UNIDADE 2. As quatro operações

Objetivos da Unidade

• Reconhecer os termos das operações: adição, subtração, multiplicação e divisão.
• Resolver e elaborar problemas de adição e subtração com números naturais, utilizando estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos.
• Resolver e elaborar problemas de multiplicação e divisão com números naturais (com divisor natural e diferente de zero), utilizando estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos.
• Explorar sequências numéricas e determinar elementos ausentes.
• Resolver problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta entre duas grandezas (de comprimento, de tempo e de capacidade).
• Interpretar dados estatísticos apresentados em tabelas e gráficos.
• Explorar operações aritméticas por meio de uma situação de planejamento financeiro.
• Refletir sobre consumo e planejamento financeiro.

  Nesta Unidade, os estudantes voltam a ter contato com as quatro operações já estudadas em anos anteriores – adição, subtração, multiplicação e divisão –, ampliando o uso dos algoritmos usuais, o cálculo por estimativas e o cálculo mental.

  Nestas páginas, são apresentadas algumas situações que mobilizam os conhecimentos anteriores dos estudantes sobre as operações de adição, subtração e multiplicação. Dê-lhes um tempo para localizarem na ilustração os dados necessários para a resolução das questões e, a seguir, decidirem que operações conduzirão às respostas.

  BNCC em foco:

  EF05MA07, EF05MA08, EF05MA12, EF05MA24, EF05MA25

Incentive os estudantes a procurarem as personagens Beatriz, Marcos, Roberto e Vanessa na cena.

Para refletir...

Para responder à primeira questão, os estudantes devem observar as informações fornecidas: de manhã, 1.142 pessoas visitaram a festa junina; à tarde, compareceram mais 427 pessoas. Desse modo, para encontrar o total de pessoas que foram à festa, basta adicionar as quantidades de pessoas informadas nos dois períodos:

1.142 + 427 = 1.569

Na segunda questão, os estudantes devem buscar na cena a quantidade de votos que Beatriz recebeu e fazer uma subtração para encontrar a resposta:

1.540 – 620 = 920

Para responder à terceira questão, os estudantes devem buscar os valores unitários de cada doce (maçã do amor e pedaço de bolo) que a mãe de Francisco fez. Como as quantidades de doces (50 e 100) não são pequenas, espera-se que os estudantes utilizem multiplicações para obter a quantia arrecadada por cada tipo de doce. E, ao final, adicionem essas duas quantias. Assim:

• maçã do amor: 50 × 3 = 150
• pedaço de bolo: 100 × 4 = 400
• 150 + 400 = 550 (550 reais)

  Socialize as estratégias usadas pelos estudantes para responderem às questões. Momentos como esse contribuem para a aprendizagem, colocando-os em contato com diferentes estratégias.

Objetivo

• Resolver e elaborar problemas de adição e subtração com números naturais, utilizando estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos.

  Este é um jogo dinâmico que envolve os estudantes tanto na realização de suas próprias jogadas quanto na verificação do resultado obtido pelos adversários.

  À medida que vão, mentalmente, realizando os cálculos, com o objetivo de obter os números 0, 12 ou 24, ou, ainda, 13, 16 ou 19, os estudantes vão memorizando alguns resultados úteis para o cálculo mental em outras situações além do jogo.

  Variações

  Uma variação desse jogo seria acrescentar outras regras. Por exemplo: caso o jogador obtivesse o número 1 como resultado de uma subtração, ganharia 200 mangos; se ele obtivesse o número 5 (por adição ou subtração), ganharia 300 mangos.

  BNCC em foco:

  EF05MA07; competência geral 2; competência específica 3

Após os estudantes jogarem algumas vezes, proponha que, individualmente ou em duplas, respondam às questões.

Na questão 1, os estudantes devem perceber que podem obter 12 com as adições: 11 + 1; 10 + 2; 9 + 3; 8 + 4; 7 + 5; 6 + 6.

Na questão 2, espera-se que os estudantes percebam que a maior soma possível é 24 (obtida com 12 na carta virada e com 12 em uma carta azul, ou um curinga), e que o menor resultado possível é zero (obtido com uma carta vermelha com o mesmo número da carta virada, ou um curinga).

Na questão 3, os estudantes devem observar na imagem a carta que foi virada, que tem o número 7. Como, para ganhar 100 mangos, é preciso obter resultado 0, 12 ou 24, os estudantes devem perceber que o jogador precisa de uma carta azul com o número 5 ou de uma carta vermelha com o número 7, ou um curinga.

Na questão 4, os estudantes devem compreender que, para pegar 100 mangos de um adversário, devem obter um resultado igual a 13, 16 ou 19. Como na carta virada há o número 6, o jogador precisa de uma carta azul com o número 7 ou de uma carta azul com o número 10, ou um curinga. Nenhuma carta vermelha serve.

Na questão 5, no item a, um exemplo de explicação é: “Não, porque, com essas cartas, é possível apenas fazer subtrações, e não há número algum que possa ser subtraído das cartas de 1 a 12 cujo resultado seja 13, 16 ou 19. No item b, como as cartas de Paulo são vermelhas, ele deverá fazer subtrações. Então, para ganhar 100 mangos do banco, Paulo deverá virar uma carta comum dos seguintes números: 2, 4, 5, 8 ou 11.

BNCC em foco:

EF05MA07; competência geral 2; competência específica 3

Objetivos

• Reconhecer os termos da operação de adição.
• Resolver problemas de adição com números naturais, utilizando estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos.
• Interpretar dados estatísticos apresentados em tabela.

  As atividades destas páginas oferecem a oportunidade de identificar como os estudantes efetuam os cálculos de adição e socializam diferentes estratégias de resolução. Ao longo de todo o Ensino Fundamental, são propostos problemas que podem ser resolvidos por meio de uma ou mais adições com números naturais. Os enunciados vão se tornando mais complexos, abrangendo diferentes situações e números maiores que os usados anteriormente. Nessa etapa da escolarização, espera-se que os estudantes já tenham uma boa compreensão da estrutura do nosso sistema de numeração, pois os reagrupamentos são realizados com base nessa estrutura.

