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CAPÍTULO 9 Função afim

1 Função afim

Fernanda vende salgadinhos para festas.

Ilustração. Fernanda, mulher branca, vestindo touca branca, blusa listrada rosa e roxa, avental branco e luvas. Está segurando uma bandeja com 7 salgadinhos. Na mesa, a sua frente, uma caixa com 15 unidades de salgadinho. Ao lado, outras caixas fechadas. Ao fundo, uma cozinha.

Ela cobra R$ 26,00vinte e seis reais por quilograma de salgadinho mais R$ 20,00 vinte reaisde taxa de entrega. O pedido mínimo é de 1 quilograma.

O preço (y) da encomenda é função da medida de massa (x) dos salgadinhos, em quilograma, e pode ser expresso por:

y = 26,00vinte e seis reais ⋅ x + 20,00vinte reais, em que x é um número real positivo maior ou igual a 1.

Observe, no quadro, o valor a ser pago por algumas medidas de massa de salgadinhos e, no gráfico, a representação dos pontos correspondentes.

Medida de massa de salgadinhos (em quilograma)	Preço a pagar (em real)
1	46,00
2	72,00
3	98,00
4	124,00
5	150,00
6	176,00

Gráfico. Plano cartesiano com eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 e ele está rotulado como x. No eixo vertical estão indicados os números 46 vírgula 00; 72 vírgula 00; 98 vírgula 00; 124 vírgula 00; 150 vírgula 00 e 176 vírgula 00 e ele está rotulado como y. No plano cartesiano estão indicados 6 os pontos. O primeiro com coordenadas 1 e 46 vírgula 00; o segundo com coordenadas 2 e 72 vírgula 00; o terceiro com coordenadas 3 e 98 vírgula 00; o quarto com coordenadas 4 e 124 vírgula 00; o quinto com coordenadas 5 e 150 vírgula 00 e o sexto com coordenadas 6 e 176 vírgula 00. De cada ponto parte uma linha tracejada na horizontal para a sua coordenada y e outra linha tracejada na vertical para a sua coordenada x. A partir do primeiro ponto uma linha verde que passa por todos os pontos.

Note que os pontos do gráfico estão alinhados, pois, sempre que x aumenta uma unidade, o valor de y aumenta 26 unidades. Como x pode assumir qualquer valor real maior ou igual a 1, o gráfico dessa função é uma linha contínua, que começa no ponto abre parênteses1, 46fecha parênteses e prolonga-se indefinidamente no sentido ascendente. O gráfico dessa função é uma semirreta.

Note que a lei y = 26,00vinte e seis reais ⋅ x + 20,00vinte reais é do tipo y = ax + b, em que a e b são números reais.

Função afim é toda função cuja lei pode ser escrita na fórma y = ax + b, em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real.

Transcrição do áudio

>> [Fábio] Função no trabalho

>> [Fábio] Que cara é essa, Rafael? Por que está tão bravo?

>> [Rafael] – [Tom irritado] Fábio, hoje teve aula sobre funções na escola! Que perda de tempo! Isso não serve para nada!

>> [Fábio] – [Tom indignado] Como assim, não serve para nada?

>> [Rafael] – [Tom frustrado] Ah, já sei. Serve para fazer a prova, passar no vestibular e tal. Mas parece que a Matemática só quer complicar as coisas, deixar mais difícil. Para que usar tantas letras? Só os números já davam o que fazer!

>> [Fábio] Ok, vamos começar do início. Você já pensou que as funções podem ajudar a prever o futuro?

>> [Rafael] – [Tom de chacota] Ih, ficou maluco de vez! Previsão do futuro, Fábio? E eu que achei que você gostava mesmo era de Ciências Exatas...

>> [Fábio] Eu gosto, Rafa! Com as funções e com os conhecimentos que aprendemos e vamos aprender na escola, conseguimos resolver problemas muito interessantes de várias outras áreas.

>> [Rafael] – [Tom de desafio] Ah, isso eu duvido! Dê um exemplo da vida real que utilize funções.

>> [Fábio] Dou, sim! Olhe só: Imagine que uma pessoa doente esteja perdendo massa, praticamente o mesmo número de gramas por dia. Usando uma função afim, o médico consegue elaborar um modelo que prediz quantos quilos aquele paciente vai perder depois de um determinado tempo.

>> [Fábio] Dá para fazer o caminho contrário também: a partir de duas medições, podemos descobrir quanto o paciente perdeu por dia.

>> [Rafael] Ah, Fábio... Esse caso é fácil, não precisava de uma função pra isso...

>> [Fábio] Talvez. A função afim pode até ser uma função simples, mas ela não é a única função existente. Há muitas outras que você vai estudar no Ensino Médio e, de repente, até na faculdade. O interessante, é que podemos usar diferentes funções para resolver problemas.

>> [Fábio] Rafa, você já ouviu falar de Thomas Malthus?

>> [Rafael] O nome não me é estranho. [Tom de reflexão] Acho que ouvi falar dele na aula de Geografia ou História, não lembro...

>> [Fábio] Bem, esse cara formulou o princípio da escassez, segundo o qual a população da Terra dobraria a cada 25 anos, mas nossa capacidade de produzir alimentos não. Aí enunciou duas grandezas como funções do tempo.

>> [Rafael] Tudo bem... [tom de questionamento] mas e aí?

>> [Fábio] E aí? Enquanto a produção de alimentos podia ser comparada a uma função afim, o número de indivíduos se comportava segundo uma função exponencial, assunto que você vai aprender no Ensino Médio.

>> [Rafael] – [Tom de dúvida] Vixe... exponencial?!

>> [Fábio] Calma, cara... Para esse exemplo é suficiente entender que uma função exponencial crescente sempre vai crescer mais rápido do que uma função afim. Com isso, o Malthus pôde prever uma crise de alimentos e recursos. Comparando as duas funções dava até pra saber quantos anos demoraria para que houvesse mais gente do que seríamos capazes de alimentar.

>> [Rafael] – [Tom surpreso] Nossa, Fábio! Isso é verdade?

>> [Fábio] Felizmente essa teoria do Malthus não se concretizou. Na verdade, é um modelo que não considera todos os fatores. Em geral, quanto mais fatores forem considerados, mais preciso o modelo consegue ser. Mas é a partir de um modelo não tão bom que estudamos o que representa e o que não representa a realidade, e aí melhoramos as funções para melhorar o modelo.

>> [Rafael] – [Tom animado] Muito legal esse lance de prever o futuro com Matemática!

>> [Fábio] Tem muito mais! Usando funções também dá para olhar para o passado. Quando vestígios de um organismo são encontrados, é possível descobrir a idade deles usando uma função.

>> [Rafael] – [Tom de questionamento] Sério?

>> [Fábio] Quer ver? Todo ser vivo contém uma quantidade de um tipo de carbono, o carbono 14, que diminui com o tempo após a morte. A cada 5.730 anos, metade do carbono 14 presente em um organismo se torna carbono 12. É um tipo de função exponencial também, mas decrescente. Então, se medirmos a quantidade de carbono 14 presente em um fóssil, será possível descobrir a sua idade por meio de uma função.

>> [Rafael] Ah, é assim que descobrem a idade das múmias!

>> [Fábio] – [Tom empolgado] Exatamente! Ainda acha que função não ajuda em nada?

>> [Rafael] Ok, você me convenceu. [Tom de questionamento] Quer dizer que algumas situações reais podem ser modeladas por funções?

>> [Fábio] Você pegou o espírito da coisa.

>> [Rafael] Pois é, eu estava pensando em funções como contas simples, mas se pensar como um modelo mais completo de algo real, faz bastante sentido. [Tom animado] Valeu! Agora tenho uma boa noção sobre esse assunto.

>> [Fábio] Disponha, Rafa.

Estúdio Núcleo de Criação Produções em Áudio

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Exemplos

As leis a seguir representam funções afins.

• y = 2x + 1, em que a = 2 e b = 1.

• y =

\sqrt{3}

x menos 7, em que a =

\sqrt{3}

e b = menos7.

• y = menos5x, em que a = menos5 e b = 0.

•

y = \frac{x ‒ 1}{2}

. Essa lei pode também ser escrita assim:

y = \frac{1}{2} x ‒ \frac{1}{2}

, com

a = \frac{1}{2} e b = ‒ \frac{1}{2}

.

• y = menos7 + x. Essa lei pode ser escrita assim: y = x menos 7, com a = 1 e b = menos7.

