Página sessenta e três

Parte 5

16. Medida da área do quadrado verde maior:

m^{2}

Medida da área do quadrado verde menor:

n^{2}

Medida da área de cada retângulo roxo:

m n

Medida da área da figura total:

m^{2} + n^{2} + 2 m n = 144

Calculando a medida da área dos retângulos roxos, temos:

2mn = 70

\frac{2 m n}{2} = \frac{70}{2}

m n = 35

Sabendo que m > n, temos:

m = 7 e n = 5

17. um. Falsa, pois

{(M ‒ N)}^{2} = M^{2} ‒ 2 M N + N^{2}

dois. Falsa, pois A · B = 1 pode ser escrito como B =

\frac{1}{A}

; como 0 é um número racional, não existe um número B, tal que B =

\frac{1}{0}

alternativa c

Capítulo 5

Atividades

▶ Páginas 117 e 118

1. a) Os ângulos

\hat{a}

\hat{h}

são colaterais externos e suplementares. Os ângulos

\hat{c}

\hat{g}

são correspondentes e, portanto, congruentes.

b) Não. Os ângulos

\hat{d}

\hat{e}

são colaterais internos e, portanto, são suplementares.

c) Sim. Os ângulos

\hat{b}

\hat{f}

são correspondentes e, portanto, são congruentes.

2. Não, porque r e s não são retas paralelas.

3. Espera-se que os estudantes desenhem algo parecido com o exemplo a seguir.

Figura geométrica. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal t. No ponto em que t intercepta r, são determinados 4 ângulos, no sentido anti-horário: ângulo a, ângulo b, ângulo c e ângulo d.
No ponto em que t intercepta s, são determinados 4 ângulos, no sentido anti-horário: ângulo e, ângulo f, ângulo g e ângulo h.

a) Os pares de ângulos correspondentes são:

\hat{a}

\hat{e}

\hat{b}

\hat{f}, \hat{c}

\hat{g}

\hat{d}

\hat{h}

b) Sim, pois é possível verificar que os ângulos correspondentes são congruentes.

4. a) Os ângulos de medidas de abertura y e 78graus são ângulos alternos internos e, portanto, são congruentes. Ou podemos fazer os cálculos:

y = 180graus menos 102graus

y = 78graus

Os ângulos de medidas de abertura x e

102 °

são ângulos alternos externos e, portanto, são congruentes. Ou podemos fazer os cálculos:

x = 180graus menos 78graus

x = 102graus

b) O ângulo x é oposto pelo vértice ao ângulo de medida de abertura 85graus, logo x = 85graus. O ângulo y é correspondente ao ângulo de medida de abertura 85graus; logo, são congruentes. Ou podemos fazer os cálculos:

y = 2x menos 85graus

y = 170graus menos 85graus

y = 85graus

c) O ângulo suplementar de y é correspondente ao de x.

x + 3y = 180graus

4x = 180graus

x = \frac{180 °}{4}

x = 45graus

O ângulo

3 x

é oposto pelo vértice ao de y; logo, 3x = y.

y = 3x

y = 3 ⋅ 45graus

y = 135graus

d) O ângulo suplementar de

(y ‒ 10 °)

é correspondente ao ângulo oposto de

(y + 100 °)

y menos 10graus + y + 100graus = 180graus

2y = 180graus menos 90graus

2y = 90graus

y = 45graus

O ângulo

(y ‒ 10 °)

é oposto pelo vértice ao ângulo x; logo, abre parêntesesy menos 10grausfecha parênteses = x.

x = y menos 10graus

x = 45graus menos 10graus

x = 35graus

5. a) Ângulos correspondentes são congruentes.

3x menos 20graus = 2x + 30graus

3x menos 2x = 30graus + 20graus

x = 50graus

b) Ângulos alternos externos são congruentes.

3x + 15graus = 135graus

3x = 135graus menos 15graus

3x = 120graus

x = 40graus

c) Os ângulos colaterais externos são suplementares, logo:

8y + 40graus + 5y + 10graus = 180graus

13y = 180graus menos 50graus

13y = 130graus

y = 10graus

Substituindo y = 10graus em 8y + 40graus, temos:

8y + 40graus = 8 ⋅ 10graus + 40graus

= 80graus + 40graus = 120graus

Substituindo y = 10graus em 5y + 10graus, temos:

5y + 10graus = 5 ⋅ 10graus + 10graus

= 50graus + 10graus = 60graus

Portanto, as medidas de abertura dos ângulos são 120graus e 60graus.

d) Espera-se que os estudantes elaborem problemas como os resolvidos nos itens anteriores.

6. Os ângulos de medidas de abertura a e 70graus são alternos internos; então:

a = 70graus

Os ângulos de medidas de abertura d e 40graus são colaterais internos e, portanto, são suplementares. Assim:

d + 40graus = 180graus

d = 180graus menos 40graus

d = 140graus

Os ângulos de medidas de abertura c e 40graus são alternos internos; então:

c = 40graus

Página sessenta e quatro

Os ângulos de medidas de abertura b + 40graus e 70graus são colaterais internos e, portanto, são suplementares. Assim:

b + 40graus + 70graus = 180graus

b = 180graus menos 40graus menos 70graus

b = 70graus

Logo, a = 70graus, b = 70graus, c = 40graus e d = 140graus.