  Atividade 1

  Retome ou apresente, caso os estudantes ainda não conheçam, os termos que participam de uma adição e seu resultado. Utilize sempre a nomenclatura desses termos, para que aos poucos eles sejam incorporados.

  Para ampliar a atividade, proponha outras adições com números da classe dos milhares, para os estudantes resolverem pelo algoritmo usual.

  Por exemplo:

• 34.338 + 28.645 (62.983)
• 34.857 + 21.695 (56.552)
• 180.629 + 356.864 (537.493)

  BNCC em foco:

  EF05MA07, EF05MA24

  Sugestão de atividade

  Quadrado mágico

  Proponha aos estudantes que disponham os números de 1 a 9 no quadrado ao lado, de tal modo que a soma em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal seja sempre 15.

  Apresentamos abaixo um exemplo de resposta.

  Tabela: equivalente textual a seguir.

  2	7	6
  9	5	1
  4	3	8

  CRÉDITO: ADILSON SECCO

Atividade 2

A calculadora pode e deve ser usada em benefício do aprendizado, até mesmo em associação ao cálculo mental. Esta atividade é um desafio aritmético a ser resolvido na calculadora.

Atividade 3

Para fazer o cálculo aproximado, os estudantes podem recorrer a diferentes estratégias: observar que, para obter 2.100 reais a partir de 1.900 reais, faltam 200 reais; como João recebeu mais de 200 reais (790 reais), podem concluir que ele ficou com mais de 2.100 reais; observar que 1.900 reais é um valor que está próximo de 2.000 reais e que 790 reais está próximo de 800 reais, de modo que as duas quantias, juntas, totalizam aproximadamente 2.800 reais, valor superior a 2.600 reais.

Atividade 4

Os estudantes podem começar observando que o resultado da adição das unidades representadas pelas figuras amarelas é igual a um número cujo algarismo das unidades é igual a 1; por tentativas, ou por recorrência à memória, eles devem concluir que o triângulo corresponde ao algarismo 7, pois 7 + 7 + 7 = 21. Como as 2 dezenas de 21 são adicionadas às demais dezenas, concluem que o resultado da adição de 2 aos valores correspondentes das três figuras laranja é igual ao algarismo 5; isso só é possível se o valor correspondente à cada figura laranja for 1. A soma dos valores das três figuras azuis é 27, o que permite concluir que cada círculo corresponde ao algarismo 9, pois 9 + 9 + 9 = 27.

Ao pensar nos números que podem produzir a configuração apresentada, os estudantes exploram as regularidades do sistema de numeração decimal.

Para determinar o valor de cada figura, eles devem aplicar os conhecimentos que já têm a respeito da adição.

BNCC em foco:

EF05MA07

Atividade 5

Espera-se que os estudantes percebam que Gilberto não fez os reagrupamentos necessários. No caso do cálculo de Joana, espera-se que eles percebam que, embora ela tenha feito os registros como Gilberto, em seguida fez os reagrupamentos necessários. Assim, o cálculo correto é o de Joana.

Explicite aos estudantes os reagrupamentos feitos por Joana:

• 13 unidades correspondem a 1 dezena e 3 unidades, por isso ela reagrupou essa dezena com as 7 dezenas já determinadas, formando 8 dezenas;
• o mesmo raciocínio foi empregado para as centenas: como 12 centenas correspondem a 1 unidade de milhar e 2 centenas, ela reagrupou essa unidade de milhar com as 5 unidades de milhar já existentes, ficando com 6 unidades de milhar.

Objetivos

• Reconhecer os termos da operação de subtração.
• Resolver problemas de subtração com números naturais, utilizando estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos.
• Interpretar dados estatísticos apresentados em gráfico de barras.

  O objetivo das atividades destas páginas é retomar conceitos e procedimentos relacionados à subtração, com enunciados mais complexos e números de ordens de grandeza maiores que os trabalhados em anos anteriores. Os estudantes devem ser incentivados a fazer os cálculos por estratégias variadas.

  Atividade 1

  Retome ou apresente, caso os estudantes ainda não conheçam, os termos de uma subtração e seu resultado.

  Antes que os estudantes realizem os cálculos pelo algoritmo usual, peça que estimem os resultados.

  Lembre-os de que cada unidade de uma ordem pode ser trocada por 10 unidades da ordem imediatamente inferior. Por exemplo: 1 dezena por 10 unidades, 1 centena por 10 dezenas, 1 unidade de milhar por 10 centenas, 1 dezena de milhar por 10 unidades de milhar, e assim por diante.

  Atividade 2

  Esta atividade apresenta outro momento de exploração da calculadora. Sempre que possível, leve calculadoras para a sala de aula (ou peça aos estudantes que levem) para explorarem atividades desse tipo nas aulas que tratam das operações.

  Exemplo de resposta: Subtraí 10.000 de 12.500 e obtive 2.500 como resto. Depois, subtraí 800, obtendo um novo resto de 1.700. Então subtraí 22, e o resto foi 1.678.

  BNCC em foco:

  EF05MA07

Atividade 3

Para realizar a estimativa solicitada, os estudantes podem raciocinar assim:

• Se o percurso fosse de 3.008 metros, significaria que Sabrina tinha percorrido 1.000 metros na primeira etapa, pois: 1.000 + 2.008 = 3.008.
• Como o percurso foi de 3.108 metros, maior que 3.008 metros, pode-se concluir que Sabrina tinha nadado mais de 1.000 metros para completar 3.108 metros.

  Atividade 4

  No item a, se necessário, retome a noção de metade. Verifique que estratégias os estudantes utilizam para fazer a comparação com a metade.

• Eles podem decompor 2.150 em suas ordens para obter a metade: 2.150 = 2.000 + 100 + 50. Então, a metade dessa quantidade é: 1.000 + 50 + 25= 1.075.
• Eles podem decompor 2.150 em duas parcelas iguais: 2.150 = 1.075 + 1.075, ou seja, a metade de 2.150 é 1.075.
• Eles podem subtrair 1 235 de 2 150 para observar se obtêm um valor igual a 1.235: 150 − 1.235 = 915.
• Desse modo, podem concluir que 1.235 é mais da metade de 2.150.