• y = menos10, em que a = 0 e b = menos10. Em casos como esse, em que a = 0, chamamos a função afim de função constante.

Observação

Já as leis a seguir não representam funções afins, pois não podem ser escritas na fórma y = ax + b, com a e b reais.

• y =

x^{2}

menos 1

• y =

\frac{1}{x}

+ 1

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Considerando que x pode ser qualquer número real, simplifique, quando necessário, cada lei de função e descubra quais delas representam funções afins. (Identifique os coeficientes a e b.)

a) y = 5x menos 8

b) y =

\sqrt{2}

x

c) y = abre parêntesesx + 2fecha parênteseselevado a 2

+ abre parêntesesx ‒ 1fecha parênteseselevado a 2

d) y = abre parêntesesx + 2fecha parênteses elevado a 2

‒ abre parêntesesx ‒ 1fecha parênteses elevado a 2

2. Beatriz é gerente de uma sorveteria. O lucro (L) das vendas da sorveteria é dado por uma função cuja lei é L(x) = 6x menos 300, em que x é a quantidade de sorvetes vendidos por dia.

Quantos sorvetes precisam ser vendidos para a sorveteria obter lucro de R$ 90,00noventa reais?

3. Duas amigas saem de férias no mesmo período e decidem alugar um carro para fazer uma viagem. O aluguel corresponde a um valor fixo de R$ 20,00vinte reais mais R$ 80,00oitenta reais por dia.

Ilustração. Frente de um carro vermelho, com uma praia ao fundo. Dentro do carro, no banco do passageiro, mulher branca, cabelo castanho, vestindo blusa branca e com cinto de segurança. Ao lado, no banco do motorista, mulher branca, loira, vestindo blusa amarela e alaranjada.

a) Qual é a lei da função afim que relaciona o preço a ser pago pelo aluguel com os dias em que elas permanecerão com o carro?

b) Que valor elas pagarão se alugarem o carro por uma semana?

c) Se elas reservaram R$ 340,00trezentos e quarenta reais para esse gasto, poderão alugar o carro por quantos dias?

4. Uma empresa de telefonia anuncia ligações em regiões fora da cobertura a R$ 1,20um reais e vinte centavos por minuto.

a) Quanto custa uma ligação com duração de 10 minutos? E uma de meia hora?

b) Se determinada ligação custou R$ 24,00vinte e quatro reais, qual foi sua duração?

c) A relação entre a duração de uma ligação e seu custo pode ser considerada uma função? Justifique.

5. Uma piscina com medida de capacidade de .1500 litros de água será esvaziada, para limpeza, na vazão com medida de 20 litros por minuto.

a) Após 30 minutos do início do esvaziamento, quantos litros de água ainda haverá na piscina?

b) Qual é a função afim que relaciona a medida de capacidade de água na piscina com a medida de tempo de esvaziamento?

c) Quanto tempo levará para a piscina ser esvaziada completamente?

6. No anúncio de uma loja de instrumentos musicais está escrito que o preço de qualquer instrumento terá 10% de desconto se o pagamento for à vista.

a) Faça um quadro com alguns valores x (que você irá supor) dos instrumentos e o preço y pago com desconto.

b) Qual é a função afim que relaciona x com y?

c) Quanto uma pessoa pagará, à vista, por um instrumento que custa R$ 700,00setecentos reais?

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Gráfico da função afim

Observe os gráficos das funções afins a seguir, lembrando que x pode assumir qualquer valor real.

Gráfico. Malha quadriculada com eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4 e ele está rotulado como x. No eixo vertical estão indicados os números menos 2, menos 1, 0 1, 2 e 3 e ele está rotulado como y. No plano cartesiano estão indicados 6 pontos. O primeiro ponto tem coordenadas menos 1 e 3. O segundo ponto tem coordenadas 0 e 2. O terceiro ponto tem coordenadas 1 e 1. O quarto ponto tem coordenadas 2 e 0. O quinto ponto tem coordenadas 3 e menos 1. O sexto ponto tem coordenadas 4 e menos 2. Reta azul passando pelos 6 pontos.

g(x) = 2x − 1
x	g(x)
−1	−3
0	−1
1	1
2	3

Gráfico. Malha quadriculada com eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números menos 1, 0, 1 e 2 e ele está rotulado como x. No eixo vertical estão indicados os números menos 3, menos 1, 0, 1 e 3 e ele está rotulado como y. No plano cartesiano estão indicados 4 pontos. O primeiro ponto tem coordenadas menos 1 e menos 3. O segundo ponto tem coordenadas 0 e menos 1. O terceiro ponto tem coordenadas 1 e 1. O quarto ponto tem coordenadas 2 e 3. Reta alaranjada passando pelos 4 pontos.

O gráfico de uma função afim sempre é uma reta não perpendicular ao eixo x.

É possível traçar o gráfico de uma função afim conhecendo apenas dois pontos.

Gráficos de funções afim crescente, decrescente ou constante

Observe os gráficos das funções a seguir.

f(x) = 2x − 1
x	f(x)
0	1
1	3

Aumentando o valor de x, o valor de fabre parênteses décimafecha parênteses aumenta; por isso, dizemos que a função é crescente. Note que, na lei fabre parênteses décimafecha parênteses = 2x + 1, temos a = 2.

g(x) = −2x + 1
x	g(x)
−1	3
0	1

Aumentando o valor de x, o valor de gabre parênteses décimafecha parênteses diminui; por isso, dizemos que a função é decrescente. Note que, na lei gabre parênteses décimafecha parênteses = menos2x + 1, temos a = menos2.

h(x) = 2
x	h(x)
−3	2
2	2

Gráfico. Malha quadriculada com eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números menos 3 e 2 e ele está rotulado como x. No eixo vertical está indicado o número 2 e ele está rotulado como y. No plano cartesiano estão indicados 2 os pontos. O primeiro ponto tem coordenadas menos 3 e 2. O segundo ponto tem coordenadas 2 e 2. Reta roxa passando pelos 2 pontos.

Aumentando ou diminuindo o valor de x, o valor de hidrogênioabre parênteses décimafecha parênteses não se altera; por isso, dizemos que a função é constante. Nesse caso, o gráfico coincide com o eixo x ou é paralelo a ele. Note que, na lei hidrogênioabre parênteses décimafecha parênteses = 2, temos a = 0 e b = 2.

Para toda função com lei do tipo y = ax + b:

• quando a é positivo abre parêntesesa > 0fecha parênteses, a função é crescente;

• quando a é negativo abre parêntesesa < 0fecha parênteses, a função é decrescente;

• quando a é igual a zero abre parêntesesa = 0fecha parênteses, a função é constante.

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Exemplos

fabre parênteses décimafecha parênteses = menos

\frac{x}{2}

: é decrescente, pois a < 0.

gabre parênteses décimafecha parênteses =

\sqrt{2}

x : é crescente, pois a > 0.

hidrogênioabre parênteses décimafecha parênteses = menos12: é constante, pois a = 0.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Associe a lei da função ao respectivo gráfico.

Ilustração. Ficha A: y igual 2x menos 1. Ficha B: y igual fração 1 meio vezes x. Ficha C: y igual 4x. Ficha D: y igual fração com numerador x menos 1 e denominador 2. Ficha 1: gráfico em malha quadriculada com eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical e o ponto de intersecção está indicado o 0. No plano cartesiano estão indicados 2 pontos. O primeiro ponto tem coordenadas 0 e menos 0 vírgula 5. O segundo ponto tem coordenadas 1 e 0. Reta verde passando pelos 2 pontos. Ficha 2: gráfico em malha quadriculada com eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical e o ponto de intersecção está indicado o 0. No plano cartesiano estão indicados 2 pontos. O primeiro ponto tem coordenadas 0 e 0. O segundo ponto tem coordenadas 1 e 4. Reta azul passando pelos 2 pontos. Ficha 3: gráfico em malha quadriculada com eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical e o ponto de intersecção está indicado o 0. No plano cartesiano estão indicados 2 pontos. O primeiro ponto tem coordenadas 0 e 0. O segundo ponto tem coordenadas 1 e 0 vírgula 5. Reta rosa passando pelos 2 pontos. Ficha 4: gráfico em malha quadriculada com eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical e o ponto de intersecção está indicado o 0. No plano cartesiano estão indicados 2 pontos. O primeiro ponto tem coordenadas 0 e menos 1. O segundo ponto tem coordenadas 1 e 1. Reta amarela passando pelos 2 pontos.

