Página 198

UNIDADE 4

Capítulo 8

Funções

Capítulo 9

Função afim

Capítulo 10

Figuras geométricas não planas e medida de volume

Fotografia. Vista aérea de uma região de uma cidade. No centro, na horizontal, avenida com veículos. Em volta, outras ruas e muitas construções, como prédios e casa. — Vista aérea de um bairro em Balneário Camboriú (Santa Catarina), 2022.

Mobilidade Urbana

Você já parou para pensar no tempo que gasta para se locomover de sua casa até a escola? E nas condições de segurança desse trajeto? Essas e outras questões estão relacionadas à chamada mobilidade urbana. Já ouviu falar?

Mobilidade urbana refere-se, basicamente, ao deslocamento de pessoas de um ponto a outro dentro de uma cidade. As condições de deslocamento, utilizando qualquer meio de transporte – a pé, bicicleta, carro, ônibus etcétera –, são de suma importância na qualidade de vida das pessoas na cidade, pois todas precisam se locomover constantemente: para ir à escola, ao trabalho, visitar amigos, entre outras situações.

Para começar reticências

1. Qual é o meio de transporte mais usado por você e sua família?

2. Como são as condições de mobilidade urbana na cidade onde você mora?

3. Antônio utiliza ônibus para se locomover até o trabalho: um para ir e outro para voltar. Considerando que uma passagem custa R$ 4,10quatro reais e dez centavos, responda.

a) Em um dia, quantos reais Antônio gasta com passagens de ônibus para ir e voltar do trabalho? E em cinco dias?

b) Escreva uma expressão que relacione a quantia gasta com passagens para Antônio ir e voltar do trabalho à quantidade de dias.

Respostas e comentários

Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas nesta Unidade:

ê éfe zero nove ême ah zero seis

ê éfe zero nove ême ah zero sete

ê éfe zero nove ême ah zero oito

ê éfe zero nove ême ah um sete

ê éfe zero nove ême ah um nove

ê éfe zero nove ême ah dois zero

ê éfe zero nove ême ah dois três

Para começarreticências: 1 e 2: Respostas pessoais.

3. a) R$ 8,20oito reais e vinte centavos; R$ 41,00quarenta e um reais

3. b) Q = 8,2 ⋅ d, em que Q é a quantia gasta e d, a quantidade de dias.

Orientações e sugestões didáticas

Abertura da Unidade 4

Conteúdos

• Nesta unidade, serão trabalhados vários conceitos relacionados às unidades temáticas Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e Probabilidade e Estatística, que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da Bê êne cê cê listadas.

Orientações

• Ao trabalhar com a página de abertura, converse com os estudantes a respeito de algumas dificuldades e soluções de Mobilidade Urbana implementadas no mundo. Informe-lhes, por exemplo, que o deslocamento rodoviário é limitado, pois ele ocorre em duas dimensões, dificultando a Mobilidade Urbana de quem vive nos morros. Para solucionar esse problema, em Medelín, na Colômbia, foi implementado um sistema de transporte público por teleféricos, adicionando, assim, uma nova dimensão ao transporte.

• Ao trabalhar com a questão 1, deixe que os estudantes compartilhem com a turma sua resposta, que pode ser, por exemplo, carro, ônibus, metrô, entre outros. Em seguida, questione-os sobre o uso desse transporte, solicitando que exponham sua finalidade, como se sentem com relação à segurança e também a respeito do tempo gasto no deslocamento.

• Oriente os estudantes a responder à questão 2 com base em suas experiências pessoais. Por exemplo, quem mora em uma metrópole pode dizer que as condições são boas, que a cidade tem vários tipos de transportes para várias regiões da cidade; e quem mora em cidades pequenas pode dizer que a oferta de transporte é reduzida ou apresenta pouca opção. Neste momento, não é esperado que realizem uma análise da Mobilidade Urbana de sua cidade como um todo, mas sim que comentem suas condições de locomoção.

• Caso os estudantes apresentem dificuldades na questão 3, proponha a construção do seguinte quadro.

Quantidade de dias	Quantia gasta (R$)
1	8,1 = 8,1 ⋅ 1
2	16,2 = 8,1 ⋅ 2
3	24,3 = 8,1 ⋅ 3
4	32,4 = 8,1 ⋅ 4
⋮	⋮
d	8,1 ⋅ d

Página 199

CAPÍTULO 8 Funções

1 Ideia de função

Analisar como as grandezas se relacionam é uma prática necessária em situações cotidianas como no exemplo a seguir.

Fotografia. Linha de produção com várias colunas em uma esteira. As colunas são azuis, com ilustração de uma bolacha preta com recheio branco na parte inferior. Atrás, homem branco, calvo, com cabelo grisalho, vestindo touca de proteção, óculos e jaleco branco. Em pé, observa as colunas da esteira. Ao fundo, outras máquinas. — Linha de produção de uma fábrica de biscoitos.

Uma máquina de embalar alimentos produz 50 pacotes a cada minuto de funcionamento. Observe no quadro a seguir a quantidade de pacotes que essa máquina produz, de acordo com o tempo de operação.

Produção da máquina de embalar alimentos
Medida de tempo (em minuto)	1	2	3	4	5	6
Quantidade de pacotes	50	100	150	200	250	300

Nessa situação, é estabelecida uma relação entre duas grandezas: a quantidade de pacotes embalados e a medida de tempo de funcionamento da máquina.

Note que cada medida de tempo de funcionamento da máquina determina uma quantidade de pacotes embalados. Quando há correspondência entre duas grandezas e para cada medida da primeira grandeza corresponde apenas uma medida da segunda, dizemos que a segunda grandeza é função da primeira. Assim, a quantidade de pacotes embalados é dada em função da medida de tempo de funcionamento da máquina.

Observe outras situações do dia a dia em que a ideia de função está presente.

Fotografia. Bilheteria de um cinema. Na frente, uma fila de diferentes pessoas de diversas etnias, organizadas por uma fita vermelha. Ao fundo, várias telas com imagens de diferentes filmes. Placa com o texto em branco: bilheteria. — O valor da arrecadação de uma bilheteria de cinema é dado em função da quantidade de ingressos vendidos.

Fotografia. Traseira esquerda de um veículo prata, com farol traseiro vermelho aceso. Está parado em um posto de gasolina, sendo abastecido. — O gasto com combustível é calculado em função do número de litros colocados no tanque do automóvel.

Respostas e comentários

Habilidade da Bê êne cê cê trabalhada neste Capítulo:

ê éfe zero nove ême ah zero seis

Orientações e sugestões didáticas

Ideia de função

Objetivo

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis porque proporciona aos estudantes compreender a ideia de função pela interdependência da variação de grandezas e suas representações numérica e algébrica. Além disso, eles deverão aplicar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Orientações

• Nesse tópico, a intenção é que os estudantes debatam a respeito de funções no cotidiano e aprofundem seus estudos com as informações apresentadas.

• Com base na situação inicial, proponha as seguintes perguntas a eles: Quantos pacotes são embalados em 10 minutos? E em x minutos? Espera-se que eles respondam que em 10 minutos são embalados 500 pacotes e, em x minutos, abre parênteses50 ⋅ xfecha parênteses ou abre parêntesesx ⋅ 50fecha parênteses pacotes.

(ê éfe zero nove ême ah zero seis) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Página 200

Lei de formação da função

Alessandra presta serviços de informática a diferentes empresas e cobra R$ 60,00sessenta reais por hora trabalhada. Observe no quadro a seguir o valor recebido por Alessandra, de acordo com a quantidade de horas trabalhadas.

Valor de serviço de acordo com o número de horas trabalhadas
Quantidade de horas trabalhadas	1	2	3	4
Valor recebido (em real)	60	120	180	240

O valor recebido por Alessandra é dado em função do número de horas trabalhadas. Nessa situação, cada quantidade de horas trabalhadas está associada a apenas um valor recebido.

Lembre-se: Escreva no caderno!

Para pensar

Quanto Alessandra receberá se levar 8 horas para realizar um trabalho?

A correspondência entre o valor v recebido, em real, por Alessandra e a medida de tempo t de horas trabalhadas por ela pode ser representada por:

v = 60 ⋅ t, em que t é um número real positivo.

A sentença anterior é chamada de lei de formação da função ou lei da função. Observe que tanto o quadro quanto a lei da função mostram que o valor recebido por Alessandra varia em função da medida de tempo (em hora) trabalhada.

Variáveis

Em uma loja de ferramentas, são alugadas algumas mercadorias de acordo com o seguinte critério: uma taxa fixa de R$ 15,00quinze reais referente à manutenção e uma taxa diária de R$ 8,50oito reais e cinquenta centavos.

Representando por d o número de dias e por a o valor do aluguel, podemos escrever a seguinte lei que relaciona a e d:

a = 15 + 8,5 ⋅ d, em que d pode ser qualquer número natural.

Ilustração. Menina branca, ruiva com cabelo preso, vestindo camiseta verde com detalhes em amarelo, calça rosa e tênis amarelo. Está em pé, com a mão direita apoiada na cintura e a mão esquerda fechada e levantada, apenas com o polegar e o indicador estendido, com formato similar à letra L. Balão de fala com o texto: O valor do aluguel depende do número de dias.

