Capítulo 10 Ampliação e redução de figuras
Trocando ideias
O alfaiate digital é o profissional que, com o auxílio da tecnologia, trabalha para obter medidas precisas e garantir que as peças de roupa sirvam perfeitamente no corpo do cliente. Essa profissão é considerada uma das “profissões do futuro”.
Observe o esbôço feito por um alfaiate digital.
▸
Qual dos esboços a seguir é uma redução do esbôço feito pelo alfaiate digital?
esbôço um
esbôço dois
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Como você faria para obter uma ampliação do esbôço feito pelo alfaiate digital? ampliação do esbôço feito pelo alfaiate digital?
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Você conhece alguma outra profissão que deve surgir ou crescer em breve? Se sim, qual? Converse com os colegas.
Neste capítulo, vamos estudar o plano cartesiano e também a ampliação e redução de figuras.
1 Representação de um polígono no plano cartesiano
Para representar um ponto, podemos utilizar o plano cartesiano e indicar a localização desse ponto por meio de um par ordenado.
Plano cartesiano
O plano cartesiano é composto de duas retas numéricas perpendiculares, chamadas eixos, que, em geral, indicamos por x (eixo horizontal) e y (eixo vertical). O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas.
O ponto de intersecção dos dois eixos é denominado origem e é representado pela letra O.
Par ordenado
Um par ordenado (x, y) é dado pelas coordenadas x e y, sendo x a abscissa e y a ordenada.
No plano cartesiano a seguir, para indicar a posição do ponto P, usamos o par ordenado (4, 2).
Os números 4 e 2 são chamados coordenadas cartesianas do ponto P. A primeira coordenada é a abscissa do ponto, e a segunda é a ordenada do ponto. Observe que a abscissa do ponto é um número do eixo x e a ordenada do ponto é um número do eixo y.
Um pouco de história
Faça a atividade no caderno.
René Decárte
René Decárte (1596-1650), matemático, físico e filósofo francês, escreveu, em 1637, O discurso do método, obra que explica o raciocínio científico. Nessa obra, Decárte estabeleceu um sistema de referência para localizar pontos no plano cartesiano. Em seu trabalho, Decárte buscou associar a Geometria à Álgebra, o que contribuiu muito para o desenvolvimento da Matemática.
Atividade
Reúna-se com 3 colegas e pesquisem algumas aplicações do plano cartesiano. Depois, compartilhem o que pesquisaram com a turma.
Representação de um polígono
Para representar um polígono no plano cartesiano, podemos associar seus vértices a pares ordenados, unir esses pontos com segmentos de reta e, por fim, pintar o interior da figura.
Observe a representação do polígono ABCD com vértices a(2, 2), B(5, 5), C (5, 3) e D (4, 1) no plano cartesiano.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Em seu caderno, construa um plano cartesiano e represente nele os pontos a(2, 2), B (3, 1), C (5, 0), D (0,2), ê (0, 0) e F (3, 4).
2. Determine as coordenadas de cada ponto marcado no plano cartesiano a seguir.
3. No caderno, construa um quadrilátero com os vértices nos pontos (2, 1), a B (3, 3), C (4, 3) e D (4, 1). Esse quadrilátero é um paralelogramo ou um trapézio?
4. Conhecendo as coordenadas (1, 2), a B (3, 4) e C (5, 2), que correspondem aos vértices de um quadrado, construa, no plano cartesiano, o quadrado ABCD.
2 Figuras semelhantes
Quando ampliamos ou reduzimos proporcionalmente uma figura sem deformá-la, produzimos uma figura semelhante. Observe a seguir os desenhos que Ana e Caio fizeram ao tentar copiar a imagem do quadro pendurado na parede. Ana parece ter feito uma figura semelhante, mas Caio, não. No desenho de Caio, as medidas não parecem proporcionais à figura original.
Ampliação e redução de figuras planas na malha quadriculada
Podemos usar uma malha quadriculada para ampliar ou reduzir figuras planas.
