UNIDADE 2
Capítulo 4
Produtos notáveis e fatoração
Capítulo 5
Semelhança
Pequenos Gigantes
Você já ouviu falar do Castelo de Neuschwanstein? Atualmente ele é um dos destinos turísticos mais populares da Alemanha. Construído no final do século dezenove, na região da Baviera, o palácio chama a atenção dos visitantes por sua beleza e imponência – a construção mede aproximadamente 80 métros de altura e possui 200 cômodos, dentre eles a luxuosa Sala do Trono.
Sabia que é possível visitar a réplica do Castelo de Neuschwanstein no Brasil? Ela é uma das atrações do parque Mini Mundo, localizado em Gramado, no Rio Grande do Sul, que reproduz, em uma escala 24 vezes menor do que o tamanho original, as construções, estradas, pessoas e muito mais.
Para começar...
1. Você já visitou algum parque ou exposição com réplicas de construções ou de pessoas?
2. As réplicas presentes no parque Mini Mundo são ampliações ou reduções das construções originais?
3. Quanto mede, aproximadamente, a altura da réplica do Castelo de Neuschwanstein no parque Mini Mundo?
Respostas e comentários
Os links expressos nesta coleção podem estar indisponíveis após a data de publicação deste material.
Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas nesta Unidade:
ê éfe zero nove ême ah zero nove
ê éfe zero nove ême ah um zero
ê éfe zero nove ême ah um dois
ê éfe zero nove ême ah um quatro
ê éfe zero nove ême ah dois dois
ê éfe zero nove ême ah dois três
Para começar...:
1. Resposta pessoal.
2. reduções
3. aproximadamente 3,3 métros
Orientações e sugestões didáticas
Abertura da Unidade 2
Conteúdos
• Nesta Unidade, serão trabalhados vários conceitos relacionados às unidades temáticas Álgebra, Geometria e Probabilidade e Estatística que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da Bê êne cê cê listadas.
Orientação
O tema apresentado na abertura favorece o trabalho com o conceito de escalas, abordando a medida da altura do castelo com a medida de sua réplica em miniatura. Aproveite o momento para verificar o conhecimento prévio dos estudantes sobre esse assunto.
• Há um museu, em Cachoeira do Campo, distrito de Ouro Preto (Minas Gerais), chamado Museu das Reduções. O acervo do Museu é composto de 29 réplicas de monumentos edificados do Brasil, localizados em 24 municípios de 15 Estados do país. Verifique a possibilidade, junto à coordenação e direção pedagógica da instituição, de organizar uma visita guiada ao museu, uma vez que, além de corroborar com os conceitos estudados em Matemática, a visita também proporciona a prática da educação patrimonial. Mais informações estão disponíveis em: https://oeds.link/zL3Vnn.
• Na questão 2, do boxe Para começar, se necessário, explique aos estudantes que réplicas, em termos de escala, podem ser reproduções, reduções ou ampliações. No caso do parque Mini Mundo são reduções. Caso julgue conveniente, apresente aos estudantes algumas esculturas de Rón Mêuk, artista hiper-realista que trabalha com diferentes escalas em suas obras.
• Ao trabalhar com a questão 3, espera-se que os estudantes identifiquem no texto que, no parque Mini Mundo, as réplicas são construídas na escala 1para24, ou seja, cada unidade de comprimento medida na réplica corresponde a 24 unidades de comprimento da construção real. Assim, como a medida da altura real corresponde a 80 métros, temos que 80 dividido por 24 = 3,333, ou seja, a réplica mede aproximadamente 3,3 métros de altura.
CAPÍTULO 4 Produtos notáveis e fatoração
1 Produtos notáveis
Neste capítulo, você vai conhecer os chamados produtos notáveis, que aparecem com frequência nos cálculos algébricos. Eles serão estudados mais profundamente por apresentarem regularidades que facilitam os cálculos. Acompanhe como Eugênius obteve mentalmente um desses produtos.
Respostas e comentários
Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas neste Capítulo:
ê éfe zero nove ême ah zero nove ê éfe zero nove ême ah dois três
Orientações e sugestões didáticas
Produtos notáveis
Objetivos
• Reconhecer que as representações algébricas permitem expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as os possíveis cálculos e resoluções.
• Usar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico.
• Compreender, geométrica e algebricamente, os principais casos de produtos notáveis: o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos e o produto da soma pela diferença de dois termos.
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero nove.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove porque aborda os produtos notáveis que serão a base para que os estudantes compreendam os processos de fatoração de expressões algébricas.
Orientações
• Ao trabalhar os diferentes tipos de produtos notáveis, é importante que os estudantes compreendam que eles podem ser aplicados na simplificação de cálculos e de expressões algébricas. A situação inicial é um exemplo de como os produtos notáveis podem auxiliar na simplificação de cálculo. É importante que os estudantes percebam e entendam como chegar a cada um dos produtos notáveis. Com o tempo, a memorização será consequência da constante mobilização dessas ideias, e não resultado de um processo que visa especificamente memorizá-las.
(ê éfe zero nove ême ah zero nove) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Quadrado da soma de dois termos
Acompanhe a conversa entre Sofia e Rafael.
Vamos entender melhor o pensamento de Sofia escrevendo 144 como uma adição. Observe:
144 = 100 + 40 + 4 (uma centena, 4 dezenas e 4 unidades)
Recorde
Ao reorganizar as figuras, podemos obter um quadrado cujo comprimento do lado mede 10 + 2. Observe como podemos determinar sua medida de área.
Orientações e sugestões didáticas
• Quando falamos em números que são iguais ao quadrado de outros números, estamos nos referindo aos números quadrados perfeitos. São exemplos de quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 etcétera
• Peça aos estudantes que verifiquem a igualdade 144 = abre parênteses10 + 2fecha parênteseselevado a 2 antes de estudarem a interpretação geométrica do raciocínio de Sofia.
Eles poderão fazer:
abre parênteses10 + 2fecha parênteseselevado a 2 =
= 10 ⋅ 10 + 10 ⋅ 2 +
+ 2 ⋅ 10 + 2 ⋅ 2 =
= 100 + 20 + 20 + 4 = 144
• O tópico se apoia na estratégia de utilização da representação simplificada das peças do material dourado para representar números que são iguais ao quadrado de outros números, chamados de quadrados perfeitos. A seguir, apresentamos o procedimento para, por exemplo, representar o quadrado perfeito 121.
Representação geométrica
O quadrado da soma de dois termos, a e b, que indicamos por abre parêntesesa + bfecha parênteseselevado a 2, é um produto notável. Faremos a seguir sua representação geométrica admitindo os números a e b positivos.
Considere dois segmentos de medidas de comprimento a e b. Vamos construir um quadrado de lado com medida de comprimento abre parêntesesa + bfecha parênteses.
Note que a medida da área do quadrado maior, de lado com medida de comprimento abre parêntesesa + bfecha parênteses, é abre parêntesesa + bfecha parênteseselevado a 2 e também é aelevado a 2 + 2ab + belevado a 2.
Portanto: abre parêntesesa + bfecha parênteseselevado a 2 = aelevado a 2 + 2ab + belevado a 2
Representação algébrica
Podemos, ainda, desenvolver algebricamente o quadrado da soma de dois termos desconhecidos a e b. Observe.
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. Algebricamente, temos:
abre parêntesesa + bfecha parênteseselevado a 2 = aelevado a 2 + 2ab + belevado a 2
Exemplos
• abre parêntesesa + 5fecha parênteseselevado a 2 = aelevado a 2 + 2 ⋅ a ⋅ 5 + 5elevado a 2 = aelevado a 2 + 10a + 25
•
Sentença matemática. Abre parênteses, 3x mais fração 1 meio, fecha parênteses, ao quadrado, igual a, abre parênteses, 3x, fecha parênteses, ao quadrado mais 2 vezes 3x vezes fração 1 meio mais,abre parênteses,fração 1 meio, fecha parênteses, ao quadrado, é igual a, 9 vezes x ao quadrado mais 3x mais fração 1 quarto.• abre parênteses4 + belevado a 3fecha parênteseselevado a 2 = 4elevado a 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ belevado a 3 + abre parêntesesbelevado a 3fecha parênteseselevado a 2 = 16 + 8belevado a 3 + belevado a 6
Desafio
Leia o que Lucas está pensando e responda às perguntas no caderno.
a) Os valores das potências 14elevado a 2 e 41elevado a 2 têm os mesmos algarismos em ordem contrária?
b) A hipótese de Lucas está correta?
Respostas e comentários
Desafio: a) não
b) Espera-se que os estudantes concluam que não, pois ela não vale para todos os números (por exemplo, não vale para 14 e 41).
Orientações e sugestões didáticas
• Ao trabalhar o quadrado da soma de dois termos geometricamente, se julgar conveniente, peça aos estudantes que manipulem modelos de figuras geométricas construídas com cartolina, por exemplo. Assim, incentive-os a observar o padrão presente para então obter uma regra geral escrita por meio da linguagem algébrica. Uma abordagem, com essa orientação, aliada à representação geométrica presente no livro, auxilia os estudantes na compreensão e não apenas na memorização do desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos.
• Comente com os estudantes que, quando não for explícito, as letras nas expressões e nas sentenças algébricas presentes neste Capítulo representarão números reais.
• Ao explorar o boxe Desafio, aproveite a oportunidade para comentar que não é possível afirmar que uma propriedade é válida somente com o estudo de alguns casos.
a) 14elevado a 2 = 196 e 41elevado a 2 = .1681. Logo, os resultados não possuem os mesmos algarismos.
b) Considerando os resultados do item anterior, espera-se que os estudantes concluam que a hipótese de Lucas não está correta, pois não se aplica a todos os números.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Desenvolva algebricamente cada quadrado da soma de dois termos.
a) abre parêntesesx + 5)elevado a 2
b) abre parênteses7a + 1)elevado a 2
c) abre parêntesesx + 2y)elevado a 2
d) abre parêntesesx elevado a 2 + 1)elevado a 2
2. Que polinômio elevado ao quadrado é igual a:
a) z elevado a 2 + 2zw + w elevado a 2?
b) x elevado a 2 + 18x + 81?
3. Que polinômio representa a medida de área de cada figura?
a)
b)
4. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras, considerando que x e y pertencem ao conjunto dos números reais.
a) abre parêntesesx + yfecha parênteseselevado a 2 = xelevado a 2 + yelevado a 2
b) 2xelevado a 2 + 2y elevado a 2 = abre parêntesesx + yfecha parênteseselevado a 2
c) abre parêntesesx + yfecha parênteseselevado a 2 = 2xy + y elevado a 2 + xelevado a 2
d)
Sentença matemática. Abre parênteses, x ao quadrado mais y ao quadrado, fecha parênteses, ao quadrado.= xelevado a 2 + 2xy + yelevado a 2
e)
Sentença matemática. Abre parênteses, x ao quadrado mais y ao quadrado, fecha parênteses, ao quadrado.= xelevado a 4 + 2xy + y elevado a 4
f )
Sentença matemática. Abre parênteses, x ao quadrado mais y ao quadrado, fecha parênteses, ao quadrado.= xelevado a 4 + 2xelevado a 2y elevado a 2 + y elevado a 4
5. Supondo que x > 0 e y > 0, represente geometricamente os quadrados das somas a seguir.
a) abre parêntesesx + y)elevado a 2
b) abre parêntesesx + 2x)elevado a 2
6.
