UNIDADE 3
Capítulo 6
Área e volume
Capítulo 7
Cálculo algébrico
Capítulo 8
Problemas de contagem
Cores, sons e muita diversão
Na década de 1980, surgiu um tipo de brinquedo que ficou muito popular entre crianças e jovens. As primeiras versões tinham apenas 4 botões coloridos que emitiam sons próprios. No modo desafio, ele começa acendendo a luz de um dos botões coloridos, aleatoriamente, e emitindo um sinal sonoro que você precisa repetir, apertando o botão correspondente. A cada nova jogada, ele repete os sinais da sequência anterior e acrescenta mais um para você repetir. O ritmo também vai aumentando. Vence se conseguir continuar jogando uma certa quantidade de vezes, com a sequência completa de sinais.
O desafio é garantido pela enorme quantidade de possibilidades que o brinquedo tem para formar a sequência de sinais.
Para começar...
1. Você já conhecia esse tipo de brinquedo? Acredita que conseguiria repetir a sequência até qual jogada?
2. Considerando apenas as 4 cores em cada uma das duas primeiras jogadas, de quantas maneiras é possível combinar uma cor para a primeira jogada e uma cor para a segunda?
3. Cite outra situação que envolva combinações possíveis de cores, números, letras, alimentos, objetos ou pessoas.
Respostas e comentários
Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas nesta Unidade:
ê éfe zero oito ême ah zero três
ê éfe zero oito ême ah zero quatro
ê éfe zero oito ême ah zero seis
ê éfe zero oito ême ah um zero
ê éfe zero oito ême ah um nove
ê éfe zero oito ême ah dois zero
ê éfe zero oito ême ah dois um
ê éfe zero oito ême ah dois dois
ê éfe zero oito ême ah dois três
ê éfe zero oito ême ah dois quatro
Para começar...: 1. Respostas pessoais.
2. 16 possibilidades.
3. Exemplos de respostas: senhas, códigos, placas de automóveis, anagramas, combinações com alimentos (sorvetes e coberturas, massas e molhos etcétera), grupos de pessoas (times, filas etcétera), entre outras situações.
Orientações e sugestões didáticas
Abertura da Unidade 3
Conteúdos
• Nesta Unidade, serão trabalhados vários conceitos relacionados às unidades temáticas Números, Álgebra, Grandezas e medidas e Probabilidade e Estatística, que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da Bê êne cê cê.
Orientações
• Diga aos estudantes que atualmente existem variações de marcas, tamanhos, formatos e quantidades de botões para o tipo de brinquedo apresentado nesta página, inclusive jogos digitais para celulares; no entanto, a ideia principal é a mesma: repetir a sequência de sinais até certa jogada.
• Embora o modo desafio seja o mais conhecido, alguns modelos são mais versáteis, pois oferecem diferentes modos que podem ser jogados de fórma individual ou em grupos desafiando os amigos em diversos níveis de dificuldade.
• Pergunte aos estudantes se eles conhecem algum brinquedo ou jogo parecido, mesmo sendo digital. O universo lúdico dos jogos está inserido na cultura juvenil e pode ajudar no desenvolvimento de habilidades mentais, como memória, raciocínio lógico e estratégico, organização e habilidades físicas, como coordenação motora.
• A ludicidade desse tipo de brinquedo tem como objetivo medir a capacidade de memorização de uma sequência de eventos, por isso contribui para o desenvolvimento pedagógico dos jogadores, já que estimula o raciocínio e a concentração.
• Verifique a possibilidade de levar um brinquedo desse tipo para os estudantes manusearem e testarem suas habilidades. Outra possibilidade é usar um aplicativo para celular ou mesmo on-line. Nesse caso, como se trata de um momento de descontração, organize os estudantes de maneira que todos possam experimentar, incentivando-os a respeitar a vez de cada um e as tentativas dos colegas.
• Para complementar o trabalho e verificar o conhecimento prévio dos estudantes acerca do raciocínio combinatório, na questão 2, ajude-os a construir o esquema a seguir para representar as 16 possibilidades de combinação de cores considerando apenas as duas primeiras jogadas.
Neste momento, o objetivo é explorar a ideia de uma árvore de possibilidades de maneira intuitiva. Esse assunto será trabalhado com mais detalhes no Capítulo 8, no qual os estudantes verão que esse tipo de representação é útil quando há poucas possibilidades de combinações e que, nos demais casos, deve ser aplicado o princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem.
CAPÍTULO 6 Área e volume
1 Superfícies
Cobrindo uma superfície
O mosaico a seguir está decorando a fachada do restaurante de Alberto.
Recorde
Mosaico é um desenho composto de uma ou mais figuras geométricas que cobrem perfeitamente uma superfície, sem superposições e sem espaços vazios entre elas.
Lembre-se: Escreva no caderno!
Observe as figuras que compõem o mosaico.
Foram usadas: 10
, 34
e 13
.
Nesse mosaico, uma figura
tem a mesma medida de área de uma figura
e cada figura
tem o dobro da medida de área de cada figura
.
A figura 1 é formada por duas figuras 2:
A figura 3 também é formada por duas figuras 2:
As figuras 1 e 3 são formadas por duas figuras 2, ou seja, as medidas das áreas dessas duas figuras (1 e 3) são iguais.
Quando duas figuras têm a mesma medida de área, dizemos que elas são equivalentes.
Assim, considerando como unidade de medida de área a figura 2, a medida de área da superfície coberta pelo mosaico da fachada do restaurante de Alberto equivale a 80
.
Para pensar
Quanto mede a área da superfície do mosaico, usando como unidade de medida de área a figura 1?
Respostas e comentários
Os links expressos nesta coleção podem estar indisponíveis após a data de publicação deste material.
Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas neste Capítulo:
ê éfe zero oito ême ah um nove
ê éfe zero oito ême ah dois zero
ê éfe zero oito ême ah dois um
ê éfe zero oito ême ah dois quatro
Para pensar: 40
Orientações e sugestões didáticas
Superfícies
Objetivos
• Identificar figuras equivalentes.
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um nove da Bê êne cê cê.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um nove da Bê êne cê cê ao apresentar situações envolvendo medidas de área de figuras planas a partir de contextos diversos.
Orientações
• Compreender as ideias de composição e de decomposição de figuras é fundamental para os estudantes construírem de maneira mais significativa a noção de equivalência de figuras planas.
• Aqui não há ainda preocupação com o cálculo de medidas de áreas de modo formalizado; o importante é os estudantes observarem o que significa compor e decompor figuras como se estivessem montando diferentes quebra-cabeças com base em determinadas peças.
• No boxe Para pensar, espera-se que os estudantes tenham compreendido a equivalência entre as figuras 1, 2 e 3. Podemos calcular a medida de área da superfície do mosaico da seguinte maneira:
Considerando como unidade de medida de área a figura 2, temos que a medida de área é igual a 80
.
E, para formar um
, usamos 2
.
Logo, a medida de área é igual a 40
.
(ê éfe zero oito ême ah um nove) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Medida de área de uma superfície
Podemos calcular a medida de área das mais variadas superfícies, como a de um mosaico, a do chão de uma garagem ou a de uma figura geométrica plana.
No pátio da escola de Jorge, foi reservada uma parte quadrada com lado medindo 5 métros de comprimento para se fazer um espaço recreativo para os estudantes da Educação Infantil.
Esse espaço foi coberto com 25 placas quadradas emborrachadas, cujos lados medem 1 métro de comprimento.
A medida de área da superfície do espaço recreativo é igual à medida de área da superfície das 25 placas emborrachadas.
Como 1 metro quadrado (1 m²) é a medida de área da superfície de um quadrado cujo comprimento do lado mede 1 métro, podemos considerar que a medida de área da superfície de cada placa emborrachada é igual a 1 métro quadrado.
Assim, podemos dizer que a medida de área da superfície do espaço recreativo é igual a 25 métros quadrados.
Vamos, agora, verificar quantos metros quadrados ocupa o mosaico da fachada do restaurante de Alberto, reproduzido a seguir em uma malha quadriculada que representa as dimensões reais.
