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A COLEÇÃO

Estrutura e seções

A coleção está dividida em quatro volumes, com quatro unidades cada um. A obra apresenta a seguinte estrutura: Abertura de Unidade, Conteúdos, Atividades, Estatística e Probabilidade, Atividades de revisão, Compreender um texto, Educação financeira, Informática e Matemática, Trabalho em equipe, Para finalizar, Recorde, Mostre o que você aprendeu e Mostre o que você já sabe.

Ao longo da obra, além de atividades e problemas envolvendo situações contextualizadas, a coleção propõe o uso da calculadora, a resolução de desafios, o trabalho em grupo, o cálculo por estimativa e os cálculos mentais. A obra incentiva os estudantes a raciocinar, relacionar ideias, usar a experiência adquirida forafóra da escola, refletir sobre a resolução de problemas e sobre os procedimentos utilizados para chegar à solução, produzir análises críticas, criativas e propositivas e desenvolver as capacidades de argumentar e de inferir.

Abertura

Em todas as unidades, há uma página de abertura.

A principal função da Abertura é servir de ligação entre o que os estudantes já sabem e o que devem saber ao final da Unidade. Por esse motivo, em cada uma há o boxe Para começar...reticências, cuja finalidade é identificar os conhecimentos prévios deles. As atividades desse boxe podem ser discutidas em grupo, e suas conclusões, compartilhadas com a turma.

Conteúdo e atividades

Em todas as unidades, procura­‑se desenvolver os conteúdos de formafórma clara e precisa, ampliando­‑os a cada abordagem e proporcionando, assim, uma visão global do assunto. Os conteúdos estão subdivididos em tópicos, intercalados por seções de atividades que exploram o conteúdo tratado naquele tópico.

No trabalho com os conteúdos, há questionamentos variados em boxes, como Para analisar, Para resolver, entre outros, que têm o objetivo de levar os estudantes à reflexão, à investigação, ao aprofundamento ou à dedução de algo que continuará estudando. Na seção Atividades, o objetivo é apresentar situações em que o conteúdo pode ser aplicado. Elas são organizadas da mais fácil para a mais difícil, incentivando os estudantes a raciocinar.

As atividades propostas envolvem os três níveis de conhecimento que podem ser acionados na resolução de uma questão: os conhecimentos de nível técnico, em propostas de atividades simples, que correspondem a aplicações imediatas do conhecimento desenvolvido no tópico; os conhecimentos de nível mobilizável, identificados no enunciado da atividade, mas que necessitam de reflexão antes de ser colocados em funcionamento; e os conhecimentos de nível disponível, que correspondem a situações propostas sem nenhuma indicação de resolução em seu enunciado.

A seguir, apresentamos um exemplo de cada tipo de atividade.

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Entre as atividades, destacamos algumas especiais, que são os desafios e as atividades de calculadora e de cálculo mental, distribuídas por toda a coleção, em momentos variados.

Esta seção foi elaborada para ajudar você, professor, a identificar as possíveis dificuldades, individuais ou coletivas, em relação aos principais conteúdos estudados em anos anteriores, considerados pré-requisitos para as habilidades que serão desenvolvidas neste volume. Esperamos que esta seção contribua com o diagnóstico para que você possa avaliar a necessidade de intervenções ou retomada de algum conteúdo. A maneira como os estudantes demonstram entendimento sobre o assunto, os registros e os cálculos dão indícios dos principais equívocos cometidos por eles.

Mostre o que você já sabe

Por meio desta seção, que está localizada no início do volume, vai ser possível fazer uma avaliação diagnóstica dos conhecimentos prévios dos estudantes. As questões que compõem essa avaliação são de múltipla escolha, sempre com quatro alternativas, sendo três distratores e uma resposta correta. O conteúdo das questões é relativo ao que foi trabalhado no ano anterior, mas tem relação com alguma habilidade importante do ano corrente.

Mostre o que você aprendeu

A exemplo da seção Mostre o que você já sabe, que busca dar um diagnóstico dos conhecimentos prévios dos estudantes, esta seção, Mostre o que você aprendeu, tem a intenção de avaliar o que eles aprenderam durante o ano letivo. Por essa razão, ela aparece sempre no fim do volume. As questões que compõem essa avaliação são de múltipla escolha, sempre com quatro alternativas, sendo três distratores e uma resposta correta. O conteúdo das questões é relativo ao que foi trabalhado no ano corrente.

A sociedade contemporânea exige a seleção e a análise de uma diversidade de informações. A Estatística, com seus conceitos e métodos para coletar, analisar e organizar dados, tem se revelado um poderoso aliado para compreender a realidade. Por esse motivo, a seção Estatística e Probabilidade recebeu destaque nesta coleção.

Os conhecimentos que esta seção explora referem­‑se à capacidade de analisar índices, fazer sondagens, escolher amostras e outras situações importantes ao cotidiano.

As atividades de revisão proporcionam aos estudantes a oportunidade de retomar os conteúdos estudados no capítulo. Muitas dessas atividades são contextualizadas tendo como base assuntos do interesse deles.

O uso desta seção deve se adequar ao planejamento do curso e ao andamento de cada turma; ela pode ser trabalhada em grupo, como atividade para ser realizada em casa ou indicada como opcional.

Na seção Compreender um texto, é apresentado um texto de interesse dos estudantes, acompanhado de atividades. Essas atividades estão relacionadas à compreensão do texto e aos assuntos matemáticos tratados na Unidade.

O trabalho com textos não pode ser restrito à área de Língua Portuguesa. É importante que todos os professores, incluindo os de Matemática, trabalhem as competências leitora e escritora, pois elas devem ser desenvolvidas pela escola como um todo. Atualmente, muitos textos de circulação social, como reportagens, informativos variados e relatórios, quase sempre são acompanhados de números, e a não apropriação da grandeza numérica envolvida, ou ainda da noção de porcentagem, por exemplo, inviabiliza sua compreensão.

