CAPÍTULO 10 Figuras geométricas não planas e medida de volume
1 Figuras geométricas não planas
Vamos analisar alguns sólidos geométricos que recebem nomes especiais: corpos redondos, prismas e pirâmides.
Os sólidos geométricos apresentados no quadro a seguir são exemplos de corpos redondos.
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Cilindro |
Cone |
Esfera |
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Este sólido tem duas bases circulares congruentes.
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Este sólido tem uma base circular e um vértice (V).
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Todos os pontos da superfície esférica estão à mesma medida de distância do centro da esfera. Essa medida é a mesma do comprimento do raio (r) da esfera.
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Observe, agora, alguns exemplos de prismas e pirâmides, que serão estudados com mais detalhes ao longo deste Capítulo.
Lembre-se: Escreva no caderno!
Para investigar
Considerando os exemplos apresenta anteriormente, converse com um colega sobre as questões a seguir.
a) O que as faces que não são bases dos prismas têm em comum?
b) Qual é o formato de todas as faces que não são bases das pirâmides?
Respostas e comentários
Habilidades da Bê êne cê cê trabalhadas neste Capítulo:
ê éfe zero nove ême ah um sete
ê éfe zero nove ême ah um nove
ê éfe zero nove ême ah dois três
Para investigar: a) Os estudantes poderão responder que as faces dos prismas que não são bases são paralelogramos, mas também poderão responder que são retângulos (no caso desses exemplos) ou simplesmente quadriláteros.
b) As faces que não são a base de uma pirâmide são triangulares.
Orientações e sugestões didáticas
Figuras geométricas não planas
Objetivos
• Reconhecer figuras geométricas não planas.
• Classificar alguns sólidos geométricos em prismas, pirâmides ou corpos redondos.
• Identificar, por meio de um plano, as figuras planas obtidas nas secções de figuras não planas.
Orientações
• Em anos anteriores, os estudantes já estudaram as figuras geométricas não planas e suas características. Agora, este estudo será retomado e ampliado. Inicie o tópico fazendo um levantamento dos conhecimentos adquiridos previamente pelos estudantes sobre o tema.
• Incentive os estudantes a observar as características que diferenciam corpos redondos, pirâmides e prismas. Esse é um momento importante para identificar as dificuldades dos estudantes e planejar estudos paralelos para eles.
Secções de figuras não planas
Podemos “cortar” com um plano as figuras geométricas não planas. Desse modo, obtemos uma figura geométrica plana que é definida pela superfície do corte. Os cortes são chamados de secções por um plano. Observe alguns exemplos.
● Cilindro
Note que, de acordo com a secção, obtemos figuras diferentes: nos casos anteriores, um círculo ou um retângulo.
● Cone
Com essas secções, obtivemos um círculo ou um triângulo.
● Prisma
Nesse caso, com as secções realizadas, obtivemos um trapézio ou um retângulo.
Planificação
É possível desenhar em um plano a superfície de figuras como cilindros, pirâmides, prismas ou cones. Desenhando-as, obtemos a planificação da superfície dessas figuras não planas. Observe alguns exemplos.
Orientações e sugestões didáticas
• Nesta página, o trabalho com secções de figuras não planas visa comparar as figuras não planas com as figuras planas obtidas na secção. Assim, os estudantes devem perceber que as faces de prismas e pirâmides são polígonos e que secções feitas por um plano em um corpo arredondado podem formar figuras planas arredondadas ou mesmo polígonos (pode-se ter, por exemplo, um retângulo ou um círculo como secção plana de um cilindro).
• No caso das figuras não planas apresentadas, peça aos estudantes que tentem desenhar as planificações de suas superfícies com o intuito de compará-las com a figura não plana correspondente.
• Caso julgue necessário, leve alguns moldes de planificação de prismas, pirâmides, cones e cilindros e pergunte aos estudantes se eles sabem qual figura geométrica será obtida ao montá-las. Em seguida, organize-os em grupos para realizar as montagens e avaliar se suas previsões estavam corretas. Atividades práticas como essa ajudam a visualizar elementos das figuras geométricas não planas que podem não ser percebidos por eles em representações dessas figuras no plano. Alerte-os quanto ao manuseio da tesoura, a fim de preservar a integridade física deles.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Observe as secções que foram feitas por um plano nas figuras geométricas não planas representadas a seguir. Depois, responda à questão: que figura geométrica plana foi obtida com a secção em cada caso?
2. Desenhe no caderno cada sólido geométrico representado pela planificação da superfície correspondente.
a)
b)
2 Poliedros
Vamos estudar os poliedros, seus elementos e algumas classificações.
Recorde
Poliedro é todo sólido geométrico cuja superfície é formada somente por polígonos.
Observe o poliedro representado. Nesse poliedro:
• o ponto V é um dos vértices;
• o segmento
AVé uma das arestas;
• o polígono ABV é uma das faces.
Considere alguns exemplos de poliedro.
Para pensar
Para cada poliedro, adicione o número de vértices (V ) ao número de faces (F ). Estabeleça uma relação entre essa soma e o número de arestas (A). Escreva uma sentença algébrica para expressar essa relação.
Respostas e comentários
1. triângulo; pentágono
2. Respostas em Orientações.
Para pensar: Espera-se que os estudantes percebam que a soma V + F é sempre duas unidades a mais que o número de arestas (A). Essa relação é conhecida como relação de Euler e pode ser expressa por: V + F = A + 2.
Orientações e sugestões didáticas
• Respostas da atividade 2:
a)
b)
Poliedros
Objetivos
• Retomar o conceito de poliedro.
• Analisar poliedros segundo o número de vértices, de faces e de arestas.
• Distinguir prismas de pirâmides.
Orientações
• Chame a atenção dos estudantes para a nomenclatura dos poliedros. Pode-se relacioná-la com o formato da base, no caso de prismas ou de pirâmides, ou ao número de faces do poliedro. Mostre que um mesmo sólido pode ter diferentes nomenclaturas. Por exemplo: um prisma com as seis faces quadradas pode ser chamado de cubo, bloco retangular (pois o quadrado é um retângulo) e, ainda, prisma de base quadrangular. E, se pensarmos nas faces de um poliedro, o prisma de seis faces quadradas também poderá ser chamado de hexaedro (poliedro com seis faces). Os estudantes deverão, aos poucos, incorporar essas nomenclaturas, empregando-as conforme for mais conveniente.
Observação
Os poliedros podem ser nomeados de acordo com o número de faces.
Prismas e pirâmides são exemplos de poliedros.
Os prismas possuem faces laterais representadas por paralelogramos e duas bases congruentes e paralelas.
As pirâmides têm uma base poligonal, apenas um vértice fora de sua base e as demais faces triangulares. Considere os exemplos a seguir.
Os prismas e as pirâmides podem ser identificados pelo polígono representado em sua base e, às vezes, recebem um nome especial. Observe alguns exemplos.
• Prismas
• Pirâmides
Para pensar
Cite um objeto que lembra um prisma e outro que lembra uma pirâmide.
Respostas e comentários
Para pensar: Resposta pessoal. Exemplo de objeto que lembra um prisma: caixa de creme dental; exemplo de objeto que lembra uma pirâmide: vela decorativa.
Orientações e sugestões didáticas
• Nesta página, são apresentadas algumas características das pirâmides e dos prismas. Se possível, distribua alguns modelos de prismas e pirâmides para a turma a fim de que os estudantes façam um levantamento das principais características, incluindo o número de vértices, de faces e de arestas.