  Há outras maneiras. Socialize com a turma os procedimentos utilizados.

  No item b, os estudantes devem verificar quantos livros ainda há para vender após as duas primeiras horas (2.150 − 1.235 =.915).

  Assim, podem concluir que após as duas primeiras horas foram vendidos 915 livros (o restante do que havia sido levado).

  Atividade 5

  Nesta atividade, os estudantes precisam ler os dados representados em um gráfico de barras, em que cada barra representa o número de internações realizadas em cada ano em um hospital. Depois da resolução, peça que elaborem outra questão com base nos dados do gráfico, para que um colega a responda.

  BNCC em foco:

  EF05MA07, EF05MA24

Objetivo

• Resolver e elaborar problemas de adição e subtração com números naturais, utilizando cálculo por estimativa e cálculo mental.

  Como os procedimentos de cálculo não devem ser limitados aos cálculos escritos e exatos, o objetivo destas páginas é incentivar também a realização de cálculos mentais e estimativas, tanto em adições quanto em subtrações.

  Atividade 1

  Os estudantes podem observar na ilustração que os comprimentos indicados nos caminhos amarelo e roxo são menores do que os indicados nos caminhos laranja e azul e, assim, concluir que a soma dos dois comprimentos menores será menor que a soma dos comprimentos maiores.

  Atividade 2

  Organize os estudantes em duplas. Verifique se eles apresentam outras maneiras de calcular mentalmente o resultado de 3.700 + 2.600 e valide as estratégias de cálculo apresentadas.

  Ao buscar estratégias pessoais ou analisar as estratégias de outros, os estudantes podem ampliar o repertório de estratégias de cálculo mental e de estimativas. As aproximações e os arredondamentos trabalhados em momentos anteriores também contribuem para a realização dos cálculos solicitados.

  Atividade 3

  Promova uma roda de conversa para os estudantes compartilharem as estratégias usadas. Uma possibilidade é formar dezenas ou centenas inteiras para calcular o resultado das operações apresentadas. Observe se eles são capazes de adicionar as parcelas em uma ordem diferente das que foram apresentadas. Por exemplo, no item a, 15 + 3 + 17, os estudantes podem adicionar 3 a 17 para obter 20 e então adicionar 15 para obter 35 (em vez de adicionar 15 a 3, obtendo 18, e adicionando a 17 para chegar a 35).

  É importante insistir em que os procedimentos de cálculo mental sejam baseados nas propriedades aritméticas. Em hipótese alguma o cálculo mental deve ser entendido como “algoritmo na cabeça”.

  Por isso é fundamental oferecer aos estudantes várias situações que favoreçam a busca e a escolha de estratégias pessoais, assim como oportunidades de discussão e trocas de ideias. Então, não se deve ensinar estratégias. Somente produzindo as próprias estratégias de cálculo é que os estudantes conseguem atribuir significado a esses cálculos.

  BNCC em foco:

  EF05MA07

Atividade 4

Oriente os estudantes a observarem a ordem de grandeza dos números envolvidos para então escolherem a melhor estratégia de arredondamento.

No item b, é provável que arredondemos números para a centena mais próxima, ordem mais alta do menor número, correspondente ao preço da televisão.

Atividade 5

Depois de os estudantes trocarem e resolverem os problemas, peça a cada um que apresente na lousa a resolução e a estratégia empregada para que os demais façam a validação, sob sua orientação.

Desafio

Eis uma adaptação de um problema clássico da Matemática. Para resolvê-lo, é preciso observar quais combinações podem ser feitas, uma vez que a soma das massas não pode ultrapassar 140 kg. Muitos estudantes observarão que o homem de 100 kg deve ficar sozinho no barco, pois não poderá ser transportado com nenhum dos outros dois, que têm 50 kg e 80 kg. O desafio é, portanto, organizar as viagens para que o barco possa ir e voltar de uma margem à outra. É natural que eles tentem fazer com que o homem de 100 kg seja o primeiro a chegar ao outro lado do rio. Devem observar, no entanto, que não é uma boa opção, uma vez que, se na primeira viagem o barco atravessar o rio com apenas um homem, esse mesmo homem precisará levar o barco para os outros dois. Assim, devem perceber que a 1ª viagem será com os homens de 50 kg e 80 kg. O retorno à margem de partida pode ser com qualquer deles, desde que este fique na margem de partida e o barco retorne somente com o de 100 kg. Finalmente, o homem que, após a 1ª travessia, ficou aguardando, agora deverá voltar e buscar o amigo.

Então, a quantidade mínima de viagens necessárias será 5.

A descrição das 5 viagens (menor quantidade possível):

1ª viagem: vão os homens de 50 kg e 80 kg; 2ª viagem: volta o homem de 80 kg; 3ª viagem: vai o homem de 100 kg; 4ª viagem: volta o homem de 50 kg; 5ª viagem: vão os homens de 50 kg e 80 kg; ou, então,

1ª viagem: vão os homens de 50 kg e 80 kg; 2ª viagem: volta o homem de 50 kg; 3ª viagem: vai o homem de 100 kg; 4ª viagem: volta o homem de 80 kg; 5ª viagem: vão os homens de 50 kg e 80 kg.

BNCC em foco:

EF05MA07

Objetivos

• Reconhecer os termos da operação de multiplicação.
• Resolver e elaborar problemas de multiplicação com números naturais, utilizando estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos.

  As atividades destas páginas buscam retomar e ampliar o algoritmo usual da multiplicação com números de 2 e de 3 algarismos.

  Atividade 1

  Apresente os termos da multiplicação e seu resultado. Sempre que possível, utilize a nomenclatura desses termos para que os estudantes possam, aos poucos, apropriar-se deles.

  Reproduza na lousa todas as etapas do algoritmo usual apresentado nesta atividade, para que os estudantes possam acompanhar passo a passo.

  Atividade 2

  Aproveite esta atividade para observar o grau de desenvoltura dos estudantes com o algoritmo usual da multiplicação que envolva fatores de 2 ou 3 algarismos.

