72

UNIDADE 3. Geometria

73

Boxe Complementar

Fim do complemento

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Poliedros e corpos redondos

1. Rodrigo tem alguns modelos de figuras geométricas planas feitos de cartolina e alguns modelos de figuras geométricas não planas feitos de acrílico.

1. Para ajudar Rodrigo a colocar os modelos na caixa certa, marque com um X os modelos que devem ir para a Caixa 1 e cerque com uma linha os modelos que devem ir para a Caixa 2.

   

   

2. Rodrigo quer separar os modelos da Caixa 1 em dois grupos para organizá-los melhor. Como você acha que ele deveria separar esses modelos? Converse com seus colegas sobre isso.

2. Qual é a figura “intrometida” em cada caso? Marque-a com um X .

a)

b)

• Agora, reúna-se com um colega e conversem sobre o que o levou a escolher essas figuras.

75

3. Observe as figuras e leia o texto. Depois, responda às questões.

Cubo

Pirâmide de base pentagonal

Paralelepípedo

Prisma de base triangular

Esfera

Cone

Cilindro

Observação:

Algumas dessas figuras são arredondadas. É o caso da esfera, do cone e do cilindro, que são exemplos de figuras chamadas corpos redondos.

Outras figuras são não arredondadas. É o caso do cubo, da pirâmide de base pentagonal, do paralelepípedo e do prisma de base triangular, que são exemplos de figuras chamadas poliedros, que significa “muitas faces”.

Fim da observação.

1. O que há de parecido nos poliedros? E de diferente?

2. O que há de parecido nos corpos redondos? E de diferente?

4. Nos quadros abaixo, desenhe ou escreva o nome de objetos que lembram a figura geométrica indicada.

1. Corpos redondos

Tabela: equivalente textual a seguir.

2. Poliedros

Tabela: equivalente textual a seguir.

76

Planificação de superfícies

1. Osvaldo é carpinteiro e quer organizar de acordo com o tamanho os pregos que usa em seus trabalhos. Para isso, ele vai guardar os pregos em várias caixinhas cúbicas iguais, que serão encaixadas em sua maleta de materiais.

   Observe as planificações abaixo e descubra qual delas Osvaldo deve escolher como molde para fazer as caixinhas cúbicas.

a)

b)

c)

d)

• Converse com o professor e os colegas sobre os moldes que não devem ser escolhidos por Osvaldo. Por que esses moldes não formam uma caixa cúbica?

2. Observe a representação da planificação abaixo e da figura geométrica não plana obtida a partir dela.

• Agora, escreva o nome das figuras geométricas não planas que podemos obter com cada planificação representada a seguir.

a)

_____

b)

_____

c)

_____

77

3. Rubens vai montar 4 modelos de poliedros utilizando recortes de papelão e fita adesiva. Circule os recortes que Rubens deverá utilizar para montar cada modelo.

Tabela: equivalente textual a seguir.

4. Observe as planificações a seguir.

a)

b)

c)

d)

• Reproduza essas representações de planificações, em tamanho maior, em uma folha de papel mais firme, como cartolina. Recorte-as e tente montar modelos de poliedros. Se não conseguir, indique as alterações que devem ser feitas nas representações das planificações de modo que seja possível montar algum modelo. Marque com um X as planificações acima que possibilitam a montagem dos modelos.

5. Abaixo, foi representado um dado em três posições diferentes.
   • Qual destas figuras representa a planificação da superfície desse dado?

a)

b)

c)

d)

78

Mais poliedros

1. Analise os poliedros e, depois, complete o quadro com as informações correspondentes.

Tabela: equivalente textual a seguir.

2. Durante a aula de Geometria, Júlia aprendeu uma regularidade presente nos poliedros.

• Agora que você também já sabe essa regularidade, descubra o número de arestas de cada figura a seguir.

1. Poliedro com 8 vértices e 8 faces - _____

2. Poliedro com 8 vértices e 6 faces - _____

3. Poliedro com 14 vértices e 9 faces - _____

3. Considere uma pirâmide com 10 arestas. Indique o polígono da base dessa pirâmide, o número de vértices e o número de faces. Depois, represente-a no espaço ao lado.

