

• Ângulo

\hat{C} ≅ \hat{U}

Então: △á bê cê ≅ △

Respostas e comentários

Para pensar: a) sim; b) sim; c) Não, pois pelo caso éle á éle, o ângulo congruente deve estar compreendido entre os lados congruentes, o que não acontece neste caso.

Orientações e sugestões didáticas

• Comente com os estudantes que, para verificar que dois triângulos são congruentes, não é preciso verificar as seis congruências, três entre lados e três entre ângulos. Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes. Ao apresentar os casos de congruência de triângulos, enfatize que é necessário verificar apenas a congruência de três pares de elementos correspondentes em determinada ordem.

• É interessante também comentar com os estudantes que os casos de congruência de triângulos podem ser aplicados para determinar elementos desconhecidos nos triângulos e para demonstrar algumas propriedades importantes da Geometria.

• No item c do Bócsi Para pensar, espera-se que os estudantes percebam que a ordem dos elementos congruentes deve ser respeitada para que os dois triângulos sejam congruentes. Nesse caso, para os triângulos serem congruentes, os ângulos congruentes deveriam ser aqueles formados entre os lados de medidas de comprimento 2,1 centímetros e 2,8 centímetros. Portanto, apesar de os triângulos terem dois lados congruentes e um ângulo congruente, o triângulo á bê cê não é congruente ao triângulo PQR.

Página 97

Exemplo

Vamos verificar se os triângulos á bê cê e é dê cê a seguir são congruentes.

• Ângulo

medida de(

A \hat{B} C

) = medida de(

E \hat{D} C

) = 45graus

• Lado

BC = DC = 3

• Ângulo

medida de(

B \hat{C} A

) = medida de(

D \hat{C} E

) = 60graus

Então: △á bê cê ≅ △é dê cê

Recorde

Quando dois ângulos têm o vértice comum e os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro, eles são denominados opostos pelo vértice (ó pê vê). Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.

Na figura do exemplo anterior, os ângulos

B \hat{C} A

D \hat{C} E

são congruentes porque são opostos pelo vértice (ó pê vê).

Para analisar

Observe os triângulos á bê cê e dê ê éfe.

Figuras geométricas. Triângulo ABC com medida do segmento AB igual a 2 centímetros e ângulo de 45 graus em A e 30 graus em C. Ao lado, triângulo DEF com DF medindo 2 centímetros, ângulo D medindo 45 graus e ângulo F medindo 30 graus.

Podemos dizer que esses triângulos são congruentes pelo caso á éle á ? Justifique sua resposta no caderno.

Caso lado-ângulo-ângulo oposto (éle á á ó)

Dois triângulos são congruentes se têm um lado correspondente congruente e se um dos ângulos adjacentes a esse lado e o ângulo oposto a ele também forem congruentes aos respectivos ângulos correspondentes.

• Lado

\overline{B C} ≅ \overline{GH}

• Ângulo

\hat{B} ≅ \hat{G}

• Ângulo oposto

\hat{A} ≅ \hat{F}

Então: △á bê cê ≅ △FGH

Exemplo

Vamos verificar se os triângulos á bê cê e é dê cê a seguir são congruentes.

• Lado

A bê = ê de = 3

• Ângulo

med (B \hat{A} C) = med (D \hat{E} C) = 90°

• Ângulo oposto

med (D \hat{C} E) = med (B \hat{C} A) = 30°

Logo: △á bê cê ≅ △é dê cê

Respostas e comentários

Para analisar: Não, pois, pelo caso á éle á , o lado congruente deve ser o compreendido entre os ângulos congruentes correspondentes, o que não acontece nesse caso.

Orientações e sugestões didáticas

• É interessante que os estudantes observem que existem triângulos que não são congruentes, mas que têm dois ângulos correspondentes de mesma medida de abertura e um dos lados também de mesma medida de comprimento. Se julgar necessário, desenhe um exemplo no quadro.

• O boxe Para analisar permite que os estudantes observem que existem triângulos não congruentes que apresentam dois ângulos correspondentes de mesma medida de abertura e um dos lados também de mesma medida de comprimento. Enfatize que, para serem congruentes pelo caso á éle á , o comprimento do lado

\overline{A C}

do triângulo á bê cê teria de medir 2 centímetros.

Página 98

Caso especial do triângulo retângulo: hipotenusa-cateto ()

Sabemos que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto, ou seja, tem medida de abertura igual a 90graus.

Em um triângulo retângulo, os lados recebem nomes especiais:

• os lados que determinam o ângulo reto são denominados catetos;

• o lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa.

Figura geométrica. Triângulo retângulo com indicação de catetos, que são os lados do ângulo reto e a hipotenusa que é o lado do triângulo oposto ao ângulo reto.

Os outros casos de congruência estudados podem ser aplicados a qualquer tipo de triângulo, mas o caso a seguir só pode ser utilizado em triângulos retângulos.

Dois triângulos retângulos são congruentes se um tem um dos catetos e a hipotenusa congruentes aos lados correspondentes do outro.

Figuras geométricas. Triângulo retângulo ABC, reto em B, com destaque para o lado AC e BC de medidas diferentes.
Triângulo retângulo JKL, reto em K, com destaque para o lado LK e JL, de medidas diferentes.
Os lados CA e JL são congruentes e são a hipotenusa.
Os lados BC e KL são congruentes e são catetos.

• Hipotenusa

\overline{AC} ≅ \overline{JL}

• Cateto

\overline{BC} ≅ \overline{KL}

Então: △á bê cê ≅ △JKL

Exemplo

Vamos verificar se os triângulos á bê cê e são congruentes.

Figuras geométricas. Triângulo ABC com lado AB medindo 5 e lado AC medindo 3. Ao lado, triângulo DEF com lado FE medindo 5 e lado DF medindo 3.

• Cateto

á cê = FD = 3

• Hipotenusa

A bê = éfe ê = 5

Logo: △á bê cê ≅ △

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Entre as figuras a seguir, encontre os pares de triângulos congruentes e indique o caso de congruência que se aplica a eles.

