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CAPÍTULO 2 Potenciação e radiciação

Neste Capítulo, vamos estudar potenciação com números reais, radiciação, porcentagem e fazer operações com números reais na fórma de raiz.

1 Potências

Analise a situação a seguir.

Ilustração. História em quadrinhos com 6 quadros.
Primeiro quadro: Marcela, mulher branca, ruiva, vestindo blusa verde, casaco rosa e calça amarela. Está em um quarto rosa, com cama, cômoda e prateleiras. Com a mão direita, segura moeda de 1 real em direção a um porquinho rosa, que está segurando com a mão esquerda.
Balão de pensamento com uma moeda de 1 real.
No canto superior direito, um bloco de folhas brancas. Na primeira do bloco, texto em vermelho: primeiro.
Segundo quadro: Marcela, mesma personagem do quadro anterior, agora com uma blusa azul, sentada em uma cadeira roxa e, a sua frente, uma mesa amarela com notebook cinza, folhas brancas, canetas e caderno de capa rosa. Com a mão esquerda, segura moeda de 1 real em direção a um porquinho rosa, que está segurando com a mão direita.
Balão de pensamento com duas moedas de 1 real.
No canto superior direito, um bloco de folhas brancas. Na primeira do bloco, texto em vermelho: segundo.
Terceiro quadro: Marcela, mesma personagem do quadro anterior, agora vestindo vestido verde e meias listradas de rosa e amarelo, sentada em uma cama branca com almofadas roxas e notebook cinza. Com a mão direita, segura moeda de 1 real em direção a um porquinho rosa, que está segurando com a mão esquerda.
Balão de pensamento com quatro moedas de 1 real.
No canto superior direito, um bloco de folhas brancas. Na primeira do bloco, texto em vermelho: terceiro.
Quarto quadro: Marcela, mesma personagem do quadro anterior, agora vestindo blusa verde, sentada em uma cadeira roxa e, a sua frente, uma mesa bege com notebook cinza, folhas brancas e cadernos de capa rosa e verde. Com a mão direita, segura moeda de 1 real em direção a um porquinho rosa, que está segurando com a mão esquerda.
Balão de pensamento com oito moedas de 1 real.
No canto superior direito, um bloco de folhas brancas. Na primeira do bloco, texto em vermelho: quarto.
Quinto quadro: Marcela, mesma personagem do quadro anterior, agora em pé, vestindo blusa bege com detalhes em verde e bermuda rosa, em fundo colorido. Com a mão direita, segura moeda de 1 real em direção a um porquinho rosa, que está segurando com a mão esquerda.
Balão de pensamento com dezesseis moedas de 1 real.
No canto superior direito, um bloco de folhas brancas. Na primeira do bloco, texto em vermelho: quinto.
Sexto quadro: Marcela, mesma personagem do quadro anterior. Em pé, vestindo regata verde, calça bege e sapato roxo, em fundo colorido.
Com a mão direita, segura moeda de 1 real em direção a um porquinho rosa, que está segurando com a mão esquerda.
Balão de pensamento com um ponto de interrogação em vermelho.
No canto superior direito, um bloco de folhas brancas. Na primeira do bloco, texto em vermelho: sétimo.

Marcela está juntando dinheiro. A cada dia de uma semana ela deposita em seu cofrinho o dobro do que havia depositado no dia anterior. No 1º dia, ela depositou R$ 1,00um reais. Quanto será poupado no 7º dia se ela cumprir com o planejado?

Podemos organizar os dados dessa situação em um quadro.

Esquema. Quadro com duas linhas e seis colunas. Na primeira linha: primeira coluna, dia; segunda coluna, primeiro dia; terceira coluna, segundo dia; quarta coluna, terceiro dia; quinta coluna, quarto dia; sexta coluna, quinto dia. Na segunda linha: primeira coluna, valor (em real); segunda coluna, número 1; terceira coluna, número 2; quarta coluna, número 4; quinta coluna, número 8; sexta coluna, número 16. A partir da segunda coluna, seta azul para a direita em cada uma das colunas escrito: vezes 2.

Respostas e comentários

Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas neste Capítulo:

ê éfe zero nove ême ah zero três

ê éfe zero nove ême ah zero quatro

ê éfe zero nove ême ah zero cinco

ê éfe zero nove ême ah um oito

ê éfe zero nove ême ah dois dois

Orientações e sugestões didáticas

Potências

Objetivos

• Retomar o estudo da potenciação com números reais das propriedades da potenciação para potências com expoentes inteiros.

• Reconhecer e empregar a escrita de números em notação científica.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero três, ê éfe zero nove ême ah zero quatro e ê éfe zero nove ême ah um oito da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero três porque os estudantes vão calcular potências com números reais. Favorece também o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero quatro, ao propor aos estudantes que resolvam e elaborem problemas com números reais, inclusive em notação científica. Por fim, na seção Atividades, o tópico também favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um oito, porque os estudantes deverão reconhecer e empregar unidades de medida muito grandes ou muito pequenas.

Orientações

• Neste tópico será explorado o cálculo de potências com expoente inteiro e com base negativa e não negativa. Além disso, desenvolve-se um trabalho com notação científica, muito usada em diversas áreas do conhecimento e nos meios de comunicação. Caso julgue oportuno, antes de iniciar a leitura desta página, faça um levantamento dos conhecimentos que os estudantes já têm sobre o assunto.

(ê éfe zero nove ême ah zero três) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

(ê éfe zero nove ême ah zero quatro) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

(ê éfe zero nove ême ah um oito) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

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Note que os valores formam uma sequência em que cada termo a partir do 2º é o termo anterior multiplicado por 2. Podemos escrever cada valor como uma potência de base 2.

Dia	1º dia	2º dia	3º dia	4º dia	5º dia
Valor (em real)	2elevado a 0	2 = 2elevado a 1	2 ⋅ 2 = 2elevado a 2	2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2elevado a 3	2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2elevado a 4

Analisando essa sequência, deduzimos que o valor poupado no 7º dia será 2elevado a 6 reais, ou seja, R$ 64,00sessenta e quatro reais.

Esquema. 2 elevado a 6, é igual a 64. Fio azul no número 2 com cota para base. Fio azul no número 6 com cota para expoente. Fio azul no 2 elevado a 6 com cota para potência. Fio azul no número 64 com cota para potência.

Observe que usamos o termo potência para designar tanto a expressão 2elevado a 6 como o resultado 64.

A seguir, estão algumas definições importantes acerca da potenciação.

• Qualquer potência de base real e expoente inteiro maior que 1 é produto dessa base por ela mesma tantas vezes quantas indica o expoente. Assim, sendo a um número real e n um número inteiro maior que 1, temos:

Esquema. Número real a, elevado a n, é igual a vezes a vezes a vezes reticências vezes a. Com cota na multiplicação do número real a para n fatores.

• Qualquer potência de base real e expoente 1 é igual à própria base. Assim, sendo a um número real, temos:

aelevado a 1 = a

• Qualquer potência de base real não nula e expoente zero é igual a 1. Assim, sendo a um número real, temos:

aelevado a 0 = 1, com a ≠ 0

Exemplos

Esquema. 2 elevado a 5, igual a 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2, é igual a 32. Com cota na multiplicação do número 2 para 5 vezes.

Esquema. Abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, elevado a 4, igual, abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, abre parênteses, vezes menos 3, fecha parênteses, abre parênteses, vezes menos 3, fecha parênteses, abre parênteses, vezes menos 3, fecha parêntese, é igual a 81. Com cota na multiplicação do número menos 3 para 4 vezes.

• πelevado a 1 = π

•

{(\sqrt{5})}^{0}

= 1

A respeito de potências com expoente inteiro negativo, considere a situação a seguir.

A matrioska é um brinquedo artesanal originário da Rússia, que agrupa várias bonecas de tamanhos distintos encaixadas umas dentro das outras.

Fotografia. 18 bonecas de encaixe em ordem de tamanho. Na primeira fileira, na frente, 10 bonecas; na segunda fileira, do meio, 5 bonecas. Na fileira de trás, ao fundo, 3 bonecas. — Até 2021, segundo o Guinness World Records, o maior conjunto de bonecas matrioska já construído tinha cinquenta e uma peças. Na imagem, matrioska com 18 bonecas.

Rodrigo é artesão e, para produzir uma matrioska, confeccionou uma sequência de cinco bonecas, de modo que a primeira boneca mede 2 decímetros de altura, e cada boneca seguinte mede a metade da altura da anterior.

Orientações e sugestões didáticas

• Explore a situação inicial com os estudantes e deixe que percebam a regularidade presente na sequência formada pelos números correspondentes aos valores depositados por Marcela em cada dia. Se achar conveniente, peça que escrevam a expressão algébrica correspondente à quantia, em real, depositada no enésimo dia. abre parênteses2elevado a n ⁻ ¹)

• Mesmo considerando que os estudantes já tenham algum repertório sobre o estudo de potências com expoente natural e inteiro negativo, verifique se eles apresentam alguma dificuldade a respeito desse assunto ao explorar os exemplos desta página. Aproveite para fazer a análise da potência com base negativa e base não negativa, com expoente natural par ou ímpar.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Assim, as medidas da altura das bonecas, em decímetro, formam uma sequência numérica em que cada termo é o termo anterior dividido por 2.

Esquema. Tabela com 6 linhas e 2 colunas.
Na primeira linha: na primeira coluna boneca; na segunda coluna, medida da altura (em decímetro).
Na segunda linha: na primeira coluna, primeira; segunda coluna, número 2.
Na terceira linha: na primeira coluna, segunda; segunda coluna, número 1.
Na quarta linha: na primeira coluna, terceira; segunda coluna fração 1 meio.
Na quinta linha: primeira coluna, quarta; segunda coluna, fração 1 quarto.
Na sexta linha: primeira coluna, quinta; segunda coluna, fração 1 oitavo.
Com setas azul para baixo, a partir da segunda linha, uma em cada linha, com cota para dividido por 2.

Para calcular

Expresse, em centímetro, as medidas da altura das cinco bonecas que Rodrigo confeccionou.

Podemos escrever esses números na fórma de potências de base 2. Como cada termo é o termo anterior dividido por 2, os expoentes das potências de base 2 diminuirão 1 unidade a cada termo.

Esquema. Tabela com 6 linhas e 3 colunas.
Na primeira linha: na primeira coluna boneca; na segunda coluna, medida da altura (em decímetro); terceira coluna, medida da altura na forma de potência.
Na segunda linha: na primeira coluna, primeira; segunda coluna, número 2; terceira coluna, 2 elevado a 1.
Na terceira linha: na primeira coluna, segunda; na segunda coluna, número 1; terceira coluna, 2 elevado a 0.
Na quarta linha: na primeira coluna, terceira; segunda coluna, fração 1 meio; terceira coluna, 2 elevado a menos 1.
Na quinta linha: primeira coluna, quarta; segunda coluna, fração 1 quarto; terceira coluna, 2 elevado a menos 2.
Na sexta linha: primeira coluna, quinta; segunda coluna, fração 1 oitavo; terceira coluna, 2 elevado a menos 3.
Com setas azul para baixo a partir da segunda linha, uma em cada linha, com cota para dividido por 2.

Observe as potências com expoentes negativos que obtivemos no quadro anterior.

•

2^{‒ 1} = \frac{1}{2}

•

2^{‒ 2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^{2}}

•

2^{‒ 3} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^{3}}

Um número real a, não nulo, elevado a um expoente inteiro negativo menosn é igual a

\frac{1}{a^{n}}

a^{‒ n} = \frac{1}{a^{n}} = {(\frac{1}{a})}^{n}

, com a ≠ 0

Exemplos

• 3elevado a menos 1 =

\frac{1}{3}

• 5elevado a menos 2 =

\frac{1}{5^{2}} = {(\frac{1}{5})}^{2} = \frac{1}{25}

•

{(\frac{2}{3})}^{‒ 3} = {(\frac{3}{2})}^{3} = \frac{27}{8}

Respostas e comentários

Para calcular: 20 centímetros, 10 centímetros, 5 centímetros, 2,5 centímetrose 1,25 centímetro

Orientações e sugestões didáticas

• A partir da situação da matrioska é gerada uma sequência formada pelas medidas das alturas das bonecas. Os estudantes devem perceber que, nessa sequência, cada número, a partir do segundo, é igual ao anterior dividido por 2. Proponha aos estudantes que tentem escrever os números dessa sequência na fórma de potências de base 2. Enfatize o fato de algumas dessas potências terem expoente inteiro negativo. Também, nesse caso, pode-se pedir a eles que encontrem a expressão algébrica correspondente à medida de altura, em decímetro, da enésima boneca. abre parênteses2⁻elevado a n ⁺ ²fecha parênteses

• No boxe Para calcular, os estudantes vão colocar em prática seus conhecimento em relação às transformações de unidades de medida de comprimento, além de realizar sucessivas divisões por 2. Eles podem apresentar alguma dificuldade em transformar decímetro em centímetro, já que o decímetro é uma unidade de medida pouco usada. Se julgar conveniente, retome brevemente o conteúdo.

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Propriedades da potenciação para potências com expoentes inteiros

As propriedades a seguir podem ser úteis nos cálculos com potências.

Considere que as bases a e b são números reais não nulos e os expoentes m e n são números inteiros.

● Produto de potências de mesma base

Para calcular o produto de potências de mesma base, mantemos a base e adicionamos os expoentes.

aelevado a m ⋅ aelevado a n = aelevado a m ⁺ elevado a n

● Quociente de potências de mesma base

Para calcular o quociente de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

aelevado a m dividido por aelevado a n = aelevado a m ⁻ elevado a n

● Potência de uma potência

Para calcular a potência de uma potência, mantemos a base e multiplicamos os expoentes.

abre parêntesesaelevado a mfecha parênteseselevado a n = aelevado a m ^⋅ elevado a n

● Potência de um produto

A potência de um produto pode ser transformada em um produto de potências.

abre parêntesesa ⋅ bfecha parênteseselevado a m = aelevado a m ⋅ belevado a m

● Potência de um quociente

A potência de um quociente pode ser transformada em um quociente de potências.

abre parêntesesa dividido por bfecha parênteseselevado a m = aelevado a m dividido por belevado a m

Exemplos

•

{(‒ 3)}^{2} · {(‒ 3)}^{5} = {(‒ 3)}^{2 + 5} = {(‒ 3)}^{7}

•

{(\sqrt{2})}^{3} : {(\sqrt{2})}^{4} = {(\sqrt{2})}^{3 ‒ 4} = {(\sqrt{2})}^{‒ 1}

•

{(5 · π)}^{3} = 5^{3} · π^{3}

•

{(1, 4 : 3)}^{10} = 1, 4^{10} : 3^{10}

•

{[{(\frac{2}{3})}^{5}]}^{7} = {(\frac{2}{3})}^{5 · 7} = {(\frac{2}{3})}^{35} = \frac{2^{35}}{3^{35}}

Lembre-se: Escreva no caderno!

Notação científica

Números excessivamente grandes ou extremamente pequenos podem ser expressos como um produto em que um dos fatores é uma potência de base 10. Isso ocorre muito na área científica. Observe os textos a seguir.

Orientações e sugestões didáticas

• Ao explorar as propriedades da potenciação para potências com expoentes inteiros, aproveite para destacar que elas são utilizadas na simplificação de cálculos e ajudam a “encurtar” o caminho em algumas resoluções. Os exemplos apresentados permitem aos estudantes a perceber a utilidade dessas propriedades. Se achar necessário, apresente mais exemplos para a turma.

• Na retomada da escrita de números em notação científica, é fundamental que os estudantes compreendam o conceito e percebam a conveniência de expressar números muito grandes ou muitos pequenos utilizando uma potência de base 10.

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Os relógios atômicos são tão estáveis que, em princípio, dois relógios de césio teriam que funcionar por .6000 anos para que a diferença entre suas leituras fosse maior que 1 segundo. Mesmo assim, essa precisão não é nada em comparação com a dos relógios que estão sendo desenvolvidos atualmente, que pode chegar a uma parte em 10elevado a 18, ou seja, 1 segundo em 1 × 10elevado a 18 segundos (cêrca de 3 × 10elevado a 10 anos).

ralidei, D.; Resnick, R.; uólquer, J. Fundamentos de Física. nona edição Rio de Janeiro: éle tê cê, 2012. volume 2, página 6.

Fotografia. Relógio Atômico. Mesa cinza com diversos aparelhos e fios eletrônicos interligados. — Relógio atômico do Laboratório de Referências de Tempo e Espaço da úspi São Carlos, São Carlos (São Paulo), 2022.

A unidade de medida de massa unidade (unificada de massa atômica), cujo símbolo é u, equivale a 1,66054 × 10elevado a menos 27 quilograma e corresponde à massa de

\frac{1}{12}

da massa de um átomo de carbono12.

Dados publicados pelo Instituto de Pesos e Medidas do estado de São Paulo (Ipem-ésse pê).

Os números 1 × 10elevado a 18, 3 × 10elevado a 10 e 1,66054 × 10elevado a menos 27 estão representados em notação científica. Isso facilita a leitura de números muito grandes ou muito pequenos. Por exemplo, é mais fácil escrever 1 × 10elevado a 18 segundos do que ......1000000000000000000 segundos ou 1,66054 × 10elevado a menos 27 quilograma do que 0,00000000000000000000000000166054 quilograma.

Recorde

Um número escrito em notação científica é expresso como um produto a ⋅ 10elevado a k, em que:

• a é um número escrito na fórma decimal cuja parte inteira tem um único algarismo diferente de zero;

• k é um número inteiro.

Para escrever um número em notação científica, devemos verificar quantas casas a vírgula deve ser deslocada para obter um número escrito na fórma decimal cuja parte inteira tem um único algarismo diferente de zero. Por exemplo, vamos escrever ...125060000000 em notação científica.

Esquema. 125 bilhões e 60 milhões. Vírgula azul à direita do número 1, formando o número 1 vírgula 25060000000, com seta azul para a esquerda nas casas decimais até a vírgula indicando que tem 11 casas.

Deslocar a vírgula 11 casas para a esquerda significa dividir o número por ...100000000000. Então, para não alterar o número, devemos multiplicá-lo por ...100000000000 ou 10elevado a 11. Assim:

...125060000000 = 1,2506 ⋅ 10elevado a 11

Da mesma fórma, podemos escrever o número 0,000000021 em notação científica.

Esquema. 0 vírgula 000000021, com seta azul para a direita, nas casas decimais até algarismo 2 indicando 8 casas e vírgula em azul a esquerda do algarismo 2 para indicar o deslocamento da vírgula.

Deslocar a vírgula 8 casas para a direita significa multiplicar o número por ..100000000. Então, para compensar, devemos dividi-lo por ..100000000 ou 10elevado a 8:

0,000000021 = 2,1 dividido por 10elevado a 8 = 2,1 ⋅

\frac{1}{10^{8}}

= 2,1 ⋅ 10elevado a menos 8

Orientações e sugestões didáticas

• Peça aos estudantes que calculem a medida de massa de um átomo de carbono 12 em unidade unificada de massa atômica e em quilograma. Espera-se que obtenham 12 unidades e 1,992648 ⋅ 10elevado a menos 26 quilograma.

• Pode-se escrever alguns números muito grandes ou muito pequenos no quadro e pedir aos estudantes que expressem esses números utilizando a notação científica. Aproveite a oportunidade para, aos poucos, explicar o procedimento para escrever um número nessa notação.

