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CAPÍTULO 5 Semelhança

1 Retomando alguns conceitos

Relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

Observe as retas r, s e t a seguir.

Figura geométrica. Três retas verdes nomeadas r, s e t. As retas r e s estão na horizontal e são paralelas. A reta t corta as outras duas, tem um ponto em comum com a reta r e outro ponto em comum com a reta s.

Considerando que r e s são duas retas paralelas distintas em um mesmo plano e que t é uma reta concorrente a elas, dizemos que t é transversal a r e a s.

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam oito ângulos. Alguns pares desses ângulos recebem nomes especiais, de acordo com a posição que ocupam. Observe a seguir as retas paralelas r e s cortadas pela reta transversal t.

Esquema. Três retas azuis nomeadas r, s e t. As retas r e s são paralelas, a reta t é transversal e tem um ponto em comum com cada uma das retas r e s. No ponto em comum entre as retas r e t, são formados 4 ângulos, nomeados 1, 2, 3 e 4, começando de cima e girando no sentido horário. No ponto em comum entre as retas s e t, são formados 4 ângulos, nomeados 5, 6, 7 e 8, começando de cima e girando no sentido horário. Abaixo, texto em três tópicos: Primeiro tópico: Ângulos correspondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8. Segundo tópico: Ângulos alternos internos 3 e 5, 4 e 6. Ângulos alternos externos: 1 e 7, 2 e 8. Terceiro tópico: Ângulos colaterais internos: 3 e 6, 4 e 5. Ângulos colaterais externos: 2 e 7, 1 e 8.

• Ângulos correspondentes:

\hat{1} e \hat{5}; \hat{2} e \hat{6}; \hat{3} e \hat{7}; \hat{4} e \hat{8}

• Ângulos alternos

\{\begin{cases} internos: \hat{3} e \hat{5}; \hat{4} e \hat{6} \\ e xternos: \hat{1} e \hat{7}; \hat{2} e \hat{8} \end{cases}

• Ângulos colaterais

\{\begin{cases} internos: \hat{3} e \hat{6}; \hat{4} e \hat{5} \\ e xternos: \hat{2} e \hat{7}; \hat{1} e \hat{8} \end{cases}

Para pensar

Observe a foto. Entre os ângulos destacados nela, escreva no caderno quais são colaterais.

Esquema. Fotografia de prédio com fachada formada por estruturas de ferro que formam losangos. Alguns andares estão iluminados. Ao fundo, céu com algumas nuvens. Duas retas alinhadas com as estruturas de ferro da fachada são paralelas, uma vermelha e outra azul. Outra reta verde, alinhada com a estrutura, é transversal e tem um ponto de encontro com cada reta. No ponto de encontro entre as retas verde e vermelha são formados os ângulos a, b, c e d, , começando de cima e girando no sentido anti-horário. No ponto de encontro entre as retas verde e azul são formados os ângulos e, f, g e h, , começando de cima e girando no sentido anti-horário. — Janelas com padrões losangulares em Sófia, Bulgária, 2019.

Respostas e comentários

Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas neste Capítulo:

ê éfe zero nove ême ah um zero

ê éfe zero nove ême ah um dois

ê éfe zero nove ême ah um quatro

ê éfe zero nove ême ah dois dois

Para pensar:

\hat{a}

\hat{f}

;

\hat{b}

\hat{e}

;

\hat{d}

\hat{g}

;

\hat{c}

\hat{h}

Orientações e sugestões didáticas

Retomando alguns conceitos

Objetivos

• Demonstrar as relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

• Retomar os conceitos de razão e proporção.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um zero da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um zero porque serão demonstradas relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

Orientações

• Inicie esse tópico representando no quadro duas retas paralelas cortadas por uma transversal e solicite aos estudantes que indiquem os ângulos correspondentes, os ângulos alternos e os ângulos colaterais.

• O boxe Para pensar contribui para a retomada dos conceitos explorados na página. Pergunte aos estudantes se eles já prestaram atenção nas construções localizadas na comunidade escolar e se observaram padrões e ângulos como os mostrados na imagem.

(ê éfe zero nove ême ah um zero) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

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Para pensar

Considere as retas paralelas m e n e a reta transversal t. Imagine que fosse possível deslizar a reta m pela transversal t, mantendo m paralela a n, até que m ficasse sobreposta a n.

Esquema. Três retas roxas nomeadas m, n e t. As retas m e n são paralelas, a reta t é uma transversal e horizontal e tem um ponto em comum com cada uma das retas m e n. No ponto em comum entre as retas m e t, estão indicados dois ângulos nomeados a e b. O ângulo a está à esquerda da reta m e acima da reta t. O ângulo b está a direita da reta m e abaixo da reta t. No ponto em comum entre as retas n e t estão indicados 2 ângulos nomeados c e d. O ângulo c está a esquerda da reta n e acima da reta t. O ângulo d está a esquerda da reta n e abaixo da reta t. Seta para a direita, indicando a mesma figura anterior só que agora com várias retas paralelas a reta m com transparência, indicando que a reta m deslizou para a direita até coincidir com a reta n.

a) O que aconteceria com os ângulos correspondentes

\hat{a} e \hat{c}

? O que podemos concluir sobre as medidas de suas aberturas?

b) Como ficariam os ângulos alternos internos

\hat{b} e \hat{c} ?

O que podemos concluir sobre as medidas de suas aberturas?

c) Como ficariam os ângulos colaterais

\hat{b} e \hat{d}

? Quanto mede, em grau, a soma de suas medidas de abertura?

Valem sempre as seguintes relações:

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal:

• quaisquer dois ângulos correspondentes são congruentes;

• quaisquer dois ângulos alternos (internos ou externos) são congruentes;

• quaisquer dois ângulos colaterais (internos ou externos) são suplementares.

Vamos demonstrar as relações para dois ângulos alternos (internos ou externos) e dois ângulos colaterais (internos ou externos). Acompanhe a seguir.

● Demonstração da propriedade dos ângulos alternos

Observe a figura a seguir, em que r e s são retas paralelas e t, transversal.

Figura geométrica. Três retas azuis nomeadas r, s e t. As retas r e s estão na horizontal e são paralelas. A reta t corta as outras duas, tem um ponto em comum com a reta r e outro ponto em comum com a reta s. No ponto em comum entre as retas r e t estão indicados três ângulos nomeados a, c e x. O ângulo a está à esquerda da reta t e abaixo da reta r. O ângulo c está à esquerda da reta t e acima da reta r. O ângulo x está à direita da reta t e acima da reta r. No ponto em comum entre as retas s e estão indicados 3 ângulos nomeados b, d e y. O ângulo b está à direita da reta t e acima da reta s. O ângulo d está à direita da reta t e abaixo da reta s. O ângulo y está à esquerda da reta y e acima da reta s.

Considerando os ângulos alternos internos de medidas de abertura a e b e o ângulo cuja abertura mede x, deduzimos que:

• os ângulos de medidas de abertura a e x são o.p.v. (opostos pelo vértice); então, a = x abre parêntesesumfecha parênteses;

• os ângulos de medidas de abertura b e x são correspondentes; então, b = x abre parêntesesdoisfecha parênteses.

De um e dois, podemos concluir que a = b.

Então, os ângulos alternos internos são congruentes.

Considerando agora os ângulos alternos externos de medidas de abertura c e d e o ângulo cuja abertura mede y, deduzimos que:

• os ângulos de medidas de abertura c e y são correspondentes; então, c = y abre parêntesestrêsfecha parênteses;

• os ângulos de medidas de abertura d e y são o.p.v.; então, d = y abre parêntesesquatrofecha parênteses.

De três e quatro, podemos concluir que c = d.

Então, os ângulos alternos externos também são congruentes.

Respostas e comentários

Para pensar:

a) Ficariam sobrepostos; são iguais;

b) Ficariam opostos pelo vértice; são iguais;

c) Seriam suplementares; 180graus

Orientações e sugestões didáticas

• A congruência dos ângulos correspondentes é um dos teoremas da Geometria que podem ser demonstrados. Como essa demonstração é complexa para o Ensino Fundamental, oriente os estudantes a verificar sua validade experimentalmente. Essa verificação pode ser feita usando-se um software de Geometria dinâmica. Para isso, peça aos estudantes que construam (usando a ferramenta de traçar retas paralelas) duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal, meçam (usando a ferramenta de medir ângulos) a abertura dos 8 ângulos formados e comparem as medidas das aberturas dos ângulos correspondentes. Oriente-os a movimentar os elementos móveis da figura para verificar que a congruência dos ângulos correspondentes se mantém, como explorado no boxe Para pensar.

• É demonstrada a propriedade de que dois ângulos alternos (internos ou externos) determinados por duas retas paralelas e uma transversal são congruentes. Na demonstração são aplicados os conhecimentos de que ângulos correspondentes são congruentes e que dois ângulos o.p.v. são congruentes. Se julgar necessário, retome esses conceitos com a turma.

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● Demonstração da propriedade dos ângulos colaterais

Observe a figura, em que r e s são retas paralelas e t, transversal.

Considerando os ângulos colaterais internos de medidas de abertura a e b e o ângulo cuja abertura mede x, temos que:

• os ângulos de medidas de abertura a e x são suplementares; então, a + x = 180graus abre parêntesesumfecha parênteses;

• os ângulos de medidas de abertura b e x são correspondentes; então, b = x abre parêntesesdoisfecha parênteses.

De um e dois, podemos concluir que a + b = 180graus.

Então, os ângulos colaterais internos são suplementares.

Considerando agora os ângulos colaterais externos de medidas de abertura c e d e o ângulo cuja abertura mede y, concluímos que:

• os ângulos de medidas de abertura c e y são correspondentes; então, c = y abre parêntesestrêsfecha parênteses;

• os ângulos de medidas de abertura d e y são suplementares; então, d + y = 180graus abre parêntesesquatrofecha parênteses.

De três e quatro, podemos concluir que c + d = 180graus.

Então, os ângulos colaterais externos também são suplementares.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe a figura a seguir.

Figura geométrica. Três retas verdes nomeadas r, s e t. As retas r e s são paralelas. A reta t está na horizontal e corta as outras duas, tem um ponto em comum com a reta r e outro ponto em comum com a reta s. No ponto em comum entre as retas r e t, são formados 4 ângulos, nomeados a, b, c e d. O ângulo a está à esquerda da reta r e acima da reta t. O ângulo b está à esquerda da reta r e abaixo da reta t. O ângulo c está à direita da reta r e abaixo da reta t. O ângulo d está à direita da reta r e acima da reta t. No ponto em comum entre as retas s e t, são formados 4 ângulos, nomeados e, f, g e h. O ângulo e está à esquerda da reta s e acima da reta t. O ângulo f está à esquerda da reta s e abaixo da reta t. O ângulo g está à direita da reta s e abaixo da reta t. O ângulo h está à direita da reta s e acima da reta t.

Agora, responda às questões, considerando que as retas r e s são paralelas e t, transversal.

a) Que relação existe entre os ângulos

\hat{a} e \hat{h}

? E entre os ângulos

\hat{c} e \hat{g}

b) Os ângulos

\hat{d} e \hat{e}

são congruentes? Por quê?

c) Os ângulos

\hat{b} e \hat{f}

são congruentes? Por quê?

2. Observe a figura e responda à questão.

Figura geométrica. Três retas roxas nomeadas r, s e t. As retas r e s não são paralelas. A reta t está na horizontal e corta as outras duas, tem um ponto em comum com a reta r e outro ponto em comum com a reta s. No ponto em comum entre as retas r e t, são formados 4 ângulos, nomeados a, b, c e d. O ângulo a está à esquerda da reta r e acima da reta t. O ângulo b está à esquerda da reta r e abaixo da reta t. O ângulo c está à direita da reta r e abaixo da reta t. O ângulo d está à direita da reta r e acima da reta t. No ponto em comum entre as retas s e t, são formados 4 ângulos, nomeados e, f, g e h. O ângulo e está à esquerda da reta s e acima da reta t. O ângulo f está à esquerda da reta s e abaixo da reta t. O ângulo g está à direita da reta s e abaixo da reta t. O ângulo h está à direita da reta s e acima da reta t.

• Podemos afirmar que os pares de ângulos

\hat{a}

\hat{g}

\hat{b}

\hat{h}

\hat{c}

\hat{e}

\hat{d}

\hat{f}

são congruentes? Por quê?

3. Desenhe no caderno duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Em seguida:

a) identifique os pares de ângulos correspondentes;

b) verifique, com um transferidor, se os ângulos correspondentes são congruentes.

Respostas e comentários

1. a) São colaterais externos e suplementares; são correspondentes e, portanto, congruentes.

1. b) Não; são colaterais internos e, portanto, suplementares.

1. c) Sim; são correspondentes e, portanto, são congruentes.

2. Não, porque r e s não são retas paralelas.

3. a) Resposta pessoal.

3. b) sim

Orientações e sugestões didáticas

• Nesta página é demonstrada a propriedade de que dois ângulos colaterais (internos ou externos) determinados por duas retas paralelas e uma transversal são suplementares. Na demonstração são aplicados os conhecimentos de que a soma das medidas de abertura de ângulos suplementares é 180graus e que ângulos correspondentes são congruentes. Se achar oportuno, faça a demonstração no quadro com a participação dos estudantes.

• Na atividade 3, observe e oriente os estudantes sobre a fórma adequada e segura do uso dos instrumentos para desenho como régua, compasso, transferidor, de modo a preservar a segurança de todos.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

4. Encontre a medida de x e de y em cada caso, sendo r // s.

Figura geométrica. Três retas roxas nomeadas r, s e t. As retas r e s são paralelas. A reta t é uma transversal e corta as outras duas, tem um ponto em comum com a reta r e outro ponto em comum com a reta s. No ponto em comum entre as retas r e t, são formados 4 ângulos, sendo dois deles destacados, um com medida de 102 graus e outro com medida y. O ângulo de 102 graus está a esquerda da reta t e acima da reta r. O ângulo y está a esquerda da reta t e abaixo da reta r. No ponto em comum entre as retas s e t, são formados 4 ângulos, sendo dois deles destacados, um com medida de 78 graus e outro com medida x. O ângulo de 78 graus está a direita da reta t e acima da reta s. O ângulo x está a direita da reta t e abaixo da reta s.

Figura geométrica. Três retas roxas nomeadas r, s e t. As retas r e s estão na horizontal e são paralelas. A reta t é uma transversal e corta as outras duas, tem um ponto em comum com a reta r e outro ponto em comum com a reta s. No ponto em comum entre as retas r e t, são formados 4 ângulos, sendo dois deles destacados, um com medida de 85 graus e outro com medida x. O ângulo de 85 graus está a direita da reta t e acima da reta r. O ângulo x está a esquerda da reta t e abaixo da reta r. No ponto em comum entre as retas s e t, são formados 4 ângulos, sendo dois deles destacados, um com medida de 2 vezes x menos 85 graus e outro com medida y. O ângulo de 2 vezes x menos 85 graus está a esquerda da reta t e abaixo da reta s. O ângulo y está a direita da reta t e acima da reta s.

Reúna-se com um colega e resolvam os problemas propostos.

a) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam um par de ângulos correspondentes cujas aberturas medem 2x + 30graus e 3x menos 20graus. Calcule a medida de x nessas condições.

b) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam dois ângulos alternos externos cujas medidas de abertura são 3x + 15graus e 135graus. Quanto mede x?

c) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam dois ângulos colaterais externos de medidas de abertura 8y + 40graus e 5y + 10graus. Determine a medida de abertura de cada um desses ângulos.

Agora, invente um problema que envolva ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal e peça a seu colega que o resolva.

6. Na figura a seguir, r e s são retas paralelas. Calcule as medidas de a, b, c e d.

Figura geométrica. Quatro retas verdes nomeadas r, s, t e u. As retas r e s estão na horizontal e são paralelas. As retas t e u são transversais às retas paralelas r e s e tem um ponto em comum, que também é comum à reta r. No ponto em comum entre as retas r, t e u são formados 6 ângulos, sendo três deles destacados, um com medida a, outro b e outro com medida de 40 graus. O ângulo a está a direita da reta t e abaixo da reta r. O ângulo b está abaixo da reta r e entre as retas t e u e o ângulo de 40 graus está abaixo da reta r e a direita da reta u. No ponto em comum entre as retas s e t, são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida de 70 graus. O ângulo de 70 graus está a direita da reta t e acima da reta s. No ponto em comum entre as retas s e u, são formados 4 ângulos, sendo dois deles destacados um com medida c e outro com medida d. O ângulo c está a esquerda da reta u e acima da reta s. O ângulo d está a direita da reta u e acima da reta s.

7. Determine as medidas x e y, em grau, em cada caso. Considere p // q e r // s.

Figura geométrica. Quatro retas azuis duas delas nomeadas r e s. As retas r e s estão na horizontal e são paralelas. As outras duas retas são transversais às paralelas e têm um ponto em comum localizado entre as retas paralelas. Nesse ponto em comum é formado um ângulo de 85 graus com abertura para a direita. No ponto em comum entre as retas r e uma transversal são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida x. O ângulo x está a direita da reta transversal e acima da reta r. No ponto em comum entre as retas s e a outra transversal, são formados 4 ângulos, sendo dois deles destacados com medida de 40 graus e y. O ângulo de 40 graus está a direita da reta transversal e abaixo da reta s. O ângulo y está a esquerda da transversal e acima da reta s.

Figura geométrica. Quatro retas azuis nomeadas r, s, p e q. As retas r e s estão na horizontal e são paralelas. As retas p e q são paralelas entre si e ambas transversais as retas r e s. No ponto em comum entre as retas r e p são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida x. O ângulo x está a direita da reta p e abaixo da reta r. No ponto em comum entre as retas s e p são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida de 55 graus. O ângulo de medida de 55 graus está a direita da reta p e acima da reta s. No ponto em comum entre as retas s e q são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida y. O ângulo de medida de y está a esquerda da reta q e acima da reta s.