É possível utilizar a ideia de produtos notáveis para fazer cálculos numéricos. Por exemplo:
22elevado a 2 = abre parênteses20 + 2fecha parênteseselevado a 2 = 20elevado a 2 + 2 ⋅ 20 ⋅ 2 + 2elevado a 2 =
= 400 + 80 + 4 = 484
Calcule mentalmente os quadrados a seguir e, depois, registre seu raciocínio no caderno.
a) 11elevado a 2
b) 15elevado a 2
c) 32elevado a 2
d) 61elevado a 2
e) 83elevado a 2
7. O comprimento do lado do quadrado seguinte media x centímetros, mas foi aumentado em 2 centímetros.
a) Que expressão algébrica representa a medida de área desse quadrado aumentado, em centímetro quadrado?
b) Que expressão algébrica representa o aumento da medida de área desse quadrado, em centímetro quadrado?
8. A área do quadrado rosa mede 169 centímetros quadrados, e a área do quadrado laranja mede 100 centímetros quadrados.
a) Quais são as medidas de comprimento de a e de b?
b) Qual é a medida da área do retângulo azul?
9.
Se a soma das áreas dos dois quadrados verdes mede 80 centímetros quadrados, a área de toda a figura mede 144 centímetros quadrados e m > n, sendo m e n números naturais, quais são as medidas de comprimento de m e de n?
Respostas e comentários
1. a) xelevado a 2 + 10x + 25
1. b) 49a elevado a 2 + 14a + 1
1. c) x elevado a 2 + 4xy + 4y elevado a 2
1. d) x elevado a 4 + 2x elevado a 2 + 1
2. a) z + w ou menosz menos w
2. b) x + 9 ou menosx menos 9
3. a) x elevado a 2 + 10x + 25
3. b) 4a elevado a 2 + 12ab + 9b elevado a 2
4. alternativas c e f
5. Respostas em Orientações.
6. a) 121
6. b) 225
6. c) .1024
6. d) .3721
6. e) .6889
7. a) x elevado a 2 + 4x + 4
7. b) 4x + 4
8. a) a = 13 centímetros; b = 10 centímetros
8. b) 130 centímetros quadrados
9. m = 8 centímetros; n = 4 centímetros
Orientações e sugestões didáticas
• Respostas da atividade 5:
a) abre parêntesesx + yfecha parênteseselevado a 2
abre parêntesesx + yfecha parênteses elevado a 2 = x elevado a 2 + xy + xy + yelevado a 2 =
= x elevado a 2 + 2xy + y elevado a 2
b) abre parêntesesx + 2xfecha parênteseselevado a 2
abre parêntesesx + 2xfecha parênteseselevado a 2 = x elevado a 2 + 2x ⋅ x + 2x ⋅ x + abre parênteses2xfecha parênteses elevado a 2 =
= x elevado a 2 + 4x elevado a 2 + 4x elevado a 2 = 9x elevado a 2
• Os estudantes também podem resolver a atividade 9 por tentativa e erro. Pelo enunciado, sabemos que abre parêntesesm + nfecha parênteseselevado a 2 = 144, então: m + n = 12. Além disso, temos: melevado a 2 + nelevado a 2 = 80. Com essas informações, os estudantes podem testar valores naturais para m e n de modo que a soma seja 12 e a soma dos quadrados seja 80.
Quadrado da diferença de dois termos
Agora, você vai estudar outro produto notável, o quadrado da diferença de dois termos: abre parêntesesa menos bfecha parênteseselevado a 2
Representação geométrica
Quando temos a > b > 0, podemos representar geometricamente o quadrado da diferença desses dois termos. Para isso, vamos considerar um segmento de medida de comprimento a e outro de medida b. Com eles, vamos construir um quadrado de lado com medida de comprimento abre parêntesesa menos bfecha parênteses.
Para a construção, vamos partir de um quadrado cuja área mede aelevado a 2, que será decomposto conforme a figura a seguir.
O quadrado vermelho tem lado com medida de comprimento igual a abre parêntesesa menos bfecha parênteses e área medindo abre parêntesesa menos bfecha parênteseselevado a 2.
Note que, para obter a medida da área do quadrado vermelho, podemos subtrair da medida da área do quadrado verde a medida da área do quadrado amarelo e a dos dois retângulos azuis.
= aelevado a 2 menos ba + belevado a 2 menos ba + belevado a 2 menos belevado a 2 =
= aelevado a 2 menos 2ab + belevado a 2
Orientações e sugestões didáticas
• O estudo do quadrado da diferença de dois termos também é desenvolvido com o apoio de uma figura geométrica.
Observação
A interpretação geométrica da página anterior vale apenas no caso de a > b > 0, já que a, b e abre parêntesesa menos bfecha parênteses representam medidas de comprimento dos lados de retângulos e de quadrados; portanto, não podem ser números negativos ou nulos.
Representação algébrica
Vamos desenvolver algebricamente o quadrado da diferença de dois termos, a e b.
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. Algebricamente, temos:
abre parêntesesa menos bfecha parênteseselevado a 2 = aelevado a 2 menos 2ab + belevado a 2
Exemplos
• abre parêntesesc menos 8)elevado a 2 = c elevado a 2 menos 2 ⋅ c ⋅ 8 + 8elevado a 2 = c elevado a 2 menos 16c + 64
•
Sentença matemática. Abre parênteses, a menos raiz quadrada de 2, fecha parênteses, ao quadrado, igual a a ao quadrado menos 2 vezes a vezes raiz quadrada de 2, fim da raiz, mais, abre parênteses, raiz quadrada de 2, fecha parênteses, ao quadrado é igual a a ao quadrado menos 2 vezes a vezes raiz quadrada de 2, fim da raiz, mais 2.•
Sentença matemática. Abre parênteses, fração 2 terços menos b, fecha parênteses, ao quadrado.menos 2 ⋅
Fração 2 terços.⋅ b + belevado a 2 =
Fração 4 nonos.menos
Fração. Quatro terços.b + belevado a 2
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Desenvolva cada quadrado da diferença de dois termos.
a) abre parêntesesx menos 5fecha parênteseselevado a 2
b) abre parênteses1 menos 3yfecha parênteseselevado a 2
c)
Fração. Abre parênteses um meio menos x, fecha parênteses, ao quadrado.d) abre parênteses2x menos 3yfecha parênteseselevado a 2
2. Encontre o polinômio que, elevado ao quadrado, é igual a 2elevado a 2 menos 4x + x elevado a 2.
3. Represente geometricamente os quadrados das diferenças a seguir, supondo que x e y são números reais e y > x > 0.
a) abre parêntesesy menos xfecha parênteseselevado a 2
b) abre parênteses2x menos xfecha parênteseselevado a 2
4.
Considere este uso de produto notável.
18elevado a 2 = abre parênteses20 menos 2fecha parênteseselevado a 2 = 20elevado a 2 menos 2 ⋅ 20 ⋅ 2 + 2elevado a 2 = 400 menos 80 + 4 = 324
Calcule mentalmente os quadrados a seguir e, depois, registre seu raciocínio no caderno.
a) 19elevado a 2
b) 28elevado a 2
c) 37elevado a 2
d) 69elevado a 2
e) 99elevado a 2
f) 45elevado a 2
5. Luís fez uma mesa com tampo quadrado, mas percebeu que errou a medida, pois o tampo ficou maior do que deveria.
Para resolver o problema, Luís terá de reduzir a medida do tampo da mesa em 10 centímetros no comprimento e em 10 centímetros na largura.
a) Determine a medida de comprimento de cada lado do tampo da mesa, sabendo que a área da sua superfície mede 4 métros quadrados.
b) Qual será a medida da área do tampo após Luís fazer a redução necessária?
c) Luís vai reduzir a medida da área do tampo em quantos metros quadrados?
Respostas e comentários
1. a) x elevado a 2 menos 10x + 25
1. b) 1 menos 6y + 9y elevado a 2
1. c)
Fração 1 quarto.menos x + xelevado a 2
1. d) 4x elevado a 2 menos 12xy + 9y elevado a 2
2. 2 menos x ou x menos 2
3. Respostas em Orientações.
4. a) 361
4. b) 784
4. c) .1369
4. d) .4761
4. e) .9801
4. f) .2025
5. a) 2 métros
5. b) 3,61 métros quadrados
5. c) 0,39 métros quadrados
Orientações e sugestões didáticas
• Respostas da atividade 3:
a)
abre parêntesesy menos xfecha parênteseselevado a 2 = y elevado a 2 menos x ⋅ abre parêntesesy menos xfecha parênteses menos x ⋅ abre parêntesesy menos xfecha parênteses menos xelevado a 2
abre parêntesesy menos xfecha parênteseselevado a 2 = y elevado a 2 menos xy + x elevado a 2 menos xy + x elevado a 2 menos x elevado a 2
abre parêntesesy menos xfecha parênteseselevado a 2 = y elevado a 2 menos 2xy + x elevado a 2
• Resolução da atividade 3b:
b)
abre parênteses2x menos xfecha parênteseselevado a 2 = abre parênteses2xfecha parênteseselevado a 2 menos x ⋅ abre parênteses2x menos xfecha parênteses menos x ⋅ abre parênteses2x menos xfecha parênteses menos x elevado a 2
abre parênteses2x menos xfecha parênteseselevado a 2 = 4x elevado a 2 menos 2x elevado a 2 + x elevado a 2 menos 2x elevado a 2 + x elevado a 2 menos x elevado a 2
abre parênteses2x menos xfecha parênteseselevado a 2 = x elevado a 2
Lembre-se: Escreva no caderno!
6. Analise as figuras e responda às questões no caderno.
a) Qual é a medida de comprimento do lado menor do retângulo roxo?
b) Qual é a medida da área do quadrado verde?
7. Descubra a soma da medida das áreas dos retângulos amarelos, em centímetro quadrado, em cada caso.
a)
b)
8. Com base na figura a seguir, responda à questão.
• Qual é o polinômio que representa a medida da área do quadrado azul?
9. O quadrado da diferença de dois números inteiros é igual a 25, e o dobro do produto desses dois números é igual a 10. Qual é o valor da soma dos quadrados desses dois números?
Produto da soma pela diferença de dois termos
Outro produto notável que vamos estudar é o produto da soma pela diferença de dois termos: abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses.
Representação geométrica
Quando temos a > b > 0, podemos representar geometricamente o produto da soma pela diferença desses dois termos. Para isso, consideremos um segmento de medida de comprimento a e outro de medida de comprimento b.
Vamos construir um retângulo de lados com medidas de comprimento abre parêntesesa + bfecha parênteses e abre parêntesesa menos bfecha parênteses.
A medida da área do retângulo laranja apresentado é abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses.
Desafio
Sabendo que a área do quadrado verde mede 36 centímetros quadrados, escreva a medida da área do hexágono azul (em centímetro quadrado) como a diferença de quadrados de dois números inteiros.
Respostas e comentários
6. a) 5 métros
6. b) 49 métros quadrados
7. a) 10x
7. b) 14x
8. a elevado a 2 menos 2ab + b elevado a 2
9. 35
Desafio: abre parênteses13elevado a 2 menos 6elevado a 2fecha parênteses centímetros quadrados
Orientações e sugestões didáticas
• No boxe Desafio, espera-se que os estudantes concluam que a medida da área do hexágono azul corresponde à medida da área do quadrado cujo lado mede 13 centímetros de comprimento menos a medida da área do quadrado verde, cujo lado mede 6 centímetros de comprimento. Portanto, a medida da área, em centímetro quadrado, do hexágono azul é dada por.
abre parênteses13elevado a 2 menos 6elevado a 2fecha parênteses centímetros quadrados, ou seja, 133 centímetros quadrados.