• O trabalho com números muito grandes ou muito pequenos será retomado nas seções Compreender um texto e Trabalho em equipe neste Capítulo.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Calcule no caderno.

a) 2elevado a 6

{(\frac{1}{3})}^{‒ 2}

c) πelevado a 0

{(\frac{5}{4})}^{‒ 3}

e) 0,2elevado a 4

{(\sqrt{3})}^{1}

2. O número de diagonais de um polígono de n lados pode ser obtido por meio da expressão:

\frac{n^{2} ‒ 3 n}{2}

. Calcule o número de diagonais de um polígono de 12 lados.

Figura geométrica. Polígono verde de 12 lados.

3. Leia o texto a seguir.

De acôrdo com o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (ínpi), é muito difícil estimar o número de estrelas e de galáxias no Universo. As estrelas não estão espalhadas ao acaso pelo Universo, mas encontram-se aglutinadas em “ilhas estelares”, denominadas galáxias. Estima-se que a nossa galáxia, a Via Láctea, possui de 200 a 400 bilhões de estrelas. As galáxias possuem em média centenas de bilhões de estrelas. E as estimativas também apontam para centenas de bilhões de galáxias no Universo. Isso resultaria na existência de mais de 10 sextilhões de estrelas.

• Escreva no caderno os números destacados em azul em notação científica.

4. Se a = 0,000001 e b = abre parênteses100elevado a 3fecha parênteseselevado a 4, calcule, expressando os valores em potências de base 10.

a) a ⋅ b

b) a : b

c) b dividido por a

5. Observe os valores de algumas potências de base 15.

15elevado a 2 = 225

15elevado a 3 = .3375

15elevado a 4 = .50625

Considerando os valores dados, calcule, expressando os resultados em notação científica.

a) 0,015elevado a 2

b) 0,000015elevado a 4

c) .15000elevado a 3

{(1, 5 · 10^{7})}^{4}

6. Simplifique a expressão

\frac{81^{3} : 9^{2} \cdot 729^{‒ 2}}{59 049}

e, depois, escreva-a na fórma de uma potência.

O esquema a seguir mostra um dispositivo para calcular 11elevado a 2 e 111elevado a 2.

Esquema composto por 2 ilustrações e 2 cálculos.
Ilustração 1. Quadro roxo com a potência 11 ao quadrado.
Cálculo 1. Dispositivo para calcular a potência 11 ao quadrado.
Na primeira linha o número 1.
Abaixo, à esquerda, sinal de adição, à direita o número 111 com segundo algarismo 1 alinhado com o algarismo 1 da primeira linha.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, o número 121, com o algarismo 2 alinhado com os algarismo 1 da primeira linha e com o segundo algarismo 1 da linha anterior.
Abaixo, 11 ao quadrado é igual a 121.
Ilustração 2. Quadro roxo com a potência 111 ao quadrado. .
Cálculo 2. Dispositivo para calcular a potência 111 ao quadrado.
Na primeira linha o número 1.
Abaixo, o número 111 com segundo algarismo 1 alinhado com o algarismo 1 da primeira linha.
Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 11 mil 111, com o terceiro algarismo 1 alinhado com o algarismo 1 da primeira linha e com o segundo algarismo 1 da linha anterior.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, o número 12 mil 321, com o algarismo 3 alinhado com os algarismo 1 da primeira linha, com o segundo algarismo 1 da segunda linha e com o terceiro algarismo 1 da linha anterior.
Abaixo, 111 ao quadrado é igual a 12 mil 321.

• Agora, calcule 111 111elevado a 2 e 11 111 111elevado a 2.

Observe a sequência formada por quadrados:

Esquema. Sequência formada por quadradinhos azuis.
Primeiro termo: um quadradinho.
Segundo termo: 2 quadradinhos no centro e 1 quadradinho acima e 1 quadradinho abaixo.
Terceiro termo: 3 quadradinhos no centro com 2 quadradinhos acima e acima dos 2 quadradinhos, 1 quadradinho. Abaixo dos 3 quadradinhos do centro, 2 quadradinhos, abaixo dos 2 quadradinhos 1 quadradinho.
Quarto termo: 4 quadradinhos no centro com 3 quadradinhos acima, acima dos 3 quadradinhos, 2 quadradinhos e acima 1 quadradinho. Abaixo dos 4 quadradinhos do centro, 3 quadradinhos, abaixo dos 3 quadradinhos, 2 quadradinhos e abaixo 1 quadradinho.
Quinto termo: 5 quadradinhos no centro com 4 quadradinhos acima, acima dos 4 quadradinhos, 3 quadradinhos, acima dos 3 quadradinhos, 2 quadradinhos e acima 1 quadradinho. Abaixo dos 5 quadradinhos do centro, 4 quadradinhos, abaixo dos 4 quadradinhos, 3 quadradinhos, abaixo dos 3 quadradinhos, 2 quadradinhos e abaixo 1 quadradinho.
Sexto termo: 6 quadradinhos no centro com 5 quadradinhos acima, acima dos 5 quadradinhos, 4 quadradinhos, acima dos 4 quadradinhos, 3 quadradinhos, acima dos 3 quadradinhos, 2 quadradinhos e acima 1 quadradinho. Abaixo dos 6 quadradinhos do centro, 5 quadradinhos, abaixo dos 5 quadradinhos, 4 quadradinhos, abaixo dos 4 quadradinhos, 3 quadradinhos, abaixo dos 3 quadradinhos, 2 quadradinhos e abaixo 1 quadradinho.
Abaixo, série de três pontos na vertical.

É possível escrever a quantidade de quadrados de cada termo da sequência como um número quadrado perfeito.

Descubra a quantidade de quadrados do enésimo termo abre parêntesestermo nfecha parênteses.

Respostas e comentários

1. a)

1. b)

1. c)

1. d)

\frac{64}{125}

1. e)

0,0016

1. f)

\sqrt{3}

2. 54 diagonais

3. 2 ⋅ 10elevado a 11; 4 ⋅ 10elevado a 11; 1 ⋅ 10elevado a 22

4. a) 10elevado a 18

4. b) 10elevado a menos 30

4. c) 10elevado a 30

5. a)

2, 25 \cdot 10^{‒ 4}

5. b)

5, 0625 \cdot 10^{‒ 20}

5. c)

3, 375 \cdot 10^{12}

5. d)

5, 0625 \cdot 10^{28}

6. 3 elevado a menos 14

7. ...12345654321 e ....123456787654321

8. n elevado a 2

Orientações e sugestões didáticas

• Peça aos estudantes que façam as atividades propostas. Pode-se, em um primeiro momento, solicitar a eles que trabalhem por conta própria, sem qualquer intervenção inicial. Em seguida, com base nas dúvidas apresentadas por eles, retome aquilo que for necessário, destacando aspectos que, mesmo já tendo sido trabalhados, eles ainda não dominem totalmente.

• Para resolver a atividade 5, os estudantes deverão escrever os números convenientemente para usar as potências de base 15 indicadas e, depois, aplicar as propriedades da potenciação.

Veja um exemplo de resolução para o item a:

0,0152 =

{(\frac{15}{1 000})}^{2}

{(\frac{15}{10^{3}})}^{2}

\frac{15^{2}}{10^{6}}

Como 15elevado a 2 = 225, temos:

\frac{225}{10^{6}}

\frac{2, 25 \cdot 10^{2}}{1 \cdot 10^{6}}

= 2,25 ⋅ 10elevado a menos 4

• As atividades 7 e 8 apresentam uma regularidade, com ênfase na dedução de uma expressão que generalize essa regularidade. Incentive os estudantes a resolver os problemas com estratégias próprias.

• Resolução da atividade 7:

No primeiro caso, 11elevado a 2 é igual a 121 e 111elevado a 2 é igual a .12321.

Pede-se que calculemos as potências .111111elevado a 2 e ..11111111elevado a 2.

Analisando a regularidade para o número 11, composto de 2 algarismos, verificamos que seu quadrado abre parênteses121fecha parênteses é formado por uma sequência de números naturais que crescem a partir do número 1 até o 2 e decrescem para o 1.

O segundo número, 111, é composto de 3 algarismos, e seu quadrado abre parênteses.12321fecha parênteses segue o mesmo padrão do 11elevado a 2, ou seja, é formado por uma sequência de números naturais que crescem a partir do 1 até o 3 e decrescem para o 1.

Assim, para calcular as potências pedidas, verificamos que .111111elevado a 2 é formado por uma sequência de números naturais que crescem a partir do 1 até o 6 (.111111 é formado por 6 algarismos) e decrescem para o 1; ..11111111elevado a 2 é formado por uma sequência de números naturais que crescem a partir do 1 até o 8 e decrescem para o 1. Então:

.111111elevado a 2 = ...12345654321

..11111111elevado a 2 = ....123456787654321

• Para resolver a atividade 8, os estudantes podem observar a quantidade de quadrados para cada termo, identificando e analisando as regularidades.

Termo	Quantidade de quadrados	Padrão
1º	1	1elevado a 2
2º	4	2elevado a 2
3º	9	3elevado a 2
4º	16	4elevado a 2
5º	25	5elevado a 2
6º	36	6elevado a 2

Assim, pode-se escrever o número de quadrados de cada termo como um número quadrado perfeito; logo, a quantidade de quadrados do enésimo termo é indicada por nelevado a 2.

Página 37

9. Leia o texto a seguir.

Os maiores vírus descobertos até hoje no mundo vêm de dois ambientes extremos do Brasil: os lagos de água muito salgada e alcalina do Pantanal e as profundezas do litoral do Rio de Janeiro, cêrcade 3 quilômetros abaixo da superfície do mar.

Para os padrões do mundo microscópico, os dois Tupanvírus, como foram apelidados, são imensos, chegando a superar diversos tipos de bactérias. [reticências]

Vistas pelo microscópio, as partículas virais parecem pequenos microfones peludos. As maiores medem 2,3 micrômetros ou mícrons (cada mícron tem um milésimo de milímetro), e grande parte desse comprimento corresponde à cauda cilíndrica do vírus.

LOPES, R. J. Maiores vírus já descobertos são do Brasil. Folha de São Paulo, São Paulo, página B7, 28 fevereiro 2018.

Fotografia. Visão microscópica de vírus. Círculos, manchas, figuras distorcidas, pontos e traços em preto, no fundo branco.
Abaixo, traço horizontal limitado por dois traços menores na vertical, 200 micrômetros. — Tupanvírus aumentado 170 mil vezes em imagem não colorizada artificialmente, obtida por microscópio eletrônico.

De acôrdo com o texto, responda.

a) Cada micrômetro ou mícron corresponde a quantos metros?

b) Escreva a medida do comprimento, em metro, das maiores partículas virais dos Tupanvírus, expressando o valor com todas as casas decimais e, depois, em notação científica.

10. (Mackenzie-São Paulo) Considere as seguintes afirmações:

1) abre parênteses0,001)elevado a menos 3 = 10elevado a 9

‒ 2^{2} = \frac{1}{4}

3) abre parêntesesa elevado a menos 1 + b elevado a menos 1) elevado a menos 2 = aelevado a 2 + belevado a 2

Associando v ou f a cada afirmação, nesta ordem, conforme seja Verdadeiro ou Falso, tem-se:

a) V V V

b) V V F

c) V F V

d) F V F

e) V F F

11. Observe a conversa entre Schroeder e Lucy.

Ilustração. Tirinha com 4 quadros.
Primeiro quadro: Schroeder, menino loiro, branco, vestindo camiseta listrada de preto e roxo, calça preta e tênis branco. Está sentado, tocando um piano roxo.
À sua frente, com os braços e o pescoço apoiados no piano, sentada no chão, de costas para Schroeder, Lucy, menina branca, de cabelo preto, vestindo vestido azul e sapato branco.
Balão de fala de Lucy com o texto: Schroeder, qual você acha que é a chance de a gente se casar um dia?
Segundo quadro: mesmos personagens do quadro anterior. Lucy se vira e olha para Schroeder.
Balão de fala do Schroeder com o texto: Ah, eu diria que é de uma em um abre aspas googol fecha aspas.
Balão de fala da Lucy com o texto: Quanto é um abre aspas googol fecha aspas?
Terceiro quadro: mesmos personagens.
Balão de fala do Schroeder com o texto: 1 seguido de 100 zeros.
Quarto quadro: mesmos personagens.
Balão de fala de Lucy com o texto: asterisco suspiro asterisco.

Junte-se a um colega e façam o que se pede.

a) Escrevam no caderno, em notação científica, o valor de 1 googol.

b) Na opinião de vocês, esse número é grande ou pequeno? Isso significa queé muito provável ou pouco provável que Xiróder e Lúci se casem um dia?

c) Vocês já haviam ouvido falar em googol? Conversem a respeito disso e pesquisem informações sobre esse número.

12. (Etec-São Paulo) Os microprocessadores usam o sistema binário de numeração para tratamento de dados.

• No sistema binário, cada dígito abre parênteses0 ou 1fecha parênteses denomina-se bit (binary digit).

• Bit é a unidade básica para armazenar dados na memória do computador.

• Cada sequência de 8 bits, chamada de byte (binary term), corresponde a um determinado caractere.

• Um kilobyte (cá bê) corresponde a 2elevado a 10 bytes.

• Um megabyte (ême bê) corresponde a 2elevado a 10 quilobáites.

• Um gigabyte (gê bê) corresponde a 2elevado a 10 mégabáites.

• Um terabyte (tê bê) corresponde a 2elevado a 10 gigabáites.

Atualmente, existem microcomputadores que permitem guardar 160 gigabáites de dados binários, isto é, são capazes de armazenar n caracteres. Nesse caso, o valor máximo de n é:

a) 160 ⋅ 2elevado a 20

b) 160 ⋅ 2elevado a 30

c) 160 ⋅ 2elevado a 40

d) 160 ⋅ 2elevado a 50

e) 160 ⋅ 2elevado a 60

13. Considerando os dados apresentados na atividade anterior, faça o que se pede.

a) Certo agá dê externo tem capacidade de armazenamento de 3 térabáites. Calcule a quantidade de caracteres, no máximo, que esse agá dê é capaz de armazenar.

Elabore um problema envolvendo medidas de armazenamento de dados em um computador.

Respostas e comentários

9. a) 10elevado a menos 6 métro

9. b) 0,0000023 métro; 2,3 ⋅ 10elevado a menos 6 métro

10. alternativa ê

11. a) 1 ⋅ 10elevado a 100

11. b) Espera-se que os estudantes respondam que se trata de um número grande, o que significa ser pouco provável que as personagens se casem um dia.

11. c) Resposta pessoal.

12. alternativa b

13. a) 3 ⋅ 2elevado a 40 caracteres

13. b) Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Converse com os estudantes sobre aparelhos ou objetos que estão presentes no cotidiano deles e que utilizam unidades de medida como as exploradas na atividade 12. Por exemplo: pen-drives, CDs, dê vê dês e HDs externos.

• Resolução da atividade 12:

Pelo enunciado, temos:

1 giga báite = 2elevado a 10 mégabáites

1 mega báite = 2elevado a 10 quilobáites

1 quilo báite = 2elevado a 10 bytes

Portanto:

1 giga báite = 2elevado a 10 mégabáites = 2elevado a 10 ⋅ 2elevado a 10 quilobáites = = abre parênteses2elevado a 10 ⋅ 2elevado a 10 ⋅ 2elevado a 10fecha parênteses bytes = 2elevado a 30 bytes

160 giga báite = 160 ⋅ 2elevado a 30 bytes

Como cada byte corresponde a um determinado caractere, um microcomputador que permite guardar 160 gigabáites de dados binários é capaz de guardar 160 ⋅ 2elevado a 30 caracteres.

Logo, o valor máximo de n é 160 ⋅ 2elevado a 30.

alternativa b

• No item b da atividade 13, peça aos estudantes que compartilhem o problema elaborado com um colega e que resolvam o problema proposto por ele.

Página 38

Trabalho em equipe

faça as atividades no caderno

Conhecendo o mundo microscópico

Justificativa

Com os telescópios, o ser humano pôde conhecer corpos e fenômenos que estão a enormes distâncias do planeta Terra; com os microscópios, pôde conhecer organismos inacreditavelmente pequenos, que vivem dentro e fóra do corpo humano. Para ampliar nosso universo de conhecimento, ultrapassando as fronteiras do mundo visível, é igualmente importante ter noção tanto das grandes quanto das pequenas dimensões que nos cercam.

Fotografia. Ampliação de um fio de cabelo. Em um fundo preto, fio marrom com ponta semelhante a uma superfície porosa, descascada. — Nessa ampliação (de aproximadamente duzentas e cinquenta vezes) de um fio de cabelo, é possível distinguir a raiz do fio.

Objetivo

• Pesquisar o mundo microscópico e as unidades de medida a ele relacionadas.

Apresentação

• Painel expositivo com imagens ampliadas de organismos visíveis somente ao microscópio, acompanhadas de informações sobre suas medidas e as correspondentes unidades.

Questões para pensar em grupo

• O que é importante saber a respeito do mundo microscópico?

• Convém pesquisar a invenção e a evolução do microscópio?

• Que tipos de avanço científico o estudo de lentes microscópicas possibilitou?

• Quais unidades de medida são adequadas a tamanhos tão pequenos? Como elas se relacionam com as unidades de medida que vocês já conhecem? A notação científica é a mais útil para expressar essas relações?

• Onde vocês podem obter as imagens ampliadas? O que convém colocar nas legendas dessas imagens?

• Seria interessante acrescentar imagens de corpos grandes, visíveis a ôlho nu (do corpo humano, por exemplo), para o estabelecimento de comparações com as dimensões dos microrganismos?

• Como vão organizar as informações coletadas no painel?

NÃO SE esqueçam

• Vocês podem selecionar imagens pequenas, de revistas especializadas, por exemplo, e ampliá-las em máquinas fotocopiadoras ou computadores.

• Vocês também podem produzir desenhos ampliados com base em figuras de livros e enciclopédias.

2 Raiz enésima de um número real

Raiz quadrada

No Capítulo 1, estudamos a raiz quadrada de 2.

Para determinar a raiz quadrada de um número real a, precisamos encontrar um número não negativo b que, multiplicado por ele mesmo, resulte em a.

Esquema. Raiz quadrada de a, igual a b, em que b é um número real não negativo, tal que b vezes b é igual a ou b ao quadrado é igual a. No símbolo da raiz tem, à esquerda, um pequeno 2, com fio azul com cota para índice. Com fio azul na letra a de dentro da raiz com cota para radicando.

Recorde

Podemos indicar uma raiz quadrada usando os símbolos:

\sqrt[2]{...} o u \sqrt{...}

Orientações e sugestões didáticas

Trabalho em equipe

Objetivos

• Aplicar, por meio de trabalhos em grupo, os conceitos estudados.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero quatro e ê éfe zero nove ême ah um oito, das competências gerais 9 e 10 e das competências específicas 7 e 8 da Bê êne cê cê.

Habilidades da BNCC

• Esta seção favorece o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero quatro e ê éfe zero nove ême ah um oito porque os estudantes deverão reconhecer o uso de unidades para expressar medidas muito pequenas do mundo microscópico.

Orientações

• Para construir um painel que aborde medidas utilizadas no mundo microscópico, os estudantes trabalharão com pesquisa, análise e interpretação de dados sobre organismos visíveis apenas por meio de microscópio. É fundamental que eles trabalhem coletivamente e saibam argumentar, escutar os colegas com atenção e empatia, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e das competências específicas 7 e 8 da Bê êne cê cê.

• É importante acompanhar as pesquisas e fazer as interferências necessárias para que a turma atinja o objetivo do trabalho.

Raiz enésima de um número real

Objetivos

• Compreender como se calcula a raiz enésima de um número real.

• Compreender a noção de radical, suas propriedades e mobilizá-las na resolução de problemas.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero quatro da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero quatro, uma vez que propõe aos estudantes que resolvam e elaborem problemas com números reais envolvendo a radiciação.