Figura geométrica. Quatro retas azuis duas delas nomeadas r e s. As retas r e s são paralelas. As outras duas retas são transversais às paralelas e tem um ponto em comum localizado entre as retas paralelas. Nesse ponto em comum é formado um ângulo de medida y com abertura para cima. No ponto em comum entre as retas r e uma transversal são formados 4 ângulos, sendo dois deles destacados, um com medida x e outro com medida de 50 graus. O ângulo x está a abaixo da reta transversal e a esquerda da reta r. O ângulo de 50 graus está a acima da reta transversal e a esquerda da reta r. No ponto em comum entre as retas s e a outra transversal, são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida de 38 graus. O ângulo de 38 graus está a acima da reta transversal e direita da reta s.

8. Sabendo que r // s // t, calcule as medidas de x, y e z em cada caso.

Figura geométrica. Cinco retas alaranjadas nomeadas r, s, t, u e v. As retas r, s e t estão na vertical e são paralelas. As retas u e v são transversais às paralelas e têm um ponto em comum sobre a reta s. No ponto em comum entre as retas r e v, são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida x. O ângulo x está a direita da reta r e acima da reta v. No ponto em comum entre as retas r e u, são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida z. O ângulo z está a direita da reta r e acima da reta u. No ponto em comum entre as retas s, u e v, são formados 6 ângulos, sendo 2 deles destacados, um com medida de 36 graus e outro com medida de 42 graus. O ângulo de 36 graus está a direita da reta s e acima da reta u. O ângulo de 42 graus está a direita da reta s e abaixo da reta v. No ponto em comum entre as retas t e v, são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida y. O ângulo y está a esquerda da reta t e acima da reta v.

Figura geométrica. Cinco retas alaranjadas nomeadas r, s, t, u e v. As retas r, s e t estão na horizontal e são paralelas. As retas u e v são transversais às paralelas e têm um ponto em comum sobre a reta s. No ponto em comum entre as retas r e v, são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida de 115 graus. O ângulo de 115 graus está a acima da reta r e a direita da reta v. No ponto em comum entre as retas r e u, são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com x. O ângulo x está a abaixo da reta r e a direita da reta u. No ponto em comum entre as retas s, u e v, são formados 6 ângulos, sendo 2 deles destacados, um com medida y e outro com medida z. O ângulo y está acima da reta s e entre as transversais u e v. O ângulo z está abaixo da reta s e à direita da reta v. No ponto em comum entre as retas t e u, são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida de 48 graus. O ângulo de 48 graus está a acima da reta t e a direita da reta u.

Respostas e comentários

4. a) x = 102graus;

y = 78graus

4. b) x = 85graus;

y = 85graus

4. c) x = 45graus;

y = 135graus

4. d) x = 35graus;

y = 45graus

5. a) 50graus

5. b) 40graus

5. c) 120graus e 60graus

5. d) Resposta pessoal.

6. a = 70graus;

b = 70graus;

c = 40graus;

d = 140graus

7. a) x = 45graus;

y = 40graus

7. b) x = 125graus;

y = 125graus

7. c) x = 130graus;

y = 88graus

8. a) x = 138graus;

y = 42graus;

z = 36graus

8. b) x = 132graus;

y = 67graus;

z = 65graus

Orientações e sugestões didáticas

• Oriente os estudantes a representar geometricamente, por meio de um esboço, as informações apresentadas nos itens da atividade 5, de modo a facilitar a resolução. Por exemplo, no item a:

Figura geométrica. Três retas cinzas, duas delas estão na horizontal e são paralelas e a terceira reta é uma transversal e corta as outras duas. O ângulo de medida 2 vezes x mais 30 graus está a direita da reta transversal e acima da reta paralela de cima. O ângulo de medida 3 vezes x menos 20 graus está a direita da reta transversal e acima da reta paralela de baixo.

Os ângulos correspondentes possuem a mesma medida de abertura; então: 3x menos 20graus = 2x + 30graus

Resolvendo a equação, obtemos: x = 50graus

• A partir da atividade 6, os estudantes vão se deparar com representações geométricas diferentes das exploradas até o momento, envolvendo duas retas cortadas por uma transversal. Assim, eles deverão mobilizar os conceitos aprendidos para resolver os problemas propostos.

• Proponha aos estudantes que compartilhem suas estratégias de resolução promovendo, dessa fórma, o diálogo e interação entre eles.

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Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Razão e proporção

A palavra razão vem do latim ratio e significa “divisão”.

Quando comparamos duas quantidades ou medidas por meio de uma divisão, o quociente dessa divisão recebe o nome de razão.

A razão entre dois números, a e b, com b ≠ 0, nessa ordem, é dada por

\frac{a}{b}

Observe, por exemplo, os dois segmentos representados a seguir.

Figura geométrica. Segmento de reta alaranjado com pontos R e S nas extremidades. À direita, outro segmento de reta verde com pontos M e N nas extremidades.

Podemos comparar a medida de comprimento desses segmentos usando um compasso.

Para isso, deixamos o compasso com abertura de medida de comprimento RS, como mostra a figura, e transportamos essa medida de comprimento sobre o segmento

\overline{M N}

quantas vezes for possível. Acompanhe.

Ilustração. Mão segurando compasso aberto com ponta seca em R e abertura RS, sendo RS o mesmo segmento de reta ilustrado anteriormente. Ilustração. Sequência da ilustração anterior. A mesma mão segurando o compasso com abertura RS. O segmento anterior MN com marcações feitas pelo compasso com medida de comprimento do segmento RS. A ponta-seca do compasso está na última marcação e a outra ponta em N.

Dessa maneira, constatamos que a medida de comprimento do segmento

\overline{M N}

equivale a 6 vezes a medida de comprimento de

\overline{R S}

. Ou seja, MN = 6 ⋅ RS. Assim, a razão entre as medidas de comprimento dos segmentos

\overline{M N}

\overline{R S}

\frac{M N}{R S} = 6

Observe agora os segmentos

\overline{T U}

\overline{P Q}

\overline{V X}

\overline{R S}

Figura geométrica. 4 segmentos de reta de cores e comprimentos diferentes na horizontal. O primeiro, de cima para baixo, é rosa tem 2 centímetros de comprimento e os pontos das extremidades são T e U, da esquerda para direita. O segundo, de cima para baixo, é azul claro tem 3 centímetros de comprimento e os pontos das extremidades são P e Q, da esquerda para direita. O terceiro, de cima para baixo, é azul escuro tem 6 centímetros de comprimento e os pontos das extremidades são V e X, da esquerda para direita. O quarto, de cima para baixo, é amarelo tem 9 centímetros de comprimento e os pontos das extremidades são R e S, da esquerda para direita.

Calculando a razão entre as medidas de comprimento dos segmentos

\overline{P Q}

\overline{R S}

e a razão entre as medidas de comprimento dos segmentos

\overline{T U}

\overline{V X}

, todas em uma mesma unidade de medida (centímetro), temos:

\frac{P Q}{R S} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

\frac{T U}{V X} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

, ou seja,

\frac{P Q}{R S} = \frac{T U}{V X}

Orientações e sugestões didáticas

• A intenção do tópico é retomar os conceitos de razão e proporção. A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, nessa ordem, é o quociente

\frac{a}{b}

Quatro números não nulos, a, b, c e d, formam, nessa ordem, uma proporção quando

\frac{a}{b}

\frac{c}{d}

Esses conceitos são fundamentais para o estudo de polígonos semelhantes.

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Logo, temos uma igualdade entre razões, ou uma proporção entre as medidas de comprimento dos segmentos, que estão em uma mesma unidade de medida.

Quatro números não nulos, a, b, c e d, formam, nessa ordem, uma proporção quando

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

Observação

Uma proporção

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

também pode ser representada por:

a dividido por b = c dividido por d (lemos: “a está para b, assim como c está para d ”)

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

1. Observe os segmentos

\overline{A B}

\overline{C D}

\overline{E F}

e faça o que se pede.

Figura geométrica. 3 segmentos de reta. Segmento de reta vermelho com pontos A e B nas extremidades. Abaixo, outro segmento de reta vermelho, com medida de comprimento menor que a do anterior e os pontos C e D nas extremidades. Abaixo, outro segmento de reta vermelho, com medida de comprimento menor que a do anterior e pontos E e F nas extremidades.

Use um compasso ou uma régua para determinar, em cada caso, a razão entre as medidas de comprimento dos segmentos:

\overline{A B} e \overline{C D}

\overline{C D} e \overline{E F}

\overline{A B} e \overline{E F}

\overline{C D} e \overline{A B}

\overline{E F} e \overline{C D}

\overline{E F} e \overline{A B}

Versão adaptada acessível

1. Trace três segmentos de medidas de comprimento diferentes: segmentos

\overline{A B}

\overline{C D}

\overline{E F}

. Depois, meça os comprimentos desses segmentos com uma régua e calcule o que se pede.

a) Razão entre as medidas de comprimento dos segmentos

\overline{A B} e \overline{C D}

b) Razão entre as medidas de comprimento dos segmentos

\overline{C D} e \overline{E F}

Orientação para acessibilidade

Respostas de acordo com os segmentos traçados.

2. Responda às questões.

a) A razão entre certo número e 6 é 2. Qual é esse número?

b) A razão entre as medidas de comprimento dos segmentos

\overline{A B} e \overline{C D}

é igual a 3 para 7. Qual é a medida de comprimento de

\overline{A B}

, em milímetro, se CD = 35 centímetros?

3. As medidas de comprimento dos segmentos

\overline{A B}, \overline{C D}, \overline{E F} e \overline{G H}

formam, nessa ordem, uma proporção.

a) Qual é a medida de comprimento EF se AB = 0,6 métro, CD = 14 centímetros e GH = 210 milímetros?

b) Qual é a medida de comprimento GH se AB = 15 decímetros, CD = 100 centímetros e EF = .1200 milímetros?

4. Augusto quer construir em seu sítio um campo de futebol com dimensões proporcionais às do campo da Arena Beira-Rio, porém medindo 30,6 métros de largura.

Fotografia. Vista aérea noturna de estádio de futebol. Possui cobertura cinza na parte da arquibancada, circular, e está iluminada na cores verde e rosa. É possível observar parte do campo e da arquibancada vazia, que tem as cores amarela e vermelha. Ao fundo, cidade iluminada. — Vista aérea da Arena Beira-Rio, Porto Alegre (Rio Grande do Sul), 2021.

Sabendo que o campo da Arena Beira-Rio mede 105 métros de comprimento e 68 métros de largura, qual deverá ser a medida de comprimento do campo de futebol no sítio de Augusto?

Leia e faça o que se pede.

a) A soma de dois números é 48, e a razão entre eles é

\frac{5}{7}

. Determine esses números.

b) A diferença entre dois números é 200, e a razão entre eles é

\frac{5}{3}

. Calcule-os.

Respostas e comentários

1. a) 2

1. b) 2

1. c) 4

1. d) 0,5

1. e) 0,5

1. f) 0,25

2. a) 12

2. b) 150 milímetros

3. a) 90 centímetros

3. b) 80 centímetros

4. 47,25 métros

5. a) 20 e 28

5. b) 500 e 300

Orientações e sugestões didáticas

• Para resolver a atividade 1, usando uma régua para medir os segmentos (no livro do estudante), obtemos, em centímetro:

AB = 6

CD = 3

EF = 1,5

Então:

\frac{A B}{C D}

\frac{6}{3}

= 2

\frac{C D}{E F}

\frac{3}{1, 5}

= 2

\frac{A B}{E F}

\frac{6}{1, 5}

= 4

\frac{C D}{A B}

\frac{3}{6}

= 0,5

\frac{E F}{C D}

\frac{1, 5}{3}

= 0,5

\frac{E F}{A B}

\frac{1, 5}{6}

= 0,25

Página 121

2 Figuras semelhantes

As quatro fotos mostram um trecho da Praia da Engenhoca, em Itacaré (Bahia). Observe.

Foto 1

Foto 2

Fotografia. Imagem de uma praia. Na parte inferior, mar na cor azul e verde. No centro, faixa de areia. Na parte superior, árvores e céu azul. — Foto 3

Foto 3

Fotografia. Mesma imagem da foto 1, porém 'achatada' verticalmente. — Foto 4

Foto 4

Comparando as fotos, notamos que a foto 1 é uma ampliação da foto 2 ou que a foto 2 é uma redução da foto 1. Nesse caso, como somente o tamanho muda, dizemos que as imagens são semelhantes.

Já as fotos 3 e 4 não podem ser consideradas semelhantes entre si nem semelhantes às outras fotos, pois apresentam distorções. A foto 3, por exemplo, pode ser vista como a foto 1 “achatada” verticalmente. E a foto 4, como a foto 1 “alongada” verticalmente.

Saiba mais

Hoje em dia, conseguimos ampliar, reduzir e reproduzir imagens facilmente com o auxílio de diversos recursos tecnológicos.

Mas você sabe como se fazia isso antigamente, antes do desenvolvimento dessas tecnologias?

As pessoas usavam um instrumento chamado pantógrafo, que é constituído de quatro réguas articuladas e fixadas umas às outras, conforme podemos observar na foto.

Fotografia. Mesa de madeira com duas folhas brancas desenhadas. À esquerda, folha com desenho de um sapo pequeno. À direita, mesmo desenho, ampliado. Em cima dos dois desenhos, um pantógrafo aberto. Cada par de réguas tem formato semelhante à letra L e está fixada uma à outra. — Pantógrafo sobre uma mesa.

Orientações e sugestões didáticas

Figuras semelhantes

Objetivo

• Desenvolver a noção de semelhança de figuras planas com base em ampliações e reduções.

Orientações

• É preciso deixar claro para os estudantes que semelhança não é sinônimo de congruência. Se considerarmos um cilindro e fizermos secções paralelas à base, obteremos círculos congruentes. No caso de um cone, as secções paralelas à base geram círculos semelhantes, não congruentes, já que, à medida que nos afastamos da base, as medidas de comprimento dos raios dos círculos vão diminuindo.

Esquema. Cilindro: À esquerda, cilindro seccionado 4 vezes por 4 planos paralelos à base. À direita estão representados os 4 planos com a secção do cilindro em cada um. As 4 figuras são 4 círculos iguais. Abaixo, texto: todas as secções resultam em círculos congruentes.

Esquema. Cone: À esquerda, Cone seccionado 4 vezes por 4 planos paralelos à base. À direita estão representados os 4 planos com a secção do cone em cada um. As 4 figuras são 4 círculos com raios de comprimento diferentes, sendo, de cima para baixo, do menor para o maior círculo. Abaixo, texto: Cada secção resulta em um círculo cuja medida de comprimento do raio difere da medida de comprimento do raio do círculo anterior.

• Explore a primeira frase do boxe Saiba mais, perguntando aos estudantes se conhecem algum recurso tecnológico capaz de auxiliar na ampliação, redução ou reprodução de imagens, como o retroprojetor e o projetor. Se julgar conveniente, peça aos estudantes que pesquisem mais informações sobre o pantógrafo e seu funcionamento.

Página 122

Observe a seguir o procedimento que utilizamos para ampliar uma figura por meio de uma malha quadriculada.

Ilustração. Trapézio marrom, um triângulo azul e um retângulo alaranjado formando uma figura que se parece com um barco, sendo o trapézio o casco, o triângulo, a vela e o retângulo a cabine. Abaixo, texto: Figura original.

1º) Desenhamos sobre a figura original uma malha quadriculada. Nesse caso, a malha tem quadradinho cujo lado mede 0,5 centímetro de comprimento.

2º) Aumentamos o quadradinho da malha na proporção desejada. Nesse caso, dobramos a medida de comprimento do lado do quadradinho.

Esquema. Figura 1, abre parênteses figura original na malha fecha parênteses. Mesma figura anterior representada na malha quadriculada. No canto superior esquerdo da malha, cota acima do lado do quadradinho indicando lado de medida 0 vírgula 5 centímetros e cota a esquerda do lado do quadradinho indicando lado de medida 0 vírgula 5 centímetros.
Na figura, os vértices do trapézio estão indicados pelos pontos A, B, C e D. O lado AB é a base menor e mede 4 unidades. O lado DC é a base maior e mede 8 unidades. O ponto E está no lado DC, 2 unidades acima do ponto A e duas unidades a direita do ponto D.
O triângulo tem um vértice da base nomeado F que está 5 unidades acima do ponto E e o outro vértice da base está uma unidade acima do ponto E. O terceiro vértice do triângulo está duas unidades à direita da base e três unidade acima do ponto E.
O retângulo é formado por 2 quadradinhos da malha e está localizado uma unidade à esquerda do ponto C acima do trapézio.
Seta azul indicando para a malha ampliada a direita.
Caixa com texto: Segundo: Aumentamos o quadradinho da malha na proporção desejada. Nesse caso, dobramos a medida de comprimento do lado do quadradinho.
Abaixo, Figura 2 abre parênteses, ampliação da figura original fecha parênteses.
Mesma figura anterior representada na malha quadriculada. No canto superior esquerdo da malha, cota acima do lado do quadradinho indicando lado de medida 1 centímetro e cota a esquerda do lado do quadradinho indicando lado de medida 1 centímetro.
Os pontos A linha, B linha, C linha, D linha, E linha, F linha estão, relativamente nas mesmas posições dos pontos A, B, C, D, E e F. respectivamente.

Vamos verificar se as medidas de comprimento dos elementos da figura seguiram a mesma razão.

Na figura 1: AB = 2 centímetros, CD = 4 centímetros e EF = 2,5 centímetros.

Na figura 2: álinhabitlinha = 4 centímetros, centésimo’divisores de linha = 8 centímetros e E linhaéfelinha = 5 centímetros.

Calculando a razão entre as medidas de comprimento de alguns segmentos correspondentes, temos:

•

\frac{A' B'}{A B} = \frac{4}{2} = 2

•

\frac{C' D'}{C D} = \frac{8}{4} = 2

•

\frac{E' F'}{E F} = \frac{5}{2, 5} = 2

Logo, as medidas de comprimento desses segmentos correspondentes são proporcionais. Isso acontece com quaisquer segmentos correspondentes das figuras.

Assim, podemos afirmar que as medidas dos comprimentos da figura foram dobradas, bem como a medida de comprimento do lado de cada quadradinho da malha.

Observe que, na ampliação da figura original, seu formato não foi alterado. Também não seria alterado caso a reduzíssemos, como mostramos na figura 3.

Ilustração. Figura 3, abre parênteses, redução da figura original, fecha parênteses. Mesma figura do barco representado por um trapézio, um triângulo e um retângulo agora numa malha quadriculada com quadradinhos de medida de comprimento de 1 quarto da medida original.