Agora, vamos dividir esse retângulo em duas partes e reorganizá-las para obter outra figura de mesma medida de área.
A medida da área da figura obtida pode ser expressa por aelevado a 2 menos belevado a 2, ou seja, é igual à medida da área do quadrado maior menos a medida da área do quadrado menor.
Portanto: abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses = aelevado a 2 menos belevado a 2
Representação algébrica
Vamos desenvolver algebricamente o produto da soma pela diferença de dois termos a e b.
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo. Algebricamente, temos:
abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses = aelevado a 2 menos belevado a 2
Exemplos
• abre parênteses4 + yfecha parênteses ⋅ abre parênteses4 menos yfecha parênteses = 4elevado a 2 menos yelevado a 2 = 16 menos y elevado a 2
• abre parênteses5a + belevado a 4fecha parênteses ⋅ abre parênteses5a menos belevado a 4fecha parênteses = abre parênteses5afecha parênteseselevado a 2 menos abre parêntesesbelevado a 4fecha parênteseselevado a 2 = 25aelevado a 2 menos belevado a 8
Cálculo mental
Calcule mentalmente:
a) abre parênteses48 + 1fecha parênteses ⋅ abre parênteses48 menos 1fecha parênteses, sabendo que 48elevado a 2 = .2304;
b) abre parênteses100 + 1fecha parênteses ⋅ abre parênteses100 menos 1fecha parênteses, sabendo que 100elevado a 2 = .10000.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. A sentença algébrica abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses = a elevado a 2 menos belevado a 2 é uma identidade, pois é verdadeira para quaisquer valores de a e de b. No caderno, substitua a e b por alguns números e verifique a igualdade.
2. Represente algebricamente:
a) a diferença dos quadrados de a e b;
b) o quadrado da diferença de a e b;
c) o quadrado da soma de x e y;
d) o produto da soma pela diferença de x e y.
3. A sentença abre parêntesesx + 30fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos 30fecha parênteses expressa a medida da área de um retângulo de 700 métros quadrados. Quanto mede x?
4. Encontre os polinômios cujo produto é igual a:
a) 4x elevado a 2 menos 36y elevado a 2
b) 81x elevado a 2 menos 36y elevado a 2
Respostas e comentários
Cálculo mental: a) .2303
b) .9999
1. Resposta pessoal.
2. a) a elevado a 2 menos b elevado a 2
2. b) abre parêntesesa menos bfecha parênteseselevado a 2
2. c) abre parêntesesx + yfecha parênteseselevado a 2
2. d) abre parêntesesx + yfecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos yfecha parênteses
3. 40 métros
4. Exemplos de resposta:
4. a) 2x menos 6y e 2x + 6y
4. b) 9x menos 6y e 9x + 6y
Orientações e sugestões didáticas
• No boxe Cálculo mental, os estudantes terão a oportunidade de aplicar o produto da soma pela diferença de dois termos para calcular mentalmente o valor de expressões numéricas.
a) Como o quadrado do primeiro termo é .2304 e o do segundo termo é 1, basta calcular .2304 menos 1, que é igual a .2303.
b) Como o quadrado do primeiro termo é .10000 e o do segundo termo é 1, basta calcular .10000 menos 1, que é igual a .9999.
Lembre-se: Escreva no caderno!
5. Calcule a medida de área da parte colorida de cada figura.
a)
b)
c)
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
6. Simplifique as expressões.
a) abre parêntesesx menos 3fecha parênteseselevado a 2 menos abre parêntesesx menos 2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx + 2fecha parênteses menos abre parêntesesx + 1fecha parênteseselevado a 2
b) abre parênteses2x menos 3yfecha parênteses ⋅ abre parênteses2x + 3yfecha parênteses menos abre parênteses3x menos 2yfecha parênteseselevado a 2
c) 3abre parêntesesm menos 1fecha parênteseselevado a 2 + 2abre parênteses1 + mfecha parênteses ⋅ abre parênteses1 menos mfecha parênteses
d) abre parêntesesy menos 3fecha parênteseselevado a 2 menos abre parênteses3y + 2fecha parênteseselevado a 2 + 2abre parêntesesy + 4fecha parênteses ⋅ abre parêntesesy menos 4fecha parênteses
7.
Junte-se a um colega, observem a figura a seguir e façam o que se pede.
a) Encontrem o produto notável que representa a medida da área de cada retângulo vermelho.
b) Encontrem o polinômio que representa a medida da área de toda a figura vermelha.
c) Analisando a figura e os cálculos feitos, expliquem por que abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses = aelevado a 2 menos belevado a 2.
8. Observe a figura e responda no caderno.
• Qual será a medida, em metro, de x se a área da figura medir:
a) 20 métros quadrados?
b) 65 métros quadrados?
c) 105 métros quadrados?
d) 48 métros quadrados?
9. Fernanda tem um terreno retangular que mede 180 métros quadrados de área. Para medi-lo, ela usou uma corda comprida e uma trena. Sabendo que um lado do terreno mede o comprimento da corda esticada mais 4 métros e que o outro lado mede o comprimento da corda esticada menos 4 métros, qual é a medida de comprimento da corda, em metro?
10. Carlos comprou uma mesa para colocar em sua casa. Observe um esquema das dimensões do tampo dessa mesa, que mede 75 centímetros de largura.
a) Qual é a medida da área de sua superfície?
b) A que produto notável podemos associar essa situação?
Respostas e comentários
5. a) 70 decímetros quadrados
5. b) 15 métros quadrados
5. c) 17,25 métros quadrados
6. a) menosx elevado a 2 menos 8x + 12
6. b) menos5x elevado a 2 menos 13y elevado a 2 + 12xy
6. c) m elevado a 2 menos 6m + 5
6. d) menos 6y elevado a 2 menos 18y menos 27
7. a) abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses
7. b) Exemplo de resposta: 4 ⋅ abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses
7. c) Resposta em Orientações.
8. a) 6 métros
8. b) 9 métros
8. c) 11 métros
8. d) 8 métros
9. 14 métros
10. a) .16875 centímetros quadrados
10. b) Ao produto da soma pela diferença de dois termos.
Orientações e sugestões didáticas
Para responder ao item c da atividade 7, espera-se que os estudantes expliquem que a medida da área dos 4 retângulos é igual à medida da área de 4 quadrados de lado com medida a de comprimento menos a medida da área de 4 quadrados de lado com medida b de comprimento.
Ou seja:
4 ⋅ abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses =
= 4aelevado a 2 menos 4belevado a 2
Assim:
abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses =
= aelevado a 2 menos belevado a 2
Incentive os estudantes a representar geometricamente a situação da atividade 9:
Logo, temos:
abre parêntesesx + 4fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos 4fecha parênteses = xelevado a 2 menos 16
Como a medida da área é igual a 180 métros quadrados, então:
x elevado a 2 menos 16 = 180
x elevado a 2 = 180 + 16 = 196
Assim, mesmo sem conhecer as técnicas de resolução de uma equação do 2º grau, os estudantes podem chegar à resposta extraindo a raiz quadrada:
x = ±
raiz quadrada de 196= ±14
A raiz ‒14 não convém, pois x é a medida de comprimento da corda. Logo, a corda mede 14 métros de comprimento.
2 Fatoração de expressões algébricas
Antes de estudar diferentes casos de fatoração de polinômios, que, muitas vezes, são úteis na resolução de problemas, vamos relembrar como fatorar um número.
Acompanhe a conversa entre Marcos e Gabriela.
Considere o polinômio que representa a medida da área de cada retângulo.
• Retângulo amarelo: ax • Retângulo vermelho: az
• Retângulo azul: ay • Retângulo maior: a ⋅ (x + y + z)
Observe duas formas de expressar a medida da área do retângulo maior.
O produto de polinômios a ⋅ (x + y + z) é uma fórma fatorada do polinômio ax + ay + az.
Fatorar um polinômio significa escrevê-lo na fórma de um produto de dois ou mais polinômios.
Estudaremos a seguir diferentes casos de fatoração de polinômios: fator comum em evidência, agrupamento, diferença de dois quadrados e trinômio quadrado perfeito.
Orientações e sugestões didáticas
Fatoração de expressões algébricas
Objetivos
• Compreender, geométrica e algebricamente, alguns casos de fatoração: fator comum em evidência, agrupamento, diferença de dois quadrados e fatoração do trinômio quadrado perfeito.
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero nove.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove porque proporciona aos estudantes compreender os processos de fatoração de expressões algébricas com base em suas relações com os produtos notáveis.
Orientações
• Assim como nos produtos notáveis, deve-se dar destaque ao uso dos diferentes casos de fatoração como simplificação de cálculos e de expressões algébricas. É importante que os estudantes percebam e entendam como chegar a cada um dos casos de fatoração estudados. Com o tempo, a memorização será consequência da constante mobilização dessas ideias, e não resultado de um processo visando especificamente decorá-las.
(ê éfe zero nove ême ah zero nove) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os pro-dutos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Lembre-se: Escreva no caderno!
Fator comum em evidência
Vamos calcular a medida do perímetro do hexágono a seguir.
Podemos calcular a medida do perímetro do hexágono apresentado assim:
a + a + b + a + a + b = 4a + 2b
O polinômio 4a + 2b pode ser escrito de outras maneiras:
2 ⋅ 2a + 2b ou 2 ⋅ abre parênteses2a + bfecha parênteses
Portanto: 4a + 2b = 2 ⋅ abre parênteses2a + bfecha parênteses
Observações
• O produto 2 ⋅ abre parênteses2a + bfecha parênteses é uma fórma fatorada do polinômio 4a + 2b.
• O número 2 é um fator comum a todos os termos do polinômio 4a + 2b.
• Na fórma fatorada do polinômio 4a + 2b, o número 2 foi colocado em evidência.
• O fator abre parênteses2a + bfecha parênteses é o quociente do polinômio 4a + 2b pelo fator comum 2.
Quando os termos de um polinômio têm um fator comum, é possível colocar esse fator em evidência e obter uma fórma fatorada do polinômio.
Exemplos
• Vamos fatorar o polinômio ay + by.
Portanto, y ⋅ abre parêntesesa + bfecha parênteses é uma fórma fatorada do polinômio ay + by.
• Vamos fatorar o polinômio 20xelevado a 3yelevado a 3 + 10xelevado a 2yelevado a 2 + 2xy.
Portanto, 2xy ⋅ abre parênteses10x elevado a 2y elevado a 2 + 5xy + 1fecha parênteses é uma fórma fatorada do polinômio 20x elevado a 3y elevado a 3 + 10x elevado a 2y elevado a 2 + 2xy.
Orientações e sugestões didáticas
• Comente com os estudantes que a colocação de um fator comum em evidência se baseia na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, que permite escrever na fórma de produto (ou seja, fatorar, fazer aparecer os fatores) uma escrita aditiva, e vice-versa.