(ê éfe zero nove ême ah zero quatro) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Competência específica 7: Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competência específica 8: Interagir com seus pares de fórma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Página 39

Então, para determinar a

\sqrt{2}

, precisamos encontrar um número não negativo que, multiplicado por ele mesmo, seja igual a 2. Como já vimos, esse número, com infinitas casas decimais que não se repetem periodicamente, é irracional.

\sqrt{2}

= 1,4142135623730reticências

Para indicar

\sqrt{2}

, podemos escrever o número com algumas casas decimais seguidas de reticências

(\sqrt{2} = 1, 414 . . .)

ou usar o símbolo de aproximação (

\sqrt{2}

≃ 1,414).

Podemos dizer, ainda, que a aproximação de

\sqrt{2}

até a 2ª casa decimal ou até os centésimos é 1,41 por falta ou 1,42 por excesso. Isso significa que

\sqrt{2}

está entre 1,41 e 1,42:

Esquema. 1 vírgula 41 menor que raiz quadrada de 2, menor que 1 vírgula 42.
Fio azul do número 1 vírgula 41 com cota para, aproximação até os centésimos por falta. Fio azul no número 1 vírgula 42 com cota para, aproximação até os centésimos por excesso.

Nem toda raiz quadrada é um número irracional. Quando um número é racional e é um quadrado perfeito, sua raiz quadrada é um número racional.

Observação

Figura geométrica. Quadrado verde com medida de comprimento l, dentro a indicação da medida de área: a.

A raiz quadrada de um número real a maior que zero equivale, geometricamente, à medida de comprimento

do lado de um quadrado cuja medida de área é a.

Exemplos

•

\sqrt{25}

= 5, pois 5elevado a 2 = 25 e 5 > 0.

•

\sqrt{1, 21} = \sqrt{\frac{121}{100}} = \frac{11}{10}

= 1,1, pois 1,1elevado a 2 = 1,21 e 1,1 > 0.

Para verificar se um número é quadrado perfeito, podemos fatorá-lo. Acompanhe.

a) Vamos verificar se 441 é quadrado perfeito.

Esquema. Decomposição do número 441. Um número à esquerda e outro à direita e um traço vertical entre eles. À esquerda, 441, à direita, 3. À esquerda 147, à direita 3. À esquerda, 49, à direita, 7. À esquerda 7, à direita 7 com traço na horizontal abaixo. À esquerda, 1, à direita, 3 ao quadrado vezes 7 ao quadrado.

Logo: 441 = abre parênteses3 ⋅ 7fecha parênteseselevado a 2 = 21elevado a 2

Portanto, 441 é quadrado perfeito.

b) Vamos verificar se 2,25 é quadrado perfeito. Sabemos que: 2,25 =

\frac{225}{100}

Esquema. Decomposição do número 225. Um número à esquerda e outro à direita e um traço vertical entre eles. À esquerda, 225, à direita, 3. À esquerda 75, à direita 3. À esquerda, 25, à direita, 5. À esquerda 5, à direita 5 com traço na horizontal abaixo. À esquerda, 1, à direita, 3 ao quadrado vezes 5 ao quadrado.

Logo:

2, 25 = \frac{225}{100} = \frac{{(3 · 5)}^{2}}{10^{2}} = {(\frac{15}{10})}^{2} = (1, 5)^{2}

Portanto, 2,25 é quadrado perfeito.

A raiz quadrada de um número real pode ser um número racional, um número irracional ou um número que não é real.

As raízes quadradas de números reais negativos não são números reais, pois não existe número no conjunto dos números reais que, elevado ao quadrado, resulte em número negativo. Essas raízes serão estudadas no Ensino Médio.

Orientações e sugestões didáticas

Orientações

• Por definição, a raiz quadrada de um número a é um número b não negativo, tal que belevado a 2 = a.

Vale ressaltar que, quando nos deparamos com a resolução de uma equação como xelevado a 2 = 9, temos de atentar para o fato de que, para resolver a equação, ou seja, determinar o valor de x, não afirmamos que x = 3 ou x = menos3 por causa da raiz quadrada de 9, mas porque o número x que, elevado ao quadrado, resulta em 9 pode ser tanto 3 como menos3. Assim:

xelevado a 2 = 9

\sqrt{x^{2}}

\sqrt{9}

∣x∣ =

\sqrt{9}

∣x∣ = 3

x = 3 ou x = menos3

(O número negativo, menos3, não veio da raiz de 9, mas decorre do módulo de x.)

Assim, resolver essa equação, por exemplo, significa determinar quais valores que, elevados ao quadrado, resultem em 9. E extrair a raiz quadrada de 9, por definição, é determinar o valor não negativo que, elevado ao quadrado, resulte em 9.

• Algumas vezes, quando é necessário calcular a raiz quadrada de um número decimal, ao escrevê-lo na fórma de fração, encontramos um valor grande no numerador, cuja raiz quadrada não sabemos. Então, podemos fatorar esse número para encontrar sua raiz quadrada, como feito no item b. Para calcular

\sqrt{2, 25}

, podemos fazer:

\sqrt{\frac{225}{100}}

\frac{\sqrt{15^{2}}}{\sqrt{10^{2}}}

\frac{15}{10}

= 1,5

Página 40

Lembre-se: Escreva no caderno!

Raiz cúbica

Vamos analisar um cubo que mede 64 centímetros cúbicos de volume e arestas de medida de comprimento desconhecida.

Figura geométrica. Cubo azul com medida de comprimento da aresta a.

Para calcular a medida a, da aresta do cubo, em centímetro, temos de encontrar um número que, quando multiplicado três vezes por ele mesmo, resulte em 64.

O número procurado é 4, pois 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64.

Assim, a raiz cúbica de 64 é 4, e indicamos:

\sqrt[3]{64}

= 4, pois 4elevado a 3 = 64.

Para determinar a raiz cúbica de um número real a, precisamos encontrar um número real b tal que belevado a 3 = a.

Exemplos

•

\sqrt[3]{27}

= 3, pois 3elevado a 3 = 27

•

\sqrt[3]{‒ 64}

= menos 4, pois abre parêntesesmenos 4fecha parênteseselevado a 3 = menos 64

•

\sqrt[3]{1 000}

= 10, pois 10elevado a 3 = .1000

Há também raízes cúbicas que são números irracionais e podem ser aproximadas por falta ou por excesso. Por exemplo:

\sqrt[3]{3}

= 1,442249570307408reticências

Por falta,

\sqrt[3]{3}

é 1,442; por excesso,

\sqrt[3]{3}

é 1,443.

Observe que, em ambos os casos, há aproximação até a 3ª casa decimal ou até os milésimos:

Esquema. 1 vírgula 442 menor que raiz cúbica de 3, menor que 1 vírgula 443.
Fio azul do número 1 vírgula 442 com cota para, aproximação até os milésimos por falta. Fio azul no número 1 vírgula 443 com cota para, aproximação até os milésimos por excesso.

Diferentemente do que ocorre no cálculo da raiz quadrada de um número real, a raiz cúbica de um número real é sempre um número real.

Raiz enésima

Podemos generalizar o índice e estudar raízes de índice n qualquer, ou seja, as raízes enésimas.

A raiz enésima de um número real a, que tem como índice um número natural n ⩾ 2, é assim representada:

Esquema. Raiz enésima de a. Fio azul na letra n com cota para, índice. Fio azul na letra a com cota para, radicando.

O cálculo da raiz enésima pode ser analisado considerando-se dois casos: o índice n par e o índice n ímpar.

Orientações e sugestões didáticas

• Para abordar a raiz enésima de um número real, retome com os estudantes os cálculos de raízes quadradas e cúbicas de um número real, pois eles já devem estar mais familiarizados com esse tipo de cálculo.

Página 41

● Índice par

A raiz enésima de índice par de um número real a abre parêntesesa ⩾ 0fecha parênteses é o número real b abre parêntesesb ⩾ 0fecha parênteses tal que belevado a n = a.

\sqrt[n]{a}

= b se, e somente se, belevado a n = a e b ⩾ 0

Exemplos

•

\sqrt[2]{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}

, pois

{(\frac{1}{6})}^{2} = \frac{1}{36}

\frac{1}{6} > 0

•

\sqrt[6]{729} = 3

, pois

3^{6} = 729

e 3 > 0

•

\sqrt[12]{1} = 1

, pois 1elevado a 12 = 1 e 1 > 0

Observação

Se a for um número real menor que zero, a raiz enésima de a, com n par, não será um número real, pois não existe número real que, elevado a um expoente par, resulte em um número negativo.

Exemplos:

•

\sqrt[]{‒ 81}

∉

Ilustração. Letra R, do conjunto dos números reais.

(lemos:

\sqrt[]{‒ 81}

não pertence ao conjunto dos números reais)

•

\sqrt[4]{‒ 16}

∉

(lemos:

\sqrt[4]{‒ 16}

não pertence ao conjunto dos números reais)

Então, ∄ (não existe) no conjunto dos números reais os números

\sqrt[]{‒ 81}

\sqrt[4]{‒ 16}

● Índice ímpar

A raiz enésima de índice ímpar de um número real a é o número real b tal que belevado a n = a.

\sqrt[n]{a}

= b se, e somente se, belevado a n = a

Exemplos

•

\sqrt[3]{‒ 216} = ‒ 6

, pois

{(‒ 6)}^{3} = ‒ 216

•

\sqrt[7]{128} = 2

, pois 2elevado a 7 = 128

•

\sqrt[5]{0, 00001} = 0, 1

, pois 0,1elevado a 5 = 0,00001

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Determine, no caderno.

\sqrt[3]{‒ 1 000}

‒ \sqrt{121}

‒ \sqrt[3]{‒ 64}

\sqrt[3]{729}

\sqrt[4]{81}

\sqrt[3]{\frac{1}{27}}

\sqrt[5]{\frac{1}{32}}

\sqrt[4]{256}

\sqrt[5]{3 125}

2. Calcule as medidas de comprimento das arestas de cada cubo.

Figura geométrica. Cubo azul com medida do volume: 729 centímetros cúbicos. — medida do volume: 729 centímetros cúbicos

Figura geométrica. Cubo laranja com medida do volume: 0 vírgula 027 metro cúbico. — medida do volume: 0,027 métros cúbicos

Determine, usando uma calculadora, a raiz aproximada até os centésimos, por falta e por excesso.

\sqrt{5}

\sqrt{7}

\sqrt{10}

\sqrt{20}

Cada um dos números a seguir localiza-se entre dois números naturais consecutivos. Quais são esses números em cada caso? Calcule mentalmente e anote a resposta no caderno.

\sqrt{75}

\sqrt{901}

Usando uma calculadora, determine as medidas de comprimento dos lados de cada quadrado com aproximação por falta até a 1ª casa decimal.

Figura geométrica. Quadrado azul com medida da área: 350 metros quadrados. — medida da área: 350 métros quadrados

Figura geométrica. Quadrado vermelho com medida da área: 1 mil centímetros quadrados. — medida da área: 1.000 centímetros quadrados

Respostas e comentários

1. a) menos10

1. b) menos11

1. c) 4

1. d) 9

1. e) 3

1. f)

\frac{1}{3}

1. g)

\frac{1}{2}

1. h) 4

1. i) 5

2. a) 9 centímetros

2. b) 0,3 métro

3. a) 2,23 e 2,24

3. b) 2,64 e 2,65

3. c) 3,16 e 3,17

3. d) 4,47 e 4,48

4. a)

\sqrt{75}

está entre 8 e 9.

4. b)

\sqrt{901}

está entre 30 e 31.

5. a) 18,7 métros

5. b) 31,6 centímetros

Orientações e sugestões didáticas

• Utilize os exemplos de raiz enésima de um número real para auxiliar a compreensão dos estudantes. Se possível, peça que calculem as raízes enésimas de alguns números reais utilizando uma calculadora científica e que também calculem raízes enésimas de índice par de números reais negativos para que percebam que no visor da calculadora aparecerá uma mensagem de êrro. Diante desse fato, comente que, se a for um número real menor que zero, a raiz enésima de a, com n par, não será um número real, pois não existe um número real que elevado a um número par resulte em um número negativo.

• Para obter as aproximações solicitadas na atividade 3, os estudantes podem ser agrupados em duplas ou trios e pode-se pedir a eles que realizem testes com números para encontrar, com o auxílio da calculadora, mas sem usar a tecla

Ilustração. Tecla cinza de uma calculadora com símbolo de raiz quadrada.

, as aproximações pedidas. Para começar, eles devem encontrar entre quais números naturais estão as raízes procuradas. No item a, por exemplo,

\sqrt{5}

está entre os números naturais 2 e 3; em seguida, os estudantes precisam fazer testes com números racionais com uma casa decimal e, para finalizar, com números de duas casas decimais.

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Radicais

A raiz enésima

\sqrt[n]{a}

, em que a é um número real e n é um número natural, com n ⩾ 2, é chamada também de radical.

São exemplos de radicais:

\sqrt[]{11}, \sqrt[5]{3}, \sqrt[3]{‒ 1, 5} e \sqrt[4]{\frac{1}{16}}

Saiba mais

O símbolo que utilizamos para indicar a raiz

(\sqrt{})

também é chamado de radical. Ele foi introduzido em 1525 pelo matemático alemão Christoff Rudolff, provavelmente por sua semelhança com o “r” minúsculo da palavra radix (“raiz”, em latim). Antes disso, usavam-se outros símbolos para representar a raiz de um número.

Propriedades dos radicais

As propriedades dos radicais podem ser usadas para simplificar os cálculos.

● 1ª propriedade

Observe um radical com índice ímpar.

\sqrt[3]{125} = 5

, pois 5elevado a 3 = 125

Como 125 = 5elevado a 3, podemos escrever:

\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^{3}} = 5

Agora, considere um radical com índice par.

\sqrt[2]{121} = 11

, pois 11elevado a 2 = 121 e 11 > 0

Como 121 = 11elevado a 2, podemos escrever:

\sqrt[2]{121} = \sqrt[2]{11^{2}} = 11

Ilustração. Menina branca, cabelo castanho com faixa amarela, vestindo camiseta azul com detalhes em verde, calça azul e tênis roxo e branco. Em pé, de olhos fechados, está com a mão esquerda espalmada para cima e a mão direita fechada, apenas com o dedo indicador apontado para cima.
Balão de fala com o texto: É como se o índice 3 fosse simplificado com o expoente 3 em raiz cúbica de 5 elevado a 3 igual a 5; e o índice 2 com o expoente 2 em raiz quadrada de 11 elevado a 2 igual a onze.

De modo geral:

Para todo número a real não negativo e n natural, com n ⩾ 2, temos:

\sqrt[n]{a^{n}}

= a

Exemplos

•

\sqrt{4^{2}} = 4

•

\sqrt[6]{7^{6}} = 7

•

\sqrt[7]{1, 2^{7}} = 1, 2

•

\sqrt[5]{π^{5}} = π

Para investigar

a) Calcule o valor de

\sqrt[2]{{(‒ 11)}^{2}} .

b) É correto afirmar que

\sqrt[2]{a^{2}} = a

● 2ª propriedade

Observe o que Aline percebeu.

Ilustração. À esquerda, Aline, menina branca, cabelo azul, vestindo camiseta amarela com listras alaranjadas, calça azul e tênis amarelo e branco. Em pé, está com o braço direito dobrado e a mão apoiada na cintura, do lado direito, segurando um giz. A mão esquerda está fechada, apenas com o indicador apontando para o quadro de giz, escrito: 2 igual a raiz quinta de 2 elevado a quinta potência e 2 é igual a raiz décima de 2 elevado a décima potência. Balão de fala com o texto: Estou comparando dois radicais.
À direita, Aline, mesma personagem anterior. Em pé, está segurando um giz com a mão direita e apontando-o para o quadro de giz, escrito: raiz quinta de 2 elevado a quinta potência é igual a raiz décima de 2 elevado a décima potência. A mão esquerda está espalmada para cima. Balão de fala com o texto: Como os dois radicais são iguais a 2, posso escrever assim.

Orientações e sugestões didáticas

• A partir desta página são introduzidas as propriedades dos radicais. Conhecendo as propriedades dos radicais, os estudantes podem construir procedimentos próprios, a fim de realizar cálculos em problemas que envolvem o uso de radicais e em operações com números reais na forma de raiz. É importante que sejam propostas situações de aprendizagem que sejam desafiadoras e adequadas para que elas sejam, de fato, compreendidas e não apenas memorizadas. É a compreensão dessas propriedades, e não a memorização sem qualquer significado ou reflexão, que permitirá que elas sejam corretamente mobilizadas na resolução das atividades.

• Ao explorar o boxe Para investigar, peça aos estudantes que escolham alguns valores negativos para a e verifiquem se a igualdade é válida para os valores escolhidos. Espera-se que eles percebam que a igualdade não será válida para nenhum valor negativo de a que eles escolherem. Ressalte o fato de que a 1ª propriedade é válida somente para um número real a maior ou igual a zero.

Página 43

Lembre-se: Escreva no caderno!

Observe que o radical

\sqrt[5]{2^{5}}

pode ser obtido a partir de

\sqrt[10]{2^{10}}

. Para isso basta dividir o índice e o expoente do radicando pelo divisor comum 2.

De modo geral, vale a seguinte propriedade:

Para todo número a real não negativo, m e n naturais, com n ⩾ 2, e p divisor comum de n e m com p ≠ n e p ≠ 0, temos:

\sqrt[n]{a^{m}} = \sqrt[n : p]{a^{m : p}}

Exemplos

•

\sqrt[12]{2^{12}} = \sqrt[3]{2^{3}}

•

\sqrt[9]{27^{3}} = \sqrt[3]{27^{1}} = 3

•

\sqrt[14]{3^{‒ 7}} = \sqrt[14]{{(\frac{1}{3})}^{7}} = \sqrt[2]{(\frac{1}{3})}

•

\sqrt[30]{{(\frac{1}{5})}^{25}} = \sqrt[6]{{(\frac{1}{5})}^{5}}

● 3ª propriedade

De modo geral, vale a seguinte propriedade:

Para a e b, números reais não negativos e n natural, com n ⩾ 2, temos:

\sqrt[n]{a · b} = \sqrt[n]{a} · \sqrt[n]{b}

Exemplos

•

\sqrt{4 · 10} = \sqrt{4} · \sqrt{10}

•

\sqrt[3]{(\frac{1}{10}) · 3, 43} = \sqrt[3]{\frac{1}{10}} \cdot \sqrt[3]{3, 43}

● 4ª propriedade

De modo geral, temos:

Para a e b, números reais não negativos, com b ≠ 0, e n natural, com n ⩾ 2, temos:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Exemplos

•

\sqrt{\frac{30}{7}} = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{7}}

•

\sqrt[3]{0, 001} = \sqrt[3]{\frac{1}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{1}{10}

Observação

Todas as propriedades apresentadas são válidas apenas para radicandos reais não negativos. As propriedades só serão válidas para radicandos negativos se os índices dos radicais forem ímpares. Exemplos:

•

\sqrt[3]{{(‒ 2)}^{3}} = \sqrt[3]{‒ 8} = ‒ 2

•

\sqrt[15]{{(- 1)}^{3}} = \sqrt[15]{- 1} = - 1 = \sqrt[5]{- 1}

•

\sqrt[5]{(‒ 1) \cdot 243} = \sqrt[5]{‒ 243} = ‒ 3 = \sqrt[5]{(‒ 1)} \cdot \sqrt[5]{243}

•

\sqrt[3]{\frac{‒ 8}{125}} = \frac{‒ 2}{5} = \frac{\sqrt[3]{‒ 8}}{\sqrt[3]{125}}

Orientações e sugestões didáticas

• Se julgar conveniente, aprofunde a discussão de cada propriedade. Com relação à 4ª propriedade, em que

\sqrt[n]{\frac{a}{b}}

\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

, por exemplo, se n é par, a e b devem ser números reais não negativos com b diferente de zero. Se n for ímpar, a e b podem ser quaisquer números reais, com b diferente de zero.