  BNCC em foco:

  EF05MA08

  Sugestão de leitura para o professor

  Artigo

  MAGINA, Sandra; SANTOS, Aparecido dos; MERLINI, Vera. Comparação multiplicativa: a força que a expressão exerce na escolha das estratégias de resolução dos estudantes. Disponível em:

  https://xiii.ciaem-redumate.org/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/448/337 . Acesso em: 29 mar. 2021.

  O artigo apresenta dados de uma pesquisa realizada com estudantes de 3º e 5º anos a respeito das estratégias utilizadas em problemas do campo multiplicativo. Os autores enfatizam a importância das consignas e a influência de algumas expressões na escolha das estratégias de resolução dos estudantes. Esses estudos auxiliam a prática na formulação de novas situações-problema e na compreensão das diferentes ideias envolvidas na multiplicação e na divisão.

Atividade 3

No item a, os estudantes devem verificar que o cálculo de Luana resulta em 240 reais e o cálculo de Vítor resulta em 480 reais.

No item b, espera-se que os estudantes percebam que 12 está mais próximo de 10 do que de 20; portanto, o cálculo de Luana está mais próximo do valor real a ser pago do que o cálculo de Vítor.

Verifique as estratégias utilizadas pelos estudantes ao responderem o item c, socialize-as e valide-as com a turma.

Atividade 4

Antes de os estudantes realizarem o item a, pode-se propor que realizem a multiplicação 18 × 32 pelo algoritmo usual.

Explore a situação perguntando: “De que outra maneira Giovana poderia ter resolvido esse problema?”. Outra maneira possível seria fazer a multiplicação 20 × 32 e depois subtrair 32 duas vezes.

No item b, espera-se que os estudantes percebam que, ao calcular o resultado de 19 × 32, são acrescentadas 32 unidades ao resultado que seria obtido na multiplicação 18 × 32. Por isso, Giovana subtraiu 32 ao final para compensar esse acréscimo.

BNCC em foco:

EF05MA08

Atividade 5

Depois de os estudantes resolverem a atividade, peça que discutam com os colegas outro modo de calcular, expondo suas opiniões. Algumas vezes, é difícil para eles expressarem o raciocínio empregado em um cálculo. Por isso, devem ser incentivados a exporem suas ideias e a conhecerem outras possibilidades de resolução. Um cálculo possível é:

• como 174 = 100 + 70 + 4, calculamos 123 × 100 = 12.300; 123 × 70 = 8.610 e 123 × 4 = 492; depois, adicionamos esses produtos (12.300 + 8.610 + 492), obtendo 21.402.

  Atividade 6

  Os estudantes devem considerar uma mercadoria e um valor próximo ao preço real para determinar a quantidade de parcelas e seu valor. Ao elaborar a pergunta, eles devem considerar que a multiplicação será usada para respondê-la. Aproveite o momento para conversar sobre os diferentes problemas elaborados e as estratégias usadas na resolução.

  Atividade 7

  Se julgar necessário, retome os conceitos de par e ímpar. Os estudantes podem resolver por tentativas, mas incentive-os a organizarem algumas hipóteses sobre os fatores:

• Os fatores podem ser maiores que 20? Por quê? (Não, pois o produto é 20.)
• Procure duplas de números naturais que multiplicados resultem 20. (Possibilidades: 1 e 20, 2 e 10, 4 e 5.)
• Quais dessas duplas são formadas por dois números pares? (Apenas 2 e 10.)

  Assim, os estudantes podem concluir que os fatores são 2 e 10 e compor: 2 × 10 = 20 ou 10 × 2 =20.

  Atividade 8

  Veja se os estudantes entenderam a estratégia usada. Permita que troquem ideias sobre isso e, se julgar conveniente, proponha outras multiplicações para que resolvam mentalmente.

  BNCC em foco:

  EF05MA08

Objetivo

• Resolver problemas de divisão com números naturais (com divisor natural e diferente de zero), utilizando estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos.

  Fique atento à linguagem empregada em um cálculo de divisão, usando o nome das ordens envolvidas em cada etapa. Ao apresentar o algoritmo usual, explique o uso do arco sobre alguns algarismos no dividendo.

  Atividade 1

  Retome (ou apresente) os termos da divisão. Procure usar essa nomenclatura para que os estudantes se apropriem dela.

  Na divisão de 139 por 4, por exemplo, como não podemos dividir 1 centena por 4 e obter um quociente natural, colocamos zero no quociente (pois 1 já seria muito) e continuamos a divisão, transformando essa 1 centena em 10 dezenas e adicionando-as às 3 dezenas já existentes. Por isso, na sequência, aparece um arco no 13, indicando que consideramos agora 13 dezenas para dividir por 4. Ressalte a importância de colocar no quociente a indicação da ordem a que corresponde o algarismo inserido em cada etapa. Como 13 dezenas dividido por 4 resulta 3 dezenas com resto de 1 dezena, no quociente da chave, devemos colocar 3 na casa das dezenas, de modo que os estudantes já podem concluir que o quociente é um número de 2 algarismos, pois será composto de dezenas e de unidades (nas centenas temos zero, que não será considerado). Optamos por colocar o zero à esquerda no quociente para que fique clara a necessidade da troca de 1 centena por 10 dezenas. Ao usar o zero à esquerda, fica mais fácil a compreensão do zero intercalado no quociente. Conforme os estudantes forem dominando as operações pelo algoritmo, esse zero à esquerda deixará de ser necessário.

  BNCC em foco:

  EF05MA08

Atividade 2

Esta é uma ótima oportunidade para verificar as estratégias de cálculo dos estudantes. Aproveite para verificar se eles percebem que, quando o resto for diferente de 0, só poderá ser um número menor que o divisor.

Atividade 3

Promova uma roda de conversa para os estudantes compartilharem as estratégias usadas.

Atividade 4

Para o item a, uma resposta possível é: Porque 500 dividido por 5 é igual a 100, e, como 520 é maior que 500, o número de sacos de que Rodrigo precisa será maior do que 100.