Observamos que o mosaico ocupa 40 quadradinhos inteiros da malha. Como a área de cada quadradinho mede 100 centímetros quadrados, sabemos que a área de superfície desse mosaico mede .4000 centímetros quadrados, ou seja, 0,4 métro quadrado.
Orientações e sugestões didáticas
• Nesse momento, os estudantes deverão compreender que as medidas de áreas de superfícies podem se representadas em diferentes unidades, de acordo com a situação.
• São dados exemplos de uso do metro quadrado e também de uma unidade de medida não padronizada de um quadradinho de uma malha quadriculada. É o momento de formalizar a ideia de figura equivalente, já trabalhada de modo mais intuitivo.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Observe o mosaico a seguir, que decora uma das paredes do quarto de Marilu.
a) Considerando a peça
como unidade de medida de área, responda: quanto mede a área da superfície desse mosaico?
b) Quantos centímetros quadrados mede a área de todo o mosaico?
2. Observe as duas figuras a seguir e responda às questões.
a) Essas figuras são equivalentes? Justifique.
b) Se cada quadradinho da malha mede 1 centímetro quadrado de área, quanto mede a área de cada figura?
3. Quantos metros quadrados de carpete seriam necessários para revestir seu quarto? Como você faria para descobrir?
4. Observe a sequência de figuras.
Agora, responda às questões.
a) A ilustração 2 apresenta duas figuras obtidas com a decomposição da figura da ilustração 1. Essas duas figuras são equivalentes?
b) Com as figuras da ilustração 2 podemos representar dois triângulos. A representação dos triângulos e a representação do retângulo da ilustração 1 são equivalentes? Justifique sua resposta.
5. Gabriel vai trocar o piso da sala de sua casa. Para isso, comprou lajotas de formato quadrado cuja área mede 0,25 métro quadrado.
a) Se Gabriel utilizou 48 lajotas para revestir toda a sala, quanto mede a área dessa sala?
b) Sabendo que a medida do comprimento da sala é 4 métros, faça um esquema para representar a disposição em que as lajotas ficarão.
Respostas e comentários
1. a) 66
1. b) .6600 centímetros quadrados
2. a) Sim, pois elas têm a mesma medida de área.
2. b) 16 centímetros quadrados; 16 centímetros quadrados
3. Respostas pessoais.
4. a) sim
4. b) Sim, pois ambas têm a mesma medida de área.
5. a) 12 métros quadrados
5. b) Resposta em Orientações.
Orientações e sugestões didáticas
• Ao realizar as atividades, incentive os estudantes a justificar suas respostas. Se achar pertinente, peça que resolvam essas atividades em duplas.
• Após os estudantes terminarem a atividade 2, comente que a conclusão seria a mesma, independente da unidade de medida de área considerada. Se achar pertinente, peça que determinem a medida de área dessas duas figuras utilizando primeiro o quadradinho como unidade de medida de área e, depois, utilizando a metade do quadradinho como unidade de medida de área.
• Exemplo de resposta do item b da atividade 5:
Lembre-se: Escreva no caderno!
2 Cálculo da medida de área de figuras planas
Vamos retomar, por meio de uma situação, o cálculo da medida de área de algumas figuras planas.
Em uma aula de Geometria, Heloísa representou cinco figuras geométricas planas em uma folha de papel retangular medindo 32 centímetros de comprimento por 24 centímetros de largura, como mostrado a seguir.
Depois, ela recortou as figuras e descartou o restante da folha de papel.
Quanto mede a área da superfície de papel descartada por Heloísa?
Uma maneira de descobrir a medida da área dessa superfície é calcular a soma das medidas de áreas das figuras planas e subtrair o resultado da medida de área total da folha retangular.
Recorde
Observe como calcular a medida de área de algumas figuras planas.
• Retângulo:
• Quadrado:
• Paralelogramo:
• Triângulo:
• Trapézio:
• Losango:
Orientações e sugestões didáticas
Cálculo da medida de área de figuras planas
Objetivos
• Recordar o cálculo da medida de área de triângulos e quadriláteros.
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um nove da Bê êne cê cê.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um nove da Bê êne cê cê porque os estudantes poderão resolver e elaborar problemas, inclusive relacionados ao cálculo da medida de área de terrenos, utilizando expressões de cálculo de medida de área de triângulos e quadriláteros.
Orientações
• Neste tópico, são retomados os cálculos de medidas de áreas de diferentes figuras planas: quadrado, retângulo, paralelogramo, trapézio, losango e triângulo. No livro do 7º ano desta coleção, com base nas ideias de composição e de decomposição de figuras, os estudantes chegaram às fórmulas para o cálculo da medida de área dessas figuras planas, apoiados na ideia de equivalência de figuras. Se possível, retome esse estudo com a turma.
(ê éfe zero oito ême ah um nove) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Primeiro, calculamos a medida de área de cada figura plana.
• Medida de área do quadrado: A = 10 centímetros ⋅ 10 centímetros = 100 centímetros quadrados
• Medida de área do trapézio:
Sentença matemática. A, igual, fração com numerador '10 centímetros, vezes, abre parênteses, 17 mais 9, fecha parênteses, centímetros' e denominador 2, igual, 130 centímetros quadrados.• Medida de área do losango:
Sentença matemática. A, igual, fração com numerador 8 centímetros vezes 10 centímetros, e denominador 2, igual, 40 centímetros quadrados.• Medida de área do paralelogramo: A = 7 centímetros ⋅ 8 centímetros = 56 centímetros quadrados
• Medida de área do triângulo:
Sentença matemática. A, igual, fração com numerador 8 centímetros vezes 10 centímetros, e denominador 2, igual, 40 centímetros quadrados.A soma das medidas de áreas das figuras é 366 centímetros quadrados, pois:
100 centímetros quadrados + 130 centímetros quadrados + 40 centímetros quadrados + 56 centímetros quadrados + 40 centímetros quadrados = 366 centímetros quadrados
A medida de área da superfície da folha retangular é 768 centímetros quadrados, pois:
32 centímetros ⋅ 24 centímetros = 768 centímetros quadrados
Subtraindo a soma das medidas de áreas das figuras planas da medida de área da superfície da folha retangular, temos:
Adescartada = Afolha ‒ Afiguras = 768 centímetros quadrados ‒ 366 centímetros quadrados = 402 centímetros quadrados
Portanto, a área da superfície de papel descartada por Heloísa mede 402 centímetros quadrados.
Observação
Não se esqueça de que, para obter a medida de área de qualquer figura, as medidas usadas no cálculo devem estar expressas na mesma unidade de medida de comprimento.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Os quadrados 1 e 2 foram divididos em quadrados menores. Observe-os e responda às questões.
a) Quanto mede a área do quadrado 1?
b) Qual deve ser a medida de área de cada quadradinho do quadrado 2 para que a medida de área do quadrado 1 seja igual à do quadrado 2?
c) Em uma malha quadriculada com quadradinhos cujo comprimento dos lados mede 1 centímetro, desenhe um quadrado que tenha a mesma medida de área do quadrado 1.
Respostas e comentários
1. a) 16 centímetros quadrados
1. b) 0,25 centímetro quadrado
1. c)
Orientações e sugestões didáticas
• Ao trabalhar com a atividade 1, disponibilize malhas quadriculadas com quadradinhos cujo comprimento dos lados tenha medida 1 centímetro para que os estudantes possam desenhar o quadrado proposto. Eles poderão utilizá-la para desenhar outras figuras e explorar medidas de área com diferentes unidades de medida.
2. Usando régua, calcule a medida de área aproximada, em centímetro quadrado, das figuras a seguir.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3. Calcule a medida de área de cada figura a seguir considerando que o comprimento do lado de cada quadradinho mede 1,5 centímetro.
a)
b)
4. A comunidade onde Luís mora resolveu recuperar um antigo campo de futebol. Quantos metros quadrados de grama serão necessários para cobrir o campo retangular que mede 102 métros de comprimento e 68 métros de largura?