Figuras geométricas. A. Triângulo com as medidas: 6 centímetros, 10 centímetros, 8 centímetros.
B. Triângulo com ângulos internos medindo 40 graus e 60 graus, o lado entre esses dois ângulos mede 9 vírgula 2 centímetros.
C. Triângulo com ângulos internos medindo 60 graus, 75 graus e 45 graus.
D. Triângulo com ângulos internos medindo 60 graus, 75 graus e 45 graus.
E. Triângulo com ângulos internos medindo 60 graus e 40 graus, o lado entre esses dois ângulos mede 9 vírgula 2 centímetros.
F. Triângulo com lados medindo: 6 centímetros, 10 centímetros, 8 centímetros.

Respostas e comentários

1. a e F: éle éle éle; B e ê: á éle á

Orientações e sugestões didáticas

• Depois do estudo dos casos de congruência de triângulos, peça aos estudantes que verbalizem o que aprenderam, apresentando suas conclusões e sínteses para os colegas. Esse é um momento de avaliar o que aprenderam e o modo como se comunicam matematicamente.

• Se necessário, na atividade 1, observe com os estudantes que a a a (ângulo-ângulo-ângulo) não é um caso de congruência de triângulos.

Página 99

2. Em cada figura a seguir há um par de triângulos congruentes. Identifique esses triângulos e indique o caso de congruência. Justifique sua resposta.

Figura geométrica. Paralelogramo ABDC dividido em dois triângulos ABC e BCD. O ângulo ABC mede x, o ângulo BCD mede x, os segmentos AB e CD são congruentes.

Figura geométrica. Triângulo isósceles ABD. BC é bissetriz do ângulo B e é altura relativa ao lado AD. o ângulo ABC e DBC medem x.

3. Copie no caderno as afirmações verdadeiras.

a) Se dois triângulos têm os três ângulos respectivamente congruentes, eles são congruentes.

b) Para construir um triângulo retângulo, basta conhecer a medida dos dois catetos.

c) Dois triângulos retângulos que têm os catetos congruentes são congruentes.

4. Determine a medida x em cada caso.

Figura geométrica. Triângulo com ângulo de 60 graus e lados desse ângulo medindo 2 e 4. Com vértice em comum de modo que o ângulo correspondente a ele seja oposto pelo vértice, um triângulo com medida de ângulo 60 graus e os lados desse ângulo medem 4 e x.

Figura geométrica. Triângulo isósceles com lados congruentes medindo 5, altura relativa ao lado não congruente medindo 3. A base de um desses triângulos determinado pela altura mede 4 e o outro lado mede x.

Figura geométrica. Dois triângulos com um lado comum, ângulo interno de 15 graus determinado pelo lado comum e um lado que mede 5, o ângulo oposto ao lado comum mede x.

Figuras geométricas. Triângulos retângulos
com os catetos correspondentes congruentes. À esquerda, triângulo com hipotenusa medindo 6. À direita, triângulo anterior com hipotenusa medindo x.

Observe os triângulos formados na figura a seguir e identifique os triângulos congruentes sabendo que r // s // t e que a // b.

Esquema. Três retas horizontais paralelas: r, s e t. e duas retas transversais: a e b. Entre as retas r e s são determinados dois quadriláteros ABDC e BEFD, com os pontos A, B e E na reta r e os pontos C, D e F na reta s. A diagonal BC determinada pela reta b divide o quadrilátero ABDC em dois triângulos não congruentes. O triângulo ABC é reto em A.
A diagonal DE determinada pela reta a divide o quadrilátero BEFD em dois triângulos não congruentes. O triângulo DEF é reto em F.
Entre as retas s e t são determinados um triângulo DFG e um losango CDGH, em que os pontos G e H estão na reta t.
Os lados BE, CD, DG, CH e HG são congruentes. Os lados AB e DF são congruentes.

5 Triângulos isósceles e triângulos equiláteros

Como vimos, os triângulos podem ser classificados conforme a medida de comprimento de seus lados. Nessa classificação, o triângulo equilátero é aquele que tem todos os lados congruentes; já o triângulo isósceles é aquele que tem dois lados congruentes. Então, podemos dizer que todo triângulo equilátero também é isósceles.

No caso de um triângulo isósceles não equilátero, o lado não congruente é denominado base do triângulo. Quando o triângulo isósceles é equilátero, qualquer um dos lados pode ser considerado base.

Observe o triângulo isósceles á bê cê a seguir.

Figura geométrica. Triângulo isósceles ABC. Com indicação que os lados AB e AC são congruentes.

Nesse triângulo:

• os lados congruentes são

\overline{AB} e \overline{AC}

;

• a base é

\overline{B C}

;

• os ângulos da base são

\hat{B} e \hat{C}

Vamos estudar algumas propriedades dos triângulos isósceles e dos triângulos equiláteros.

Respostas e comentários

2. a) △á bê cê ≅ △DCB

caso éle á éle

• lado:

\overline{AB} ≅ \overline{DC}

• ângulo:

A \hat{B} C ≅ D \hat{C} B

• lado:

\overline{B C}

(lado comum)

2. b) △á bê cê ≅ △DBC

caso á éle á

• ângulo:

A \hat{B} C ≅ D \hat{B} C

• lado:

\overline{B C}

(lado comum)

• ângulo:

A \hat{C} B ≅ D \hat{C} B

3. alternativas b e c

4. a) 2; b) 4; c) 30graus; d) 6

5. △CHG ≅ △GDC (éle éle éle); △CDB ≅ △ (éle á éle); △á bê cê ≅ △éfe dê é ()

Orientações e sugestões didáticas

• A atividade 5 merece uma atenção especial, pois envolve vários triângulos e exige que os estudantes coloquem em prática diferentes conhecimentos discutidos nas aulas. É interessante que eles possam realizar a atividade em grupos para trocar ideias e comparar caminhos de resolução. Destaque que não há medidas numéricas para as medidas de comprimento dos lados na ilustração, mas há símbolos que representam congruência.

Triângulos isósceles e triângulos equiláteros

Objetivo

• Reconhecer e demonstrar propriedades dos triângulos isósceles e equilátero.

Orientações

• Para que os estudantes aprimorem seus conhecimentos sobre triângulos e suas propriedades, nessa etapa dois tipos de triângulo ganham destaque: o isósceles e o equilátero.

