Página setenta e dois

Parte 2

Sólido	V + F	A + 2
	5 + 5 = 10	8 + 2 = 10
	8 + 12 = 20	18 + 2 = 20
	5 + 6 = 11	9 + 2 = 11

• A regularidade observada é que V + F = a + 2.

• A regularidade observada é válida para todos os sólidos.

Veja que interessante – página 78

Espera-se que os estudantes respondam que sim, pois todas as suas faces têm o mesmo número de arestas regulares e todos os vértices são formados pelo encontro do mesmo número de arestas.

Atividades – página 79

1. a) Esfera.

b) Cone.

c) Cilindro.

d) Prisma.

e) Prisma.

f) Pirâmide.

2. Exemplos de resposta:

a) Ambos são sólidos geométricos e possuem duas bases paralelas congruentes; porém o prisma é um poliedro e o cilindro é um corpo redondo.

b) Ambos são sólidos geométricos e possuem uma única base; porém a pirâmide é um poliedro e o cone é um corpo redondo.

3. a) 5 faces, 8 arestas e 5 vértices.

b) 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.

4. O movimento do pirulito remete à imagem de uma esfera.

5. a) Há 5 faces, 9 arestas e 6 vértices.

b) A base desse prisma é representada por um triângulo.

6. a)

Poliedro regular	Número de vértices	Número de faces	Número de arestas
Tetraedro	4	4	6
Hexaedro	8	6	12
Octaedro	6	8	12
Dodecaedro	20	12	30
Icosaedro	12	20	30

b) Podemos conferir se a relação é válida, usando os dados do quadro anterior e organizando um novo quadro:

Poliedro regular	V + F	A + 2
Tetraedro	4 + 4 = 8	6 + 2 = 8
Hexaedro	8 + 6 = 14	12 + 2 = 14
Octaedro	6 + 8 = 14	12 + 2 = 14
Dodecaedro	20 + 12 = 32	30 + 2 = 32
Icosaedro	12 + 20 = 32	30 + 2 = 32

A relação de Euler é válida para todos os poliedros do quadro, pois, em cada caso, o número de faces adicionado ao número de vértices é igual ao número de arestas mais 2 (V + F = a + 2).

7. Para encontrar o total de peças, podemos fazer 16 ⋅ 16 = 256.

Portanto, foram utilizadas duzentas e cinquenta e seis peças nessa construção.

Atividades – Página 81

8. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que há mais de uma maneira de representar a planificação.

Figura geométrica. Planificação da superfície de um sólido. Figura formada por 2 retângulos rosa, 2 retângulos amarelos e 2 retângulos azuis.

9. Alternativa c.

10. As figuras dos itens a, c e d são planificações de um cubo.

Exemplo de resposta:

Figuras geométricas. Figura formada por 6 quadrados idênticos. 3 deles estão lado a lado. Abaixo do quadrado do meio, há 3 quadrados, um embaixo do outro. À direita, segunda figura formada por 6 quadrados idênticos. 4 deles estão na vertical. À esquerda do primeiro, de cima para baixo, um quadrado. À direita do segundo, outro quadrado. À direita, terceira figura formada por 6 quadrados idênticos. 4 deles estão na vertical. À esquerda do primeiro, de cima para baixo, um quadrado. À direita do terceiro, outro quadrado.

11. a)

Planificação da superfície de um cubo. Figura formada por 6 quadrados idênticos. 4 deles estão lado a lado. No interior de cada quadrado há 1 letra. Da esquerda para a direita: B, C, B e C. Abaixo do segundo quadrado, da esquerda para a direita, há um quadrado, no interior a letra, A. Acima do terceiro quadrado, há outro quadrado, em seu interior a letra A.

Planificação da superfície de um cubo. Figura formada por 6 quadrados idênticos. No interior de cada quadrado há 1 letra. Começando pelo primeiro com a letra A, o segundo a direita tema letra C. O terceiro abaixo do segundo, tem em seu interior a letra B. O quarto a direita do terceiro tem a letra A. O quinto abaixo do quarto, tem em seu interior a letra C e, o sexto à direita do quinto, tem em seu interior a letra B.

12. Não, pois os poliedros regulares têm todas as faces iguais e, na pirâmide citada, a base é pentagonal (5 lados) e as faces laterais são triangulares.

13. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes elaborem perguntas que envolvam características dos poliedros e contagem de seus elementos.

Resolvendo em equipe – página 82

Interpretação e identificação dos dados

umApenas uma dimensão foi diretamente identificada: 24 centímetros.

doisNão todas, é possível identificar apenas mais uma dimensão, que é indicada de maneira indireta por 90 centímetros.

Plano de resolução

• Se chamarmos de a a medida da largura da caixa, teremos que: 24 + 24 + a = 90. Como 90 ‒ 24 ‒ 24 = 42, então a medida do comprimento da largura da caixa é 42 centímetros.

Página setenta e três

Resolução

Sabendo que a soma das medidas da altura, comprimento e largura pode ser, no máximo, igual a 115 centímetros e como já conhecemos duas dimensões, podemos chamar de x a medida de comprimento desconhecida, assim:

x + 42 + 24 = 115

Como 115 ‒ 42 ‒ 24 = 73 ‒ 24 = 49, concluímos que o valor máximo para x é 49 centímetros.

Alternativa e.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – Página 83

1. Das figuras apresentadas, apenas o cilindro apresenta superfície que não é plana. Portanto, o único que não representa um poliedro.

Alternativa d.

2. a)

	Número de faces	Número de arestas	Número de vértices
Figura 1	8	18	12
Figura 2	7	12	7
Figura 3	6	12	8

b) Figura 1: base hexagonal; Figura 2: base hexagonal; Figura 3: base quadrangular.

3. a) Prisma de base hexagonal.

b) Cilindro.

c) Octaedro.

d) Prisma de base triangular.

É hora de extrapolar – páginas 84 e 85

1. a) O título é “Resposta rápida”.

b) Há dois personagens: o tucano e o macaco bugio.

c) Sobre o código QR code.

d) A frase apresentada é: “Isso não é um labirinto, Caco! É um QR code”.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes realizem pesquisas em fontes confiáveis para encontrar as respostas.

Uma sugestão: https://oeds.link/hWy7AP. Acesso em: 13 junho 2022.

3. Exemplo de resposta:

O QR code consegue armazenar mais informações incluindo links, coordenadas geográficas e texto. Enquanto o código de barras armazena uma sequência numérica.

O código de barras é lido por um equipamento específico, enquanto o QR code pode ser lido pela câmera de celular.

4. Quadro 1: “Eu vou adivinhar o número que você está pensando”; “3”; “Essa eu quero ver.”

Quadro 2: “Você pensou no 3.”; “Que demais! Você é mágico?”

Quadro 3: “Não, eu usei um aplicativo para ler QR code.”; “Você acabou de perder um fã.”

• O número pensado e descoberto foi o 3.

5. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem um problema e, em seguida, usem um aplicativo que crie QR code com o texto do problema, e outro com a resposta.

8. Respostas pessoais. Espera-se que, durante o debate realizado pelos estudantes, eles façam pesquisas sobre a existência de produtos similares e se o produto tem relevância social.

9. Resposta pessoal.

10. Projeto pessoal. Apresentação e análise de embalagem com QR code.

11. Resposta pessoal.

12. Respostas pessoais.

13. Resposta pessoal.

UNIDADE 2

CAPÍTULO 4 – IGUALDADES E DESIGUALDADES

Trocando ideias – página 87

• É mais vantajoso comprar o chapéu na loja do bairro. A igualdade que representa a economia é 42 ‒ 30 = 12, logo Vera economizaria R$ 12,00doze reais.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes tenham a oportunidade de relatar situações em que observem a importância de pesquisar preços.

Atividades – página 88

1. a) Oito mais três é igual a onze.

b) Trinta e dois é maior que vinte dividido por dez.

c) Vinte e três é maior ou igual a doze mais oito.

d) Três vezes quatro é menor ou igual a três vezes cinco.

