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CAPÍTULO 11 Transformações geométricas

Reflexão em relação a uma reta, reflexão em relação a um ponto, translação e rotação são exemplos de transformações geométricas no plano. Essas transformações são chamadas de isometrias, pois a figura obtida após a transformação é congruente à figura inicial. Vamos recordá-las e estudar algumas propriedades de cada uma.

1 Reflexão em relação a uma reta

Na figura a seguir, o pentágono AlinhaBlinhaClinhaDlinhaElinha (imagem) foi obtido do pentágono á bê cê dê é por meio da reflexão em relação à reta r indicada.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda figura ABCDE com 5 lados e 5 vértices, à direita, reta vertical r, na cor verde, sobre a reta estão 5 pontos com 5 ângulos retos, à direita, a figura A linha, B linha, C linha, D linha, E linha com 5 lados e 5 vértices. Linha tracejada conectando os pontos A e A linha à reta r. Linha horizontal tracejada conectando os pontos B e B linha à reta r. Linha horizontal tracejada conectando os pontos C e C linha à reta r. Linha horizontal tracejada conectando os pontos D e D linha à reta r. Linha horizontal tracejada conectando os pontos E e E linha à reta r. Os vértices A e A linha, B e B linha, C e C linha, D e D linha, E e E linha estão à mesma distância da reta r. A figura à esquerda é uma reflexão da figura à direita.

Lembre-se: Escreva no caderno!

Alguns pontos foram ligados às suas respectivas imagens por segmentos de reta. Note que a reta r é a mediatriz de

\overline{A A'}

\overline{B B'}

\overline{C C'}

\overline{D D'}

\overline{E E'}

Para analisar

Por que a reta r é a mediatriz de

\overline{A A'}

\overline{B B'}

\overline{C C'}

\overline{D D'}

\overline{E E'}

A reflexão em relação a uma reta r é a isometria que associa cada ponto P do plano (P não pertencente a r) ao ponto Plinha (simétrico de P ou imagem de P), de modo que P e Plinha estão à mesma distância de r. Dizemos, nesse caso, que os pontos P e Plinha são simétricos em relação à reta r.

Respostas e comentários

Os links expressos nesta coleção podem estar indisponíveis após a data de publicação deste material.

Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas neste Capítulo:

ê éfe zero oito ême ah um oito

ê éfe zero oito ême ah dois seis

ê éfe zero oito ême ah dois sete

Para analisar: Porque r é perpendicular a esses segmentos e passa pelo ponto médio deles.

Orientações e sugestões didáticas

Reflexão em relação a uma reta

Objetivos

• Retomar o conceito de reflexão em relação a uma reta.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um oito.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um oito porque os estudantes terão a oportunidade de reconhecer e construir, com o uso de instrumentos de desenho, figuras obtidas por composições de reflexões em relação a retas.

Orientações

• De acordo com a Bê êne cê cê, a simetria de reflexão está prevista para ser objeto de estudo a partir do 7 º ano. Nesta obra, o livro do 7 º ano abordou que a reflexão em relação a uma reta é uma isometria porque preserva as medidas de comprimento dos lados e de abertura dos ângulos da figura a ser refletida. Inicie o tópico retomando esses assuntos e incentivando os estudantes a verbalizar o que lembram.

• Agora que já foi apresentado o conceito de congruência de figuras, chame a atenção dos estudantes para o fato de que podemos afirmar que a figura obtida por meio da reflexão em relação a uma reta é congruente à figura inicial.

• O boxe Para analisar solicita aos estudantes que expliquem o porquê de o eixo de simetria ser a mediatriz dos segmentos cujas extremidades são pontos correspondentes da figura obtida e da figura inicial. Alguns deles podem afirmar que isso ocorre porque o eixo de simetria é perpendicular a esses segmentos (não mencionando que o eixo passa pelos pontos médios) ou porque ele passa pelos pontos médios desses segmentos (não mencionando que o eixo é perpendicular a eles). Caso isso ocorra, retome com eles o conceito de mediatriz.

(ê éfe zero oito ême ah um oito) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de Geometria dinâmica.

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Composição de reflexões

Na figura a seguir, foram feitas duas reflexões em sequência do hexágono á bê cê dê é éfe: a primeira em relação à reta s e a segunda em relação à reta t.

Esquema. Malha quadriculada. À esquerda, figura figura formada pelos pontos A, B, C, D, E e F. À direita a reta vertical s, à direita da reta s, a figura formada pelos pontos A linha, B linha, C linha, D linha E linha, F linha. À direita, a reta vertical t, à direita da reta t, a figura formada por A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas, D duas linhas, E duas linhas, F duas linhas.
Da esquerda para a direita a figura formada por A linha, B linha, C linha, D linha E linha, F linha é uma reflexão da figura formada por A, B, C, D, E e F, e a figura formada por A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas, D duas linhas, E duas linhas, F duas linhas é uma reflexão da figura formada por A linha, B linha, C linha, D linha E linha, F linha.

Note que o hexágono AlinhaBlinhaClinhaDlinhaElinhaFlinha foi obtido do hexágono á bê cê dê é éfe a partir da reflexão em relação à reta s. Já o hexágono Aduas linhasBduas linhasCduas linhasDduas linhasEduas linhasFduas linhas foi obtido do hexágono AlinhaBlinhaClinhaDlinhaElinhaFlinha por meio da reflexão em relação à reta t.

Para pensar

Que transformação geométrica você conhece que leva o hexágono á bê cê dê é éfe diretamente ao hexágono Aduas linhasBduas linhasCduas linhasDduas linhasEduas linhasFduas linhas?

Titulo do Infografico

Texto do Infografico

Legenda da imagem

Gire o seu dispositivo para a posição vertical

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Copie a figura a seguir em uma folha de papel quadriculado. Depois, reflita o polígono em relação à reta r e, em seguida, em relação à reta s.

Esquema. Malha quadriculada dividida em 4 partes iguais pela reta vertical r e a reta horizontal s. À esquerda da reta r e acima da reta s está o polígono azul formado pelos pontos A, B, C, D, E e F.

2. Na figura a seguir, o polígono AlinhaBlinhaClinhaDlinhaElinhaFlinha foi obtido do polígono á bê cê dê é éfe por meio da reflexão em relação a uma reta p, e o polígono Aduas linhasBduas linhasCduas linhasDduas linhasEduas linhasFduas linhas foi obtido do polígono AlinhaBlinhaClinhaDlinhaElinhaFlinha por meio da reflexão em relação a uma reta q. Copie essas figuras em uma folha de papel quadriculado e represente as retas p e q.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda, figura geométrica de seis lados com os vértices ABCDEF, à direita figura geométrica de seis lados com os vértices A linha, B linha, C linha, D linha, E linha, F linha. À direita, figura geométrica de seis lados com os vértices A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas, D duas linhas, E duas linhas, F duas linhas.

Respostas e comentários

Para pensar: translação

1. Resposta em Orientações.

2. Resposta na seção Resoluções neste manual.

Orientações e sugestões didáticas

• Nesta página, mostra-se um exemplo de como refletir sucessivamente uma mesma figura em relação a duas retas.

