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CAPÍTULO 3 Circunferência

1 Circunferência e círculo

As figuras com formato arredondado são suaves e dão a impressão de movimento e leveza. Esse formato pode ser observado em partes de construções, objetos, pinturas etcétera

Aprecie as reproduções das pinturas a seguir e, em seguida, responda: elas lembram que figuras geométricas com esse formato?

Lembre-se: Escreva no caderno!

Fotografia. Pintura formada por diferentes representações de círculos e circunferências coloridos dentro de outros, de diversas cores. Há também figuras curvas que lembram partes de circunferências. — Robert Delaunay. Rythme nº 2 (Ritmo nº 2), 1938, 538 centímetros por 396 centímetros.

Fotografia. Pintura formada por diferentes representações coloridas de círculos e circunferências de diversas cores. Alguns estão dentro de outros. Ao fundo, cor preta. — vaciíli candinsqui. Sketch for several circles (Esboço para variados círculos), 1926, 70,1 centímetros por 70,1 centímetros.

A circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma medida de distância de um ponto fixo desse plano. Este ponto fixo é o centro da circunferência.

Considere alguns elementos da circunferência:

• corda é um segmento cujas extremidades são dois pontos distintos quaisquer da circunferência;

• raio é um segmento cujas extremidades são o centro e um ponto qualquer da circunferência;

• diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência.

Observe esses elementos na circunferência de centro O e raio r.

Esquema. Circunferência azul com centro O e raio r. os pontos A, B, C, D e E pertencem a circunferência. O segmento AB passa por O. Fio preto indicando o texto: o segmento AB é um diâmetro da circunferência.
O segmento CD não passa por O. Fio preto indicando o texto: O segmento CD é uma corda da circunferência. O segmento OE coincide com o raio. Fio preto indicando o texto: O segmento OE é um raio da circunferência.

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Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Círculo é a figura geométrica formada por uma circunferência e sua região interna.

Não confunda círculo com circunferência:

Ilustrações. Da esquerda para a direita. Primeira ilustração: circunferência com contorno representado por linha contínua. Segunda ilustração: região interna de um círculo com contorno representado por uma linha tracejada. Terceira ilustração: círculo formado pelas ilustrações anteriores.

Para fazer

Observe a foto da construção Ring of life, que mede 157 metros de altura e fica na cidade de Fushun, na China.

Fotografia. Escultura que se parece com uma circunferência. A escultura está apoiada em um gramado. Ao fundo há vários prédios, construções e vias. O céu está azul e sem nuvens. — Ring of life, 2017.

O contôrno da parte interna dessa construção lembra uma circunferência.

Pesquise imagens de outras construções e pinturas que dão a ideia de círculos e de circunferências. Leve as imagens para a aula e compartilhe-as com os colegas.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Considere a circunferência a seguir, de centro O, e classifique cada um dos segmentos em raio, corda ou diâmetro.

Figura geométrica. Circunferência azul com centro O, os pontos A, B, C, D, E e F pertencem a circunferência. O segmento BC passa por O. Os segmentos CD e EF não passam por O. Além disso, há o segmento AO.

\overline{O A}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{E F}

2. No caderno, construa com um compasso:

a) uma circunferência de centro O e raio de medida de comprimento igual a 3 centímetros;

b) uma circunferência de centro O e diâmetro de medida de comprimento igual a 4,5 centímetros.

3. Determine a medida de comprimento do diâmetro de uma circunferência sabendo que o comprimento de seu raio mede:

a) 17,2 centímetros;

b) 0,65 centímetro.

4. Leia atentamente as questões e responda-as.

a) Se a medida de comprimento do diâmetro de uma circunferência é igual a 34 centímetros e a do raio, (2x ‒ 13) centímetros, quanto mede x, em centímetro?

b) A medida de comprimento do diâmetro de uma circunferência é 3x + 4, e a de seu raio, x + 8. Quais são essas medidas?

5. Em seu caderno, classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa.

a) Se a medida de comprimento do raio de um círculo é 4 centímetros, então a medida de comprimento do seu diâmetro é 2 centímetros.

b) Em um círculo, a circunferência que o limita tem o mesmo centro e as mesmas medidas de comprimento do raio e do diâmetro.

c) Todos os pontos de um círculo pertencem à circunferência que o contém.

d) Em um círculo cujo diâmetro mede 2,5 centímetros de comprimento, o raio mede 5 centímetros de comprimento.

2 Posições relativas

Posições de um ponto em relação a uma circunferência

Um professor pediu à turma que desenhasse uma circunferência de centro O, com raio que mede 1 centímetro de comprimento e um ponto P. Observe o desenho de três estudantes.

Ilustrações. Desenho, em folha de papel, representando uma circunferência de centro o e ponto P feito por Lucas, Mariana e Rafaela. Da esquerda para a direita: desenho de Lucas é uma circunferência de centro O com ponto P externo a ela. Desenho de Mariana é uma circunferência de centro O com ponto P interno a ela. Desenho de Rafaela é uma circunferência de centro O com ponto P na circunferência.

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Observe que cada estudante desenhou o ponto P em uma posição diferente em relação à circunferência. No desenho de Lucas, P é externo à circunferência; no de Mariana, P é interno à circunferência; e no de Rafaela, P pertence à circunferência.

Considere uma circunferência de centro O e raio de medida de comprimento r e um ponto P, no mesmo plano, tal que a medida da distância entre P e O seja d.

• P é interno à circunferência se d for menor que r.

Figura geométrica. Circunferência azul com centro O e raio r. Ponto vermelho P na região interna da circunferência. O segmento OP tem medida de comprimento igual a d. A direita, sentença matemática: d menor que r.

• P pertence à circunferência se d for igual a r.

Figura geométrica. Circunferência azul com centro O e raio r. Ponto vermelho P sobre a circunferência. O segmento OP tem medida de comprimento igual a d. A direita, sentença matemática: d igual a r.

• P é externo à circunferência se d for maior que r.

Figura geométrica. Circunferência azul com centro O e raio r. Ponto vermelho P na região externa da circunferência. O segmento OP tem medida de comprimento igual a d. A direita, sentença matemática: d maior que r.

Posições de uma reta em relação a uma circunferência

Uma reta e uma circunferência podem ter dois pontos comuns, um só ponto comum ou nenhum ponto comum.

Vamos ilustrar essas três situações, considerando uma circunferência de centro O e raio de medida de comprimento r e uma reta t em um mesmo plano.

Figura geométrica. Circunferência vermelha com centro O e raio r e reta t passando por ela. Pontos vermelhos A e B da reta t e sobre a circunferência de forma que o segmento AB não passa pelo centro. O segmento do centro à reta t, perpendicular ao segmento AB, tem medida de comprimento igual a d. Abaixo, texto: A e B são pontos comuns. Então, a reta t é secante a circunferência.

Figura geométrica. Circunferência vermelha com centro O e raio r e reta t passando por ela. Ponto vermelho A da reta t e sobre a circunferência. O segmento do centro à reta t, perpendicular a reta t, tem medida de comprimento igual a d. Abaixo, texto: A é o único ponto comum. Então, a reta t é tangente a circunferência

Figura geométrica. Circunferência vermelha com centro O e raio r e reta t passando por fora dela. O segmento do centro à reta t, perpendicular a reta t, tem medida de comprimento igual a d. Abaixo, texto: Não há pontos comuns. Então, a reta t é exterior a circunferência.

• Uma reta é secante a uma circunferência se tem dois pontos comuns com a circunferência. Nesse caso, a medida da distância d do centro O à reta t é menor que a medida de comprimento r do raio: d < r

• Uma reta é tangente a uma circunferência se tem apenas um ponto comum com a circunferência. Nesse caso, a medida da distância d do centro O à reta t é igual à medida de comprimento r do raio: d = r

• Uma reta é externa ou exterior a uma circunferência se não tem ponto comum com a circunferência. Nesse caso, a medida da distância d do centro O à reta t é maior que a medida de comprimento r do raio: d > r

Observação

Há vários segmentos que ligam um ponto P a algum ponto da reta r. Entre eles existe apenas um segmento (

\overline{P C}

), cuja medida de comprimento é a menor possível, que é perpendicular à reta r. A medida de comprimento desse segmento é igual à da distância do ponto P à reta r.