2. Construa o gráfico de cada função.

a) y = x + 2

b) y = menos1 menos 2x

c) y = 2x

d) y = x + 1

3. Observe os gráficos e classifique as funções correspondentes a eles em crescente, decrescente ou constante.

a)

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. O eixo horizontal está rotulado como x. O eixo vertical está rotulado como y. Reta vermelha da função corta o eixo x a esquerda do zero e corta o eixo y abaixo do zero.

b)

c)

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. O eixo horizontal está rotulado como x. O eixo vertical está rotulado como y. Reta roxa da função não corta o eixo x e corta o eixo y acima do zero.

d)

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. O eixo horizontal está rotulado como x. O eixo vertical está rotulado como y. Reta azul da função não corta o eixo x e corta o eixo y abaixo do zero.

4. Construa em um mesmo sistema cartesiano o gráfico das funções f(x) = 2x, g(x) = 2x + 3 e h(x) = 2x menos 3.

O que se pode concluir sobre os gráficos de f, g e h?

5. Classifique cada função em crescente, decrescente ou constante.

a) f(x) = menos4x + 11

b) g(x) = 8x + 1

c) h(x) = menosx menos 4

d) m(x) =

‒ \frac{1}{4}

e) f(x) = menos3x

f) g(x) = 8

g) h(x) = 7x

h) f(x) =

\frac{x}{2}

6. Responda.

a) A reta que passa pelos pontos abre parênteses2, 7fecha parênteses e abre parêntesesmenos1, menos1fecha parênteses é gráfico de uma função crescente ou decrescente?

b) A reta que passa pelos pontos abre parênteses1, 1fecha parênteses e abre parênteses2, menos3fecha parênteses é gráfico de uma função crescente ou decrescente?

7. Observe os gráficos construídos anteriormente e responda às questões.

a) O gráfico de uma função afim corta o eixo y em quantos pontos?

b) Se uma função é dada por fabre parênteses décimafecha parênteses = menosx + 5, em que ponto o gráfico corta o eixo y? E se a função fosse gabre parênteses décimafecha parênteses = 2x menos 3?

c) Dada uma função afim y = ax + b, qual é o ponto de intersecção do gráfico com o eixo y ?

8. Roberto abasteceu sua moto em um posto de gasolina, completando o tanque até a sua medida de capacidade máxima, que é 13 litros de combustível. A moto gasta 1 litro de gasolina a cada medida de distância de 30 quilômetros percorridos. Considerando que Roberto não abastecerá novamente, responda às questões.

a) Após ter percorrido a medida de distância de 75 quilômetros, quantos litros de gasolina ainda haverá no tanque?

b) Construa um gráfico para essa situação, com a quantidade de gasolina no tanque (L) no eixo vertical e a medida de distância percorrida (x) no eixo horizontal. Esse gráfico lembra o de uma função crescente ou decrescente?

c) Para zerar a quantidade de gasolina no tanque, qual medida de distância, em quilômetro, deverá ser percorrida?

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Informática e Matemática

faça as atividades no caderno

Gráfico da função afim

Nesta seção, você vai utilizar um software de construção de gráficos para investigar o que ocorre com o gráfico de uma função afim do tipo

y = a x + b

, conforme a variação dos valores de a e b.

Construa

Já vimos que o gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo x. No software, a construção do gráfico de uma função afim pode ser feita de dois modos:

1º) Calculamos as coordenadas de dois pontos que pertencem ao gráfico da função e marcamos esses pontos no plano cartesiano. Depois, traçamos a reta que passa por esses pontos.

2º) Digitamos a lei da função no campo apropriado e teclamos Enter.

a) Construa o gráfico de uma função afim crescente qualquer.

b) Construa o gráfico de uma função afim decrescente qualquer.

INVESTIGUE

Vamos começar investigando o que ocorre com o gráfico de uma função afim do tipo y = x + b, conforme a variação do valor de b.

a) Em um mesmo plano cartesiano, construa o gráfico das funções y = x e y = x + 1. O que você observou?

b) No mesmo plano cartesiano do item a, construa o gráfico das funções y = x menos 1, y = x + 2 e y = x + 3. Depois, compare o gráfico dessas funções com o gráfico de y = x. O que você observou?

Ilustração. Tela similar a de um software de construção de gráficos. A esquerda, quadro com uma coluna e 6 linhas. Na primeira linha está o texto: lei da função. Na segunda linha, a esquerda círculo azul e a direita y igual a x. Na terceira linha, a esquerda círculo vermelho e a direita y igual a x mais 1. Na quarta linha, a esquerda círculo verde e a direita y igual a x mais 2. Na quinta linha, a esquerda círculo roxo e a direita y igual a x mais 3. Na sexta linha, a esquerda círculo alaranjado e a direita y igual a x menos 1. No canto direito da segunda até a sexta linha da tabela, ícone da letra x na cor cinza claro. Na tela está representado um plano cartesiano e cinco retas paralelas e coloridas. Malha quadriculada com eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números inteiros de menos 7 até 7 e ele está rotulado como x. No eixo vertical estão indicados os números inteiros de menos 5 até 5 e ele está rotulado como y. A reta roxa passa pelo eixo x no ponto com coordenadas: menos 3 e 0 e passa pelo eixo y no ponto com coordenadas 0 e 3. A reta verde passa pelo eixo x no ponto com coordenadas: menos 2 e 0 e passa pelo eixo y no ponto com coordenadas 0 e 2. A reta vermelha passa pelo eixo x no ponto com coordenadas: menos 1 e 0 e passa pelo eixo y no ponto com coordenadas 0 e 1. A reta azul passa pelos eixos no ponto com coordenadas: 0 e 0 e passa pelo ponto com coordenadas 1 e 1. A reta alaranjada passa pelo eixo x no ponto com coordenadas: 1 e 0 e passa pelo eixo y no ponto com coordenadas 0 e menos 1.

c) O que a investigação anterior sugere em relação à posição da reta que é gráfico de uma função afim do tipo y = x + b, em que b é qualquer número real e a reta que é gráfico de y = x?

Vamos agora investigar o que ocorre com o gráfico de uma função afim do tipo y = ax conforme variamos o valor de a.

d) Em um mesmo plano cartesiano, construa o gráfico das funções y = x e y = 2x. O que você observou?

e) No mesmo plano cartesiano do item d, construa o gráfico das funções y =

\frac{1}{3}

x, y =

\frac{1}{2}

x e y = 3x. Depois, compare o gráfico dessas funções com o gráfico de y = x. O que você observou?

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▶ Informática e Matemática

Lembre-se: Escreva no caderno!

f) Em um mesmo plano cartesiano, construa os gráficos de y = x e y = menosx. O que você observou?

g) Dê três exemplos de pares de funções afins cujos gráficos sejam simétricos em relação ao eixo y.

h) Observe a seguir como Luana fez para construir o gráfico de y = 2x + 1 com base no gráfico de y = x.

Ilustração. Folha de caderno branca com o texto em azul:
tópico 1: Primeiro construí o gráfico da função y igual x.
tópico 2: Depois, construí o gráfico da função y igual 2 vezes x.
tópico 3: Por último, construí o gráfico de y igual 2 vezes x mais 1, que corresponde a uma translação vertical de 1 unidade para cima do gráfico de y igual 2 vezes x.

Gráfico. Malha quadriculada com eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números inteiros de menos 5 até 5 e ele está rotulado como x. No eixo vertical estão indicados os números inteiros de menos 4 até 5 e ele está rotulado como y. A reta roxa passa pelos eixos no ponto com coordenadas: 0 e 0 e passa pelo ponto com coordenadas 1 e 1. Essa reta é determinada pela função y igual a x. A reta verde passa pelos eixos no ponto com coordenadas: 0 e 0 e passa pelo ponto com coordenadas 1 e 2. Essa reta é determinada pela função y igual a 2x. A reta vermelha passa pelo eixo y no ponto com coordenadas: 0 e 1 e passa pelo ponto com coordenadas 1 e 3. Essa reta é determinada pela função y igual a 2x mais 1.

Agora, faça como Luana e construa os gráficos de y =

\frac{1}{2}

x + 2 e y = 3x menos 2 com base no gráfico de y = x.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Zero da função afim

Em toda função f, cada valor de x, em que fabre parênteses décimafecha parênteses = 0, é chamado de zero da função.

O zero de uma função afim de lei y = ax + b, com a ≠ 0, é único e pode ser determinado resolvendo a equação ax + b = 0, em que a letra x é a incógnita. Resolvendo essa equação, obtemos x =

‒ \frac{b}{a}

.

