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CAPÍTULO 7 Equações do 2º grau

1 Equação do 2º grau com uma incógnita

Uma equação é uma sentença matemática com sinal de igualdade abre parênteses=fecha parênteses em que números desconhecidos são representados por letras, denominadas incógnitas. Você vai aprender a identificar e resolver qualquer equação do 2º grau com uma incógnita.

Acompanhe a situação a seguir.

Este é o tapete de retalhos que Juliana fez para seu quarto.

Ilustração. Tapete que Juliana costura na figura ao lado, formado por quadrados iguais, de diferentes cores e estampas. São 5 fileiras com 10 quadrados cada.

Ilustração. Quarto rosa com janela, cortina rosa, cama, prateleira, banco azul e planta. Na frente, Juliana, mulher branca, cabelo castanho ondulado, vestindo blusa roxa. Está costurando um tapete colorido com a mão direita, que está em uma mesa a sua frente. Ao lado do tecido, outros quadrados de tecido coloridos.

Para fazê-lo, Juliana costurou, uns nos outros, retalhos de tecidos de formato quadrado, todos com as mesmas dimensões. Sabendo que o tapete ficou com medida de área igual a .4050 centímetros quadrados, como podemos calcular a medida de comprimento do lado de cada retalho quadrado?

Se considerarmos que a medida de comprimento do lado de cada retalho é x, a medida da área de cada retalho será a medida de comprimento dêsse lado ao quadrado, ou seja, xelevado a 2.

Como o tapete é formado por 50 retalhos de mesmas dimensões e a medida da área do tapete é .4050 centímetros quadrados, temos:

50xelevado a 2 = .4050

50xelevado a 2 menos .4050 = 0

Uma maneira de calcular a medida de comprimento do lado de cada retalho é resolver essa equação.

A equação 50xelevado a 2 menos .4050 = 0 é um exemplo de equação do 2º grau com uma incógnita: a letra x.

Equações do 2º grau com apenas uma incógnita x são aquelas que podem ser escritas como uma equação equivalente da fórma axelevado a 2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Os números a, b e c são chamados coeficientes da equação do 2º grau.

Lembre-se: Escreva no caderno!

Para pensar

Quais são os coeficientes a, b e c da equação 50xelevado a 2 menos .4050 = 0?

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Equações dêsse tipo são chamadas de equações do 2º grau porque o maior grau do termo em x é 2.

Quando uma equação do 2º grau com uma incógnita, na fórma axelevado a 2

+ bx + c = 0, tem todos os coeficientes abre parêntesesa, b e cfecha parênteses diferentes de zero, dizemos que a equação é completa.

Observe alguns exemplos de equações do 2º grau completas.

Item A. Esquema. 3x ao quadrado mais 4x mais 1, igual 0. Fio azul no número 3 com cota para, a, é igual a 3. Fio azul no número 4 com cota para, b, é igual a 4. Fio azul no número 1 com cota para, c, é igual a 1.

Item B. Esquema. x ao quadrado mais 5x mais 2 vírgula 5, é igual a 0. Fio azul no x ao quadrado com cota para, a, é igual a 1. Fio azul no número 5 com cota para, b, é igual a 5. Fio azul no número 2 vírgula 5 com cota para, c, é igual a 2 vírgula 5.

Item C. Esquema. x ao quadrado menos 6x mais raiz quadrada de 5, é igual a 0. Fio azul no x ao quadrado com cota para, a, é igual a 1. Fio azul no número menos 6 com cota para, b, é igual a menos 6. Fio azul no número raiz quadrada de 5 com cota para, c, é igual a raiz quadrada de 5.

Quando, porém, b ou c ou os dois coeficientes são iguais a zero, dizemos que a equação é incompleta.

Agora, observe alguns exemplos de equações do 2º grau incompletas.

Item A. Esquema. x ao quadrado mais 16, é igual a 0. Fio azul no x ao quadrado com cota para, a, é igual a 1. Acima da cota, a igual a 1, está escrito b é igual a 0. Fio azul no número 16 com cota para, c, é igual a 16.

Item B. Esquema. Menos x ao quadrado mais 1vírgula 2x, é igual a 0. Fio azul no menos x ao quadrado com cota para, a, é igual a menos 1. Fio azul no número 1 vírgula 2 com cota para, b, é igual a 1 vírgula 2. Acima da cota, b é igual a 1 vírgula 2, está escrito c é igual a 0.

Item C. Esquema. 7x ao quadrado, é igual a 0. Fio azul no número 7 com cota para, a, é igual a 7. Acima da cota, a é igual a 7, está escrito b é igual a 0. Acima de, b é igual a 0, está escrito c é igual a 0.

Raízes de uma equação do 2º grau

A raiz de uma equação é um número que, ao substituir a incógnita, torna a sentença verdadeira.

Por exemplo, as raízes reais da equação xelevado a 2 menos 8x + 15 = 0 são 3 e 5, pois esses números tornam a sentença matemática verdadeira.

• Para x = 3, temos:

abre parênteses3fecha parênteseselevado a 2 menos 8 ⋅ abre parênteses3fecha parênteses + 15 = 0

9 menos 24 + 15 = 0

menos15 + 15 = 0 (sentença verdadeira)

Logo, 3 é raiz da equação.

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• Para x = 5, temos:

abre parênteses5)elevado a 2 menos 8 ⋅ abre parênteses5fecha parênteses + 15 = 0

25 menos 40 + 15 = 0

25 menos 25 = 0 (sentença verdadeira)

Logo, 5 é raiz da equação.

Nesse exemplo, a equação do 2º grau tem duas raízes reais distintas.

Para pensar

A equação xelevado a 2 + 16 = 0 tem raízes reais?

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. No caderno, indique as equações do 2º grau.

a) 2 menos x + 9x elevado a 2 = 0

b) xelevado a 4 menos 5xelevado a 2 + 4 = 0

c) abre parênteses2x menos 4fecha parênteseselevado a 2 = 4xelevado a 3 menos 2x

d) 6x menos 3 + xelevado a 2 = 1

2. Escreva a equação axelevado a 2 + bx + c = 0, para:

a) a = 3; b = menos2 e c = 1

b) a = menos1; b = 0 e c = 7

c) a =

\frac{1}{3}

; b = 6 e c = 0

3. Escreva as equações do 2º grau na fórma axelevado a 2 + bx + c = 0.

a) abre parênteses4 menos 3x)elevado a 2

= 64

b) abre parênteses2x menos 4fecha parênteseselevado a 2

= 2xabre parêntesesx menos 2fecha parênteses + 48

4. Os números ‒1 e 1 são raízes de quais destas equações?

xelevado a 2 menos 1 = 1

b) menosxelevado a 2 + 1 = 1

c) xelevado a 2 menos 1 = 0

d) menosx elevado a 2 + 1 = 0

Reúna-se com um colega e verifiquem quais das afirmações a seguir são verdadeiras. Copiem essas afirmações no caderno.

a) 3 é raiz da equação xelevado a 2

menos

\frac{1}{9}

= 0.

b) As equações 3xelevado a 2

menos 7xelevado a 2

menos 2xabre parêntesesx menos 5fecha parênteses + 23 = 5 e menos 6xelevado a 2

+ 10x + 18 = 0 são equivalentes.

c) O número 8 é raiz da equação xelevado a 2

menos 9x + 18 = 0.

d) As raízes da equação 6xelevado a 2

menos 5x + 1 = 0 são

\frac{1}{2} e \frac{1}{3}

e) Uma das raízes da equação

\frac{2 (x^{2} ‒ 1)}{3} = 6

é 7.

f) Se p = 0, a equação abre parêntesesp menos 1fecha parêntesesx elevado a 2 menos px menos 3 = 0 não é do 2º grau.

6. Determine os valores de m para que as equações de incógnita x a seguir não sejam do 2º grau.

a) abre parênteses2m menos 1fecha parêntesesxelevado a 2

+ mx + 15 = 0

(3 m + 1) x^{2} + 15 = 0

c) abre parêntesesm menos 1fecha parêntesesxelevado a 2

menos 2mx + m + 4 = 0

7. Sabendo que 2 é raiz da equação abre parênteses2p menos 1fecha parêntesesxelevado a 2

menos 2px menos 2 = 0, de incógnita x, calcule o valor de p.

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2 Resolução de uma equação do 2º grau incompleta

Quando axelevado a 2 + c = 0

Muitos problemas podem ser resolvidos por meio de uma equação do 2º grau. Vimos alguns deles no capítulo anterior, ao calcular as medidas de comprimento de lados ou outras dimensões em triângulos retângulos.

Vamos retomar a situação da página 173, relacionada à medida da área do tapete feito por Juliana. Nesse caso, para encontrar a medida de comprimento do lado de cada retalho devemos determinar o valor de x que satisfaz a equação 50xelevado a 2 menos .4050 = 0:

50xelevado a 2 menos .4050 = 0

50xelevado a 2 = .4050

xelevado a 2 = 81

Para resolver essa equação, temos de encontrar os números que, quando elevados ao quadrado, resultem no número 81.

Logo:

ou x = +9, pois: abre parênteses+9fecha parênteseselevado a 2 = 81

ou x = menos9, pois: abre parêntesesmenos9fecha parênteseselevado a 2 = 81

No entanto, não podemos nos esquecer de que essa equação foi gerada de uma situação na qual x representa a medida de comprimento do lado de um quadrado; portanto, esse número não pode ser negativo. Assim, a equação 50xelevado a 2 menos .4050 = 0 tem duas raízes, x = +9 e x = menos9, mas a situação apresentada tem apenas uma solução: o lado de cada retalho mede 9 centímetros de comprimento.

