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UNIDADE 1

Capítulo 1

Números reais

Capítulo 2

Potenciação e radiciação

Capítulo 3

Circunferência

Fotografia. Na parte inferior, plantação verde de soja. Ao centro, sistema de irrigação formado por uma armação metálica com hastes e bocais pendurados, irrigando a plantação. Ao fundo, na parte superior, um céu azul com nuvens. — Plantação de soja irrigada com pivô central, Buritama (São Paulo), 2021.

Você sabe o que é irrigação? Irrigação é uma técnica agrícola utilizada para aplicar água de fórma artificial nas plantações. Entre as várias maneiras de irrigar uma plantação, podemos destacar o sistema de pivô central. Observe o esquema a seguir.

Esquema. Sistema de pivô central. Circunferência azul. No interior, uma haste que vai do centro da circunferência até sua borda do lado esquerdo. Na haste, estão indicados traços verticais cinzas e, próximos à ela, há uma concentração de pontos azuis representando água. Acima da haste, uma seta azul indica o movimento circular que será percorrido pela haste. Pontos azuis espalhados por todo interior da circunferência. Fio saindo da haste indicando o texto 'Haste metálica (linha lateral)'. Fio saindo dos traços cinzas da haste indicando o texto 'Torres'. Fio saindo do centro da circunferência indicando o texto 'Ponto do pivô'. Fio saindo da da região central indicando o texto 'Região circular'. — Esquema de sistema de pivô central.

Basicamente, esse sistema é composto de aspersores (bocais de distribuição de água) montados sobre uma haste metálica (linha lateral). Essa haste, por sua vez, é suportada por torres que se movimentam sobre rodas, fazendo-a girar ao redor do ponto central da área irrigada (ponto do pivô).

Para começarreticências

1. Você já viu algum sistema de irrigação em funcionamento? Comente.

2. Qual é o formato da região irrigada pelo sistema de pivô central?

3. Podemos afirmar que, no sistema de pivô central, quanto maior a medida de comprimento da haste metálica, maior será a medida da área irrigada?

Respostas e comentários

Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas nesta Unidade:

ê éfe zero nove ême ah zero um

ê éfe zero nove ême ah zero dois

ê éfe zero nove ême ah zero três

ê éfe zero nove ême ah zero quatro

ê éfe zero nove ême ah zero cinco

ê éfe zero nove ême ah um um

ê éfe zero nove ême ah um cinco

ê éfe zero nove ême ah um oito

ê éfe zero nove ême ah dois dois

Para começarreticências:

1. Resposta pessoal.

2. circular

3. sim

Orientações e sugestões didáticas

Abertura da Unidade 1

Conteúdos

• Nesta Unidade, serão trabalhados vários conceitos relacionados às unidades temáticas Números, Grandezas e medidas, Geometria e Probabilidade e Estatística que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da Bê êne cê cê listadas.

Orientações

• Após a exploração da imagem e do texto desta abertura, aproveite a primeira questão para verificar os conhecimentos dos estudantes sobre o assunto, incentivando-os a compartilhar suas experiências.

• Na questão 2, espera-se que os estudantes identifiquem que a área irrigada pelo sistema de pivô central, com base nas informações apresentadas no texto, apresenta formato circular. Caso eles tenham dificuldades para compreender o funcionamento desse sistema de irrigação, retome e analise o esquema ilustrado na página.

• Caso os estudantes apresentem dificuldades na questão 3, organize-os em grupos, disponibilize círculos com diferentes medidas de área e oriente-os a medir o comprimento do diâmetro com uma régua. Por fim, desafie-os a comparar a medida de área dessas figuras – uma maneira de realizar essa comparação é com a sobreposição dos círculos. Com isso, eles poderão verificar experimentalmente que, quanto maior for a medida de comprimento do diâmetro, maior será a medida de área dos círculos.

• Se julgar conveniente, aproveite o tema da abertura para comentar com os estudantes que os primeiros registros sobre o processo de irrigação são de civilizações antigas que, em meados de 6000 antes de Cristo, viviam nas proximidades dos rios Nilo (no Egito), Tigre e Eufrates (ambos na Mesopotâmia). Com o passar do tempo, o processo de irrigação foi aperfeiçoado e ficou cada vez mais sofisticado com o avanço de pesquisas e uso de novas tecnologias.

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CAPÍTULO 1 Números reais

1 Números naturais, números inteiros e números racionais

Os números estão presentes nas mais diversas situações do nosso dia a dia. Observe alguns exemplos no texto a seguir sobre a cidade de Urupema em Santa Catarina.

Urupema: uma das cidades mais frias do país

A cidade de Urupema está localizada na Serra Catarinense a uma altitude que mede .1450 métros acima do nível do mar. A medida de temperatura média anual nessa cidade é de 13 grausC e a precipitação média anual mede .1800 milímetros.

Embora esteja localizada em um país tropical, nessa região encontramos inverno rigoroso com registro de geadas, neve e temperaturas muito baixas, que chegam a medir, segundo dados do Centro de Informações de Recursos Ambientais e Hidrometeorologia de Santa Catarina (Ciram), menos8,8 grausC e sensações térmicas que se aproximam de menos20 a menos30 grausC no Morro das Torres.

Fotografia. Cachoeira congelada. A formação rochosa tem vários níveis e a queda de água está congelada. Ao redor, algumas árvores. — Cascata que Congela, Urupema (Santa Catarina), 2021. A água dessa cachoeira congela nos dias mais frios do inverno, proporcionando um espetáculo que encanta os visitantes.

Observe os números que aparecem no texto: .1450, 13 e .1800 são números naturais; menos20 e menos30 são números inteiros; menos8,8 é um número racional.

Para pensar

Os números menos20 e menos30 são os únicos números inteiros que aparecem no texto? Por quê?

Lembre-se: Escreva no caderno!

A sequência dos números naturais é: abre parênteses0, 1, 2, 3, 4, 5reticênciasfecha parênteses.

O primeiro número dessa sequência é o zero, e, para determinar qualquer termo a partir do segundo, basta adicionar 1 ao termo anterior.

Agrupando os termos dessa sequência em um conjunto, obtemos o conjunto dos números naturais, que indicamos por

Símbolo N do conjunto dos números Naturais.

= abre chave0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, reticênciasfecha chave

Ao realizar uma subtração entre números naturais, encontramos como resultado um número positivo, zero ou um número negativo. Ao agrupar todos esses possíveis resultados, obtemos o conjunto dos números inteiros, que indicamos por

Símbolo Z do conjunto dos números Inteiros.

= abre chavereticências, menos4, menos3, menos2, menos1, 0, 1, 2, 3, 4, reticênciasfecha chave

Respostas e comentários

Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas neste Capítulo:

ê éfe zero nove ême ah zero um

ê éfe zero nove ême ah zero dois

Para pensar: Não; porque os números .1450, 13 e .1800 são também números inteiros.

Orientações e sugestões didáticas

Números naturais, números inteiros e números racionais

Objetivo

• Retomar os conceitos de números naturais, números inteiros e números racionais.

Orientações

• Os conjuntos numéricos são retomados, partindo-se de um texto que apresenta o uso social de diferentes números. Esse é o momento oportuno para fazer um levantamento dos conhecimentos aprendidos pelos estudantes e ajudá-los a superar suas possíveis concepções equivocadas a respeito deles.

• Espera-se que, para responder às perguntas do boxe Para pensar, os estudantes se lembrem de que todo número natural também é um número inteiro. Caso os estudantes demonstrem dificuldade, escreva no quadro alguns números e peça a eles que identifiquem cada um deles como número natural ou inteiro.

• Após a leitura e a exploração deste tópico, verifique se os estudantes são capazes de inferir que todos os números que aparecem no texto sobre a cidade de Urupema são números racionais.

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Note que todos os elementos do conjunto

são também elementos do conjunto

. Dizemos que

é um subconjunto de

, ou seja,

está contido em

(indicamos:

⊂

Já os números racionais são todos aqueles que podem ser escritos na fórma

\frac{a}{b}

, sendo a e b números inteiros e b ≠ 0. O conjunto dos números racionais é indicado por

Símbolo do conjunto dos números racionais.

Símbolo dos racionais, igual a abre chave x barra vertical x igual a fração a sobre b, sendo a e b números inteiros e b diferente de 0, fecha chave.
Cota abaixo da barra vertical indicando tal que.

Observe alguns exemplos de números que pertencem ao conjunto dos números racionais, pois podem ser escritos como quocientes de dois números inteiros.

•

‒ 20 = \frac{‒ 20}{1}

•

‒ 8, 8 = \frac{‒ 88}{10}

•

0, 06 = \frac{6}{100}

•

\frac{1}{3}

•

‒ \frac{4}{5} = \frac{‒ 4}{5}

• 2

\frac{3}{5} = \frac{13}{5}

Qualquer número n, natural ou inteiro, pode ser escrito na fórma

\frac{a}{b}

, sendo a e b números inteiros e b ≠ 0; basta considerar a = n e b = 1. Assim, todos os elementos do conjunto

e do conjunto

são também elementos do conjunto

. Então,

é um subconjunto de

, que, por sua vez, é um subconjunto de

(indicamos:

⊂

Ilustração. Representação de conjuntos numéricos no diagrama de Venn. Conjunto dos números Racionais em formato oval na cor rosa. Dentro desse conjunto, o conjunto dos números Inteiros também em formato oval na cor alaranjada. Dentro desse conjunto, o conjunto dos números Naturais, também em formato oval na cor verde.

2 Representação de números racionais na fórma decimal

Um número racional que está na fórma de fração também pode ser representado na fórma decimal. Para isso, devemos lembrar que a fórma de fração pode representar o quociente do numerador pelo denominador.

Acompanhe como escrever

‒ \frac{4}{5}

\frac{1}{3}

na fórma decimal.

Ilustração. Homem pardo, cabelo castanho, usando óculos e vestindo camisa azul claro, calça azul escuro e sapato marrom. Está em pé, o braço direito está dobrado, com a mão direita fechada e apoiada na cintura, do lado direito. O braço esquerdo está dobrado com mão esquerda espalmada em direção a uma lousa. Atrás dele, à esquerda, uma lousa verde com a borda marrom e com o texto em branco. Balão de fala do homem: Nessa divisão, obtivemos um decimal exato.
Na lousa verde está escrito: Fração menos 4 quintos igual menos abre parênteses 4 dividido por 5 fecha parênteses. Abaixo, algoritmo usual da divisão. 4 dividido por 5 igual a 0 vírgula 8 com resto 0. Na primeira linha da divisão, à esquerda o número 4, a direita, chave com o número 5 dentro. Abaixo da chave o número 0. A direita do 4, o número 0 em azul formando 40. abaixo da chave, ao lado do 0 a vírgula e o algarismo 8 formando 0 vírgula 8.
Abaixo do 40, o número 0 alinhado com a ordem das unidades de 40.
Abaixo da divisão, o texto. Então: menos fração 4 quintos igual a menos 0 vírgula 8.