Podemos dizer que o valor do aluguel e o número de dias em que a mercadoria ficou emprestada são as variáveis. O valor do aluguel, que depende do número de dias em que a mercadoria ficou emprestada, é a variável dependente, e o número de dias, cuja escolha é livre, é a variável independente.

Respostas e comentários

Para pensar: R$ 480,00quatrocentos e oitenta reais

Orientações e sugestões didáticas

• Aproveite a situação inicial dessa página e peça aos estudantes que calculem a quantidade de horas que Alessandra trabalhou, de modo que recebeu R$ 1 500,00mil quinhentos reais de uma empresa. Espera-se que respondam que Alessandra trabalhou 25 horas.

• Auxilie-os na identificação das variáveis independentes e dependentes e mostre que esse é um aspecto importante. Sempre que necessário, retome esses conceitos em diferentes contextos para que possam aos poucos ir se apropriando dessas ideias.

• No boxe Para pensar, circule pela classe e verifique como os estudantes estão resolvendo a atividade. Caso perceba que algum estudante não encontrou o resultado esperado, questione-o se o resultado é aquele que ele encontrou e incentive-o a encontrar o erro. Depois que todos tiverem resolvido a atividade, peça que compartilhem com os demais colegas as estratégias usadas.

• Proponha aos estudantes que representem a função da situação do aluguel apresentada por meio de um quadro e depois compartilhem o quadro com os colegas. Exemplo de resposta:

Número de dias	Valor do aluguel (em R$)
1	23,50
2	32,00
3	40,50
4	49,00
5	57,50

Página 201

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe no quadro a seguir a quantidade de panfletos que uma impressora produz de acordo com a medida de tempo de seu funcionamento.

Medida de tempo de impressão (em minuto)	Quantidade de panfletos
2	36
4	72
6	108
8	144
10	180

a) Quantos panfletos esse equipamento imprime por minuto?

b) A quantidade de panfletos impressos (n) é função da medida de tempo (t) em minuto?

c) Escreva uma lei que relacione n com t.

2. Um azulejista cobra R$ 30,00trinta reais por metro quadrado de cerâmica assentada.

Fotografia. Azulejos brancos e cinzas, em formato quadrado, intercalados. Na parte superior, um azulejo cinza é colocado por mãos brancas, vestindo luva branca. É possível ver o braço com uma camisa xadrez vermelha e os joelhos apoiados no chão.

a) Calcule a medida da área (em metro quadrado) de cerâmica assentada, sabendo que o azulejista recebeu R$ 1.740,00mil setecentos e quarenta reais.

b) Escreva a lei dessa função, considerando q a medida da área (em metro quadrado) de cerâmica assentada e v o valor recebido.

3. Observe a figura a seguir.

Figura geométrica. Figuras geométricas sobrepostas com um dos lados, da horizontal coincidindo, com indicação de medida de comprimento 2 centímetros. Hexágono regular laranja, sobreposto a ele um pentágono regular verde, sobreposto a ele um quadrado azul e sobreposto a ele um triângulo equilátero roxo.

• Sabendo que todos os polígonos representados são regulares, responda.

a) Qual é a lei da função que relaciona a medida do perímetro p e o número n de lados do polígono regular?

b) Identifique as variáveis dependente e independente da função encontrada no item anterior.

4.

Reproduza o quadro a seguir no caderno e complete-o com as medidas que faltam. Depois, responda à questão.

• A soma (S) das medidas de abertura dos ângulos internos de um polígono convexo é função do número de lados (n) desse polígono. Qual é a lei de formação dessa função?

5. Sabendo que a soma das medidas de abertura dos ângulos externos de qualquer polígono regular é 360graus e representando por eíndice n a medida de abertura de um ângulo externo de um polígono regular de n lados, calcule:

a) eíndice 3

b) eíndice 4

c) eíndice 5

d) eíndice 6

e) eíndice 10

f) eíndice n

Respostas e comentários

1. a) 18 panfletos

1. b) sim

1. c) n = 18 ⋅ t, em que t é um número real positivo.

2. a) 58 métros quadrados

2. b) v = 30q, em que q é um número real positivo.

3. a) p = 2 ⋅ n, em que n é um número natural maior ou igual a 3 e menor ou igual a 6.

3. b) variável dependente: medida do perímetro (p); variável independente: número de lados (n)

4. Respostas em Orientações.

5. a) 120graus

5. b) 90graus

5. c) 72graus

5. d) 60graus

5. e) 36graus

5. f)

\frac{360°}{n}

, com n > 2

Orientações e sugestões didáticas

• Se julgar necessário, discuta com os estudantes a resolução de cada item da atividade 1.

a) Pelos dados do quadro, é possível observar que o número de panfletos impressos depende da medida de tempo durante o qual a impressora é usada.

Como ela imprime 36 panfletos em 2 minutos, então, em 1 minuto, ela imprime 18 panfletos. Vale destacar que essa mesma relação pode ser obtida com outros dados do quadro. Por exemplo, se são 180 panfletos em 10 minutos, serão 18 panfletos em 1 minuto.

b) Sim, quanto mais tempo a impressora fica em uso, mais panfletos ela imprime. Em contrapartida, se quisermos imprimir um número menor de panfletos, teremos de deixá-la menos tempo trabalhando.

c) n = 18t ou t =

\frac{n}{18}

• Na atividade 4, os estudantes devem primeiro completar o quadro. Verifique se eles apresentem algum tipo de dificuldade e auxilie. O quadro completo deve ser como mostrado a seguir.

Número de lados	Soma das medidas de abertura dos ângulos internos (S)
3	180°
4	360°
5	540°
6	720°
7	900°

Ao analisar o quadro, espera-se que eles percebam um padrão para construir a expressão S = abre parêntesesn menos 2fecha parênteses ⋅ 180º, em que n é um número natural maior ou igual a 3.

Página 202

2 A notação f(x)

Acompanhe a situação a seguir.

A medida do perímetro p de um triângulo equilátero é função da medida de comprimento x do lado desse triângulo. O quadro mostra essa correspondência.

Medida de comprimento x do lado (em centímetro)	Medida do perímetro p (em centímetro)
1	3
3	9
4	12
10	30
15	45

A lei dessa função é p = 3x, em que x é um número real positivo.

Também podemos representar a lei dessa função, por exemplo, por: f(x) = 3x, em que x é um número real positivo (lemos: “f de x é igual a 3x”). Nesse caso, chamamos a função de f.

Assim, x representa a medida de comprimento do lado do triângulo equilátero e f(x) representa a medida de seu perímetro.

Observação

Nesse tipo de notação, a função e a variável independente podem ser representadas por quaisquer letras. Por exemplo:

• g(x) = 2x

• f(b) = b + 1

• h(a) = a2

Valor de uma função

Na situação anterior, a medida do perímetro de um triângulo equilátero de lado de medida de comprimento x foi representada por f(x) = 3x, em que x é um número real positivo.

Desse modo, para calcular a medida do perímetro de um triângulo equilátero de lado medindo 12 cm de comprimento, basta substituir x por 12 na lei da função e efetuar a operação indicada.

f(12) = 3 ⋅ 12

f(12) = 36

Isso significa que o valor da função para x igual a 12 é 36.

Portanto, o perímetro do triângulo equilátero com lado de 12 centímetros de comprimento mede 36 centímetros.

Imagine, agora, um robô programado para realizar sempre a mesma operação: quando um número real qualquer é inserido como entrada, ele devolve, como saída, o resultado correspondente. O robô da página seguinte, por exemplo, adiciona 3 a qualquer número real que entra nele.

Orientações e sugestões didáticas

A notação f(x)

Objetivos

• Identificar a existência de uma relação de dependência entre duas variáveis.

• Calcular o valor da função em um certo ponto.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis porque a ideia de função como relação de dependência entre duas variáveis permeia todo o trabalho.

Orientações

• Os estudantes terão contato com a notação f(x) para escrever a lei de uma função, devendo ficar bem claro que essa notação substitui a variável dependente.

• Chame a atenção para o fato de que o uso das letras x e y se dá por uma questão de hábito e não por obrigatoriedade. Essas letras podem, perfeitamente, ser substituídas por outras, dependendo da conveniência.

(ê éfe zero nove ême ah zero seis) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Página 203

Observe no quadro a seguir o resultado de algumas operações feitas pelo robô.

Ilustração. Robô azul, com botões verdes, pés em formato de esteira preta. Na parte superior, tela com o texto em amarelo: x mais 3. O braço direito está levantado, com a ponta de um cone amarelo e, dentro dele, um quadrado bege com o texto em preto: x. O braço esquerdo está abaixado, com a ponta de um cone amarelo e, dentro dele, saindo uma faixa bege com o texto: f vezes abre parênteses x fecha parênteses.

Número inserido no robô: (x)	−3	−2	−1,5	0	$divisão de 1 sobre 2$	1
Resultado correspondente: f(x)	0	1	1,5	3	$divisão de 7 sobre 2$	4

A lei da função que relaciona os valores do quadro é f(x) = x + 3.

Assim, para determinar

f (\sqrt{2})

, substituímos x por

\sqrt{2}

na lei da função:

f (\sqrt{2})

=

\sqrt{2}

+ 3

Para pensar

A variável dependente de uma função sempre pode ser qualquer número real? Por quê? Converse com os colegas sobre isso.

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Considerando que o robô do alto desta página foi reprogramado, observe os números x inseridos nele e os números f(x) obtidos. Depois, responda às questões.

