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Capítulo 3 Figuras geométricas espaciais

Trocando ideias

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

No nosso dia a dia, podemos observar elementos da natureza, objetos e construções de diferentes formatos. Algumas frutas, como a laranja, se parecem com uma esfera; uma árvore conífera, como o próprio nome sugere, se parece com um cone; as colunas de alguns edifícios são parecidas com cilindros.

Fotografia. Uma laranja em fundo branco. Abaixo, 'Laranja'. Fotografia. Pinheiro de formato cônico. Na frente um gramado. Próximo do pinheiro, há outras árvores. O dia está ensolarado e não há presença de nuvens no céu. Abaixo, ‘Árvore conífera’. Fotografia. Colunas que restaram de dois templos. As colunas tem formato cilíndrico e estão sobre um gramado. Atrás das colunas há várias casas. O dia está ensolarado e não há presença de nuvens no céu. Abaixo, ‘Templo de Saturno e Templo de Vespasiano e Tito’ em Roma, Itália. Foto de 2021.

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Com quais figuras geométricas espaciais se parecem as construções e esculturas a seguir?

Fotografia. Exterior de um palácio que se parece com um sólido geométrico que tem superfícies triangulares que se encontram com um único ponto. Apenas duas superfícies são visíveis na fotografia. Ambas são compostas por painéis de vidro. O dia está ensolarado e há presença de nuvens no céu. Abaixo, Palácio da Paz e da Reconciliação, Nursultan, Casaquistão. Foto de 2016.Fotografia. Escultura que se aprece com um sólido geométrico que tem 6 faces quadradas, Cada face é formada por um mosaico de peças coloridas. A escultura está exposta à beira de uma avenida em uma cidade. Há prédios ao fundo. O dia está nublado. Abaixo, Escultura de que foi exposta no Festival Luzes de Inverno de Londres, Reino Unido, Foto de 2020. Fotografia. Construção que se parece com uma bola de metal. Do lado esquerdo, há uma escada de acesso em madeira. A escada e a construção parecem estar no meio de uma floresta. Abaixo, Quarto do hotel Free Spirit Spheres, Vancouver, Canadá. Foto de 2020.

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Reúna-se com um colega e pesquisem imagens que contenham elementos que se parecem com figuras geométricas espaciais.

Neste capítulo vamos estudar algumas figuras geométricas espaciais.

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1 Sólidos geométricos

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

As indústrias utilizam diferentes tipos de embalagem para acondicionar alimentos, bebidas, produtos químicos, entre outros. Muitas dessas embalagens se parecem com sólidos geométricos, como podemos observar a seguir.

Fotografia. Caixa de bombons que tem 6 superfícies retangulares. A superfície de cima é transparente e as superfícies laterais tem uma faixa vermelha na parte inferior e são transparentes na parte superior. Os bombons presentes no interior da caixa estão em embalagens prateadas e há um laço vermelho sobre a caixa. Fotografia. Batom rosa com tampa preta. A base do batom e o topo da tampa são superfícies circulares. Fotografia. Lata de milho. A base e o topo da lata são superfícies circulares. Fotografia. Embalagem vermelha que tem 6 superfícies retangulares. Há detalhes em preto nas superfícies que estão visíveis na fotografia. — Embalagens que se parecem com sólidos geométricos.

Em Geometria, sólido é uma figura geométrica espacial e maciça, ou seja, não oca. Já a superfícieglossário é toda a parte visível de um sólido geométrico.

Podemos classificar os sólidos separando-os nos grupos a seguir.

Poliedros

Figura geométrica. Sólido geométrico laranja com uma face hexagonal e 6 faces triangulares idênticas. As faces triangulares têm um único ponto acima em comum. Figura geométrica. Sólido geométrico roxo com 6 faces retangulares. Figura geométrica. Sólido geométrico que tem duas superfícies hexagonais idênticas e paralelas e 12 superfícies laterais idênticas no formato de trapézio. Figura geométrica. Sólido geométrico laranja que tem 2 faces triangulares idênticas e paralelas e 3 faces retangulares. Figura geométrica. Sólido geométrico verde que tem 2 faces hexagonais idênticas e paralelas e 6 faces retangulares paralelas duas a duas. Figura geométrica. Sólido geométrico azul com uma face quadrada e 4 faces triangulares idênticas. As faces triangulares têm um único ponto acima em comum.