• Após responderem à questão do boxe Para pensar, peça aos estudantes que descrevam como é o vetor da translação. Espera-se que eles digam que o vetor está na direção horizontal, no sentido da esquerda para a direita, e que a medida do seu comprimento é igual a 14 vezes a medida de comprimento do lado de um quadradinho da malha. Se achar conveniente, apresente no quadro outros exemplos de reflexões sucessivas em que as retas (eixos de simetria) não são paralelas. Incentive os estudantes a dizer como e em que posição essas figuras devem ser desenhadas.

• Nas atividades deste Capítulo, lembre aos estudantes que eles não devem escrever no livro.

• Resposta da atividade 1:

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3. Considere as retas perpendiculares m e n e o triângulo ABC representados a seguir.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda o triângulo ABC. À direita a reta vertical m, abaixo a reta horizontal n.

a) Copie a figura em uma folha de papel quadriculado e construa os triângulos dê ê éfe, simétrico do triângulo á bê cê em relação à reta m, gê agá í, simétrico do triângulo dê ê éfe em relação à reta n, e jota cá êle, simétrico do triângulo gê agá í em relação à reta m.

b) O que podemos afirmar sobre os triângulos á bê cê e gê agá í?

c) Qual é a mediatriz de

\overline{A D}

? E a mediatriz de

\overline{E H}

2 Reflexão em relação a um ponto

Na figura a seguir, o triângulo AlinhaBlinhaClinha (imagem) foi obtido do triângulo á bê cê por meio da reflexão em relação ao ponto O indicado.

Esquema. malha quadriculada, à esquerda triângulo ABC, à direita o triângulo A linha, B linha, C linha. Entre os triângulos ABC e A linha, B linha, C linha está o ponto O. Linha tracejada com três traços do vértice A ao ponto O. Linha tracejada com dois traços do vértice B ao ponto O. Linha tracejada com um traço do vértice C ao ponto O. Linha tracejada com três traços do vértice A linha ao ponto O. Linha tracejada com dois traços do vértice B linha ao ponto O. Linha tracejada do um traço vértice C linha ao ponto O. Os traços indicam que os respectivos segmentos de reta tem mesma medida.

Alguns pontos foram ligados às suas respectivas imagens por segmentos de reta. Note que óh é o ponto médio de

\overline{A A'}

\overline{B B'}

\overline{C C'}

A reflexão em relação a um ponto óh é uma isometria que associa cada ponto P do plano (P distinto de óh) ao ponto Plinha , de modo que os segmentos

\overline{O P}

\overline{O P'}

sejam congruentes. Dizemos, nesse caso, que os pontos P e Plinha são simétricos em relação ao ponto óh.

Composição de reflexões

Na figura a seguir, foram feitas duas reflexões em sequência do quadrilátero a bê cê dê: a primeira em relação ao ponto óh e a segunda em relação ao ponto P.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda, trapézio ABCD, abaixo, o trapézio A linha, B linha, C linha, D linha, à direita, o trapézio A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas, D duas linhas. Entre os trapézios ABCD e A linha, B linha, C linha, D linha está o ponto O. Entre os trapézios A linha, B linha, C linha, D linha e A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas, D duas linhas está o ponto P.

Note que o quadrilátero AlinhaBlinhaClinhaDlinha foi obtido do quadrilátero a bê cê dê por meio da reflexão em relação ao ponto óh. Já o quadrilátero Aduas linhasBduas linhasCduas linhasDduas linhas foi obtido do quadrilátero AlinhaBlinhaClinhaDlinha por meio da reflexão em relação ao ponto P.

Respostas e comentários

3. a) Resposta em Orientações.

3. b) Exemplo de resposta: podemos afirmar que os triângulos são congruentes.

3. c) reta m; reta n

Orientações e sugestões didáticas

• Resposta do item a da atividade 3:

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda o triângulo ABC. À direita a reta vertical m, à direita o triângulo DEF. Abaixo a reta horizontal n, à esquerda o triângulo JKL, à direita o triângulo IHG. O triângulo DEF é o simétrico do triângulo ABC em relação a reta m. O triângulo GHI é o simétrico do triângulo DEF em relação a reta n. O triângulo JKL é o simétrico do triângulo GHI em relação a reta m.

Reflexão em relação a um ponto

Objetivos

• Retomar o conceito de reflexão em relação a um ponto.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um oito.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um oito porque os estudantes poderão reconhecer e construir, com o uso de instrumentos de desenho, figuras obtidas por composições de reflexões em relação a pontos.

Orientações

• Retome o que foi estudado no livro do 7 º ano sobre reflexão em relação a um ponto. Chame a atenção dos estudantes para o fato de também, nesse caso, a figura obtida ser congruente à figura inicial.

• Mostra-se um exemplo de como refletir sucessivamente uma mesma figura em relação a pontos diferentes. Se achar conveniente, peça aos estudantes que construam, utilizando um software de Geometria dinâmica, reflexões sucessivas de uma mesma figura em relação a dois ou mais pontos diferentes.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Copie a figura a seguir em uma folha de papel quadriculado e construa os segmentos:

\overline{M' N'}

, simétrico do segmento

\overline{MN}

em relação ao ponto S, e

\overline{M'' N''}

, simétrico de

\overline{M' N'}

em relação ao ponto T.

Esquema. Malha quadriculada com o segmento de reta MN. Abaixo o ponto S, abaixo o ponto T.

Em seguida, classifique as informações a seguir em verdadeiras ou falsas.

a) Os segmentos

\overline{M N}

\overline{M'' N''}

são congruentes.

b) S é ponto médio do segmento de

\overline{MM'}

c) T é ponto médio do segmento de

\overline{M' N''}

d) Os segmentos

\overline{M N}

\overline{M'' N''}

são simétricos em relação ao ponto S.

2. Na figura a seguir, o triângulo AlinhaBlinhaClinha é o simétrico de á bê cê em relação a um ponto óh e o triângulo Aduas linhasBduas linhasCduas linhas é o simétrico de AlinhaBlinhaClinha em relação a um ponto P. Copie essas figuras em uma folha de papel quadriculado e represente os pontos óh e P.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda, o triângulo ABC, à direita o triângulo A linha, B linha, C linha. Abaixo, o triângulo A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas.

3 Translação

Na figura a seguir, o triângulo AlinhaBlinhaClinha (imagem) foi obtido por meio de uma translação do triângulo á bê cê. O vetor dessa translação está indicado pela seta vermelha.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda, triângulo ABC, à direita, vetor vermelho na diagonal para baixo. Abaixo, o triângulo A linha, B linha, C linha. Linha tracejada do vértice A ao vértice A linha. Linha tracejada do vértice B, ao vértice B linha. Linha tracejada do vértice C ao vértice C linha.