• Para que seja possível verificar a compreensão dos estudantes sobre a atividade proposta no boxe Para pensar, proponha que busquem imagens de objetos que se pareçam com prismas ou com pirâmides e façam um mural.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
1. Desenhe no caderno a figura geométrica que a imagem de cada foto a seguir lembra.
a)
b)
c)
d)
e)
2. Desenhe dois prismas e duas pirâmides diferentes.
3. Observe, em cada item, as faces de um poliedro. Escreva no caderno o nome dele.
a)
b)
c)
4. Observe como Joana conta os vértices dos prismas. Depois, faça o que se pede.
a)
Elabore por escrito uma maneira de contar as arestas e as faces de um prisma sem se perder na contagem.
b) Que dica você daria a Joana para facilitar a contagem de vértices, de arestas e de faces de pirâmides? Responda por escrito.
5. Os números de vértices (V ), de arestas (A) e de faces (F ) dos poliedros estão relacionados pela fórmula V + F = A + 2, conhecida como relação de Euler. Para qual dos sólidos a seguir essa relação é válida?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Respostas e comentários
1. Respostas em Orientações.
2. Respostas em Orientações.
3. a) prisma de base quadrada, ou bloco retangular, ou hexaedro, ou paralelepípedo
3. b) pirâmide de base triangular ou tetraedro
3. c) pirâmide de base quadrada ou pentaedro
4. a) Exemplo de resposta:
Para a contagem das arestas: contar as que estão “encostadas” na mesa, depois, as das faces laterais, e, por último, as da base de cima.
Para a contagem das faces: contar as duas bases mais as faces laterais.
4. b) Exemplo de resposta: É mais fácil apoiar a base sobre a mesa e contar: os vértices (o número de vértices “encostados” na mesa mais um vértice), as arestas (o número de arestas “encostadas” na mesa mais as arestas das faces laterais) e as faces (uma base mais as faces laterais).
5. A relação vale para todos os sólidos, exceto para o do item d.
5. a) V = 8
A = 12
F = 6
5. b) V = 10
A = 15
F = 7
5. c) V = 16
A = 24
F = 10
5. d) V = 16
A = 32
F = 16
5. e) V = 7
A = 12
F = 7
5. f) V = 14
A = 21
F = 9
Orientações e sugestões didáticas
• Exemplo de respostas da atividade 1:
a)
b)
c)
d)
e)
• Exemplos de respostas da atividade 2:
• Na atividade 4, os estudantes deverão explorar a contagem do número de vértices, de arestas e de faces de prismas e pirâmides. O objetivo não é obter o resultado da contagem, mas analisar os poliedros, percebendo características que contribuirão para a formação da ideia desses sólidos. Por exemplo, perceber que, em um prisma apoiado em uma de suas bases, a contagem do número de vértices é o dobro do número de vértices do polígono da base. Isso ajudará a formar o conceito de prisma.
3 Projeção ortogonal
Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α é o ponto pê’, que é a intersecção, com esse plano, da reta que passa por P e é perpendicular a α.
Para pensar
Qual é a projeção ortogonal de um ponto A sobre um plano α, quando A ∈ α?
Projeção ortogonal de figuras geométricas sobre um plano
A projeção ortogonal de uma figura geométrica sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos da figura sobre esse plano. Observe a projeção ortogonal de um paralelepípedo sobre um plano α.
Vistas ortogonais de figuras geométricas
Acompanhe as projeções ortogonais de uma figura geométrica não plana sobre seis planos diferentes paralelos dois a dois.
A projeção ortogonal da figura sobre cada um desses planos é uma vista ortogonal da figura. Na ilustração a seguir, estão representadas seis vistas ortogonais da figura geométrica não plana: frontal, posterior, superior, inferior, lateral esquerda e lateral direita.
Observe que a parte superior da figura é projetada no plano inferior, a lateral esquerda é projetada no plano da direita, a parte de trás é projetada no plano da frente e assim por diante.
Observações
• Não existe uma regra para determinar a frente de uma figura e, consequentemente, sua vista frontal. No exemplo a seguir, estabelecemos que a frente da figura é a face com a letra B:
Note que, uma vez escolhida a frente, esta é tomada como referência para obtermos as outras vistas da figura.
• O cubo amarelo das ilustrações está entre o observador e o plano de projeção. Observe uma das posições do observador.
Respostas e comentários
Para pensar: o próprio ponto A
Orientações e sugestões didáticas
Projeção ortogonal
Objetivos
• Compreender a noção de projeção ortogonal de um ponto e de uma figura geométrica sobre um plano.
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um sete da Bê êne cê cê.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um sete ao propor aos estudantes que reconheçam as vistas ortogonais de figuras espaciais e apliquem esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Orientações
• Em muitas situações da realidade, é preciso visualizar um objeto de três dimensões (um edifício ou peça de máquina, por exemplo) antes de sua construção. Para isso, foram criados vários recursos de representação, como vistas, cortes, desenhos em perspectiva, mapas e plantas. Saber ler mapas e plantas e trabalhar com vistas são, em geral, habilidades muito úteis na vida pessoal e profissional.
• O tópico se inicia com o estudo da projeção ortogonal de um ponto e de uma figura geométrica não plana sobre um plano. Convém fazer um exercício mental com a turma sobre como seria, por exemplo, a projeção ortogonal de uma esfera, um cubo ou uma pirâmide sobre um plano. Essas noções são fundamentais para que os estudantes compreendam, na sequência, o conceito de vista ortogonal.
• O trabalho com vistas ortogonais é feito a partir das projeções ortogonais de um cubo, cujas faces estão identificadas com as letras A, B, C, D, E e F sobre seis planos diferentes de projeção paralelos dois a dois. Enfatize que o cubo está “envolvido” por esses planos. Chame a atenção da turma para o fato de a figura estar entre o observador e o plano de projeção; assim, por exemplo, a parte superior da figura é projetada no plano inferior, a lateral esquerda é projetada no plano da direita, a parte de trás é projetada no plano da frente, e assim por diante.
(ê éfe zero nove ême ah um sete) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Lembre-se: Escreva no caderno!
Observe as vistas ortogonais de outras figuras geométricas.
Observação
As linhas tracejadas na ilustração indicam as arestas não visíveis na vista considerada.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Em seu caderno, desenhe as seis vistas ortogonais de um cone qualquer.
2. As vistas ortogonais a seguir são de que figura geométrica não plana?
3. Observe as vistas ortogonais a seguir.
a) A que figura geométrica não plana correspondem essas vistas ortogonais?
b)
A resposta que você deu ao item a mudaria se fosse apresentada mais uma vista ortogonal da figura? E se fossem apresentadas apenas duas vistas ortogonais dessa figura? Converse com os colegas sobre essas questões.
Respostas e comentários
1. Resposta em Orientações.
2. de uma pirâmide de base quadrada
3. a) a um prisma de base triangular
3. b) Resposta em Orientações.
Orientações e sugestões didáticas
• Exemplo de resposta da atividade 1:
• Resposta do item b da atividade 3:
Não. Se fossem apresentadas apenas duas vistas, haveria mais de uma possibilidade de resposta.
Comente com os estudantes que, se fossem apresentadas, por exemplo, apenas as vistas ortogonais frontal e superior, tanto o prisma de base triangular quanto o paralelepípedo poderiam ser a resposta.
Leve alguns modelos de figuras geométricas não planas para a aula e peça aos estudantes que desenhem suas vistas ortogonais. É importante que eles percebam, aos poucos, que a vista ortogonal frontal e a posterior se equivalem, assim como as vistas ortogonais lateral esquerda/lateral direita e superior/inferior.