Orientações e sugestões didáticas

Representação de números racionais na fórma decimal

Objetivos

• Reconhecer as diferentes representações dos números racionais.

• Retomar como se obtém a fração geratriz de uma dízima periódica.

Orientações

• Ao trabalhar a representação decimal dos números racionais, é importante que fique claro para os estudantes que essa representação será finita ou infinita periódica. Comente com eles a possibilidade de decidir se a representação decimal de uma fração será finita ou infinita periódica sem ter de efetuar a divisão.

• A representação decimal de uma fração será finita quando for possível obter uma fração equivalente à fração original cujo denominador seja uma potência de 10. Por exemplo, a representação decimal das frações

\frac{3}{4}

\frac{9}{20}

\frac{3}{250}

é finita, pois:

\frac{3}{4}

\frac{75}{100}

= 0,75;

\frac{9}{20}

\frac{45}{100}

= 0,45 e

\frac{3}{250}

\frac{12}{1000}

= 0,012

• A representação decimal de uma fração será infinita e periódica quando não for possível obter uma fração equivalente à fração original cujo denominador seja uma potência de 10. Por exemplo, a representação decimal das frações

\frac{2}{7}

\frac{4}{9}

\frac{5}{11}

é infinita e periódica. Nesse caso, proponha aos estudantes que tentem encontrar uma fração equivalente a essas cujo denominador seja uma potência de 10 para que eles percebam que isso não é possível.

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Ilustração. Mesmo personagem da ilustração anterior, mas agora à direita da lousa. Está em pé, o braço esquerdo está esticado em direção à mesma lousa, e na mão esquerda segura um giz branco apontado para a lousa. O braço direito está esticado com a mão espalmada. Primeiro balão de fala com o texto: Mesmo se continuarmos a divisão de 1 por 3, o resto nunca será igual a zero. Note que o resto parcial 1 continuará se repetindo; então, o algarismo 3 no quociente se repete infinitamente. Segundo balão de fala com o texto: Portanto, esse quociente é uma dízima periódica de período 3. Indicamos essa dízima usando a notação: 0 vírgula 3 com traço horizontal acima do algarismo 3. Na lousa, escrito em branco. Fração 1 terço igual 1 dividido por 3. Abaixo, algoritmo usual da divisão. 1 dividido por 3 igual a 0 vírgula 333 reticências com resto 1. Na primeira linha da divisão, à esquerda o número 1, a direita, chave com o número 3 dentro. Abaixo da chave o número 0. A direita do 1, o número 0 em azul formando 10. Abaixo da chave, ao lado do 0 a vírgula e o algarismo 3 formando 0 vírgula 3. Abaixo do 10, o número 1 alinhado ordem a ordem com o 10. Ao lado do 1, algarismo 0 formando 10. Abaixo da chave, ao lado do 0 vírgula 3, algarismo 3 formando 0 vírgula 33. Abaixo do 10, o número 1 alinhando ordem a ordem com o 10. Ao lado do 1, algarismo 0 formando 10. Abaixo da chave, ao lado do 0 vírgula 33, algarismo 3 e reticências formando 0 vírgula 333, reticências. Abaixo do 10, o número 1 alinhando ordem a ordem com o 10. Abaixo da divisão, o texto: Então: fração 1 terço igual a 0 vírgula 3 com traço horizontal em cima do 3.

Do mesmo modo, podemos transformar qualquer número racional da fórma de fração para a fórma decimal.

A representação decimal de um número racional é sempre um decimal exato ou uma dízima periódica.

É possível fazer o processo inverso: transformar um decimal exato para a fórma fracionária usando frações decimais (frações cujo denominador é uma potência de 10).

Exemplos

•

4, 3 = \frac{43}{10}

•

0, 25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

•

0, 9437 = \frac{9 437}{10 000}

Agora, acompanhe um exemplo de como transformar uma dízima periódica para a fórma de fração, ou seja, como encontrar a fração geratriz de uma dízima.

Vamos obter a fração geratriz da dízima periódica

0, 27 \overline{6}

1º) Representamos essa dízima por x.

x =

0, 27 \overline{6}

abre parêntesesumfecha parênteses

2º) Multiplicamos ambos os membros da igualdade abre parêntesesumfecha parênteses por 100 para obter uma dízima periódica em que o período aparece logo após a vírgula.

100x =

27, \overline{6}

abre parêntesesdoisfecha parênteses

3º) Como o período dessa dízima é formado por um algarismo abre parênteses6fecha parênteses, multiplicamos ambos os membros da igualdade abre parêntesesdoisfecha parênteses por 10 para obter outra dízima com o mesmo período.

.1000x =

276, \overline{6}

abre parêntesestrêsfecha parênteses

(Note que, como 27,

\overline{6}

é igual a 27,666reticências, com o 6 se repetindo infinitamente, quando multiplicamos essa dízima por 10, obtemos a dízima 276,666... =

276, \overline{6}

4º) Subtraímos, membro a membro, abre parêntesesdoisfecha parênteses de abre parêntesestrêsfecha parênteses e, assim, eliminamos a parte que se repete nas dízimas.

Esquema. 1 mil vezes x igual a 276 vírgula 6 com traço horizontal acima do segundo algarismo 6. Abre parênteses, 3 em algarismos romanos, fecha parênteses. Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita, 100 vezes x igual a 27 vírgula 6 com traço horizontal acima do algarismo 6, alinhado termo a termo com a equação de cima. Abre parênteses, 2 em algarismos romanos, fecha parênteses.
Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 900 vezes x igual 249, alinhado termo a termo.
Abaixo, x igual fração 249, 900 avos igual 83, 300 avos.

Assim,

0, 27 \overline{6} = \frac{83}{300}

, ou seja,

\frac{83}{300}

é a fração geratriz da dízima periódica

0, 27 \overline{6}

Orientações e sugestões didáticas

• Outra caracterização do critério apresentado é a seguinte:

– Se, ao decompor em fatores primos o denominador da fração, obtivermos somente potências de 2, de 5 ou ambas, então a representação decimal da fração será finita.

– Se, ao decompor em fatores primos o denominador da fração, comparecer alguma potência com base diferente de 2 ou de 5, então a representação decimal da fração será infinita e periódica.

• O processo de obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica deve ser trabalhado de fórma cuidadosa para que os estudantes possam compreender o significado do que está sendo feito, e não apenas memorizar um processo que pode não fazer sentido para eles.

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Observações

• No 1º passo, a parte não periódica após a vírgula tem 2 algarismos; por isso, no 2º passo multiplicamos ambos os membros da igualdade por 100. Se a parte não periódica tivesse 3, 4, 5, reticências algarismos após a vírgula, multiplicaríamos, respectivamente, os membros da igualdade por .1000, .10000, .100000 e assim por diante. Se o período estivesse logo após a vírgula, não seria necessário realizar essa multiplicação e usaríamos a igualdade abre parêntesesumfecha parênteses nos passos seguintes.

• No 3º passo, se o período tivesse 2, 3, 4, reticências algarismos, multiplicaríamos, respectivamente, os membros da igualdade por 100, .1000, .10000 e assim por diante, para obter outra dízima de mesmo período.

Para investigar

Usando o algoritmo da divisão, verifique que a fração

\frac{83}{300}

gera a dízima

0, 27 \overline{6}

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Escreva o nome do conjunto numérico a que pertence cada número do texto a seguir.

Fotografia. Planeta Júpiter. Em fundo preto, esfera com a borda esfumaçada, com várias cores em faixas horizontais, com tons de vermelho, marrom, azul e alaranjado. — A Grande Mancha Vermelha de Júpiter, 2018.

Júpiter fica a uma medida de distância de 778 milhões de quilômetros do Sol e demora 11 anos e 312 dias terrestres para dar uma volta em tôrno dessa estrela, a 13 quilômetros por segundo. A gravidade em Júpiter é 2,36 vezes superior à da Terra e a temperatura média no planeta mede menos120 graus Célsius.

2. Identifique os números que pertencem ao conjunto dos números naturais abre parênteses

), os que pertencem ao conjunto dos números inteiros abre parênteses

fecha parênteses e os que pertencem ao conjunto dos números racionais abre parênteses

fecha parênteses.

a) 0

b) menos10

c) 3,258

\frac{4}{3}

0, \overline{3}

\sqrt{25}

‒ \frac{12}{4}

1, 34 \overline{75}

3. Considerando x um número inteiro, copie o quadro no caderno e complete-o.

x	Oposto de x	Sucessor de x	Antecessor de x
2
	−15
		158
			−4
−21
	−348
		25.390
−n			−n − 1

4. As idades de três primos, Bernardo, Rafaela e Sérgio, são, respectivamente, três números consecutivos. Sabendo que a soma das idades é igual a 90, qual é a idade de cada um dos primos?

5. Leia o texto a seguir.

Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É), o maior município brasileiro é Altamira, no Pará, e tem .159533,306 quilômetros quadrados de medida de área, com dimensão territorial maior que vários estados brasileiros.

O município mineiro de Santa Cruz de Minas, cuja área mede 3,565 quilômetros quadrados, é o menor do país, seguido de Águas de São Pedro, em São Paulo, com área que mede 3,612 quilômetros quadrados. Suas medidas de área são menores que a da Ilha de Fernando de Noronha, distrito estadual de Pernambuco, que mede 18,609 quilômetros quadrados.

Respostas e comentários

Para investigar: Resposta em Orientações.