5. Observe os desenhos do painel e responda à questão.
• Um pintor está fazendo um painel com desenhos geométricos. Para cada metro quadrado pintado, é usado 0,2 litro de tinta. Para pintar as figuras do painel, quantos litros de cada cor de tinta o pintor usará aproximadamente?
6. Em uma parede retangular cujo comprimento mede 14 métros e cuja altura mede 4 métros, Daniel pintou um painel que lembra um trapézio com bases medindo 10 métros e 6 métros e altura medindo 3,5 métros. Quanto mede a área da parede que permaneceu sem pintura?
7.
Elabore um problema cuja resolução envolva o cálculo da diferença entre a medida de área de um losango, de diagonais medindo 56 centímetros e 32 centímetros de comprimento, e a medida de área de um triângulo cuja base mede 24 centímetros e tem 15 centímetros de medida de altura relativa a esta base.
8. No projeto de um condomínio, há uma praça triangular. Cada quadradinho no desenho do projeto representa 2 métros quadrados.
Determine a medida de área da praça.
Respostas e comentários
2. a) 2,75 centímetros quadrados
2. b) 5 centímetros quadrados
2. c) 1,71 centímetros quadrados
2. d) 6,25 centímetros quadrados
2. e) 3,08 centímetros quadrados
2. f) 5,8 centímetros quadrados
3. a) 40,5 centímetros quadrados
3. b) 22,5 centímetros quadrados
4. .6936 métros quadrados
5. azul: 1,4 litro; rosa: 1,8 litro; verde: 1 litro; laranja: 0,8 litro; roxo: 1,8 litro
6. 28 métros quadrados
7. Resposta pessoal.
8. 39 métros quadrados
Orientações e sugestões didáticas
• Na atividade 2, para calcular a medida de área do trapézio, do triângulo e do paralelogramo, os estudantes terão de medir a altura de cada uma dessas figuras. É importante lembrá-los de que a altura de uma figura geométrica é o segmento que une o vértice à reta que contém o lado oposto e é perpendicular a essa reta. A ideia é que eles posicionem a régua tendo esse conceito em vista.
• Na atividade 4, os estudantes terão a oportunidade de resolver um problema que envolve a medida de área de um terreno retangular. Problemas como esse contribuem para que os estudantes desenvolvam a habilidade ê éfe zero oito ême ah um nove. Amplie a proposta dessa atividade e peça a eles que resolvam o seguinte problema:
Um terreno tem o formato de um trapézio cujas bases medem 36 métros e 24 métros de comprimento e a altura mede 20 métros de comprimento. Foi construído no local um galpão retangular cujos comprimentos dos lados medem 10,6 métros e 5,5 métros de comprimento. No restante do terreno, plantou-se grama. Qual é a medida de área dessa parte gramada do terreno? (Resposta: 541,7 métros quadrados)
Caso os estudantes tenham dificuldade, oriente-os a fazer uma figura que represente o terreno, o galpão e a parte em que se plantou grama.
• Se achar conveniente, depois de resolver as atividades, proponha aos estudantes uma visita a locais próximos da escola, cujas superfícies tenham diferentes formatos, para que eles possam calcular as medidas de área desses locais. Atividades como essa enriquecem a construção do conhecimento, pois possibilitam uma aplicação prática do que foi estudado em sala de aula.
Lembre-se: Escreva no caderno!
3 Cálculo aproximado de medidas de área
Lucas é engenheiro e precisou calcular a medida de área aproximada de um terreno de formato irregular. Para isso, ele representou o contorno desse terreno em uma folha de papel quadriculado, no qual cada quadradinho representava 10 métros quadrados. Observe a seguir como ele fez.
Depois, Lucas fez o seguinte cálculo.
• Cada quadradinho bege representa 10 métros quadrados. Assim:
31 ⋅ 10 métros quadrados = 310 métros quadrados
• Cada quadradinho rosa representa
fração 10 sobre 4métros quadrados. Assim:
24 ⋅
fração 10 sobre 4métros quadrados = 60 métros quadrados
• Cada quadradinho verde representa
10 sobre 16métros quadrados. Assim:
72 ⋅
10 sobre 16métros quadrados = 45 métros quadrados
Portanto, a medida da área aproximada do terreno é 415 métros quadrados, pois:
310 métros quadrados + 60 métros quadrados + 45 métros quadrados = 415 métros quadrados
Para pensar
Como Lucas poderia obter uma aproximação ainda melhor para a medida de área do terreno?
Respostas e comentários
Para pensar: Ele poderia ter dividido cada quadradinho da última malha outra vez em 4 quadradinhos ainda menores, considerando a quantidade de novos quadradinhos inteiros que poderia pintar na região interna do terreno.
Orientações e sugestões didáticas
Cálculo aproximado de medidas de área
Objetivos
• Resolver situações-problema que envolvam cálculo de medidas de área de figuras geométricas planas por meio de procedimentos de decomposição.
• Calcular a medida de área de superfícies planas por meio da composição e decomposição de figuras por aproximações.
Orientações
• Considerando que em diferentes situações do cotidiano é necessário realizar cálculos de medidas de áreas de superfícies não regulares, mas compostas de polígonos conhecidos, torna-se importante o estudo aproximado de medidas de áreas. No exemplo discutido no texto, os estudantes observarão que a malha é um importante instrumento e que a diminuição da unidade de medida na malha aumenta o grau de precisão. Em outras palavras, de acordo com a precisão desejada ou necessária, devem ser selecionadas a unidade e a estratégia mais apropriadas.
• O objetivo do boxe Para pensar é fazer os estudantes perceberem que quanto menor a unidade de medida na malha quadriculada, mais próximo estará da medida de área do terreno.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Calcule a medida de área aproximada de cada figura, considerando que o comprimento de cada lado do quadradinho mede 1 centímetro.
2. Observe como Fernanda calculou a medida de área aproximada de um terreno irregular e responda às questões.
Primeiro, ela representou o terreno em uma folha. Depois, traçou duas figuras retangulares, uma interna e outra externa ao terreno, conforme o esquema.
Fernanda sabia que cada 1 centímetro desenhado na folha representava, na realidade, 100 métros. Então, ela calculou a medida de área das duas figuras retangulares em valores reais. Depois, para encontrar a medida de área aproximada do terreno, calculou a média dessas duas medidas de área.
a) Faça como Fernanda e encontre a medida da área aproximada do terreno.
b) Analisando a maneira de calcular usada por Lucas anteriormente, com o uso de uma malha quadriculada, e a maneira usada por Fernanda nesta atividade, qual das duas você achou mais fácil para encontrar o valor aproximado da medida de área de uma superfície irregular?
c) O que você achou das estratégias empregadas por Lucas e por Fernanda para resolver o problema?
3. Faça uma estimativa da medida da área do estado do Paraná.
Elaborado com base em: í bê gê É. Atlas geográfico escolar. oitava edição Rio de Janeiro: í bê gê É, 2018. página 175.
Agora, reúna-se com um colega para responder às questões.
a) Como vocês fizeram para calcular a medida da área desse estado?
b) Encontraram o mesmo valor para a medida da área? Se não, por quê?
c) Pesquisem na internet ou em um atlas a medida da área do estado do Paraná e verifiquem se o resultado obtido por vocês está próximo do real.
Respostas e comentários
1. A: aproximadamente 21 centímetros quadrados
B: aproximadamente 20 centímetros quadrados
C: aproximadamente 18 centímetros quadrados
2. a) .111800 métros quadrados
2. b) Resposta pessoal.
2. c) Resposta pessoal.
3. a) Resposta pessoal.
3. b) Respostas pessoais.
3. c) Resposta pessoal. Segundo o í bê gê É (2018), a medida da área do estado do Paraná é de .199307,939 quilômetros quadrados.
Orientações e sugestões didáticas
• A atividade 2 pode proporcionar momentos de troca de respostas e estratégias entre os estudantes. Assim, eles poderão articular ideias e etapas do raciocínio que possibilitarão refinar suas noções e estratégias para o cálculo aproximado de medidas de áreas em diferentes situações-problema. Aproveite para obter informações a respeito do que eles compreenderam ou não sobre o assunto.