Página 100

Propriedade dos ângulos da base de um triângulo isósceles

Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.

Acompanhe a demonstração dessa propriedade.

Considere o △á bê cê, com

\bar{A B} ≅ \bar{A C}

, sendo

\bar{A I}

a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{A}

Nos triângulos á í bê e á í cê:

Figura geométrica. Triângulo isósceles ABC e segmento AI a bissetriz do ângulo A, que também é altura relativa ao lado BC. Indicação dos lados AB e AC que são congruentes.

•

\bar{A I}

é comum

lado;

•

I \hat{A} B ≅ I \hat{A} C

, pois

\overline{A I}

é bissetriz

ângulo;

•

\bar{A B} ≅ \bar{A C}

, pois o triângulo é isósceles

lado.

Portanto, pelo caso éle á éle: △á í bê ≅ △á í cê

Como os triângulos á í bê e á í cê são congruentes:

\hat{B} ≅ \hat{C}

Assim, concluímos que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Propriedade dos ângulos internos de um triângulo equilátero

Em qualquer triângulo equilátero, os três ângulos internos são congruentes a abertura de cada um mede 60graus.

Vamos demonstrar essa propriedade.

Observe o △á bê cê equilátero e a mediana

\overline{AM}

relativa ao lado

\overline{B C}

Nos triângulos á ême bê e á ême cê:

Figura geométrica. Triângulo ABC. Segmento AM é mediana relativa ao lado BC. Indicação de que os segmentos CM e MB são congruentes.

•

\overline{A M}

é comum

lado;

•

\overline{BM} ≅ \overline{CM}

, pois M é o ponto médio de

\overline{B C}

lado;

•

\bar{A B} ≅ \bar{A C}

, pois o △á bê cê é equilátero

lado.

Portanto, pelo caso éle éle éle: △á ême bê ≅ △á ême cê

Logo:

\hat{B} ≅ \hat{C}

(um)

Vamos, agora, traçar a mediana

\overline{B N}

relativa ao lado

\overline{A C}

Nos triângulos e :

Figura geométrica. Triângulo ABC. BN é mediana relativa ao lado AC. Indicação de que os segmentos AN e CN são congruentes.

•

\overline{BN}

é comum

lado;

•

\overline{AN} ≅ \overline{CN}

, pois N é o ponto médio de

\overline{A C}

lado;

•

\overline{B A} ≅ \overline{B C}

, pois o △á bê cê é equilátero

lado.

Portanto, pelo caso LLL: △ ≅ △BNC

Logo:

\hat{A} ≅ \hat{C}

(dois)

De um e dois vem:

\hat{A} ≅ \hat{B} ≅ \hat{C}

Como medida de(

\hat{A}

) + medida de(

\hat{B}

) + medida de(

\hat{C}

) = 180graus, então:

medida de(

\hat{A}

) = medida de(

\hat{B}

) = medida de(

\hat{C}

) = 60graus

Assim, demonstramos que os ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes e a abertura de cada um mede 60graus.

Orientações e sugestões didáticas

• Antes de apresentar a propriedade dos ângulos da base de um triângulo isósceles e a propriedade dos ângulos internos de um triângulo equilátero, proponha aos estudantes que investiguem essas propriedades utilizando um software de Geometria dinâmica. Propostas como essa colocam-nos como protagonistas de seu processo de aprendizagem e contribuem para que valorizem as demonstrações que serão feitas posteriormente.

• Demonstre cada uma dessas propriedades no quadro, incentivando a participação da turma. Em cada caso, é importante deixar claras as hipóteses e a tese. Enfatize os conceitos empregados e deixe que os estudantes identifiquem os triângulos congruentes.

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Informática e Matemática

faça as atividades no caderno

Investigando os pontos notáveis em um triângulo

Antes de apresentar a próxima propriedade, vamos utilizar um software de Geometria dinâmica para fazer algumas investigações.

ConstruA

Triângulo isósceles

Inicialmente, vamos construir um triângulo isósceles.

1º) Trace um segmento

\overline{A B}

qualquer.

2º) Trace a circunferência de centro em a passando por B.

3º) Escolha um ponto C qualquer nessa circunferência e trace o triângulo á bê cê.

Ilustração. Tela de software de geometria dinâmica. Acima, botões de comandos: mover, ponto, reta, reta perpendicular, polígono, circunferência, medida de ângulo, simetria. O comando polígono está selecionado e aparecem os comandos polígono e polígono regular. Na tela, circunferência de centro em A, e triângulo ABC, em que os vértices B e C, pertencem à circunferência.

Mesmo com a movimentação dos vértices, pela construção, esse triângulo será isósceles.

Triângulo equilátero

Agora, vamos construir um triângulo equilátero.

1º) Trace um segmento

\overline{D E}

qualquer.

2º) Trace a circunferência de centro em D passando por ê.

3º) Trace a circunferência de centro em ê passando por D.

4º) Em uma das intersecções das circunferências marque o ponto F e trace o triângulo dê ê éfe. Mesmo com a movimentação dos vértices D e ê, pela construção, esse triângulo será equilátero.

Orientações e sugestões didáticas

Informática e Matemática

Objetivos

• Investigar a posição dos pontos notáveis em triângulos isósceles e equiláteros.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um cinco, da competência geral 5 e da competência específica 2 da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um cinco da Bê êne cê cê ao propor aos estudantes que construam, usando software de Geometria dinâmica, um triângulo isósceles e um triângulo equilátero e, depois, investiguem os pontos notáveis desses triângulos.

Orientações

• Nesta seção, os estudantes deverão construir um triângulo isósceles e um triângulo equilátero, suas medianas, alturas, bissetrizes e mediatrizes e seus pontos notáveis (baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro).

Página 102

▶ Informática e Matemática

Pontos notáveis

Agora, usando o passo a passo visto neste Capítulo ou as ferramentas do software (alguns softwares contêm ferramentas que determinam pontos médios, mediatrizes, bissetrizes e retas perpendiculares), para cada um dos triângulos trace:

• as medianas do triângulo e o ponto G (baricentro), intersecção dessas medianas;

• as alturas do triângulo e o ponto H (ortocentro), intersecção dessas alturas;

• as bissetrizes do triângulo e o ponto I (incentro), intersecção dessas bissetrizes;

• as mediatrizes do triângulo e o ponto óh (circuncentro), intersecção dessas mediatrizes.