Lembre-se: Escreva no caderno!
Desenhando objetos
É possível desenhar objetos no plano do papel a partir das vistas ortogonais de figuras não planas. É o que fazem, por exemplo, os arquitetos ao projetar um edifício e os engenheiros mecânicos ao esboçar uma peça.
Observe como desenhar, em uma malha triangular, o objeto cujas vistas ortogonais estão representadas a seguir.
Observação
Das seis vistas ortogonais (frontal, posterior, direita, esquerda, superior e inferior), devemos ter no mínimo três, em planos não paralelos dois a dois, para desenhar um objeto.
Orientações e sugestões didáticas
• Enfatize aos estudantes que apenas três vistas (em planos não paralelos dois a dois) são necessárias e suficientes para a leitura e a interpretação da figura ou dos objetos tridimensionais representados. São elas: a vista ortogonal frontal (ou posterior), a vista ortogonal superior (ou inferior) e a vista ortogonal lateral esquerda (ou lateral direita). É importante mostrar para a turma exemplos de figuras ou objetos diferentes cujas vistas ortogonais frontal e superior, por exemplo, coincidem. Com isso, os estudantes vão perceber a impossibilidade de identificar a figura ou o objeto por meio apenas de duas vistas ortogonais. Além disso, mostre que, quando temos quatro ou mais vistas ortogonais, há um acréscimo de informação desnecessária sobre a figura ou o objeto. Esses aspectos podem ficar mais claros quando os estudantes perceberem, no exemplo apresentado nestas páginas, que bastaram três vistas ortogonais de um objeto para que fosse possível desenhá-lo.
1º) Considerando que os lados dos triângulos da malha medem 1 centímetro de comprimento, representamos a frente do objeto a partir de sua vista ortogonal frontal.
2º) Representamos a lateral esquerda do objeto a partir de sua vista ortogonal lateral esquerda.
3º) Por fim, representamos a parte superior do objeto a partir de sua vista ortogonal superior.
Orientações e sugestões didáticas
• Para favorecer a compreensão, peça aos estudantes que sigam os passos apresentados nesta página e reproduzam novamente o desenho do objeto em outra malha triangular. Pode-se, ainda, reproduzir no quadro as vistas ortogonais de outros objetos e propor aos estudantes que os desenhem com o auxílio de uma malha triangular.
A perspectiva nas artes visuais
Como você já viu, grande parte dos objetos que observamos no nosso dia a dia não é plana.
Os artistas, quando representam uma cena em um plano (uma tela, por exemplo), podem usar diversos recursos para dar a ideia de profundidade. Um desses recursos é chamado perspectiva. Observe esse efeito comparando as reproduções das obras de arte a seguir: na primeira, não foi usada a técnica da perspectiva; na segunda, foi empregada essa técnica.
Orientações e sugestões didáticas
• Nesta e na próxima página, é apresentada uma técnica – a perspectiva – como recurso para passar a ideia de mais de uma dimensão, usada na pintura. Na comparação entre as reproduções de obras de arte, uma que emprega a perspectiva e outra que não a emprega, esperamos que os estudantes dirijam seu olhar às dimensões representadas.
• Se os estudantes não souberem o que foi o Renascimento, diga que esse movimento surgiu na Itália no final do século catorze e perdurou, aproximadamente, até o século dezesseis, sendo rapidamente difundido por toda a Europa. Representou uma grande mudança na mentalidade da época, uma vez que abandonou parte do pensamento subserviente à Igreja Católica, característico da era medieval, para privilegiar o olhar crítico e os ideais filosóficos e artísticos da Antiguidade clássica. Assim, os intelectuais da época começaram a questionar o poder que a Igreja detinha e a dar mais importância ao ser humano e à razão, resgatando, nas artes, obras-primas da Antiguidade greco-romana. Com isso, os artistas procuravam retratar, com realismo e seguindo os ideais estéticos clássicos, os motivos de suas pinturas e esculturas, enfatizando a beleza do homem e da mulher.
A criação da perspectiva, técnica adotada por artistas de diferentes épocas e escolas, trouxe grandes transformações à pintura. Observe na pintura a seguir o uso da perspectiva.
Note, a seguir, como as linhas retas nos ajudam a perceber a perspectiva nessa pintura.
Por meio da perspectiva planejada pelo artista, nosso olhar é direcionado para o ponto em que as retas se encontram. Esse ponto é chamado de ponto de fuga.
Orientações e sugestões didáticas
• Peça aos estudantes que comparem, por exemplo, na reprodução do quadro de Jules Martin, as medidas das plantas enfileiradas que estão mais próximas com as medidas das que estão mais distantes, ou que comparem a medida da largura da avenida que está próxima do observador com a da largura da que está distante. O efeito da perspectiva busca reproduzir a visão do observador diante dos objetos reais, que parecem diminuir de tamanho à medida que nos distanciamos deles.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Associe as vistas ortogonais ao desenho do objeto ao qual elas correspondem.
2. Desenhe, em uma malha triangular com triângulos com medida de 1 centímetro de comprimento do lado, o objeto cujas vistas ortogonais estão representadas em cada item.
Respostas e comentários
1. A – três; B – um; C – quatro; D – dois
2. Resposta em Orientações.
Orientações e sugestões didáticas
• Na atividade 2, a malha triangular utilizada deve ser formada por triângulos cujos lados medem 1 centímetro de comprimento, como da página 244. Atividades como essa demandam atenção, precisão e capricho. Peça aos estudantes que confiram se o desenho feito está coerente com as vistas ortogonais apresentadas.
• Resposta do item a da atividade 2:
4 Medida de volume de um prisma
Você já ouviu falar da Usina Hidrelétrica de Itaipu? Já imaginou o volume de água de seu reservatório?
A Usina Hidrelétrica de Itaipu, empreendimento binacional desenvolvido pelo Brasil e pelo Paraguai no rio Paraná, é a maior usina em produção de energia do mundo. Em 2016, a usina estabeleceu um novo recorde mundial de produção anual de energia, com a geração de aproximadamente 103 milhões de mégauóts-hora (MWh).
Elaborado com base em: í bê gê É. Atlas geográfico escolar. 8. edição Rio de Janeiro: í bê gê É, 2018. página 175.
Para você ter ideia da grandiosidade dessa hidrelétrica, a medida de volume de concreto utilizado em sua construção (cérca de 12,7 milhões de metros cúbicos) seria suficiente para construir, aproximadamente, 210 estádios de futebol.
Sua vazão mede 62,2 mil metros cúbicos por segundo.
O volume do reservatório da Usina Hidrelétrica de Itaipu, no nível máximo normal, mede 29 bilhões de metros cúbicos de água. Já a medida de volume útil é de 19 bilhões de metros cúbicos.
Orientações e sugestões didáticas
• Resposta do item bê da atividade 2:
Medida de volume de um prisma
Objetivos
• Calcular a medida do volume de um prisma qualquer.
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um nove da Bê êne cê cê.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um nove ao promover a resolução e a elaboração de problemas que envolvem medidas de volumes de prismas, incluindo o uso de expressões de cálculo.
Orientações
• Inicie o tópico fazendo a leitura compartilhada do texto sobre a Usina Hidrelétrica de Itaipu e converse com os estudantes sobre a importância dessa e de outras usinas hidrelétricas no Brasil. Se julgar pertinente, convide o professor de Ciências para falar com os estudantes sobre fontes renováveis de energia elétrica.