1. Exemplo de resposta: todos os números do texto pertencem ao conjunto dos números racionais.

2. a)

;

2. b)

;

2. c)

2. d)

2. e)

2. f)

;

2. g)

;

2. h)

3. Resposta em Orientações.

4. Bernardo: 29 anos, Rafaela: 30 anos, Sérgio: 31 anos

Orientações e sugestões didáticas

• Resolução do boxe Para investigar:

Algoritmo da divisão. 83 dividido por 300 igual a 0 vírgula 2766 reticências.
Na primeira linha, à esquerda o número 83, à direita, chave com o número 300 dentro. Abaixo da chave o número 0 vírgula 2. A direita do número 83, algarismo 0 em vermelho formando 830. Abaixo do 830, a esquerda sinal de subtração, a direita 600 alinhado ordem a ordem com 830. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, resto 230 alinhado ordem a ordem com 830. Ao lado direito do 230, algarismo 0 em vermelho formando 2 mil e 300. Abaixo da chave, à direita do 0 vírgula 2, algarismo 7 formando 0 vírgula 27. Abaixo do 2 mil e 300, à esquerda, sinal de subtração e à direita 2 mil e 100 alinhado ordem a ordem com 2 mil e 300. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, resto 200. À direita do 200, algarismo 0 em vermelho formando 2 mil. Abaixo da chave, à direita do 0 vírgula 27, algarismo 6 formando 0 vírgula 276. Abaixo do 2 mil, à esquerda sinal de subtração, à direita 1 mil e 800 alinhado ordem a ordem com 2 mil. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, resto 200.
À direita do 200, algarismo 0 em vermelho. formando 2 mil. Abaixo da chave, à direita do 0 vírgula 276, algarismo 6 formando 0 vírgula 2766 reticências.

Portanto,

\frac{83}{300} = 0, 27 \overline{6}

• Amplie a proposta da atividade 2 e reproduza no quadro as afirmações a seguir. Depois, solicite aos estudantes que identifiquem quais delas são verdadeiras e quais são falsas.

1. Todo número inteiro é racional. (verdadeira)

2. Entre dois números inteiros, sempre existe um número racional. (verdadeira)

3. Entre dois números naturais, não há um número racional. (falsa)

4. A diferença entre dois números racionais pode não ser um número racional. (falsa)

5. Uma dízima periódica não é um número racional. (falsa)

6. O número

\frac{3}{17}

tem representação decimal infinita e não periódica. (falsa)

• A atividade 5 permite comentar com a turma sobre a diferença entre região povoada e região populosa. O Vaticano, por exemplo, é um país pouco populoso (cêrca de mil habitantes). Trata-se, porém, de um dos países mais povoados do mundo, considerando que sua área mede 0,44 quilômetros quadrados.

O tema propicia até mesmo um trabalho em parceria com o professor de Geografia para explorar esses conceitos.

Mais considerações podem ser obtidas em: https://oeds.link/ZQVJXJ. Acesso em: 19 agosto 2022.

• Resposta da atividade 3.

x	Oposto de x	Sucessor de x	Antecessor de x
2	−2	3	1
15	−15	16	14
157	−157	158	156
−3	3	−2	−4
−21	21	−20	−22
348	−348	349	347
25.389	−25.389	25.390	25.388
−n	n	−n + 1	−n − 1

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Fotografia. Cidade de Altamira. Na parte inferior da foto, margem do rio Xingu na cor cinza, com embarcações de diferentes tamanhos e cores. Acima da margem, uma construção com telhado marrom. Ao fundo, diferentes construções, com tamanhos e cores diversas, com estruturas semelhantes a casas, e antenas espalhadas. Mais ao fundo, na parte superior da imagem, vegetação com árvores e céu azul. Atrás da vegetação, são visíveis algumas casas. — Vista da cidade de Altamira às margens do Rio Xingu, no Pará, 2019.

a) Escreva os números citados no texto em ordem crescente.

b) Qual é a diferença entre a medida de área do maior e a do menor município brasileiro?

A densidade demográfica de uma região é a razão entre o número de pessoas e a medida de área. Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, em 2021, a população estimada de Altamira era de .117320 habitantes, e a de Santa Cruz de Minas era de .8723 habitantes. Usando uma calculadora, calcule a densidade demográfica aproximada, em habitantes por quilômetro quadrado, desses dois municípios em 2021.

Converse com um colega e comparem as densidades demográficas obtidas no item anterior.

6. Escreva os números racionais na fórma decimal.

\frac{2}{15}

\frac{4}{25}

\frac{6}{15}

\frac{30}{8}

\frac{50}{3}

\frac{90}{11}

7. Encontre a fração geratriz de cada dízima periódica.

0, \overline{2}

1, 1 \overline{6}

0, 1 \overline{25}

•

Usando uma calculadora, divida o numerador pelo denominador de cada fração geratriz obtida para verificar se os resultados são as dízimas periódicas dos itens.

3 Números irracionais

Além dos números naturais, inteiros e racionais, existem os números irracionais.

Como vimos, a representação decimal de um número racional é sempre um decimal exato ou uma dízima periódica.

Os números cuja representação decimal é infinita e não periódica não podem ser escritos na fórma

\frac{a}{b}

, sendo a e b inteiros e b ≠ 0, e, portanto, não são números racionais. Esses números são irracionais. Observe alguns exemplos de números irracionais.

Raiz quadrada de 2

Caio e seus colegas de grupo fizeram um trabalho sobre a raiz quadrada de 2. Para encontrar um segmento que media raiz quadrada de 2 centímetros de comprimento, fizeram dois quadrados de papel com lados que mediam 1 centímetro de comprimento. Depois, cortaram esses quadrados na diagonal, obtendo triângulos.

Ilustração. Três jovens ao redor de uma mesa azul, com uma tesoura verde e pedaços de papel em cima. À esquerda da ilustração, sentada em cadeira roxa, uma menina negra, com cabelo castanho preso, vestindo uniforme amarelo com detalhes em azul, segura na mão esquerda uma tesoura rosa e, na mão esquerda, um retângulo de papel branco. No centro, em pé, menino branco, ruivo, mesmo uniforme que a menina. No lado direito, sentado em cadeira roxa, menino branco, cabelo preto, vestindo o mesmo uniforme, com a mão direita apoiada na mesa e a esquerda segurando quadrado de papel azul.

Respostas e comentários

5. a) 3,565; 3,612; 18,609; .159533,306

5. b) .159529,741 quilômetros quadrados

5. c) Altamira: aproximadamente 0,7 habitante/quilômetros quadrados; Santa Cruz de Minas: aproximadamente .2446,8 habitante/quilômetros quadrados

5. d) Resposta pessoal.

6. a)

0, 1 \overline{3}

6. b)

0, 16

6. c) 0,4

6. d) 3,75

6. e)

16, \overline{6}

6. f)

8, \overline{18}

7. Resposta em Orientações.

7. a)

\frac{2}{9}

7. b)

\frac{7}{6}

7. c)

\frac{62}{495}

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 7, espera-se que os estudantes lembrem que fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica. Caso julgue necessário, reproduza um dos itens no quadro e faça o procedimento para obter sua fração geratriz, solicitando a participação da turma.

Números irracionais

Objetivos

• Ampliar e consolidar os significados dos números naturais, inteiros e racionais.

• Reconhecer a existência de números irracionais.

• Distinguir um número irracional dos demais já estudados e mobilizar tais conhecimentos para a resolução de problemas.

• Reconhecer que os números

\sqrt{2}

e π são irracionais.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero um e ê éfe zero nove ême ah zero dois e da competência específica 3 da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero um porque os estudantes terão a oportunidade de reconhecer que as medidas das diagonais de um quadrado não podem ser expressas por um número racional quando a medida do seu lado é tomada como unidade. A habilidade ê éfe zero nove ême ah zero dois tem o seu desenvolvimento favorecido porque os estudantes deverão estudar que um número irracional tem representação decimal infinita e não periódica.

Orientações

• Há muito tempo, ficou claro para os matemáticos que as frações não eram suficientes para medir todas as grandezas, mesmo que fossem positivas. Assim, já na Antiguidade grega ficou comprovado que, por exemplo, a medida de comprimento do lado de um quadrado é incomensurável com a medida de comprimento de sua diagonal, ou seja, não existe um segmento, por menor que seja, que sirva de unidade de medida comum ao lado e à diagonal de um mesmo quadrado de maneira que ambos sejam múltiplos inteiros dessa unidade. Se julgar oportuno, proponha aos estudantes que façam uma pesquisa a respeito da descoberta da existência de segmentos incomensuráveis e da crise que esse fato gerou na Matemática na Antiguidade.

(ê éfe zero nove ême ah zero um) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).

(ê éfe zero nove ême ah zero dois) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

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Com os triângulos obtidos, montaram um novo quadrado de papel. Observe.

Esquema. Soma das áreas de dois quadrados formam a área de um quadrado maior. Da esquerda para direita, um quadrado azul com lados medindo 1 centímetro e dividido em 2 triângulos pela diagonal que tem medida de comprimento x. Abaixo do quadrado, texto: medida da área igual a 1 centímetro quadrado. Ao lado, um quadrado amarelo com lados medindo 1 centímetro e dividido em 2 triângulos pela diagonal que tem medida de comprimento x. Abaixo do quadrado, texto: medida da área igual a 1 centímetro quadrado. Seta cinza indicando para a direita. Quadrado maior composto pelos 4 triângulos citados anteriormente, sendo 2 azuis e 2 amarelos de forma que os lados desse quadrado são as diagonais que medem x. Abaixo, texto: Medida da área igual a 2 centímetros quadrados.

O quadrado montado tem área que mede 2 centímetros quadrados. Portanto, a medida de comprimento do lado desse quadrado, em centímetro, é um número que, elevado ao quadrado, resulta em 2. Em outras palavras, a medida de comprimento do lado desse quadrado, em centímetro, que indicamos por x, é igual à raiz quadrada de 2, representada por

\sqrt{2}

Para investigar

Usando uma régua graduada em centímetro e milímetro, meça o comprimento do lado do novo quadrado montado por Caio e seus colegas. Que medida de comprimento você obteve?

Depois, converse com os colegas sobre as seguintes questões:

• Na medição, vocês obtiveram a medida exata ou aproximada do segmento?

• Como vocês podem verificar se a medida é exata?

• Por que vocês acham que isso aconteceu?

Observe as tentativas de Caio e seus colegas de encontrar o valor exato da raiz quadrada de 2.

Primeiro, eles testaram alguns valores, buscando um número não negativo que, elevado ao quadrado, fosse igual a 2.

1elevado a 2 = 1 2elevado a 2 = 4

Então, perceberam que

\sqrt{2}

está entre 1 e 2. Assim, continuaram testando valores entre 1 e 2, buscando um número que, elevado ao quadrado, resultasse em 2. Observe.