Figura geométrica. Reta r na horizontal com os pontos A, B, C, D, E e F indicados nela. Ponto P acima da reta. 6 segmentos de reta, ligando respectivamente os pontos: AP, BP, CP, DP, EP e FP de forma que o único que é perpendicular é o segmento CP.

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Propriedades das retas secantes e tangentes a uma circunferência

Agora, você vai estudar propriedades das retas secantes e tangentes a uma circunferência que auxiliam na compreensão das relações entre essas retas e a circunferência.

● Propriedade da reta secante a uma circunferência

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Para analisar

Com base nas orientações a seguir, construa uma figura como a mostrada.

Ilustração. Circunferência alaranjada com centro O. Reta t na horizontal que passa pelos pontos A e B da circunferência de forma que o segmento AB não passa pelo centro. Reta r, perpendicular a reta t, passando pelo centro O. O ponto de encontro entre as retas r e t, está marcado pela letra M.

Trace uma circunferência de centro O e uma reta secante qualquer a essa circunferência. Repare que essa reta secante determina uma corda. Agora, com um esquadro, trace uma reta que passe pelo centro O e seja perpendicular à reta secante. A reta que você acabou de traçar divide a corda em seu ponto médio?

Se uma reta r passa pelo centro O de uma circunferência e é perpendicular a uma corda

\overline{A B}

dessa circunferência, então a reta r intercepta a corda em seu ponto médio M.

Vamos demonstrar essa propriedade.

Consideremos a circunferência de centro O, a reta secante e os segmentos

\overline{O A}

\overline{O B}

. Como esses segmentos têm a mesma medida de comprimento, pois são raios da circunferência, o triângulo á ó bê é isósceles. Assim, a medida da altura

\overline{O M}

relativa à base

\overline{A B}

coincide com a medida da mediana relativa à base

\overline{A B}

. Logo, o ponto M divide a corda

\overline{A B}

em dois segmentos congruentes (AM = MB), ou seja, M é o ponto médio de

\overline{A B}

Figura geométrica. Circunferência alaranjada com centro O. Reta t na horizontal que passa pelos pontos A e B da circunferência de forma que o segmento AB não passa pelo centro. Reta r, perpendicular a reta t, passando pelo centro O. O ponto de encontro entre as retas r e t, está marcado pela letra M. Os raios OA e OB determinam o Triângulo AOB.

● Propriedade da reta tangente a uma circunferência

Para analisar

Com base nas orientações a seguir, construa uma figura como a mostrada a seguir.

Figura geométrica. Circunferência azul com centro O e raio r e reta t tangente a ela. Ponto P da reta t e sobre a circunferência. O segmento do centro à reta t, tem medida de comprimento igual a r.

Desenhe uma circunferência e uma reta tangente a ela. Depois, trace o raio que contém o ponto de tangência. Com um transferidor, meça a abertura do ângulo determinado pelo raio e pela reta tangente. Qual foi a medida obtida?

Uma reta t, tangente à circunferência, é perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência.

Essa propriedade também pode ser demonstrada.

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● Propriedade de dois segmentos, com uma extremidade comum, tangentes a uma circunferência

Considere uma circunferência de centro O, um ponto P externo a ela e dois segmentos,

\overline{P A}

\overline{P B}

, tangentes a ela. Se medirmos os segmentos

\overline{P A}

\overline{P B}

, verificaremos que eles têm a mesma medida.

Figura geométrica. Circunferência azul com centro O. Pontos A e B pertencentes a circunferência e ponto P externo a ela. Estão traçados os segmentos OA, OB, PA e PB compondo um quadrilátero de forma que OA e OB são raios da circunferência e PA e PB são tangentes a circunferência.

Figura geométrica. Mesma figura anterior só que está traçado o segmento PO dividindo o quadrilátero em dois triângulos de preenchimento azul.

Dois segmentos,

\overline{P A}

\overline{P B}

, tangentes a uma circunferência nos pontos A e B, são congruentes.

Vamos demonstrar essa propriedade.

Traçando o segmento

\overline{O P}

, e considerando os triângulos AOP e BOP, temos:

•

\overline{A O}

≅

\overline{B O}

(raios);

•

\overline{O P}

(lado comum);

• medida de

(O \hat{A} P)

= medida de

(O \hat{B} P)

= 90graus (A e B são pontos de tangência).

Pelo caso de congruência do triângulo retângulo (hipotenusa-cateto), △AOP ≅ △BOP.

Portanto,

\overline{P A}

≅

\overline{P B}

Aplicando essa propriedade, podemos resolver problemas de polígonos circunscritos a uma circunferência.

Vamos calcular, por exemplo, a medida x de comprimento do segmento

\overline{A B}

da figura a seguir.

Ilustração. Triângulo ABC alaranjado com uma circunferência na região interna de forma que é tangente ao lado AC no ponto P; ao lado AB no ponto Q e ao lado BC no ponto R. Cota acima do lado AB indicando medida de comprimento x. Cota acima do segmento AP indicando medida 10. Cota abaixo do segmento RB indicando medida de comprimento 25.

Ilustração. Homem negro, cabelo castanho ondulado, vestindo camisa verde, jaleco branco, calça azul e sapato preto, em pé e com as duas mãos dentro dos bolsos da frente do jaleco. Balão de fala com o texto em preto: Um polígono é circunscrito a uma circunferência quando todos os seus lados são tangentes à circunferência. Nesse caso, podemos dizer também que a circunferência está inscrita no polígono

Observe que:

• x = AB = AQ + QB;

•

\overline{A P}

≅

\overline{A Q}

, pois ambos são segmentos tangentes que passam pelo ponto A;

•

\overline{B Q}

≅

\overline{B R}

, pois ambos são segmentos tangentes que passam pelo ponto B.

Portanto: x = A bê = 10 + 25 = 35

Para investigar

a) Considere um quadrilátero ABCD qualquer circunscrito a uma circunferência.

Figura geométrica. Quadrilátero A, B, C e D, circunscrito a uma circunferência. O ponto P tangencia o lado AB, o ponto Q tangencia o lado BC, o ponto R tangencia CD e o ponto S tangencia o lado DA

Que relação podemos estabelecer entre as somas das medidas de comprimento dos lados opostos desse quadrilátero (A bê + CD e BC + dê á)?

b) Usando a relação obtida no item anterior, calcule o valor de x na figura a seguir.

Figura geométrica. Quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Cotas em cada lado indicando as medidas: 2x, 10, x e 8.

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Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Com régua e compasso, faça as construções no caderno.

a) Trace uma circunferência e marque três pontos: A, interno à circunferência; B, externo; C, pertencente à circunferência.

b) Por meio de cada um dos três pontos do item a, tente traçar três retas: uma secante, uma tangente e uma externa à circunferência. Foi possível traçar todas as retas pedidas?

2. Observe a figura a seguir e indique a posição relativa dos pontos e das retas em relação à circunferência.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. O ponto A está a uma distância do centro menor do que o raio. O ponto B está a uma distância do centro igual ao raio. O ponto C está a uma distância o centro maior que o raio. A reta t tem apenas um ponto em comum com a circunferência. A reta v tem 2 pontos em comum com a circunferência. A reta u não tem ponto em comum com a circunferência.

a) Ponto A

b) Ponto B

c) Ponto C

d) Reta t

e) Reta u

f) Reta v

3. Calcule a medida de comprimento de x, sabendo que a circunferência está inscrita no triângulo em cada caso.

Figura geométrica. Triângulo amarelo com uma circunferência inscrita. Cota indicando que um dos lados do triângulo mede x. Cota indicando que o segmento entre o vértice e o ponto que tangencia um lado mede 3. Cota indicando que o segmento entre o outro vértice e outro ponto de tangência mede 5.

Figura geométrica. Triângulo rosa com uma circunferência inscrita. Cota indicando que um dos lados do triângulo mede x. Cota indicando que o segmento entre o vértice e o ponto que tangencia um lado mede 2. Cota indicando que o segmento entre o outro vértice e outro ponto de tangência mede 7.