Quadro.
Primeira linha: x; menos 2; menos 1; 0; 1
Segunda linha: f de x; menos 4; menos 2; 0; 2. Ao lado do quadro, Ilustração. Robô azul, com botões verdes, pés em formato de esteira preta. Na parte superior, tela com o texto em amarelo: x mais 3.
O braço direito está levantado, com a ponta de um cone amarelo e, dentro dele, um quadrado bege com o texto em preto: x. O braço esquerdo está abaixado, com a ponta de um cone amarelo e, dentro dele, saindo uma faixa bege com o texto: f vezes abre parênteses x fecha parênteses.

a) Determine uma lei para essa função.

b) Calcule o valor de f(x) para x = menos

\frac{5}{2}

.

c) Qual é o valor de x quando f(x) = .1001?

2. Agora, observe os novos números reais x inseridos em outro robô e os números f(x) obtidos e responda às questões.

x	−1	0	1	$divisão de 1 sobre 3$
f(x)	1	0	−1	$menos divisão de 1 sobre 3$

a) Determine uma lei para essa função.

b) Qual é o valor de f(x) para x = 10?

c) Qual é o valor de x quando f(x) = 13?

3. Em cada caso, considere a lei de formação da função, reproduza o quadro no caderno e complete-o com os números que faltam.

a) f(x) = menos2x + 3

x	−4		$divisão de 1 sobre 2$
f(x)		3		−3

b) g(x) =

\frac{x}{2}

menos 3

x	−3	4		10
g(x)			0

4. Observe no quadro o número de chaveiros e o preço total correspondente.

Ilustração. Quadro. Primeira linha: Número x de chaveiros; 1; 2; 3; 4. Segunda linha: Preço y (em real); 5 vírgula 00; 10 vírgula 00; 15 vírgula 00; 20 vírgula 00. Ao lado do quadro fotografia de três chaveiros. Acima, chaveiro redondo com desenho de doce tipo rosquinha bege com cobertura rosa. Ao centro, chaveiro amarelo com desenho de olho e sorriso. Abaixo, chaveiro verde em formato de bola.

a) O preço é função do número de chaveiros?

b) Escreva no caderno uma lei para essa função.

c) Qual é o preço de vinte chaveiros?

d) Para quantos chaveiros o preço é R$ 50,00cinquenta reais?

Respostas e comentários

Para pensar: Resposta pessoal.

1. a) f(x) = 2x, em que x é um número real.

1. b) menos5

1. c)

\frac{1 001}{2}

2. a) f(x) = menosx, em que x é um número real.

2. b) menos10

2. c) menos13

3. Respostas na seção Resoluções neste manual.

4. a) sim

4. b) y = 5x, em que x é um número natural.

4. c) R$ 100,00cem reais

4. d) 10 chaveiros

Orientações e sugestões didáticas

• No boxe Para pensar, espera-se que os estudantes respondam que não, porque, de acordo com o contexto, a variável dependente não pode assumir qualquer valor real. Se julgar necessário, apresente como exemplo a situação da atividade 3 da página 201. Nessa atividade, a variável dependente corresponde ao dobro do número de lados dos polígonos regulares e, portanto, só pode assumir valores naturais.

• Além de determinar a lei de formação pela observação de regularidades, as atividades propõem situações que visam fixar bem a diferença entre o que é calcular o valor de x (variável independente) e o que é calcular o valor de f(x) (função).

• No cálculo de valores de uma função, é interessante propor que a variável independente não assuma só valores inteiros, mas também fracionários e irracionais, para que o cálculo com esses números seja sempre revisitado.

• Nas atividades 1 e 2, os estudantes deverão identificar, em primeiro lugar, a lei de cada função pela observação dos números de cada quadro.

Página 204

5. Considere a função f (x) =

\frac{x + 3}{x}

, em que x é um número real não nulo, e determine:

a) f(menos3);

b) f(3);

c) o valor de x para f(x) = 3.

6. Considere as funções g e h dadas pelas leis de formação a seguir.

Ilustração. Quadro vermelho escrito g de x, é igual a 3x menos 2. Ao lado , Quadro vermelho escrito h de x, é igual a 6 menos x.

a) Determine o valor de g e de h para x = menos1.

b) Para que valor de x temos g(x) = h(x)?

3 Representação gráfica de uma função

Como você estudou no Capítulo 1, cada número real tem um ponto correspondente na reta real, e cada ponto da reta corresponde a um número real. Observe.

Ilustração. Reta numérica com sentido para a direita, com pontos verdes com os números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4, igualmente espaçados. Entre os pontos menos 4 e menos 3, tem um ponto vermelho indicado por menos 3 vírgula 3. Entre os pontos menos 2 e menos 1, tem o ponto vermelho indicado por menos raiz quadrada de 2. Entre os pontos 0 e 1, tem um ponto vermelho indicado por 0 vírgula 333 reticências. Entre os pontos 1 e 2, tem um ponto vermelho indicado por 1 vírgula 5. Entre os pontos 3 e 4, tem um ponto vermelho indicado por fração 13 quartos.

Agora, vamos ampliar esse estudo representando um par de números reais por pontos de um plano. Para isso, utilizaremos um sistema cartesiano.

Para exemplificar, vamos analisar situações que expressam uma grandeza em função da outra e representá-las em um gráfico.

Situação 1

O quadro a seguir mostra os números inseridos como entrada em um software de construção de gráficos e os resultados correspondentes.

x	−1	1	2	3,5	5
y = f(x)	2	−1	1	3	2,5

Observe a representação gráfica fornecida pelo software.

Gráfico. Eixo horizontal com os números 0, 5, 10, 15 e 20 representados. Abaixo, está indicada a letra l. Eixo vertical com os números 0, 15, 30, 45 e 60 representados. À esquerda a letra p. No plano estão representados 4 pontos: ponto de abscissa 5 e ordenada 15; ponto de abscissa 10 e ordenada 30; ponto de abscissa 15 e ordenada 45 e ponto de abscissa 20 e ordenada 60. Há uma pequena circunferência representada na origem. Da origem parte uma linha reta que passa pelos pontos representados.

Note que o gráfico dessa função é formado por apenas 5 pontos. Cada um desses pontos representa um par ordenado em que o primeiro número indica o valor de x e o segundo, o valor de y correspondente.

Ilustração. Mulher branca, cadeirante, cabelo castanho, vestindo blusa amarela, calça azul e sapato preto. Está sentada com o braço esquerdo apoiado no braço da cadeira e o braço direito levantado, com a mão direita espalmada para frente. Balão de fala com o texto: Note que para cada x existe apenas um y correspondente. Assim, podemos dizer que y é dado em função de x.

Lembre-se: Escreva no caderno!

Para analisar

Considerando a função estudada na situação 1, faça o que se pede.

a) Determine f(2).

b) Qual é o valor de x para f(x) = 2?

c) Qual é o valor mínimo que essa função pode assumir? E o máximo?

Respostas e comentários

5. a) 0

5. b) 2

5. c) 1,5

6. a) g(menos1) = menos5; h(menos1) = 7

6. b) x = 2

Para analisar: a) 1

Para analisar: b) menos1

Para analisar: c) menos1; 3

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 6 há duas funções distintas e é interessante observar se os estudantes fazem corretamente os cálculos necessários. No item b, pode ser que tenham dúvidas de como igualar as funções, então faça as interferências necessárias; neste item peça que confirmem se o valor encontrado realmente fará com que as funções se igualem.

Representação gráfica de uma função

Objetivos

• Reconhecer a representação gráfica de uma função.

• Construir o gráfico de uma função.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis e da competência específica 6 da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis ao trabalhar a representação gráfica da relação de interdependência entre a variação de grandezas.

Orientações

• Nesse tópico, são apresentadas situações práticas, trabalhando-se a representação gráfica de uma função. Se julgar necessário, recorde os estudantes de que o sistema cartesiano consiste em duas retas perpendiculares (eixos) cujo ponto de encontro corresponde à origem do sistema. Relembre ainda que, ao representar um par ordenado, o primeiro número do par corresponde à abscissa (eixo x) e o segundo, à ordenada (eixo y).

• Em Matemática, pode-se representar um objeto utilizando vários registros diferentes, como a língua materna, o registro gráfico, o registro algébrico, o registro figural etc. Cada um desses registros apresenta significados particulares que permitem caracterizar de diferentes maneiras o objeto estudado. A mobilização, por parte dos estudantes, dos diferentes registros de um mesmo objeto matemático contribui para que se apropriem dele cada vez que se dão conta dos elementos que o caracterizam. Por esse motivo, proponha situações, como o aluguel de um carro, o pagamento de uma corrida de táxi, a compra e venda de produtos etcétera, para que os estudantes possam expressar a variação das grandezas envolvidas por meio de diferentes registros: tabular, linguagem natural, algébrico e gráfico.

• No boxe Para analisar, espera-se que os estudantes não tenham dificuldade em responder aos itens. Verifique se eles buscam as respostas no quadro ou na representação gráfica.

(ê éfe zero nove ême ah zero seis) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Página 205

Situação 2

Em uma loja em que são realizadas fotocópias, o preço a ser pago varia de maneira proporcional em função do número de cópias.

Observe o quadro com os preços.