Página 44

Lembre-se: Escreva no caderno!

Aplicação das propriedades dos radicais

● Extração de fatores do radicando

Aplicando as propriedades, podemos simplificar alguns radicais.

Exemplos

•

\sqrt[3]{1 728}

Esquema. Decomposição do número 1 mil 728. Um número à esquerda e outro à direita e um traço vertical entre eles. À esquerda, 1 mil 728, à direita, 2. À esquerda 864, à direita 2. À esquerda, 432, à direita, 2. À esquerda 216, à direita 2. À esquerda, 108, à direita, 2. À esquerda, 54, à direita 2. À esquerda, 27, à direita, 3. À esquerda, 9, à direita, 3. À esquerda, 3, à direita, 3, com traço na horizontal abaixo. À esquerda, 1, à direita, 2 elevado a 6, vezes 3 ao cubo.Abaixo, raiz cúbica de 1 mil 728, igual a raiz cúbica de 2 elevado a 6 vezes 3 ao cubo, igual a raiz cúbica de 2 elevado a 6 vezes raiz cúbica de 3 ao cubo, igual a raiz cúbica de, abre parênteses, 2 ao quadrado, fecha parênteses, ao cubo vezes 3, igual a 2 ao quadrado vezes 3 é igual a 12.

\sqrt[3]{1 728} = \sqrt[3]{2^{6} · 3^{3}}

\sqrt[3]{2^{6}} \cdot \sqrt[3]{3^{3}} = \sqrt[3]{{(2^{2})}^{3}} · 3

= 2elevado a 2 ⋅ 3 = 12

Nesse caso, como o radicando é um número racional e é possível extrair todos os fatores decompostos, a raiz é um número racional.

•

\sqrt{245}

Esquema. Decomposição do número 245. Um número à esquerda e outro à direita e um traço vertical entre eles. À esquerda, 245, à direita, 5. À esquerda, 49, à direita, 7. À esquerda 7, à direita 7 com traço na horizontal abaixo. À esquerda, 1, à direita, 5 vezes 7 ao quadrado.

\sqrt{245} = \sqrt{7^{2} \cdot 5} = \sqrt{7^{2}} \cdot \sqrt{5} = 7 · \sqrt{5}

Nesse caso, como nem todos os fatores podem ser extraídos, a raiz é um número irracional.

● Introdução de fatores externos no radicando

Assim como é possível extrair alguns ou todos os fatores de uma raiz, podemos introduzir fatores externos no radicando.

Exemplos

•

2 \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{2^{4}} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{2^{4} \cdot 5} = \sqrt[4]{16 \cdot 5} = \sqrt[4]{80}

•

3^{2} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{(3^{2})}^{3}} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{(3^{2})}^{3} \cdot 2} = \sqrt[3]{729 \cdot 2} = \sqrt[3]{1 458}

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Decomponha o radicando em fatores primos e calcule o valor de cada radical.

\sqrt[5]{32}

\sqrt[3]{343}

\sqrt[3]{\frac{729}{64}}

\sqrt{121}

\sqrt[4]{\frac{625}{256}}

\sqrt[5]{\frac{1}{1 024}}

2. Decomponha o radicando em fatores primos e simplifique cada radical.

\sqrt[15]{1 024}

\sqrt[12]{256}

\sqrt[6]{2 187}

\sqrt[5]{160}

\sqrt[3]{108}

\sqrt[4]{16 807}

Respostas e comentários

1. a) 2

1. b) 7

1. c)

\frac{9}{4}

1. d) 11

1. e)

\frac{5}{4}

1. f)

\frac{1}{4}

2. a)

\sqrt[3]{2^{2}}

2. b)

\sqrt[3]{2^{2}}

2. c)

3 \sqrt[6]{3}

2. d)

2 \sqrt[5]{5}

2. e)

3 \sqrt[3]{2^{2}}

2. f)

7 \sqrt[4]{7}

Orientações e sugestões didáticas

• Neste tópico, mostra-se como aplicar algumas propriedades dos radicais para simplificar o cálculo de raízes enésimas de um número real. Reproduza os exemplos no quadro e enfatize as propriedades empregadas em cada passagem.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

3. Sabendo que

\sqrt{5}

é aproximadamente igual a 2,24, calcule o valor aproximado de cada radical.

\sqrt{125}

\sqrt{20}

\sqrt{500}

\sqrt{\frac{1}{5}}

\sqrt{605}

\sqrt{\frac{45}{4}}

\sqrt{\frac{80}{81}}

\sqrt{\frac{720}{441}}

4. Calcule:

\sqrt[3]{512}

\sqrt[4]{121} · \sqrt[4]{121}

\sqrt{2 744} : \sqrt{14}

\sqrt[5]{3, 2 \cdot 10^{6}}

\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 10^{9}}{27 \cdot 10^{6}}}

5. Determine o valor de x em cada caso.

\sqrt[12]{2^{8}} = \sqrt[x]{2^{2}}

\sqrt[10]{3^{15}} = \sqrt[x]{3^{3}}

\sqrt[27]{512} = \sqrt[3]{2^{x}}

\sqrt[10]{\frac{81}{625}} = \sqrt[5]{{(\frac{3}{5})}^{x}}

\sqrt[x]{\frac{5}{9}} = \sqrt[6]{\frac{125}{729}}

\sqrt[8]{\frac{2 401}{625}} = \sqrt[x]{\frac{7}{5}}

6. Luísa, Carla, Gabriel e Ricardo estavam estudando Matemática quando depararam com a sentença:

\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}

Então, eles concluíram que

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

Em duplas, eles simplificaram a expressão

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1}

Observe como cada dupla fez o cálculo.

Ilustração. Duas folhas de papel. À esquerda, folha retangular na cor roxa, com texto na cor preta e com caligrafia manual: Luísa e Gabriel. Abaixo, raiz quadrada de menos 1 vezes raiz quadrada de menos 1, igual a raiz quadrada de, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, igual a raiz quadrada de mais 1, é igual a 1.
À direita, folha retangular na cor amarela, com texto na cor preta e com caligrafia manual: Carla e Ricardo. Abaixo, raiz quadrada de menos 1 vezes raiz quadrada de menos 1, igual a raiz quadrada de, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, ao quadrado, é igual a menos 1. Com risco vermelho no índice 2 do radical e no expoente 2.

Cada dupla chegou a um resultado diferente. Em alguma etapa do raciocínio, houve um êrro.

Encontre o êrro.

Resolva a expressão a seguir e escreva no caderno a alternativa correta.

Sentença matemática. Raiz cúbica de fração 2 elevado a 11 sobre 2 elevado a 8.

a) 4elevado a 3

b) 1

c) 2elevado a 19

d) 2

Respostas e comentários

3. a) 11,2

3. b) 4,48

3. c) 22,4

3. d) 0,45

3. e) 24,6

3. f) 3,36

3. g) 1

3. h) 1,28

4. a) 8

4. b) 11

4. c) 14

4. d) 20

4. e)

\frac{20}{3}

5. a) 3

5. b) 2

5. c) 1

5. d) 2

5. e) 2

5. f) 2

6. A propriedade

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

é válida somente para a e b reais não negativos.

Como o índice do radical é par, a propriedade

\sqrt{a^{2}}

= a também é válida somente para a real não negativo. Portanto, as duas duplas cometeram erros.

7. alternativa d

Orientações e sugestões didáticas

• Circule entre os estudantes observando, de fórma geral, os registros feitos e as atividades que exigem mais atenção para se chegar às respostas. Quando observar que a maioria dos alunos terminou, escreva as respostas no quadro para que possam conferi-las. Dessa maneira, já será possível fazer um “filtro” e saber quais questões merecem mais atenção.

• Aproveite a atividade 3 para discutir com os estudantes um outro modo de calcular uma raiz aproximada: com base no valor aproximado da raiz quadrada de 5 e com o uso da decomposição em fatores primos.

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Compreender um texto

faça as atividades no caderno

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Saturno, um planeta colossal

Saturno é o sexto planeta a partir do Sol e o segundo maior planeta do Sistema Solar. Sua fama se dá, principalmente, por seus anéis, que são formados por bilhões de fragmentos de gêlo e rochas espaciais: alguns semelhantes a grãos de areia, outros do tamanho de uma casa. A medida da largura do sistema de anéis se estende até .282000 quilômetros de comprimento do planeta e é composto por sete anéis e lagunas.

Fotografia. Planeta Saturno. Em fundo preto, no centro da imagem, esfera com faixas em tons de bege e marrom. Em volta da esfera, anéis em tons de branco e cinza. — Saturno visto no dia 20 de julho de 2019 a partir do Telescópio Espacial Hubble da Nasa. A Câmera de Campo Amplo 3 do Hubble observou o planeta quando ele estava à medida de aproximadamente 1.359.900.000 quilômetros de distância da Terra.

A medida do raio de .58232 quilômetros de comprimento de Saturno é aproximadamente 9 vezes a medida do raio da Terra. Agora tente imaginar a Terra como se fosse do tamanho de uma moeda de um real. Saturno seria do tamanho de uma bola de vôlei.

Ilustração. Comparação de tamanho. Círculo grande na cor alaranjada, com texto em preto, abaixo: Saturno. Dentro do círculo alaranjado, no centro, círculo pequeno na cor azul, com texto em preto, abaixo: Terra.

Enquanto a Terra demora 365 dias para completar a volta ao redor do Sol, Saturno leva .10756 dias terrestres (29,4 anos terrestres). Em compensação, o dia em Saturno demora menos da metade do dia da Terra, isto é, o dia em Saturno é um dos mais curtos do Sistema Solar, levando apenas 10,7 horas.

Diferentemente do planeta Terra, que tem um único satélite natural, a Lua, Saturno tem 62. Mas como os planetas conseguem seus satélites? Umas das maneiras é capturando-os! Isso mesmo, capturando corpos que, até então, vagavam ao redor do Sol. Esses corpos são atraídos para a órbita do planeta e passam a ser suas luas.

Saturno, por sua vez, possui o segundo maior satélite do Sistema Solar, chamado Titã, que gira no sentido contrário ao qual o planeta gira sobre si. Tendo isso em vista, é bem provável que esse satélite seja um corpo “capturado”. Titã é maior que a lua da Terra e maior até que o planeta Mercúrio.

A medida de distância entre Titã e Saturno é de aproximadamente ..1192000 quilômetros de comprimento. Uma questão que intrigou os pesquisadores é como se formaram os satélites entre Saturno e Titã. Recentemente, foi descartada a possibilidade de que eles tenham se formado junto com o planeta, pois, por meio de estudos, concluiu-se que, assim como a Lua está se afastando da Terra, as luas de Saturno estão se afastando dele e, nesse caso, os satélites deveriam estar muito mais distantes do que estão.

Orientações e sugestões didáticas

Compreender um texto

Objetivos

• Desenvolver a competência leitora.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero quatro e ê éfe zero nove ême ah um oito e das competências específicas 1 e 3 da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Esta seção favorece o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero quatro e ê éfe zero nove ême ah um oito ao propor problemas com números reais, em especial em notação científica, empregando unidades de medidas para expressar distâncias dentro do Sistema Solar.

Orientações

• Oriente os estudantes a realizar uma leitura silenciosa do texto. Em seguida, proponha à turma uma leitura conjunta. Caso julgue conveniente, faça pequenas pausas entre os parágrafos para que eles possam comentar os assuntos tratados em cada um deles. Por fim, incentive-os a compartilhar suas opiniões sobre o que foi lido.

• Se julgar pertinente, informe-lhes que Saturno está fortemente presente na cultura juvenil. Diga-lhes que esse planeta aparece em inúmeras histórias de ficção científica, filmes, histórias em quadrinhos e videogames.

(ê éfe zero nove ême ah zero quatro) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

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Fotografia. Em fundo preto, esfera com faixas em tons de amarelo e azul, com a lateral direita oculta. Em volta da esfera, um anel fino na cor verde com outra esfera, pequena e alaranjada, nele. — O satélite Titã diante do planeta Saturno, visto a partir da sonda Cassini da Nasa.

Foi então que os pesquisadores levantaram a hipótese – comprovada após muitos cálculos – que todos os satélites entre Saturno e Titã são mais “jovens” e se formaram a partir dos próprios anéis do planeta, que fazem parte de um sistema ativo que gera novos corpos celestes.

Dados obtidos em: NASA SCIENCE. Solar System Exploration. Saturn. [sem local, 2022?]. Disponível em: https://oeds.link/hg0FLD. Acesso em: 18 julho 2022.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Qual é a ideia principal do texto que você acabou de ler?

2. Cite o nome de outros planetas que você conhece.

3. Qual é o segundo maior satélite do Sistema Solar? Quanto mede a distância, em quilômetro, entre esse satélite e Saturno? Escreva essa medida em notação científica.

4. De acôrdo com o texto, como se formaram os satélites entre Titã e Saturno?

5. Na página anterior, há uma imagem de Saturno do Telescópio Espacial Hubble da Nasa, de 20 de julho de 2019. Nesse registro, a que medida de distância Saturno estava da Terra? Escreva essa medida de distância em notação científica. (Dica: aproximar até os centésimos)

6. Para facilitar o trabalho com distâncias dentro do Sistema Solar, cientistas criaram a unidade astronômica (U A), que é a medida de distância média entre a Terra e o Sol. (Dica: aproximar até os centésimos)

uma ua = ...149597870700 quilômetros

a) Utilizando notação científica, escreva a medida de distância média, em quilômetro, entre a Terra e o Sol.

b) A medida da distância média aproximada entre alguns planetas e o Sol está no quadro a seguir. Escreva a medida de distância, em quilômetro, de cada planeta.

Planeta	Medida da distância média (ua)
Vênus	0,7
Marte	1,5
Júpiter	5,2
Saturno	9,5
Urano	19,8

Respostas e comentários

1. Conhecer um pouco sobre Saturno e a formação dos seus satélites.

2. Resposta pessoal.

3. Titã. Aproximadamente 1,192 ⋅ 10elevado a 6 quilômetros

4. Todos os satélites entre Titã e Saturno se formaram a partir dos anéis do planeta, um depois do outro.

5. aproximadamente 1,36 ⋅ 10elevado a 9 quilômetros

6. a) 1,49 ⋅ 10elevado a 11 quilômetros

6. b) Respostas em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 2, espera-se que os estudantes citem os outros planetas que compõem o Sistema Solar: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Urano e Netuno. Caso não se recordem, oriente-os a realizar uma pesquisa em sites, livros ou revistas especializadas.

• No item b da atividade 6, verifique como os estudantes realizam a conversão solicitada. Se necessário, permita que trabalhem com a calculadora ou com um aplicativo de calculadora do smartphone. Caso opte pela segunda opção, informe-lhes que, em grande parte dos aplicativos de calculadora, é utilizado o símbolo ê (ou ê) para indicar a expressão “vezes 10 elevado a”. Resposta:

Vênus: 1,05 ⋅ 10elevado a 12

Marte: 2,24 ⋅ 10elevado a 12

Júpiter: 7,78 ⋅ 10elevado a 12

Saturno: 1,42 ⋅10elevado a 12

Urano: 2,96 ⋅ 10elevado a 12

• Se julgar conveniente, amplie o tema e peça aos estudantes que façam uma pesquisa sobre as cinco maiores luas e compartilhem com a turma. O tema proposto contribui para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, da macroárea Ciência e Tecnologia.

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3 Operações com radicais

Adição algébrica com radicais

Observe a adição algébrica:

\sqrt{4} + \sqrt{9}

= 2 + 3 = 5

A adição algébrica com radicais fica mais simples quando podemos extrair todas as raízes e efetuar o cálculo sem os radicais.

Exemplos

•

\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{125} ‒ \sqrt[3]{343}

= 3 + 5 menos 7 = 1

•

\sqrt[4]{0, 0625} ‒ \sqrt[4]{0, 0001} ‒ \sqrt[4]{0, 0256}

= 0,5 menos 0,1 menos 0,4 = 0

Mesmo quando as raízes têm índices diferentes, devemos tentar extraí-las e, depois, efetuar os cálculos. Por exemplo:

- \sqrt[3]{8} + \sqrt[5]{100 000} - \sqrt{1, 69}

= menos2 + 10 menos 1,3 = 6,7

Entretanto, nem sempre é possível extrair todas as raízes, pois alguma delas pode ser um número irracional. Vamos estudar outras maneiras de efetuar adições algébricas com radicais quando isso acontece.

Adição algébrica com radicais semelhantes

Chamamos de radicais semelhantes aquelas expressões que têm radicais com radicandos iguais e mesmo índice. Por exemplo:

•

\sqrt[3]{15} e \sqrt[3]{15}

são radicais semelhantes.

•

\sqrt{7} e 2 \sqrt{7}

são radicais semelhantes.

Quando há radicais semelhantes em uma expressão, colocamos em evidência o radical comum e efetuamos a adição algébrica indicada.

Exemplos

•

3 \sqrt{11} + 7 \sqrt{11} = (3 + 7) \sqrt{11} = 10 \sqrt{11}

•

\sqrt[7]{9} ‒ \frac{\sqrt[7]{9}}{2} + \frac{\sqrt[7]{9}}{3} = (1 ‒ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \sqrt[7]{9} = \frac{5}{6} \sqrt[7]{9} o u \frac{5 \sqrt[7]{9}}{6}

Para pensar

Observe a expressão com radicais não semelhantes:

\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{50}

•

Converse com um colega e pensem em uma maneira de efetuar essa adição. Em seguida, compartilhem a resolução com a turma.

Adição algébrica com radicais que se tornam semelhantes

Há expressões que não apresentam radicais semelhantes, mas contêm radicais que podem ser transformados em radicais semelhantes aplicando as propriedades dos radicais. Após realizar as transformações, efetuamos a adição algébrica com os radicais semelhantes.

Exemplos

•

- \sqrt[3]{40} - \sqrt[3]{135} + 2 \sqrt[3]{320} = - 2 \sqrt[3]{5} - 3 \sqrt[3]{5} + 2 \cdot 4 \sqrt[3]{5} = 3 \sqrt[3]{5}

•

\sqrt[6]{216} + \sqrt{24} - \sqrt[4]{576} = \sqrt[6]{6^{3}} + \sqrt[2]{2^{2} \cdot 6} - \sqrt[4]{2^{4} \cdot 6^{2}}

\sqrt[2]{6} + 2 \sqrt[2]{6} - 2 \sqrt[2]{6} = \sqrt[2]{6}

Respostas e comentários

Para pensar: Respostas pessoais.

Orientações e sugestões didáticas

Operações com radicais

Objetivos

• Identificar radicais semelhantes.

• Compreender como realizar adições, subtrações, multiplicações, divisões, potenciações e radiciações com radicais.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero três e ê éfe zero nove ême ah zero quatro da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero três e ê éfe zero nove ême ah zero quatro porque os estudantes deverão operar com radicais para resolver e elaborar problemas.

Orientações

• Adicionar radicais é um procedimento no qual os estudantes podem enfrentar dificuldades. Por esse motivo, convém explorar o assunto de fórma cuidadosa e avaliar os enganos cometidos por eles na realização das atividades.

• Certifique-se de que os estudantes compreenderam cada uma das passagens dos exemplos apresentados.