Corpos redondos

Figura geométrica. Sólido geométrico rosa que tem um vértice único, uma face circular e superfície lateral arredondada. Tem formato parecido com o de uma casca de sorvete. Figura geométrica. Sólido geométrico rosa de superfície arredondada. Tem formato parecido com o de uma bola. Figura geométrica. Sólido geométrico verde que tem duas faces circulares paralelas e idênticas e superfície lateral arredondada. Tem formato parecido com o de uma lata de superfície arredondada. Figura geométrica. Sólido geométrico azul que tem o formato parecido com o de uma escada com 2 degraus arredondados.

A superfície dos poliedros é formada apenas por partes planas (chamadas de face). Já a superfície dos corpos redondos apresenta pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana.

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2 Poliedros

Em qualquer poliedro, devemos encontrar vértices, arestas e faces. Confira:

Cada região que fórma a superfície de um poliedro é chamada face. O segmento comum a duas faces é chamado aresta, e os pontos de encontro das arestas são chamados vértices.

Figura geométrica. Sólido geométrico verde que tem 2 faces triangulares idênticas e paralelas e 3 faces retangulares idênticas. Uma das superfícies retangulares está hachurada, um dos segmentos de reta que é comum a duas superfícies está destacado de laranja e há um destaque laranja em uma das pontas. Linha saindo da superfície hachurada, indicando face. Linha saindo do segmento de reta laranja, indicando aresta. Linha saindo do destaque do ponto, indicando vértice.

O poliedro a seguir recebe o nome de bloco retangular ou paralelepípedo reto-retângulo.

Figura geométrica. Sólido geométrico azul com 6 faces retangulares. Tem formato parecido com o de uma caixa de sapato.

Ele tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices, conforme mostram as figuras a seguir.

Figura geométrica. 3 blocos retangulares azuis e idênticos, dispostos lado a lado. Em cada um dos blocos retangulares, está destacado de lilás, 2 faces que são opostas. As faces destacadas em um bloco retangular, não são destacadas nos outros dois. Abaixo a legenda "6 faces". Figura geométrica. Bloco retangular azul com as 12 arestas destacadas de lilás. Abaixo a legenda "12 arestas". Figura geométrica. Bloco retangular azul com os 8 vértices destacadas de lilás. Abaixo a legenda ‘8 vértices‘.

Observe, a seguir, a quantidade de faces, de vértices e de arestas de mais alguns poliedros.

Figura geométrica. Sólido geométrico azul com uma face quadrada e 4 faces triangulares idênticas. As faces triangulares têm um único ponto acima em comum. Abaixo, a legenda ‘Tem 5 faces, 5 vértices e 8 arestas’. Figura geométrica. Sólido geométrico verde que tem 2 faces hexagonais idênticas e paralelas e 6 faces retangulares paralelas duas a duas. Abaixo, a legenda ‘Tem 8 faces, 12 vértices e 18 arestas’. Figura geométrica. Sólido geométrico laranja que tem 2 faces triangulares idênticas e paralelas e 3 faces retangulares. Abaixo, a legenda ‘Tem 5 faces, 6 vértices e 9 arestas’.

▸ Organize em um quadro o número de faces, arestas e vértices dos sólidos anteriores.

▸ Para cada sólido, adicione o número de vértices (V ) ao número de faces (F ); depois, adicione 2 ao número de arestas (A). Que regularidade você observou em relação a V, F e A nos sólidos analisados?

▸ Verifique se a regularidade que você observou também é válida para outros sólidos.

Essa regularidade que relaciona o número de vértice, o número de faces e o número de arestas de um sólido geométrico é chamada de relação de Euler.

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Prismas e pirâmides

Prismas

Estes sólidos geométricos são exemplos de prismas. As faces hachuradas em cada prisma são chamadas bases, e as demais, faces laterais.

Todo prisma tem duas bases paralelas e idênticas e tem faces laterais retangulares.

Figura geométrica. Bloco retangular verde com 2 faces opostas hachuradas. Abaixo a legenda ‘prisma de base quadrangular’. Figura geométrica. Sólido geométrico laranja que tem 2 faces triangulares idênticas e paralelas e 3 faces retangulares idênticas. As faces triangulares estão hachuradas. Abaixo a legenda ‘prisma de base triangular’.

Pirâmides

Estes sólidos geométricos são exemplos de pirâmides. A face hachurada em cada pirâmide é chamada base, e as demais, faces laterais.

Nas pirâmides, todas as faces laterais são triangulares. Já a base pode ter formato triangular, quadrangular, pentagonal etcétera.

