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CAPÍTULO 7 Cálculo algébrico

1 Expressões algébricas

Podemos utilizar a linguagem algébrica para representar sentenças ou fazer generalizações.

Observe a situação a seguir.

Ilustração. Mulher branca de cabelos castanhos preso, usando óculos de proteção transparente. Está vestindo camiseta preta, calça rosa, tênis verde e um jaleco branco, no bolso do jaleco, está escrito TI. Ela está sentada em uma cadeira, em frente a uma mesa, onde se encontra um teclado e um monitor. Ela está soldando uma placa conectada no monitor. No chão, maleta com ferramentas e objetos. Atrás da mulher, móvel com um vaso sobre ele.

Carla presta serviço como técnica de informática em uma empresa e recebe R$ 40,00quarenta reais por hora trabalhada.

Observe no quadro a seguir o valor recebido por Carla, de acordo com o número de horas trabalhadas por ela.

Número de horas trabalhadas	5	10	20	40
Valor recebido	R$ 200,00	R$ 400,00	R$ 800,00	R$ 1.600,00

Indicando por x a quantidade de horas trabalhadas, podemos representar o valor recebido por 40 ⋅ x.

Também podemos utilizar a linguagem algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

Vamos considerar a sequência dos números naturais positivos múltiplos de 10 que começa no número 10.

abre parênteses10, 20, 30, 40, 50, reticênciasfecha parênteses

Respostas e comentários

Os links expressos nesta coleção podem estar indisponíveis após a data de publicação deste material.

Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas neste Capítulo:

ê éfe zero oito ême ah zero quatro

ê éfe zero oito ême ah zero seis

ê éfe zero oito ême ah um zero

ê éfe zero oito ême ah dois três

Orientações e sugestões didáticas

Expressões algébricas

Objetivos

• Reconhecer que as representações algébricas permitem expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir problemas e favorecer suas possíveis soluções.

• Encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah zero seis e ê éfe zero oito ême ah um zero da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero seis da Bê êne cê cê porque os estudantes terão a oportunidade de resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações; e da habilidade ê éfe zero oito ême ah um zero por meio da atividade proposta no boxe Pensamento computacional.

Orientações

• A Álgebra relaciona-se com diversas áreas do conhecimento e é uma poderosa ferramenta para resolver problemas. Esse e outros aspectos dessa área da Matemática poderão ser percebidos e discutidos com os estudantes durante a leitura e a resolução das atividades propostas.

• Neste tópico, é feita uma retomada da distinção entre variável e incógnita e da utilização de expressões algébricas para representar problemas ou expressar regularidades encontradas em sequências numéricas. Sempre que possível, inicie a aula a partir dos conhecimentos previamente adquiridos pela turma.

(ê éfe zero oito ême ah zero seis) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

(ê éfe zero oito ême ah um zero) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.

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Nessa sequência:

• o 1º termo é 10, então 10 ⋅ 1;

• o 2º termo é 20, então 10 ⋅ 2;

• o 20º termo é 200, então 10 ⋅ 20;

• o enésimo termo pode ser expresso por 10 ⋅ n, em que n é um número natural maior ou igual a 1.

Observação

Em uma sequência, chamamos de nº termo (lê-se “enésimo termo”) o termo de ordem n.

Expressões como 40 ⋅ x e 10 ⋅ n são exemplos de expressões algébricas. As letras presentes nessas expressões são denominadas variáveis.

Exemplos

São exemplos de expressões algébricas:

• 2m + 1

• pao quadrado menos qao quadrado

• abre parêntesesx + yfecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos yfecha parênteses

•

\frac{2 x}{5}

‒

\frac{1}{2}

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Escreva uma expressão algébrica que represente a medida do perímetro de cada figura geométrica.

Figura geométrica. Triângulo azul, com cotas nos três lados indicando as medidas: a, b, a.

Figura geométrica. Figura de 12 lados, resultante de um retângulo, retirado um quadrado de cada um dos 4 cantos, os quadrados com mesma medida x de lado. Tem seus 8 ângulos retos indicados e a medida de comprimento de dois de seus lados indicados: 2x e 3x.

2. Usando apenas letras, escreva no caderno sentenças que generalizem igualdades como as mostradas a seguir para todos os números reais.

a) 3 + abre parênteses4 + 8fecha parênteses = abre parênteses3 + 4fecha parênteses + 8

b) 7 ⋅ 8 = 8 ⋅ 7

c) 2 ⋅ abre parênteses3 ⋅ 5fecha parênteses = abre parênteses2 ⋅ 3fecha parênteses ⋅ 5

3. O marceneiro Renato tinha um molde para fazer um porta-retratos retangular com medida de comprimento x e medida de largura y.

Ilustração. Homem branco, de cabelos e bigode grisalhos, vestido de camiseta preta, calça azul, sapato preto e avental preto. Usa óculos de proteção transparente e luvas nas mãos. Está medindo um pedaço de madeira com uma trena, em pé de frente para uma mesa de madeira com objetos de marcenaria. À direita, tábuas de madeira em pé, encostadas na parede.

Renato fez algumas modificações nesse molde.

• Ele cortou um pedaço, reduzindo a medida de seu comprimento em 4 centímetros.

• Depois, fez outro corte, reduzindo a medida de sua largura em 1 centímetro.

a) Qual expressão algébrica representa a medida do novo comprimento do molde?

b) Qual expressão algébrica representa a medida da nova largura?

c) Com esses cortes, o molde de Renato ficou com o formato de um quadrado. Qual era a diferença entre a medida do comprimento e a medida da largura, antes dos cortes?

d) Seria possível fazer apenas um corte para que o molde de Renato tivesse formato quadrado? Em caso afirmativo, explique como deveria ser o corte.

Respostas e comentários

1. a) 2a + b

1. b) 18x

2. Respostas em Orientações.

3. a) x menos 4

3. b) y menos 1

3. c) 3 centímetros

3. d) Sim. O corte deveria ser de apenas 3 centímetros no comprimento.

Orientações e sugestões didáticas

• Considerando que o ensino da Álgebra não deve se limitar aos cálculos de expressões algébricas descontextualizadas, as atividades desta página enfocam tanto em generalizações quanto na resolução de problemas.

• Na atividade 2, caso os estudantes tenham dificuldade para escrever a expressão algébrica que generaliza as igualdades, solicite que a expliquem oralmente.

Repostas da atividade 2:

a) a + abre parêntesesb + cfecha parênteses = abre parêntesesa + bfecha parênteses + c, em que a, b e c são números reais.

b) a ⋅ b = b ⋅ a, em que a e b são números reais.

c) a ⋅ abre parêntesesb ⋅ cfecha parênteses = abre parêntesesa ⋅ bfecha parênteses ⋅ c, em que a, b e c são números reais.

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pensamento computacional

Observe a sequência de figuras.

Figuras geométricas. Figura 1: quadradinho bege. Figura 2: Quadrado formado por 4 quadradinhos bege. Figura 3: Quadrado formado por 9 quadradinhos bege. Figura 4: Quadrado formado por 16 quadradinhos bege. Figura 5: Quadrado formado por 25 quadradinhos bege.

a) Quantos

tem a figura 6?

b) Escreva a expressão algébrica que representa o número de

da figura n.

c) Observe o esquema a seguir, com instruções para representar a figura 6 a partir da figura 5.

Fluxograma. Da esquerda para a direita: Início. Seta para a direita, indicando o quadro: Passo 1 Adicione uma coluna com n quadradinhos cinza à figura n. Seta para a direita, indicando o quadro: Passo 2 Adicione uma linha com abre parênteses, n mais 1, fecha parênteses quadradinhos cinza à figura obtida no passo 1. Seta para a direita indicando o quadro Fim

• Em seu caderno, faça um esquema com instruções para representar a figura (n + 1) a partir da figura n.

Valor numérico de uma expressão algébrica

Vamos analisar as situações a seguir.

Situação 1

Para uma festa, um bufê cobra uma taxa de R$ 1.500,00mil quinhentos reais mais R$ 40,00quarenta reais por criança de até 12 anos e R$ 50,00cinquenta reais por convidado com 13 anos ou mais.

No aniversário de Valentina havia 34 crianças e 16 convidados com mais de 12 anos. O bufê cobrou R$ 3.660,00três mil seiscentos e sessenta reais. Acompanhe como verificar se esse cálculo está correto:

R$ 1.500,00mil quinhentos reais + 34 ⋅ R$ 40,00quarenta reais + 16 ⋅ R$ 50,00cinquenta reais = R$ 1.500,00mil quinhentos reais + R$ 1.360,00mil trezentos e sessenta reais + R$ 800,00oitocentos reais = R$ 3.660,00três mil seiscentos e sessenta reais

Generalizando esse cálculo, a expressão algébrica que o bufê aplica ao fazer o orçamento, em real, de uma festa para c crianças e p convidados com mais de 12 anos é:

.1500 + c ⋅ 40 + p ⋅ 50 ou .1500 + 40c + 50p

O valor numérico dessa expressão para c = 34 e p = 16 é .3660.

Situação 2

A medida do volume (V ) de um cubo com aresta de medida de comprimento x pode ser expressa por xao cubo. Qual é a medida do volume de um cubo com aresta medindo 10 centímetros de comprimento?

Para responder a essa questão, basta substituir a letra x por 10 centímetros.

Logo, V = abre parênteses10 centímetros, ou seja, V = .1000 centímetros cúbicos.

O número .1000 é o valor numérico da expressão xao cubo para x = 10.

Para pensar

Quantos litros de água cabem em uma caixa cúbica como a representada? Explique como você pensou para responder à questão.

Figura geométrica. Cubo azul, com cotas na largura, comprimento e altura, indicando a medida 10 centímetros

Respostas e comentários

Pensamento computacional: a) 36; b) nao quadrado; c) Resposta em Orientações.

Para pensar: 1 litro de água; resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• A atividade proposta no boxe Pensamento computacional possibilita o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um zero, pois os estudantes são levados a construir um fluxograma que permite indicar as figuras seguintes de uma sequência não recursiva.

Complemente esta atividade pedindo aos estudantes que escrevam um passo a passo ou façam um fluxograma para determinar o número de quadradinhos de uma figura qualquer n. Uma possibilidade de resposta é:

Passo 1: Considere a posição n da figura.

Passo 2: Eleve n ao quadrado.

Passo 3: O resultado é o número de quadradinhos da figura na n-ésima posição.

• Retoma-se o conceito de valor numérico de uma expressão algébrica por meio de situações. Se achar conveniente, desenvolva cada uma das situações no quadro com a participação dos estudantes.

• No boxe Para pensar, espera-se que os estudantes indiquem, inicialmente, a medida do volume da caixa, ou seja, .1000 centímetros cúbicos. Então, como 1 centímetro cúbico corresponde a 1 mililitro, a medida do volume da caixa corresponde a .1000 mililitros ou 1 litro.

• Exemplo de resposta do item c do boxe Pensamento computacional:

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Situação 3

O valor numérico da expressão

\frac{20 b}{a - 3}

, para a = menos 3 e b = 9, é menos 30, pois:

\frac{20 \cdot 9}{‒ 3 - 3} = \frac{180}{‒ 6} = ‒ 30

Note que, seja qual for o valor de b, essa expressão não tem valor numérico para a = 3, pois o denominador seria igual a zero.

O valor numérico de uma expressão algébrica é o número que se obtém ao substituir as variáveis por números e efetuar as operações indicadas.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Calcule o valor numérico da expressão bao quadrado menos 4 ⋅ a ⋅ c para:

a) a = 1, b = 5 e c = menos 6

b) a = menos 1, b = menos 5 e c = 6

c) a = 1, b = menos 4 e c = 4

2. Escreva no caderno a expressão algébrica correspondente a cada sentença.

a) O dobro de um número s.

b) O consecutivo de um número natural y.

c) O quadrado de um número z.

d) O triplo de um número x adicionado à metade de x.

3. Observe a ilustração da balança em equilíbrio e faça o que se pede, sabendo que a medida de massa de cada bolinha é 1 quilograma e a de cada caixa é x quilograma.

Ilustração. Balança de dois pratos. No prato à esquerda, três caixas amarelas com estampa de estrelas e faixas roxas e uma bolinha verde. No prato à direita, oito bolinhas verdes e uma caixa amarela com estampa de estrelas e faixas roxas. A balança está em equilíbrio.

a) Aplique o conceito de igualdade e represente a situação por meio de uma sentença algébrica.

b) O que acontecerá com a balança se retirarmos uma caixa e uma bolinha de cada prato? Represente essa situação por meio de uma sentença algébrica.

c) Use a sentença algébrica obtida no item b para calcular a medida de massa de cada caixa.

d) Se a medida de massa de cada caixa for igual a 7 quilogramas, qual deverá ser a medida de massa de cada bolinha para que a balança continue em equilíbrio?

4. As caixas registradoras das redes de fast-food têm teclas associadas a alguns produtos. Apertando a tecla e indicando a quantidade do produto, o preço já aparece calculado. Analise o quadro de preços de uma dessas redes.

Preços de alguns produtos
Produto	X-Bolão	Oba-Cola	Sorvete
Preço (R$)	5	1,5	3

Ilustração. Menino branco de cabelo castanho escuro, blusa branca de mangas azuis e bermuda azul, está em pé na frente de um balcão. Atrás dele, homem branco de boné e camisa bege com mangas listradas de amarelo e vermelho. Atrás dele, máquina de suco, com três tipos de sucos diferentes e copos descartáveis brancos.

Danilo reuniu os pedidos dos amigos que estavam à mesa e foi até o caixa.

a) Quanto a turma gastou se, ao todo, foram pedidos 15 sanduíches X-Bolão, 11 refrigerantes Oba-Cola e 10 sorvetes?

b) Escreva uma expressão algébrica que indique o valor gasto, em real, ao serem pedidos x sanduíches, y refrigerantes e z sorvetes.

Elabore um problema utilizando os dados do enunciado. Depois, peça a um colega que resolva o seu problema e resolva o problema elaborado por ele.

Respostas e comentários

1. a) 49

1.b) 49

1. c) 0

2. a) 2 ⋅ s

2. b) y + 1

2. c) z ao quadrado

2. d)

3 \cdot x + \frac{x}{2}

3. a) 3x + 1 = x + 8

3. b) A balança continuará em equilíbrio; 2x = 7

3. c) 3,5 quilogramas

3. d) 2 quilogramas

4. a) R$ 121,50cento e vinte e um reais e cinquenta centavos

4. b) x ⋅ 5 + y ⋅ 1,5 + z ⋅ 3 ou 5x + 1,5y + 3z

4. c) Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Certifique-se de que os estudantes compreenderam o fato de que a expressão

\frac{20 b}{a - 3}

não admite valor numérico para a = 3, pois o denominador seria igual a zero, ou seja, não é possível dividir por zero.

• Nas atividades, os estudantes deverão resolver problemas que envolvem o cálculo do valor numérico de expressões algébricas. Caso tenham dificuldade, peça que façam as atividades em duplas, de modo que um possa ajudar o outro. Após terminarem, faça a correção comentada dessas atividades no quadro.

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2 Monômio

Ricardo trocará o piso da garagem de sua casa por lajotas retangulares. O esquema mostra a quantidade de lajotas que serão necessárias para cobrir todo o piso da garagem. Nesse esquema, x e y indicam a medida do comprimento e a medida da largura, em centímetro, de cada lajota.

Ilustração. Piso da garagem representado por uma figura composta por 6 linhas e oito colunas de pisos retangulares bege. Cada piso tem x de comprimento por y de largura.

Desconsiderando o espaço para os rejuntes entre as lajotas, podemos dizer que a medida do comprimento da garagem, em centímetro, pode ser indicado por 8 ⋅ x, a medida da largura, em centímetro, por 6 ⋅ y, e a medida da área, em centímetro quadrado, por 48 ⋅ x ⋅ y.

Observação

Costuma-se omitir o sinal de multiplicação nos monômios. O monômio 2 ⋅ x ⋅ yao quadrado , por exemplo, pode ser representado por 2xyao quadrado.

As expressões 8x, 6y e 48xy são exemplos de monômio, ou termo algébrico, ou ainda termo.

Monômio é um número ou uma expressão algébrica formada pela multiplicação de um número por uma ou mais letras. Essas letras devem sempre ser expressas na fórma de potência com expoentes naturais.

Em geral, podemos identificar duas partes nos monômios: o coeficiente e a parte literal. O coeficiente corresponde à parte numérica, e a parte literal corresponde às variáveis, incluindo seus expoentes.

Exemplos

Esquema. Expressão algébrica. 5 y elevado ao quadrado. Fio azul saindo acima do número 5 em direção à direita indicando coeficiente. Fio azul saindo abaixo de y ao quadrado em direção à direita indicando parte literal.

Esquema. Expressão algébrica. menos 3 sétimos de x ao quadrado vezes yz. Fio azul saindo acima de menos 3 sétimos em direção à direita indicando coeficiente. Fio azul saindo abaixo de x ao quadrado vezes yz em direção à direita indicando parte literal.

Para pensar

Leia a tirinha e, depois, responda às questões.

Tirinha. SEM PALAVRAS. História composta por quatro quadros, apresenta um macaco calvo de pelos marrom e um tucano de peito amarelo, penas pretas e bico verde. Quadro 1. O macaco com um livro e um lápis nas mãos diz: VAI TUCANO, SETE LETRAS: “EXPRESSÃO ALGÉBRICA FORMADA PELO PRODUTO DE UM NÚMERO POR UMA OU MAIS VARIÁVEIS COM EXPOENTES NATURAIS. o TUCANO FALA: xyzw elevado ao quadrado abc. Quadro 2. O macaco continua: SÉRIO? DEIXA EU OLHAR A RESPOSTA. O tucano responde: PODE OLHAR. quadro 3. O macaco fala: ESTÁ ERRADO! O CERTO É MONÔMIO. O tucano pergunta: O QUE EU FALEI? Quadro 4. O macaco fala: UM MONTE DE LETRINHA SEM SENTIDO. O tucano conclui: AS PALAVRAS CRUZADAS NÃO ESTÃO PREPARADAS PARA AS MINHAS RESPOSTAS GENIAIS.

a) Qual foi a intenção do tucano quando respondeu “xyzw ao quadradoabc ”?

b) Qual é o coeficiente e a parte literal do monômio que aparece na tirinha?

Respostas e comentários

Para pensar: Respostas em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

Monômio

Objetivos

• Introduzir o conceito de monômio.

• Reconhecer monômios semelhantes.

• Favorecer o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

Orientações

• Pergunte aos estudantes se a expressão algébrica 3 ⋅ x elevado a menos 1 é um monômio. Espera-se que eles respondam que não, pois o expoente da letra é negativo. Explique que, para ser um monômio, as letras devem ser expressas na fórma de potência com expoentes naturais. Também é possível perceberem que a expressão pode ser escrita como

\frac{3}{x}

, o que não é um monômio, pois contraria a definição ao apresentar a letra no denominador, indicando uma divisão e não uma multiplicação do número pela letra. Se julgar necessário, relembre aos estudantes que, se a é um número real não nulo e n é um número inteiro,

a^{‒ n}

= {(\frac{1}{a})}^{n}

• Pergunte aos estudantes se a expressão algébrica da tirinha do boxe Para pensar é ou não um monômio e peça que justifiquem suas respostas. Espera-se que eles digam que sim, porque a expressão algébrica zyzwao quadradoabc possui apenas multiplicação entre letras, que estão expressas na fórma de potência com expoentes naturais.

• Respostas do boxe Para pensar:

a) Espera-se que os estudantes respondam que a intenção do tucano foi fornecer um exemplo de monômio, em vez de falar a palavra monômio, a resposta da cruzadinha que o macaco estava preenchendo.

b) coeficiente: 1; parte literal: xyzwao quadradoabc.

Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

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Observações

• Todo número real não nulo é um monômio sem parte literal.

• O número zero chama-se monômio nulo.

• Costumam-se omitir os coeficientes 1 e menos1 dos monômios. Por exemplo:

1x = x menos1aao quadradob = menosaao quadradob

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Copie no caderno as expressões algébricas que podem ser classificadas como monômios.

a) menos xy elevado a menos 1

b) 75ax

c) menos aao quadradobx

\frac{1}{3} x y

e) 3a elevado a menos 3

f ) 9

g) 3x elevado a menos 2

h) abre parêntesesxy

i) πxy

2. Identifique o coeficiente e a parte literal dos monômios.

a) menos 3aao quadradob

b) menos x ao quadradoy

c) 3vbg

d) 7xy

e) z

f ) 2

\frac{1}{2}

‒ \frac{3}{5}

3. Em cada caso, escreva no caderno dois monômios que tenham:

a) o coeficiente igual a menos1;

b) a parte literal igual a pqao quadrado;

c) o coeficiente igual a

\frac{1}{5}

;

d) a parte literal igual a z.

4. Escreva no caderno três monômios que tenham:

a) a mesma parte literal e coeficientes diferentes;

b) o mesmo coeficiente e partes literais diferentes.

5. Qual é o monômio em cada caso?

a) Número de estudantes que vão ao parque de diversões em c ônibus com 45 estudantes em cada um.

Ilustração. Ônibus de viagem amarelo de dois andares. À sua frente, motorista de boné azul, vestido de camiseta azul clara e calça azul escura. Ao seu encontro uma fila de 5 crianças levando suas mochilas. Atrás do ônibus, outro ônibus idêntico. Ao fundo árvores e céu azul com poucas nuvens.

b) Preço de x calças jeans, cada uma custando n reais.

Ilustração. Mulher branca de cabelos castanhos e presos, vestida com uma camiseta estampada e calça azul, carrega uma bolsa marrom. Ela conversa com garoto loiro, vestido de camiseta azul-clara e calça azul escura, com uma mochila branca nas costas. Ao fundo 3 lojas de roupas com manequins expostos.

6. Escreva o monômio que representa a medida do perímetro dos seguintes polígonos com lados de medida de comprimento x:

Figura geométrica. Pentagrama (estrela de 5 pontas) verde, com indicação de lados congruentes.

Figura geométrica. Octógono laranja com indicação de lados congruentes.

7. Represente com um monômio a medida da área de cada figura.

a) Quadrado

b) Retângulo

Figura geométrica. Retângulo de lados medindo a e b.

c) Agora, calcule a medida da área de cada figura considerando x = 3 centímetros, a = 2 centímetros e b = 4 centímetros.

Respostas e comentários

1. alternativas b, c, d, f e ih

2. a) coeficiente: menos3; parte literal: a ao quadradob

2. b) coeficiente: menos1; parte literal: x ao quadradoy

2. c) coeficiente: 3; parte literal: vbg

2. d) coeficiente: 7; parte literal: xy

2. e) coeficiente: 1; parte literal: z

2. f ) coeficiente: 2; parte literal: não tem

2. g) coeficiente:

\frac{1}{2}

; parte literal: xy

2. h) coeficiente:

‒ \frac{3}{5}

; parte literal: x

3. Exemplos de respostas:

3. a) menosm; menosx ao quadrado

3. b) pq ²; menos 3pq ao quadrado

3. c)

\frac{1}{5}

\frac{1}{5}

x 2

3.d) menos 3z; 2z

4. Exemplos de respostas:

4. a) 1,8m ao quadrado; 6m ao quadrado; menosm ao quadrado

4. b) 4x; 4xy; 4x ao quadrado

5. a) 45c

5. b) xn

6. a) 10x

6. b) 8x

7. a) x ⋅ x ou x ao quadrado

7. b) ab ou ba

7. c) medida da área do quadrado: 9 centímetros quadrados; medida da área do retângulo: 8 centímetros quadrados

Orientações e sugestões didáticas

• Explique aos estudantes por que dizemos que um número real não nulo é um monômio de grau zero ou sem parte literal. Diga que todo número não nulo elevado a zero equivale a 1 e que 1 é o elemento neutro da multiplicação. Assim, por exemplo, 5 pode ser representado por 5xelevado a 0, que equivale a: 5 ⋅ 1 = 5.

• Caminhe pela sala de aula para verificar como os estudantes atribuem significado às situações apresentadas na atividade 5. Amplie a proposta e solicite a eles que criem situações que possam ser traduzidas por um monômio. Depois, peça que troquem com um colega as situações criadas e descubram o monômio que traduz cada situação criada por esse colega.

• As atividades 6 e 7 relacionam conceitos das unidades temáticas Geometria, Grandezas e medidas e Álgebra, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

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Monômios semelhantes

Observe os monômios:

4 x y^{2} z, ‒ x y^{2} z, \frac{x y^{2} z}{3}

e 15xy ao quadradoz

Eles têm em comum a parte literal abre parêntesesxyao quadradozfecha parênteses. Nesse caso, dizemos que são monômios semelhantes.

Monômios com a mesma parte literal são chamados monômios semelhantes.

Exemplo

‒ \frac{1}{2} a^{3} x^{2}

e 11a ao cubox ao quadrado são monômios semelhantes, pois têm a mesma parte literal abre parêntesesa ao cubox .

Observação

0,2abao quadrado e 0,2aao quadradob não são monômios semelhantes, pois a parte literal do primeiro abre parêntesesab é diferente da parte literal do segundo abre parêntesesaao quadradobfecha parênteses.

Note que, nesse caso, o fato de os dois monômios terem o mesmo coeficiente não faz deles monômios semelhantes.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe os quatro monômios do quadro e, depois, responda às questões.

A	B	C	D
7xy4	7x4y	2j2k2	−2j2k2

a) Quais são semelhantes?

b) Quais têm o mesmo coeficiente?

2. Um monômio é semelhante ao monômio 8pao cuboqao cubor elevado a 4 e tem coeficiente

\frac{1}{2}

. Qual é esse monômio?

3. Corrija as afirmações falsas.

a) Os monômios

\frac{3}{4} a b^{2} c

e 3abc ao quadrado têm a mesma parte literal.

b) O monômio 7xao quadradoza tem o mesmo coeficiente dos monômios

\frac{1}{7} x^{2} z a

e ‒7x ao quadradoza.

c) Os monômios 5, 5mn e 5pao quadrado têm o mesmo coeficiente, mas não são semelhantes.

4. Observe os monômios a seguir e identifique os que são semelhantes.

Ilustração. 6 retângulos coloridos de pontas arredondadas com um monômio na parte interna, divididos em duas linhas. Na primeira linha, da esquerda para a direita: em verde, 350 a elevado a 4 b elevado ao quadrado; em marrom, fração com numerador 4 x elevado a 5 e denominador 3; em laranja, menos y elevado a 7. Na segunda linha, da esquerda para a direita: em azul, 7; em vermelho, menos 2 x elevado a 5; em rosa, 2 abc d elevado ao cubo.

5. A medida do volume total das peças verdes é determinada pelo monômio 2xyz.

Figura geométrica. Pilha de paralelepípedos, lembrando 3 degraus de uma escada. Debaixo para cima: 3 paralelepípedos amarelos lado a lado. Acima, alinhados à direita, 2 paralelepípedos verdes. Acima, alinhado à direita, 1 paralelepípedo azul. No paralelepípedo amarelo à esquerda, cota indicando a medida de largura z e cota indicando o comprimento x. À direita, cota indicando o comprimento x. À direita, cota indicando o comprimento x e altura y. Acima, cota indicando altura y do paralelepípedo verde. Acima, cota indicando altura y do paralelepípedo azul e largura z.

a) Que monômio representa a medida do volume da peça azul? E a medida do volume total das peças amarelas?

b) As expressões que representam as medidas dos volumes das peças são monômios semelhantes?

Respostas e comentários

1. a) C e D

1. b) a e B

\frac{1}{2} p^{3} q^{3} r^{4}

3. a) Os monômios

\frac{3}{4} a b^{2} c

e 3abc ao quadrado não têm a mesma parte literal.

3. b) O coeficiente do monômio 7x ao quadradoza é diferente dos coeficientes de

\frac{1}{7} x^{2} z a

e de menos7x ao quadradoza.

\frac{4 x^{5}}{3}

e menos2x elevado a 5

5. a) xyz; 3xyz

5. b) sim

Orientações e sugestões didáticas

• Os estudantes deverão identificar os monômios e reconhecer os monômios semelhantes. Nessa fase introdutória, pode ser que considerem, por exemplo, abao quadrado e aao quadradob monômios semelhantes, por isso precisam ser estimulados a ficar atentos para evitar esse equívoco.

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3 Operações com monômios

Adição de monômios

Considere as situações a seguir.

Situação 1

A professora de Paola propôs a seguinte adição: 7ab ao quadrado + 4ab ao quadrado menos 2ab ao quadrado.

Acompanhe como Paola realizou a adição de monômios semelhantes.

Igualdade. 7a, b elevado ao quadrado, mais 4a, b elevado ao quadrado, menos 2a, b elevado ao quadrado, igual. Abaixo, igual, abre parênteses, 7 mais 4 menos 2, fecha parênteses, a, b elevado ao quadrado, igual a 9 a, b elevado ao quadrado. Um fio azul destacando a expressão a b ao quadrado e três setas saindo dela e apontando para os números 7, 4 e 2.

Uma expressão em que há apenas adição e subtração de monômios é chamada adição algébrica de monômios.

Para pensar

Como você faria para calcular

\frac{1}{2}

xz menos 3xz + 5xz?

Situação 2

Observe a figura com as medidas de comprimento dos lados indicadas por monômios semelhantes.

Figura geométrica. Octógono não convexo, lembra uma estrela de 4 pontas. As pontas na vertical têm seus 4 lados medindo z e suas pontas na horizontal têm seus 4 lados medindo 2z.

A medida do perímetro dessa figura pode ser representada pela seguinte adição algébrica de monômios:

z + 2z + 2z + z + z + 2z + 2z + z

Obtemos o resultado dessa adição aplicando a propriedade distributiva em relação à adição:

Esquema. 1z mais 2z mais 2z mais 1z mais 1z mais 2z mais 2z mais 1z igual Cada um dos números tem um colchete na horizontal e cada colchete está ligado a um fio para um colchete maior na horizontal em uma segunda expressão que engloba todos os números dentro dos parênteses. Igual, abre parênteses, 1 mais 2 mais 2 mais 1 mais 1 mais 2 mais 2 mais 1, fecha parêntese, z igual 12z

A adição algébrica de monômios semelhantes é efetuada adicionando-se algebricamente os coeficientes e mantendo-se a parte literal.

Foto. Garota negra de cabelos preto preso, vestindo uma camiseta branca e um casaco bege. Está com um braço cruzado e o outro levantado para cima com o dedo indicador apontado para cima também. Ela diz: As expressões algébricas representam números em determinado conjunto numérico. Por isso, as operações e as propriedades válidas para esses números também valem para as expressões algébricas.

Observações

• Podemos adicionar algebricamente apenas monômios semelhantes.

• A soma de monômios semelhantes pode ser o monômio nulo. Por exemplo: 5cy menos 5cy = abre parênteses5 menos 5fecha parêntesescy = 0cy = 0

Respostas e comentários

Para pensar: Exemplo de resposta

\frac{1}{2}

xz menos 3xz + 5xz =

(\frac{1}{2} - 3 + 5)

xz =

\frac{5}{2}

Orientações e sugestões didáticas

Operações com monômios

Objetivos

• Calcular a adição algébrica, a multiplicação, a divisão e a potenciação de monômios.

• Favorecer o desenvolvimento da competência geral 7 e das competências específicas 2, 3 e 8 da Bê êne cê cê.

Orientações

• É importante que os estudantes empreguem seus conhecimentos numéricos para realizar as adições algébricas, ficando sempre atentos à necessidade do conhecimento sobre monômios semelhantes. A situação geométrica apresentada para introduzir as operações com os monômios permite trabalhar com conceitos algébricos e geométricos de maneira articulada, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

• Após a resolução da proposta presente no boxe Para pensar, instigue os estudantes a compartilharem a estratégia empregada, pois compartilhar as diferentes estratégias contribui para ampliar o repertório de procedimentos de cálculo dos estudantes.

Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Competência específica 8: Interagir com seus pares de fórma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

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Exemplos

Esquema. Igualdade. 3x elevado ao quadrado menos 9x elevado ao quadrado mais 8x elevado ao quadrado, igual a abre parênteses 3 menos 9 mais 8, fecha parênteses x elevado ao quadrado, igual a 2 x elevado ao quadrado. Abaixo dos números 3 menos 9 e mais 8 à esquerda, linha azul, ligada a uma seta da esquerda para a direita indicando a adição no parênteses à direita 3 menos 9 mais 8.

Esquema. Igualdade. 1 inteiro e 4 décimos de x a elevado ao quadrado menos 8 décimos de x a elevado ao quadrado menos 2x a elevado ao quadrado, igual a abre parênteses 1 inteiro e 4 décimos menos 8 décimos menos 2, fecha parênteses x a elevado ao quadrado, igual a menos 1 inteiro e 4 décimos xa elevado ao quadrado. Abaixo dos números 1 inteiro e 4 décimos, menos 8 décimos e menos 2, à esquerda, linha azul, ligada a uma seta da esquerda para a direita indicando a adição nos parênteses à direita 1 inteiro e 4 décimos menos 8 décimos menos 2.

Esquema. Igualdade. 1 quarto de bt mais 6 bt menos 1 nono de bt, igual a abre parênteses 1 quarto mais 6 menos 1 nono, fecha parênteses bt, igual a abre parênteses, fração de numerador 9 mais 216 menos 4 e denominador 36, fecha parênteses bt, igual a 221, 36 avos de bt. Abaixo dos números um quarto, mais 6 e menos 1 nono, à esquerda, linha azul, ligada a uma seta da esquerda para a direita indicando a adição no parênteses à direita um quarto mais 6 e menos 1 nono.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Efetue as adições algébricas.

a) 3xy menos 11xy + 4xy

b) menosybao quadrado + ybao quadrado menos 7ybao quadrado + 15ybao quadrado

c) y + 3y menos 2y menos y

d) 0,5x + 1,4x + 2,8x menos 2x

‒ \frac{1}{3} a + \frac{5}{3} a - \frac{4}{3} a

f )

\frac{x^{2} y^{3}}{4} - \frac{2 x^{2} y^{3}}{3} + x^{2} y^{3}

\frac{1}{5} a b^{2} - 2 a b^{2} + \frac{4}{5} a b^{2}

\frac{\sqrt{2}}{2} a^{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} a^{3}

2. Simplifique a expressão algébrica dada e encontre o valor numérico da expressão resultante considerando x = menos1 e z = 1.

\frac{1}{4} x^{2} z - \frac{1}{4} x^{2} z

13 x z^{3} + \frac{3}{10} x z^{3} ‒ x z^{3} + x z^{3}

\frac{1}{3} x + \frac{1}{3} z

15 x z - (12 x z - 18 x z) + \frac{4}{5} x z

e) 0,3x ao quadradoz ao quadrado menos 0,25x ao quadradoz ao quadrado menos x ao quadradoz

3. Desenhe no caderno polígonos cujas medidas dos perímetros possam ser expressas pelos monômios a seguir.

a) 3x

b) 5a

4. Leia as situações e escreva no caderno o monômio que representa cada uma delas.

a) Na primeira semana de abril, uma escola recebeu x peças de roupas para doação. A cada semana, o número de doações dobrou em relação à semana anterior. Qual foi a quantidade total de peças arrecadadas nas 4 semanas do mês?

b) Em um jogo de basquete, Márcia fez y cestas de 3 pontos e 2y cestas de 2 pontos. Ela participou de mais três jogos, nos quais seu desempenho foi o mesmo. Que monômio representa o total de pontos de Márcia nessas partidas?

5. Os polígonos a seguir têm a mesma medida de perímetro.

Figura geométrica. Retângulo verde de medida de comprimento a e medida de largura 5 centímetros.

Figura geométrica. Triângulo amarelo de base medindo 11 centímetro e lados medindo a e 7 centímetros.

Calcule a medida de comprimento de a em centímetro.

Analise a figura para responder às questões.

Figura geométrica. Hexágono roxo, com as diagonais traçadas, dividido em 6 triângulos. Ao lado está escrito: medida da área de cada triângulo igual a ax sobre 2.

a) Qual é a medida da área dessa figura?

b) Que parte dessa figura tem medida da área igual a ax?

Respostas e comentários

1. a) menos4xy

1. b) 8yb ao quadrado

1. c) y

1. d) 2,7x

1. e) 0

1. f)

\frac{7 x^{2} y^{3}}{12}

1. g) menosab ao quadrado

1. h) 0

2. a) 0x ao quadradoz; valor numérico: 0

2. b)

\frac{133}{10}

xz ao cubo; valor numérico: menos13,3

2. c)

\frac{1}{3} (x + z)

; valor numérico: 0

2. d)

\frac{109}{5}

xz; valor numérico: menos21,8

2. e) 1,05x ao quadradoz ao quadrado; valor numérico: 1,05

3. Respostas em Orientações.

4. a) 15x

4. b) 28y

5. 8 centímetros

6. a) 3ax

6. b) A terça parte dessa figura.

Orientações e sugestões didáticas

• Exemplo de resposta do item a da atividade 3:

Figura geométrica. Retângulo cinza de medida de comprimento x e largura x sobre 2.

• Exemplo de resposta do item b da atividade 3:

Figura geométrica. Triângulo isósceles cinza de base a e lados congruentes 2a.

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Multiplicação de monômios

No retângulo a seguir, a medida do comprimento e a medida da altura são representadas por monômios.

Figura geométrica. Retângulo verde de medida de comprimento 3x e medida de largura 4xy.

A medida da área do retângulo é determinada pela multiplicação dos monômios 3x e 4xy.

Aplicando as propriedades comutativa e associativa da multiplicação, temos:

3x ⋅ 4xy = 3 ⋅ x ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y = abre parênteses3 ⋅ 4fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx ⋅ x ⋅ yfecha parênteses = 12x ao quadradoy

Fotografia. Garoto branco de cabelos castanhos claros, vestido de camiseta azul e calça azul escura, tênis azul de cadarço marrom com uma mochila vermelha nas costas e dois livros nas mãos, um azul embaixo de um amarelo aberto que o garoto está lendo. Ele diz: lembre-se de que, quando temos uma multiplicação de potências de mesma base, devemos manter a base e adicionar os expoentes: a elevado a n vezes a elevado a m é igual a a elevado a n mais m, em que a é um número real não nulo e n e m são números inteiros. Por isso, neste cálculo, fazemos: x vezes x é igual a x elevado a 1 vezes x elevado a 1, que é igual a x elevado a 1 mais 1, que é igual a x ao quadrado.

Observe outro exemplo de aplicação da multiplicação de monômios.

Figura geométrica. Paralelepípedo laranja de medida de comprimento 7ab, medida da largura a elevado ao quadrado e medida da altura b sobre 5.

Podemos obter a medida do volume do paralelepípedo anterior por meio da multiplicação dos monômios 7ab, aao quadrado e

\frac{b}{5}

, que representam suas medidas.

Aplicando as propriedades comutativa e associativa da multiplicação, temos:

7 ab \cdot a^{2} \cdot \frac{b}{5} = 7 \cdot a \cdot b \cdot 1 \cdot a^{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot b = (7 \cdot 1 \cdot \frac{1}{5}) \cdot (a \cdot a^{2} \cdot b \cdot b) = \frac{7}{5} a^{3} b^{2}

A multiplicação de monômios é efetuada multiplicando-se coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal.