• É importante ficar claro que fator comum é o fator que aparece em cada parcela do polinômio. Alguns polinômios podem ser fatorados de diversas maneiras. Por exemplo:
fator comum 2:
4xelevado a 2 + 8x = 2 ⋅ abre parênteses2xelevado a 2 + 4x)
fator comum 4:
4xelevado a 2 + 8x = 4 ⋅ abre parêntesesxelevado a 2 + 2xfecha parênteses
fator comum x:
4xelevado a 2 + 8x = x ⋅ abre parênteses4x + 8fecha parênteses
fator comum 4x:
4xelevado a 2 + 8x = 4x ⋅ abre parêntesesx + 2fecha parênteses
Explique que, quando há mais de um fator comum, como no caso apresentado, geralmente colocamos em evidência todos os fatores comuns.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Copie o quadro no caderno e complete-o.
|
Número |
Uma forma fatorada |
|---|---|
|
3 ⋅ 5 ⋅ 40 |
|
|
123 |
|
|
2 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ 100 |
|
|
231 |
|
|
5 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 13 |
|
|
429 |
2. Escreva na fórma de produto o polinômio que representa a medida de área de cada figura.
a)
b)
3. Escreva um fator comum a todos os termos de cada polinômio.
a) 32x elevado a 2y menos 56xy elevado a 2
b) 36ab menos 18bc menos 24ac
c)
Sentença matemática. Fração y ao cubo sobre 2 menos fração y ao quadrado sobre 6.4. Fernanda levou seus sobrinhos à lanchonete e, ao ver o cardápio, ficou preocupada com o valor que gastaria. Observe.
• Por que Fernanda pensou dessa maneira para calcular o valor total da conta? Responda em seu caderno.
5. Na aula de Matemática, Rogério escreveu no caderno uma fórma fatorada do polinômio 8x elevado a 2 menos 4x.
• Rogério está certo ou errado? Justifique.
6. Escreva na fórma fatorada o polimônio que representa a medida do perímetro da figura a seguir, sabendo que os segmentos de mesma cor têm a mesma medida de comprimento.
7. Se a e b são as medidas de comprimento dos lados de um retângulo com medida de área igual a 45 e perímetro medindo 28, qual é o valor numérico da expressão 6a elevado a 2b + 6abelevado a 2?
8.
Observe a igualdade a seguir.
2 ⋅ abre parêntesesx + yfecha parênteses + 5 ⋅ abre parêntesesx + yfecha parênteses = 7 ⋅ abre parêntesesx + yfecha parênteses
Agora, calcule mentalmente os itens a seguir.
a) 3 ⋅ abre parêntesesa + bfecha parênteses + 11 ⋅ abre parêntesesa + bfecha parênteses
b) 12 ⋅ abre parêntesesx elevado a 5 + xfecha parênteses + 35 ⋅ abre parêntesesx elevado a 5 + xfecha parênteses
c) 44 ⋅ abre parêntesesy + belevado a 2fecha parênteses menos 33 ⋅ abre parêntesesy + belevado a 2fecha parênteses
d) 67 ⋅ abre parêntesesx elevado a 4 + afecha parênteses menos 13 ⋅ abre parêntesesx elevado a 4 + afecha parênteses
9.
Reúna-se com alguns colegas e desenhem, no caderno, uma figura cuja medida de área possa ser representada pelo polinômio 4x ⋅ abre parêntesesx menos 4fecha parênteses, em que x > 4.
Respostas e comentários
1. Resposta em Orientações.
2. a) x ⋅ abre parêntesesa + bfecha parênteses
2. b) 6y elevado a 2
3. Exemplos de resposta:
3. a) 8xy
3. b) 6
3. c)
Fração. Y sobre 2.4. Espera-se que os estudantes respondam que, se os três pedissem os mesmos itens do cardápio, o valor total seria 3x + 3y + 3z, que é igual a 3 ⋅ abre parêntesesx + y + zfecha parênteses.
5. Rogério está errado, pois 4x ⋅ abre parênteses2x + xfecha parênteses = 8x elevado a 2 + 4x elevado a 2 = 12x elevado a 2, ou seja, 4x ⋅ abre parênteses2x + xfecha parênteses não é uma fórma fatorada do polinômio 8x elevado a 2 menos 4x.
6. Exemplo de resposta: 4 ⋅ abre parêntesesx + 2y + 5fecha parênteses
7. .3780
8. a) 14 ⋅ abre parêntesesa + bfecha parênteses
8. b) 47 ⋅ abre parêntesesx elevado a 5 + xfecha parênteses
8. c) 11 ⋅ abre parêntesesy + belevado a 2fecha parênteses
8. d) 54 ⋅ abre parêntesesx elevado a 4 + afecha parênteses
9. Exemplo de resposta:
Orientações e sugestões didáticas
• Nos exercícios de fatoração de números ou de polinômios, os estudantes podem encontrar outra resposta além da indicada.
• Resposta da atividade 1:
|
Número |
Uma forma fatorada |
|---|---|
|
600 |
3 ⋅ 5 ⋅ 40 |
|
123 |
3 ⋅ 41 |
|
7.200 |
2 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ 100 |
|
231 |
3 ⋅ 7 ⋅ 11 |
|
3.640 |
5 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 13 |
|
429 |
3 ⋅ 11 ⋅ 13 |
Na atividade 7, espera-se que os estudantes percebam que, como a medida da área do retângulo é 45, podemos escrever a ⋅ b = 45. Se a medida do perímetro do retângulo é 28, então 2a + 2b = 28; logo:
a + b = 14.
Para calcular o valor numérico da expressão podemos fatorá-la. Assim:
6aelevado a 2b + 6abelevado a 2 =
= 6ababre parêntesesa + bfecha parênteses =
= 6 ⋅ 45 ⋅ 14 =
= .3780
• Na atividade 9, pergunte aos estudantes por que x deve ser maior que 4. Espera-se que eles percebam que, se x for menor ou igual a 4, a medida de área da figura a ser desenhada será menor ou igual a zero, o que é impossível, pois a área é uma medida e, portanto, é expressa por um número positivo.
Agrupamento
Podemos fatorar um polinômio agrupando termos que têm fatores comuns e colocando esses termos em evidência.
Considere a figura a seguir.
O polinômio que representa a medida de área dessa figura é dado pela soma das medidas de áreas dos quatro retângulos que a compõem:
ax + ay + bx + by
Podemos escrever esse polinômio de outra maneira:
Assim: ax + ay + bx + by = abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesx + yfecha parênteses
Portanto, o produto abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesx + yfecha parênteses é uma fórma fatorada do polinômio ax + ay + bx + by.
Exemplos
• Vamos fatorar o polinômio xelevado a 4 menos y + xy + xelevado a 3.
Assim: x elevado a 4 menos y + xy menos x elevado a 3 = abre parêntesesx menos 1fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx elevado a 3 + yfecha parênteses
Portanto, abre parêntesesx menos 1fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx elevado a 3 + yfecha parênteses é uma fórma fatorada do polinômio x elevado a 4 menos y + xy menos x elevado a 3.
• Vamos fatorar o polinômio 2aelevado a 2 + 4ab + ba + 2belevado a 2.
Assim: 2aelevado a 2 + 4ab + ba + 2belevado a 2 = abre parêntesesa + 2bfecha parênteses ⋅ abre parênteses2a menos bfecha parênteses
Portanto abre parêntesesa + 2bfecha parênteses ⋅ abre parênteses2a menos bfecha parênteses é uma forma fatorada do polinômio 2aelevado a 2 + 4ab + ba + 2belevado a 2.
Respostas e comentários
sim; abre parêntesesx + yfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa + bfecha parênteses; sim
Orientações e sugestões didáticas
• É interessante ressaltar que a fatoração por agrupamento é feita aplicando-se a técnica do fator comum em evidência mais de uma vez.
• Mostre que toda fatoração pode ser conferida por meio da realização da multiplicação dos fatores que resultaram da fatoração. O resultado dessa multiplicação deve ser o polinômio inicial.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Fatore os polinômios e responda à questão.
a) 7bx + x menos 7by menos y
b)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 7, fim da raiz quadrada, vezes x mais 2 raiz quadrada de 7, fim da raiz quadrada, vezes x ao quadrado.c) ax + x + a + 1
d) 7bx + xb menos 7b menos yb
• Dos polinômios apresentados, quais foram fatorados por agrupamento?
2. Fatore os polinômios.
a) 8x elevado a 2 + 8y + mx elevado a 2 + my
b) 7a menos 21y elevado a 2 + ab menos 3by elevado a 2
c) 3ax + 3ay menos bx menos by
d) x elevado a 3 + x elevado a 2 menos x menos 1
3. Escreva no caderno o produto de polinômios que representa a medida de área de cada figura.
a)
b)
4.
Junte-se a um colega e desenhem figuras cuja medida de área possa ser representada pelos produtos a seguir.
a) abre parênteses8 + xfecha parênteses ⋅ abre parênteses11 + yfecha parênteses
b) abre parênteses8 + xfecha parênteses ⋅ abre parênteses11 menos yfecha parênteses
c) abre parênteses8 menos xfecha parênteses ⋅ abre parênteses11 + yfecha parênteses
d) abre parênteses8 menos xfecha parênteses ⋅ abre parênteses11 menos yfecha parênteses
5. Encontre o erro na fatoração a seguir.
3elevado a 4b menos b + 3b elevado a 2 menos 3elevado a 3 =
= abre parênteses3elevado a 4b menos 3elevado a 3fecha parênteses + abre parêntesesmenosb + 3b elevado a 2fecha parênteses =
= 3elevado a 3abre parênteses3b menos 0fecha parênteses + babre parêntesesmenos0 + 3bfecha parênteses =
= abre parênteses3b menos 0fecha parênteses ⋅ abre parênteses3elevado a 3 + bfecha parênteses
6. Observe o exemplo e faça os demais itens. Escreva no caderno dois polinômios quaisquer que tenham como:
a) fator comum abre parênteses4x + 5fecha parênteses;
abre parênteses3x + 1fecha parênteses ⋅ abre parênteses4x + 5fecha parênteses e abre parênteses5 + nfecha parênteses ⋅ abre parênteses4x + 5fecha parênteses
b) fator comum abre parênteses2z + 9fecha parênteses;
c) fatores comuns abre parênteses3 menos z elevado a 2fecha parênteses e abre parêntesesz elevado a 2 menos 3fecha parênteses.
7. O
Observe a figura a seguir e suas medidas.
• Junte-se a um colega para criar um problema que envolva fatoração e esteja relacionado com a medida de área dessa figura.
8. Duas turmas de estudantes de uma escola farão uma excursão a um parque de diversões. Ao todo, irão ao passeio a estudantes da turma a e b estudantes da turma B. Cada estudante gastará t reais com transporte e e reais com a entrada.
Para cada item, represente o gasto, em real, por meio de uma expressão na fórma fatorada.
a) Transporte dos estudantes da turma a.
b) Transporte dos estudantes da turma B.
c) Transporte de todos os estudantes.
d) Entrada dos estudantes da turma a.
e) Entrada dos estudantes da turma B.
f ) Entrada de todos os estudantes.
g) Transporte e entrada de todos os estudantes.
h) Considerando que a turma a tem 23 estudantes, a turma B tem 27, o transporte custa R$ 15,00quinze reais e a entrada custa R$ 45,00quarenta e cinco reais, responda: qual será o custo total dessa excursão?