Vamos determinar o zero da função fabre parênteses décimafecha parênteses = 2x menos 1.

Quando fabre parênteses décimafecha parênteses = 0, temos:

2x menos 1 = 0

2x = 1

x = \frac{1}{2}

Portanto, o zero dessa função é

\frac{1}{2}

.

Graficamente, o zero de uma função afim fabre parênteses décimafecha parênteses = ax + b, com a ≠ 0, é a abscissa do ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo x.

Observe o gráfico da função fabre parênteses décimafecha parênteses = 2x menos 1:

x	f(x)
1	1
$divisão de 1 sobre 2$	0

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números 0, fração 1 meio e 1 e ele está rotulado como x. No eixo vertical estão indicados os números 0 e 1 e ele está rotulado como y. 2 pontos roxos estão indicados no plano cartesiano. O primeiro ponto está em cima do número fração 1 meio no eixo x. O segundo ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 1 no eixo y. Reta roxa passando pelos dois pontos. Seta azul do texto zero da função para fração 1 meio.

Ilustração. Mulher branca, vestindo camiseta amarela, calça azul e tênis vermelho. Está com a mão direita levantada e espalmada para frente. Atrás, uma lousa verde. Balão de fala com o texto: Note que o zero da função é a abscissa fração 1 sobre 2 do ponto abre parênteses fração 1 sobre 2 fim da fração vezes 0 fecha parênteses, em que o gráfico cruza o eixo x.

Para pensar

Será que uma função afim apresenta sempre um zero ou existe alguma função afim que não apresenta zero?

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Determine o zero das funções considerando que x pode assumir qualquer valor real.

a) y = menos7x menos 3

b)

y = x + \frac{5}{3}

c) y = 6x menos 1

d)

y = \frac{1 ‒ x}{3}

2. Construa o gráfico da função fabre parênteses décimafecha parênteses = menos 4x +

\frac{1}{4}

e com base nele determine o zero dessa função.

3. O quadro a seguir foi usado na construção do gráfico de uma função. Descubra o zero dessa função e o ponto em que o gráfico passa pelo eixo y.

x	−2	−1	0	1	2
y	6	4	2	0	−2

4. Identifique as duas funções que determinam gráficos que se cruzam em um mesmo ponto no eixo x.

a) y = 2x + 2

b) y = 2x menos 2

c) y = x + 1

d) y = 3x + 6

5. Corrija a afirmação a seguir.

O zero da função f, em que fabre parênteses décimafecha parênteses = 4x menos 12, é 6.

6. Descubra o valor de m de modo que o gráfico da função f(x) = 3x + m menos 2 corte o eixo y no ponto abre parênteses0, 4fecha parênteses.

7. Determine, sem construir gráficos, os pontos em que as funções a seguir cruzam os eixos x e y.

a) f(x) = 2 menos

\frac{x}{2}

b) f(x) = 2 menos x

Análise do gráfico de uma função afim

Em determinadas situações, é interessante analisar o gráfico de uma função. Considere, por exemplo, o gráfico a seguir.

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números 0 e 134 e ele está rotulado como medida de massa de feijão abre parênteses quilograma fecha parênteses. No eixo vertical está indicado o número 0 e ele está rotulado como faturamento abre parênteses reais fecha parênteses. 1 ponto roxo está indicado no plano cartesiano. O ponto está em cima do número 134 no eixo x. Reta roxa que parte de um valor negativo de faturamento e passa pelo ponto indicado.

Ilustração. Homem branco, cabelo castanho, vestindo boné vermelho, camisa xadrez amarela, calça azul e sapato marrom. Está segurando com as duas mãos um saco com o texto em vermelho Feijão. Em sua frente, um caminhão azul com carroceria de grade aberta e, em cima, outros sacos com o texto Feijão escrito.

O gráfico indica o faturamento de um agricultor de acordo com a medida da massa de feijão que ele vende. No eixo y, é representado o faturamento (prejuízo ou lucro); no eixo x, é representada a medida de massa de feijão vendida, em quilograma.

Para pensar

De acordo com o gráfico, quais são as condições para que o agricultor tenha prejuízo ou lucro?

Página 223

Observação

Pela análise do gráfico de uma função afim, de lei fabre parênteses décimafecha parênteses = ax + b, em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real, podemos estudar seu sinal, ou seja, verificar os valores de x para os quais a função f é positiva, negativa e nula.

Vamos separar esse estudo em dois casos, considerando se a função é crescente ou decrescente.

Ilustração. Menino branco, ruivo, vestindo camisa de gola branca, calça azul e tênis cinza. Está com as duas mãos levantadas e espalmadas para cima. Balão de fala com o texto: Note que os pontos do gráfico que estão acima do eixo x são aqueles em que y maior que 0, ou seja, nesses pontos a função é positiva.

Função crescente

Para o estudo de sinais, não precisamos construir o gráfico da função. Basta fazer um esboço indicando o zero da função e se ela é crescente ou decrescente.

Assim, considerando uma função fabre parênteses décimafecha parênteses = ax + b, com a > 0:

Esquema. Eixo horizontal rotulado como x. Está marcado o ponto de valor fração menos b sobre a no eixo. Reta da função passando por esse ponto, a esquerda do ponto a reta está abaixo do eixo e a direita do ponto está acima. Na região entre o eixo e a reta da função, na parte que está à esquerda do ponto tem 10 setas azuis, saindo do eixo e apontando para a reta da função, no meio da região um sinal de negativo. Na região entre o eixo e a reta da função, na parte que está à direita do ponto tem 10 setas azuis, saindo do eixo e apontando para a reta da função, no meio da região um sinal de positivo.

• para x =

‒ \frac{b}{a}

, com a ≠ 0, fabre parênteses décimafecha parênteses = 0;

• para x >

‒ \frac{b}{a}

, com a ≠ 0, fabre parênteses décimafecha parênteses > 0;

• para x <

‒ \frac{b}{a}

, com a ≠ 0, fabre parênteses décimafecha parênteses < 0.

Vamos, por exemplo, analisar o gráfico da função fabre parênteses décimafecha parênteses = 2x + 2.

A função é crescente. Pelo esboço, verificamos que:

Esquema. Eixo horizontal rotulado como x. Está marcado o ponto de valor menos 1 no eixo. Seta azul do texto: zero da função, para o ponto. Reta da função passando por esse ponto, a esquerda do ponto a reta está abaixo do eixo e nesta região um sinal de negativo. A direita do ponto a reta da função está acima do eixo e nesta região um sinal de positivo.

• para x = menos1, fabre parênteses décimafecha parênteses = 0;

• para x > menos1, fabre parênteses décimafecha parênteses > 0;

• para x < menos1, fabre parênteses décimafecha parênteses < 0.

Portanto, a função é nula para x = menos1, positiva para x > menos1 e negativa para x < menos1.

Função decrescente

Considerando uma função fabre parênteses décimafecha parênteses = ax + b, com a < 0:

• para x =

‒ \frac{b}{a}

, com a ≠ 0, fabre parênteses décimafecha parênteses = 0;

• para x >

‒ \frac{b}{a}

, com a ≠ 0, fabre parênteses décimafecha parênteses < 0;

• para x <

‒ \frac{b}{a}

, com a ≠ 0, fabre parênteses décimafecha parênteses > 0.

Vamos, por exemplo, analisar o gráfico da função fabre parênteses décimafecha parênteses = menos2x menos 2.

A função é decrescente. Pelo esboço, verificamos que:

• para x = menos1, fabre parênteses décimafecha parênteses = 0;

• para x > menos1, fabre parênteses décimafecha parênteses < 0;

• para x < menos1, fabre parênteses décimafecha parênteses > 0.

Portanto, a função é nula para x = menos1, é negativa para x > menos1 e é positiva para x < menos1.

Página 224

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe o gráfico da função fabre parênteses décimafecha parênteses = menosx + 3.

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números 0 e 3 e ele está rotulado como x. No eixo vertical estão indicados os números 0, e 3 e ele está rotulado como y. 2 pontos azuis estão indicados no plano cartesiano. O primeiro ponto está em cima do número 3 no eixo y. O segundo ponto está em cima do número 3 no eixo x. Reta azul passando pelos dois pontos.

a) Para que valor de x o valor de fabre parênteses décimafecha parênteses é 0?

b) Para que valores de x temos fabre parênteses décimafecha parênteses > 0?

c) Para que valores de x temos fabre parênteses décimafecha parênteses < 0?