Exemplos

• 7abfecha parênteses ⋅ 4aao quadradoyxfecha parênteses = 28aao cubobyx

•

\frac{3}{2} x y \cdot (‒ \frac{2}{7} x y) = ‒ \frac{3}{7} x^{2} y^{2}

Observação

Podemos multiplicar monômios semelhantes e monômios não semelhantes.

• Monômios semelhantes: a ao cubom ⋅ 3a ao cubom = 3a elevado a 6m ao quadrado

• Monômios não semelhantes: m ao quadrado ⋅ 1,2xabfecha parênteses = menos1,2xabm ao quadrado

Orientações e sugestões didáticas

• Ao estudar a multiplicação de monômios, os estudantes deverão aplicar as propriedades da multiplicação e da potenciação com números racionais. Se achar necessário, recorde com a turma essas propriedades.

Página 190

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe a figura e, depois, responda às questões.

Figura geométrica. Octógono não convexo, lembra 3 degraus de uma escada. Tem seus 6 ângulos retos indicados. Debaixo para cima, começando da primeira altura, tem-se as medidas: 2x, 2x, x, 3x, 2x e 5x.

a) Qual monômio representa a medida do perímetro da figura?

b) Qual monômio representa a medida da área dessa figura?

c) Os monômios que você encontrou nos itens a e b são semelhantes?

Observe este modo de calcular.

2x ao quadrado ⋅ 3x elevado a 5 ⋅ xelevado a 1 = abre parênteses2 ⋅ 3 ⋅ 1fecha parênteses ⋅ x elevado a 2 mais 5 mais 1

2x ao quadrado ⋅ 3x elevado a 5 ⋅ xelevado a 1 = 6x elevado a 8

Procedendo assim ou de outra maneira que você já conheça, calcule mentalmente e registre a resposta no caderno.

a) x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x

b) 8y ⋅ 3y elevado a 5 ⋅ yelevado a 10

c) 2xy elevado a 5 ⋅ 4xyfecha parênteses ⋅ xao cuboyelevado a 6

d) ab ⋅ ab ⋅ 3ab ⋅ abfecha parênteses

3. Considere as figuras a seguir.

Figura geométrica. Quadrado azul com cotas indicando a medida de comprimento do lado, x. Figura geométrica. Quadrado amarelo com cotas indicando a medida de comprimento do lado, 1 vírgula 5x.Figura geométrica. Retângulo verde com cotas indicando a medida de comprimento da base, 2x e a medida de comprimento da altura, x.

Alguns polígonos foram compostos com essas figuras. Encontre a medida do perímetro P e a medida da área S de cada polígono a seguir.

Figura geométrica. Retângulo formado por um quadrado azul à esquerda e um retângulo verde à direita.

Figura geométrica. Quadrado formado por 2 quadrados azuis acima e um retângulo verde abaixo.

Figura geométrica. Quadrado amarelo à esquerda e retângulo verde à direita

Figura geométrica. Retângulo formado por dois quadrados amarelos acima e um retângulo verde e um quadrado azul abaixo.

Respostas e comentários

1. a) 30x

1. b) 38xao quadrado

1. c) não

2. a) x elevado a 6

2. b) 24y elevado a 16

2. c) menos 8x elevado a 5y elevado a 12

2. d) menos 3a elevado a 4b elevado a 4

3. a) P = 8x e S = 3x ao quadrado

3. b) P = 8x e S = 4x ao quadrado

3. c) P = 9x e S = 4,25x ao quadrado

3. d) P = 11x e S = 7,5x ao quadrado

Orientações e sugestões didáticas

• Peça aos estudantes que formem duplas para a realização das atividades. Deixe-os livres para utilizar as estratégias que lhes forem convenientes e percorra as duplas para verificar as principais dificuldades. Após terminarem, proponha que apresentem as soluções no quadro e faça perguntas que possibilitem argumentarem matematicamente, por exemplo: “Como você chegou a essa solução? Explique aos colegas por que fez dessa maneira e não de outra”. Estará, assim, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 7 e da competência específica 2 da Bê êne cê cê.

• Para resolver o item b da atividade 1, os estudantes podem decompor a figura em três quadrados, calcular a medida de área de cada um deles e, em seguida, adicioná-las para encontrar a medida da área total.

Ilustração. Quadrado A1 com as seguintes cotas indicando suas medidas 5x e 2x mais x mais 2x. Ao lado, quadrado A2 com as seguintes cotas indicando suas medidas 3x e x mais 2x. Ao lado, quadrado A3 com as seguintes cotas indicando suas medidas 2x e 2x.

áíndice 1 = 5x ⋅ abre parênteses2x + x + 2xfecha parênteses = 5x ⋅ 5x = 25xao quadrado

áíndice 2 = 3x ⋅ abre parêntesesx + 2xfecha parênteses = 3x ⋅ 3x = 9xao quadrado

áíndice 3 = 2x ⋅ 2x = 4xao quadrado

á_total = áíndice 1 +áíndice 2 + áíndice 3 = 25xao quadrado + 9xao quadrado + 4xao quadrado = 38xao quadrado

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Divisão de monômios

Vamos calcular o resultado de abre parênteses36xelevado a 4yelevado a 6zfecha parênteses dividido por 9xao quadradoy.

Para facilitar, escrevemos o quociente em fórma de fração. Observe.

Esquema. Sentença matemática. Abre parênteses 36 x elevado a 4 y elevado a 6 z, fecha parênteses, dividido por abre parênteses menos 9 x elevado ao quadrado y elevado ao cubo, fecha parênteses; igual a fração 36 x elevado a 4 y elevado a 6 z sobre menos 9 x ao quadrado y ao cubo; igual a fração 36 sobre menos 9, fim da fração, vezes fração x elevado a 4 sobre x elevado ao quadrado, fim da fração, vezes fração y elevado a 6 sobre y elevado ao cubo, fim da fração, vezes z; igual a menos 4 x elevado a 4 menos 2, fim do expoente, y elevado a 6 menos 3, fim do expoente, z; igual a menos 4 x elevado ao quadrado y elevado ao cubo, z.
Linha azul acima da fração 36 sobre menos 9, com seta à direita, indicando o resultado menos 4.
Linha azul abaixo de fração x elevado a 4 sobre x elevado ao quadrado, fim da fração, vezes fração y elevado a 6 sobre y elevado ao cubo, fim da fração, vezes z, com seta à direita, indicando o resultado x elevado a 4 menos 2, y elevado a 6 menos 3, z.

O quociente dessa divisão é menos 4xao quadradoyao cuboz.

A divisão de monômios, com divisor diferente de zero, é efetuada dividindo-se coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal.

Recorde

Para dividir potências de mesma base, devemos manter a base e subtrair os expoentes.

aelevado a n dividido por a elevado a m = aelevado a nelevado a m, em que a é um número real não nulo e n e m são números inteiros.

Exemplos

Esquema. Sentença matemática. Abre parênteses menos 15 a elevado a 5, b elevado ao cubo, fecha parênteses, dividido por, abre parênteses, menos 3a, fecha parênteses; igual a fração menos 15 a elevado a 5, b elevado ao cubo, sobre menos 3a, igual a fração menos 15 sobre menos 3, vezes fração a elevado a 5 sobre a, fim da fração, vezes b elevado ao cubo; igual a mais 5 a elevado a 5 menos 1, fim do expoente, b elevado ao cubo; igual a 5 a elevado a 4 b ao cubo. Linha azul acima de menos 15 sobre menos 3, com seta à direita indicando mais 5. Linha azul abaixo de a elevado a 5 sobre a, fim da fração, vezes b ao cubo, com seta à direita indicando a elevado a 5 menos 1, fim do expoente, b ao cubo. Abaixo, sentença matemática. Abre parênteses 5 décimos de ab, fecha parênteses, dividido por, abre parênteses, 25 centésimos de ab, fecha parênteses; igual a 5 décimos de ab sobre 25 centésimos de ab; é igual a 5 décimos sobre 25 centésimos, fim da fração, vezes a sobre a, fim da fração, vezes b sobre b; igual a 2 vezes a elevado a 0 vezes b elevado a 0; igual a 2. Linha azul acima de 5 décimos sobre 25 centésimos, com seta à direita indicando 2. Linha azul abaixo de a sobre a, fim da fração, vezes b sobre b, com seta à direita indicando a a elevado a 0 vezes b elevado a 0.

Observações

• Podemos dividir monômios não semelhantes.

• O quociente de dois monômios nem sempre é um monômio.

•

(‒ 20 x^{5} b^{6}) : (‒ 4 x^{6} b^{4}) = \frac{‒ 20 x^{5} b^{6}}{‒ 4 x^{6} b^{4}} = \frac{‒ 20}{‒ 4} \cdot \frac{x^{5} b^{6}}{x^{6} b^{4}} = \frac{5 b^{2}}{x}

• Podemos verificar o resultado de uma divisão de monômios efetuando a operação inversa, ou seja, a multiplicação.

Divisão: abre parênteses40d ao cuboe elevado a 5f dividido por abre parênteses2de elevado a 5f fecha parênteses = 20d ao quadradof

Verificação: abre parênteses20d ao quadradof fecha parênteses ⋅ abre parênteses2de elevado a 5f fecha parênteses = 40d ao cuboe elevado a 5f ao quadrado

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Efetue as divisões.

a) abre parênteses+24a elevado a 5b ao cuboc ao quadradofecha parênteses dividido por abre parênteses+6a elevado a 4belevado a 1c ao quadradofecha parênteses

b) 100x 6y 4zfecha parênteses dividido por 25xyzfecha parênteses

c) abre parênteses13a ao cubobelevado a 0c elevado a 6fecha parênteses dividido por abre parêntesesmenos 0,5a ao quadradoc elevado a 6fecha parênteses

(\frac{2}{3} x y) : (‒ \frac{1}{2} x y)

2. Retome a atividade anterior, multiplique o quociente obtido pelo divisor e verifique se o produto é igual ao dividendo.

3. Encontre o monômio que:

a) adicionado ao monômio yes resulta no monômio menos22yes;

b) multiplicado pelo monômio yes resulta no monômio 12y ao quadradoeao cubos.

4. Corrija as sentenças falsas no caderno.

a) abre parênteses12xao cuboafecha parênteses dividido por abre parênteses12xao cuboafecha parênteses = 0

b) abre parênteses0,5mt ao quadradofecha parênteses dividido por abre parêntesesmtfecha parênteses = 0,5m

c) abre parêntesesxyzfecha parênteses dividido por abre parênteses0,5xfecha parênteses = 0,5yz

(\frac{49 m^{4}}{3}) : (49 t) = \frac{m^{4}}{3 t}

Respostas e comentários

1. a) 4ab ao quadrado

1. b) 4x elevado a 5y ao cubo

1. c) menos 26a

1. d)

‒ \frac{4}{3}

2. Espera-se que os estudantes verifiquem que sim, pois a multiplicação é a operação inversa da divisão.

3. a) menos23yes

3. b) 12ye ao quadrado

4. a) abre parênteses12x ao cuboafecha parênteses dividido por abre parênteses12x ao cuboafecha parênteses = 1

4. b) abre parênteses0,5mt ao quadradofecha parênteses dividido por abre parêntesesmt fecha parênteses = 0,5t

4. c) xyz dividido por 0,5x = 2yz

Orientações e sugestões didáticas

• Acompanhe a realização das atividades pelos estudantes e incentive-os a socializar as respostas e o modo como pensaram. Iniciativas como essas contribuem para que eles, aos poucos, ampliem o seu repertório de cálculo.

• Com a exploração da potenciação de monômios, faça um balanço dos estudos sobre monômios, recordando as principais ideias e as relações das operações aritméticas e algébricas já discutidas.

Página 192

Lembre-se: Escreva no caderno!

A caçamba de uma picape foi projetada de acordo com a figura a seguir.

Ilustração. Picape, a frente do carro está à direita em rosa e a caçamba à esquerda em marrom. A caçamba tem formato de paralelepípedo, cotas indicando as medidas de comprimento 6x, largura l cursivo e altura x.
Cota abaixo: projeto antigo

Reavaliado o projeto, concluiu-se que a medida do volume V e a medida da largura

devem ser preservadas, mas a nova medida de comprimento deve ser 4x.

• Qual deve ser a medida da nova altura h da caçamba?

Potenciação de monômios

Qual expressão pode representar a medida da área do quadrado a seguir?

Figura geométrica. Quadrado azul de lado medindo 2 x ao cubo y.

A medida da área desse quadrado pode ser dada pela potência de um monômio: abre parênteses2xao cuboy

Aplicando a definição de potências: abre parênteses2xao cuboy = abre parênteses2xao cuboyfecha parênteses ⋅ abre parênteses2xao cuboyfecha parênteses, que é uma multiplicação de monômios.

Assim:

abre parênteses2x ao cuboy = 2 ⋅ 2 ⋅ x ao cubo ⋅ x ao cubo ⋅ y ⋅ y = 2ao quadrado ⋅ abre parêntesesx ⋅ y ao quadrado = 4x elevado a 6y ao quadrado

Ilustração. Mulher de cabelos pretos compridos e presos, vestida de camiseta branca e calça azul marinho, com um caderno no braço direito e o outro braço com o dedo indicador apontando para frente. Ela diz: Lembre-se de que, para obter a potência de uma potência, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. Abre parênteses, a elevado a m, fecha parênteses, elevado a n, é igual a a elevado a m vezes n, em que a é um número real não nulo e m e n são números inteiros.

Portanto: abre parênteses2x ao cuboy = 4x elevado a 6y ao quadrado

A potência de um monômio é obtida elevando-se o coeficiente e cada fator da parte literal ao expoente dado.

Exemplos

• abre parênteses0,2ab = abre parênteses0,2ab = 0,008aao cubobelevado a 6

•

{(‒ \frac{5 m^{3} n^{2}}{2^{2}})}^{4} = {(‒ \frac{5}{2^{2}})}^{4} {(m^{3})}^{4} {(n^{2})}^{4} = \frac{625}{256} m^{12} n^{8}

Respostas e comentários

5. h = 1,5x

Orientações e sugestões didáticas

• A seguir, sugerimos uma atividade lúdica, que proporciona interações entre os estudantes. Faça uma proposta de construção de um dominó de operações com monômios em que os estudantes deverão construir as peças em papel‑cartão e depois jogar em quartetos. As regras deverão ser parecidas com as do dominó tradicional, que muitos deles já conhecem. O dominó deverá ser construído com 28 peças da seguinte maneira: metade de cada peça deverá apresentar uma operação com monômios e a outra metade, o resultado de uma operação de monômios, de modo que a operação de uma peça tenha o resultado em outra peça. Essa proposta favorece o desenvolvimento da competência específica 8 da Bê êne cê cê.

Página 193

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Efetue a potenciação dos monômios.

a) 3a elevado a 7by

{(‒ \frac{1}{2} x^{3} y z^{2})}^{3}

2. Calcule.

a) x + 2x + 4x menos x + 5x

b) 5xyfecha parênteses ⋅ y + 3y ⋅ 2xfecha parênteses

c) 12a elevado a 5y dividido por 2aao quadradoy menos 3ayfecha parênteses

{(\frac{2 a^{4} y^{2}}{3})}^{3} : {(‒ \frac{4 a^{5} y^{3}}{6})}^{2}

{(\frac{m n}{0, 5})}^{2} \cdot (‒ 0, 25 m n^{2})

3. Determine:

a) o cubo do monômio menos1,1x ao cuboyz ao quadrado;

b) o quadrado da soma de 6abao quadrado com 3bao quadradoa.

4. A figura a seguir é formada por vários cubos.

Figura geométrica. A figura geométrica é formada por 7 cubos roxos. Na parte inferior, tem-se 3 cubos alinhados, à frente, 2 cubos alinhados à esquerda, à frente 1 cubo alinhado à esquerda. Acima da primeira fila de cubos, 1 cubo, à esquerda. Cota indicando a medida de comprimento da aresta, 2x.

• Determine:

a) o monômio que representa a medida do volume de cada cubo;

b) o monômio que representa a medida do volume total dessa figura;

c) a medida do volume dessa figura para x = 2,5 centímetros.

4 Polinômio

Observe os blocos retangulares e o diálogo entre Guilherme e sua professora.

Sólido geométrico. Prisma retangular verde, com cotas indicando, comprimento da base, 2x; comprimento da largura da base, x; altura do prisma, 2x. Sólido geométrico. Prisma retangular laranja, com cotas indicando, comprimento da base, 3x; comprimento da largura da base, 3; altura do prisma, x.. Sólido geométrico. Prisma retangular azul, com cotas indicando, comprimento da base, 4; comprimento da largura da base, 3; altura do prisma, x.

Ilustração. À direita, quadro verde de giz. À frente, mulher branca de cabelo castanho claro, vestida de camisa branca e calça preta. Ela segura um livro aberto. À esquerda, garoto branco de cabelo castanho, vestido de camiseta vermelha e calça azul escura. Ele está sentado em uma carteira, segura um lápis com a mão direita sobre um papel sobre a carteira, a outra mão está levantada, gesticulando enquanto fala: Professora, a soma das medidas dos volumes desses blocos pode ser representada por um monômio? Ela responde: Não, porque a expressão 4 x ao cubo mais 9 x ao quadrado mais 12x, que representa a soma das medidas dos volumes desses blocos, é uma adição de monômios não semelhantes. Essa expressão é um exemplo de polinômio.

Polinômio é um monômio ou uma soma finita de monômios.

Respostas e comentários

1. a) 81a elevado a 28b elevado a 4y elevado a 16

1. b)

‒ \frac{1}{8} x^{9} y^{3} z^{6}

2. a) 9x ao quadrado

2. b) 49xy ao cubo

2. c) 0

2. d)

\frac{2 a^{2}}{3}

2. e) menosm ao cubon elevado a 4

3. a) menos1,331x elevado a 9y ao cuboz elevado a 6

3. b) 81a ao quadradobelevado a 4

4. a) 8x ao cubo

4. b) 56x ao cubo

4. c) 875 centímetros cúbicos

Orientações e sugestões didáticas

• Observe se, no item a da atividade 2, os estudantes calculam a adição algébrica dos monômios semelhantes antes das potências.

• No item b da atividade 2, observe se os estudantes calculam as potências e as multiplicações antes da adição algébrica dos monômios semelhantes.

Polinômio

Objetivos

• Introduzir o conceito de polinômio.

• Reduzir os termos semelhantes de um polinômio.

• Reconhecer polinômios com uma variável.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero seis e da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero seis da Bê êne cê cê porque os estudantes resolverão problemas que envolvam o cálculo do valor numérico de um polinômio.

Orientações

• As figuras geométricas são um recurso interessante para dar significado e continuidade aos estudos da Álgebra, ampliados agora para os polinômios. Essa opção favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê porque mobiliza conceitos de Geometria, Grandezas e medidas e Álgebra. Vale destacar que, como o polinômio é uma soma finita de monômios, o trabalho desenvolvido anteriormente é crucial para a compreensão desse conceito.

• Chame a atenção dos estudantes para o fato de que todo monômio é também um polinômio, mas nem todo polinômio é um monômio.

(ê éfe zero oito ême ah zero seis) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

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Exemplos

• 4xy ao quadrado + 3x + 6

Tem três termos.

•

\frac{3 x y}{4} + x^{2} + 7 x ‒ 10

Tem quatro termos.

Observações

• Uma soma de monômios semelhantes é um monômio, que é um polinômio de um só termo.