Nessa redução, a medida de comprimento do lado de cada quadradinho da malha foi dividida por 4. Consequentemente, as medidas dos comprimentos da figura original também foram divididas por 4.

Quando reduzimos ou ampliamos proporcionalmente uma figura, as medidas de abertura dos ângulos correspondentes não são alteradas e as medidas de comprimento de quaisquer segmentos correspondentes nas duas figuras são proporcionais. Nesse caso, dizemos que as figuras são semelhantes.

Orientações e sugestões didáticas

• Converse com a turma sobre outras aplicações do conceito de semelhança, como mapas, plantas baixas, maquetes de construções etcétera

• Se julgar conveniente, proponha aos estudantes que façam ampliações e reduções de figuras usando papel quadriculado. Atividades como essa podem contribuir para que eles desenvolvam o conceito de semelhança.

• É importante que os estudantes compreendam que, quando reduzimos ou ampliamos proporcionalmente uma figura, as medidas de abertura dos ângulos correspondentes não são alteradas e as medidas de comprimento dos segmentos correspondentes são proporcionais.

Página 123

3 Polígonos semelhantes

Podemos decompor a figura original do barquinho da página anterior e sua ampliação em polígonos: um triângulo, um retângulo e um trapézio.

Observe a medida de abertura de cada ângulo dos polígonos da figura original e da figura ampliada.

Esquema. Figura original decomposta em malha quadriculada: um trapézio marrom, um triângulo azul e um retângulo alaranjado que formavam anteriormente uma figura que se parecia com um barco, Na figura, os vértices do trapézio estão indicados pelos pontos A, B, C e D. O lado AB é a base menor, está abaixo e mede 4 unidades. O lado DC é a base maior, está acima e mede 8 unidades e a sua altura corresponde à duas unidades. Os ângulos nos vértices A e B medem cada um 135 graus. Os ângulos nos vértices C e D medem, cada um, 45 graus. Os vértices do triângulo estão indicados pelos pontos E, F e G. Considerando o lado EF como base, está na vertical e mede 4 unidades. O lado EG corresponde a medida de comprimento de duas diagonais do quadradinho. O lado FG também corresponde a medida de comprimento de duas diagonais do quadradinho. Os ângulos nos vértices E e F medem cada um 45 graus. O ângulo no vértice G mede 90 graus. Os vértices do retângulo estão indicados pelos pontos H, I, J e K. Os lados KJ e HI estão na horizontal e medem, cada um, 2 unidades. Os lados HK e IJ estão na vertical e medem, cada um, uma unidade. Todos os ângulos internos são retos. Seta azul para a direita indicando a Figura ampliada decomposta em malha quadriculada. Mesmos polígonos da figura anterior, agora representados na malha ampliada. Os pontos A linha, B linha, C linha, D linha e E linha, formam o trapézio e estão, relativamente nas mesmas posições dos pontos A, B, C, D e E. respectivamente. Os pontos E linha, F linha e G linha, formam o triângulo e estão, relativamente nas mesmas posições dos pontos E, F e G, respectivamente. Os pontos H linha, I linha, J linha e K linha, formam o retângulo e estão, relativamente nas mesmas posições dos pontos H, I, J e K respectivamente.

Podemos observar que os ângulos correspondentes são congruentes.

•

\hat{A} ≅ \hat{A}'

•

\hat{B} ≅ \hat{B}'

•

\hat{C} ≅ \hat{C}'

•

\hat{D} ≅ \hat{D}'

•

\hat{E} ≅ \hat{E}'

•

\hat{F} ≅ \hat{F}'

•

\hat{G} ≅ \hat{G}'

•

\hat{H} ≅ \hat{H}'

•

\hat{I} ≅ \hat{I}'

•

\hat{J} ≅ \hat{J}'

•

\hat{K} ≅ \hat{K}'

Verificamos que as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais.

•

\frac{A' B'}{A B} = \frac{B' C'}{B C} = \frac{C' D'}{C D} = \frac{D' A'}{D A} = 2

•

\frac{E' F'}{E F} = \frac{F' G'}{F G} = \frac{G' E'}{G E} = 2

•

\frac{H' I'}{H I} = \frac{I' J'}{I J} = \frac{J' K'}{J K} = \frac{K' H'}{K H} = 2

Chamamos razão de semelhança, ou coeficiente de proporcionalidade, a razão entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes. No exemplo da página anterior, a razão de semelhança é 2.

Observe que, se tivéssemos considerado a razão entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes dos polígonos ABCD, EFG e HIJK em relação aos polígonos álinhabitlinhacentésimolinhadivisores de linha, ElinhaéfelinhaGlinha e Hlinhaprimeirolinhaícone de alturaJlinha K’, a razão de semelhança seria

\frac{1}{2}

Polígonos semelhantes são aqueles que têm as medidas de comprimento dos lados correspondentes proporcionais e os ângulos correspondentes congruentes.

Orientações e sugestões didáticas

Polígonos semelhantes

Objetivos

• Reconhecer polígonos semelhantes.

• Analisar a razão entre as medidas dos perímetros de dois polígonos semelhantes e também a razão entre as medidas de áreas de dois polígonos semelhantes.

Orientações

• Inicie o tópico solicitando aos estudantes que comparem dois polígonos semelhantes a fim de identificar os elementos variantes e invariantes, para que daí concluam que se dois polígonos são semelhantes, então os ângulos correspondentes são congruentes e as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais. Outro aspecto importante é que, se apenas uma das condições estiver satisfeita, isso não garante a semelhança entre polígonos. Nesse caso, peça aos estudantes que apresentem exemplos de polígonos que satisfaçam uma condição, mas não a outra, para que percebam, portanto, que tais polígonos não são semelhantes.

• Se julgar conveniente, proponha aos estudantes que meçam, com um transferidor, a abertura dos ângulos correspondentes da figura original e de sua ampliação para que verifiquem experimentalmente que as medidas são as mesmas.

Página 124

Então, observando os polígonos representados na página anterior, podemos dizer que:

• o polígono ABCD e o polígono álinhabitlinhacentésimolinhadivisores de linha são semelhantes (indicamos por: ABCD ∼ álinhabit linhacentésimo linhadivisores de linha);

• o polígono EFG e o polígono E linhaéfelinhaG linha são semelhantes (indicamos por: EFG ∼ ElinhaéfelinhaG linha);

• o polígono HIJK e o polígono H linhaprimeirolinhaJ linhaK linha são semelhantes (indicamos por: HIJK ∼ H linhaprimeirolinhaJ linhaK linha).

Vamos verificar se os paralelogramos ABCD e á'bit'centésimo'divisores de ', representados a seguir, são semelhantes.

Figura geométrica. Dois paralelogramos. Na esquerda, paralelogramo azul determinado pelos vértices A, B, C e D sendo que os lados opostos AB e DC medem, cada um, 2 vírgula 4; e os lados opostos AD e BC medem, cada um, 2. Os ângulos nos vértices A e C tem indicação de dois tracinhos e os ângulos nos vértices B e D tem indicação de 1 tracinho. Na direita, paralelogramo amarelo determinado pelos vértices A linha, B linha, C linha e D linha sendo que os lados opostos A linha B linha e D linha C linha medem, cada um, 6; e os lados opostos A linha D linha e B linha C linha medem, cada um, 5. Os ângulos nos vértices A linha e C linha tem indicação de dois tracinhos e os ângulos nos vértices B linha e D linha tem indicação de 1 tracinho.

Os ângulos correspondentes são congruentes.

Calculamos as razões entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes:

•

\frac{A B}{A' B'} = \frac{2, 4}{6} = 0, 4

•

\frac{B C}{B' C'} = \frac{2}{5} = 0, 4

•

\frac{C D}{C' D'} = \frac{2, 4}{6} = 0, 4

•

\frac{D A}{D' A'} = \frac{2}{5} = 0, 4

•

\frac{A B}{A' B'} = \frac{B C}{B' C'} = \frac{C D}{C' D'} = \frac{D A}{D' A'} = 0, 4

Então, a razão de semelhança é 0,4.

Logo, o paralelogramo ABCD é semelhante ao paralelogramo álinhabitlinhacentésimolinhadivisores de linha.

Lembre-se: Escreva no caderno!

Observação

Os paralelogramos ABCD (apresentado anteriormente) e áduas linhasbitduas linhascentésimoduas linhasdivisores de duas linhas (a seguir), embora tenham ângulos correspondentes congruentes, não são semelhantes.

Figura geométrica. Paralelogramo roxo determinado pelos vértices A duas linhas, B duas linhas, C duas linhas e D duas linhas sendo que os lados opostos A duas linhas B duas linhas e D duas linhas C duas linhas medem, cada um, 3; e os lados opostos A duas linhas D duas linhas e B duas linhas C duas linhas medem, cada um, 2 vírgula 25. Os ângulos nos vértices A duas linhas e C duas linhas tem indicação de dois tracinhos e os ângulos nos vértices B duas linhas e D duas linhas tem indicação de 1 tracinho.

Repare que as razões entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes desses polígonos não são iguais.

•

\frac{AB}{A'' B''} = \frac{2,4}{3} = \frac{8}{10}

•

\frac{BC}{B'' C''} = \frac{2}{2,25} = \frac{8}{9}

•

\frac{CD}{C'' D''} = \frac{2,4}{3} = \frac{8}{10}

•

\frac{DA}{D'' A''} = \frac{2}{2,25} = \frac{8}{9}

Orientações e sugestões didáticas

• Comente com os estudantes que o modo de representar que dois polígonos ABCD e á’bit’centésimo’divisores de ’ são semelhantes (ABCD ∼ á’bit’centésimo’divisores de ’ ) indica que o vértice A corresponde ao vértice á’, o vértice B ao vértice bit’ e assim por diante; ou seja, ao indicar uma semelhança de polígonos, não podemos escrever os vértices em qualquer ordem. Por exemplo, ABCD ∼ á’bit’centésimo’divisores de ’ não é equivalente a ABCD ∼ bit’centésimo’divisores de ’á’, embora á’bit’centésimo’divisores de ’ e bit’centésimo’divisores de ’á’ indiquem o mesmo polígono.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe as figuras desenhadas por Flávia e por Alexandre.

Figuras geométricas. Dois círculos azuis, sendo o da esquerda menor que o da direita, com cota abaixo, Flávia.
Abaixo, dois retângulos alaranjados e iguais, com cota abaixo, Alexandre.

a) Quem desenhou figuras semelhantes?

b) Quem desenhou figuras que, além de semelhantes, são congruentes?

2. Em uma folha de papel quadriculado, desenhe um polígono qualquer. Depois, desenhe um polígono semelhante a esse, ampliando-o ou reduzindo-o.

3. Considere as figuras semelhantes e faça o que se pede.

Figura geométrica. Trapézio lilás ABCD. AO lado direito, trapézio laranja A linha, B linha, C linha, D linha, sendo uma ampliação do trapézio ABCD.

a) Com um transferidor, meça as aberturas dos ângulos correspondentes e compare-as. Há alguma relação entre elas?

b) Com uma régua, meça o comprimento dos lados correspondentes e compare-os. Há alguma relação entre eles?

Versão adaptada acessível

3. Responda às questões, considerando quaisquer dois polígonos semelhantes.

a) Podemos afirmar que os ângulos correspondentes desses polígonos são congruentes?

b) Que relação há entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes desses polígonos?

Orientação para acessibilidade

Respostas

a) Sim.

b) As medidas de comprimento dos lados correspondentes desses polígonos são proporcionais.

4. Determine a medida de comprimento x sabendo que os triângulos são semelhantes.

Figuras geométricas. Dois triângulos retângulos azuis. O da esquerda tem altura igual a 4 e lado oposto ao ângulo reto igual a x. O da direita tem altura igual a 2 vírgula 5 e lado oposto ao ângulo reto igual a 3 vírgula 2.

5. A maquete de um prédio mede 80 centímetros de altura e é semelhante ao futuro edifício, que medirá 50 métros de altura.

a) Quanto medirá a altura de um andar que, na maquete, mede 4 centímetros?

b) Qual é, na maquete, a medida da altura de uma porta que, no prédio, medirá 2 métros?

c) Qual é a razão de semelhança entre a maquete e o prédio?

6. Em cada caso, calcule a medida do perímetro dos polígonos semelhantes.

Figuras geométricas. Dois quadriláteros marrons semelhantes com indicações nas medidas dos lados. O da direita é uma redução do da esquerda. No quadrilátero da esquerda as medidas de comprimento dos lados são 10, 6, z e y. No quadrilátero da direita as medidas de comprimento dos lados são 5, x, 6 vírgula 2 e 4. Os lados correspondentes ao lados 10, 6, z e y são, respectivamente 5, x, 6 vírgula 2 e 4.

Figuras geométricas. Dois trapézios retângulos rosas semelhantes com indicações nas medidas dos lados. O da direita é uma redução do da esquerda. No trapézio da esquerda a medida de comprimento da base maior é 9, da base menor x, da altura, 3 vírgula 6 e do quarto lado 6. No trapézio da direita a medida de comprimento da base maior é z, da base menor 2 vírgula 8, da altura, 2 vírgula 4 e do quarto lado y.

7. Com base nos dados da atividade anterior, determine a razão entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes e entre as medidas dos perímetros das figuras. O que você observa?

8. Dois polígonos têm medidas de perímetro igual a 12 centímetros e 20 centímetros, e todos os respectivos ângulos internos são congruentes.

a) Podemos afirmar que dois polígonos que satisfazem essas condições sempre são semelhantes?

b) Dê um exemplo de dois polígonos que tenham essas características e sejam semelhantes.

c) Dê um exemplo de dois polígonos com essas características que não sejam semelhantes.

d) Que condição adicional é necessário impor para que os dois polígonos sejam semelhantes?

Uma figura A é semelhante à outra figura, á’, com razão de semelhança 2. á’ é semelhante à outra figura, á’’, com razão de semelhança 3.

a) As figuras A e á’’ são semelhantes?

b) Se A e á’’ são semelhantes, qual é a razão de semelhança entre A e á’’?

Respostas e comentários

1. a) Flávia e Alexandre

1. b) Alexandre

2. Desenho pessoal.

3. a) Os ângulos correspondentes são congruentes.

3. b) As medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais.

4. 5,12

5. a) 2,5 métros

5. b) 3,2 centímetros

5. c) 0,016

6. a) 36,4; 18,2

6. b) 22,8; 15,2

7. Resposta em Orientações.

8. Respostas na seção Resoluções neste manual.

9. a) sim

9. b) 6

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 2, espera-se que os estudantes descubram uma maneira própria de fazer a ampliação ou a redução da figura que desenharem. Oriente-os a usar de fórma adequada e segura os instrumentos de desenho.

• Na atividade 7, ao calcular a razões entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes e entre as medidas de perímetro, os estudantes vão observar que elas são iguais.

a) razão: 2

b) razão: 1,5

• Na resolução do item a da atividade 8, espera-se que os estudantes percebam que os dados são insuficientes para concluir que os polígonos são semelhantes; e para que isso ocorra é necessário impor a condição, como solicitado no item d, de que as medidas de comprimento dos lados correspondentes dos polígonos sejam proporcionais.

Página 126

Propriedades de polígonos semelhantes

Considerando dois polígonos semelhantes, vamos estabelecer a razão entre as medidas de seus perímetros e entre as medidas de suas áreas.

Razão entre medidas de perímetros

Observe os hexágonos regulares representados a seguir.

Figuras geométricas. Dois hexágonos regulares. Na esquerda, hexágono azul determinado pelos vértices A, B, C, D, E e F, sendo que cada lado mede 1 centímetro e todos os ângulos internos são congruentes. À direita, hexágono alaranjado determinado pelos vértices A linha, B linha, C linha, D linha, E linha e F linha, sendo que cada lado mede 2 centímetros e todos os ângulos internos são congruentes.

Esses hexágonos são semelhantes, e a razão de semelhança entre ABCDEF e álinhabit linhacentésimolinhadivisores de linhaE linhaéfelinha é

\frac{1}{2}

Calculando a medida do perímetro de cada polígono, temos:

• medida do perímetro do hexágono ABCDEF: 6 ⋅ abre parênteses1 cm) = 6 centímetros

• medida do perímetro do hexágono álinhabitlinhacentésimolinhadivisores de linhaE linhaéfelinha: 6 ⋅ abre parênteses2 centímetrosfecha parênteses = 12 centímetros

Assim, a razão entre as medidas dos perímetros é dada por:

\frac{6}{12} = \frac{1}{2}

Observe que a razão entre as medidas dos perímetros dos dois hexágonos é igual à razão de semelhança entre os hexágonos. Essa relação vale para quaisquer polígonos semelhantes.

Se dois polígonos semelhantes tiverem razão de semelhança r, a razão entre as medidas de seus perímetros também será r.

Razão entre medidas de áreas

Observe os retângulos a seguir.

Figuras geométricas. Dois retângulos. À esquerda, retângulo rosa determinado pelos vértices A, B, C e D, sendo que há indicação da medida do lado CD de 2 centímetros e medida do lado BC de 1 centímetro e todos os ângulos internos são retos. À direita, retângulo amarelo determinado pelos vértices A linha, B linha, C linha e D linha, sendo que há indicação da medida do lado C linha D linha de 6 centímetros e medida do lado B linha C linha de 3 centímetros e todos os ângulos internos são retos.

Esses retângulos são semelhantes, e a razão de semelhança entre ABCD e álinhabitlinhacentésimolinhadivisores de linha é

\frac{1}{3}

Calculando a medida da área de cada retângulo, temos:

• medida da área do retângulo ABCD: abre parênteses2 ⋅ 1fecha parênteses centímetros quadrados = 2 centímetros quadrados

• medida da área do retângulo álinhabitlinhacentésimolinhadivisores de linha: abre parênteses6 ⋅ 3fecha parênteses centímetros quadrados = 18 centímetros quadrados

A razão entre as medidas das áreas dos dois retângulos é:

\frac{2}{18} = \frac{1}{9} = (\frac{1}{3})

Orientações e sugestões didáticas

• O estudo das propriedades associadas às medidas de áreas e de perímetros de figuras semelhantes amplia as noções de proporcionalidade e permite a resolução de problemas mais complexos, que exigem uma análise mais profunda.