• Ao apresentar o mapa desta página, avalie se os estudantes percebem que o rio Paraná encontra-se bem na divisa do Brasil e do Paraguai e este é um dos motivos de ser um projeto binacional. Explique a eles que as dimensões territoriais e a diferença de população entre o Brasil e o Paraguai explicam por que 88,5% do consumo paraguaio provém de Itaipu, enquanto cérca de 10,8% da energia consumida no Brasil vem de lá.
(ê éfe zero nove ême ah um nove) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Medida de volume de um paralelepípedo
Para estudar o volume de algumas figuras não planas, vamos retomar o cálculo da medida do volume de um paralelepípedo.
A medida do volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dada por:
Vparalelepípedo = a ⋅ b ⋅ c
Por exemplo, se as arestas do paralelepípedo medissem 3 métros, 2,5 métros e 7 métros de comprimento, a medida do seu volume seria igual a 52,5 métros cúbicos, pois:
3 métros ⋅ 2,5 métros ⋅ 7 métros = 52,5 métros cúbicos
Agora, vamos descobrir quantos mililitros de água cabem em uma caixa de vidro que lembra um paralelepípedo cujas arestas medem 8 centímetros, 4 centímetros e 5 centímetros de comprimento. Para isso, calculamos a medida do volume do paralelepípedo.
A medida do volume do paralelepípedo é igual a 160 cmétros cúbicos.
Para representar essa medida de volume em mililitro (êmeéle), temos de nos lembrar de que 1 dmétro cúbico equivale a 1 litro e 1 cmétro cúbico equivale a 1 métrolitro. Dessa fórma, 160 centímetros cúbicos equivalem a 160 mililitros.
Então, podemos dizer que a medida de capacidade dessa caixa é igual a 160 métroslitros.
Para pensar
O reservatório da Usina Hidrelétrica de Itaipu tem medida de volume útil de 19 bilhões de metros cúbicos de água.
a) Se fosse possível construir um reservatório que lembrasse um paralelepípedo, quais seriam as medidas de comprimento de suas arestas para armazenar toda essa água?
b) Sabendo que 1 métro cúbico equivale a .1000 litros, a quantos litros de água correspondem 19 bilhões de metros cúbicos de água?
Respostas e comentários
Para pensar: a) Espera-se que os estudantes percebam que há infinitas possibilidades. Exemplo de resposta: .2000 métros, .2000 métros e .4750 métros.
b) a 19 trilhões de litros
Orientações e sugestões didáticas
• Em anos anteriores, os estudantes já estudaram como determinar a medida do volume de paralelepípedos. Retome esse assunto considerando os conhecimentos prévios da turma.
• Caso note que os estudantes estão com dificuldade para responder às questões propostas do boxe Para pensar, peça que se reúnam em duplas e as respondam.
Medida de volume de um prisma qualquer
A medida do volume de um prisma é dada por:
Vprisma = Abase ⋅ h
Observe como Paula calculou a medida do volume do prisma de base triangular a seguir.
Para analisar
Observe a planificação da superfície de um prisma de base triangular e responda às questões.
Lembre-se: Escreva no caderno!
a) Qual é a medida de área da base do prisma que corresponde a essa planificação?
b) Qual é a medida do volume do prisma que corresponde a essa planificação?
Respostas e comentários
Para analisar:
a) 0,75 centímetro²
b) 1,875 centímetro cúbico
Orientações e sugestões didáticas
• Nesta página, é apresentada a fórmula que determina a medida do volume de um prisma qualquer. Não fizemos a demonstração dessa fórmula, pois esse assunto será retomado e aprofundado no Ensino Médio.
• Resolução do boxe Para analisar:
a) A =
1 vírgula 5 vezes 1, tudo sobre 2= 0,75 ⇒ Então, A = 0,75 centímetro quadrado
b) V = 0,75 · 2,5 = 1,875 ⇒ Então, V = 1,875 centímetros cúbicos
5 Medida de volume de uma pirâmide
Desde a Antiguidade, as pirâmides exercem fascínio sobre os seres humanos. Esse fascínio pode ser percebido na fórma piramidal de edifícios e monumentos, como a Pirâmide de Céstio, em Roma, ou a que foi projetada para ficar em frente ao Museu do Louvre, na França.
Você já ouviu falar desses monumentos? Conhece outros edifícios que lembram uma pirâmide?
Felipe decidiu calcular a medida do volume de uma pirâmide.
Observe a experiência realizada por Felipe.
Orientações e sugestões didáticas
Medida de volume de uma pirâmide
Objetivo
• Calcular a medida do volume de uma pirâmide qualquer.
Orientações
• Neste tópico, mostra-se como determinar a medida do volume de uma pirâmide por meio de um experimento. Se possível, reproduza-o na sala de aula.
Lembre-se: Escreva no caderno!
A partir da experiência, Felipe percebeu que o conteúdo do recipiente que lembra uma pirâmide cabe 3 vezes no recipiente que lembra um prisma. Essa experiência sugere que a medida do volume da pirâmide é igual a
1 terçoda medida do volume do prisma cuja base é congruente à base da pirâmide e que tem a mesma medida da altura.
É possível demonstrar que essa relação entre a medida dos volumes vale para qualquer prisma e qualquer pirâmide com bases congruentes e alturas de mesma medida.
Assim, a medida do volume de uma pirâmide qualquer é calculada desta fórma:
Vpirâmide =
1 terço⋅ Abase ⋅ h
Por exemplo, a medida do volume da pirâmide a seguir, de base hexagonal, é igual a 37,5 centímetros cúbicos, pois:
1 terço⋅ 25 centímetros quadrados ⋅ 4,5 centímetros = 37,5 centímetros cúbicos
A medida do volume da pirâmide a seguir, de base quadrada, é igual a 12 centímetros cúbicos, pois:
⋅ 9 centímetros quadrados ⋅ 4 centímetros = 12 centímetros cúbicos
Orientações e sugestões didáticas
• É importante enfatizar que o experimento apresentado não é uma demonstração formal, apenas sugere que a medida do volume da pirâmide é igual a
1 terçoda medida do volume do prisma cuja base é congruente à base da pirâmide e que tem a mesma medida da altura. Esse assunto será retomado e aprofundado no Ensino Médio.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Observe a planificação da superfície de dois prismas e a medida da área da base de cada um. Determine a medida do volume desses prismas sabendo que suas bases são polígonos regulares.
a)
b)
2. Calcule a medida do volume da pirâmide de base quadrada.
3. Leia e responda à questão.
A pirâmide em frente ao Museu do Louvre é uma grande estrutura de vidro e metal que mede 22 métros de altura e tem uma base quadrada cujos lados medem 30 métros de comprimento cada um.
Com essas informações, é possível calcular a medida do volume de uma pirâmide com as mesmas dimensões da pirâmide do Louvre? De que maneira?
4. Observe os recipientes que lembram um prisma e uma pirâmide e responda às questões.
a) Se no prisma cabe 1,5 litro de água, que quantidade de água cabe na pirâmide?
b) Dois desses prismas cheios de água enchem quantas pirâmides iguais a essa?
5.
Invente um problema inspirado na imagem do aquário a seguir.
Respostas e comentários
1. a)
Sentença matemática. 3 raiz quadrada de 3 centímetros cúbicos.1. b)
Sentença matemática. Fração raiz quadrada de 3, fim da raiz, sobre 2, centímetros cúbicos.2. aproximadamente 2,65 centímetros cúbicos
3. Sim.
V =
1 terço⋅ 302 ⋅ 22 = .6600
Portanto, a medida do volume de uma pirâmide com as mesmas dimensões da pirâmide do Louvre é .6600 métros cúbicos.