Na seção Educação financeira, apresenta-se uma situação cotidiana que envolve finanças e, a partir daí, são discutidas possibilidades para resolver e enfrentar a situação – os estudantes devem se imaginar naquela situação (O que você faria?) e procurar soluções. Depois, em Calcule, são apresentadas algumas atividades referentes à situação inicial ou alguma similar. E, em Reflita, os estudantes são questionados sobre suas ações e atitudes diante de determinadas situações financeiras.

O foco dessas discussões não são conceitos como juro e porcentagem, mas a postura como consumidor. São abordadas questões como consumo consciente, controlecontrôle da impulsividade diante de tantas opções e direitos e deveres do consumidor.

Esta seção trabalha os conteúdos matemáticos por meio de tecnologias digitais como softwares de Geometria dinâmica, planilhas eletrônicas etc.etcétera Ela é composta de duas partes: Construa e Investigue. Em Construa, é apresentado um texto instrucional para que os estudantes sigam os passos e construam as figuras solicitadas. Após a construção, em Investigue, por meio das ferramentas do software, que permitem uma vasta possibilidade de testes e análises, eles podem medir, investigar e levantar hipóteses a respeito da figura que construíram, o que fomenta a discussão e a interação entre eles e o aprofundamento do conteúdo estudado.

A seção Trabalho em equipe, como o próprio nome diz, é muito importante para o desenvolvimento de atitudes como saber esperar sua vez de falar, comprometer­‑se com uma tarefa, ajudar os colegas, lidar com diferentes opiniões, fazer uma exposição oral com desenvoltura etc.etcétera Em todas as unidades, essa seção apresenta os objetivos, a justificativa, o produto do trabalho e algumas orientações para que a atividade seja realizada a contento.

A seção Para finalizar é dividida em duas partes. Em Organize suas ideias, os estudantes fazem uma retrospectiva do que aprenderam na Unidade e respondem a algumas questões. Dessa formafórma, fazem uma autoavaliação, e o professor pode acompanhar o progresso de suas turmas. Em Para conhecer mais, sugerimos a leitura de livros e sites que complementam os assuntos explorados na Unidade para enriquecer o conteúdo matemático.

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As habilidades da BNCCBê êne cê cê na coleção

A seguir, são apresentados quadros que relacionam os capítulos da coleção aos objetos de conhecimento e às habilidades a serem desenvolvidas no 9º ano, segundo a BNCCBê êne cê cê.

Essas correlações também aparecem indicadas nas orientações página a página do manual em formato lateral.

Fonte: BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DFDistrito Federal: MECMéqui, 2018. p.página 316-317trezentos e dezesseis e trezentos e dezessete.

Fonte: BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DFDistrito Federal: MECMéqui, 2018. p.página 316-317trezentos e dezesseis e trezentos e dezessete.

Página XXVIIvinte e sete

Fonte: BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DFDistrito Federal: MECMéqui, 2018. p.página 318-319trezentos e dezoito e trezentos e dezenove.

Fonte: BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DFDistrito Federal: MECMéqui, 2018. p.página 318-319trezentos e dezoito e trezentos e dezenove.

Página XXVIIIvinte e oito

Fonte: BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DFDistrito Federal: MECMéqui, 2018. p.página 318-319trezentos e dezoito e trezentos e dezenove.

Os Temas Contemporâneos Transversais na coleção

Os Temas Contemporâneos Transversais (TCTstê cê tês) foram assim distribuídos no 9º ano.

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Sugestões de cronogramas

O quadro a seguir oferece possibilidades de trabalho com os capítulos do volume 9 da coleção durante o ano letivo. O professor pode e deve se sentir à vontade para adaptar as sugestões aqui indicadas de acordo com a realidade e as necessidades da turma e da escola.

O arranjo desse quadro possibilita ao professor a previsão de uma organização bimestral, trimestral ou semestral.

Justificativa dos objetivos

Unidade 1 (capítulos 1, 2 e 3)

Nesta Unidade, serão trabalhados os objetos de conhecimento relacionados às unidades temáticas Números, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística, que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da BNCCBê êne cê cê: EF09MA01ê éfe zero nove ême ah zero um, EF09MA02ê éfe zero nove ême ah zero dois, EF09MA03ê éfe zero nove ême ah zero três, EF09MA04ê éfe zero nove ême ah zero quatro, EF09MA05ê éfe zero nove ême ah zero cinco, EF09MA11ê éfe zero nove ême ah um um, EF09MA15ê éfe zero nove ême ah um cinco, EF09MA18ê éfe zero nove ême ah um oito e EF09MA22ê éfe zero nove ême ah dois dois.

Após a retomada dos conjuntos numéricos (naturais, inteiros e racionais), o conjunto dos números irracionais é introduzido, apoiado em exemplos envolvendo a unidade temática Geometria, empregando números irracionais para representar a medida de comprimento do lado de um triângulo ou a relação entre a medida de comprimento de uma circunferência e a medida de seu diâmetro, por exemplo. Em seguida, a ideia do conjunto dos números reais como a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais é explorada, bem como a localização de números reais na reta numérica.

O trabalho com a notação científica é feito de modo a evidenciar sua aplicação em diversas áreas do conhecimento e nos meios de comunicação. Aliada à conveniência de expressar números muito grandes ou muitos pequenos utilizando uma potência de base 10, a notação científica também é explorada considerando o trabalho com as unidades de medidas.

O conceito de porcentagem é explorado em diversas situações, inclusive as relacionadas à educação financeira, propiciando o uso de diferentes representações (na formafórma de fração e decimal) e da calculadora, mobilizando-o posteriormente na resolução de problemas.

O estudo da circunferência e do círculo antecedem a exploração de ângulos e de polígonos inscritos em uma circunferência, tanto com instrumentos de desenho quanto com um software de Geometria dinâmica.

A representação gráfica de um conjunto de dados é objeto de estudo, a princípio explorando os gráficos de barras e a média aritmética, seguida pela interpretação dessas informações apoiando-se em contextos atuais e necessários, permitindo a discussão e a reflexão de assuntos como a remuneração por região, por gênero, por cor ou raça. Depois de explorar a mediana e a moda de um conjunto de dados, será possível analisar qual medida de tendência central é mais adequada para representar um conjunto de dados.

