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Parte 3

Cancelamento

O cancelamento é uma técnica utilizada para facilitar a determinação de um produto. Vamos estudar dois casos.

1º caso: quando existem fatores iguais no numerador e no denominador.

Considere alguns exemplos.

Esquema: um terço multiplicado por três dezesseis avos igual a um dezesseis avos. O denominador 3 da fração um terço está com um traço alaranjado na diagonal. O numerador 3 da fração três dezesseis avos está com um traço alaranjado na diagonal, e acima do número três à esquerda o número um. À direita da sentença um traço alaranjado na horizontal e um traço alaranjado na vertical interligados. À direita dos traços, a indicação 'o fator 3 do numerador da segunda fração foi cancelado com o fator 3 do denominador da primeira fração; ambos foram divididos por 3'.

Esquema: cinco quartos multiplicado por três quintos multiplicado por quatro dezenove avos igual a três dezenove avos. O denominador 4 e o numerador cinco da fração cinco quartos estão com um traço alaranjado na diagonal. Acima do número cinco à esquerda o número 1. O denominador 5 da fração três quintos está com um traço alaranjado na diagonal, e abaixo do número 5 à direita o número um. O numerador 4 da fração quatro dezenove avos está com um traço alaranjado na diagonal. Acima do número 4 à esquerda o número 1.
À direita da sentença um traço alaranjado na horizontal e um traço alaranjado na vertical interligados. À direita dos traços, a indicação 'os fatores 4 e 5 dos numeradores foram cancelados com os fatores 4 e 5 dos denominadores, respectivamente'.

2º caso: quando existem múltiplos de um mesmo número no numerador e no denominador.

Analise alguns exemplos.

Esquema: quatro onze avos multiplicado por treze sextos igual a dois multiplicado por treze sobre onze multiplicado por três, igual a vinte e seis sobre trinta e três. O numerador 4 da fração quatro onze avos estão com um traço alaranjado na diagonal. Acima do número quatro à esquerda o número 2. O denominador 6 da fração treze sextos avos está com um traço alaranjado na diagonal, e abaixo do número 6 à direita o número três. À direita da sentença um traço alaranjado na horizontal e um traço alaranjado na vertical interligados. À direita dos traços, a indicação '4 e 6 são múltiplos de 2; ambos foram divididos por 2'.

Esquema: vinte e quatro sobre vinte e um multiplicado por quarenta e nove sobre sessenta multiplicado por trinta sobre setenta e dois igual a um multiplicado por sete multiplicado por um sobre três multiplicado por dois multiplicado por três, igual a sete sobre dezoito. O numerador 24 e o denominador 21 da fração vinte e quatro sobre vinte e um estão com um traço alaranjado na diagonal. Acima do número 24 à esquerda o número 1, abaixo do número 21 à direita o número 3. O numerador49 e o denominador 60 da fração quarenta e nove sobre sessenta estão com um traço alaranjado na diagonal. Acima do número 49 à esquerda o número 7, abaixo do número 60 à direita o número 2. O numerador 30 e o denominador 72 da fração trinta sobre setenta e dois estão com um traço alaranjado na diagonal. Acima do número 30 à esquerda o número 1, abaixo do número 72 à direita o número 3. À direita da sentença um traço alaranjado na horizontal e um traço alaranjado na vertical interligados. À direita dos traços, a indicação '21 e 49 são múltiplos de 7; ambos foram divididos por 7. 30 e 60 são múltiplos de 30; ambos foram divididos por 30. 24 e 72 são múltiplos de 24; ambos foram divididos por 24'.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

45. Determine os produtos, simplificando o resultado quando possível.

3 \cdot \frac{2}{7}

5 \cdot 3 \frac{1}{5}

\frac{2}{3} \cdot \frac{10}{4} \cdot \frac{9}{15}

\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{2}

\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{2} \cdot 0

2 \frac{1}{5} \cdot \frac{35}{33}

46. Uma loja vendeu 42 fones de ouvido. Destes,

\frac{2}{3}

são da marca Alfa. Quantos fones de ouvido da marca Alfa foram vendidos?

47. Determine:

a) o triplo de

\frac{7}{15};

b) o dôbro de

\frac{5}{8} .