4. Calcule a medida de comprimento de x e de y, considerando que na figura o triângulo é circunscrito à circunferência.

Figura geométrica. Triângulo alaranjado com uma circunferência inscrita. Cota indicando que um dos lados do triângulo mede x e o segmento entre o vértice e o ponto de tangência desse lado mede 5. Cota indicando que o outro lado do triângulo mede 6 e o segmento entre o vértice e o ponto de tangência desse lado mede y. Cota indicando que o segmento entre o outro vértice e o outro ponto de tangência mede 7.

5. Observe as figuras e encontre a medida de x em cada caso.

Figura geométrica. Circunferência de centro O e raio 3 centímetros. Reta s, secante à circunferência, na horizontal passando pelo centro. Reta t, secante a circunferência, passando por A e B e perpendicular a reta s. Cota a direita da reta t indicando a medida x do ponto A até a reta s. Cota a esquerda da reta t indicando a medida 2 virgula 5 centímetros do ponto B até a reta s.

Figura geométrica. Circunferência de centro O e raio OA. Reta s, secante à circunferência, na horizontal passando pelo centro e pelo ponto A. Reta r, tangente a circunferência, passando por A e perpendicular a reta s. Ponto B pertencente a reta r compondo o triângulo AOB, com ângulo AOB medindo 30 graus e ângulo ABO medindo x.

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Posições relativas entre duas circunferências

Duas circunferências podem assumir diferentes posições uma em relação à outra. Observe as fotos a seguir.

Fotografia. Cinco circunferências entrelaçadas. Na parte superior, da esquerda para a direita, circunferência na cor azul, circunferência na cor preta e circunferência na cor vermelha. Abaixo, entrelaçada às circunferências azul e preta, está a amarela. Ao lado, entrelaçada às circunferências preta e vermelha, está a verde. Ao fundo, fachada cinza de hotel com porta marrom ao centro e duas janelas fechadas de cada lado. Na parte superior, outras cinco janelas fechadas. — Símbolo dos Jogos Olímpicos na frente da fachada do Hotel de Ville em Paris (França), 2022.

Fotografia. Dois círculos, lado a lado, com representações de países e oceanos em seu interior. Ao centro, na parte superior e inferior, círculo com contorno em branco e preenchimento em amarelo. Ao redor dos círculos, fundo marrom com diversas marcações circulares em várias cores. — Mapa-múndi antigo de John Speed, publicado em 1626.

Fotografia. Plantação com tons de amarelo, alaranjado e marrom. Da menor para a maior, de dentro para fora, quatro circunferências em volta de ponto central, na cor marrom. — Plantação com sistema de irrigação com pivô central em Oklahoma (Estados Unidos), 2022.

O símbolo dos Jogos Olímpicos lembra circunferências secantes. Já no mapa-múndi há detalhes que lembram circunferências tangentes exteriores. As marcas no solo vistas na foto da plantação com sistema de irrigação com pivô central, por sua vez, lembram circunferências concêntricas.

Vamos estudar as relações entre as circunferências nessas e em outras posições.

Circunferências tangentes exteriores

Duas circunferências são tangentes exteriores se têm apenas um ponto em comum e se a medida de distância entre seus centros é igual à soma das medidas de comprimento de seus raios.

Figura geométrica. Circunferência de centro O1, com O maiúsculo e 1 subscrito, e raio r1, com r minúsculo e 1 subscrito tangente a Circunferência de centro O2, com O maiúsculo e 2 subscrito, e raio r2, com r minúsculo e 2 subscrito. Cota abaixo do segmento entre os centros indicando d. Abaixo, d igual a r1 mais r2.

Circunferências secantes

Duas circunferências são secantes se têm exatamente dois pontos em comum.

Figura geométrica. Circunferência de centro O1, com O maiúsculo e 1 subscrito, e raio r1, com r minúsculo e 1 subscrito secante pelos pontos A e B à Circunferência de centro O2, com O maiúsculo e 2 subscrito, e raio r2, com r minúsculo e 2 subscrito. Cota abaixo do segmento entre os centros indicando d. Abaixo, r1 menos r2 menor que d menor que r1 mais r2. Abre parênteses com r1 maior ou igual a r2 fecha parênteses.

Circunferências tangentes interiores

Duas circunferências são tangentes interiores se têm apenas um ponto em comum e se a medida da distância entre seus centros é igual à diferença entre as medidas de comprimento de seus raios.

Figura geométrica. Circunferência de centro O1, com O maiúsculo e 1 subscrito, e raio r1, com r minúsculo e 1 subscrito tangente no ponto A, à Circunferência de centro O2, com O maiúsculo e 2 subscrito, e raio r2, com r minúsculo e 2 subscrito. Cota acima do segmento entre os centros indicando d. Abaixo, d igual a r1 menos r2. Abre parênteses com r1 maior que r2 fecha parênteses.

Circunferências internas

Duas circunferências são internas se não têm pontos em comum e se a medida da distância entre seus centros é menor que a diferença entre as medidas de comprimento de seus raios.

Figura geométrica. Circunferência de centro O2, com O maiúsculo e 2 subscrito, e raio r2, com r minúsculo e 2 subscrito interna à Circunferência de centro O1, com O maiúsculo e 1 subscrito, e raio r1, com r minúsculo e 1 subscrito. Cota acima do segmento entre os centros indicando d. Abaixo, d menor que r1 menos r2. Abre parênteses com r1 maior que r2 fecha parênteses

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Circunferências externas

Duas circunferências são externas se não têm pontos em comum e se a medida da distância entre seus centros é maior que a soma das medidas de comprimento de seus raios.

Ilustração. Circunferência de centro O1, com O maiúsculo e 1 subscrito, e raio r1, com r minúsculo e 1 subscrito externa a Circunferência de centro O2, com O maiúsculo e 2 subscrito, e raio r2, com r minúsculo e 2 subscrito. Cota abaixo do segmento entre os centros indicando d. Abaixo, d maior que r1 mais r2.

Circunferências concêntricas

Duas circunferências são concêntricas se uma é interna à outra e se as duas têm o mesmo centro.

Figura geométrica. Circunferência de centro O1, com O maiúsculo e 1 subscrito, e raio r1, com r minúsculo e 1 subscrito concêntrica a Circunferência de centro O2, com O maiúsculo e 2 subscrito, e raio r2, com r minúsculo e 2 subscrito. Os pontos O1 e O2 coincidem. Cota no canto direito inferior indicando d igual a 0.

Observação

O₁ ≡ O₂ indica que os pontos O₁ e O₂ são coincidentes.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Considerando a posição relativa de duas circunferências, indique a posição relativa entre as circunferências a seguir.

(Os pontos O e O' são os centros das circunferências.)

Ilustração. Circunferência de centro O e circunferência de centro O linha, A medida da distância entre O e O linha é igual à diferença entre as medidas de comprimento de seus raios.

Ilustração. Circunferência de centro O e circunferência de centro O linha, A medida da distância entre O e O linha é maior que a soma das medidas de comprimento dos seus raios.

Ilustração. Circunferência de centro O e circunferência de centro O linha, com O coincidindo com O linha.

Ilustração. Circunferência de centro O e circunferência de centro O linha, A medida da distância entre O e O linha é igual à soma das medidas de comprimento dos seus raios.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

2. Faça no caderno o que se pede.

a) Construa duas circunferências que não tenham pontos em comum. Qual é a posição relativa entre elas? Há apenas uma resposta para esse problema? Se não, quais seriam as outras?

b) Construa duas circunferências que tenham apenas um ponto em comum. Qual é a posição relativa entre elas? Há apenas uma resposta para esse problema? Se não, quais seriam as outras?

3. Dadas as circunferências, seus centros e alguns segmentos, determine a maior medida inteira de comprimento que x pode assumir em cada caso, de modo que a posição relativa entre elas seja mantida.