Unidade 2 (capítulos 4 e 5)

Nesta Unidade, serão trabalhados os objetos de conhecimento relacionados às unidades temáticas Álgebra, Geometria e Probabilidade e estatística, que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da BNCCBê êne cê cê: EF09MA09ê éfe zero nove ême ah zero nove, EF09MA10ê éfe zero nove ême ah um zero, EF09MA12ê éfe zero nove ême ah um dois, EF09MA14ê éfe zero nove ême ah um quatro, EF09MA22ê éfe zero nove ême ah dois dois e EF09MA23ê éfe zero nove ême ah dois três.

As expressões algébricas são exploradas com o estudo dos produtos notáveis e do processo de fatoração. O trabalho é desenvolvido com base nas representações geométricas e algébricas de modo que os estudantes possam compreender os produtos notáveis e suas relações com os processos de fatoração de expressões algébricas.

Após a retomada das relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal e os conceitos de razão e proporção, o estudo sobre semelhança é introduzido de maneira que os estudantes possam desenvolver a noção de ampliação e redução de figuras semelhantes e analisar a razão entre as medidas dos perímetros ou entre as medidas de áreas de dois polígonos semelhantes. Seguindo os estudos, são trabalhadas as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. A introdução do teorema de Tales e sua aplicação para resolver problemas finalizam o estudo de Geometria.

Página XXXtrinta

Por fim, em Probabilidade e estatística, os principais tipos de pesquisa amostral são apresentados aos estudantes e é proposto a eles que planejem e executem uma pesquisa amostral envolvendo um tema social. Dessa maneira, eles são levados a refletir e entender os passos necessários para o planejamento e a realização de uma pesquisa, de que maneira ocorrerá o levantamento de dados e como serão apresentados. Também faz parte do estudo a leitura e interpretação de gráficos que se completam, em que os estudantes poderão analisar dados em diferentes representações gráficas.

Unidade 3 (capítulos 6 e 7)

Nesta Unidade, serão trabalhados os objetos de conhecimento relacionados às unidades temáticas Números, Álgebra, Geometria e Probabilidade e estatística, que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da BNCCBê êne cê cê: EF09MA01ê éfe zero nove ême ah zero um, EF09MA09ê éfe zero nove ême ah zero nove, EF09MA13ê éfe zero nove ême ah um três, EF09MA14ê éfe zero nove ême ah um quatro, EF09MA16ê éfe zero nove ême ah um seis, EF09MA21ê éfe zero nove ême ah dois um e EF09MA22ê éfe zero nove ême ah dois dois.

No campo de Geometria, as relações métricas do triângulo retângulo são abordadas em uma proposta que visa, inicialmente, familiarizar os estudantes com esse tipo de raciocínio e, posteriormente, dá subsídios para que desenvolvam o espírito investigativo, demonstrando o teorema de Pitágoras com base em uma dessas relações. O trabalho é proposto de formafórma coletiva, a fim de que produzam argumentos convincentes, interagindo de formafórma cooperativa para resolver o que lhes foi proposto.

As aplicações do teorema de Pitágoras são exploradas em diferentes contextos, por meio da resolução e elaboração de problemas. Em contextos próprios da matemática, explora-se a medida de distância entre dois pontos no plano cartesiano e a determinação do ponto médio de um segmento de reta.

O estudo das equações do 2º grau é abordado na Unidade especialmente por meio de situações que envolvem a determinação de medidas de comprimentos de lados de retângulos (incluindo os quadrados), com base na medida de sua área. Abordagens de aplicação prática contribuem para que os estudantes reconheçam a matemática como resultado das necessidades e preocupações de diferentes civilizações e como ciência que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos. Entre os métodos de resolução de equações do 2º grau completas, a fatoração de trinômios quadrados perfeitos é explorada, com base em suas relações com os produtos notáveis.

O trabalho com a escolha e a construção de gráficos para apresentação de dados de pesquisas é tratado de formafórma abrangente com o auxílio de planilhas eletrônicas, desenvolvendo a habilidade de conhecer as especificidades de cada um: gráficos de linhas, de setores e de colunas. Quanto mais os estudantes desenvolvem essa habilidade, mais provável que se tornem mais críticos em relação a notícias veiculadas pela mídia por esses meios, sendo capazes de identificar aqueles que são manipulados para apresentar uma ideia equivocada ou que induza o interlocutor ao erro de interpretação de formafórma intencional.

Unidade 4 (capítulos 8, 9 e 10)

Nesta Unidade, serão trabalhados os objetos de conhecimento relacionados às unidades temáticas Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística, que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da BNCCBê êne cê cê: EF09MA06ê éfe zero nove ême ah zero seis, EF09MA07ê éfe zero nove ême ah zero sete, EF09MA08ê éfe zero nove ême ah zero oito, EF09MA17ê éfe zero nove ême ah um sete, EF09MA19ê éfe zero nove ême ah um nove, EF09MA20ê éfe zero nove ême ah dois zero e EF09MA23ê éfe zero nove ême ah dois três.

A ideia de função é apresentada de formafórma contextualizada com base na relação entre duas grandezas. A formalização do conceito possibilita aos estudantes identificar que tais relações só são funções quando se trata de relações de dependência unívoca entre duas variáveis. No decorrer do estudo são abordadas diferentes formasfórmas de representação de funções (numéricas, gráficas ou algébricas), contribuindo para a utilização e transição entre diferentes registros e linguagens para expressar respostas e apresentar soluções de problemas.

Um Capítulo específico é destinado ao trabalho com funções afins. Nessa proposta, as funções lineares, caso particular de função afim, são apresentadas em conexão com situações que envolvem relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas, como escalas de mapas e plantas, e outras em contextos sociais e ambientais.