Respostas e comentários
1. a) abre parênteses7b + 1fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos y)
1. b)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 7 vezes x.⋅ abre parênteses1 + 2xfecha parênteses
1. c) abre parêntesesa + 1fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx + 1fecha parênteses
1. d) b ⋅ abre parênteses8x menos 7 menos yfecha parênteses
1 • alternativas a e c
2. a) abre parênteses8 + mfecha parênteses ⋅ abre parêntesesx elevado a 2 + yfecha parênteses
2. b) abre parênteses7 + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos 3y elevado a 2fecha parênteses
2. c) abre parênteses3a menos bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesx + yfecha parênteses
2. d) abre parêntesesx elevado a 2 menos 1fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx + 1fecha parênteses
3. a) abre parêntesesm + nfecha parênteses ⋅ abre parêntesesx + yfecha parênteses
3. b) 5y ⋅ abre parêntesesx + 1fecha parênteses
4. Respostas em Orientações.
5. Resposta na seção Resoluções neste manual.
6. Respostas na seção Resoluções neste manual.
7. Resposta pessoal.
8. a) at
8. b) bt
8. c) abre parêntesesa + bfecha parêntesest
8. d) ae
8. e) be
8. f) abre parêntesesa + bfecha parêntesese
8. g) abre parêntesesa + b)(t + efecha parênteses
8. h) R$ 3.000,00três mil reais
Orientações e sugestões didáticas
• Nos exercícios de fatoração, os estudantes podem encontrar outra resposta além da indicada.
• Exemplos de resposta da atividade 4:
a)
b)
c)
d)
Diferença de dois quadrados
Já vimos que, ao desenvolver o produto notável abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses, obtemos aelevado a 2 menos belevado a 2. Quando fazemos a ordem inversa, ou seja, quando transformamos aelevado a 2 menos belevado a 2 em abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses, fatoramos o polinômio aelevado a 2 menos belevado a 2.
Quando a > b > 0, podemos representar essa situação geometricamente. Para isso, transformamos uma figura, cuja medida de área é representada pelo polinômio a elevado a 2 menos b elevado a 2, em um retângulo de mesma medida de área.
Acompanhe como podemos fatorar alguns polinômios.
• Vamos fatorar o polinômio x elevado a 2 menos 49.
Como 49 = 7elevado a 2, escrevemos: x elevado a 2 menos 49 = x elevado a 2 menos 7elevado a 2 = abre parêntesesx + 7fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos 7fecha parênteses
Portanto, abre parêntesesx + 7fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos 7fecha parênteses é uma fórma fatorada do polinômio x elevado a 2 menos 49.
Se x > 7, geometricamente temos:
Orientações e sugestões didáticas
• Se os estudantes tiverem dificuldade em visualizar o caso de fatoração da diferença de dois quadrados, complemente as discussões com a representação geométrica do exemplo a seguir:
Assim, a composição do retângulo fornece o resultado:
100elevado a 2 menos 60elevado a 2 =
= abre parênteses100 + 60fecha parênteses ⋅ 40 =
= abre parênteses100 + 60fecha parênteses ⋅ abre parênteses100 menos 60fecha parênteses
Observe que substituímos 40 por 100 menos 60.
• Vamos fatorar o polinômio 16aelevado a 2 menos x elevado a 2y elevado a 2.
Como 16a elevado a 2 = abre parênteses4afecha parênteseselevado a 2 e x elevado a 2y elevado a 2 = abre parêntesesxyfecha parênteseselevado a 2, escrevemos:
16aelevado a 2 menos x elevado a 2y elevado a 2 = abre parênteses4afecha parênteseselevado a 2 menos abre parêntesesxyfecha parênteseselevado a 2 = abre parênteses4a + xyfecha parênteses ⋅ abre parênteses4a menos xyfecha parênteses
Portanto, abre parênteses4a + xyfecha parênteses ⋅ abre parênteses4a menos xyfecha parênteses é uma fórma fatorada do polinômio 16aelevado a 2 menos x elevado a 2y elevado a 2.
Se 4a > xy > 0, geometricamente temos:
Desafio
Responda às perguntas de Diego e de Lorenzo.
Dica: represente um número por x, seu sucessor por x + 1, um número par por 2x e seu sucessor par por 2x + 2.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Escreva os polinômios na fórma fatorada.
a) 81x elevado a 2 menos 1
b) a elevado a 4 menos 121b elevado a 2
c)
Sentença matemática. Fração 1 quarto menos fração 4 nonos vezes y ao quadrado.d) menos25 + d elevado a 4
e)
Sentença matemática. Fração 25 sobre 16 vezes x elevado a 4, fim da potência, vezes y elevado a 8 menos fração 1nono vezes x ao quadrado vezes y elevado a 6.f )
Sentença matemática. 49 vezes z ao quadrado vezes y ao quadrado menos fração 1 sobre 64.2. Samir, Régis e Luana fizeram a fatoração do polinômio 9x elevado a 4 menos y elevado a 2z elevado a 2.
• Quem acertou?
Respostas e comentários
Desafio: Resposta para Diego: é um número ímpar, pois abre parêntesesx + 1fecha parênteseselevado a 2 menos x elevado a 2 = 2x + 1.
Resposta para Lorenzo: sim, pois abre parênteses2x + 2fecha parênteseselevado a 2 menos abre parênteses2xfecha parênteseselevado a 2 = 4 ⋅ abre parênteses2x + 1fecha parênteses.
1. a) abre parênteses9x + 1fecha parênteses ⋅ abre parênteses9x menos 1fecha parênteses
1. b) abre parêntesesa elevado a 2 + 11bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa elevado a 2 menos 11bfecha parênteses
1. c)
Sentença matemática. Abre parênteses, fração 1 meio mais fração 2 terços vezes y, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, fração 1 meio menos fração 2 terços vezes y, fecha parênteses.1. d) abre parêntesesd elevado a 2 + 5fecha parênteses ⋅ abre parêntesesd elevado a 2 menos 5fecha parênteses
1. e)
Sentença matemática. Abre parênteses, fração 5 quartos vezes x ao quadrado vezes y elevado a 4 mais fração 1 terço vezes x vezes y ao cubo, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, fração 5 quartos vezes x ao quadrado vezes y elevado a 4 menos fração 1 terço vezes x vezes y ao cubo, fecha parênteses.1. f)
Sentença matemática. Abre parênteses, 7zy mais fração 1 oitavo, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, 7zy menos fração 1 oitavo, fecha parênteses.2. Luana
Orientações e sugestões didáticas
Para responder às dúvidas de Diego e de Lorenzo, no boxe Desafio, é preciso representar algebricamente cada caso.
Dúvida de Diego:
Calculando a diferença entre os quadrados de dois números naturais consecutivos, temos:
abre parêntesesx + 1fecha parênteseselevado a 2 menos abre parêntesesxfecha parênteseselevado a 2 =
= xelevado a 2 + 2x + 1 menos xelevado a 2 =
= 2x + 1
Como 2x + 1 é a soma de um número par abre parênteses2xfecha parênteses com o número 1, ele é ímpar.
Logo, a diferença entre os quadrados de dois números naturais consecutivos é um número ímpar.
Dúvida de Lorenzo:
Calculando a diferença entre os quadrados de dois números naturais pares consecutivos, temos:
abre parênteses2x + 2)elevado a 2 menos abre parênteses2x)elevado a 2 =
= 4xelevado a 2 + 8x + 4 menos 4xelevado a 2 =
= 8x + 4 =
= 4 ⋅ abre parênteses2x + 1fecha parênteses
Logo, a resposta é sim, pois o resultado é o quádruplo de 2x + 1, que é o número ímpar que está entre 2x e 2x + 2.
• Nos exercícios de fatoração, os estudantes podem encontrar outra resposta além da indicada.
3. Escreva o polinômio que representa a medida da área da parte laranja de cada figura e fatore-o.
a)
b)
4.
Alessandra calcula mentalmente o produto de alguns números com a ajuda da fórma fatorada da diferença de dois quadrados.
Para calcular, por exemplo, 73 ⋅ 87, ela faz:
73 ⋅ 87 = abre parênteses80 menos 7fecha parênteses ⋅ abre parênteses80 + 7fecha parênteses = 80elevado a 2 menos 7elevado a 2 = .6400 menos 49 = .6351
Faça como Alessandra e obtenha os produtos registrando os resultados no caderno.
a) 47 ⋅ 53
b) 74 ⋅ 66
c) 999 ⋅ .1001
d) 62 ⋅ 58
5. Beatriz queria uma mesa que tivesse um lado que medisse 40 centímetros de comprimento e o tampo medisse .6400 centímetros quadrados de área.
Querendo fazer-lhe uma surpresa, seu marido aproveitou algumas peças de madeira que tinha em casa e construiu esta mesa:
No entanto, Beatriz queria uma mesa de superfície retangular. Então, ela pediu ao marido que mudasse o formato do tampo.
a) O que ele deverá fazer para mudar o formato do tampo sem alterar a medida da área da mesa?
b) Use essa situação para explicar que: 100elevado a 2 menos 60elevado a 2 = abre parênteses100 + 60fecha parênteses ⋅ abre parênteses100 menos 60fecha parênteses
6.
Escreva no caderno um polinômio na fórma fatorada que represente a medida de área da figura.
Trinômio quadrado perfeito
Trinômio quadrado perfeito aelevado a 2 + 2ab + belevado a 2
O professor de Júlia pediu a ela que usasse um polinômio para representar algebricamente a medida da área A do quadrado a seguir. Observe como ela fez.
Respostas e comentários
3. a) 169a elevado a 2 menos 64b elevado a 2 = abre parênteses13a + 8bfecha parênteses ⋅ abre parênteses13a menos 8bfecha parênteses
3. b) .10000x elevado a 2 menos 625y elevado a 4 = abre parênteses100x + 25y elevado a 2fecha parênteses ⋅ abre parênteses100x menos 25y elevado a 2fecha parênteses
4. a) .2491
4. b) .4884
4. c) .999999
4. d) .3596
5. Respostas em Orientações.
6. abre parênteses y menos 2xfecha parênteses ⋅ abre parênteses y + 2xfecha parênteses
Orientações e sugestões didáticas
• Resolução da atividade 5:
a) Podemos dividir a superfície da mesa e obter dois retângulos.
Feito isso, juntamos os dois retângulos para obter apenas um.
Dessa maneira, obtemos um retângulo com um dos lados medindo 40 centímetros de comprimento e medida de área igual a .6400 centímetros quadrados.
b) Ao observar a primeira figura do item a, verificamos que a área do tampo pode ser expressa por 100elevado a 2 menos 60elevado a 2.
Ao mudar o formato do tampo, a medida de área de sua superfície pode ser expressa por:
abre parênteses100 + 60fecha parênteses ⋅ abre parênteses100 menos 60fecha parênteses
Levando em conta que houve apenas uma mudança no formato, sem alteração na área a ser medida, podemos escrever:
100elevado a 2 menos 60elevado a 2 = abre parênteses100 + 60fecha parênteses ⋅ abre parênteses100 menos 60fecha parênteses
• Resolução da atividade 6:
Caso seja necessário, reproduza a ilustração para que os estudantes identifiquem melhor o que se pede.
A medida da área da figura pode ser representada por:
y elevado a 2 menos 4x elevado a 2 = abre parêntesesy + 2xfecha parênteses ⋅ abre parêntesesy menos 2xfecha parênteses
Trinômio quadrado perfeito aelevado a 2 menos 2ab + belevado a 2
A pedido do professor, Júlia também usou um polinômio para representar algebricamente a medida da área a deste outro quadrado. Acompanhe como ela fez.
Exemplos
• Vamos fatorar o polinômio x elevado a 2 menos 10x + 25.
Como menos10x = menos2 ⋅ x ⋅ 5 e 25 = 5elevado a 2, escrevemos:
x elevado a 2 menos 10x + 25 = x elevado a 2 menos 2 ⋅ x ⋅ 5 + 5elevado a 2 = abre parêntesesx menos 5fecha parênteseselevado a 2
Portanto, abre parêntesesx menos 5fecha parênteseselevado a 2 é uma fórma fatorada do polinômio x elevado a 2 menos 10x + 25.