Observe alguns exemplos de como podemos resolver outras equações do tipo axelevado a 2 + bx + c = 0, em que a ≠ 0 e b = 0.

a) Vamos resolver a equação xelevado a 2 menos 25 = 0 no conjunto

Esquema. x ao quadrado menos 25 é igual a 0. Abaixo, x ao quadrado menos 25 mais 25, é igual a 0 mais 25. Fio azul com cota para, adicionamos 25 a ambos os membros da equação. Abaixo, x ao quadrado, é igual a 25. Abaixo, x, é igual a menos 5 ou x, é igual a mais 5. Fio azul com cota para, encontramos os números que, elevados ao quadrado, resultam em 25.

Logo, as raízes reais da equação são menos5 e 5.

b) Vamos resolver a equação 5xelevado a 2 + 7 = menos3 no conjunto

Esquema. 5x ao quadrado mais 7 é igual a menos 3. Abaixo, 5x ao quadrado mais 7 menos 7, é igual a menos 3 menos 7. Fio azul com cota para, subtraímos 7 de ambos os membros da equação. Abaixo, 5x ao quadrado, é igual a menos 10. Abaixo, fração 5x ao quadrado sobre 5, é igual a fração, menos 10 sobre 5. Fio azul com cota para, dividimos os dois membros por 5. Abaixo, x ao quadrado, é igual a menos 2. Fio azul com cota para, procuramos os números que, elevados ao quadrado, resultam em menos 2.

Como não existe, no conjunto

, um número que elevado ao quadrado resulte em um número negativo, não existe número real x que seja raiz da equação 5xelevado a 2 + 7 = menos3.

Logo, a equação não tem raízes reais.

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Para pensar

Converse com um colega para responder às questões.

• O que podemos afirmar sobre as raízes de uma equação do tipo axelevado a 2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 e b = 0?

• O que podemos afirmar sobre as raízes de uma equação do tipo axelevado a 2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, b = 0 e c = 0?

Quando axelevado a 2 + bx = 0

Vamos ver como resolver equações do tipo axelevado a 2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0.

Considere os exemplos a seguir.

a) Vamos resolver a equação xelevado a 2 + 6x = 0 no conjunto

Esquema. x ao quadrado mais 6x, é igual a 0. Abaixo, x vezes, abre parênteses, x mais 6, fecha parênteses, é igual a 0. Fio azul com cota para, colocamos x em evidência.

Como o produto dos fatores x e abre parêntesesx + 6fecha parênteses é zero, pelo menos um desses fatores é zero. Assim:

x = 0 ou abre parêntesesx + 6fecha parênteses = 0

Resolvendo a equação x + 6 = 0:

Sentença matemática. x mais 6, é igual a 0. Abaixo, x, é igual a menos 6. Fio azul com cota para, subtraímos 6 de ambos os membros da equação.

Logo, as raízes reais da equação são 0 e menos6.

b) Vamos determinar as raízes da equação menos3xelevado a 2 menos 16x = 0 no conjunto

Esquema. Menos 3x ao quadrado menos 16x, é igual a 0. Fio azul com cota para, colocamos x em evidência.

x ⋅ (‒3x menos 16fecha parênteses = 0

Como o produto dos fatores x e abre parêntesesmenos3x menos 16fecha parênteses é zero, pelo menos um desses fatores é zero. Assim:

x = 0 ou (‒3x menos 16fecha parênteses = 0

Resolvendo a equação menos3x menos 16 = 0:

Esquema. Menos 3x menos 16, é igual a 0.
Abaixo, 3x mais 16, é igual a 0. Fio azul com cota para, multiplicamos ambos os membros da equação por menos 1.
Abaixo, 3x, é igual a menos 16. Fio azul com cota para, subtraímos 16 dos dois membros.
Abaixo, x, é igual a, fração menos 16 terços. Fio azul com cota para, dividimos ambos os membros por 3.

Logo, as raízes reais da equação são 0 e

‒ \frac{16}{3}

Para pensar

Com um colega, investiguem o que se pode afirmar sobre as raízes de uma equação do tipo axelevado a 2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

1. Considere os quadrados a seguir para resolver as questões.

Figura geométrica. À direita, quadro com a numeração romana 1. À esquerda, quadrado verde com medida do lado x. Legenda abaixo em preto: medida da área: 625 centímetros quadrados.

Figura geométrica. À direita, quadro com numeração romana 2. À esquerda, quadrado laranja com medida do lado x. Legenda abaixo em preto: medida da área: 1 mil centímetros quadrados.

Figura geométrica. À direita, quadro com a numeração romana 3. À esquerda, quadrado roxo com linha tracejada na parte superior no comprimento, com indicação na largura com 1 centímetro e linha tracejada na largura da parte direita do quadrado, com indicação da medida da largura da linha tracejada até e o comprimento da parte inferior do quadrado x. Legenda abaixo em preto: medida da área total: 400 centímetros quadrados.

Figura geométrica. À direita, quadro com a numeração romana 4. À esquerda, quadrado amarelo com linha tracejada na parte inferior no comprimento, com indicação na largura com 2 centímetros e linha tracejada na largura da parte esquerda do quadrado, com indicação da medida da largura, da linha tracejada até e o comprimento da parte superior do quadrado x. Legenda abaixo em preto: medida da área total: 900 centímetros quadrados.

a) Escreva a equação que relaciona a medida de comprimento do lado de cada quadrado à sua medida de área.

b) Encontre as medidas de comprimento de x que satisfazem cada uma das equações.

2. Para fazer um pomar em sua chácara, Flávio preparou uma superfície quadrada cuja medida da área é igual a 121 métros².

Qual é a medida de comprimento do lado dêsse pomar?

3. Monte uma equação que relacione as medidas de comprimento dos lados do retângulo à sua medida de área.

Figura geométrica. Retângulo na cor azul, com texto dentro: medida da área 28 metros quadrados. A medida do comprimento do retângulo é 7 vezes x. A medida da largura é x.

• Agora, determine a medida de comprimento de x.

4. Encontre o valor do número real x em cada caso.

a) O quadrado de x é igual a 16.

b) O dobro do quadrado de x é igual a 8.

c) A soma do quadrado de x com 9 é igual a zero.

d) O quadrado de x é igual ao triplo de x.

e) A diferença entre o quadrado de x e 4, nessa ordem, é igual a 5.

5. Joaquim comprou um terreno de formato quadrado que mede 289 métros quadrados em um condomínio fechado.

De acôrdo com as regras do condomínio, cada proprietário é responsável pelo revestimento da calçada de seu terreno. Qual será a medida de comprimento da calçada que Joaquim deverá revestir, se o terreno não está situado em uma esquina?

Ilustração. Ao fundo, duas casas amarelas. À frente, Joaquim, um homem branco, vestindo camiseta branca e calça azul, está ajoelhado no chão, com a mão direita apoiada e a mão esquerda segurando um martelo de borracha. Uma parte do chão está com quadrados rosas e, ao lado de Joaquim, uma pilha do revestimento rosa que está sendo aplicado. Ao lado, um balde cinza com massa cinza e uma desempenadeira de aço.

6. Escreva no caderno apenas a(s) afirmação(ões) verdadeira(s)

a) Se uma equação do 2º grau tem coeficientes b ≠ 0 e c = 0, uma das soluções é zero.

b) Se uma equação do 2º grau tem coeficientes b = c = 0, uma das soluções é diferente de zero.

c) Toda equação do 2º grau que tem coeficientes b = 0 e c ≠ 0 tem duas soluções reais.

7. Qual é o número positivo cujo quadrado é igual a 200% de seu valor?

8. Observe a seguir o esquema que representa uma superfície que mede 4 métros quadrados de área e responda à questão.

Ilustração. Uma superfície quadrada de lado x, com 6 faixas de cerâmicas azuis quadradas na vertical e na horizontal. Entre a primeira e a segunda faixas e entre a quinta e a sexta faixas de cerâmicas verticais, uma faixa cinza na vertical.
Entre a primeira e a segunda faixas e entre a quinta e a sexta faixas de cerâmicas horizontais, uma faixa cinza na horizontal.

• Qual é a medida de comprimento do lado de cada peça de cerâmica de fórma quadrada, se as faixas cinza entre as peças medem 10 centímetros de largura e não será preciso cortar nenhuma peça para preencher a superfície?

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3 Resolução de uma equação do 2º grau completa

Nas páginas anteriores, vimos a resolução de equações do 2º grau incompletas, ou seja, de equações do tipo axelevado a 2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 e b ou c ou os dois coeficientes iguais a zero.

Agora, vamos estudar como resolver equações do 2º grau completas, ou seja, aquelas em que todos os coeficientes são diferentes de zero.

Quando o primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito

Observe alguns exemplos de resolução de equações do 2º grau completas por meio da fatoração de trinômios quadrados perfeitos.

Recorde

• A fórma fatorada de aelevado a 2

+ 2ab + belevado a 2

é abre parêntesesa + bfecha parênteseselevado a 2

• A fórma fatorada de aelevado a 2

menos 2ab + belevado a 2

é abre parêntesesa menos b)²

Lembre-se: Escreva no caderno!

a) Vamos determinar as raízes reais da equação xelevado a 2 menos 4x + 4 = 0.

Esquema. x ao quadrado menos 4x mais 4, é igual a 0. Fio azul em x ao quadrado menos 4x mais 4 com cota para, trinômio quadrado perfeito. Abaixo, x ao quadrado menos 2 vezes x vezes 2 mais 2 ao quadrado, é igual a 0. Com seta azul, de x ao quadrado indicando x ao quadrado, fio azul de 4x para 2 vezes x vezes 2 e seta azul de 4 indicando 2 ao quadrado. Abaixo, abre parênteses, x menos 2, fecha parênteses, ao quadrado, é igual a 0. Com fio azul em, abre parênteses, x menos 2, fecha parênteses, ao quadrado, com cota para forma fatorada do trinômio. Abaixo, abre parênteses, x menos 2, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, x menos 2, fecha parênteses, é igual a 0. Sentença matemática. Abre parênteses, x menos 2, fecha parênteses, é igual a 0. Abaixo, x é igual a 2.