Usando uma ferramenta do software, esconda as construções auxiliares, deixando somente os triângulos e os pontos notáveis visíveis. No caso do triângulo isósceles, não esconda a mediatriz, a altura e a mediana relativas à base

\overline{B C}

e a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{A}

A maioria dos softwares tem uma ferramenta para esconder construções. Utilize esse recurso a cada passo para esconder os traçados auxiliares.

iInvestigue

a) Movimente os vértices do triângulo isósceles construído a fim de modificar sua configuração. O que acontece com a mediatriz, a altura e a mediana relativas à base

\overline{B C}

e a bissetriz relativa ao ângulo oposto?

b) Os pontos notáveis do triângulo isósceles estão alinhados? Isso acontece mesmo quando você movimenta o triângulo?

c) Movimente os vértices móveis do triângulo equilátero construído para modificar sua configuração. O que você observa em relação aos pontos notáveis de um triângulo equilátero?

Respostas e comentários

Investigue: a) A altura, a mediana e a bissetriz coincidem e estão contidas na reta que é a mediatriz relativa à base.

b) Espera-se que os estudantes percebam que em um triângulo isósceles os pontos notáveis estão sempre alinhados.

c) Espera-se que os estudantes percebam que os pontos notáveis coincidem.

Orientações e sugestões didáticas

• Em Investigue, os estudantes deverão movimentar os vértices dos triângulos construídos e verificar experimentalmente que a mediatriz, a altura e a mediana relativas à base e a bissetriz relativa ao ângulo oposto à base coincidem. Além disso, eles devem observar que os pontos notáveis estão alinhados no triângulo isósceles (não equiláteros), e que esses pontos coincidem no triângulo equilátero. É importante enfatizar que as investigações realizadas apenas sugerem que essas propriedades são válidas e que elas serão demonstradas nas páginas seguintes.

• O uso da tecnologia digital de fórma significativa contribui para o desenvolvimento da competência geral 5 da Bê êne cê cê. Além disso, essa atividade proporciona aos estudantes desenvolver o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 2 da Bê êne cê cê.

Página 103

Propriedade da mediana, da altura e da bissetriz de um triângulo isósceles

Em qualquer triângulo isósceles, a mediana relativa à base e a altura relativa à base coincidem com a bissetriz do ângulo do vértice oposto à base.

No triângulo á bê cê isósceles a seguir,

\overline{AB} ≅ \overline{AC}

e a mediana

\overline{A M}

é relativa à base

\overline{B C}

Figura geométrica. Triângulo isósceles ABC com mediana AM, relativa a base BC. Símbolos indicando congruência nos lados AC e AB e nos segmentos CM e BM.

Lembre-se: Escreva no caderno!

Vamos demonstrar, inicialmente, que

\overline{A M}

também é a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{A}

Considerando os triângulos á ême bê e á ême cê, podemos afirmar que:

•

\overline{A M}

é comum

lado;

•

\overline{BM} ≅ \overline{CM}

, pois M é o ponto médio de

\overline{B C}

lado;

•

\overline{AB} ≅ \overline{AC}

, pois o △á bê cê é isósceles

lado.

Portanto, pelo caso LLL: △á ême bê ≅ △á ême cê

Assim:

M \hat{A} B ≅ M \hat{A} C

Portanto,

\overline{A M}

é a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{A}

Agora, vamos demonstrar que

\overline{A M}

também é a altura relativa à base

\overline{B C}

Como foi demonstrado anteriormente, os triângulos á ême bê e á ême cê são congruentes.

Portanto,

A \hat{M} B ≅ A \hat{M} C

Além disso,

A \hat{M} B e A \hat{M} C

são suplementares. Então:

medida de(

A \hat{M} B

) + medida de(

A \hat{M} C

) = 180graus

medida de(

A \hat{M} B

) + medida de(

A \hat{M} B

) = 180graus

2 ⋅ medida de(

A \hat{M} B

) = 180graus

medida de(

A \hat{M} B

) = 90graus

Portanto,

\overline{A M}

é a altura relativa à base

\overline{B C}

Orientações e sugestões didáticas

• A propriedade da mediana, da altura e da bissetriz de um triângulo isósceles, investigada pelos estudantes na seção Informática e Matemática, agora deve ser demonstrada. Convém demonstrá-la no quadro com a colaboração da turma. Novamente, ressalta-se a importância de deixar claras as hipóteses e a tese. A identificação dos triângulos congruentes deve ficar a cargo dos estudantes.

• As demonstrações matemáticas geralmente são feitas com vocabulário próprio, diferente do que aquele com o qual os estudantes estão acostumados. Por essa razão, às vezes eles podem ter dificuldade de compreendê-las. Tenha isso em vista ao propor as demonstrações e verifique o entendimento dos estudantes durante a explicação.

Página 104

Observações

• Pela propriedade demonstrada, em um triângulo isósceles:

a) a mediatriz relativa à base é reta suporte da altura e da mediana relativas à base e da bissetriz do ângulo oposto;

b) os pontos notáveis são colineares.

Note nos triângulos a seguir a posição dos pontos óh (circuncentro), G (baricentro), ih (incentro) e H (ortocentro).

Figura geométrica. Triângulo escaleno PQR. Dentro, pontos: O, G, I, H que não são coincidentes.

Figura geométrica. Triângulo isósceles ABC. Dentro, pontos: O, G, I, H alinhados e pertencentes à mediatriz relativa ao lado BC.

• Como um triângulo equilátero é também isósceles, a mediatriz relativa a cada lado será reta suporte de cada bissetriz, mediana e altura. Assim, os pontos notáveis de um triângulo equilátero coincidem. Indicamos: H ≡ G ≡ I ≡ O

Figura geométrica. Triângulo equilátero DEF. Dentro, pontos: O, G, I, H que são coincidentes.

6 Justificativa de algumas construções com régua e compasso

Bissetriz

A bissetriz do ângulo

B \hat{O} C

a seguir foi construída como mostrado na página 66.