2. Determine os valores reais de x para os quais a função f tem valores de fabre parênteses décimafecha parênteses positivos, negativos e nulos.

a) fabre parênteses décimafecha parênteses = 7x menos 3

b) fabre parênteses décimafecha parênteses = menos x + 8

c) fabre parênteses décimafecha parênteses = 5x + 1

d) fabre parênteses décimafecha parênteses =

‒ \frac{x}{3}

3. Considere a função constante cuja lei é fabre parênteses décimafecha parênteses = b, em que b é um número real.

Para quais valores reais de x o valor de fabre parênteses décimafecha parênteses é maior que 0? E menor que 0?

4. Escreva a lei de três funções afins que tenham as seguintes características:

• para

x = ‒ \frac{1}{2}

, fabre parênteses décimafecha parênteses = 0;

• para

x < ‒ \frac{1}{2}

, fabre parênteses décimafecha parênteses < 0.

5. Sabe-se que o lucro (ou o prejuízo) de uma empresa com a produção de x peças é dado pela lei da função fabre parênteses décimafecha parênteses = 50x ‒ 500, com x ∈ ℕ

. Quantas peças precisam ser produzidas, no mínimo, para que essa empresa tenha lucro?

6.

Considere a lei de uma função fabre parênteses décimafecha parênteses = ax + b, em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real. Se os pontos abre parênteses1, 2fecha parênteses e abre parêntesesmenos1, 0fecha parênteses pertencem ao gráfico de f, então fabre parênteses décimafecha parênteses > 0 para:

a) x > 0

b)

x > ‒ \frac{1}{2}

c) x > 1

d) x > menos1

7.

Com base na função fabre parênteses décimafecha parênteses = 3x + 1, elabore um problema e dê para um colega resolver. Depois, verifique se a resposta está correta.

Função linear

Vimos na página 217 um caso particular da função afim: a função constante (y = b, para qualquer b real). Agora vamos estudar outro caso particular da função afim: a função linear. Sua lei é y = ax, para qualquer a real diferente de zero.

Como todo gráfico de função afim, o gráfico da função linear também é uma reta, com a particularidade de sempre passar pelo ponto abre parênteses0, 0fecha parênteses.

Observe, a seguir, o gráfico da função linear fabre parênteses décimafecha parênteses = menos2x.

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números 0, 1 e 2 e ele está rotulado como x. No eixo vertical estão indicados os números menos 4, menos 2 e 0 e ele está rotulado como y. 3 pontos azuis estão indicados no plano cartesiano. O primeiro ponto está em cima do número 0 no encontro dos eixos. o segundo ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número menos 2 no eixo y. O terceiro ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 2 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número menos 4 no eixo y. Reta azul passando pelos três pontos nomeada f de x.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe a afirmação de Mário.

Ilustração. Mário, homem negro, cabelo castanho, vestindo camisa de gola cinza e calça azul. Está com a mão direita espalmada para baixo.
Balão de fala com o texto: O zero de uma função linear sempre x igual 0.

• Você concorda com ele? Justifique sua resposta.

2. A medida do perímetro y de um hexágono regular pode ser escrita em função da medida de comprimento x de seu lado.

Qual é a lei que relaciona os valores de y e de x?

3. Em um restaurante em que se vende comida por quilograma, a balança é programada para calcular o preço a ser pago. O quilograma da comida custa R$ 30,00trinta reais.

a) Escreva a lei da função que relaciona o preço y que será pago pela medida da massa x, em quilograma, de comida pesada.

b) Quanto custarão 600 gramas de comida nesse restaurante?

4. Qual é a lei da função linear que passa pelo ponto abre parêntesesmenos1, 5fecha parênteses?

5. A medida de comprimento C de uma circunferência varia em função da medida de comprimento de seu raio r segundo a relação C = 2pir. Sabendo disso, reproduza o quadro no caderno e complete-o.

r	1	2	3		10
C	2 pi		6 pi	10 pi

6. Um automóvel percorre certa medida de distância com medida de velocidade constante de 60 quilômetros por hora.

a) Escreva a lei da função que relaciona a medida de distância y, em quilômetro, com a medida de tempo x, em hora, do percurso.

b) Determine quantos quilômetros o automóvel percorreu depois de 3,5 horas.

7. É política de uma empresa investir 15% de seu lucro anual em benefícios para os funcionários. No ano passado, o lucro foi de R$ 300.000,00trezentos mil reais, e R$ 45.000,00quarenta e cinco mil reais foram investidos em uma sala de ginástica para os funcionários.

a) Escreva a lei da função do benefício b em relação ao lucro L.

b) Qual será o valor do benefício para um lucro de R$ 550.000,00quinhentos e cinquenta mil reais?

8.

Escreva a lei da função que relaciona a medida de comprimento d da diagonal e a medida de comprimento ℓ

do lado do quadrado.

2 Função linear e proporcionalidade

Analise as situações a seguir.

Situação 1

A medida de distância d, em quilômetro, que um automóvel percorre é dada em função da medida de tempo t, em hora. O quadro a seguir mostra como a medida de distância (d) varia com a medida de tempo (t).

t (em hora)	1	2	3	4	5
d (em quilômetro)	60	120	180	240	300

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Os valores de d são diretamente proporcionais aos valores de t, porque, dobrando o valor de t, o valor de d também dobra; triplicando o valor de t, o valor de d também triplica; e assim por diante.

A lei da função que mostra a correspondência entre a medida de distância d percorrida pelo automóvel, em quilômetro, pela medida de tempo t, em hora, é d = 60t, em que t pode ser qualquer número real maior ou igual a zero. Essa função apresenta proporcionalidade direta entre os valores de d e t.

Note que a razão entre os valores de d pelos correspondentes valores de t é sempre igual a 60:

\frac{60}{1} = \frac{120}{2} = \frac{180}{3} = \frac{240}{4} = \frac{300}{5} = 60

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e ele está rotulado como t abre parênteses horas fecha parênteses. No eixo vertical estão indicados os números 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280 e 300 e ele está rotulado como d abre parênteses quilômetros fecha parênteses. 5 pontos verdes estão indicados no plano cartesiano. O primeiro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 60 no eixo y. O segundo ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 2 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 120 no eixo y. O terceiro ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 3 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 180 no eixo y. O quarto ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 4 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 240 no eixo y. O quinto ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 5 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 300 no eixo y. Reta verde saindo da origem e passando pelos 5 pontos.

A razão entre a medida de distância percorrida por um corpo móvel e a medida de tempo que esse corpo gasta para percorrê-la é definida como medida de velocidade média. Na situação anterior, a velocidade média do automóvel media 60 quilômetros por hora. Isso significa que o automóvel percorreu em média 60 quilômetros por hora.

Para pensar

Em uma hora 30 minutos, a medida de distância que um automóvel percorreu foi de 120 quilômetros. Qual foi a medida de velocidade média, em quilômetro por hora, desse automóvel nesse percurso?

Situação 2

Os mapas e as plantas baixas são representações gráficas reduzidas de superfícies territoriais e de construções. Para elaborar esse tipo de representação, devemos usar uma escala.

Escala é a razão entre a medida do comprimento que está na representação gráfica e a medida do comprimento correspondente ao objeto real, empregando-se, para isso, a mesma unidade.

Paula comprou um apartamento que ficará pronto no final do ano. A planta baixa reproduzida a seguir indica as dimensões que esse apartamento terá.

Página 227

Lembre-se: Escreva no caderno!

A escala da planta é de 1 : 100 ou

\frac{1}{100}

(lemos: ''1 para 100''). Isso significa que cada centímetro medido na planta corresponde a 100 centímetros no local real, ou seja, a 1 métros na realidade.

Ilustração. Planta baixa de um apartamento mostrando a disposição dos cômodos. São 3 dormitórios, um dos dormitórios com banheiro, um outro banheiro, a cozinha em conjunto com a área de serviço e sala de estar e sala de jantar no mesmo ambiente. Da sala de estar tem uma porta para o terraço que tem o formato retangular com medida de comprimento 0 vírgula 85 centímetros e medida de largura igual a 2 vírgula 4.
Cota abaixo com o texto: Escala 1 para 100.

Para pensar

As medidas de comprimento do terraço nessa planta são 2,4 centímetros e 0,85 centímetro. Quais são as medidas de comprimento reais desse terraço?

A medida de comprimento real r, em centímetro, é determinada em função da medida de comprimento da representação gráfica x, em centímetro. Observe no quadro a seguir a correspondência entre os valores de r e x.

x (em centímetro)	1	2	3	4	5
r (em centímetro)	100	200	300	400	500

Note que os valores de r são diretamente proporcionais aos valores de x. A lei da função que mostra a correspondência entre r e x é r = 100x, com x > 0. Essa função também apresenta proporcionalidade direta entre os valores de r e x.