2. a) 5 < 9 é verdadeira

b) 7 ⋅ 2 ⩽ 7 ⋅ 3 é verdadeira, pois 14 ⩽ 21

c) 6 + 3 ≠ 9 é falsa, pois 6 + 3 = 9

d) 22 ‒ 10 > 12 é falsa, pois 22 ‒ 10 = 12

3. a) Como 10 + 2 = 12 e 6 + 3 + 2 + 1 = 12, então podemos afirmar que:

10 + 2 = 6 + 3 + 2 + 1 ou

10 + 2 ⩽ 6 + 3 + 2 + 1 ou

10 + 2 ⩾ 6 + 3 + 2 + 1

b) Como 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 120 e 6 + 7 + 8 = 21, então podemos afirmar que:

4 ⋅ 5 ⋅ 6 > 6 + 7 + 8 ou

4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⩾ 6 + 7 + 8

c) Como 3² ⋅ 2² = 9 ⋅ 4 = 36 e 3² + 2² = 9 + 4 = 13, então podemos afirmar que:

3² ⋅ 2² ⩾ 3² + 2² ou

3² ⋅ 2² > 3² + 2²

d) Como 2 ³ ‒ 2 ² = 8 ‒ 4 = 4, então podemos afirmar que:

2³ ‒ 2² ⩽ 5 ou

2³ ‒ 2² < 5

Atividades – páginas 89 e 90

4. a) Afirmação falsa, pois, se adicionarmos 1 apenas ao 2º membro, vamos desequilibrar essa igualdade.

Por exemplo:

6 + 5 = 11 (partindo de uma sentença verdadeira)

6 + 5 = 11 + 1 (adicionando 1 apenas no 2º membro)

11 ≠ 12

b) Afirmação verdadeira, pois manteremos o equilíbrio ao subtrair o mesmo número dos dois membros.

Por exemplo:

6 + 5 = 11 (partindo de uma sentença verdadeira)

Página setenta e quatro

6 + 5 ‒ 1 = 11 ‒ 1 (subtraindo 1 de cada um dos membros)

10 = 10 (chegamos a uma sentença verdadeira)

c) Afirmação falsa, pois, se adicionarmos 2 ao 1º membro e 3 ao 2º membro, vamos desequilibrar essa igualdade.

6 + 5 = 11 (partindo de uma sentença verdadeira)

6 + 5 + 2 = 13 e 11 + 3 = 14 (adicionando 2 ao 1º membro e 3 ao 2º membro)

13 ≠ 14 (chegamos a uma sentença falsa)

5. a) 2 + 3 = 10 ‒ 5

2 + 3 + 5 = 10 ‒ 5 + 5

5 + 5 = 5 + 5

10 = 10

b) 14 ‒ 5 = 3 + 3 + 3

14 ‒ 5 ‒ 2 = 3 + 3 + 3 ‒ 2

9 ‒ 2 = 9 ‒ 2

7 = 7

c) 21 ‒ 10 = 22 ‒ 11

21 ‒ 10 + 3 = 22 ‒ 11 + 3

11 + 3 = 11 + 3

14 = 14

d) 13 + 2 = 6 + 6 + 3

13 + 2 ‒ 3 = 6 + 6 + 3 ‒ 3

15 ‒ 3 = 12 + 3 ‒ 3

12 = 15 ‒ 3

12 = 12

6. a) 1 + 2 + 3 = 3 + 3

4 ⋅ (1 + 2 + 3) = 4 ⋅ (3 + 3)

4 + 8 + 12 = 12 + 12

12 + 12 = 24

24 = 24

b) 10 + 20 = 30

(10 + 20) : 10 = 30 : 10

10 : 10 + 20 : 10 = 3

1 + 2 = 3

3 = 3

c) 12 ‒ 6 = 2 ⋅ 3

2 ⋅ (12 ‒ 6) = 2 ⋅ (2 ⋅ 3)

2 ⋅ 6 = 2 ⋅ 6

12 = 12

d) 3 + 3 + 3 = 18 ‒ 9

(3 + 3 + 3) : 3 = (18 ‒ 9) : 3

9 : 3 = 9 : 3

3 = 3

7. Exemplo de resposta:

Antes do aniversário: 3 + 2 + 2 = 7

Depois do aniversário: 2 ⋅ (3 + 2 + 2) = 2 ⋅ 7 = 14

Atividades – página 92

8. a) Desenho:

Ilustração. Balança de pratos. A balança está equilibrada e do lado esquerdo há um pacote e um peso de 200 gramas, do lado direito há 2 pesos de 300 gramas cada um.

Sentença matemática:

+ 200 = 300 + 300

b) Resolvendo a sentença matemática do item anterior:

+ 200 = 300 + 300

+ 200 ‒ 200 = 300 + 300 ‒ 200

= 600 ‒ 200

= 400

Logo, a medida de massa do pacote de farinha é 400 gramas.

9. a)

‒ 10 = 25

‒ 10 + 10 = 25 + 10

= 35

Logo, havia 25 bolinhas no saquinho.

b) 3 ⋅

+ 1 = 7

3 ⋅

+ 1 ‒ 1 = 7 ‒ 1

3 ⋅

= 6

(3 ⋅

) : 3 = 6 : 3

= 2

O número é 2.

10. a)

+ 10 = 15

+ 10 ‒ 10 = 15 ‒ 10

= 5

O número desconhecido é 5.

b) 10 ‒ 2 =

‒ 2

10 ‒ 2 + 2 =

‒ 2 + 2

8 + 2 =

10 =

O número desconhecido é 10.

c) 2 ⋅

+ 3 = 10 + 5

2 ⋅

+ 3 ‒ 3 = 10 + 5 ‒ 3

2 ⋅

= 15 ‒ 3

(2 ⋅

) : 2 = (15 ‒ 3) : 2

= 12 : 2

= 6

O número desconhecido é 6.

d) 14 ‒ 2 = 10 +

14 ‒ 2 ‒ 10 = 10 +

– 10

12 ‒ 10 =

2 =

O número desconhecido é 2.

e) 31 = 3 ⋅

‒ 8

31 + 8 = 3 ⋅

‒ 8 + 8

39 = 3 ⋅

39 : 3 = (3 ⋅

) : 3

13 =

O número desconhecido é 13.

f) 3 ⋅ (9 ‒ 2) = 3 ⋅

3 ⋅ 7 = 3 ⋅

21 : 3 = ( 3 ⋅

) : 3

7 =

O número desconhecido é 7.

11. Exemplo de resolução:

Se chamarmos de

a pontuação de Vítor, a pontuação de Paula será 2 ⋅

. A sentença que expressa essa situação é:

+ 2

= 300

Resolvendo:

= 300

) : 3 = 300 : 3

= 100

Vítor fez 100 pontos e Paula fez 200 pontos.

Página setenta e cinco

12. Resposta pessoal. Exemplo de problema que pode ser elaborado:

Alex pesquisou o preço de um agasalho e encontrou duas marcas: a e B. O agasalho da marca a custa R$ 150,00cento e cinquenta reais, que é R$ 12,00doze reais mais caro que o da marca B. Descubra quanto custa o agasalho da marca B.

Exemplo de resolução:

Se o preço da marca B for representado por

, temos a seguinte igualdade:

150 =

+ 12

Resolvendo:

150 ‒ 12 =

+ 12 ‒ 12

138 =

Logo, o agasalho da marca B custa R$ 138,00cento e trinta e oito reais.

13. Resposta pessoal. Exemplo de problema que pode ser elaborado:

Maurício colheu caquis e distribuiu igualmente entre seus 4 amigos. Cada amigo recebeu 10 caquis e ainda sobram 3 caquis para Maurício. Quantos caquis Maurício colheu?

Exemplo de resolução:

Se o número de caquis colhidos for representado por

, teremos a seguinte igualdade:

= 4 ⋅ 10 + 3

Resolvendo:

= 40 + 3

= 43

Logo, ele colheu 43 caquis.

Atividades – página 94

14. a) 10 ‒ 3 > 4

10 ‒ 3 + 4 > 4 + 4

7 + 4 > 8

11 > 8

b) 24 : 2 ⩾ 6 + 6

24 : 2 ‒ 11 ⩾ 6 + 6 ‒ 11

12 ‒ 11 ⩾ 12 ‒ 11

1 ⩾ 1

c) 1 + 2 + 3 ⩽ 1 ⋅ 2 ⋅ 3

1 + 2 + 3 + 13 ⩽ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 13

3 + 3 + 13 ⩽ 2 ⋅ 3 + 13

6 + 13 ⩽ 6 + 13

19 ⩽ 19

d) 3 + 3 + 3 > (21 ‒ 7) : 2

3 + 3 + 3 ‒ 7 > (21 ‒ 7) : 2 ‒ 7

9 ‒ 7 > 14 : 2 ‒ 7

2 > 7 ‒ 7

2 > 0

15. Uma possibilidade de resposta:

Antes: 15 + 20 > 15

Depois: 15 + 20 + 10 > 15 + 10

16. a) 2 ⋅ (3 + 4) ⩾ 2 ⋅ (1 + 2)

2 ⋅ 12 ⩾ 2 ⋅ 3

24 ⩾ 6

Verdadeira

b) 3 ⋅ 4 < (1 + 2) ⋅ (2 + 2)