• Na resolução da atividade proposta no boxe Para pensar, deixe que os estudantes sugiram fórmas de fazer a adição algébrica. Caso não surja a ideia de reduzir os termos a um radical semelhante, ou realizar aproximações, apresente os próximos itens e peça a eles que voltem a essa adição algébrica depois.

• Exemplo de resposta do boxe Para pensar:

\sqrt{2}

\sqrt{8}

menos

\sqrt{50}

\sqrt{2}

+ 2

\sqrt{2}

‒ 5

\sqrt{2}

= menos 2

\sqrt{2}

• No primeiro exemplo do tópico Adição algébrica com radicais que se tornam semelhantes, peça aos esudantes que fatorem 135 e 320 para que entendam por que

\sqrt[3]{135}

= 3

\sqrt[3]{5}

\sqrt[3]{320}

= 4

\sqrt[3]{5}

(ê éfe zero nove ême ah zero três) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

(ê éfe zero nove ême ah zero quatro) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

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Observação

- \sqrt[3]{40} = - \sqrt[3]{2^{3} \cdot 5} = - 2 \sqrt[3]{5}

Adição algébrica com aproximações

Em algumas situações, o cálculo aproximado da adição algébrica é mais conveniente. Nesses casos, calculamos o valor aproximado de cada raiz e efetuamos a adição algébrica.

Acompanhe como Luciana efetuou a adição

\sqrt{5} + \sqrt{6}

Ilustração. Luciana, menina branca, ruiva, com cabelo preso, vestindo camiseta verde, camisa rosa, saia azul e tênis roxo e branca, em pé. A mão direita está espalmada para frente e a mão esquerda espalmada para cima. Balão de fala com o texto: Ih! Não é possível transformar os radicais em radicais semelhantes. E agora?

Ilustração. Ilustração. Luciana, mesma personagem anterior. Em pé, segura com a mão direita uma calculadora. A mão esquerda está fechada, apenas com o dedo indicador apontado para a calculadora. Balão de fala com o texto: Ah, eu vou encontrar a soma com a ajuda de uma calculadora.

Ilustração. Luciana, mesma personagem anterior. Em pé, com os olhos fechados. A mão direita está fechada, apenas com o dedo indicador apontado para cima. Com a mão esquerda, segura caderno com uma folha branca, com texto em vermelho: 2 vírgula 24 mais 2 vírgula 45 é igual a 4 vírgula 69 então raiz quadrada de 5 mais raiz quadrada de 6 é aproximadamente 4 vírgula 69. Balão de fala com o texto: Bem, aproximando as raízes até a segunda casa decimal, temos que a soma é aproximadamente 4 vírgula 69.

Fotografia. Calculadora científica. É retangular, azul, com diversos botões azuis e vermelhos com números e funções matemáticas. Na parte superior, um visor. — A maioria das calculadoras possibilita o cálculo da raiz quadrada de um número. Mas, para determinar a raiz enésima de um número, é necessária uma calculadora científica como a da imagem anterior.

Para analisar

Observe como Aline efetuou a adição

\sqrt{4} + \sqrt{9}

Ilustração. Aline, menina branca, cabelo azul, vestindo blusa vermelha, calça cinza e tênis azul e branco. A mão direita está fechada, apenas com o dedo indicador apontando para caderno branco, que segura com a mão esquerda e que contém o texto em vermelho: raiz quadrada de 4 mais raiz quadrada de 9 é igual a raiz quadrada de 13.
Do lado direito, menina negra, cabelo castanho preso, vestindo regata laranja, calça verde, camisa xadrez vermelha e tênis azul e branco, olha para o caderno de Aline. Está com o braço direito cruzado e apoiado no esquerdo, que está para cima, com a mão esquerda fechada e apenas o dedo indicador apontado e apoiado em seu queixo.
Em um balão de fala, Aline diz para a amiga: É só manter o índice e o radical e adicionar os radicandos.

O procedimento de Aline está correto? Por quê?

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Calcule o valor de cada expressão.

\sqrt{9} + \sqrt{16}

‒ \sqrt{25} + \sqrt{49}

- \sqrt[3]{8} + \sqrt{144}

\sqrt{100} - \sqrt[3]{64}

- \sqrt{121} + \sqrt{196}

\sqrt[3]{27} - \sqrt{9}

\sqrt{169} - \sqrt{225}

\sqrt[3]{125} - \sqrt[3]{8} + \sqrt{81}

\sqrt{0, 04} - \sqrt{0, 09} + \sqrt{0, 16}

\sqrt{\frac{1}{4}} - \sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt{\frac{1}{16}}

2. Calcule o valor de cada expressão considerando as aproximações:

Esquema. 5 quadros com sentenças matemáticas escritos aleatoriamente. Quadro azul, raiz quadrada de 6, é igual a 2 vírgula 45.
Quadro vermelho, raiz quadrada de 7, é igual a 2 vírgula 65.
Quadro verde, raiz quadrada de 13, é igual a 3 vírgula 61.
Quadro roxo, raiz quadrada de 10, é igual a 3 vírgula 16.
Quadro laranja, raiz quadrada de 11, é igual a 3 vírgula 32.

3 \sqrt{250} - 4 \sqrt{90}

\sqrt{275} - \sqrt{99}

2 \sqrt{99} + 2 \sqrt{44} + 5 \sqrt{7} - \sqrt{63}

Respostas e comentários

Para analisar: Não. Está errado, pois:

\sqrt{4} + \sqrt{9}

= 2 + 3 = 5 ≠

\sqrt{13}

1. a) 7

1. b) 2

1. c) 10

1. d) 6

1. e) 3

1. f) 0

1. g) menos2

1. h) 12

1. i) 0,3

1. j)

\frac{5}{12}

2. a) 9,48

2. b) 6,64

2. c) 38,5

Orientações e sugestões didáticas

• Mostre aos estudantes que existem situações em que, para dar mais significado ao resultado, é necessário fazer aproximações. Para isso, dê outros exemplos além do apresentado na página e mostre os cálculos necessários.

• Verifique se algum estudante tem a ideia incorreta de que

\sqrt[n]{a + b}

é equivalente a

\sqrt[n]{a}

\sqrt[n]{b}

ou de que

\sqrt[n]{b}

é equivalente a

\sqrt[n]{a}

menos

\sqrt[n]{b}

, sendo a e b números reais maiores ou iguais a zero e n um número natural maior ou igual a 2. Trabalhe o boxe Para analisar, cuja finalidade é auxiliar os estudantes a superar essa eventual concepção equivocada.

• Na atividade 1, a maior parte dos números apresentados tem raiz quadrada exata, então ficará mais claro para os estudantes analisar o que pode e o que não pode ser feito no caso de adições algébricas com radicais.

• Na atividade 2, espera-se que os estudantes façam a decomposição dos números em fatores primos para escrevê-los da fórma mais simplificada e, assim, usar as raízes aproximadas já indicadas no enunciado. Vale lembrá-los de que todos os resultados obtidos são aproximados, uma vez que já utilizaram um valor aproximado dado.

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Elabore uma adição ou uma subtração de radicais cujo resultado se aproxime do número 0,2.

Passe sua expressão para um colega calcular e calcule o valor da expressão que ele elaborou.

Depois, respondam quem escreveu a expressão cujo valor é mais próximo de 0,2.

Com uma calculadora, efetue as adições aproximando as raízes até a 2ª casa decimal. Escreva as adições e os resultados no caderno.

\sqrt{2} + \sqrt{5}

\sqrt{10} + \sqrt{9}

\sqrt{3} + \sqrt{12}

5. Efetue as adições algébricas.

\sqrt{10} + 2 \sqrt{10} ‒ 5 \sqrt{10}

3 \sqrt{8} ‒ \sqrt{18} + 2 \sqrt{32}

\sqrt[3]{81} + 2 \sqrt[3]{24} ‒ 3 \sqrt[3]{375}

\sqrt{50} ‒ \sqrt{300} ‒ \sqrt{98} + \sqrt{363}

5 \sqrt{8} ‒ 2 \sqrt{18} + \frac{1}{2} \sqrt{200}

3 x \sqrt{x y^{3}} ‒ x y \sqrt{4 x y} ‒ 2 \sqrt{x^{3} y^{3}}

, com x ⩾ 0 e y ⩾ 0

3 \sqrt{a^{3}} ‒ a \sqrt{a} + \frac{\sqrt{a^{5}}}{a}

, com a > 0

6. Determine a medida do perímetro de cada figura.

Figura geométrica. Quadrado azul com medida do comprimento do lado raiz quadrada de 2 centímetros.

Figura geométrica. Retângulo verde com medida do comprimento raiz quadrada de 8 centímetros e medida do comprimento da largura raiz quadrada de 2 centímetros.

Figura geométrica. Triângulo equilátero roxo com medida do comprimento do lado, abre parênteses, raiz quadrada de 2 mais raiz quadrada de 8, fecha parênteses, centímetros.

Figura geométrica. Retângulo amarelo com medida do comprimento raiz quadrada de 75 centímetros e medida do comprimento da largura raiz quadrada de 108 centímetros.

Multiplicação e divisão com radicais

Para multiplicar ou dividir radicais de mesmo índice, usamos a 3ª e a 4ª propriedades dos radicais. Observe os exemplos.

• Para a multiplicação de radicais, fazemos:

\sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{4 \cdot 8} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2

• Para a divisão de radicais, fazemos:

\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{9}{3}} = \sqrt[3]{3}

Para pensar

Converse com um colega e pensem em uma fórma de efetuar a multiplicação de raízes com índices diferentes:

\sqrt[4]{3} · \sqrt[5]{7}

Respostas e comentários

3. Resposta pessoal.

4. a) 1,41 + 2,24 = 3,65

4. b) 3,16 + 3 = 6,16

4. c) 1,73 + 3,46 = 5,19

5. a)

- 2 \sqrt{10}

5. b)

11 \sqrt{2}

5. c)

- 8 \sqrt[3]{3}

5. d)

\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}

5. e)

9 \sqrt{2}

5. f)

‒ x y \sqrt{x y}

5. g)

3 a \sqrt{a}

6. a)

4 \sqrt{2} cm

6. b)

6 \sqrt{2} cm

6. c)

9 \sqrt{2} cm

6. d)

22 \sqrt{3} cm

Para pensar: Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 6, os números irracionais estão representando medidas (no caso, são medidas de comprimento dos lados de alguns polígonos). Aproveite para retomar com os estudantes que o aparecimento dos números irracionais ao longo da história se deu justamente por causa das medidas.

• Ao trabalhar a multiplicação e a divisão com radicais, reproduza os exemplos no quadro e enfatize as passagens em que a 3ª e a 4ª propriedades são empregadas.

• No boxe Para pensar, deixe que as duplas analisem o problema e sugiram maneiras de fazer a multiplicação de raízes com índices diferentes. Em seguida, peça que cada dupla compartilhe com o resto da turma como pensou. Espera-se que todos os estudantes percebam que é preciso reduzir os radicais ao mesmo índice e, depois, efetuar a multiplicação.

Página 51

Quando os índices dos radicais são diferentes, é preciso reduzir os radicais ao mesmo índice e, depois, efetuar a multiplicação ou a divisão. Para fazer isso, podemos usar a 2ª propriedade dos radicais. Considere, por exemplo, como Henrique efetuou

\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2^{2}}

Ilustração. Henrique, homem negro, cabelo castanho, vestindo camisa verde, calça verde e tênis alaranjado e branco, está em pé. A mão direita está espalmada para frente e a mão esquerda está fechada, apenas com o dedo indicador apontando para um quadro de giz, escrito: raiz quadrada 2, igual a raiz quadrada de 2 elevado a 1, é igual a raiz sexta de 2 ao cubo. Abaixo, raiz cúbica de 2 ao quadrado, é igual a, raiz sexta de 2 elevado a 4. Abaixo, então: Abaixo, raiz quadrada de 2 vezes raiz cúbica de 2 ao quadrado, igual a raiz sexta de 2 ao cubo vezes raiz sexta de 2 elevado a 4, igual a. Abaixo, igual a raiz sexta de 2 ao cubo vezes 2 elevado a 4, igual a raiz sexta de 2 elevado a 3 mais 4, é igual a raiz sexta de 2 elevado a 7. Balão de fala com o texto: Para escrever as raízes com mesmo índice, escolhi um múltiplo comum dos índices 2 e 3. Nesse caso, 6 é um múltiplo comum, então transformei as duas raízes em raízes de índice 6.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Efetue as operações no caderno.

\sqrt{4} \cdot \sqrt{16}

\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}

\sqrt[3]{18} \cdot \sqrt[3]{6}

\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{15}

\sqrt{6} : \sqrt{3}

\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}

\sqrt[3]{10} : \sqrt[3]{2}

\frac{\sqrt{120}}{\sqrt{3}}

2. Calcule o valor de cada expressão.

\sqrt{6} · (\sqrt{15} + \sqrt{60})

\sqrt{3} · (\sqrt{54} – \sqrt{6})

(\sqrt{3} – 1) · (\sqrt{3} + 1)

(2 – \sqrt{2}) · (2 + \sqrt{2})

(\sqrt{2} + 1) · (\sqrt{2} + 1)

3. Encontre o valor aproximado das expressões.

(Considere:

\sqrt{5}

≃ 2,2.)

2 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5}

(5 \sqrt{5}) · (\sqrt{5^{4}})

{(\sqrt{5})}^{2} – 3 \sqrt{5}

\sqrt{125} : \sqrt{625}

\sqrt{45} + \sqrt{20} - 5 \sqrt{5}

\sqrt{5} + 2 \sqrt{25}

4. Efetue as operações.

\sqrt{2} : \sqrt[3]{2}

\sqrt[4]{3^{3}} \cdot \sqrt{3^{4}}

\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{2}}

\frac{\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[3]{6}}{\sqrt{15}}

5. Calcule a medida do perímetro e a da área dos retângulos representados a seguir.

Figura geométrica. Retângulo azul com medida do comprimento, abre parênteses, 2 mais raiz quadrada de 2, fecha parênteses, metros e medida do comprimento da largura, abre parênteses, 2 raiz quadrada de 2, fecha parênteses, metros.

Figura geométrica. Retângulo vermelho com medida do comprimento, abre parênteses, raiz quadrada de 5 mais 1, fecha parênteses, centímetros e medida do comprimento da largura, abre parênteses, raiz quadrada de 5 menos 1, fecha parênteses, centímetros.

Potenciação e radiciação com radicais

Observe uma potenciação com radicais.

{(\sqrt[5]{2})}^{4} = \sqrt[5]{2} · \sqrt[5]{2} · \sqrt[5]{2} · \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{2 · 2 · 2 · 2} = \sqrt[5]{2^{4}}

De modo geral, para efetuar a potenciação com um radical em que o radicando é número real positivo, elevamos o radicando ao expoente dado:

{(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}

, em que a > 0, n é um número natural, com n ⩾ 2, e m é um número inteiro.

Respostas e comentários

1. a) 8

1. b) 5

1. c)

3 \sqrt[3]{4}

1. d)

10 \sqrt{3}

1. e)

\sqrt{2}

1. f) 2

1. g)

\sqrt[3]{5}

1. h)

2 \sqrt{10}

2. a)

9 \sqrt{10}

2. b)

6 \sqrt{2}

2. c) 2

2. d) 2

2. e)

3 + 2 \sqrt{2}

3. a) 19,8

3. b) 275

3. c) menos1,6

3. d) 0,44

3. e) 0

3. f) 12,2

4. a)

\sqrt[6]{2}

4. b)

9 \sqrt[4]{3^{3}}

4. c)

\sqrt[6]{\frac{9}{8}}

4. d)

\sqrt[12]{\frac{16}{1 125}}

5. a) medida do perímetro:

2 (2 + 3 \sqrt{2})

métros medida da área:

4 (\sqrt{2} + 1)

métros quadrados

5. b) medida do perímetro:

4 \sqrt{5} cm

medida da área: 4 centímetros quadrados

Orientações e sugestões didáticas

• Após realizarem as atividades propostas, incentive os estudantes a se reunir com os colegas para que possam comparar as respostas obtidas e corrigir eventuais erros. Esse é o momento em que eles podem verificar diferentes métodos e processos de resolução, justificando-os.

• No estudo da potenciação e da radiciação com radicais, pode haver uma tendência à memorização dos procedimentos sem atribuir significado a eles. Sempre que possível, faça os estudantes recorrerem à definição dessas operações.

Página 52

Exemplos

•

{(\sqrt{5})}^{3} = \sqrt{5^{3}} = \sqrt{5^{2} \cdot 5} = 5 \sqrt{5}

•

{(\sqrt[3]{3})}^{‒ 2} = \sqrt[3]{3^{‒ 2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{3^{2}}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3^{2}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}

•

{(2 \sqrt[3]{3})}^{5} = 2^{5} · \sqrt[3]{3^{5}} = 32 \cdot \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3^{2}} = 32 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{3^{2}} = 96 \sqrt[3]{3^{2}}

•

{(6 \sqrt{4 - x})}^{2} = 6^{2} \cdot \sqrt{{(4 - x)}^{2}} = 36 \cdot (4 - x)

= 144 ‒ 36x, com x < 4

Para entender o procedimento da radiciação com radicais, compare as expressões:

\sqrt[2]{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[2]{9} = 3 e \sqrt[6]{729} = 3

As duas expressões são iguais a 3. Então:

\sqrt[2]{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[6]{729} = 3

De modo geral, para efetuar a radiciação fazemos:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdotn]{a},

em que a ⩾ 0 e m e n são números naturais maiores ou iguais a 2.

Exemplos

•

\sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[3 \cdot 2]{2} = \sqrt[6]{2}

•

\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1 000}{64}}} = \sqrt[2 · 3]{\frac{1 000}{64}} = \sqrt[6]{\frac{1 000}{64}} = \sqrt[6]{\frac{10^{3}}{2^{6}}} = \frac{\sqrt[6]{10^{3}}}{\sqrt[6]{2^{6}}} = \frac{\sqrt{10}}{2}

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Calcule as potências.

{(\sqrt{7})}^{3}

{(3 \sqrt{5})}^{2}

{(\sqrt{\frac{3}{4}})}^{3}

{(\sqrt[4]{9})}^{2}

{(2 \sqrt[5]{27})}^{4}

{(3 \sqrt{2 a + 1})}^{2}

2. Escreva, no caderno, como uma única raiz.

\sqrt{\sqrt[3]{64}}

\sqrt[8]{\sqrt[5]{6}}

\sqrt{3 \sqrt{4}}

2 \sqrt{2 \sqrt{2}}

3. Dados a = 5 +

\sqrt{3}

e b = 5 menos

\sqrt{3}

, determine:

a) a + b

b) a menos b

c) aelevado a 2

d) belevado a 2

e) a · b

f) b menos a

4. Classifique cada igualdade em verdadeira ou falsa.

\sqrt{\sqrt{2}} = {(\sqrt{2})}^{2}

\sqrt{\sqrt{9}} = \sqrt{3}

{(\sqrt[3]{2})}^{6} = 2^{2}

\sqrt[3]{3 \sqrt{3}} = \sqrt[6]{27}

Faça o que se pede.

Elabore uma expressão envolvendo operações com radicais cujo valor final seja um número racional.

6. Observe o paralelepípedo a seguir e determine a medida de seu volume.

Figura geométrica. Paralelepípedo amarelo com medida de comprimento, abre parênteses, 10 raiz quadrada de 2, fecha parênteses, centímetros, medida do comprimento da largura, abre parênteses, raiz quadrada de 10, fim raiz, menos 2, fecha parênteses, centímetros e medida do comprimento da altura, abre parênteses, raiz quadrada de 10, fim raiz, menos 2, fecha parênteses, centímetros.