Figura geométrica. Ângulo BOC. Arco PQ que corta os lados OB e OC, respectivamente. Arcos traçados a partir dos pontos P e Q, determinam o ponto D, que por sua vez determina a bissetriz OD do ângulo BOC.

Vamos verificar que, de fato, com os passos realizados,

\vec{O D}

é a bissetriz do ângulo

B \hat{O} C

Podemos considerar dois triângulos: △ e △

Figura geométrica. Figura anterior com triângulos P O D e Q O D. O lado O P é congruente ao lado O Q, o lado PD é congruente ao lado QD.

Com base na construção realizada, sabemos que

\overline{OP} ≅ \overline{OQ}, \overline{PD} ≅ \overline{QD} e \overline{OD}

é lado comum aos triângulos. Logo, pelo critério éle éle éle: △ ≅ △

Então,

B \hat{O} D ≅

C \hat{O} D

e, portanto,

\vec{O D}

é a bissetriz do ângulo

B \hat{O} C

Orientações e sugestões didáticas

Justificativa de algumas construções com régua e compasso

Objetivos

• Justificar a construção com régua e compasso da bissetriz de um ângulo qualquer.

• Justificar a construção com régua e compasso de um ângulo com medida de abertura de 60graus.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um cinco da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um cinco da Bê êne cê cê ao propor aos estudantes que construam, usando instrumentos de desenho, a bissetriz e o ângulo com medida de abertura de 60graus.

Orientações

• No Capítulo 2, foram estudadas algumas construções com régua e compasso, e, neste tópico, algumas delas serão demonstradas. A construção da bissetriz, por exemplo, será demonstrada por meio da identificação de triângulos congruentes.

• Ao propor o uso de compasso, enfatize aos estudantes o cuidado com seu manuseio, a fim de evitar acidentes.

Página 105

Ângulo com medida de abertura de 60graus

O ângulo cuja abertura mede 60graus da figura foi construído como mostrado na página 67.

Figura geométrica. Ângulo AOB, com arco de centro em O e raio OB, determina o ponto P no lado OA do ângulo.

Vamos verificar que, com a construção realizada, a abertura do ângulo

A \hat{O} B

mede, de fato, 60graus.

Com base nos passos realizados na construção, sabemos que

\overline{OB} ≅ \overline{OP} ≅ \overline{PB} .

Logo, o triângulo ó pê bê é equilátero e, portanto, a abertura de seus ângulos internos mede 60graus. Então, medida de(

A \hat{O} B

) = 60graus.

Figura geométrica. Continuado a ilustração anterior, triângulo equilátero determinado pelos pontos OBP.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. O triângulo a seguir é isósceles. Determine o valor de a e de x, em grau.

Figura geométrica. Triângulo isósceles em que os ângulos das bases medem 55 graus e a, e o ângulo formado pelos lados congruentes mede x.

2. A abertura do ângulo do vértice a, oposto à base de um triângulo isósceles, mede 80graus. Quanto mede a abertura dos ângulos da base

\hat{B} e \hat{C}

3. Considerando o triângulo a seguir, em que BC = 28 centímetros, calcule no caderno:

a) a medida de abertura do ângulo interno

A \hat{B} C

;

b) a medida de comprimento do segmento

\overline{DC}

;

c) a medida de comprimento do segmento

\overline{AD}

Figura geométrica. Triângulo isósceles ABC, retângulo em A, o lado AB mede x, o lado AC mede x. O segmento AD é perpendicular ao lado BC.

4. Determine a medida x, em grau.

Figura geométrica. Reta horizontal. À esquerda triângulo equilátero acima da reta, abaixo da reta um triângulo cujo ângulo oposto ao lado referente a reta suporte mede x. Ao lado desse triângulo, acima da reta um triângulo equilátero congruente ao primeiro triângulo apresentado.

5. Determine x sabendo que o triângulo á bê cê, em cada item, é isósceles.

\overline{AI}

é a bissetriz relativa ao vértice a.

Figura geométrica. Triângulo isósceles ABC, com AI bissetriz do ângulo A, o segmento BI mede x e o segmento IC mede 3.

\overline{BM}

é a mediana relativa ao lado

\overline{A C}

do triângulo á bê cê.

Figura geométrica. Losango ABCD. M é o ponto médio do segmento AC, BD passa por M, ângulo BMC mede x.

Reúna-se com um colega e resolvam.

Dado um triângulo isósceles (

\overline{A F}

≅

\overline{A E}

) com um caminho de cinco segmentos congruentes A-B-C-D-E-F, ache a medida, em grau, [da abertura] do ângulo

\hat{A}

Figura geométrica. Triângulo AEF. C pertence ao lado AE, B e D pertencem ao lado AF. ABC é um triângulo isósceles com AB congruente a BC. BCD é um triângulo isósceles com BC congruente a DC. DEF é um triângulo isósceles com DE congruente a EF.

Milauskas, djêordji. Problemas de geometria criativos podem levar à resolução criativa de problemas criativos. In: (organizador). Aprendendo e ensinando geometria. tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1996. página 93.

Respostas e comentários

1. a = 55graus

x = 70graus

2. 50graus

3. a) 45graus

3. b) 14 centímetros

3. c) 14 centímetros

4. 60graus

5. a) 3

5. b) 90graus

6. 20graus

Orientações e sugestões didáticas

• Na resolução dessas atividades, solicite aos estudantes que registrem de fórma sucinta as ideias ou propriedades que utilizaram. A intenção não é que a descrição fique longa ou demasiadamente formal, mas apenas deixar claro o caminho percorrido para chegar a cada uma das soluções. Nesse sentido, contribui-se para que os estudantes aprimorem sua habilidade de comunicarem-se matematicamente.

• Se julgar conveniente, peça aos estudantes que avaliem se todas as medidas encontradas estão coerentes com as ilustrações apresentadas. Assim, eles mesmos poderão identificar possíveis falhas nos cálculos ou na interpretação.

Página 106

Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Leitura e interpretação de gráficos

Em muitas situações do dia a dia você deve ter visto diversos tipos de gráfico, como os de barras, os de setores, os de linhas e os pictogramas. Para que a informação seja transmitida de maneira clara, é preciso, entre outras coisas, que o tipo de gráfico seja adequado aos dados que contém.