12 < 3 ⋅ 4

12 < 12

Falsa

c) 28 : 14 ⩾ 14 : 7

2 ⩾ 2

Verdadeira

d) 35 : 7 < 49 : 7

5 < 7

Verdadeira

17. a) 4 + 1 ≠ 6

4 ⋅ (4 + 1) ≠ 4 ⋅ 6

4 ⋅ 5 ≠ 24

20 ≠ 24

b) 28 > 14

28 : 14 > 14 : 14

2 > 1

c) 19 ‒ 10 ⩽ 3 ⋅ 3

5 ⋅ (19 ‒ 10) ⩽ 5 ⋅ (3 ⋅ 3)

5 ⋅ 9 ⩽ 5 ⋅ 9

45 ⩽ 45

d) 9 + 6 + 3 > 1 + 2 + 3

(9 + 6 + 3) : 3 > (1 + 2 + 3) : 3

(18) : 3 > (6) : 3

6 > 2

18. Antes: 5 + 5 + 5 + 10 < 20 + 10

Depois: 5 + 5 + 5 + 10 + (20 : 2) < 20 + 10 + (20 : 2)

19. a) Podemos observar que:

• na primeira pesagem o prato da esquerda tem medida de massa total 300 gramas (100 + 200 = 300). Portanto, a diferença entre a medida da massa dos dois pratos é 50 gramas (300 ‒ 250 = 50)

• o prato da esquerda nas duas situações tem as mesmas massas.

• Logo, o pêso metálico tem medida de massa 50 gramas.

b) Representações por sentenças:

1ª pesagem: 100 + 200 > 250

2ª pesagem: 100 + 200 = 250 + 50

c) A balança ficará desequilibrada, com maior massa no prato da esquerda.

100 + 200 + 50 > 250 + 50

Revisão dos conteúdos deste capítulo – página 95

1. a) 12 > 3 + 15 12 > 18 Sentença falsa

b) 7 ⋅ 12 = 12 ⋅ 7 84 = 84 Sentença verdadeira

c) 15 ‒ 5 ≠ 105 ‒ 95 10 = 10 Sentença falsa

d) 127 ⩽ 150 ‒ 16 127 ⩽ 134 Sentença verdadeira

Logo, as sentenças verdadeiras são dos itens b e d.

2. a) Como 25 + 5 = 30 e 12 + 5 + 15 = 32, então podemos afirmar que:

25 + 5 ⩽ 12 + 5 + 15 ou

25 + 5 < 12 + 5 + 15

b) Como 7 ⋅ 10 = 70 e 140 : 2 = 70, então podemos afirmar que:

7 ⋅ 10 = 140 : 2 ou

7 ⋅ 10 ⩽ 140 : 2 ou

7 ⋅ 10 ⩾ 140 : 2

c) Como 12 ⋅ 5 + 50 = 60 + 50 = 110 e 150 ‒ 200 : 2 + 50 = 150 ‒ 100 + 50 = 50 + 50 = 100, então podemos afirmar que:

12 ⋅ 5 + 50 ⩾ 150 ‒ 200 : 2 + 50 ou

12 ⋅ 5 + 50 > 150 ‒ 200 : 2 + 50

3. a) 12 ‒ 10 = 45 ‒ 43

12 ‒ 10 + 25 = 45 ‒ 43 + 25

2 + 25 = 2 + 25

27 = 27

Página setenta e seis

b) 30 + 11 = 56 ‒ 15

30 + 11 ‒ 12 = 56 ‒ 15 ‒ 12

41 ‒ 12 = 41 ‒ 12

29 = 29

c) 19 + 3 = 38 ‒ 16

9 ⋅ (19 + 3) = 9 ⋅ (38 ‒ 16)

9 ⋅ 22 = 9 ⋅ 22

198 = 198

d) 36 ‒ 18 = 12 + 6

(36 ‒ 18) : 6 = (12 + 6) : 6

18 : 6 = 18 : 6

3 = 3

4. a) Se representarmos o número desconhecido por

, temos: temos:

‒ 18 = 46

Resolvendo:

‒ 18 + 18 = 46 + 18

= 64

Juliano tinha 64 figurinhas.

b) Se representarmos o número desconhecido por

, temos:

2 ⋅

+ 12 = 58

Resolvendo:

2 ⋅

+ 12 ‒ 12 = 58 ‒ 12

(2 ⋅

) : 2 = 46 : 2

= 23

Logo, o número é 23.

5. Representando a situação com uma sentença matemática, temos:

400 + 400 + 800 = 50 + ?

.1600 ‒ 50 = 50 + ? ‒ 50

.1550 = ?

Logo, a medida da massa da caixa azul é .1550 gramas.

6. a)

+ 16 = 112

+ 16 ‒ 16 = 112 ‒ 16

= 96

b) 4 ⋅ 10 +

= 52

40 +

‒ 40 = 52 ‒ 40

= 12

c) 15 : 3 + 28 = 14 + 19 ⋅

5 + 28 = 14 + 19 ⋅

33 = 14 + 19 ⋅

33 ‒ 14 = 14 + 19 ⋅

‒ 14

19 = 19 ⋅

19 : 19 = (19 ⋅

) : 19

1 =

7. Se chamarmos de

o valor que Felipe recebeu, o valor recebido por Jorge será 2 ⋅

. A sentença que expressa essa situação é:

+ 2

= 270.

Resolvendo:

= 270

) : 3 = 270 : 3

= 90

Se Felipe recebeu R$ 90,00noventa reais e Jorge recebeu o dôbro disso, então Jorge recebeu R$ 180,00cento e oitenta reais.

8. a) 10 ⋅ (3 + 5) = 10 ⋅ 8 = 80 e 12 ⋅ (2 + 3) = 12 ⋅ 5 = 60

Logo, 10 ⋅ (3 + 5) ⩾ 12 ⋅ (2 + 3) é verdadeira, pois 80 ⩾ 60.

b) 10 + 2 ⋅ 5 = 10 + 10 = 20 e (2 + 10) : 3 = 12 : 3 = 4

Logo, 10 + 2 ⋅ 5 ⩽ (2 + 3) : 3 é falsa, pois 20 > 4.

c) 36 : 2 ‒ 12 = 18 ‒ 12 = 6

6 2 ‒ 4 2 + 4 = 36 ‒ 16 + 4 = 20 + 4 = 24

Logo, 36 : 2 ‒ 12 ≠ 6 ² ‒ 4 ² + 4 é verdadeira, pois 6 ≠ 24.

9. Antes: 125 < 132

Depois: 125 + 25 < 132 + 25

CAPÍTULO 5 – MÚLTIPLOS E DIVISORES

Trocando ideias – página 96

• O esquema serve para verificar se um número é ou não múltiplo de 3.

• Verificando para cada número, temos:

7 : 3 tem resto igual a 1.

9 : 3 tem resto igual a 0.

23 : 3 tem resto igual a 2.

24 : 3 tem resto igual a 0.

22 : 3 tem resto igual a 1.

15 : 3 tem resto igual a 0.

33 : 3 tem resto igual a 0.

41 : 3 tem resto igual a 2.

São múltiplos de 3, os números 9, 15, 24 e 33.

Atividades – página 99

1. Calculando os cinco menores múltiplos de 17, temos:

0 ⋅ 17 = 0; 1 ⋅ 17 = 17; 2 ⋅ 17 = 34; 3 ⋅ 17 = 51 e 4 ⋅ 17 = 68.

Portanto, os cinco menores múltiplos de 17 são: 0, 17, 34, 51 e 68.

2. a) 46, 69, 92 e 115.

b) Esses são os quatro primeiros múltiplos de 23, com exceção do zero e dele próprio.

3. a) Como 7 ⋅ 7 = 49, então vamos encontrar os múltiplos de 7, a partir de 7 ⋅ 8.

8 ⋅ 7 = 56; 9 ⋅ 7 = 63; 10 ⋅ 7 = 70; 11 ⋅ 7 = 77; 12 ⋅ 7 = 84

Portanto, os múltiplos de 7 maiores que 50 e menores que 80 são: 56, 63, 70 e 77.

b) Como 10 ⋅ 16 = 160, então vamos encontrar os múltiplos de 16, a partir de 10 ⋅ 16.

10 ⋅ 16 = 160; 11 ⋅ 16 = 176; 12 ⋅ 16 = 192; 13 ⋅ 16 = 208

Portanto, os múltiplos de 16 compreendidos entre 151 e 201 são: 160, 176 e 192.

4. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes escolham números pares e ímpares para testar no fluxograma, de modo a encontrar os números múltiplos de 2, e os não múltiplos de 2.

5. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes construam corretamente o fluxograma utilizando as figuras corretamente. Veja um exemplo para números múltiplos de 6.

Fluxograma. Da esquerda para a direita: Início. Seta para a direita, indicando o quadro: Escolha um número natural qualquer. Seta para a direita, indicando o quadro: Divida o número escolhido por 2. Seta para a direita indicando o losango: O resto da divisão é exata? Seta para cima, com escritos sim ao lado dela e para baixo, com escrito não ao lado dela. Acima, se sim, a seta chega no quadro: Divida o número por 3. Seta para a direita, indicando o losango: A divisão é exata? Seta para a direita, se SIM, indicando o quadro: O número é múltiplo de 6. Seta para baixo chega no quadro: Fim. Do primeiro losango, A divisão é exata?, abaixo, se não, a seta chega no quadro: O número não é múltiplo de 6. Seta para baixo e para direita chega no quadro: Fim.

6. a)

Algoritmo usual da divisão. 345 dividido por 7. Na primeira linha, à esquerda. o número 345, à direita na chave o número 7. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 28 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 345. Abaixo da chave o número 49. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 65, alinhado ordem a ordem com 345. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 63, alinhado ordem a ordem com 65. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 2.

O número 45 não é múltiplo de 7, pois a divisão de 345 por 7 não é exata.

Página setenta e sete

Algoritmo usual da divisão. 1 mil 445 dividido por 17. Na primeira linha, à esquerda. o número 1 mil 445, à direita na chave o número 17. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 136 alinhado a ordem das dezenas e das centenas e unidade de milhar de 1 mil 445. Abaixo da chave o número 85. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 85, alinhado ordem a ordem com 1 mil 445. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 85, alinhado ordem a ordem com 85. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0.

O número .1445 é múltiplo de 17, pois a divisão de .1445 por 17 é exata.

Algoritmo usual da divisão. 147 dividido por 21. Na primeira linha, à esquerda. o número 147, à direita na chave o número 21. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 147 alinhado ordem a ordem com 147. Abaixo da chave o número 7. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0. Algoritmo usual da divisão. 385 dividido por 21. Na primeira linha, à esquerda. o número 385, à direita na chave o número 21. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 21 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 385. Abaixo da chave o número 18. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 175, alinhado ordem a ordem com 385. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 168 alinhado ordem a ordem com 175. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 7. Algoritmo usual da divisão. 504 dividido por 21. Na primeira linha, à esquerda. o número 504, à direita na chave o número 21. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 42 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 504. Abaixo da chave o número 24. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 84, alinhado ordem a ordem com 504. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 84, alinhado ordem a ordem com 84. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0. Algoritmo usual da divisão. 7 mil 401 dividido por 21. Na primeira linha, à esquerda. o número 7 mil 401, à direita na chave o número 21. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 63 alinhado a ordem das centenas e da unidade de milhar de 7 mil 401. Abaixo da chave o número 352. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 110, alinhado a ordem das dezenas, das centenas e da unidade de milhar de 7 mil 401. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 105, alinhado ordem a ordem com 110. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 51 alinhado ordem a ordem com 7 mil 401. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 42 alinhado ordem a ordem com 51. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 9.

Os números 147 e 504 são múltiplos de 21, pois a divisão por 21 é exata.

d) Exemplo de resolução:

Podemos encontrar alguns múltiplos de 13 até chegar ou ultrapassar o 68:

0, 13, 26, 39, 65, 78

Então, o próximo múltiplo de 13 maior que 68 é o 78. Como 78 ‒ 68 = 10, precisamos adicionar 10 a 68 para obter um múltiplo de 13.

7. Primeiro verificamos se .3192 é múltiplo de 7.

Algoritmo usual da divisão. 3 mil 192 dividido por 7. Na primeira linha, à esquerda. o número 3 mil 192, à direita na chave o número 7. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 28 alinhado a ordem das centenas e da unidade de milhar de 3 mil 192. Abaixo da chave o número 456. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 39, alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 3 mil 192. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 35, alinhado ordem a ordem com 39. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 42 alinhado ordem a ordem com 3 mil 192. Abaixo à esquerda sinal de subtração, à direita o número 42, alinhado ordem a ordem com 42. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 0.

Sim, .3192 é múltiplo de 7.

Para encontrarmos o próximo múltiplo de 7, podemos calcular: .3192 + 7 = .3199.

8. Entre 300 e 320:

Múltiplo de 13: 312, pois 24 ⋅ 13 = 312

Múltiplo de 17: 306, pois 18 ⋅ 17 = 306

Múltiplo de 19: 304, pois 16 ⋅ 19 = 304

Aproximando para um múltiplo de 10, teremos, nessa ordem: 310, 310 e 300.

9. a) Verdadeira, pois .1856 = 928 ⋅ 2.

b) Verdadeira, pois 91 = 13 ⋅ 7.

c) Falsa, pois 169 : 3 tem resto igual a 1.

d) Falsa, pois 100 é múltiplo de 2 (100 = 50 ⋅ 2), mas não é múltiplo de 3 (já que 100 : 3 tem resto igual a 1).

e) Verdadeira, pois 210 = 105 ⋅ 2; 210 = 70 ⋅ 3; 210 = 42 ⋅ 5;

210 = 30 ⋅ 7.

f) Verdadeira, pois .123456 = .41152 ⋅ 3.

g) Verdadeira, pois .123456 = .1929 ⋅ 64.

h) Falsa, pois .123456 : 5 tem resto igual a 1.

10. Respostas pessoais. Exemplo de resposta:

a) Determine 5 menores múltiplos de 38 que são maiores que 100. (114, 152, 190, 228, 266).

b) Estão corretos, pois 114 = 3 ⋅ 38; 152 = 4 ⋅ 38;

190 = 5 ⋅ 38; 228 = 6 ⋅ 38 e 266 = 7 ⋅ 38.

Atividades – páginas 101 e 102

11. a.

Algoritmo usual da divisão. 600 dividido por 12. Na primeira linha, à esquerda. o número 600, à direita na chave o número 12. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 60 alinhado ordem das dezenas e das centenas de 600. Abaixo da chave o número 50. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 00.

Algoritmo usual da divisão. 600 dividido por 15. Na primeira linha, à esquerda. o número 600, à direita na chave o número 15. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 60 alinhado ordem das dezenas e das centenas de 600. Abaixo da chave o número 40. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 00.

Algoritmo usual da divisão. 600 dividido por 18. Na primeira linha, à esquerda. o número 600, à direita na chave o número 18. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 54 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 600. Abaixo da chave o número 33. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 60, alinhado ordem a ordem com 600. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 54, alinhado ordem a ordem com 60. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 6.

Algoritmo usual da divisão. 600 dividido por 24. Na primeira linha, à esquerda. o número 600, à direita na chave o número 24. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 48 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 600. Abaixo da chave o número 25. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 120, alinhado ordem a ordem com 600. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 120, alinhado ordem a ordem com 120. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0.

Algoritmo usual da divisão. 600 dividido por 36. Na primeira linha, à esquerda. o número 600, à direita na chave o número 36. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 36 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 600. Abaixo da chave o número 16. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 240, alinhado ordem a ordem com 600. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 216, alinhado ordem a ordem com 60. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 24.

Algoritmo usual da divisão. 600 dividido por 90. Na primeira linha, à esquerda. o número 600, à direita na chave o número 90. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 540 alinhado ordem a ordem com 600. Abaixo da chave o número 6. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 60.

Logo, 600 é divisível pelos números dos itens a, b, d.

12. a) Vejamos diferentes maneiras de escrever 30 por meio de um produto de dois números naturais:

1 ⋅ 30

2 ⋅ 15

3 ⋅ 10

5 ⋅ 6

Portanto, os fatores naturais de 30 são: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.

b) Vejamos diferentes maneiras de escrever 72 por meio de um produto de dois números naturais:

1 ⋅ 72

2 ⋅ 36

3 ⋅ 24

4 ⋅ 18

6 ⋅ 12

8 ⋅ 9

Portanto, os fatores naturais de 72 compreendidos entre 10 e 30 são: 12, 18 e 24.

c) Os divisores de 40 são: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Assim, os divisores ímpares de 40 são: 1 e 5.

d) Os divisores pares de 40 são: 2, 4, 8, 10, 20 e 40.

13. a) O maior divisor de um número é o próprio número.

b) O menor divisor é de qualquer número é o 1.

c) Sim, o zero só não divisível por ele mesmo, pois não existe divisão por zero.

d) São os números ímpares que deixam resto 1 quando divididos por 2.

e) São os números pares que deixam resto 0 quando divididos por 2.