Logo, a equação tem duas raízes reais iguais a 2.

b) Vamos determinar as raízes da equação 4xelevado a 2

+ 12x = menos9 no conjunto

Esquema. 4x ao quadrado mais 12x, é igual a menos 9. Abaixo, 4x ao quadrado mais 12x mais 9, é igual a 0. Fio azul em 4x ao quadrado mais 12x mais 9 com cota para, trinômio quadrado perfeito. Abaixo, abre parênteses, 2x, fecha parênteses, ao quadrado mais 2 vezes 2x vezes 3 mais 3 ao quadrado, é igual a 0. Com seta azul, de 4x ao quadrado indicando, abre parênteses, 2x, fecha parênteses, ao quadrado, fio azul de 12x para 2 vezes 2x vezes 3 e seta azul do número 9 indicando 3 ao quadrado. Abaixo, abre parênteses, 2x mais 3, fecha parênteses, ao quadrado, é igual a 0. Com fio azul em, abre parênteses, 2x mais 3, fecha parênteses, ao quadrado com cota para, forma fatorada do trinômio. Abaixo, abre parênteses, 2x mais 3, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, 2x mais 3, fecha parênteses, é igual a 0. Sentença matemática. Abre parênteses, 2x mais 3, fecha parênteses, é igual a 0. Abaixo, 2x, igual a menos 3. Abaixo, x, é igual a fração menos 3 meios. Sentença matemática. Fração menos 3 meios.

Logo, a equação tem duas raízes reais iguais a

‒ \frac{3}{2}

Para pensar

Com um colega, respondam à questão: o que podemos afirmar sobre as raízes de uma equação do tipo axelevado a 2 + bx + c = 0, com todos os coeficientes diferentes de zero, sendo axelevado a 2 + bx + c um trinômio quadrado perfeito?

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Quando o primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito

No livro Al-jabr Wa’l muqabalah, ál rauárizimi utilizou um método geométrico para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau.

Fotografia. Folha bege, com aspecto antigo. As bordas tem desenho de um arabesco preto. Dentro, texto em preto e vermelho, em árabe. — Página do livro Al-jabr Wa’l muqabalah, escrito por Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi, matemático árabe do século nove.

ál rauárizimi procurava traçar uma figura cuja medida de área representasse o primeiro membro da equação. Depois, completava a figura para formar um quadrado.

Observe os passos para resolver a equação xelevado a 2 + 12x = 85 por esse método.

1º) x2 era interpretado como a medida da área de um quadrado com lado de medida de comprimento x.

Figura geométrica. Quadrado amarelo com medida do lado x. Legenda ao lado: medida da área do quadrado: x elevado a 2. — medida da área do quadrado: xelevado a 2

2º) 12x era interpretado como a medida da área de quatro retângulos com medida de área igual a 3x cada um, dispostos em volta do quadrado.

Figura geométrica. Mesmo quadrado da figura anterior, de lado x, com um retângulo vermelho, coincidindo com cada um dos seus lados com medida da largura 3. Legenda ao lado: medida da área da figura: x ao quadrado mais 12x, é igual a 85. Fio azul na equação com cota para, equação inicial. Fio azul no x ao quadrado com cota para, medida da área do quadrado. Fio azul no 12x com cota para, medida da área dos quatro retângulos vermelhos.

3º) A figura anterior era completada com quatro quadradinhos de lados medindo 3 de comprimento, para formar um novo quadrado, aumentando a medida da área em 4 ⋅ 3elevado a 2.

Figura geométrica. Mesma figura anterior, quadrado de lado x, com um retângulo vermelho, coincidindo com cada um dos seus lados com medida da largura 3 e 4 quadrados azuis nos quatro cantos formados pelos retângulos com medida do lado 3. Os quadrados e retângulos formaram um novo quadrado com medida de lado x mais 6. Legenda ao lado: medida do lado do quadrado: x mais 6. Abaixo, medida da área: x ao quadrado mais 12x mais 36. Fio azul em x ao quadrado mais 12x com cota para, 85. Fio azul no número 36 com cota para, medida da área dos quatro quadrados azuis.

4º) A medida de comprimento de x era, então, calculada por meio da equação que indicava o cálculo da medida da área do quadrado com lado de medida de comprimento x + 6.

Sentença matemática. Abre parênteses, x mais 6, fecha parênteses, ao quadrado, igual a, x ao quadrado mais 12x mais 36. Abaixo, abre parênteses, x mais 6, fecha parênteses, ao quadrado, igual a 85 mais 36. Com fio azul de x ao quadrado mais 12x, indicando 85. Abaixo, abre parênteses, x mais 6, fecha parênteses, ao quadrado, igual a 121. Abaixo, x mais 6, igual a 11. Abaixo, x é igual a 5.

ál rauárizimi concluía que 5 era uma solução real da equação xelevado a 2 + 12x = 85.

Para pensar

Pelo método de al-Khwarizmi, a equação xelevado a 2 + 12x = 85 tem solução 5. Na sua opinião, existe outro valor de x que satisfaça essa equação? Se sim, encontre esse valor.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Observe, agora, outras resoluções de equações do 2º grau usando o método de completar quadrados.

a) Vamos determinar as raízes reais da equação xelevado a 2 + 14x = 32.

Sentença matemática. x ao quadrado mais 14x é igual a 32. Abaixo, x ao quadrado mais 14x mais 49, é igual a 32 mais 49. Com destaque em azul para o sinais de adição e para os números 49, com fio azul e cota para, adicionamos 49 a ambos os membros da equação para obter um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro. Abaixo, x ao quadrado mais 14x mais 49, é igual a 81. Abaixo, x ao quadrado mais 2 vezes x vezes 7 mais 7 ao quadrado, é igual a 81. Com seta azul de x ao quadrado indicando x ao quadrado, fio azul de 14x para 2 vezes x vezes 7 e seta azul de 49, indicando 7 ao quadrado. Abaixo, Abre parênteses, x mais 7, fecha parênteses, ao quadrado, é igual a 81. Abaixo, x mais 7, é igual a menos raiz quadrada de 81 ou x mais 7, é igual a mais raiz quadrada de 81. Abaixo, x mais 7, é igual a menos 9 ou x mais 7, é igual a 9.

Para x + 7 = menos9, temos x = menos16.

Para x + 7 = 9, temos x = 2.

Logo, menos16 e 2 são as raízes reais da equação.

Clique no play e acompanhe as informações do vídeo.

Observação

Pelo método de al-Khwarizmi, uma figura com medida de área igual a xelevado a 2 + 14x é:

Figura geométrica. Figura composta por: 1 quadrado verde de lado x, à direita junto a ele 1 retângulo roxo com comprimento 7 e largura x, e abaixo do quadrado verde outro retângulo roxo com o comprimento x e largura 7.

Para completar o quadrado maior, acrescenta-se outro quadrado, com medida de comprimento de lado igual a 7.

Figura geométrica. Mesma figura anterior composta por: 1 quadrado verde de lado x, à direita junto a ele 1 retângulo roxo com comprimento 7 e largura x, e abaixo do quadrado verde outro retângulo roxo com o comprimento x e largura 7, e entre os retângulos, no canto inferior direito, um quadrado azul com medida de lado 7.
Legenda ao lado: 7 ao quadrado, é igual a 49, medida do quadrado da área azul:

Por isso, ao adicionar 49 a ambos os membros da equação xelevado a 2 + 14x = 32, obtemos um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro.

b) Vamos resolver, agora, a equação xelevado a 2 menos 6x + 5 = 0 no conjunto

xelevado a 2 menos 6x + 5 = 0

xelevado a 2 menos 6x = menos5

Observe que menos 6x = menos2 ⋅ x ⋅ 3. Então, adicionamos 3elevado a 2 a ambos os membros da equação para obter um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro.

Sentença matemática. x ao quadrado menos 6x mais 9 é igual a menos 5 mais 9. Com destaque em azul para o sinais de adição e para os números 9 de cada membro da igualdade. Abaixo, x ao quadrado menos 6x mais 9, é igual a 4. Abaixo, x ao quadrado menos 2 vezes x vezes 3 mais 3 ao quadrado, é igual a 4. Com seta azul de x quadrado, indicando x ao quadrado, fio azul de 6x para 2 vezes x vezes 3 e seta azul do número 9, indicando 3 ao quadrado. Abaixo, abre parênteses, x menos 3, fecha parênteses, ao quadrado, é igual a 4. Abaixo, x menos 3, é igual a menos raiz quadrada de 4 ou x menos 3, é igual a mais raiz quadrada de 4. Abaixo, x menos 3, é igual a menos 2 ou x menos 3, é igual a 2.

Para x menos 3 = menos2, temos x = 1.

Para x menos 3 = 2, temos x = 5.

Logo, as raízes reais da equação são 1 e 5.

Página 182

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Resolva as equações, no conjunto dos números reais, pelo método de completar quadrados.

a) 4xelevado a 2

+ 8x + 3 = 0

b) xelevado a 2

menos 2x menos 3 = 0

c) 5 + 6x = menosxelevado a 2

d) 9xelevado a 2

menos 3x =

‒ \frac{5}{36}

2. Três vezes o quadrado de um número, adicionado a 3, resulta em seis vezes esse número. Qual é o número?

3. Um quadrado tem lados de medida de comprimento x e um retângulo tem lados de medidas de comprimento

\frac{x}{2}

e 8. A soma da medida da área do quadrado com 4 é igual à medida da área do retângulo. Quanto mede x?

Fórmula de resolução de uma equação do 2º grau

Aproximadamente na mesma época em que os árabes – entre eles ál rauárizimi – estudavam equações, os matemáticos indianos também se interessavam pela equação do 2º grau.

A Índia teve muitos matemáticos, e um dos mais importantes foi báscara (que viveu de 1114 até cêrca de 1185). Em sua obra mais conhecida, Lilavati, ele apresenta muitos problemas que são resolvidos por equações do 2º grau.