48. Um reservatório contém .2400 litros. Quantos litros cabem em

\frac{3}{4}

desse reservatório?

49. Efetue as multiplicações utilizando o cancelamento.

\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7}

\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} \cdot 2 \frac{1}{4}

\frac{36}{50} \cdot \frac{30}{72} \cdot \frac{10}{40}

\frac{7}{11} \cdot \frac{11}{28}

50. Em uma caixa há meio cento de laranjas. Se retirarmos

\frac{2}{5}

dessas laranjas, quantas laranjas sobrarão na caixa?

51. Joaquim quer dividir R$ 6.000,00seis mil reais entre seus três filhos desta maneira:

• o mais novo deve receber

\frac{1}{2}

do total;

• o do meio deve receber

\frac{1}{3}

do total;

• o mais velho deve receber

\frac{1}{4}

do total.

Essa divisão é possível? Justifique sua resposta.

52.

José, Vanessa e Marcos abriram uma empresa. Cada um investiu certo valor. Em um mês, a empresa faturou R$ 33.915,00trinta e três mil novecentos e quinze reais. Na divisão dos lucros, José, Vanessa e Marcos receberam, respectivamente,

\frac{1}{3}

\frac{2}{5}

\frac{1}{7}

do total faturado, e o restante foi usado com despesas gerais. Com o auxílio de uma calculadora, determine o valor gasto com as despesas.

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8 Divisão de frações

Divisão de um número natural por uma fração

Marília comprou duas pizzas grandes para servir aos amigos. Cada pizza é dividida em 8 pedaços iguais. Marília e seus amigos comeram um pedaço de pizza cada um. Quantas pessoas comeram pizza?

Para resolver esse problema, inicialmente, dividimos cada pizza em 8 partes iguais.

Esquema: Da esquerda para a direita, a primeira figura é um círculo alaranjado dividido em 8 partes iguais. Cada uma dessas partes tem a indicação com a fração um oitavo. A segunda figura também é um círculo alaranjado dividido em 8 partes iguais. Cada uma dessas partes tem a indicação com a fração um oitavo.

Cada uma dessas partes corresponde a

\frac{1}{8}

de uma pizza.

Observando a ilustração, percebemos que

\frac{1}{8}

de uma pizza cabe 16 vezes em duas pizzas:

\frac{1}{8}

cabe 16 vezes em 2, ou seja,

2 : \frac{1}{8} = 16

Portanto, 16 pessoas comeram pizza.

Observe que:

Esquema: dois multiplicado por oito sobre um igual dezesseis. Abaixo da fração oito sobre um uma seta alaranjada. À direita da seta a indicação "fração inversa de um oitavo".

Dividir por

\frac{1}{8}

é o mesmo que multiplicar por

\frac{8}{1}

, que é a fração inversa de

\frac{1}{8}

Divisão de uma fração por um número natural

Qual é a metade de

\frac{1}{3} ?

Para responder a essa pergunta, observe o esquema a seguir.

Esquema: De cima para baixo, a primeira figura é um retângulo dividido em três partes iguais. A primeira parte é alaranjada com a a indicação um terço. As outras duas partes são brancas. À direita da figura uma seta alaranjada. À direita da seta a indicação 'representa um terço do inteiro'. A segunda figura é um retângulo dividido em seis partes iguais, a primeira parte é alaranjada, as outras são brancas. À direita da figura uma seta alaranjada. À direita a indicação 'representa a metade de um terço'. Na segunda figura há três linhas pontilhadas pretas paralelas aos lados das duas primeiras partes divididas.

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Note que a metade de

\frac{1}{3}

cabe seis vezes na figura inicial. Portanto, a fração que representa a metade de

\frac{1}{3}

\frac{1}{6}

. Então:

\frac{1}{3} : 2 = \frac{1}{6}

Perceba que:

Esquema: um terço multiplicado por um meio igual a um sexto. Abaixo do um meio um seta alaranjada com a indicação 'fração inversa de dois sobre um'.