7. a) O ângulo y é oposto pelo vértice ao ângulo de medida de abertura 40graus, logo y = 40graus.

Traçando uma reta t paralela às retas r e s abre parêntesesr // t // sfecha parênteses, o ângulo de medida de abertura 85graus será dividido nos ângulos a e b:

Figura geométrica. Três retas paralelas r, t e s. Está representada uma linha reta transversal às retas r e t que determina em r um ângulo de medida de abertura indicada pela letra x e em t um ângulo de medida de abertura indicada letra a. Estes ângulos são correspondentes. Está também representada uma linha reta transversal às retas t e s que determina em t um ângulo de medida de abertura indicada pela letra b e em s um ângulo de medida de abertura igual a 40 graus.. Estes ângulos são correspondentes. O ângulo opostos pelo vértice ao ângulo de 40 graus tem medida de abertura indicada pela letra y.

Sendo b e y alternos internos, b = 40graus.

a = 85graus menos b

a = 85graus menos 40graus

a = 45graus

Os ângulos a e x são correspondentes; logo, x = 45graus.

b) O ângulo de medida de abertura 55graus e o suplementar do ângulo x são alternos internos; logo:

x + 55graus = 180graus

x = 180graus menos 55graus

x = 125graus

O ângulo x e o ângulo oposto ao ângulo y são correspondentes; logo, y = 125graus.

c) Primeiro, vamos traçar uma reta paralela a r e a s, dividindo o ângulo de medida de abertura y em dois ângulos cujas aberturas medem a e b.

Os ângulos cujas aberturas medem b e 38graus são correspondentes; logo, b = 38graus.

Os ângulos cujas aberturas medem a e 50graus são correspondentes; logo, a = 50graus.

Temos que y = a + b. Assim:

y = 38graus + 50graus

y = 88graus

Os ângulos cujas aberturas medem x e 50graus são suplementares; então:

x + 50graus = 180graus

x = 180graus menos 50graus

x = 130graus

Logo, x = 130graus e y = 88graus.

8. a) Os ângulos cujas aberturas medem 42graus e y são alternos internos; logo, y = 42graus.

Sendo a um ângulo oposto pelo vértice com o ângulo de medida de abertura 42graus, logo a = 42graus.

Sendo os ângulos a e x colaterais internos, logo x + a = 180graus.

x + 42graus = 180graus

x = 180graus menos 42graus

x = 138graus

Sendo b um ângulo oposto pelo vértice com o ângulo de medida de abertura 36graus, logo b = 36graus.

Sendo os ângulos b e z alternos internos, logo z = b.

z = 36graus

b) Sendo um ângulo a o suplementar de abre parêntesesy + zfecha parênteses, logo abre parêntesesy + a + zfecha parênteses =  180graus.

Os ângulos cujas aberturas medem a e 48graus são correspondentes, logo a = 48graus.

Figura geométrica. Três retas paralelas r, s e t, cortadas por duas transversais u e v. As retas u e v são concorrentes e a reta s passa pelo ponto de intersecção delas. A reta u determina em r, um ângulo de medida de abertura indicada pela letra x e determina em t um ângulo de medida de abertura igual a 48 graus. Estes ângulos são colaterais internos. A reta v, termina em r um ângulo de medida de abertura igual a 115 graus. No ponto de interseção de u, v e s,, estão representados, no sentido horário, os ângulos de medida de abertura indicados pelas letras y, a e z. Estes ângulos formam um ângulo raso. O ângulo de 115 graus e o ângulo que equivale a y mais a, são correspondentes. O ângulo a e o ângulo de 48 graus são correspondentes.

Sendo os ângulos de medidas de abertura abre parêntesesa + yfecha parênteses e de 115graus correspondentes, logo abre parêntesesa + yfecha parênteses = 115graus.

48graus + x = 115graus

y = 115graus menos 48graus

y = 67graus

Então abre parêntesesy + a + zfecha parênteses = 180graus:

67graus + 48graus + z = 180graus

z = 180graus menos 115graus

z = 65graus

Sendo os ângulos a e x colaterais internos, logo abre parêntesesa + xfecha parênteses = 180graus.

48graus + x = 180graus

x = 180graus menos 48graus

x = 132graus

Atividades

▶ Página 120

1. Sendo AB = 6 cm, CD = 3 cm e EF = 1,5 cm, temos:

\frac{A B}{C D} = \frac{6}{3} = 2

\frac{C D}{E F} = \frac{3}{1,5} = 2

\frac{A B}{E F} = \frac{6}{1,5} = 4

\frac{C D}{A B} = \frac{3}{6} = 0,5

\frac{E F}{C D} = \frac{1,5}{3} = 0,5

\frac{E F}{A B} = \frac{1,5}{6} = 0,25

2. a) Considerando x o número pedido, temos:

\frac{x}{6} = 2

x = 6 ⋅ 2

x = 12

\frac{A B}{C D} = \frac{3}{7}

3 ⋅ CD = 7 ⋅ AB

3 ⋅ 35 = 7 ⋅ AB

\frac{105}{7} = A B

A B = 15

Se 1 centímetro equivale a 10 milímetros, então

15 \cdot 10 mm=150mm

Página sessenta e cinco

3. a) Sabemos que:

AB = 0,6 m = 0,6 · 100 cm = 60 cm

GH = 210 mm = 210 dividido por 10 cm = 21 cm

Assim:

\frac{A B}{C D} = \frac{E F}{G H}

\frac{60}{14} = \frac{E F}{21}

14EF = .1260

EF = 90

Portanto, o comprimento de EF mede 90 centímetros.

b) Sabemos que:

AB = 15 dm = 15 · 10 cm = 150 cm

EF = .1200 mm = .1200 dividido por 10 cm = 120 cm

\frac{A B}{C D} = \frac{120}{G H}

\frac{150}{100} = \frac{120}{G H}

150GH = .12000

GH = 80

Portanto, o comprimento de GH mede 80 centímetros.