   Polígono da base - _____

   Número de vértices - _____

   Número de faces - _____

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Medida de ângulo

1. Observe a abertura de cada um dos ângulos representados.

Esses ângulos têm aberturas diferentes. Quanto maior a abertura de um ângulo, maior é sua medida.

O ângulo destacado na cor _____ é o de maior medida.

Para medir um ângulo, é preciso medir sua abertura.

Cada abertura está associada a uma medida em grau.

• Veja como Adriana determinou a medida do ângulo em destaque.

Qual é a medida de cada um destes ângulos em destaque?

A medida deste ângulo é _____ graus.

A medida deste ângulo é _____ graus.

A medida deste ângulo é _____ graus.

80

2. Observe a figura abaixo e complete o quadro.

Quadro: equivalente textual a seguir.

3. Observe os ângulos destacados no retângulo.

Cada um dos ângulos destacados no retângulo é chamado de ângulo reto.

Observe o transferidor e responda: Qual é a medida do ângulo reto?

_____

4. De acordo com as orientações a seguir, desenhe o caminho que o ratinho seguiu sobre as linhas da malha até encontrar o queijo.

Caminho seguido pelo ratinho:

• Andou 1 lado de quadradinho à frente.
• Girou 90 graus para a direita e andou 3 lados de quadradinho à frente.
• Girou 90 graus para a esquerda e andou 1 lado de quadradinho à frente, encontrando o queijo.

81

Polígonos

1. Leia o diálogo e faça o que se pede.

1. Indique com a letra P as figuras que são polígonos. Justifique sua resposta.

2. Agora, em uma folha de papel, faça uma composição com diferentes desenhos de polígonos.

2. Vinícius comprou um brinquedo de encaixar peças para sua filha.

   No brinquedo, há uma base na qual a criança deve encaixar 5 pecinhas. Veja os desenhos das peças desse brinquedo e, depois, responda às questões.

1. Em qual das bases é possível encaixar todas as 5 peças? _____

Base 1

Base 2

Base 3

2. Quais dessas peças têm um encaixe que lembra o contorno de um polígono? Quais são esses polígonos? _____

82

3. Observe a representação de um polígono e algumas de suas partes destacadas. Depois, preencha o quadro com as informações correspondentes.

Quadro: equivalente textual a seguir.

• Que regularidade podemos observar entre as quantidades nesse quadro?

  _____

  4. Leia o que Renato está dizendo.

• Agora, indique qual das figuras a seguir representa um polígono regular.

a)

b)

c)

d)

83

Triângulos

1. Otávio e João brincavam de representar triângulos com palitos. Observe os ângulos destacados e complete.

Estes triângulos têm _____ ângulo reto. Eles são chamados de triângulos retângulos.

Estes triângulos não têm nenhum ângulo reto. Eles não são triângulos _____.

2. Larissa, Michele e Míriam viram os meninos com os palitos e também entraram na brincadeira. Agora, observe os lados dos triângulos e complete.

Estes triângulos têm _____ lados com a mesma medida. Eles são chamados de triângulos equiláteros.

Estes triângulos têm _____ lados com a mesma medida. Eles são chamados de triângulos isósceles .

Estes triângulos têm todos os lados com _____ diferentes. Eles são chamados de triângulos escalenos.

84

3. Meça os lados dos triângulos representados e classifique cada um deles em equilátero, isósceles ou escaleno.

_____

_____

_____

_____

• Agora, faça o que se pede.

1. Qual triângulo tem um ângulo reto? Descubra sobrepondo o canto de uma folha de papel sulfite a cada um dos ângulos internos. _____

2. Você acha que um triângulo retângulo pode ter dois ângulos retos?

   _____

4. Observe as 7 peças de um Tangram e responda.
   1. Quantas peças triangulares há nesse quebra-cabeça? _____
   2. Há triângulos retângulos representados no Tangram? Se há, quantos são? _____
   3. Os triângulos representados no Tangram são equiláteros, isósceles ou escalenos? Use uma régua para ajudá-lo. _____

Boxe complementar:

Fim do complemento.

85

Quadriláteros

1. Com o auxílio de uma régua e o canto de uma folha retangular, identifique algumas características comuns dos quadriláteros representados abaixo e forme dois ou mais grupos de acordo com essas características.