Figura geométrica. Circunferência de centro O secante à circunferência de centro O linha. O ponto A é um ponto em comum às circunferências. A medida do segmento AO é 2 centímetros. A medida do segmento AO linha é 3 centímetros. A medida do segmento OO linha é x.

Figura geométrica. Circunferência de centro O e raio OA, interna à circunferência de centro O linha e raio O linha B. A medida do segmento AO é 3 centímetros. A medida do segmento BO linha é 5 centímetros. A medida do segmento OO linha é x.

Figura geométrica. Circunferência de centro O e raio OA, externa à circunferência de centro O linha e raio O linha B. A medida do segmento AO é x. A medida do segmento BO linha é 4 centímetros. A medida do segmento OO linha é 10 centímetros.

Figura geométrica. Circunferência de centro O e raio OA, secante à circunferência de centro O linha e raio O linha B. A medida do segmento AO é 4 centímetros. A medida do segmento BO linha é x. A medida do segmento OO linha é 6 centímetros.

Considere uma circunferência centésimo₁ cujo comprimento do raio mede 10 centímetros, uma circunferência centésimo₂ com raio de comprimento medindo 5 centímetros e a distância entre os centros de centésimo₁ e centésimo₂ mede 5 centímetros.

Indicando por x e por y, respectivamente, as medidas das distâncias de um ponto P qualquer aos centros de centésimo₁ e de centésimo₂ , determine as medidas de x e de y para que o ponto P seja:

a) externo à circunferência centésimo₁;

b) externo à circunferência centésimo₂;

c) interno à circunferência centésimo₁;

d) interno à circunferência centésimo₂.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

3 Ângulos na circunferência

Arco de circunferência

Quando ocorre um eclipse lunar em uma noite sem nuvens, podemos observar uma sombra que vai gradativamente cobrindo a Lua e, em seguida, descobrindo-a. Isso acontece quando, durante sua órbita em torno do Sol, a Terra fica por alguns minutos posicionada entre o Sol e a Lua. Como os astros têm formato arredondado, os contornos das imagens parciais da Lua, como os vistos na sequência a seguir, lembram arcos de circunferência.

Fotografia. Fundo preto. Na parte inferior, ponte iluminada, em formato parecido com a letra Z. Na parte superior, sequência de nove luas. Começando da esquerda para a direita: a primeira, cheia, na cor branca; a segunda, branca, com a parte inferior esquerda escurecida; a terceira, branca, com a maior parte da esquerda escurecida; a quarta, branca, com o lado esquerdo todo escurecido; a quinta, apenas com uma parte da direita branca; a sexta, lua cheia com tom amarronzado; a sétima, com tons de alaranjado e marrom; a oitava, com tons de alaranjado e vermelho; a nona, em tons de vermelho e amarelo. — Montagem fotográfica de algumas etapas de um eclipse lunar total visto em Dalian, China, em 31 de janeiro de 2018.

Dois pontos, A e B, de uma circunferência dividem-na em duas partes. Cada uma dessas partes é denominada arco de circunferência.

Os pontos A e B são chamados extremidades do arco.

Para diferenciar o arco maior do arco menor, escolhemos um ponto qualquer do arco maior (neste caso escolhemos o X ) e indicamos:

• o arco menor por

\overset{⏜}{A B}

;

• o arco maior por

\overset{⏜}{A X B}

Ilustração. Circunferência de centro O. Na circunferência estão representados os pontos A, B e X e estão destacados dois arcos: arcos menor AB e arco maior AXB.

Ângulo central

Chamamos de ângulo central de uma circunferência qualquer ângulo cujo vértice seja o centro da circunferência. Observe.

De acôrdo com a figura, temos:

•

A \hat{O} B

é um ângulo central;

•

\overset{⏜}{A B}

é o arco correspondente ao ângulo central

A \hat{O} B

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Medida de arco (em grau)

A medida em grau de um arco de circunferência é a medida de abertura do ângulo central correspondente a esse arco.

Indicamos a medida de um arco

\overset{⏜}{A B}

por medida de(

\overset{⏜}{A B}

Então, nas figuras apresentadas, medida de(

A \hat{O} B

) = medida de(

\overset{⏜}{A B}

Figura geométrica. Circunferência com centro O azul. Os pontos A e B pertencem a ela e o segmento AB é verde e é um diâmetro. O ângulo central AOB é azul e o arco correspondente AB é verde. Cota abaixo, medida do ângulo AOB igual a medida do arco AB igual a 180 graus. Figura geométrica. Circunferência com centro O roxa. Os pontos A e B coincidem, pertencem à circunferência, e o segmento OA é igual ao raio. Cota abaixo, medida do ângulo AOB igual a medida do arco AB igual a 360 graus..

Quando a medida de abertura do ângulo central é igual a 180graus (meia-volta), o arco correspondente é uma semicircunferência.

Quando a medida de abertura do ângulo central é igual a 360graus (uma volta), o arco correspondente é a própria circunferência.

Arcos de mesma medida são denominados arcos congruentes.

Para pensar

Observe a figura.

Figura geométrica. Circunferência com centro O verde. Os pontos A e B pertencem a ela. Os raios OA e OB estão traçados em preto e determinam um ângulo menor de medida x e um arco AB traçado em vermelho

A medida de abertura do ângulo central menor é x. Como podemos indicar, com base na medida do arco menor, a medida do arco maior?

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. As extremidades de um mesmo diâmetro dividem uma circunferência em dois arcos. Qual é a medida de cada um desses arcos?

2. Determine a medida dos arcos

\overset{⏜}{A B}

\overset{⏜}{B C}

\overset{⏜}{C D}

em cada caso. Considere que

\overline{A C} e \overline{B D}

são diâmetros das circunferências.

Figura geométrica. Circunferência azul, os pontos A, B, C e D pertencem a ela de forma que AC e BD são diâmetros. O arco AD mede 110 graus e o arco BC é oposto a ele.

Ilustração. Circunferência vermelha os pontos A, B, C e D pertencem a ela de forma que AC e BD são diâmetros. O arco AD mede 85 graus e o arco BC é oposto a ele.

3. Calcule em cada caso a soma das medidas dos arcos

\overset{⏜}{A B}

\overset{⏜}{C D}

, sabendo que os ângulos indicados são ângulos centrais.

Figura geométrica. Circunferência vermelha, os pontos A, B, C e D pertencem a ela. O ângulo central correspondente ao arco BD mede 90 graus. Existem dois ângulos centrais que correspondem ao arco AC: um de 20 graus e outro de 65 graus. Os arcos AB, BD, DC e CA formam a volta completa nessa ordem

Figura geométrica. Circunferência amarela, os pontos A, B, C e D pertencem a ela. O ângulo central correspondente ao arco BD mede 30 graus. Existem dois ângulos centrais que correspondem ao arco AC: um de 45 graus e outro de 90 graus. Os arcos AB, BD, DC e CA formam a volta completa nessa ordem.

Página 75

Lembre-se: Escreva no caderno!

4. Analise como Bruno construiu um hexágono regular com compasso e régua.

Ilustração. Bruno, menino branco e ruivo, vestindo camiseta amarela com detalhes em branco, está sentado em uma cadeira e em frente a uma mesa. Com a mão esquerda, segura caneta verde. Com a mão direita, segura compasso cinza e desenha uma circunferência em uma folha que está em cima da mesa. Ao lado, uma régua. Primeiro balão de pensamento com o texto: Mantendo o compasso com abertura igual à medida de comprimento do raio, divido a circunferência em seis partes. Segundo balão de pensamento com o texto: Depois, ligo as extremidades de cada arco por meio de um segmento de reta e pinto o interior para obter um hexágono regular!

Ilustrações. À esquerda, circunferência roxa com 6 marcações equidistantes traçadas com o compasso que determinam 6 pontos sobre a circunferência. À direita, mesma figura da esquerda, mas agora ligando os pontos consecutivos, com segmentos de reta formam um hexágono regular inscrito.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Com base no procedimento de Bruno, construa um hexágono regular no caderno e responda às questões.

a) Qual é a medida de comprimento do lado do hexágono?

b) Se ligarmos o centro da circunferência a cada um dos vértices do hexágono, que novas figuras obteremos?

c) Qual é a medida de abertura de cada ângulo central formado quando ligamos o centro da circunferência aos vértices do hexágono?

d) Se, em vez de um hexágono regular, a figura construída fosse um octógono regular, qual seria a medida de abertura de cada ângulo central?