• Antes de formalizar essas propriedades, proponha aos estudantes que construam, com o auxílio de um software de Geometria dinâmica, diversos polígonos semelhantes, depois, que determinem a medida do perímetro de cada um e que calculem a razão entre as medidas de seus perímetros. Espera-se com isso que eles verifiquem que o número obtido é igual à razão entre as medidas de comprimento de dois lados correspondentes. Analogamente, os estudantes podem conjecturar que a razão entre as medidas de áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança entre eles.

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Observe que a razão entre as medidas das áreas não se mantém, mas a medida obtida é igual ao quadrado da razão de semelhança entre os polígonos. Essa relação vale para quaisquer polígonos semelhantes.

Se dois polígonos semelhantes tiverem razão de semelhança r, a razão entre as medidas de suas áreas será r elevado a 2.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Em cada item, determine a razão entre a medida do perímetro da primeira figura e a da segunda e entre a medida da área da primeira figura e a da segunda, caso elas sejam semelhantes.

Figuras geométricas. Dois hexágonos verdes não regulares. Hexágono da esquerda, tem um lado horizontal de 1 vírgula 5 centímetros, no vértice da direita ângulo de 90 graus e lado de 1 centímetro vertical para baixo, ângulo de 90 graus e lado de 0 vírgula 5 centímetros horizontal para a esquerda, ângulo de 270 graus e lado vertical de 1 centímetro para baixo, ângulo de 90 graus, lado horizontal de 1 centímetro para a esquerda, ângulo de 90 graus e lado vertical de 2 centímetros para cima e ângulos de 90 graus para fechar a figura. Hexágono da direita, tem um lado horizontal de 3 centímetros, no vértice da direita ângulo de 90 graus e lado vertical de 2 centímetro para baixo, ângulo de 90 graus e lado horizontal de 1 centímetro para a esquerda, ângulo de 270 graus e lado vertical de 2 centímetros para baixo, ângulo de 90 graus, lado horizontal de 2 centímetros para a esquerda, ângulo de 90 graus e lado vertical de 4 centímetros para cima e ângulos de 90 graus para fechar a figura.

Figuras geométricas. Dois retângulos azuis. À esquerda, um determinado pelos vértices A, B, C e D, lados AB e DC na horizontal e de medida 1 vírgula 5 centímetros e lados AD e BC na vertical e de medida de 2 vírgula 5 centímetros e todos os ângulos internos são retos. À direita, lados EF e HG na horizontal e de medida 2 centímetros e lados EH e FG na vertical e de medida de 3 vírgula 5 centímetros e todos os ângulos internos são retos.

2. Sabendo que a razão entre as medidas dos perímetros de dois pentágonos regulares é

\frac{3}{4}

, determine a razão entre suas medidas de áreas.

3. Os quadriláteros A e B são semelhantes; o lado menor do quadrilátero A mede 4 centímetros de comprimento e o lado menor do quadrilátero B, 6 centímetros. Determine a razão entre as medidas das áreas de A e de B.

4. A base de um retângulo ABCD mede 5 centímetros de comprimento. Sabendo que a razão entre a medida do perímetro desse retângulo e a do retângulo MNPQ é 4, determine a medida de comprimento da base de MNPQ.

5. Determine as medidas de comprimento dos lados de cada triângulo, sabendo que os triângulos AIG e FEG são semelhantes e que a razão entre as medidas de suas áreas é

\frac{1}{4}

Figuras geométricas. Dois triângulos rosas, com o vértice G em comum. Triângulo AIG, com ângulo reto no vértice I e lado AI medindo z, lado IG medindo 4 e lado GA medindo 8 vírgula 5. Triângulo FEG, com ângulo reto no vértice E e lado EF medindo 3 vezes x, lado EG medindo x mais 3 e lado GF medindo y.

6. Observe os cubos representados e faça o que se pede.

Figuras geométricas. Dois cubos roxos. Acima, um cubo de aresta de 1 centímetro e abaixo um de 2 centímetros de aresta.

Determine:

a) a medida do volume de cada um;

b) a razão entre as medidas de comprimento das arestas do cubo menor e as das arestas do cubo maior;

c) a razão entre a medida da área de uma das faces do cubo menor e a medida da área de uma das faces do cubo maior;

d) a razão entre a medida do volume do cubo menor e a do volume do cubo maior.

e) Escreva uma conclusão relacionando os resultados.

Respostas e comentários

1. a) razão entre as medidas dos perímetros:

\frac{1}{2}

razão entre as medidas das áreas:

\frac{1}{4}

1. b) Os retângulos não são semelhantes.

\frac{9}{16}

\frac{4}{9}

\frac{5}{4} c m

5. EG = 8, EF = 15,

FG = 17 e AI = 7,5

6. a) 1 centímetro cúbico e 8 centímetros cúbicos

6. b)

\frac{1}{2}

6. c)

\frac{1}{4}

6. d)

\frac{1}{8}

6. e)

\frac{1}{4} = {(\frac{1}{2})}^{2}

\frac{1}{8} = {(\frac{1}{2})}^{3}

Orientações e sugestões didáticas

• Nas atividades, os estudantes deverão aplicar as propriedades dos polígonos semelhantes. Aproveite o momento para tirar as dúvidas e avaliar o aprendizado deles. Se achar conveniente, proponha que realizem as atividades em duplas.

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4 Triângulos semelhantes

Ilustração. Ronaldo, menino negro, cabelo castanho crespo, vestindo camiseta amarela e vermelha e bermuda verde. Está em pé, com a mão direita para trás e a mão esquerda apoiada em seu queixo.
Balão de pensamento com o texto: Eu desenhei dois quadrados quaisquer... e eles são semelhantes!

Figuras geométricas. Dois quadrados verdes com a indicação dos quatros ângulos retos. Quadrado da esquerda tem o lado com medida de comprimento maior que a medida de comprimento do quadrado da direita.

Ilustração. Ronaldo, mesmo personagem anterior. Está em pé, com a mão direita apoiada na cintura e a mão esquerda com o polegar e o indicador apoiados em seu queixo.
Balão de pensamento com o texto: Será que foi por acaso? Ou todos os quadrados são semelhantes?

Ilustração. Ronaldo, mesmo personagem anterior. Está em pé, com o polegar e o indicador da mão direita apoiados em seu queixo e a mão esquerda para trás.
Balão de pensamento com o texto: E se eu desenhar dois retângulos? Eles serão semelhantes?

Figuras geométricas. Dois retângulos azuis com a indicação dos quatros ângulos retos. Retângulo da esquerda com os seus lados de maior medida de comprimento na horizontal. Retângulo da direita com os lados de maior medida na vertical. O maior lado do retângulo da direita tem comprimento maior que o maior lado do retângulo da esquerda e o menor lado do retângulo da direita tem comprimento menor que o menor lado do retângulo da esquerda.

Ilustração. Ronaldo, mesmo personagem anterior. Está em pé, com a mão direita para trás e a mão esquerda em sua cabeça.
Balão de pensamento com o texto: E seu eu desenhar dois triângulos? Eles serão semelhantes?

Figuras geométricas. Dois triângulos alaranjados, sendo um equilátero e outro escaleno.

Ilustração. Ronaldo, mesmo personagem anterior. Está em pé, com as duas mãos espalmadas para frente.
Balão de pensamento com o texto: O que é preciso para que dois triângulos sejam semelhantes?

Já vimos que dois polígonos são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes forem congruentes e as medidas de comprimento dos lados correspondentes forem proporcionais.

Para verificar a semelhança de triângulos, será que é necessário analisar as medidas de abertura de todos os ângulos e as medidas de comprimento de todos os lados?

Veremos que não.

Orientações e sugestões didáticas

Triângulos semelhantes

Objetivos

• Reconhecer triângulos semelhantes de acordo com cada caso de semelhança.

• Resolver problemas aplicando a semelhança de triângulos.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um dois da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um dois porque, à medida que estudam os casos de semelhança, os estudantes reconhecem as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes, facilitando a resolução de variados problemas.

Orientações

• Dando continuidade ao estudo, apresentam-se as primeiras ideias de semelhança de triângulos. O objetivo nesse primeiro momento é que os estudantes percebam que, pela definição de semelhança de triângulos, é necessário que sejam obedecidas seis condições: três congruências e três proporcionalidades. Porém, escolhendo adequadamente algumas dessas seis condições, percebemos que, se elas forem obedecidas, as outras também o serão. Qualquer conjunto formado por uma quantidade mínima de condições capazes de garantir a semelhança de dois triângulos é chamado de caso de semelhança.

• Ao explorar esta página, espera-se que os estudantes concluam que os quadrados são semelhantes e que, para os retângulos, basta analisar a proporcionalidade das medidas de comprimento dos lados correspondentes.

• Sem propor aos estudantes que realizem quaisquer medidas, pergunte a eles se os triângulos representados nessa página são ou não semelhantes. Espera-se que percebam que não, pois têm formatos diferentes. Caso perceba que eles não estão convencidos, sugira que meçam a abertura dos ângulos de cada um com um transferidor.

(ê éfe zero nove ême ah um dois) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

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Casos de semelhança de triângulos

Nem sempre é necessário conhecer a medida de comprimento de todos os lados e a de abertura de todos os ângulos de dois triângulos para verificar se eles são semelhantes. Vamos estudar três casos em que isso acontece. Porém, antes vamos fazer algumas atividades para verificar algumas semelhanças.

Atenção! Cuidado ao usar o compasso.

Para resolver

Com régua e transferidor, construa no caderno um triângulo com dois dos ângulos com medidas de abertura iguais a 45graus e 90graus. Qual será a medida de abertura do terceiro ângulo do triângulo?

Compare as medidas de comprimento dos lados e as de abertura dos ângulos do seu triângulo com as medidas do triângulo de um colega. Esses triângulos são semelhantes?

b) Construa no caderno dois triângulos, um deles com ângulo cuja abertura mede 30graus, formado por dois lados cujas medidas de comprimento são 8 centímetros e 10 centímetros, e o outro formado por dois lados de medidas 4 centímetros e 5 centímetros de comprimento e um ângulo com medida de abertura igual a 30graus.

Usando régua e transferidor, meça a abertura dos ângulos e o comprimento dos dois triângulos. O que você observou? Esses triângulos são semelhantes?

c) Analise como Pedro construiu, usando régua e compasso, um triângulo cujos lados medem 2 centímetros, 3 centímetros e 4 centímetros de comprimento.

Figura geométrica. Segmento de reta na horizontal com ponto A na extremidade esquerda e ponto B na direita.
Acima, texto: primeiro, tracei o segmento AB com medida de comprimento igual a 4 centímetros.

Figura geométrica. Sequência da ilustração anterior. Mesma figura anterior agora com um traçado de compasso na parte acima.
Acima, texto: Segundo. Depois, com o compasso com abertura medindo 3 centímetros de comprimento, centrei a ponta-seca em A e tracei um arco.

Figura geométrica. Sequência da ilustração anterior. Mesma figura anterior agora com 2 traçados de compasso cruzando formando uma espécie de x, ao lado a letra C.
Acima, texto: Terceiro. Em seguida, com a abertura do compasso medindo 2 centímetros de comprimento, centrei a ponta-seca em B e tracei um arco.

Figura geométrica. Sequência da ilustração anterior. Mesma figura anterior agora com os pontos A, B e C ligados por segmentos de reta formando um triângulo vermelho. A região interna está colorida de vermelho.
Acima, texto: Quarto. Por último, tracei os segmentos AC e BC construindo o triângulo ABC.

Agora, construa um triângulo com lados de medidas 4 centímetros, 6 centímetros e 8 centímetros de comprimento. Meça as aberturas dos ângulos do triângulo que Pedro desenhou e compare essas medidas com as dos ângulos do seu triângulo. O que você observou? Esses triângulos são semelhantes?

Caso ângulo-ângulo (á á)

Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então esses triângulos são semelhantes.

Figuras geométricas. Dois triângulos. O triângulo ABC é alaranjado e tem indicação de ângulo com um tracinho no vértice B e ângulo com dois tracinhos no vértice A. O triângulo A linha, B linha e C linha é azul e tem indicação de ângulo com um tracinho no vértice B linha e ângulo com dois tracinhos no vértice A linha.

Se:

•

C \hat{A} B ≅ C' \hat{A'} B'

•

A \hat{B} C ≅ A' \hat{B'} C'

Então:

△ A B C \sim △ A' B' C'

Respostas e comentários

Para resolver: Respostas em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Esse é um momento de investigação. A sistematização do conceito é facilitada quando os estudantes podem, por meio de um experimento, conjecturar e verificar resultados, como proposto no boxe Para resolver.

Para resolver o item a, os estudantes devem concluir que 90graus + 45graus + x = 180graus e que x = 45graus; logo, o terceiro ângulo mede 45graus e os triângulos são semelhantes.

Tanto no item b quanto no item c, espera-se que os estudantes percebam que os ângulos correspondentes têm a mesma medida de abertura e que as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais. Logo, concluam que, sim, são semelhantes.

Se julgar necessário, trabalhe outros exemplos, como:

1) Dois triângulos com ângulos cujas aberturas medem 30graus e 70graus.

2) Dois triângulos, um deles com ângulo de medida de abertura 40graus, formado por dois lados de medidas 3,5 centímetros e 4 centímetros de comprimento, e o outro com o mesmo ângulo de medida de abertura igual a 40graus, formado por dois lados de medidas 7 centímetros e 8 centímetros de comprimento.

3) Dois triângulos, um com lados de medidas 3 centímetros, 4 centímetros e 5 centímetros de comprimento e outro com lados de medidas 6 centímetros, 8 centímetros e 10 centímetros de comprimento.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Para pensar

Consideremos r uma reta paralela ao lado

\overline{A B}

do triângulo ABC (a seguir), que determina nos lados

\overline{B C} e \overline{C A}

os pontos E e D, respectivamente. Os triângulos ABC e DEC são semelhantes? Por quê?

Figura geométrica. Triângulo ABC amarelo com um reta r paralela a base AB cortando os outros dois lados. A intersecção entre a reta r e o lado AC é o ponto de D e a intersecção entre a reta r e o lado BC é o ponto de E.

Caso lado-ângulo-lado (éle á éle)

Se dois triângulos têm dois pares de lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados são congruentes, então esses triângulos são semelhantes.

Figuras geométricas. Dois triângulos. O triângulo ABC é azul e tem indicação de um ângulo no vértice A. O triângulo A linha, B linha e C linha é vermelho e tem indicação de um ângulo no vértice A linha.

Se:

•

\frac{A B}{A' B'} = \frac{A C}{A' C'}

•

C \hat{A} B ≅ C' \hat{A'} B'

Então:

△ A B C \sim △ A' B' C'

Para pensar

Os triângulos ABC e á'bit'centésimo' a seguir são semelhantes? Por quê?

Figuras geométricas. Dois triângulos retângulos verdes. Triângulo ABC tem ângulo reto no vértice A. Cateto AB na horizontal e de medida de comprimento 8. Cateto AC na vertical e de medida de comprimento 6. Triângulo A linha, B linha e C linha tem ângulo reto no vértice A linha. Cateto A linha e B linha na horizontal e de medida de comprimento 12. Cateto A linha C linha na vertical e de medida de comprimento 9.

Caso lado-lado-lado (éle éle éle)

Se dois triângulos têm os três pares de lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais, então esses triângulos são semelhantes.

Figuras geométricas. Dois triângulos escalenos semelhantes. sendo triângulo ABC roxo e triângulo A linha B linha C linha é azul e uma redução do triângulo roxo.

Se:

•

\frac{A B}{A' B'} = \frac{A C}{A' C'} = \frac{C B}{C' B'}

Então:

△ A B C \sim △ A' B' C'

Respostas e comentários

Para pensar: Respostas em Orientações.

Para pensar: Sim, porque nesses triângulos temos:

•

C \hat{A} B ≅ C' \hat{A'} B'

Esquema. Fração CA sobre C linha A linha igual fração 6 sobre 9 igual a fração 2 sobre 3. Fração AB sobre A linha B linha igual a fração 8 sobre 12 igual a fração 2 sobre 3. Cota à direita do segundo tópico com fração CA sobre C linha A linha igual a fração AB sobre A linha B linha.

Então, pelo caso LAL: △ABC ∼ △A'B 'C '

Orientações e sugestões didáticas

• Ao indicar uma semelhança de triângulos por △ABC ∼ △á’bit’centésimo’, estamos afirmando que os vértices a, B e C são, respectivamente, os correspondentes dos vértices á’, bit’ e centésimo’.

• No boxe Para pensar, os triângulos ABC e DEC são semelhantes, pois:

•

A \hat{C} B ≅ D \hat{C} E

(ângulo comum aos dois triângulos)

•

B \hat{A} C ≅ E \hat{D} C

(ângulos correspondentes determinados por retas paralelas cortadas por uma transversal)

• Então, pelo caso AA: △ABC ∼ △DEC

• Ao apresentar o caso éle á éle de semelhança de triângulos, é importante mostrar aos estudantes exemplos de pares de triângulos não semelhantes que têm dois pares de lados de medidas de comprimento proporcionais e um par de ângulos congruentes. A ideia é que eles percebam que, para que os triângulos sejam semelhantes, os ângulos correspondentes congruentes devem ser os ângulos formados pelos lados com medidas de comprimento proporcionais, ou seja, não vale o critério lado-lado-ângulo.

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Tales e a aplicação da semelhança de triângulos

Pouco se sabe sobre o matemático, filósofo e cientista grego Tales de Mileto (624-548 antes de Cristo). Contudo, de acordo com diversos relatos de épocas posteriores à dele, Tales fez vários cálculos sobre a medida da altura de uma pirâmide observando a sombra dela.

Você já ouviu falar das pirâmides do Egito? São construções muito antigas, feitas há cerca de .4500 anos com grandes blocos de pedra para abrigar o corpo mumificado dos faraós e seus objetos mais valiosos.

Conta-se que, por volta de 600 antes de Cristo, Tales, em uma de suas viagens ao Egito, foi desafiado pelo faraó a calcular a medida da altura da pirâmide de Queóps.

Fotografia. No deserto, três pirâmides lado a lado. Ao centro, uma pirâmide maior e, em cada lado, uma menor. Tem a cor bege. Ao fundo, céu azul com nuvens. — As pirâmides de Quéops, Quéfren e Miquerinos, no Cairo, Egito, 2020.