Número de cópias	0	1	10	15	20
Preço (em real)	0	0,30	3,00	4,50	6,00

Nesse caso, também podemos representar os pares ordenados (número de cópias, preço) em um sistema cartesiano.

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados os números 0, 1, 10, 15 e 20 e ele está rotulado como x, com seta para indica o número de cópias.
No eixo vertical estão indicados os números 0, 0 vírgula 30, 3 vírgula 00, 4 vírgula 50 e 6 vírgula 00 e ele está rotulado como y, com seta para indica o preço a pagar (em real).
5 pontos laranja estão indicados no plano cartesiano. Um ponto está na origem, indicação das coordenadas (0, 0).
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 0 vírgula 30 no eixo y, indicação das coordenadas (1; 0 vírgula 30).
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 10 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 3 vírgula 00 no eixo y, indicação das coordenadas (10; 3 vírgula 00).
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 15 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 4 vírgula 50 no eixo y, indicação das coordenadas (15; 4 vírgula 50).
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 20 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 6 vírgula 00 no eixo y, indicação das coordenadas (20; 6 vírgula 00).

Note que o preço é diretamente proporcional ao número de cópias. Além disso, o número de cópias só pode ser um número natural, ou seja:

• não pode ser negativo;

• não pode estar entre dois números naturais consecutivos.

Por isso, o gráfico dessa função não é uma linha contínua, mas pontos alinhados, como mostra a representação anterior.

Lembre-se: Escreva no caderno!

Para pensar

Qual é a lei da função que o gráfico apresentado anteriormente representa?

Situação 3

Considere um pentágono regular de lado com medida de comprimento maior ou igual a 1. A medida do perímetro desse pentágono regular é função da medida de comprimento de seu lado. Observe como ocorre a variação no exemplo a seguir.

Medida de comprimento do lado do pentágono regular (em centímetro)	1	2	2,5	4
Medida do perímetro (em centímetro)	5	10	12,5	20

Cada par ordenado pode ser representado por um ponto em um sistema cartesiano. Nesse caso, o primeiro número do par ordenado indica a medida de comprimento do lado, e o segundo, a medida do perímetro correspondente.

Respostas e comentários

Para pensar: y = 0,3x, em que x pode ser qualquer número natural maior ou igual a zero.

Orientações e sugestões didáticas

• Antes da leitura de cada situação, apresente o registro tabular no quadro e solicite aos estudantes que construam o gráfico com o uso de papel quadriculado. Esse pode ser o momento oportuno para fazer o levantamento dos conhecimentos prévios a respeito desse tipo de registro. Em seguida, eles podem checar no texto se a construção realizada estava correta e quais foram as principais dificuldades encontradas.

• Esses exemplos possibilitam, ainda, entender por que alguns gráficos apresentam linhas contínuas e outros não. É importante que os estudantes percebam a diferença entre eles. Para tanto, proporcione o trabalho com funções cujo domínio seja o conjunto dos inteiros, ou parte dele, e outras cujo domínio seja o conjunto dos números reais ou parte dele.

• Para resolver o Para pensar referente à Situação 2, espera-se que os estudantes percebam que fazendo a divisão de y por x dos pares ordenados podem encontrar a lei da função solicitada:

0,30 dividido por 1 = 0,30

3 dividido por 10 = 0,30

4,5 dividido por 15 = 0,3

6 dividido por 20 = 0,3

Logo, a lei da função é y = 0,3x, com x podendo ser qualquer número natural maior ou igual a zero.

Página 206

No sistema cartesiano a seguir, os pares ordenados do quadro estão representados pelos pontos azuis.

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados os números 0, 1, 2, 2 vírgula 5, 3, 4, 5 e 6 e ele está rotulado como x, com seta para indica a medida de comprimento do lado do pentágono regular (em centímetro).
No eixo vertical estão indicados os números 0, 5, 10, 12 vírgula 5 e 20 e ele está rotulado como y, com seta para indica medida do perímetro (em centímetro).
4 pontos azuis alinhados, estão indicados no plano cartesiano. Um ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 5 no eixo y, indicação das coordenadas (1, 5).
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 2 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 10 no eixo y, indicação das coordenadas (2, 10).
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 2 vírgula 5 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 12 vírgula 5 no eixo y, indicação das coordenadas (2 vírgula 5; 12 vírgula 5).
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 4 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 20 no eixo y, indicação das coordenadas (4, 20).
Linha contínua vermelha que inicia no ponto (1, 5) e passa pelos outros três pontos.

Note que os pontos obtidos estão alinhados. Isso acontece porque a medida do perímetro do pentágono regular é diretamente proporcional à medida de comprimento do seu lado. Além disso, como a medida de comprimento do lado do pentágono regular pode assumir qualquer valor real maior ou igual a 1, o gráfico será uma linha contínua que se inicia no par ordenado abre parênteses1, 5fecha parênteses, passando pelos demais pares ordenados, de acordo com a medida de comprimento do lado do pentágono regular e sua respectiva medida de perímetro.

Para pensar

Qual é a lei da função que o gráfico apresentado anteriormente representa?

Situação 4

Observe os números inseridos na entrada de um aplicativo e os números correspondentes que ele fornece como resultado.

Número inserido	−2	−1,5	0	1	2
Número obtido	4	2,25	0	1	4

Esse aplicativo calcula o quadrado dos números inseridos na entrada, ou seja, os resultados são obtidos em função dos números inseridos. Posteriormente, o aplicativo fornece a representação gráfica dessa função.

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados os números menos 2, menos 1 vírgula 5, 0, 1 e 2 e ele está rotulado como x, com seta para indica o número inserido.
No eixo vertical estão indicados os números 0, 1, 2 vírgula 25 e 4 e ele está rotulado como y, com seta para indica o resultado obtido.
5 pontos verdes estão indicados no plano cartesiano. Um ponto está na origem, indicação das coordenadas (0, 0).
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número menos 2 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 4 no eixo y, indicação das coordenadas (menos 2, 4).
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número menos 1 vírgula 5 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 2 vírgula 25 no eixo y, indicação das coordenadas (1 vírgula 5; 2 vírgula 25).
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 1 no eixo y, indicação das coordenadas (1, 1).
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 2 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 4 no eixo y, indicação das coordenadas (2, 4).
Linha curva verde contínua, sem início nem fim passando pelos 5 pontos.

Cada par de números (número inserido, número determinado) fórma um par ordenado, que pode ser representado por um ponto em um sistema cartesiano. Como esse aplicativo considera entrada todos os números reais, o gráfico da função é uma linha contínua sem início nem fim.

Respostas e comentários

Para pensar: y = 5x, em que x é um número real positivo.

Orientações e sugestões didáticas

• A questão dos boxes Para pensar exige que os estudantes convertam o registro gráfico de uma função em registro algébrico. Essa passagem de um registro para outro é de fundamental importância no estudo das funções. Sempre que possível, incentive-os a descrever usando a língua materna ou a encontrar o registro algébrico de uma função representada graficamente e vice-versa. Essas conversões entre as representações favorecem a apreensão conceitual dos estudantes a respeito dos conteúdos estudados. Essa mobilização entre os diferentes registros favorece o desenvolvimento da competência específica 6 da Bê êne cê cê.

• Para resolver o Para pensar referente à Situação 3, espera-se que os estudantes percebam que fazendo a divisão de y por x dos pares ordenados podem encontrar a lei da função solicitada:

5 dividido por 1 = 5

10 dividido por 2 = 5

12,5 dividido por 2,5 = 5

20 dividido por 4 = 5

Logo, a lei da função é y = 5x, em que x é um número real positivo.

Página 207

Para pensar

Qual é a lei da função que o segundo gráfico da página anterior representa?

Construção do gráfico de uma função

Observe a seguir uma maneira de construir o gráfico da função f(x) = 2xelevado a 2, em que x é um número real.

1º) Escolhemos valores arbitrários para x e calculamos os valores de f(x) correspondentes para obter alguns pares ordenados.

x	f(x)	Par ordenado
1	2	(1, 2)
$divisão de 1 sobre 2$	$divisão de 1 sobre 2$	$abre parênteses divisão de 1 sobre 2 ; divisão de 1 sobre 2 fecha parênteses$
$divisão de 1 sobre 4$	$divisão de 1 sobre 8$	$abre parênteses divisão de 1 sobre 4 ; divisão de 1 sobre 8 fecha parênteses$
−1	2	(−1, 2)

Gráfico. Malha quadriculada com um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados os números menos 2, menos 1, 0, 1 e 2 e ele está rotulado como x.
No eixo vertical estão indicados os números 0, 1 e 2 e ele está rotulado como y.
5 pontos roxos estão indicados no plano cartesiano. Um ponto está na origem.
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até a fração 1 quarto no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até a fração 1 oitavo no eixo y.
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até fração 1 meio no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até a fração 1 meio no eixo y.
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 2 no eixo y.
Outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número menos 1 no eixo x, e outra linha tracejada na horizontal até o número 2 no eixo y.