Observe o fluxograma a seguir com os passos para a construção de um octógono regular inscrito em uma circunferência cujo raio mede 4 centímetros de comprimento.

Fluxograma. Caixa com legenda Início ligada à caixa com legenda Passo 1 Construa uma circunferência cujo raio meça 4 centímetros de comprimento, ligada à caixa com legenda Passo 2 Descubra a medida de abertura do ângulo central do octógono regular calculando 360 graus igual oito., ligada À caixa com legenda Passo 3 Considerando a medida de abertura do ângulo central obtida, dividida, usando um transferidor, a circunferência em 8 arcos congruentes., ligada à caixa com legenda Passo 4 Ligue as extremidades de cada arco por meio de um segmento de reta e pinte o interior da figura para obter um octógono regular., ligada à caixa com legenda Fim.

• Em seu caderno, crie um fluxograma com os passos para a construção de um polígono regular de n lados inscrito em uma circunferência cujo raio mede

unidades de comprimento.

Página 76

Ângulos inscritos

Todo ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados são secantes a essa circunferência é chamado ângulo inscrito.

Observe na figura apresentada em verde que

A \hat{V} B

é um ângulo inscrito que determina o arco

\overset{⏜}{A B}

Ilustração. Circunferência com centro O e com os pontos A, B e V representados nela. Está reapresentado o ângulo inscrito AVB.

A todo ângulo inscrito corresponde um ângulo central, que determina, na circunferência, o mesmo arco.

Observe na circunferência a seguir que o ângulo inscrito

A \hat{V} B

e o ângulo central

A \hat{O} B

determinam o arco

\overset{⏜}{A B}

Ilustração. Circunferência com centro O e com os pontos A, B e V representados nela. Estão reapresentados o ângulo inscrito AVB e o ângulo central AOB que determinam o mesmo arco AB.

Informática e Matemática

faça as atividades no caderno

Ângulos em uma circunferência

Nesta seção, você vai utilizar um software de Geometria dinâmica para construir um ângulo inscrito em uma circunferência e o ângulo central correspondente. Depois, vai investigar a relação entre suas medidas.

Construa

Siga os passos a seguir.

1º) Construa uma circunferência c de centro O.

2º) Marque três pontos distintos, A, B e V, na circunferência.

3º) Trace as semirretas

\vec{O A}

\vec{O B}

4º) Trace as semirretas

\vec{V A}

\vec{V B}

\hat{V}

B é um ângulo inscrito e

A \hat{O} B

é o ângulo central correspondente.

Ilustração. Tela similar a de um software de geometria analítica. Na parte superior, há uma barra com diversos botões. Da esquerda para a direita, os botões correspondem às ferramentas: mover, ponto, reta, reta perpendicular, polígono, circunferência, ângulo e reflexão. Abaixo do botão reta, aparecem da esquerda para a direita os botões que correspondem às seguintes ferramentas: reta, semirreta, segmento de reta e vetor. No canto superior direito aparecem os botões minimizar, maximizar e fechar. Na tela está representada uma circunferência C, com centro no ponto O. Os pontos A, B e V pertencem a circunferência. Estão traçadas as semirretas OA e OB formando um ângulo central e as semirretas VA e VB formando um ângulo inscrito.

Investigue

Faça o que se pede usando as ferramentas do software.

a) Meça as aberturas dos ângulos

A \hat{V} B

A \hat{O} B

. É possível perceber alguma relação entre essas medidas?

b) Movimente os pontos móveis da construção, modificando a configuração inicial. A relação observada no item anterior continua válida em diferentes configurações?

Página 77

Lembre-se: Escreva no caderno!

Relação entre ângulo inscrito e ângulo central

A relação que você observou na seção Informática e Matemática vale para todo ângulo inscrito e central correspondente em uma circunferência.

A medida de abertura de um ângulo inscrito é igual à metade da medida de abertura do ângulo central correspondente, ou seja, é igual à metade da medida do arco de circunferência compreendido entre seus lados.

Vamos demonstrar essa relação analisando três casos.

Caso 1: Um dos lados do ângulo inscrito contém o diâmetro

Observe a figura a seguir, em que

A \hat{V} B

é um ângulo inscrito e

\overline{V B}

é um diâmetro da circunferência.

Ilustração. Circunferência com centro O e com os pontos A, B e V representados nela. A medida da abertura do ângulo inscrito AVB é indicada pela letra y. O raio AO está tracejado e o raio BO está traçado formando o ângulo central AOB, cuja medida da abertura é indicada pela letra x.

Indicamos por x a medida de abertura do ângulo central

A \hat{O} B

e por y a do ângulo inscrito

A \hat{V} B

Observe a figura representada em azul.

Ilustração. Mesma figura anterior. só que agora está indicada a medida da abertura do ângulo OAV que é y.

Como

\overline{O V} e \overline{O A}

são raios da circunferência, o triângulo AOV é isósceles; logo, os ângulos de sua base são congruentes:

O \hat{V} A ≅ V \hat{A} O

Como

A \hat{O} B

é um ângulo externo do triângulo AOV, temos:

y + y = x

2y = x

y =

\frac{x}{2}

Portanto, medida de(

A \hat{V} B

) =

\frac{m e d (A \hat{O} B)}{2}

, ou seja: medida de(

A \hat{V} B

) =

\frac{m e d (\overset{⏜}{A B})}{2}

Caso 2: O centro da circunferência é interno ao ângulo inscrito

Na figura a seguir,

A \hat{V} B

é um ângulo inscrito.

Página 78

Traçando o diâmetro

\bar{V C}

, dividimos o ângulo

A \hat{V} B

em dois ângulos inscritos:

B \hat{V} C

A \hat{V} C

. Além disso, dividimos o ângulo central

A \hat{O} B

em dois ângulos:

B \hat{O} C e A \hat{O} C

Ilustração. Mesma figura anterior. Agora, há um ponto C representado na circunferência, no arco AB, de modo que o diâmetro VC divide o ângulo inscrito AVB em dois ângulos inscritos: BVC e AV. E também divide o ângulo central AOB em dois ângulos: BOC e AOC.

Ao analisar o ângulo inscrito

B \hat{V} C

pelo caso 1, temos:

medida de(

B \hat{V} C

) =

\frac{m e d (B \hat{O} C)}{2}

(um)

Analisando o ângulo inscrito

A \hat{V} C

pelo caso 1, temos:

medida de(

A \hat{V} C

) =

\frac{m e d (A \hat{O} C)}{2}

(dois)

Adicionando um a dois, membro a membro, temos:

Esquema. Medida do ângulo BVC mais medida do ângulo AVC é igual a metade da medida do ângulo BOC mais a metade da medida do ângulo AOC.
Chave abaixo da medida do ângulo BVC mais medida do ângulo AVC indicando medida do ângulo AVB.
Chave abaixo da metade da medida do ângulo BOC mais a metade da medida do ângulo AOC indicando metade da medida do ângulo AOB.

Então, medida de(

A \hat{V} B

) =

\frac{m e d (A \hat{O} B)}{2}

e, portanto, medida de(

A \hat{V} B

) =

\frac{m e d (\overset{⏜}{A B})}{2}

Caso 3: O centro da circunferência é externo ao ângulo inscrito

Na figura a seguir,

A \hat{V} B

é um ângulo inscrito.

Traçamos o diâmetro

\overline{V C}

. Vamos considerar os ângulos inscritos

A \hat{V} B, B \hat{V} C e A \hat{V} C

e seus respectivos ângulos centrais correspondentes:

A \hat{O} B

B \hat{O} C e A \hat{O} C

Ilustração. Mesma figura anterior. Agora está representado um ponto C fora do arco AB de modo que o diâmetro VC determine os ângulos inscritos AVB, BVC e AVC e os ângulos centrais AOB, BOC e AOC.