Figura geométrica. Sólido geométrico rosa com quatro faces triangulares, sendo que a face apoiada esta destacada. Abaixo a legenda ‘pirâmide de base triangular ou tetraedro’. Figura geométrica. Sólido geométrico azul com uma face hexagonal destacada e 6 faces triangulares. As faces triangulares tem um único ponto acima em comum. Abaixo a legenda ‘pirâmide de base hexagonal’.

Poliedros de Platão e poliedros regulares

Para um poliedro ser de Platão, ele precisa que:

• todas as suas faces tenham o mesmo número de arestas;

• todos os vértices sejam formados pelo encontro do mesmo número de arestas.

A seguir temos o exemplo de um poliedro de Platão que não é regular.

Figura geométrica. Sólido geométrico laranja que tem 2 faces retangulares diferentes mas que são opostas e paralelas, 2 faces retangulares idênticas que são opostas mas não são paralelas e 2 faces opostas e idênticas que tem o formato de trapézio.

Titulo do carrossel

Gire o seu dispositivo para a posição vertical

Para um poliedro ser regular, ele precisa que:

• todas as suas faces tenham o mesmo número de arestas com medidas de comprimento iguais;

• todos os vértices sejam formados pelo encontro do mesmo número de arestas.

Dessa fórma, concluímos que os poliedros regulares são casos particulares dos poliedros de Platão e existem apenas cinco:

Figura geométrica. Sólido geométrico laranja com 4 faces triangulares idênticas. Abaixo, a legenda ‘tetraedro regular (4 faces iguais)’. Figura geométrica. Bloco retangular bege com as 6 faces quadradas. Abaixo, a legenda ‘hexaedro regular ou cubo (6 faces iguais)’. Figura geométrica. Sólido geométrico amarelo que tem 8 faces triangulares idênticas, sendo que 4 delas têm um único ponto em comum que está oposto ao ponto comum das outras 4 faces. Tem formato parecido com o de um balão de festa junina. Abaixo, a legenda ‘hexaedro regular ou cubo (6 faces iguais)’. Figura geométrica. Sólido geométrico verde que tem 12 faces pentagonais idênticas, sendo que cada vértice é comum a 3 arestas e cada aresta é comum a 2 faces. Abaixo, a legenda ‘dodecaedro regular (12 faces iguais)’. Figura geométrica. Sólido geométrico azul que tem 20 faces triangulares idênticas, sendo que cada vértice é comum a 5 arestas e cada aresta é comum a 2 faces. Abaixo, a legenda ‘icosaedro regular (20 faces iguais)’.

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Veja que interessante

Faça as atividades no caderno.

O Alamo

O cubo é um caso particular de bloco retangular, em que as medidas de comprimento de todas as arestas são iguais.

O Alamo, também conhecido como Astor Place Cube, é uma escultura ao ar livre que se parece com um cubo cujas arestas medem 2,4 métros de comprimento. Projetada e construída por Bernard Rosenthal, a escultura gira manualmente em tôrno de um poste escondido em seu centro.

Fotografia. Escultura de aço no formato de cubo preto apoiado em um dos vértices em um patamar no chão. Ao fundo, prédios da cidade. O dia está ensolarado. — Alamo, de Bernard Rosenthal, em Astor Place, Nova York, Estados Unidos da América. Foto de 2020.

Atividade

Por que podemos afirmar que o cubo é um poliedro regular?

3 Corpos redondos

Corpos redondos são sólidos geométricos cuja superfície apresenta alguma parte não plana, arredondada. Observe os exemplos a seguir.

Figura geométrica. Sólido geométrico azul que tem duas faces circulares paralelas e idênticas e superfície lateral arredondada. Tem formato parecido com o de uma lata de superfície arredondada. Abaixo, a legenda 'cilindro'. Figura geométrica. Sólido geométrico verde que tem uma única ponta, uma face circular e superfície lateral arredondada. Tem formato parecido com o de uma casca de sorvete. Abaixo, a legenda 'cone'. Figura geométrica. Sólido geométrico rosa de superfície arredondada. Tem formato parecido com o de uma bola. Abaixo, a legenda 'esfera'.

Analise alguns elementos do cilindro, do cone e da esfera.

Figura geométrica. Cilindro verde. Setas para as faces circulares, indicando base, e seta para superfície lateral, indicando superfície curva. Abaixo a legenda 'cilindro'. Figura geométrica. Cone verde. Seta para a face circular, indicando base. Seta para a ponta, indicando vértice. Seta para a superfície lateral, indicando superfície curva. Abaixo a legenda 'cone'. Figura geométrica. Esfera verde. Seta para a superfície, indicando superfície curva. Abaixo a legenda 'esfera'.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Observe as fotos e escreva o nome do sólido geométrico que você associaria a cada objeto.