Em um dia de sol, Tales observou que a pirâmide de base quadrada formava uma sombra, conforme mostra o esquema a seguir.

Esquema. Pirâmide de base quadrada. Sol na parte superior iluminando a pirâmide de modo que forma uma sombra no chão. Está destacado um triângulo retângulo A linha B linha e C linha, sendo A linha no vértice do topo da pirâmide, B linha o vértice no centro da base quadrada e C linha vértice na ponta da sombra no chão.

Nesse mesmo instante, fincou um bastão no solo e percebeu que ele também projetava uma sombra.

Tales esperou até o momento em que a altura e a sombra do bastão tivessem a mesma medida e pediu a um de seus ajudantes que medisse imediatamente o comprimento da sombra e do lado da base da pirâmide.

Analisando as medidas de comprimento encontradas e baseando-se no fato de os raios solares serem paralelos, o filósofo teve a ideia de fazer um esquema como este:

Esquema. À esquerda, pirâmide de base quadrada. Está destacado em vermelho um triângulo retângulo A linha B linha e C linha, sendo A linha no vértice do topo da pirâmide, B linha o vértice no centro da base quadrada e C linha vértice na ponta da sombra no chão. O ângulo do vértice B linha é reto e o ângulo do vértice C linha está destacado de vermelho.
Fio preto do lado A linha B linha indicando o texto Altura da pirâmide.
Cota saindo do segmento de B linha até a aresta da base, indicando o texto "metade da medida de comprimento do lado da base da pirâmide."
Fio preto da sombra indicando o texto sombra da pirâmide.
À direita, triângulo ABC, com ângulo reto no vértice B e ângulo destacado em vermelho no vértice C.
Fio preto no lado AB indicando texto altura do bastão.
Fio preto no lado BC indicando texto sombra do bastão.

No esquema, os triângulos á’bit’centésimo’ e ABC são semelhantes (caso á á), pois têm um ângulo reto, e os raios solares incidem com o mesmo ângulo sobre os objetos.

Como os triângulos são semelhantes, as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais:

\frac{A' B'}{A B} = \frac{B' C'}{B C}

Portanto, Tales concluiu que, como a medida da altura do bastão e a de comprimento da sua sombra eram iguais, a medida da altura da pirâmide era igual à medida de comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida de comprimento do lado de sua base.

Orientações e sugestões didáticas

• Após o estudo dos casos de semelhança de triângulos é apresentada uma consequência: o teorema de Tales. Aproveite a oportunidade e leve os estudantes a um experimento fora da sala de aula. Em um dia de sol, usando a estratégia de Tales de Mileto para medir a altura da pirâmide de Queóps, peça a eles que determinem a altura de um poste ou de uma árvore, por exemplo. Ao final, os estudantes devem verificar as diversas medidas feitas e comparar os resultados.

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ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Usando régua e transferidor, desenhe no caderno os triângulos ABC e DEF, de tal fórma que AB = 4 centímetros, AC = 5 centímetros, medida de(

\hat{A}

) = 60graus, DE = 6 centímetros, DF = 7,5 centímetros e medida de(

\hat{D}

) = 60graus.

Depois, faça o que se pede.

a) Verifique se esses triângulos são semelhantes. Caso sejam, determine a razão de semelhança entre o triângulo ABC e o triângulo DEF.

b) Que caso de semelhança é ilustrado por essa atividade?

2. A razão de semelhança entre dois triângulos é

\frac{4}{3}

. Os lados do triângulo maior medem 8 decímetros, 12 decímetros e 16 decímetros de comprimento. Determine as medidas de comprimento dos lados e a medida do perímetro do triângulo menor.

3. Reproduza no caderno a(as) afirmação(ões) verdadeira(s).

a) Dois triângulos isósceles são sempre semelhantes.

b) Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes.

c) Dois triângulos retângulos são sempre semelhantes.

d) Dois triângulos escalenos nunca serão semelhantes.

4. Sabendo que os triângulos são semelhantes, determine a medida de comprimento das incógnitas.

Figuras geométricas. Dois triângulos alaranjados com um vértice em comum. O triângulo da esquerda tem base de medida de comprimento x, outro lado de medida de comprimento igual a 10 e o ângulo entre esses lados com indicação de um tracinho. O triângulo da direita tem base de medida de comprimento 7, outro lado de medida de comprimento igual a 8 vírgula 75 e o ângulo entre esses lados com indicação de um tracinho.

Figuras geométricas. Dois triângulos verdes com um vértice em comum. O triângulo da esquerda tem base de medida de comprimento 8, outro lado de medida de comprimento igual a 12 e o terceiro lado de medida de comprimento y. O ângulo entre os lados de medida 12 e y tem indicação de um tracinho. O triângulo da direita tem base de medida de comprimento 6, outro lado de medida de comprimento igual a x e o terceiro lado de medida de comprimento 8. O ângulo entre os lados de medida x e 8 tem indicação de um tracinho. O vértice em comum é o vértice do encontro dos lados de comprimento 8 e 12 do triângulo da esquerda e de comprimento 6 e x do triângulo da direita.

5. Em um vaso que mede 30 centímetros de altura há uma árvore. Em certo momento do dia, o comprimento da sombra projetada por ela mede 1,5 métro e o do vaso, 45 centímetros. Quanto mede a altura da parte dessa árvore que fica para fora do vaso?

Esquema. Ilustração de uma árvore plantada no vaso. Linha tracejada do topo da árvore até o chão formando um triângulo. Outra linha tracejada, paralela à anterior, agora do topo do vaso até o chão. Cota com destaque para as medidas: altura do vaso: 30 centímetros; comprimento do vaso até a ponta da linha tracejada no chão: 45 centímetros; comprimento entre as pontas das linhas tracejadas no chão: 1 vírgula 5 metros.

6. É possível medir a altura a que uma bandeira está hasteada usando um espelho plano e uma fita métrica. Observe a figura.

Ilustração. Pessoa olhando para um espelho no ponto C, no chão observando o ponto mais alto de uma bandeira hasteada. No triângulo ABC, o lado AB corresponde a altura da pessoa de medida de comprimento 1 vírgulas 69 metros. O lado BC corresponde a distância da pessoa até o espelho com medida de comprimento 2 vírgula 6 metros. No vértice B o ângulo é reto e no vértice C o ângulo é alfa. No triângulo EDC, o lado ED corresponde a altura do mastro da bandeira de medida de comprimento x. O lado DC corresponde a distância do mastro até o espelho com medida de comprimento 4 vírgula 16 metros. No vértice D o ângulo é reto e no vértice C o ângulo é alfa.

De acordo com a figura, os triângulos ABC e EDC são semelhantes. Assim, para calcular a altura de medida x, uma pessoa precisa apenas conhecer a medida de sua altura, a medida da distância a que está do espelho e a da distância entre o espelho e o mastro da bandeira no momento em que ela vê no espelho o topo da bandeira.

Determine a medida da altura da bandeira.

7. Para medir a altura de um prédio, Cecília amarrou um arame no topo do prédio e depois fixou a outra ponta do arame no solo, a 5 métros de medida de distância da base do prédio.

Em seguida, a uma medida de altura de 5 métros a partir do solo, amarrou outro arame, deixando-o paralelo ao primeiro, e fixou-o no solo a 2 métros de medida de distância da base do prédio. Esquematize essa situação e determine a medida da altura total do prédio.

Ilustração. Prédio de quatro andares com tijolinhos amarelos em sua fachada e duas janelas em cada andar. Ao lado, cerca e arbustos. Ao fundo, céu azul.

8. O triângulo ABC representado a seguir é retângulo em a. Sabe-se que AB = 5, AC = 12, BC = 13 e AD = 2. Calcule a medida de comprimento de

\overline{D E}

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC com ângulo reto no vértice A. No lado AC, ponto D e no no lado BC ponto E de forma que compõem o triângulo EDC que também é retângulo, com ângulo reto no vértice E.

Respostas e comentários

1. Respostas em Orientações.

2. 6 decímetros, 9 decímetros e 12 decímetros; medida do perímetro = 27 decímetros

3. alternativa b

4. a) x = 8

4. b) x = 9; y =

\frac{32}{3}

5. 1 m

6. aproximadamente 2,70 métros

7. 12,5 métros

8. aproximadamente 3,8

Orientações e sugestões didáticas

• Resolução da atividade 1:

Figuras geométricas. Dois triângulos cinza. Triângulo da esquerda, ABC com lado AC de medida de comprimento 5 centímetros e lado AB é a base com medida de 4 centímetros. O ângulo do vértice A é de 60 graus. Triângulo da direita, DEF com lado DF de medida de comprimento 7 vírgula 5 centímetros e lado DE é a base com medida de 6 centímetros. O ângulo do vértice D é de 60 graus.

a) Os triângulos são semelhantes e a razão de semelhança é

\frac{2}{3}

b) O caso lado-ângulo-lado (éle á éle).

• Na atividade 7, espera-se que os estudantes esquematizem a situação como mostra a figura a seguir.

Figura geométrica. Dois triângulos, com um vértice em comum no ângulo reto. O triângulo maior tem base de 5 metros na horizontal e lado x na vertical que coincide com a altura. O triângulo menor tem base de 2 metros na horizontal e lado de 5 metros na vertical que coincide com a altura de 5 metros.

• Atenção! Oriente os estudantes a não fazer experiências que possam oferecer algum risco de acidentes.

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Informática e Matemática

faça as atividades no caderno

Teorema de Tales

Nesta seção, você vai utilizar um software de Geometria dinâmica para construir um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais e verificar, experimentalmente, relações entre as medidas de comprimento dos segmentos determinados sobre as transversais.

Saiba mais

Feixe de retas paralelas são duas ou mais retas de um mesmo plano que, consideradas duas a duas, são sempre paralelas.

CONSTRUA

Siga os passos a seguir para construir as retas paralelas e as retas transversais.

1º) Construa uma reta r.

2º) Construa as retas s e t, paralelas à reta r.

3º) Construa duas retas, u e v, transversais ao feixe de retas paralelas feito nos passos anteriores.

4º) Marque os pontos A, B e C, intersecções das retas r, s e t com a reta transversal u, e os pontos P, Q e R, intersecções das retas r, s e t com a reta transversal v.

Ilustração. Menino branco, cabelo castanho, vestindo camiseta verde, calça preta e sapato marrom. Está de costas, sentado em cadeira, de frente para monitor de computador que está em cima de uma mesa, com impressora e outros itens. A mão direita está apoiada no mouse e a esquerda está sobre a mesa. Na tela do computador há um desenho de retas e pontos.

Ilustração. Tela similar a de um software de geometria analítica. Na parte superior, há uma barra com diversos botões. Da esquerda para a direita, os botões correspondem às ferramentas: mover, ponto, reta, reta perpendicular, polígono, circunferência, ângulo e reflexão. Abaixo do botão ponto selecionado, aparecem da esquerda para a direita os botões que correspondem às seguintes ferramentas: ponto, intersecção de dois objetos e ponto médio. A ferramenta intersecção de dois objetos está selecionada. No canto superior direito aparecem os botões minimizar, maximizar e fechar. Na tela estão representadas três retas paralelas representadas por r, s e t e duas transversais u e v cada uma com um ponto em comum com cada uma das retas paralelas. O ponto de intersecção entre as retas r e u é A. O ponto de intersecção entre as retas s e u é B. O ponto de intersecção entre as retas t e u é C. O ponto de intersecção entre as retas r e v é P. O ponto de intersecção entre as retas s e v é Q. O ponto de intersecção entre as retas t e v é R.

INVESTIGUE

a) Meça o comprimento dos segmentos

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{A C}

\overline{P Q}

\overline{Q R}

\overline{P R}

b) Usando a ferramenta de calculadora dinâmica do software, determine as razões

\frac{A B}{B C}, \frac{P Q}{Q R}, \frac{A C}{A B} e \frac{P R}{P Q}

c) Comparando as razões

\frac{A B}{B C} com \frac{P Q}{Q R} e \frac{A C}{A B} com \frac{P R}{P Q}

, o que é possível verificar?

d) Movimente os pontos móveis, modificando a configuração inicial. A relação que você percebeu continua sendo válida para diferentes configurações?

Respostas e comentários

Investigue: a) Resposta pessoal.

Investigue: b) Resposta pessoal.

Investigue: c) Espera-se que os estudantes verifiquem que

\frac{A B}{B C} = \frac{P Q}{Q R} e \frac{A C}{A B} = \frac{P R}{P Q}

Investigue: d) A relação verificada continua válida, independentemente da configuração apresentada.

Orientações e sugestões didáticas

Informática e Matemática

Objetivos

• Verificar experimentalmente o teorema de Tales por meio de um software de Geometria dinâmica.

• Favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2 e 5 e da competência específica 2 da Bê êne cê cê.

Orientações

• Nessa seção os estudantes deverão construir um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais e verificar experimentalmente que as medidas de comprimento dos segmentos determinados sobre a primeira transversal são proporcionais às medidas de comprimento dos segmentos correspondentes determinados sobre a segunda transversal (teorema de Tales). Deixe os estudantes livres para trocar ideias e conjecturar.

• Nessa seção os estudantes assumem o papel de protagonistas do seu processo de aprendizagem na medida em que utilizam uma tecnologia digital para investigar e produzir conhecimento. Além disso, o raciocínio lógico e a capacidade de produzir argumentos são estimulados. Nesse âmbito, as competências gerais 2 e 5 e a competência específica 2 têm o seu desenvolvimento favorecido.

• Oriente os estudantes a utilizar uma calculadora dinâmica (do próprio software) para determinar as razões. Assim, ao movimentar a construção, o cálculo é atualizado simultaneamente com as medidas, possibilitando a verificação da propriedade constatada em diferentes configurações.

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de fórma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Página 134

5 Teorema de Tales

Acompanhe a situação a seguir.

Com alguns pedaços de bambu, Robson montou um suporte para apoiar uma planta.

Ilustração. 5 pedaços de bambu retos organizados com 3 bambus na horizontal e paralelos, um na vertical, mais a direita e outro na transversal mais a esquerda determinando 6 pontos de encontro entre os bambus. No bambu da direita, na vertical, os três na horizontal determinam duas partes, a de cima de 16 centímetros e a de baixo de 8 centímetros. No bambu da esquerda, na transversal, os três na horizontal determinam duas partes, a de cima de 20 centímetros e a de baixo de 10 centímetros.

Os pedaços de bambu foram amarrados de fórma que os horizontais ficassem paralelos entre si.

Robson percebeu que as medidas de comprimento formavam uma proporção, pois:

\frac{20}{10} = \frac{16}{8}

Além disso, ele percebeu que havia outras proporções entre as medidas de comprimento.

•

\frac{20 + 10}{10} = \frac{16 + 8}{8}

•

\frac{20 + 10}{20} = \frac{16 + 8}{16}

Robson também teria percebido essas proporções se no lugar dos bambus houvesse retas.

Esse fato, válido para todo conjunto de retas paralelas cortadas por duas retas transversais, é conhecido como teorema de Tales.

Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, as medidas de comprimento dos segmentos determinados sobre a primeira transversal são proporcionais às medidas de comprimento dos segmentos correspondentes determinados sobre a segunda transversal.

Exemplo

Vamos calcular a medida de comprimento x na figura a seguir, formada por um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais.

Figura geométrica. Três retas paralelas na horizontal denominadas, de cima para baixo, r, s e t. Duas retas transversais m e n que cortam as três paralelas. Na reta m, os 3 pontos de intersecção determinam dois segmentos de reta: o de cima com medida de comprimento x e o de baixo com medida de comprimento 7 vírgula 5. Na reta n, os 3 pontos de intersecção determinam dois segmentos de reta: o de cima com medida de comprimento 6 e o de baixo com medida de comprimento 10.

\frac{x}{7, 5} = \frac{6}{10}

10x = 6 ⋅ 7,5

x =

\frac{45}{10}

= 4,5

Orientações e sugestões didáticas

Teorema de Tales

Objetivos

• Introduzir o teorema de Tales.

• Aplicar o teorema de Tales na resolução de problemas.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade da ê éfe zero nove ême ah um quatro da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um quatro porque os estudantes deverão resolver problemas envolvendo as relações de proporcionalidade de retas paralelas cortadas por secantes.

Orientações

• O teorema de Tales será introduzido e demonstrado nesse tópico. Aproveite a oportunidade e comente com os estudantes que, embora tenham verificado a validade do teorema de Tales na seção Informática e Matemática, é necessário demonstrar que ele é válido.

(ê éfe zero nove ême ah um quatro) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Demonstração do teorema de Tales

Podemos demonstrar o teorema de Tales usando os conhecimentos de semelhança de triângulos.

Observe o feixe de retas paralelas a, b e c, cortadas pelas retas transversais m e n.

Figura geométrica. Três retas paralelas na horizontal denominadas, de cima para baixo, a, b e c. Duas retas transversais m e n que cortam as três paralelas. Na reta m, os 3 pontos de intersecção, de cima para baixo, são A, B e C. Na reta n, os 3 pontos de intersecção, de cima para baixo, são P, Q e R.

Vamos mostrar que

\frac{A B}{B C} = \frac{P Q}{Q R}

e que

\frac{A C}{A B} = \frac{P R}{P Q}

Podemos transladar uma figura geométrica sem que ela perca suas características.

Recorde

A translação é a isometria (transformação geométrica que preserva o formato e todas as medidas de comprimento da figura original) pela qual uma figura é deslocada em determinada direção e sentido, de modo que a medida de distância entre cada ponto da figura original e o seu correspondente na figura obtida é a mesma.

Na figura a seguir, o triângulo á'bit'centésimo' (imagem) foi obtido por uma translação do triângulo ABC. O vetor dessa translação está indicado pela seta vermelha.

Figura geométrica. Dois triângulos congruentes representados na malha quadriculada. O triângulo A linha B linha C linha está deslocado três unidades para a direita e uma unidade para cima com relação ao triângulo ABC. Seta vermelha do vértice A para o vértice A linha.

Vamos transladar a reta n de fórma que o ponto Q coincida com o ponto B.

Figura geométrica. Sequência da figura anterior. As retas a, b, c e m na mesma posição e a reta n está tracejada e foi deslizada para a esquerda até o ponto Q coincidir com o ponto B. Os pontos PAB determinam um triângulo e os pontos RCB determinam outro triângulo.