Atividade 5

Esta atividade possibilita aos estudantes reconhecerem a importância de usar as indicações das ordens correspondentes no quociente da divisão. Ao dividir 1 unidade de milhar por 5, não se obtêm unidades de milhar inteiras, então coloca-se zero no quociente. Ao dividir 10 centenas por 5, obtêm-se 2 centenas e sobra zero centena. Desse modo, temos apenas as 2 dezenas já existentes para dividir por 5, que não resulta em dezenas inteiras, por isso coloca-se zero no quociente e consideram-se 20 unidades, que, divididas por 5, resultam em 4 unidades, formando o quociente 204. Nessa etapa (2 dezenas divididas por 5) é comum que alguns estudantes nada escrevam no quociente e dividam 20 por 5 diretamente, chegando ao quociente 24, que não é correto.

BNCC em foco:

EF05MA08

Objetivos

• Resolver problemas de divisão com números naturais (com divisor natural e diferente de zero), utilizando estratégias diversas.
• Interpretar dados estatísticos apresentados em tabela.

  O algoritmo usual baseia-se na compreensão do sistema decimal de numeração, em particular dos reagrupamentos feitos pelas trocas. Se houver disponibilidade, use o Material Dourado para evidenciá-las.

  Atividade 1

  O algoritmo usual é detalhado, para que os estudantes possam ter clareza de cada passo dele.

  Nesse caso, como os quocientes parciais devem ser multiplicados por divisor com 2 algarismos. É fundamental que os estudantes realizem essas multiplicações mentalmente ou as registrem no papel. Por exemplo, em 819 ÷ 13, a divisão de 81 dezenas por 13 exige que se determine o número que deve multiplicar 13 de modo que se aproxime mais de 81, sem ultrapassá-lo. Isso exige algumas tentativas (mentais ou escritas) até que se verifique que 6 é o quociente procurado, pois 6 × 13 = 78 e 7 × 13 = 91.

  Aproveite as etapas do algoritmo usual para estabelecer relação com a divisão por estimativas, mostrando que, por exemplo, o primeiro algarismo diferente de zero obtido no quociente, 6 (dezenas), indica a melhor estimativa com dezenas inteiras para essa divisão.

  Quando se faz um arco sobre o 81 no número 819, não se está modificando esse número, ou reduzindo-o a 81, mas apenas considerando uma parte desse número. Isso ocorre por não ser possível dividir 8 centenas por 13 e obter centenas inteiras. Coloca-se, então, zero no quociente e dividem-se 81 dezenas.

  BNCC em foco:

  EF05MA08

Atividade 2

Incentive os estudantes a realizarem as divisões desta atividade por dois métodos: por estimativas e pelo algoritmo usual. Por exemplo, a divisão de 853 por 24 pode ser feita assim:

Os estudantes devem verificar que os resultados são os mesmos que os obtidos com o algoritmo usual. No item d, caso encontrem dificuldades, explique que, como não conseguimos dividir 1 unidade de milhar por 25 e obter unidades de milhar inteiras, colocamos zero na casa das unidades de milhar no quociente e tentamos dividir 15 centenas; como também não conseguimos dividir 15 centenas por 25 e obter centenas inteiras, colocamos outro zero na casa das centenas no quociente e consideramos 150 dezenas, que com as 7 dezenas já existentes formam 157 dezenas. Um arco é colocado em 157 para indicar isso.

Atividade 3

Incentive os estudantes a usarem mais de uma estratégia em seus cálculos e a socializarem-nas com os colegas, sob sua orientação.

Atividade 4

No item b, espera-se que os estudantes compreendam que, se a quantidade de caixas (divisor) vai ser diminuída para 12, a quantidade de pêssegos em cada caixa (quociente) aumentará. Assim, uma maneira de resolver a questão é calcular o novo quociente (para 12 caixas) e encontrar a diferença em relação ao quociente já obtido (para 18 caixas).

Dividindo 1.044 por 12, obtém-se quociente 87, que indica o total de pêssegos de cada caixa. Logo, foram colocados 29 pêssegos a mais (87 − 58).

BNCC em foco:

EF05MA08

Atividade 5

Espera-se que os estudantes percebam que, embora a divisão de 540 por 42 dê quociente 12 (total de ônibus com lotação máxima), a quantidade mínima de ônibus deve ser 13, para levar os 36 torcedores que sobraram (resto da divisão).

Atividade 6

Esta atividade mobiliza outros tipos de conhecimento dos estudantes além de cálculos de divisão, como a leitura de dados organizados em tabela.

Atividade 7

Esta atividade trabalha divisão, além de outros conhecimentos como noções de geometria (cubo/aresta) e medidas de comprimento (centímetro).

Atividade 8

Uma possível resposta para essa atividade é: Augusto pode subtrair 50 de 650 seguidamente, até o resultado ser igual a zero, ou até quando não for mais possível realizar a subtração. O resultado será o número de vezes que ele subtrair 50, ou seja, 13 vezes.

Outra maneira de obter esse quociente é fazer aproximações por meio de multiplicações do resultado 650. Os estudantes podem multiplicar, por exemplo, 6 × 50, obtendo 300; então, podem tentar 10 × 50, obtendo 500, e assim por diante, fazendo novas tentativas até chegar a 13 × 50, que resulta em 650. Peça que comparem suas estratégias e discutam os resultados observados.

BNCC em foco:

EF05MA08, EF05MA24

Objetivos

• Resolver problemas de multiplicação e divisão com números naturais (com divisor natural e diferente de zero), utilizando cálculo por estimativa e cálculo mental.
• Resolver problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta entre duas grandezas (de comprimento, de tempo e de capacidade).
• Resolver problemas de adição e subtração com números naturais, utilizando estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos.

  Para desenvolver procedimentos de cálculo, é necessário conhecer propriedades, tanto do nosso sistema de numeração quanto das operações. Por vezes, estudantes dessa idade têm dificuldade em comunicar o raciocínio, por isso devem ser incentivados a exporem com clareza suas ideias e a conhecerem outras possibilidades de resolução.