Observe que, nos ângulos inscritos, temos a seguinte relação:

medida de(

A \hat{V} B

) + medida de(

B \hat{V} C

) = medida de(

A \hat{V} C

)

Já nos ângulos centrais, temos esta relação:

medida de(

A \hat{O} B

) + medida de(

B \hat{O} C

) = medida de(

A \hat{O} C

)

Considerando o ângulo inscrito

B \hat{V} C

pelo caso 1, temos:

medida de(

B \hat{V} C

) =

\frac{m e d (B \hat{O} C)}{2}

(um)

E, considerando o ângulo inscrito

A \hat{V} C

pelo caso 1, temos:

medida de(

A \hat{V} C

) =

\frac{med(A \hat{O} C)}{2}

(dois)

Página 79

Subtraindo um de dois, membro a membro, chegamos a:

Esquema. Medida do ângulo AVC menos medida do ângulo BVC é igual à metade da medida do ângulo AOC menos a metade da medida do ângulo BOC.
Chave abaixo da medida do ângulo AVC menos medida do ângulo BVC indicando medida do ângulo AVB.
Chave abaixo da metade da medida do ângulo AOC menos a metade da medida do ângulo BOC indicando metade da medida do ângulo AOB.

Então, medida de(

A \hat{V} B

) =

\frac{m e d (A \hat{O} B)}{2}

e, portanto, medida de(

A \hat{V} B

) =

\frac{m e d (\overset{⏜}{A B})}{2}

Para investigar

Um ângulo é inscrito em uma semicircunferência quando é um ângulo inscrito e seus lados contêm as extremidades de um mesmo diâmetro. Observe, por exemplo, o ângulo

A \hat{V} B

dado.

Figura geométrica. Circunferência com centro O e com os pontos A, B e V indicados nela. As semi retas AV e BV estão traçadas na cor rosa formando o ângulo inscrito AVB sendo que o centro O está na região interna deste ângulo. O diâmetro AB está tracejado, o arco AVB é roxo e o arco AB é azul.

•

Analise a afirmação de Luciene na ilustração.

Em seguida, converse com um colega e discutam se Luciene está correta. Justifiquem.

Ilustração. Luciene, cadeirante, mulher branca, loira, vestindo blusa rosa, calça azul e tênis verde, está sentada em cadeira de rodas. Seu braço esquerdo está apoiado na cadeira e a mão direita está levantada, com a sua palma da mão virada para seu rosto, apenas com o cotovelo apoiado na cadeira. Balão de fala com o texto: Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Determine em cada caso a medida x, em grau, sendo O o centro da circunferência.

Ilustração. Circunferência com centro O e com os pontos A, B e V representados nela. Estão reapresentados o ângulo inscrito AVB de medida de abertura indicada pela letra x e o ângulo central AOB de medida de abertura igual a 90 graus. O centro da circunferência é interno ao ângulo inscrito.

2. Calcule as medidas x, y e z, em grau, para cada caso, considerando que o ponto O é o centro da circunferência.

Figura geométrica. Circunferência amarela com centro O e os pontos A, B e C indicados nela. Os pontos são também vértices de um quadrado inscrito. O segmento AB é um diâmetro que coincide com a diagonal do quadrado.
O ângulo ACB está indicado com a medida y. O ângulo oposto a ele está indicado com medida x. O arco BC está indicado pela letra z.

Figura geométrica. Circunferência amarela com centro O e os pontos A e B indicados nela. O segmento AB é um diâmetro na horizontal dividindo em 2 semicircunferências. Na parte superior da circunferência os ângulos inscritos x e y determinam o arco AB. Na parte inferior da circunferência o ângulo inscrito z determina o arco AB.

3. Responda às questões.

a) Se a medida de abertura de um ângulo inscrito em uma circunferência é 46graus, qual é a medida do arco de circunferência determinado por ele?

b) Se o arco de circunferência determinado pelo ângulo inscrito

A \hat{V} B

tem medida igual a 25graus, qual é a medida de

A \hat{V} B

4. Observe as figuras e responda às questões.

Figuras geométricas. Figura 1. Circunferência verde com dois ângulos inscritos um de medida 46 e outro de medida x ambos determinam o mesmo arco. Figura 2. Circunferência verde com dois ângulos inscritos um de medida 35 e outro de medida y ambos determinam o mesmo arco.

a) Qual é a medida x, em grau?

b) Qual é a medida y, em grau?

5. Observe as figuras e determine a medida de abertura do ângulo inscrito e a do ângulo central em cada caso.

Figura geométrica. Circunferência azul com centro O e com os pontos A, B e V indicados nela. As cordas AV e BV estão traçadas formando o ângulo inscrito AVB de medida x mais 2 graus, sendo que o centro O está na região interna deste ângulo. Os raios AO e BO estão tracejados formando o ângulo central AOB de medida x mais 62 graus.

Página 80

Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Média aritmética, mediana e moda

Uma organização sem fins lucrativos promoveu uma campanha de arrecadação de alimentos que durou uma semana.

Ilustração. Quadra esportiva na cor vermelha, com pacotes e latas de alimentos em uma mesa com cadeiras. Ao fundo, Ítalo, homem negro, cabelo castanho, barba, usando óculos e vestindo camisa branca, colete verde e calça azul, em pé, recebe dois pacotes amarelos de um menino branco, loiro, vestindo camiseta amarela, jaqueta azul e calça preta. Na frente, Sofia, mulher branca, cabelo castanho ondulado, vestindo camisa marrom, calça preta e sapato preto, segura, com a mão direita, folha branca, e com a mão esquerda, anota com caneta na folha. Ao lado direito de Sofia, está Ivo, homem ruivo, com barba, vestindo camiseta listrada branco e preto e com mangas amarelas, calça vermelha e tênis verde, em pé, com o dedo indicador da mão esquerda apontando para a folha em que Sofia está escrevendo.

Ítalo anotou a medida de massa, em quilograma, de alimentos arrecadados em cada dia.

Ilustração. Quadro branco com o texto em preto:
Domingo: 250 quilogramas.
Segunda-feira: 200 quilogramas.
Terça-feira: 300 quilogramas.
Quarta-feira: 150 quilogramas.
Quinta-feira: 300 quilogramas.
Sexta-feira: 200 quilogramas.
Sábado: 2 mil e 100 quilogramas.

Para pensar

Converse com os colegas sobre a importância das campanhas de arrecadação de alimentos.

Após o fim da campanha, observando os dados registrados, Sofia, Ivo e Ítalo se reuniram para analisar o resultado de cada medida desse conjunto de dados.

Ilustração. Mesmos personagens anteriores. Em uma sala vermelha, Sofia está do lado esquerdo, em pé, segurando uma folha com a mão esquerda e, com o braço direito dobrado, está com o dedo indicador apoiado no queixo. No centro, Ivo está em pé, com a mão direita apoiada em sua cintura. Do lado direito, Ítalo está em pé, segurando com a mão direita uma folha com um quadro branco com o texto em preto: Fração com numerador 250 mais 200 mais 300 mais 150 mais 300 mais 200 mais 2 mil e 100 e denominador 7 igual a fração 3 mil e 500 sobre 7 igual a 500. Foram arrecadados, em média, 500 quilogramas de alimentos por dia. Balão de fala de Ítalo com o texto: Eu fiz os cálculos para determinar a média aritmética.

Página 81

Lembre-se: Escreva no caderno!

Página 82

▶ Estatística e Probabilidade

Comparação entre a média aritmética, a mediana e a moda

A média aritmética (simples ou ponderada), a mediana e a moda são medidas de tendência central. Elas são usadas para representar um conjunto de dados. Em determinadas situações, uma pode ser mais conveniente que a outra.

Em geral, a moda oferece pouca informação a respeito do conjunto de dados e, por esse motivo, é a menos usada entre as medidas de tendência central estudadas. Na situação apresentada, a moda não é única e, portanto, não é a medida mais conveniente para representar o conjunto de dados.

Repare que a média aritmética foi influenciada pela medida de massa de alimentos arrecadados no sábado, que destoou do que foi arrecadado nos demais dias.