Dividir por 2 é o mesmo que multiplicar por

\frac{1}{2}

, que é a fração inversa de

\frac{2}{1}

Divisão de uma fração por outra fração

Qual é o quociente da divisão de

\frac{3}{5}

por

\frac{1}{10}

A operação consiste em determinar quantas vezes

\frac{1}{10}

cabe em

\frac{3}{5}

. Observe o esquema.

Esquema: De cima para baixo, a primeira figura é um retângulo dividido em cinco partes iguais. As três primeiras partes da esquerda para a direita são azuis e as duas últimas partes brancas. Acima das três partes azuis o símbolo de chaves alaranjado. Acima das chaves a fração três quintos. À direita do retângulo, uma seta alaranjada. À direita da seta a indicação 'representa três quintos do inteiro. A segunda figura é um retângulo dividido em dez partes iguais. A primeira parte da esquerda para a direita é azul com a indicação da fração um décimo. As outras partes são brancas. À direita do retângulo, uma seta alaranjada. À direita da seta a indicação 'representa um décimo do inteiro.

Nesse caso, apenas observando a figura, percebemos que

\frac{1}{10}

cabe seis vezes em

\frac{3}{5}

Assim:

\frac{3}{5} : \frac{1}{10} = 6

Logo, o quociente de

\frac{3}{5}

por

\frac{1}{10}

é 6.

Perceba que:

Esquema: três quintos multiplicado por dez sobre um igual a trinta quintos igual a seis. Abaixo da fração dez sobre um uma seta alaranjada. A direita da seta alaranjada a indicação 'fração inversa de um sobre dez'.

Dividir por

\frac{1}{10}

é o mesmo que multiplicar por

\frac{10}{1}

, que é a fração inversa de

\frac{1}{10}

Na divisão de uma fração por outra, multiplicamos a primeira fração pela fração inversa da segunda.

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Observe outros exemplos.

\frac{3}{5} : \frac{7}{9} = \frac{3}{5} \cdot \frac{9}{7} = \frac{27}{35}

2 : \frac{3}{5} = 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}

\frac{10}{17} : 2 = \frac{10}{17} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{17}

Sugestão de leitura

TEIXEIRA, Martins R. Uma aventura na mata. São Paulo: éfe tê dê, 1997. (Coleção Matemática em mil e uma histórias).

Por meio de resoluções de problemas envolvendo frações, Neco e Teco dedicam-se a preservar a natureza e a resolver as complicações dos fenômenos naturais.

Observação

Para representar a divisão de frações, podemos usar também a notação:

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}

Atividades

Faça as atividades no caderno.

53. Efetue as divisões, simplificando o resultado quando possível.

4 : \frac{1}{2}

60 : \frac{3}{8}

\frac{2}{9} : 1 \frac{1}{3}

\frac{1}{2} : 4

10 : \frac{2}{5}

\frac{3}{8} : 5

54. Quantos copos com medida de capacidade de

\frac{1}{4}

de litro podemos encher com 10 garrafas de 1 litro?

55. Calcule:

\frac{\frac{2}{7}}{\frac{3}{5}}

\frac{10}{\frac{2}{5}}

\frac{\frac{3}{7}}{\frac{6}{10}}

56. Eneias preparou um refresco misturando

\frac{3}{4}

de litro de suco de acerola com

\frac{3}{4}

de litro de suco de laranja,

\frac{3}{4}

de litro de leite condensado e

\frac{1}{4}

de litro de suco de limão.

Ilustração: Menino branco de cabelo castanho escuro e blusa azul marinho está de frente para uma mesa onde há um liquidificador com liquido amarelo, lata aberta de leite condensado, dois limões, uma laranja, uma metade de uma laranja e três cerejas. Ele está com o dedo indicador da mão esquerda no botão do liquidificador e na outra mão segura a metade de uma laranja.

Em seguida, serviu doses iguais do refresco em dez taças. Que fração do litro caberá, no máximo, em cada taça?

57. Um aquecedor solar residencial tem um grande reservatório de água para uso na cozinha e em cinco banheiros. Sabendo que

\frac{1}{3}

dessa medida de capacidade é utilizado na cozinha, que fração seria disponibilizada para cada banheiro, supondo que os cinco tenham igual consumo?

Fotografia. Vista do alto de um telhado com aparelho cilíndrico branco ligado por meio de fios pretos em três placas retangulares de vidro abaixo. — Exemplo de aquecedor solar residencial.