As unidades temáticas Geometria e Grandezas e medidas são exploradas de formafórma conjunta, ao abordar as figuras geométricas não planas e o cálculo de medida de volume de algumas delas. Nesse trabalho, os estudantes desenvolvem habilidades que lhes permite reconhecer vistas ortogonais e utilizar esse conhecimento para desenhar em perspectiva. Também resolvem e elaboram problemas envolvendo medidas de volumes de prismas, de pirâmides, de cilindros e de cones.

No trabalho com probabilidade, são propostas situações para que os estudantes identifiquem eventos dependentes e eventos independentes em experimentos aleatórios e aprendam a calcular as probabilidades de ocorrência em cada um desses dois casos.

Sugestões de avaliação formativa

Capítulo 1 – Números reais

1. Associe os números à sua posição aproximada na reta numérica, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes.

IIItrês) 3,7641...reticências

2. Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) Todo número irracional tem um único ponto correspondente na reta numérica, e todo ponto da reta numérica corresponde a um único número irracional.

c) Entre dois números naturais, sempre existe pelo menos um número racional.

e) O primeiro número da sequência dos números naturais é o 1.

Página XXXItrinta e um

5. Entre os números a seguir indique quais são:

• naturais;

• inteiros;

• racionais.

6. Construa um pictograma para representar os dados da tabela a seguir.

Dados obtidos pela loja de Marlene em dezembro de 2021.

Resoluções e comentários da avaliação

A-IVquatro; B-Ium; C-IIdois; D-IIItrês

2. Possíveis equívocos estão relacionados ao conceito de dízima periódica, à representação de uma fração na formafórma decimal, ao reconhecimento do número zero como elemento do conjunto dos números naturais, à associação dos números racionais e irracionais a pontos na reta numérica, entre outros. Por exemplo, alguns estudantes podem julgar a alternativa c como falsa, talvez por acharem que, na reta numérica com números naturais não há outros números. Se possível, promova um momento de discussão para que os estudantes justifiquem as alternativas que julgam ser falsas.

verdadeiras: b, c; falsas: a, d, e

4. O estudante que indicou as alternativas a ou d talvez não tenha feito cálculo algum e associou o numerador e o denominador da fração aos algarismos que compõem a dízima periódica. Já o estudante que optou pela alternativa c possivelmente reconhece que a formafórma de fração pode representar o quociente do numerador pelo denominador da fração, mas inverteu a posição de um pelo outro e efetuou o cálculo 3 :dividido por 2 em vez de 2 :dividido por 3. Em todo caso, é importante que fique claro para os estudantes que a representação de um número racional sempre será finita ou infinita periódica. Se julgar necessário, dê outros exemplos.

alternativa b

5. Espera-se que os estudantes reconheçam que, com exceção do 0, nenhum dos números apresentados é natural. Alguns deles podem apresentar equívocos ao classificar alguns números em racional, principalmente dízimas periódicas e raízes de números primos. Certifique-se de que eles reconhecem a relação de pertinência implícita no quadro, ou seja, que um número pode ser natural, inteiro e racional ao mesmo tempo.

6. A principal dificuldade que pode ser manifestada nessa questão é em relação à escolha do valor em que o ícone representará. Espera-se que os estudantes escolham valores com dezenas inteiras entre 50 e 100. Em todo caso, verifique se eles utilizaram ícones que tenham relação com o tema explorado, se apresentam as mesmas dimensões, se inseriram o título, a fonte e, principalmente, a legenda correspondente ao ícone.

Exemplo de resposta:

Dados obtidos pela loja de Marlene em dezembro de 2021.

Capítulo 2 – Potenciação e radiciação

Página XXXIItrinta e dois

1. Qual das seguintes potências resulta no maior número?

a) 0,9²elevado a 2

b) 0,1⁵elevado a 5

c) 1,2²elevado a 2

d) 5,2⁰elevado a 0

2. Classifique as alternativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F), considerando as propriedades das potências com expoente inteiro e as propriedades dos radicais.

3. Quais itens a seguir são números reais?

4. Calcule as porcentagens.

a) 15% de R$ 2.000,00dois mil reais

b) 8% de 25 Llitros

c) 38% de 75.00075000 kmquilômetros

d) 115% de 100 kgquilogramas

e) 2% de R$ 1.000.000,00um milhão reais

5. Associe as potências aos radicais, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes.

6. Copie e complete o quadro, substituindo cada ◼ pelo número correspondente.

Resoluções e comentários da avaliação

1. Na resolução desta questão, o estudante pode calcular as potências de números racionais na representação decimal e comparar os resultados obtidos, selecionando o maior resultado. Se o estudante indicou a alternativa a, possivelmente escolheu a potência cuja base tem o maior algarismo na ordem dos décimos. Se indicou a alternativa b, ele pode ter relacionado o maior resultado com o maior expoente. Já o que assinalar a alternativa d pode ter comparado apenas a base, desconsiderando que potências de expoente zero e base diferente de zero são iguais a 1.

alternativa c

2. Para resolver esta questão, os estudantes precisam reconhecer se as propriedades das potências com expoentes inteiros e as propriedades dos radicais estão aplicadas corretamente. Alguns podem intuitivamente achar que, na multiplicação e na divisão de potências de mesma base, o expoente único também é dado pela multiplicação ou divisão dos dois expoentes e julgar as alternativas a e b verdadeiras. Outros podem achar que é possível “trocar” o índice e o expoente conforme sugere a alternativa g ou, ainda, decompor a raiz da maneira sugerida na alternativa h, entre outros equívocos.

verdadeiras: c, d, e, f, i; falsas: a, b, g, h, j

alternativas a, c, d

4. Para resolver esta questão, os estudantes devem mobilizar as representações na formafórma de porcentagem para as formasfórmas de fração ou decimal de modo a facilitar os cálculos. Espera-se que eles não demonstrem dificuldade, visto que é um assunto já trabalhado em anos anteriores; no entanto, ainda podem ter dificuldades na representação da porcentagem por meio de número na formafórma de fração ou decimal, na operação que deve ser realizada ou no próprio cálculo envolvido, por exemplo, efetuando 2.0002000 :dividido por 15 ≃ 133,3 na alternativa a. Analise os registros e as marcações realizadas pelos estudantes e verifique as diferentes estratégias. Os cálculos na folha podem auxiliar na identificação dos equívocos.

a) R$ 300,00trezentos reais; b) 2 Llitros; c) 28.50028500 kmquilômetros; d) 115 kgquilogramas; e) R$ 20.000,00vinte mil reais

a-IIItrês; b-IVquatro; c-Ium; d-IIdois

Página XXXIIItrinta e três

Capítulo 3 – Circunferência

1. Qual é a medida do arco cujas extremidades dividem a circunferência em:

a) dois arcos congruentes?

b) três arcos congruentes?

c) quatro arcos congruentes?

d) seis arcos congruentes?