4. Considerando x a medida de comprimento do campo de futebol no sítio de Augusto, temos:

\frac{x}{30,6} = \frac{105}{68}

68x = .3213

x = \frac{3213}{68}

x = 47,25

Logo, a medida de comprimento do campo de futebol é 47,25 métros.

5. a) Considerando x e y os dois números, temos:

x + y = 48 ⇒ y = 48 menos x

\frac{x}{y} = \frac{5}{7}

\frac{x}{48 ‒ x} = \frac{5}{7}

7x = 240 menos 5x

12x = 240

x = 20

y = 48 menos 20

y = 28

Os números são 20 e 28.

b) Considerando x e y os dois números, temos:

x menos y = 200 ⇒ x = 200 + y

\frac{x}{y} = \frac{5}{3}

\frac{200 + y}{y} = \frac{5}{3}

5y = 600 + 3y

5y menos 3y = 600

2y = 600

y = 300

x = 200 + 300

x = 500

Os números são 500 e 300.

Atividades

▶ Página 125

1. a) Flávia e Alexandre

b) Alexandre

2. Desenho pessoal. Espera-se que os estudantes descubram uma maneira própria de fazer a ampliação ou a redução da figura que desenharem.

Exemplo de resposta:

Figuras geométricas. Dois triângulos retângulos dispostos lado a lado. O triângulo da esquerda tem medida da altura 5 e medida do comprimento da hipotenusa 6 vírgula 4. O triângulo da direita tem medida da altura 2 vírgula 5 e medida do comprimento da hipotenusa 3 vírgula 2.

3. a) Os ângulos correspondentes são congruentes.

b) As medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais.

\frac{x}{3,2} = \frac{4}{2,5}

2,5x = 4 ⋅ 3,2

2,5x = 12,8

x = \frac{12,8}{2,5}

x = 5,12

5. a) Primeiro vamos converter na mesma unidade de medida: 80 centímetros = 0,8 métros e 4 centímetros = 0,04 métros.

\frac{0,8}{50} = \frac{0,04}{x}

0,8 x = 2

x = \frac{2}{0,8}

x = 2,5

O andar terá 2,5 métros de medida de altura.

\frac{0,8}{50} = \frac{x}{2}

50x = 1,6

x = \frac{1,6}{50}

x = 0,032

Convertendo para centímetro: 0,032 métros = 3,2 centímetros

A medida da altura da porta na maquete será 3,2 centímetros.

c) Razão de semelhança:

\frac{0,8}{50} = 0,016

6. a) Como os quadriláteros são semelhantes, temos:

\frac{10}{5} = \frac{z}{6,2} = \frac{y}{4} = \frac{6}{x}

Assim:

\frac{10}{5} = \frac{z}{6,2} \Rightarrow 5 z = 10 \cdot 6,2

5z = 62

z = \frac{62}{5} \Rightarrow z = 12,4

\frac{10}{5} = \frac{y}{4} \Rightarrow 5 y = 4 \cdot 10

5 y = 40 \Rightarrow y = \frac{40}{5}

y = 8

\frac{10}{5} = \frac{6}{x} \Rightarrow 10 x = 6 \cdot 5

10 x = 30 \Rightarrow x = \frac{30}{10}

x = 3

Assim a medida do perímetro de cada figura será igual a:

P = 10 + 6 + z + y = 10 + 6 + 12,4 + 8 = 36,4

P = 5 + x + 6,2 + 4 = 5 + 3 + 6,2 + 4 = 18,2

b) Como os quadriláteros são semelhantes, temos:

\frac{3,6}{2,4} = \frac{x}{2,8} = \frac{6}{y} = \frac{9}{z}

Página sessenta e seis

Assim:

\frac{3,6}{2,4} = \frac{x}{2,8} \Rightarrow 2,4 x = 3,6 \cdot 2,8

2,4x = 10,08

x = 4,2

\frac{3,6}{2,4} = \frac{6}{y} \Rightarrow 3,6 y = 2,4 \cdot 6

3,6y = 14,4

y = 4

\frac{3,6}{2,4} = \frac{9}{z} \Rightarrow 3,60 z = 2,4 \cdot 9

3,6z = 21,6

z = 6

Assim a medida do perímetro de cada figura será igual a:

P = 3,6 + x + 6 + 9 = 3,6 + 4,2 + 6 + 9 = 22,8

P = 2,4 + 2,8 + y + z = 2,4 + 2,8 + 4 + 6 = 15,2

7. a) Razão entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes:

\frac{10}{5} = \frac{6}{3} = \frac{12,4}{6,2} = \frac{8}{4} = 2

Razão entre as medidas dos perímetros:

\frac{36,4}{18,2} = 2

b) Razão entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes:

\frac{3,6}{2,4} = \frac{4,2}{2,8} = \frac{6}{4} = \frac{9}{6} = 1,5

Razão entre as medidas dos perímetros:

\frac{22,8}{15,2} = 1,5

Nos dois casos, as razões, entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes e entre as medidas dos perímetros, são iguais.