• Qual foi o critério utilizado para formar os grupos? Converse com o professor e os colegas.

2. Veja como Sandra separou quadriláteros semelhantes aos da atividade 1 em três grupos e responda às questões.

Grupo A

Grupo B

Grupo C

1. Em que grupo cada quadrilátero tem dois pares de lados paralelos?

   _____

2. Em que grupo cada quadrilátero tem apenas um par de lados paralelos?

   _____

3. No Grupo C, cada polígono tem quantos pares de lados paralelos?

   _____

86

3. Leia as explicações de Marisa e Leandro.

• Agora, observe novamente os grupos de figuras da atividade 2 que Sandra separou e identifique o grupo dos trapézios e o grupo dos paralelogramos.

  _____

  

4. Desenhe os seguintes quadriláteros na malha quadriculada a seguir.
   1. Um trapézio.
   2. Um paralelogramo.
   3. Um paralelogramo com 4 ângulos retos.
   4. Um quadrilátero que não tenha nenhum par de lados paralelos.

5. Observe os paralelogramos representados a seguir e responda às questões.

1. O que eles têm em comum em relação aos ângulos?

   _____

2. Qual é a diferença entre esses paralelogramos?

   _____

87

6. Representações de paralelogramos são frequentes em objetos e construções do nosso dia a dia.

LEGENDA: Janelas retangulares em casas no município de São João del-Rei, Minas Gerais, em 2017. FIM DA LEGENDA.

Nestas casas, identificamos janelas que lembram um retângulo.

LEGENDA: Composição com quadriláteros, 2017. FIM DA LEGENDA.

Neste mosaico, as figuras laranja são losangos.

LEGENDA: Placa de travessia escolar em São Bernardo do Campo, São Paulo, em 2021. FIM DA LEGENDA.

Na placa de área escolar, identificamos um quadrado.

• Reúna-se com um colega e conversem sobre como vocês poderiam descrever esses paralelogramos para uma pessoa que não os conheça. Dica: observem os lados e os ângulos dessas figuras.

7. Observe na malha quadriculada abaixo o esquema que representa o caminho feito pelo cachorro de Edu em seu quintal.

   O cachorro partiu do ponto A, em vermelho. Depois, seguiu o trajeto indicado pelas setas.

1. O caminho que o cachorro de Edu fez tem o contorno de qual figura geométrica?

   _____

2. Modifique o trajeto do cachorro de Edu para que ele tenha o contorno de um quadrado. Trace esse trajeto na malha e registre-o com setas.

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8. Leia as explicações.

1. Que tipos de paralelogramo têm os quatro ângulos retos?

   _____

2. Que tipos de paralelogramo têm os quatro lados de mesma medida?

   _____

9. Leia o que Margarida está dizendo e responda às questões.

1. A figura que Margarida desenhou é um quadrilátero? _____

2. Essa figura pode ser um retângulo? Justifique.

   _____

3. Essa figura pode ser um quadrado? Por quê? _____

4. Que figura Margarida desenhou? _____

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Desenhando polígonos

1. Veja como Joaquim iniciou o desenho de um quadrado em uma malha quadriculada com o auxílio de uma régua.

Primeiro, eu desenhei um segmento de reta de medida igual à soma das medidas dos lados de três quadradinhos.

Depois, desenhei outro segmento, de mesma medida. Para formar o ângulo reto, considerei o ângulo interno de um quadradinho da malha.

• Desenhe na malha quadriculada a seguir um quadrado como o de Joaquim.

2. Na malha quadriculada a seguir, represente um retângulo, um trapézio, um triângulo escaleno e um pentágono.

1. Entre os polígonos que você desenhou, quais têm lados paralelos?

   _____

   

   

2. Como os lados dos quadradinhos da malha quadriculada auxiliam na construção dos lados paralelos desses polígonos? Converse com o professor e os colegas.

90

3. Fernanda representou duas retas perpendiculares usando régua e esquadro. Veja como ela fez.

Primeiro, eu tracei uma reta r.

Depois, coloquei um dos lados do ângulo reto do esquadro apoiado na régua e tracei uma reta s, pelo outro lado.

As retas r e s formam quatro ângulos retos. O ponto de encontro entre elas é o vértice desses ângulos.