Respostas e comentários

1. Resposta em Orientações.

1. a) verdadeira

1. b) verdadeira

1. c) falsa

1. d) falsa

2. Resposta em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Resposta da atividade 1:

Esquema. Malha quadriculada com os segmentos de reta MN, o segmento de reta M linha, N linha, o segmento de reta M duas linhas N duas linhas. Entre os segmentos de reta MN e M linha N linha está o ponto S. Entre os segmentos de reta M linha N linha e M duas linhas N duas linhas está o ponto T.

• Resposta da atividade 2:

Translação

Objetivos

• Retomar o conceito de translação.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um oito.

Habilidade da Bê êne cê cê

Orientações

• Assim como a reflexão em relação a uma reta e em relação a um ponto, a translação também está prevista na Bê êne cê cê para ser objeto de estudo a partir do 7 º ano. Assim, nesta obra, o conteúdo foi abordado no 7 º ano e, portanto, convém retomar esse estudo e destacar o fato de a figura obtida ser congruente à figura inicial.

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A translação que leva a até á é representada pelo vetor

\vec{AA'}

com origem em a e término em á. Na figura anterior,

\vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'}

, pois as medidas dos vetores

\vec{AA'}

\vec{BB'}

\vec{CC'}

são iguais, e a direção e o sentido de

\vec{AA'}

são os mesmos de

\vec{BB'}

\vec{CC'}

A translação é a isometria pela qual uma figura é deslocada em determinada direção e sentido, de modo que a medida de comprimento entre cada ponto da figura original e o seu correspondente na figura obtida é a mesma.

Composição de translações

Observe a figura a seguir. Nela, foram feitas duas translações em sequência.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda, figura geométrica formada pelos pontos ABCD, à direita, figura geométrica formada pelos pontos A linha, B linha, C linha, D linha, à direita, figura geométrica formada pelos pontos A duas linhas, b duas linhas, C duas linhas, D duas linhas. Acima, vetor verde direcionado para a direita, à direita, vetor alaranjado na diagonal para baixo.

A primeira translação leva o quadrilátero a bê cê dê ao quadrilátero AlinhaBlinhaClinhaDlinha e está representada pelo vetor verde. A segunda translação leva o quadrilátero AlinhaBlinhaClinhaDlinha ao quadrilátero Aduas linhasBduas linhasCduas linhasDduas linhas e está representada pelo vetor laranja.

Para pensar

É possível obter o quadrilátero Aduas linhasBduas linhasCduas linhasDduas linhas diretamente do quadrilátero a bê cê dê por meio de uma translação? Se sim, represente o vetor dessa translação em uma folha de papel quadriculado.

ATIVIDADE

faça a atividade no caderno

1. Em cada item, copie a figura em uma folha de papel quadriculado. Depois, translade-a primeiro na direção e no sentido indicados pelo vetor vermelho e, em seguida, na direção e no sentido indicados pelo vetor azul.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda, o triângulo retângulo ABC, acima o vetor vermelho direcionado para a direita, à direita o vetor azul direcionado para baixo.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda o trapézio ABCD, à direita o vetor vermelho na diagonal para baixo, à direita, o vetor azul na diagonal para cima.

Respostas e comentários

Para pensar: Resposta em Orientações.

1. Respostas em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Mostra-se um exemplo de como fazer translações em sequência. No quadro e com a contribuição dos estudantes, translade o quadrilátero a bê cê dê na direção e sentido do vetor laranja, obtendo um quadrilátero á linha bê linha cê linha dê linha, e translade o quadrilátero á linha bê linha cê linha dê linha na direção e sentido do vetor verde. Após fazer isso, verifique se os estudantes observam que a composição de translações é comutativa.

• Resolução do boxe Para pensar:

É possível obter o quadrilátero á duas linhas bê duas linhas cê duas linhas dê duas linhas diretamente do quadrilátero a bê cê dê e o vetor dessa translação pode ser representado por:

Esquema. Malha quadriculada com vetor na diagonal para baixo.

• A questão do boxe Para pensar contribui para que os estudantes percebam que a composição de duas translações é uma translação.

• Respostas da atividade 1:

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda, o triângulo retângulo ABC, acima o vetor direcionado para a direita, à direita o vetor direcionado para baixo. À direita, o triângulo retângulo A linha, B linha, C linha. Abaixo, o triângulo retângulo A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas. O triângulo A linha, B linha e C linha foi obtido por uma translação do triângulo ABC na direção e sentido do vetor direcionado para direita. O triângulo A duas linhas, B duas linhas e C duas linhas foi obtido por uma translação do triângulo A linha B linhas C linha na direção e sentido do vetor direcionado para baixo.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda o trapézio ABCD, à direita o vetor na diagonal para baixo, à direita, o vetor na diagonal para cima. Abaixo, o trapézio A linha, B linha, C linha, D linha. À direita o trapézio A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas, D duas linhas. O trapézio A linha, B linha, C linha e D linha foi obtido por uma translação do trapézio ABCD na direção e sentido do vetor na diagonal para baixo. O trapézio A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas e D duas linhas foi obtido por uma translação do trapézio A linha B linhas C linha D linha na direção e sentido do vetor direcionado na diagonal para cima.

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4 Rotação

Na malha quadriculada a seguir, o triângulo AlinhaBlinhaClinha (imagem) foi obtido do triângulo á bê cê por meio de um giro, no sentido anti-horário (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio), que mede 90graus ao redor do ponto óh.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda, o triângulo ABC, à direita, o triângulo A linha, B linha C linha. Acima o ponto O, dos vértices dos triângulos saem linhas tracejadas até o ponto O. Seta azul com a descrição 90 graus saindo da linha tracejada do vértice B para a linha tracejada do vértice B linha. Seta azul com a descrição 90 graus saindo da linha tracejada do vértice A para a linha tracejada do vértice A linha. Seta azul com a descrição 90 graus saindo da linha tracejada do vértice C para a linha tracejada do vértice C linha.

A rotação é a isometria pela qual a nova figura é obtida por meio de um giro da figura inicial ao redor de um ponto fixo, chamado de centro da rotação.

Composição de rotações

Podemos rotacionar figuras sucessivamente em torno de um mesmo ponto ou em torno de pontos diferentes.

Composição de rotações em torno de um mesmo ponto

Observe a figura a seguir.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda, triângulo ABC, acima, à direita o triângulo A linha, B linha, C linha, abaixo, à direita o triângulo A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas. Os vértices A, A linha e A duas linhas estão na mesma direção do ponto O.

Nela, foram feitas duas rotações em torno do ponto óh.

• O triângulo AlinhaBlinhaClinha foi obtido do triângulo á bê cê por meio de um giro, no sentido horário (sentido dos ponteiros do relógio), com medida igual a 90graus ao redor do ponto óh.

• O triângulo Aduas linhasBduas linhasCduas linhas foi obtido do triângulo AlinhaBlinhaClinha por meio de um giro, no sentido horário, com medida igual a 180graus ao redor do ponto óh.

Para pensar

a) Que triângulo obtemos ao rotacionar o triângulo á bê cê no sentido horário, com medida igual a 270graus ao redor do ponto óh?

b) Qual é a relação entre a medida do giro da rotação descrita anteriormente e a medida do giro das rotações sucessivas do exemplo estudado?