8. a) Não, pois os dados são insuficientes para concluir que as figuras são semelhantes.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Dois quadrados, um com 3 centímetros de medida de comprimento dos lados e outro com 5 centímetros de medida de comprimento dos lados.

c) Exemplo de resposta: Um quadrado com 3 centímetros de medida de comprimento de lado e um retângulo com 4 centímetros de medida de altura e 6 centímetros de medida de comprimento.

d) As medidas de comprimento dos lados correspondentes dos polígonos têm de ser proporcionais.

9. a) sim

b) 2 ⋅ 3 = 6

Atividades

▶ Página 127

1. a) Figura da esquerda

Medida do perímetro: 1,5 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 2 = 7

Medida da área: abre parênteses 2 ⋅ 1 fecha parênteses + abre parênteses 0,5 ⋅ 1 fecha parênteses = 2,5

Figura da direita

Medida do perímetro: 3 + 2 + 1 + 2 + 2 + 4 = 14

Medida da área: abre parênteses 4 ⋅ 2 fecha parênteses + abre parênteses 2 ⋅ 1 fecha parênteses = 8 + 2 = 10

Razão entre as medidas dos perímetros:

\frac{7}{14} = \frac{1}{2}

Razão entre as medidas das áreas:

\frac{2,5}{10} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

\frac{2,5}{3,5} \neq \frac{1,5}{2}

Os retângulos não são semelhantes.

2. A razão entre as medidas dos perímetros é igual à razão de semelhança entre os pentágonos regulares. Logo, a razão é

\frac{3}{4} .

Assim, se dois polígonos semelhantes têm razão de semelhança r, a razão entre suas áreas será relevado a 2.

Razão entre as medidas das áreas:

{(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}

\frac{A}{B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Razão entre as medidas das áreas:

{(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}

4. Sabemos que a razão entre as medidas dos perímetros é igual à razão de semelhança entre os retângulos, logo:

\frac{5}{x} = 4

\frac{5}{4} = x

A medida do comprimento da base de MNPQ é

\frac{5}{4}

centímetro.

5. Se dois polígonos semelhantes têm razão de semelhança r, a razão entre as medidas de suas áreas será relevado a 2. Então, se a razão entre a medida de suas áreas é

\frac{1}{4}

, a razão de semelhança é

\frac{1}{2}

, pois

{(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}

Lados correspondentes: AI e EF; GI e EG; AG e FG.

Logo:

\frac{G I}{E G} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{4}{x + 3} = \frac{1}{2} \Rightarrow x + 3 = 8 \Rightarrow x = 5

\frac{A I}{E F} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{z}{3 x} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 z = 3 x \Rightarrow 2 z = 3 \cdot 5 \Rightarrow z = \frac{15}{2} \Rightarrow z = 7,5

\frac{A G}{F G} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{8,5}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 17

Então:

EG = 5 + 3 = 8

EF = 3 ⋅ 5 = 15

FG = y = 17

AI = z = 7,5

6. a) cubo menor: V = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1

cubo maior: V = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8

Portanto, a medida do volume do cubo menor é 1 centímetro cúbico e a do cubo maior é 8 centímetros cúbicos.

b) Considere

L_{1}

a medida do comprimento da aresta do cubo menor e

L_{2}

a medida do comprimento da aresta do cubo maior.

\frac{L_{1}}{L_{2}} = \frac{1}{2}

c) Considere

A_{1}

a medida da área de uma face do cubo menor e

A_{2}

a medida da área de uma face do cubo maior.

A_{1} = 1 \cdot 1 = 1

A_{2} = 2 \cdot 2 = 4

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{1}{4}

d) Considere

V_{1}

a medida do volume do cubo menor e

V_{2}

a medida do volume do cubo maior.

V_{1} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

V_{2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{8}

\frac{1}{4} = {(\frac{1}{2})}^{2}

\frac{1}{8} = {(\frac{1}{2})}^{3}

Página sessenta e sete

Atividades

▶ Página 132

1. a) Espera-se que os estudantes desenhem triângulos como representados a seguir, porém com as medidas de comprimentos dos lados em verdadeira grandeza.

Figuras geométricas. Dois triângulos dispostos lado a lado. O triângulo da esquerda tem vértices nos pontos A, B e C. A medida do comprimento de AB é 4 centímetros. A medida do comprimento de AC é 5 centímetros. A medida da abertura do ângulo CAB é 60 graus. O triângulo da direita tem vértices nos pontos D, E e F. A medida do comprimento de DE é 6 centímetros. A medida do comprimento de DF é 7 vírgula 5 centímetros. A medida da abertura do ângulo FDE é 60 graus.

\frac{A C}{E F} = \frac{5}{7,5} = \frac{2}{3}

\frac{A B}{E D} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Como os dois triângulos têm dois pares de lados correspondentes proporcionais e o ângulo compreendido entre esses lados é congruente, △ABC e △DEF são semelhantes e a razão de semelhança é

\frac{2}{3} .

b) O caso de semelhança é o LAL.