Respostas e comentários

Para investigar: Exemplo de respostas: 1,4 centímetro; aproximada; pode-se verificar fazendo abre parênteses1,4 cm)elevado a 2; nesse caso, obtém-se 1,96 centímetro quadrado, e não 2 centímetros quadrados; resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• No boxe Para investigar, comente com os estudantes que toda medição realizada no mundo físico tem o seu valor afetado pela incerteza da medição e do instrumento de medida. Nesse caso, a medida de comprimento do segmento em centímetro ou em milímetro nunca poderá ser expressa por um número racional.

• Ao introduzir a noção de número irracional, enfatize a diferença entre uma aproximação de um número irracional como

\sqrt{2}

, dada por uma calculadora, e o próprio número

\sqrt{2}

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Caio e seus colegas perceberam que, mesmo continuando os cálculos, não encontrariam o valor exato de

\sqrt{2}

, mas aproximações desse número. Então, concluíram que

\sqrt{2}

está entre 1,4142 e 1,4143.

Já foram feitos muitos cálculos para chegar ao valor exato de

\sqrt{2}

, mas nunca foi encontrado um decimal exato ou uma dízima periódica correspondente a esse valor. Os matemáticos provaram que o número

\sqrt{2}

não é racional, isto é, não pode ser escrito como um quociente de números inteiros e, por isso, não pode ser expresso como decimal exato ou como dízima periódica.

Número pi (π)

Vanessa traçou uma circunferência usando um software de Geometria dinâmica e, em seguida, mediu, com as ferramentas do software, o diâmetro e o comprimento aproximado da circunferência.

Ilustração. Em um quarto com janela e parede amarela, Vanessa, menina branca, cabelo castanho preso, camiseta rosa com detalhe amarelo e calça azul, sentada em uma cadeira verde e, em sua frente, uma mesa verde. Está com a mão esquerda apoiada em teclado cinza e a mão direita em mouse cinza, olhando para o monitor com o software de geometria aberto, traçando uma circunferência.

Depois, ela movimentou a circunferência a fim de alterar a medida de comprimento de seu diâmetro. Acompanhe, a seguir, três configurações que ela obteve, em que as medidas de comprimento estão indicadas na mesma unidade.

Ilustração. Tela similar a de um software de geometria analítica. Na parte superior, há uma barra com diversos botões. Da esquerda para a direita, os botões correspondem às ferramentas: mover, ponto, reta, reta perpendicular, polígono, circunferência, ângulo e reflexão.
Abaixo do botão ângulo, aparecem da esquerda para a direita os botões que correspondem às seguintes ferramentas:
medida de ângulo, medida de comprimento, medida de área e calculadora. A ferramenta medida de comprimento está selecionada.
Na tela está representada a circunferência C1, com c maiúsculo e o 1 subscrito.
Está indicado seu centro, o ponto O e os ponto A e B pertencentes à circunferência e o segmento de reta AB, diâmetro da circunferência.
Abaixo, no canto inferior direito, as sentenças matemáticas: Medida de comprimento igual a 6 vírgula 29 e abaixo, medida do segmento AB igual a 2.

Ilustração. Tela do mesmo programa da ilustração anterior, com as mesmas seleções, mas agora está representada a circunferência C2, com c maiúsculo e o 2 subscrito. Está indicado centro, ponto O, os ponto A e B pertencentes à circunferência e o segmento de reta AB, diâmetro da circunferência. Abaixo, no canto inferior direito, as sentenças matemáticas: Medida de comprimento igual a 8 vírgula 09 e abaixo, medida segmento AB igual a 2,58.

Ilustração. Tela do mesmo programa da ilustração anterior, com as mesmas seleções, mas agora está representada a circunferência C3, com c maiúsculo e o 3 subscrito.
Está indicado centro, ponto O, os ponto A e B pertencentes à circunferência e o segmento de reta AB, diâmetro da circunferência.
Abaixo, no canto inferior direito, as sentenças matemáticas: Medida de comprimento igual a 9 vírgula 43 e abaixo, medida segmento AB igual a 3.

Em seguida, Vanessa calculou o quociente entre a medida aproximada do comprimento e a medida do diâmetro correspondente a cada circunferência e obteve os seguintes valores.

centésimoíndice 1:

\frac{6, 29}{2} = 3, 145

centésimoíndice 2:

\frac{8, 09}{2, 58} ≃ 3, 136

centésimoíndice 3:

\frac{9, 43}{3} ≃ 3, 143

Como é possível perceber, os valores obtidos nesses quocientes estão próximos de 3,14. Em qualquer circunferência, essa razão é de aproximadamente 3,14.

Quando se divide a medida do comprimento da circunferência pela medida do seu diâmetro, na mesma unidade, obtém-se sempre o número irracional pi (representado pela letra grega π).

π = 3,14159265reticências

O número π tem infinitas casas decimais e não possui parte periódica. Por isso, é um número irracional.

Orientações e sugestões didáticas

• A introdução à raiz quadrada de 2 e ao número π é feita por meio de situações-problema, especialmente aquelas vinculadas à Geometria e às medidas cujas soluções não são dadas por números racionais. Dessa fórma, a competência específica 3 da Bê êne cê cê tem o seu desenvolvimento favorecido.

• Proponha aos estudantes que, em duplas, façam uma pesquisa a respeito do histórico do número π, com o objetivo de aprofundar as informações trazidas pelo livro e perceber que vários conceitos matemáticos se desenvolveram ao longo do processo de busca pelo valor exato de π (enquanto se pensava que isso era possível) e de aproximações mais precisas.

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Observação

Há medidas que não podem ser expressas por números racionais. Como vimos, o comprimento de uma circunferência de diâmetro com medida racional e a medida da diagonal de um quadrado de lado com uma unidade de comprimento são algumas delas. No Capítulo 6, veremos outras medidas de comprimento que não podem ser expressas por números racionais, como a da altura de alguns triângulos equiláteros e a da diagonal de alguns retângulos.

Usando o número π, podemos calcular a medida do comprimento C de uma circunferência de diâmetro d e raio r. Dessa fórma, temos

\frac{C}{d} = π

e, portanto:

Ilustração. Circunferência roxa com 2 segmentos indicando raios com medida r. Os segmentos estão contidos na mesma reta. Cota abaixo da circunferência indicando que 2 vezes r corresponde a d. Ao lado: C igual a pi vezes d ou C igual a pi vezes 2r.

Recorde

Para calcular a medida da área A de um círculo de raio medindo r de comprimento, usamos o número π:

A = π ⋅ relevado a 2

Exemplo

Calcular a medida do comprimento de uma circunferência cujo raio mede 7 centímetros de comprimento, considerando π = 3,14.

Ilustração. Circunferência azul com o segmento indicando raio de 7 centímetros.
Ao lado: C igual a pi vezes 2r
abaixo: C igual a 3 vírgula 14 vezes 2 vezes, abre parênteses, 7 centímetros, fecha parênteses
abaixo: C igual a 43 vírgula 96 centímetros

Para calcular

A trena de roda é um instrumento de medição de distância, como a ilustrada na foto.

Fotografia. Homem branco, cabelo castanho, vestindo boné, camiseta vermelha e uniforme de colete e calça laranja, com faixa refletiva na parte superior e inferior. Segura, com a mão direita, uma trena de roda, formada por um cabo cinza e preto ligado a uma roda, que está apoiada no chão.
Ao fundo, calçada com grama, troncos de árvores e uma casa.

As trenas de roda profissionais apresentam um contador (mecânico ou digital) que marca a medida da distância no decorrer da rolagem da roda no solo. Alguns modelos têm um diâmetro específico que a cada volta dada marca a medida de distância de 1 métro. Qual é a medida de comprimento aproximada do diâmetro da roda desses modelos de trena?

Exemplos

•

\sqrt{x}

, em que x é um número não negativo, racional ou irracional, e não é quadrado perfeito de um número racional:

\sqrt{π}

\sqrt{3}

= 1,732050807568877293reticências

\sqrt{5}

= 2,236067977499789696reticências

\sqrt{7}

= 2,645751311064590590reticências

• O número ϕ (phi), também conhecido como número de ouro ou razão áurea, dado por:

= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1, 61803398874989 . . .

Para pensar

Escreva no caderno três exemplos de números irracionais diferentes dos apresentados.

Respostas e comentários

Para calcular: aproximadamente 0,318 métro

Para pensar: Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Explique aos estudantes que, para facilitar os cálculos, muitas vezes arredondamos o valor de π para 3,14.

• No boxe Para calcular, a medida de comprimento aproximada do diâmetro é obtida por meio do uso da sentença algébrica que fornece o comprimento da circunferência.

Se a cada volta se percorreu a medida de distância de 1 metro, isso significa que o comprimento dessa roda mede 1 metro. Assim:

1 = π ⋅ 2r ⇔ 2r =

\frac{1}{π}

Indicando por d a medida de comprimento do diâmetro da roda, em metro, e considerando π = 3,14, temos:

d ≃

\frac{1}{3, 14}

≃ 0,318

Então, a medida de comprimento aproximada do diâmetro da roda é 0,318 métro.

Portanto, a medida de comprimento aproximada do diâmetro da roda é 0,318 métro.

• Aproveite o tema para pedir aos estudantes que deem exemplos de outros instrumentos de medida utilizados em diferentes profissões, como engenharia e arquitetura. Essa pode ser uma tarefa de pesquisa para ser realizada fóra da sala de aula.

• Chame a atenção dos estudantes para o fato de que existem infinitos números irracionais, assim como existem infinitos números naturais, inteiros e racionais, para que eles superem eventuais concepções errôneas. O boxe Para pensar pode ajudá-los a se convencer de tal fato. Mostre outros exemplos de números irracionais, tais como 1,566556665556666reticências, 0,987651121112reticências etcétera

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Identifique os números irracionais.

a) menos.2900

\sqrt{121}

\sqrt{10}

\frac{10}{9}

0, 0 \overline{12}

\sqrt{4}

g) 0,02468101214, tal que a sequência de algarismos após a vírgula equivale à sequência dos números naturais pares.

2. Murilo realizou a operação 2 dividido por 29 na calculadora de seu celular, que mostra 16 algarismos do resultado. Observe o resultado que ele obteve e a conclusão a que chegou.

Ilustração. Murilo, menino branco, cabelo castanho, vestindo camiseta vermelha com detalhes em verde, calça azul e tênis azul e branco. Está com a mão direita espalmada para cima e, na mão esquerda, segura calculadora cinza. É possível ver visor da calculadora com o número 0 vírgula 0 6 8 9 6 5 5 1 7 2 4 1 3 7 9.
Balão de fala do Murilo com o texto: A representação decimal da fração 2 sobre 29 é infinita e não há um período que se repete. Então, esse número é irracional.