2º) Apenas com os pontos marcados anteriormente não é possível ter uma ideia precisa da fórma do gráfico dessa função. Desse modo, determinamos mais pontos com abscissa entre os números menos1 e 1 para obter outros valores assumidos pela função. Observe.

x	1	$divisão de 3 sobre 4$	$divisão de 1 sobre 2$	$divisão de 1 sobre 3$	$divisão de 1 sobre 4$	0	$menos divisão de 1 sobre 2$	$menos divisão de 3 sobre 4$	−1
f(x)	2	$divisão de 9 sobre 8$	$divisão de 1 sobre 2$	$divisão de 2 sobre 9$	$divisão de 1 sobre 8$	0	$divisão de 1 sobre 2$	$divisão de 9 sobre 8$	2
Par ordenado	(1, 2)	$abre parênteses divisão de 3 sobre 4 ; divisão de 9 sobre 8 fecha parênteses$	$abre parênteses divisão de 1 sobre 2 ; divisão de 1 sobre 2 fecha parênteses$	$abre parênteses divisão de 1 sobre 3 ; divisão de 2 sobre 9 fecha parênteses$	$abre parênteses divisão de 1 sobre 4 ; divisão de 1 sobre 8 fecha parênteses$	(0, 0)	$abre parênteses menos divisão de 1 sobre 2 ; divisão de 1 sobre 2 fecha parênteses$	$abre parênteses menos divisão de 3 sobre 4 ; divisão de 9 sobre 8 fecha parênteses$	(−1, 2)

3º) Observando os pontos marcados no segundo passo, verificamos que o gráfico dessa função é uma curva simétrica em relação ao eixo y. Podemos, então, traçar a linha correspondente ao gráfico dessa função.

Em outros casos, porém, pode ser necessário escolher para x valores maiores que 1 e valores menores que menos1 para fazer a representação, como no gráfico construído aqui.

Observações

• Os gráficos foram construídos sobre uma malha quadriculada, pois as linhas horizontais e verticais auxiliam na localização dos pontos. Se não for possível o uso da malha, deverão ser utilizados uma régua e um esquadro.

• Os valores atribuídos a x são arbitrários, desde que obedecidas as condições de existência da função. No caso da função f(x) = 2xelevado a 2, x é um número real. Então, podemos calcular f(x) para qualquer número real. No exemplo da função do número de cópias, da página 205, vimos que o número de cópias só pode ser um número natural. Logo, não conseguimos encontrar o valor da função (ou seja, o preço do número de cópias) para qualquer número negativo ou não inteiro.

Respostas e comentários

Para pensar: y = xelevado a 2

Orientações e sugestões didáticas

• Para resolver o Para pensar referente à Situação 4, espera-se que os estudantes percebam que, após analisar a relação entre os valores de y e x dos pares ordenados, é possível verificar que o segundo número é sempre o quadrado do primeiro:

abre parênteses0,0fecha parênteses

abre parênteses1,1fecha parênteses

abre parênteses2,4fecha parênteses

abre parêntesesmenos2,4fecha parênteses

abre parêntesesmenos1,5;2,25fecha parênteses

Logo, a lei da função é y = xelevado a 2.

• Comente com os estudantes que, quanto mais pontos conhecermos, mais clara será a ideia que teremos de como ficará o gráfico. Se achar conveniente, proponha a eles que construam o gráfico de outras funções.

Página 208

Todo gráfico representa uma função?

Vimos que, em uma função, para cada valor de x temos apenas um valor de f(x) = y.

Para verificar se um gráfico representa uma função, podemos traçar retas paralelas ao eixo y e verificar se cada reta cruza o gráfico em apenas um ponto. Observe.

Gráficos. No primeiro, um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados: x subscrito 2, 0, x subscrito 1 e ele está rotulado como x.
No eixo vertical estão indicados: 0, y subscrito 2, y subscrito 1 e ele está rotulado como y.
3 linhas verticais interceptando o eixo x: uma à esquerda de x subscrito 2, uma passando por x subscrito 2 à esquerda do eixo y e outra à direita do eixo y, passando por x subscrito 1, igualmente espaçadas.
3 pontos laranjas estão indicados no plano cartesiano. Um ponto está sobre o eixo x na intersecção da segunda linha vertical, à esquerda, do x subscrito 2. Outro ponto na linha vertical até x subscrito 2 no eixo x e linha tracejada na horizontal até y subscrito 2 no eixo y. Outro ponto na linha vertical até x subscrito 1 no eixo x e linha tracejada na horizontal até y subscrito 1 no eixo y.
Linha laranja contínua passando pelos 3 pontos.
Legenda à direita: esse gráfico é de uma função porque, vírgula para qualquer valor de x, há apenas um valor de y correspondente. No segundo gráfico, um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados: 0, x subscrito 1 e ele está rotulado como x.
No eixo vertical estão indicados: y subscrito 2, 0, y subscrito 1 e ele está rotulado como y.
2 linhas verticais interceptando o eixo x: uma à esquerda do eixo y e outra à direita do eixo y passando por x subscrito 1, igualmente espaçadas.
4 pontos amarelos estão indicados no plano cartesiano. Dois pontos estão sobre a linha vertical à esquerda do eixo y e os outros dois pontos estão na linha vertical à direita do eixo y, com indicação de A e B.
Linha amarela contínua passando pelos 4 pontos, no formato que lembra letra c.
Legenda à direita: esse gráfico não é de uma função porque há valores de x com mais de um y correspondente. Por exemplo: A(x subscrito 1, y subscrito 1) e B(x subscrito 1, y subscrito 1).

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. Observe o gráfico a seguir.

Gráfico. Malha quadriculada com um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados os números, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 1, 2, 3 e 4 e ele está rotulado como x.
No eixo vertical estão indicados os números menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 1, 2, 3 e 4 e ele está rotulado como y.
2 pontos estão indicados no plano cartesiano. Um ponto está em cima do número 2 no eixo x.
O outro ponto está em cima do número 2 no eixo y.
Reta laranja passando pelos dois pontos.

a) Escreva 4 pontos que pertencem ao gráfico dessa função.

b) Qual das leis a seguir corresponde à função representada?

• f(x) = 2x menos 2

• f(x) = menosx + 2

• f(x) = x + 2

• f(x) = menosx menos 2

2. Identifique os gráficos que representam uma função.

a)

Gráfico. Com um eixo horizontal, rotulado como x, perpendicular a um eixo vertical, rotulado como y, com indicação de 0 na intersecção dos dois eixos. Linha contínua, sinuosa, verde no segundo e quarto quadrantes, passando pela origem.

b)

c)

d)

Respostas e comentários

1. a) Exemplo de resposta: abre parêntesesmenos1, 3fecha parênteses, abre parênteses0, 2fecha parênteses, abre parênteses1, 1fecha parênteses e abre parênteses2, 0fecha parênteses

1. b) f(x) = menosx + 2

2. alternativas a, c, d

Orientações e sugestões didáticas

• Nesta página, trabalha-se o fato de que nem todo gráfico representa uma função. Comente com a turma que, na prática, imaginamos o traçado de retas paralelas ao eixo y e verificamos se cada reta que intercepta o gráfico o faz em um único ponto. Em caso positivo, o gráfico representa uma função.

• Se julgar necessário, peça aos estudantes que desenhem em seu caderno dois sistemas cartesianos e representem em um deles o gráfico de uma função e no outro um gráfico que não seja de uma função. Esse pode ser um momento propício para avaliar o aprendizado deles.

• As atividades incluem a determinação da lei de formação da função para que os estudantes percebam que ela pode ser representada graficamente e vice-versa.

Página 209

Lembre-se: Escreva no caderno!

3. Um recipiente com água fervente é deixado para esfriar até que atinja a medida de temperatura ambiente de 25 graus Célsius. O quadro a seguir mostra a variação da medida de temperatura da água em função da medida de tempo.

Medida de tempo (em minuto)	0	2	4	6	8
Medida de temperatura (em grau Celsius)	100	75	50	25	25

• O gráfico da função que relaciona as medidas de temperatura e de tempo é uma linha contínua? Justifique.

4.

Pietro desafiou Ricardo para uma corrida de bicicleta em um percurso que mede 20 quilômetros. Ricardo permitiu que Pietro ficasse a uma medida de distância de 4 quilômetros à sua frente no momento da largada. A representação a seguir mostra o desempenho deles durante a prova, sendo dada a medida de distância percorrida por eles (em quilômetro) em função da medida de tempo (em minuto).

Gráfico. Malha quadriculada com um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados os números 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 e 28 e ele está rotulado como medida de tempo (minutos).
No eixo vertical estão indicados os números 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 e 20 e ele está rotulado como medida de distância (quilômetros).
Reta vermelha rotulada como Pietro partindo do número 4 do eixo vertical da malha quadriculada passando pela coordenada (20, 16) da malha quadriculada.
Reta azul rotulada como Ricardo partindo do número 0 da malha quadriculada passando pela coordenada (20, 16) da malha quadriculada.

a) Após a largada, em quanto tempo Ricardo alcançou Pietro?

b) A que medida de distância da largada eles estavam nesse momento?

c) Quem ganhou a corrida? Justifique sua resposta.

5. Observe os números reais do quadro a seguir.

x	y
−1	−4
0	−1
1	2
2	5
5	14
8	23

a) Determine uma lei para essa função.

b) Construa o gráfico da função, sendo x qualquer número real.

Respostas e comentários

3. Sim, pois a grandeza tempo pode assumir qualquer valor real positivo.

4. a) em 20 minutos

4. b) a 16 quilômetros

4. c) Ricardo. Espera-se que os estudantes percebam que Ricardo terminou a prova em menos de 26 minutos. Já Pietro ultrapassou os 26 minutos.