2. Sejam x, y e z as medidas de comprimento, em decímetro, dos lados do triângulo menor correspondentes, respectivamente, aos lados de medidas de comprimento 8 decímetros, 12 decímetros e 16 decímetros do triângulo maior.

Sendo

\frac{4}{3}

a razão de semelhança entre o maior e o menor triângulo, nessa ordem. Então:

\frac{4}{3} = \frac{8}{x} = \frac{12}{y} = \frac{16}{z}

Assim:

\frac{4}{3} = \frac{8}{x}

\frac{4}{3} = \frac{12}{y}

\frac{4}{3} = \frac{16}{z}

4 ⋅ x = 3 ⋅ 8

4x = 24

x = \frac{24}{4}

x = 6

4 ⋅ y = 12 ⋅ 3

4y = 36

y = \frac{36}{4}

y = 9

4 ⋅ z = 16 ⋅ 3

4z = 48

z = \frac{48}{4}

z = 12

Medida do perímetro do triângulo menor:

6 + 9 + 12 = 27

Portanto, as medidas de comprimento dos lados do triângulo menor são 6 decímetros, 9 decímetros e 12 decímetros, e a medida de seu perímetro é 27 decímetros.

3. a) falsa

Considere dois triângulos isósceles com as seguintes medidas de comprimento dos lados:

• 5 centímetros, 5 centímetros e 4 centímetros;

• 8 centímetros, 8 centímetros e 12 centímetros.

Não há razão de semelhança, pois:

\frac{5}{8} = \frac{5}{8} \neq \frac{4}{5}

b) verdadeira

Considere dois triângulos equiláteros, um com a medida de comprimento dos lados igual a x e outro com a medida de comprimento dos lados igual y, sendo x e y números reais maiores do que zero.

A razão de semelhança será:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y} = \frac{x}{y}

c) falsa

Considere dois triângulos retângulos com as seguintes medidas de comprimento dos lados:

• 3 centímetros, 4 centímetros e 5 centímetros;

• 2 centímetros, 2,1 centímetros e 2,9 centímetros.

Não há razão de semelhança, pois:

\frac{3}{2} \neq \frac{5}{2, 9} \neq \frac{4}{2, 1}

d) falsa

Considere dois triângulos escalenos com as seguintes medidas de comprimento dos lados:

• 5 centímetros, 7 centímetros e 8 centímetros;

• 10 centímetros, 14 centímetros e 16 centímetros.

A razão de semelhança será:

\frac{5}{10} = \frac{7}{14} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}

alternativa b

4. a)

\frac{x}{7} = \frac{10}{8,75}

8,75x = 70

x = \frac{70}{8,75}

x = 8

\frac{y}{8} = \frac{8}{6}

6y = 64

y = \frac{64}{6}

y = \frac{32}{3}

\frac{12}{x} = \frac{8}{6}

8x = 72

x = 9

5. Primeiro, vamos converter para a mesma unidade de medida:

30 cm = 0,30 m e 45 cm = 0,45 m

\frac{0,30}{x} = \frac{0,45}{1,5}

0,45x = 0,30 ⋅ 1,5

0,45x = 0,45

x = 1

A altura mede 1 métro.

\frac{1,69}{x} = \frac{2,6}{4,16}

2,6x = 7,03

x ≃ \frac{7,03}{2,6}

x ≃ 2,70

A altura da bandeira mede, aproximadamente, 2,70 métros.

Página sessenta e oito

\frac{5}{x} = \frac{2}{5}

2x = 25

x = \frac{25}{2}

x = 12,5

A altura do prédio mede 12,5 métros.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, retângulo em A. A medida do comprimento de AC é 12 e a medida do comprimento de AB é 5, No triângulo, está representado um segmento de reta DE perpendicular ao lado BC, o ponto D está no lado AC e o ponto E no lado BC, de modo a formar um triângulo retângulo CDE, retângulo em E. A medida do comprimento de AD é 2 e a medida do comprimento de DC é 10.

Pelo caso AA, os triângulos ABC e EDC são semelhantes.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC; A medida do comprimento de AC é 12, a medida do comprimento de AB é 5 e a medida do comprimento de BC é 13. Figura geométrica. Triângulo retângulo ECD. A medida do comprimento de ED é indicada pela letra x e a medida do comprimento de CD é 10.

Portanto:

\frac{5}{x} = \frac{13}{10}

13x = 50

x ≃ 3,8

A medida de

\overline{D E}

é aproximadamente 3,8.

Informática e Matemática

▶ Página 133

Resoluções e comentários em Orientações.