• Antes de resolver os itens da atividade 3, pergunte aos estudantes se eles conhecem o estado do Paraná e se sabem em que região do Brasil este estado está localizado. Se possível, leve um mapa do Brasil e mostre a sua localização. Proponha questões para que possam comparar a medida da área do Paraná com a de outros estados brasileiros.
4 Medida de área de regiões circulares
Medida de área do círculo
Para determinar a medida de área de um polígono regular qualquer inscrito em uma circunferência, podemos decompô-lo em triângulos.
Analise a decomposição de alguns polígonos regulares.
Observe que, conforme aumentamos o número de lados do polígono regular inscrito na circunferência, mais o seu formato se aproxima do formato de um círculo. Assim, a medida de área desses polígonos também tende a se aproximar da medida de área do círculo.
Agora, considere um círculo de centro óh e raio com medida de comprimento r. Esse círculo pode ser decomposto em n setores circulares congruentes (em que n é um número muito grande). Observe.
Observação
Setor circular é a região do círculo delimitada por um de seus ângulos centrais.
Cada setor é tão pequeno que a medida de sua área é próxima da medida de área de um triângulo. Quanto maior for a quantidade n de setores em que dividirmos o círculo, maior será essa aproximação.
Como os setores são congruentes, os triângulos a eles associados têm a mesma medida de área. Assim, considerando que a medida de área do círculo é aproximadamente igual à soma das medidas de áreas dos n triângulos, temos:
Medida de área
Aproximadamente, n vezes, fração de numerador b vezes a, e denominador 2.Medida de área
Aproximadamente, fração de numerador n vezes, b vezes, a, e denominador 2.Considerando a soma das medidas das bases dos triângulos aproximadamente igual à medida de comprimento total da circunferência, temos: n ⋅ b ≃ 2π r. Além disso, a medida da altura de cada um dos triângulos aproxima-se da medida de comprimento do raio, ou seja, podemos considerar a ≃ r. Assim:
Medida de área
Aproximadamente, fração de numerador 2 pi r, vezes r, e denominador 2.Por meio dessa ideia, podemos provar que a medida de área de um círculo cujo comprimento do raio mede r é dada por:
Medida de área = πr 2
Saiba mais
No século dezessete, o japonês Seki Kowa (1642-1708) calculou a medida de área de um círculo por meio da decomposição em retângulos e chamou esse método de , que significa “teoria do círculo”.
Orientações e sugestões didáticas
Medida de área de regiões circulares
Objetivos
• Calcular a medida de área de regiões circulares (círculo, setor circular e coroa circular).
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um nove da Bê êne cê cê.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um nove da Bê êne cê cê ao propor aos estudantes que resolvam e elaborem problemas, inclusive os relacionados ao cálculo da medida de área de terrenos, utilizando expressões de cálculo de medida de área de círculos.
Orientações
• O cálculo da medida de área de um círculo é apresentado com base na aproximação das medidas de áreas de polígonos regulares inscritos em circunferências. Conforme a quantidade de lados aumenta, a medida do perímetro do polígono se aproxima da medida do comprimento da circunferência, e a medida de área do polígono se aproxima da medida de área do círculo.
• Se julgar oportuno, ao apresentar o conteúdo do boxe Saiba mais, peça aos estudantes que realizem uma atividade prática, desenhando um círculo com o auxílio de um compasso e, depois, que obtenham a medida aproximada de sua área, com a utilização de retângulos, processo semelhante ao usado por Seki Kowa. Essa experiência contribui para que eles vivenciem como o conhecimento científico se desenvolve e consigam fazer descobertas durante o processo. Alerte-os para terem cuidado com o manuseio do compasso, a fim de preservar a integridade física deles.
(ê éfe zero oito ême ah um nove) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
Medida de área de um setor circular
Em um círculo de raio com comprimento medindo r, a medida de área de um setor circular é diretamente proporcional à medida de abertura do ângulo central. Observe o setor circular cuja abertura do ângulo central mede a.
Assim, é possível estabelecer uma regra de três simples para relacionar a medida de área a de um setor com a medida a, em grau, de abertura do ângulo central correspondente.
Como as medidas são diretamente proporcionais, temos:
Portanto, a medida de área de um setor circular de raio com comprimento medindo r e ângulo central de medida de abertura a, em grau, é dada por:
Exemplo
Vamos calcular a medida de área do setor circular destacado.
Medida de área da coroa circular
Chamamos de coroa circular a região entre duas circunferências concêntricas que estão em um mesmo plano e têm raios de medidas de comprimento diferentes. Observe a coroa circular a seguir.
A medida de área de uma coroa circular (A) é determinada pela diferença entre a medida de área do círculo de raio com maior comprimento (áR) e a medida de área do círculo de raio de menor comprimento (ár).
Exemplo
Sabendo que o comprimento do diâmetro de uma moeda de 1 real mede 2,7 centímetros e que o diâmetro da região prateada mede aproximadamente 1,8 centímetro de comprimento, vamos calcular a medida da área da região dourada de uma das faces.
Para isso, vamos considerar π = 3,14 e fazer:
A = AR ‒ Ar
A = π ⋅ (1,35)2 centímetros quadrados ‒ π ⋅ (0,9)2 centímetros quadrados
A = 3,14 ⋅ 1,8225 centímetros quadrados ‒ 3,14 ⋅ 0,81 centímetros quadrados
A = 5,72265 centímetros quadrados ‒ 2,5434 centímetros quadrados
A = 3,17925 centímetros quadrados
Portanto, a medida da área da região dourada de uma das faces da moeda de 1 real é, aproximadamente, 3,18 centímetros quadrados.
Orientações e sugestões didáticas
• Nesta página, o estudo de medidas de áreas circulares é ampliado para as medidas de áreas de setores circulares e de coroa circular. É importante que, antes dos cálculos, os estudantes compreendam as ideias de setor (região do círculo delimitada por um de seus ângulos centrais) e coroa (região entre duas circunferências concêntricas de raios com diferentes medidas de comprimento).
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Calcule a medida da área da região lilás em cada caso.
a)
b)
c)
d)
2. Dadas as medidas de áreas, encontre a medida do comprimento do raio de cada círculo. (Considere: π = 3,14.)
a) 314 centímetros quadrados
b) 78,5 centímetros quadrados
c) 150,72 centímetros quadrados
d) 28,26 centímetros quadrados
3. Calcule a medida de área da parte verde de cada figura.
a) O lado do quadrado mede 3 centímetros de comprimento.
b) O raio do círculo mede 2 centímetros de comprimento.
4. Uma pítsaria fez a seguinte promoção:
• Sabendo que o diâmetro da pizza média mede 30 centímetros de comprimento e o da pizza grande mede 45 centímetros, você acha que essa promoção será vantajosa para quem comprar as pizzas médias? Explique.
5. Na Confeitaria dos Sonhos, uma torta em formato circular, cujo diâmetro mede 30 centímetros de comprimento, é vendida em 10 pedaços. Na Confeitaria Verão o mesmo tipo de torta é vendido em 6 pedaços e o diâmetro mede 24 centímetros de comprimento, apesar de ser produzida com a mesma receita e com o mesmo custo. (Considere: π = 3,14.)
a) Quais são as medidas das áreas da face superior da torta nas duas confeitarias?
b) Em qual das duas confeitarias a face superior do pedaço de torta é maior?
c) Se na Confeitaria Verão o pedaço de torta custa R$ 5,00cinco reais, quanto a Confeitaria dos Sonhos deve cobrar para que ambas tenham o mesmo lucro?
6. Na figura a seguir, a medida de área da coroa circular é igual a 75π centímetros quadrados. Calcule a medida do comprimento r.
7. O prefeito de uma cidade decidiu fazer um mosaico em parte de uma praça circular, conforme o esquema.
• Sabe-se que a medida do diâmetro da praça é 50 métros de comprimento e a mão de obra custa R$ 9,50nove reais e cinquenta centavos por metro quadrado. Determine o valor que será gasto em mão de obra. (Considere: π = 3,14.)