•

Converse com um colega sobre a conclusão de Murilo, e verifiquem se ele está correto.

3. Um atleta participará de uma prova em que terá de nadar percorrendo a borda de uma piscina de formato circular de raio medindo 100 métros de comprimento. Para completar a prova, ele precisará dar duas voltas na piscina. Determine quantos metros ele nadará. abre parêntesesConsidere: π = 3,14.fecha parênteses

4. Considerando π = 3,14, responda às questões.

a) Qual é o comprimento da circunferência cujo raio mede 2,3 centímetros?

b) E da circunferência cujo diâmetro mede 7,5 métros de comprimento?

c) Qual é a medida do diâmetro de uma circunferência cujo comprimento é 31,4 métros?

O raio da bicicleta de Lizandro mede 30 centímetros de comprimento.

Fotografia. Lizandro, um ciclista, homem, branco, vestindo camiseta vermelha, branca e azul e bermuda preta, tênis preto, capacete, óculos escuros e luva. Está andando de bicicleta preta, com fundo de uma rua com gramado.

a) Qual é a medida de comprimento de cada roda dessa bicicleta? abre parêntesesAdote π = 3,14.fecha parênteses

b) Quantas voltas cada roda dessa bicicleta dará a cada medida de distância de 1 quilômetro?

6. Observe como Sílvia coloriu uma malha quadriculada.

Figura geométrica. Malha quadriculada com quadrados de 1 centímetro de comprimento de lado. 8 quadradinhos iguais aos da malha, são azuis e 5 quadrados, cujo o lado é igual a medida da diagonal do quadrado da malha, são vermelhos. As demais regiões quadradas ou triangulares são brancas.

a) Escreva um número racional na fórma fracionária que represente a parte colorida dessa malha quadriculada.

b) Qual é a razão entre a medida da área da parte colorida de azul e a de toda a malha quadriculada?

c) Qual é a medida de comprimento, em centímetro, do lado de cada quadrado pintado de vermelho?

d) Escreva na fórma decimal os números encontrados nos itens a, b e c.

Respostas e comentários

1. alternativas c e g

2. Resposta em Orientações.

3. .1256 métros

4. a) 14,444 centímetros

4. b) 23,55 métros

4. c) 10 métros

5. a) 188,4 centímetros

5. b) aproximadamente 531 voltas

6. a)

\frac{1}{2}

6. b)

\frac{2}{9}

6. c)

\sqrt{2}

centímetros

6. d)

\frac{1}{2} = 0, 5

;

\frac{2}{9} = 0, \overline{2}

;

\sqrt{2}

≃ 1,4142135

Orientações e sugestões didáticas

• Se julgar necessário, complemente a atividade 1, pedindo aos estudantes que identifiquem nos itens não indicados como número irracional de que tipo de número se trata. Esperam-se as seguintes respostas: a) inteiro e racional; b) natural, inteiro e racional; d) racional; e) racional; f) natural, inteiro e racional.

• Na atividade 2, espera-se que os estudantes percebam que Murilo não está correto, pois o número que ele obteve é parte da representação decimal de

\frac{2}{29}

, e

\frac{2}{29}

é um número racional. Comente com eles que, às vezes, o período da dízima é muito grande ou não aparece nos algarismos visíveis na tela ou no visor de uma calculadora.

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4 Números reais

Se unirmos o conjunto dos números racionais (no qual estão contidos o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números naturais) com o conjunto dos números irracionais, obteremos o conjunto dos números reais, que indicamos por ℝ

Ilustração. Representação do conjunto R, dos números Reais, em formato retangular, que está dividido em duas partes sendo a da direita o Conjunto dos números Irracionais, na cor roxa e o da esquerda o conjunto Q dos números Racionais, na cor rosa. Dentro do conjuntos dos racionais, o conjunto Z dos números Inteiros, na cor alaranjado. Dentro desse conjunto, o conjunto N dos números Naturais, na cor verde.

A reta numérica

Assim como os números naturais, os inteiros negativos e os racionais não inteiros têm, cada um, um ponto correspondente na reta numérica, os números irracionais também têm. Observe.

Ilustração. Mulher branca, ruiva, vestindo blusa amarela com casaco rosa, calça azul e sapatilha rosa, com a mão direita espalmada para cima e a mão esquerda com os dedos indicador e polegar apontando para a lousa, que está atrás, mais à esquerda. Primeiro balão de fala com o texto: Mesmo após representar os infinitos números naturais e inteiros na reta, ainda há pontos sem o número correspondente. Por exemplo, entre 3 e 4 há o 3 vírgula 6. O mesmo ocorre após representar os infinitos números racionais. Por exemplo, entre 1 vírgula 4 1 4 2 1 3 5 6 e 1 vírgula 4 1 4 2 1 3 2 7 há raiz quadrada de 2. Segundo balão de fala com o texto: Com a representação de todos os números reais abre parênteses números naturais, inteiros, racionais e irracionais fecha parênteses, a reta fica completa. Na lousa, um reta numérica com o sentido para a direita e os números menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados.
No trecho da reta entre o traço correspondente ao número menos 1 e o traço correspondente ao número 0, mais próximo do menos 1, há um traço indicado pela fração menos 2 terços.
No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 1 e o traço correspondente ao número 2, mais próximo do 1, há um traço indicado pelo número raiz quadrada de 2.
No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 3 e o traço correspondente ao número 4, mais próximo do 4, há um traço indicado pela número 3 vírgula 6.

Todo número real tem um único ponto correspondente na reta numérica, e todo ponto da reta numérica corresponde a um único número real.

Estabelecidas uma origem (correspondente ao número zero) e uma unidade (que determina a medida da distância entre dois pontos correspondentes a dois números inteiros consecutivos), vamos ver como encontrar a localização exata ou aproximada de alguns pontos correspondentes a números reais na reta numérica.

Mesmo que a representação decimal do número

\sqrt{2}

tenha infinitas casas decimais não periódicas, é possível traçar um segmento medindo

\sqrt{2}

unidade de comprimento e representar esse número na reta numérica. Vamos retomar o quadrado feito pelo grupo de Caio.

Ilustração. Caio, mesmo personagem anterior. Está com o braço esquerdo dobrado e a mão fechada, apoiada na cintura. A mão direita está fechada, apenas com o dedo indicador apontando o quadro ao lado.
Balão de fala com o texto: Primeiro, construí com régua e compasso, um quadrado com lado medindo 1 unidade de comprimento que terá diagonal de medida raiz quadrada de 2 unidade de comprimento. Transportando com o compasso a medida de comprimento da diagonal para a reta, obtive os pontos correspondentes à raiz quadrada de 2 e a menos raiz quadrada de 2, simétricos em relação à origem.

Ilustração. Caio, em pé, menino branco, ruivo, vestindo camiseta amarela com detalhes em azul, calça azul e tênis azul e branco. Está com a mão direita espalmada para frente e o braço esquerdo levantado, com o polegar e o indicador da mão esquerda apontados para cima. Balão de fala com o texto: Note que a medida de comprimento do lado do quadrado maior corresponde à medida de comprimento das diagonais dos quadrados menores. Assim, a medida de comprimento da diagonal do quadrado com lado medindo 1 centímetro de comprimento é igual à raiz quadrada de 2 centímetros.

Caio usou o fato de a diagonal do quadrado com medida de lado igual a 1 centímetro de comprimento medir

\sqrt{2}

centímetro de comprimento para representar

\sqrt{2}

e menos

\sqrt{2}

na reta numérica.

Orientações e sugestões didáticas

Números reais

Objetivos

• Compreender a ideia de conjunto dos números reais como o resultado da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais e mobilizar os conhecimentos construídos para a resolução de problemas.

• Localizar e representar números reais na reta numérica.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero um e ê éfe zero nove ême ah zero dois da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero um porque os estudantes terão a oportunidade de reconhecer que as medidas de comprimento das diagonais de um quadrado não podem ser expressas por um número racional quando a medida de comprimento de seu lado é tomada como unidade. O desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero dois se dá porque os estudantes deverão reconhecer e estimar a localização de alguns números irracionais na reta numérica.

Orientações

• Um dos objetivos desta etapa do trabalho é mostrar aos estudantes que alguns conjuntos numéricos estão contidos em outros; os conjuntos dos números racionais e dos números irracionais não têm elementos em comum, ou seja, são conjuntos disjuntos; e o conjunto dos números reais é a reunião do conjunto dos números racionais com o dos números irracionais.

• Outro objetivo deste tópico é explorar a localização de pontos correspondentes aos números irracionais em uma reta numérica – um contraponto à ideia de que na reta dos números racionais não há espaço para “novos” números. A introdução do novo conceito promove uma enorme ampliação da ideia de números.

• Inicie a aula representando, no quadro, alguns números inteiros na reta numérica. Depois, peça a alguns estudantes que encontrem os pontos correspondentes a, por exemplo, 1,4, menos0,7 ou

\frac{3}{5}

e que, a seguir, descrevam métodos para marcar esses pontos. Quando não conseguirem, ajude-os. No final, mostre como podemos representar os números menos

\sqrt{2}

\sqrt{2}

na reta numérica.

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Acompanhe como ele fez.

Ilustração. Reta numérica com o sentido para a direita e os números menos 2, menos raiz quadrada de 2, menos 1, 0, 1, raiz quadrada de 2, 2, 3, 4 e 5 indicados. A reta tem traços alinhados com os números indicados.
Quadrado amarelo com lado medindo 1 unidade de comprimento. O lado do quadrado pertence à reta e uma extremidade está posicionada em zero e a outra em 1. Está destacada a diagonal do quadrado com medida raiz quadrada de 2 centímetros.
Representação de um compasso com abertura igual à diagonal do quadrado e ponta-seca em zero. Está representado o arco correspondente a uma semicircunferência com o raio raiz quadrada de 2. O arco encontra a reta numérica em dois pontos: um, entre 1 e 2, com indicação de raiz quadrada de 2, e o outro, que está entre menos 2 e menos 1, indicado como menos raiz quadrada de 2.

Para pensar

Como você faria para localizar o ponto correspondente ao número irracional

2 \sqrt{2}

na reta numérica anterior?