Atividades

▶ Página 136

1. a)

\frac{x}{7,5} = \frac{18}{12}

12x = 135

x = \frac{135}{12}

x = 11,25

b) 14,8 menos 11,6 = 3,2

\frac{x}{2} = \frac{14,8}{3,2}

3,2x = 29,6

x = 9,25

2. a)

\frac{A D}{B D}

\frac{A E}{E C}

\frac{x}{x + 3} = \frac{4}{6}

6x = 4x + 12

6x menos 4x = 12

2x = 12

x = \frac{12}{2}

x = 6

\frac{A D}{A C}

\frac{A E}{A B}

\frac{x}{x + 3} = \frac{10}{12}

12x = 10x + 30

12x menos 10x = 30

2x = 30

x = 15

3. x + y + z = 63 e 12 + 10 + 20 = 42

Figura geométrica. Triângulo. A medida do comprimento do lado esquerdo é 42 e a do lado direito é 63. Estão representadas três retas paralelas r, s e t. A reta t é reta suporte do lado que não tem medida indicada.
As retas r e s, determinam sobre o lado esquerdo, três segmentos de medida de comprimento 20, 10 e 12, de baixo para cima. Estas mesmas retas, determinam sobre o lado esquerdo, três segmentos de reta com medidas de comprimento indicadas pelas letras z, y e x. de baixo para cima

\frac{x}{63} = \frac{12}{42} \Rightarrow 42 x = 756 \Rightarrow x = 18

\frac{y}{63} = \frac{10}{42} \Rightarrow 42 y = 630 \Rightarrow y = 15

\frac{z}{63} = \frac{20}{42} \Rightarrow 42 z = 1260 \Rightarrow x = 30

Figura geométrica. Três retas paralelas cortadas por duas retas transversais. Na primeira transversal os 3 pontos de intersecção são, de cima para baixo B, E e F e determinam dois segmentos de reta: BE com medida de comprimento 8 e o EF com medida de comprimento 14. Na segunda transversal, os 3 pontos de intersecção são, de cima para baixo B linha, E linha e F linha e determinam dois segmentos de reta: B linha E linha com medida de comprimento 24 e o E linha F linha com medida de comprimento x.

\frac{8}{14} = \frac{24}{x}

8x = 336

x = 42

A medida do comprimento de

\overline{E' F'}

é 42 centímetros.

5. A razão entre a medida da base e da altura da imagem formada e da imagem do slide deve ser a mesma. Assim, para calcular a medida da altura da imagem, em centímetro, podemos fazer:

\frac{2}{3} = \frac{27}{x}

x = \frac{3 \cdot 27}{2}

x = \frac{81}{2} \Rightarrow x = 40,5

Logo, a largura da imagem mede 40,5 centímetros.

Estatística e Probabilidade

▶ Páginas 137, 138 e 139

1. a) As pessoas entre 40 e 59 anos estão representadas pela cor laranja no primeiro gráfico; assim, correspondem a 24,65%.

b) Não, pois 62,27% é mais que

\frac{1}{3}

, já que

\frac{1}{3}

corresponde a aproximadamente 33,33%.

c) A maioria das pessoas estava na faixa de 25 a 39 anos e isso pode ser observado no primeiro gráfico, pois corresponde à parte verde-clara que é quase a metade do gráfico ou 49,84%.

2. a) A coluna mais alta no primeiro gráfico representa a maior parte dos usuários; portanto, eles pertencem à faixa etária de 16 a 21 anos.

b) Na 2ª semana; 8 horas.

c) 40 + 80 + 40 + 20 = 180.

Logo, o total de usuários que visitaram a loja foi 180.

d) Não. Pelo gráfico, podemos determinar o número total de usuários de 16 a 21 anos no período todo, porém, não é possível saber quantos deles frequentaram a loja em cada semana.

3. a) Observando o primeiro gráfico, é possível concluir que 2,5% da água do planeta é doce.

Página sessenta e nove

b) Pelo segundo gráfico, é possível observar que 30% correspondem a águas subterrâneas; 1% corresponde a rios, lagos e água na atmosfera e 69% correspondem a geleiras e calotas polares.

c) Aproximadamente 1,73%. Espera-se que os estudantes percebam que é necessário calcular 69% de 2,5%.

d) Resposta pessoal. Exemplo de respostas:

Onde está a maior concentração de água doce no planeta?

Resposta: Geleiras e calotas polares.

A maior parte da água do planeta é doce ou salgada?

Resposta: Salgada.

4. a) 7,7% não clientes de um total de .2514 entrevistados correspondem a:

\frac{7,7}{100} \cdot 2514 ≃ 194

Dentre essas pessoas, 55,7% não têm condições financeiras. Logo:

\frac{55,7}{100} \cdot 194 ≃ 108

Portanto, aproximadamente 108 pessoas.

b) Resposta pessoal. Exemplos de respostas:

Qual é o motivo mais apontado para os não clientes não viajarem?

Resposta: Não têm condições financeiras.

Qual é a porcentagem de entrevistados que não são clientes?

Resposta: 7,7%

Quantos não clientes não viajam por medo da violência?

Resolução: 7,7% não clientes de um total de .2514 entrevistados correspondem a:

\frac{7,7}{100} \cdot 2514 ≃ 194

4,2% responderam que não viajam por medo da violência; isso corresponde a:

\frac{4,2}{100} \cdot 194 ≃ 8

Logo, aproximadamente 8 pessoas não viajam por medo da violência.

Quantos não clientes não têm interesse?

\frac{23,4}{100} \cdot 194 ≃ 45

Logo, aproximadamente 45 pessoas não viajam por falta de interesse.

Educação Financeira

▶ Páginas 140 e 141

Resoluções e comentários em Orientações.

Atividades de revisão

▶ Páginas 142 e 143

1. Os ângulos

(4 x + 30 °)

(x + 20 °)

são colaterais internos, portanto são suplementares.