2. Utilizando compasso e régua, realize no caderno os passos a seguir para a construção de um polígono regular inscrito em uma circunferência.

• Passo 1: Com a abertura do compasso medindo 4 cmcentímetros de comprimento, construa uma circunferência.

• Passo 2: Mantendo essa abertura do compasso, divida a circunferência em arcos congruentes.

• Passo 3: Ligue as extremidades de cada arco por meio de um segmento de reta.

O resultado dessa construção é um polígono regular:

a) de 5 lados que medem 8 cmcentímetros de comprimento cada.

b) de 6 lados que medem 4 cmcentímetros de comprimento cada.

c) de 7 lados que medem 4 cmcentímetros de comprimento cada.

d) de 8 lados que medem 8 cmcentímetros de comprimento cada.

3. Associe os pares de circunferência à posição relativa entre elas, escrevendo a letra e o número romano correspondentes.

a) Circunferências cujos raios medem 5 cmcentímetros e 7 cmcentímetros de comprimento, e cuja distância entre os centros mede 14 cmcentímetros.

b) Circunferências cujos raios medem 3 cmcentímetros e 9 cmcentímetros de comprimento, e cuja medida de distância entre os centros é igual a 12 cmcentímetros.

c) Circunferências cujos raios medem 5 cmcentímetros e 10 cmcentímetros de comprimento, e cujos centros são coincidentes.

d) Circunferências cujos raios medem 6 cmcentímetros e 6 cmcentímetros de comprimento, e cuja distância entre os centros mede 10 cmcentímetros.

Ium) secantes

IIdois) concêntricas

IIItrês) tangentes exteriores

IVquatro) externas

4. Determine as medidas x e y, em grau, em cada circunferência de centro O.

a)

b)

5. As duas porcas do sítio de Luiza deram à luz 9 porquinhos cada. Observe, no quadro a seguir, as medidas de massa dos porquinhos, em quilograma, organizadas em ordem crescente.

a) Qual é a amplitude da medida de massa desses porquinhos?

b) Qual é a mediana desse conjunto de dados? E a moda?

c) Calcule a média aritmética da medida de massa desses porquinhos.

Resoluções e comentários da avaliação

1. Para responder à pergunta, os estudantes precisam reconhecer que uma volta completa representada pela circunferência mede 360° e dividir essa medida de acordo com a quantidade de arcos congruentes obtidos para determinar a medida do arco correspondente. Alguns estudantes podem não reconhecer a ideia de giro, ou seja, que a circunferência é um arco cuja abertura do ângulo central mede 360°, considerando, por exemplo, que um giro completo mede 100° ou 60°, por exemplo, talvez por fazer alguma associação com medidas de comprimento (mmétro e cmcentímetro) ou de tempo (hhora e minminuto). É importante verificar se os conceitos de arco e de medida de arco foram bem assimilados pelos estudantes ou se é necessário revê-los.

a) 180°; b) 120°; c) 90°; d) 60°

2. Como a abertura do compasso é mantida no passo 2, ela definirá a medida de comprimento do lado do polígono e também a divisão da circunferência em 6 arcos congruentes, obtendo assim um hexágono regular cujo lado mede 4 cmcentímetros de comprimento. Caso o estudante não realize a construção no caderno, mude a abertura do compasso no passo 2 ou a formafórma como traçou os segmentos de reta no passo 3; ele poderá apresentar uma resposta diferente da esperada. Para ajudá-los a superar as dificuldades observadas, é importante verificar se entenderam as etapas em si, antes de ordená-las. Aproveite a oportunidade e explique a eles que essa é uma maneira de construir um hexágono regular cuja medida de comprimento do lado é conhecida. Se julgar conveniente, peça que construam outros hexágonos regulares dada a medida de comprimento do lado.

alternativa b

• concêntricas (alternativa c) se uma é interna à outra e se as duas têm o mesmo centro, isto é, d = 0.

É possível que alguns estudantes demonstrem dificuldades nessa interpretação, principalmente pela falta do apoio visual. Se julgar conveniente, represente no quadro os pares de circunferências de cada item: uma circunferência, e depois a outra, a partir da medida da distância entre os centros.

a-IVquatro; b-IIItrês; c-IIdois; d-Ium

Página XXXIVtrinta e quatro

4. Na alternativa a, basta o estudante reconhecer que os ângulos cujas aberturas medem 35° e 29° determinam sobre a circunferência os mesmos arcos determinados pelos ângulos x e y, respectivamente. Com isso, as medidas correspondentes são iguais. Já na alternativa b, além desse tipo de percepção, o estudante precisa saber que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Alguns podem não reconhecer essa equivalência, mas talvez reconheçam a relação entre ângulo inscrito e ângulo central e busquem usá-la no cálculo, como se o centro fosse o vértice comum dos triângulos em cada item. Os cálculos na folha podem auxiliar nessa interpretação. Se julgar conveniente, promova um momento de discussão para que eles apresentem suas estratégias.

a) x = 35° e y = 29°

b) x = 58° e y = 44°

5. Para resolver a questão, o estudante precisa reconhecer o significado de amplitude, mediana, moda e média aritmética de um conjunto de dados. É possível que alguns estudantes demonstrem dificuldade na determinação da mediana de um conjunto de dados com número par de valores a partir da média aritmética dos dois termos centrais e apenas indiquem a medida de um desses termos (1,50 ou 1,52). Outros podem confundir esses termos e apresentar valores trocados. Se julgar necessário, oriente-os a utilizarem uma calculadora nesses cálculos. Para intervir, faça questionamentos do tipo: “Qual é o menor valor? E o maior? Qual é a diferença entre o maior e o menor valor? O que essa medida representa? Qual é o valor que mais se repete? O que essa medida representa?” etc.etcétera

a) 0,44 kgquilograma; b) 1,51 kgquilograma; 1,45 kgquilograma; c) aproximadamente 1,54 kgquilograma

Capítulo 4 – Produtos notáveis e fatoração

1. Represente algebricamente.

a) A soma dos quadrados de x e y.

b) O quadrado da diferença de a e b.

c) O produto da soma pelo quadrado da diferença de x e y.