Obtivemos dois triângulos: PAB e RCB

Esses dois triângulos são semelhantes pelo caso á á, pois têm dois ângulos congruentes (

A \hat{B} P

≅

C \hat{B} R

, ângulos opostos pelo vértice, e

P \hat{A} B

≅

R \hat{C} B

, ângulos alternos internos). Então:

\frac{A B}{C B} = \frac{P B}{R B}

Como Q ≡ B, podemos escrever:

\frac{A B}{B C} = \frac{P Q}{Q R}

Para demonstrar a outra igualdade, partimos da primeira figura e transladamos a reta n de fórma que o ponto P coincida com o ponto A.

Figura geométrica. Sequência da figura anterior. As retas a, b, c e m estão na mesma posição. A reta n está tracejada e foi deslizada para a direita até o ponto P coincidir com o ponto A. Os pontos ABQ determinam um triângulo e os pontos ACR determinam outro triângulo.

Orientações e sugestões didáticas

• Faça a demonstração do teorema de Tales no quadro com a participação da turma. Procure deixar claro quais são as hipóteses e a tese e como os conhecimentos adquiridos anteriormente (translação, propriedade dos ângulos opostos pelo vértice e caso AA de semelhança de triângulos) são empregados nessa demonstração. Momentos como esse contribuem para que os estudantes estabeleçam nexos entre os conhecimentos previamente adquiridos e os novos conhecimentos.

• Se achar necessário, comente com os estudantes que não é preciso mostrar que

\frac{A C}{B C} = \frac{P R}{Q R}

, pois isso é equivalente a mostrar que

\frac{A C}{A B} = \frac{P R}{P Q}

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Novamente, obtivemos dois triângulos: ACR e ABQ.

Esses dois triângulos também são semelhantes pelo caso á á, pois têm dois ângulos congruentes (

R \hat{A} C

≅

Q \hat{A} B

, ângulo comum, e

A \hat{C} R

≅

A \hat{B} Q

, ângulos correspondentes). Então:

\frac{A C}{A B} = \frac{A R}{A Q}

Como P ≡ A, podemos escrever:

\frac{A C}{A B} = \frac{P R}{P Q}

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Determine a medida de comprimento x em cada item, sendo r // s // t.

Figura geométrica. Três retas paralelas denominadas, de cima para baixo, r, s e t. Duas retas transversais que cortam as três paralelas. Na primeira transversal os 3 pontos de intersecção determinam dois segmentos de reta: o de cima com medida de comprimento x e o de baixo com medida de comprimento 7 vírgula 5. Na segunda transversal, os 3 pontos de intersecção determinam dois segmentos de reta: o de cima com medida de comprimento 18 e o de baixo com medida de comprimento 12.

Figura geométrica. Três retas paralelas na horizontal denominadas, de cima para baixo, r, s e t. Duas retas transversais que cortam as três paralelas. Na primeira transversal os 3 pontos de intersecção determinam dois segmentos de reta: os dois juntos medem 14 vírgula 8 a o segmento de baixo mede 11 vírgula 6. Na segunda transversal, os 3 pontos de intersecção determinam dois segmentos de reta: os dois juntos medem x e o segmento de cima mede 2.

2. Determine a medida de x em cada caso sabendo que

\overline{D E}

\overline{B C}

Figura geométrica. Triângulo ABC azul com um segmento de reta DE paralelo a base BC cortando os outros dois lados. A intersecção entre o segmento DE e o lado AB é o ponto de D e a intersecção entre o segmento DE e o lado AC é o ponto de E. As medidas de comprimento indicadas são: AD igual a x, DB igual a x mais 3, AE igual a 4 e EC igual a 6.

Figura geométrica. Triângulo ABC roxo com um segmento de reta DE paralelo ao lado BC cortando os outros dois lados. A intersecção entre o segmento DE e o lado AB é o ponto de E e a intersecção entre o segmento DE e o lado AC é o ponto de D. As medidas de comprimento indicadas são: AE igual a 10, EB igual a 2, AD igual a x e DC igual a 3.

3. Se r // s // t e x + y + z = 63, descubra quais são as medidas de comprimento x, y e z.

Figura geométrica. Triângulo verde com três retas paralelas na horizontal denominadas, de cima para baixo, r, s e t. de forma que a reta t coincide com a base do triângulo e as retas r e s cortam os outros dois lados. No lado da esquerda do triângulo, os 2 pontos de intersecção determinam três segmentos de reta: o de cima com medida de comprimento 12, o do meio com medida de comprimento 10 e o de baixo com medida de comprimento 20. No lado da direita do triângulo, os 2 pontos de intersecção determinam três segmentos de reta: o de cima com medida de comprimento x, o do meio com medida de comprimento y e o de baixo com medida de comprimento z.

4. Um feixe de três retas paralelas determina, em uma transversal, os pontos B, E e F e, em outra transversal, os pontos correspondentes bit', E' e éfe'. Sabendo que

\overline{B E}

mede 8 centímetros de comprimento, que

\overline{E F}

mede 14 centímetros de comprimento e que a medida de comprimento de

\overline{B' E'}

é igual a 24 centímetros, calcule a medida de comprimento de

\overline{E' F'}

5. Um projetor reproduziu em uma tela a imagem de um slide, conforme mostra a figura.

Ilustração. Parede cinza e mesa amarela. Em cima da mesa, projetor cinza formando uma imagem retangular de uma pássaro marrom e cinza, com fundo de vegetação e céu, no canto direito da parede. A luz sai do projetor formando um triângulo com as bordas da imagem.

• Calcule a medida da largura da imagem formada sabendo que a medida de seu comprimento é igual a 27 centímetros e que o slide mede 3 centímetros de largura e 2 centímetros de comprimento.

Respostas e comentários

1. a) 11,25

1. b) 9,25

2. a) 6

2. b) 15

3. x = 18, y = 15 e z = 30

4. 42 centímetros

5. 40,5 centímetros

Orientações e sugestões didáticas

• Para resolver a atividade 5, os estudantes precisam perceber que a medida de comprimento do slide está para a de sua largura, assim como a medida de comprimento da imagem formada está para a de sua largura. Logo, para calcular a medida de largura da imagem, podemos fazer:

\frac{2}{3}

\frac{27}{x}

⇒ x = 40,5

Portanto, a medida de largura da imagem formada é 40,5 centímetros.

Após os estudantes resolverem a atividade 5, proponha a eles que façam, em duplas ou trios, uma nova versão do enunciado e calculem o que está faltando. A ideia é fazer com que coloquem outras medidas e encontrem a medida da largura da imagem na nova situação.

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Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Leitura e interpretação de gráficos que se complementam

Para obter informações sobre determinado assunto, algumas vezes é preciso analisar diversas fontes. Isso ocorre porque os dados obtidos geralmente se complementam, ampliando, assim, a pesquisa. Esses dados podem estar representados, por exemplo, em gráficos, infográficos, informes específicos ou reportagens.

Você já parou para pensar de onde vem a energia que as pessoas do mundo utilizam? Vamos apresentar algumas informações importantes sobre a energia. Vale ressaltar que ela pode chegar por meio de variadas fontes, que podem ser renováveis ou não renováveis.

As energias solar, eólica e hídrica são exemplos de fontes de energia renováveis, consideradas inesgotáveis por serem renovadas constantemente, e emitem menos gases de efeito estufa que fontes não renováveis, como o carvão mineral, o gás natural e o petróleo.

Observe os gráficos a seguir, que trazem informações a respeito da produção de energia primária no Brasil, segundo o Balanço Energético Nacional de 2021.

Gráfico de barras duplas verticais. Título do gráfico: Produção de energia primária no Brasil. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical tem 8 traços horizontais paralelos ao eixo igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima, os números 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 e 70. Ele está rotulado como Porcentagem No eixo horizontal estão indicados, da esquerda para direita, os anos 2 mil e 17, 2 mil e 18, 2 mil e 19 e 2 mil e 20. Ele está rotulado como Ano. Legenda no centro da parte inferior indicando que as barras referentes às fontes não renováveis são azuis e as barras referentes às fontes renováveis são vermelhas. Partindo do eixo horizontal, barras com mesma largura indicando que em 2 mil e 17 as fontes não renováveis correspondiam a 59 vírgula 2 porcento e as fontes renováveis correspondiam a 40 vírgula 8 porcento; em 2 mil e 18 as fontes não renováveis correspondiam a 57 vírgula 9 porcento e as fontes renováveis correspondiam a 42 vírgula 1 porcento; em 2 mil e 19 as fontes não renováveis correspondiam a 59 vírgula 1 porcento e as fontes renováveis correspondiam a 40 vírgula 9 porcento; em 2 mil e 20 as fontes não renováveis correspondiam a 59 vírgula 6 porcento e as fontes renováveis correspondiam a 40 vírgula 4 porcento.

Gráfico. Título do gráfico de setores: Produção de energia primária no Brasil em 2 mil e 20. Círculo dividido em 9 setores. Um setor, na cor azul escuro, com fio indicando que 44 vírgula 8 porcento da energia corresponde a petróleo; outro setor em verde claro com fio indicando que 13 vírgula 6 porcento da energia corresponde a gás natural; outro setor, em roxo escuro com fio indicando que 0 vírgula 6 porcento da energia corresponde a carvão vapor; outro setor, em preto com fio indicando que 0 vírgula 6 porcento da energia corresponde a outras; outro setor, em azul com fio indicando que 10 porcento da energia corresponde a hidráulica; outro setor, em laranja com fio indicando que 7 vírgula 6 porcento da energia corresponde a lenha; outro setor, em vermelho com fio indicando que 16 vírgula 3 porcento da energia corresponde a produtos da cana-de-açúcar; outro setor, em amarelo com fio indicando que 1 vírgula 4 porcento da energia corresponde a Eólica; outro setor, em lilás com fio indicando que 5 vírgula 1 porcento da energia corresponde a outras; Abaixo, legenda indicando que as fontes não renováveis são: Petróleo, Gás natural, Carvão Vapor e Outras, na cor preta; Fontes renováveis: Hidráulica, Lenha, Produtos da cana-de-açúcar, Eólica e Outras, na cor roxo claro.

Dados obtidos em: EMPRESA DE PESQUISA ENERGÉTICA (Brasil). Balanço Energético Nacional 2021: Ano base 2020 / Empresa de Pesquisa Energética. Rio de Janeiro: epê, 2021. Disponível em: https://oeds.link/sh1BGy. Acesso em: 31 maio 2022.

O gráfico de barras duplas mostra que, de 2017 a 2020, a participação das fontes de energia não renováveis na produção nacional de energia primária aumentou ano a ano, enquanto a participação das fontes de energia renováveis diminuiu.

Já o gráfico de setores complementa as informações do gráfico de barras duplas. Nesse gráfico, podem-se observar dados mais detalhados da produção de energia primária em 2020.

Observe, por exemplo, que em 2020 o petróleo, energia não renovável, foi a maior fonte de energia primária, representando 44,8% da produção nacional, superando a produção total de energia renovável (40,4%). Em relação à energia renovável, os produtos de cana-de-açúcar apresentaram maior porcentagem.

Orientações e sugestões didáticas

Estatística e Probabilidade

Objetivos

• Ler e interpretar gráficos que se complementam.

• Reconhecer o gráfico mais adequado para representar determinado conjunto de dados.

• Trabalhar o Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, da macroárea Meio Ambiente.

• Favorecer o desenvolvimento da competência geral 9, da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois dois da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Essa seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois dois porque os estudantes poderão analisar dados em diferentes representações gráficas que se completam.

Orientações

• Nessa seção os estudantes deverão retomar a leitura e a interpretação de diferentes tipos de gráficos, ampliando as discussões, uma vez que as atividades exploram gráficos complementares.

• A situação inicial explora a produção de energia primária no Brasil. Aproveite o tema e pergunte aos estudantes quais fontes de energia compõem a matriz energética. Explique que essa matriz representa um conjunto de fontes de energia (renováveise não renováveis) para gerar eletricidade, para preparar alimentos usando um fogão e para movimentar um veículo, por exemplo.Esse assunto propicia o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, da macroárea Meio Ambiente.

• Se julgar oportuno, explore com os estudantes o site a bê cê dêEnergia (disponível em: https://oeds.link/aIeLjF; acesso em: 23 julho 2022), que traz dicas e curiosidades sobre energia em jogos, infográficos e podcasts.

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

(ê éfe zero nove ême ah dois dois) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

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▶ Estatística e Probabilidade

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

O Brasil acolhe muitos refugiados que vêm de outros países. Observe, nos gráficos a seguir, dados a respeito de pedidos de refúgio deferidos no Brasil em 2020. Depois, responda às questões.

Gráfico. Título do gráfico de setores: Solicitação de refúgio deferido, por faixa etária, em 2 mil e 20. Círculo dividido em 7 setores. Um setor, na cor vermelha, com fio indicando que 0 vírgula 12 porcento dos refugiados tem idade de 0 a 4 anos; outro setor, na cor roxa, com fio indicando que 0 vírgula 40 porcento dos refugiados tem idade de 5 a 14 anos; outro setor, na cor azul, com fio indicando que 21 vírgula 60 porcento dos refugiados tem idade de 15 a 24 anos; outro setor, na cor verde claro, com fio indicando que 49 vírgula 84 porcento dos refugiados tem idade de 25 a 39 anos; outro setor, na cor laranja, com fio indicando que 24 vírgula 65 porcento dos refugiados tem idade de 40 a 59 anos; outro setor, na cor amarela, com fio indicando que 3 vírgula 33 porcento dos refugiados tem idade de 60 ano ou mais; outra parte, na cor verde escuro, com fio indicando que 0 vírgula 06 porcento dos refugiados tem idade não especificada. Legenda no canto inferior direito: Vermelho: 0 a 4 anos; Roxo: 5 a 14 anos; Azul: 15 a 24 anos; Verde claro: 25 a 39 anos; Laranja: 40 a 59 anos; Amarelo: 60 anos ou mais e Verde escuro: não especificado.

Gráfico. Título do gráfico de setores: Solicitação de refúgio deferido, por sexo, em 2 mil e 20. Círculo dividido em 3 setores. Um setor, na cor verde, com fio indicando que 62 vírgula 27 porcento dos refugiados são homens; outro setor, na cor rosa, com fio indicando que 36 vírgula 38 porcento dos refugiados são mulheres; outra parte, na cor lilás, com fio indicando que 1 vírgula 35 porcento dos refugiados não especificaram o sexo. Legenda na parte inferior central: Verde: Homens, Rosa: Mulheres e roxo: Não especificado.

Gráficos elaborados com base nos dados obtidos em: SILVA, G. J. e outros Refúgio em números, sexta edição Observatório das Migrações Internacionais; Ministério da Justiça e Segurança Pública/ Comitê Nacional para os Refugiados. Brasília: OBMigra, 2021.

a) Qual foi a porcentagem de solicitações deferidas de refúgio de pessoas entre 40 e 59 anos no Brasil em 2020?

b) Pode-se dizer que aproximadamente

\frac{1}{3}

das pessoas que solicitaram refúgio era do sexo masculino? Justifique sua resposta.

c) De que faixa etária era a maioria das pessoas que solicitaram refúgio no Brasil em 2020?

2. Rogério é proprietário de uma loja de jogos de computador em rede. No primeiro mês de funcionamento da loja, ele realizou uma pesquisa para identificar o perfil dos usuários. Observe nos gráficos a seguir alguns dados obtidos. Depois, responda às questões.

Gráfico de barras verticais. Título do gráfico: Número de usuários por faixa etária em fevereiro de 2 mil e 23. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical tem 6 traços horizontais paralelos ao eixo igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima, os números 0, 20, 40, 60, 80 e 100. Ele está rotulado como Número de usuários. No eixo horizontal estão indicados, da esquerda para direita, as faixas etárias: de 10 a 15 anos, de 16 a 21 anos, de 22 a 27 anos e de 28 a 32 anos. Ele está rotulado como Faixa etária. Partindo do eixo horizontal, barras com mesma largura indicando que na faixa etária de 0 a 15 anos tem 40 usuários, na faixa etária de 16 a 21 anos tem 80 usuários, na faixa etária de 22 a 27 anos tem 40 usuários e na faixa etária de 28 a 32 anos tem 20 usuários.

Gráfico de linha. Título do gráfico: Média de horas de jogo por usuário de 16 a 21 anos em fevereiro de 2 mil e 23. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical tem 6 traços horizontais paralelos ao eixo igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima, os números 0, 2, 4, 6, 8 e 10. Ele está rotulado como Medida de tempo abre parênteses em hora fecha parênteses. No eixo horizontal estão indicados, da esquerda para direita, os períodos: primeira, segunda, terceira e quarta. Ele está rotulado como Período abre parênteses em semana fecha parênteses. 4 pontos indicando o número de horas em cada semana: na primeira semana, 6 horas, na segunda, 8 horas, na terceira, 4 horas e na quarta, 6 horas. Linha verde ligando os 4 pontos.

Dados obtidos por Rogério em fevereiro de 2023.

a) A maior parte dos usuários pertence a qual faixa etária?

b) Em qual semana de fevereiro de 2023 usuários que têm de 16 a 21 anos passaram mais tempo jogando? Durante quantas horas, em média, cada um desses usuários jogou nessa semana?

c) No total, quantos usuários visitaram a loja no mês da pesquisa?

d) Observando os gráficos, é possível saber quantos usuários de 16 a 21 anos frequentaram a loja em cada semana?

Respostas e comentários

1. a) 24,65%

1. b) Não, pois 62,27% é mais que

\frac{1}{3}

1. c) A maioria das pessoas estava na faixa de 25 a 39 anos.

2. a) de 16 a 21 anos

2. b) 2ª semana; 8 horas

2. c) 180 usuários

2. d) Não. Pelo gráfico podemos determinar o número total de usuários de 16 a 21 anos no período todo; porém, não é possível saber quantos deles frequentaram a loja em cada semana.