• Vamos fatorar o polinômio 9x elevado a 2 + 6xy + yelevado a 2.
Como 9x elevado a 2 = abre parênteses3xfecha parênteseselevado a 2 e 6xy = 2 ⋅ abre parênteses3xfecha parênteses ⋅ y, escrevemos:
9x elevado a 2 + 6xy + y elevado a 2 = abre parênteses3xfecha parênteseselevado a 2 + 2 ⋅ abre parênteses3xfecha parênteses ⋅ y + y elevado a 2 = abre parênteses3x + yfecha parênteseselevado a 2
Portanto, abre parênteses3x + yfecha parênteseselevado a 2 é uma fórma fatorada do polinômio 9x elevado a 2 + 6xy + y elevado a 2.
Orientações e sugestões didáticas
• Para fatorar trinômios quadrados perfeitos, são necessários alguns cuidados. Por exemplo: dado 16 menos 8x + xelevado a 2, pode-se pensar em extrair a raiz quadrada dos quadrados, como segue:
Sentença matemática. Raiz quadrada de 16.
= 4 e
Sentença matemática. Raiz quadrada de x ao quadrado.= x
Com isso: 16 menos 8x + xelevado a 2 =
= abre parênteses4 menos xfecha parênteseselevado a 2
O resultado está correto, porém o procedimento não.
A sentença
Sentença matemática. Raiz quadrada de x ao quadrado.= x não é verdadeira para todo x real.
Vamos supor x real e negativo. Sabe-se que xelevado a 2 é não negativo e que, por definição,
Sentença matemática. Raiz quadrada de x ao quadrado.também é não negativo; logo,
Sentença matemática. Raiz quadrada de x ao quadrado.= x indica uma contradição.
A sentença correta é
Sentença matemática. Raiz quadrada de x ao quadrado.= |x|.
Outro cuidado sobre extrair a raiz quadrada do primeiro e do terceiro termos é a necessidade de deixar claro que nem sempre os termos de um trinômio quadrado perfeito estão na ordem aelevado a 2 + 2ab + belevado a 2. Assim, o mais importante é os estudantes reconhecerem cada termo do trinômio quadrado perfeito, independentemente da ordem em que apareçam.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Escreva no caderno o polinômio cuja fórma fatorada é apresentada a seguir.
a)
Sentença matemática. Abre parênteses, fração 3 quintos mais x, fecha parênteses, ao quadrado.b)
Sentença matemática. Abre parênteses, y mais raiz quadrada de 11, fecha parênteses, ao quadrado.c)
Sentença matemática. Abre parênteses, fração menos 1 meio vezes x ao cubo mais fração 1 terço vezes y ao quadrado, fecha parênteses, ao quadrado.d) abre parêntesesax elevado a 2 menos bfecha parênteseselevado a 2
2. Escreva uma fórma fatorada de cada polinômio.
a) x elevado a 2 + 28x + 196
b) 121x elevado a 2 menos 154x + 49
c) menos 400x + x elevado a 2 + .40000
d) 400 menos 40x + xelevado a 2
e) 225x elevado a 8 + 121 menos 330x elevado a 4
f ) x elevado a 2 menos x +
Fração 1 quarto.g) 64 + x elevado a 6 + 16xelevado a 3
3. Observe o quadrado e faça o que se pede.
a) Escreva o polinômio que representa a medida da área do quadrado azul.
b) Qual é a medida de comprimento do lado do quadrado a bê cê dê?
4. Determine o valor numérico do polinômio aelevado a 3b + 2a elevado a 2b elevado a 2 + abelevado a 3, sabendo que ab = 20 e a + b = menos7.
5. Escreva uma fórma fatorada do polinômio:
100aelevado a 2 menos 100belevado a 2
6. Copie as afirmações verdadeiras no caderno.
a) Uma fórma fatorada do polinômio 5x elevado a 2 menos 5y elevado a 2 é 5 ⋅ abre parêntesesx + yfecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos yfecha parênteses.
b) 18x elevado a 3 + 60x elevado a 2y + 50xy elevado a 2 pode ser escrito na fórma de produto de quatro polinômios de grau maior ou igual a 1.
c) 3 ⋅ abre parêntesesx menos 1)elevado a 2 é uma fórma fatorada do polinômio 3x elevado a 2 menos 6x + 3.
d) a elevado a 2 + x elevado a 2 + 2ax menos 1 é a fórma fatorada do polinômio ax + x elevado a 2.
7. Fatore os polinômios.
a) 2x elevado a 2 + 8x + 8
b)
Fração x ao quadrado sobre 3.menos 2x + 3
8. Responda às questões no caderno.
9.
Resolva.
Respostas e comentários
1. a)
Sentença matemática. Fração 9 sobre 25 mais fração 6 sobre 5 vezes x mais x ao quadrado.1. b)
Sentença matemática. y ao quadrado mais 2 raiz quadrada de 11 vezes y mais 11.1. c)
Sentença matemática. Fração 1 quarto vezes x elevado a 6 menos fração 1 terço vezes x ao cubo vezes y ao quadrado mais 1 nono vezes y elevado a 4.1. d) a elevado a 2x elevado a 4 menos 2ax elevado a 2b + b elevado a 2
2. a) abre parêntesesx + 14fecha parênteseselevado a 2 ou abre parêntesesmenosx menos 14fecha parênteseselevado a 2
2. b) abre parênteses11x menos 7fecha parênteseselevado a 2 ou abre parênteses7 menos 11xfecha parênteseselevado a 2
2. c) abre parêntesesx menos 200fecha parênteseselevado a 2 ou abre parênteses200 menos xfecha parênteseselevado a 2
2. d) abre parêntesesmenosx + 20fecha parênteseselevado a 2 ou abre parêntesesx menos 20fecha parênteseselevado a 2
2. e) abre parênteses15x elevado a 4 menos 11fecha parênteseselevado a 2 ou abre parênteses11 menos 15x elevado a 4fecha parênteseselevado a 2
2. f)
Abre parênteses x menos 1 meio, fecha parênteses, ao quadrado ou abre parênteses 1 meio menos x, fecha parênteses, ao quadrado.2. g) abre parêntesesx elevado a 3 + 8fecha parênteseselevado a 2 ou abre parêntesesmenosx elevado a 3 menos 8fecha parênteseselevado a 2
3. a) y elevado a 2
3. b) 2x + y
4. 980
5. Exemplo de resposta: 100 ⋅ abre parêntesesa + bfecha parênteses ⋅ abre parêntesesa menos bfecha parênteses
6. alternativas a e c
7. a) 2abre parêntesesx + 2fecha parênteseselevado a 2 ou 2abre parêntesesmenosx menos 2fecha parênteseselevado a 2
7. b)
Sentença matemática. Fração 1 terço vezes, abre parênteses, x menos 3, fecha parênteses, ao quadrado. Ou Sentença matemática. Fração 1 terço vezes, abre parênteses, 3 menos x, fecha parênteses, ao quadrado.8. Exemplo de resposta: polinômio menos 4x elevado a 2 + 8; binômio y elevado a 3 menos 3x elevado a 2 ou 3xelevado a 2 menos y elevado a 3.
9.
Sentença matemática. Fração 11 sextos. Ou , sentença matemática. Fração menos 3 meios.Orientações e sugestões didáticas
• Nos exercícios de fatoração, os estudantes podem encontrar outra resposta além da indicada.
Compreender um texto
faça as atividades no caderno
Agricultura familiar
Você sabe o que é a agricultura familiar? O texto a seguir traz informações sobre esse sistema agrícola, suas características e benefícios.
O que é agricultura familiar e qual é a sua importância?
[reticências] Para ser caracterizada como agricultura familiar, a produção deve utilizar mão de obra de sua própria família nas atividades econômicas e a propriedade não pode ser maior que quatro módulos fiscais. A direção do empreendimento agropecuário deve ser realizada por membros da família. Além disso, uma parte mínima da renda familiar precisa ser gerada pela propriedade rural. [reticências]
Saiba mais
Módulo fiscal: unidade de medida de área, em hectare, cujo valor é fixado pelo Instituto Nacional de Colonização e Reforma Agrária (íncra). No Brasil, o módulo fiscal mede de 5 a 110 hectares, dependendo do munícipio onde a propriedade está localizada.
Orientações e sugestões didáticas
Compreender um texto
Objetivos
• Desenvolver a competência leitora.
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove da Bê êne cê cê.
• Possibilitar o desenvolvimento de aspectos dos temas contemporâneos transversais Educação ambiental e Trabalho das macroáreas Meio Ambiente e Economia, respectivamente.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove pois possibilita que os estudantes apliquem os processos de fatoração de expressões algébricas para resolver problemas envolvendo equações polinomiais do 2º grau.
Orientações
• Para ampliar o trabalho com o tema proposto, questione os estudantes a fim de identificar se eles já conheciam o sistema de agricultura familiar. Durante a conversa, incentive-os a comentar suas experiências com o assunto. Na sequência, converse com eles sobre os benefícios da agricultura familiar. Espera-se que eles percebam que, ao utilizarem métodos naturais de adubação e de combate às pragas, esses agricultores reduzem o uso de agrotóxicos e fertilizantes sintéticos. Além do impacto ambiental positivo, essas medidas proporcionam um produto de melhor qualidade ao consumidor final. Se necessário, explique que a produção orgânica resulta em alimentos mais saborosos e nutritivos que os convencionais.
(ê éfe zero nove ême ah zero nove) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
[reticências] Como funciona a produção agrícola em família?
O agricultor familiar tem uma relação muito próxima com a terra, com seu local de trabalho e moradia. A produção é equilibrada entre os alimentos destinados à subsistência da família e os vendidos ao mercado. [reticências]
[reticências] O manejo do solo costuma ser orgânico, com respeito ao ecossistema, reduzindo o impacto no meio ambiente. Isso porque as práticas mais tradicionais valorizam medidas naturais de adubação e combate a pragas.
Muitos agricultores familiares também se dedicam ao extrativismo vegetal, colhendo produtos nativos, para comercializar regionalmente e ampliar a sua fonte de renda.
Qual é a importância da agricultura familiar?
Mais de 80% de todos os alimentos produzidos no mundo têm como origem propriedades familiares, segundo a Organização das Nações Unidas (ONU). Em reconhecimento a essa importância, a ONU decretou que a década entre 2019 e 2028 é dedicada à agricultura familiar e estabelece uma série de ações para fomentar a prática.
No Brasil, o Censo Agrícola do IBGE indica que a agricultura familiar é a base econômica de 90% dos municípios brasileiros com até 20 mil habitantes, com uma produção diversificada de grãos, proteínas animal e vegetal, frutas, verduras e legumes. [reticências]
O QUE é agricultura familiar e qual é a sua importância? Estadão, São Paulo, 25 outubro 2021. Disponível em: https://oeds.link/A4YKhA. Acesso em: 24 fevereiro 2022.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. O que caracteriza a agricultura familiar?
2. Como funciona esse sistema de agricultura?
3. De acordo com o texto, é possível afirmar que a agricultura familiar possui um papel central na produção de alimentos no mundo? Justifique.
4. Cláudia é agricultora familiar e planta mandioca em uma região retangular. Atualmente, sua produção de mandioca é de .1437,5 quilogramas. Ela deseja aumentar 15 métros na medida do comprimento da região de plantio dessa cultura, conforme mostra a imagem.