4. a) 0,5 litro
4. b) 6 pirâmides
5. Resposta pessoal.
Orientações e sugestões didáticas
• Aproveite a realização das atividades desta página para fazer uma avaliação do que os estudantes aprenderam e das principais dificuldades enfrentadas por eles ao calcular a medida do volume de prismas e pirâmides.
6 Medida de volume de um cilindro
Observe o experimento feito pela professora Simone para calcular a medida do volume de um cilindro.
Ela levou para a sala de aula dois recipientes, um que lembra um prisma (recipiente 1) e outro que lembra um cilindro (recipiente 2), ambos com base de mesma medida de área e mesma medida de altura.
O recipiente 1 estava cheio de areia.
A professora Simone despejou toda a areia do recipiente 1 no recipiente 2, que ficou totalmente preenchido.
Note que a medida do volume de areia que cabe no recipiente que lembra um prisma é igual à medida do volume de areia que cabe no recipiente que lembra um cilindro. Esse experimento sugere que a medida do volume de um prisma é igual à medida do volume de um cilindro, ambos com medida da área da base de mesmo valor e mesma medida de altura.
É possível demonstrar que essa relação entre a medida dos volumes vale para qualquer prisma e qualquer cilindro, ambos com medida da área da base de mesmo valor e altura de mesma medida.
Assim, a medida do volume de um cilindro qualquer é calculado desta fórma:
Vcilindro = Abase ⋅ h
Esse assunto será retomado e aprofundado no Ensino Médio.
Exemplo
Vamos calcular a medida do volume do cilindro aqui representado.
A medida de área da base desse cilindro é igual a 16π centímetros quadrados, pois: π ⋅ (4 centímetros)2 = 16π centímetros quadrados
Como a medida da altura é 10 centímetros, temos:
Vcilindro = Abase ⋅ h = 16π centímetros quadrados ⋅ 10 centímetros = 160π centímetros cúbicos
Portanto, a medida do volume do cilindro é 160π centímetros cúbicos.
Orientações e sugestões didáticas
Medida de volume de um cilindro
Objetivos
• Calcular a medida do volume de um cilindro qualquer.
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um nove da Bê êne cê cê.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um nove ao propor aos estudantes que resolvam e elaborem problemas que envolvam medidas de volumes de cilindros, incluindo o uso de expressões de cálculo.
Orientações
• Sem fazer demonstrações, mas buscando relatar uma experiência, o tema é abordado fazendo comparações entre a medida do volume de um prisma e a de um cilindro. Se possível, faça uma experiência como essa em sala de aula.
(ê éfe zero nove ême ah um nove) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Qual sólido tem medida de volume maior: um paralelepípedo de dimensões 2 métros, 3,5 métros e 4 métros ou um cilindro com medida de altura de 3 métros e base cujo raio mede 1,6 métro de comprimento?
2. Observe os dois cilindros representados a seguir e responda sem fazer cálculos: qual deles tem maior medida de volume?
• Agora, calcule a medida do volume de cada cilindro e compare com sua resposta anterior.
3.
Copie o enunciado do problema a seguir no caderno, complete-o e, depois, resolva-o.
4. Uma lata de suco em fórma cilíndrica cujo diâmetro mede 6 centímetros de comprimento e altura com medida de 11 centímetros e é confeccionada com folhas de alumínio.
a) Quantos centímetros quadrados de folha de alumínio, aproximadamente, foram necessários para confeccionar uma lata? (Considere: π = 3,14)
b) Com o suco dessa lata é possível encher dois copos com medida de capacidade de 200 mililitros cada um? Justifique sua resposta.
5.
Observe o cilindro que Regina desenhou e resolva o problema.
Mariana desenhou outro cilindro com a mesma medida de comprimento do raio do que foi desenhado por Regina, mas com o dobro da medida da área da superfície externa. Quais são as dimensões do cilindro que Mariana desenhou?
Respostas e comentários
1. o paralelepípedo
2. Resposta pessoal; cilindro 1: 75π centímetros cúbicos; cilindro 2: 45π centímetros cúbicos
3. A resposta do problema vai depender das medidas da altura e do comprimento do diâmetro escolhidas pelos estudantes.
4. a) 263,76 centímetros quadrados
4. b) Vcilindro = Abase ⋅ h = 28,26 centímetros quadrados ⋅ 11 centímetros
Vcilindro = 310,86 centímetros cúbicos = 310,86 mililitros
Como os dois copos juntos têm 400 mililitros, não é possível enchê-los com o suco dessa lata.
5. medida de comprimento do raio: 2 centímetros; medida da altura: 10 centímetros
Orientações e sugestões didáticas
• Ao trabalhar com a atividade 2, avalie as estratégias de estimativa dos estudantes. É possível responderem que a medida de volume do cilindro 1 é menor que a do cilindro 2 em função da altura, o que não é verdade; para comprovar isso basta calcular as medidas dos volumes.
• Ao trabalhar com a atividade 3, peça aos estudantes que apresentem seus problemas e soluções para que possam verificar que existem diversas possibilidades para completar o enunciado.
7 Medida de volume de um cone
Vimos que a medida do volume de uma pirâmide é igual a
1 terçoda medida do volume de um prisma com mesma medida da área da base e altura de mesma medida. Será que a medida do volume de um cone é igual a
1 terçoda medida do volume de um cilindro com mesma medida de área da base e altura de mesma medida?
Para saber a resposta, acompanhe outro experimento feito pela professora Simone em sala de aula.
Observe que o conteúdo do recipiente que lembra um cone cabe três vezes no recipiente que lembra um cilindro. Esse experimento sugere que a medida do volume do cone é igual a
1 terçoda medida do volume do cilindro.
É possível demonstrar que essa relação entre a medida dos volumes vale para qualquer cone e qualquer cilindro, ambos com mesma medida de área da base e altura de mesma medida.
Assim, a medida do volume de um cone qualquer é calculado deste modo:
Vcone =
1 terço⋅ Abase ⋅ h
Orientações e sugestões didáticas
Medida de volume de um cone
Objetivo
• Calcular a medida do volume de um cone qualquer.
Orientações
• Neste tópico, é apresentado um experimento que sugere que a medida do volume de um cone qualquer é calculada multiplicando-se um terço da medida da área de sua base pela medida da altura. É importante enfatizar que esse resultado é verdadeiro e que sua demonstração será feita no Ensino Médio. Se julgar conveniente, reproduza com a turma o experimento apresentado na página. Para isso, leve à sala de aula dois recipientes, de formatos cônico e cilíndrico, que tenham altura de mesma medida e mesma medida da área da base.
Exemplo
Vamos calcular a medida do volume do cone representado.
A medida de área da base desse cone é:
Abase = πr 2 = π ⋅ (1,5 centímetro)2 = 2,25π centímetros quadrados
Como a medida da altura do cone é igual a 2,5 centímetros, então a medida do volume do cone é:
Vcone =
1 terço⋅ Abase ⋅ h =
1 terço⋅ 2,25π centímetros quadrados ⋅ 2,5 centímetros = 1,875π centímetros cúbicos
Portanto, a medida do volume do cone é igual a 1,875π centímetros cúbicos.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Observe a figura a seguir e responda à questão no caderno.
• Qual é a medida do volume dessa figura?