1. No caderno, trace uma reta r e, depois, construa uma reta s perpendicular a ela com o auxílio de esquadro e régua.

   Depois de traçar as retas perpendiculares, Fernanda construiu um triângulo retângulo.

Marquei 5 cm na reta r e tracei um segmento.

Depois, sobre a reta s, tracei um segmento de 3 cm.

Por fim, tracei o terceiro lado do meu triângulo.

2. No caderno, trace um triângulo retângulo de lados medindo 4 cm e 6 cm.

   

3. Após traçar as retas r e s, perpendiculares, explique como você faria para construir um quadrado com lados apoiados nessas retas. Converse com o professor e os colegas e registre sua explicação a seguir.

   _____

91

4. A professora de Lúcia propôs a seguinte atividade à classe.

Para representar os triângulos na malha quadriculada, Lúcia utilizou os quadradinhos da malha como referência para as medidas dos lados e dos ângulos.

• Os triângulos que Lúcia representou estão de acordo com o pedido da professora? Justifique sua resposta.

  No software , Lúcia utilizou ferramentas para traçar segmentos e para traçar retas perpendiculares, além da ferramenta de régua.

• Na sua opinião, por que Lúcia utilizou essas ferramentas para representar os triângulos? Converse com o professor e os colegas.

92

5. Sérgio deve construir um paralelogramo e um trapézio utilizando um software de geometria dinâmica. Para essa construção, Sérgio poderá utilizar as seguintes ferramentas:

→ permite traçar segmentos de reta

→ permite determinar a medida de um segmento de reta

→ permite traçar retas paralelas

→ permite traçar retas perpendiculares

1. Para construir um paralelogramo, que ferramentas você utilizaria?

   _____

2. E para construir um trapézio, que ferramentas você utilizaria?

   _____

   

   

3. Se a ferramenta que permite traçar retas paralelas não estivesse habilitada, Sérgio conseguiria construir algum paralelogramo? Converse com o professor e os colegas.

   

4. No espaço a seguir, construa a representação de um paralelogramo e a de um trapézio, indicando as ferramentas que você utilizaria se fosse construí-los no software de geometria dinâmica.

   _____

93

Ampliação e redução de figuras

1. Observe as figuras que Fábio pintou na malha quadriculada.

• Agora, responda às questões.

1. O que há de parecido entre as figuras azul e amarela?

   _____

2. Ao comparar as figuras azul e verde, que diferenças você observa? E nas figuras azul e vermelha?

   _____

   

3. Escreva o que é necessário para que uma figura seja uma ampliação de outra figura. Depois, converse com seus colegas e o professor sobre isso.

   _____

94

2. Compare as medidas dos lados da figura laranja e da figura verde.

A figura verde é uma ampliação ou uma redução da figura laranja? Justifique.

_____

3. Observe a figura e faça o que se pede na malha quadriculada abaixo.

1. Desenhe uma figura triplicando apenas as medidas das linhas verdes. A figura que você obteve é uma ampliação da figura pintada de amarelo? Por quê?

   _____

   

2. Desenhe outra figura triplicando apenas as medidas das linhas laranja. A figura que você obteve é uma ampliação da figura pintada de amarelo? Por quê?

   _____

   

3. Triplicando todas as medidas da figura inicial, teremos uma figura com largura medindo quantos centímetros? E com altura medindo quantos centímetros?

   _____

95

4. Desenhe uma ampliação da figura azul, conforme as orientações de Cristina.

5. Desenhe na malha quadriculada a seguir um paralelepípedo cujas arestas tenham seis vezes a medida da aresta correspondente do paralelepípedo laranja.

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6. Maiara estava desenhando polígonos em um software de geometria dinâmica em seu computador. Ela desenhou um quadrilátero e quer desenhar outro que represente uma ampliação do primeiro quadrilátero.

Ela reproduziu outro quadrilátero como esse usando o recurso de copiar e colar do programa. Assim, obteve dois quadriláteros de mesmas medidas de lados e de ângulos internos. Veja a figura abaixo.

Com o objetivo de obter uma ampliação, Maiara “esticou” os lados do segundo quadrilátero. Veja a seguir os quadriláteros que ela obteve.