14. a) O maior número par de 3 algarismos é o 998.

b) Os divisores de 32 são: 1, 2, 4, 8, 16 e 32. Então os três maiores são 8, 16 e 32.

c) Exemplo de resolução:

Considerando que o maior número de 3 algarismos é o 999, podemos fazer:

Algoritmo usual da divisão. 999 dividido por 23. Na primeira linha, à esquerda. o número 999, à direita na chave o número 23. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 92 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 999. Abaixo da chave o número 43. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 79, alinhado ordem a ordem com 999. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 69, alinhado ordem a ordem com 79. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 10.

Logo, temos que 999 não é divisível por 23, mas 23 ⋅ 43 = 989 é divisível por 23 e é o maior possível número de 3 algarismos divisível por 23.

15. Uma possível resolução:

Algoritmo usual da divisão. 1 mil 657 dividido por 100. Na primeira linha, à esquerda. o número 1 mil 657, à direita na chave o número 100. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 100 alinhado a ordem das dezenas e das centenas e da unidade de milhar de 1 mil 657. Abaixo da chave o número 16. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 657, alinhado ordem a ordem com 1 mil 657. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 600, alinhado ordem a ordem com 657. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 57.

Como o resto da divisão de .1657 por 100 é 57, devemos encontrar quanto falta para completar 100, ou seja, 100 ‒ 57 = 43. Logo, o menor número a ser adicionado é 43.

Página setenta e oito

16. a) Como .1154 = 2 ⋅ 577, podemos dizer que 2 é divisor de .1154.

Logo, a afirmação é verdadeira.

Algoritmo usual da divisão. 185 dividido por 7. Na primeira linha, à esquerda. o número 185, à direita na chave o número 7. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 14 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 185. Abaixo da chave o número 26. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 45, alinhado ordem a ordem com 185. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 42, alinhado ordem a ordem com 45. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 3.

Como a divisão não é exata, a afirmação é falsa.

Algoritmo usual da divisão. 810 dividido por 3. Na primeira linha, à esquerda. o número 810, à direita na chave o número 3. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 6 alinhado a ordem das centenas de 810. Abaixo da chave o número 270. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 21, alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 810. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 21, alinhado ordem a ordem com 21. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 00. Algoritmo usual da divisão. 810 dividido por 5. Na primeira linha, à esquerda. o número 810, à direita na chave o número 5. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 5 alinhado a ordem das centenas de 810. Abaixo da chave o número 162. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 31, alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 810. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 30, alinhado ordem a ordem com 21. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 10 alinhado ordem a ordem com 810. Abaixo à esquerda sinal de subtração, à direita o número 10 alinhado ordem a ordem com 10. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 0.

Algoritmo usual da divisão. 810 dividido por 9. Na primeira linha, à esquerda. o número 810, à direita na chave o número 9. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 81 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 810. Abaixo da chave o número 90. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 00. Algoritmo usual da divisão. 810 dividido por 10. Na primeira linha, à esquerda. o número 810, à direita na chave o número 10. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 80 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 810. Abaixo da chave o número 81. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 10, alinhado ordem a ordem com 810. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 10, alinhado ordem a ordem com 10. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0.

Todas essas divisões têm resto igual a zero. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Algoritmo usual da divisão. 117 dividido por 2. Na primeira linha, à esquerda. o número 117, à direita na chave o número 2. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 10 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 117. Abaixo da chave o número 58. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 17, alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 117. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 16, alinhado ordem a ordem com 17. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 1. Algoritmo usual da divisão. 117 dividido por 9. Na primeira linha, à esquerda. o número 117, à direita na chave o número 9. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 9 alinhado a ordem das dezenas de 117. Abaixo da chave o número 13. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 27, alinhado ordem a ordem com 117. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 27, alinhado ordem a ordem com 27. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0. Algoritmo usual da divisão. 117 dividido por 3. Na primeira linha, à esquerda. o número 117, à direita na chave o número 3. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 9 alinhado a ordem das dezenas de 117. Abaixo da chave o número 39. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 27, alinhado ordem a ordem com 117. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 27, alinhado ordem a ordem com 27. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0. Algoritmo usual da divisão. 117 dividido por 100. Na primeira linha, à esquerda. o número 117, à direita na chave o número 100. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 100 alinhado ordem a ordem com 117. Abaixo da chave o número 1. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 17.

Observando os restos de cada divisão, podemos dizer que 3 e 9 são fatores de 117, mas 2 e 100 não. Portanto, a afirmação é falsa.

Algoritmo usual da divisão. 84 dividido por 8. Na primeira linha, à esquerda. o número 84, à direita na chave o número 8. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 8 alinhado a ordem das dezenas de 117.Abaixo da chave, o número 10 Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 04.

Como a divisão não é exata, 8 não é divisor de 84. Portanto, a afirmação é falsa.

Algoritmo usual da divisão. 500 dividido por 16. Na primeira linha, à esquerda. o número 500, à direita na chave o número 16. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 48 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 500. Abaixo da chave o número 31. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 20, alinhado ordem a ordem com 500. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 16 alinhado ordem a ordem com 20. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 4.

Como a divisão não é exata, 16 não é divisor de 500. Portanto, a afirmação é falsa.

Algoritmo usual da divisão. 288 dividido por 32. Na primeira linha, à esquerda. o número 288, à direita na chave o número 32. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 288 alinhado ordem a ordem com 288. Abaixo da chave o número 9. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0.

Como a divisão é exata, 32 é fator de 288. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Algoritmo usual da divisão. 196 dividido por 14. Na primeira linha, à esquerda. o número 196, à direita na chave o número 14. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 14 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 196. Abaixo da chave o número 14. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 56, alinhado ordem a ordem com 196. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 56, alinhado ordem a ordem com 56. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 0.

Como a divisão é exata, 14 é divisor de 196. Portanto, a afirmação é verdadeira.

17. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Esses registros sugerem que, ao escrever os divisores de um número em ordem crescente, o produto dos números equidistantes resulta neste próprio número. Quando há um número ímpar de divisores, o divisor que fica bem ao centro nessa sequência, quando multiplicado por ele mesmo, resultará no número o qual está se buscando os divisores.

18.

Esquema. Na primeira linha, o número 9 dentro de um círculo, seta para a direita, o número 18 dentro de um círculo, seta para a direita, o número 36 dentro de um círculo. Abaixo, o número 3 dentro de um círculo, seta para a direita, o número 6 dentro de um círculo, seta para a direita, o número 12 dentro de um círculo. Seta do número 3 para o número 9, seta do número 6 para o número 18, seta do número 12 para o número 36. Abaixo, o número 1 dentro de um círculo, seta para a direita, o número 2 dentro de um círculo, seta para direita, o número 4 dentro de um círculo. Seta do número 1 para o número 3, seta do número 2 para o número 6, seta do número 4 para o número 12.

19. a) Primeiro verificamos as seguintes divisões (considerando as dimensões do chão e do piso cerâmico):

Algoritmo usual da divisão. 300 dividido por 80. Na primeira linha, à esquerda. o número 300, à direita na chave o número 80. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 240 alinhado ordem a ordem com 300. Abaixo da chave o número 3. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 60. Algoritmo usual da divisão. 240 dividido por 80. Na primeira linha, à esquerda. o número 240, à direita na chave o número 80. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 240 alinhado ordem a ordem com 240. Abaixo da chave o número 3. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0.

Isso significa que para cobrir:

• o comprimento desse chão (que tem 300 centímetros) precisaremos de 4 fileiras de peças quadradas de 80 centímetros, pois apenas 3 não bastarão.

• a largura desse chão (que tem 240 centímetros) precisaremos de 3 fileiras de peças quadradas de 80 centímetros.

Assim, o total de peças quadradas de 80 centímetros será 3 ⋅ 4 = 12 peças.

b) Considerando agora que a peça quadrada tem o comprimento do lado de medida 30 centímetros:

Algoritmo usual da divisão. 300 dividido por 30. Na primeira linha, à esquerda. o número 300, à direita na chave o número 30. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 300 alinhado ordem a ordem com 300. Abaixo da chave o número 10. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 00. Algoritmo usual da divisão. 240 dividido por 30. Na primeira linha, à esquerda. o número 240, à direita na chave o número 30. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 240 alinhado ordem a ordem com 240. Abaixo da chave o número 8. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0.

Como as duas divisões são exatas, não será preciso recortar nenhuma peça azul para revestir o chão.

c) Vamos testar as peças que ainda não foram usadas nos itens anteriores (verde e rosa):

A cerâmica verde tem o comprimento do lado medindo 60 centímetros.