5. a) f(x) = 3x menos 1

5. b) Resposta em Orientações.

Orientações e sugestões didáticas

• Se julgar necessário, amplie a proposta da atividade 3. Peça aos estudantes que construam o gráfico da função que relaciona a medida de temperatura de esfriamento da água e a medida de tempo.

Considerando x a medida de tempo (em minuto) e y a medida de temperatura da água (em grau Célsius), temos o seguinte gráfico:

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados os números 0, 2, 4, 6 e 8 e ele está rotulado como x, com indicação medida de tempo (minutos).
No eixo vertical estão indicados os números 0, 25, 50, 75 e 100 e ele está rotulado como y, indicação medida de temperatura (Graus Celsius).
5 pontos cinzas estão indicados no plano cartesiano. O primeiro está sobre o número 100, no eixo y.
O segundo ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 2 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 75 no eixo y.
O terceiro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 4 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 50 no eixo y.
O quarto ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 6 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 25 no eixo y.
O quinto ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 8 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 25 no eixo y.
Linha poligonal passando pelos 5 pontos.

• Resposta do item b da atividade 5:

Gráfico. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados os números menos 1, 1, 2, 5 e 8 e ele está rotulado como x.
No eixo vertical estão indicados os números menos 4, menos 1, 1, 2, 5, 14 e 23 e ele está rotulado como y.
6 pontos cinzas estão indicados no plano cartesiano. O primeiro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número menos 1 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número menos 4 no eixo y.
O segundo ponto está em cima do número 1 no eixo y.
O terceiro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 2 no eixo y.
O quarto ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 2 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 5 no eixo y.
O quinto ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 5 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 14 no eixo y.
O sexto ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 8 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até número 23 no eixo y.
Reta cinza passando pelos 6 pontos.

Página 210

Estatística e Probabilidade

faça as atividades no caderno

Analisar os dados de gráficos fazendo inferências

Vítor e Mariana estavam fazendo uma pesquisa sobre a saúde das crianças do município de Matópolis. No site da prefeitura, encontraram o gráfico indicado a seguir.

Gráfico de linhas. Título do gráfico: Saúde das crianças da cidade de Matópolis entre 2 mil e 14 e 2 mil e 20.
Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados, da esquerda para direita, os anos de 2 mil e 14 até 2 mil e 23 Ele está rotulado como Ano.
No eixo vertical tem 6 traços horizontais paralelos ao eixo igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima, os números 0, 1 mil, 2 mil, 3 mil, 4 mil e 5 mil. Ele está rotulado como Quantidade de crianças.
À direita legenda, indicando que as crianças vacinadas estão representadas na linha azul e as crianças doentes na linha laranja.
A linha azul que representa a quantidade de crianças vacinadas aumentou a cada ano.
A linha laranja que representa a quantidade de crianças doentes diminuiu a cada ano.

Dados obtidos pela Prefeitura de Matópolis no período entre 2014 e 2023.

Fotografia. Menina branca, cabelo castanho, vestindo máscara rosa e camiseta amarela. Está com a manga do blusa do lado esquerdo levantada, com uma injeção sendo aplicada por uma mão negra. — É muito importante que crianças e adultos tomem as vacinas recomendadas pelos serviços de saúde. Na foto, menina de 10 anos recebendo a vacina contra a covid-19 na Unidade Básica de Saúde em Sorocaba (São Paulo), 2022.

Fazer inferências (ou tirar conclusões) com base nos dados apresentados em um gráfico implica, antes de tudo, reconhecer seus elementos e o que cada um deles significa no contexto do assunto que o gráfico apresenta. Vítor e Mariana fizeram inferências com base nas informações do gráfico anterior. Considere os comentários deles.

Mariana: “No decorrer dos anos, aumentou a quantidade de crianças vacinadas e diminuiu a quantidade de crianças doentes”.

Vítor: “O que pode ter acontecido nesses anos foi a diminuição da quantidade de crianças doentes com o aumento da vacinação”.

Qual deles está com a razão?

Vamos identificar o significado de cada um dos elementos apresentados no gráfico para depois compará-los, analisá-los e tirar conclusões. Em seguida, vamos verificar se Mariana e Vítor estão certos em suas afirmações.

• No gráfico, é possível identificar duas linhas; de acordo com a legenda, cada uma representa uma informação. A linha azul indica a quantidade de crianças vacinadas, e a laranja, a quantidade de crianças doentes.

• É possível, também, observar que, no decorrer dos anos, o número de crianças vacinadas aumentou, enquanto o número de crianças doentes diminuiu.

Portanto, a afirmação de Mariana está correta.

Relendo a afirmação de Vítor, verificamos que ele também tem razão.

Observação

Vítor não afirmou que a causa direta da queda do número de crianças doentes foi o aumento do número de crianças vacinadas. Com base nos dados do gráfico, não é possível tirar essa conclusão, já que outros fatores podem ter influenciado a queda do número de crianças doentes, como alimentação mais nutritiva.

Orientações e sugestões didáticas

Estatística e Probabilidade

Objetivos

• Analisar os dados de gráficos fazendo inferências.

• Trabalhar o Tema Contemporâneo Transversal Saúde e Direito da Criança e do Adolescente, das macroáreas Saúde e Cidadania e Civismo, respectivamente.

• Favorecer o desenvolvimento da competência geral 8 da Bê êne cê cê.

Orientações

• Na sociedade atual, é fundamental que os estudantes saibam analisar os dados de gráficos e fazer inferências. Para isso, deverão ser incentivados a ler, interpretar e tirar conclusões estudando gráficos de diversos tipos e assuntos.

• Na situação apresentada, a competência geral 8 é favorecida uma vez que explora-se a importância da vacinação. Faz-se uma relação, com apoio de um gráfico baseado em dados fictícios, entre o índice de crianças vacinadas e o de crianças doentes, atentando-se para o fato de que não é somente a não vacinação que provocará doenças, mas que é esse também um dos fatores que podem levar a enfermidades.

• Aproveite o contexto e aborde a importância da vacinação. Dados apontam que, nos últimos anos, uma parcela expressiva das famílias brasileiras optaram por não vacinar seus filhos e um dos fatores foi a pandemia de covid-19. A falta de cobertura vacinal não prejudica só as crianças; tal atitude pode comprometer a saúde de toda a população. Conversar com os estudantes sobre essa questão contempla os Temas Contemporâneos Transversais Saúde e Direito da Criança e do Adolescente, das macroáreas Saúde e Cidadania e Civismo, respectivamente.

Competência geral 8: Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Página 211

ATIVIDADES

faça as atividades no caderno

1. O gráfico a seguir apresenta o número de brasileiros que viviam no Japão entre 2017 e 2021.

Gráfico de barras verticais. Título do gráfico: Número de brasileiros que viviam no Japão entre 2 mil e 17 e 2 mil e 21.
Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados, da esquerda para direita, os anos: de 2 mil e 17 até 2 mil e 21. Ele está rotulado como Ano.
No eixo vertical tem 8 traços horizontais paralelos ao eixo igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima, os números 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210 e 215. Ele está rotulado como Número de brasileiros (em milhar).
Partindo do eixo horizontal, 5 barras azuis com mesma largura indicando que no ano de 2 mil e 17, em torno de 190 mil brasileiros viviam no Japão; no ano de 2 mil e 18, em torno de 200 mil brasileiros viviam no Japão; no ano de 2 mil e 19, em torno de 210 mil brasileiros viviam no Japão; no ano de 2 mil e 20, em torno de 208 mil brasileiros viviam no Japão; e no ano de 2 mil e 21, em torno de 210 mil brasileiros viviam no Japão.

Gráfico elaborado com base nos dados publicados pelo Consulado-geral do Brasil em Tóquio, em março de 2022.

Com base nos dados desse gráfico, responda: o que ocorreu com o número de brasileiros no Japão nesse período?

2. José trabalha na estação meteorológica do município de Vista Bela e, entre 20 de fevereiro de 2024 e 25 de fevereiro de 2024, construiu os gráficos a seguir, com dados sobre a precipitação pluviométrica e a umidade relativa do ar no município.

Gráfico de linha. Título do gráfico: Previsão de precipitação pluviométrica (em porcentagem).
Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados, da esquerda para direita, as datas: de 20 de fevereiro até 25 de fevereiro. Ele está rotulado como Data.
No eixo vertical tem 4 traços horizontais paralelos ao eixo igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima, os números 0, 30, 60 e 90. Ele está rotulado como Precipitação pluviométrica (em porcentagem).
6 pontos indicando a porcentagem de precipitação pluviométrica em cada dia: no dia 20 de fevereiro, 5 porcento; no dia 21 de fevereiro, 10 porcento; no dia 22 de fevereiro, 80 porcento; no dia 23 de fevereiro, 60 porcento; no dia 24 de fevereiro, 10 porcento; e 25 de fevereiro 60 porcento. Os pontos estão ligados por meio de segmentos de reta.

Dados obtidos por José entre 20 fevereiro 2024 e 25 fevereiro 2024.