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e ele está rotulado como x abre parênteses centímetros fecha parênteses. No eixo vertical estão indicados os números 0, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450 e 500 e ele está rotulado como r abre parênteses centímetros fecha parênteses. 5 pontos vermelhos estão indicados no plano cartesiano. O primeiro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 100 no eixo y. O segundo ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 2 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 200 no eixo y. O terceiro ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 3 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 300 no eixo y. O quarto ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 4 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 400 no eixo y. O quinto ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 5 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 500 no eixo y. Reta vermelha saindo da origem e passando pelos 5 pontos.

Se há proporcionalidade direta entre os valores reais de x e y, existe uma função linear que relaciona as variáveis x e y, ou seja, uma função cuja lei pode ser escrita na fórma y = ax, com a real, a ≠ 0, x e y reais.

Página 228

Observação

As funções lineares decrescentes também apresentam proporcionalidade direta.

Observe a função linear de lei y = menosx:

x	y
0	0
1	−1
2	−2

Nessa função, os valores de y são diretamente proporcionais aos valores de x, porque, dobrando o valor de x, o valor de y também dobra.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe o gráfico que representa a relação entre as grandezas x e y.

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números 0, 1, 2, 3 e 4 e ele está rotulado como x. No eixo vertical estão indicados os números 0, fração 1 quarto, fração 1 terço, fração 1 meio e 1 ele está rotulado como y . 4 pontos azuis estão indicados no plano cartesiano. O primeiro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 1 no eixo y. O segundo ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 2 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até a fração 1 meio no eixo y. O terceiro ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 3 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até a fração 1 terço no eixo y. O quarto ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 4 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até a fração 1 quarto no eixo y. Curva azul passando pelos 4 pontos.

a) Copie o quadro a seguir no caderno e complete-o.

x	1	2	3	4
y

b) Qual é a lei da função que relaciona x e y?

c) Podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais? Por quê?

2. Um motorista de táxi cobra um valor fixo de R$ 4,10quatro reais e dez centavos mais R$ 2,50dois reais e cinquenta centavos por quilômetro rodado. O preço da viagem (y) é função do número (x) de quilômetros rodados.

Ilustração. Lateral de um automóvel amarelo com o texto: Táxi.
Dentro do carro, homem branco, calvo, cabelo e bigode cinzas. Está sentado, com cinto de segurança, dirigindo. Ao fundo, vários contornos de prédios.

a) Qual é a lei da função que relaciona x e y?

b) O preço da viagem em relação ao número de quilômetros rodados é diretamente ou inversamente proporcional? Justifique sua resposta.

3. Um carro de Fórmula 1 percorre uma medida de distância de cérca de 380 quilômetros em duas horas de corrida. Qual é a medida da velocidade média do carro, em quilômetro por hora, durante a corrida?

Página 229

4. Nos mapas a seguir, que estão em escalas diferentes, A e B representam a casa de Ana e a de Beto, respectivamente. Com uma régua, meça a distância entre os pontos A e B nos mapas. Depois, calcule a escala de cada mapa, sabendo que a medida de distância real entre a casa de Ana e a de Beto mede de 400 métros.

a)

Ilustração. Representação do mapa do bairro formato retangular. Próximo do canto superior esquerdo está o ponto a que representa a casa de Ana. Próximo do canto inferior direito está o ponto B que representa a casa de Beto. Há um segmento de reta ligando A e B.

b)

Ilustração. Mesma figura do mapa anterior só que agora visto mais de longe, de forma que os pontos A e B estão mais próximos.

Em cada caso, determine a lei da função que relaciona a medida de comprimento real r, em centímetro, e a medida de comprimento da representação gráfica x, em centímetro.

Versão adaptada acessível

4. Em um mapa a distância entre a casa de Ana e a de Beto mede 2 centímetros. Sabendo que a distância real entre a casa deles mede 400 metros, responda às questões.

a) Qual é a escala desse mapa?

b) Determine a lei da função que relaciona a medida de comprimento real r, em centímetro, e a medida de comprimento da representação gráfica x, em centímetro.

5. Podemos verificar se uma região é muito ou pouco povoada comparando sua medida de área com o número de pessoas que nela vivem. A razão entre o número de habitantes e a medida de área da região ocupada por eles é definida como densidade demográfica.

Na tabela a seguir, estão representadas a população estimada de quatro estados brasileiros em 2021 e sua medida de área territorial.

População e medida de área territorial de alguns estados do Brasil em 2021
Estado	População estimada	Medida de área territorial aproximada (em km2)
Amazonas	4.269.995	1.559.167
Rio de Janeiro	17.463.349	43.750
Mato Grosso	3.567.234	903.207
Sergipe	2.338.474	21.938

Dados obtidos no sistema Cidadesarroba do í bê gê É em 21 março 2022.

a)

Determine, usando uma calculadora, a densidade demográfica aproximada de cada um desses estados em 2021.

b) Com base nos dados apresentados, podemos dizer que existe uma função linear que relaciona o número de habitantes desses estados à medida de área da região ocupada? Por quê?

6. Para fazer sabão caseiro, Iara acrescenta 1 litro de água a 2 litros de óleo de cozinha já usado.

a) Copie o quadro no caderno e complete-o com a quantidade de litros de água que devem ser acrescentados a cada quantidade de litros de óleo.

Quantidade de litros de água	Quantidade de litros de óleo
	4
	6
	9
	x

b) Escreva a lei da função que relaciona a quantidade de litros de água L com a quantidade de litros de óleo x.

c) As grandezas L e x são diretamente proporcionais? Justifique.

d)

Pesquise sobre a importância para o meio ambiente de fazer sabão caseiro com óleo usado. Converse com os colegas.

7. O gráfico a seguir apresenta a medida de volume (V) de álcool, em centímetro cúbico (centímetros cúbicos), em função de sua medida de massa (m), em grama (grama), a uma medida de temperatura fixa de 0 ºC.

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números 0, 20 e 40 e ele está rotulado como medida de massa abre parênteses grama fecha parênteses. No eixo vertical estão indicados os números 0, 20, 40, 60, 80 e 100 e ele está rotulado como medida de volume abre parênteses centímetros cúbicos fecha parênteses. 3 pontos azuis estão indicados no plano cartesiano. O primeiro ponto está no número 0, no encontro dos eixos. O segundo ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 20 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 40 no eixo y. O terceiro ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 40 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 80 no eixo y. Reta azul passando pelos pontos.

a) Observando o gráfico, é possível afirmar que as grandezas volume e massa são diretamente proporcionais? Justifique sua resposta.

b) Qual é a medida de volume de 50 gramas de álcool?

c) Qual é a medida de massa de 60 centímetros cúbicos de álcool?

d) Escreva a lei da função que relaciona V e m.

Página 230

Ilustração. Ícone de caderno na vertical com uma lupa.

Compreender um texto

faça as atividades no caderno

De olho na bateria

Quanto tempo sem plugar na tomada?

Ao comprar um novo smartphone, quais características você acha importante analisar? Design, armazenamento, processador? E a bateria? Sim. A bateria! Ela é uma especificação muito importante. Com o uso de aplicativos, jogos e internet, diversos modelos de smartphones não conseguem manter a carga de bateria por mais de um dia.

Ilustração. Cinco celulares cinza com um botão circular, lado a lado. No primeiro, a tela ligada está com um símbolo de bateria na cor branca e, dentro, 4 barras verdes, preenchendo toda a bateria. No segundo o símbolo de bateria na cor branca com 3 barras amarelas dentro. No terceiro, na tela tem símbolo de bateria na cor branca com 2 barras amarelas mais escuras dentro. No quarto, na tela tem símbolo de bateria na cor branca com 1 barra alaranjada dentro. No quinto, na tela tem símbolo de bateria na cor vermelho com um símbolo de raio vermelho dentro.

As especificações de duração da bateria podem ser encontradas de duas maneiras: a primeira é baseada em horas de conservação ou medida de tempo de espera e a segunda tem a medida da capacidade da bateria de um aparelho expressa em miliampere-hora (mili ampér hora).

Ampere é a unidade de medida de corrente elétrica do ésse Í e miliampere, um submúltiplo adotado para baterias de menor tamanho. Miliampere-hora é uma unidade de carga elétrica que representa a quantidade de carga transferida por uma corrente estável durante uma hora.