Para interpretar um gráfico, é importante saber analisar seus elementos e usar o que você já sabe sobre o assunto abordado.

Fotografia. Vista de trás de uma mulher ruiva de cabelo crespo, de blusa cinza, com a mão direita no mouse, de frente para um monitor em que aparecem gráficos de barras, de linhas, de setores. — Pesquisadora analisando gráficos.

Observe os gráficos elaborados a partir de uma pesquisa publicada pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É).

Esquema. Título: POPULAÇÃO RESIDENTE NO BRASIL, POR COR OU RAÇA, EM 2 mil e 19. Gráfico de setores. Setor azul: Branca: 43 por cento. Setor vermelho: Preta: 9 por cento. Setor verde: Parda: 47 por cento. Setor roxo: Outra: 1 por cento. Gráfico em barras horizontais acumulada. Eixo y: Grandes regiões. Primeira barra: Norte. Branca: 19 vírgula 1 por cento. Preta: 7 vírgula 3 por cento. Parda: 72 vírgula 2 por cento. Outra: 1 vírgula 49 por cento. Segunda barra: Nordeste. Branca: 24 vírgula 7 por cento. Preta: 11 vírgula 9 por cento. Parda: 62 vírgula 5 por cento. Outra: 0 vírgula 9 por cento. Terceira barra: Sudeste: 50 vírgula 0 por cento. Preta: 9 vírgula 9 por cento. Parda: 39 vírgula 0 por cento. Outra: 1 vírgula 1 por cento. Quarta barra: Sul. Branca: 73 vírgula 2 por cento. Preta: 4 vírgula 6 por cento. Parda: 21 vírgula 3 por cento. Outra: 0 vírgula 9 por cento. Quinta barra: Centro-Oeste. Branca: 36 vírgula 2 por cento. Preta: 9 vírgula 2 por cento. Parda: 53 vírgula 4 por cento. Outra: 1 vírgula 2 por cento.

Fonte: í bê gê É. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua: características gerais dos domicílios e dos moradores 2019.

Ilustração. Menina de pele branca de cabelo amarrado castanho, óculos, camiseta verde e bermuda. Ela diz: No segundo gráfico, cada categoria é representada por uma barra (total de pessoas relacionado à cor ou à raça, por grandes regiões do Brasil), e cada barra é dividida de acordo com a porcentagem de cada categoria que se autodeclara branca, preta, parda ou de outra raça. Ao lado, menino de pele preta de cabelo preto, camiseta azul listrada e bermuda vermelha. Ele fala: Esse tipo de gráfico permite a comparação das respostas, como no gráfico de setores, e ainda facilita a comparação entre categorias, como no gráfico de barras.

Com base nos gráficos, podemos tirar várias conclusões. Leia algumas delas:

• a pesquisa foi realizada em 2019 pelo í bê gê É;

• no Brasil, 43% das pessoas se autodeclararam brancas, 9% pretas, 47% pardas e 1% de outra cor ou raça;

• a maioria dos brasileiros se autodeclarou parda;

• nas regiões Norte, Nordeste e Centro-Oeste mais da metade das pessoas se autodeclararam pardas;

• no Sul, 73,2% das pessoas se autodeclararam brancas;

• havia diferenças significativas entre as porcentagens de acordo com a cor ou a raça autodeclarada por grande região do Brasil.

Orientações e sugestões didáticas

Estatística e Probabilidade

Objetivos

• Ler e interpretar gráficos de diferentes tipos publicados pela mídia.

• Trabalhar com os Temas Contemporâneos Transversais Ciência e Tecnologia, da macroárea Ciência e Tecnologia; Educação Alimentar e Nutricional, da macroárea Saúde; e Educação para o Consumo, da macroárea Economia.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois três e das competências gerais 7 e 9 da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esta seção contribui para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois três da Bê êne cê cê porque trabalha a leitura e a interpretação de determinado conjunto de dados representados em gráficos.

Orientações

• O acesso à informação de maneira rápida e organizada é de grande importância na sociedade atual. Para oferecer esse tipo de informação, as diferentes mídias habitualmente se utilizam de informações visuais, entre elas os gráficos, para apresentar dados que abordam temas de interesse da população, como questões econômicas, políticas e esportivas, entre outras. É com base nessas informações, veiculadas pelos diferentes meios de comunicação, que o indivíduo faz previsões, toma decisões e se mantém informado. Nesse sentido, a proposta desta seção favorece o desenvolvimento da competência geral 7 da Bê êne cê cê.

• Busca-se proporcionar aos estudantes a experiência de ler e interpretar diferentes tipos de gráfico publicados pela mídia. A intenção é que eles desenvolvam um olhar crítico sobre as informações apresentadas pela mídia de modo que possam ler dados e realizar questionamentos necessários à sua interpretação.

(ê éfe zero oito ême ah dois três) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe o gráfico a seguir.

Gráfico de barras verticais. Título. ORÇAMENTO FEDERAL EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA, EM ANOS SELECIONADOS ENTRE 2 mil E 2 mil e 20. Eixo horizontal, ano. Eixo vertical, Valor (em milhões de reais) 2 mil: 12 mil 235. 2 mil e 6: 15 mil 794. 2 mil e 10: 21 mil 684 2 mil e 13: 27 mil 311 2 mil e 18: 19 mil 879 2 mil e 20: 17 mil 236.

Fonte: INSTITUTO DE PESQUISA ECONÔMICA APLICADA (ipéa). Políticas Públicas para Ciência e Tecnologia: cenário e evolução recente. Disponível em: https://oeds.link/iMhO6y. Acesso em: 2 agosto 2022.

Para pensar

Você acha importante que o governo federal invista mais em ciência e tecnologia no Brasil?

De acordo com as informações do gráfico, é incorreto afirmar que:

a) o orçamento no ano de 2020 foi menor que .20000 milhões de reais.

b) entre os anos apresentados, houve redução do orçamento somente entre 2018 e 2020.

c) a diferença entre o investimento em 2013 e em 2020 foi de .10075 milhões de reais.

d) entre os anos apresentados, o que teve maior investimento foi 2013.

e) o orçamento em 2000 foi menor que .15000 milhões de reais.