Gráfico de linha. Título do gráfico: Previsão da taxa de umidade relativa do ar (em porcentagem).
Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados, da esquerda para direita, as datas: de 20 de fevereiro até 25 de fevereiro. Ele está rotulado como Data.
No eixo vertical tem 4 traços horizontais paralelos ao eixo igualmente espaçados e neles estão indicados, de baixo para cima, os números 0, 30, 60 e 90. Ele está rotulado como Taxa de umidade relativa do ar (em porcentagem).
6 pontos indicando a porcentagem da taxa de umidade relativa do ar em cada dia: no dia 20 de fevereiro, 7 porcento; no dia 21 de fevereiro, 53 porcento; no dia 22 de fevereiro, 80 porcento; no dia 23 de fevereiro, 60 porcento; no dia 24 de fevereiro, 53 porcento; e 25 de fevereiro 60 porcento. Os pontos estão ligados por meio de segmentos de reta.

Dados obtidos por José entre 20 fevereiro 2024 e 25 fevereiro 2024.

Considerando os dados do gráfico, responda às questões.

a) Quais foram os períodos em que a precipitação pluviométrica aumentou? E em quais ela diminuiu?

b) Quais foram os períodos em que a umidade do ar aumentou? E em quais diminuiu?

c) Os períodos de aumento e de diminuição da umidade do ar acompanharam os períodos de precipitação pluviométrica?

3. (Enem) Em um estudo feito pelo Instituto Florestal, foi possível acompanhar a evolução de ecossistemas paulistas desde 1962. Desse estudo publicou-se o Inventário Florestal de São Paulo, que mostrou resultados de décadas de transformações da Mata Atlântica.

Gráfico de barras verticais. Título do gráfico: área de vegetação natural (em mil quilômetros quadrados).
Um eixo horizontal com 4 barras azuis com mesma largura indicando que nos anos de 1 mil 962 a 1 mil 963 a medida da área de vegetação natural era de 72 mil e 600 quilômetros quadrados; nos anos de 1 mil 971 a 1 mil 973 a medida da área de vegetação natural era de 43 mil e 900 quilômetros quadrados; nos anos de 1 mil 990 a 1 mil 992 a medida da área de vegetação natural era de 33 mil e 300 quilômetros quadrados; nos anos de 2 mil a 2 mil e 1 a medida da área de vegetação natural era de 34 mil e 600 quilômetros quadrados.

Revista Pesquisa Fapesp, 91. São Paulo: Fapesp, setembro2003. página 48.

Examinando o gráfico da área de vegetação natural remanescente (em mil quilômetros quadrados), pode-se inferir que:

a) a Mata Atlântica teve sua área devastada em 50% entre 1963 e 1973.

b) a vegetação natural da Mata Atlântica aumentou antes da década de 1960, mas reduziu nas décadas posteriores.

c) a devastação da Mata Atlântica remanescente vem sendo contida desde a década de 1960.

d) em 2000-2001, a área de Mata Atlântica preservada em relação ao período de 1990-1992 foi de 34,6%.

e) a área preservada da Mata Atlântica nos anos 2000 e 2001 é maior do que a registrada no período de 1990-1992.

Respostas e comentários

1. Espera-se que os estudantes percebam que houve uma alta no número de brasileiros que viviam no Japão entre 2017 e 2019, seguida de uma queda entre 2019 e 2020, voltando a crescer de 2020 a 2021.

2. a) aumentou: do dia 20/2 a 22/2 e de 24/2 a 25/2; diminuiu: do dia 22/2 a 24/2

2. b) aumentou: do dia 20/2 a 22/2 e de 24/2 a 25/2; diminuiu: do dia 22/2 a 24/2

2. c) sim

3. alternativa ê

Orientações e sugestões didáticas

• Uma possível ampliação da atividade 2 é incentivar os estudantes a buscar dados atualizados referentes à precipitação pluviométrica e à taxa de umidade relativa do ar na região em que estudam, construir os gráficos correspondentes e, por fim, interpretá-los. Propor a ampliação ajuda-os a ir além das atividades que envolvam a leitura e interpretação de gráficos estatísticos, fazendo com que pesquisem as informações, analisem os dados e cheguem a uma conclusão.

• Na atividade 3, oriente os estudantes a analisar cada uma das alternativas apresentadas.

a) Em 1963, a área de vegetação natural era 72,6 mil quilômetros quadrados. Em 1973, a área de vegetação natural era 43,9 mil quilômetros quadrados. Portanto, nesse intervalo de tempo a devastação foi de 28,7 mil quilômetros quadrados, o que corresponde a menos de 50%.

b) Não há dados suficientes para afirmar que a vegetação natural da Mata Atlântica tenha aumentado antes da década de 1960.

c) Como é possível verificar, desde a década de 1960, a área de vegetação natural está diminuindo, com exceção de 1990-1992 para 2000-2001, o que significa que a devastação não foi contida desde a década de 1960.

d) Em 2000-2001, a área de vegetação natural era 34,6 mil quilômetros quadrados. Em 1990-1992, a área de vegetação natural era 33,3 mil quilômetros quadrados. Portanto, nesse intervalo de tempo, houve um aumento de 1,3 mil quilômetros quadrados, o que não corresponde a 34,6%.

e) Em 2000-2001, a área de vegetação natural era 34,6 mil quilômetros quadrados. Em 1990-1992, a área de vegetação natural era 33,3 mil quilômetros quadrados. Portanto, a alternativa e está correta.

Página 212

Educação Financeira

faça as atividades no caderno

Você gosta de ostentar? Cuidado!

No fim do ano, as promoções são comuns no comércio. Observe esta promoção organizada por um shopping e divulgada em sua rede social na internet.

Ilustração. Postagem virtual. Quadro com o título branco, em fundo colorido: Maravilha Shopping. No lado superior esquerdo, símbolo do shopping com as iniciais M e S, e uma lua crescente amarela. Abaixo do título, um retângulo colorido com o texto em branco e em preto: Promoção especial - A cada 300 reais em compras, você recebe um cupom para concorrer a 40 mil reais! Nos comentários, responda: o que você faria se ganhasse 40 mil reais?
Na parte inferior, retângulo azul com os comentários. Cada comentário possui uma imagem da foto do usuário, @ com o nome e comentário.
Comentário 1: mulher branca, com cabelo castanho e óculos escuro. @Adriana respondeu: trocaria minha moto por uma mais potente.
Comentário 2: homem negro com cabelo e barba pretos. @João respondeu: Guardaria o dinheiro para uma necessidade futura.
Comentário 3: homem branco, oriental, cabelo preto. @Doug respondeu: Viajaria para o exterior, comprando a passagem em 12 vezes, para sobrar bastante dinheiro para as compras.
Comentário 4: mulher branca, ruiva. @Lila respondeu: Pagaria meu curso de inglês tão sonhado.
Comentário 5: mulher negra, com cabelo preto e menina negra, com cabelo preto. @Nubia respondeu: Daria de entrada em um carro zero.
Comentário 6: homem branco, loiro. @Cleber respondeu: Daria de entrada em um apartamento.
Comentário 7: homem branco, cabelo grisalho e barba. @Marcio respondeu: Juntaria com o que já tenho guardado e marcaria meu casamento.
Comentário 8: mulher branca, com cabelo castanho preso. @Nat respondeu: faria uma festa de aniversário e convidaria todos os meus amigos.
Comentário 9: mulher loira. @Olga respondeu: Doaria para a entidade que cuida de crianças com câncer.
Comentário 10: menino negro com cabelo preto. @Lucas respondeu: Compraria tênis e mochilas daquela marca famosa.
Comentário 11: homem branco, calvo, usando óculos, camisa e gravata. @Elton respondeu: Ajudaria minha mãe a quitar a casa dela.
Comentário 12: mulher branca, oriental, com cabelo preto. @Akemi respondeu: Dividiria com meus 3 irmãos e cada um poderia comprar sua TV.

Orientações e sugestões didáticas

Educação financeira

Objetivos

• Refletir sobre o uso consciente de recursos financeiros.

• Trabalhar o Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira da macreárea Economia.

• Favorecer o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8 da Bê êne cê cê.

Orientações

• Peça aos estudantes que leiam o texto todo e verifique se compreenderam a promoção e cada um dos comentários, que serão importantes para as reflexões da próxima página.

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competência específica 8: Interagir com seus pares de fórma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Página 213

O que você faria?

a) O que você faria se ganhasse o prêmio?

b) Das respostas dadas nos comentários, na página anterior, quais você escolheria? Por quê?

Calcule

Luís foi o grande sortudo e ganhou o prêmio de R$ 40.000,00quarenta mil reais na promoção realizada pelo shopping. Como ficou empolgado, vendeu o carro que tinha por R$ 35.000,00trinta e cinco mil reais e comprou um carro mais novo no valor de R$ 75.000,00setenta e cinco mil reais, pagando a diferença com o valor recebido do prêmio. No momento em que foi buscar o carro, começou a pensar nas despesas extras que passaria a ter com o carro novo. Depois, registrou essas despesas em um caderno.

Ilustração. Em um ambiente da casa, Luís, homem branco, cabelo castanho, vestindo camisa azul, calça azul xadrez e sapato cinza. Está sentado em frente a uma mesa. Segura, com a mão direita, um lápis. Com a mão esquerda, segura um caderno com o texto em preto: Regularização do carro novo: 1 mil reais. Impostos: 1 mil e 500 reais. Seguro: 2 mil e 500 reais.

a) Qual é o valor total das despesas extras que Luís vai ter? O dinheiro que Luís recebeu do prêmio foi suficiente para cobrir essas despesas?

b) Em sua opinião, Luís tomou uma boa decisão? Por quê?