2. Associe as expressões equivalentes, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes.

3. O quadrado ABCDa bê cê dê foi decomposto em dois quadrados menores e dois retângulos. Observe a medida da área de duas dessas partes.

Quanto mede a área do quadrilátero:

a) CGIF?

b) ABCDa bê cê dê?

c) AEGD?

d) CDHF?

4. Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais o quadrado do segundo termo.

b) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

c) O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo.

Qual das relações a seguir Suelen utilizou na racionalização?

Resoluções e comentários da avaliação

1. Para resolver esta questão, o estudante precisa interpretar as frases, representando-as algebricamente. Possíveis equívocos podem surgir em relação ao posicionamento dos expoentes e dos parênteses na expressão. Também podem ser manifestados equívocos quanto à ordem das letras a, b, x e y. Assim, deve ser feita uma retomada de conteúdos para contribuir com a construção das expressões algébricas, apresentando outros exemplos que complementem o trabalho com essa questão.

2. Uma maneira de resolver esta questão é desenvolver as expressões da segunda coluna até obter uma expressão algébrica da primeira coluna. Alguns estudantes podem não pensar nessa estratégia e tentar fazer a associação por meio de alguns termos da expressão na primeira coluna. Nesse caso, equívocos podem surgir por causa de termos comuns, tais como 100, 20x e x²elevado a 2. A análise dos registros e das marcações realizadas por eles dão indícios dos equívocos cometidos. Os cálculos na folha podem auxiliar nessa interpretação.

a-IIdois; b-IIItrês; c-Ium

3. Para resolver esta questão, o estudante precisa reconhecer que, como a medida da área do quadrado AEIH é 4x²elevado a 2, então a medida de comprimento do seu lado é 2x. Essa informação é necessária para calcular a medida de comprimento dos lados dos retângulos adjacentes e, consequentemente, do quadrado menor, CGIF. Alguns estudantes podem demonstrar dificuldade nessa relação entre medida de área e medida de comprimento devido à falta das unidades de medida no cálculo algébrico ou então se confundirem na operação utilizada, invertendo multiplicações e adições, ora pra “juntar” medidas de comprimento, ora para calcular medidas de área.

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verdadeiras: b, c; falsa: a

alternativa c

Capítulo 5 – Semelhança

1. Para cada item, determine os dois números naturais.

2. Associe os pares de triângulos semelhantes e indique o caso de semelhança.

a)

b)

c)

d)

3. Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) Polígonos semelhantes são aqueles que têm as medidas de comprimento dos lados correspondentes proporcionais e os ângulos correspondentes congruentes.

b) Todos os polígonos regulares que possuem a mesma quantidade de lados são semelhantes.

c) Todos os triângulos são semelhantes.

d) Dois círculos nunca são semelhantes entre si.

e) Se dois polígonos semelhantes tiverem razão de semelhança r, a razão entre suas medidas de perímetro também será r.

f) Se dois polígonos semelhantes tiverem razão de semelhança r, a razão entre as medidas de suas áreas será 2r.

4. Copie e complete as proporções a seguir, substituindo cada ◼ de acordo com a figura.

a)

b)

Resoluções e comentários da avaliação

a) 10 e 15; b) 35 e 20

a-d: LLLéle éle éle; b-c: LALéle á éle

Página XXXVItrinta e seis

3. Possíveis equívocos estão relacionados ao conceito de polígonos semelhantes ou à noção de generalização. Por isso, é importante apresentar diversos exemplos e contraexemplos numéricos para que a abstração aconteça de formafórma natural, principalmente envolvendo a semelhança de triângulos (alternativa c) e de polígonos regulares (alternativa b). Espera-se que os estudantes reconheçam que: independentemente do tamanho, todos os círculos têm a mesma formafórma; em todos os polígonos regulares com a mesma quantidade de lados, os ângulos internos correspondentes são congruentes e as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais; e que dados dois triângulos quaisquer, não é possível garantir que as medidas de comprimento de seus lados correspondentes sejam proporcionais ou que seus ângulos internos correspondentes sejam congruentes. Alguns estudantes podem, ainda, julgar a afirmativa da alternativa f como verdadeira, talvez por desatenção, em que a razão entre as medidas de área de polígonos semelhantes é r²elevado a 2 em vez de 2r. Se achar conveniente, peça aos estudantes que justifiquem as alternativas que julgam ser falsas.

verdadeiras: a, b, e; falsas: c, d, f

4. Caso algum estudante apresente respostas diferentes da esperada, é possível que ele não reconheça a aplicação do teorema de Tales em um feixe de retas paralelas cortado por duas transversais. Nesse caso, é fundamental retomar o trabalho com esse conteúdo, ressaltando que as medidas de comprimento dos segmentos determinados sobre a primeira transversal são proporcionais às medidas de comprimento dos segmentos correspondentes determinados sobre a segunda transversal. O uso de softwares de Geometria dinâmica pode auxiliar os estudantes a superarem as dificuldades.

a) 45; b) 12

Capítulo 6 – Relações métricas no triângulo retângulo

1. Um engenheiro está elaborando um projeto de um telhado, conforme a figura a seguir.

Qual deve ser a medida da altura desse telhado, em metro?

a) 5 mmétros

b) 13 mmétros

c) 24 mmétros

d) 25 mmétros

2. Observe a figura a seguir.

Associe cada segmento indicado na figura à sua medida de comprimento, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes.