  Atividade 1

  Os estudantes devem usar o recurso da decomposição de um dos fatores para calcular o produto. É também apropriado levá-los a calcularem mentalmente com números múltiplos de 10, 100, 1.000 etc.

  Atividade 2

  A estratégia é trabalhar a multiplicação, operação inversa da divisão. Para esta atividade, é necessário que os estudantes já tenham bastante familiaridade com as listas de multiplicação de 1 a 10, pois, após o arredondamento dos números envolvidos na divisão, devem procurar nas listas de multiplicação a quantidade mais apropriada para a situação.

  BNCC em foco:

  EF05MA08

Atividade 3

Para o item a desta atividade, uma possível resposta é: 400 ÷ 4 = 100 e 480 ÷ 4 = 120. Então, 476 ÷ 4 tem quociente entre 100 e 120. Isso significa que o valor da prestação está entre 100 reais e 120 reais.

Para o item b, os estudantes podem efetuar a divisão 476 ÷ 4 = 119 ou, ainda, fazer outras multiplicações até obterem 476, observando as divisões feitas nas estimativas (119 × 4 = 476).

Atividade 4

Os estudantes devem perceber qual é a relação estabelecida entre os quilômetros para repetir proporcionalmente o aumento do tempo e a quantidade consumida de litros de etanol. Na exploração dos dados, é possível perceber que os 9 quilômetros são multiplicados por 3 para a obtenção dos 27 quilômetros. Desse modo, os 6 minutos e 1 litro de etanol também devem ser multiplicados por 3. Depois, observando o tempo já registrado, pode-se perceber que os 6 minutos são multiplicados por 10 para a obtenção dos 60 minutos. Assim, deve-se fazer o mesmo com os quilômetros e litros correspondentes. Por fim, observando as quantidades de litros já conhecidas, pode-se perceber que 1 litro é multiplicado por 7 para a obtenção dos 7 litros. E, assim, fazemos o mesmo com os quilômetros e os minutos correspondentes.

BNCC em foco:

EF05MA08, EF05MA12

Atividade 5

Nesta atividade, os estudantes precisarão utilizar estratégias de cálculo usando as quatro operações para responder ao comando. Para encontrar os resultados, é necessário relembrar o conceito de dobro e de metade. A proposta pode ser adaptada com diferentes comandos, como triplo, terça parte, a operação que gere o número que está em destaque etc.

Sugestão de atividade

Divisão enigmática

Na divisão “enigmática” abaixo, cada símbolo representa um algarismo diferente. Descubra o algarismo correspondente a cada símbolo.

÷ 6 = 76, com resto igual a 0.

Resposta:

= 4

= 5

= 6

Espera-se que os estudantes percebam que o dividendo é um número de 3 algarismos. Eles devem perceber que, se o quociente é 76 e o divisor é 6 (com resto zero), é porque 76 × 6 resulta no dividendo desconhecido. Assim, podem concluir que basta efetuar essa multiplicação para obter o dividendo e, daí, obter o valor de cada símbolo.

Então, como 76 × 6 = 456, obtém-se que a figura triangular vale 4, a figura quadrada vale 5 e a figura circular, 6.

Se julgar necessário, peça aos estudantes que montem o esquema da chave para que percebam a relação da multiplicação envolvida. Pode-se propor outros números para a realização da atividade.

BNCC em foco:

EF05MA07, EF05MA08

Objetivos

• Resolver e elaborar problemas de adição e subtração com números naturais, utilizando estratégias diversas.
• Resolver e elaborar problemas de multiplicação e divisão com números naturais (com divisor natural e diferente de zero), utilizando estratégias diversas.
• Explorar sequências numéricas e determinar elementos ausentes.

  Atividade 1

  Verifique se os estudantes identificam e compreendem o padrão de formação indicado para cada sequência. Observe os procedimentos que eles usam ao buscar os elementos desconhecidos. Se necessário, reproduza cada sequência na lousa com os estudantes.

  Atividade 2

  No item a, espera-se que os estudantes compreendam que adicionar 10 a um número e logo em seguida subtrair 4 do total obtido é o mesmo que adicionar 6 a esse número; por isso, as sequências numéricas são iguais.

  No item b, é provável que os estudantes usem adição e subtração. Incentive-os a utilizarem também multiplicações e divisões. Socialize as sequências criadas.

  BNCC em foco:

  EF05MA07

Atividade 3

Verifique se os padrões criados pelos estudantes fazem sentido. Por exemplo, alguns deles podem pensar nesta sequência: 1, 3, 6, 1, 3, 6, 1, 3, 6, ... No entanto, para desafiá-los, caso já não tenha surgido, proponha que descubram um padrão envolvendo adições. Espera-se que observem na sequência 1, 3, 6, ... o seguinte padrão:

1º termo: 1

2º termo: 3 = 1 + 2

3º termo: 6 = 3 + 3

Desse modo, os três próximos termos serão:

4º termo: 6 + 4 = 10

5º termo: 10 + 5 = 15

6º termo: 15 + 6 = 21

Assim, formarão a sequência: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

Atividade 4

Comente com os estudantes que kart é uma modalidade de automobilismo que envolve veículos de quatro rodas, com um único assento. Ao observarem o tempo, em minuto, em que cada kart passa pelo início da pista, no item a, os estudantes poderão concluir os momentos em que os karts de Thaís e Eduardo se encontram. Assim, devem observar que depois de 6 minutos da partida eles se encontraram pela primeira vez no início da pista (item b).

No item c, espera-se que os estudantes respondam sim, pois eles se encontram depois de: 6 minutos, 12 minutos, 18 minutos, 24 minutos, e assim por diante. Como explicação, alguns poderão dizer que escreveram os próximos termos das sequências até concluírem que 24 pertence às duas sequências. Caso algum estudante justifique sua resposta por meio da observação das regularidades das sequências, peça que compartilhe-a com os demais colegas.

BNCC em foco na dupla de páginas:

EF05MA07, EF05MA08

Sugestão de atividade

“Mágica” na calculadora

Com uma calculadora em mãos, os estudantes devem digitar as teclas:

CRÉDITO: ADILSON SECCO

Eles devem observar os números que vão aparecendo no visor. Explique que a tecla de igualdade é denominada tecla inteligente, porque “guarda” a última operação e a repete.