Naquele tempo, os indianos não usavam as fórmulas que conhecemos hoje, mas seu processo de resolução de equações do 2º grau, embasado em regras, aproxima-se dos procedimentos atuais.

Vamos agora generalizar o método de completar quadrados obtendo uma fórmula para resolver equações do 2º grau.

Consideremos a equação do 2º grau xelevado a 2

+ bx + c = 0 de coeficientes reais a, b e c, com a ≠ 0.

Ilustração. Mulher branca e ruiva, com cabelo preso, vestindo blusa rosa e jaleco branco.
Balão de fala com o texto: Primeiro, adicionamos o menos c a ambos os membros da equação.
Ilustração. Quadro de giz verde com sentença matemática.
a vezes x elevado a 2 mais b vezes x mais c menos c igual 0 menos c. Com destaque em amarelo para o sinal de subtração e a letra c de cada membro da igualdade.
Abaixo, a vezes x elevado a 2 mais b vezes x, é igual a, menos c.

Ilustração. Mesma mulher da ilustração anterior, com a mão direita para trás e a esquerda espalmada para cima, mostrando o quadro. Balão de fala com o texto: Em seguida, multiplicamos os dois membros por 4 vezes a. Ilustração. Quadro de giz verde com sentença matemática. Abre parênteses a vezes x elevado a 2 mais b vezes x fecha parênteses vezes 4 vezes a igual menos c vezes 4 vezes a. Com destaque em amarelo para o sinal de multiplicação e 4a de cada membro da igualdade. Abaixo, 4 vezes a elevado a 2 vezes x elevado a 2 mais 4 vezes a vezes b vezes x igual menos 4 vezes a vezes c.

Ilustração. Mesma mulher da ilustração anterior, com a mão direita espalmada para frente e a esquerda fechada, apenas com o indicador apontando o quadro. Balão de fala com o texto: Adicionamos b elevado a 2 a ambos os membros e depois fatoramos o primeiro membro. Ilustração. Quadro de giz com sentença matemática. 4 vezes a elevado a 2 vezes x elevado a 2 mais 4 vezes a vezes b vezes x mais b elevado a 2 igual menos 4 vezes a vezes c mais b elevado a 2. Com destaque em amarelo para o sinal de adição e b elevado a 2 de cada membro da igualdade. Abaixo, 4 vezes a elevado a 2 vezes x elevado a 2 mais 4 vezes a vezes b vezes x mais b elevado a 2 igual b elevado a 2 menos 4 vezes a vezes c, abaixo, abre parênteses 2 vezes a vezes x mais b fecha parênteses elevado a 2 igual b elevado a 2 menos 4 vezes a vezes c.

Ilustração. Mesma mulher da ilustração anterior, com a mão direita espalmada para frente e a esquerda espalmada para cima em direção ao quadro. Balão de fala com o texto: Por fim, isolamos x. Ilustração. Quadro de giz verde com sentença matemática. 2 vezes a vezes x mais b igual mais ou menos raiz com índice 2 e radicando b elevado a 2 menos 4 vezes a vezes c. Abaixo, x igual fração menos b mais ou menos raiz com índice 2 e radicando b elevado a 2 menos 4 vezes a vezes c sobre 2 vezes a.

Página 183

A expressão belevado a 2

menos 4ac é chamada discriminante da equação e podemos representá-la pela letra grega Δ (delta).

Assim, obtemos a seguinte fórmula:

x = \frac{‒ b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

Com essa fórmula resolutiva de equações do 2º grau, também conhecida por fórmula de báscara, podemos calcular o valor da incógnita com base nos coeficientes a, b e c da equação.

Assim, concluímos que:

As raízes da equação do 2º grau axelevado a 2

+ bx + c = 0 são

x_{1} = \frac{‒ b ‒ \sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

, com Δ = belevado a 2

menos 4ac.

Observe, por exemplo, como encontrar as raízes reais da equação 3xelevado a 2

menos 10x + 3 = 0 usando a fórmula resolutiva.

Inicialmente, identificamos os coeficientes da equação.

Esquema. 3x ao quadrado menos 10x mais 3, é igual a 0. Com seta azul do número 3 indicando que a é igual, 3. Seta azul no número menos 10 indicando que b, é igual, menos 10. Seta azul do número 3 indicando que c, é igual a 3.

Depois, calculamos o valor do discriminante.

Δ = belevado a 2

menos 4ac = abre parêntesesmenos10)²

menos 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 100 menos 36 = 64

Em seguida, aplicamos a fórmula resolutiva de equações do 2º grau e obtemos as raízes reais da equação.

Esquema. x, igual fração menos b mais ou menos raiz quadrada de delta sobre 2a, igual, fração numerador: menos, abre parênteses, menos 10, fecha parênteses, mais ou menos raiz quadrada de 64 sobre denominador: 2 vezes 3, igual, fração 10 mais ou menos 8 sobre 6. A partir da fração há dois fios azuis, um à direita e acima, para x subscrito 1, igual fração 10 menos 8 sobre 6, é igual, fração 1 terço. E o outro fio azul, à direita e abaixo, para x subscrito 2, igual a, fração 10 mais 8 sobre 6, é igual, 3.

Portanto, as raízes reais da equação são

\frac{1}{3}

e 3.

Lembre-se: Escreva no caderno!

Para pensar

Junte-se a um colega e analisem a quantidade de raízes reais de uma equação do 2º grau quando o discriminante é igual a zero e quando o discriminante é menor que zero. A que conclusões vocês chegaram?

Página 184

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. O retângulo e o quadrado a seguir têm a mesma medida de área.

Figura geométrica. Retângulo roxo, com medida do comprimento x mais 8 e medida do comprimento da largura 4. Figura geométrica. Quadrado amarelo, com medida de comprimento x.

a) Qual é a medida do comprimento do lado do quadrado?

b) Qual é a medida do comprimento do retângulo?

2. Osvaldo decidiu construir um galinheiro de formato retangular com medida de área de 32 métros quadrados

Fotografia. Galinheiro. Várias galinhas de diferentes cores dentro de um espaço fechado com tela de arame.

• Sabendo que um dos lados do galinheiro mede 4 metros de comprimento a mais que o outro lado, quantos metros de tela ele deverá comprar para cercar todo o galinheiro? (Considere a medida do perímetro.)

3. Chico construiu um campinho de futebol em um terreno com medida de área igual a 224 métros quadrados

. Para evitar que a bola vá parar longe do campo, ele cercará o terreno com tela.

Ilustração. Campo de futebol na cor verde, com marcações das áreas do campo na cor branca.
A medida do comprimento do campo de futebol é x mais 1. A medida da largura é x menos 1.

a) Quais são as dimensões dêsse terreno?

b) Qual é a medida do comprimento da tela que Chico deverá comprar para cercar o terreno?

4. Fernanda montou um quebra-cabeça que mede .1200 centímetros quadrados de área e pretende fazer um quadro com ele. Para isso, ela comprou uma placa de compensado na qual vai colar o quebra-cabeça. As dimensões da placa de compensado são tais que seu comprimento mede 40 centímetros a mais que a largura. Sabendo que o quebra-cabeça montado ocupou toda a área da placa, determine as dimensões desse quebra-cabeça.

Fotografia. Em cima de mesa de madeira, quebra-cabeça incompleto, formando o desenho de um gato alaranjado com fundo de uma fachada de casa azul.
Do lado esquerdo, mão branca, segurando uma peça que está sendo encaixada em outra.

5. Em certa cidade, há um terreno de formato retangular que mede 80 métros quadrados de área, em que um lado mede 2 métros de comprimento a mais que o outro. A prefeita da cidade pretende construir uma praça nesse terreno, fazendo ainda duas passarelas perpendiculares que dividirão a praça em quatro regiões retangulares congruentes. Qual será a medida da área ocupada por essas passarelas se elas medirem 2 métros de largura?

Leia o texto e resolva a equação com incógnita x.

Você sabia que uma equação do 2º grau também serve para mandar mensagens de amor? Tente resolvê-la.

xelevado a 2

menos 2amox + aelevado a 2

melevado a 2oelevado a 2 menos televado a 2

eelevado a 2 = 0

IMENES, L. M.; JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. C. Equação de 2º grau. São Paulo: Atual, 2004. (Coleção Pra que serve Matemática?)

Ilustração. Uma mulher branca, cabelo castanho liso, vestindo camisa verde com gola rosa, está de mãos dadas com um homem branco, loiro, vestindo camiseta listada azul escuro e azul claro. Em volta dos dois, corações de diferentes tamanhos, na cor rosa.

Página 185

Análise das raízes de uma equação do 2º grau

Como já vimos, um número real é raiz da equação do 2º grau axelevado a 2

+ bx + c = 0, com a ≠ 0, quando, ao substituir a incógnita x por esse número, obtemos uma sentença verdadeira.

Também vimos que a fórmula resolutiva de equações do 2º grau permite calcular as raízes da equação com base nos coeficientes a, b e c.

Analisando essa fórmula, podemos verificar se uma equação tem ou não raízes reais e obter uma relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2º grau, o que pode nos auxiliar na resolução de alguns problemas.

• Se Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes.

Sentença matemática. x, igual a fração menos b mais ou menos raiz quadrada de delta tudo sobre 2a. A partir da fração há dois fios azuis, um à direita e acima, para, x subscrito 1, igual a fração menos b mais raiz quadrada de delta tudo sobre 2a. E outro fio azul, à direita e abaixo, para x subscrito 2, igual a, fração menos b menos raiz quadrada de delta tudo sobre 2a.

• Se Δ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais.

x = \frac{‒ b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{‒ b \pm \sqrt{0}}{2 a} = \frac{‒ b \pm 0}{2 a} = \frac{‒ b}{2 a}

Nesse caso, temos:

x_{1} = x_{2} = \frac{‒ b}{2 a}

• Se Δ < 0, a equação não tem raízes reais.