4x + 30° + x + 20° = 180°

5x = 180° menos 50°

5x = 130°

x = 26°

alternativa b

2. a) Considere x a medida de comprimento do lado do quadrado.

Medida do perímetro: x + x + x + x = 4x

Razão entre a medida do perímetro e a medida do comprimento do lado de um quadrado é igual a 4, pois

\frac{4 x}{x} = 4

b) Considere x a medida de comprimento do lado do triângulo equilátero.

Medida do perímetro: x + x + x = 3x

Razão entre a medida de comprimento do lado de um triângulo equilátero e a medida de seu perímetro é igual a

\frac{1}{3}

, pois

\frac{1 x}{3 x} = \frac{1}{3}

c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes determinem a razão entre a idade deles e a de seus responsáveis. Por exemplo:

Responsável: 35 anos

Estudante: 14

\frac{14}{35}

3. a) Medida da área dos móveis da sala de estar:

Sofá: 2 ⋅ 1 = 2

Poltrona: 1 ⋅ 1 = 1

Rack: 0,75 ⋅ 0,75 = 0,5625

Medida da área dos móveis da sala de jantar:

Mesa: 1,5 ⋅ 0,75 = 1,125

Cadeiras: 0,25 ⋅ 6 = 1,5

Total: 2 + 1 + 0,5625 + 1,125 + 1,5 = 6,1875

Decompondo a planta da sala em figuras retangulares, ao calcular a medida da área de um dos retângulos, percebemos que a medida da área dele já é maior que a medida da área ocupada pelos móveis.

Logo, a sala do casal comporta esses móveis.

Ilustração. Planta da sala de dois ambientes. As paredes formam um polígono de 10 lados. A parede da porta de entrada forma 90 graus com a parede de 3 vírgula 5 metros, que forma 90 graus com outra parede de um metro, linha horizontal a partir da parede de um metro formando um retângulo com 3 vírgula 5 metros de comprimento com indicação de medida de área 3 vírgula 5 metros quadrados. A parede de um metro, forma 270 graus com uma parede pequena sem indicação de medida, que forma 90 graus com a parede da janela que mede 1 metro, que forma 90 graus com outra parede sem indicação um pouco maior que a anterior que forma 270 graus com uma parede de 2 vírgula 5 metros, que forma 90 graus com uma parede de 2 vírgula 5 metros com outra janela. Essa parede forma 90 graus com uma parede de 3 vírgula 5 metros, linha vertical formando um retângulo com as mediadas da parede da janela com 2 vírgula 5 metros e com a parede de 3 vírgula 5 metros, com indicação de medida de área 8 vírgula 75 metros quadrados. A parede de 3 vírgula 5 metros forma 270 graus uma parede pequena sem indicação de medida que forma 90 graus com a parede da porta de entrada.

b) Exemplo de resposta.

Ilustração. Mesma ilustração da planta da sala de dois ambientes. O sofá está na parede de 2 vírgula 5 metros, o rack está na parede de 3 vírgula 5 metros, mais perto do canto e a poltrona, mais para o centro, ao lado do rack, na parede de 3 vírgula 5 metros. A mesa de jantar está na com seu lado maior alinhado com a parede de 3 vírgula 5 metros perto da porta de entrada.

Figuras geométricas. À esquerda, retângulo ABCD verde, com medida de comprimento x mais 0 vírgula 4 e medida do comprimento da largura 1. À direita, retângulo BCEF verde com medida de comprimento 1 e medida do comprimento da largura 0 vírgula 4.

Página setenta

\frac{1}{0,4} = \frac{x + 0,4}{1}

0,4x + 0,16 = 1

0,4x = 1 menos 0,16

0,4x = 0,84

x = 2,1

alternativa c

5. Da foto A

a) Razão de semelhança:

\frac{3,15}{5} = \frac{5,04}{8} = 0,63

Em porcentagem: 0,63 ⋅ 100% = 63%

b) Razão de semelhança:

\frac{10,7}{5} = \frac{17,12}{8} = 2,14

Em porcentagem: 2,14 ⋅ 100% = 214%

c) Razão de semelhança:

\frac{6,35}{5} \neq \frac{14}{8}

(não há razão de semelhança)

Não é possível, mantendo a proporcionalidade.

Da foto B

d) Razão de semelhança:

\frac{6,35}{5} = \frac{7,62}{6} = 1,27

Em porcentagem: 1,27 ⋅ 100% = 127%

e) Razão de semelhança:

\frac{3}{5} \neq \frac{4}{6}

(não há razão de semelhança)

Não é possível, mantendo a proporcionalidade.

f) Razão de semelhança:

\frac{1,15}{5} = \frac{1,38}{6} = 0,23

Em porcentagem: 0,23 ⋅ 100% = 23%

Figuras geométricas. À esquerda, triângulo ABC vermelho, com segmento BC na horizontal e com medida de comprimento 7 vírgula 5 centímetros. O segmento AB com medida de comprimento 5 centímetros. O segmento AC com medida de comprimento 6 centímetros. À direita, triângulo amarelo A linha B linha C linha, com segmento B linha C linha na horizontal e com medida de comprimento y. O segmento A linha B linha com medida de comprimento 15 centímetros. O segmento A linha C linha com medida de comprimento x.