Mas como comparamos a bateria de smartphones? Se considerarmos consumos iguais – que exigem a mesma corrente – basta compararmos as medidas em miliampere-hora. Um mesmo modelo de smartphone, por exemplo, pode ficar mais tempo sem ser plugado na tomada com uma bateria de .5000 mili ampér hora do que com uma bateria de .4000 mili ampér hora.

Porém, quando consideramos componentes e usos diferentes, não podemos fazer essa simples comparação. Vamos considerar dois casos:

• Um smartphone com uma bateira de .5000 mili ampér hora, que consome em média 500 mili ampér, teria uma autonomia de 10 horas;

• Já um ismartifône com uma medida de capacidade de bateria menor, .4000 mili ampér hora, com um consumo médio de 200 mili ampér, ficaria sem ser plugado na tomada por 20 horas.

Com esses exemplos, concluímos que, além da medida de capacidade da bateria, o consumo influencia na medida de tempo de autonomia do smartphone. Além disso, não podemos nos esquecer que um processador mais potente e uma tela maior, por exemplo, costumam gastar mais bateira. Nesse caso, para ficar um tempo aceitável sem ser plugado da tomada, esse smartphone teria de ter uma bateria com medida de capacidade maior.

Uma vez plugado o carregador na tomada, é preciso tomar alguns cuidados. Acompanhe, a seguir, algumas orientações fornecidas pela Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel) que podem evitar acidentes durante o carregamento de smartphones.

Página 231

[reticências]

Evite utilizar o telefone enquanto o equipamento estiver em processo de carregamento ligado à tomada de energia elétrica.

[reticências]

• Não utilize carregadores visivelmente danificados (incluído o cabo) ou com defeito para carregar seu dispositivo móvel.

• Não use ferramentas, objetos pontiagudos ou fórça excessiva para limpar ou reparar as conexões elétricas do carregador ou do aparelho, pois poderá danificar seu dispositivo móvel ou o carregador.

• Não recarregar o celular em áreas molhadas (exêmplo: chuveiro; banheira; piscina), mesmo que o aparelho seja resistente à água. Manusear o aparelho nesta condição pode resultar em choques elétricos.

[reticências]

Fotografia. Celular apagado e conectado por um fio preto a uma tomada branca. Fundo na cor azul.

AGÊNCIA NACIONAL DE TELECOMUNICAÇÕES. Orientações para uso seguro de telefones celulares e seus acessórios. Brasília, 15 abril 2021. Disponível em: https://oeds.link/1yfE56. Acesso em: 12 janeiro 2022.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. O que significa a sigla mAh presente nas baterias de smartphones?

2. Ao comparar a bateria de dois smartphones de modelos diferentes, deve-se analisar apenas a medida de capacidade da bateria em miliampère-hora? Justifique.

3. Imagine que você vai comprar um smartphone novo. Para escolher o modelo, quais especificações analisaria?

4.

Você já conhecia alguma das orientações da Anatel ao carregar um smartphone? Comente com os colegas se você já segue alguma delas.

5. Para recarregar totalmente (0% a 100%) a bateria de certo modelo de smartphone, são necessários 50 minutos. Supondo que o carregamento ocorre segundo uma taxa constante, resolva os itens a seguir.

a) O quadro apresenta o percentual de carga na bateria desse smartphone a cada 5 minutos, a partir de zero minuto. Copie e complete-o em seu caderno.

b) Escreva uma expressão que relacione o percentual de carga à medida de tempo, em minuto.

c) Qual é o percentual de carga na bateria após 37 minutos?

Página 232

Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Probabilidade de eventos independentes e de eventos dependentes

Elisa vai caminhando todos os dias para a escola. Da sua casa até a escola, ela pode fazer diferentes caminhos. Considere que Elisa faça um caminho diferente por dia, observe na ilustração a seguir os caminhos possíveis.

Ilustração. Mapa com a representação do bairro da casa de Elisa, praça e a escola. À esquerda, no canto superior, telhado de uma casa com a legenda na parte superior: Casa de Elisa. No centro da imagem, uma praça. Da casa de Elisa para a praça, há três ruas com caminhos. Na parte superior, a rua Edu. No meio, a rua Kátia. Na parte inferior, rua Flórida. No canto inferior direito, há outro telhado, com a legenda na parte inferior: Escola. A partir da praça, há quatro ruas que ligam a praça à escola. Da parte superior para a inferior estão: rua Margarida; rua Olis; rua Joia; rua Bari. Há árvores espalhadas pela praça e entre as ruas.

Priscila, sua amiga de escola, vai visitá-la depois da aula. Qual é a probabilidade de Priscila sair da escola e chegar à casa de Elisa passando pelas Ruas Joia e Flórida?

Esse tipo de situação envolve eventos independentes, pois existem dois trechos para chegar até o destino e a escolha de um não depende da escolha do outro. Para calcular essa probabilidade, podemos desenhar a árvore de probabilidades.

Observe a seguir.

Esquema. Possibilidades de caminhos. Palavra escola com 4 fios azuis: da esquerda para direita, o primeiro conectando com Bari, segundo com Joia, o terceiro Olis e o quarto com Margarida. Em cada fio, cota com a fração 1 quarto. De Bari, 3 fios azuis, da esquerda para direita, o primeiro conectando com Flórida, o segundo com Kátia, o terceiro com Edu. Em cada fio cota com a fração 1 terço. De Joia, 3 fios azuis, da esquerda para direita, o primeiro conectando com Flórida, o segundo com Kátia, o terceiro com Edu. Em cada fio cota com a fração 1 terço. De Olis, 3 fios azuis, da esquerda para direita, o primeiro conectando com Flórida, o segundo com Kátia, o terceiro com Edu. Em cada fio cota com a fração 1 terço. De Margarida, 3 fios azuis, da esquerda para direita, o primeiro conectando com Flórida, o segundo com Kátia, o terceiro com Edu. Em cada fio cota com a fração 1 terço.

A probabilidade da ocorrência de eventos independentes é calculada multiplicando as probabilidades de cada evento ocorrer. Nesse caso, a probabilidade de Priscila escolher a Rua Joia é

\frac{1}{4}

, e a probabilidade de escolher a Rua Flórida é

\frac{1}{3}

. Portanto, a probabilidade final será

\frac{1}{4}

⋅

\frac{1}{3}

=

\frac{1}{12}

.

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Se quiséssemos saber a probabilidade de Priscila escolher esse caminho ou optar pela Rua Olis e pela Rua Kátia, bastaria adicionar as duas probabilidades. Assim:

\frac{1}{12}

+

\frac{1}{12}

=

\frac{2}{12}

=

\frac{1}{6}

Chegando à casa de sua amiga, Priscila tirou um pacote de balas de sua mochila e pediu para Elisa pegar duas balas, uma após a outra. Nesse pacote há 3 balas de morango, 2 de pêssego e 4 de hortelã. Qual é a probabilidade de Elisa pegar a primeira bala de pêssego e depois uma bala de hortelã?

Esse tipo de situação envolve eventos dependentes, pois após Elisa retirar uma bala do pacote, o número de balas será diferente do número inicial. Portanto, a segunda escolha dependerá da primeira.

Ilustração. Mão branca segura pacote azul, de balas. Na parte inferior, há ilustração de 9 embalagens de balas. 4 na cor verde, legenda em preto Hortelã. 2 na cor laranja, legenda em vermelho Pêssego. 3 na cor rosa, com legenda em vermelho Morango.
Em cima, mão negra está dentro, na parte superior da embalagem.

Inicialmente o pacote tem 9 balas. Assim, a probabilidade de Elisa escolher uma bala de pêssego é de

\frac{2}{9}

.

Após retirar essa bala, sobrarão 8 balas no pacote, sendo 4 de hortelã. Portanto, a probabilidade de retirar uma bala de hortelã, nesse caso, será de

\frac{4}{8}

. Agora, para calcular a probabilidade final, basta multiplicar esses valores. Assim:

\frac{2}{9}

⋅

\frac{4}{8}

=

\frac{1}{9}

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Leia cada situação a seguir e classifique os eventos citados em dependentes ou independentes.

a) Um sorteio será realizado em uma sala de aula com 30 estudantes. Após ser sorteado, cada estudante deverá ir à frente da sala. Deseja-se saber a probabilidade de ser sorteado um menino e depois uma menina.

b) Serão lançados dois dados com a mesma numeração e deseja-se saber a probabilidade de se obter um número par e um número primo.

c) Paulo está montando um lanche. Há opção de pão francês ou pão integral. Para o recheio ele pode optar por queijo, salame ou peito de peru. Deseja-se saber a probabilidade de Paulo escolher pão integral e queijo para montar seu lanche.