2. Observe um tanque cilíndrico de aço com fundo cônico, usado em diversas fábricas para armazenar água e sua representação. Depois, responda às questões.
a) Qual é, aproximadamente, a medida do volume desse tanque?
b) Quantos litros de água cabem, aproximadamente, nesse tanque cilíndrico? (Lembre-se: 1 litro equivale a 0,001 métro cúbico)
3. Para preencher o recipiente do tipo 2 com areia, são necessários três recipientes do tipo 1 cheios. Sabendo que os recipientes 2 e 3 têm base de mesma medida de área e altura de mesma medida, determine a quantidade de recipientes do tipo 1 cheios necessária para preencher três recipientes do tipo 3.
Respostas e comentários
1. Espera-se que os estudantes pensem em calcular a medida do volume da parte cilíndrica e, depois, a medida do volume da parte cônica. A medida do volume do sólido é a soma da medida dos volumes das duas partes; aproximadamente 46,05 métros cúbicos
2. a) 3,18 métros cúbicos
2. b) .3180 litros
3. 9 recipientes
Orientações e sugestões didáticas
• Para resolver a atividade 3, os estudantes vão comparar a medida do volume de alguns recipientes. Reúna-os em duplas para que possam compartilhar ideias.
Como os recipientes 2 (paralelepípedo) e 3 (cilindro) têm base de mesma medida de área e altura de mesma medida, eles terão necessariamente a mesma medida de volume. Logo, se são necessários 3 recipientes do tipo 1 para encher um recipiente do tipo 2, então são necessários 3 recipientes do tipo 1 para encher um recipiente do tipo 3. Portanto, para encher 3 recipientes do tipo 3, são necessários 9 recipientes do tipo 1, pois 3 ⋅ 3 = 9.
Estatística e Probabilidade
faça as atividades no caderno
Comunicando resultados de pesquisa amostral
A XYZ Pesquisas fez um levantamento em certo bairro para verificar a adesão ao e-commerce. Para isso, as seguintes perguntas foram feitas aos entrevistados.
1º) Já fez compras pela internet?
2º) Se sim:
• qual produto costuma comprar?
• qual é a frequência da compra?
• como avalia o serviço?
• compare sua experiência entre e-commerce e comércio tradicional.
3º) Se não, qual é o motivo?
Perceba que a primeira pergunta tem como respostas “sim” ou “não”; já as outras são perguntas abertas e podem ter várias respostas. Então, para organizar as informações e realizar uma análise dos dados, a empresa elaborou algumas tabelas e gráficos.
Com o apoio de uma planilha eletrônica, os dados foram organizados da seguinte maneira.
Fonte: xis ípsilon zê Pesquisa. Metodologia: foram ouvidas .1000 pessoas em certo bairro durante os dias 23 e 27 de março de 2023.
Agora, vamos analisar as tabelas. Note que, pela tabela 1, podemos concluir que foram entrevistadas .1000 pessoas. Observe as demais tabelas.
Calculando o total de entrevistados em cada uma das outras tabelas, podemos verificar que na tabela 2 o total é 906, na tabela 3 o total é 359, enquanto nas tabelas 4, 5 e 6 o total é 654. Você sabe o que isso representa?
Orientações e sugestões didáticas
Estatística e Probabilidade
Objetivo
• Favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois três da Bê êne cê cê.
Habilidade da Bê êne cê cê
• Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois três porque propõe aos estudantes que planejem e executem pesquisa amostral.
Orientações
• Inicie o estudo desta seção propondo aos estudantes que conversem sobre as vantagens e as desvantagens de realizar uma compra pela internet ou presencialmente. Se julgar conveniente, escreva no quadro as vantagens e desvantagens de cada tipo de compra observadas por eles. Peça que compartilhem experiências de familiares que já realizaram compras virtual ou presencialmente.
• Em seguida, desenvolva a primeira parte da seção, que tem como objetivo apresentar o público-alvo e o tema da pesquisa, bem como o questionário que foi utilizado para coletar os dados. Converse com estudantes sobre a relevância do tema. Se julgar oportuno, comente que durante a pandemia da covid-19 o e-commerce teve um aumento significativo.
• Antes de fazer a leitura das tabelas, aproveite para resgatar o conhecimento prévio dos estudantes sobre alguns conteúdos de Estatística que já foram estudados no decorrer do ano, como elaboração de questionários, tabulação dos dados e construção de gráficos.
• Depois, peça aos estudantes que observem como os dados da pesquisa foram organizados nas tabelas e verifique se conseguiram entender as informações apresentadas.
• É importante que os estudantes percebam que nem sempre os entrevistados precisam escolher uma única resposta, como é o caso das perguntas que geraram as tabelas 2 e 3. Eles devem perceber também que, em situações como essa, não é possível construir um gráfico de setores e que o mais adequado seriam gráficos de barras ou de colunas.
(ê éfe zero nove ême ah dois três) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.
Note que a tabela 2 refere-se às pessoas que responderam “sim” para a pergunta “Já fez compras pela internet?”, e a tabela 3, às pessoas que responderam “não”. Nessas tabelas, a coluna “Quantidade” mostra um total maior que o total de respostas “sim” e “não”, ou seja, é possível que algumas pessoas tenham dado mais de uma resposta e, provavelmente, essas perguntas eram abertas. Observamos que as demais tabelas se referem às respostas das pessoas que disseram “sim” e que, nesses casos, as respostas são únicas porque o entrevistado não teria como optar por mais de uma resposta.
Os dados obtidos permitem construir alguns gráficos, mas convém verificar que tipo de gráfico é mais adequado para representá-los. Como os gráficos de setores permitem comparar cada parte com o todo, são mais apropriados para as tabelas 1, 4, 5 e 6. Já os gráficos de barras ou de colunas são mais adequados para as tabelas 2 e 3 porque permitem comparar as respostas entre si.
Para comunicar os resultados, a XYZ Pesquisas representou todas essas informações em um infográfico e elaborou comentários para compor o relatório.
Orientações e sugestões didáticas
• Comente com os estudantes que, na elaboração do relatório, nem sempre os gráficos precisam ficar separados e analisados um a um. É possível construir um infográfico que revele as informações como um todo e, então, tecer comentários relevantes.
• Peça aos estudantes que observem como o infográfico foi organizado, considerando o título, o texto que acompanha o infográfico, a disposição dos gráficos e a fonte. Questione-os sobre as informações que podem obter analisando os gráficos. Em seguida, faça uma leitura compartilhada das conclusões apresentadas.
▶ Estatística e Probabilidade
A partir desses dados é possível concluir que:
• mais da metade dos entrevistados (65,4%) costuma fazer compras pela internet.
• entre os consumidores que recorrem à internet para comprar, 57,5% compram eletroeletrônicos, 37,5% compram material de escritório e 16% compram livros e revistas.
• entre os entrevistados que não compram pela internet, 28,6% preferem escolher presencialmente, enquanto 27,5% não compram por falta de acesso à internet. Já o quesito segurança ficou em 6º lugar, sendo que 2,9% dos consumidores ainda não se sentem seguros em realizar compras pela internet. Isso pode revelar uma mudança nas vendas pela internet.
Nessa pesquisa também foi identificada a faixa etária dos entrevistados, como mostra a tabela.
|
Faixa etária |
Quantidade |
|---|---|
|
De 18 a 28 anos |
320 |
|
De 29 a 38 anos |
200 |
|
De 39 a 48 anos |
180 |
|
De 49 a 58 anos |
160 |
|
De 59 a 68 anos |
80 |
|
De 69 a 78 anos |
60 |
Fonte: xis ípsilon zê Pesquisa. Metodologia: foram ouvidas .1000 pessoas em certo bairro durante os dias 23 e 27 de março de 2023.