Razão de semelhança:

\frac{15}{5} = 3

Então:

\frac{x}{6} = 3

⇒ x = 18

\frac{y}{7,5} = 3

⇒ y = 22,5

Portanto, as medidas de comprimento dos outros lados são 18 centímetros e 22,5 centímetros.

7. Sendo ABlinha = x; BlinhaClinha = y e ClinhaDlinha, temos:

Figura geométrica. Segmento AD, com medida de comprimento 10, na horizontal com os pontos B e C representados nele, de modo que o segmento AB tem medida de comprimento 2, que o segmento BC tem medida de comprimento 3 e o segmento CD tem medida de comprimento 5.
Está representando também um segmento de reta AD linha de medida de comprimento 13, com os pontos B linha e C linha representados nele. A medida do comprimento do segmento AB linha é indicada pela letra x. A medida do comprimento do segmento B linha C linha é indicada pela letra y. A medida do comprimento do segmento C linha D linha é indicada pela letra z.
Estão representados os segmentos de reta BB linha, CC linha e DD linha com linhas tracejadas.

\frac{x}{13} = \frac{2}{10} \Rightarrow 10 x = 26 \Rightarrow x = 2,6

\frac{y}{13} = \frac{3}{10} \Rightarrow 10 y = 39 \Rightarrow x = 3,9

\frac{z}{13} = \frac{5}{10} \Rightarrow 10 x = 65 \Rightarrow x = 6,5

A B' = 2,6

centímetros;

B' C' = 3,9

centímetros;

C' D' = 6,5

centímetros

8. Considere a medida da largura sendo x e a medida de comprimento sendo y.

Razão entre a medida da largura e a medida de comprimento:

\frac{x}{y} = \frac{2}{5}

Medida do perímetro: 2x + 2y = 70

Simplificando por 2, temos: x + y = 35. Então, x = 35 menos y.

\frac{35 ‒ y}{y} = \frac{2}{5}

⇒ 2y = 175 menos 5y ⇒

⇒ 2y + 5y = 175 ⇒ 7y = 175 ⇒ y = 25

Como: x + y = 35, então:

x + 25 = 35 ⇒ x = 35 menos 25 ⇒ x = 10

A = 25 ⋅ 10 = 250

Logo, a área do terreno mede 250 métros quadrados.

9. Sendo a medida da altura do poste de iluminação denominada por x, temos:

Esquema. Triângulo retângulo verde com medida da altura x, com indicação de poste de iluminação e medida do comprimento da base 16 metros. Dentro do triângulo verde, outro triângulo menor formado pelo poste da rede, com medida da altura 2 vírgula 7 metros paralela ao poste de iluminação, medida da base 4 vírgula 8 metros, coincidindo com parte da base do triângulo maior. Seta azul para à direita, indicando os dois triângulos separados. Acima, o triângulo retângulo maior, com medida do comprimento da altura x, medida do comprimento da base 16. Abaixo, o triângulo retângulo menor, com medida do comprimento da altura 2 vírgula 7, medida do comprimento da base 4 vírgula 8.

\frac{x}{2,7} = \frac{16}{4,8} \Rightarrow 4,8 x = 43,2 \Rightarrow x = \frac{43,2}{4,8} \Rightarrow x = 9

alternativa c

10. a) Fazendo um esquema da visão lateral, temos:

Figura geométrica. Dois triângulos amarelos. À esquerda, o triângulo ABC, com segmento AB na vertical, com medida de comprimento 10. Linha tracejada no vértice B e no vértice C, na vertical, com indicação de medida de comprimento 20 entre elas. À direita, o triângulo CDE, coincidindo pelo vértice C com o triângulo ABC, com segmento DE na vertical, com medida de comprimento 40. Linha tracejada no vértice C e no vértice E com indicação de medida de comprimento x entre elas.

Sendo as alturas

\overline{A B}

\overline{D E}

paralelas entre si, temos:

B \hat{A} C ≅ D \hat{E} C

(alternos internos)

A \hat{C} B ≅ D \hat{C} E

(opostos pelo vértice)

Por isso, os triângulos ABC e DEC são semelhantes pelo caso AA. Assim, podemos fazer:

\frac{10}{40} = \frac{20}{x}

⇒

x = \frac{40 \cdot 20}{10} \Rightarrow x = \frac{800}{10}

⇒

x = 80

Logo, a medida da distância deverá ser 80 centímetros.

b) Nesse caso, teríamos:

\frac{5}{40} = \frac{20}{x} \Rightarrow x = \frac{40 \cdot 20}{5}

⇒

x = \frac{800}{5}

⇒ x = 160

Logo, a medida da distância deveria ser de 160 centímetros ou 1,6 métro.

11. Vamos converter para a mesma unidade de medida.

1,8 métro = 180 centímetros

3,0 métros = 300 centímetros

\frac{180}{x} = \frac{300}{2}

⇒ 300x = 360 ⇒ x = 1,2

A medida da altura da estátua na foto será de 1,2 centímetro.

12. a)

\frac{7,5}{A A'} = \frac{10}{8}

⇒ 10AAlinha = 60 ⇒

A A' = \frac{60}{10}

⇒ AAlinha = 6

Portanto, a medida da distância da torre da cidade A à estrada principal é 6 quilômetros.

\frac{7,5}{6} = \frac{B I}{10}

⇒ 6BI = 75 ⇒

B I = \frac{75}{6}

⇒ BI = 12,5