Respostas e comentários

Para pensar: a) o triângulo Aduas linhasBduas linhasCduas linhas

b) Espera-se que os estudantes percebam que a medida do giro da rotação descrita no item a é a soma das medidas dos giros das rotações sucessivas do exemplo estudado.

Orientações e sugestões didáticas

Rotação

Objetivos

• Retomar o conceito de rotação.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um oito.

Habilidade da Bê êne cê cê

Orientações

• De acordo com a Bê êne cê cê, a simetria de rotação está prevista para ser objeto de estudo a partir do 7 º ano. Nesta obra, o livro do 7 º ano iniciou o estudo sobre simetria de rotação. Retome o que foi estudado, enfatizando que a figura obtida após uma rotação é congruente à original.

• As questões do boxe Para pensar contribuem para que os estudantes percebam que a composição de duas rotações com o mesmo centro equivale a uma rotação cuja medida do giro é igual à soma das medidas dos giros das rotações que fazem parte da composição. Se julgar conveniente, chame alguns estudantes para compartilharem como pensaram.

• Proponha aos estudantes que, utilizando um software de Geometria dinâmica, rotacionem figuras sucessivamente em torno de um mesmo ponto e em torno de pontos diferentes.

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Composição de rotações em torno de pontos diferentes

Observe a figura a seguir.

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda, o triângulo retângulo ABC, à direita, alinhado com o vértice A na horizontal dois quadradinhos a frente, ponto P. Na parte superior da malha, o triângulo retângulo, A linha, B linha, C linha, à direita, três quadradinhos a frente o ponto Q, um pouco abaixo, o triângulo retângulo A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas.

Nela, foram feitas duas rotações sucessivas: primeiro em torno do ponto P e, em seguida, em torno do ponto Q.

• O triângulo AlinhaBlinhaClinha foi obtido do triângulo á bê cê por meio de um giro, no sentido horário, com medida igual a 90graus ao redor do ponto P.

• O triângulo Aduas linhasBduas linhasCduas linhas foi obtido do triângulo AlinhaBlinhaClinha por meio de um giro, no sentido horário, com medida igual a 270graus ao redor do ponto Q.

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Transcrição do áudio

Artesanato e geometria

Duração: 7:14min. Página: 273.

>> [LOCUTOR] Artesanato e geometria

>> [LOCUTOR] As transformações geométricas de rotação, translação e reflexão aparecem nas artes e costumes de diversas etnias. Podemos notar essa presença, por exemplo, nas expressões culturais dos povos indígenas do Brasil.

>> [LOCUTOR] Convidamos a professora e artista visual Nilza Ruth da Silva para nos contar um pouco sobre isso.

>> [NILZA RUTH DA SILVA] Meu nome é Nilza Ruth da Silva. Fui formada pela faculdade de Belas Artes de São Paulo e tenho especialização em Arte-Educação pela Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo. Sou professora há 38 anos, sempre trabalhei na rede pública, é... lecionando Arte para o Ensino Fundamental e Médio e também a evolução das artes visuais, do mobiliário e do design no ensino técnico. E tenho também um trabalho pessoal em arte cerâmica.

>> [LOCUTOR] Conte um pouco sobre o seu trabalho com arte indígena. Que culturas você estudou?

>> [NILZA RUTH DA SILVA] A arte indígena sempre fez parte do conteúdo da disciplina Arte para o Ensino Fundamental e Médio em todas as suas manifestações: dança, música e artes visuais. Estudei especialmente a técnica de produção cerâmica e os grafismos que estão presentes na arte corporal, têxtil e nos padrões de ornamentação da cerâmica indígena.

>> [LOCUTOR] Qual é a relação entre o artesanato indígena e a geometria?

>> [NILZA RUTH DA SILVA] A geometrização formal está presente na arte desde a pré-história humana... desde o Neolítico. Não foi diferente com os grupos humanos que surgiram no Brasil. Podemos verificar esta geometrização em pintura rupestre nos sítios arqueológicos da pré-história americana. Aqui no Brasil, o Parque Nacional da Capivara, no Piauí, ou no Vale do Peruaçu, em Minas Gerais, entre outros locais. Exemplo muito conhecido são as ornamentações da cerâmica marajoara, realizada pelos índios que habitavam a Ilha de Marajó, lá no Pará, muito antes da chegada do Pedro Álvares Cabral no Brasil. A cerâmica marajoara, ela é considerada uma das mais antigas do continente americano, e seus padrões são geométricos e também são simétricos.

>> [LOCUTOR] Existe algum motivo especial para a escolha das figuras geométricas?

>> [NILZA RUTH DA SILVA] Esses padrões abstratos, ou de figuras geometrizadas, eles são chamados grafismos. Hã... grafismo indígena, propriamente, não é? Ou seja, eles são elementos visuais gráficos que são utilizados em desenhos e pinturas, na pintura corporal, na cestaria, na cerâmica, na ornamentação das casas, e estão presentes na arte indígena desde muito, mas muito tempo. São manifestações simbólicas e também estéticas... da beleza, da arte. E expressam a forma como esses grupos humanos explicam a sua existência e nos contam sobre a vida na sua sociedade. Portanto, são também, de certa maneira, documentos visuais de um grupo social, do grupo social que o produziu. Então, é... quando nós observamos esses padrões, nós vemos, né?, os elementos visuais: ponto, linha, cores e formas geométricas, que podem ser triângulos, quadrados, losangos etc. Por vezes, não é?, esses elementos e esses padrões nos remetem a uma forma de um animal, mas, para o indígena que o criou, essas formas, elas são plenas de significado. Elas são a materialização da sua própria existência na Terra. Compreendem?

>> [LOCUTOR] Podemos identificar algum tipo de simetria no artesanato indígena, como, por exemplo, a simetria de reflexão, a de translação ou a de rotação?

>> [NILZA RUTH DA SILVA] Sim. Encontramos frequentemente estas simetrias. É muito comum observarmos simetria em flores, por exemplo. E será a observação desta natureza que levará a humanidade a criar os padrões geométricos, que serão usados na ornamentação da cerâmica, na pintura, na arte têxtil, hã... na arquitetura, como fizeram os antigos egípcios e os antigos gregos.

>> [NILZA RUTH DA SILVA] Em assim sendo, os indígenas, ao simplificar uma forma, que foi observada na natureza, eles tendem a manter as suas relações simétricas. É comum encontrarmos a simetria de translação, onde as figuras se repetem em intervalos regulares... na cestaria. Isso é muito comum nas bordas dos cestos. Também é muito comum a simetria de reflexão, hã... é um tipo de simetria onde os lados opostos da representação, hã... de um animal, por exemplo, eles são idênticos, né? Já a simetria de rotação, ela pode combinar a translação e a reflexão, desde que a sua configuração seja radial. Ela terá que ter necessariamente um ponto central. A figura inicial, é... ela será girada em um certo grau geométrico para se apresentar idêntica. Isso será ou de um lado ou em um diferente vértice no campo visual, né?