Portanto, os números que vão aparecendo no visor representam a sequência dos números naturais a partir do 2.

Proponha outras teclas de modo que surjam sequências diferentes para que os estudantes identifiquem seus termos, por exemplo:

CRÉDITO: ADILSON SECCO

Nesse caso, a operação que está sendo “guardada” é + 2 e, portanto, os números que vão aparecendo no visor representam a sequência dos números naturais pares a partir do 2.

Atividade 5

Peça aos estudantes que compartilhem e justifiquem suas respostas. Em seguida, oriente-os a descreverem qual foi o erro cometido por Joana ao construir a sequência. Espera-se que percebam que Joana alternou o número adicionado, ora 10, ora 12.

Atividade 6

Esta atividade trabalha com as ideias de divisão exata e divisão não exata.

Pode-se pedir a alguns dos estudantes que exponham modos de resolução do item b. Vejamos algumas possibilidades:

• Fazer os desenhos dos vasos até o vaso de número 38 e, seguindo o percurso da abelha, que pousa sempre de três em três vasos, chegar até o vaso de número 36.
• Observar uma regularidade nos números correspondentes aos vasos em que a abelha pousa: são todos números resultantes de multiplicações do tipo “vezes 3”. Apenas o número 36 tem essa mesma característica.
• Observar que os números 0, 3, 6, 9 e 12 podem ser divididos por 3 sem deixar resto. Isso ocorre porque 3 cabe um número exato de vezes em cada um deles. Testando os números 36, 37 e 38, notamos que apenas 36 também pode ser dividido por 3 sem deixar resto.

  Se julgar oportuno, explique que números desse tipo são chamados de múltiplos de 3.

Objetivo

• Resolver problemas envolvendo as quatro operações, utilizando estratégias diversas.

  Os problemas podem ser resolvidos por tentativas e análise de erros, fundamental para que não se use uma estratégia totalmente aleatória, em que o acerto aconteça por sorte.

  Problema 1

  Sabendo que Enzo fez 24 pontos e acertou 6 argolas amarelas, temos:

  6 × 2 pontos = 12 pontos

  Como Enzo fez ao todo 24 pontos e acertou argolas amarelas (12 pontos) e argolas azuis, fazendo 24 − 12 = 12, obtemos a quantidade de pontos que ele fez com as argolas azuis: 12 pontos. Como cada argola azul vale 3 pontos, fazemos 12 ÷ 3 = 4. Assim, Enzo acertou 4 argolas azuis.

  Problema 2

  Com a informação de que nem Viviane nem Lara tem mais de 6 irmãos, começamos as tentativas. Com base na fala de Viviane, sabemos que ela tem 1 irmão a menos que Lara:

  Tabela: equivalente textual a seguir.

  Número de irmãos de Lara	6
  Número de irmãos de Viviane	5
  Número de irmãos de Lara se tivesse mais 2 irmãos	8

  Conclusão: 8 não é o dobro de 5. Então, essa não é a solução.

  Continuamos as tentativas, diminuindo o valor até testar o valor 4:

  Tabela: equivalente textual a seguir.

  Número de irmãos de Lara	4
  Número de irmãos de Viviane	3
  Número de irmãos de Lara se ela tivesse mais 2 irmãos	6

  Como 6 é o dobro de 3, essa é a solução.

  BNCC em foco na dupla de páginas:

  EF05MA07, EF05MA08

Para refletir Atividades 1, 2 e 3

Em uma roda de conversa, analise com os estudantes os cálculos de Pedro e Bianca, na atividade 1, e as frases da atividade 2.

O aspecto mais interessante da atividade 3 é levar os estudantes a perceberem quais são as limitações do problema 2 que justificam a impossibilidade das respostas apresentadas como erradas. Vale notar que os estudantes só compreendem de fato um problema depois desse tipo de análise. Então, um caminho é analisar respostas impossíveis antes de encontrar soluções corretas, porque essa análise gera informações que conduzem à resposta correta.

Os estudantes devem perceber que a resposta da estudante é errada porque nenhuma das duas meninas tem mais de 6 irmãos; e a resposta do estudante está errada porque a diferença entre as duas quantidades de irmãos é de 1 unidade.

Aproveitando os problemas apresentados, peça aos estudantes que, em duplas, modifiquem o problema 1 de modo que a resposta seja “6 argolas azuis”, e o problema 2 para que a resposta seja “Viviane tem 4 irmãos e Lara tem 6 irmãos”.

Exemplo de respostas:

• Problema 1: Enzo fez 30 pontos no total.
• Problema 2: Nenhuma menina tem mais de 6 irmãos.

  Viviane: “Se eu tivesse mais 2 irmãos, passaria a ter a mesma quantidade de irmãos que Lara tem.”

  Lara: “Se eu tivesse menos 4 irmãos, teria a metade da quantidade de irmãos que Viviane tem.”

Objetivos

• Organizar dados coletados por meio de tabelas e gráfico pictórico.
• Interpretar dados apresentados em gráfico de colunas duplas.
• Apresentar texto escrito sobre a síntese dos resultados de uma pesquisa.

  Atividade 1

  Para preencher a tabela do item a, os estudantes devem atentar para o fato de cada traço indicar 10 votos. Se julgar necessário, explore com eles os dados que a tabela apresenta. Ressalte que a quantidade de votos corresponde à frequência de cada tipo de leitura citado.

  No gráfico pictórico do item b, espera-se que os estudantes percebam que cada livro corresponde a 20 votos. Verifique se eles fazem relação com os dados da tabela. Peça que exponham como pensaram para completar o gráfico. Explore com os estudantes as frequências de cada tipo de leitura.

  Discuta as demais questões em uma roda de conversa, incentivando a exposição das ideias, a fim de que justifiquem as respostas e as estratégias de cálculo mental, e também comparem as soluções para ampliar o repertório.