Nesse caso,

\sqrt{Δ}

não é um número real, pois qualquer número real elevado ao quadrado é um número positivo ou nulo.

Dizemos, então, que a equação não tem raízes reais.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Determine o valor de k para que a equação menosxelevado a 2 + 4x menos 2k = 0 não tenha raízes reais.

2. Sabendo que a equação xelevado a 2 menos 2x + abre parêntesesm + 1fecha parênteses = 0 tem duas raízes reais iguais, responda: qual é o valor de m?

3. Determine o valor de p para que a equação 2xelevado a 2

menos x + p = 0 tenha duas raízes reais distintas.

4. Determine o valor de k para que a equação

\sqrt{3} x^{2} ‒ k x + \sqrt{3} = 0

tenha duas raízes reais iguais.

5. Considere a equação abre parêntesesax + b)elevado a 2

= c, com a ≠ 0, e responda às questões no caderno.

a) Que valor deve assumir c para que essa equação tenha solução real?

b) Qual é a solução da equação quando c = 0?

6. Sabendo que a equação do 2º grau menos 4xelevado a 2 + mx menos 10 = 0 tem duas raízes reais iguais, determine m.

7. Determine k na equação xelevado a 2 + 5x menos 3k = 0 sabendo que ela tem duas raízes reais distintas.

Página 186

4 Sistema de equações do 2º grau

Você vai estudar sistemas que recaem em uma equação do 2º grau e sistemas de equações do 2º grau.

Vamos analisar algumas situações.

Situação 1

Mariana contornou com 500 métros de tela um terreno retangular com medida de área de .10000 métros quadrados. Quais são as medidas de comprimento dos lados do terreno?

Vamos considerar que o comprimento dos lados do terreno medem x e y.

Ilustração. Terreno retangular com grama e árvores, com quatro lagos. Em volta, vários animais, como bois e vacas. A medida do comprimento do terreno é y. A medida da largura é x.

Com os dados do problema, podemos escrever duas equações com as incógnitas x e y.

• Medida do perímetro: 2x + 2y = 500

• Medida da área: x ⋅ y = .10000

Para encontrar as medidas de comprimento dos lados do terreno, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações:

\{\begin{cases} 2 x + 2 y = 500 (I) \\ x \cdot y = 10 000 (II) \end{cases}

Primeiro, isolamos x na equação um.

Sentenças matemáticas. 2x mais 2y é igual a 500.
Abaixo, x mais y é igual a 250.
Abaixo, x é igual a 250 menos y.

Depois, substituímos x por 250 menos y na equação dois.

Sentenças matemáticas. Abre parênteses, 250 menos y, fecha parênteses, vezes y, é igual a, 10 mil.
Abaixo, 250y menos y ao quadrado, é igual a 10 mil.
Abaixo, y ao quadrado menos 250y mais 10 mil, é igual a 0.

Resolvemos, então, a equação do 2º grau.

Δ = belevado a 2

menos 4ac = abre parêntesesmenos250fecha parênteseselevado a 2

menos 4 ⋅ 1 ⋅ .10000

Δ = .62500 menos .40000 = .22500

y = \frac{‒ b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{‒ (‒ 250) \pm \sqrt{22 500}}{2 \cdot 1}

Ilustração. Homem negro, cabelo e barba grisalhos, vestindo camisa verde, gravata vermelha, calça azul e sapato marrom. Está com as mãos levantadas na altura do peito. Balão de fala com o texto: O sistema foi resolvido pelo método de substituição, que consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir na outra equação a expressão obtida.

Página 187

Continuação da página anterior. y igual a, fração 250 mais ou menos 150 sobre 2. A partir da fração há dois fios azuis, um à direita e acima, para y subscrito 1, igual a fração 250 menos 150 sobre 2, é igual a, 50. E o outro fio azul, à direita e abaixo, para y subscrito 2, igual a, fração 250 mais 150 sobre 2, é igual a, 200.

Substituímos os valores de y em x = 250 ‒ y.

• Para yíndice 1 = 50, temos:

xíndice 1

= 250 menos 50 = 200

• Para yíndice 2

= 200, temos:

xíndice 2

= 250 menos 200 = 50

Portanto, temos como soluções do sistema os pares ordenados abre parêntesesx, yfecha parênteses: abre parênteses200, 50fecha parênteses e abre parênteses50, 200fecha parênteses.

Ou seja, as medidas de comprimento dos lados do terreno são 50 métros e 200 métros.

Para pensar

E se, para resolver esse sistema, tivéssemos optado por isolar y na segunda equação e depois substituir na expressão obtida na primeira equação? Chegaríamos ao mesmo resultado?

Lembre-se: Escreva no caderno!

Situação 2

A soma dos quadrados de dois números positivos é igual a 41, e a diferença entre o quadrado de um deles e 11, nessa ordem, é igual ao outro número. Quais são esses números?

Para resolver o problema, temos de expressar algebricamente as sentenças apresentadas no enunciado.

• “A soma dos quadrados de dois números positivos é igual a 41.”

xelevado a 2 + yelevado a 2 = 41

• “A diferença entre o quadrado de um deles e 11 é igual ao outro número.”

xelevado a 2 menos 11 = y

Assim, obtemos o seguinte sistema de equações:

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 41 (I) \\ x^{2} - 11 = y (II) \end{cases}

Multiplicando ambos os membros da equação dois por menos1, temos:

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 41 \\ {‒ x}^{2} + 11 = ‒ y \end{cases}

Agora, vamos resolver o sistema pelo método da adição.

Sentença matemática. Resolvendo o sistema de equações do segundo grau. Na primeira linha, x ao quadrado mais y ao quadrado, é igual a 41. Abaixo, à esquerda, sinal de adição, à direita, menos x ao quadrado mais 11, é igual a menos y, alinhado com a primeira linha. Risco azul em x ao quadrado da primeira linha, e no menos x ao quadrado da segunda linha, para indicar que um anulou o outro. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, y ao quadrado mais 11, é igual a 41 menos y. Abaixo, y ao quadrado mais y menos 30 é igual a 0.

Página 188

Resolvemos, então, a equação do 2º grau.

Δ = belevado a 2

menos 4ac = 1elevado a 2

menos 4 ⋅ 1 ⋅ abre parêntesesmenos30fecha parênteses = 1 + 120 = 121

y = \frac{‒ b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{‒ 1 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1}

Sentença matemática. Delta, igual, b ao quadrado menos 4 vezes a vezes c, igual a, 1 ao quadrado menos 4 vezes 1 vezes, abre parênteses, menos 30., fecha parênteses, igual, 1 mais 120, é igual a, 121. Abaixo, y, igual a fração, menos b mais ou menos raiz quadrada de delta sobre 2 vezes a, igual, fração, menos 1 mais ou menos raiz quadrada de 121 sobre 2 vezes 1. Abaixo, y igual a, fração, menos 1 mais ou menos 11 sobre 2. A partir da fração há dois fios azuis, um à direita e acima, para y subscrito 1, igual a fração, menos 1 menos 11 sobre 2, é igual a, menos 6. E o outro fio azul, à direita e abaixo, para y subscrito 2, igual a, fração, menos 1 mais 11 sobre 2, é igual a, 5.

Substituímos os valores de y na equação um.

• Para yíndice 1

= menos6, temos:

x_{1}^{2}

+ abre parêntesesmenos6fecha parênteseselevado a 2

= 41

x_{1}^{2}

+ 36 = 41

x_{1}^{2}

= 5

x_{1} = \pm \sqrt{5}

• Para yíndice 2

= 5, temos:

x_{2}^{2}

5elevado a 2 = 41

x_{2}^{2}

+ 25 = 41

x_{2}^{2}

= 16

x₂ = ±4

Ilustração. Mulher branca, cabelo azul escuro, com óculos vermelho, vestindo blusa roxa, calça azul e sapato roxo, com jaleco branco. Está com a mão direita espalmada para frente e a mão esquerda espalmada para trás. Balão de fala com o texto: O método da adição consiste em adicionar membro a membro das equações, de modo que se obtenha uma terceira equação com apenas uma incógnita.

As soluções do sistema são os pares ordenados abre parêntesesxíndice 1

, yíndice 1

fecha parênteses e abre parêntesesxíndice 2

yíndice 2fecha parênteses:

(‒ \sqrt{5}, ‒ 6), (\sqrt{5}, ‒ 6)

, abre parêntesesmenos4, 5fecha parênteses e abre parênteses4, 5fecha parênteses.

Logo, os números positivos procurados são 4 e 5.

Observação

Apesar de o sistema

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 41 \\ x^{2} ‒ 11 = y \end{cases}

ter quatro soluções, o enunciado diz que os números procurados são positivos. Assim, apenas uma das soluções do sistema satisfaz a condição.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. No caderno, associe cada sistema às suas soluções abre parêntesesx, y fecha parênteses.

Quadro verde com a letra A. Sistema de equações. Chaves nas duas linhas. Na primeira linha, x menos y, é igual a 6. Na segunda linha, x vezes y é igual a, 27. Quadro verde com a letra B. Sistema de equações. Chaves nas duas linhas. Na primeira linha, xy mais 5, é igual a 12 menos x. Na segunda linha, x ao quadrado menos 1, é igual a 0. Quadro verde com a letra C. Sistema de equações. Chaves nas duas linhas. Na primeira linha, x mais y, é igual a 1. Na segunda linha, x ao quadrado menos 2x mais 3y, é igual a menos 1. Quadro verde com a letra D. Sistema de equações. Chaves nas duas linhas. Na primeira linha, xy, é igual a 12. Na segunda linha, 3x menos 2y, é igual a 1. Ilustração. Quadro azul com o número romano 1. Ilustração. Quadro azul com o número romano 2. Ilustração. Quadro azul com o número romano 3. Ilustração. Quadro azul com o número romano 4. Sentença matemática. Menos fração 8 terços. Sentença matemática. Menos fração 9 meios.