Em situações como essa, em que um ou mais valores do conjunto de dados destoam dos demais, a mediana é a medida estatística mais adequada para representar esse conjunto, pois ela não sofre influência de valores extremos. Caso contrário, a média aritmética simples ou ponderada seria a medida adequada, por levar em consideração todos os valores do conjunto.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Joana é professora de Educação Física e mede regularmente a massa e a altura de seus estudantes. Observe, no quadro a seguir, as medidas que ela obteve.

Nome	Medida da massa (em quilograma)	Medida da altura (em metro)
Alício	53,4	1,62
Bruna	48,6	1,54
Diana	45,3	1,59
Elisângela	49,8	1,68
Josué	51,2	1,58
Manuel	48,0	1,54
Nilce	47,5	1,62
Renan	51,5	1,67
Renato	45,6	1,55
Silmara	45,6	1,52
Sueli	48,9	1,66
Tomás	49,0	1,67

a) Calcule a média aritmética da medida de massa desses estudantes e a média da medida de altura deles.

b) Quais dos estudantes têm medida de massa abaixo da média? E quais têm medida de altura acima da média?

c) Qual é a moda das medidas de massa desses estudantes? E a das medidas de altura?

Página 83

2. A rádio FM fez uma pesquisa para saber a opinião dos ouvintes sobre um novo programa que foi ao ar, avaliando-o com uma nota de 5 a 10. Os dados coletados na pesquisa estão representados no gráfico a seguir.

Gráfico. Gráfico de barras múltiplas. Título do gráfico: Avaliação feita pelos ouvintes sobre o novo programa em janeiro de 2 mil e 24.
Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
Eixo horizontal com o rótulo Nota. Da esquerda para a direita, estão indicadas as notas: 5, 6, 7, 8, 9 e 10.
Eixo vertical com o rótulo número de ouvintes. Nele estão indicados os números: 0, 50, 100, 150, 200 e 250.
Legenda na parte inferior indicando que as barras verde escuro representam os adolescentes e as barras verde claro representam os adultos.
Nota 5:
Adolescentes: 150
Adultos: 100
Nota 6:
Adolescentes: 100
Adultos: 95
Nota 7:
Adolescentes: 90
Adultos: 135
Nota 8:
Adolescentes: 80
Adultos: 150
Nota 9:
Adolescentes: 75
Adultos: 125
Nota 10:
Adolescentes: 50
Adultos: 200

Dados obtidos pela rádio FM em janeiro de 2024.

a) Quantos ouvintes foram pesquisados?

b) Qual foi a média aritmética das notas dadas por ouvintes adolescentes? E por ouvintes adultos?

c) Qual foi a moda das notas dadas por ouvintes adultos?

d) Qual foi a mediana das notas dadas por ouvintes adolescentes?

e) Calcule a média aritmética, a moda e a mediana das notas dadas pelo total de ouvintes (adolescentes e adultos).

3. Claudete quer oferecer mais três opções de salada em seu restaurante. Para decidir os tipos de salada que começará a servir, ela fez uma pesquisa, em fevereiro de 2024, na qual os entrevistados indicavam a salada preferida, como mostrada no quadro a seguir. Nessa pesquisa, eles poderiam escolher apenas um tipo de salada.

Salada	Número de pessoas
Tropical (folhas variadas, tomate, palmito, cenoura ralada e ovo)	50
Cozida (batata, brócolis, couve-flor e cenoura cozidos no vapor e queijo parmesão)	10
Vegana (folhas variadas, vagem, tomate e cenoura ralada)	20
Grãos (folhas variadas, tomate-cereja, grão-de-bico, cenoura ralada, gergelim, linhaça e semente de girassol)	23
Salpicão (erva-doce, repolho, frango desfiado e cenoura ralada)	32

a) Qual das medidas de tendência central – média, moda ou mediana – pode ser calculada para a tomada de decisão nessa pesquisa? O que essa medida indica?

b) De acôrdo com o resultado da pesquisa, que saladas Claudete incluirá no cardápio de seu restaurante?

Página 84

Ícone. Caderno na vertical com um lápis.

Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Observe a circunferência de centro O e responda à questão.

Ilustração. Circunferência de centro O e com pontos A, B, C e D representados nela. Estão representados no interior da circunferência um triângulo AOB azul e um triângulo COD vermelho.

• Os triângulos ó á bê e OCD são congruentes? Justifique.

2. Calcule a medida do perímetro do quadrado de vértices A, B, C e D.

Figura geométrico. Quadrado verde com 4 círculos iguais, tangentes internamente ao quadrado e entre si. Os centos dos círculos são, respectivamente, A, B, C e D e os raios tem medida de comprimento 1 centímetro.

3. Calcule a medida do perímetro do triângulo cujos vértices são os centros das três circunferências, sabendo que a medida de comprimento dos raios das circunferências é 1 centímetro.

Figura geométrica. 3 circunferências roxas tangentes entre si. 3 linhas tracejadas ligando os três centros formando um triângulo roxo.

4. Traçaram-se duas circunferências, com raios que medem 7 centímetros e 4 centímetros de comprimento. Se a distância entre os centros mede 10 centímetros, qual é a posição relativa entre essas circunferências? Justifique sua resposta.

5. Observe a circunferência a seguir, de centro B, e calcule a medida do perímetro do quadrilátero ABCD.

Figura geométrica. Circunferência azul com centro B. Pontos A e C pertencentes a circunferência e ponto D externo a ela. Estão traçados os segmentos BA, BC, DA e DC compondo um quadrilátero de forma que BA e BC são raios da circunferência e medem 3 centímetros e DA e DC são tangentes a circunferência, medindo cada um, respectivamente, x mais 10 e 2x mais 4.

6. Determine as medidas x e y, em grau, em cada caso, sabendo que todos os ângulos indicados têm vértice no centro da circunferência.

Figura geométrica. Circunferência azul, com um diâmetro traçado na vertical. À direita, está dividido em três Ângulos centrais com medidas de, de cima para baixo, 20 graus, y e 40 graus. À esquerda, está dividido em 2 ângulos, um com medida x, abaixo, e o outro sem indicação, acima. Os ângulos de medida x e 40 graus formam meia volta.

Figura geométrica. Circunferência azul, com um diâmetro traçado na horizontal. Acima, está dividido em três ângulos centrais com medidas de, da esquerda para direita, 90 graus, y e fração x sobre 2.
Abaixo, está dividido em 2 ângulos centrais, com medidas de, da esquerda para direita, fração x sobre 2 e 110 graus.

Figura geométrica. Circunferência azul, com um diâmetro traçado na horizontal. Acima, está dividido em 4 ângulos centrais com medidas de, da esquerda para direita, 28 graus, 55 graus e dois ângulos sem indicação de medida. Abaixo, está dividido em 3 ângulos centrais, com medidas de, da esquerda para direita, y, 30 graus e x.

7. Observe a figura e calcule a medida de x e de y, sabendo que as circunferências (com centros O₁ e O₂) são tangentes às semirretas.

Figura geométrica. Circunferência rosa de centro O1, com o maiúsculo e 1 subscrito, tangente à circunferência rosa de centro O2, com O maiúsculo e 2 subscrito. Ponto P externo as duas circunferências e do lado direito. Uma semirreta partindo de P e tangente às duas circunferências em 2 pontos de forma que a medida de comprimento de P ao primeiro ponto de tangência vale 15 e a medida do comprimento entre os dois pontos de tangência vale 2 vezes x mais 4.
Outra semirreta partindo de P tangente às circunferências em outros 2 pontos de forma que a medida de comprimento de P ao primeiro ponto de tangência vale y mais 7 e a medida do comprimento entre os pontos de tangência vale x mais 7.

Página 85

8. (Universidade Federal de Minas Gerais) O triângulo ABC, cujos lados medem A bê = 6, BC = 7 e á cê = 8, está circunscrito à circunferência de centro O. Sendo P o ponto de tangência em relação ao lado

\overline{A C}

, a medida do segmento

\overline{A P}

é:

Figura geométrica. Triângulo ABC com circunferência de centro O inscrita a ela. O ponto P pertence ao lado AC e é um ponto de tangência.

a) 6

b) 4,5

c) 4

d) 3,5

e) 2,5

9. Observe as circunferências a seguir, de centro O, e calcule, em cada caso, a medida do arco

\overset{⏜}{A B}

, em grau.