Respostas e comentários
1. a) 9π
1. b)
Sentença matemática. Fração 4 sobre pi.1. c) π
1. d) 24π
2. a) 10 centímetros
2. b) 5 centímetros
2. c)
Sentença matemática. 4 raiz quadrada de 3.centímetros
2. d) 3 centímetros
3. a) (4,5 + 1,125π) centímetros quadrados
3. b)
Sentença matemática. Fração 3 pi sobre 2.centímetros quadrados
4. Espera-se que os estudantes percebam que a promoção não será vantajosa, pois a medida da área de uma pizza grande é maior que a medida da área de duas pizzas médias.
5. a) Confeitaria dos Sonhos: 706,5 centímetros quadrados; Confeitaria Verão: 452,16 centímetros quadrados
5. b) A face superior do pedaço de torta da Confeitaria Verão é maior: 75,36 centímetros quadrados > 70,65 centímetros quadrados
5. c) R$ 4,69quatro reais e sessenta e nove centavos
6. 5 centímetros
7. R$ 9.321,88nove mil trezentos e vinte e um reais e oitenta e oito centavos
Orientações e sugestões didáticas
• Durante a realização das atividades, incentive os estudantes a compartilhar as estratégias empregadas e o modo como pensaram. Essa troca de ideias entre eles contribui para que possam ampliar o repertório de estratégias de resolução de problemas. Aproveite esse momento para avaliar o que aprenderam e fazer um levantamento das principais dificuldades enfrentadas por eles.
8. Encontre a medida de área da parte rosa considerando que os quatro círculos menores têm a mesma medida de comprimento de raio. (Considere: π = 3,14.)
9. O fundo de uma piscina circular será revestido com pastilhas azuis e brancas, formando uma figura como a apresentada a seguir.
• Sabendo que á cê = cê é = ê éfe = 4 métros e que todas as curvas da figura são arcos de circunferência, calcule a medida da área da parte que terá pastilhas azuis.
10.
Observe as duas figuras, em que há um polígono inscrito em uma circunferência e um polígono circunscrito a essa circunferência. Considere que as circunferências têm a mesma medida de comprimento de raio, os triângulos são equiláteros e os quadriláteros são quadrados.
• Que figura tem a maior razão entre as medidas das áreas dos polígonos inscrito e circunscrito, nessa ordem? Por quê?
5 Volume e capacidade
Observe o aquário que Mariana comprou para seu filho.
O aquário tem o formato de um paralelepípedo com 6 decímetros de medida de comprimento, 4 decímetros de medida de largura e 5 decímetros de medida de altura. Quantos litros de água cabem nesse aquário?
Recorde
A medida de volume de um paralelepípedo, em que a representa a medida do comprimento, b a da largura e c a da altura, é dado por:
V = a ⋅ b ⋅ c
Para saber quantos litros de água cabem nesse aquário, devemos primeiro multiplicar as medidas de suas três dimensões:
V = 6 decímetros ⋅ 4 decímetros ⋅ 5 decímetros = 120 decímetros cúbicos
Como 1 decímetro cúbico = 1 litro, então 120 decímetros cúbicos = 120 litros .
Portanto, nesse aquário cabem 120 litros de água.
Note que, para resolver o problema, usamos o fato de que 1 decímetro cúbico corresponde a 1 litro. Observe outras relações entre unidades de medida de volume:
1 métro cúbico = .1000 litros
1 centímetro cúbico = 1 mililitros
Respostas e comentários
8. 38,88 decímetros quadrados
9. 24π métros quadrados
10. O quadrado; porque a razão entre as medidas das áreas dos quadrados é
Sentença matemática. Fração 1 sobre 2.e a razão entre as medidas das áreas dos triângulos é
Sentença matemática. Fração 1 sobre 4..
Orientações e sugestões didáticas
Volume e capacidade
Objetivo
• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah dois zero e ê éfe zero oito ême ah dois um da Bê êne cê cê.
Habilidades da Bê êne cê cê
• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois zero da Bê êne cê cê porque trabalha a relação do litro com o decímetro cúbico e do litro com o metro cúbico para resolver problemas de cálculo de medida de capacidade de recipientes. O tópico também favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois um porque os estudantes poderão resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da medida de volume de recipientes cujo formato é o de um bloco retangular.
Orientações
• Ao iniciar o trabalho com este tópico, recorde os estudantes da fórmula apresentada na página para se calcular a medida de volume de um paralelepípedo. Reforce que essa expressão pode ser usada para calcular a medida de volume de qualquer paralelepípedo com medidas representadas por números reais positivos.
(ê éfe zero oito ême ah dois zero) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.
(ê éfe zero oito ême ah dois um) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Calcule a medida de volume, em metro cúbico, dos paralelepípedos representados a seguir.
a)
b)
2. Responda às questões.
a) Quantos litros equivalem a 10 métros cúbicos?
b) Qual deve ser a medida de volume, em centímetro cúbico, de um recipiente, para que 56 mililitros ocupem toda sua capacidade?
c) Com 72 litros, podemos preencher completamente quantos recipientes de 12 decímetros cúbicos cada um?
3. Daniel convidou 6 amigos para um lanche em sua casa. Ele calculou 2 copos cheios de suco para cada amigo. Se cada copo lembra um paralelepípedo com 5 centímetros de medida de comprimento, 5 centímetros de medida de largura e 12 centímetros de medida de altura, quantos litros de suco, no mínimo, Daniel deve comprar para servir a seus amigos?
4. André e Sofia fizeram uma experiência na aula de Matemática. Cada um escolheu um recipiente e calculou a medida de seu volume.
a) Qual dos dois recipientes apresenta a maior medida de capacidade?
b) O que podemos concluir sobre a medida de capacidade dos recipientes?
5.
Karen comprou vasos que lembram paralelepípedos. Observe as dimensões de cada vaso e elabore um problema que envolva medida de volume, em centímetro cúbico, e medida de capacidade, em mililitro. Depois, peça a um colega que resolva o seu problema e resolva o problema elaborado por ele.
Respostas e comentários
1. a) 0,072 métro cúbico
1. b) 0,002 métro cúbico
2. a) .10000 litros
2. b) 56 centímetros cúbicos
2. c) 6 recipientes
3. 3,6 litros de suco
4. a) Os dois recipientes apresentam a mesma medida de capacidade, já que possuem a mesma medida de volume.
4. b) Espera-se que os estudantes percebam que recipientes de diferentes dimensões podem ter a mesma medida de capacidade.
5. Resposta pessoal.
Orientações e sugestões didáticas
• Na atividade 5, os estudantes terão a oportunidade de elaborar um problema envolvendo o cálculo da medida de volume de vasos cujos formatos lembram paralelepípedos. Espera-se que o problema criado por eles seja coerente com a ilustração apresentada. Após resolverem o problema proposto pelo colega, reproduza no quadro alguns problemas que foram elaborados por eles e discuta-os com a turma.
Compreender um texto
faça as atividades no caderno
Embalagem longa-vida
Durante a Segunda Guerra Mundial, a escassez de vidro e de metal laminado para a produção de latas motivou o desenvolvimento de embalagens alternativas. O empresário sueco Ruben (1895-1983) patenteou em 1944 e lançou em 1952 uma embalagem de papelão impermeável para bebidas, inicialmente com o formato tetraédrico (pirâmide de base triangular), conforme imagem a seguir (à esquerda). Com o tempo, esse tipo de embalagem passou a ter o formato mais comum de um paralelepípedo, que é mais fácil no armazenamento e transporte (à direita).
Desde então, foram desenvolvidas máquinas para montar, encher e selar automaticamente diversos alimentos e bebidas com esse tipo de embalagem. São popularmente chamadas de embalagem “longa-vida”, pois a sua composição multicamadas permite que os alimentos sejam armazenados por várias semanas, sem a necessidade de conservantes ou refrigeração:
A embalagem longa-vida do leite (Ultra High Temperature, em inglês), por exemplo, garante uma vida de prateleira ou validade de até 180 dias, no entanto, após aberta, o leite deve ser conservado em geladeira e consumido no máximo em 3 dias.