2. Resolva os sistemas de equações, sabendo que x e y podem ser quaisquer números reais.

\{\begin{cases} x + 2 y = ‒ 7 \\ x \cdot y = ‒ 15 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 2 ‒ y \\ x^{2} + y^{2} = 10 \end{cases}

\{\begin{cases} x ‒ y = 11 \\ y^{2} = x ‒ 5 \end{cases}

\{\begin{cases} 12 x + 12 y = 7 xy \\ xy = 12 \end{cases}

3. Escreva no caderno um sistema de equações para cada caso.

a) A soma de dois números naturais é 28, e a diferença entre o quadrado do primeiro e o quadrado do segundo é 56.

b) A razão entre a medida de comprimento da base e da altura de um triângulo cuja área mede 56 centímetros quadrados é 3,5.

Página 189

4. Responda às questões no caderno.

a) Quais são os dois números reais cuja diferença e cujo produto são iguais a 6?

b) Se a soma de dois números reais é igual a 1 e o produto desses dois números é igual a menos2, que números são esses?

5. A área do campo de futebol (gramado) do Mineirão mede .7140 métros quadrados e seu perímetro mede 346 métros. Quais são as dimensões dêsse campo?

Fotografia. Vista aérea de estádio de futebol. Possui cobertura cinza na parte da arquibancada, circular. É possível observar parte do campo e da arquibancada. Ao fundo, cidade. — Estádio Governador Magalhães Pinto, o Mineirão, em Belo Horizonte (Minas Gerais), 2021.

6. A prefeitura de Termópolis deseja ampliar uma praça cuja área mede 416 métros quadrados. O formato retangular da praça será mantido, mas ela terá uma faixa de 4 métros de largura a mais em cada lado. Dessa maneira, sua medida de área aumentará 424 métros quadrados.

Observe no esquema a seguir como será essa ampliação.

Ilustração. Praça retangular com gramado, caminho de circulação na cor branca e várias árvores e bancos espalhados. Há também um lago no lado esquerdo. Contornando a praça, área hachurada de largura 4 metros a mais em cada lado.

a) Quais são as dimensões atuais da praça? E quais serão suas dimensões após a ampliação?

b) Qual será a medida da área total da praça após a ampliação?

c) Nessa área ampliada, a prefeitura vai fazer uma ciclovia. Qual será a medida da área dessa ciclovia?

7. Uma piscina com borda foi construída em um terreno retangular que mede 80 métros quadrados de área e 36 métros de perímetro. Se as bordas dessa piscina estão afastadas 1 métro de comprimento do contorno do terreno, qual é a medida do comprimento e a medida da largura da piscina?

Ilustração. Menino branco e ruivo, vestindo bermuda rosa e boias nos braços. Está com os dois braços levantados e com as mãos espalmadas para frente, ajoelhado na grama. Atrás, troncos de árvores e plantas. Em sua frente, piscina com borda de madeira.

Responda no caderno às questões a seguir.

a) Dê um exemplo de um sistema de equações do 2º grau que tenha apenas um par ordenado como solução.

b) Dê um exemplo de um sistema de equações do 2º grau que não tenha solução real.

Página 190

Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Análise de gráficos que induzem ao erro

As pesquisas de intenção de voto ocorrem com bastante frequência nos anos em que há eleição para a escolha dos nossos representantes na política.

Considere o gráfico divulgado em maio de 2024 por um instituto de pesquisa com as intenções de voto para candidatos a prefeito de uma cidade.

Clique no play e acompanhe a reprodução do Áudio.

Transcrição do áudio

Manipulação de dados

Duração: 2:50min. Página: 190.

>> [Locutor] Manipulação de dados

>> [Entrevistador] É muito importante que uma pesquisa apresente resultados compatíveis com a realidade. Porém, é preciso tomar certos cuidados para garantir a precisão deles. Quando ocorre uma alteração ou omissão proposital de resultados, dizemos que houve manipulação de dados. Convidamos o jornalista de dados Guilherme Duarte, especialista em fenômenos estatísticos, para falar sobre as formas mais comuns de manipulação e como essa prática pode impactar, por exemplo, nos resultados de uma eleição. Vamos ouvi-lo?

Som de pessoas conversando ao fundo.

>> [Guilherme] Meu nome é Guilherme Duarte, eu trabalho como editor de dados, eu não tenho formação em Jornalismo, eu sou advogado de formação, mas, porque trabalhei com Direito Constitucional, que é basicamente Ciência Política, eu comecei a estudar, me interessar por fenômenos estatísticos relacionados à política, bem como outros tipos de fenômenos estatísticos, relacionados a futebol, à economia e outras áreas.

>> [Entrevistador] Como a omissão de datas numa pesquisa pode gerar confusões?

Som de pessoas conversando ao fundo.

>> [Guilherme] A omissão de datas pode afetar como resultados eleitorais são mostrados principalmente em série temporal de intenção de voto. Isso acontece muito quando há pessoas que tentam indicar que algum evento influenciou o voto em algum candidato. No momento [em] que você omite a data, você ... uma escala alterada... você pode sugerir que alguns eventos tiveram efeitos que na verdade eles não tiveram apenas omitindo esta data. É claro que há outros problemas derivados disso também, como o problema de que correlação não é causalidade, mas a omissão de datas em si causa esse problema.

>> [Entrevistador] Que equívocos um cidadão que não tem conhecimento estatístico pode cometer?

Som de pessoas conversando ao fundo.

>> [Guilherme] Existe uma frase que diz que a Estatística é a arte de torturar números. Essa frase, ela só é real quando a pessoa que está lendo o gráfico não tem treinamento estatístico suficiente para reconhecer situações falaciosas em termo de estatística de maneira clara. Há uma série de falácias que podem ocorrer, por exemplo, mistura de correlação com causalidade, omissão de datas, mudança de escala, problemas de amostragem, que apenas estudando Estatística as pessoas se tornam... hã... melhores cidadãos pra conseguir entender esses dados. Então, da... do meu ponto de vista, para... [reformula o raciocínio] o ensino de Estatística e o ensino da Matemática que baseia a Estatística é [sic] bastante importante para formar bons cidadãos.

Studio Núcleo de Criação Produções em Áudio

Gráfico. Título do gráfico de barras verticais: intenção de voto para candidatos a prefeito de uma cidade.Eixo horizontal perpendicular a uma eixo vertical. O eixo vertical tem 6 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima porcentagens: 0, 10, 20, 30, 40 e 50. Ele está rotulado como porcentagem de intenção de votos. No eixo horizontal estão indicados os nomes dos candidatos: Marcelo, Priscila, Mateus, Roberta, Pedro, Rogério, Lúcia, branco/nulo e não sabe. Ele está rotulado como Candidato. Sobre o eixo horizontal há 9 barras verticais amarelas com a mesma largura, indicando que a porcentagem de intenção de votos para o Marcelo é de 22 por cento; a porcentagem de intenção de votos para a Priscila é de 15 por cento; a porcentagem de intenção de votos para o Mateus é de 4 por cento; a porcentagem de intenção de votos para a Roberta é de 3 por cento; a porcentagem de intenção de votos para o Pedro é de 2 por cento; a porcentagem de intenção de votos para o Rogério é de 2 por cento; a porcentagem de intenção de votos para a Lúcia é de 1 por cento; a porcentagem de intenção de votos para branco/nulo é de 40 por cento; e a porcentagem de pessoas que não sabem o candidato em que irá votar é de 11 por cento.

Dados obtidos pelo instituto de pesquisa em maio de 2024.

Observe agora como um dos candidatos divulgou os dados dessa pesquisa em sua rede social.

Ilustração. Tela de computador com a imagem de uma pessoa de cabelo marrom, usando camisa branca, terno e gravata azul, fazendo um discurso em frente a um púlpito. À direita, escrito: Marcelo lidera pesquisa, aponta instituto. Abaixo, gráfico de barras verticais. Eixo horizontal perpendicular a uma eixo vertical. O eixo vertical tem 10 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima os números: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 e 90. Com linhas de grade aparente. No eixo horizontal estão indicados os nomes dos candidatos: Marcelo, Priscila, Mateus, Roberta, Pedro, Rogério, Lúcia, branco/nulo e não sabe. Sobre o eixo horizontal há 9 barras verticais vermelhas com a mesma largura, indicando que a porcentagem de intenção de votos para o Marcelo é de 22 por cento, porém a barra vermelha chega próximo a linha de grade do número 90; a porcentagem de intenção de votos para a Priscila é de 15 por cento, porém a barra vermelha passa da linha de grade do número 20; a porcentagem de intenção de votos para o Mateus é de 4 por cento, porém a barra vermelha passa da linha de grade do número 10; a porcentagem de intenção de votos para a Roberta é de 3 por cento, porém a barra vermelha chega próximo a linha de grade do número 10; a porcentagem de intenção de votos para o Pedro é de 2 por cento; a porcentagem de intenção de votos para o Rogério é de 2 por cento; a porcentagem de intenção de votos para a Lúcia é de 1 por cento; a porcentagem de intenção de votos para branco/nulo é de 40 por cento, porém a barra vermelha passa da linha de grade do número 40; e a porcentagem de pessoas que não sabem o candidato em que irá votar é de 11 por cento. Abaixo, fonte: Instituto de Pesquisa - maio 2 mil e 24.

Para analisar

Em sua opinião, por que a barra correspondente às intenções de voto de Marcelo está bem maior que as demais?

Note que as medidas das alturas das barras não estão coerentes com a escala adotada no gráfico. Além disso, a medida da altura da barra que corresponde às intenções de voto de Marcelo está bem maior que as demais.

Gráficos que apresentam problemas como esse são publicados com frequência nos meios de comunicação. Por esse motivo, ao ler um gráfico, é preciso analisar se a escala é apropriada, se as legendas estão explicitadas corretamente e se informações importantes como fontes e datas não foram omitidas, entre outros pontos.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Dois meios de comunicação diferentes divulgaram dados sobre o número de motoristas multados em uma cidade no 1º trimestre de 2023. Observe.