Respostas e comentários

1. a)

7 \sqrt{7}

1. b) 45

1. c)

\frac{3 \sqrt{3}}{8}

1. d) 3

1. e)

144 \sqrt[5]{9}

1. f) 18a + 9, com a >

‒ \frac{1}{2}

2. a)

\sqrt[6]{64}

2. b)

\sqrt[40]{6}

2. c)

\sqrt[4]{36}

2. d)

\sqrt[4]{128}

3. a) 10

3. b)

2 \sqrt{3}

3. c)

28 + 10 \sqrt{3}

3. d)

28 - 10 \sqrt{3}

3. e) 22

3. f)

- 2 \sqrt{3}

4. a) falsa

4. b) verdadeira

4. c) verdadeira

4. d) verdadeira

5. Resposta pessoal.

(140 \sqrt{2} - 80 \sqrt{5}) {cm}^{3}

Orientações e sugestões didáticas

• Após a realização das atividades, peça aos estudantes que se organizem em duplas. Cada membro da dupla deve perguntar ao outro sobre as atividades que considerou mais difíceis, para então compararem as resoluções e, por fim, indicarem ao professor as dúvidas que ainda persistiram.

Página 53

4 Racionalização de denominadores

Algumas frações apresentam no denominador uma raiz não exata, ou seja, um número irracional. Dada uma dessas frações, podemos obter outra fração, equivalente a ela, que tenha como denominador um número racional. O procedimento usado para isso é chamado racionalização do denominador.

Esse procedimento é possível quando o denominador é um número com infinitas casas decimais não periódicas. Por exemplo, para calcular

\frac{1}{\sqrt{2}}

, sabemos que:

\sqrt{2}

= 1,4142135623730reticências

Teríamos, então:

Esquema. Algoritmo da divisão. No dividendo: número 1. No divisor: número 1 vírgula 4142135623730 reticências.

Mesmo que usássemos uma aproximação de

\sqrt{2}

, ou seja, 1,4142135, mas a divisão seria trabalhosa. Observe.

Lembre-se: Escreva no caderno!

Algoritmo da divisão. 1 dividido por 1 vírgula 4142135, igual a 0 vírgula 707106.
Na primeira linha, à esquerda, o número 1 vírgula 0000000. À direita, chave com o número 1 vírgula 4142135, dentro. Risco azul nas vírgulas do dividendo e do divisor, formando no dividendo o número 10 milhões e no divisor o número 14 milhões 142 mil 135.
Abaixo da chave o número 0, e à direita a vírgula.
À direita do número 10 milhões, foi acrescentado o algarismo 0 em azul, formando o número 100 milhões.
Abaixo da chave, à direita da vírgula, o número 7.
Abaixo do número 100 milhões, à esquerda, o sinal de subtração, à direita, o número 98 milhões 994 mil 945, alinhado ordem a ordem com o número da linha anterior.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, resto 1 milhão 5 mil e 55. À direita, acrescentamos dois algarismos 0, formando o número 100 milhões 505 mil e 500.
Abaixo da chave, à direita do número 7, os algarismos 0 e 7.
Abaixo do número 100 milhões 505 mil e 500, à esquerda, o sinal de subtração, à direita, o número 98 milhões 994 mil 945, alinhado ordem a ordem com o número da linha anterior.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, o resto 1 milhão 510 mil 555. À direita, acrescentamos o algarismo 0, formando o número 15 milhões 105 mil 550.
Abaixo da chave, à direita do número 7, o número 1.
Abaixo do número 15 milhões 105 mil 550, à esquerda, o sinal de subtração, à direita, o número 14 milhões 142 mil 135, alinhado ordem a ordem com o número anterior.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, resto 963 mil 415, alinhado ordem a ordem com o número da linha anterior. À direita, acrescentamos dois algarismos 0, formando o número 96 milhões 341 mil e 500.
Abaixo da chave, à direita do número 1, o números 0 e 6, formando o quociente 0 vírgula 707106.
Abaixo do número 96 milhões 341 mil e 500, à esquerda, o sinal de subtração, à direita, o número 84 milhões 852 mil 810, alinhado ordem a ordem com o número da linha anterior.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, resto 11 milhões 488 mil 690.

O processo de racionalização do denominador consiste em multiplicar a fração dada por uma fração equivalente a 1, de modo que o produto dos denominadores seja um número racional.

Então, no exemplo

\frac{1}{\sqrt{2}}

, temos:

Esquema. Fração 1 sobre raiz quadrada de 2, igual a fração 1 sobre raiz quadrada de 2 vezes 1, igual a fração 1 sobre raiz quadrada de 2 vezes fração raiz quadrada de 2 sobre raiz quadrada de 2, igual a fração 1 vezes raiz quadrada de 2 sobre raiz quadrada de 2 vezes raiz quadrada de 2, igual a fração raiz quadrada de 2 sobre raiz quadrada de 2 ao quadrado, é igual a fração raiz quadrada de 2 sobre 2. Os números 1 e a fração raiz quadrada de 2 sobre raiz quadrada de 2 estão em azul e com fio indicando que 1 é igual a fração raiz quadrada 2 sobre raiz quadrada de 2.

Note que, após a racionalização, obtemos uma fração equivalente à primeira, mas com denominador racional.

Calcular

\frac{\sqrt{2}}{2}

é mais simples que calcular

\frac{1}{\sqrt{2}}

Orientações e sugestões didáticas

Racionalização de denominadores

Objetivos

• Racionalizar denominadores.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero três da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero três da Bê êne cê cê porque trabalha a realização de cálculos com números reais.

Orientações

• Aqui vale destacar que o termo “racionalizar” vem de “tornar racional”. Nas expressões apresentadas com denominadores irracionais, torná-los racionais facilita os cálculos. O exemplo apresentado nesta página contribui para que os estudantes percebam a vantagem da racionalização do denominador.

(ê éfe zero nove ême ah zero três) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Página 54

Lembre-se: Escreva no caderno!

Exemplos

• Vamos racionalizar o denominador de

\frac{2}{3 \sqrt{8}}

\frac{2}{3 \sqrt{8}} = \frac{2}{3 \sqrt{8}} \cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}} = \frac{2 \sqrt{8}}{3 \cdot 8} = \frac{2 \sqrt{8}}{24} = \frac{\sqrt{8}}{12} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{12} = \frac{2 \sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{6}

• Vamos racionalizar o denominador de

\frac{3}{\sqrt[4]{3}}

\frac{3}{\sqrt[4]{3}} = \frac{3}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{\sqrt[4]{3^{3}}} = \frac{3 \sqrt[4]{3^{3}}}{\sqrt[4]{3^{4}}} = \frac{3 \sqrt[4]{3^{3}}}{3} = \sqrt[4]{3^{3}}

E quando, no denominador da fração, há uma adição algébrica em que pelo menos uma das parcelas é um número irracional?

Para entender por qual fração equivalente a 1 é necessário multiplicar as frações de modo que os denominadores sejam números racionais, observe o que ocorre quando, dados dois números reais a e b, fazemos abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses.

Aplicamos a propriedade distributiva:

Esquema. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, igual a, a ao quadrado menos ab mais ab menos b ao quadrado, é igual, a ao quadrado menos b ao quadrado. Com seta azul para a direita, do primeiro para o segundo parênteses, indicando a propriedade distributiva: a vezes a, a vezes menos b, b vezes a, b vezes menos b.

Então: abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses = aelevado a 2 menos belevado a 2

Usando esse resultado, temos, por exemplo:

(\sqrt{2} + 3) \cdot (\sqrt{2} - 3) = {(\sqrt{2})}^{2} - 3^{2} = 2 - 9 = - 7

(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) = {(\sqrt{7})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 7 - 3 = 4

(4 - \sqrt{11}) \cdot (4 + \sqrt{11}) = 4^{2} - {(\sqrt{11})}^{2} = 16 - 11 = 5

Exemplos

• Vamos racionalizar o denominador de

\frac{3}{\sqrt{3} + 1}

Para racionalizá-lo, vamos multiplicar a fração por

\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}

\frac{3}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{3 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}} = \frac{3 \sqrt{3} - 3}{3 - 1} = \frac{3 \sqrt{3} - 3}{2}

• Vamos racionalizar o denominador de

\frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}

Nesse denominador, há uma adição de dois números irracionais. Para racionalizá-lo, vamos multiplicar a fração por

\frac{\sqrt{2} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}

\frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{5})}{{(\sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5}}{2 - 5} = - \frac{(2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5})}{3}

Orientações e sugestões didáticas

• Nesta página são apresentados outros exemplos de racionalização dos denominadores de alguns números. Reproduza alguns desses exemplos no quadro e peça aos estudantes que completem os cálculos.

• Se julgar conveniente, comente com os estudantes que na racionalização de

\frac{2}{3 \sqrt{8}}

poderíamos multiplicar o numerador e o denominador por

\sqrt{2}

. O importante é obter no denominador uma raiz que resulte em um número racional.

Página 55

• Vamos racionalizar o denominador de

\frac{\sqrt{6}}{4 - \sqrt{5}}

\frac{\sqrt{6}}{4 ‒ \sqrt{5}} \cdot \frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6} · (4 + \sqrt{5})}{4^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} = \frac{4 \sqrt{6} + \sqrt{30}}{16 - 5} = \frac{4 \sqrt{6} + \sqrt{30}}{11}

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Racionalize o denominador dos números a seguir.

\frac{1}{\sqrt{3}}

\frac{3}{2 \sqrt{5}}

\frac{2}{\sqrt{8}}

\frac{\sqrt{5} ‒ \sqrt{3}}{\sqrt{3}}

\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}

\frac{10}{2 - \sqrt{2}}

\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - 1}

\frac{\sqrt{11} + 1}{\sqrt{11} - 1}

\frac{7}{2 + \sqrt{5}}

2. Determine o número a que satisfaz a expressão a seguir.

Quadro. Folha branca escrito: fração 2 sobre raiz quadrada de 98 menos fração 2 sobre raiz quadrada de 32, é igual, a vezes raiz quadrada de 2.

3. Racionalize o denominador e faça o que se pede.

a) Sabendo que

\sqrt{5}

é aproximadamente 2,24 (aproximação até os centésimos), determine o valor aproximado de

\frac{4}{\sqrt{5} - 1}

b) Sabendo que

\sqrt{7}

é aproximadamente 2,65 e que

\sqrt{3}

é aproximadamente 1,73 (aproximações até os centésimos), determine o valor aproximado de

\frac{20}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}

4. Simplifique as expressões.

\frac{\sqrt{120}}{\sqrt{3}}

\frac{\sqrt[3]{a^{10}}}{\sqrt[3]{a^{4}}}

, com a ≠ 0

\frac{\sqrt[4]{81 x^{7}}}{\sqrt[4]{x^{3}}}

, com x > 0

\frac{\sqrt{5} · \sqrt{8}}{\sqrt{10}}

5 Potência com expoente fracionário

Vimos como é definida uma potência de base real e expoente inteiro. O expoente de uma potência, porém, pode ser um número na fórma de fração; por exemplo:

3^{\frac{1}{2}}

{(\frac{1}{5})}^{\frac{4}{3}}

2^{\frac{2}{5}}

As propriedades de potências com expoentes inteiros vistas neste Capítulo são válidas nos casos em que o expoente é um número na fórma de fração e a base é um número real positivo. Assim, temos, por exemplo:

Sentença matemática. 3 elevado a fração 1 meio, igual a raiz quadrada de, abre parênteses, 3 elevado a fração 1 meio, fecha parênteses, ao quadrado, igual a raiz quadrada de 3 elevado a fração 1 meio vezes 3 elevado a fração 1 meio, igual, raiz quadrada de 3 elevado a, abre parênteses, fração 1 meio mais fração 1 meio, fecha parênteses, igual a raiz quadrada de 3 elevado a 1, é igual a raiz quadrada de 3. Com fio azul do primeiro sinal de igual com cota para primeira propriedade dos radicais e fio azul do terceiro sinal de igual com cota para propriedade do produto de potências de mesma base.

Portanto:

3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}

Respostas e comentários

1. a)

\frac{\sqrt{3}}{3}

1. b)

\frac{3 \sqrt{5}}{10}

1. c)

\frac{\sqrt{2}}{2}

1. d)

\frac{\sqrt{15} - 3}{3}

1. e)

\sqrt{3} + 1

1. f)

5 (\sqrt{2} + 2)

1. g)

\frac{3 (\sqrt{5} - \sqrt{3)}}{2}

1. h)

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}

1. i)

\frac{6 + \sqrt{11}}{5}

1. j)

- 14 + 7 \sqrt{5}

‒ \frac{3}{28}

3. a) 3,24

3. b) 4,60

4. a)

2 \sqrt{10}

4. b) aelevado a 2

4. c) 3x

4. d) 2

Orientações e sugestões didáticas

• É importante salientar que a ideia principal, na atividade 3, é substituir as raízes pelos seus valores aproximados depois da racionalização em cada expressão.

• Na atividade 4, não é necessário racionalizar os denominadores, pois em todos os itens é possível simplificar as expressões.

Potência com expoente fracionário

Objetivos

• Calcular potências com expoente fracionário.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero três da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero três da Bê êne cê cê porque os estudantes deverão calcular potências com expoentes fracionários.

Orientações

• Inicie o tópico comentando com os estudantes que as propriedades de potências com expoentes inteiros continuam válidas quando o expoente da potência é um número na fórma de fração e a base é um número real positivo.

• Podemos estender a definição para uma potência de base negativa. Como o denominador do expoente será o índice da raiz, se ele for ímpar a base poderá ser negativa. Por exemplo:

abre parêntesesmenos27

)^{\frac{1}{3}}

\sqrt[3]{‒ 27}

= menos3

(ê éfe zero nove ême ah zero três) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Página 56

Procedendo do mesmo modo:

•

{(\frac{1}{5})}^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{{[{(\frac{1}{5})}^{\frac{4}{3}}]}^{3}} = \sqrt[3]{{(\frac{1}{5})}^{\frac{4}{3}} \cdot {(\frac{1}{5})}^{\frac{4}{3}} \cdot {(\frac{1}{5})}^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{(\frac{1}{5})}^{4}}

•

2^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{{(2^{\frac{2}{5}})}^{5}} = \sqrt[5]{2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2}{5}}} = \sqrt[5]{2^{2}}

Da mesma fórma, podemos escrever outras potências de expoente fracionário como um radical. De modo geral:

Para todo número real positivo a, m inteiro e n natural, com n ⩾ 2, temos:

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Exemplos

•

4^{- \frac{1}{2}} = 4^{- \frac{1}{2}} = \sqrt[2]{4^{- 1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

•

{(\frac{2}{7})}^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{{(\frac{2}{7})}^{3}} = \sqrt[4]{\frac{8}{343}}

•

π^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{π^{2}}

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Expresse cada potência na fórma de radical.

43^{\frac{1}{9}}

7^{‒ \frac{2}{3}}

{(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}

{(0, 25)}^{\frac{5}{12}}

2. Calcule o valor das expressões.

81^{\frac{1}{4}} + 81^{= \frac{1}{4}}

8^{\frac{1}{3}} \cdot 125^{\frac{2}{3}}

343^{\frac{4}{3}} : 49^{0, 5}

36^{\frac{3}{2}} - 32^{\frac{2}{5}}

3. Expresse as potências como radicais e os radicais como potências.

\sqrt{\sqrt{5^{2}}}

{(3^{2})}^{\frac{1}{3}}

\sqrt[5]{\sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{2}}

3 \sqrt[3]{2 \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}

\sqrt[3]{\sqrt{18}}

{(2^{\frac{1}{5}})}^{\frac{2}{3}}

\sqrt{\sqrt{\sqrt{30}}}

\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}

4. Calcule o valor de n para que:

{(\frac{1}{9})}^{n} = 2 187

Respostas e comentários

1. a)

\sqrt[9]{43}

1. b)

\sqrt[3]{\frac{1}{7^{2}}}

1. c)

\sqrt[4]{\frac{1}{4}} ou \sqrt{\frac{1}{2}}

1. d)

\sqrt[12]{0, 25^{5}} ou \sqrt[6]{0, 5^{5}}

2. a)

\frac{10}{3}

2. b) 50

2. c) 343

2. d) 212

3. a)

5^{\frac{1}{2}}

3. b)

\sqrt[3]{3^{2}}

3. c)

3^{\frac{1}{10}} \cdot 2^{\frac{1}{20}}

3. d)

3 · 2^{\frac{1}{2}}

3. e)

1 8^{\frac{1}{6}}

3. f)

\sqrt[15]{2^{2}}

3. g)

3 0^{\frac{1}{8}}

3. h)

2^{\frac{7}{8}}

- \frac{7}{2}

Orientações e sugestões didáticas

• Durante a realização das atividades, oriente os estudantes a escrever os cálculos de fórma organizada em seus cadernos. Isso contribui para que consigam desenvolver o raciocínio de maneira organizada, evitando erros de cálculo.

Página 57

6 Porcentagem

Situação 1

Leia o texto a seguir.

Com base no Sistema Alarmes (Alerta de Área com Monitoramento Estimado por Satélite), do Laboratório de Aplicações de Satélites Ambientais da Universidade Federal do Rio de Janeiro (Lasa-ú éfe érre jota), o Instituto Socioambiental da Bacia do Alto Paraguai SOS Pantanal divulgou que os incêndios de 2020 no Pantanal foram os piores da história do bioma, resultando em mais de 26% de seu território consumidos pelo fogo, até então representado por ..15034903 hectares de medida de área, atingindo principalmente o Pantanal norte (Poconé, Barão de Melgaço e Cáceres) e a Serra do Amolar, no Pantanal sul.

Fotografia. Pastagem. Na lateral esquerda e parte inferior, predomina cor preta e tons de marrom, com fumaça nas partes inferior e superior. No centro e parte superior direita, áreas em tons de verde e de bege. Entre uma área e outra, já uma linha branca — Vista aérea de área de pastagem em que parte dela foi atingida por incêndio florestal no Pantanal na margem da Rodovia Transpantaneira Mato Grosso-060, Poconé (Mato Grosso), 2020.

No texto, há um dado em fórma de porcentagem: 26%

Esse valor significa “26 em cada 100” e pode ser expresso como

\frac{26}{100}

ou 0,26.

Segundo os dados, foram consumidos pelo fogo 26% da medida de área de ..15034903 hectares. Uma das fórmas de calcular 26% de ..15034903 é:

26% de ..15034903 =

\frac{26}{100}

· ..15034903 ≃ ..3909075

Então, ..3909075 dos ..15034903 hectares do território pantaneiro foram consumidos pelo fogo.

Situação 2

Em uma loja de eletrodomésticos, certo modêlo de televisor custava R$ 1.500,00mil quinhentos reais. Depois de um aumento, esse aparelho passou a custar R$ 1.620,00mil seiscentos e vinte reais. Vamos calcular o aumento em porcentagem.

O aumento no preço foi de: R$ 1.620,00mil seiscentos e vinte reais menos R$ 1.500,00mil quinhentos reais = R$ 120,00cento e vinte reais

Para calcular a taxa percentual t que esse aumento representa em relação ao valor inicial, fazemos:

t \cdot 1 500 = 120 \Rightarrow t = \frac{120}{1 500} = 0, 08 = \frac{8}{100} = 8 %

Logo, o aumento no preço foi de 8%.

Situação 3

Joana comprou um jôgo cujo preço original era R$ 72,00setenta e dois reais, mas estava em promoção, com desconto de 30%. Ao passar no caixa, como tinha o cartão de fidelidade da loja, Joana conseguiu mais um desconto de 10% sobre o valor promocional. Quanto ela pagou pelo jôgo?