Fotografia. Bola de basquete laranja com detalhes em preto amarelo.

Ilustração. Chapéu com quadriculado colorido e aba laranja. Possui uma superfície lateral arredondada e uma ponta.

Fotografia. Lata metálica que tem 2 superfícies circulares idênticas e paralelas e superfície lateral arredondada.

Fotografia. Caixa de presente azul com laço laranja. A caixa tem 6 superfícies de formato retangular, paralelas duas a duas.

Fotografia. Objeto de vidro que tem 2 superfícies de formato triangular idênticas e paralelas e 3 faces de superfície retangular.

Fotografia. Objeto de bronze que tem 1 superfície quadrada e 4 superfícies triangulares idênticas. As superfícies triangulares tem uma ponta no topo.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

2. Escreva no caderno uma característica comum e uma diferença entre:

a) um prisma e um cilindro;

Figura geométrica. Prisma marrom de base triangular. Figura geométrica. Cilindro marrom.

b) uma pirâmide e um cone.

Figura geométrica. Pirâmide marrom de base triangular. Figura geométrica. Cone marrom.

3. Determine o número de faces, de arestas e de vértices de cada figura a seguir.

Figura geométrica. Pirâmide roxa de base quadrada.

Figura geométrica. Prisma roxo de base trapezoidal.

4. Imagine que Paula vá friccionar uma palma da mão na outra, fazendo girar o pirulito. O movimento do pirulito remete à imagem de um sólido geométrico. Qual é esse sólido?

Ilustração. Menina negra de cabelo preto e enrolado com uma faixa rosa, vestindo camiseta azul. Entre as mãos tem um pirulito de formato circular de cores vermelho, laranja e branco. A garota esfrega com as mãos o palito do pirulito para frente e para trás.

5. Observe a figura a seguir, que representa um prisma, e responda às questões.

Figura geométrica. Prisma amarelo de base triangular.

a) Na figura, há:

• quantas faces?

• quantas arestas?

• quantos vértices?

b) Qual é a figura que representa a base desse prisma?

Reúna-se com um colega para resolver esta atividade.

a) Copiem o quadro a seguir no caderno e completem-no.

Poliedro regular	Número de vértices	Número de faces	Número de arestas
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro

b) Para cada poliedro do quadro, verifique se a relação de Euler é válida.

7. Analise esta escultura e, depois, responda à questão.

Fotografia. Escultura que tem o formato de um cubo, feita por meio da junção de barras coloridas que tem formato de bloco retangular. — VEGA, Carlos Estrada. Carlitos, oleopasto, cera, pigmento, óleo e calcário sobre tela, núcleo de madeira e aço, 33 centímetros por 33 centímetros por 33 centímetros. Foto de 2008.

A escultura se parece com um cubo formado por várias peças similares a paralelepípedos reto-retângulos. Quantas peças parecidas com um paralelepípedo reto‑retângulo foram utilizadas na construção dessa escultura?

Versão adaptada acessível

3. Separe embalagens ou objetos de diferentes formatos, por exemplo, caixa de pasta de dentes, caixas de presente, embalagens de alimentos etc. Manipule essas embalagens de modo a identificar suas partes, como bicos, faces e contornos laterais. Com o auxílio do professor, identifique o que poderia ser associado a vértices faces e arestas. Depois, conte o número de vértices, de faces e de arestas de todos eles e anote em seu caderno.

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4 Planificação da superfície de sólidos geométricos

Mateus comprou um panetone para o lanche da tarde. Ele percebeu que a embalagem do panetone se parece com um sólido geométrico.

Mateus cortou a embalagem cuidadosamente pelas arestas e obteve sua planificação. Analise como ela ficou.

Ilustração. Menino branco, de cabelo castanho e liso, vestindo camiseta verde com detalhe laranja na manga e roxo na gola. Na frente dele tem uma mesa com uma caixa apoiada. O menino tem uma tesoura nas mãos e já recortou 3 lados da tampa quadrada da caixa que contém 2 faces quadradas de tamanhos diferentes e 4 faces idênticas no formato de um trapézio.

Ilustração. Caixa desmontada, de modo que que se perceba a presença de 2 superfícies quadradas de medidas diferentes e 4 superfícies idênticas no formato de trapézio. As superfícies quadradas estão na cor azul-escuro e as superfícies no formato de trapézio estão na cor azul-claro. — Planificação

A representação da superfície da embalagem totalmente aberta é chamada de planificação.