Orientações e sugestões didáticas
Compreender um texto
Objetivos
• Desenvolver a competência leitora.
• Trabalhar o Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, da macroárea Meio Ambiente.
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois zero e da competência geral 6 da Bê êne cê cê.
Habilidade da Bê êne cê cê
• As atividades desta seção favorecem o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois zero, visto que trabalha a relação do litro com o decímetro cúbico para verificar a capacidade de embalagens de leite.
Orientações
• O tema tratado na seção valoriza a diversidade de saberes, possibilita entender relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas com consciência crítica e responsável, conforme sugere a competência geral 6 da Bê êne cê cê.
• O formato tetraédrico da primeira embalagem impermeável de papelão determinou o nome da empresa de Ruben .
(ê éfe zero oito ême ah dois zero) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.
Competência geral 6: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
▶ Compreender um texto
Saiba mais
Processos de esterilização de alimentos
Leite é resultado de um processo de ultrapasteurização, em que o líquido é aquecido entre 130 graus Célsius e 150 graus Célsius por até 8 segundos e depois resfriado à temperatura ambiente. Como praticamente nenhuma bactéria sobrevive, o leite dura até 180 dias dentro da embalagem longa-vida. Já o leite “de saquinho”, que tem duração máxima de 7 dias dentro da embalagem, é obtido pelo processo de pasteurização, em que o líquido é aquecido a mais de 70 graus Célsius por até 20 segundos, e então resfriado muito rapidamente a – 4 graus Célsius, eliminando apenas as bactérias que causam doenças. Esse processo recebe esse nome em homenagem ao químico francês que o criou, Louis Pasteur.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Na sua casa, você e seus familiares ou responsáveis costumam comprar e consumir leite de caixinha ou leite de saquinho? Se sim, explique a eles a diferença entre os dois processos de esterilização.
2. Porque a embalagem do leite de caixinha é chamada de “longa-vida”?
3. Pesquise em sua residência ou no supermercado e cite alguns produtos comercializados em embalagem longa-vida, além do leite.
4. Em geral, nas embalagens de leite longa-vida, qual unidade de medida costuma ser utilizada para indicar a capacidade?
5. Verifique se as duas embalagens de leite longa-vida, cujas dimensões internas estão apresentadas a seguir, realmente acondicionam aproximadamente 1 litro cada uma.
6.
Por possuir muitas camadas bem aderidas umas às outras, embalagens longa-vida são difíceis de reciclar, podendo levar até 100 anos para se decompor. Assim, uma das formas de evitar que seu descarte acarrete prejuízos ambientais é reaproveitá-las, utilizando-as para outros fins. Reúna-se com alguns colegas e pesquisem algumas ideias para a reutilização de embalagens longa-vida como matéria-prima de outros produtos, tais como telhas, cadernos, carteiras, porta-trecos, formas de gelo, vasinhos etcétera Montem um cartaz com exemplos e imagens e o apresentem aos colegas.
Respostas e comentários
1. Resposta pessoal.
2. Porque esse tipo de embalagem permite que os alimentos sejam armazenados por várias semanas, sem a necessidade de conservantes ou refrigeração.
3. Exemplos de resposta: Produtos como iogurte, suco, água de coco, achocolatado, creme de leite, leite condensado, extrato de tomate, entre outros.
4. Litro ou mililitro.
5. Sim, ambas acondicionam aproximadamente 1 litro cada uma.
6. Resposta pessoal.
Orientações e sugestões didáticas
• Ao apresentar o conteúdo do boxe Saiba mais, peça aos estudantes que realizem uma pesquisa para conhecerem outras descobertas e contribuições de Louis Pasteur para a ciência. Ao longo dos seus 73 anos de vida, ele realizou experimentos que levaram a descobertas científicas brilhantes, que contribuíram para a evolução da medicina e da química. Seus estudos conseguiram identificar a ação de bactérias e outros micro-organismos, favorecendo a prevenção de infecções. Verifique a possibilidade de realizar um trabalho integrado com o componente curricular de Ciências sobre alguns dos experimentos e resultados de Pastér.
• Aproveite o trabalho com a atividade 1 e sugira aos estudantes que identifiquem nas embalagens longa-vida o prazo de validade e o tempo em que o produto deve ser consumido após aberto. Estimule-os a comparar entre eles as medidas de capacidade e de tempo observadas.
• Para o trabalho com as atividades 4 e 5, considere a possibilidade de levar embalagens vazias de diferentes medidas de capacidade para que eles tomem as medidas e realizem os cálculos na prática. Ao final, se for conveniente, permita que eles desmontem e tentem identificar as camadas da embalagem.
• Resolução da atividade 5:
Embalagem 1: 7 centímetros ⋅ 7,5 centímetros ⋅ 20 centímetros = .1050 centímetros cúbicos
Portanto, .1050 centímetros cúbicos ou .1050 mililitros ou 1,05 litros;
Embalagem 2: 6,5 centímetros ⋅ 9,5 centímetros ⋅ 16,5 centímetros = .1018,845 centímetros cúbicos
Portanto, .1018,845 centímetros cúbicos ou .1018,845 mililitros ou 1,018845 litros.
• Na atividade 6, espera-se que as pesquisas dos estudantes mostrem a eles alguns exemplos de reutilização das embalagens longa-vida como artesanato ou mesmo para a produção de telhas ecológicas em grande escala. Durante a confecção dos cartazes, alerte os estudantes quanto ao uso da tesoura, por exemplo, a fim de preservar a integridade física de todos envolvidos.
• O trabalho de pesquisa para a confecção e apresentação dos cartazes possibilita o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental da macroárea Meio Ambiente. A reutilização de materiais recicláveis é uma fórma de reaproveitar os resíduos sólidos que descartamos diariamente. Converse com os estudantes sobre boas práticas em relação à gestão dos resíduos sólidos que favorecem o meio ambiente, como: repensar e reduzir o consumo de produtos com muitas embalagens; reutilizar embalagens para outra finalidade (como na pesquisa sobre as longa-vida) ou utilizar as retornáveis; e reciclar, contribuindo com a separação do lixo doméstico para a destinação correta para a coleta seletiva.
Estatística e Probabilidade
faça as atividades no caderno
Determinação da frequência absoluta e da frequência relativa de uma amostra de uma população
Em uma pesquisa, os dados coletados podem ser apresentados na fórma de números absolutos e/ou relativos. Consideremos, por exemplo, dois modos de apresentar os dados coletados, em outubro de 2023, sobre a idade dos 200 funcionários da empresa á bê cê.
|
Faixa etária |
Número de funcionários |
Porcentagem de funcionários |
|---|---|---|
|
A partir de 20 anos e com menos de 30 anos |
62 |
31% |
|
A partir de 30 anos e com menos de 40 anos |
79 |
39,5% |
|
A partir de 40 anos e com menos de 50 anos |
30 |
15% |
|
A partir de 50 anos e com menos de 60 anos |
29 |
14,5% |
|
Total |
200 |
100% |
Dados obtidos pela empresa á bê cê em outubro de 2023.
Frequência absoluta e frequência relativa
Com a leitura dos dados dessa tabela, observamos que:
• as idades foram divididas em quatro classes: de 20 a 30 anos (exclusive), de 30 a 40 anos (exclusive), de 40 a 50 anos (exclusive) e de 50 a 60 anos (exclusive);
• a classe em que há maior frequência de funcionários é a de 30 a 40 anos (exclusive), com 79 pessoas ou 39,5% do total;
• na 2ª coluna estão apresentados os dados absolutos, indicando o número de funcionários correspondente a cada faixa etária;
• na 3ª coluna estão apresentados os dados relativos, indicando percentuais de frequência de funcionários em cada uma das classes.
Os dados absolutos e os dados relativos estão relacionados aos seguintes conceitos:
Frequência absoluta é o número de elementos correspondentes a determinada classe.
Frequência relativa é a razão entre o número de elementos de determinada classe e o número total de elementos analisados.
Orientações e sugestões didáticas
Estatística e Probabilidade
Objetivos
• Determinar as frequências absoluta e relativa de uma amostra de uma população.