• O termo do polimônio que não apresenta variáveis (letras) é chamado termo independente. Nos exemplos anteriores, o termo independente do primeiro polinômio é 6 e o do segundo é ‒10.

• Um polinômio formado pelo monômio nulo é chamado polinômio nulo.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Escreva um polinômio que tenha:

a) dois termos e que o termo independente seja um número negativo;

b) cinco termos e que o termo independente seja um número racional;

c) dois termos, um deles com parte literal pqao quadrado e o outro com coeficiente 1.

2. Qual dos polinômios a seguir está de acordo com todas as condições citadas?

• Seu termo independente é zero.

• Seu valor numérico para x = menos1 é 12.

a) xao quadrado + x + 12

\frac{3 x}{5} + x^{3}

c) 20xao quadrado + 8x

d) menosx elevado a 4 + 0x ao cubo menos 12

3. Observe a figura.

Figura geométrica. Quadrado formado por um quadrado azul, dois retângulos verdes, com lados comuns a dois lados adjacentes ao quadrado azul e quadrado vermelho, com dois lados adjacentes aos lados do retângulo verde. Cotas, indicando as medidas: lado do quadrado azul, 4x; medida do menor comprimento do retângulo verde 3. No centro do quadrado azul há uma cruz vermelha com todos os 8 lados de medida x.

• Determine o monômio que representa a medida da área da região:

a) vermelha;

b) verde;

c) laranja;

d) azul.

4. Observe os segmentos de reta. Em seguida, escreva o polinômio que representa a medida de

\overline{A D}

em cada caso.

Segmento de reta com 4 pontos, da esquerda para à direita: A, B, C e D. Cotas indicando a medida de comprimento de cada segmento: Segmento AB, a ao quadrado b; segmento BC, x sobre 2; segmento CD, y.

Segmento de reta com 3 pontos, da esquerda para à direita: A, D e B. Cotas indicando a medida de comprimento de cada segmento: segmento AB, 5xy; segmento DB, 2xy.

5. Represente cada situação por meio de um polinômio.

a) A idade de Clara e de sua filha daqui a x anos. Hoje, Clara tem 28 anos e a filha, 7 anos.

b) O total de dinheiro, em real, de Bruna, considerando que ela tem x moedas de R$ 0,25zero reais e vinte e cinco centavos, y moedas de R$ 0,05zero reais e cinco centavos e z moedas de R$ 1,00um reais.

Elabore uma situação que pode ser representada por meio de um polinômio, como nos itens da atividade anterior. Em seguida, troque a situação proposta com um colega para que ele a represente por meio de um polinômio e, por fim, avaliem se os polinômios escritos estão adequados.

Respostas e comentários

1. Exemplos de resposta:

1. a) 5a menos 7

1. b)

‒ x^{2} + 4 x + a - 2 b - \frac{5}{2}

1. c) 3pq ao quadrado + q

2. alternativa c

3. a) 9

3. b) 24x

3. c) 5x ao quadrado

3. d) 11x ao quadrado

4. a)

a^{2} b + \frac{x}{2} + y

4. b) 3xy

5. a) 28 + x e 7 + x

5. b) 0,25x + 0,05y + z

6. Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Ao propor a realização das atividades, chame a atenção dos estudantes para o significado de "termo independente", destacado no boxe Observações. Pergunte se eles sabem o motivo dessa nomenclatura. É um termo independente de quem ou de quê? Espera-se que eles estabeleçam a relação entre ser independente e não estar acompanhado de letras.

• Acompanhe o trabalho dos estudantes e proponha-lhes que compartilhem e discutam as respostas das atividades. Assim, pode-se verificar se eles de fato aprenderam as ideias estudadas até o momento.

• Para resolver a atividade 3, oriente a turma a analisar a figura atentamente. Assim:

a) A região vermelha é formada por um quadrado cujo lado mede 3 de comprimento; logo, sua medida de área é abre parênteses3fecha parêntesesao quadrado = 9.

b) A região verde é formada por dois retângulos cujos lados medem 3 e 4x de comprimento; logo, sua área mede:

2 ⋅ abre parênteses3 ⋅ 4xfecha parênteses = 2 ⋅ abre parênteses12xfecha parênteses = 24x

c) Observando a região laranja, verificamos que é composta de 5 quadrados com lados medindo x de comprimento; logo, sua medida de área é 5xao quadrado.

d) Observando a região azul, notamos que sua medida de área corresponde à diferença entre a medida da área de um quadrado com lado medindo 4x de comprimento e a medida da área da região laranja. Então, a área da região azul mede:

abre parênteses4x menos 5xao quadrado = 16xao quadrado menos 5xao quadrado = 11xao quadrado

• Na atividade 6, é importante acolher os contextos trazidos pelos estudantes na elaboração das situações-problema, considerando o repertório, as culturas juvenis e os diferentes interesses deles.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

7. Luciano faz estantes e cobra R$ 40,00quarenta reais por metro quadrado de madeira usada na confecção do móvel fabricado, além de R$ 30,00trinta reais pela entrega. Represente algebricamente o valor que Luciano cobra por uma estante com duas tábuas verticais medindo x metros e quatro prateleiras de y metros de comprimento, todas com medida de largura igual a 40 centímetros.

Ilustração. Estante de madeira com 4 prateleiras, cotas indicando medida de comprimento da prateleira, y metros; e medida de comprimento da altura da prateleira, x metros.

8. Lina vende salgados e doces para festas. O cento de salgados custa R$ 60,00sessenta reais, e o de doces custa R$ 68,00sessenta e oito reais. No caso de uma encomenda de x centenas de salgados e y centenas de doces, qual é a expressão que representa o total arrecadado:

a) com essa encomenda?

b) em três encomendas como essa?

Com um colega, analise a tirinha de Níquel Náusea a seguir.

Tirinha. História composta por 5 quadros, apresenta um rato azul e um rato cinza, sobre a grama e fundo céu preto com estrelas. Quadro 1. Rato azul fala: PENSE NUM NÚMERO DE UM A DEZ! O rato cinza responde: ÃN. Quadro 2. O rato azul diz: AGORA MULTIPLIQUE POR TRÊS E SOME CINCO! O rato cinza responde: ÃN. Quadro 3. O rato azul continua: DIVIDA POR DOIS E SOME MAIS QUATRO! O rato cinza responde: ÃN. Quadro 4. O rato azul pergunta: POSSO ADIVINHAR? O rato cinza responde: PODE! Quadro 5. O rato azul fala: VOCÊ NEM SEQUER PENSOU NO PRIMEIRO NÚMERO. O rato cinza responde: FANTÁSTICO!

a) Escrevam no caderno um polinômio que represente o problema proposto nessa tirinha.

b) Se o rato da direita tivesse pensado no número 5, qual seria o resultado obtido?

10.

Marlene confecciona embalagens para presentes. O preço da embalagem é proporcional à medida da área da superfície total das caixas, que têm o formato de blocos retangulares de dimensões x, y e z. Escreva um polinômio que represente a medida da área da superfície dessas caixas.

11.

Um conjunto de 1 mesa de jantar e 6 cadeiras está em promoção. Qual é o polinômio que representa o preço do conjunto se a mesa custa y reais, cada cadeira custa x reais e a oferta propõe um desconto de 15% sobre esses valores?

Respostas e comentários

7. 32x + 64y + 30

8. a) 60x + 68y

8. b) 180x + 204y

9. a)

\frac{3 x + 5}{2} + 4

9. b) 14

10. 2xy + 2xz + 2yz

11. abre parênteses0,85y + 5,1xfecha parênteses reais

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 10, espera-se que os estudantes percebam que devem representar as medidas das arestas das caixas pelas letras x, y e z. Para determinar a medida da área da superfície das caixas, deverão determinar a medida da área de cada face das caixas, assumindo que são retangulares, e adicionar os resultados.

Esquema. Sólido geométrico. Paralelepípedo cinza. Cotas indicando a medida de comprimento da base, y; medida da largura da base, x; medida da altura do sólido, z. Linha saindo da face superior e indicando: face 1. Linha saindo da face frontal e indicando: face 2. Linha saindo da face lateral direita e indicando: face 3.

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Redução de termos semelhantes

Alguns polinômios contêm monômios (ou termos) semelhantes. Nesses casos, convém adicionar esses termos semelhantes para obter o polinômio reduzido. Observe o exemplo a seguir.

Esquema. Igualdade. 3 x elevado a 5 y menos 4 x elevado a 4 mais b ao quadrado mais 2x menos 2 x elevado a 5, y mais x ao cubo mais 1 menos x elevado a 5, y menos 7 menos 5 x elevado a 4; igual 3 x elevado a 5, y menos 2 x elevado a 5, y menos x elevado a 5, y menos 4 x elevado a 4 menos 5 x elevado a 4, mais b ao quadrado mais 2x mais x ao cubo mais 1 menos 7; igual, abre parênteses, 3 menos 2 menos 1, fecha parênteses x elevado a 5, y mais abre parênteses, menos 4 menos 5, fecha parênteses x elevado a 4 mais b ao quadrado mais 2x mais x ao cubo mais 1 menos 7; igual, 0 x elevado a 5, y mais abre parênteses, menos 9, fecha parênteses x elevado a 4 mais b ao quadrado mais 2x mais x ao cubo menos 6; igual, menos 9 x elevado a 4 mais b ao quadrado mais 2x mais x ao cubo menos 6. Linha azul partindo do resultado e indicando: polinômio reduzido.

Alguns polinômios recebem nomes especiais de acordo com o número de termos em sua fórma reduzida. Observe.

Nome	Número de termos
Monômio	1
Binômio	2
Trinômio	3

Os polinômios reduzidos com mais de três termos não recebem nomes especiais.

Saiba mais

Significado dos prefixos:

• : do grego mónos, “único, só, um só ser”.

• bi: prefixo latino, “duas vezes”.

• tri: do latim

, “três, três vezes, três partes”.

Polinômio com uma variável

Observe os polinômios reduzidos a seguir.

• 7x elevado a 4 + 2x ao cubo menos 10x ao quadrado

• 3x elevado a 5 menos 2

• x elevado a 4 + x ao cubo + x + 2

O que esses polinômios têm em comum?

Eles são polinômios com uma única variável, que é x.

Analise outros exemplos:

• 14y elevado a 4 menos 6y ao quadrado + 2 abre parêntesesvariável yfecha parênteses

• 16z ao quadrado menos 2z + 6 abre parêntesesvariável zfecha parênteses

Observações

• Em um polinômio com uma só variável, o maior expoente da variável é chamado grau do polinômio. Por exemplo: 8x menos 3x elevado a 4 + 0,4x ao quadrado menos 5 é um polinômio de grau 4.

• É costume ordenar os termos de um polinômio com uma variável de acordo com os expoentes decrescentes dessa variável. Por exemplo: menos3y ao cubo + y ao quadrado menos y + 1

• Quando falta um ou mais termos com variável de expoente menor que n em um polinômio de grau n, o polinômio é chamado incompleto. Escrevemos um polinômio incompleto na fórma geral (ou completa) introduzindo, com coeficiente zero, os termos que faltam. Por exemplo, a fórma geral de x ao quadrado + 9 é x ao quadrado + 0x + 9.

Orientações e sugestões didáticas

• É importante que os estudantes compreendam que reduzir termos semelhantes de um polinômio é o mesmo que adicionar os monômios semelhantes.

• Atente para o fato de os polinômios poderem ser classificados pelo número de termos e pelo maior expoente da variável, quando se trata de um polinômio de uma única variável. Peça aos estudantes que deem exemplos de monômios, binômios e trinômios.

• No boxe Saiba mais, se achar oportuno, pode ser proposto um trabalho aos estudantes em que eles busquem outros prefixos usados na Matemática, indicando sua origem e seu significado.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Escreva no caderno dois exemplos de:

a) monômio;

b) binômio;

c) trinômio;

d) polinômio.

2. Obtenha o polinômio reduzido.

a) 3aao cubo + 2belevado a 5 menos 5 + 2z ao quadrado menos 7aao cubo + 10

b) 5ab menos 10abao quadrado + 14ab menos a

c) 12mao quadrado + 9mn + 9mn menos 12mao quadrado

d) 12cao quadrado + 8cd + 8cd menos 12c ao quadrado

3. Identifique o polinômio que pode ser chamado trinômio.

a) 5aao cubo menos 3a menos 7 menos 2 menos 7aao cubo + a menos a

b) 7x ao cuboy + 4xy ao cubo menos 8x ao cuboy + 7x ao cuboy menos 4xy ao cubo

c) a ao quadradox elevado a 5 + ay elevado a 5 menos aelevado a 4z + ay elevado a 5 menos a ao quadradox elevado a 5 menos aelevado a 4z menos ay elevado a 5

d) bxy + xy menos 3xy

4. Considere a afirmação a seguir.

Todo monômio é um polinômio, e todo polinômio é um monômio.

Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique a sua resposta.

5. Dê exemplo de um polinômio cuja fórma reduzida seja igual a:

a) t ao cubo + t ao quadrado + 1

b) 10t elevado a 4 + t ao quadrado menos 1

6. Identifique os polinômios incompletos e escreva-os na fórma geral.

a) xelevado a 5 + 3xelevado a 4 + 8

b) 10 + xao quadrado menos xelevado a 5 + 3x

c) xao quadrado + x menos 1

d) x + 2xelevado a 4 + 6

7. Uma concessionária tem x motos e y carros. Qual binômio representa o número total de:

a) veículos?

b) pneus? (Considere que cada moto tem 2 pneus e cada carro tem 4 pneus.)

8. O jardim de uma casa tem formato retangular, como indicado na figura a seguir.

Ilustração. Terreno retangular com gramado, árvores e bancos, com cotas indicando a medida do comprimento, 2x metros e medida da largura, x metros.

Ele será recoberto com uma grama especial, que custa R$ 5,00cinco reais por metro quadrado colocado.

Também será construído um pequeno muro medindo 1 métro de altura em torno do jardim, deixando uma passagem de 1 métro. O custo do metro quadrado do muro é R$ 7,00sete reais.

Determine:

a) o polinômio que expressa o custo da obra;

b) o custo da obra se x = 6.

9. Observe a figura e faça o que se pede.

Figura geométrica. Hexágono não convexo, roxo com seus 4 ângulos retos indicados. Lembra 2 degraus de uma escada, invertida. Cotas, indicando de cima para baixo, começando da altura: 3x, 3x, 4, 8.

• Sabendo que o perímetro da figura mede 48 centímetros, determine:

a) o valor de x;

b) o polinômio que representa a medida da área da figura em função de x e o grau desse polinômio.

10.

Observe a figura e responda.

Sólido geométrico. Sólido formado por 4 paralelepípedos: 1 amarelo, 1 vermelho, 1 verde e 1 azul. A figura apresenta os paralelepípedos azul e verde na parte inferior, com uma face comum. Acima do paralelepípedo azul, o amarelo e acima do paralelepípedo verde, o vermelho. Cotas indicando: largura do paralelepípedo azul, 4; altura do paralelepípedo azul, x; altura do paralelepípedo amarelo, 2; comprimento do paralelepípedo amarelo, 5 e comprimento do paralelepípedo vermelho, x.

• Qual polinômio representa a medida do volume da figura? Qual é o seu grau?

Respostas e comentários

1. Exemplos de respostas:

1. a) 3x; menos 4

1. b) menos 4x + 8; 5x menos 3y

1. c) 3x ao quadrado + 2x + 1; 7x ao quadrado menos

\frac{1}{2}

y + z

1. d) 4x ao quadrado; 7x menos 5y + 2z

2. a) menos4a ao cubo + 2b elevado a 5 + 5 + 2z ao quadrado

2. b) 19ab menos 10ab ao quadrado menos a

2. c) 18mn

2. d) 16cd

3. alternativa a

4. A afirmação é falsa, pois, por exemplo, 2x + 1 é um polinômio, mas não é um monômio.

5. Exemplo de respostas:

5. a) 2t ao cubo +

\frac{1}{2} t^{2} - t^{3} + \frac{1}{2} t^{2}

+ 1

5. b) 3tao quadrado menos 2tao quadrado + 11televado a 4 menos televado a 4 menos 1

6. a) x elevado a 5 + 3x elevado a 4 + 0x ao cubo + 0x ao quadrado + 0x + 8

6. b) menosx elevado a 5 + 0x elevado a 4 + 0x ao cubo + x ao quadrado + 3x + 10

6. d) 2x elevado a 4 + 0x ao cubo + 0x ao quadrado + x + 6

7. a) x + y

7. b) 2x + 4y

8. a) 10x ao quadrado + 42x menos 7

8. b) R$ 605,00seiscentos e cinco reais

9. a) 2

9. b) 9x ao quadrado + 24x + 32; grau 2

10. 4x ao quadrado + 28x + 40; grau 2

Orientações e sugestões didáticas

• As atividades 1 e 5 admitem diferentes respostas. Nesse tipo de atividade, os estudantes devem ser estimulados a argumentar matematicamente para a validação de suas soluções. Além disso, convém que socializem suas respostas.

• Na resolução da atividade 8, espera-se que os estudantes percebam que a obra tem dois custos: um referente à grama e outro referente ao muro.

Como a grama é vendida por metro quadrado e o terreno mede 2xao quadrado métros quadrados de área, o total a ser gasto com a grama será representado por: 10xao quadrado.

O muro também é cobrado por metro quadrado. A altura desse muro mede 1 metro; a extensão do muro pode ser representada, conforme a figura seguinte, por:

abre parênteses2xfecha parênteses + abre parênteses2xfecha parênteses + x + abre parêntesesx menos 1fecha parênteses = abre parênteses6x menos 1fecha parênteses

Figura geométrica. Retângulo cinza. Cotas indicando: base do retângulo, 2x; altura à direita, x; altura à esquerda, duas cotas: x menos 1 e 1.

Logo, a medida da área desse muro será 6x menos 1.

Calculando o custo do muro, temos: 42x menos 7

Para concluir, o custo total da obra, em reais, é expresso pelo seguinte polinômio:

10xao quadrado + 42x menos 7

Essa atividade favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero seis.

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5 Adição algébrica de polinômios

Adição de polinômios

A professora de Jéssica pediu a ela que representasse por um polinômio a soma das medidas dos perímetros dos polígonos a seguir.

Figura geométrica. Triângulo escaleno verde, com lados medindo: 2x, 3y e z.. Figura geométrica. Trapézio laranja, com bases medindo medindo: 2y e z; e lados medindo: 4x e 9.

Fotografia. Menina de cabelo comprido preto, vestida de blusa branca escreve em uma folha, com um lápis. Ela fala: A medida do perímetro do triângulo pode ser representada pelo polinômio 2x mais 3y mais z, e a medida do perímetro do quadrilátero, pelo polinômio 4x mais 2y mais z mais 9. Para adicionar esses polinômios, agrupei os termos semelhantes e, em seguida, reduzi esses termos.

Observe como Jéssica adicionou esses polinômios.

Ilustração. Caderno com a adição algébrica:
abre parênteses, 2x mais 3y mais z, fecha parênteses mais abre parênteses, 4x mais 2y mais z mais 9, fecha parênteses, igual a 2x mais 3y mais z mais 4x mais 2y mais z mais 9, igual a 2x mais 4x mais 3y mais 2y mais z mais z mais 9, igual a 6x mais 5y mais 2z mais 9.

Para adicionar dois ou mais polinômios, agrupamos os termos semelhantes e depois os reduzimos.

Podemos adicionar os polinômios da situação anterior por meio de um dispositivo prático. Vamos indicar os polinômios por T e Q.