Sabendo que Cláudia colhe, em média, 2,5 quilogramas de mandioca por metro quadrado de plantio, responda.
a) Após o aumento na medida do comprimento, quanto medirá a área da região de plantio?
b) Qual será a produção de mandioca após o aumento da região de plantio?
Respostas e comentários
1. A direção e a produção devem ser realizadas por membros de uma família, a propriedade não pode medir mais que quatro módulos fiscais e uma parte mínima da renda familiar precisa ser gerada pela propriedade rural.
2. O agricultor familiar tem uma relação muito próxima com a terra, com seu local de trabalho e moradia. A produção é equilibrada entre os alimentos destinados à subsistência da família e os vendidos ao mercado. Além disso, o manejo do solo costuma ser orgânico, com respeito ao ecossistema.
3. Sim, pois, entre os alimentos produzidos no mundo, mais de 80% têm como origem propriedades familiares.
4. a) 920 métros quadrados
4. b) .2300 quilogramas
Orientações e sugestões didáticas
• Durante a conversa com os estudantes, explique que a agricultura familiar empregava mais de 10 milhões de pessoas em setembro de 2017, o que corresponde a 67% do total de pessoas ocupadas na agropecuária, de acordo com o Censo Agropecuário de 2017.
• Caso algum estudante traga a informação de que a agricultura familiar é principal fonte geradora de renda em sua casa, valorize e incentive-o a compartilhar suas experiências. Esse tema contribui para o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais Trabalho e Educação Ambiental, das macroáreas Economia e Meio Ambiente, respectivamente.
• A página da Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (Embrapa), criada pelo Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento (Mapa), conta com um espaço dedicado à agricultura familiar, com soluções tecnológicas, vídeos, publicações e informações sobre as principais políticas públicas vigentes de apoio à agricultura familiar. Disponível em: https://oeds.link/47OkSu. Acesso em: 12 julho 2022.
• Caso os estudantes apresentem dificuldades na resolução da atividade 4, oriente-os a determinar inicialmente a medida de área da região retangular em que Cláudia planta mandioca atualmente. Para isso, basta dividir a produção atual de mandioca pela quantidade média colhida por metro quadrado, ou seja: .1437,5 dividido por 2,5 = 575.
a) Considerando que a medida de área é igual a 575 métros quadrados, temos:
x ⋅ abre parêntesesx + 2fecha parênteses = 575 ⇒ xelevado a 2 + 2x = 575 ⇒ x = 23 ou x = menos 25 (não convém)
Assim, os lados da área retangular, antes do aumento de 15 métros, medem 23 métros e 25 métros, pois x = 23 e x + 2 = 23 + 2 = 25.
Então, os comprimentos dos lados da nova região do terreno medem 23 métros e 40 métros, pois 25 métros + 15 métros = 40 métros. Calculando a nova medida de área, 23 ⋅ 40 = 920, obtemos 920 métros quadrados.
b) Calculando 2,5 ⋅ 920, obtemos .2300, ou seja, com a nova região de plantio será possível colher .2300 quilogramas de mandioca.
Estatística e Probabilidade
faça as atividades no caderno
Planejamento e execução de pesquisa amostral
Uma pesquisa estatística pode ser feita acessando toda a população (pesquisa censitária) ou uma parte dela (pesquisa amostral). Em geral, opta-se pelas pesquisas amostrais por razões econômicas e/ou pela impossibilidade de consultar toda a população.
Ao fazer uma pesquisa amostral, é importante que a amostra escolhida seja representativa da população que lhe dá origem. Analise algumas situações.
• O dono de uma fábrica deseja saber a qualidade das peças que produz. Para isso, precisa escolher uma amostra de algumas peças da produção diária ou semanal com o cuidado de alternar horários e as máquinas em que são produzidas.
• Um grupo de crianças será escolhido para testar a eficácia de uma nova vacina. Características como idade e sexo podem influenciar o resultado; por esse motivo, é preciso garantir que a amostra contenha meninos e meninas de diferentes idades.
Principais tipos de pesquisa amostral
Amostra casual simples
Neste tipo de seleção da amostra, os elementos da população são rotulados, recebendo um número por exemplo, e, por meio de um sorteio, os integrantes da amostra são selecionados para participar da pesquisa.
Exemplo: A professora enumera os estudantes da sala e sorteia 10 deles para responder a um questionário sobre preferências alimentares.
Amostra estratificada
Este tipo de amostra ocorre geralmente quando é possível dividir a população em subgrupos, chamados de estratos. A amostra é obtida por meio da seleção de elementos de cada subgrupo. Neste tipo de amostragem, é muito importante que a porcentagem de elementos de cada estrato seja igual.
Exemplo: Em um cinema, verifica-se que, de cada .1000 frequentadores, 55% são homens e 45% são mulheres; para fazer uma pesquisa sobre a limpeza dos sanitários do cinema, o gerente selecionou 10% de cada subgrupo, ou seja, 55 homens e 45 mulheres para responder ao questionário.
Amostra sistemática
Em situações cujos elementos da população se apresentam ordenados, como os prédios de uma rua, as mercadorias de uma linha de produção, entre outros, a seleção da amostra é feita por meio da retirada periódica de um elemento da população, ou seja, a cada determinada quantidade, um elemento é retirado para análise.
Exemplo: Em uma fábrica de lanternas, a cada quinhentas peças produzidas, uma é retirada para análise.
Orientações e sugestões didáticas
Estatística e Probabilidade
Objetivo
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah dois três.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Essa seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois três porque propõe aos estudantes que planejem e executem uma pesquisa amostral envolvendo um tema da realidade social.
Orientações
• Explore os tipos de amostras e, após a leitura da página, peça aos estudantes que deem mais exemplos de cada tipo. Relembre-os de que a amostra casual simples é aquela na qual os elementos da população são rotulados e a amostra é escolhida por meio de alguma espécie de sorteio. Já a amostra estratificada é aquela que é obtida por meio da seleção de indivíduos de cada estrato (subgrupo) de uma população. Por fim, a amostra sistemática é aquela cujos elementos da população, que se encontram ordenados, são retirados periodicamente.
(ê éfe zero nove ême ah dois três) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, cons-truídos com o apoio de planilhas eletrônicas.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Uma pesquisa para avaliar a intenção de voto para eleger um presidente foi realizada com 150 pessoas em um município cuja população estimada é de ..1555626 habitantes, em 2023.
a) Nessa pesquisa, qual deve ser a população estudada?
b) A amostra selecionada é representativa desta população? Por quê?
2. Analise cada situação e classifique o tipo de amostra.
a) A cada .1500 chips produzidos na fábrica xis ípsilon zê, 1 vai para o teste de qualidade.
b) No bairro Laranjeiras há .3000 moradores, em que 60% são mulheres e 40% são homens. Uma pesquisa sobre saúde e bem-estar será aplicada com 180 mulheres e 120 homens desse bairro.
c) Em um evento, cada convidado recebeu um número na entrada. No final do evento, foram sorteados 50 números para a entrega de um brinde.
3.
Reúna-se com alguns colegas para planejar e executar uma pesquisa amostral que envolva um tema da realidade social, identificando necessidades ou problemas enfrentados pela comunidade escolar.
a) Para o planejamento da pesquisa, respondam às questões a seguir.
• Qual é o tema da pesquisa?
• Qual é a importância desse tema para a comunidade?
• O que se pretende concluir com os dados coletados na pesquisa?
• Como essa pesquisa pode ajudar a comunidade?
• Qual é o público-alvo?
• Como será feita a seleção da amostra?
• Os dados serão coletados por meio de entrevista ou questionário?
• Que perguntas serão feitas?
b) Após a execução da pesquisa, respondam às perguntas.
• Definam que tipo de gráficos serão construídos. Por que escolheram esses tipos de gráfico?
• O que é possível concluir por meio dos gráficos construídos?
• Qual é a média aritmética, a moda e a mediana desse conjunto de dados? O que é possível concluir com base nessas medidas?
• O propósito inicial desta pesquisa foi alcançado?
Respostas e comentários
1. a) eleitores brasileiros
1. b) Espera-se que os estudantes percebam que a amostra não é representativa, pois foi coletada em apenas um município, o que não pode representar a diversidade de opiniões existentes no país.
2. a) amostra sistemática
2. b) amostra estratificada
2. c) amostra casual simples
3. Respostas pessoais.
Orientações e sugestões didáticas
• Na atividade 3, os estudantes deverão mobilizar os conceitos estudados para planejar e executar uma pesquisa amostral. Oriente-os quanto à escolha do tema, à formulação das perguntas da pesquisa e ao modo segundo o qual devem organizar o relatório.
• Também é importante orientar os grupos quanto à população escolhida, para que a pesquisa amostral possa ser efetivamente realizada. Adeque a atividade conforme as necessidades e a realidade da turma e da comunidade escolar.
• Avalie os conhecimentos adquiridos pelos estudantes no que tange à escolha do tipo de gráfico mais adequado para representar determinado conjunto de dados e à escolha da medida de tendência central que melhor representa o conjunto de dados obtido pelo grupo.
Trabalho em equipe
faça as atividades no caderno
Em diversos lugares, a rede de transportes públicos é usada diariamente pela maior parte da população. Milhões de pessoas se deslocam pelas cidades de ônibus, de trem e de metrô para trabalhar, estudar, se divertir etcétera A qualidade e a eficiência do transporte público afetam diretamente a vida das pessoas. Nesta seção, você e os colegas de grupo vão pesquisar as condições do transporte público no município onde vivem.
Pesquisa sobre o transporte público
Justificativa
O transporte público é um assunto muito importante para todos os cidadãos, já que interfere diretamente na vida de muita gente. Ao pesquisar questões relacionadas com o tema, teremos maior clareza sobre os problemas urbanos e suas soluções.
Objetivo
Realizar pesquisa estatística sobre a rede de transporte público do município, levantando dados sobre os tipos de transporte oferecidos, disponibilidade, organização no espaço geográfico, preços e estado de conservação.
Apresentação
Relatório escrito e exposição oral dos dados obtidos ao restante da classe com painéis ilustrados, contendo gráficos, tabelas estatísticas e legendas explicativas.
Questões para pensar em grupo
• Quais são os meios de transporte mais usados no município onde vocês moram?
• Existe uma rede estruturada de transporte público no município onde vocês moram? Que órgão é responsável por ela?
• Quais são os principais problemas de transporte enfrentados pelos moradores do município (preço, insuficiência dos serviços, falta de manutenção dos veículos, trânsito ruim etcétera)?
• Em um trabalho como esse, é possível abordar todas as questões que vocês consideram importantes? Se não, quais serão os pontos tratados?
• Que dados podem ajudá-los a abordar o tema de maneira resumida, mas completa?
• Como será feita a coleta de dados?
• Quais perguntas serão feitas nas entrevistas?
• Como os conhecimentos de gráficos e tabelas poderão ajudá-los a analisar e a expor, de modo organizado e eficiente, os dados da pesquisa?
NÃO SE esqueçam
• As prefeituras, ou os departamentos municipais de transporte, geralmente, mantêm estudos estatísticos sobre o assunto, deixando-os disponíveis à população.
• Escrevam as etapas necessárias para a realização da pesquisa.
• Elaborem um questionário para ser utilizado no dia das entrevistas.
• Para construir os gráficos, é possível utilizar planilhas eletrônicas.
Orientações e sugestões didáticas
Trabalho em equipe
Objetivos
• Aplicar, por meio de trabalhos em grupo, os conceitos estudados.
• Favorecer o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10, das competências específicas 7 e 8 e da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois três da Bê êne cê cê.