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9 Potenciação de frações

Luís e Pâmela são irmãos e gostam muito de programas de tê vê. No entanto, o pai disse que eles poderiam ficar em frente à tê vê metade

(\frac{1}{2})

do tempo que gostariam, enquanto a mãe indicou que o tempo deveria ser ainda menor, para que pudessem ver seus amigos nos momentos de lazer e estudar. Ela sugeriu, então, reduzir esse tempo novamente pela metade

(\frac{1}{2})

. Dessa fórma, o tempo máximo que Luís e Pâmela poderiam dedicar a seus programas de tê vê seria de

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

daquele que gostariam, ou seja:

\frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1^{2}}{2^{2}} = \frac{1}{4}

Para elevar uma fração a determinado expoente, devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente.

Analise alguns exemplos.

{(\frac{2}{5})}^{4} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2^{4}}{5^{4}} = \frac{16}{625}

{(1 \frac{2}{5})}^{3} = {(\frac{7}{5})}^{3} = \frac{7^{3}}{5^{3}} = \frac{343}{125} = 2 \frac{93}{125}

As definições utilizadas para os números naturais também são válidas para os números na fórma de fração. Assim:

• Toda potência de expoente 1 é igual à própria base.

{(\frac{1}{7})}^{1} = \frac{1}{7}

{(\frac{13}{4})}^{1} = \frac{13}{4}

• Toda potência de expoente zero e base diferente de zero é igual a 1.

{(\frac{3}{5})}^{0} = 1

{(\frac{200}{7})}^{0} = 1

Atividade

Faça a atividade no caderno.

58. Calcule o valor das potências.

{(\frac{3}{5})}^{2}

{(\frac{1}{2})}^{4}

{(\frac{8}{3})}^{1}

{(\frac{2}{3})}^{3}

{(3 \frac{1}{2})}^{2}

{(\frac{199}{500})}^{0}

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Expressões numéricas

O cálculo de expressões numéricas envolvendo frações segue a mesma ordem estudada para o cálculo das expressões numéricas com números naturais:

1º) potenciações;

2º) multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;

3º) adições e subtrações, na ordem em que aparecem.

Quando, nas expressões, aparecem sinais de associação, estes devem ser resolvidos na seguinte ordem: parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }.

Analise como calcular o valor de algumas expressões numéricas.

Esquema: de cima para baixo, na esquerda, na primeira linha dois terços menos um quarto multiplicado por três quintos mais, abre parênteses, um meio, fecha parênteses, elevado a três, igual. Na segunda linha sinal de igual, dois terços menos um quarto multiplicado por três quintos mais um oitavo, igual. Há um traço alaranjado interligando o um meio da linha 1 e o um oitavo da linha 2. Na terceira linha, sinal de igual, dois terços menos três décimos mais um oitavo, igual. Há um traço alaranjado interligando a operação 1 quarto multiplicado por três quintos da segunda linha com a fração três décimos da terceira linha. Na quarta linha, sinal de igual, quarenta sobre sessenta, menos nove sobre sessenta mais um oitavo, igual. Há uma seta alaranjada curvilineia interligando o final da terceira linha com o da quarta linha. Na quinta linha, sinal de igual, trinta e um sobre sessenta mais um oitavo, sinal de igual. Há um traço alaranjado interligando a operação quarenta sobre sessenta menos nove sobre sessenta da quarta linha com a fração trinta e um sobre sessenta da quinta linha. Na sexta linha, sinal de igual, sessenta e dois sobre cento e vinte mais quinze sobre cento e vinte, igual. Há uma seta alaranjada curvilineia interligando o final da quinta linha com o da sexta linha. Na sétima linha, sinal de igual, setenta e sete sobre cento e vinte.