A segurança alimentar é a garantia de ter acesso pleno e permanente aos alimentos. Apesar de ser um direito do brasileiro assegurado por lei desde 2010, em 2020 mais da metade da população se encontrava em situação de insegurança alimentar, que pode ser classificada em leve, moderada ou grave, quando a fome passa a ser uma realidade.

Observe a seguir os dados apresentados sobre esta situação no Brasil ao longo dos anos.

Gráfico em linha. Título: POPULAÇÃO EM SEGURANÇA ALIMENTAR NO BRASIL. Eixo horizontal, ano. Eixo vertical, porcentagem. 2 mil e 4: 64 vírgula 8 por cento. 2 mil e 9: 69 vírgula 6 por cento. 2 mil e 13: 77 vírgula 1 por cento. 2 mil e 18: 63 vírgula 3 por cento. 2 mil e 20: 44 vírgula 8 por cento.

Fonte: REDE BRASILEIRA DE PESQUISA EM SOBERANIA E SEGURANÇA ALIMENTAR E NUTRICIONAL (Rede penssan). Inquérito Nacional sobre Insegurança Alimentar no Contexto da Pandemia da Covid-19 no Brasil. Disponível em: https://oeds.link/RmXi5B. Acesso em: 15 junho 2022.

Fotografia. Prato com arroz, feijão, carne e salada composta de alface, tomate, beterraba e cenoura.

Com base na análise do gráfico, não podemos afirmar que:

a) entre os anos apresentados, em 2020 houve o menor percentual da população brasileira em segurança alimentar.

b) a segurança alimentar da população brasileira aumentou de 2004 a 2009 e de 2009 a 2013.

c) em 2020 cêrca de 55,2% da população vivia algum tipo de insegurança alimentar.

d) em 2009, 69,6% da população brasileira vivia em insegurança alimentar.

e) de 2013 a 2020 houve uma queda de 32,3% da população brasileira em segurança alimentar.

Respostas e comentários

Para pensar: Resposta pessoal.

1. alternativa b

2. alternativa d

Orientações e sugestões didáticas

• Se achar conveniente, retome os tipos de gráfico estudados neste ano e em anos anteriores, enfatizando as situações em que o uso de um é mais adequado que o uso do outro. Além disso, convém retomar o conceito de porcentagem. Ao fazer essa ponte com os conhecimentos previamente adquiridos pela turma, pode-se contribuir para que realizem as atividades propostas com mais facilidade.

• Durante a realização das atividades 1 e 2, incentive os estudantes a explicar o porquê de as afirmações serem falsas ou verdadeiras.

• A temática proposta na atividade 1 possibilita desenvolver o Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, da macroárea Ciência e Tecnologia. Após resolver a atividade 1, proponha aos estudantes que reflitam sobre a pergunta do Bócsi Para pensar. Em seguida, peça a alguns deles que compartilhem suas opiniões com a turma. Promova um ambiente acolhedor, de modo que os estudantes sintam-se à vontade para colocar suas ideias e ouçam a opinião do colega com empatia e respeito. Assim, promove-se a competência geral 9 da Bê êne cê cê.

• Aproveite o tema da atividade 2 e converse com os estudantes sobre o aumento da fome no país e as possíveis causas para esse aumento, possibilitando, assim, o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação Alimentar e Nutricional, da macroárea Saúde.

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▶ Estatística e Probabilidade

3. O gráfico de barras a seguir apresenta o consumo médio doméstico per cápita de água nas macrorregiões do Brasil em 2020.

Gráfico de barras horizontais. Título CONSUMO MÉDIO PER CAPITA DE ÁGUA EM 2020. Eixo horizontal: Litros/habitante por dia. Eixo vertical: Macrorregiões. Os dados são aproximados. Norte: 140. Nordeste: 120. Centro-Oeste: 150. Sudeste: 175. Sul: 150.

Fonte: MINISTÉRIO DO DESENVOLVIMENTO REGIONAL; SECRETARIA NACIONAL DE SANEAMENTO – ésse ene ésse. Diagnóstico Temático Serviços de Água e Esgoto dezembro/2021: visão geral – ano de referência 2020. Disponível em: https://oeds.link/0LSZ5K. Acesso em: 15 junho 2022.

Fotografia. Mulher de cabelo castanho cacheado, camisa azul. Ela segura um copo com água e fala: Per capita significa 'por pessoa'. Segundo a Organização das Nações Unidas (ONU), cada pessoa necessita de cerca de 110 Litros de água por dia para consumo e higiene.

Com base nas informações do gráfico, é incorreto afirmar que, em 2020:

a) o consumo de água per capita no Sudeste era de mais de 150 litros.

b) os consumos de água per capita no Sul e no Centro-Oeste eram próximos a 150 litros.

c) o Sudeste era a região em que o consumo de água per capita em 2020 era maior.

d) o consumo de água per capita no Norte era maior do que 150 litros.

e) o Nordeste era a região em que o consumo de água per capita em 2020 era menor.

Para pensar

Você tem ideia de quanto gasta de água por dia? Que ações você pode tomar para diminuir o consumo de água em sua casa?

4. Analise o gráfico a seguir.

Gráfico de setores. Título: QUANTIDADE APROXIMADA DE BRASILEIROS POR FAIXA ETÁRIA EM 2019. Setor azul: De 0 a 9 anos: 12 vírgula 80 por cento. Setor vermelho: De 10 a 19 anos: 14 vírgula 60 por cento. Setor verde: De 20 a 39 anos: 30 vírgula 70 por cento. Setor rosa: De 40 a 59 anos: 26 vírgula 20 por cento. Setor amarelo: 60 anos ou mais: 15 vírgula 70 por cento.

Fonte: í bê gê É. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua: características gerais dos domicílios e dos moradores 2019.

a) Escreva um parágrafo com três conclusões sobre as informações contidas nesse gráfico.

Converse com dois colegas e comparem as conclusões que vocês escreveram. Caso as conclusões dos colegas sejam diferentes das suas, copie-as no caderno.

Respostas e comentários

3. alternativa d

Para pensar: Respostas pessoais.