Esquema. Algoritmo da adição. Acima, T igual 2x mais 3y mais z. Abaixo, Q igual 4x mais 2y mais z mais 9. Traço abaixo e T mais Q igual 6x mais 5y mais 2z mais 9

Exemplo

Vamos adicionar os polinômios P = 7y ao quadrado + 15y menos 12, Q = 5y ao quadrado menos 1 e R = menosy ao quadrado + 6y.

Aplicando o dispositivo prático, escrevemos termo semelhante embaixo de termo semelhante e os adicionamos. Observe.

Esquema. Algoritmo da adição. Acima, P igual 7 y ao quadrado mais 15y menos 12. Abaixo, Q igual 5 y ao quadrado mais 0y menos 1. Abaixo, R igual menos y ao quadrado mais 6y mais 0. Traço abaixo e P mais Q mais R igual 11 y ao quadrado mais 21y menos 13.

Oposto de um polinômio

Dado um polinômio qualquer a, seu oposto, indicado por menosA, é aquele que, adicionado a a, resulta no polinômio nulo.

Exemplo

O oposto de A = 7x ao quadrado menos 4x + 8 é menosA = menos7x ao quadrado + 4x menos 8, pois A + abre parêntesesmenosAfecha parênteses = 0.

Orientações e sugestões didáticas

Adição algébrica de polinômios

Objetivos

• Realizar a adição algébrica de polinômios.

• Favorecer o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

Orientações

• O objetivo deste tópico é aprofundar os estudos sobre Álgebra, ampliando-os agora para as operações de adição e subtração de polinômios.

• A adição entre polinômios depende dos conhecimentos desenvolvidos anteriormente, como a identificação de termos semelhantes e a ideia de polinômio reduzido. Retome esses conceitos, caso julgue necessário.

• As operações entre polinômios são propostas por meio da articulação com as operações aritméticas e com base no cálculo de perímetros de figuras planas, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

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Para pensar

Descubra:

a) o oposto de

‒ \frac{2}{9}

;

b) o oposto de + 3x;

c) o oposto de menos 4x ao quadrado;

d) o oposto de menos 4x ao quadrado + 3x menos

\frac{2}{9}

;

e) um modo prático de obter o oposto de um polinômio dado;

f) uma diferença entre um polinômio e seu oposto.

Subtração de polinômios

Observe os retângulos da figura a representada.

Figura geométrica. Figura formada por retângulo verde e um retângulo laranja na parte interna, à esquerda com mesmo ângulo reto à esquerda inferior. Cotas da medidas do retângulo laranja: medida da altura 7 e base x. Cotas da medidas do retângulo verde: medida da altura 7 mais a e base x mais 2a.

Qual é a diferença entre a medida do perímetro do retângulo maior e a do menor?

A diferença pode ser obtida pela subtração dos polinômios a e B, que representam as medidas dos perímetros dos retângulos maior e menor, respectivamente.

A = x + 2a + 7 + a + x + 2a + 7 + a = 2x + 6a + 14

B = x + 7 + x + 7 = 2x + 14

Para subtrair um polinômio B de um polinômio a, adicionamos o polinômio a ao oposto de B, ou seja, a menos B = A + abre parêntesesmenosBfecha parênteses.

Agora, acompanhe como podemos encontrar a diferença entre a medida dos perímetros representados por a e B.

A menos B = A + abre parêntesesmenosBfecha parênteses

A menos B = abre parênteses2x + 6a + 14fecha parênteses + abre parêntesesmenos2x menos 14fecha parênteses

A menos B = 2x + 6a + 14 menos 2x menos 14

A menos B = 2x menos 2x + 6a + 14 menos 14

A menos B = 6a

Observação

Aplicando o dispositivo prático, temos:

Esquema. Algoritmo da adição. Acima, A igual 2x mais 6a mais 14. Abaixo, menos B igual menos 2x menos 0 menos 14. Traço abaixo e A menos B igual 0x mais 6a mais 0

Logo: A menos B = 6a

Adição algébrica de polinômios

Uma expressão que tem apenas adições e subtrações de polinômios é chamada adição algébrica de polinômios.

Para efetuar uma adição algébrica de polinômios, fazemos sua indicação, eliminamos os parênteses e reduzimos os termos semelhantes.

Exemplo

Esquema.
Primeira linha: Se A igual a 3y elevado a 4 mais 2y ao quadrado, B igual a menos y elevado a 4 mais 2y ao cubo menos 6y ao quadrado e C igual a 2y ao cubo mais 4y ao quadrado, vamos obter A mais B menos C, que é o mesmo que A mais B mais abre parênteses menos C fecha parênteses.
Segunda linha: à esquerda igualdade: A mais B menos C igual a abre parênteses 3y elevado a 4 mais 2y ao quadrado fecha parênteses, mais, abre parênteses menos y elevado a 4 mais 2y ao cubo menos 6y ao quadrado fecha parênteses, mais, abre parênteses menos 2y ao cubo menos 4y ao quadrado fecha parênteses.
À direita: Indicamos a adição algébrica. Seta da direita para a esquerda entre eles.
Terceira linha: à esquerda igualdade: A mais B menos C igual a 3y elevado a 4 mais 2y ao quadrado menos y elevado a 4 mais 2y ao cubo menos 6y ao quadrado menos 2y ao cubo menos 4y ao quadrado.
À direita: Eliminamos os parênteses. Seta da direita para a esquerda entre eles.
Quarta linha: à esquerda igualdade: A mais B menos C igual a 3y elevado a 4 menos y elevado a 4 mais 2y ao cubo menos 2y ao cubo mais 2y ao quadrado menos 6y ao quadrado menos 4y ao quadrado
À direita: Agrupamos os termos semelhantes. Seta da direita para a esquerda entre eles.
Quinta linha: à esquerda igualdade: A mais B menos C igual 2y elevado a 4 menos 8y ao quadrado
À direita: Reduzimos os termos semelhantes. Seta da direita para a esquerda entre eles.

Respostas e comentários

Para pensar: a)

+ \frac{2}{9}

b) menos 3x

c) + 4x ao quadrado

d) + 4x ao quadrado menos 3x +

\frac{2}{9}

e) Trocar os sinais de todos os termos do polinômio dado.

f) Exemplo de resposta: os sinais dos termos.

Orientações e sugestões didáticas

• A subtração de dois polinômios é definida como a adição do primeiro polinômio ao oposto do segundo polinômio. Essa fórma de conceber a subtração justifica o fato de utilizarmos a denominação de adição algébrica para a realização tanto de adições como de subtrações de polinômios.

• É importante rever as operações com números inteiros, para que os estudantes façam analogia com a subtração de polinômios.

• No procedimento para adicionar ou subtrair polinômios, o algoritmo utilizado é análogo ao das operações aritméticas.

• Ao explorar a atividade proposta no boxe Para calcular, peça aos estudantes que compartilhem como pensaram para resolver os itens. Espera-se que eles não tenham dificuldades em responder e, caso seja necessário, retome o conteúdo estudado para que nenhum estudante se sinta prejudicado em relação à turma.

Página 200

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Calcule.

a) abre parênteses2x + 3y menos 4z + 8fecha parênteses + abre parêntesesx menos y + 2z menos 2fecha parênteses

b) abre parênteses7xy + 4x + 8z menos 15fecha parênteses menos abre parênteses6x + 10y menos 3fecha parênteses

(\frac{x}{3} + y - z^{2}) + (\frac{x}{2} + 4 y - 3 z^{2})

(\frac{1}{5} + x y - a^{2} - 7) - (2 x y + 7 a^{2})

2. A soma dos polinômios P e Q é:

melevado a 4 + 5mao cubo + 3mao quadrado menos 3m menos 1

A soma dos polinômios Q e R é:

melevado a 4 menos 5mao cubo

Se R = menos 5mao cubo + 3m, qual é o polinômio P?

3. Considere os polinômios a seguir e calcule o que se pede.

Ilustração Retângulos de cantos arredondados laranjas com polinômios no seu interior. 2 primeira linha com os seguintes polinômios: A igual 6x ao quadrado menos 8x mais 1 B igual menos 9x ao quadrado menos 2x mais 7 E na segunda linha com o seguinte polinômio. C igual 7x ao cubo mais x ao quadrado

a) A + B

b) B + A

c) A + B + C

d) B + C + A

e) A menos B

f ) B menos A

g) C menos B + A

h) C menos abre parêntesesB + Afecha parênteses

4. Observe as figuras.

Figura geométrica. Retângulo vermelho de medida de comprimento 2x mais 5 e largura 2 mais x.

Figura geométrica. Hexágono regular amarelo de medida de comprimento de lado x mais 3.

a) Qual é a medida do perímetro de cada uma dessas figuras?

b) Qual é a medida do perímetro de cada uma para x = 5?

5. Analise e responda qual é o polinômio que:

a) adicionado a 5x ao quadrado menos x + 3, resulta em zero?

b) subtraído de 2x ao quadrado menos x + 1, resulta em menosx menos 3?

c) adicionado a xao cubo + 2x menos 1, resulta em 6xao quadrado + 2x menos 3?

6. Copie no caderno as igualdades substituindo os ◼ pelos sinais + ou operador matemático subtração de modo que cada sentença fique verdadeira.

a) abre parêntesesxelevado a 5 + 3xao quadrado + 9fecha parênteses ◼ abre parêntesesxelevado a 4 + 3xao quadrado menos 9fecha parênteses = xelevado a 5 menos xelevado a 4 + 18

b) abre parêntesesxelevado a 5 + 3xao quadrado + 9fecha parênteses ◼ abre parêntesesxelevado a 4 menos 3xao quadrado + 9fecha parênteses = xelevado a 5 menos xelevado a 4 + 6xao quadrado

c) abre parêntesesxelevado a 5 + 3xao quadrado menos 9fecha parênteses ◼ abre parêntesesxelevado a 4 menos 3xao quadrado + 9fecha parênteses = xelevado a 5 + xelevado a 4

d) abre parêntesesxelevado a 5 + 3xao quadrado menos 9fecha parênteses ◼ abre parêntesesxelevado a 4 menos 3xao quadrado + 9fecha parênteses = xelevado a 5 menos xelevado a 4 + 6xao quadrado menos 18

7. Leia e responda às questões.

a) Considere a soma de polinômios A + B = A.

Qual é o polinômio B?

b) Sabendo que C = 5xy + 3xao quadrado menos 7, descubra o polinômio que, adicionado a C, resulta no polinômio nulo.

8. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa.

a) O polinômio oposto de 4xao cubo menos xao quadrado menos 2x + 3 é menos 4xao cubo + xao quadrado + 2x menos 3.

b) A adição de um polinômio com seu oposto é sempre o polinômio nulo.

c) O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.

9. Corrija as sentenças falsas no caderno, considerando polinômios com apenas uma variável.

a) Quando adicionamos dois polinômios de grau 2, o resultado é sempre um polinômio de grau 2.

b) Se adicionarmos dois polinômios de grau 3, o resultado deverá ser um polinômio de grau menor ou grau 3 ou ainda um polinômio nulo.

c) Um polinômio de grau 2 adicionado a um polinômio de grau 3 pode resultar em um polinômio de grau 5.

Respostas e comentários

1. a) 3x + 2y menos 2z + 6

1. b) 7xy menos 2x + 8z menos 10y menos 12

1. c)

\frac{5 x}{6} + 5 y - 4 z^{2}

1. d)

‒ \frac{34}{5} - x y - 8 a^{2}

2. P = 5mao cubo + 3mao quadrado menos 1

3. a) e b) menos 3x ao quadrado menos 10x + 8

3. c) e d) 7x ao cubo menos 2x ao quadrado menos 10x + 8

3. e) 15x ao quadrado menos 6x menos 6

3. f) menos15x ao quadrado + 6x + 6

3. g) 7x ao cubo + 16x ao quadrado menos 6x menos 6

3. h) 7x ao cubo + 4x ao quadrado + 10x menos 8

4. a) retângulo: 6x + 14; hexágono: 6x + 18

4. b) retângulo: 44; hexágono: 48

5. a) menos5x ao quadrado + x menos 3

5. b) 2x ao quadrado + 4

5. c) menosxao cubo + 6xao quadrado menos 2

6. Respostas na seção Resoluções neste manual.

7. a) B é o polinômio nulo.

7. b) menos5xy menos 3x ao quadrado + 7

8. a) verdadeira

8. b) verdadeira

8. c) verdadeira

9. a) O grau da soma de dois polinômios de grau 2 nem sempre é 2.

9. c) Um polinômio de grau 2 adicionado a um polinômio de grau 3 não pode resultar em um polinômio de grau 5.

Orientações e sugestões didáticas

• Para resolver a atividade 5, se julgar conveniente, oriente os estudantes a indicar o polinômio desconhecido como P, então no item a temos:

P + abre parênteses5xao quadrado menos x + 3fecha parênteses = 0

P = 0 menos abre parênteses5xao quadrado menos x + 3fecha parênteses

P = menos5xao quadrado + x menos 3

O mesmo raciocínio pode ser empregado nos demais itens, como podemos observar no item b:

abre parênteses2xao quadrado menos x + 1fecha parênteses menos P = menos x menos 3

menos P = menos x menos 3 menos abre parênteses2xao quadrado menos x + 1fecha parênteses

menos P = menos x menos 3 menos 2xao quadrado + x menos 1

P = x + 3 + 2xao quadrado menos x + 1

P = 2xao quadrado + 4

Página 201

6 Multiplicação de polinômios

Multiplicação de monômio por polinômio

Observando a figura a seguir, conseguimos identificar três retângulos de mesma altura.

Figura geométrica. Retângulo horizontal formado por dois retângulos roxos menores. À direita, retângulo com medida de comprimento, 10 e medida de largura, 2l. À esquerda, e adjacente ao primeiro retângulo, retângulo de medida de comprimento, l e largura, 2l.

As medidas de comprimento das bases dos retângulos menores são

e 10, e a medida de comprimento da base do retângulo maior é a soma das medidas de comprimento das bases dos retângulos menores, ou seja,

+ 10.

A medida da área do retângulo maior pode ser calculada de duas maneiras. Acompanhe.

1ª) Multiplicando a medida da altura abre parênteses2

) pela soma das medidas de comprimento das bases abre parênteses

+ 10fecha parênteses, temos:

⋅ abre parênteses

+ 10fecha parênteses

2ª) Adicionando as medidas das áreas dos dois retângulos que compõem o retângulo maior, temos:

abre parênteses2

⋅

) + abre parênteses2

⋅ 10fecha parênteses = 2

ao quadrado + 20

Como estamos calculando a mesma medida de área por caminhos diferentes, temos:

⋅ abre parênteses

+ 10fecha parênteses = abre parênteses2

⋅

) + abre parênteses2

⋅ 10fecha parênteses = 2

ao quadrado + 20

Nesse caso, multiplicamos um monômio por um polinômio. Esse tipo de multiplicação também pode ser efetuado sem o auxílio de figuras, aplicando a propriedade distributiva:

Esquema. Igualdade. 2x vezes abre parênteses 3x mais 4y menos 2 fecha parênteses igual 2x vezes 3x mais 2x vezes 4y mais 2x vezes abre parênteses menos 2 fecha parênteses igual 6x ao quadrado mais 8xy menos 4x. Na primeira multiplicação, 3 setas da direita para à esquerda, partem do 2x e chegam no 3x, no 4y e no menos 2.

Para multiplicar um monômio por um polinômio, aplicamos a propriedade distributiva. Nesse caso, multiplicamos o monômio por cada termo do polinômio e adicionamos os termos obtidos.

Fotografia. Homem de cabelo preto, vestindo camisa branca e calça preta. está com o braço levantado e o indicador apontado para cima. Ele fala: Lembre-se de como usar a propriedade distributiva nas expressões numéricas: Esquema. 3 vezes, abre parênteses, 5 menos 7, fecha parênteses, igual 3 vezes 5 mais 3 vezes, abre parênteses, menos 7, fecha parênteses, igual, 15 menos 21 igual menos 6 Na primeira linha, sai seta da esquerda para a direita do 3 e chega no 5, sai seta da esquerda para a direita do 3 e chega no 7.

Exemplos

Esquema. Igualdade. x vezes abre parênteses x sobre 3 fim da fração menos x ao quadrado mais 5 fecha parênteses igual x vezes x sobre 3 fim da fração mais x vezes abre parênteses menos x ao quadrado fecha parênteses mais x vezes 5 igual x ao quadrado sobre 3 fim da fração menos x ao cubo mais 5x Na primeira multiplicação, 3 setas da direita para à esquerda, partem do x e chegam no x sobre 3, no menos x ao quadrado e no mais 5.

Esquema. Igualdade. abre parênteses x ao quadrado menos 4x mais 8 fecha parênteses vezes x elevado a 5 fim do expoente sobre 2 igual x ao quadrado vezes x elevado a 5 fim do expoente sobre 2 mais abre parênteses menos 4x fecha parênteses vezes x elevado a 5 fim do expoente sobre 2 mais 8 vezes x elevado a 5 fim do expoente sobre 2 igual x elevado a 7 fim do expoente sobre 2 menos 2 x elevado a 6 mais 4 x elevado a 5 Na primeira multiplicação, 3 setas, da direita para à esquerda, partem do x elevado a 5 fim do expoente sobre 2 e chegam no x ao quadrado, no menos 4x e no mais 8.

Multiplicação de polinômio por polinômio

Na multiplicação de dois polinômios que não são monômios, procedemos como no caso anterior: aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.

Esquema. Igualdade. abre parênteses x ao quadrado mais 2x menos 1 fecha parênteses vezes abre parênteses x mais 1 fecha parênteses igual x ao quadrado vezes x mais x ao quadrado vezes 1 mais 2x vezes x mais 2x vezes 1 mais abre parênteses menos 1 fecha parênteses vezes x mais abre parênteses menos 1 fecha parênteses vezes 1 igual x ao cubo mais x ao quadrado mais 2x ao quadrado mais 2x menos x menos 1 igual x ao cubo mais 3x ao quadrado mais x menos 1 Na primeira multiplicação, 2 setas azuis, da esquerda para à direita, partem acima do x ao quadrado e chegam no x e no mais 1. Ainda na primeira multiplicação, 2 setas verdes, da esquerda para à direita, partem abaixo do 2x e chegam no x e no mais 1. Ainda na primeira multiplicação, 2 setas roxas, da esquerda para à direita, partem do abaixo do menos 1 e chegam no x e no mais 1.

Orientações e sugestões didáticas

Multiplicação de polinômios

Objetivos

• Calcular a multiplicação de polinômios.

• Favorecer o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

Orientações

• A situação inicial envolvendo a multiplicação de polinômios está relacionada ao cálculo de medida de áreas, de modo a contribuir para que os estudantes atribuam significado a essa operação, favorecendo o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

• É necessário que os estudantes retomem a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e a apliquem nas operações entre polinômios.

Página 202

Para multiplicar dois polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por todos os termos do outro e adicionamos os novos termos obtidos.

Podemos usar um dispositivo prático para multiplicar polinômios. Observe.

Esquema. 1. Primeiro, multiplicamos o 1 por x ao quadrado mais 2x menos 1. Algoritmo da multiplicação. Acima, x ao quadrado mais 2x menos 1. Abaixo x mais 1. Abaixo linha horizontal. Abaixo, x ao quadrado mais 2x menos 1.
O número mais 1 do binômio, está circulado e partem 3 setas de baixo para cima, chegando nos 3 termos do polinômio: x ao quadrado, 2x e menos 1.

Esquema. 2. Depois multiplicamos o x por x ao quadrado mais 2x menos 1 e, em seguida, adicionamos os polinômios obtidos. Algoritmo da multiplicação. Acima, x ao quadrado mais 2x menos 1. Abaixo x mais 1. Abaixo linha horizontal. Abaixo, x ao quadrado mais 2x menos 1, abaixo alinhado com os termos semelhantes, x ao cubo mais 2x ao quadrado menos x. Abaixo linha horizontal. Abaixo, x ao cubo mais 3x ao quadrado mais x menos 1.
O termo x do binômio, está circulado e partem 3 setas de baixo para cima, chegando nos 3 termos do polinômio: x ao quadrado, 2x e menos 1.