Ilustração. À esquerda, gráfico divulgado pelo jornal da cidade. Título do gráfico de linhas: número de motoristas multados em uma cidade no primeiro trimestre de 2 mil e 23. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical com linhas de grade aparentes. O eixo vertical tem 13 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima os números: 0, 150, 300, 450, 600, 750, 900, 1 mil e 50, 1 mil e 200, 1 mil 350, 1 mil e 500, 1 mil 650 e 1 mil e 800. Ele está rotulado como número de motoristas multados. No eixo horizontal estão indicados os meses: Janeiro, fevereiro e março. Ele está rotulado como Mês. Linha azul acima do eixo horizontal, indicando que no mês de janeiro 1 mil e 500 motoristas foram multados; no mês de fevereiro 1 mil 550 motorista foram multados; e no mês de março 1 mil 570 motoristas foram multados. À direita, gráfico divulgado pela revista da cidade. Título do gráfico de linhas: número de motoristas multados em uma cidade no primeiro trimestre de 2 mil e 23. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical, com linhas de grade aparente. O eixo vertical tem 7 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima os números: 1 mil 460, 1 mil 480, 1 mil e 500, 1 mil e 520, 1 mil 540, 1 mil e 560 e 1 mil 580. Ele está rotulado como número de motoristas multados. No eixo horizontal estão indicados os meses: Janeiro, fevereiro e março. Ele está rotulado como Mês. Linha azul acima do eixo horizontal, indicando que no mês de janeiro 1 mil e 500 motoristas foram multados; no mês de fevereiro 1 mil 550 motorista foram multados; e no mês de março 1 mil 570 motoristas foram multados. As linhas de grade da horizontal do primeiro gráfico estão mais espaçadas que as linhas de grade da horizontal do segundo gráfico.

Dados obtidos pela Companhia de Engenharia de Tráfego no 1º trimestre de 2023.

a) Qual é a diferença entre os dois gráficos?

b) Em março, foram multados quantos motoristas a mais que em janeiro?

c) Qual dos dois gráficos sugere que o número de motoristas multados aumentou rapidamente nesse período?

2. Em 2023 foi feita uma pesquisa para saber a porcentagem de torcedores de dois clubes de uma cidade. Observe o gráfico publicado na internet, na página oficial de um desses clubes.

Ilustração. Tela de celular mostrando um gráfico de setores. À direita, a legenda: cor laranja para nosso clube e cor laranja claro para nosso rival.
À esquerda, círculo com pouco mais de 3 quartos pintados de laranja com cota para 50 vírgula por 5 cento; e o restante do círculo está pintado de laranja claro com cota para 49 vírgula 5 porcento.

a) Quais são os problemas que esse gráfico apresenta?

Em sua opinião, qual foi a intenção do clube ao publicar esse gráfico em sua página oficial na internet? Converse com os colegas sobre o assunto.

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Educação Financeira

faça as atividades no caderno

Que conversa é essa?

Mariana ficou apreensiva depois de ouvir, por acaso, seus pais conversando de fórma tensa sobre um assunto que os preocupava muito.

Ilustração. Tirinha com dois quadros. Primeiro quadro: homem branco, cabelo e barba castanhos, vestindo camiseta rosa. Está com as mãos em cima de teclado de um notebook, que está sobre uma mesa. Na tela, uma planilha azul e vermelha aberta. Há notas adesivas coladas na borda da tela do notebook e, ao lado, vários papéis. De frente para ele, uma mulher branca, loira, vestindo blusa listada de branco e preto. Com a mão esquerda está segurando um celular preto e aponta o dedo indicador da mão direita para ele. Ao fundo, porta entreaberta. Atrás da porta, Mariana, menina branca e de cabelo preto liso, óculos, vestindo blusa azul com bolinhas brancas, calça rosa e pantufas, escutando a conversa. Balão de fala do homem com o texto: Infelizmente, acho que não conseguiremos comprar aquele presente que a Mariana pediu. Balão de fala da mulher com o texto: Não acredito! Nós prometemos e agora não vamos cumprir?! Segundo quadro: mesmo homem e mesma mulher do quadro anterior, conversando frente a frente. Atrás da porta, Mariana, com um gato preto sentado ao seu lado. Balão de fala do homem com o texto: Precisamos pagar o cartão de crédito e as mensalidades do curso de idiomas que estão atrasadas. Balão de fala da mulher com o texto: Nossa, são muitas contas. O que acha de escolhermos um presente mais barato?

O que você faria?

Existem momentos em que os adultos querem poupar os jovens e as crianças da família de algumas preocupações, principalmente financeiras, como fizeram os pais de Mariana. No entanto, é necessário que os jovens entendam a situação pela qual a família está passando, escutando os adultos responsáveis por eles com compreensão e empatia.

Para entender essa situação e se posicionar diante dela, junte-se a um colega e discutam as seguintes questões.

a) Vocês acham que será um problema Mariana ganhar um presente mais barato?

b) O dinheiro das prestações do cartão de crédito poderia ser usado para comprar o presente de Mariana? Seria justo?

c) Citem situações que requerem redução de gastos em uma família.

Calcule

A fim de se organizar melhor e planejar o que fazer para evitar problemas financeiros, o pai e a mãe de Mariana pesquisaram na internet uma planilha de orçamento doméstico. Observe a que eles escolheram, parcialmente preenchida.

Receita	Novembro	Dezembro
Salário líquido – Pai	R$ 1.885,00	R$ 1.850,00
Salário líquido – Mãe	R$ 2.015,00	R$ 1.925,00
Total geral	R$ 3.900,00	R$ 3.775,00

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Despesas		Novembro	Dezembro
Habitação	Prestação da casa	R$ 987,00
Habitação	Água, luz e telefone	R$ 103,40	R$ 193,20
Transporte	Metrô/trem/ônibus	R$ 160,00	R$ 190,00
Saúde	Plano de saúde	R$ 300,00
	Dentista	-----	R$ 120,00
	Medicamentos	R$ 52,30	R$ 84,70
Educação	Curso de idiomas	R$ 120,00
Educação	Material escolar	R$ 55,30	R$ 71,20
Alimentação	Mercado/feira	R$ 338,90	R$ 464,70
Alimentação	Padaria	R$ 55,30	R$ 61,20
Veículo	Prestação do veículo	R$ 320,00	R$ 320,00
	Combustível	R$ 150,00	R$ 210,00
	Manutenção	-----	R$ 320,00
Outras	Roupas/calçados	R$ 69,00	R$ 105,00
	Passeios	R$ 68,00	R$ 82,00
	Presentes	R$ 60,00	R$ 130,00
	Despesas imprevistas	R$ 135,00	R$ 177,50
Total geral		R$ 2.974,20

No mês de dezembro, faltou preencher os gastos com valores fixos (que não variam ao longo do ano) da família de Mariana. Junte-se a um colega, copiem a planilha no caderno e preencham essas lacunas.

Depois, façam os cálculos e observem se, em dezembro, o saldo ficou negativo ou não. Caso tenha ficado, quais gastos vocês acham que poderiam ter sido menores?

Saldo	Novembro	Dezembro
Total receita	R$ 3.900,00
Total despesa	R$ 2.974,20
Saldo (receita ‒ despesa)	R$ 925,80

Reflita

Você já deve ter percebido como é difícil administrar os gastos de uma família. Por isso, é muito importante que cada membro da família esteja consciente do que pode fazer para colaborar com o orçamento familiar.

Para finalizar, converse com os colegas a respeito das questões a seguir.

a) Por que é importante ter contrôle do que se ganha e do que se gasta no mês?

b) Como você pode ajudar nas finanças da família?

c) Quando quer alguma coisa, você pergunta a seus pais se eles têm condições de comprar esse produto?

d) O que não é possível reduzir nas despesas mensais?

e) Quais despesas poderiam ser diminuídas por sua família?

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Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Responda às questões.

a) Elevando certo número não nulo ao quadrado e adicionando 75, podemos obter zero como igualdade? Justifique.

b) Se do quadrado de um número subtrairmos 6, o resto será 30. Qual é esse número?

2. Ricardo e Alex foram ao mercado e decidiram que quem não conseguisse encontrar a solução correta para o enigma a seguir carregaria as compras.

Ilustração. Ao fundo, prateleira de mercado com diversos produtos, de diferentes tamanhos e cores. Na frente, Ricardo, homem branco, cabelo castanho, vestindo camiseta preta, casaco vermelho, calça cinza e tênis vermelho. Está com a mão esquerda espalmada para baixo. Do lado esquerdo, duas sacolas de mercado no chão.
Do lado direito, Alex, homem branco, cabelo preto, vestindo camiseta amarela e azul, calça preta e tênis azul, com fone de ouvido em volta do pescoço e apoiado no ombro. Está com a mão direita espalmada para baixo e a mão esquerda apontada para Ricardo. Ao lado, duas sacolas de marcado no chão. No lado superior esquerdo da ilustração, em uma caixa de texto há a indicação: Enigma: O quadrado de um número real é igual ao seu triplo.

• Ricardo pensou um pouco e respondeu “0 ou 2”; já Alex respondeu “0 ou 3”. Quem voltará para casa carregando as compras?

3. Uma folha de papel quadrada com abre parêntesesx + 1fecha parênteses centímetros de medida de comprimento de lado foi dobrada duas vezes, conforme indica a figura.

Ilustração. Mesa com uma folha branca com formato de um quadrado e uma diagonal tracejada. Seta para dobrar na diagonal. Triângulo com tracejado no centro. Seta para dobrar ao meio. Triângulo menor. À esquerda da mesa, menina branca de cabelo claro e à direita, menino branco de cabelo castanho.

• Quanto mede o comprimento do lado da folha, sabendo que a figura obtida após a segunda dobra mede abre parênteses5x + 10,25fecha parênteses centímetros quadrados de área?