Ium) 15

IIdois) 5,4

IIItrês) 7,2

IVquatro) 9,6

3. Qual é a medida de distância entre os pontos A(abre parênteses2, 1)fecha parênteses e B(abre parênteses ‒menos 2, 4)fecha parênteses no plano cartesiano?

a) 3

b) 5

c) 6,4

d) 25

4. O gráfico a seguir apresenta o salário médio mensal dos funcionários da empresa de tecnologia Infobom em dezembro de 2021.

Dados obtidos pela empresa Infobom em dezembro de 2021.

a) Qual era a diferença entre a média salarial dos programadores e analistas dessa empresa em dezembro de 2021?

b) Se o salário médio geral dessa empresa, no mês indicado, era R$ 3.953,00três mil novecentos e cinquenta e três reais, quais desses cargos apresentavam um salário médio inferior ao salário médio geral?

Resoluções e comentários da avaliação

1. Se o estudante indicou as alternativas b ou d, é possível que ele tenha reconhecido em qual triângulo deve aplicar o teorema de Pitágoras para a resolução do problema, no entanto, possivelmente tem dificuldades na sua aplicação.

Página XXXVIItrinta e sete

Se optou pela alternativa c, ele pode apenas ter indicado uma das medidas que aparece na ilustração, sem interpretar corretamente a pergunta.

alternativa a

2. Para resolver esta questão, o estudante precisa determinar as medidas de comprimento de segmentos utilizando as relações métricas em um triângulo retângulo. Caso eles manifestem dúvidas, oriente-os a reconstruir a figura em outra posição, com o lado de maior medida de comprimento do triângulo maior sendo a base da figura, por ser a posição mais usual. Também podem ser feitas decomposições da figura em partes de tal formafórma que os estudantes percebam a aplicação das relações em cada parte do triângulo maior, ou seja, nos triângulos retângulos menores.

a-IIItrês; b-Ium; c-IIdois; d-IVquatro

3. Se o estudante indicou a alternativa a, possivelmente não compreende que o teorema de Pitágoras pode ser empregado na resolução desse tipo de problema ou tem dificuldades em aplicá-lo para determinar a medida de distância solicitada. Se indicou a alternativa c, é possível que tenha dificuldades em efetuar o cálculo de medidas de distância associado ao teorema de Pitágoras. Se indicou a alternativa d, é possível que não considerou o cálculo da raiz quadrada.

alternativa b

4. Nesta questão, o estudante precisa interpretar as informações presentes no gráfico e compará-las entre si para que possa responder às perguntas apresentadas. Como os dados envolvem médias salariais, é importante questionar os estudantes a respeito do significado desse termo e como isso relaciona-se à situação apresentada. Caso haja dificuldades na interpretação dos dados, pode ser proposto aos estudantes a construção de uma tabela com base nessas informações, para que possam comparar as categorias apresentadas.

a) R$ 1.550,00mil quinhentos e cinquenta reais; b) analista e estagiário

Capítulo 7 – Equações do 2º grau

1. Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F).

2. Associe cada equação de 2º grau a uma de suas raízes, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes.

Ium) x = 1

IIdois) x = 0

IIItrês) x = 2

IVquatro) x = 3

3. A professora de Matemática de uma escola pretende construir um painel com os trabalhos de seus estudantes. Esse painel tem formato retangular e foi recoberto por um papel na cor verde.

Se a área desse painel mede 10 m²métros quadrados, quais são as suas dimensões?

a) 1 mmétro e 2 mmétros

b) 3 mmétros e 3 mmétros

c) 2 mmétros e 5 mmétros

d) 4 mmétros e 4 mmétros

a) k = 2

b) k = 4

c) k = 0

d) k < 2

5. Gustavo precisa determinar a quantidade de pisos e rodapés para instalar em seu novo consultório. O formato desse consultório é indicado na figura a seguir.

Se a área desse consultório mede 20 m²métros quadrados e a medida do perímetro é igual a 18 mmétros, quais são as suas dimensões, em metro?

a) 3 e 6

b) 5 e 4

c) 4 e 4

d) 2 e 7

Resoluções e comentários da avaliação

1. Para classificar as afirmações, o estudante precisa analisar algumas sentenças envolvendo características de equações do 2º grau com uma incógnita, como a classificação em completa ou incompleta, a determinação de raízes e sua estrutura. Podem surgir dúvidas a respeito desses conceitos, principalmente no que se refere à determinação de valores para que as equações sejam completas ou não. Para sanar as dúvidas, proponha desafios nos quais os estudantes tenham de reconhecer uma equação do 2º grau partindo de pistas relativas às suas propriedades, como os valores de certos coeficientes.

verdadeiras: c, d; falsas: a, b

2. Para fazer a associação, o estudante precisa relacionar cada equação com uma de suas raízes, podendo adotar diferentes estratégias, como verificar se cada valor é raiz de cada equação ou, ainda, resolver as equações para posteriormente efetuar as associações. Assim, é importante explorar a resolução dessa questão com toda a turma, visando compartilhar as diferentes estratégias adotadas pelos estudantes em sua resolução, fazendo as devidas intervenções quando necessário.

a-Ium; b-IIItrês; c-IIdois; d-IVquatro

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3. Se o estudante marcou a alternativa a, é possível que tenha a escolhido apenas pelos números presentes nas expressões algébricas correspondentes às medidas das dimensões na ilustração, sem atribuir significado correto ao enunciado. Se indicou as alternativas b ou d, é possível que tenha construído corretamente a equação, porém errou nos cálculos ou considerou uma das raízes (3) ou o oposto da outra raiz (4) como medida de comprimento dos lados, e, além disso, não percebeu que o painel não é quadrado, como sugerem essas respostas.

alternativa c

4. O estudante que indicou a alternativa b, possivelmente compreendeu corretamente a questão, porém não considerou que c = 2k. Aquele que indicou a alternativa c, pode ter dificuldade de reconhecer que o discriminante é a estratégia que pode ser empregada na solução da questão. E se o estudante indicou a alternativa d, é possível que tenha dificuldade em reconhecer os critérios que possibilitam a classificação de uma equação do 2º grau quanto ao tipo de solução.

alternativa a

5. O estudante que indicou as alternativas a ou d, possivelmente considerou apenas a informação da medida do perímetro, presente no enunciado, desconsiderando que a medida de área também precisa ser verificada. Aquele que optou pela alternativa c, pode ter observado apenas a medida de área, considerando que se trata de um cômodo no formato quadrado, sem adotar as medidas do enunciado como condição importante para a solução do problema.

alternativa b

Capítulo 8 – Funções

1. Francisco trabalha como montador de móveis para uma loja. Ele recebe um salário fixo de R$ 1.100,00mil cem reais além de uma comissão de R$ 15,00quinze reais por cada móvel montado no mês.