Portanto: abre parêntesesx ao quadrado + 2x menos 1fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx + 1fecha parênteses = x ao cubo + 3x ao quadrado + x menos 1

Observações

• Analise a semelhança entre os algoritmos numérico e algébrico da multiplicação.

Esquema. Algoritmo usual da multiplicação. 523. Abaixo sinal da multiplicação 21 (algarismo 2 em azul e algarismo 1 em amarelo). Abaixo traço horizontal. Abaixo 523 (em amarelo). Abaixo sinal da adição, 1046 (em azul). Abaixo traço horizontal. Abaixo 10983. Esquema. Algoritmo usual da multiplicação. 5x ao quadrado mais 2x mais 3. Abaixo sinal da multiplicação 2x mais 1 (algarismo 2 em azul e algarismo 1 em amarelo). Abaixo traço horizontal. Abaixo 5x ao quadrado mais 2x mais 3 (coeficientes em amarelo). Abaixo sinal da adição, 10 x ao cubo mais 4x ao quadrado mais 6x (coeficientes em azul), alinhados com os termos semelhantes. Abaixo traço horizontal. Abaixo 10 x ao cubo mais 9x ao quadrado mais 8x mais 3.

• Quando há três ou mais polinômios, podemos multiplicar os dois primeiros, depois multiplicar o resultado pelo terceiro e assim por diante.

Esquema. Igualdade. Abre parênteses x menos 1 fecha parênteses vezes abre parênteses x mais 1 fecha parênteses vezes abre parênteses 3x mais 1 fecha parênteses igual abre parênteses x ao quadrado mais x menos x menos 1 fecha parênteses vezes abre parênteses 3x mais 1 fecha parênteses igual abre parênteses x ao quadrado menos 1 fecha parênteses vezes abre parênteses 3x mais 1 fecha parênteses igual 3x ao cubo mais x ao quadrado menos 3x menos 1.
Na primeira linha, na multiplicação dos 2 binômios, partem 2 setas acima do x do primeiro binômio e chegam nos termos do segundo binômio: x e mais 1. Partem também 2 setas abaixo do menos 1 do primeiro binômio e chegam nos termos do segundo binômio: x e mais 1.
Na terceira linha, na multiplicação dos 2 binômios, partem 2 setas acima do x ao quadrado do primeiro binômio e chegam nos termos do segundo binômio: 3x e mais 1. Partem também 2 setas abaixo do menos 1 do primeiro binômio e chegam nos termos do segundo binômio: 3x e mais 1.

A propriedade comutativa também é válida na multiplicação de polinômios. Acompanhe os exemplos abre parênteses3x menos 2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx ao quadrado menos x + 10fecha parênteses e abre parêntesesx ao quadrado menos x + 10fecha parênteses ⋅ abre parênteses3x menos 2fecha parênteses, aos quais aplicamos o dispositivo prático.

Esquema. Algoritmo usual da multiplicação. x ao quadrado menos x mais 10. Abaixo sinal da multiplicação 3x menos 2. Abaixo traço horizontal. Abaixo menos 2x ao quadrado mais 2x menos 20. Abaixo sinal da adição, 3x ao cubo menos 3x ao quadrado mais 30x, alinhados com os termos semelhantes. Abaixo traço horizontal. Abaixo 3x ao cubo menos 5x ao quadrado mais 32x menos 20. Partem do 3x, setas verdes de baixo para cima, chegando nos termos do trinômio: x ao quadrado, menos x e mais 10. Partem também do menos 2, setas azuis de baixo para cima, chegando nos termos do trinômio: x ao quadrado, menos x e mais 10.

Esquema. Algoritmo usual da multiplicação. 3x menos 2. Abaixo sinal da multiplicação x ao quadrado menos x mais 10. Abaixo traço horizontal. Abaixo 30x menos 20. Abaixo, menos 3x ao quadrado mais 2x, alinhados com os termos semelhantes. Abaixo, menos 3x ao cubo menos 2x ao quadrado, alinhados com os termos semelhantes. Abaixo traço horizontal. Abaixo 3x ao cubo menos 5x ao quadrado mais 32x menos 20. Partem do x ao quadrado setas roxas de baixo para cima, chegando nos termos do binômio: 3x e menos 2. Partem também do menos x, setas verdes de baixo para cima, chegando nos termos do binômio: 3x e menos 2. Partem também do mais 10, setas azuis de baixo para cima, chegando nos termos do binômio: 3x e menos 2.

Os resultados encontrados são os mesmos, pois alteramos apenas a ordem dos polinômios envolvidos na multiplicação.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Encontre os produtos escrevendo o resultado na fórma reduzida.

a) abre parênteses3xfecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos1,4x ao quadradoyfecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos5yfecha parênteses

b) menos2a ⋅ abre parêntesesx + 4fecha parênteses

c) abre parêntesesx + 5fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx ao quadrado + 2x menos 10fecha parênteses

d) abre parêntesesb menos afecha parênteses ⋅ abre parênteses2b menos afecha parênteses

e) abre parênteses5 menos xfecha parênteses ⋅ abre parêntesesx ao quadrado + 1fecha parênteses

2. Calcule as operações com os polinômios e, depois, verifique se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Ilustração. Retângulos coloridos com cantos arredondados e polinômios em seu interior. Da esquerda para a direita: laranja com o polinômio A igual 2x menos 3; azul com o polinômio B igual 3x e vermelho com o polinômio C igual x mais 1.

a) A ⋅ C

b) C ⋅ A

c) A ⋅ B ⋅ C

d) C ⋅ A ⋅ B

• Os itens anteriores são exemplos de que a ordem dos fatores não altera o produto.

3. Determine a fórma reduzida dos produtos.

a) abre parêntesesx ao quadrado + 2fecha parênteses ⋅ abre parênteses3x ao quadrado + 10x menos 1fecha parênteses

b) abre parêntesesx + 3fecha parêntesesao quadrado ⋅ abre parêntesesx ao quadrado menos 4x + 4fecha parênteses

c) abre parêntesesx menos y + 5fecha parênteses ⋅ abre parênteses2x menos 5y menos 1fecha parênteses

4. Encontre o erro na multiplicação e corrija-o no caderno.

abre parêntesesmao quadrado menos mfecha parênteses ⋅ abre parêntesesmelevado a 5 menos 11m menos 1fecha parênteses =

= m7 menos 11mao cubo menos mao quadrado menos melevado a 6 + 11mao quadrado + m =

= menos11mao cubo menos 10mao quadrado + m

5. Responda às questões.

a) Paula multiplicou 3x por abre parêntesesx + 4fecha parênteses e, depois, multiplicou o resultado por ele mesmo. Qual polinômio ela obteve?

b) Renata efetuou abre parêntesesx menos 2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos 2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos 2fecha parênteses. Qual polinômio ela obteve?

Respostas e comentários

1. a) 21x ao cuboy ao quadrado

1. b) menos2ax menos 8a

1. c) x ao cubo + 7x ao quadrado menos 50

1. d) 2b ao quadrado menos 3ab + a ao quadrado

1. e) menosx ao cubo + 5x ao quadrado menos x + 5

2. a) 2x ao quadrado menos x menos 3

2. b) 2x ao quadrado menos x menos 3

2. c) 6x ao cubo menos 3x ao quadrado menos 9x

2. d) 6x ao cubo menos 3x ao quadrado menos 9x

2. verdadeira

3. a) 3x elevado a 4 + 10x ao cubo + 5x ao quadrado + 20x menos 2

3. b) x elevado a 4 + 2x ao cubo menos 11x ao quadrado menos 12x + 36

3. c) 2x ao quadrado + 5y ao quadrado menos 7xy + 9x menos 24y menos 5

4. O erro está na última passagem.

A resposta é: melevado a 7 menos m 11m ao cubo + 10m ao quadrado + m

5. a) 9x elevado a 4 + 72x ao cubo + 144x ao quadrado

5. b) x ao cubo menos 6x ao quadrado + 12x menos 8

Orientações e sugestões didáticas

• Um dos objetivos do estudo de polinômios é generalizar as operações e as propriedades das operações realizadas com números racionais. Sempre que possível, enfatize essas relações com a turma.

• Enquanto os estudantes realizam as atividades, caminhe pela sala de aula para verificar as estratégias empregadas por eles. Incentive-os a verbalizar o modo como pensaram. Isso contribui para o desenvolvimento da capacidade de se comunicar matematicamente.

Página 203

Lembre-se: Escreva no caderno!

6. Em cada item, represente a medida da área da figura por um produto de polinômios.

Figura geométrica. Retângulo laranja dividido em quatro partes. Acima, retângulo horizontal medindo 1 por x e quadrado medindo 1 por 1. Abaixo, retângulo medindo x por y e retângulo vertical medindo 1 por y.

Figura geométrica. Retângulo dividido em quatro partes. Acima, retângulo medindo y por x e retângulo medindo y por 3 y. Abaixo, quadrado medindo x por x e retângulo medindo 3y por x.

Figura geométrica. Retângulo dividido em 12 partes. Primeira linha inferior: retângulo medindo 4x por x. Retângulo medindo 2y por x. Retângulo medindo z por x e retângulo medindo 4 por x. Na linha acima, retângulo medindo 4x por 2z. Retângulo medindo 2y por 2z. Retângulo medindo z por 2z e retângulo medindo 4 por 2z. Na linha acima: Retângulo medindo 4x por 3. Retângulo medindo 2y por 3. Retângulo medindo z por 3. Retângulo medindo 4 por 3.

7. Dê um exemplo que contradiga cada uma das afirmações a seguir.

a) Quando multiplicamos dois polinômios de grau 2, o resultado é sempre um polinômio de grau 2.

b) Um polinômio de grau 2 multiplicado por um polinômio de grau 3 não pode resultar em um polinômio de grau 5.

8. Desenhe um retângulo em que um dos lados tenha o dobro da medida de comprimento do outro lado mais 1 centímetro. Em seguida:

a) encontre a medida de sua área, em centímetro quadrado;

b) indicando por x a medida de comprimento do lado menor, represente as medidas de comprimento dos lados do retângulo por polinômios.

7 Divisão de polinômios

Divisão de polinômio por monômio

A medida da área e a medida da altura de um retângulo foram indicadas por expressões algébricas.

Medida da área: 20y elevado a 4 + 16y ao cubo menos 8y ao quadrado + 12y

Medida da altura: 4y

Figura geométrica. Retângulo azul, com comprimento horizontal indicado por base e comprimento vertical indicado por altura

Menina de cabelo preto e preso, vestida de blusa rosa de braços cruzados e uma das mãos apoiada no queixo. Ela fala: Procure se lembrar de que são equivalentes as seguintes relações entre as medidas de um retângulo: área igual base vezes altura altura igual área dividido por base base igual área dividido altura

Para descobrir a medida de comprimento da base desse retângulo, dividimos o polinômio 20yelevado a 4 + 16yao cubo menos 8yao quadrado + 12y (que indica a medida da área) pelo monômio 4y (que indica a medida a altura).

abre parênteses20yelevado a 4 + 16y ao cubo menos 8yao quadrado + 12yfecha parênteses dividido por 4y = abre parênteses20yelevado a 4 + 16yao cubo menos 8yao quadrado + 12yfecha parênteses ⋅

\frac{1}{4 y}

= \frac{20 y^{4}}{4 y} + \frac{16 y^{3}}{4 y} - \frac{8 y^{2}}{4 y} + \frac{12 y}{4 y}

= 5yao cubo + 4yao quadrado menos 2y + 3

Então, a medida da base do retângulo pode ser indicada pelo polinômio 5y ao cubo + 4y ao quadrado menos 2y + 3.

Para dividir um polinômio por um monômio não nulo, dividimos cada termo do polinômio pelo monômio e adicionamos os novos termos.

Exemplos

• abre parênteses8x elevado a 4y ao quadrado menos x ao quadrado y ao quadradofecha parênteses dividido por abre parêntesesmenos5x ao quadradoyfecha parênteses =

(\frac{+ 8 x^{4} y^{2}}{‒ 5 x^{2} y}) + (\frac{‒ x^{2} y^{2}}{‒ 5 x^{2} y})

\frac{‒ 8}{5} x^{2} y + \frac{y}{5}

•

(22 a b c^{2} : \frac{1}{2} b c)

dividido por 11bc =

= abre parênteses22abcao quadrado dividido por 11bcfecha parênteses +

(\frac{1}{2} b c : 11 b c)

= 2ac +

\frac{1}{22}

Respostas e comentários

6. a) abre parêntesesx + 1fecha parênteses ⋅ abre parênteses1 + yfecha parênteses

6. b) abre parêntesesx + 3y fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx + y fecha parênteses

6. c) abre parênteses4x + 2y + z + 4fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx + 2z + 3fecha parênteses

7. Respostas em Orientações.

8. a) Resposta pessoal.

8. b) x e 2x + 1

Orientações e sugestões didáticas

• Exemplos de resposta da atividade 7:

Exemplos de resposta:

a) abre parêntesesx ao quadrado menos 1fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx ao quadrado menos 1fecha parênteses = x elevado a 4 menos 2xao quadrado + 1 (grau 4)

b) abre parêntesesx ao quadrado + xfecha parênteses ⋅ abre parêntesesx ao cubo menos 1fecha parênteses = x elevado a 5 + x elevado a 4 menos x ao quadrado menos x (grau 5)

Divisão de polinômios

Objetivos

• Calcular a divisão de polinômios.

• Favorecer o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

Orientações

• Para o fechamento dos estudos sobre Álgebra deste Capítulo, novamente será importante explorar a divisão de polinômios, estabelecendo relações com as operações aritméticas, além de explorar o cálculo da medida de área. Nesse âmbito, a competência específica 3 da Bê êne cê cê tem seu desenvolvimento favorecido.

• Explore os exemplos apresentados na página e, se julgar conveniente, resolva-os no quadro, passo a passo, como mostrado na situação inicial, de modo que os estudantes possam sanar as dúvidas existentes.

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Divisão de polinômio por polinômio

Considere os polinômios a = 6xao quadrado menos x + 10 e B = 2x menos 1.

Qual é o quociente da divisão do polinômio a pelo polinômio B? E o resto dessa divisão?

Acompanhe o algoritmo da divisão de a por B.

Esquema. Primeiro. Dividimos o termo com variável de maior expoente abre parênteses 6 x ao quadrado fecha parênteses do dividendo A pelo termo com variável de maior expoente abre parênteses 2x fecha parênteses do divisor B, obtendo o primeiro termo abre parênteses 3x fecha parênteses do quociente.
Algoritmo da divisão. À esquerda, 6x ao quadrado menos x mais 10. Dentro da chave, 2x menos 1. Abaixo da chave, quociente 3x.
Ao lado do algoritmo, em azul: 6x ao quadrado dividido por 2x igual a 3x.

Esquema. Segundo. Multiplicamos 3x por B e subtraímos o resultado de A, que é o mesmo que multiplicar 3x por B e adicionar o oposto do resultado a A. Algoritmo da divisão. À esquerda, 6x ao quadrado menos x mais 10. Dentro da chave, 2x menos 1. Abaixo da chave, quociente 3x. Abaixo de 6x ao quadrado menos x mais 10, menos 6 x ao quadrado mais 3x. Abaixo linha horizontal. Abaixo 2x.
Ao lado do algoritmo, em azul: 3x vezes abre parênteses 2x menos 1 fecha parênteses igual a 6x ao quadrado menos 3x. Abaixo, menos abre parênteses 6x ao quadrado menos 3x fecha parênteses igual a menos 6x ao quadrado mais 3x.

Esquema. Terceiro. Dividimos o termo com variável de maior expoente abre parênteses 2x fecha parênteses do resto parcial pelo termo com variável de maior expoente abre parênteses 2x fecha parênteses de B, obtendo o segundo termo abre parênteses mais 1 fecha parênteses do quociente. Algoritmo da divisão. À esquerda, 6x ao quadrado menos x mais 10. Dentro da chave, 2x menos 1. Abaixo da chave, quociente 3x mais 1. Abaixo de 6x ao quadrado menos x mais 10, menos 6 x ao quadrado mais 3x. Abaixo linha horizontal. Abaixo 2x mais 10.
Ao lado do algoritmo, em azul: 2x dividido por 2x igual a 1.

Esquema. Quarto. Multiplicamos abre parênteses mais 1 fecha parênteses por B e subtraímos o resultado do resto parcial. Algoritmo da divisão. À esquerda, 6x ao quadrado menos x mais 10. Dentro da chave, 2x menos 1. Abaixo da chave, quociente 3x mais 1. Abaixo de 6x ao quadrado menos x mais 10, menos 6 x ao quadrado mais 3x. Abaixo linha horizontal. Abaixo 2x mais 10. Abaixo menos 2x mais 1. Abaixo linha horizontal. Abaixo, 11.
Ao lado do algoritmo, em azul: abre parênteses mais 1 fecha parênteses vezes abre parênteses 2x menos 1 fecha parênteses igual a 2x menos 1. Abaixo, menos abre parênteses 2x menos 1 fecha parênteses igual a menos 2x mais 1.

Portanto, o quociente de a por B é 3x + 1, com resto 11.

Note que: 6xao quadrado menos x + 10 = abre parênteses2x menos 1fecha parênteses ⋅ abre parênteses3x + 1fecha parênteses + 11

Dividir um polinômio a (dividendo) por outro B (divisor) significa encontrar um polinômio Q, chamado quociente, e um polinômio R, chamado resto, de grau menor que o grau do divisor, de modo que: A = B ⋅ Q + R

Observações

• Estudaremos as divisões de polinômio por polinômio apenas quando eles tiverem a mesma variável e esta for única em cada um deles.

• Para aplicar o algoritmo explicado anteriormente, dividendo e divisor devem estar escritos na fórma geral e ordenados segundo as potências decrescentes da variável. O procedimento termina ao obtermos resto igual a zero (nesse caso, a divisão é exata) ou um resto que é um polinômio de grau menor que o grau do divisor.

Orientações e sugestões didáticas

• Para que os estudantes compreendam o algoritmo da divisão de polinômio por polinômio, faça a analogia com o algoritmo da divisão envolvendo números naturais.

• Chame a atenção dos estudantes para o fato de o grau do polinômio divisor sempre ser menor que o grau do polinômio do dividendo e de que é possível prever o grau do polinômio quociente antes mesmo de efetuar os cálculos. Essa análise preliminar contribui para que os estudantes avaliem a razoabilidade de suas respostas e possam corrigi-las caso seja necessário.

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Exemplo

Vamos dividir abre parêntesesxao cubo + 1fecha parênteses por abre parêntesesx + 1fecha parênteses

Esquema. Algoritmo da divisão. À esquerda, x ao cubo mais 0x ao quadrado + 0x + 1. Dentro da chave, x mais 1. Abaixo da chave, quociente x ao quadrado menos x mais 1.
Abaixo de x ao cubo mais 0x ao quadrado mais 0x mais 1, menos x ao cubo menos x ao quadrado. Abaixo linha horizontal. Abaixo, menos x ao quadrado mais 0x mais 1. Abaixo mais x ao quadrado mais x. Abaixo linha horizontal. Abaixo, mais x mais 1. Abaixo menos x menos 1. Abaixo, resto 0.
À esquerda, em azul, menos abre colchetes x ao quadrado vezes abre parênteses x mais 1 fecha parênteses e colchetes, com seta da esquerda para à direita indicando menos x ao cubo menos x ao quadrado.
À esquerda, em azul, menos abre colchete menos x vezes abre parênteses x mais 1 fecha parênteses e colchetes, com seta da esquerda para à direita indicando mais x ao quadrado mais x.
À esquerda, em azul, menos abre colchetes mais 1 vezes abre parênteses x mais 1 fecha parênteses e colchetes, com seta da esquerda para à direita indicando menos x menos 1.
À direita de x ao quadrado menos x mais 1: quociente. Seta entre eles, da direita para a esquerda.
À direita, em azul, x ao cubo dividido por x, seta da direita para a esquerda e para cima, indicando x ao quadrado, do quociente.
À direita, em azul, menos x ao quadrado dividido por x, seta da direita para a esquerda e para cima, indicando menos x, do quociente.
À direita, em azul, mais x dividido por x, seta da direita para a esquerda e para cima, indicando mais 1 do quociente.