Orientações e sugestões didáticas

• Antes de pedir aos estudantes que realizem a atividade 1, converse com eles sobre a questão dos refugiados. Diga que existem vários tipos de refugiados no mundo, alguns por condições de perseguição política, outros pela existência de conflitos armados e guerrilhas, além daqueles que sofrem com a fome, discriminação racial, social, religiosa etcétera Conscientize-os da importância de o país acolher essas pessoas e possibilitar a elas uma vida digna. Conversar sobre este tema favorece o desenvolvimento da competência geral 9 e do Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos, da macroárea Cidadania e Civismo.

• Para resolver a atividade 2, espera-se, antes de tudo, que os estudantes identifiquem em que gráfico devem procurar a informação solicitada no item.

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Lembre-se: Escreva no caderno!

Reúna-se com um colega e observem, nos gráficos a seguir, a distribuição de água na Terra.

Esquema. 2 gráficos de setores. Título dos gráficos Distribuição de água na Terra. Primeiro gráfico, à esquerda: Círculo dividido em 2 setores. Um setor, na cor azul escuro, com fio indicando que 97 vírgula 5 porcento da água na Terra corresponde a água salgada; outro setor, na cor azul claro, com fio indicando que 2 vírgula 5 porcento da água na Terra corresponde a água doce. Outro gráfico de setores correspondente à parte da água doce do primeiro gráfico. Dividido em 3 setores com tons de azul: um setor com fio indicando que 69 porcento da água doce corresponde a geleiras e calotas polares; outra parte com fio indicando que 30 porcento da água doce corresponde a águas subterrâneas e outra parte com fio indicando que 1 porcento da água doce corresponde a Rio, lagos e água na atmosfera.

Fonte: AGÊNCIA NACIONAL DE ÁGUAS E SANEAMENTO BÁSICO (ãna). Água no mundo. Disponível em: https://oeds.link/NG3iS8. Acesso em: 10 março 2022.

a) Que porcentagem da água no planeta é doce?

b) Como é a distribuição da água doce no planeta?

c) Que porcentagem do total de água na Terra corresponde às geleiras e calotas polares? Como vocês calcularam esse valor?

Elaborem duas questões que possam ser respondidas com base nos gráficos. Passem suas questões para outra dupla responder e respondam às questões elaboradas por eles.

A agência de viagens Turisbom é especialista em viagens pelo Brasil e, periodicamente, realiza pesquisas para conhecer os hábitos do turista brasileiro que faz viagens nacionais.

Em uma dessas pesquisas, foram entrevistadas duas.quinhentas e quatorze pessoas. As pessoas entrevistadas foram divididas em três grupos: clientes atuais (que fizeram algum tipo de viagem pelo país nos últimos dois anos), clientes potenciais (que não viajaram pelo país nos últimos dois anos, mas pretendem fazê-lo nos próximos dois anos) e não clientes (que não viajaram pelo país nos últimos dois anos e não pretendem viajar nos próximos dois anos). Reúna-se com um colega e observem alguns resultados dessa pesquisa.

Gráfico de barras verticais. Título do gráfico: Distribuição dos entrevistados em 2 mil e 23. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. O eixo vertical está rotulado como Quantidade de pessoas entrevistadas abre parênteses em porcentagem fecha parênteses. No eixo horizontal estão indicados, da esquerda para direita, os grupos: clientes atuais, clientes potenciais e não clientes. Ele está rotulado como grupos de entrevistados. Partindo do eixo horizontal, barras vermelhas com mesma largura indicando que no grupo de clientes atuais a quantidade de pessoas entrevistas corresponde a 58 vírgula 8 porcento; no grupo de clientes potenciais a quantidade de pessoas entrevistas corresponde a 33 vírgula 5 porcento; no grupo de não clientes a quantidade de pessoas entrevistas corresponde a 7 vírgula 7 porcento.

Gráfico. Título do gráfico de setores: Motivos dos não clientes para não viajar pelo Brasil. Círculo dividido em 7 setores. Um setor, na cor verde, com fio indicando que 55 vírgula 7 porcento não têm condições financeiras; outro setor, na cor amarela indicando que 23 vírgula 4 porcento não têm interesse; outro setor, na cor rosa indicando que 6 vírgula 8 porcento têm interesse em viajar para o exterior; outro setor, na cor azul indicando que 4 vírgula 2 porcento têm medo da violência; outro setor, na cor roxo escuro indicando que 2 vírgula 6 porcento Estão desempregados; outro setor, na cor lilás indicando que 2 vírgula 6 porcento Não têm tempo e outro setor, na cor vermelha indicando que 4 vírgula 7 porcento possuem outros motivos. — Dados obtidos pela agência de viagens Turisbom em 2023.

a) Calculem o número aproximado de entrevistados, não clientes, que não viajam pelo Brasil por não terem condições financeiras.

Elabore quatro questões que possam ser respondidas com base nas informações dos gráficos. Passe suas questões para outra dupla responder e respondam às questões elaboradas por eles.

Respostas e comentários

3. a) 2,5%

3. b) águas subterrâneas: 30%; rios, lagos e água na atmosfera: 1%; geleiras e calotas polares: 69%

3. c) aproximadamente 1,73%;

Espera-se que os estudantes percebam que é necessário calcular 69% de 2,5%.

3. d) Resposta pessoal.

4. a) ≃ 108

4. b) Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 3, chame a atenção dos estudantes para o segundo gráfico de setores, que trata da distribuição apenas da água doce. Se julgar oportuno, com o suporte do professor da área de Ciências da Natureza, peça aos estudantes que pesquisem a distribuição entre os continentes da água doce nos rios, lagos e na atmosfera e escolham o gráfico mais adequado para representar os dados coletados.

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Educação Financeira

faça as atividades no caderno

Por que eu tenho de fazer isso?

Estudar e ir à escola faz parte do seu cotidiano há muito tempo, não é mesmo? Você vai à escola e muitas vezes até esquece o porquê disso.

Acompanhe a conversa de um adolescente com o pai dele sobre esse assunto.

Ilustração. Tirinha com três quadros. Primeiro quadro da tirinha: Dentro de um carro vermelho, no banco do motorista, com as mãos no volante e usando cinto de segurança, o pai, homem branco, com cabelo e barba castanhos, vestindo terno com gravata vermelha. Ao seu lado, no banco da frente do passageiro, usando cinto de segurança, o filho, menino branco, cabelo castanho, vestindo camisa verde claro de gola verde, com o cotovelo direito apoiado na porta e a mão direita no rosto.
Balão de fala do menino com o texto: Pai, eu preciso mesmo ir para a escola todos os dias?

Ilustração. Segundo quadro da tirinha: Mesmo personagem do motorista, pai, olhando para o filho.
Balão de fala com o texto: Claro! Isso é o melhor para o seu futuro.

Terceiro quadro da tirinha: Mesmos personagens dentro do carro. O menino, filho, está com expressão risonha e o pai com expressão preocupada.
Balão de fala do menino com o texto: Mas acho que devo resolver isso quando eu for adulto, não agora.
Balão de fala do pai com o texto: Não, filho, não é bem assim...

O que você faria?

Coloque-se no lugar de um adulto e simule as respostas que você daria às questões a seguir, feitas pelo filho adolescente.

a) Por que tenho de ir para a escola todos os dias?

b) Estou muito cansado. Posso faltar na escola hoje?

c) Não quero mais frequentar as aulas de Inglês. Posso parar?

d) Por que temos de estudar todas essas matérias na escola? Não podemos escolher só as de que mais gostamos?

e) Quando eu terminar o 9º ano, posso parar de estudar?

f ) Tenho um amigo que largou os estudos para trabalhar. Será que devo fazer o mesmo?

Ilustração. Em volta de uma mesa com toalha amarela, com alimentos, pratos e xícaras em cima, estão três pessoas sentadas. À esquerda, menino negro, cabelo castanho crespo, vestindo camiseta branca com gola verde, com a mão direita espalmada para frente.
Balão de fala com o texto: Estou pensando em fazer um curso técnico quando terminar o Ensino Fundamental.
Ao centro, menina negra, cabelo castanho ondulado preso, vestindo camisa verde claro com gola verde, com a mão direita sobre a mesa e segurando um pão francês.
À direita, mulher negra, cabelo castanho ondulado, vestindo blusa amarela e calça rosa, segura uma xícara branca com a mão direita e a mão esquerda está apoiada na mesa.
Balão de fala com o texto: Que bom, filho!

Respostas e comentários

O que você faria? Respostas pessoais.

Orientações e sugestões didáticas

Educação financeira

Objetivos

• Refletir sobre o uso consciente de recursos financeiros.

• Trabalhar o Tema Contemporâneo Transversal Trabalho, da macroárea Economia.

• Favorecer o desenvolvimento da competência geral 7 e da competência específica 8 da Bê êne cê cê.

Orientações

• O foco do assunto desenvolvido nessa seção é o investimento em educação. Após a leitura do diálogo entre pai e filho, sugerimos o seguinte roteiro:

a) Já questionaram alguém a respeito desse assunto, como fez o adolescente?

b) Qual é sua opinião a respeito desse questionamento?

Comente com os estudantes que a fase escolar é de extrema importância para a aquisição e o desenvolvimento de novas habilidades e competências e que eles estão investindo em seu futuro.

• Em O que você faria?, os estudantes podem se reunir em pequenos grupos para discutir suas ideias. Não há necessidade de fazer registros. Combine com eles uma apresentação oral para os outros colegas, estimulando a troca de opiniões e informações. Incentive a participação de todos e estimule-os a ouvir diferentes ideias para que, desse modo, a competência específica 8 da Bê êne cê cê tenha o seu desenvolvimento favorecido.

Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Competência específica 8: Interagir com seus pares de fórma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

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Calcule

Observe a seguir um painel de ofertas de empregos da Agência Trabalhão.

Ilustração. Homem branco, cabelo castanho, usando óculos, blusa azul com camisa branca por baixo, segura pasta roxa com o braço direito e a mão direita apontada para cima, com o dedo indicador dobrado e apontado para o queixo. Olha para painel marrom com título Ofertas de Empregos.
Abaixo, quatro folhas brancas, lado a lado.
Primeira folha com o texto em preto: Ocupações de nível superior
Enfermeiro 3 mil 294 reais
Jornalista 3 mil 334 reais
Veterinário 4 mil e 30 reais
Analista de Recursos Humanos 3 mil 296 reais.
Segunda folha, do lado direito, com o texto em preto:
Técnicos e especialistas com ensino médio
Diagramador 1 mil 776 reais
Técnico em radiologia 2 mil 178 reais
Técnico em enfermagem 1 mil 644 reais
Web designer 2 mil 439 reais.
Terceira folha, do lado direito, com o texto em preto:
Supervisão barra chefia
Diretor financeiro 12 mil 723 reais
Gerente financeiro 5 mil 847 reais
Gerente de Recursos Humanos 7 mil e 71 reais
Supervisor de telemarketing 2 mil 383 reais.
Quarta folha, à direita, com o texto em preto:
Administrativo barra operacional
Digitador 1 mil 324 reais
Operador de telemarketing 1 mil e 69 reais
Recepcionista 1 mil 530 reais
Secretário bilíngue 2 mil 781 reais. — Valores compilados pela Agência Trabalhão em 2022.

Agora, com base nos dados anteriores, responda às questões a seguir.

a) Na área de Recursos Humanos, calcule a diferença entre o salário de um analista e o de um gerente.

b) Qual é a diferença entre o salário de um recepcionista e o de um secretário bilíngue? Por que você acha que existe essa diferença?

c) Rodrigo foi contratado como técnico de enfermagem. Ele pretende fazer o curso superior de enfermagem para atuar como enfermeiro. Em quanto aumentará seu salário?

d) Quando se tem bastante experiência em uma função, pode-se chegar a um cargo de chefia e supervisão. Um operador de telemarketing que assumisse o cargo de supervisor de telemarketing teria um aumento de quantos reais no salário?

e) Pesquise na internet alguns cargos disponíveis em concursos públicos e compare os salários de acordo com o grau de escolaridade exigido. Converse com seus colegas a respeito disso.

Reflita

O que você quer para seu futuro profissional? Converse sobre isso com seus professores, amigos e familiares e procure debater algumas questões, como as relacionadas a seguir.

• Que planos tenho para o futuro?

• O que tenho feito pelo meu futuro?

• O que posso fazer pensando em meu futuro?

• O que considero sem importância em relação a esse tema?

• Por que não posso deixar de investir em meu futuro?

Saiba mais

Você sabia que a palavra “salário” deriva do latim salarium, que significa “de sal”?

Na época do Império Romano, os soldados eram pagos com sal, que era considerado uma mercadoria nobre e, por isso, bastante valorizada e utilizada como moeda de troca. O termo “salário” acabou designando toda e qualquer remuneração.

Respostas e comentários

Calcule: a) R$ 3.775,00três mil setecentos e setenta e cinco reais; b) R$ 1.251,00mil duzentos e cinquenta e um reais; resposta pessoal; c) R$ 1.650,00mil seiscentos e cinquenta reais; d) R$ 1.314,00mil trezentos e quatorze reais; e) Resposta pessoal.

Reflita: Respostas pessoais.

Orientações e sugestões didáticas

• Vale destacar que certamente o salário não é o único fator de decisão para a escolha de um emprego ou de uma profissão. É importante que os jovens conheçam um pouco sobre o assunto para que possam refletir sobre os caminhos que seguirão profissionalmente. O tempo de escola precisa ser aproveitado para que descubram suas aptidões e interesses.

• Resoluções do tópico Calcule:

a) .7071 menos .3296 = .3775

b) .2781 menos .1530 = .1251; espera-se que os estudantes citem o fato de que o secretário bilíngue precisa investir mais em sua formação profissional, aprendendo uma língua estrangeira.

c) .3294 menos .1644 = .1650

d) .2383 menos .1069 = .1314

e) Incentive os estudantes a pesquisar em sites de prefeituras próximas. Em seguida, oriente-os a comparar os salários oferecidos para vagas de acordo com o grau de escolaridade.

• Se julgar conveniente, amplie o Reflita acrescentando outras questões e faça um painel com os estudantes de modo que eles compreendam que o investimento que fazem em si mesmos enquanto são estudantes é de extrema importância. Incentive-os a pesquisar fatos, dados e informações confiáveis para que eles possam formular, negociar e defender suas ideias, favorecendo, assim, o desenvolvimento da competência geral 7 da Bê êne cê cê.

• O painel ilustrado também propicia a discussão sobre o papel e a atuação da mulher no mercado de trabalho, além de questões como remunerações diferentes e acúmulo de tarefas. Tal discussão favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Trabalho, da macroárea Economia. Sugerimos a leitura do estudo feito pelo í bê gê É intitulado “Estatísticas de gênero: indicadores sociais das mulheres no Brasil”. A seguir destacamos parte de sua conclusão:

[reticências] Há diferenças que se acentuam na análise conjunta de sexo e cor ou raça, apontando situação de maior vulnerabilidade para as mulheres pretas ou pardas. [reticências] De todo modo, alçar posições de maior tomada de decisão não tem sido suficiente para solucionar as desigualdades apresentadas, uma vez que, entre os diretores e gerentes, a desigualdade de rendimentos entre homens e mulheres foi mais elevada. Tampouco é uma questão de diferenciais nos níveis de escolaridade, já que as mulheres, hoje, são mais instruídas que os homens. A eleição de mulheres para os cargos legislativos apresenta melhora discreta, mas ainda longe de corresponder à metade feminina da população brasileira e ainda em situação muito desfavorável quando comparada a outros países. A maior participação nesses cargos é importante não apenas em termos de representatividade, mas para aumentar as chances de pautar a formulação de políticas públicas de suporte às agendas de promoção de equidade, de acesso a oportunidades e de proteção contra violência doméstica, assédio e abusos de toda ordem.

INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Estatísticas de gênero: indicadores sociais das mulheres no Brasil. Diretoria de Pesquisas, Coordenação de População e Indicadores Sociais. 2ª edição. Rio de Janeiro: í bê gê É, 2021, página 12. Disponível em: https://oeds.link/rf7LPR. Acesso em: 23 julho 2022.

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Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. (Unaerp-São Paulo) As retas r e s são interceptadas pela transversal t, conforme a figura. O valor de x, para que r e s sejam paralelas, é:

Figura geométrica. Três retas amarelas nomeadas r, s e t. As retas r e s estão na horizontal e são paralelas. A reta t é uma transversal e corta as outras duas, tem um ponto em comum com a reta r e outro ponto em comum com a reta s. No ponto em comum entre as retas r e t, são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida x mais 20 graus e está a esquerda da reta t e abaixo da reta r. No ponto em comum entre as retas s e t, são formados 4 ângulos, sendo um deles destacado com medida 4 vezes x mais 30 graus e está a esquerda da reta t e acima da reta s.

a) 20graus

b) 26graus

c) 28graus

d) 30graus

e) 35graus

2. Determine no caderno a razão entre:

a) a medida do perímetro e a medida de comprimento do lado de um quadrado;

b) a medida de comprimento do lado de um triângulo equilátero e a medida de seu perímetro;

c) sua idade e a idade de seu responsável.

3. Eduardo e Mônica estavam mobiliando uma sala com dois ambientes. Para isso, escolheram para a sala de estar os seguintes móveis: um sofá que mede 2 métros de comprimento por 1 métro de largura, uma poltrona que mede 1 métro de comprimento por 1 métro de largura e um rack de base quadrada cujo lado mede 75 centímetros de comprimento. Para a sala de jantar, optaram por uma mesa que mede 1,5 métro de comprimento por 75 centímetros de largura e seis cadeiras. Cada cadeira ocupa a medida de área igual a 0,25 métro quadrado. Observe a seguir a planta da sala de Eduardo e Mônica.

Ilustração. Planta da sala de dois ambientes. As paredes formam um polígono de 10 lados. A parede da porta de entrada forma 90 graus com a parede de 3 vírgula 5 metros, que forma 90 graus com outra parede de um metro, que forma 270 graus com uma parede pequena sem indicação de medida, que forma 90 graus com a parede da janela que mede 1 metro, que forma 90 graus com outra parede sem indicação um pouco maior que a anterior que forma 270 graus com uma parede de 2 vírgula 5 metros, que forma 90 graus com uma parede de 2 vírgula 5 metros com outra janela. Essa parede forma 90 graus com uma parede de 3 vírgula 5 metros, que forma 270 graus uma parede pequena sem indicação de medida que forma 90 graus com a parede da porta de entrada.

a) A sala do casal comporta esses móveis?

b) Qual seria uma fórma de dispô-los?