  Pode-se propor essa mesma pesquisa na classe, pedindo a um estudante que registre na lousa o resultado da votação. Depois de finalizada a atividade, peça aos estudantes que organizem os dados da pesquisa feita em classe em um gráfico pictórico. Socialize e discuta com eles cada gráfico. Peça a eles que comparem os resultados da pesquisa com os do livro.

  BNCC em foco:

  EF05MA25

Atividade 2

Nesta atividade, é apresentado um gráfico de colunas duplas com dados sobre as faltas dos estudantes no primeiro trimestre de um ano, mostrando quantas faltas são dos meninos e quantas são das meninas em cada mês. Os estudantes devem observar e discutir com os colegas acerca dos elementos do gráfico (item a). Eles podem reconhecer o título “Faltas dos estudantes no 1 º trimestre”, que indica do que se trata o gráfico, a fonte dos dados “Turma da professora Paula (maio 2023)” e as informações das colunas, que correspondem aos primeiros 3 meses do ano, e suas alturas, às quantidades de faltas. Espera-se que os estudantes reconheçam que as colunas amarelas referem-se às faltas das meninas e que as colunas verdes referem-se às faltas dos meninos dessa turma.

Outro aspecto desta atividade é exigir a correta interpretação dos dados apresentados no gráfico para sua transcrição em uma tabela de dupla entrada (item b). Nesse exercício de transposição, os estudantes já obtêm subsídios para resolver as questões subsequentes (itens de c até e), fazer diferentes comparações e tirar conclusões.

No item e, espera-se que os estudantes identifiquem que foram as meninas quem mais diminuíram o número de faltas nesse período, pois foram de 7 faltas para 1 falta, enquanto os meninos foram de 8 para 4 faltas.

BNCC em foco:

EF05MA24, EF05MA25

Os gráficos de colunas já são conhecidos pelos estudantes como forma de organizar e representar dados numéricos. Esta atividade envolve gráficos de colunas duplas, em que cada coluna é identificada por uma cor e pela respectiva legenda. Esse recurso oferece a possibilidade de comparar duas categorias em um mesmo gráfico. Os estudantes devem perceber que a observação de cada eixo (horizontal e vertical), bem como da legenda, é fundamental para a compreensão desses gráficos.

Aproveite o momento da atividade 2 e converse com os estudantes sobre as faltas deles. Peça que listem alguns motivos importantes para não faltarem sem necessidade. Exemplo de resposta: perder a explicação do conteúdo; não participar das atividades com os colegas etc.

Objetivo

• Retomar os conceitos estudados.

  A seção possibilita a sistematização dos conceitos desenvolvidos ao longo da Unidade, além de ser um instrumento para avaliação formativa.

  Atividade 1

  Espera-se que os estudantes respondam, por um cálculo aproximado, que sim. Fazendo uma estimava do total que os dois têm juntos já é possível responder à questão: 1.300 + 590 = 1.890. Juntos eles têm uma quantia maior que o valor dessa máquina de lavar roupas.

  Atividade 2

  Explore a atividade perguntando aos estudantes: “Considerando que Rafael usou apenas um dos salários (2.030 reais) para o pagamento do aluguel e despesas de alimentação (1.684 reais), quanto resta desse salário?” (346 reais.) “E quanto resta no total?” (1.631 reais.)

  Atividade 3

  A leitura de tabelas é uma habilidade importante para o desenvolvimento geral do raciocínio matemático. Os estudantes devem ler e completar uma tabela de dupla entrada e observar que ela apresenta as informações relacionadas à idade dos habitantes de um município em duas faixas etárias. Além disso, há uma classificação com relação ao gênero: “masculino” ou “feminino”. As questões devem ser resolvidas por meio de cálculos de adição e de subtração.

  Abordar as diversas ideias do campo aditivo nas atividades possibilita que os estudantes desenvolvam de maneira integrada as habilidades relacionadas a essas operações, que deixam de ser vistas como operações isoladas.

  É importante estimular que eles selecionem o caminho mais adequado para a resolução, explorando diferentes estratégias de cálculo. Pode-se aproveitar essa série de atividades para avaliar como os estudantes avançaram nos procedimentos de cálculo e em que pontos ainda apresentam alguma dificuldade.

  BNCC em foco:

  EF05MA07, EF05MA24

Atividade 4

Esta atividade explora a multiplicação envolvendo um fator de 4 algarismos e outro de 2 algarismos. Deixe que os estudantes escolham a estratégia que quiserem para realizarem o cálculo. Socialize e valide as diferentes estratégias utilizadas. Apresente o algoritmo usual na lousa como mais uma estratégia possível, verificando e sanando possíveis dúvidas que os estudantes ainda apresentem.

Atividade 5

Explore as diferentes resoluções da atividade, pedindo a alguns estudantes que escrevam na lousa como pensaram, de modo que os demais possam validar as estratégias utilizadas.

Atividade 6

Esta atividade explora uma divisão em que o dividendo tem 4 algarismos e o divisor é um número de 2 algarismos. Os estudantes podem realizar o cálculo com a estratégia que preferirem. Espera-se, porém, que o algoritmo usual seja utilizado por algum dos estudantes. Se ele não aparecer, apresente-o na lousa, verificando e sanando possíveis dúvidas. Ao final, peça que refaçam a divisão usando um procedimento diferente daquele já utilizado por eles.

Atividade 7

Em uma roda de conversa, peça aos estudantes que exponham suas ideias e as sequências que montaram. A cada sequência apresentada, os demais estudantes devem descobrir o padrão de formação antes de o estudante que a criou dar sua explicação.

BNCC em foco:

EF05MA07, EF05MA08

Autoavaliação

Na primeira questão, os estudantes poderão observar algumas atividades em que os algoritmos tenham sido utilizados para verificar se compreendem as regras de funcionamento. Enfatize que há outras formas de realizar os cálculos, mas o objetivo agora é avaliar como estão os procedimentos no tipo de algoritmo utilizado na unidade.

Na segunda questão, os estudantes poderão verificar seus conhecimentos iniciais algébricos, analisando quanto conseguem identificar padrões e regularidades em sequências com diferentes tipos de intervalos.