Ao fazer a planificação da superfície de um poliedro, representamos todas as suas faces. Observe os exemplos.

a) Planificação da superfície do prisma de base triangular

Esquema. À esquerda, prisma laranja de base triangular. À direita, planificação da superfície deste mesmo prisma laranja de base triangular. A planificação é composta por 2 triângulos idênticos e 3 retângulos também idênticos, dispostos lado a lado. Acima do retângulo do meio, triângulo. Abaixo do retângulo do meio, o outro triângulo. Entre o prisma e sua planificação, há uma seta para a direita.

b) Planificação da superfície do cilindro

Esquema. À esquerda, cilindro. À direita, planificação deste mesmo cilindro rosa. A planificação é composta por 2 círculos e um retângulo. Acima do retângulo, círculo. Abaixo do retângulo, outro círculo. Entre o cilindro e sua planificação, há uma seta para a direita.

c) Planificação da superfície da pirâmide de base pentagonal

Esquema. À esquerda, pirâmide azul de base pentagonal. À direita, planificação desta mesma pirâmide azul de base pentagonal. A planificação é composta por 1 pentágono e 5 triângulos idênticos dispostos lado a lado. Abaixo do triângulo do meio, pentágono. Entre a pirâmide e sua planificação, há uma seta para a direita.

d) Planificação da superfície do cone

Esquema. À esquerda, cone laranja. À direita, planificação deste mesmo cone laranja. A planificação é composta por 1 círculo e uma superfície arredondada também laranja que lembra um leque aberto. Acima da parte arredondada, círculo. Entre o cone e sua planificação, há uma seta para a direita.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

8. Em seu caderno, represente a planificação da superfície de uma embalagem que se parece com um bloco retangular. Há só uma planificação possível de se representar? Em seguida, na planificação, pinte com a mesma côr duas faces opostas do bloco, isto é, que não tenham aresta comum.

9. Caio montou um modelo de cubo por meio da planificação da sua superfície.

Ilustração. Modelo de cubo desmontado. A figura é composta por 6 quadrados coloridos. A figura se parece com a planificação da superfície de um cubo. Da esquerda para a direita: quadrado azul-escuro, quadrado verde-claro, quadrado amarelo, quadrado laranja. Abaixo do quadrado verde-claro, quadrado azul claro. Acima do quadrado laranja, quadrado rosa.

Identifique o modelo montado por Caio.

a) Figura geométrica. Representação de um modelo de cubo em que é possível visualizar 3 superfícies: superfície lateral esquerda azul escuro, superfície lateral direita azul claro e superfície inferior rosa.

b) Figura geométrica. Representação de um modelo de cubo em que é possível visualizar 3 superfícies: superfície lateral esquerda azul claro, superfície lateral direita amarela e superfície superior azul escuro.

c) Figura geométrica. Representação de um modelo de cubo em que é possível visualizar 3 superfícies: superfície lateral esquerda verde, superfície lateral direita azul claro e superfície superior amarela.

d) Figura geométrica. Representação de um modelo de cubo em que é possível visualizar 3 superfícies: superfície lateral esquerda amarela, superfície lateral direita rosa e superfície superior laranja.

10. Quais figuras a seguir são planificações da superfície de um cubo?

Figura geométrica. Figura roxa, formada por 6 quadrados idênticos. Começando pelo primeiro, o segundo está a direita, o terceiro abaixo, o quarto a direita, o quinto está abaixo e o sexto está abaixo direita.

Figura geométrica. Figura roxa, formada por 6 quadrados idênticos. 3 deles estão na vertical. À direita do terceiro, de cima para baixo, há 3 quadrados na horizontal, um do lado do outro.

Figura geométrica. Figura roxa, formada por 6 quadrados idênticos. 3 deles estão lado a lado. Acima do quadrado do meio há um quadrado e abaixo do quadrado do meio, há 2 quadrados na vertical.

Figura geométrica. Figura roxa, formada por 6 quadrados idênticos. 4 deles estão na vertical. À esquerda do primeiro, de cima para baixo, um quadrado. À direita do quarto, outro quadrado.

Figura geométrica. Figura roxa, formada por 6 quadrados idênticos. 4 deles estão lado a lado. Abaixo do segundo quadrado, da esquerda para a direita, um quadrado. Abaixo do terceiro quadrado, outro quadrado.

Figura geométrica. Figura roxa, formada por 6 quadrados idênticos. 4 deles estão lado a lado. Abaixo do primeiro quadrado, da esquerda para a direita, um quadrado. Abaixo do quarto quadrado, outro quadrado.