Vamos responder a essa pergunta calculando o preço do jôgo após cada desconto.

Calculamos o preço do jôgo após o 1º desconto:

Esquema. 72 reais menos 0 vírgula 30 vezes 72 reais, igual a 72 reais menos 21 reais e 60 centavos, é igual a 50 reais e 40 centavos. Com fio azul na multiplicação do número 0 vírgula 30 por 72 reais com cota para desconto de 30 por cento sobre o preço inicial.

Orientações e sugestões didáticas

Porcentagem

Objetivos

• Retomar o conceito de porcentagem.

• Calcular acréscimos e descontos.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero cinco e ê éfe zero nove ême ah um oito e da competência específica 6 da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero cinco, pois serão exploradas situações que envolvem o cálculo de descontos e acréscimos, bem como apresentadas situações que envolvem o cálculo de taxas percentuais sucessivas com ou sem o uso de calculadora. Também favorece a habilidade ê éfe zero nove ême ah um oito ao trabalhar e expressar medida de área muito grande como o hectare.

Orientações

• O conceito de porcentagem é retomado por meio de diferentes situações. Sempre que possível, oriente os estudantes a mobilizar as representações nas fórmas de fração e decimal de uma porcentagem, pois isso pode contribuir não somente para a apreensão desse conceito como também na otimização dos cálculos.

• A situação 1 mostra como o conceito de porcentagem está presente no cotidiano. Chame a atenção dos estudantes para a unidade de medida de área empregada no texto (hectare, representado por agá ah). Verifique o que eles já sabem sobre essa unidade de medida e então explique que é bastante empregada para medir áreas rurais e que, 1 éctare corresponde a .10000 métros quadrados. Amplie a situação proposta e informe que, em 2021, o Pantanal teve 9% de seu território incendiado; então, peça a eles que calculem quantos hectares foram queimados em 2021. (aproximadamente ..1353141 hectares)

• Conversar com os estudantes sobre assuntos como esse favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, da macroárea Meio Ambiente.

• A situação 2 expressa um aumento por meio de uma porcentagem. Converse com os estudantes sobre situações cotidianas em que devemos fazer esse tipo de cálculo. Reproduza o cálculo no quadro e tire as eventuais dúvidas da turma.

• As situações 3 e 4 mostram como calcular descontos e acréscimos sucessivos. Converse com os estudantes sobre situações cotidianas em que esse tipo de cálculo é aplicado.

(ê éfe zero nove ême ah zero cinco) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Como o segundo desconto foi aplicado sobre o valor promocional, temos:

Esquema. 50 reais e 40 centavos menos 0 vírgula 10 vezes 50 reais e 40 centavos, igual a 50 reais e 40 centavos menos 5 reais e 40 centavos, é igual a 45 reais e 36 centavos. Com fio azul no primeiro valor de 50 reais e 40 centavos com cota para, valor promocional. Com fio azul na multiplicação do número 0 vírgula 10 por 50 reais e 40 centavos com cota para desconto de 10 por cento sobre o valor promocional.

Portanto, após os descontos, Joana pagou R$ 45,36quarenta e cinco reais e trinta e seis centavos pelo jôgo.

Observação

Ter dois descontos sucessivos, o primeiro de 30% e o seguinte de 10%, não é equivalente a um desconto de 40%. Caso Joana tivesse recebido apenas um desconto de 40%, o preço pago pelo jôgo seria:

R$ 72,00setenta e dois reais menos 0,40 ⋅ R$ 72,00setenta e dois reais = R$ 43,20quarenta e três reais e vinte centavos

Situação 4

Paula tem uma loja de calçados. Em determinada ocasião, ela reduziu o preço de todos os calçados em 15%. Depois, com o intuito de voltar ao preço original, Paula aumentou o preço em 15%. Ela atingiu o objetivo?

Para verificar, vamos ver o que ocorre quando um valor x sofre um desconto de 15% seguido de um aumento de 15%.

•

preço após o desconto:

x - 0,15 - x = 0,85 x

• preço com o aumento sobre o novo valor:

0,85 x + 0,15 \cdot 0,85 x = 0,85 x + 0,1275 x = 0, 9775 x

Assim, um produto com preço x, após um desconto de 15% seguido de um aumento de 15%, passará a custar 0,9775x ou 97,75% de x; ou seja, o preço será menor que o original. Portanto, Paula não atingiu o objetivo.

Para analisar

Antes de comprar um produto, é sempre interessante pesquisar. Nem sempre um produto anunciado em promoção está realmente mais barato que antes. Alguns lojistas aumentam o preço dos produtos para depois oferecer um desconto, o que pode não ser tão vantajoso quanto parece ao consumidor. Leia a seguinte situação.

Ana estava acompanhando o preço de certo refrigerador todos os dias no site de uma loja. Um dia, a loja anunciou que todos os refrigeradores estavam com 10% de desconto. Porém, ao checar o site, Ana percebeu que o preço do refrigerador havia aumentado 11% antes dessa oferta.

• Em sua opinião, a promoção realmente era vantajosa?

Situação 5

Alex investiu R$ 1 000,00mil reais em um fundo de investimento que rende 1% ao fim de cada mês, sempre calculado sobre o valor total que há no fundo naquele mês (valor do mês anterior mais rendimento).

Observe como Alex verificou, usando uma calculadora, o valor que terá ao fim de 4 meses, caso não mexa no dinheiro.

Respostas e comentários

Para analisar: Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que, nesse caso, o valor do refrigerador era 99,9% do valor inicial, ou seja, o desconto foi de apenas 0,1%.

Orientações e sugestões didáticas

• Na situação 3, é importante que os estudantes compreendam que devemos calcular o primeiro desconto sobre o valor inicial e que o segundo desconto deve ser aplicado tomando como referência o valor obtido no primeiro cálculo.

• Se julgar oportuno, antes de mostrar a resolução do problema apresentado na situação 4, peça aos estudantes que o resolvam utilizando suas estratégias pessoais. Também, nesse caso, é importante que eles compreendam que o segundo cálculo terá como referência o valor que já sofreu alteração após o primeiro cálculo.

• Aproveite o boxe Para analisar e pergunte à turma quem conhece alguém que já passou pela mesma situação que Ana ou alguma situação parecida. Chame a atenção para a importância de pesquisar e/ou acompanhar o preço de determinado produto para evitar situações como essa.

• A situação 5 mostra como calcular juro composto com o auxílio de uma calculadora. A ideia não é definir juro composto nem formalizar o cálculo. Se julgar necessário, proponha aos estudantes uma pesquisa e uma breve apresentação do desenvolvimento histórico da ideia de juro e seus diferentes regimes.

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Ilustração. Alex, homem negro, calvo, cabelo castanho, vestindo camisa azul, cinto marrom, calça verde e sapato marrom. Em pé, segura com a mão esquerda uma calculadora, com destaque ampliado do visor com o texto: 1 0 1 0. A mão direita aponta para seu braço esquerdo. Balão de fala com o texto: Usando uma calculadora, digitei inicialmente: 1 0 0 0. A seguir, digitei as teclas: mais 1 por cento. Dessa forma, calculei o valor inicial mais 1 por cento desse valor e obtive o valor ao fim do primeiro mês.

Ilustração. Alex, mesmo personagem anterior. Em pé, segura calculadora com a mão direita, com destaque ampliado para o visor com o texto: 1 0 2 0 vírgula 1. A mão esquerda, fechada, está apoiada na cintura. Balão de fala com o texto: Ao digitar mais 1 por cento, calculei o novo valor abre parênteses 1 0 1 0 fecha parênteses mais 1 por cento desse novo valor.

Ilustração. Alex, mesmo personagem anterior. Em pé, segura calculadora com a mão direita, com destaque ampliado para o visor com o texto: 1 0 4 0 6 0 4 0 1. A mão esquerda, fechada, apenas com o dedo indicador apontando para a calculadora. Balão de fala com o texto: Assim, digitando, sucessivamente, as teclas mais 1 por cento, é possível obter os valores ao fim dos próximos meses. Fazendo esse procedimento por 4 vezes, obtive que, ao fim de 4 meses, terei aproximadamente mil e quarenta reais e sessenta centavos.

Para analisar

Converse com um colega sobre a importância de fazer um investimento.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Calcule as porcentagens no caderno.

a) 15% de 130

b) 2% de R$ 3 450,00três mil quatrocentos e cinquenta reais

c) 25% de duas.000 pessoas

d) 12,5% de 32

e) 110% de R$ 350,00trezentos e cinquenta reais

2. Certo modêlo de celular custava R$ 850,00oitocentos e cinquenta reais à vista em uma loja. Em uma promoção, os preços de todos os produtos da loja tiveram um desconto de 2%. Porém, para pagamento a prazo, é cobrada uma taxa de 5% sobre o valor final do produto. Quanto uma pessoa pagaria por um celular desse modêlo caso optasse por comprar esse celular a prazo durante a promoção?

3. Observe a ilustração e responda.

Qual é o percentual de desconto oferecido no preço deste computador?

Ilustração. Em uma mesa azul, computador preto e cinza com CPU, monitor, mouse e teclado. Ao fundo, uma placa com o texto em azul e preto: De: mil e trezentos reais por: mil duzentos e nove reais. O primeiro valor tem um x riscado por cima.

Segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É), em 2010 a população brasileira era de ..190755799 pessoas. Já em 2021, a população estimada era de ..213317639 pessoas. Usando uma calculadora, obtenha a taxa de crescimento aproximada, em porcentagem.

Maria aplicou R$ 12 000,00doze mil reais em um investimento que rende 0,8% ao mês. Usando uma calculadora, verifique quanto Maria terá após 5 meses.

Fabio comprou um automóvel de R$ 40 000,00quarenta mil reais, que vai sofrer uma desvalorização de 10% ao ano. Usando uma calculadora, verifique quanto o automóvel vai desvalorizar, em real, após 4 anos.

Elabore:

a) um problema em que seja necessário calcular o percentual de desconto ou de aumento de um produto;

b) um problema em que seja necessário calcular um valor após aumentos ou diminuições sucessivas.

• Passe seus problemas para um colega resolver e resolva os problemas criados por ele.

Respostas e comentários

Para analisar: Resposta pessoal.

1. a) 19,5

1. b) R$ 69,00sessenta e nove reais

1. c) quinhentas pessoas

1. d) 4

1. e) R$ 385,00trezentos e oitenta e cinco reais

2. R$ 874,65oitocentos e setenta e quatro reais e sessenta e cinco centavos

3. 7% de desconto

4. A taxa de crescimento aproximada foi de 11,83%.

5. aproximadamente R$ 12 487,74doze mil quatrocentos e oitenta e sete reais e setenta e quatro centavos

6. R$ 13 756,00treze mil setecentos e cinquenta e seis reais

7. Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• No boxe Para analisar, espera-se que os estudantes percebam que ao investir certa quantia em dinheiro obtém-se uma renda extra que pode ser gasta com bens e consumos que se deseja ou que sejam necessários sem se endividar.

• Antes de propor a realização das atividades, converse com os estudantes sobre a importância de fazer estimativas em casos de porcentagem. Usar referências como 10%, 25%, 50% e 75%, que, em geral, são mais simples de calcular, pelo menos de fórma aproximada, auxilia nas diferentes situações do dia a dia. Nessas atividades, eles podem fazer essa estimativa e depois conferir.

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Educação Financeira

faça as atividades no caderno

Quando o barato sai caro

Durante um encontro entre amigos, o assunto era economizar. Eles comentavam, especificamente, situações em que a tentativa de economizar não havia dado muito certo. Observe.

Ilustração. Quatro amigos ao redor de uma mesa azul. Do lado esquerdo, uma mulher e um homem. A mulher é branca, cabelo castanho liso, veste blusa branca e saia rosa. Está sentada em cadeira amarela. Balão de fala com o texto: Para gastar menos, resolvi eu mesma pintar as paredes de casa. E o resultado foi um desastre! Só desperdicei tinta e material. Ficou tudo manchado! Tive de contratar um pintor para consertar o que fiz errado. Ao lado dela, homem branco, cabelo e barba castanhos, vestindo camiseta verde e calça verde, sentado em cadeira. Na mão esquerda, segura um celular. Balão de fala com o texto: Eu também me arrependi de uma economia que fiz. Abasteci o carro em um posto de cobrava mais barato; depois, descobri que o combustível era de péssima qualidade. Precisei até trocar algumas peças do motor por causa do estrago. Do lado direito, uma mulher e um homem. O homem é negro, cabelo preto e enrolado, óculos, veste uma blusa vermelha e calça azul. Está sentado em cadeira. Com a mão direita, pinça o tecido da blusa e puxa. Balão de fala com o texto: Falando em má qualidade, olha só esta blusa! É a primeira vez que uso e já está descosturando. Ainda bem que paguei bem baratinho. Ao lado dele, em pé, mulher branca, cabelo castanho liso, vestindo blusa amarela, cinto marrom e calça verde. Na mão esquerda, segura um papel azul retangular. Balão de fala com o texto: Barato foi quanto eu paguei por um fim de semana na praia. Comprei em um site de compras coletivas. Olha aqui o comprovante! Mas... não acredito! Só vale até a próxima semana! Eu não tinha visto isso! E agora? Não vou conseguir usar.

O que você faria?

Reúna-se com seus colegas e leiam atentamente a conversa anterior. Depois, discutam a respeito do que compreenderam. Vocês acham que, analisando as situações apresentadas, é possível entender o significado da expressão “o barato sai caro”?

Após conversarem sobre isso, deem sua opinião sobre os acontecimentos descritos, completando as frases a seguir no caderno.

a) Quando vejo um posto de combustível oferecendo gasolina por um preço inferior ao de todos os outros da região, eureticências

b) Se decido pintar minha casa e verifico que o pintor cobra um preço muito alto, eureticências

c) Caso encontre uma roupa com preço muito baixo, eureticências

d) As ofertas dos sites de compras coletivas são incríveis; então, eureticências

Respostas e comentários

O que você faria?: a) Escolho o de menor preço, pois é importante economizar; peço ao frentista para fazer um teste de qualidade com o combustível, uma exigência que é direito do consumidor.

O que você faria?: b) Poupo dinheiro por mais um tempo; pesquiso os preços de outros profissionais; tento pintar sozinho ou chamo algum amigo que saiba fazer isso.

O que você faria?: c) Vejo se me agrada e, em caso positivo, já compro; observo para verificar a procedência da roupa; só compro se tenho alguma referência da marca.

O que você faria?: d) Vejo se há alguma promoção naquele restaurante que adoro; pesquiso sempre para verificar se é realmente uma promoção que vale a pena; avalio se preciso mesmo do produto antes de comprar.

Orientações e sugestões didáticas

Educação Financeira

Objetivos

• Refletir sobre o uso consciente de recursos financeiros.

• Trabalhar o Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira, da macroárea Economia.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero cinco, da competência geral 7 e da competência específica 8 da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero cinco porque os estudantes terão de resolver problemas que envolvam porcentagens.

Orientações

• Nesta seção, são apresentadas algumas situações comuns no cotidiano, nas quais, ao pensar estar poupando, são tomadas atitudes que levam a prejuízos, uma vez que se pagou por um produto ou serviço que não pôde ser aproveitado de maneira satisfatória por ser de má qualidade ou por ter o prazo de validade expirado. Nesse sentido, o estudante discutirá situações em que é preciso avaliar e refletir sobre as consequências de suas decisões, desenvolvendo assim o Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira, da macroárea Economia.

• Antes de os estudantes discutirem as questões propostas em O que você faria?, verifique se compreenderam as falas de cada personagem. Por exemplo, da esquerda para a direita: 1º caso, ao verificar o custo do serviço de um pintor, a pessoa decidiu fazer a pintura por conta própria e, por falta de habilidade, o resultado foi insatisfatório. Assim, obteve prejuízo, pois, além de ter desperdiçado material, teve de contratar um pintor, arcando com mais custos. No 2º caso, a pessoa pagou mais barato ao abastecer o tanque do carro, mas teve gastos imprevistos com a troca de peças do motor, em decorrência de um combustível sem qualidade. No 3º caso, a pessoa adquiriu um produto “baratinho” e, provavelmente, de baixa qualidade. O 4º caso é um exemplo de compra por impulso sem atentar para uma série de itens, como: dias em que a promoção é válida, regras em caso de troca, prazo de entrega, data de validade de produtos etcétera Em seguida, a intenção é que os estudantes simulem cada situação e apresentem sua opinião. Não se trata de um julgamento de opiniões; a intenção é refletir sobre o que se ganha e o que se perde em cada escolha.

Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

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Calcule

Suponha que você esteja visitando um site de compras coletivas e encontre ofertas como estas.

Ilustração. Três computadores pretos com monitor, teclado, mouse e CPU. À esquerda, monitor com fundo branco e o texto em preto: Viaje para os maravilhosos parques da Jupiterlândia! Desconto de 40 por cento de: 2 mil 199 reais por 1 mil 319 reais e 40 centavos. Linha vermelha por cima do primeiro valor. No centro, monitor com fundo branco e o texto em preto: Só hoje!! Pizza de calabresa: de 31 reais e 50 centavos por apenas: 15 reais e 75 centavos. Compre agora! Linha vermelha por cima do primeiro valor. À direita, monitor com fundo branco e o texto em preto: Economize 420 reais! Desconto de 70 por cento na compra de um tablet 7 ponto 0.

Agora, responda às questões a seguir.

a) Quanto uma pessoa economizaria, em valor e em percentual, ao aproveitar cada oferta?

b) Quanto você desperdiçaria caso realizasse a compra da 1ª oferta e não conseguisse viajar (por falta de tempo, imprevistos etcétera)?

c) Qual seria o valor total, sem desconto, do tablet anunciado na 3ª oferta?

Reflita

a) Você já comprou algum produto barato que não tinha boa qualidade?

b) O produto mais caro é sempre melhor?

c) Pergunte aos seus pais, familiares e amigos se já passaram por situações em que o “barato saiu caro”.

d) Os sites de compras coletivas sempre valem a pena?

e) Procure exemplos de produtos e situações em que não compensa adquirir algo mais caro e durável.

f) Existem situações em que o mais barato, mesmo sendo descartável, é uma opção interessante?

Dica

É importante pesquisar e economizar para não desperdiçar dinheiro. Mas não se esqueça: verifique sempre as condições do produto e da oferta!

Ilustração. Andando em uma rua, menino branco, cabelo castanho, vestindo camiseta verde, bermuda cinza e tênis azul e branco. O tênis do pé esquerdo está com a sola aberta, sendo visível parte do pé esquerdo. Carrega, com a mão esquerda, um skate vermelho, branco e azul. Apoiado nas costas, outro tênis, preto e azul. Com a mão direita, segura os cadarços do tênis. Ao fundo, uma loja vermelha com vitrine com vários modelos e cores de tênis. Na vitrine, placa vermelha com o texto: Promoção. Acima, presa no telhado, placa amarela com o texto em marrom: Calçados.

Respostas e comentários

Calcule: a) Na 1ª oferta, economizaria 40%, ou seja, R$ 879,60oitocentos e setenta e nove reais e sessenta centavos. Na 2ª oferta, 50%, ou seja, R$ 15,75quinze reais e setenta e cinco centavos. Na 3ª oferta, a economia seria de 70%, ou seja, R$ 420,00quatrocentos e vinte reais.

Calcule: b) R$ 1 319,40mil trezentos e dezenove reais e quarenta centavos

Calcule: c) R$ 600,00seiscentos reais

Reflita: Respostas pessoais.