Agora, acompanhe como Alícia estimou a localização na reta numérica do ponto correspondente ao número irracional 1,23456789101112reticências e como Felipe localizou na reta o ponto correspondente ao número

0, 41 \overline{6}

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Ilustração. Alícia, menina negra, cabelo castanho preso, vestindo camiseta amarela, colete rosa e calça azul. Está com a mão direita espalmada para baixo e a mão esquerda fechada, apenas com o dedo indicador apontando para cima.
Primeiro balão de fala: O número 1 vírgula 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 reticências está entre 1 vírgula 2 e 1 vírgula 3, mais próximo de 1 vírgula 2.
Segundo balão de fala com o texto: Assim, estimei a localização aproximada desse número irracional entre os pontos correspondentes a 1 vírgula 2 e 1 vírgula 3.

Gráfico. Reta numérica com o sentido para a direita e os números 0, 1 e 2 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 1 e o traço correspondente ao número 2, há 9 traços igualmente espaçados indicando que o trecho foi dividido em 10 partes iguais. Acima do segundo traço tem indicação do número 1 vírgula 2. Acima do terceiro traço tem indicação do número 1 vírgula 3. Entre os traços dos números 1 vírgula 2 e 1 vírgula 3, há um ponto vermelho com indicação de 1 vírgula 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 reticências.

Ilustração. Felipe, menino cadeirante, branco, cabelo preto, camiseta vermelha com detalhes em azul e verde, calça azul e tênis amarelo com detalhes brancos. A cadeira de rodas preta e cinza. O braço direito está apoiado no braço da cadeira e o esquerdo está levantando, apenas com o cotovelo apoiado, e com a palma da mão para cima.
Primeiro balão de fala com texto: Localizei na reta o ponto correspondente a 0 vírgula 416, com traço horizontal em cima do algarismo 6, de dois modos.
Segundo balão de fala com texto: No primeiro, aproximei o número para a primeira casa decimal e localizei na reta o ponto correspondente a esse valor aproximado. Esse ponto é uma localização aproximada de 0 vírgula 416 com traço horizontal em cima do algarismo 6. Ilustração. Felipe, mesmo personagem anterior. Está com seus dois braços apoiados na cadeira de rodas.
Balão de fala com o texto: 0 vírgula 416, com traço horizontal em cima do algarismo 6, é uma dízima periódica. Então, no segundo modo, determinei a fração geratriz dessa dízima e encontrei a localização exata do número.

Respostas e comentários

Para pensar: Resposta em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Nesta página mostra-se como estimar a localização de alguns números irracionais na reta numérica. Se achar necessário, proponha aos estudantes que estimem a localização de outros números irracionais na reta numérica utilizando a estratégia que julgarem mais conveniente. Depois, incentive-os a compartilhar com os colegas o modo como fizeram.

• No Capítulo 6, após estudar o teorema de Pitágoras, os estudantes verão que é possível localizar outros números irracionais, como

\sqrt{5}

\sqrt{10}

\sqrt{13}

, na reta numérica usando um método parecido com o apresentado por Caio.

• No boxe Para pensar, espera-se que os estudantes verifiquem que, para localizar 2

\sqrt{2}

na reta, bastaria manter a abertura do compasso usada a fim de encontrar

\sqrt{2}

e marcar, a partir do zero, a medida

\sqrt{2}

duas vezes para a direita na reta.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe cada reta numérica, dividida em partes iguais, e identifique no caderno o número correspondente a cada quadradinho.

Ilustração. Reta numérica com os números 1 e 2 representados. O trecho entre estes números está dividido em 4 partes iguais por meio de 3 pontos. No segundo ponto há um quadradinho azul.

Reta numérica com o sentido para a direita e os números menos 1 e 0 indicados nela. A reta possui pontos alinhados com os números indicados.
No trecho da reta entre o ponto correspondente ao número menos 1 e o ponto correspondente ao número 0, há 4 pontos indicando que este trecho foi dividido em 5 partes iguais.
No segundo destes pontos está indicado quadradinho amarelo.

Reta numérica com o sentido para a direita e os números menos 4 e menos 3 indicados nela. A reta possui pontos alinhados com os números indicados.
No trecho da reta entre o ponto correspondente ao número menos 4 e o ponto correspondente ao número menos 3, há 2 pontos indicando que este trecho foi dividido em 3 partes iguais.
No segundo destes pontos está indicado quadradinho verde.

Reta numérica com o sentido para a direita e os números 5 e 6 indicados nela. A reta possui pontos alinhados com os números indicados.
No trecho da reta entre o ponto correspondente ao número 5 e o ponto correspondente ao número 6, há 3 pontos indicando que este trecho foi dividido em 4 partes iguais.
No terceiro destes pontos está indicado quadradinho roxo.

2. Em cada caso, arredonde os números para a 2ª casa decimal e associe-os à sua localização aproximada na reta numérica.

Atividade 2. Ficha A maiúscula. Símbolo pi. Ficha B maiúscula. 3 vírgula 5 4 3 4 4 5 7 9 3. Ficha C maiúscula. 10 vezes raiz quadrada de 2. Ficha D maiúscula. 7 vírgula 4 3 2 1 7 9 8 reticências. Ficha E maiúscula. 3 vezes raiz quadrada de 2. Ficha F maiúscula. 5 vírgula 5 6 9 8 7 5 9 reticências. Gráfico. Ficha 1. Reta numérica com o sentido para a direita e os números 7 e 8 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 7 e o traço correspondente ao número 8, há 9 traços indicando que este trecho foi dividido em 10 partes iguais. Entre o quarto e o quinto destes traços está indicado quadradinho rosa. Gráfico. Ficha 2. Reta numérica com o sentido para a direita e os números 3 e 4 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 3 e o traço correspondente ao número 4, há 9 traços indicando que este trecho foi dividido em 10 partes iguais. Entre o quinto e o sexto destes traços está indicado quadradinho azul. Gráfico. Ficha 3. Reta numérica com o sentido para a direita e os números 3 e 4 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 3 e o traço correspondente ao número 4, há 9 traços indicando que este trecho foi dividido em 10 partes iguais. Entre o primeiro e o segundo destes traços está indicado quadradinho alaranjado. Gráfico. Ficha 4. Reta numérica com o sentido para a direita e os números 14 e 15 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 14 e o traço correspondente ao número 15, há 9 traços indicando que este trecho foi dividido em 10 partes iguais. Entre o primeiro e o segundo destes traços está indicado quadradinho verde. Gráfico. Ficha 5. Reta numérica com o sentido para a direita e os números 5 e 6 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 5 e o traço correspondente ao número 6, há 9 traços indicando que este trecho foi dividido em 10 partes iguais. Entre o quarto e o quinto destes traços está indicado quadradinho roxo. Gráfico. Ficha 6. Reta numérica com o sentido para a direita e os números 4 e 5 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados.
No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 4 e o traço correspondente ao número 5, há 9 traços indicando que este trecho foi dividido em 10 partes iguais. Entre o primeiro e o segundo destes traços está indicado quadradinho rosa.

3. Faça o que se pede.

a) Arredonde o número 1,732050reticências para a 1ª casa decimal.

b) O número 1,732050reticências está entre quais números inteiros consecutivos?

c) Arredonde

‒ 2 \sqrt{2}

para a 1ª casa decimal.

d) O número

‒ 2 \sqrt{2}

está entre quais números inteiros consecutivos?

e) Desenhe uma reta numérica e encontre a localização aproximada dos pontos que correspondem aos números 1,732050reticências e

‒ 2 \sqrt{2}

4. Represente os números a seguir na mesma reta numérica.

Sentença matemática. Raiz quadrada de 2. Sentença matemática. Menos raiz quadrada de 2. Sentença matemática. 3 vezes raiz quadrada de 2. Sentença matemática. Menos 3 vezes raiz quadrada de 2.

5. Arredonde os números a seguir para a 2ª casa decimal e encontre a localização aproximada deles em uma reta numérica.

a) 0,6523987415236reticências

b) 1,36547895213647reticências

c) 2,5632655632141563reticências

6. Copie a reta numérica em seu caderno e estime a localização dos pontos correspondentes aos números indicados.

Gráfico. Reta numérica com o sentido para a direita e os números 0, 1, 2 e 3 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados.
Em cada trecho da reta entre os números indicados, há 1 traço dividindo cada trecho ao meio.

Sentença matemática. Raiz quadrada de 3. Sentença matemática, Fração pi sobre 3. Sentença matemática. Raiz quadrada de 5. Sentença matemática. Raiz quadrada de 7.

Faça o que se pede.

• Elabore uma atividade envolvendo a localização de números reais na reta numérica.

• Passe a atividade para um colega resolver e resolva a que ele criou.

• Corrija a resposta de seu colega.

Respostas e comentários

1. a) 1,25

1. b) menos0,6

1. c)

- 3 \frac{1}{3}

1. d) 5,75

2. A – três; B – dois; C – quatro; D – um ; E – seis; F – cinco

3. a) 1,7

3. b) entre 1 e 2

3. c) menos2,8

3. d) entre menos3 e menos2

3. e) Resposta em Orientações.

4. Resposta em Orientações.

5. Resposta em Orientações.

6. Resposta em Orientações.

7. Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 1, os estudantes podem dar as respostas tanto na fórma decimal como na fórma de fração. Aproveite a atividade e peça a eles que compartilhem como pensaram para encontrar o número escondido, respeitando sempre e ouvindo as estratégias dos colegas de modo a ampliar as maneiras de resolver problemas.

• Na atividade 3, os estudantes usarão o recurso de aproximações para localizar pontos correspondentes aos números irracionais na reta.

• Para resolver as atividades 4, 5 e 6, que envolvem representações na reta numérica, é muito importante que os estudantes utilizem uma régua graduada. Mesmo quando se trata de aproximações, a intenção é chegar à representação mais próxima possível, usando os recursos de que se dispõe.

• Resposta do item ê da atividade 3:

Gráfico. Reta numérica com o sentido para a direita e os números menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número menos 3 e o traço correspondente ao número menos 2, há 9 traços indicando que este trecho foi dividido em 10 partes iguais. Entre o primeiro e o segundo destes traços, da esquerda para a direita, seta indicando menos 2 vezes raiz quadrada de 2. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 1 e o traço correspondente ao número 2, há 9 traços indicando que este trecho foi dividido em 10 partes iguais. Entre o sétimo e o oitavo traços, seta indicando 1 vírgula 7 3 2 0 5 0 reticências.