Na ampliação, mantemos as medidas de abertura dos ângulos e multiplicamos todas as medidas de comprimento dos segmentos de reta por um mesmo número maior que 1.
Na redução, também mantemos as medidas de abertura dos ângulos, mas dividimos todas as medidas de comprimento dos segmentos de reta por um mesmo número maior que 1.
▸ Na ampliação da figura anterior, por quanto multiplicamos cada medida de comprimento?
▸ Na redução da figura anterior, por quanto dividimos cada medida de comprimento?
Ampliação e redução de figuras planas no plano cartesiano
Como vimos, para representar polígonos no plano cartesiano, associamos seus vértices a pares ordenados. Dessa fórma, podemos representar o triângulo ABC de vértices a(1, 1), B(2, 3) e C(3, 2) como indicado a seguir.
Para reduzir o triângulo ABC anterior, podemos dividir as coordenadas de cada vértice pelo mesmo número e, para ampliá-lo, podemos multiplicar as coordenadas de cada vértice pelo mesmo número. Esse número, em ambos os casos, deve ser maior que 1.
Observe uma redução e uma ampliação do triângulo ABC.
O triângulo DEF é uma redução do triângulo ABC. Para construí-lo, dividimos as coordenadas dos vértices do triângulo ABC por 2, obtendo os vértices D(0,5; 0,5), E(1; 1,5) e F(1,5; 1).
O triângulo GHI é uma ampliação do triângulo ABC. Para construí-lo, multiplicamos as coordenadas dos vértices do triângulo ABC por 3, obtendo os vértices G(3, 3), H(6, 9) e I(9, 6).
Tecnologias digitais em foco
Ampliação e redução de figuras
Nesta seção utilizamos a ferramenta TucaProg ou outro recurso que seu professor pode indicar para criar um polígono no plano cartesiano e obter sua ampliação e redução.
Para resolver alguns problemas com o auxílio de um computador, é necessário utilizarmos algoritmos. Algoritmo é uma sequência finita e bem-definida de passos que resolve um problema ou determina a ordem de realização de uma tarefa.
À esquerda da interface do TucaProg, há um menu com as opções disponíveis, “Desenho”, “Movimento”, “Repetição” e “Números”. Ao completar as instruções, você clica no botão play, disponível nos comandos, e Tuca (o pássaro) desenhará no plano cartesiano de acôrdo com o passo a passo descrito.
Construa
Vamos construir o contôrno de um quadrado, montando um bloco de instruções na área de programação, de acôrdo com a sequência a seguir.
1º) Informamos o par ordenado que indica o local onde o Tuca iniciará o desenho.
Tecnologias digitais em foco
2º) Bloco de repetições: dentro desse bloco, informamos quais instruções serão repetidas e quantas vezes.
3º) Então, indicamos o sentido no qual desejamos que o Tuca gire para começar a desenhar.
4º) Por fim, indicamos a medida da distância que o Tuca deve percorrer voando.
5º) Essas instruções, complementadas com as informações numéricas (coordenadas, quantidades e medidas em grau), produzem o contôrno de um quadrado.
Explore
Continue a montagem do bloco de instruções, de modo a construir uma redução e uma ampliação do contôrno de quadrado obtido.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
5. A figura B é uma redução da figura ? Justifique sua resposta. a
6. Utilize uma folha de papel quadriculado para ampliar a figura a seguir. Multiplique a medida de comprimento de todos os segmentos de reta por 3.
7. Em uma folha de papel quadriculado, reduza a figura a seguir. Divida a medida de comprimento de todos os segmentos de reta por 2.
8. No plano cartesiano, faça uma ampliação do pentágono ABCDE de vértices (1, 1), a B (2, 2), C (3, 2), D (3, 1) e ê (2, 0), de fórma que a medida de comprimento de seus lados tenha o dobro das medidas de comprimento dos lados originais.
9. Os pares ordenados (1, 1), (3, 1) e (3, 2) correspondem aos vértices de uma redução do polígono cujos vértices correspondem aos pares ordenados (2, 2), (6, 2) e (6, 4)? Justifique sua resposta.