Esquema: primeira linha: abre chaves, um meio mais, abre colchetes, abre parênteses, um quinto mais um décimo dividido por um quarto, fecha parênteses, mais abre parênteses, três quintos, fecha parênteses, elevado a 2, fecha colchetes, fecha chaves, menos vinte e três sobre cinquenta, igual. Segunda linha: sinal de igual, abre chaves, um meio, mais, abre colchetes, abre parênteses, um quinto, mais um décimo, vezes quatro sobre um, fecha parênteses, mais nove sobre vinte e cinco, fecha colchetes, fecha chaves, menos vinte e três sobre cinquenta, igual. Um fio alaranjado sai de um décimo dividido por um quarto, da sentença acima e vai até um décimo vezes quatro sobre um. Um traço corta o dez da fração um décimo e ao lado há o número cinco; um traço alaranjado corta o quatro da fração quatro sobre um e ao lado há o número 2. Terceira linha: sinal de igual, abre chaves, um meio, mais, abre colchetes, abre parênteses, um quinto, mais dois quintos, fecha parênteses, mais nove sobre vinte e cinco, fecha colchetes, fecha chaves, menos vinte e três sobre cinquenta, igual. Um fio alaranjado sai de um décimo vezes quatro sobre um da sentença de cima e vai até dois quintos. Quarta linha: sinal de igual, abre chaves, um meio, mais, abre colchetes, três quintos, mais nove sobre vinte e cinco, fecha colchetes, fecha chaves, menos vinte e três sobre cinquenta, igual. Um fio alaranjado sai de um quinto mais dois quintos da sentença anterior e vai até a três quintos. Quinta linha: sinal de igual, abre chaves, um meio, mais, abre colchetes, quinze sobre vinte e cinco, mais nove sobre vinte e cinco, fecha colchetes, fecha chaves, menos vinte e três sobre cinquenta, igual. Uma seta alaranjada sai da sentença acima e indica o esquema três quintos igual,o numerador e o denominador são multiplicados por cinco, igual a quinze sobre vinte e cinco. Sexta linha: abre chaves, um meio mais vinte e quatro sobre vinte e cinco, fecha chaves, menos vinte e três sobre cinquenta igual. Sétima linha: abre chaves, vinte e cinco sobre cinquenta mais quarenta e oito sobre cinquenta, fecha chaves, menos vinte e três sobre cinquenta, igual. Uma seta alaranjada sai da sentença acima e indica o esquema um meio, o numerador e o denominador multiplicados por vinte e cinco, igual a vinte e cinco sobre cinquenta e vinte e quatro sobre vinte e cinco, numerador e denominador multiplicados por dois, igual a quarenta e oito sobre cinquenta. Última linha: setenta e três sobre cinquenta menos vinte e três sobre cinquenta igual a cinquenta sobre cinquenta igual a um. Um fio alaranjado sai de vinte e cinco sobre cinquenta mais quarenta e oito sobre cinquenta da sentença anterior e vai até a fração setenta e três sobre cinquenta.

Sugestão de leitura

RAMOS, Luzia Faraco. Frações sem mistérios. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A descoberta da Matemática).

Enigmas, suspense e frações aguardam você nesse interessante livro.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

59. Calcule o valor das expressões numéricas a seguir

\frac{5}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}

5 ‒ \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2}

\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + 2 \frac{1}{4}

\frac{3}{5} + \frac{2}{9} : \frac{2}{3}

\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} ‒ \frac{1}{8} : \frac{5}{6}

\frac{3}{4} + \frac{5}{9} : \frac{1}{6}

60. Calcule o valor das expressões numéricas a seguir.

(\frac{2}{3} ‒ \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{7}) : \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9}

\frac{27}{100} : \{\frac{11}{4} ‒ [\frac{3}{2} + (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})]\}

{(1 ‒ \frac{1}{2})}^{2} : {[{(1 ‒ \frac{3}{4})}^{2} \cdot 8 + {(\frac{1}{2})}^{2}]}^{}

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Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

(enêm) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura a seguir.

Ilustração: Notas musicais e suas correspondências numéricas. Nota musical semibreve. Número um. Ilustração: Nota musical mínima. Sentença matemática: fração um quarto. Ilustração: Nota musical seminima. Sentença matemática: fração um quarto. Ilustração: Nota musical colcheia. Sentença matemática: fração um oitavo. Ilustração: Nota musical semicolcheia. Sentença matemática: fração um dezesseis avos. Ilustração: Nota musical fusa. Sentença matemática: fração um trinta e dois avos. Ilustração: Nota musical semifusa. Sentença matemática: fração um sessenta e quatro avos.