>> [NILZA RUTH DA SILVA] Bom, para a pesquisa, entre várias etnias que o Brasil possui, eu poderia citar o grafismo dos Ayanas, Wayana, né?, do estado do Pará, dos Waiwai, e também dos Waimiri Atroari, do estado de Roraima. Eu creio que com essas informações vocês poderão buscar as simetrias, assim como outras relações geométricas, observando os grafismos dos índios brasileiros, não é mesmo?

>> [NILZA RUTH DA SILVA] A cultura e a arte indígena é [sic] um universo a ser descoberto e compreendido por todos nós. Trata-se de um patrimônio do Brasil inestimável, que deve ser preservado e protegido. Um bom estudo para todos vocês!

Studio Núcleo de Criação Produções em Áudio

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Copie a figura a seguir em uma folha de papel quadriculado. Depois, gire-a três vezes consecutivas em torno do ponto óh com medida igual a 90graus, no sentido anti-horário.

Esquema. Malha quadriculada. Triângulo roxo, um dos vértices do triângulo é o ponto O que está no meio da malha.

• Agora, responda: que figura você obteve ao fazer as três rotações sucessivas?

2. Copie a figura a seguir em uma folha de papel quadriculado. Depois, gire-a, primeiro, em torno do ponto P com medida igual a 90graus, no sentido horário, e, em seguida, em torno do ponto Q com um giro com medida igual a 180graus, no sentido horário.

Esquema. Malha quadriculada. À esquerda, triângulo azul ABC, à direita, na mesma direção do vértice B do triângulo, o ponto P, à direita, no canto superior da malha, o ponto Q.

Respostas e comentários

1. Resposta em Orientações.

1. quadrado

2. Resposta em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Se julgar necessário, peça aos estudantes que recortem os triângulos das atividades 1 e 2 para realizar concretamente as rotações pedidas e, então, registrar essas movimentações na malha quadriculada. Oriente-os quanto ao manuseio de tesouras com pontas arredondadas, para que não se machuquem.

• Resposta da atividade 1:

Esquema. Malha quadriculada, quadrado formado por 4 triângulos, os triângulos têm em comum o ponto O no centro do quadrado.

• Resposta da atividade 2:

Esquema. Malha quadriculada, à esquerda, triângulo ABC, à direita, o ponto P na mesma direção do vértice B do triângulo. Acima, o triângulo A linha, B linha, C, linha. À direita o triângulo A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas. Entre os tiângulos A linha, B linha, C linha e o triângulo A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas há o ponto Q.

Página 274

Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Pesquisas estatísticas

Examinar todos os elementos de uma população de interesse pode ser muito difícil e caro. Nesse caso, pesquisadores podem obter informações sobre a população examinando uma parte representativa dela, chamada amostra.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Tipos de pesquisa estatística

Ilustração. Quadro. Censitária. Todos os elementos da população são investigados. Ilustração de pessoas com características e idades diferentes. À direita, duas pessoas com uma bolsa pendurada no ombro e um objeto retangular nas mãos. Abaixo, ideal para: populações pequenas. Ilustração de duas meninas e dois meninos. À direita, ilustração de duas pilhas com cédulas de dinheiro com a descrição quando há tempo e outros recursos disponíveis. Abaixo, Exemplo, dois pontos. Abaixo, censo Demográfico do Brasil Abaixo, bullet, Decenal. Abaixo, bullet, Em 2010, 191 mil recenseadores visitaram 67 vírgula 6 milhões de domicílios em todos os 565 municípios do país. À direita, ilustração. Destaque para a mão de uma pessoa com uma prancheta com itens ticados. À direita, uma mulher e um homem na frente de uma casa. Sobre a mulher, balão de fala com o rosto de uma pessoa.

Ilustração. Mãos negras segurando uma prancheta com uma folha branca e fazendo anotações com uma caneta azul. Ilustração. Quadro. Amostral Uma parte da população é investigada. Abaixo, ilustração grupo de pessoas com destaque para algumas pessoas. À esquerda, uma pessoa com uma bolsa pendurada no ombro e um objeto retangular nas mãos. Abaixo, ideal para: populações grandes. Ilustração de duas fileiras com pessoas. À direita, ilustração de cédulas de dinheiro e moedas com a descrição situação em que há poucos recursos. Abaixo, exemplo, dois pontos. Abaixo, controle de qualidade por amostragem. Abaixo, bullet, pode ocorrer muitas vezes ao dia. Abaixo, bullet, parte de um lote de um produto é examinada para decidir se ele está adequado ou não. À direita, ilustração. Destaque para a mão de uma pessoa com uma lupa olhando um frasco. Ao fundo, equipamento com frascos sobre esteira.

Dados obtidos em Censo 2010: população do Brasil é de ..190732694 pessoas. Agência í bê gê É, 29 novembro 2010. Disponível em: https://oeds.link/0qbaFq. Acesso em: 6 julho 2022.

Orientações e sugestões didáticas

Estatística e Probabilidade

Objetivo

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah dois seis e ê éfe zero oito ême ah dois sete, das competências gerais 9 e 10 e das competências específicas 6, 7 e 8 da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois seis, pois os estudantes terão a oportunidade de perceber as razões que justificam a realização de uma pesquisa amostral e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, estratificada e sistemática). Já a habilidade ê éfe zero oito ême ah dois sete tem seu desenvolvimento favorecido porque é proposto aos estudantes que planejem e executem uma pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada e escrevendo um relatório que contenha gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

Orientações

• O infográfico desta seção trata da distinção entre pesquisa censitária e amostral. Comente com a turma as vantagens e as desvantagens de cada um desses tipos de pesquisa.

• Explique aos estudantes que a proposta do Censo Demográfico do Brasil é coletar informações precisas, baseadas em entrevistas feitas em todos os domicílios. Em alguns casos, os recenseadores encontram casas fechadas e precisam fazer uma estimativa do número de pessoas que vivem ali. Em 2010, 1,3% dos domicílios particulares (ou oitocentas e noventa e nove.cento e cinquenta e duas residências) visitados estavam fechados.

(ê éfe zero oito ême ah dois seis) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada).

(ê éfe zero oito ême ah dois sete) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Página 275

Principais tipos de pesquisa amostral

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Quadro. À esquerda, Amostra casual simples. Nesse tipo de seleção da amostra, os elementos da população são rotulados (numerando-os, por exemplo); e, por meio de alguma espécie de sorteio, os integrantes da amostra são selecionados para participar da pesquisa. À direita, ilustração. Grupo com mulheres com roupa de ginástica. Destaque para 5 mulheres. À direita, exemplo: Sortear 5 mulheres de um grupo de 25 para responder a um questionário sobre hábitos saudáveis.

Quadro. À esquerda, Amostra estratificada. Muitas vezes, a população estudada se divide em subpopulações chamadas estratos. A amostra é obtida por meio da seleção de indivíduos de cada estrato. A porcentagem de indivíduos de cada estrato na população e na amostra é a mesma. À direita, na parte inferior, mulher em pé ao lado de uma mesa. Acima, grupos de pessoas sentadas em carteiras escolares com características diferentes. Destaque para algumas pessoas. À direita, Exemplo: Em uma sala de aula, verifica-se que 60% dos estudantes são meninas e 40% são meninos. Como a amostra, nesse caso, terá 10 indivíduos, serão entrevistados 6 meninas e 4 meninos nessa pesquisa.