• Resposta da atividade 4:

Gráfico. Reta numérica com o sentido para a direita e os números menos 3 vezes raiz quadrada de 2, menos raiz quadrada de 2, 0, raiz quadrada de 2 e 3 vezes raiz quadrada de 2 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número menos 3 vezes raiz quadrada de 2 e o traço correspondente ao número menos raiz quadrada de 2 há 1 traço dividindo esse trecho ao meio. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número raiz quadrada de 2 e o traço correspondente ao número 3 vezes raiz quadrada de 2 há 1 traço dividindo esse trecho ao meio.

• Resposta da atividade 5:

Gráfico. Reta numérica com o sentido para a direita e os números 0; 0 vírgula 65; 1; 1 vírgula 37; 2 e 2 vírgula 56 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados.

• Resposta da atividade 6:

Gráfico. Reta numérica com o sentido para a direita e os números 0; 0 vírgula 5; 1; 1 vírgula 5; 2; 2 vírgula 5; e 3 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados.
No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 0 e o traço correspondente ao número 0 vírgula 5, mais próximo do 0 vírgula 5, está o traço correspondente ao número 0 vírgula 3 6 9 1 2 1 5 reticências. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 1 e o traço correspondente ao número 1 vírgula 5, mais próximo do 1, está o traço correspondente a fração pi sobre 3. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 1 vírgula 5 e o traço correspondente ao número 2 , mais próximo do 1 vírgula 5, está o traço correspondente ao número raiz quadrada de 3. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 2 e o traço correspondente ao número 2 vírgula 5 , mais próximo do 2, está o traço correspondente ao número raiz quadrada de 5. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 2 vírgula 5 e o traço correspondente ao número 3, mais próximo do 2 vírgula 5, está o traço correspondente ao número raiz quadrada de 7.

Página 27

Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Pictogramas

Situação 1

A professora Marcela realiza todos os anos uma campanha de arrecadação de agasalhos na escola ABC, com o objetivo de doá-los a pessoas carentes no inverno. Observe, na tabela, a quantidade de peças arrecadadas nas campanhas de 2019 a 2022.

Para a campanha de 2023, Marcela resolveu montar um cartaz com um pictograma mostrando a arrecadação de 2019 a 2022.

Arrecadação de agasalhos na escola ABC
Ano	Quantidade de peças
2019	240
2020	330
2021	540
2022	600

Dados obtidos pela professora Marcela de 2019 a 2022.

Ilustração. Professora Marcela, mulher branca, loira, vestindo blusa roxa com jaleco branco, calça azul e tênis rosa e branco. Está com a mão direita espalmada para cima e a mão esquerda apoiada em caixa marrom, ilustrada com agasalho roxo e com o texto em roxo: Campanha do agasalho.
Balão de fala da Marcela com o texto: Escolhi um ícone para representar 60 peças. Assim, para as 240 peças arrecadadas em 2019, usei 4 ícones. Observe que, na representação do total arrecadado em 2020, precisei usar um ícone pela metade para indicar 30 peças, além dos 5 ícones para representar 300 peças.

Gráfico. Pictograma. Título: Arrecadação de agasalhos na escola ABC. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical estão indicados, de cima para baixo, os anos 2 mil e 19, 2 mil e 20, 2 mil e 21 e 2 mil e 22. O eixo horizontal está rotulado como Peças arrecadadas. Legenda no centro da parte inferior indicando que cada ícone de agasalho azul representa 60 peças. Partindo do eixo vertical, 4 ícones alinhados referentes a 2 mil e 19; 5 ícones e meio alinhados referentes a 2 mil e 20; 9 ícones alinhados referentes a 2 mil e 21 e 10 ícones alinhados referentes a 2 mil e 22.

Dados obtidos pela professora Marcela de 2019 a 2022.

Situação 2

A prefeitura de Quatro Ventos instala, anualmente, banheiros químicos na cidade para que os moradores e os turistas possam usar durante o Carnaval.

O responsável pelo planejamento das festas elaborou, em janeiro de 2024, um pictograma que informa o número de banheiros instalados na cidade durante o Carnaval de 2019 a 2023. Observe.

Orientações e sugestões didáticas

Estatística e Probabilidade

Objetivo

• Construir, ler e interpretar pictogramas.

Orientações

• Nesta seção, o estudo de pictogramas será retomado e ampliado, uma vez que os estudantes deverão lidar com pictogramas que têm ícones pela metade.

• Comente com os estudantes que convém utilizar esse tipo de gráfico quando a variável oferece poucas categorias e o número de observações é pequeno.

• Comente também que, no pictograma, o ícone escolhido pode representar outras quantidades e a disposição dos dados também pode ser diferente. Ressalte que é importante que o ícone escolhido tenha relação com o tema da pesquisa, que o valor de cada ícone seja um divisor comum dos dados referentes à variável que será representada no eixo vertical ou horizontal e que haja uma legenda indicando o valor que representa cada ícone.

• Na primeira situação, chame a atenção dos estudantes para o fato de que Marcela escolheu um ícone e a quantidade de peças que ele representaria para construir o pictograma. Aproveite para explorar os demais elementos do pictograma: a linha vertical para indicar cada ano considerado, o título, a legenda para indicar o valor de cada ícone e a fonte dos dados.

• Na segunda situação, os estudantes deverão ler e interpretar pictogramas. Gráficos como esses são publicados com frequência em jornais e revistas; por isso, é importante que saibam interpretar as informações representadas.

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▶ Estatística e Probabilidade

Gráfico. Pictograma. Título: Número de banheiros químicos instalados em Quatro Ventos nas festas de carnaval.
Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo vertical estão indicados, de cima para baixo, os anos 2 mil e 19, 2 mil e 20, 2 mil e 21, 2 mil e 22 e 2 mil e 23. Ele está rotulado como: Ano.
O eixo horizontal está rotulado como Número de banheiros.
Legenda a direita indicando que cada ícone de vaso sanitário representa 84 banheiros.

Partindo do eixo vertical, 5 ícones alinhados referentes a 2 mil e 19; 6 ícones alinhados referentes a 2 mil e 20; 6 ícones e meio alinhados referentes a 2 mil e 21, 7 ícones e meio alinhados referentes a 2 mil e 22 e 8 ícones alinhados referentes a 2 mil e 23.

Dados obtidos pela prefeitura de Quatro Ventos em janeiro de 2024.

Fotografia. Dez banheiros químicos fechados, de cor vermelha, enfileirados. Ao fundo, árvores. — Banheiros químicos.

Com base nesse pictograma, é possível determinar a quantidade exata de banheiros químicos instalados a cada ano. Observe que cada ícone

equivale a 84 banheiros químicos; assim, metade de um ícone –

Ilustração. Ícone de vaso sanitário dividido ao meio na vertical, indicando metade do vaso sanitário.

– equivale a 42 banheiros. Contando a quantidade de ícones representada em cada ano, temos os dados a seguir.

• 2019 ‒ como há 5 ícones, o número de banheiros é dado por: 5 · 84 = 420

• 2020 ‒ como há 6 ícones, temos: 6 · 84 = 504 banheiros químicos

• 2021 ‒ como há 6 ícones e mais metade de um ícone, temos: 6 · 84 + 42 = 546

• 2022 ‒ como há 7 ícones e mais metade de um ícone, temos: 7 · 84 + 42 = 630

• 2023 ‒ como há 8 ícones, temos: 8 · 84 = 672 banheiros químicos

Podemos concluir que, em 2023, o número de banheiros instalados foi maior que nos demais anos, pois nesse ano foram instalados 672 banheiros químicos.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Leila trabalha como passeadora de cachorros. De quinta-feira a domingo, ela sai para passear com diferentes cães do bairro. Observe, na tabela a seguir, a quantidade de cachorros que Leila levou para passear na 1ª semana de janeiro de 2024.

Quantidade de cachorros levados para passear na 1ª semana de janeiro de 2024
Dia da semana	Quantidade
Quinta-feira	12
Sexta-feira	18
Sábado	22
Domingo	20

Dados obtidos por Leila em janeiro de 2024.

a) Se Leila construir um pictograma em que um ícone corresponda a 2 cachorros, quantos ícones ela terá de desenhar para cada dia?

b) Se no pictograma Leila usar um ícone para representar 4 cachorros, quantos ícones ela precisará desenhar para cada dia?

c) Construa um pictograma para representar os dados da tabela.

Respostas e comentários

1. a) quinta-feira: 6; sexta-feira: 9; sábado: 11; domingo: 10

1. b) quinta-feira: 3; sexta-feira: 4,5; sábado: 5,5; domingo: 5

1. c) Resposta em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Para a construção do pictograma da atividade 1, oriente os estudantes a indicar o significado de cada ícone; a escolher um ícone de acôrdo com a variável estatística representada; a utilizar sempre o mesmo ícone e, quando necessário, partes dele; a inserir um título adequado; e a inserir a fonte dos dados.

• Exemplo de resposta do item c da atividade 1:

QUANTIDADE DE CACHORROS LEVADOS PARA PASSEAR NA 1ª SEMANA DE 2024

Gráfico. Pictograma. Título: Quantidade de cachorros levados para passear na primeira semana de 2 mil e 24. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical estão indicados, de cima para baixo, os dias da semana: quinta-feira, sexta-feira, sábado e domingo. Ele está rotulado como: Dias da semana. O eixo horizontal está rotulado como: Quantidade de cachorros. Legenda no centro da parte inferior indicando que cada ícone de pata de cachorro representa 4 cachorros. Partindo do eixo vertical, 3 ícones alinhados referentes a quinta-feira; 4 ícones e meio alinhados referentes a sexta-feira; 5 ícones e meio alinhados referentes a sábado e 5 ícones alinhados referentes a domingo.

Dados obtidos por Leila em janeiro de 2024.

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2. O Comitê Estadual de Monitoramento de Incidentes com Tubarões (Cemit) acompanha e registra os incidentes com tubarões no litoral de Pernambuco desde 1992. Observe, no gráfico a seguir, alguns dados sobre esse assunto.