• Agora, em seu caderno, represente a planificação da superfície de um cubo diferente das que você identificou nas figuras anteriores.

11.

Na figura 1, a seguir, temos o molde de um cubo. Dobrando o molde de maneira adequada (figura 2), obtemos uma caixa cúbica (figura 3).

Observe que a face de cima e a face em contato com o plano são opostas e estão indicadas com a mesma letra.

Esquema. À esquerda, figura 1: planificação a superfície de um cubo. Figura azul formada por 6 quadrados idênticos. 4 deles estão lado a lado. No interior de cada quadrado há 1 letra. Da esquerda para a direita: A, C, A e C. Abaixo do segundo quadrado, da esquerda para a direita, há um quadrado, no interior a letra, B. Acima do quadrado do do segundo quadrado, há outro quadrado, no interior a letra B. No meio, figura 2: planificação da superfície de um cubo anterior sendo dobrada. À direita, figura 3: Cubo montado com a representação em que é possível visualizar 3 superfícies. A superfície lateral esquerda tem em seu interior a letra A, superfície lateral direita tem no seu interior a letra C e superfície superior tem em seu interior a letra B.

Reúna-se com um colega, copiem as figuras a seguir em uma malha quadriculada e identifiquem as faces opostas em cada uma das planificações.

a) Planificação da superfície de um cubo. Figura azul formada por 6 quadrados idênticos. 4 deles estão lado a lado. No interior de cada quadrado há 1 letra ou um quadradinho azul-escuro. Da esquerda para a direita: dois quadradinhos azul-escuro e na sequência as letras: A e C. Abaixo do segundo quadrado, da esquerda para a direita, há um quadrado, no interior a letra, A. Acima do terceiro quadrado, há outro quadrado, em seu interior um quadradinho azul-escuro.

b) Planificação da superfície de um cubo. Figura azul formada por 6 quadrados idênticos. No interior de cada quadrado há 1 letra ou um quadradinho azul-escuro. Começando pelo primeiro com a letra A, o segundo a direita tem um quadradinho azul-escuro. O terceiro abaixo do segundo, tem em seu interior a letra B. O quarto a direita do terceiro tem um quadradinho azul-escuro. O quinto abaixo do quarto, tem em seu interior a letra C e, o sexto à direita do quinto, tem em seu interior um quadradinho azul-escuro.

c) Planificação da superfície de um cubo. Figura em magenta formada por 6 quadrados idênticos. No interior de cada quadrado há 1 letra. Começando pelo primeiro que tem em seu interior a letra A. Abaixo, o segundo com a letra C em seu interior. O terceiro a esquerda do segundo tem a letra B em seu interior. O quarto abaixo do segundo, tem em seu interior a letra A. À direita, o quinto com a letra B em seu interior, e o sexto abaixo do quinto com a letra C no seu interior.

12. Uma pirâmide pentagonal cujas arestas da base têm a mesma medida de comprimento é um poliedro regular? Justifique sua resposta.

13.

Observe os poliedros a seguir e faça o que se pede.

Figura geométrica. Prisma azul de base hexagonal. Figura geométrica. Pirâmide azul de base quadrada. Figura geométrica. Prisma laranja de base triangular.

1º) No caderno, elabore três questões que podem ser respondidas observando os poliedros.

2º) Troque de caderno com um colega e responda às questões elaboradas por ele.

3º) Analise as respostas do colega e dê um retôrno a ele, dizendo o que ele respondeu corretamente e em que se equivocou.

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Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

(enêm) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (anáqui), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115 centímetros.

A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a fórma de um paralelepípedo retângulo.

O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela anáqui é:

Figura geométrica. Planificação da superfície de um bloco retangular. Da esquerda para a direita, quadrado, retângulo não quadrado, quadrado e retângulo não quadrado. Acima do primeiro quadrado, um retângulo. Abaixo do primeiro quadrado, outro retângulo. À esquerda da planificação, cota vertical, indicando que a medida do comprimento do lado menor de um retângulo, mais a medida do comprimento do lado do quadrado mais a medida do comprimento do lado do outro retângulo é igual a 90 centímetros. Cota horizontal para um lado do quadrado posicionado mais à direita, indicando que o comprimento deste lado mede x. Cota horizontal para o retângulo posicionado mais à direita, indicando que o lado menor mede 24 centímetros de comprimento.