2. Paulo lançará uma moeda honesta duas vezes.

a) Qual é a probabilidade de sair cara no primeiro lançamento?

b) Qual é a probabilidade de sair coroa no segundo lançamento, sabendo que no primeiro saiu cara?

c) Os lançamentos da moeda são eventos dependentes ou independentes? Por quê?

3. Mateus trabalha em uma indústria verificando a qualidade das peças que são produzidas em determinadas horas do dia. Em um conjunto de 40 peças produzidas, 3 saem com algum defeito.

a) Qual é a probabilidade de Mateus retirar uma peça sem defeito e depois uma peça com defeito?

b) Qual é a probabilidade de Mateus escolher, uma após a outra, 3 peças sem defeito?

4. Em um pacote de caixinhas de suco há 3 caixinhas de suco de maçã, 4 de laranja, 6 de limão e duas de mamão. Sabendo que as escolhas serão aleatórias, responda.

a) Qual é a probabilidade de se retirar primeiro uma caixinha de suco de laranja?

b) Ainda considerando o pacote completo, qual é a probabilidade de se retirar uma caixinha de suco de limão e depois uma de suco de mamão?

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Trabalho em equipe

faça as atividades no caderno

Você sabe como funcionava a fotografia, antes das famosas selfies? Com a selfie você faz uma foto em poucos segundos, mas antigamente poderia demorar até 30 minutos para tirar uma única fotografia e, ampliá-la, era bem trabalhoso. Hoje, podemos usar uma máquina fotocopiadora para ampliar ou reduzir uma fotografia, mesmo depois de revelada. Essa será a tarefa que você e seu grupo vão realizar.

Fotografia e Matemática

Justificativa

A fotografia é uma fórma de arte visual, assim como o cinema, a pintura e a escultura.

Ampliar ou reduzir fotografias é uma tarefa comum no cotidiano dos profissionais que trabalham com edição de livros, revistas ou jornais e ajuda a compreender os importantes conceitos matemáticos de proporcionalidade e semelhança.

Objetivos

• Pesquisar como eram feitas as fotografias no passado e qual o processo realizado para ampliá-las.

• Selecionar uma fotografia de algum monumento brasileiro. Depois, ampliar e reduzir a imagem selecionada em diferentes tamanhos.

Apresentação

Painel expositivo com as ampliações e as reduções da fotografia selecionada.

Fotografia. Primeira imagem. Mar com uma área construída. Há várias esculturas verticais e, ao centro, uma escultura vertical maior, que chega próxima à borda de cima da fotografia. Ao fundo, céu. — Parque das Esculturas de Francisco brenãn, Recife (Pernambuco), 2020.

Fotografia. Primeira imagem reduzida em 50 por cento. — Redução de 50% da foto do Parque das Esculturas de Francisco brenãn.

Fotografia. Primeira imagem reduzida em 25 por cento. — Redução de 25% da foto do Parque das Esculturas de Francisco brenãn.

Fotografia. Primeira imagem ampliada em 30 por cento. — Ampliação de 30% da foto do Parque das Esculturas de Francisco brenãn.

Fotografia. Primeira imagem ampliada em 75 por cento. — Ampliação de 75% da foto do Parque das Esculturas de Francisco brenãn.

Questões para pensar em grupo

• Vocês conhecem algum monumento brasileiro? Se conhecem, qual?

• Onde podem encontrar uma fotografia de algum monumento brasileiro? Revistas? Jornais? Internet?

• Como irão dispor as fotografias no painel?

• Como conferir se as ampliações e as reduções obtidas não deformaram a fotografia original?

• Há diferença de qualidade entre a fotografia original e suas ampliações ou reduções?

NÃO SE esqueçam

• Informem ao atendente da papelaria a porcentagem de redução e ampliação que vocês querem da fotografia selecionada.

• Ao montar o painel, identifiquem a fotografia original e escrevam abaixo das demais a porcentagem de ampliação ou redução.

• Façam uma pesquisa sobre o monumento retratado na fotografia selecionada por vocês e compartilhem com os colegas as informações obtidas.

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Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. No Brasil, para medir a temperatura, usamos a unidade de medida grau Celsius. Em outros países, como os Estados Unidos, é usada outra unidade de medida, o grau Fahrenheit. Há uma fórmula que converte em grau Fahrenheit a medida de temperatura registrada em grau Celsius:

F = 1,8C + 32, em que F é a medida de temperatura em grau Fahrenheit e C é a medida de temperatura em grau Celsius.

Converta para grau Fahrenheit a medida de temperatura em grau Celsius indicada no termômetro da foto.

Fotografia. Termômetro digital branco e verde. No visor azul, texto em preto: 36 vírgula 0 graus Celsius. — Termômetro digital.

2. Seja x a medida de comprimento do lado de um triângulo equilátero e y a medida do perímetro desse triângulo.

Figura geométrica. Triângulo equilátero vermelho, com cota acima do lado esquerdo indicando medida x.

a) Escreva a lei da função que relaciona y e x.

b) No caderno, construa o gráfico dessa função.

3. Escreva no caderno apenas as afirmações verdadeiras com relação ao gráfico a seguir.

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo horizontal estão indicados os números menos 1, 0, 1, 3 e 4 e ele está rotulado como x. No eixo vertical estão indicados os números menos 1, 0 e 1 e ele está rotulado como y. 4 pontos azuis estão indicados no plano cartesiano. O primeiro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número menos 1 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número menos 1 no eixo y. O segundo ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 1 no eixo y. O terceiro ponto, tem uma linha tracejada na vertical até o número 3 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 1 no eixo y. O terceiro ponto, está em cima do número 4 no eixo x. A esquerda do primeiro ponto, segmento azul paralelo ao eixo x. Em seguida, segmento de reta ligando o primeiro ponto ao segundo. Em seguida, segmento de reta ligando o segundo ponto ao terceiro. Em seguida, segmento de reta ligando terceiro ponto ao quarto. Em seguida, este último segmento é prolongado após o quarto ponto.

a) Para x ⩽ menos1, a função é constante.

b) A função é crescente para menos1 ⩽ x ⩽ 1.

c) Para menos1 ⩽ x ⩽ 1, fabre parênteses décimafecha parênteses = x.

d) A função é constante para 1 ⩽ x ⩽ 3.

e) Para x ⩾ 3, fabre parênteses décimafecha parênteses = x menos 6.

4. Em certa região, por causa das fortes geadas, o preço dos produtos agrícolas subiu 15%. A expressão que relaciona os preços anteriores x e os preços posteriores y a esse aumento é:

a) y = 0,15x

b) y = 0,75x

c) y = 15x

d) y = 1,15x

5. Depois de intensa campanha salarial, uma empresa corrigiu o salário de seus funcionários multiplicando-o por 1,32.

a) Qual é a expressão que relaciona o novo salário y em função do antigo salário x?

b) Qual foi a porcentagem de aumento?

c) Construa o gráfico dessa função no caderno.

6. Um automóvel percorre certa medida de distância com medida de velocidade constante de 50 quilômetros por hora.

Fotografia. Avenida asfaltada com um carro preto passando. Ao fundo, gramado com construção. À frente, pendurada em um poste, placa branca em formato de círculo com borda vermelha e texto em preto, no centro: 50 quilômetros por hora. — Placa indicando a medida de velocidade máxima permitida em avenida, Londrina (Paraná), 2021.

• Podemos afirmar que, nesse caso, a medida de distância percorrida é diretamente proporcional à medida de tempo? Justifique sua resposta.

7.

Uma empresa investiu R$ 10.000,00dez mil reais no mês retrasado em propaganda, e sua receita foi de R$ 80.000,00oitenta mil reais. A receita mensal y dessa empresa relaciona-se com o valor x investido em propaganda por meio de uma função da fórma y = ax + b, com a e b reais.

No mês passado, a empresa investiu R$ 20.000,00vinte mil reais em propaganda, e sua receita aumentou 50% em relação à receita do mês anterior.

a) Determine a receita do mês quando a verba para propaganda for R$ 30.000,00trinta mil reais.

b) Obtenha a lei dessa função.

Medida de massa de salgadinhos (em quilograma)	Preço a pagar (em real)
x	y = 26,00 ⋅ x + 20,00
1	46,00
2	72,00
3	98,00
4	124,00
5	150,00
6	176,00