4. a) Resposta pessoal.

4. b) Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Enfatize a importância de obter o título, a legenda e a fonte dos gráficos no processo de compreensão dos dados apresentados. Se achar pertinente, mostre para os estudantes os impactos da supressão dos títulos e das legendas.

• Se possível, converse com eles a respeito dos temas a que os gráficos se referem, de modo a possibilitar uma maior interação deles com os gráficos. O boxe Para pensar, por exemplo, favorece tal discussão com relação ao tema do gráfico da atividade 3. Se julgar conveniente, mostre a eles algumas ferramentas, disponíveis na internet, que estimam quantidades gastas de água com algumas atividades (por exemplo: https://oeds.link/Jj6afz; acesso em: 12 agosto 2022.). Comente com os estudantes algumas medidas que podem evitar o desperdício, como tomar banhos mais curtos, desligar o registro ao ensaboar a louça, aproveitar a água da chuva etcétera Esse assunto favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo, da macroárea Meio Ambiente.

• Amplie a proposta desta seção e peça aos estudantes que, em grupos, pesquisem em jornais, revistas ou internet gráficos publicados pela mídia. Depois, proponha que façam a leitura e a interpretação do material encontrado.

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Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. (-Rio de Janeiro) Dois lados de um triângulo medem 9 centímetros e 6 centímetros. Qual das seguintes medidas pode ser escolhida para o terceiro lado?

a) 2 centímetros

b) 15 centímetros

c) 12 centímetros

d) 3 centímetros

2. Calcule a medida x em cada item.

Figura geométrica. Triângulo com ângulo interno x, os outros ângulos sem medida tem como medidas de ângulo externo 135 graus e 115 graus.

Figura geométrica. Triângulo com ângulo interno 2x e 3x. O ângulo sem medida tem como ângulo externo 150 graus.

3. Observe o projeto de um telhado.

Ilustração. Telhado triangular de uma casa. À esquerda, triângulo retângulo ABH, ângulo reto em H, ângulo B mede 22 graus.
Os pontos B, H e C estão alinhados. No vértice A são determinados mais dois triângulos, AHC que é congruente ao triângulo AHB, e um outro triângulo isósceles que tem o ângulo não congruente medindo x.

• Se o triângulo á bê cê é isósceles e

\overline{A H}

é sua altura, qual é a medida x, em grau?

4. Determine as medidas x e y, em grau, sabendo que o triângulo á bê cê é retângulo, o ângulo

\hat{A}

é reto e o segmento

\overline{AD}

é uma de suas bissetrizes.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, ângulo reto em A. ângulo B mede x, ângulo C mede 58 graus. No lado BC há um ponto D. O segmento AD divide o triângulo ABC em dois triângulos, ângulo ADB mede y.

5. (-São Paulo) Se Aabre parênteses0, 0fecha parênteses, Babre parênteses2, 0fecha parênteses e Cabre parênteses0, 2fecha parênteses são os vértices de um triângulo no plano cartesiano, então esse triângulo é:

a) retângulo e não isósceles.

b) equilátero.

c) retângulo e isósceles.

d) isósceles e não retângulo.

e) escaleno e retângulo.

6. Reinaldo vai perfurar um poço em sua propriedade. Ele quer que o poço fique à mesma medida de distância de três casas. Por isso, fez um esquema representando a posição das casas nos vértices de um triângulo. Explique como Reinaldo deverá proceder para encontrar o local onde ficará o poço.

Ilustração. Três casas dispostas de forma triangular. O contorno de um triângulo é traçado interligando as casas.

7. Determine a, b e a medida do perímetro do triângulo á bê cê.

Figura geométrica. Triângulo ABC. Segmento AD é perpendicular ao lado BC. AB mede 2b mais 5, AC mede 15, BD mede 10 DC mede a mais 3.

8. (faapi-São Paulo) Observe a figura:

Figura geométrica. Triângulo retângulo ACE, retângulo em A e ângulo interno E igual a 30 graus. Segmento AD é altura relativa ao lado CE. No triângulo ACD, DB é a altura relativa ao lado AC. O ângulo D está destacado no triângulo ABD.

• Qual é a medida do ângulo

B \hat{D} A

a) 60graus

b) 30graus

c) 45graus

d) 90graus

e) 40graus

Respostas e comentários

1. alternativa c

2. a) 70graus

2. b) 30graus

3. 44graus

4. x = 32graus;

y = 103graus

5. alternativa c

6. Reinaldo deve determinar o encontro das mediatrizes, ou seja, o circuncentro do triângulo do esquema.

7. a = 7; b = 5; medida do perímetro = 50

8. alternativa a

Orientações e sugestões didáticas

Atividades de revisão

Objetivo

• Consolidar os conhecimentos adquiridos no decorrer do Capítulo.

Orientações

• Os estudantes serão desafiados a resolver, entre outras atividades, alguns testes de vestibulares, todos de acordo com os temas trabalhados neste Capítulo.

• Na atividade 5, eles devem retomar a representação de pontos no plano cartesiano e, com base na representação desses 3 pontos, analisar e classificar o triângulo formado.

• Sugerimos algumas questões para que os estudantes possam refletir sobre suas aprendizagens e possíveis dificuldades no estudo deste Capítulo, as quais devem ser adaptadas à realidade da turma. Oriente-os a fazer a autoavaliação, respondendo às questões no caderno com “sim”, “às vezes” ou “não”.

reticências sei classificar um triângulo com respeito à medida de comprimento de seus lados?

reticências sei classificar um triângulo com respeito à medida de abertura de seus ângulos?

reticências sei identificar os casos de congruência de triângulos?

reticências sei identificar os pontos notáveis de um triângulo?

reticências consigo construir os elementos notáveis de um triângulo com software de Geometria dinâmica?

reticências sei ler e interpretar gráficos de diferentes tipos?

reticências tenho um bom relacionamento com meus colegas de sala?

reticências consigo expor minhas ideias e opiniões em grupo?

reticências tenho facilidade para compreender os conteúdos?

Em todo caso, conforme sugerido nas Orientações Gerais deste Manual do Professor, outros aspectos, além dos conteúdos e conceitos desenvolvidos no Capítulo, devem ser avaliados.