a) 25

b) 33

c) 42

d) 45

e) 49

Interpretação e Identificação dos dados	• Leia o enunciado da questão e anote os dados que você julgar relevantes para a resolução do problema. • Responda: a) Quantas dimensões foram indicadas diretamente na figura? b) Com base nas informações da figura, é possível encontrar todas as medidas necessárias?
Plano de resolução	• Calcule a medida da dimensão indicada de forma indireta na figura. • Considerando as informações fornecidas pelo texto e pela figura do enunciado, elabore um esquema que represente um possível processo de resolução do problema.
Resolução	• Reúna-se com um colega. Avaliem o plano de resolução de cada um e representem uma das resoluções. • Juntem-se a outra dupla e discutam as diferenças e as semelhanças entre os planos escolhidos pelas duas duplas. Com base na análise das estratégias, executem o processo de resolução. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.
Verificação	• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Apresentação	• A Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) disponibiliza em seu site uma cartilha com orientações aos passageiros sobre suas bagagens: Acessem o site da Anac e elaborem algumas ilustrações sobre três informações relevantes presentes na cartilha. Essas ilustrações poderão ser divulgadas para a comunidade escolar.

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Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Poliedros

A superfície dos poliedros é formada apenas por partes planas (chamadas de face).

Prismas

Figura geométrica. Sólido geométrico amarelo com 6 faces retangulares. Tem formato parecido com o de uma caixa de sapato. Abaixo, a legenda 'Paralelepípedo reto-retângulo'. Figura geométrica. Sólido geométrico azul que tem 2 faces hexagonais idênticas e paralelas e 6 faces retangulares paralelas duas a duas. Abaixo, a legenda 'Prisma de base hexagonal'.

Pirâmides

Corpos redondos

A superfície dos corpos redondos apresenta pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana.

1. Qual das figuras a seguir não representa um poliedro?

Figura geométrica. Paralelepípedo laranja.

Figura geométrica. prisma roxo de base hexagonal.

Figura geométrica. Pirâmide amarela de base quadrada.

2. Observe os poliedros e faça o que se pede.

Figura geométrica. Figura 1: Prisma hexagonal azul. Figura geométrica. Figura 2: Pirâmide hexagonal amarela. Figura geométrica. Figura 3: Cubo laranja.

a) Copie o quadro no caderno e complete-o.

	Número de faces	Número de arestas	Número de vértices
Figura 1
Figura 2
Figura 3

b) Qual é o formato das bases de cada poliedro?

Planificação da superfície de sólidos geométricos

Os poliedros e alguns corpos redondos podem ter suas superfícies planificadas. Ao fazer a planificação da superfície de um poliedro, por exemplo, representamos todas as suas faces.

Esquema. À esquerda, cubo verde., com legenda 'cubo' À direita, planificação da superfície deste mesmo cubo, com legenda 'Planificação da superfície de um cubo'. A planificação é composta por 6 quadrados verdes idênticos. 4 quadrados lado a lado. Acima do segundo quadrado, da esquerda para a direita, há um quadrado. Abaixo, do segundo quadrado, da esquerda para a direita, outro quadrado. Entre o prisma e sua planificação, há uma seta para a direita.

3. A qual sólido geométrico corresponde cada uma das planificações de superfície a seguir?

Ilustração. Planificação da superfície de um sólido. Figura formada por 2 hexágonos laranjas e 6 retângulos também laranjas. 6 retângulos lado a lado. Acima do terceiro retângulo, da esquerda para a direita, há um hexágono. Abaixo do mesmo retângulo, outro hexágono.

Ilustração. Planificação da superfície de um sólido. Figura formada por 2 círculos azuis e um retângulo azul. Acima do retângulo, um círculo. Abaixo do retângulo, outro círculo.

Ilustração. Planificação da superfície de um sólido. Figura formada por 8 triângulos idênticos verdes.

Ilustração. Planificação da superfície de um sólido. Figura formada por 2 triângulos idênticos rosa e 3 retângulos rosa. 3 retângulos lado a lado. Acima do retângulo do meio, um triângulo. Abaixo do mesmo retângulo, outro triângulo.

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É hora de extrapolar

Faça as atividades no caderno.

Você já viu quê érre côde em embalagens de produtos?

Além de poderem ser usados no lugar dos códigos de barras em produtos, os QR codes podem ter outras finalidades nas diversas situações em que aparecem: em folhetos de museus e de outras instituições, para fornecer dados; nas passagens aéreas, a fim de liberar o acesso dos passageiros; em ingressos de chôus e de cinema, para liberar a entrada, entre outras situações. Atualmente, os QR codes são bastante usados como estratégia de marketing em embalagens de diversos produtos, trazendo informações extras, promoções e até jogos.