• Distribuir as frequências de uma variável de uma pesquisa em classes.
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois quatro da Bê êne cê cê.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois quatro da Bê êne cê cê porque os estudantes podem verificar que as frequências organizadas em classes resumem os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.
Orientações
• Com base no problema que aborda as faixas etárias dos funcionários de uma empresa, espera-se que os estudantes reconheçam a diferença entre frequência absoluta e frequência relativa da amostra de uma população.
• Comente com os estudantes o que significa “exclusive” nos casos apresentados. Por exemplo, “de 20 a 30 anos (exclusive)” significa que as pessoas de 20 anos estão inclusas, mas as de 30 anos não estão.
• Diga também que cada faixa etária corresponde a uma classe.
(ê éfe zero oito ême ah dois quatro) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.
▶ Estatística e Probabilidade
Observe outra fórma de representar os dados:
|
Faixa etária (em ano) |
Frequência absoluta |
Frequência relativa |
|---|---|---|
|
20 ⊢ 30 |
62 |
0,31 |
|
30 ⊢ 40 |
79 |
0,395 |
|
40 ⊢ 50 |
30 |
0,15 |
|
50 ⊢ 60 |
29 |
0,145 |
|
Total |
200 |
1 |
Dados obtidos pela empresa á bê cê em outubro de 2023.
O símbolo ⊢ indica a inclusão do valor situado à sua esquerda e a exclusão do valor situado à sua direita.
Amostra de uma população
Ainda no estudo da Estatística, duas ideias muito importantes estão presentes nas pesquisas:
População é o conjunto de todos os elementos que contêm uma característica que se quer estudar.
Amostra de uma população é uma parte da população que queremos estudar.
Em uma pesquisa sobre a idade dos funcionários das 18 escolas públicas de uma cidade, por exemplo:
• a população engloba todos os funcionários das 18 escolas públicas dessa cidade;
• a amostra é composta de funcionários de 10 das 18 escolas públicas dessa cidade.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Uma das medidas para melhorar a qualidade da educação de um país é elevar o número médio de anos escolares concluídos por pessoa, entre sua população. Considere a tabela com dados do país a em dezembro de 2023 e, depois, responda às questões.
|
Número médio de anos concluídos |
Frequência: quantidade de unidades da federação |
|---|---|
|
4 ⊢ 5 |
8 |
|
5 ⊢ 6 |
7 |
|
6 ⊢ 7 |
9 |
|
7 ⊢ 8 |
2 |
|
8 ⊢ 9 |
1 |
Dados obtidos pelo Instituto Nacional de Pesquisas Educacionais do país a em dezembro de 2023.
a) Que classe tem a maior frequência?
b) Qual é o total de unidades da federação que corresponde às três maiores frequências?
Respostas e comentários
1. a) de 6 a 7 anos (exclusive)
1. b) 24 unidades da federação
Orientações e sugestões didáticas
• Diga aos estudantes que, geralmente, em uma pesquisa, não é possível obter dados de toda a população. Por isso, os pesquisadores levantam dados de uma amostra da população, ou seja, escolhem uma parte dela de acordo com uma metodologia. Para ilustrar, cite a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (), em que o í bê gê É faz pesquisas com uma parte da população e, do resultado, podem ser feitas inferências para toda a população.
• Explique aos estudantes que o termo “população” não é utilizado apenas para designar pessoas, mas também objetos ou qualquer outro tema sobre o qual temos interesse em estudar.
2. Considere os dados da tabela a seguir, referentes a 2022/2023 no país a, e responda às questões.
|
Faixa de repetência escolar (em %) |
Frequência: quantidade de unidades da federação |
|---|---|
|
0 a 10 (exclusive) |
1 |
|
10 a 20 (exclusive) |
7 |
|
20 a 30 (exclusive) |
12 |
|
30 a 40 (exclusive) |
7 |
Dados obtidos pelo Instituto Nacional de Pesquisas Educacionais do país a em dezembro de 2023.
a) De acordo com essa tabela, qual é a faixa de maior frequência?
b) E a de menor frequência?
c) Qual é a diferença entre as frequências encontradas nos itens a e b?
3. Os organizadores de uma feira de livros da cidade Flores Coloridas realizaram uma pesquisa sobre o grau de escolaridade dos .1200 participantes da feira em 2023.
|
Grau de escolaridade |
Frequência relativa |
|---|---|
|
Ensino Fundamental |
0,10 |
|
Ensino Médio |
0,25 |
|
Ensino Superior |
0,35 |
|
Pós-graduação |
0,30 |
Dados obtidos pelos organizadores da feira de livros em 2023.
a) Copie a tabela no caderno e insira uma nova coluna com a frequência absoluta referente a cada grau de escolaridade.
b) Construa no caderno um gráfico que represente esses resultados.
c) Escreva uma conclusão possível a respeito desses participantes.
4. Com base em uma pesquisa, realizada em maio de 2023, com 120 pessoas que frequentam a rede de supermercados Planejamos Juntos, foi construído o gráfico a seguir, referente ao estado civil desses consumidores.
Dados obtidos pelo supermercado Planejamos Juntos em maio de 2023.
• Construa, no caderno, a tabela de frequência absoluta e relativa com os dados desse gráfico.
5. Observe, na tabela a seguir, dados da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua 2020, referentes ao número de domicílios particulares em 2019.
|
Região |
Quantidade (em milhões) |
|---|---|
|
Norte |
5,4 |
|
Nordeste |
19 |
|
Sudeste |
31,5 |
|
Sul |
10,9 |
|
Centro-Oeste |
5,6 |
Dados obtidos em: í bê gê É. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios () Contínua: características gerais dos domicílios e dos moradores 2019, c.2020. Disponível em: https://oeds.link/OK2oCd. Acesso em: 28 abril 2022.
a) Construa uma tabela indicando a frequência relativa dos dados apresentados e a porcentagem referente a cada região brasileira. Deixe a frequência relativa indicada com 3 casas após a vírgula.
b) A que região corresponde a maior frequência relativa? De quanto é essa frequência?
6.
Elabore um problema envolvendo frequência absoluta ou frequência relativa. Passe seu problema para um colega resolver e resolva o problema criado por ele.
Respostas e comentários
2. a) 20 a 30 (exclusive)
2. b) 0 a 10 (exclusive)
2. c) 11
3. Respostas em Orientações.
4. Resposta em Orientações.
5. a) Resposta em Orientações.
5. b) Sudeste; aproximadamente 0,435
6. Resposta pessoal.
Orientações e sugestões didáticas
• Resposta do item a da atividade 3:
|
Grau de escolaridade |
Freq. rel. |
Freq. abs. |
|---|---|---|
|
Ensino Fundamental |
0,10 |
120 |
|
Ensino Médio |
0,25 |
300 |
|
Ensino Superior |
0,35 |
420 |
|
Pós-graduação |
0,30 |
360 |
Dados obtidos pelos organizadores da feira de livros em 2023.
• Exemplos de resposta do item b da atividade 3:
Dados obtidos pelos organizadores da feira de livros em 2023.
Dados obtidos pelos organizadores da feira de livros em 2023.
• No item c da atividade 3, as conclusões também poderão variar e precisam ser discutidas para serem ou não validadas. Algumas possibilidades:
– 10% dos participantes estudaram somente até o Ensino Fundamental.
– Mais da metade dos participantes tem Ensino Superior.
– Há o triplo de participantes com Pós-graduação em relação aos que cursaram apenas o Ensino Fundamental.
• Resposta da atividade 4:
|
Estado civil |
Freq. rel. |
Freq. abs. |
|---|---|---|
|
Solteiro |
0,23 |
28 |
|
Casado |
0,43 |
52 |
|
Viúvo |
0,10 |
12 |
|
Divorciado |
0,23 |
28 |
Dados obtidos pelo supermercado Planejamos Juntos em maio de 2023.