Representando a quantidade de móveis montados mensalmente por m e o salário recebido por s, indique a alternativa que apresenta a lei que relaciona s com m.

a) s = 1.1151115

b) s = 1.1151115m

c) s = 15m + 1.1001100

d) s = 1.1101110m + 15

3. Observe o gráfico apresentado a seguir.

Identifique a alternativa que indica corretamente a lei de formação da função representada nesse gráfico.

a) f(x) = x + 3

4. Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) Nem todo gráfico representa uma função.

b) O gráfico da função f(x) = 2x ‒menos 2 contém o ponto de coordenadas (abre parênteses0, 2)fecha parênteses.

Resoluções e comentários da avaliação

1. O estudante que escolheu a alternativa a, possivelmente não reconhece o papel da variável na lei de formação de uma função. Aquele que indicou as alternativas b ou d, compreende o papel das variáveis na lei de formação de uma função, no entanto, tem dificuldades em relacioná-las na representação algébrica da função.

alternativa c

2. Nesta questão, o estudante deve completar o quadro com os valores da função com base nos valores da variável independente fornecidos e na lei de formação dada. Assim, ele precisa compreender a estrutura dessa lei e utilizá-la corretamente, em conjunto com os dados da primeira linha do quadro, para completar a segunda linha.

alternativa b

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4. Para classificar as afirmações, os estudantes precisam refletir sobre as funções e suas características, principalmente no que se refere à sua representação gráfica, de tal formafórma a julgar as sentenças verdadeiras ou falsas. Para contribuir com a resolução, sugira a eles que façam as construções dos gráficos indicados nas sentenças ou busquem exemplos que possam auxiliá-los na interpretação e avaliação de cada sentença.

verdadeiras: a, d; falsas: b, c

Capítulo 9 – Função afim

1. Um jardineiro cobra para cuidar de um jardim uma taxa fixa de R$ 100,00cem reais, acrescida de um valor de R$ 50,00cinquenta reais por hora trabalhada.

Qual das seguintes funções representa o valor cobrado por esse jardineiro para x horas trabalhadas?

a) f(x) = 150

b) f(x) = 100 + 50x

c) f(x) = 50 + 100x

d) f(x) = 150x

Com base nessa função, classifique as afirmações a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) f(x) é uma função afim crescente.

b) A lei de formação da função é f(x) = ‒menos 2x + 4.

c) O zero dessa função é y = 2.

d) Essa função é tal que f(2) = 1.

3. Associe cada função à sua classificação, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes.

b) f(x) = 4

c) f(x) = 3x ‒menos 2

d) f(x) = ‒menos x + 2

Ium) É função afim crescente.

IIdois) É função constante.

IIItrês) É função afim decrescente.

IVquatro) Não é função afim.

4. Uma companhia de viagens está sorteando um passeio adicional para seus clientes que compraram pacotes de viagem para Natal ou Recife.

Sabendo que 25 clientes compraram pacotes para Natal e 15, para Recife, ao sortear dois clientes ao acaso, qual é a probabilidade de o primeiro ter comprado um pacote para Natal e o segundo para Recife?

Resoluções e comentários da avaliação

1. Se o estudante indicou a alternativa a, possivelmente ele não compreende o papel da variável na constituição de sua lei de formação. Se optou pela alternativa c, é possível que ele tenha dificuldade em diferenciar tarifa fixa da tarifa variável e como elas devem ser consideradas na constituição da função, apesar de reconhecer que são informações de naturezas distintas. E se indicou a alternativa d, provavelmente ele reconheceu o papel da variável, porém, tem dificuldade em distinguir a taxa fixa e a variável.

alternativa b

2. Para classificar as afirmações, o estudante precisa analisar a representação gráfica da função e, a partir dela, identificar características relacionadas a crescimento e decrescimento, lei de formação, zeros e valores da função. Para sanar as eventuais dúvidas a respeito desses conceitos, pode ser proposto um trabalho de retomada de conteúdos visando analisar as características gerais de uma função afim, em associação com sua representação gráfica, utilizando inclusive softwares de Geometria dinâmica, com a avaliação de exemplos diversos.

verdadeira: d; falsas: a, b, c

3. Na resolução desta questão, o estudante precisa analisar as funções apresentadas e verificar se as leis representam ou não funções afins. Se forem afins, devem ser identificadas como funções crescentes, decrescentes ou constantes. Para contribuir com a compreensão desse assunto, pode ser proposto um trabalho complementar utilizando softwares de Geometria dinâmica para que os estudantes construam os gráficos das funções e façam um estudo a respeito do comportamento gráfico para a obtenção de conclusões a respeito de sua classificação.

a-IVquatro; b-IIdois; c-Ium; d-IIItrês

4. Se o estudante optou pelas alternativas a ou b, possivelmente avaliou apenas a probabilidade de sortear um cliente que comprou o pacote para Natal ou Recife, sem considerar que serão sorteados dois clientes nessa campanha. E se indicou a alternativa d, possivelmente tem dificuldades na diferenciação entre eventos dependentes e independentes e em suas implicações no cálculo de probabilidades.

alternativa c

Capítulo 10 – Figuras geométricas não planas e medida de volume