1. O que aconteceu com os ângulos internos do segundo quadrilátero quando Maiara “esticou” seus lados? _____

2. O segundo quadrilátero representa uma ampliação do primeiro quadrilátero? Justifique sua resposta.

   _____

   

3. Converse com o professor e os colegas sobre o modo como Maiara construiu essa ampliação.

97

7. Após construir o quadrilátero, Maiara descobriu outra função do software que estava utilizando.

Permite construir um polígono regular qualquer. Para isso, basta construir um segmento de reta, que será um dos lados do polígono, e indicar a quantidade de lados que tal polígono terá.

Maiara quer construir o desenho de um pentágono regular e vai usar a função descrita acima. Assim, ela construiu um segmento de reta de 3 cm e indicou que o polígono deveria ter 5 lados. Veja, abaixo, o pentágono que ela obteve.

Ela descobriu que, ao mexer no comprimento do primeiro segmento construído, as medidas dos ângulos internos do pentágono não mudam. Além disso, ela descobriu que, se dobrasse a medida desse segmento, as medidas dos outros lados também dobrariam.

1. Com essa ferramenta, Maiara conseguiria obter uma ampliação ou uma redução desse pentágono? Converse com o professor e com os colegas.

2. Se ela quiser que as medidas dos lados desse pentágono sejam reduzidas pela metade, qual deverá ser a medida do primeiro segmento construído? _____

3. Indique o que Maiara deve fazer para obter:
   • um hexágono de 3 cm de lado e outro hexágono que tenha os lados medindo o dobro de 3 cm;

     _____

   • um octógono de 2 cm de lado e outro que tenha os lados medindo a metade de 2 cm.

     _____

98

Matemática em textos

Leia

Ilusões visuais e representações geométricas

As figuras a seguir provocam ilu sões visuais, que podem ser de vários tipos. Na figura A, é possível perceber pelo menos duas ideias diferentes; na figura B, há ideia de movimentação, os pontos parecem piscar nos vértices dos pequenos quadrados representados; por fim, na figura C, é possível se confundir em relação ao comprimento dos traços horizontais.

Figura A

Figura B

Figura C

Normalmente, usa-se o termo “ilusão de óptica” quando nos referimos a essas confusões que acontecem com nossas percepções visuais. Entretanto, as ilusões visuais podem ter vários motivos para além da questão óptica, envolver outros sentidos e até mesmo os conhecimentos que temos sobre o tipo de imagem que nos é apresentado. As ilusões visuais que envolvem relações de espaço podem ser chamadas de ilusões geométricas.

Muitos artistas utilizam conhecimentos sobre as ilusões visuais em suas construções artísticas para produzir ilusões intencionalmente. Entretanto, em muitas situações, não há a intenção de provocar ilusões, mas algumas confusões podem acontecer por meio dos conhecimentos dos observadores. Veja.

Figura D

Com base na representação geométrica (figura D) e nos conhecimentos sobre poliedros, podemos dizer que se trata da representação de um tetraedro. No entanto, se utilizarmos nossos conhecimentos sobre polígonos, podemos dizer que a figura representa triângulos que formam outros. Assim, além da ilusão de óptica, que causa confusão propositalmente, podemos destacar as percepções confusas em representações geométricas que exploramos em nossas aulas.

99

Responda

Observe novamente as figuras A, B e C no texto e converse com seus colegas sobre as questões abaixo.

1. Quais desenhos podem ser visualizados na figura A?

2. O que acontece se você inclinar a cabeça para um dos lados ao olhar para a figura B?

3. Qual traço é maior na figura C?

Analise

1. Observe os segmentos de reta perpendiculares que foram representados ao lado. Qual deles tem maior medida de comprimento: o vertical ou o horizontal?

   _____

2. Qual figura geométrica a imagem abaixo pode representar? Compare sua resposta com a de um colega e justifique a sua.

   _____

Aplique

1. Escolha um poliedro ou um polígono e represente-o abaixo por meio de desenho. Depois, peça a um colega que descubra a figura representada.

   _____

2. Com base nas atividades apresentadas, elabore com seus colegas dicas que possam ajudar na representação de figuras geométricas planas ou figuras geométricas não planas.