Gráfico. Pictograma. Título: Número de incidentes com tubarões em algumas praias de Pernambuco Abre parênteses dados registrados até 3 de agosto de 2 mil e 21. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo vertical, rotulado com "praias", estão indicados, de cima para baixo: Enseada dos Corais abre parênteses Cabo de Santo Agostinho fecha parênteses;
Paiva abre parênteses Cabo de Santo Agostinho fecha parênteses;
Barra da Jangada abre parênteses abre parênteses Jaboatão dos Guararapes fecha parênteses;
Candeias abre parênteses Jaboatão dos Guararapes fecha parênteses;
Piedade abre parênteses Jaboatão dos Guararapes fecha parênteses;
Boa Viagem abre parênteses Recife fecha parênteses;
Pina abre parênteses Recife fecha parênteses;
Del Chifre abre parênteses Olinda fecha parênteses;
Pau Amarelo abre parênteses Paulista fecha parênteses;
Pontas de Pedra abre parênteses Goiana fecha parênteses. O eixo horizontal está rotulado como Incidentes.
Legenda a direita indicando que cada ícone de barbatana de tubarão acima da água representa dois incidentes.
Partindo do eixo vertical, 1 ícone alinhado referente a praia Enseada dos Corais abre parênteses Cabo de Santo Agostinho fecha parênteses; 2 ícones alinhados referentes a praia Paiva abre parênteses Cabo de Santo Agostinho fecha parênteses; 1 ícone alinhado referente a praia Barra da Jangada abre parênteses abre parênteses Jaboatão dos Guararapes fecha parênteses; 1 ícone alinhado referente a praia Candeias abre parênteses Jaboatão dos Guararapes fecha parênteses; 10 ícones e meio alinhados referentes a praia
Piedade abre parênteses Jaboatão dos Guararapes fecha parênteses; 12 ícones alinhados referentes a praia
Boa Viagem abre parênteses Recife fecha parênteses; 1 ícone e meio alinhado referente a praia Pina abre parênteses Recife fecha parênteses; 2 ícones alinhados referentes a praia
Del Chifre abre parênteses Olinda fecha parênteses; meio ícone alinhado referente a praia Pau Amarelo abre parênteses Paulista fecha parênteses; meio ícone alinhado referente a praia
Pontas de Pedra abre parênteses Goiana fecha parênteses.

Dados publicados pelo Comitê Estadual de Monitoramento de Incidentes com Tubarões, em 2021.

a) De acôrdo com as informações do gráfico, quantos incidentes com tubarões ocorreram na praia de Piedade, em Jaboatão dos Guararapes? E na praia de Del Chifre, em Olinda?

b) Considerando as praias apresentadas no gráfico, responda: ocorreram mais incidentes nas praias de Recife ou nas de Jaboatão dos Guararapes? Justifique.

c) Sabendo que no período monitorado foram registrados, no total, 64 incidentes em Pernambuco, calcule a porcentagem dos incidentes ocorridos na praia de Boa Viagem, em Recife.

3. Observe os dados apresentados no pictograma e, depois, responda às questões.

Gráfico. Pictograma. Gráfico: Número de casamentos civis realizados em alguns municípios do Acre em 2 mil e 20.
No eixo vertical estão indicados, de cima para baixo, os municípios de Brasiléia, Bujari, Capixaba, Tarauacá. Legenda a direita indicando que cada ícone de um par de alianças de ouro representa 10 casamentos. Partindo do eixo vertical, 8 ícones e meio alinhados referentes a Brasiléia; 5 ícones alinhados referentes a Bujari; 6 ícones e meio alinhados referentes a Capixaba, 12 ícones e meio alinhados referentes a Tarauacá.

Dados publicados pelo sistema Cidades@, do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), em 2022.

a) Que informações esse pictograma apresenta?

b) Apenas observando o gráfico, sem fazer contas, responda: em qual dos municípios houve o maior número de casamentos? Justifique.

c) Determine o total de casamentos realizados em cada município.

d) Qual foi o total de casamentos realizados nesses quatro municípios em 2020?

Respostas e comentários

2. a) 21 incidentes; 4 incidentes

2. b) Ocorreram mais incidentes nas praias de Recife. Ocorreram 25 incidentes em Jaboatão dos Guararapes e 27 em Recife.

2. c) 37,5%

3. a) O pictograma apresenta o número de casamentos civis realizados em alguns municípios do Acre em 2020.

3. b) Em Tarauacá, pois na representação desse município no gráfico há mais ícones em comparação com os outros.

3. c) Brasiléia: 85; Bujari: 50; Capixaba: 65; Tarauacá: 125.

3. d) 325 casamentos

Orientações e sugestões didáticas

• Assim como em qualquer outro tipo de gráfico, é importante que os estudantes atentem para o título, a legenda e a fonte de onde os dados foram obtidos. Sempre que possível, converse com a turma sobre os dados presentes em cada gráfico da seção, especialmente aqueles que não são fictícios.

• Pode-se ampliar a proposta desta seção e pedir aos estudantes que pesquisem pictogramas representados em jornais, revistas ou na internet. Depois, peça que tragam os gráficos encontrados para a sala de aula para que, juntos, possam ler e interpretá-los.

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Ilustração. Ícone. Caderno na vertical com um lápis.

Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Em um livro publicado há 7 anos, consta a informação de que a idade do Sistema Solar é 4,5 bilhões de anos.

Ilustração. Homem branco, cabelo castanho, usando óculos, vestindo camisa azul e branca. Na mão direita, segura um livro amarelo. A mão esquerda está fechada, apenas com o dedo indicador apontado para cima. Em sua frente, uma mesa com dois livros, um verde e um azul.
Balão de fala com o texto: Pode-se afirmar que, hoje, a idade do Sistema Solar é 4 bilhões 500 milhões e 7 de anos.

• Nessa situação, o algarismo 7, no número ...4500000007, traz uma diferença significativa na informação publicada no livro? Por quê?

2. Cite uma situação em que o acréscimo de 7 anos altera consideravelmente a situação inicial. Escreva-a no caderno.

3. Escreva no caderno os números racionais na fórma fracionária.

a) 4,3

b) 0,

\overline{3}

c) 0,3

d) 1,1

\overline{6}

4. Cada face da moeda brasileira de R$ 0,10zero reais e dez centavos é um círculo que mede 20 milímetros de diâmetro.

Qual é a medida de comprimento aproximada da circunferência determinada pelo contôrno dessa moeda?

5. Um atleta percorreu 5 voltas completas sobre a faixa de raio que mede 7 metros de comprimento da pista a seguir.

Figura geométrica. Coroa circular cinza. Cota com seta indicando que a largura da coroa circular corresponde a largura da pista.

Sabendo que C = 2 ⋅ π ⋅ r, em que C é a medida do comprimento da pista e r é a medida do raio da faixa percorrida, considerando π = 3,14, o total percorrido pelo atleta, em metro, foi:

a) 43,96

b) 87,92

c) 131,88

d) 175,84

e) 219,80

6. Uma pista de atletismo é formada por dois trechos retos que medem 20 métros de comprimento e dois trechos com o formato de uma semicircunferência que mede 10 métros de diâmetro, conforme esquema a seguir.

Figura geométrica. Figura delimitada por dois traços na horizontal paralelos e duas semicircunferências na cor vermelha. Na parte reta cota acima indicando 20 metros. Linha tracejada indicando a distância entre os dois trechos retos, que corresponde ao diâmetro da semicircunferência com cota a direita indicando 10 metros.

• Quantos metros percorrerá um atleta ao completar 10 voltas nessa pista?

7. O formato do campo oficial para a prática de beisebol lembra um setor circular que corresponde a um quarto de um círculo cujo raio mede 115 métros de comprimento, como mostra a figura.

Ilustração. Representação de um estádio de beisebol. O campo tem o formato de um setor circular cujo centro coincide com o ponto da base principal e os pontos A maiúsculo e B maiúsculo são pontos da circunferência, determinando os segmentos da base principal ao ponto A e da base principal ao ponto B iguais ao raio. O ponto da primeira base está no raio entre a base principal e o ponto B. O ponto da terceira base está no raio entre a base principal e o ponto A. O ponto da segunda base está na região interna do setor circular formando um quadrado com vértices em cada base. Legenda no canto inferior direito indicando que os pontos das bases são verdes e os pontos do campo são alaranjados.

a) Se um jogador fosse do ponto A ao ponto B contornando o campo, qual medida de distância, em metro, ele percorreria? (Considere π = 3,14.)

b) Se o jogador contornasse o campo saindo de A, passando por B e por 3 bases e retornando a A, qual medida de distância, em metro, percorreria?

Respostas e comentários

1. Exemplo de resposta: não, pois 7 anos em 4,5 bilhões de anos são desprezíveis.

2. Resposta em Orientações.

3. a)

\frac{43}{10}

3. b)

\frac{1}{3}

3. c)

\frac{3}{10}

3. d)

\frac{7}{6}

4. aproximadamente 62,8 milímetros

5. alternativa ê

6. aproximadamente 714 métros

7. a) 180,55 métros

7. b) 410,55 métros

Orientações e sugestões didáticas

Atividades de revisão

Objetivos

• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do Capítulo.

• Resolver problemas envolvendo o número π.

Orientação

• Aproveite as atividades da seção e avalie os conhecimentos dos estudantes no que diz respeito aos conjuntos numéricos e à distinção entre eles. Se achar conveniente, proponha a eles que façam as atividades em duplas para que possam trocar ideias e compartilhar estratégias.

• Na atividade 2, espera-se que os estudantes citem uma situação em que o campo numérico seja pequeno; por exemplo: hoje, estou no 9º ano, daqui a 7 anos pretendo estar me formando em uma faculdade.

• Sugerimos algumas questões para que os estudantes possam refletir sobre suas aprendizagens e possíveis dificuldades no estudo deste Capítulo, as quais devem ser adaptadas à realidade da turma. Oriente-os a fazer a autoavaliação, respondendo às questões no caderno com "sim", "às vezes" ou "não".

Eureticências

reticências reconheço a sequência dos números naturais e a dos números inteiros?

reticências reconheço as diferentes representações dos números racionais?

reticências sei como obter a fração geratriz de uma dízima periódica?

reticências reconheço a existência de números que não são naturais, inteiros ou racionais?

reticências sei diferenciar um número irracional de um número natural, inteiro ou racional?

reticências compreendo a ideia de número real?

reticências sei representar números reais na reta numérica?

reticências sei interpretar e construir pictogramas com base em dados apresentados em tabelas?

reticências tenho zêlo pelo material escolar?

reticências tenho um bom relacionamento com meus colegas?

reticências realizo as tarefas propostas?

CAPÍTULO 1 Números reais

1 Números naturais, números inteiros e números racionais

2 Representação de números racionais na formafórma decimal

3 Números irracionais

4 Números reais

Estatística e Probabilidade

Atividades de revisão

2 Representação de números racionais na fórma decimal