4. Considere a figura a seguir.

Figura geométrica. retângulo verde com vértices ABCD. O lado AD mede 1. O ponto F está no lado AB e determina as medidas AF igual a x e FB igual a 0 vírgula 4. O ponto E está no lado DC de forma que o segmento EF é paralelo ao lado BC.

Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes e AD = 1, AF = x e FB = 0,4, então a medida de comprimento x vale:

a) 1

b) 1,8

c) 2,1

d) 2,5

e) 3,1

Suponha que alguém tenha lhe pedido que fizesse três cópias das fotos a e B em dimensões diferentes. A foto a mede 5 centímetros de largura e 8 centímetros de comprimento, e a foto B, 5 centímetros de largura e 6 centímetros de comprimento.

Usando a calculadora, determine a porcentagem que você deverá usar para ampliar ou reduzir cada foto, considerando as determinações apresentadas a seguir.

• Da foto A, fazer cópias com as seguintes medidas:

a) 3,15 centímetros de largura e 5,04 centímetros de comprimento;

b) 10,7 centímetros de largura e 17,12 centímetros de comprimento;

c) 6,35 centímetros de largura e 14 centímetros de comprimento.

• Da foto B, fazer cópias com as seguintes medidas:

d) 6,35 centímetros de largura e 7,62 centímetros de comprimento;

e) 3 centímetros de largura e 4 centímetros de comprimento;

f) 1,15 centímetro de largura e 1,38 centímetro de comprimento.

6. Um triângulo ABC tem lados medindo 5 centímetros, 6 centímetros e 7,5 centímetros de comprimento. Calcule a medida de comprimento dos lados de outro triângulo, semelhante ao triângulo ABC, sabendo que seu lado menor mede 15 centímetros de comprimento.

Respostas e comentários

1. alternativa b

2. a) 4

2. b)

\frac{1}{3}

2. c) Resposta pessoal.

3. a) sim

3. b) Exemplo de resposta em Orientações.

4. alternativa c

5. a) 63%

5. b) 214%

5. c) Não é possível, mantendo a proporcionalidade.

5. d) 127%

5. e) Não é possível, mantendo a proporcionalidade.

5. f) 23%

6. 18 centímetros e 22,5 centímetros

Orientações e sugestões didáticas

Atividades de revisão

Objetivos

• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do Capítulo.

• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah um zero, ê éfe zero nove ême ah um dois e ê éfe zero nove ême ah um quatro da Bê êne cê cê.

Habilidades da Bê êne cê cê

• Essa seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um zero porque propõe aos estudantes a aplicação das relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Também favorece a habilidade ê éfe zero nove ême ah um dois pois eles precisarão reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. Favorece ainda a habilidade ê éfe zero nove ême ah um quatro porque propõe aos estudantes que resolvam problemas aplicando as relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Orientações

• Exemplo de resposta do item b da atividade 2.

Ilustração. Mesma ilustração da planta da sala de dois ambientes. O sofá está na parede de 2 vírgula 5 metros, o rack está na parede de 3 vírgula 5 metros, mais perto do canto e a poltrona, mais para o centro, ao lado do rack, na parede de 3 vírgula 5 metros. A mesa de jantar está na com seu lado maior alinhado com a parede de 3 vírgula 5 metros perto da porta de entrada.

(ê éfe zero nove ême ah um zero) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

(ê éfe zero nove ême ah um dois) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

(ê éfe zero nove ême ah um quatro) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

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7. (unicâmpi-São Paulo) A figura a seguir mostra um segmento

\overline{A D}

dividido em três partes com medidas: AB = 2 centímetros, BC = 3 centímetros e CD = 5 centímetros. O segmento

\overline{A D'}

mede 13 centímetros, e as retas

\overset{\leftrightarrow}{B B'}

\overset{\leftrightarrow}{C C'}

são paralelas a

\overset{\leftrightarrow}{D D'}

. Determine os comprimentos, em centímetro, dos segmentos

\overline{A B'}

\overline{B' C'}

\overline{C' D'}

Figura geométrica. Segmento AD na horizontal com os pontos B e C indicados entre eles, de forma que B está entre A e C e C está entre B e D. Partindo do ponto A, outro segmento de reta com os pontos B linha, C linha e D linha. Segmentos de reta tracejados ligando B e B linha, C e C linha, D e D linha. Esses segmentos são paralelos entre si.

A razão entre a medida da largura e a do comprimento de um terreno retangular é

\frac{2}{5}

. Calcule a medida de área desse terreno sabendo que seu perímetro mede 70 metros.

9. (ú éfe ême gê) Em determinada hora do dia, o Sol projeta a sombra de um poste de iluminação sobre o piso plano de uma quadra de vôlei. Nesse instante, a sombra mede 16 métros. Simultaneamente, um poste de 2,7 métros, que sustenta a rede, tem sua sombra projetada sobre a mesma quadra. Nesse momento, essa sombra mede 4,8 métros. A altura do poste de iluminação é de:

a) 8,0 métros

b) 8,5 métros

c) 9,0 métros

d) 7,5 métros

10. Podemos construir uma câmera fotográfica rudimentar inserindo um filme fotográfico em uma caixa de sapatos com um pequeno orifício, chamado diafragma, em uma de suas faces. Quando a luz entra pelo orifício, uma imagem invertida é produzida sobre o filme.

Ilustração. Câmera fotográfica simples, construída com caixa de sapato e a imagem projetada na parede. Do lado esquerdo a caixa cinza de 20 centímetros de comprimento com o filme na face interna da esquerda e um orifício na face da direita. O filme tem formato retangular e os raios de luz formam um triângulo do filme até o orifício. Fora da caixa, para o lado direito, os raios de luz continuam a partir do orifício, formando um outro triângulo semelhante ao anterior até a imagem na parede. A distância do orifício até a imagem é x

a) Suponha que você queira fotografar um quadro cujas medidas são 32 centímetros de largura por 40 centímetros de altura usando essa câmera improvisada, com medida de profundidade de 20 centímetros.

Qual deve ser a medida da distância x entre a câmera e o quadro para que seja produzida uma imagem que mede 8 centímetros de largura por 10 centímetros de altura?

b) Se a imagem produzida medisse 5 centímetros de altura por 4 centímetros de largura, a que medida de distância do quadro a câmera deveria ficar?

11. Marcelo quer fotografar uma estátua que mede 1,8 métro de altura. Para isso, colocou sua câmera a uma medida de distância de 3,0 métros da estátua. O diafragma dessa câmera está a uma medida de distância de 2 centímetros do filme. Qual será a medida da altura da estátua na foto?

12. Uma empresa de telecomunicações construirá torres de alta-tensão em três pontos distintos entre as cidades a e B. Uma das torres será colocada na cidade a, uma na cidade B e a outra próximo da estrada principal que separa essas cidades.

Observe o esquema que foi montado para indicar as posições das torres.

Esquema. Retângulo com um mapa. No canto superior esquerda está a cidade A e no canto inferior direito a cidade B. Na horizontal um reta que passa todo o retângulo indicando a estrada principal. O ponto I está no localizado na estrada principal e se dá pela intersecção da reta que representa a estrada com o segmento de reta AB. O ponto A linha pertence também a estrada, está a esquerda do ponto I e forma o triângulo retângulo com os vértices A, A linha e I. O lado A linha I, mede 8 quilômetros, o lado AI mede 10 quilômetros e o ângulo de 90 graus está no vértice A linha. O ponto B linha pertence também a estrada, está a direita do ponto I e forma o triângulo retângulo com os vértices B, B linha e I. O lado B linha I, mede 10 quilômetros, o lado B B linha mede 7 vírgula 5 quilômetros e o ângulo de 90 graus está no vértice B linha.

Determine a medida de distância:

a) da torre da cidade a à estrada principal, indicada pelo segmento

\overline{A A'}

b) da torre da cidade B à torre da estrada principal, indicada pelo segmento

\overline{BI}

13. Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 6 degraus, de modo que sejam respeitadas as medidas indicadas na figura a seguir.

Figura geométrica. Figura que se parece com uma escada de madeira. Seis segmentos paralelos cortados por duas transversais de forma que determinam 6 pontos de encontro com cada uma. A distância entre esses pontos tem medida de comprimento x. Primeiro segmento paralelo debaixo para cima, tem medida de comprimento 90 centímetros, terceiro segmento paralelo tem medida de comprimento 60 centímetros e quinto segmentos paralelo tem medida de comprimento igual a 30 centímetros. O prolongamento das duas transversais é tracejado e se encontram em um único ponto. A medida de comprimento desse prolongamento é x.

Todos os degraus serão obtidos cortando uma ripa linear de madeira cuja medida de comprimento mínima, em centímetro, seja:

a) 144

b) 315

c) 210

d) 155

e) 360

Respostas e comentários

7. Abitlinha = 2,6 centímetros; bitlinhacentésimolinha = 3,9 centímetros; centésimolinhadivisores de ícone de alturalinha = 6,5 centímetros

8. 250 métros quadrados

9. alternativa c

10. a) 80 centímetros

10. b) 1,6 métro

11. 1,2 centímetro

12. a) 6 quilômetros

12. b) 12,5 quilômetros

13. alternativa b

Orientações e sugestões didáticas

• Pode-se modelar matematicamente o problema apresentado na atividade 10 com semelhança de triângulos. Sabendo que a medida da altura do quadro, 40 centímetros, está para 10 centímetros, medida da altura da imagem, assim como a medida da largura do quadro, 32 centímetros, está para 8 centímetros, medida da largura da imagem, temos a seguinte proporção:

\frac{40}{10}

\frac{32}{8}

= 4

Assim, x pode ser determinado com a proporção:

\frac{x}{20}

= 4

x = 80

Logo, a medida da distância x deve ser 80 centímetros.

• Sugerimos algumas questões para que os estudantes possam refletir sobre suas aprendizagens e possíveis dificuldades no estudo deste Capítulo, as quais devem ser adaptadas à realidade da turma. Oriente-os a fazer a autoavaliação, respondendo às questões no caderno com sim, às vezes ou não.

Eureticências

reticências sei o que são polígonos semelhantes?

reticências conheço o teorema de Tales?

reticências reconheço os casos de semelhança de triângulos (á á, éle á éle e éle éle éle)?

reticências sei identificar se uma figura é uma ampliação, redução ou distorção de uma figura original?

.... sei aplicar o teorema de Tales na resolução de problemas?

reticências sei ler e interpretar gráficos que se complementam?

reticências cuido do meu material escolar?

reticências tenho um bom relacionamento com meus colegas de sala?

reticências consigo expor minhas ideias e opiniões em grupo?

reticências realizo as tarefas propostas?

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Para finalizar

faça as atividades no caderno

organize suas ideias

Observe e responda

Considere estas imagens.

Figura geométrica. Quadrado de lado x mais y, decomposto em 2 quadrados menores e retângulos, denominados respectivamente 1, 2, 3 e 4 em algarismos romanos. Quadrado 1 tem lado Y, Quadrado 2 tem lado X, os retângulos 3 e 4 são iguais com medidas x e y sendo um na horizontal e outro na vertical.

Fotografia. Miniatura do estádio de futebol, com formato circular e com cobertura na área da arquibancada que é colorida. É possível ver parte do campo. Ao lado, estádio de vôlei, com formato circular e teto fechado. Em volta, praça de circulação e acesso. Fotografia. Cidade com prédios e diferentes construções. No centro, estádio de futebol com formato circular e cobertura na área da arquibancada. Abaixo, do lado esquerdo, estádio de vôlei com formato circular e teto fechado. Do lado direito, duas piscinas com arquibancada coberta. Ao fundo, morros e céu azul. — Maquete do projeto de modernização do estádio Jornalista Mário Filho, o Maracanã, e do ginásio do Maracanãzinho (primeira foto, de 2004), e estádios após a modernização (segunda foto, de 2021), no Rio de Janeiro (Rio de Janeiro).

Ilustração. Menina branca, ruiva, vestindo vestido azul e botas roxas. Está em pé, com a mão direita para trás e a mão esquerda com o dedo indicador apontado para a bochecha do lado esquerdo. Ela está olhando para uma lousa verde com a sentença matemática escrita de giz branco: 999 elevado ao quadrado mais 1 mil e 1 elevado ao quadrado igual. Balão de pensamento com o texto: Para facilitar as contas, posso fazer 999 igual 1 mil menos 1 e 1 mil e 1 igual 1 mil mais 1.

Fotografia. Jardim Botânico. Ao fundo, céu azul com nuvens e construção de dois andares feita de metal branco com vidros. À frente, na parte inferior, jardim com folhas verdes e vermelhas. Fotografia. Mesma imagem anterior, em tamanho reduzido. Fotografia. Mesma imagem anterior, em tamanho reduzido. — Jardim Botânico de Curitiba (pê érre), 2022.

Com base nas imagens e no que você aprendeu nesta Unidade, faça o que se pede.

1. O que a maquete de um estádio e a ampliação de uma foto têm em comum?

2. Considere o quadrado, ilustrado anteriormente, de lados medindo y + x de comprimento. Expresse a medida de área desse quadrado em relação às medidas de área dos quadriláteros um, dois, três e quatro.

3. Caso substitua 999 por .1000 menos 1 e .1001 por .1000 + 1 na expressão 999elevado a 2 + .1001elevado a 2, que produtos notáveis a menina vai calcular?

Respostas e comentários

1. Tanto na maquete quanto na ampliação da foto mantemos o formato original do objeto (no caso, o estádio e a foto), mudando seu tamanho (na maquete, diminuímos o tamanho em relação ao original; na ampliação da foto, aumentamos).

2. y elevado a 2 + 2yx + x elevado a 2

3. O quadrado da diferença de dois termos e o quadrado da soma de dois termos.

Orientações e sugestões didáticas

Para finalizar

Objetivo

• Analisar o que foi estudado na Unidade e avaliar o aprendizado.

Orientações

• Este é um momento de expor ideias e compará-las com as iniciais, de modo que fique mais claro para os estudantes o que foi tratado e discutido nesta Unidade. Com isso, eles podem verificar o que aprenderam e em quais assuntos tiveram mais dificuldade.

• Resolução da atividade 2:

Aíndice 1 = yelevado a 2

Aíndice 2 = xelevado a 2

Aíndice 3 = xy

Aíndice 4 = xy

Medida de área do quadrado maior: yelevado a 2+ 2xy + xelevado a 2

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Registre

Para finalizar o estudo desta Unidade, faça o que se pede.

1. Que produtos notáveis você conhece? Exemplifique.

2. O que significa fatorar um polinômio?

3. Do ponto de vista matemático, o que significa ampliar uma foto?

4. Como você diferencia congruência entre polígonos de semelhança entre polígonos? Explique.

5. Em sua opinião, qual é a importância da semelhança no dia a dia? Justifique sua resposta.

6. Enuncie o teorema de Tales com suas palavras.

7. Na abertura desta Unidade, você respondeu a algumas questões no boxe Para começar... Retome as questões e analise se você daria outras respostas a elas agora. Escreva um texto explicando o que você aprendeu.

Para conhecer mais

Semelhança

(Coleção Pra que serve Matemática?)

Imenes, Jakubo, Lellis

São Paulo: Atual, 2005.

Esse livro é formado por pequenos textos que respondem parcialmente à pergunta “Pra que serve semelhança?”.

Você encontrará curiosidades, informações históricas, quebra-cabeças, jogos e charadas para aplicar esse conceito.

Fotografia. Capa do livro de atividades na cor verde, título na cor azul: Semelhança, autores Imenes, Jakubo e Lellis, na parte superior, escrito em preto. Abaixo, duas mulheres brancas, cabelo ruivo ondulado, vestindo blusa rosa e camisa alaranjada, calça azul e tênis rosa e branco, parecidas. Ao fundo, retângulos de várias cores.

Semelhança não é mera coincidência

(Coleção Vivendo a Matemática)

Nílson José Machado

São Paulo: Scipione, 2000.

Todos os quadrados são semelhantes? Todos os círculos são semelhantes? E quanto aos triângulos, essa semelhança é válida para todos? Esse livro explora as relações de semelhança entre figuras planas e não planas e ainda traz atividades esclarecedoras e interessantes sobre esse assunto.

Fotografia. Capa do livro na cor rosa, título na cor roxa: Semelhança não é mera coincidência, autor Nílson José Machado, na parte superior, escrito em branco. Abaixo, pássaro colorido com duas cabeças, uma olhando para o outra.

Respostas e comentários

1. Espera-se que os estudantes se lembrem do quadrado da soma de dois termos, do quadrado da diferença de dois termos e do produto da soma pela diferença de dois termos. Exemplos pessoais.

2. Significa escrevê-lo na fórma de um produto de dois ou mais polinômios.

3. Significa obter uma foto com dimensões maiores que as da original mantendo a proporção entre elas.

4. Congruência: as figuras têm ângulos e segmentos correspondentes congruentes.

Semelhança: as figuras têm ângulos correspondentes congruentes e as medidas de comprimento de quaisquer segmentos correspondentes nas duas figuras são proporcionais.

5. Resposta pessoal.

6. Espera-se que os estudantes expliquem com suas palavras que, dado um feixe de retas paralelas cortadas por duas retas transversais, as medidas de comprimento dos segmentos determinados sobre a primeira transversal são proporcionais às medidas de comprimento dos segmentos correspondentes determinados sobre a segunda transversal.

7. Resposta pessoal.

Orientações e sugestões didáticas

• Se julgar oportuno, peça aos estudantes que retomem as atividades feitas nos capítulos desta Unidade e listem as que tiveram dificuldade de resolver. Em seguida, organize-os em grupos, de acordo com as questões listadas e os conteúdos relacionados, para que resolvam juntos tais atividades.

• As atividades desta seção proporcionam a reflexão sobre dificuldades e aprendizagens. Essa reflexão proporcionará o agir com autonomia e responsabilidade quanto às próprias aprendizagens dos estudantes.

• Na atividade 5, espera-se que os estudantes busquem exemplos que façam parte do repertório deles; assim, eles podem citar, por exemplo, peças de roupas de um mesmo modelo com tamanhos diferentes.

• Na atividade 7, oriente os estudantes a retomar as questões propostas na abertura da Unidade e respondê-las novamente, agora aplicando o que aprenderam.