Quadro. À esquerda, Amostra sistemática. Nos casos em que os elementos da população se apresentam ordenados
(prédios de uma rua, mercadorias de uma linha de produção, estudantes inscritos em uma faculdade etc.), a seleção da amostra é feita por meio da retirada periódica de um elemento da população, ou seja, a cada determinada quantidade de elementos, um é retirado para análise. À direita, Ilustração das mãos de uma pessoa com uma lupa olhando uma lâmpada verde. Acima, equipamento com duas fileiras de lâmpadas verdes. À direita, Exemplo: Em uma fábrica de lâmpadas, a cada 100 peças produzidas, uma é retirada aleatoriamente (ao acaso) para teste.

Orientações e sugestões didáticas

• Esse infográfico também aborda as diferentes maneiras de selecionar uma amostra (amostra casual simples, estratificada e sistemática). Faça a leitura em conjunto com a turma e ajude os estudantes a compreender os exemplos apresentados.

• Comente com a turma que na amostra casual simples todos os indivíduos da população têm a mesma probabilidade de ser sorteados para compor a amostra e que para a realização do sorteio os indivíduos da população devem estar identificados. É importante ressaltar que esse tipo de seleção de amostra é indicado quando se tem uma população homogênea, ou seja, quando a característica que estamos investigando não varia de indivíduo para indivíduo.

• Verifique se os estudantes compreenderam que os estratos de uma população correspondem aos grupos distintos (gênero, idade, renda, grau de instrução etcétera) nos quais ela está dividida. Explique que a amostra estratificada é indicada para populações que não são homogêneas e que os indivíduos são selecionados de cada estrato por meio da amostragem casual simples.

• A amostra sistemática é indicada quando a população é homogênea e seus elementos estão naturalmente ordenados em filas, listas etcétera

Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Competência específica 7: Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competência específica 8: Interagir com seus pares de fórma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Página 276

▶ Estatística e Probabilidade

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Associe o tipo de seleção de amostra correspondente às situações.

Amostra casual simples

lustração. Equipamento com esteira com produtos retangulares. À direita, homem branco vestindo camisa e calça azul e usando óculos de proteção e luvas, ele segura um dos objetos e pensa: A cada 10 peças produzidas, vou retirar uma para análise. Abaixo, mesa com uma prancheta e uma caneta.

Amostra estratificada

Ilustração. À direita, homem branco vestindo blusa roxa e calça azul, ele diz: Escrevi cada elemento da população em um cartão, misturei todos eles em uma caixa e sorteei alguns cartões para compor a amostra. À direita, mulher branca vestindo camiseta verde clara, casaco rosa e calça verde escura.

Amostra sistemática

Ilustração. À direita, mulher negra, vestindo camiseta amarela, colete branco e calça azul, ela segura um caderno nas mãos e diz: Fiz uma pesquisa para saber qual é a profissão dos pais dos estudantes do oitavo ano. Para isso, separei os estudantes que vivem no campo daqueles que vivem na cidade. À direita, mulher branca, vestindo camiseta rosa, colete branco e saia roxa, ela está com as mãos para trás olhando para o caderno que a outra mulher segura.

Reúna-se com alguns colegas para organizar e realizar uma pesquisa estatística amostral. Ao final da pesquisa, escrevam um relatório procurando responder às questões a seguir.

Ilustração. Folha de caderno. Na primeira linha, 1. Qual foio tema da pesquisa, ponto de interrogação. Qual é a importância desse tema, ponto de interrogação. Abaixo, na terceira linha, 2 que perguntas foram feitas, ponto de interrogação. Abaixo, na quinta linha, 3, que tipos de seleção de amostra vocês fizeram, ponto de interrogação, por que, ponto de interrogação. Abaixo, na sétima linha, 4, que tipos de gráfico vocês vão construir para organizar os dados obtidos, ponto de interrogação. Abaixo, na oitava linha, por que escolheram esses tipos de gráfico, ponto de interrogação. Abaixo, na décima linha, 5, quais são a média, a moda, a mediana e a amplitude do conjunto de dados que vocês obtiveram, ponto de interrogação, o que é possível concluir com base nelas, ponto de interrogação. Abaixo, na décima terceira linha, 6, o resultado da pesquisa atendeu os objetivos propostos inicialmente, ponto de interrogação.

Respostas e comentários

1. três – a, um – B e dois – C

2. Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 1, os estudantes deverão analisar as situações e identificar o tipo de seleção de amostra exemplificada em cada uma delas. Esse é o momento oportuno para avaliar se compreenderam cada tipo de seleção de amostra.

• Na atividade 2, os estudantes deverão planejar e executar uma pesquisa amostral, selecionando a técnica de amostragem adequada. Em projetos como esses, eles exercitam a empatia e o diálogo (competência geral 9) e devem agir coletivamente, pautados em princípios éticos e democráticos (competência geral 10). Oriente-os a abordar questões de urgência social e a valorizar a diversidade de opiniões dos indivíduos, sem preconceitos de qualquer natureza (competência específica 7). A intenção dessa pesquisa é que os estudantes, ao interagir de fórma cooperativa com seus pares, consigam desenvolver a pesquisa para responder às indagações iniciais do grupo, discutindo temas que extrapolem os limites da escola (competência específica 8).

Além disso, é solicitado que a representação dos dados seja feita a partir de algum tipo de gráfico e que seja comentado o motivo da escolha do tipo de gráfico utilizado e, ainda, que sejam calculadas a média, a moda, a mediana e a amplitude do conjunto de dados obtidos. Logo, a competência específica 6 é favorecida ao explorar vários conceitos matemáticos e distintas maneiras de representá-los.

• Combine uma parceria com o professor de Língua Portuguesa com a finalidade de ajudar os estudantes a organizar e a escrever o relatório solicitado na atividade 2.

Página 277

Trabalho em equipe

faça as atividades no caderno

Na seção Estatística e Probabilidade da página 274, vimos um infográfico com os principais tipos de pesquisa amostral. A partir dessas informações, você e seu grupo vão planejar e executar uma pesquisa estatística amostral para saber se o número de filhos está diminuindo nas suas famílias. Para isso, selecionem uma técnica de amostragem adequada e escrevam um relatório que contenha gráficos apropriados.

Quantos filhos?

Justificativa

O perfil das famílias brasileiras está se modificando, pois o número de filhos está diminuindo, devido ao crescimento da quantidade de casais que optam por não ter filhos, e de pessoas que moram sozinhas. Com base em resultados de pesquisas estatísticas amostrais, podemos verificar essa tese e tirar conclusões a respeito da população em estudo, especificamente, da sua família.

Objetivo

Realizar uma pesquisa estatística amostral para saber se o número de filhos está diminuindo na sua família.

Apresentação

Relatório escrito utilizando gráficos e tabelas.