A partir dessa tabela é possível calcular algumas medidas e interpretá-las. Elas ajudarão a caracterizar o público-alvo da pesquisa e fazer algumas inferências sobre a pesquisa.
A moda é a medida que podemos obter mais rapidamente observando a tabela, pois ela representa a faixa etária que tem a maior frequência, ou seja, a maioria dos entrevistados está na faixa de 18 a 28 anos. Essa constatação pode estar diretamente relacionada com a quantidade de pessoas que responderam “sim” para a questão: “Já fez compras pela internet?”.
Das .1000 pessoas que responderam à pesquisa, é possível perceber que mais da metade se encontra na faixa etária de 18 a 38 anos, pois, nos dois primeiros intervalos, temos 520 pessoas, um pouco mais de 50% dos entrevistados. Então, podemos concluir que a mediana das idades desse conjunto de dados se encontra na faixa dos 29 aos 38 anos.
ATIVIDADES
faça as atividades no caderno
1. Elabore mais dois comentários sobre o levantamento realizado pela xis ípsilon zê Pesquisas.
2.
Reúna-se com três colegas para executar uma pesquisa amostral. Durante as fases da pesquisa, procurem responder às seguintes questões.
• Qual é o tema da pesquisa?
• Qual é a importância desse tema?
• Qual é o público-alvo?
• Quais cuidados vocês devem ter ao selecionar a amostra?
• Como será feita a seleção da amostra?
• Quais perguntas serão feitas?
• Como os dados serão coletados e organizados?
• Quais tipos de gráfico vocês poderão construir para apresentar os dados?
• É possível calcular a média, a moda, a mediana e a amplitude de algum dos conjuntos de dados obtidos?
• O que é possível concluir a partir dessas medidas?
• Como vocês vão apresentar as conclusões da pesquisa para a turma?
Respostas e comentários
1. Exemplos de resposta em Orientações.
2. Respostas pessoais.
Orientações e sugestões didáticas
• Converse com os estudantes sobre a tabela que mostra a idade dos entrevistados e questione-os sobre a organização por faixa etária. Aproveite para retomar os conceitos de média, moda, mediana e amplitude.
• Exemplo de respostas da atividade 1:
Dos consumidores que compram pela internet, 80,1% consideram o serviço prestado como ótimo ou bom, e 15,5% consideram regular. Isso indica que a maioria dos consumidores está satisfeita com o serviço.
A frequência com que esses consumidores compram pela internet revela que a maioria compra uma vez por ano, seguido daqueles que compram todo mês e os que compram a cada 6 meses. A pesquisa revela, ainda, que cérca de 18,2% do total de pessoas entrevistadas que não compram pela internet tem receio de não receber os produtos comprados.
• Na atividade 2, retome com os estudantes as diferentes maneiras de selecionar amostras. Relembre-os de que na amostra casual simples os elementos da população são rotulados, e a amostra ocorre por meio de alguma espécie de sorteio. Já na amostra estratificada a população é dividida em subgrupos e ocorre por meio da seleção de elementos de cada estrato (subgrupo) de uma população. Por fim, na amostra sistemática os elementos da população, que se encontram ordenados, são retirados periodicamente.
Atividades de revisão
faça as atividades no caderno
1. Escreva o nome de cada um dos poliedros a seguir.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Observe o desenho de uma peça.
a) Qual das vistas a seguir representa a vista ortogonal superior da peça?
b) Represente, em seu caderno, duas outras vistas ortogonais dessa peça.
3. Observe o quadro a seguir.
a) Ao escolher essa composição, o artista quis dar a ideia de uma figura plana ou não plana? Explique sua resposta.
b) Inspire-se na obra apresentada e crie uma composição que transmita a mesma ideia pretendida pelo artista.
4.
Pesquise em jornais e revistas o uso da perspectiva em anúncios publicitários. Junte-se a alguns colegas, construam um cartaz com os anúncios pesquisados e o apresentem para a turma.
5. Uma embalagem que lembra um cubo foi revestida de uma camada de papel adesivo com 726 centímetros quadrados de medida de área.
a) Quais são as dimensões dessa embalagem? (Dica: pense na planificação do cubo.)
b) Quantos centímetros cúbicos de areia cabem nessa embalagem?
6. Um artesão recortou placas de vidro para montar uma pirâmide de base quadrada de lado medindo 30 centímetros de comprimento e altura medindo 48 centímetros. Essa pirâmide será totalmente preenchida com líquido colorido.
Quantos litros de líquido colorido serão necessários para encher totalmente essa pirâmide?
Respostas e comentários
1. Respostas possíveis:
a) bloco retangular, ou prisma de base quadrangular, ou hexaedro, ou paralelepípedo
b) pirâmide de base pentagonal ou hexaedro
c) octaedro
d) pirâmide de base triangular ou tetraedro
e) prisma de base quadrangular ou hexaedro
f) prisma de base quadrangular, ou bloco retangular, ou hexaedro, ou cubo
2. a) a vista 2
2. b) Resposta em Orientações.
3. Respostas pessoais.
4. Resposta pessoal.
5. a) 11 centímetros, 11 centímetros e 11 centímetros
5. b) .1331 centímetros cúbicos
6. 14,4 litros
Orientações e sugestões didáticas
Atividades de revisão
Objetivos
• Consolidar o conhecimento adquirido no decorrer do Capítulo.
• Favorecer o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah um sete e ê éfe zero nove ême ah um nove da Bê êne cê cê.
Habilidades da Bê êne cê cê
• Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um sete ao propor aos estudantes que identifiquem e desenhem vistas ortogonais de objetos desenhados em perspectiva. A habilidade ê éfe zero nove ême ah um nove tem o seu desenvolvimento favorecido ao propor problemas que envolvam as medidas de volumes de prismas e de cilindros retos que podem ser resolvidos aplicando expressões de cálculo.
Orientações
• Exemplo de resposta do item b da atividade 2:
• Explore a obra de Luiz Sacilotto, apresentada na atividade 3, pedindo aos estudantes que identifiquem figuras geométricas (resposta: quadriláteros). Por meio dessa resposta, é interessante conversar sobre o efeito produzido pelo artista para passar a ideia de figura não plana.
(ê éfe zero nove ême ah um sete) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
(ê éfe zero nove ême ah um nove) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
▶ Atividades de revisão
7. Um reservatório de óleo diesel de formato cilíndrico mede 2 métros de altura e base cujo raio mede 3 métros de comprimento. Quantos litros de óleo esse reservatório comporta? (Considere: π = 3,14)
8. Com dois pedaços de cartolina no formato de triângulos equiláteros congruentes e três pedaços retangulares, podemos construir um modelo da superfície externa de um prisma.
a) Qual é a medida da altura desse prisma?
b) Qual é a medida da área da base desse prisma?
c) Qual é a medida do volume desse prisma?
9. Marta vai recobrir com plástico a parte externa de um cesto sem tampa com o formato da figura a seguir.
As laterais do cesto têm formato retangular, e a base tem o formato de um quadrado com lados que medem 25 centímetros de comprimento.
Calcule a medida de comprimento mínima do plástico que Marta deverá comprar, sabendo que ele é vendido com medida de largura de 25 cm.
10.
Elabore um problema que envolva o cálculo de medida de volumes de sólidos geométricos.
11.
Junte-se a um colega, analisem a situação e façam o que se pede.
Nos supermercados, muitas vezes, produtos em latas ou vidros são vendidos empacotados. O tipo de empacotamento é avaliado de acordo com sua eficiência. Para isso, calcula-se o quociente entre a medida do volume do pacote e a medida do volume total das latas; quanto mais próximo de 1, mais eficiente será o pacote.