Objetivos: Pesquisar sobre o QR code e suas aplicações, construir a embalagem de um produto e utilizar essa tecnologia para oferecer mais informações sobre o produto.

Etapa 1: Pesquisa sobre o QR code e suas aplicações.

1. Reúna-se em grupo com alguns colegas, leiam a tirinha e, depois, respondam às questões.

Tirinha. Resposta Rápida. Tirinha composta por quatro quadros, apresenta um macaco avermelhado sem pelos na cabeça. Ao lado, tucano preto de bico verde. Ambos apoiados em um galho. Quadro 1. O macaco segurando um papel com código QR CODE e pergunta: PUXA, ESSE LABIRINTO TÁ ERRADO. VOCÊ SABE A RESPOSTA, TUCA? Quadro 2. O tucano olha para o Macaco e fala: ISSO NÃO É UM LABIRINTO, CACO! É UM QR CODE. O macaco com um lápis na mão direita e o QR code na máo esquerda indaga: HÃ? Quadro 3. O tucano continua: APONTA SEU CELULAR PARA O DESENHO. O macaco aponta o celular para o papel e diz: HUM... Quadro 4, Destaque para o texto do QR CODE: ISSO NÃO É UM LABIRINTO, CACO! É UM QR CODE. O macaco fala: UAU, VOCÊ SABIA A RESPOSTA MESMO!

a) Qual é o título da tirinha?

b) Há quantos personagens na tirinha?

c) Sobre que tipo de código eles estão falando?

d) O código que aparece no primeiro quadro da tirinha representa qual frase?

Pesquisem o que é QR code, como ele surgiu e quais são as suas principais aplicações.

3. Qual é a diferença entre os QR codes e os códigos de barras? Façam uma pesquisa e respondam.

Existem vários aplicativos para celular e sáites que oferecem programas de leitura e criação de QR codes que podem ser baixados gratuitamente. Utilizando algum deles, descubram o que está escrito na tirinha a seguir.

Tirinha. Pense em um número. Tirinha composta por três quadros, apresenta dois QR CODES. O QR CODE da esquerda, usa uma cartola e o da direita, chapéu pequeno. Quadro 1. O QR CODE de cartola está com o dedo em riste. O de chapéu pensa em um QR CODE. Quadro 2. O QR CODE de chapéu está levemente com um dos lados levantados. Quadro 3. O QR CODE de cartola está segurando um celular. Acima do QR CODE de chapéu, estrelas e linha em espiral.

▸ Qual foi o número pensado e descoberto?

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Criem dois QR codes: um que represente o enunciado de um problema que possa ser resolvido com a operação de divisão, e outro que contenha a solução do problema.

Troquem os quê érre codes criados no item anterior com outro grupo e resolvam o problema proposto.

Etapa 2: Escolha do produto e da embalagem.

7. Retomem o estudo das planificações da superfície dos sólidos e confeccionem uma embalagem que se pareça com algum sólido geométrico.

8. Algumas questões importantes que devem ser debatidas pelo grupo:

a) Para que serve o produto?

b) Qual é o público-alvo (faixa etária, grupo social etcétera. que pode se interessar pelo produto)?

c) Que formato de embalagem vai acondicionar o produto com segurança e eficiência?

d) Que informações sobre o produto (nome, quantidade etcétera) devem aparecer na embalagem?

e) Que tipo de informação (promoção, charada, jôgo etcétera) pode estar representado por um quê érre côde na embalagem para despertar ou aumentar o interesse do público-alvo?

Depois de selecionar o produto e confeccionar a embalagem, criem um QR code que represente a informação escolhida para aumentar o interesse do público-alvo. Não se esqueçam de inserir o QR code na embalagem do produto.

Etapa 3: Apresentação e análise da embalagem.

10.

Disponibilizem a embalagem criada pelo grupo para que os outros grupos conheçam o produto escolhido, leiam as principais informações e descubram o que está representado pelo QR code.

11. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.

Etapa 4: Síntese do trabalho realizado.

12. Questões que devem ser discutidas:

a) A embalagem confeccionada pelo grupo atingiu os objetivos propostos?

b) Os colegas conseguiram identificar o produto e suas principais informações?

c) A mensagem representada pelo QR code foi decifrada?

d) Vocês modificariam algo no processo, na embalagem e na mensagem em quê érre côde?

13. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo na etapa 2 e que considere o resultado da etapa 3, levando em conta as reações e as sugestões dos colegas.

Glossário

Superfície: : Imagine a superfície de um sólido geométrico como se fosse uma casca muito fina que o envolvesse.; Voltar para o texto