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Faça as atividades no caderno.
Representação de um polígono no plano cartesiano
A localização de pontos em um plano é feita com o auxílio de duas retas numéricas perpendiculares, chamadas eixos, que, em geral, indicamos por x (eixo horizontal) e y (eixo vertical). Esses eixos determinam o plano cartesiano. O ponto de intersecção dos dois eixos é denominado origem e é representado pela letra O.
Cada ponto desse plano pode ser representado por dois números entre parênteses, que chamamos par ordenado.
Representação de um polígono
Observe, a seguir, a representação do polígono ABCD com vértices a(1, 1), B(2, 4), C(7, 5) e D(5, 2) no plano cartesiano.
1. Escreva as coordenadas de cada ponto marcado no plano cartesiano a seguir.
2. Em seu caderno, represente em um plano cartesiano os pontos (2, 3), a B(4, 4), C(3, 6), D(5, 2) e (6, 1). ê
3. Determine os pares ordenados correspondentes aos vértices do trapézio representado no plano cartesiano a seguir.
4. Quais são as coordenadas dos vértices , a B, C, D e ê do pentágono a seguir?
5. Os pares ordenados (1, 1), a B(1, 4), C(4, 4) e D(4, 1) correspondem aos vértices de qual polígono?
6. Construa em um plano cartesiano um triângulo retângulo com um ângulo reto em (2, 0), um vértice em (2, 3) e a base no eixo x com duas unidades a mais de medida de comprimento do que a medida referente à altura.
7. Um triângulo isósceles é construído em um plano cartesiano com a base no eixo x medindo duas unidades de comprimento e com o vértice oposto à base associado ao par ordenado (2, 3). Quais são as coordenadas dos vértices da base?
8. Em seu caderno, construa um plano cartesiano e represente o paralelogramo com vértices nos pontos (0, 0), a B(1, 4), C(6, 5) e D(5, 1).
Figuras semelhantes
Ampliação e redução de figuras planas em malha quadriculada
Podemos usar uma malha quadriculada para ampliar ou reduzir figuras planas.
Na ampliação, mantemos as medidas de abertura dos ângulos e multiplicamos todas as medidas de comprimento dos segmentos de reta por um mesmo número maior que 1.
Na redução, também mantemos as medidas de abertura dos ângulos, mas dividimos as medidas de comprimento dos segmentos de reta por um mesmo número maior que 1.
Ampliação e redução de figuras planas no plano cartesiano
O triângulo GHI é uma ampliação do triângulo ABC e o triângulo DEF é uma redução do triângulo ABC.
Para reduzir o triângulo ABC anterior, podemos dividir as coordenadas de cada vértice pelo mesmo número e, para ampliá-lo, podemos multiplicar as coordenadas de cada vértice por um mesmo número. Esse número, em ambos os casos, deve ser maior que 1.
9. A figura B é uma ampliação da figura a? Justifique sua resposta.
10. Em uma folha de papel quadriculado, amplie a figura a seguir. Multiplique a medida de comprimento de todos os segmentos de reta por 2.
11. O polígono representado a seguir é uma redução do polígono com os vértices associados aos pontos (6, 2), a B(4, 8), C(10, 6) e D(12, 2)?
É hora de extrapolar
Faça as atividades no caderno.
Você já pensou em como os murais são feitos?
A arte do grafite, diretamente conectada ao movimento hip-hop, tornou-se popular na década de 1970 nos bairros de Nova iórque como um tipo de manifestação, por meio de desenhos e mensagens, para expressar a realidade dos menos favorecidos e refletir sobre ela. Ao mesmo tempo, artistas brasileiros desenvolveram as próprias técnicas, alguns com um toque de brasilidade, e se tornaram conhecidos mundialmente. Hoje em dia, os grafites estão cada vez mais presentes nos espaços públicos: tornando a arte acessível à população, propiciando a reflexão e a crítica a problemas sociais e contribuindo para a revitalização urbana, como o mural Etnias, do artista brasileiro Eduardo Kobra.