Reflita

Reúna-se com alguns colegas e pensem nas consequências de cada atitude descrita a seguir.

a) Amanda pagou R$ 200,00duzentos reais em uma blusa de marca famosa mesmo sabendo que, em outra loja, uma blusa similar que não era de marca famosa custava R$ 40,00quarenta reais.

b) Gustavo comprou o celular mais caro da loja por estar na moda.

c) Para impressionar os amigos que vão à sua casa, Túlio assinou o pacote mais caro de internet e TV a cabo.

Respostas e comentários

O que você faria?: Respostas pessoais.

Calcule: a) R$ 5.000,00cinco mil reais; não

Calcule: b) Resposta pessoal.

Reflita: Respostas pessoais.

Orientações e sugestões didáticas

• Em O que você faria?, os estudantes podem pensar em suas próprias necessidades ou vontades ao escolher uma das opções. Deixe-os argumentar entre eles tanto sobre a opção escolhida como sobre a descartada. Nessa discussão, não considere nada certo ou errado, já que nesse caso não existe uma resposta certa. Os comentários na rede social do shopping são tanto de pessoas que investiriam o dinheiro para realizar um sonho ou comprar algo de que realmente necessitam quanto de pessoas que gastariam o dinheiro para ostentar. Esse é o momento oportuno para identificar o posicionamento dos estudantes diante de cada um dos comentários. Se julgar adequado, ajude-os a encontrar outras possibilidades que não foram apontadas nos comentários.

• Resolução do item a de Calcule:

a) Despesas extras: .1000 + .1500 + .2500 = .5000

O dinheiro que Luís recebeu pelo prêmio não foi suficiente.

• Ao discutir as consequências das atitudes descritas nas situações do Reflita, comente com os estudantes sobre compras por ostentação, explicando que isso pode privar as pessoas de coisas de que realmente necessitam. O celular mais caro da loja pode ter recursos não necessários para aquela pessoa, por exemplo. A reflexão sobre as situações descritas e o diálogo dos estudantes com seus pares favorecem o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8 da Bê êne cê cê, além de ajudar a desenvolver o Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira da macreárea Economia.

Página 214

Ícone. Caderno na vertical com um lápis.

Atividades de revisão

faça as atividades no caderno

1. Em uma caixa-d’água inicialmente vazia, uma torneira gotejando despeja 15 litros de água por minuto.

a) Complete o quadro que relaciona a medida de tempo e a quantidade de água na caixa.

Medida de tempo t (em minuto)	1	2	3	5	10	30
Quantidade c de água (em litro)

b) A quantidade de água que há na caixa-d’água é função da medida de tempo? Em caso afirmativo, escreva a lei dessa função.

c) Sabendo que a medida de capacidade da caixa-d’água é .1800 litros, determine a medida de tempo que a torneira levará para enchê-la.

2. Um retângulo de medidas de comprimento 4 e 8 foi dividido conforme a figura.

Figura geométrica. Retângulo rosa com medida de comprimento 8 e medida do comprimento da largura 4, com uma faixa horizontal verde no meio com medida do comprimento da largura x.

A medida de comprimento x pode variar de 0 a 4 e, consequentemente, a medida da área da região rosa y varia em função da medida de comprimento indicada por x.

a) Qual é a lei da função que fornece a medida da área da região rosa?

b) Determine a medida da área da região rosa para x = 1.

3. Analise e identifique o gráfico correspondente à função f(x) = x + 1.

Gráficos: Gráfico I. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados os números 0, 1 e 2 e ele está rotulado como x.
No eixo vertical estão indicados os números 0, 1, 2 e 3 e ele está rotulado como y.
3 pontos azuis estão indicados no plano cartesiano. Um ponto está em cima do número 1 no eixo y; outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 1 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até o número 2 no eixo y; e o outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 2 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até o número 3 no eixo y.
Reta azul passando pelos três pontos.
Gráfico II. Um eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical.
No eixo horizontal estão indicados os números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e ele está rotulado como x.
No eixo vertical estão indicados os números 0, 1 e 2 e ele está rotulado como y.
3 pontos azuis estão indicados no plano cartesiano. Um ponto está em cima do número 1 no eixo x; outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 2 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até o número 1 no eixo y; e o outro ponto tem uma linha tracejada na vertical até o número 3 no eixo x e outra linha tracejada na horizontal até o número 2 no eixo y.
Reta azul passando pelos três pontos.

4. Em um Festival de Cinema, a equipe organizadora está oferecendo duas fórmas de compra de bilhetes.

• Bilhete especial: R$ 144,00cento e quarenta e quatro reais, com direito a assistir a quantos filmes quiser.

• Bilhete normal: R$ 12,00doze reais para assistir a cada filme.

a) O preço do bilhete é função do tipo de bilhete. Indicando por x a quantidade de filmes a que uma pessoa vai assistir, escreva a lei da função em cada caso.

b) Em que situação será mais econômico o bilhete especial? E o bilhete normal?

5.

Observe como Marco encontrou a lei da função que rege a sequência 3, 5, 7, 9, reticências

Ilustração. Folha branca escrito: na primeira linha, primeiro termo: 3. Abaixo, segundo termo: 5, igual a 3 mais 2. Abaixo, terceiro termo: 7, igual a 3 mais 2 mais 2, igual a 3 mais 2 vezes 2. Abaixo, quarto termo: 9, igual a 3 mais 2 mais 2 mais 2, igual a 3 mais 3 vezes 2.
Abaixo, reticencias.
Abaixo, enésimo termo: 3 mais 2 mais 2 mais reticencias mais 2, igual a. Chave do primeiro ao último algarismo 2 com cota para, Abre parênteses, n menos 1, fecha parênteses, vezes 2.
Abaixo, igual a 3 mais, abre parênteses, n menos 1, fecha parênteses, vezes 2 ou 3 mais 2 vezes, abre parênteses, n menos 1, fecha parênteses.
Abaixo, então, a lei da função que rege essa sequência é:
Abaixo, f de n, igual a 3 mais 2 vezes, abre parênteses, n menos 1, fecha parênteses, para n natural maior que zero.

Agora, junte-se a um colega e observem a sequência construída com varetas.

Figura geométrica. Cubo construído com varetas e bolinhas na junção de cada vértice.
À esquerda, primeiro: um cubo com bolinhas amarelas nos 4 vértices à esquerda e 4 bolinhas roxas nos 4 vértices à direita.
À direita, segundo: ao mesmo cubo anterior foi acrescentado, pelos 4 vértices das bolinhas roxas, outro cubo com 4 bolinhas roxas nos vértices à direita.
Abaixo, terceiro: ao mesmo cubo anterior foi acrescentado, pelos 4 vértices das bolinhas roxas, outro cubo com 4 bolinhas roxas nos vértices à direita.

• Escrevam a lei da função que fornece a quantidade de varetas do termo n dessa sequência.

Respostas e comentários

1. Respostas na seção Resoluções neste manual.

2. a) y = 32 menos 8x, em que x é um número real entre 0 e 4.

2. b) 24

3. gráfico um

4. Respostas na seção Resoluções neste manual.

5. f(n) = 12 + abre parêntesesn menos 1fecha parênteses ⋅ 8, em que n é um número natural maior que zero.

Orientações e sugestões didáticas

Atividades de revisão

Objetivos

• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do capítulo.

• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis da Bê êne cê cê.

Habilidade da Bê êne cê cê

• Essa seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis da Bê êne cê cê porque são propostas atividades que trabalham a ideia de função como relação de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica.

Orientações

• Na atividade 5, oriente os estudantes a escrever os termos da seguinte maneira:

1graus termo: 12 = 12 + abre parênteses8 ⋅ 0fecha parênteses

2graus termo: 12 + 8 = 12 + abre parênteses8 ⋅ 1fecha parênteses

3graus termo: 12 + 8 + 8 = 12 + abre parênteses8 ⋅ 2fecha parênteses

Assim, para o termo n da sequência, a lei da função que relaciona a quantidade de varetas é:

f(n) = 12 + 8 ⋅ abre parêntesesn menos 1fecha parênteses, sendo n um número natural.

• Sugerimos algumas questões para que os estudantes possam refletir sobre suas aprendizagens e possíveis dificuldades no estudo deste Capítulo, as quais devem ser adaptadas à realidade da turma. Oriente-os a fazer a autoavaliação, respondendo às questões no caderno com “sim”, “às vezes” ou “não”.

Eureticências

reticências sei construir a lei de formação para uma função a partir de uma situação-problema?

reticências compreendo a lei de formação de uma função e suas variáveis?

reticências sei representar pontos no plano cartesiano?

reticências reconheço o gráfico de uma função?

reticências identifico a lei de formação de uma função a partir de seu gráfico?

reticências reconheço o gráfico de uma função a partir de sua lei de formação?

reticências sou capaz de diferenciar os gráficos de funções dos gráficos que não são funções?

reticências sei construir o esboço para o gráfico de uma função a partir de sua lei de formação?

reticências cuido do meu material escolar?

reticências tenho um bom relacionamento com meus colegas de sala?

reticências consigo expor minhas ideias e opiniões em grupo?

reticências tenho facilidade para compreender os conteúdos?

reticências realizo as tarefas propostas?

(ê éfe zero nove ême ah zero seis) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.