Portanto: abre parêntesesxao cubo + 1fecha parênteses dividido por abre parêntesesx + 1fecha parênteses = abre parêntesesxao quadrado menos x + 1fecha parênteses

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Escreva os resultados das divisões a seguir.

a) abre parêntesesx ao cuboy + x ao quadradoy ao quadrado + x ao quadradoyfecha parênteses dividido por abre parêntesesx ao quadradoyfecha parênteses

b) abre parênteses6x elevado a 4y ao quadrado menos 6x ao cuboy ao quadrado + 6x ao quadradoy ao quadradofecha parênteses dividido por abre parênteses6x ao quadradoy ao quadradofecha parênteses

c) abre parênteses3aao cubobao cubo menos 3aao quadradobelevado a 4 + 3aao quadradobao cubofecha parênteses dividido por abre parênteses3a ao quadradob ao cubofecha parênteses

2. Calcule o quociente Q e o resto R das divisões.

a) abre parêntesesx ao cubo + 3x ao quadrado menos 7x menos 3fecha parênteses dividido por abre parêntesesx menos 2fecha parênteses

b) abre parênteses2x elevado a 4 menos 3x menos 1fecha parênteses dividido por abre parêntesesx ao quadrado + 2x menos 3fecha parênteses

c) abre parênteses4x ao quadrado menos 5x + 5fecha parênteses dividido por abre parêntesesx ao quadrado + 1fecha parênteses

3. Escreva o resto de cada divisão.

a) abre parêntesesx ao cubo menos 3x ao quadradofecha parênteses dividido por abre parêntesesx menos 1fecha parênteses

b) abre parêntesesx ao quadrado menos 3x + 9fecha parênteses dividido por abre parêntesesx + 3fecha parênteses

c) abre parêntesesx elevado a 4 menos x ao quadrado + 9xfecha parênteses dividido por abre parêntesesx ao quadrado + 1fecha parênteses

4. Corrija a afirmação falsa no caderno.

a) As divisões abre parênteses2x elevado a 4 + 3x ao cubo menos 2x menos 3fecha parênteses dividido por abre parênteses2x + 3fecha parênteses e abre parêntesesx elevado a 5 + x elevado a 4 + x ao cubo menos xao quadrado menos x menos 1fecha parênteses dividido por abre parêntesesxao quadrado + x + 1fecha parênteses têm o mesmo quociente.

b) Os restos obtidos nas divisões abre parêntesesxelevado a 4 + 1fecha parênteses dividido por abre parêntesesxao cubo menos 1fecha parênteses e abre parêntesesaao quadrado + 1fecha parênteses dividido por abre parêntesesa menos 1fecha parênteses são monômios.

5. Considerando os polinômios a = xao quadrado menos 9, B = x + 3, C = x menos 3 e D = abre parêntesesx + 3fecha parêntesesao quadrado, calcule o quociente Q e o resto R das divisões a seguir.

a) A dividido por B

b) A dividido por C

c) D dividido por B

d) D dividido por C

6. Ao dividir a medida de área do retângulo pela medida de seu comprimento, obtemos a medida de largura. O retângulo a seguir tem a medida de área indicada pelo polinômio 36x ao quadrado menos 3x menos 3 e a medida do comprimento indicada pelo polinômio 12x + 3.

Figura geométrica. Retângulo verde, com cota indicando a medida de comprimento da base, 12x mais 3. Em seu interior, a informação: medida de área igual 36 x ao quadrado menos 3x menos 3.

a) Qual polinômio indica a medida da largura desse retângulo?

b) Qual é a medida da área desse retângulo se x = 1 centímetro?

7. Mariana dividiu o polinômio P = menos x ao cubo menos 2x ao quadrado menos x por outro polinômio, S, e obteve como quociente um polinômio de grau 1.

Gisele dividiu o polinômio P = menos x ao cubo menos 2x ao quadrado menos x por um monômio T e obteve como quociente um polinômio de grau 2.

Qual é o grau do polinômio S? E o grau do monômio T ?

Reúna-se com um colega para resolver o problema a seguir.

Um polinômio P de grau 3 e variável x foi dividido por um polinômio M de grau 2 e variável x.

Procurem um exemplo para P e para M de modo que:

a) o resto da divisão de P por M seja igual a zero;

b) o quociente da divisão de P por M seja igual a x.

Respostas e comentários

1. a) x + y + 1

1. b) x ao quadrado menos x + 1

1. c) a menos b + 1

2. a) Q = x ao quadrado + 5x + 3; R = 3

2. b) Q = 2x ao quadrado menos 4x + 14; R = menos 43x + 41

2. c) Q = 4; R = menos5x + 1

3. a) menos 2

3. b) 27

3. c) 9x + 2

4. Resposta em Orientações.

5. a) Q = x menos 3; R = 0

5. b) Q = x + 3; R = 0

5. c) Q = x + 3; R = 0

5. d) Q = x + 9; R = 36

6. a) 3x menos 1

6. b) 30 centímetros quadrados

7. grau 2; grau 1

8. Exemplos de respostas:

8. a) P = x ³ + 2x ao quadrado + x; M = x ao quadrado + x

8. b) P = x ³ + 2x; M = x ao quadrado + 2

Orientações e sugestões didáticas

• Oriente os estudantes durante a resolução das atividades, esclarecendo eventuais dúvidas e, depois, confira com eles os resultados obtidos.

• Espera-se que os estudantes, na atividade 4, validem a afirmação contida no item a como verdadeira. O item b pode ser corrigido da seguinte maneira: O resto da divisão abre parêntesesxelevado a 4 + 1fecha parênteses dividido por abre parêntesesxao cubo menos 1fecha parênteses é um binômio, x + 1, e o resto da divisão abre parêntesesaao quadrado + 1fecha parênteses dividido por abre parêntesesa menos 1fecha parênteses é um monômio, 2.

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Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Gráficos e porcentagem

A febre amarela é uma doença infecciosa grave causada por um vírus e transmitida por mosquitos em áreas urbanas ou silvestres. A infecção acontece quando uma pessoa que nunca contraiu a febre amarela ou tomou a vacina contra ela é picada por um mosquito infectado.

Observe, na tabela a seguir, o número de casos humanos notificados de febre amarela no Brasil, de julho de 2019 a janeiro de 2020. Nesse período, um paciente veio a óbito, na Região Norte.

Casos humanos notificados de febre amarela – julho/2019 a janeiro/2020 – Brasil
Região	Número de casos notificados
Norte	29
Nordeste	6
Centro-Oeste	39
Sudeste	188
Sul	65

Dados obtidos em: BRASIL. Ministério da Saúde. Secretaria de Vigilância em Saúde. Boletim Epidemiológico, Brasília, Distrito Federal, volume 51, número 1, janeiro 2020. Disponível em: https://oeds.link/Wbc4rb. Acesso em: 21 abril 2022.

Fotografia. Mulher de cabelo preto, óculos, vestida de camiseta azul e estetoscópio no pescoço. Ela está de braços cruzados e sorrindo e falando: Previna-se contra a febre amarela. Tome a vacina!

Para pensar

Como podemos nos prevenir contra a febre amarela? Converse com os colegas sobre o assunto.

Acompanhe como podemos construir um gráfico de setores com base nos dados da tabela apresentada.

Primeiro, copiamos a tabela em uma planilha eletrônica e calculamos o total.

Ilustração. Planilha eletrônica. Acima, B6. Fórmula. Nas células A1 a A6 estão as regiões e o Total. Nas células B1 a B6, Número de casos. Os dados são: Norte: 29, Nordeste: 6, Centro-Oeste: 39, Sudeste: 188, Sul: 65, TOTAL: 327 Sai um fio do número 327 indicando: Para calcular o total, digitamos na célula B6 a fórmula igual SOMA, abre parênteses B1 dois pontos B5 fecha parênteses, abre parênteses, adiciona os valores das células B1, B2, B3, B4 e B5 fecha parênteses.

Respostas e comentários

Para pensar: Comentários em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

Estatística e Probabilidade

Objetivos

• Favorecer a reflexão sobre a importância da vacinação contra a febre amarela, possibilitando o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, da macroárea Saúde.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah zero quatro e ê éfe zero oito ême ah dois três, da competência geral 8 e da competência específica 6 da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Esta seção contribui para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero quatro porque os estudantes vão resolver e a elaborar problemas envolvendo o cálculo de porcentagens, inclusive com o uso de tecnologias digitais. Já a habilidade ê éfe zero oito ême ah dois três tem o seu desenvolvimento favorecido porque os estudantes devem analisar qual é o gráfico mais adequado para representar determinados conjuntos de dados.

Orientações

• Nesta seção, os estudantes são orientados a calcular, com o auxílio de uma planilha eletrônica, a frequência percentual de cada dado de uma tabela para depois construir o gráfico de setores correspondente a esse conjunto de dados. Comente que esse procedimento é útil quando temos um conjunto de dados muito grande, o que inviabiliza fazer os cálculos um a um. Chame a atenção deles para o fato de a soma das frequências percentuais ser igual a 100%.

• Aproveite a situação inicial e o questionamento proposto no boxe Para pensar e converse com os estudantes sobre como é transmitida a febre amarela, seus sintomas e como podemos nos prevenir. Converse com eles sobre a importância de tomar a vacina. Alguns aspectos clínicos e epidemiológicos, bem como uma série de perguntas e respostas, podem ser consultados no site da Secretaria de Saúde do governo do estado do Paraná, disponível em: https://oeds.link/BgJxRk (acesso em: 30 junho 2022).

• Esse momento de troca de ideias favorece o desenvolvimento da competência geral 8 da Bê êne cê cê e do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, da macroárea Saúde, porque os estudantes são alertados a cuidar da saúde física.

(ê éfe zero oito ême ah zero quatro) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

(ê éfe zero oito ême ah dois três) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Competência geral 8: Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo- se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Página 207

Depois, acrescentamos uma coluna com a porcentagem de casos notificados em cada Região do Brasil em relação ao total.

Ilustração. Mesma planilha anterior, agora incluindo informações na coluna C. C1: 9 por cento. Sai um fio de 9 por cento indicando: Na célula C1, digitamos a fórmula igualB1 barra inclinada cifrão B cifrão 6, abre parênteses, calcula a razão entre os valores das células B1 e B6, fecha os parênteses. O cifrão é utilizado na fórmula para fixar a coluna B e a linha 6. Assim, quando a fórmula da célula C1 for copiada para as outras, a célula B6 ficará fixa na fórmula.

Ilustração. Adolescente de cabelo castanho, vestindo uma blusa amarela. Há um balão de fala com o texto:: Para apresentar os valores da coluna C em
porcentagem, basta selecioná-la e escolher a opção símbolo de porcentagem para formatar a exibição do número.

Em seguida, copiamos a fórmula para as células C2 a C5 e as formatamos para mostrar os valores em porcentagem.

Ilustração. Mesma planilha anterior, agora incluindo mais informações na coluna C. C1: 9 por cento. C2: 2 por cento. C3: 12 por cento. C4: 57 por cento. C5: 20 por cento. As células C1 a C5 estão selecionadas. Sai um fio de 9 por cento indicando: Não é necessário repetir a fórmula para cada célula da coluna. Basta selecionar a primeira célula, levar o cursor até a quina da seleção e, com o botão esquerdo do mouse clicado, arrastar a seleção até a célula C5. Esse procedimento copia a fórmula da célula C1 para as células C2, C3, C4 e C5, substituindo C1, respectivamente, por C2, C3, C4 e C5.

Por fim, em outra planilha, copiamos somente os dados das colunas a e C e construímos o gráfico de setores.

Ilustração. Planilha eletrônica. Acima, A1. Fórmula. Na células A1 a A5 estão as regiões. Nas células B1 a B5, porcentagem. Os dados são: Norte: 9 por cento, Nordeste: 2 por cento, Centro-Oeste: 12 por cento, Sudeste: 57 por cento, Sul: 20 por cento.
Ao lado, gráfico de setores intitulado: CASOS HUMANOS NOTIFICADOS DE FEBRE AMARELA hífen JULHO de 2019 A JANEIRO de 2020 hífen BRASIL.
Setor verde Norte: 9 por cento.
Setor laranja Nordeste: 2 por cento.
Setor amarelo Centro-Oeste: 12 por cento.
Setor vermelho Sudeste: 57 por cento.
Setor azul Sul: 20 por cento.

Ilustração. Adolescente de cabelo castanho, vestindo uma blusa amarela, short azul e tênis vermelho. Há um balão de fala com o texto: Selecionando os dados obtidos, podemos construir o gráfico na planilha eletrônica.

Para pensar

Se quisermos comparar o número de casos notificados em cada região com o número total de casos notificados no Brasil, qual dos gráficos é mais adequado: o de barras (verticais ou horizontais) ou o de setores? Por quê?

Clique no play e acompanhe a reprodução do Áudio.

Transcrição do áudio

Finanças da família

Duração: 5:23min. Página: 207.

>> [LOCUTOR] Finanças da família

>> [Cris] Rodrigo, o que está havendo com você? [Tom enfático] Parece tão tenso! [Tom de questionamento] Aconteceu alguma coisa?

>> [Rodrigo] Poxa, Cris, sabe o que é? São as minhas finanças. A grana tá curta, não chegamos nem no meio do mês e o dinheiro já tá acabando.

>> [Cris] Ué, Rodrigo, você não costuma fazer um planejamento? [Tom de questionamento] Como você controla suas despesas mensais?

>> [Rodrigo] [Tom enfático] Eu vou só gastando mesmo! As contas vão chegando, e eu vou pagando...

>> [Cris] [Tom enfático] Não, Rodrigo. Dessa maneira, você não sabe quanto pode gastar com cada item que consome.

>> [Rodrigo] [Tom enfático] Mas eu só gasto o necessário!

>> [Cris] [Tom de questionamento] Será mesmo? Quando a gente não tem um parâmetro para seguir, a tendência é se perder nas contas.

>> [Rodrigo] Explique melhor. [Tom de dúvida] O que eu tenho que fazer? Daqui a pouco, não vou conseguir pagar mais nada!

>> [Cris] Se você não quiser anotar os gastos num caderno, hoje em dia, tem aplicativos de celular que podem ajudar você a fazer esse controle, e tem também planilhas eletrônicas. Neste meu aplicativo, por exemplo, eu consigo registrar todas as minhas despesas por categoria. Registro também todas as minhas entradas, o meu salário, os ganhos extras, tudo o que eu recebo. E o melhor, como carrego o celular comigo, anoto os valores na hora, para não correr o risco de [tom enfático] esquecer! Você também pode monitorar suas finanças pessoais [tom enfático] ou até mesmo da sua família.

>> [Rodrigo] [Tom de questionamento] Mas como eu consigo me organizar com isso, Cris?

>> [Cris] Você pode pegar toda a renda familiar e separar os gastos em dois tipos: os fixos, aqueles que todo mês estarão ali... a conta de luz, água, gás, essas coisas, e os variáveis, os que mudam mês a mês. Além de tentar economizar gastos fixos, como a conta de água e de luz, você pode ajustar os gastos variáveis. Observando exatamente quanto gasta, você vai saber também quanto sobrará. E sabendo quanto sobrará, poderá se planejar. Você vai saber, por exemplo, se neste mês vai sobrar dinheiro para comprar um ventilador novo ou para guardar mesmo. Nunca se sabe o dia de amanhã! É sempre bom ter uma economia para alguma emergência, não é?

>> [Rodrigo] Entendi, Cris. Mas isso não vai resolver meu problema. Desconfio que, quando eu anotar tudo, vou perceber que, na verdade, meus gastos são maiores que os meus rendimentos. É como eu digo: o dinheiro não [tom enfático] sobra, falta!

>> [Cris] Tudo bem. Vamos pensar, então! A vantagem de categorizar as despesas é justamente saber se seus gastos estão equilibrados. [Tom de questionamento] Será que o percentual de sua renda gasto com cada coisa é o mais adequado?

>> [Rodrigo] [Tom de dúvida] Percentual? Como assim?

>> [Cris] Na verdade, isso é uma questão pessoal. Mas a gente pode ter uma noção do quanto normalmente se gasta com cada item. Vi em uma pesquisa do IBGE que no Brasil as famílias gastam por volta de 20 por cento do salário com alimentação. Já os gastos com habitação giram em torno de 35 por cento do valor da renda familiar. Ou seja, se você tem uma renda familiar de 2 000 reais, o esperado é que gaste por volta de 400 reais com alimentação e uns 700 reais com despesas de habitação, que incluem água, luz, gás, internet, entre outros. Então, se você está gastando muito mais do que isso, seu orçamento vai ficar apertado e você vai ter que economizar em outras coisas, como diversão e tudo o mais.

>> [Rodrigo] Entendi! Espere, vou fazer umas contas aqui! [Som de digitação em uma calculadora] Veja, Cris, parece que, na minha casa, a gente gasta 15 por cento da renda com alimentação.

>> [Cris] Então, seus gastos com alimentação estão abaixo da média. E quanto à diversão, [tom enfático] qual é o cenário?

>> [Rodrigo] [Tom desanimado] Ih... [tom enfático] diversão deu uns 35 por cento!

>> [Cris] [Tom de descoberta] Bingo! Basta, então, equilibrar suas despesas, de forma que se sinta mais confortável no final do mês. Isso já deve resolver [riso] esse aperto que você diz que passa.

>> [Rodrigo] [Tom ligeiramente alterado] Mas, espera aí! Você está dizendo que eu devo parar de me divertir? É isso mesmo?

>> [Cris] Não é bem assim! O que eu quero dizer é que, anotando tudo, você vai ter uma ideia dos gastos e, com isso, vai conseguir se planejar melhor. Desse jeito, você poderá [riso] se divertir sem perder o sono, [tom enfático] não é mesmo?

O áudio inserido neste conteúdo é da Free Sound.

Respostas e comentários

Para pensar: Espera-se que os estudantes respondam que o gráfico de setores é o mais adequado, porque por meio dele é possível comparar as partes e cada parte com o todo.

Orientações e sugestões didáticas

• Leve os estudantes para a sala de informática da escola e peça que reproduzam a construção do gráfico de setores apresentada.

• Aproveite o boxe Para pensar e peça aos estudantes que descrevam as principais diferenças entre os gráficos de barras e os gráficos de setores, destacando quando é mais adequado utilizar um ou outro.

• Aproveitando a sala de informática, sugira aos estudantes que construam o gráfico de barras na planilha eletrônica para representar os dados. Assim, eles poderão desenvolver a capacidade de argumentar com base na comparação das representações.

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▶ Estatística e Probabilidade

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Em junho de 2023, foi feita uma pesquisa para saber as cores preferidas dos estudantes de uma turma. O resultado dessa pesquisa foi organizado na tabela a seguir. Em uma planilha eletrônica, construa o gráfico de setores correspondente à tabela. No gráfico, os dados devem estar apresentados na fórma percentual.