Suponham que uma lata de refrigerante tenha 5 centímetros de comprimento de medida de raio, 12 centímetros de medida de altura e medida de volume igual a 942 centímetros cúbicos.
a) Calculem a eficiência de cada um dos pacotes apresentados anteriormente.
b) Qual desses pacotes seria mais econômico, poupando danos ao meio ambiente?
12.
Reúna-se com alguns colegas e resolvam o problema proposto.
(Fuvésti) Um castelo está cercado por uma vala cujas bordas são dois círculos concêntricos de raios 41 métros e 45 métros. A profundidade da vala é constante e igual a 3 métros.
O proprietário decidiu enchê-la com água e, para esse fim, contratou caminhões-pipa, cujos reservatórios são cilindros circulares retos com raio da base de 1,5 métro e altura igual a 8 métros.
Determine o número mínimo de caminhões-pipa necessário para encher completamente a vala.
Respostas e comentários
7. .56520 litros
8. a) 5 centímetros; b)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 3 centímetros quadrados.; c)
Sentença matemática. 5 raiz quadrada de 3 centímetros cúbicos.9. 225 centímetros
10. Resposta pessoal.
11. a) Para todos os pacotes, a eficiência é a mesma: 1,274.
11. b) o pacote maior
12. 58 caminhões
Orientações e sugestões didáticas
• Sugerimos algumas questões para que os estudantes possam refletir sobre suas aprendizagens e possíveis dificuldades no estudo deste Capítulo, as quais devem ser adaptadas à realidade da turma. Oriente-os a fazer a autoavaliação, respondendo às questões no caderno com “sim”, “às vezes” ou “não”.
Eu...
reticências consigo reconhecer um poliedro a partir de suas características?
reticências sei diferenciar poliedros de corpos redondos?
reticências sei determinar o número de arestas, de faces e de vértices de um poliedro, bem como relacionar esses números entre si pela relação de Euler?
reticências interpreto corretamente as vistas ortogonais de uma figura?
reticências sei calcular a medida de volume de cilindros, cones, prismas e pirâmides?
reticências sei resolver problemas envolvendo o cálculo de medida de volume de poliedros e de corpos redondos?
reticências sei planejar, executar e escrever a síntese de uma pesquisa estatística amostral?
reticências sei construir o esboço de uma figura a partir de suas vistas ortogonais, e vice-versa?
reticências compreendo as relações existentes entre o cálculo de medidas de volume de cones e cilindros?
reticências compreendo as relações existentes entre o cálculo de medidas de volume de pirâmides e prismas?
reticências cuido do meu material escolar?
reticências tenho um bom relacionamento com meus colegas de sala?
reticências consigo expor minhas ideias e opiniões em grupo?
reticências tenho facilidade para compreender os conteúdos?
reticências realizo as tarefas propostas?
Para finalizar
faça as atividades no caderno
organize suas ideias
Observe e responda
Considere estas imagens.
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
Com base nas imagens e também no que você aprendeu nesta Unidade, faça o que se pede.
1. Analisando o gráfico anterior, de uma função linear, obtenha a lei dessa função.
2. No abastecimento de combustível, a grandeza total a pagar é dependente de outra grandeza? Se for, de qual?
3. Observe a imagem das latas de tinta. Qual sólido geométrico elas lembram?
4. O que é a vista ortogonal de uma figura?
Respostas e comentários
Observe e responda: 1. f(x) = 4x
2. Sim. A grandeza total a pagar está em função (é dependente) da quantidade de litros de combustível com que o veículo é abastecido.
3. cilindro
4. É a projeção ortogonal da figura sobre um plano.
Orientações e sugestões didáticas
Para finalizar
Objetivo
• Analisar o que foi estudado na Unidade e avaliar o aprendizado.
Orientações
• Tendo como ponto de partida a observação de imagens que retomam, de alguma maneira, assuntos discutidos na Unidade, os estudantes são convidados a realizar algumas sínteses sobre as principais ideias exploradas.
• Se julgar conveniente, os estudantes podem retomar as atividades da Unidade, identificando aquelas em que tiveram dúvidas. Em seguida, devem responder às demais perguntas da seção, que abordam os assuntos tratados nos capítulos. Por último, devem tentar, em duplas, solucionar as dúvidas relativas às atividades listadas.
▶ Para finalizar
Registre
Para finalizar o estudo desta Unidade, junte-se a um colega e façam o que se pede.
1. O que significa dizer que uma grandeza é função de outra?
2. Podemos dizer que a medida de área de um terreno retangular é função das medidas de comprimento de seus lados?
3. Em que situações do dia a dia você identifica a ideia de função?
4. Quais são as características de uma função afim?
5. Como calculamos a medida do volume de um cone? E a de um cilindro?
6. Explique o que vocês entenderam sobre projeção ortogonal.
7. Na abertura desta Unidade, vocês responderam a algumas questões do boxe “Para começarreticências”. Comparem as respostas dadas àquelas questões com as respostas que vocês dariam agora e escrevam um texto explicando o que aprenderam nesta Unidade.
Para conhecer mais
Em busca das coordenadas
(Coleção A descoberta da Matemática)
Ernesto Rosa
São Paulo: Ática, 2008.
Telma, Itiro e Caíto não acreditavam que estavam fazendo uma viagem espacial. Como isso tinha acontecido? Pouco antes, passeavam, maravilhados, pela exposição de Ciência e Tecnologia montada no Observatório de Ciênciasreticências
Depois de passear pela Lua e por Marte e enfrentar uma chuva de meteoros, os três amigos pousaram em Ganimedes, satélite de Júpiter. A aventura estava incrível, mas eles precisavam dar um jeito de voltar para casa. Então, lançaram mão das coordenadas para encontrar o caminho de volta.
Os poliedros de Platão e os dedos da mão
(Coleção Vivendo a Matemática)
Nílson José Machado
São Paulo: Scipione, 2000.
Este livro mostra que é possível trabalhar poliedros a partir de noções básicas da Geometria plana, como ângulos e polígonos, criando um contexto baseado em situações de sala de aula, a partir da intuição. Com textos e exercícios sobre Geometria, o leitor poderá acompanhar o caminho intuitivo percorrido por Platão até os cinco poliedros regulares – tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Respostas e comentários
Registre: 1. Exemplo de resposta: Significa que uma grandeza depende da outra.
2. sim
3. Resposta pessoal.
4. Espera-se que os estudantes apontem características como: o gráfico, a lei de formação e a quantidade de zeros da função.
5. cone: Vcone =
Sentença matemática. V prisma, com prisma subscrito igual a A base, com base subscrito vezes h.(Abase: medida de área da base, h: medida da altura)
cilindro: Vcilindro = Abase ⋅ h (Abase: medida de área da base, h: medida de altura)
6. Resposta pessoal.
7. Resposta pessoal.
Orientações e sugestões didáticas
• Este momento de retomada é muito importante, pois possibilita aos estudantes que identifiquem, entre os conceitos estudados na Unidade, os que são mais relevantes. Depois, eles podem trocar ideias sobre estratégias de resoluções de atividade, compartilhando, assim, conhecimentos adquiridos.
• Retome algumas atividades feitas nos Capítulos desta Unidade com os estudantes e peça a eles que:
1) listem no caderno as atividades dos Capítulos 8, 9 e 10 que tiveram mais dificuldades em resolver;
2) relacionem as atividades listadas com os conteúdos estudados;
3) reúnam-se com alguns colegas e resolvam juntos as atividades listadas por eles.