• Resposta do item a da atividade 5:
|
Região |
Freq. rel. |
% |
|---|---|---|
|
N |
0,075 |
7,5 |
|
NE |
0,262 |
26,2 |
|
SE |
0,435 |
43,5 |
|
S |
0,151 |
15,1 |
|
CO |
0,077 |
7,7 |
Dados obtidos em: Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios () Contínua: características gerais dos domicílios e dos moradores 2019, cêrca de2020. Disponível em: https://oeds.link/OK2oCd. Acesso em: 28 abril 2022.
Atividades de revisão
faça as atividades no caderno
1. Quatro triângulos retângulos, cada um de área medindo 8 centímetros quadrados, foram justapostos a um quadrado, conforme a figura, de maneira que o comprimento do lado de cada triângulo que está apoiado no quadrado tem a mesma medida do comprimento do lado do quadrado.
a) A composição formou que polígono?
b) Qual é a medida da área do polígono obtido?
2.
Dois quadrados, um pequeno, com lado medindo 10 centímetros de comprimento, e um grande, com lado medindo 15 centímetros de comprimento, estão sobrepostos de modo que um dos vértices do quadrado maior está fixado no centro do quadrado menor. O quadrado maior pode se movimentar, mantendo fixo o vértice que está no centro do quadrado menor.
Determine a medida da área comum entre os dois quadrados.
3. Determine a medida da área da parte vermelha da figura em função de r. O comprimento do raio do círculo maior mede o dobro da medida do comprimento do raio r do círculo menor.
4. Calcule a medida de área das coroas circulares a seguir.
• Qual das duas coroas circulares tem maior medida de área?
5. Uma piscina olímpica mede 50 métros de comprimento, 25 métros de largura e 2 métros de profundidade. Já uma piscina semiolímpica mede 25 métros de comprimento, 20 métros de largura e 2 métros de profundidade.
a) Calcule a medida de volume, em litro, de cada piscina.
b) É possível encher completamente uma piscina olímpica com a medida de volume de água de duas piscinas semiolímpicas?
6. Uma construtora pretende comprar um terreno para construir um conjunto residencial. Para isso, fez uma pesquisa de preços de terrenos em uma região e descobriu que um terreno com 40 métros quadrados custava R$ 12.000,00doze mil reais.
Observe, na figura a seguir, um esquema do terreno que a construtora pretende comprar.
a) Considerando que cada quadradinho do esquema corresponde a 20 métros quadrados na realidade, qual é a medida da área desse terreno?
b) De acordo com os preços pesquisados pela construtora, calcule o preço do terreno.
7. Calcule a medida da área da parte colorida de cada figura sabendo que o lado do quadrado mede 4 centímetros de comprimento e que todas as curvas são arcos de circunferência.
a)
b)
Respostas e comentários
1. a) um octógono
1. b) 48 centímetros quadrados
2. 25 centímetros quadrados
3. 3πr 2
4. Coroa da esquerda: 7π centímetros quadrados, coroa da direita: 7,56π centímetros quadrados. A coroa da direita tem a maior medida de área.
5. a) Piscina olímpica: ..2500000 litros; piscina semiolímpica: ..1000000 litros
5. b) Não, pois a medida de volume de duas piscinas semiolímpicas é menor que a medida de volume de uma piscina olímpica.
6. a) 840 métros quadrados
6. b) R$ 252.000,00duzentos e cinquenta e dois mil reais
7. a) 4π centímetros quadrados
7. b) (8π ‒ 16) centímetros quadrados
Orientações e sugestões didáticas
Atividades de revisão
Objetivos
• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do Capítulo.
• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah um nove, ê éfe zero oito ême ah dois zero e ê éfe zero oito ême ah dois um da Bê êne cê cê.
Habilidades da Bê êne cê cê
• Algumas atividades desta seção contribuem para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um nove porque os estudantes poderão resolver problemas que envolvem medidas de áreas de figuras geométricas, com a possível utilização de expressões de cálculo. Algumas atividades também contribuem para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois zero porque os estudantes podem utilizar a relação entre um litro e um decímetro cúbico e entre um litro e um metro cúbico para resolvê-las. Por fim, a habilidade ê éfe zero oito ême ah dois um tem seu desenvolvimento favorecido ao propor a resolução de problemas que envolvem o cálculo da medida de volume de paralelepípedos.
Orientações
• Aproveite a realização dessas atividades para avaliar o aprendizado dos estudantes no que tange aos conceitos trabalhados no Capítulo. Procure identificar as dificuldades enfrentadas e planeje propostas que possam ajudá-los a superá-las.
(ê éfe zero oito ême ah um nove) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
(ê éfe zero oito ême ah dois zero) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.
(ê éfe zero oito ême ah dois um) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
8. Uma pista de corrida tem o formato da figura a seguir.
• Calcule a medida da área dessa pista sabendo que á ó = 20 métros e ó bê = 60 métros.
9. Observe os dois recipientes a seguir usados em uma experiência e, depois, responda às questões.
Os dois recipientes estão com água até a metade de sua capacidade.
a) Quantos litros de água há em cada recipiente?
b) Se mergulharmos uma peça com medida de volume igual a 200 centímetros cúbicos em cada recipiente, o nível da água subirá. Em qual dos dois recipientes o nível da água subirá mais em relação ao nível inicial?
c) Pensando na resposta do item anterior, por que isso ocorre?
10. Um helicóptero precisa pousar em uma região demarcada, como mostra a figura.
Sabendo que o comprimento do raio do círculo menor mede 3 métros e que a área da coroa circular delimitada pelos dois círculos mede 16π métros quadrados, calcule a medida de comprimento do raio do círculo maior.
11. (uél-Paraná) Na figura, a bê cê dê é um quadrado cujo lado mede a. Um dos arcos está contido na circunferência de centro C e raio a, e o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de
segmento de reta BCe de diâmetro a.
A área da região hachurada é:
a) um quarto da área do círculo de raio a.
b) um oitavo da área do círculo de raio a.
c) o dobro da área do círculo de raio
Sentença matemática. Fração a sobre 2..
d) igual à área do círculo de raio
Sentença matemática. Fração a sobre 2..
e) a metade da área do quadrado.
12. Calcule a medida de área da parte colorida da figura, em que todas as curvas são arcos de circunferência e á ó = á = 5 centímetros e ó bê = bit = 10 centímetros.
13.
(ú éfe ême gê) Considere um reservatório, em fórma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8 métros de comprimento, 5 métros de largura e 120 centímetros de profundidade. Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que, para se encher completamente esse reservatório, serão necessários:
a) 40 minutos
b) 240 minutos
c) 400 minutos
d) 480 minutos
Respostas e comentários
8. .3200(π + 5) métros quadrados
9. a) 1 litro em cada recipiente
9. b) no recipiente 2
9. c) Espera-se que os estudantes percebam que a medida de volume final será a mesma nos dois recipientes. Sendo assim, como a base do recipiente 2 é menor, o nível da água deverá subir mais nele do que no recipiente 1.
10. 5 métros
11. alternativa b
12. 75π centímetros quadrados
13. alternativa c
Orientações e sugestões didáticas
• Sugerimos algumas questões para que os estudantes possam refletir sobre suas aprendizagens e possíveis dificuldades no estudo deste Capítulo, as quais devem ser adaptadas à realidade da turma.
Oriente-os a fazer a autoavaliação, respondendo às questões no caderno com “sim”, “às vezes” ou “não”.
Eureticências
reticências sei identificar figuras equivalentes?
reticências recordo as fórmulas para calcular medidas de área de triângulos e quadriláteros?
reticências reconheço as unidades de medida de área?
reticências sei utilizar diferentes métodos para calcular a medida de área de uma figura plana?
reticências sei resolver situações-problema que envolvam cálculo de medidas de área de figuras geométricas planas por meio de procedimentos de decomposição?
reticências sei calcular a medida de área de superfícies planas por meio da composição e decomposição de figuras por aproximações?
reticências sei calcular a medida de área de regiões circulares?
reticências sei calcular a medida de área de um setor e de uma coroa circular?
reticências reconheço a relação entre volume e capacidade?
reticências sei determinar as frequências absoluta e relativa de uma amostra de uma população?