4. Observe as figuras e responda à questão.

Figura geométrica. Quadrado azul. Medida do lado é 2 vezes x.

• Considerando que a medida da área do quadrado é igual à do retângulo, quanto mede o perímetro de cada figura?

5. Copie o quadro no caderno e complete-o.

Equação	a	b	c
−3t2 + 4t − 5 = 0
◼ + ◼z2 + ◼z = 0	7	3	3
y − (◼) + ◼y2 = 0	6		3
◼x2 − ◼x = ◼	−1	−3	−5

6. Encontre o valor de m em cada caso.

a) Determine os valores de m para que a equação xelevado a 2

+ 8x + m = 0 não tenha raízes reais.

b) Determine o valor de m para que a equação xelevado a 2

menos 6x + m = 0 tenha duas raízes iguais.

Segundo o Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia (Inmetro), os fogos de artifício devem atingir medida de altura mínima de 5 m. Em uma análise feita com algumas marcas, constatou-se que alguns fogos de artifício explodiram a uma medida de altura menor que 5 métros.

Fotografia. Praia escura. Na parte inferior, mar escuro com silhuetas de pessoas andando. Na parte superior, vários fogos nas cores amarelo, alaranjado e vermelho. — Queima de fogos no Réveillon na Praia do Gonzaga, Santos (São Paulo), 2020.

Observe o quadro a seguir e, utilizando a fórmula a seguir e a calculadora, descubra as marcas que foram reprovadas.

h = v \cdot t ‒ \frac{g \cdot t^{2}}{2}

em que:

h = medida da altura (métro);

v = medida da velocidade inicial do corpo (métro por segundo);

t = medida do tempo decorrido até a explosão (segundo);

g = medida da aceleração da gravidade (métro por segundoduas).

Marca	g	v	t
A	9,8 metros por segundo ao quadrado	26,68 metros por segundo	5,25segundos
B	9,8 metros por segundo ao quadrado	27,32 metros por segundo	5,1 segundos
C	9,8 metros por segundo ao quadrado	27,32 metros por segundo	5,32 segundos
D	9,8 metros por segundo ao quadrado	27,39 metros por segundo	5,41 segundos
E	9,8 metros por segundo ao quadrado	27,9 metros por segundo	4,9 segundos

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8. O quadrado de um número natural adicionado ao quadrado de outro número natural é 113, e a soma desses dois números acrescida de 8 é 23. Quais são esses números?

9. Roberto mediu 300 métros de comprimento do arame usado para contornar apenas uma vez um terreno retangular de medida de .5000 métros quadrados de área. Quais são as dimensões desse terreno?

10. (Fatec-São Paulo) Preocupado com a preservação da natureza um proprietário de terras resolveu replantar árvores nativas num terreno retangular com perímetro de 50 quilômetros e área de 150 quilômetros quadrados. As dimensões da largura e do comprimento do terreno onde será feito o plantio são, em quilômetro:

a) 10 e 15

b) 8 e 18,75

c) 7,5 e 20

d) 6 e 25

e) 5 e 30

11. Jorge vai construir uma piscina cujo perímetro da borda mede 26 métros e, ao redor dela, deixará uma borda de 1 métro de largura, conforme indica o esquema a seguir.

Ilustração. Piscina retangular. A medida do comprimento da piscina é x. A medida da largura é y. Contornando a piscina, borda de 1 metro em cada lado.

Sabendo que a área total do terreno mede 70 métros quadrados e que a área ocupada pela borda medirá 30 métros quadrados, determine as dimensões da borda da piscina.

12. Paulo tem um jardim de formato retangular, cuja área mede 32 métros quadrados. Ele resolveu aumentar a medida de comprimento do jardim 2 métros para cada lado. Com isso, a medida da área do jardim aumentará 28 métros quadrados. Determine:

a) as dimensões atuais do jardim;

b) as dimensões do jardim após o aumento da medida de sua área.

13. A soma da medida da área de dois polígonos é 3 métros quadrados. Sabe-se que um deles tem quatro lados de medida de comprimento x cada um; o outro tem dois lados com medida de comprimento x e dois lados cujo comprimento mede y cada um. Sabe-se ainda que y menos x = 5 e que a abertura de todos os ângulos internos dos polígonos mede 90graus.

a) Quais são esses dois polígonos?

b) Determine as medidas de comprimento x e y.

14. (Unésp) Um grupo de x estudantes se juntou para comprar um computador portátil (notebook) que custa R$ 3.250,00três mil duzentos e cinquenta reais. Alguns dias depois, mais três pessoas se juntaram ao grupo, formando um novo grupo com x + 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do computador pelo número de pessoas que estão compondo o novo grupo, verificou-se que cada pessoa pagaria R$ 75,00setenta e cinco reais a menos do que o valor inicialmente programado para cada um no primeiro grupo. Qual é o número x de pessoas que formavam o primeiro grupo?

15.

Resolva o problema de Priscila.

Ilustração. Priscila, mulher branca, cabelo castanho liso, vestindo blusa verde. Está sentada em frente a uma mesa com uma máquina de costura. Segura com as mãos um tecido verde que está apoiado na mesma, sendo costurado. Em volta, em cima da mesa, outros tecidos e linhas de diferentes cores.

Priscila tem um retalho retangular de algodão e quer fazer uma toalha retangular. Ela comprou uma tira de renda que mede 10 centímetros de largura para colocar em toda a borda da toalha.

a) Sabendo que o perímetro da toalha pronta medirá 2,6 métros e que a área do retalho mede 0,18 métro quadrado, determine as dimensões do retalho.

b) Qual deverá ser a medida de comprimento mínima da tira de renda para completar toda a volta em torno do retalho?

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Para finalizar

faça as atividades no caderno

organize suas ideias

Observe e responda

Analise estas imagens.

Fotografia. Fazenda com área de terra na cor marrom. No centro, retângulo com árvores. Ao fundo, outras áreas com vegetação. — Vista aérea de reserva legal com floresta preservada em fazenda em Nova Ubiratã (Mato Grosso), 2021.

Fotografia. Um piscina superfície retangular maior com água e outra menor, ao lado. Ao redor, espreguiçadeiras na cor branca. Em volta, gramado e outras construções. — Vista aérea de piscina com espreguiçadeiras ao redor.

Figura geométrica. Triângulo retângulo verde com medida de comprimento x, medida da altura 5 centímetros e a hipotenusa, com medida de 13 centímetros.

Figura geométrica. Quadrado com medida do lado x mais 8, composto por: 1 quadrado laranja de lado x, com um retângulo roxo, coincidindo com cada um dos seus lados com medida da largura 4 e 4 quadrados verdes nos quatro cantos formados pelos retângulos com medida do lado 4.

Com base nas imagens e também no que você aprendeu nesta Unidade, faça o que se pede.

1. Determine a medida de comprimento x no triângulo retângulo apresentado anteriormente.

2. Usando o esquema apresentado anteriormente, resolva a equação xelevado a 2

+ 16x menos 36 = 0 pelo método de ál rauárizimi.

3. A equação xelevado a 2

+ 16x menos 36 = 0 tem apenas a raiz que você encontrou na atividade 2? Verifique resolvendo essa equação por outro método.

Com base na foto da reserva ou da piscina, elabore um problema que possa ser representado por uma equação polinomial do 2º grau. Depois, troque seu problema com um colega e resolva o problema proposto por ele.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Registre

Para finalizar o estudo desta Unidade, junte-se a um colega e façam o que se pede.

1. Qual é a relação expressa pelo teorema de Pitágoras?

2. Quais aplicações do teorema de Pitágoras vocês conhecem?

3. O que é uma equação do 2º grau? Como podemos saber quantas e quais são suas raízes reais?

4. Como podemos resolver uma equação do 2º grau? Que estratégia vocês consideram melhor? Deem exemplos.

5. Na abertura desta Unidade, vocês responderam a algumas questões no boxe Para começar. Compare as respostas dadas àquelas questões com as respostas que vocês dariam agora e escrevam um texto explicando o que vocês aprenderam nesta Unidade.

Para conhecer mais

As mil e uma equações (Coleção A descoberta da Matemática)

Ernesto Rosa

São Paulo: Ática, 2008.

Kamal, améd e Najla vivem muitas aventuras quando se perdem no deserto e, entre outros mistérios, descobrem um complô para matar o emir, por quem sentiam gratidão eterna, e desvendam os segredos das equações do 2º grau. Essa história divertida e interessante se passa em um cenário diferente e intrigante: os reinos muçulmanos do século nove. No final do livro, há ainda um minialmanaque com desafios e enigmas para resolver.

Fotografia. Capa do livro na cor amarela, título na cor roxa: As mil e uma equações, autor Ernesto Rosa, na parte superior, escrito em preto. Abaixo, várias pessoas com vestimentas muçulmanas na cor branca, com construções e coqueiros ao fundo.

Matemática mortífera

(Coleção Saber Horrível)

Kjartan Poskitt

São Paulo: Melhoramentos, 2010.

Neste divertido livro, interativo, perigosamente diferente, você vai conhecer Jimmy Dedão, Charlie Serra de Cadeia e seus amigos gângsteres horripilantes, que são uma prova viva de que a Matemática pode ser realmente mortífera. Descubra como a ciência dos números pode ajudar a resgatar alguém que esteja correndo perigo mortal e conheça alguns matemáticos famosos, durões e até alguns que foram assassinados.

Fotografia. Capa do livro nas cores verde e cinza, título nas cores preto e vermelho: Matemática Mortífera, autor Kjartan Poskitt, na parte superior, escrito em preto. Abaixo, três homens brancos, vestindo terno, gravata e chapéu. Estão segurando dois sacos amarelos com dinheiro em nota. Ao fundo, cidade com prédios na cor roxo. Balão de fala do terceiro homem, da esquerda para a direita, com o texto: Certo, e quanto é 9 milhões 931 mil e 647 dividido por 3, hein?