Algoritmo usual da divisão. 300 dividido por 60. Na primeira linha, à esquerda. o número 300, à direita na chave o número 60. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 300 alinhado ordem a ordem com 300. Abaixo da chave o número 5. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0. Algoritmo usual da divisão. 240 dividido por 60. Na primeira linha, à esquerda. o número 240, à direita na chave o número 60. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 240 alinhado ordem a ordem com 240. Abaixo da chave o número 4. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 0.

A cerâmica rosa tem o comprimento do lado medindo 45 centímetros.

Algoritmo usual da divisão. 300 dividido por 45. Na primeira linha, à esquerda. o número 300, à direita na chave o número 45. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 270 alinhado ordem a ordem com 300. Abaixo da chave o número 6. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 30. Algoritmo usual da divisão. 240 dividido por 45. Na primeira linha, à esquerda. o número 240, à direita na chave o número 45. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 225 alinhado ordem a ordem com 240. Abaixo da chave o número 5. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto, 15.

Ou seja, com peças verdes é possível cobrir o chão sem cortes, mas com as peças rosa isso não é possível.

Como visto no item b, com as cerâmicas de côr azul não precisa de cortes e no item a vimos que com peças amarelas precisamos de córte.

Como cada peça verde tem maior medida de área que a peça azul, será necessário menos cerâmica verde. Portanto, o piso deverá ser verde.

20.

Número perfeito	496
Divisores próprios	1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 e 248
Cálculo da soma dos divisores próprios	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

496 é um número perfeito.

Página setenta e nove

Critério de divisibilidade por 3 – página 104

• Como os restos de uma divisão são sempre 0, 1 e 2, e .1951 dividido por 3 tem resto 1, .1952 dividido por 3 tem resto 2. E .1953 dividido por 3, tem resto 0.

• 1 + 9 + 5 + 2 = 10 + 7 = 17; 1 + 9 + 5 + 3 = 10 + 8 = 18

• .1952 não é divisível por 3, pois 17 não é divisível por 3; .1953 é divisível por 3, pois 18 é divisível por 3.

Critério de divisibilidade por 4 – página 104

• Espera-se que os estudantes respondam que as investigações sugerem que um número natural maior ou igual a 100 é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Critério de divisibilidade por 6 – página 106

• Espera-se que os estudantes respondam que as investigações sugerem que um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e também por 3.

Critério de divisibilidade por 8 – página 107

• Espera-se que os estudantes respondam que as investigações sugerem que um número natural, maior ou igual a .1000, é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Critério de divisibilidade por 9 – página 108

• Espera-se que os estudantes respondam que as investigações sugerem que um número natural é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9.

Critérios de divisibilidade por 10, 100 e .1000 – página 109

• Espera-se que os estudantes percebam que os números divisíveis por 10 terminam em 0, os números divisíveis por 100 terminam em 00 e os números divisíveis por .1000 terminam em 000.

• Um número natural é divisível por 10 se terminar em 0, é divisível por 100 se terminar em 00 e é divisível por .1000 se terminar em 000.

Atividades – páginas 109 e 110

21.

Números	2	3	4	5	6
	Divisores
216	x	x	x		x
678	x	x			x
745				x
1.224	x	x	x		x
3.206	x

22. Considerando que o menor número de 3 algarismos é o 100, vejamos para cada caso:

a) Para ser divisível por 2, basta ser par: 100.

b) Para ser divisível por 3, deve ter a soma dos algarismos divisível por 3, então 102 é divisível por 3, pois 1 + 0 + 2 = 3.

c) Para ser divisível por 4, deve terminar em 00, então 100 é divisível por 4.

d) Para ser divisível por 5, deve terminar em 5 ou 0, então 100 é divisível por 5.

e) Para ser divisível por 6, deve ser divisível por 2 e por 3, então 102 é par e é divisível por 3.

23. Para ser divisível por 2 e também por 5, deve terminar em 0. Então, os números 160, 420 e .5000 estão de acôrdo com essas condições. Ou seja, itens b, c, e.

24. a) Verdadeira, pois para ser divisível por 6 deve ser por 2 e também por 3.

b) Falsa, pois apenas os pares terminados em 0 são divisíveis por 5.

c) Verdadeira, pois apenas números pares são divisíveis por 2.

d) Verdadeira, pois todos os números divisíveis por 4 são pares.

Logo, são verdadeiras as afirmações: a, c, d.

25. Exemplos de resposta:

26. Espera-se que os estudantes observem que, para ser divisível por 2, basta verificarmos o último algarismo do número. Nesse caso, o último é 3, ou seja, o número é ímpar e nunca será divisível por 2, independentemente do algarismo que colocarmos no lugar de

Página oitenta

27. a) Não é divisível por 5, pois termina em 6.

b) Observando o número 5

6, verificamos que a soma dos algarismos já conhecidos é igual a 11 (5 + 6 = 11). Assim, para termos um valor que seja divisível por 3, precisamos chegar aos valores: 12, 15 ou 18. E, para obter tais valores, 5 + 6 = 11). Assim, para termos um valor que seja divisível por 3, precisamos chegar aos valores: 12, 15 ou 18. E, para obter tais valores,

poderá ser: 1, 4 e 7.

Conferindo:

516 é divisível por 3: 5 + 1 + 6 = 12 e 12 é divisível por 3.

546 é divisível por 3: 5 + 4 + 6 = 15 e 15 é divisível por 3.

576 é divisível por 3: 5 + 7 + 6 = 18 e 18 é divisível por 3.

28. a) O maior número de três algarismos é o 999. Para ser divisível por 5, deve terminar em 0 ou 5. Então o número procurado é o 995.

b) O menor número de 3 algarismos é o 100. Para ser divisível por 2 e por 5, deve terminar em 0. Daí, teremos o número 1

0. Como a soma desses 3 algarismos deve ser um número divisível por 3, nessas condições o 120 é o menor número.

c) O maior número de três algarismos é o 999, ele é divisível por 3, mas não é por 4. Diminuindo e buscando o número divisível por 3 anterior a esse, teremos o 996. Como 96 é divisível por 4, 996 também é. Portanto, 996 é divisível por 3 e por 4.

29. Testando cada uma:

1500: não é bissexto, pois termina em 00 e não é divisível por 400.

Algoritmo usual da divisão. 1 mil 500 dividido por 400.
Na primeira linha, à esquerda o número 1 mil 500, à direita, na chave o número 400.
Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 1 mil 200 alinhado ordem a ordem com 1 mil 500. Abaixo da chave o número 3.
Abaixo, à esquerda traço horizontal.
Abaixo, o resto 300.

1554: não é bissexto, pois 54 não é divisível por 4, logo 1554 também não será.

1594: não é bissexto, pois 94 não é divisível por 4, logo 1594 também não será.

1764: é bissexto, pois 64 é divisível por 4.

Portanto, o único ano bissexto é 1764.

30. a) Para ser divisível por 2, tem que ser par. Então as possibilidades para

serão: 0, 2, 4, 6 e 8.

b) Como a soma dos algarismos conhecidos é 1 + 2 + 3 = 6, então para continuar sendo um número divisível por 3, as possibilidades para

serão: 0, 3, 6 e 9.

c) Para ser divisível por 4, o número 3

deverá ser divisível por 4, então as possibilidades para

serão: 2 e 6.

d) Para ser divisível por 5, deve terminar em 0 ou 5, então as possibilidades para

serão: 0 e 5.

e) Para ser divisível por 6, deve ser divisível por 2 e por 3. Usando as respostas anteriores (itens a e b), as possibilidades para

serão: 0 e 6.

31. a) Como 7 + 6 + 3 = 16, basta adicionar 2 para termos um número divisível por 3.

b) Como o número termina em 3, basta adicionar 2 para que termine em 5 e seja divisível por 5.

c) Para ser divisível por 2, podemos adicionar 1, 3, 5, 7, reticências

Para ser divisível por 3, podemos adicionar 2, 5, 8, reticências

Então o menor valor será adicionar 5.

32. O maior número de algarismos diferentes é o .9876, vamos usá-lo como ponto de partida:

a) .9876 é par, então é divisível por 2.

9 + 8 + 7 + 6 = 30 e 30 é divisível por 3, então .9876 é divisível por 3.

Logo, .9876 é divisível por 6 e é o número procurado.

b) Como não pode ser divisível por 3, mas deve ser divisível por 2, procuramos o par anterior a .9876, ou seja, .9874. (Observe que ele não é divisível por 3, já que 9 + 8 + 7 + 4 = 28 e 28 não é divisível por 3.

c) Como não deve ser divisível por 2, não pode ser par. Como deve ser divisível por 3, procuramos o número divisível por 3 anterior a .9876, que é o .9873.

d) É .9875, pois é ímpar e não divisível por 3.