Cores preferidas dos estudantes da turma
Cores	Número de votos
Azul	15
Verde	10
Vermelho	5
Amarelo	2
Roxo	8

Dados obtidos pela professora da turma em junho de 2023.

2. A tabela a seguir informa o número de mortes no trânsito no Brasil entre 2014 e 2020.

Mortes no trânsito entre 2014 e 2020
Ano	Número de mortes
2014	44.823
2016	38.265
2018	33.625
2020	31.088

Dados obtidos em: BRASIL. Ministério da Saúde. datasus, Brasília, Distrito Federal, cêrca de 2020. Disponível em: https://oeds.link/e6mY53. Acesso em: 2 maio 2022.

a) Qual é o tipo de gráfico mais adequado para representar os dados dessa tabela? Por quê?

b) Podemos afirmar que nesse período o número de mortes no trânsito foi sempre crescente? Por quê?

Com uma calculadora, determine o percentual aproximado da diminuição de mortes no trânsito entre 2014 e 2020.

3. Para cada situação, indique o tipo de gráfico mais adequado. Justifique sua resposta.

a) Mostrar como o número de automóveis vendidos por uma concessionária variou, mês a mês, durante 1 ano.

b) Comparar o número de estudantes aprovados e reprovados em 2022 e 2023.

c) Comparar os percentuais de materiais de cada tipo que uma cooperativa reciclou em 2023.

4. Em abril de 2023, a professora de Matemática do 8º ano A organizou em um gráfico de setores a porcentagem de estudantes que obtiveram notas de 0 a 10 no 1º bimestre. Observe.

Gráfico de setores intitulado: NOTAS DOS ESTUDANTES DO OITAVO ANO A traço médio
PRIMEIRO BIMESTRE.
Setor azul Nota 0: 5 por cento.
Setor laranja Nota 1: 5 por cento.
Setor verde claro Nota 2: 5 por cento.
Setor roxo Nota 3: 10 por cento.
Setor amarelo Nota 4: 5 por cento.
Setor azul claro Nota 5: 10 por cento.
Setor vermelho Nota 6: 25 por cento.
Setor verde escuro Nota 7: 10 por cento.
Setor rosa Nota 8: 10 por cento.
Setor verde menta Nota 9: 5 por cento.
Setor marrom Nota 10: 10 por cento.

Dados obtidos pela professora de Matemática do 8º ano a em abril de 2023.

•

Elabore um problema envolvendo os dados do gráfico de setores construído pela professora.

Respostas e comentários

1. Resposta em Orientações.

2. a) Exemplo de resposta: O gráfico de linhas, pois mostra como o número de mortes no trânsito variou de 2014 a 2020.

2. b) Não, porque entre todos os anos apresentados o número de mortes no trânsito diminuiu.

2. c) aproximadamente 31%

3. Respostas em Orientações.

4. Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Amplie a proposta do item a da atividade 2 e peça aos estudantes que construam o gráfico que consideram mais adequado utilizando uma planilha eletrônica. Se achar pertinente, peça que escrevam um texto comparando as representações gráficas.

• Exemplos de resposta da atividade 3:

a) Gráfico de linha, pois expressa a variação dos dados ao longo do tempo.

b) Gráfico de barras duplas, pois faz uma comparação direta ano a ano.

c) Gráfico de setores, pois compara a porcentagem dos diferentes tipos de material reciclado em um mesmo ano.

• Na atividade 4, após elaborarem o problema, peça aos estudantes que o troquem com um colega e resolvam o problema proposto por ele.

• Exemplo de resposta da atividade 1:

Ilustração. Planilha eletrônica. Acima, A1. Fórmula. Nas células A1 a A5 estão as cores. Nas células B1 a B5, porcentagem. Os dados são: Azul: 37 vírgula 50 por cento. Verde: 25 por cento. Vermelho: 12 vírgula 5 por cento. Amarelo: 5 por cento. Roxo: 20 por cento.
Ao lado, gráfico de setores intitulado: Cores preferidas dos estudantes da turma.
Setor Azul: 37 vírgula 50 por cento.
Setor Verde: 25 por cento.
Setor Vermelho: 12 vírgula 50 por cento.
Setor Amarelo: 5 por cento.
Setor Roxo: 20 por cento.
Fonte: Dados obtidos pela professora da turma em junho de 2023.

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Educação Financeira

faça as atividades no caderno

Decisões a tomar

Já faz alguns anos que você estuda Matemática, não é mesmo? Você se lembra de alguma situação na qual usou a Matemática em seu dia a dia? Analise o diálogo a seguir.

Ilustração. História em quadrinhos composta por quatro quadros, apresenta um homem branco de cabelo castanho, vestido de camisa branca, calça azul e um relógio no pulso e um homem negro de cabelos castanhos, vestido de camiseta amarela e calça azul clara. Eles estão em uma loja.
Quadro 1. Homem de camisa branca fala: Amanhã é aniversário da minha mãe e do meu sobrinho. Quero comprar presentes para eles. O homem de camiseta amarela diz: Você já decidiu o que comprar? No fundo, expositores de livros com placa escrito: À vista 80 reais. À prazo 3 vezes de 30 reais.

Ilustração. Quadro 2. Fundo branco, homem de camisa branca com os braços para cima com as mão esticadas diz: Sim, já sei o que comprar. O mais difícil agora é decidir se vou pagar à vista ou a prazo. O homem de camiseta amarela fala: Por que você acha difícil decidir isso?

Ilustração. Quadro 3. O homem de camisa branca e braços esticados um para cada lado, fala: Porque não entendo direito que conta tenho de fazer para saber se é vantajoso comprar à vista ou a prazo. O homem de camiseta amarela diz: Ah, eu também não entendo direito essas contas. Ao fundo expositores de livros e óculos escuros, com várias placas amarelas.

Ilustração. Quadro 4. Destaque para o rosto do homem de camisa branca com as mão no queixo com o indicador apontado para cima, que diz: Não sei o que fazer... Atrás, o homem de camiseta amarela diz: Acho melhor você pensar bem para não fazer um mau negócio e ficar endividado. Ao fundo expositor de óculos escuros.

O que você faria?

Imagine-se na situação do rapaz da história. Como você agiria? Leia as opções a seguir e escreva no caderno as vantagens e as desvantagens de cada uma.

a) Pagaria à vista, pois já teria economizado dinheiro para comprar os presentes.

b) Pagaria a prazo, já que não teria o dinheiro para o pagamento à vista.

c) Pagaria à vista, pois assim não teria prestações no futuro.

d) Pesquisaria na internet maneiras de fazer as contas para, então, decidir o que seria mais vantajoso.

e) Perguntaria ao vendedor da loja qual seria a melhor opção de pagamento.

f) Procuraria, entre amigos e familiares, alguém que pudesse explicar melhor a diferença entre as formas de pagamento.

Respostas e comentários

O que você faria?: Respostas pessoais.

Orientações e sugestões didáticas

Educação Financeira

Objetivos

• Refletir sobre o uso consciente de recursos financeiros, favorecendo o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira, da macroárea Economia.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero quatro e da competência geral 7 da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esta seção contribui para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero quatro porque os estudantes irão refletir e resolver problemas envolvendo o cálculo de porcentagens.

Orientações

• Nesta seção, embora o centro do debate não sejam as diferentes aplicações da Matemática em nosso cotidiano, os estudantes podem fazer uma breve discussão de quando e como usam a Matemática e, especialmente, pensar em situações como a da ilustração, em que a falta de conhecimento matemático pode afetar a vida social, econômica e financeira das pessoas. As discussões e reflexões propostas nesta seção propiciam o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira, da macroárea Economia.

• Em O que você faria?, além de escolher uma opção para solucionar a dúvida apresentada, os estudantes poderão opinar sobre as diferentes atitudes que podem ser tomadas e suas consequências. A ideia é que eles se posicionem de maneira ética com base na situação apresentada ou em fatos que já vivenciaram, o que contribui para que a competência geral 7 da Bê êne cê cê tenha seu desenvolvimento favorecido.

(ê éfe zero oito ême ah zero quatro) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

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▶ Educação Financeira

Lembre-se: Escreva no caderno!

Calcule

Observe os preços de cada produto. Depois, responda às questões.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Ilustração. Helicóptero verde com controle remoto acima de uma caixa de papel. Acima, placa escrita: À vista: 530 reais. A prazo: 5 parcelas de 121 reais e 90 centavos.
Ao lado, notebook apoiado em uma mesa de madeira. Na tela, preço: 3 mil reais. Ao lado, placa escrita: À vista: 20 por cento de desconto. A prazo: 3 parcelas de 1 mil reais.
Abaixo, carros à venda. Ao fundo, traseira de um carro azul e outro verde. À frente, carro marrom e outro vermelho, com a dianteira voltada para frente. Destaque para carro vermelho com placa acima com a informação: à vista: 45 mil 500 reais. Ao lado, placa escrita: A prazo: entrada de 10 mil reais mais 20 parcelas de 1 mil 810 reais e 50 centavos.

a) Ao optar pela compra a prazo, qual será o valor excedente que a pessoa pagará por cada produto, comparando com o valor à vista?

b) Esse valor excedente para o pagamento a prazo de cada produto corresponde a qual percentual do valor para pagamento à vista?

Reflita

Para concluir o tema desta seção, discuta oralmente estas questões com seus colegas.

a) O que quero comprar é urgente? Se não for urgente, não será mais vantajoso economizar o dinheiro para comprar à vista?

Ilustração. Menino de pele preta de cabelo castanho curto, vestido de camiseta amarela e calça azul. Esta segurando um cofrinho no formato de um porquinho verde e pensa em um tablet, um tênis e um controle de videogame.

b) Durante quanto tempo eu devo economizar para comprar um produto à vista?

c) O que eu posso comprar com o valor a mais que é cobrado em uma venda a prazo?

d) Compras parceladas são sempre a pior opção?

e) Em qual situação uma compra a prazo é mais vantajosa para o consumidor?

Respostas e comentários

Calcule: a) brinquedo: R$ 79,50setenta e nove reais e cinquenta centavos; notebook: R$ 600,00seiscentos reais; carro: R$ 710,00setecentos e dez reais

Calcule: b) brinquedo: 15%; notebook: 25%; carro: aproximadamente 1,56%

Reflita: Respostas pessoais.

Orientações e sugestões didáticas

• De modo simplificado, podemos definir juro como a quantia paga por um empréstimo de dinheiro.

• Em Calcule, permita que os estudantes utilizem uma calculadora, como costuma ser feito em casos reais de compra e venda. Nas perguntas propostas, eles são levados a desenvolver a habilidade ê éfe zero oito ême ah zero quatro, pois resolvem problemas que envolvem o cálculo de porcentagens para determinar os valores à vista dos produtos e das porcentagens que correspondem aos valores excedentes dos preços a prazo em relação aos preços à vista.

Resolução do item a:

Brinquedo

À vista: R$ 530,00quinhentos e trinta reais

A prazo: 5 ⋅ R$ 121,90cento e vinte e um reais e noventa centavos = R$ 609,50seiscentos e nove reais e cinquenta centavos

Valor excedente: R$ 609,50seiscentos e nove reais e cinquenta centavos menos R$ 530,00quinhentos e trinta reais = R$ 79,50setenta e nove reais e cinquenta centavos

Notebook

À vista: R$ 3.000,00três mil reais menos 20% =

= R$ 3.000três mil reais ⋅ 0,80 = R$ 2.400,00dois mil quatrocentos reais

A prazo: 3 ⋅ R$ 1.000,00mil reais = R$ 3.000,00três mil reais

Valor excedente:

R$ 3.000,00três mil reais menos R$ 2.400,00dois mil quatrocentos reais = R$ 600,00seiscentos reais

Carro

À vista: R$ 45.500,00quarenta e cinco mil quinhentos reais

A prazo: R$ 10.000dez mil reais + 20 ∙ R$ 1.810,50mil oitocentos e dez reais e cinquenta centavos =

= R$ 10.000dez mil reais + R$ 36.210trinta e seis mil duzentos e dez reais = R$ 46.210,00quarenta e seis mil duzentos e dez reais

Valor excedente:

R$ 46.210,00quarenta e seis mil duzentos e dez reais menos R$ 45.500,00quarenta e cinco mil quinhentos reais = R$ 710,00setecentos e dez reais

Resolução do item b:

Brinquedo: 79,50 dividido por 530 = 0,15;

logo: 0,15 ∙ 100 = 15%

Notebook: 600 dividido por .2400 = 0,25;

logo: 0,25 ∙ 100 = 25%

Carro: 710 dividido por .45500 = 0,0156;

logo: 0,0156 ⋅ 100 ≃ 1,56%

• Em Reflita, como conclusão, promova um debate entre os estudantes, de modo que tenham a oportunidade de expor sua opinião sobre os modos de pagamento em situações de compra, mesmo que hipotéticas.

• É importante considerar as dimensões social, emocional, histórica e cultural dos estudantes, uma vez que é provável que eles tragam experiências familiares para debates desse tipo. Nesse sentido, é preciso acolher as experiências, promovendo o respeito e a empatia, combatendo o bullying, que porventura possa surgir nessas discussões em razão das vivências compartilhadas ou das respostas sugeridas para as questões propostas. A intenção é que os estudantes fiquem mais críticos em relação a esse assunto e valorizem o conhecimento matemático.

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Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Observe a figura e encontre a expressão solicitada.

Jorge quer construir um galinheiro com formato quadrado, aproveitando o muro de seu quintal e alguns metros de tela que possui.

Ilustração. Tábua retangular em pé. À frente, suporte de tela cinza formando um cercado quadrado juntamente com a tábua.

a) Se Jorge tivesse 9 métros de comprimento de tela, qual seria a medida da área do quintal ocupada pelo galinheiro?

b) Levando em conta que a medida do comprimento c da tela é desconhecida, escreva uma expressão algébrica para o cálculo da medida da área do galinheiro, dependendo da medida do comprimento c da tela.

2. Durante uma partida de basquete, Fábio fez x arremessos de 3 pontos e y arremessos de 2 pontos. Sabendo que ele acertou

\frac{1}{3}

dos arremessos de 3 pontos e

\frac{3}{5}

dos arremessos de 2 pontos, determine a expressão algébrica que representa a quantidade de pontos que Fábio marcou.

3. Qual é o monômio que representa a medida do volume da figura a seguir?

Figura geométrica. A figura é composta por 4 paralelepípedos laranjas, 3 estão lado a lado e um acima do paralelepípedo do meio. Da esquerda para à direita: paralelepípedo de medida de comprimento a, medida de largura a e medida de altura b; paralelepípedo de medida de comprimento a, medida de largura a e medida de altura b; paralelepípedo de medida de comprimento 2a, medida de largura a e medida de altura b. Acima do segundo paralelepípedo, paralelepípedo de medida de comprimento a, medida de largura a e medida de altura b.

4. Vítor decidiu levar seus filhos ao cinema. Chegando lá, viu que tinha duas opções para estacionar seu carro. Observe os valores anunciados nas placas dos estacionamentos.

Ilustração. Dois quadros azuis com as seguintes informações. Quadro 1. Estacionamento A, primeira hora: 3 reais. Hora adicional 1 real e 20 centavos. Quadro 2. Estacionamento B, primeira hora: 4 reais. Hora adicional 80 centavos.

a) Quais são os polinômios que expressam os valores cobrados pela utilização de x horas em cada estacionamento?

b) Em qual dos estacionamentos será mais vantajoso para Vítor guardar o carro por um período de 6 horas?

5. Observe a figura e responda às questões.

Figura geométrica. A figura é formada por 2 retângulos: um verde, maior e outro branco menor. O retângulo branco tem o mesmo centro do retângulo verde. Cotas para o retângulo verde: medida de comprimento da base, 3x mais 2y; comprimento da altura, x mais y. Cotas para o retângulo branco: medida de comprimento da base, 2x; medida de comprimento da altura, 2y.

a) Qual é o polinômio que representa a medida da área da região colorida de verde?

b) Encontre o valor numérico da medida da área dessa região para x = 3 e y = 1.

6. Determine o resto em cada caso.

a) Se M = 3xelevado a 4 menos 6x ao quadrado + 1 e N = 3xelevado a 4 menos 5x ao quadrado menos 2, determine o resto da divisão de abre parêntesesM + Nfecha parênteses por abre parêntesesM menos Nfecha parênteses.

b) Dividindo o polinômio x⁵ + 2xelevado a 4 menos xao quadrado + 3 por xao quadrado + 5, obtêm-se o quociente Q e o resto R. Determine o resto para x = menos0,2.

Pense em um número x, inteiro e positivo. Depois, multiplique o antecessor e o sucessor desse número. Em seguida, adicione 1 ao produto obtido e extraia a raiz quadrada da soma obtida.

O resultado é o número pensado.

Usando uma calculadora comum, para x = 13, fazemos:

Ilustração. Teclas da calculadora:
1 2 vezes 1 4 mais 1 igual raiz quadrada. Imagem do visor da calculadora: 13.

Verifique esse procedimento para x igual:

a) ao seu número de chamada em sala de aula;

b) ao número de chamada de um colega de turma;

c) ao ano de seu nascimento.

Escreva uma expressão algébrica que justifique os passos anteriores.

8. Faça o que se pede em cada caso.

a) Determine o polinômio que, dividido por abre parêntesesx menos 5fecha parênteses, tem como quociente exato abre parêntesesx + 3fecha parênteses.

b) Determine o polinômio P que, dividido por D = x ao quadrado menos x, resulta no quociente Q = x ao cubo + 2x+ 4 e no resto R = 4x + 6.

Respostas e comentários

1. a) 9 métros quadrados

1. b)

A = \frac{c^{2}}{9}

x + \frac{6}{5} y

3. 5a ao quadradob

4. a) estacionamento a: 3,00 + 1,20x; estacionamento B: 4,00 + 0,80x

4. b) no estacionamento B

5. a) 3x ao quadrado + 2y ao quadrado + xy

5. b) 32

6. a) 20

6. b) 53

7. Respostas pessoais.

8. a) x ao quadrado menos 2x menos 15

8. b) x elevado a 5 menos x elevado a 4 + 2x ao cubo + 2x ao quadrado + 6

Orientações e sugestões didáticas

Atividades de revisão

Objetivos

• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do capítulo.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero seis da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• As atividades 4 e 5 desta seção contribuem para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero seis porque são propostos problemas que envolvem o cálculo do valor numérico de uma expressão algébrica.

Orientações

• Nesse momento, a proposta é resolver as atividades individualmente. Verifique se em cada atividade os estudantes empregam a linguagem algébrica de maneira correta. Aproveite para avaliar o que aprenderam e para tirar as dúvidas da turma.

• As etapas apresentadas na atividade 7 podem variar de uma calculadora para outra. Verifique se é necessário orientar os estudantes cujas calculadoras funcionem de maneiras diferentes da indicada.

• Sugerimos algumas questões para que os estudantes possam refletir sobre suas aprendizagens e possíveis dificuldades no estudo deste capítulo, as quais devem ser adaptadas à realidade da turma. Oriente-os a fazer a autoavaliação, respondendo às questões no caderno com “sim”, “às vezes” ou “não”.

Eureticências

reticências sei construir expressões algébricas para descrever problemas?

reticências reconheço a parte literal e o coeficiente de monômios?

reticências compreendo o que são monômios semelhantes?

reticências sei calcular o valor numérico de expressões algébricas?

reticências sei efetuar operações envolvendo polinômios?

reticências sei avaliar a melhor representação gráfica para um conjunto de dados?

reticências reconheço a importância da Matemática no meu dia a dia?

(ê éfe zero oito ême ah zero seis) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.