Um compasso é uma unidade musical composta de determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso é

\frac{1}{2}

, poderia haver um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é

\frac{3}{4}

, poderia ser preenchido com

a) 24 fusas.

b) 3 semínimas.

c) 8 semínimas.

d) 24 colcheias e 12 semínimas.

e) 16 semínimas e 8 semicolcheias.

Interpretação e identificação dos dados	• Identifique a definição de compasso no enunciado do problema. • Verifique os exemplos citados no enunciado que ajudam a compreender o problema.
Plano de resolução	• Releia o enunciado da questão e calcule o valor de 8 compassos de $divisão de 3 sobre 4$ cada um. • Calcule o valor de 24 fusas, observando a figura reproduzida no enunciado. • Considerando as informações do enunciado e o cálculo efetuado para 24 fusas, elabore um esquema que represente um possível processo de resolução do problema.
Resolução	• Junte-se a um colega. • Cada integrante da dupla deverá apresentar seu plano de resolução ao outro. • Após a discussão sobre as estratégias, executem o processo de resolução. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam registros individuais no caderno.
Verificação	• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Apresentação	• Depois de resolver a questão, cada aluno da dupla deve escrever um pequeno texto explicando o processo de resolução, citando as dificuldades e como as superaram. Se cometeram algum erro durante a resolução, é importante que anotem e tentem compreender por que erraram. Em seguida, o professor vai convidar algumas duplas para ler seus textos.

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Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

A ideia de número fracionário

As frações também podem aparecer quando nos referimos à parte de uma figura ou quando comparamos o número de alguns objetos com o total de objetos de um grupo.

Em uma fração, o denominador é o número abaixo do traço e representa a quantidade de partes iguais em que o todo foi dividido. Já o número acima do traço, o numerador, indica a quantidade de partes consideradas do todo. Considere o exemplo a seguir.

Figura geométrica: Círculo dividido em oito partes iguais. Há cinco partes roxas e três brancas. Ao lado Esquema: fração cinco oitavos. Acima do cinco a indicação que é o numerados. Abaixo do oito a indicação que é o denominador.

Lemos: “cinco oitavos”.

1. Qual é a fração que representa a parte verde de cada uma das figuras a seguir?

Figura geométrica: Círculo dividido em oito partes iguais. Há uma parte verde e sete brancas.

Figura geométrica: Quadrado dividido em nove partes iguais. Há quatro partes verdes e quatro brancas.

Figura geométrica: Quadrado dividido em trinta e seis partes iguais. Há doze dessas partes verdes e vinte e quatro brancas.

Figura geométrica: Círculo dividido em doze partes iguais. Há sete dessas partes verdes e cinco brancas.

2. Escreva no caderno como se lê cada uma das frações.

\frac{4}{7}

\frac{1}{9}

\frac{6}{10}

\frac{12}{100}

\frac{4}{1 000}

\frac{12}{23}

Número misto

É um número composto de uma parte inteira e uma parte fracionária.

Figura geométrica: Da esquerda para a direita, a primeira figura é um retângulo rosa dividido em quatro partes iguais. A segunda figura é um retângulo dividido em 4 partes iguais, sendo 3 rosas e 1 branca. Ao lado. Esquema: número misto um inteiro e três quartos. Abaixo do número um uma seta alaranjada com a indicação "parte inteira". Abaixo da fração três quartos uma seta alaranjada com a indicação 'parte fracionária'.

3. Escreva no caderno o número misto que representa a parte colorida das figuras.

Figura geométrica: Da esquerda para a direita, a primeira figura é um quadrado alaranjado dividido em 9 partes iguais. A segunda figura também é um quadrado dividido em 9 partes iguais, sendo 5 partes alaranjadas e 4 brancas.

Figura geométrica: Da esquerda para a direita, a primeira figura é um círculo alaranjado dividido em oito partes iguais. A segunda figura também é um círculo dividido em oito partes iguais, sendo duas partes alaranjadas e 6 brancas.

4. Transforme os números mistos em frações.

1 \frac{3}{4}

2 \frac{9}{11}

4 \frac{7}{9}

7 \frac{2}{7}

Frações equivalentes

Frações que representam a mesma parte de um inteiro são chamadas de frações equivalentes.