Questões para pensar em grupo

• Qual técnica de amostragem é a mais adequada a essa pesquisa: casual simples, estratificada ou sistemática?

• Como comparar a quantidade de filhos dos casais – dos seus pais, tios, avós e bisavós? Essa divisão pode representar os estratos?

• Quais perguntas devem ser feitas na entrevista, além da quantidade de filhos?

• Como será o questionário?

• Quais tipos de gráficos e tabelas serão utilizados no relatório?

• Quais informações são indispensáveis no relatório?

• O que é possível concluir ao analisar os dados obtidos na pesquisa?

Não se esqueçam

• Podemos comparar a quantidade de filhos dos nossos pais, tios, avós e bisavós; nesse caso, a amostra deve ser escolhida conforme grupos distintos.

• No relatório, é interessante destacar aspectos como a moda, a mediana e a amplitude do conjunto de dados obtidos.

• Para construir os gráficos, é possível utilizar planilhas eletrônicas.

Ilustração. Cinco crianças brincando. À esquerda, um dado e duas bolinhas. Uma menina branca de roupa rosa em pé brinca com menino negro de camiseta amarela sentado com um dado na mão. À direita, menina branca de vestido rosa brinca com um avião. À direita, duas crianças brancas brincam com uma bola colorida e um ursinho marrom. Ao lado, uma bolinha e dois dados de tamanhos diferentes.

Orientações e sugestões didáticas

Trabalho em equipe

Objetivos

• Aplicar, por meio de trabalhos em grupos, os conceitos estudados.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois sete, das competências gerais 9 e 10 e das competências específicas 7 e 8 da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois sete da Bê êne cê cê ao propor aos estudantes que planejem e executem uma pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada e escrevendo um relatório que contenha tabela e gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

Orientações

• Ao organizar e realizar a pesquisa proposta na seção, os estudantes devem dividir tarefas, compartilhar conhecimentos e respeitar a opinião dos colegas, desenvolvendo, assim, aspectos das competências gerais 9 e 10 e das competências específicas 7 e 8 da Bê êne cê cê.

• Verifique se os estudantes perceberam que a população em questão são todos os membros da família nas gerações consideradas, enquanto a amostra são os membros entrevistados ou considerados no questionamento. Caso os estudantes não tenham avós ou bisavós vivos, sugira que entrevistem os familiares mais velhos ou perguntem para os pais ou responsáveis sobre a quantidade de filhos dos bisavós. Se for conveniente, os trisavós também podem ser considerados.

• Certifique-se de que os estudantes compreenderam que, para essa situação, a amostra estratificada é a mais adequada, considerando cada geração como um estrato, sendo provavelmente uma população não homogênea, isto é, o número de pessoas de cada grupo de idade é diferente. Nesse caso, pode-se escolher, por meio da amostragem casual simples, quantidades diferentes de pessoas de cada grupo, de acordo com a quantidade total em cada um deles.

• Para o relatório, é interessante apresentar aspectos de cada estrato por meio da moda, da mediana e da amplitude do grupo.

• Após todos produzirem seus relatórios, sugira que os grupos realizem uma apresentação dos resultados das pesquisas. Nesse momento, promova uma comparação dos dados obtidos, bem como das conclusões de cada um dos grupos.

• Para complementar esse trabalho, proponha a leitura de artigos e textos na internet sobre esse assunto.

Página 278

Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Observe a figura a seguir.

Esquema. Plano cartesiano sobre malha quadriculada, o eixo y vai de menos 1 a 8, o eixo x de menos 1 a 16. À direita, triângulo formado pelos pares ordenados, A, abre parênteses, 3 vírgula 6, fecha parênteses, B, abre parênteses, 3 vírgula 3, fecha parênteses, C, abre parênteses, 5 vírgula 4. À direita, reta m vertical na cor azul passando pelo ponto 6 no eixo x. À direita n, reta vertical na cor vermelha passando pelo ponto 11 no eixo x.

Agora, faça o que se pede.

a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo PQR obtido quando refletimos o triângulo á bê cê, sucessivamente, primeiro em relação à reta m e, depois, em relação à reta n?

b) Podemos obter o triângulo PQR por meio de uma translação do triângulo á bê cê. Descreva essa translação.

2. Copie a figura a seguir em uma folha de papel quadriculado. Depois, reflita-a em relação ao ponto P e, em seguida, rotacione-a, em torno do ponto P, com medida igual a 180graus, no sentido horário.

Esquema. Malha quadriculada. À esquerda, triângulo azul ABC, à direita ponto P, na mesma direção que o vértice C do triângulo.

• O que você pôde perceber?

3. Em cada caso, copie o polígono em uma folha de papel quadriculado. Depois, translade-o de acordo com a medida de comprimento, a direção e o sentido da seta.

Esquema. Malha quadriculada. À esquerda seta diagonal para a esquerda alaranjada, à direita, polígono ABCDE verde semelhante a uma seta.

Esquema. Malha quadriculada. À esquerda, Losango azul, com os vértices A, B, C e D, à direita, seta alaranjada apontando para baixo.

Em uma folha de papel quadriculado, desenhe uma figura e peça a um colega que a rotacione, em torno de um ponto, com medida igual a 90graus, no sentido horário.

Respostas e comentários

1. a) P(13, 6), Q(13, 3) e R(15, 4)

1. b) translação na direção horizontal, da esquerda para a direita, de 10 unidades

2. Espera-se que os estudantes percebam que a figura obtida coincide com a figura inicial.

3. Respostas na seção Resoluções neste manual.

4. Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

Atividades de revisão

Objetivos

• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do capítulo.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um oito.

Habilidade da Bê êne cê cê

• As atividades desta seção contribuem para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um oito da Bê êne cê cê, pois os estudantes, entre outras coisas, poderão construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas, com o uso de instrumentos de desenho.

Orientações

• Se achar conveniente, proponha aos estudantes que realizem as atividades dessa seção com o apoio de um software de Geometria dinâmica.

• Sugerimos algumas questões para que os estudantes possam refletir sobre suas aprendizagens e possíveis dificuldades no estudo deste Capítulo, as quais devem ser adaptadas à realidade da turma. Oriente-os a fazer a autoavaliação, respondendo às questões no caderno com “sim”, “às vezes” ou “não”.

Eureticências

reticências compreendo o que são transformações geométricas?

reticências sei diferenciar as transformações de reflexão, rotação e translação?

reticências reconheço a aplicação das transformações de reflexão, rotação e translação em figuras em malhas quadriculadas?

reticências sei construir figuras resultantes das transformações de reflexão, rotação e translação, construídas em malhas quadriculadas?

reticências compreendo o significado de uma composição de transformações?

reticências consigo diferenciar a aplicação das transformações de reflexão, rotação e translação comparando a figura original e a figura resultante?

reticências sei identificar o tipo de pesquisa estatística?

reticências sei realizar uma pesquisa do tipo amostral?

reticências tenho um bom relacionamento com meus colegas de sala?

reticências consigo expor minhas ideias e opiniões em grupo?

reticências tenho facilidade para compreender os conteúdos?

reticências realizo as tarefas propostas?