33. O maior número tem o algarismo 9 em todas as casas, exceto a última que deve ser ocupada pelo zero: .999990.

34. Para ser divisível por 9, a soma dos algarismos deve ser um número divisível por 9.

Podemos testar:

44 soma 8, não divisível por 9

444 soma 12, não divisível por 9

.4444 soma 16, não divisível por 9

.44444 soma 20, não divisível por 9

.444444 soma 24, não divisível por 9

..4444444 soma 28, não divisível por 9

..44444444 soma 32, não divisível por 9

..444444444 soma 36, divisível por 9

Logo, o número é ..444444444.

35. a) 450 é divisível por 3, mas não é por 4.

660 é divisível por 3 e por 4.

768 é divisível por 3 e por 4.

860 não é divisível por 3, mas é por 4.

960 é divisível por 3 e por 4.

Logo, os números 660, 768 e 960 são divisíveis por 3 e por 4.

Esses números também são divisíveis por 12, pois:

660 = 12 ⋅ 55

768 = 12 ⋅ 64

960 = 12 ⋅ 80

Podemos dizer que números divisíveis por 3 e por 4 são também divisíveis por 12.

b) 450 é divisível por 3 e por 5.

660 é divisível por 3 e por 5.

768 é divisível por 3, mas não por 5.

860 não é divisível por 3, mas é por 5.

960 é divisível por 3 e por 5.

Logo, os números 450, 660 e 960 são divisíveis por 3 e por 5.

Esses números também são divisíveis por 15, pois:

450 = 15 ⋅ 30

660 = 15 ⋅ 44

960 = 15 ⋅ 64

Podemos dizer que números divisíveis por 3 e por 5 são também divisíveis por 15.

36. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sempre que somo três números naturais iguais é o mesmo que multiplicar esse número por 3, logo obterei um múltiplo de 3 e, por consequência, um número divisível por 3.

37. a) Etapa 2: O resto da divisão por 2 é igual a zero?

Etapa 3: Se sim, então o número é par.

Etapa 4: Se não, o número é ímpar.

Página oitenta e um

Fluxograma. Início seta para Etapa 1, seta para Etapa 2, seta com a cota SIM para Etapa 3, seta para Fim.
Em Etapa 2, seta com a cota Não para Etapa 4, seta para Fim.

Um pouco de história – página 113

Resposta pessoal. Exemplos de resposta: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197

Atividades – página 114

38. a) 81 não é primo, pois 81 = 9 ⋅ 9

b) 227 é primo.

c) 463 é primo.

d) 101 é primo.

e) 559 não é primo, pois 559 = 13 ⋅ 43.

f) 977 é primo.

g) 808 não é primo, pois 808 = 2 ⋅ 404.

h) 585 não é primo, pois 585 = 5 ⋅ 117.

i) 161 não é primo, pois 161 = 7 ⋅ 23.

39. Números primos menores que 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.

40. a) 14 = 2 ⋅ 7

b) 35 = 5 ⋅ 7

c) 70 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7

d) 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7

e) 50 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5

f) 100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5

41. 323 não é um número primo, pois: 323 = 17 ⋅ 19, ou seja, além de ser divisível por 1 e por ele mesmo, também é divisível por 17 e por 19.

42. Os números primos do intervalo apresentado são: 83, 89, 97, 101, 103.

Então:

Maior número primo de dois algarismos: 97

Menor número primo de três algarismos: 101

Logo, a senha será 97 ⋅ 101 = .9797.

43. Os números primos maiores que 100 e menores que 200 são:

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Entre eles, os números que o algarismo das dezenas é par são:

101, 103, 107, 109, 149, 163, 167, 181.

Entre esses, os únicos números em que o algarismo das dezenas é maior que o algarismo das unidades são: 163 e 181.

Decomposição em fatores primos – página 114

• Espera-se que os estudantes concluam que vão obter a mesma fatoração completa, não importando o modo como se inicia a fatoração do número.

Atividades – página 115

44. a) 96 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 25 ⋅ 3

b) 324 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 22 ⋅ 34

c) .1024 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 10

d) .1260 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7

e) .2870 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41

f) .3575 = 5 ⋅ 5 ⋅ 11 ⋅ 13 = 52 ⋅ 11 ⋅ 13

45. a) 23 ⋅ 52 ⋅ 7 = 8 ⋅ 25 ⋅ 7 = 200 ⋅ 7 = .1400

b) Pela decomposição, observamos que o maior divisor primo de .1400 é o 7.

46. a) 22 ⋅ 3 ⋅ 7 = 4 ⋅ 3 ⋅ 7 = 12 ⋅ 7 = 84

b) 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 72 ⋅ 5 = 360

c) 24 ⋅ 7 = 16 ⋅ 7 = 112

d) 2 ⋅ 72 ⋅ 11 = 2 ⋅ 49 ⋅ 11 = 98 ⋅ 11 = .1078

47. Podemos fazer a decomposição de cada um desses números em fatores primos:

30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 e 140 = 22 ⋅ 5 ⋅ 7

Logo, os fatores primos comuns a eles são 2 e 5.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – página 116

1. 0, 15, 30, 45 e 60.

2. Como 18 ⋅ 10 = 180, podemos testar 18 ⋅ 9 = 162.

Assim, temos:

18 ⋅ 9 = 162; 18 ⋅ 10 = 180; 18 ⋅ 11 = 198; 18 ⋅ 12 = 216; 18 ⋅ 13 = 234

Assim, os múltiplos procurados serão: 162, 180, 198, 216 e 234.

3. a)

Algoritmo usual da divisão. 256 dividido por 2. Na primeira linha, à esquerda o número 256, à direita, na chave o número 2. Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 2 alinhado a ordem das centenas de 256. Abaixo da chave o número 128. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 5 alinhado com a ordem das dezenas de 256. Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 4 alinhado ordem a ordem com 5. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 16 alinhado ordem a ordem com 256. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 16 alinhado ordem a ordem com 16. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 0.

Algoritmo usual da divisão. 256 dividido por 8. Na primeira linha, à esquerda o número 256, à direita, na chave o número 8. Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 24 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 256. Abaixo da chave o número 32. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 16 alinhado ordem a ordem com 256. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 16 alinhado ordem a ordem com 16. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 0.

Algoritmo usual da divisão. 256 dividido por 12. Na primeira linha, à esquerda o número 256, à direita, na chave o número 12. Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 24 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 256. Abaixo da chave o número 21. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 16 alinhado ordem a ordem com 256. Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 12 alinhado ordem a ordem com 16. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 4.

Algoritmo usual da divisão. 256 dividido por 15. Na primeira linha, à esquerda o número 256, à direita, na chave o número 15. Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 15 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 256. Abaixo da chave o número 17. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 106 alinhado ordem a ordem com 256. Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 105 alinhado ordem a ordem com 106. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 1.

Algoritmo usual da divisão. 256 dividido por 16. Na primeira linha, à esquerda o número 256, à direita, na chave o número 16. Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 16 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 256. Abaixo da chave o número 16. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 96 alinhado ordem a ordem com 256. Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 96 alinhado ordem a ordem com 96. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 0.

Algoritmo usual da divisão. 256 dividido por 18.
Na primeira linha, à esquerda o número 256, à direita, na chave o número 18.
Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 18 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 256. Abaixo da chave o número 14.
Abaixo, à esquerda traço horizontal.
Abaixo, o número 76 alinhado ordem a ordem com 256.
Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 72 alinhado ordem a ordem com 76.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, o resto 4.

Assim, considerando apenas as divisões exatas, 256 é divisível por 2, 8 e 16 (itens a, b, ê).

4. O maior número de 3 algarismos é o 999, mas ele não é divisível por 4.

Diminuindo para encontrar um divisível por 4:

998 não é, pois 98 não é divisível por 4.

996 é, pois 96 é divisível por 4.

Logo, o número é 996.

5. a) Como 40 é divisível por 4, então 240 é divisível por 4.

Portanto, 4 é divisor de 240.

Afirmação verdadeira.

Página oitenta e dois

b) 624 é par, logo 2 é divisor de 624.

Como 6 + 2 + 4 = 12 e 12 é divisível por 3, então 624 é divisível por 3.

Como 624 é divisível por 2 e por 3, também é divisível por 6.

Afirmação verdadeira.

c) Fazendo os cálculos:

Algoritmo usual da divisão. 1 mil 450 dividido por 15.
Na primeira linha, à esquerda o número 1 mil 450, à direita, na chave o número 15.
Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 135 alinhado a ordem das dezenas, das centenas e da unidade de milhar de 1 mil 450. Abaixo da chave o número 96.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, o número 100 alinhado ordem a ordem com 1 mil 450.
Abaixo, à esquerda sinal da subtração, à direita o número 90 alinhado ordem a ordem com 100.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, o resto 10.