Figura geométrica. Circunferência alaranjada com centro O e os pontos A, B, C e D indicados nela de forma que AD e BC são diâmetros e o ângulo central COD está indicado 80 graus

Figura geométrica. Circunferência alaranjada com centro O secante a circunferência alaranjada com centro O linha. Os pontos A e B estão indicados e são os pontos de intersecção das circunferências. O ângulo central AOB está indicando com 95 graus

Figura geométrica. 2 circunferências concêntricas de centro O. Na maior, estão indicados os pontos A e B. Na menor estão indicados os pontos C e D de forma que o ponto C está no raio OA e o ponto D está no raio OB. O ângulo central COD está indicando com 110 graus.

10. Os pontos a, B, C e D de uma circunferência de centro O determinam os diâmetros

\overline{A C} e \overline{B D}

. Se medida de(A

\hat{O}

B) = 90graus, qual é a medida de abertura dos ângulos

C \hat{O} D, A \hat{O} D e B \hat{O} C ?

11. Para a gravação de um telejornal, uma emissora posicionou duas câmeras em pontos diferentes (A e B), conforme o esquema a seguir.

Esquema. Circunferência azul com centro A e com o ponto B indicado nela. Do ponto A está posicionada uma câmera de frente com a bancada dos 2 apresentadores em formato de arco com 80 graus. Do ponto B está outra câmera que tem ângulo de visão para a mesma bancada de forma que AB é um raio da circunferência.

•

Qual é a medida de abertura dos ângulos

\hat{A}

\hat{B}

, destacados na figura?

12. Calcule as medidas de x e y, em grau, em cada caso.

Figura geométrica. Circunferência azul de centro O com quadrilátero A, B, C e D inscrito de forma que os lados são cordas da circunferência. O ângulo interno no vértice A está indicado com medida x. O ângulo interno no vértice B está indicado com medida y. O Arco BC está indicado com 90 graus. O ângulo central COD está indicado com 70 graus. O Arco DA está indicado com 140 graus.

Figura geométrica. Circunferência azul com quadrado inscrito de forma que o diâmetro corresponde a uma das diagonais. Um ângulo do quadrado está indicado com medida x. Um ângulo entre o lado e a diagonal do quadrado está indicado com a letra y. Um arco entre dois vértices consecutivos do quadrado está indicado com 90 graus.

13.

Determine as medidas x e y, em grau, em cada caso, sabendo que óh é o centro das circunferências.

Figura geométrica. Circunferência alaranjada com centro O. Dois triângulos na região interna de forma que cada um tem dois vértices na circunferência e um vértice em comum diferente do centro. No triângulo de cima, os vértices que estão na circunferência tem os ângulos de 46 graus e y. No triângulo de baixo, o vértice que está na circunferência tem ângulo com medida x e o vértice comum tem ângulo de 80 graus. Os ângulos inscritos de medida 46 e o outro de medida x ambos determinam o mesmo arco.

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Para finalizar

faça as atividades no caderno

organize suas ideias

Observe e responda

Considere as seguintes imagens.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Ilustrações. À esquerda, quadrado com o texto, medida da área: 7 metros quadrados. À direita, cubo com o texto, medida do volume 27 metros cúbicos.

Fotografia. Instrumento de laboratório cinza e preto com conjunto de lentes para ampliar imagens de objetos muito pequenos. — Microscópio.

Fotografia. Montanhas na cor preta. Ao fundo, céu com lua cheia amarela e iluminada. Ao lado, texto em branco: medida da massa da Lua: 7 vírgula 349 vezes 10 elevado a 22 quilogramas. — Lua cheia vista do Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros, Alto Paraíso de Goiás (Goiás) em 2021.

Fotografia. Estádio de futebol com campo e arquibancada cinza em volta. O campo é verde, de grama, com as marcações em branco: retângulo demarcando o limite do campo de jogo; retângulos demarcando a região da área próxima a cada gol; circunferência central no meio do campo do jogo; linha vertical dividindo o campo em duas metades, passando por essa circunferência. — Vista aérea do estádio localizado em Itaquera, bairro de São Paulo (São Paulo). Foto de 2021.

Com base nas imagens e também no que você aprendeu nesta Unidade, faça o que se pede.

1. Que operação é necessário realizar para calcular a medida de comprimento do lado do quadrado e a medida de comprimento da aresta do cubo anterior? Calcule essas medidas.

2. A medida de comprimento do lado do quadrado, em metro, é um número irracional. Dê exemplos de outros números que pertencem ao conjunto dos números irracionais.

3. Escreva a medida da massa da Lua com todos os algarismos.

4. Que maneira de escrever a medida da massa da Lua você acha mais fácil? Justifique.

5. Em que situações é usada a representação em notação científica?

6. Na imagem do campo de futebol, qual é a posição relativa entre a circunferência central e a reta determinada pela linha de meio de campo?

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Registre

Para finalizar o estudo desta Unidade, faça o que se pede.

1. Que propriedades da potenciação você conhece? Explique-as com alguns exemplos.

2. Como representamos um número em notação científica?

3. Como podemos obter a raiz quadrada ou a raiz cúbica de um número? Exemplifique com expressões que contenham raízes.

4. Qual é a relação entre a medida de abertura de um ângulo inscrito em uma circunferência e a do ângulo central correspondente?

5. Na abertura desta Unidade, você respondeu a algumas questões no boxe “Para começarreticências”. Compare as respostas dadas àquelas questões com as respostas que você daria agora e escreva um texto explicando o que você aprendeu nesta Unidade.

Para conhecer mais

Do zero ao infinito (e além)

Tudo o que você sempre quis saber sobre matemática e tinha vergonha de perguntar

Mike Goldsmith

São Paulo: Benvirá, 2016.

Alguma vez você já se perguntou "por que preciso estudar Matemática?" ou "o que vou fazer com frações no dia a dia?". Esse livro fará com que você goste e, principalmente, entenda Matemática. Nele, o autor mostra como a Matemática afeta tudo ao nosso redor, do comportamento dos animais até a maneira como escutamos música. Prepare-se para desvendar os mistérios dessa ciência e descobrir a maravilha dos números. Descubra por que o zero é tão importante nas operações matemáticas, como a música, a matemática e o espaço estão conectados e até por que as abelhas fazem suas colmeias em formato de hexágono. Você vai achar incrível e divertido aprender Matemática!

Fotografia. Capa do livro, título: Do zero ao infinito abre parênteses e além fecha parênteses, autor Mike Goldsmith, na parte superior, escrito em amarelo com fundo preto. A letra O das palavras zero e infinito formam o símbolo do infinito. Abaixo, quadro preto com o texto em amarelo: Tudo o que você sempre quis saber sobre matemática e tinha vergonha de perguntar. Ao fundo, vários quadros em verde, preto e branco, com diferentes ilustrações relacionadas a matemática, como números, instrumentos, medidas.

Salvo pela Matemática

Sean Connolly

São Paulo: Coquetel, 2016.

Já imaginou o que aconteceria se você ficasse sem gasolina no meio do deserto ou se você tivesse de resgatar um prisioneiro usando apenas um lençol? E como você faria para escapar de uma lâmina afiada em um pêndulo? Nesse livro, você encontra 18 desafios, com cenários e personagens inusitados, que podem ser resolvidos com conhecimentos básicos de fração, geometria, padrões e, o melhor, usando a Matemática de fórma divertida.

Fotografia. Capa do livro na cor laranja, título nas cores amarelo, branco e verde: Salvo pela matemática, autor Sean Connolly, na parte superior, escrito em preto. Abaixo, dentro de um círculo preto com circunferência em branco, ilustração de um menino branco, cabelo preto, vestindo camiseta branca com estampa do símbolo do Pi. Segura, com a mão esquerda, uma ampulheta com areia na parte inferior e uma caveira em cima.