\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12}

5. No caderno, substitua o

a fim de obter frações equivalentes em cada um dos itens.

\frac{12}{15} = \frac{24}{▬}

\frac{6}{20} = \frac{▬}{60}

\frac{25}{100} = \frac{5}{▬}

\frac{▬}{16} = \frac{35}{80}

6. Simplifique as frações a seguir até torná-las irredutíveis.

\frac{10}{25}

\frac{18}{150}

\frac{12}{60}

\frac{96}{112}

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Comparação de frações de um mesmo inteiro

Frações com mesmo denominador

Quando duas ou mais frações têm o mesmo denominador, a maior delas é a que tem o maior numerador.

\frac{8}{12} > \frac{6}{12},

pois: 8 > 6

Frações com denominadores diferentes

Para comparar frações que têm numeradores e denominadores diferentes, devemos obter frações equivalentes às frações iniciais que tenham o mesmo denominador para, em seguida, compará-las.

\frac{2}{3} > \frac{1}{4}

pois:

\frac{2}{3} = \frac{8}{12}

\frac{1}{4} = \frac{3}{12}

\frac{8}{12} > \frac{3}{12}

7. Copie os itens no caderno substituindo cada

pelo símbolo >, < ou =.

\frac{5}{11} ▪ \frac{7}{11}

\frac{2}{7} ▪ \frac{4}{5}

\frac{9}{2} ▪ \frac{15}{4}

\frac{15}{39} ▪ \frac{5}{13}

8. Determine a maior fração de cada item.

\frac{9}{8}

\frac{3}{8}

\frac{7}{8}

\frac{1}{5}

\frac{4}{3}

\frac{2}{6}

\frac{2}{3}

\frac{1}{4}

\frac{3}{5}

\frac{4}{10}

\frac{5}{12}

\frac{15}{25}

9. Escreva as frações em ordem crescente.

\frac{1}{4}

\frac{2}{3}

\frac{4}{5}

\frac{2}{5}

\frac{3}{8}

\frac{9}{15}

\frac{3}{4}

\frac{2}{6}

\frac{2}{3}

\frac{4}{9}

\frac{1}{3}

\frac{2}{7}

Fração de uma quantidade

Para calcular

\frac{1}{5}

de 150, podemos fazer:

150 : 5 = 30

Logo,

\frac{1}{5}

de 150 é igual a 30.

10. Lucas gastou

\frac{1}{3}

do salário para pagar as despesas do mês. Sabendo que o salário de Lucas é de R$ 4.500,00quatro mil quinhentos reais, qual foi o valor dessas despesas?

11. Maria está participando de uma corrida. Ela já percorreu

\frac{3}{4}

do trajeto, o que corresponde a .3375 metros. Qual é a distância total a ser percorrida nessa prova?

12. Marcos e Jorge são irmãos. Eles compraram um jôgo de videogame. Marcos pagou

\frac{3}{5}

do jôgo e Jorge pagou R$ 46,00quarenta e seis reais. Quanto custou esse jôgo?

13. Rogério, Cristiane e Patrícia compraram um pacote de amoras por R$ 12,00doze reais. Rogério pagou

\frac{1}{3}

do pacote, Cristiane pagou metade do valor pago por Rogério e Patrícia pagou o restante. Qual é o valor que Patrícia pagou pelas amoras?

14. Um atacadista possuía duas.seiscentas sacas de arroz. Ele vendeu

\frac{4}{13}

dessas sacas ao primeiro freguês. Do que sobrou, vendeu

\frac{1}{3}

ao segundo freguês. Então, novamente do que sobrou, vendeu

\frac{3}{10}

ao terceiro freguês. Quantas sacas restaram?

Adição e subtração de frações

Frações com denominadores iguais

Adicionamos (ou subtraímos) os numeradores e conservamos os denominadores.

Frações com denominadores diferentes

Determinamos frações equivalentes às iniciais, com um mesmo denominador, e depois adicionamos (ou subtraímos) os numeradores (conservando o denominador).

\frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7}{8}

\frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6}

15. Calcule o resultado das operações.

\frac{4}{9} + \frac{9}{5}

\frac{12}{21} + \frac{10}{21}

\frac{12}{15} ‒ \frac{5}{15}

\frac{3}{7} ‒ \frac{1}{7}

2 \frac{4}{5} + \frac{3}{5}

\frac{1}{6} + \frac{5}{9}

\frac{2}{3} ‒ \frac{4}{7}

\frac{5}{8} ‒ \frac{8}{15}

\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}

\frac{8}{9} ‒ \frac{7}{10}

Página 146

16. Um aquário está com

\frac{4}{5}

de sua medida de capacidade. Acrescentando 12 litros de água, o aquário ficará completamente cheio. Qual é a medida da capacidade desse aquário?

17. Efetue as operações a seguir, simplificando quando possível.

2 \frac{1}{3} + 1 \frac{3}{4}

\frac{1}{2} + \frac{1}{5} ‒ \frac{3}{6}

8 ‒ \frac{7}{2}

\frac{7}{2} ‒ 1 \frac{1}{8}

Multiplicação de frações

O produto de duas frações é um número na fórma de fração que tem como numerador o produto dos numeradores e como denominador o produto dos denominadores.

\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{15}

18. Calcule o resultado de cada uma das multiplicações.

8 \cdot \frac{7}{9}

\frac{2}{5} \cdot 12

\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{9}

\frac{9}{15} \cdot \frac{5}{3}

\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5}

\frac{5}{9} \cdot \frac{4}{10}

19. Beto vendeu 100 números de uma rifa a familiares e colegas. Destes,

\frac{2}{5}

dos números foram vendidos a familiares dele. Quantos números foram vendidos a colegas de Beto?

20. Que fração do triângulo maior o triângulo menor representa?

Figura geométrica: Um primeiro triângulo grande. Dentro dele há um segundo triângulo com os vértices encostados no ponto médio dos lados do triângulo maior. Dentro do segundo triângulo, um triângulo laranja com os vértices encostados no ponto médio dos lados do segundo triângulo.

Divisão de frações

Na divisão de uma fração por outra, multiplicamos a primeira fração pela fração inversa da segunda.

\frac{1}{5} : \frac{2}{8} = \frac{1}{5} \cdot \frac{8}{2} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

21. Calcule o resultado de cada uma das divisões.

\frac{4}{9} : 3

40 : \frac{2}{3}

\frac{4}{7} : \frac{1}{2}

\frac{3}{15} : \frac{2}{3}

\frac{2}{7} : \frac{4}{9}

\frac{9}{15} : \frac{5}{9}

22. Calcule no caderno.

\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{8}}

\frac{6}{\frac{1}{4}}

23. Da quantia que recebo mensalmente, aplico

\frac{3}{7}

em caderneta de poupança, o que corresponde a R$ 540,00quinhentos e quarenta reais. Qual é a quantia total que recebo mensalmente?

Potenciação de frações

Para elevar uma fração a determinado expoente, devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente.

{(\frac{4}{5})}^{3} = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{64}{125}

24. Calcule o valor das potências.

{(\frac{2}{3})}^{2}

{(\frac{4}{3})}^{3}

{(\frac{1}{100})}^{0}

{(\frac{99}{100})}^{1}

{(3 \frac{1}{2})}^{2}

{(\frac{3}{5})}^{3}

Expressões numéricas

O cálculo de expressões numéricas envolvendo frações segue a mesma ordem estudada para o cálculo das expressões numéricas com números naturais:

1º) potenciações;

2º) multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;

3º) adições e subtrações, na ordem em que aparecem.

Quando, nas expressões, aparecem sinais de associação, estes devem ser resolvidos na seguinte ordem: parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }.

25. Calcule o valor da expressão numérica a seguir.

(\frac{3}{4} ‒ \frac{2}{5}) \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2} + (\frac{1}{2} : 4)

26. Calcule o valor das expressões a seguir.

[(\frac{2}{3} : \frac{1}{12} + 2) : {(\frac{1}{10})}^{2} ‒ 10^{3}]

{(\frac{3}{2})}^{2} + [3 \frac{1}{3} ‒ 3 \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{3}]