Orientações e sugestões didáticas

• Em Calcule, o foco da discussão são os sites de compras coletivas. É importante salientar para a turma que devem ser verificadas todas as condições da oferta e a confiabilidade da loja antes de efetuar uma compra pela internet.

• Em Reflita, espera-se que os estudantes tragam exemplos reais para compartilhar com os amigos e percebam que o custo de um produto ou serviço não é o único item que deve ser considerado ao tomar decisões. Deve-se pensar se o custo é baixo porque o produto é de má qualidade, se o produto é durável, se está no prazo de validade etcétera e, principalmente, se o produto é adequado para as nossas necessidades. Por exemplo, se pensarmos em uma festa na qual vários adereços são distribuídos entre os convidados, os produtos são descartáveis, mas cumprem seu objetivo naquele momento, diferentemente de outras situações em que é importante optar por algo durável, para evitar uma nova compra. Por argumentar com base em exemplos reais, posicionando-se eticamente em relação a si mesmos e aos outros, e por ter de interagir com seus pares, a competência geral 7 e a competência específica 8 da Bê êne cê cê têm o seu desenvolvimento favorecido.

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Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Gráficos e média aritmética

Em 2019, havia no Brasil 131,2 milhões de pessoas com algum tipo de rendimento proveniente de trabalho ou de outras fontes, como aposentadoria, aluguel e programas de transferência de renda.

Observe, no gráfico a seguir, o rendimento médio mensal das pessoas residentes em cada região do Brasil. A linha vermelha está na altura correspondente ao rendimento médio mensal de todas as pessoas que declararam ter algum tipo de rendimento.

Gráfico. Título do gráfico de barras verticais: rendimento médio mensal por região do Brasil em 2 mil e 19. Eixo horizontal perpendicular a uma eixo vertical. O eixo vertical tem 7 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima com os valores em reais: 0, 500, 1 mil, 1 mil e 500, 2 mil, 2 mil e 500 e 3 mil. Ele está rotulado como rendimento médio mensal. No eixo horizontal estão indicadas as regiões brasileiras: Nordeste, Norte, Sul, Sudeste e Centro-Oeste. Ele está rotulado como Região. Sobre o eixo horizontal há 5 barras verticais azuis com a mesma medida de largura, indicando que as pessoas que residem na Região Nordeste tem, em média, um rendimento mensal de 1 mil 510 reais, as pessoas que residem na Região Norte tem, em média, um rendimento mensal de 1 mil 601 reais, as pessoas que residem na Região Sul tem, em média, um rendimento mensal de 2 mil 499 reais. as pessoas que residem na Região Sudeste tem, em média, um rendimento mensal de 2 mil 645 reais e as pessoas que residem na Região Centro-Oeste tem, em média, um rendimento mensal de 2 mil 498 reais. Linha da média na horizontal e em vermelho, entre os valores 2 mil reais e 2 mil e 500 reais do eixo vertical para as barras, indicando que o rendimento médio mensal de todos os brasileiros que declararam ter algum tipo de rendimento é de 2 mil 244 reais.

Fonte: BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É). Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua 2012-2019. Brasília, Distrito Federal: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, [2020?].

Ilustração. Menino negro, cabelo castanho enrolado, vestindo camiseta amarela e bermuda verde, com a mão esquerda nas costas e a mão direita fechada, apenas com o dedo indicador apontado para cima. Balão de fala com o texto: Os brasileiros que declaram possuir algum rendimento recebiam, em média, 2 mil 244 reais por mês, ou seja, esse seria o valor da renda mensal de todas as pessoas nessas condições se recebessem o mesmo valor mensal.

Note que:

• o rendimento médio mensal das pessoas residentes nas regiões Nordeste e Norte está abaixo do rendimento médio mensal de todos os brasileiros;

• o rendimento médio mensal das pessoas residentes nas regiões Sul, Sudeste e Centro-Oeste está acima do rendimento médio mensal de todos os brasileiros;

• o rendimento médio mensal das pessoas residentes na região Sudeste é o mais alto comparando com as demais regiões;

• o rendimento médio mensal das pessoas residentes na região Nordeste é o mais baixo comparando com as demais regiões.

Para pensar

1. Faz sentido construir um gráfico de setores com base nos dados do gráfico de barras anterior? Por quê?

2. Faz sentido construir um gráfico de linha com base nos dados do gráfico de barras anterior? Por quê?

Respostas e comentários

Para pensar: 1. Espera-se que os estudantes respondam que não. Em um gráfico de setores, os dados adicionados compõem o todo de um aspecto da realidade, e isso não ocorre com os dados do gráfico de barras anterior.

Para pensar: 2. Espera-se que os estudantes respondam que não. Os gráficos de linha são usados para mostrar a evolução de um dado no decorrer do tempo, e isso não ocorre no gráfico de barras anterior.

Orientações e sugestões didáticas

Estatística e Probabilidade

Objetivos

• Reconhecer e construir o gráfico mais adequado para representar determinado conjunto de dados.

• Representar graficamente a média aritmética de um conjunto de dados.

• Trabalhar o Tema Contemporâneo Transversal Trabalho e Educação em Direitos Humanos, das macroáreas Economia e Cidadania e Civismo, respectivamente.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois dois e das competências gerais 7 e 9 Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois dois porque os estudantes terão a oportunidade de analisar o gráfico mais adequado para apresentar determinado conjunto de dados e destacar nele a média aritmética desse conjunto.

Orientações

• Nesta seção, os estudantes deverão avaliar e construir o gráfico mais adequado para apresentar determinado conjunto de dados e destacar nele a média aritmética desse conjunto por meio de uma linha.

• Esse modo de representar a média possibilita perceber os valores do conjunto de dados que são maiores e menores que a média. A ideia é que os estudantes leiam e interpretem os dados tomando a média aritmética como referência. Analise coletivamente o gráfico desta página e incentive a turma a tirar conclusões com base nas informações presentes e na representação gráfica da média aritmética (linha vermelha horizontal).

• Amplie o assunto com a turma e comente que, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, no país, entre 2018 e 2019 não houve uma queda significativa no rendimento médio mensal, que passou de R$ 2 247,00dois mil duzentos e quarenta e sete reais para R$ 2 244,00dois mil duzentos e quarenta e quatro reais. Considerando o mesmo período, as regiões que tiveram um aumento no valor do rendimento médio mensal foram Nordeste e Sul, e as regiões que apresentaram queda foram Norte, Sudeste e Centro-Oeste. Esse tema contribui para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Trabalho, da macroárea Economia. Dados obtidos em: https://oeds.link/UNFS9x. Acesso em: 18 julho 2022.

(ê éfe zero nove ême ah dois dois) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe o gráfico que representa o salário médio dos homens e das mulheres acima de 14 anos de idade em 2019.

Gráfico. Título do gráfico de barras verticais: médias salariais no Brasil em 2 mil e 19. Eixo horizontal perpendicular a uma eixo vertical. O eixo vertical tem 7 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima com os valores em reais: 0, 500, 1 mil, 1 mil e 500, 2 mil, 2 mil e 500 e 3 mil. Ele está rotulado como média salarial. No eixo horizontal estão indicados os gêneros: homens e mulheres. Ele está rotulado como Gênero. Sobre o eixo horizontal há 2 barras verticais azuis com a mesma medida da largura, indicando que os homens recebem uma média salarial de 2 mil 555 reais e as mulheres recebem uma média salarial de 1 mil 985 reais. Linha da média na horizontal e em vermelho, entre os valores de 2 mil reais e 2 mil e 500 reais do eixo vertical para as barras, indicando que o salário médio dos brasileiros acima de 14 anos de idade é de 2 mil 308 reais.

a) Qual era a diferença entre a média salarial dos homens e das mulheres acima de 14 anos de idade no Brasil em 2017?

b) Leia a afirmação a seguir.

Ilustração. Parte de uma folha de caderno espiral branca com a margem vertical vermelha aparente, escrito: o salário médio das mulheres corresponde a aproximadamente 77 vírgula 7 por cento do salário médio dos homens.

Você concorda com essa afirmação? Justifique sua resposta.

c) O salário médio dos homens estava abaixo ou acima do salário médio de todos os brasileiros acima de 14 anos de idade em 2017? E o salário médio das mulheres?

d) Em uma planilha eletrônica, construa um gráfico de barras horizontais com base nos dados do gráfico apresentado.

2. Observe os dados apresentados a seguir.

Salário médio de brancos, pretos e pardos acima de 14 anos de idade no Brasil em 2019
Cor ou raça	Salário médio
Brancos	R$ 2.999,00
Pretos	R$ 1.673,00
Pardos	R$ 1.719,00

a) Qual desses tipos de gráfico é o mais adequado para representar os dados da tabela: de barras, de setores ou de linhas? Construa esse gráfico em uma planilha eletrônica.

b) Sabendo que o salário médio dos brasileiros acima de 14 anos de idade era R$ 2.308,00dois mil trezentos e oito reais em 2019, represente essa média com uma linha no gráfico que você construiu no item anterior.

c) Compare os salários médios de brancos, pretos e pardos com o salário médio dos brasileiros. O que você pode concluir?

Para pensar

Em sua opinião, deveria haver essa desigualdade salarial entre brancos, pretos e pardos? E entre homens e mulheres? Por quê? Converse com os colegas sobre isso.

Respostas e comentários

1. a) R$ 570,00quinhentos e setenta reais

1. b) Espera-se que os estudantes respondam que sim, pois, ao calcular a porcentagem do salário médio dos homens que corresponde ao salário médio das mulheres, obtemos aproximadamente 77,69%.

1. c) acima; abaixo

1. d) Respostas em Orientações.

2. a) gráfico de barras

2. b) Resposta em Orientações.

2. c) Espera-se que os estudantes concluam que apenas a média salarial dos brancos estava acima do salário médio dos brasileiros com mais de 14 anos de idade em 2019.

Para pensar: Respostas pessoais.

Orientações e sugestões didáticas

• Aproveite os questionamentos do boxe Para pensar e inicie uma conversa com a turma sobre a desigualdade salarial indicada no gráfico da atividade 1 e na tabela da atividade 2. Momentos como esse exercitam o diálogo, desenvolvem a capacidade de argumentar e chamam à reflexão sobre respeito, desigualdade e cidadania. Para enriquecer a discussão, leve para a sala de aula textos com outras informações acerca dessas diferenças. Conversar com os estudantes sobre esses temas auxilia no desenvolvimento dos Temas contemporâneos Transversais Trabalho e Educação em Direitos Humanos, das macroáreas Economia e Cidadania e Civismo, respectivamente.

• Resposta do item d atividade 1:

Gráfico. Título do gráfico de barras horizontais: médias salariais no Brasil em 2 mil e 19. Eixo horizontal perpendicular a uma eixo vertical. No eixo vertical estão indicados os gêneros: homens e mulheres. Ele está rotulado como Gênero. O eixo horizontal tem 7 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, da esquerda para direita com os valores em reais: 0, 500, 1 mil, 1 mil e 500, 2 mil, 2 mil e 500 e 3 mil. Ele está rotulado como média salarial. No eixo vertical tem 2 barras horizontais cinza com a mesma largura, indicando que os homens recebem uma média salarial de 2 mil 555 reais e as mulheres recebem uma média salarial de 1 mil 985 reais. Linha da média na vertical e em preto, entre os valores 2 mil reais e 2 mil e 500 reais do eixo horizontal para as barras, indicando que o salário médio dos brasileiros acima de 14 anos de idade é de 2 mil 308 reais.

Resposta dos itens a e b da atividade 2:

Gráfico. Título do gráfico de barras verticais: salário médio de brancos, pretos e pardos acima de 14 anos de idade no Brasil em 2 mil e 19. Eixo horizontal perpendicular a uma eixo vertical. O eixo vertical tem 7 tracinhos igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima com os valores em reais: 0, 500, 1 mil, 1 mil e 500, 2 mil, 2 mil e 500 e 3 mil. Ele está rotulado como salário médio. No eixo horizontal estão indicadas a cor ou a raça: brancos, pretos e pardos. Ele está rotulado como Cor ou raça. Sobre o eixo horizontal há 3 barras verticais cinzas com a mesma medida de largura, indicando que pessoas brancas recebem um salário médio de 2 mil 999 reais, que pessoas pretas recebem um salário médio de 1 mil 673 reais e que pessoas pardas recebem um salário médio de 1 719 reais. Linha da média na horizontal e em preto, entre os valores 2 mil reais e 2 mil e 500 reais do eixo vertical para as barras, indicando que o salário médio dos brasileiros acima de 14 anos de idade é de 2 mil 308 reais.

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Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Reproduza as afirmações verdadeiras no caderno.

a) Um cubo cuja aresta mede 9 centímetros de comprimento tem o triplo da medida do volume de um cubo de aresta que mede 3 centímetros de comprimento.

b) Um cubo cuja aresta mede 6 centímetros de comprimento tem medida de volume igual a 8V, em que V é a medida do volume de um cubo de aresta que mede 3 centímetros de comprimento.

c) Um cubo cuja aresta mede 1 centímetro de comprimento tem

\frac{1}{3}

da medida do volume de um cubo de aresta que mede 3 centímetros de comprimento.

d) Um cubo cuja aresta mede 5 centímetros tem

\frac{1}{8}

da medida do volume de um cubo de aresta que mede 10 centímetros de comprimento.

2. Um aquário com formato cúbico, com medida de capacidade de .27000 mililitros de água, está cheio.

Qual é a medida da altura do aquário?

(Lembre-se de que 1 centímetros cúbicos corresponde a 1mililitro.)

Ilustração. Mesa retangular de madeira com um aquário em formato cúbico em cima.

3. Certa folha de papel mede 0,074 milímetro de espessura. Converta essa medida em metro e represente-a em notação científica.

4. Observe no quadro alguns dados publicados pelo Departamento de Astronomia do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (u éfe érre gê ésse).

Medida da massa e da distância média ao Sol
Planeta	Medida da massa (kg)	Medida da distância média ao Sol (km)
Mercúrio	3,303 ⋅ 10elevado a 23	57.910.000
Júpiter	1,900 ⋅ 10elevado a 27	778.330.000
Saturno	5,688 ⋅ 10elevado a 26	1.429.400.000

Agora, escreva:

a) as medidas das massas dos planetas em ordem crescente;

b) a medida da distância média de cada planeta ao Sol em notação científica.

5. Calcule o preço aproximado de uma camisa que inicialmente custava R$ 45,00quarenta e cinco reais após sofrer três aumentos sucessivos de 2%.

6. Calcule e simplifique.

\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}

\sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2}

\sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5}{3}}

{(\sqrt[4]{9})}^{2}

\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}

\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}}

7. Uma lata com formato cúbico tem arestas que medem

5 \sqrt{3}

centímetros de comprimento.

a) Quantos centímetros quadrados de plástico serão necessários para forrar toda a lata?

b) Márcia quer saber se 1 litro de óleo cabe nessa lata. Que cálculo ela precisa fazer?

c) Depois de fazer os cálculos necessários, a que conclusão Márcia chegará?

8. Racionalize o denominador de cada fração.

\frac{3}{\sqrt{2}}

\frac{10}{3 \sqrt{5}}

\frac{3}{\sqrt[4]{2}}

\frac{1}{2 + \sqrt{3}}

\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}

\frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}

9. Simplifique.

{(\sqrt[3]{- 8} + 3)}^{2} - \{2 - [\sqrt{{(\frac{1}{9})}^{- 1}} - 12]\}

0, 25 \cdot {(- 3)}^{2} : (\frac{1}{4}) - (3 \cdot \sqrt[3]{- 8} + 11)

10. Calcule o valor de

\frac{\sqrt{1 + \sqrt{121}}}{\sqrt{45 + \sqrt{900}}}

11.

A caixa de bombons representada aseguir tem o formato que lembra um trapézio.

Figura geométrica. à direita, representação de caixa de bombom de um prisma de base com o formato que lembra um trapézio na cor laranja e com uma faixa verde nas faces laterais. À esquerda, destaque para a base que lembra um trapézio com indicação das medidas do comprimento: base maior do vértice da extremidade esquerda até a altura de 3 centímetros e da altura até a extremidade do vértice direito de 8 centímetros; base menor 5 centímetros; altura 3 centímetros; lados 3 raiz quadrada de 2, centímetros.

a) Quantos centímetros de fita verde são necessários para contornar uma vez a caixa?

b) Quantos centímetros quadrados de papelão são necessários para confeccionar 15 tampas para caixas como essa?

Respostas e comentários

1. alternativas b e d

2. 30 centímetros

3. 7,4 ⋅ 10elevado a menos 5 métros

4. a) 3,303 ⋅ 10elevado a 23, 5,688 ⋅ 10elevado a 26, 1,900 ⋅ 10elevado a 27

4. b) 5,791 ⋅ 10elevado a 7; 7,7833 ⋅ 10elevado a 8; 1,4294 ⋅ 10elevado a 9

5. aproximadamente R$ 47,75quarenta e sete reais e setenta e cinco centavos

6. a) 6

6. b) 10

6. c) 1

6. d) 3

6. e)

\sqrt{2}

6. f) 2

7. a) 450 centímetros quadrados

7. b) o cálculo da medida do volume da lata

7. c) Não vai caber (a medida do volume é aproximadamente 650 centímetros cúbicos).

8. a)

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

8. b)

\frac{2 \sqrt{5}}{3}

8. c)

\frac{3 \sqrt[4]{8}}{2}

8. d)

2 ‒ \sqrt{3}

8. e)

\sqrt{3} + \sqrt{2}

8. f)

\sqrt{2}

9. a) menos10

9. b) 4

10.

\frac{2}{5}

11. a) (6

\sqrt{2}

+ 16) centímetros ou aproximadamente 24,5 centímetros

11. b) 360 centímetros quadrados

Orientações e sugestões didáticas

Atividades de revisão

Objetivos

• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do Capítulo.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero três e ê éfe zero nove ême ah zero quatro da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Esta seção favorece o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah zero três e ê éfe zero nove ême ah zero quatro à medida que são propostos cálculos e problemas com números reais.

Orientações

• Resolução da atividade 7:

a) Um cubo tem 6 faces.

A medida de área de cada uma das faces da lata é 75 centímetros quadrados, pois:

(5 \sqrt{3})

2 centímetros quadrados = 75 centímetros quadrados

Portanto, para forrar as 6 faces, serão necessários 450 centímetros quadrados de plástico, pois 6 ⋅ 75 centímetros quadrados = 450 centímetros quadrados.

b) Para saber se 1 litro de óleo cabe nessa lata, é necessário calcular seu volume:

(5 \sqrt{3})

3 centímetros cúbicos = 375

\sqrt{3}

centímetros cúbicos ≃ 650 centímetros cúbicos

c) A medida de capacidade aproximada da lata é de 650 mililitros; portanto, não cabe 1 litro de óleo na lata.

• Sugerimos algumas questões para que os estudantes possam refletir sobre suas aprendizagens e possíveis dificuldades no estudo deste Capítulo, as quais devem ser adaptadas à realidade da turma. Oriente-os a fazer a autoavaliação, respondendo às questões no caderno com “sim”, “às vezes” ou “não”.

Eureticências

reticências sei representar números em notação científica?

reticências sei aplicar as propriedades das potências e as dos radicais?

reticências sei identificar radicais semelhantes?

reticências sei resolver operações com números reais com potenciações e radiciações com radicais?

reticências sei racionalizar denominadores de frações?

reticências sei calcular porcentagens?

reticências sei reconhecer e construir o gráfico mais adequado para representar determinado conjunto de dados.

reticências sei representar graficamente a média aritmética de um conjunto de dados.

(ê éfe zero nove ême ah zero três) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

(ê éfe zero nove ême ah zero quatro) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.