Orientações
• O trabalho proposto nesta seção tem o objetivo de gerar painéis ilustrados com dados estatísticos, apresentados sob a fórma de gráficos e tabelas, tendo como tema a rede de transporte público de um município.
• A proposta desse trabalho favorece o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10, das competências específicas 7 e 8 e da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois três da Bê êne cê cê porque integra os estudantes e estimula o planejamento e a execução de pesquisa.
• Incentive os estudantes ao diálogo, respeito e cooperação na realização das tarefas, bem como à autonomia e resiliência na tomada de decisões em grupo.
(ê éfe zero nove ême ah dois três) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Competência específica 7: Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência específica 8: Interagir com seus pares de fórma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Atividades de revisão
faça as atividades no caderno
1. Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
a) abre parênteses2x + 1fecha parênteseselevado a 2
b) abre parênteses2x menos 1fecha parênteseselevado a 2
c) abre parênteses2x + 1fecha parênteses ⋅ abre parênteses2x menos 1fecha parênteses
d) abre parênteses2x menos 2fecha parênteseselevado a 2
e)
Sentença matemática. Abre parênteses, 2x mais fração 1 meio, fecha parênteses, ao quadrado.f) abre parênteses10 menos xfecha parênteseselevado a 2
g) abre parênteses7 menos xfecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos 7fecha parênteses
h)
Sentença matemática. Abre parênteses, menos fração 2 terços vezes x mais fração 1 terço, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, fração 2 terços vezes x mais fração 1 terço, fecha parênteses.2. Considerando x = 2a menos 3 e y = 3a menos 2, determine:
a) x elevado a 2 + y elevado a 2
b) x elevado a 2 menos y elevado a 2
c) abre parêntesesy menos xfecha parênteseselevado a 2
d) abre colchete abre parêntesesx menos yfecha parênteses + abre parêntesesx + y)]²
3. Sabendo que n é um número real, descubra seu valor nas sentenças algébricas a seguir.
a) abre parêntesesx menos nfecha parênteseselevado a 2 = x elevado a 2 menos 16x + nelevado a 2
b) abre parêntesesx elevado a 2 menos nfecha parênteseselevado a 2 = x elevado a 4 menos 2nx elevado a 2 + 36
c) abre parênteses5x menos 3fecha parênteseselevado a 2 = nx elevado a 2 menos 30x + 9
d) abre parênteses2n menos xfecha parênteseselevado a 2 = 4 ⋅ abre parênteses5fecha parênteseselevado a 2 menos 4 ⋅ 5 ⋅ x + x elevado a 2
4. Faça o que se pede.
a) Se a = 2x menos 1, b = x + 3 e c = 2x + 1, determine o valor de ac menos belevado a 2.
b) Se x = m + 6 e y = m menos 6, determine o valor de x elevado a 2 menos y elevado a 2 + xy.
5. Teresa comprou um terreno de formato quadrado para construir uma casa que ocupe uma área quadrangular, conforme mostra o esquema a seguir.
• Que expressão algébrica representa a medida da área do terreno:
a) que será ocupada pela casa?
b) que não será ocupada pela casa?
6. Escreva um trinômio para representar a medida de área de cada figura.
a)
b)
7. Observe as figuras e calcule o que se pede.
a) Escreva o produto de polinômios que representa a medida de área de cada figura.
b) Se a = 2, b = 5, c = 3, x = 3 e y = 1, que figura tem maior medida de área?
8. Indique os meninos que fizeram uma afirmação correta.
Respostas e comentários
1. a) 4x elevado a 2 + 4x + 1
1. b) 4x elevado a 2 menos 4x + 1
1. c) 4x elevado a 2 menos 1
1. d) 4x elevado a 2 menos 8x + 4
1. e) 4x elevado a 2 + 2x +
Fração 1 quarto.1. f) 100 menos 20x + x elevado a 2
1. g) menosx elevado a 2 + 14x menos 49
1. h)
Sentença matemática. Fração 1 nono menos fração 4 nonos vezes x ao quadrado.2. a) 13a elevado a 2 menos 24a + 13
2. b) menos5a elevado a 2 + 5
2. c) a elevado a 2 + 2a + 1
2. d) 16a elevado a 2 menos 48a + 36
3. a) 8
3. b) menos6 ou 6
3. c) 25
3. d) 5
4. a) 3x elevado a 2 menos 6x menos 10
4. b) m elevado a 2 + 24m menos 36
5. a) b elevado a 2
5. b) abre parêntesesa + bfecha parênteseselevado a 2 menos b elevado a 2 ou a elevado a 2 + 2ab
6. a)
Fração. X ao quadrado sobre 4.+ 3x + 9
6. b) 4aelevado a 2 + 4ab + belevado a 2
7. a) Figura 1: a ⋅ abre parêntesesb + cfecha parênteses; figura 2: 3x ⋅ abre parêntesesx + yfecha parênteses
7. b) Figura 2.
8. Iago, Hugo e Tales.
Orientações e sugestões didáticas
Atividades de revisão
Objetivos
• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do Capítulo.
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero nove.
Habilidade da Bê êne cê cê
• O desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove da Bê êne cê cê é favorecido à medida que são propostas atividades para que os estudantes fatorem expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis.
Orientações
• Durante a realização das atividades, procure identificar as principais dúvidas apresentadas e incentive os estudantes a compartilhar o modo como realizaram as atividades para que, aos poucos, possam ampliar o seu repertório de cálculo.
• Nos exercícios de fatoração, os estudantes podem encontrar outra resposta além da indicada.
(ê éfe zero nove ême ah zero nove) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
▶ Atividades de revisão
9. Marina desenhou um polígono cuja medida de área é igual à soma das medidas de áreas de três quadrados diferentes.
a) Qual é o binômio que representa a medida de área do polígono?
b) Se x = 2, qual é a razão entre a medida de área do quadrado maior e a do quadrado menor?
10. Observe a figura a seguir, formada por três blocos retangulares.
• Escreva uma fórma fatorada de polinômio que representa a medida de volume da figura.
11. Observe os sólidos geométricos e faça o que se pede.
a) Represente com um polinômio a medida da área da superfície total de cada sólido geométrico.
b) Represente com uma expressão fatorada a medida de volume de cada sólido.
c) Se x = 2, que sólido tem maior medida de volume? E se x = 1,5?
12. Responda às questões.
a) Se abre parêntesesx menos yfecha parênteses = 4 e abre parêntesesx + yfecha parênteses = 10, qual é o valor da expressão abre parêntesesx elevado a 2 menos y elevado a 2fecha parênteses?
b) Se xy = 27 e abre parêntesesx menos yfecha parênteses = 10, qual é o valor da expressão abre parêntesesx ² + y ²fecha parênteses?
13. Calcule os valores dos números naturais x e y considerando as informações a seguir.
a) x elevado a 2 + y elevado a 2 = 113 e abre parêntesesx + yfecha parênteseselevado a 2 = 225
b) x elevado a 2 + y elevado a 2 = 104 e abre parêntesesx menos yfecha parênteseselevado a 2 = 64
14.
Junte-se a um colega e observem a sequência de figuras determinada por certo padrão.
a) Qual é a lógica dessa sequência, isto é, qual é o padrão?
b) Qual é a quantidade de quadradinhos brancos da 5ª figura da sequência?
15. (púqui-São Paulo) A expressão abre parênteses2a + bfecha parênteseselevado a 2 menos abre parêntesesa menos bfecha parênteseselevado a 2 é igual a:
a) 3a elevado a 2 + 2b elevado a 2
b) 3aabre parêntesesa + 2bfecha parênteses
c) 4a elevado a 2 + 4ab + b elevado a 2
d) 2ababre parênteses2a + bfecha parênteses
e) 5a elevado a 2 + 2b elevado a 2 menos ab
16. Se a soma das medidas das áreas dos dois retângulos roxos da figura é igual a 70 centímetros quadrados e a área de toda a figura mede 144 centímetros quadrados, quais são os valores de m e de n, sabendo-se que m e n são números naturais e m > n?
17.
(Fatec-São Paulo) Sobre as sentenças:
um. abre parêntesesM menos N)² = M elevado a 2 menos N elevado a 2 para todo M e N inteiros.
dois. Para todo número racional A existe um número racional B tal que A ⋅ B = 1.
É correto afirmar que:
a) somente a um é falsa.
b) somente a dois é falsa.
c) ambas são falsas.
d) ambas são verdadeiras.
e) um é verdadeira se M ⋅ N = 0 e dois é verdadeira.
Respostas e comentários
9. a) 3x elevado a 2 + 2
9. b) 9
10. ab ⋅ abre parênteses2c + bfecha parênteses
11. a) Figura 1: 6x elevado a 2 + 12x; figura 2: 22x elevado a 2 menos 10x
11. b) Figura 1: x elevado a 2 ⋅ abre parêntesesx + 3fecha parênteses; figura 2: 6x elevado a 2 ⋅ abre parêntesesx menos 1fecha parênteses
11. c) Figura 2; figura 1
12. a) 40
12. b) 154
13. a) x = 7 e y = 8 ou x = 8 e y = 7
13. b) x = 10 e y = 2 ou x = 2 e y = 10
14. a) O número de quadradinhos da figura n é abre parêntesesn + 2fecha parênteseselevado a 2, em que 4n corresponde ao número de quadradinhos brancos e abre parêntesesnelevado a 2 + 4fecha parênteses corresponde ao número de quadradinhos azuis.
14. b) 20
15. alternativa b
16. m = 7 e n = 5
17. alternativa c
Orientações e sugestões didáticas
• Para resolver a atividade 16, os estudantes devem identificar as dimensões de cada retângulo roxo abre parêntesesm e nfecha parênteses; portanto, a medida de área de cada um pode ser expressa por mn.
A medida de área de toda a figura corresponde à medida de área de um quadrado cujo lado mede abre parêntesesm + nfecha parênteses de comprimento. Então, temos:
Sentença matemática. Sistema linear de ordem 2. Chaves nas duas linhas. Na primeira linha, 2 vezes m vezes n, é igual a 70. Na segunda linha, abre parênteses, m mais n, fecha parênteses, ao quadrado, é igual a 144.
Sentença matemática. Sistema linear de ordem 2. Chaves nas duas linhas. Na primeira linha, m vezes n, é igual a 35. Na segunda linha, m mais n, é igual a 12.
Os números naturais que adicionados resultam em 12 e multiplicados resultam em 35 são 5 e 7. Como m e n são números naturais e m > n, temos: m = 7 e n = 5.
• Sugerimos algumas questões para que os estudantes possam refletir sobre suas aprendizagens e possíveis dificuldades no estudo deste Capítulo, as quais devem ser adaptadas à realidade da turma. Oriente-os a fazer a autoavaliação, respondendo às questões no caderno com “sim”, “às vezes” ou “não”.
Eureticências
reticências sei calcular o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois termos?
reticências sei calcular o produto da soma pela diferença de dois termos?
reticências sei compreender, geométrica e algebricamente, os principais casos de produtos notáveis?
reticências sei escrever um polinômio como um produto de dois ou mais polinômios?
reticências reconheço os casos de fatoração de expressões algébricas: fator comum em evidência, agrupamento, diferença de dois quadrados e trinômio quadrado perfeito?
reticências sei planejar e executar uma pesquisa amostral?
reticências consigo trabalhar em equipe?
reticências cuido do meu material escolar?
reticências tenho um bom relacionamento com meus colegas de sala?
reticências consigo expor minhas ideias e opiniões em grupo?
reticências realizo as tarefas propostas?