Conheça mais
Você pode conhecer telas e projetos de Eduardo Kobra acessando a página oficial do artista na internet.
Objetivos: Pesquisar a arte do grafite e a técnica de ampliação de desenhos para a realização de obras de arte, que serão expostas na sala de aula e na escola.
Etapa 1: Análise do mural Etnias.
1.
Reúna-se em grupo com os colegas, analisem o mural da foto e respondam às questões.
a) Quais povos foram representados no mural?
b) Em entrevista, Kobra disse que o mural procura passar a mensagem de paz e união dos povos. Vocês acham que, de fato, a obra transmite essa mensagem? Justifiquem.
c) Como vocês acham que foi feita essa obra de arte? Que materiais e técnicas foram usados?
d) Quais figuras geométricas planas é possível identificar na obra apresentada?
2.
Leiam o texto sobre a quantidade de tinta e o tempo de elaboração do mural.
“Na confecção da obra, foram usadas 3 mil latas de spray, 700 litros de tinta colorida e .1800 litros de tinta branca para o fundo. Para que ficasse pronta antes da Rio-2016, Eduardo Kobra e sua equipe encararam uma maratona de 12 horas de trabalhos diários durante dois meses. E essa não foi a única parte complicada: ele estima ter levado três meses para chegar ao resultado final do desenho, fruto de uma pesquisa profunda sobre povos nativos ao redor do globo.”
Disponível em: https://oeds.link/YgMwrj. Acesso em: 2 maio 2022.
a) Qual foi o total de tinta, em litro, usado no mural? Que porcentagem representa a quantidade de tinta colorida? E de tinta branca?
b) Quantos meses foram necessários para finalizar o mural, considerando todas as etapas? Que porcentagem representa o tempo gasto apenas para chegar ao resultado final do desenho, antes de iniciar o trabalho na parede?
Etapa 2: Pesquisa sobre a arte do grafite e o uso da técnica de ampliação de desenhos.
3. Pesquisem em jornais, revistas e na internet:
• o significado da expressão “grafite”;
• técnicas usadas por grafiteiros;
• mulheres grafiteiras e suas obras.
4. Para a realização de suas obras, Kobra, assim como muitos artistas, desenha primeiro no papel. Em seguida, usa uma malha quadriculada com referências de localização, como no jôgo “batalha-naval”, numerando as linhas e as colunas. Assim, depois de preparar e quadricular o muro, com quadrados maiores, usando as mesmas referências do papel, é necessário reproduzir no muro o que foi feito no papel.
a) Em uma malha quadriculada, numerem as linhas e as colunas e desenhem figuras geométricas planas (retângulos, triângulos, pentágonos etcétera).
b) Em uma cartolina, tracem uma malha quadriculada, com quadrados maiores, e reproduzam as figuras geométricas feitas anteriormente, respeitando as referências de localização de cada quadrado.
Etapa 3: Elaboração de obras de arte com a técnica de ampliação.
5. Escolham um tema ou uma mensagem que julguem importante e que possa ser representado(a) com um desenho: meio ambiente, diversidade cultural, cidadania . etcétera
6. Façam em uma malha quadriculada um desenho que expresse a mensagem escolhida pelo grupo.
7. Reproduzam o desenho em uma cartolina, mas em tamanho maior, usando a técnica estudada.
8. Agora, façam um desenho em um malha quadriculada e peçam a outro grupo que faça a ampliação do desenho em uma cartolina.
Etapa 4: Exposição e análise das obras de arte.
9. Disponibilizem as obras criadas pelo grupo para que os outros analisem e opinem sobre o significado e a mensagem representada em cada obra.
10. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.
11. Se possível, escolham uma ou mais obras para serem reproduzidas em paredes da escola.
Etapa 5: Síntese do trabalho realizado.
12. Algumas questões que devem ser discutidas:
a) As obras de arte atenderam aos objetivos propostos?
b) Vocês acreditam que a arte pode levar à reflexão de problemas sociais?
13. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4.