100

Compreender informações

Ler e interpretar gráfico de linha

1. Clóvis é dono de uma loja que vende modelos de poliedros para escolas. Veja o gráfico de linha que ele construiu para mostrar a quantidade de modelos vendidos a cada mês de 2022.

Fonte: Administração da loja de Clóvis (jan. 2023).

1. Em qual mês Clóvis vendeu mais modelos? _____

2. E em quais meses ele vendeu menos? _____

3. A partir de qual mês as vendas mensais começaram a aumentar? _____

   d) Complete os quadros com os dados do gráfico.

Vendas no 1º trimestre

Janeiro: 350

Fevereiro: _____

Março: + 250

Total: _____

Vendas no 2º trimestre

Abril: _____

Maio: _____

Junho: + 50

Total: _____

5. Sabendo que, no 1º trimestre, Clóvis vendeu apenas modelos de cubos e, no 2º trimestre, apenas modelos de pirâmides, quantos modelos de cubos e de pirâmides foram vendidos no 1º semestre? _____

6. Quantos modelos foram vendidos no 1º semestre? _____

101

2. José fez um gráfico para mostrar a movimentação na primeira semana de fevereiro de 2023, em seu lava-rápido. Veja abaixo.

Fonte: Lava-rápido de José (fev. 2023).

Ele deseja fazer uma promoção para ter 20 lavagens a mais por dia nas segundas, terças e quartas-feiras. Nesses dias, José cobrará apenas 8 reais por lavagem.

1. Faça, no caderno, dois quadros: um que mostre o ganho diário atual (com preço de 10 reais cada lavagem) nesses três dias; e outro que mostre o ganho diário previsto com a promoção de 8 reais cada lavagem.

2. Com a promoção, qual é o aumento, em real, esperado nos ganhos de segunda a quarta-feira?

   _____

3. Se José fizesse a promoção apenas no fim de semana, qual seria o ganho diário previsto nos fins de semana? _____

   

4. Reúna-se com um colega para descobrir o que é mais vantajoso para José: fazer a promoção de segunda a quarta-feira ou no fim de semana? Depois, no caderno, escrevam um texto com a conclusão a que chegaram.

3. Laís fez 4 avaliações de Geometria, cada uma com 10 questões. Veja no quadro abaixo o total de acertos de Laís em cada uma dessas avaliações.

Quadro: equivalente textual a seguir.

1. Faça, em papel quadriculado, um gráfico que mostre o desempenho de Laís.

   

2. Converse com um colega sobre esse gráfico e, no caderno, escreva uma conclusão sobre o desempenho de Laís: ela melhorou ou piorou seus conhecimentos de Geometria? Em qual tema ela teve melhor desempenho?

102

O que você aprendeu

1. Assinale apenas as frases certas.

   ( ) Todas as faces dos poliedros são polígonos.

   ( ) Figuras geométricas arredondadas são poliedros.

   ( ) O cone e o cilindro são poliedros.

   ( ) Os prismas e as pirâmides são poliedros.

2. Observe a figura abaixo e responda à questão.

   Marque com X a figura a seguir que representa uma redução dessa figura.

( )

( )

( )

3. Leia o texto e responda à questão.

   Mariana e duas amigas estavam brincando com pedaços de corda. Depois, outras crianças chegaram para brincar também.

1. As figuras formadas com as crianças e os pedaços de corda lembram o contorno de polígonos. Quais são esses polígonos

   _____

2. A medida dos ângulos formados nessas figuras com a chegada de mais crianças aumentou ou diminuiu? _____

103

Avaliação processual

4. Na ordem em que aparecem representados, da esquerda para a direita, os triângulos abaixo são:

1. ( ) equilátero, escaleno e isósceles.

2. ( ) isósceles, equilátero e retângulo.

3. ( ) equilátero, isósceles e retângulo.

4. ( ) isósceles, equilátero e escaleno.

5. Desenhe três trapézios como o representado abaixo.

   

   Em cada trapézio, trace uma reta de modo que ela forme as duas figuras indicadas em cada caso.

   1. 2 trapézios.

_____

2. 2 triângulos.

_____

3. 1 trapézio e 1 triângulo.

_____

Autoavaliação

• Consigo classificar quadriláteros com base em suas características?

  

• Realizo ampliações e reduções de figuras sem deformá-las?