Em todo caso, conforme sugerido nas Orientações Gerais deste Manual do Professor, outros aspectos devem ser avaliados, além dos conteúdos e conceitos desenvolvidos no Capítulo.

Página 279

Para finalizar

faça as atividades no caderno

organize suas ideias

Observe e responda

Considere estas imagens.

Ilustração. À esquerda, menino branco, vestindo camiseta amarela, pensando: x é igual a ponto de interrogação. Acima, folha de caderno com um sistema linear, abre chaves, x mais y é igual a 8, abaixo, 2 x mais y é igual a 10. À direita, menina asiática de camiseta amarela, ela pensa: y é igual a, ponto de interrogação.

Fotografia. Banca de bananas com a placa: Prata, dúzia 5 vírgula 00. — Bananas

Ilustração. Construção em formato cilíndrico com uma abertura pequena, com telhado de palha com formato de cone, as paredes da construção são pintadas com desenhos geométricos. Ao fundo, construção com fachada retangular com duas aberturas e nas paredes os mesmos desenhos geométricos. — Casas decoradas na aldeia de Tiébélé em Burkina Faso, África, 2019.

Orientações e sugestões didáticas

Para finalizar

Objetivo

• Analisar o que foi estudado na Unidade e avaliar o aprendizado.

Orientações

• Esse é o momento de os estudantes, de certa maneira, retomarem alguns assuntos discutidos nesta Unidade a partir da observação de imagens. Também é o momento de repensar as estratégias didático-pedagógicas empregadas.

• Se julgar conveniente, aproveite a foto da casa para trabalhar com o Tema Contemporâneo Transversal Diversidade cultural da macroárea Multiculturalismo, promovendo uma discussão sobre a tradição cultural do povo Kassena, que vive na aldeia Tiébélé, de pintar a fachada de suas casas. Pesquise outras imagens na internet para enriquecer o trabalho. Para saber mais sobre a aldeia Tiébélé, é possível acessar a página do World Monuments Fund que está em inglês, sendo possível mudar o idioma para o português. Disponível em: https://oeds.link/qXFHHx. Acesso em: 7 julho 2022.

Página 280

▶ Para finalizar

Lembre-se: Escreva no caderno!

Com base nas imagens e no que você aprendeu nesta Unidade, faça o que se pede.

Elabore um problema em que sejam usadas as equações da ilustração na qual o menino e a menina estão imaginando os valores de x e de y.

2. A quantidade de dúzias de bananas é diretamente ou inversamente proporcional ao valor a pagar? Quantos reais uma pessoa vai pagar por 4 dúzias de bananas?

3. Observe a decoração das fachadas da casa da foto. Você se lembra de quais transformações geométricas ao observar essa foto?

Registre

Para finalizar o estudo desta Unidade, reúna-se com alguns colegas e respondam.

1. Como podemos representar graficamente as soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas?

2. Quantas soluções pode ter um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas?

Gráfico. Retas paralelas cruzando o eixo x e o eixo y. Gráfico. Retas concorrentes, a reta amarela cruza o eixo x e o eixo y na parte positiva, a reta verde cruza o eixo y na parte negativa e o eixo x na parte positiva. Gráfico. Gráfico com uma única reta que cruza o eixo y na parte negativa e o eixo x na parte positiva.

3. O que significa dizer que uma grandeza é diretamente proporcional a outra? E inversamente proporcional?

4. Ao refletir, transladar ou rotacionar sucessivamente uma figura, o que acontece com suas medidas?

5. Na abertura desta Unidade, vocês responderam a algumas questões no boxe ”Para começar...”. Comparem as respostas dadas àquelas questões com as respostas que vocês dariam agora e escrevam um texto explicando o que aprenderam nesta Unidade.

Para conhecer mais

Encontros de primeiro grau

(Coleção A descoberta da Matemática)

Luzia Faraco Ramos

São Paulo: Ática, 2008.

Uma tempestade e um naufrágio no meio da noite fazem o pobre uãngperder as esperanças de reencontrar sua filha desaparecida durante a tormenta. Anos depois, uma fábrica que polui um rio, um misterioso cientista chinês, um jovem que sabe voar de balão, uma bonita menina mestiça e uma mulher que quer enriquecer a qualquer custo começam a fazer parte da vida de uãng. O livro junta todas as peças desse quebra-cabeça e envolve o leitor em uma aventura que diverte, emociona e ensina como pode ser interessante conhecer equações.

Fotografia. Capa do livro Encontros de primeiro grau. um rapaz branco de camisa branca está com a mão abaixo de um dos pratos de uma balança de pratos. À direita, homem branco, calvo de óculos e casaco escuro, atrás dele, na parede um quadro com escritas japonesas. À direita, menina branca de cabelo preto e blusa amarela. Ao fundo uma janela e atrás da janela passa um balão colorido.

Respostas e comentários

Observe e responda: 1. Resposta pessoal.

Observe e responda: 2. diretamente proporcional; R$ 20,00vinte reais

Observe e responda: 3. Exemplo de resposta: reflexão em relação a uma reta, translação e rotação.

Registre: 1. por meio de uma reta

Registre: 2. nenhuma, uma ou infinitas soluções

Registre: 3. Significa dizer que essas grandezas variam na mesma razão; significa dizer que uma grandeza varia na razão inversa da outra.

Registre: 4. As medidas permanecem inalteradas.

Registre: 5. Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 1 de Observe e responda, alguns estudantes podem apresentar dificuldade em elaborar um problema e, caso isso aconteça, peça a eles que retomem o que estudaram no Capítulo 9. Um exemplo de problema é: “Márcio e Ana têm bolinhas de gude. A soma da quantidade de bolinhas dos dois amigos é igual a 8. O dobro da quantidade de bolinhas de Márcio adicionado à quantidade de bolinhas de Ana é igual a 10 bolinhas. Qual é a quantidade de bolinhas de cada um deles?”.

• Para resolver a atividade 2 de Observe e responda, os estudantes devem estar atentos às informações do enunciado. Dessa maneira, temos:

\frac{12}{5}

\frac{24}{10}

\frac{36}{15}

\frac{48}{20}

Podemos concluir que as grandezas são diretamente proporcionais e que uma pessoa vai pagar R$ 20,00vinte reais por 4 dúzias de banana.

• Na atividade 5 de Registre, questões apresentadas na abertura da Unidade são retomadas para que os próprios estudantes tenham possibilidade de avaliar sua evolução, bem como para que o professor possa tirar as dúvidas ainda existentes.

• O livro paradidático apresentado na seção Para conhecer mais pode ser usado como material complementar e também auxiliar na aprendizagem.

• Para complementar o trabalho com esta seção, sugira aos estudantes que reavaliem as atividades dos capítulos desta Unidade e:

- listem no caderno as atividades que tiveram dificuldades em resolver.

- relacionem as atividades que listaram com os conteúdos estudados.

- organizem-se em grupos e resolvam as atividades listadas. Caso ainda tenham dúvidas, peça que formulem questões a fim de esclarecê-las com a turma.