Como a divisão não é exata, .1450 não é divisível por 15.

Afirmação falsa.

6. Fazendo por divisor:

• Por 2:

São pares (logo podem ser divididos por 2): 312, .1236

• Por 3 e por 9:

Calculando a soma dos algarismos:

3 + 2 + 1 = 6 312 é divisível por 3, mas não por 9.

6 + 4 + 5 = 15 645 é divisível por 3, mas não por 9.

1 + 2 + 3 + 6 = 12 .1236 é divisível por 3, mas não por 9.

2 + 1 + 6 + 9 = 18 .2169 é divisível por 3 e por 9.

• Por 5:

Os números que terminam em 0 ou 5: 645.

• Por 8:

312 é divisível por 8, pois 312 = 8 ⋅ 39.

645 não é divisível por 8, pois é ímpar.

236 não é divisível por 8, pois o resto de 236 : 8 é igual a 4.

169 não é divisível por 8, pois é ímpar, então .2169 também não é divisível por 8.

A tabela preenchida ficará:

Número	2	3	5	6	8	9
	Divisor
312	x	x		x	x
645		x	x
1.236	x	x		x
2.169		x				x

7. a) 9 + 0 + 9 = 18 Como 18 é divisível por 9, então 909 é divisível por 9.

b) 1 + 0 + 7 + 1 = 9 Como 9 é divisível por 9, então .1071 é divisível por 9.

c) 2 + 3 + 0 + 4 = 9 Como 9 é divisível por 9, então .2304 é divisível por 9.

d) 3 + 3 + 5 + 6 = 17 Como 17 não é divisível por 9, então .3356 não é divisível por 9.

8. a) 99 não é primo, pois é divisível por 3, 9 e 11.

b) 109 é primo.

c) 167 é primo.

d) 281 é primo.

e) 562 não é primo, pois é par (diferente de 2).

f) .1021 é primo.

9. a) 576 = 2⁶ ⋅ 3²

b) .2048 = 211

c) .1323 = 33 ⋅ 72

d) .1944 = 23 ⋅ 35

e) .2058 = 2 ⋅ 3 ⋅ 73

f) .5096 = 23 ⋅ 72 ⋅ 13

Cálculos:

Esquema. Decomposição vertical do número 576. Há uma linha vertical separando os números da esquerda e da direita. Na primeira linha, à esquerda 576, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 288, à direita, 2.
Abaixo, à esquerda 144, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 72, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 36, à direita, 2.
Abaixo, à esquerda 18, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 9, à direita 3.
Abaixo, à esquerda 3, à direita 3.
Abaixo, à esquerda 1.

Esquema. Decomposição vertical do número 2 mil 048. Há uma linha vertical separando os números da esquerda e da direita. Na primeira linha, à esquerda 2 mil 048, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 1 mil 024, à direita, 2.
Abaixo, à esquerda 512, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 256, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 128, à direita, 2.
Abaixo, à esquerda 64, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 32, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 16, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 8, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 4, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 2, à direita 2
Abaixo, à esquerda 1.

Esquema. Decomposição vertical do número 1 mil 323. Há uma linha vertical separando os números da esquerda e da direita. Na primeira linha, à esquerda 1 mil 323, à direita 3.
Abaixo, à esquerda 441, à direita, 3.
Abaixo, à esquerda 147, à direita 3.
Abaixo, à esquerda 49, à direita 7.
Abaixo, à esquerda 7, à direita, 7.
Abaixo, à esquerda 1.

Esquema. Decomposição vertical do número 1 mil 944. Há uma linha vertical separando os números da esquerda e da direita. Na primeira linha, à esquerda 1 mil 944, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 972, à direita, 2.
Abaixo, à esquerda 486, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 243, à direita 3.
Abaixo, à esquerda 81, à direita,3.
Abaixo, à esquerda 27, à direita 3.
Abaixo, à esquerda 9, à direita 3.
Abaixo, à esquerda 3, à direita 3.
Abaixo, à esquerda 1.

Esquema. Decomposição vertical do número 2 mil e 58. Há uma linha vertical separando os números da esquerda e da direita. Na primeira linha, à esquerda 2 mil e 58, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 1 mil e 29, à direita, 3.
Abaixo, à esquerda 343, à direita 7.
Abaixo, à esquerda 49, à direita 7.
Abaixo, à esquerda 7, à direita, 7.
Abaixo, à esquerda 1.

Esquema. Decomposição vertical do número 5 mil 096. Há uma linha vertical separando os números da esquerda e da direita. Na primeira linha, à esquerda 5 mil e 96, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 2 mil 548, à direita, 2.
Abaixo, à esquerda 1 mil 274, à direita 2.
Abaixo, à esquerda 637, à direita 7.
Abaixo, à esquerda 91, à direita, 7.
Abaixo, à esquerda 13, à direita 13.
Abaixo, à esquerda 1.

Capítulo 6 – Frações

Trocando ideias – página 117

• Resposta pessoal. Exemplos de resposta: Receitas culinárias, representação de quantidades, medidas de tempo.

• Espera-se que os estudantes respondam utilizando vocabulário próprio que significa que de cada 10 ninhos de araras-azuis 9 são feitos nos manduvis.

• Resposta pessoal. Exemplos de resposta: preservação das florestas, fiscalização para combater o tráfico de animais, criação de centros de tratamento de animais.

Um pouco de história – página 120

\frac{1}{5}

\frac{1}{6}

\frac{2}{10}

\frac{1}{5}

Atividades – página 120

1. a)

\frac{5}{8}

\frac{4}{8}

\frac{3}{5}

2. Exemplos de representação gráfica:

Figura geométrica. Retângulo dividido em 7 partes iguais, da esquerda para a direita 3 partes estão pintadas na cor laranja.

Figura geométrica. Círculo dividido em 8 partes iguais, todas as partes estão pintadas na cor laranja.

Figura geométrica. Retângulo dividido em 3 partes iguais, da esquerda para a direita duas partes estão pintadas na cor laranja.

Figura geométrica. retângulo dividido em 5 partes iguais, da esquerda para a direita 4 partes estão pintadas na cor laranja.

3. a) Como um dia tem 24 horas, então as frações serão, respectivamente,

\frac{7}{24}

\frac{12}{24}

b) Como uma semana tem 7 dias, então as frações serão, respectivamente,

\frac{5}{7}

\frac{7}{7}

c) Como um ano tem 12 meses, as frações, nessa ordem, serão:

\frac{2}{12}

\frac{6}{12}

4. Podemos observar que o cubo maior era formado por 27 cubinhos (pois 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27). Assim:

• Fração que foi retirada:

\frac{4}{27}

• Fração que sobrou:

\frac{23}{27}

Página oitenta e três

Atividades – página 121

5. a) três sétimos

b) um sexto

c) nove meios

d) cinco nonos

e) dezenove décimos de milésimos

f) três dezessete avos

g) cinco centésimos

h) sete seiscentos avos

i) quinze milésimos

6. Resposta pessoal. Exemplos de resposta:

\frac{1}{3}

→ um terço

\frac{3}{5}

→ três quintos

\frac{4}{9}

→ quatro nonos

\frac{1}{10}

→ um décimo

\frac{9}{10}

→ nove décimos

\frac{8}{10}

→ oito décimos

\frac{3}{11}

→ três onze avos

\frac{1}{20}

→ um vinte avos

\frac{27}{1 000}

→ vinte e sete milésimos

Atividades – página 123

7. a)

1 \frac{1}{4}

2 \frac{1}{3}

2 \frac{3}{9}

8. Exemplos de representações gráficas:

Esquema. 4 círculos divididos em 2 partes iguais, da esquerda para a direita os 3 primeiros círculos estão com as duas partes pintadas na cor verde, o quarto círculo está com 1 parte pintada na cor verde. Os círculos representam 3 inteiros e 1 meio.

Esquema. 2 círculos em 5 partes iguais, da esquerda para a direita o primeiro círculo está com todas as partes pintadas na cor verde, o segundo círculo tem 3 partes pintadas na cor verde. Os círculos representam a 1 inteiro e 3 quintos.

Esquema. 4 quadrados divididos em 4 partes iguais, da esquerda para a direita os 3 primeiros quadrados estão com todas as partes pintadas na cor verde, o quarto quadrado está com uma parte pintada na cor verde. Os quadrados representam 3 inteiros e 1 quarto.

9. Podemos representar os 5 lotes:

Esquema. 5 retângulos alinhados um abaixo do outro.

Em seguida, dividir cada um dos lotes em 3 partes iguais:

Esquema. 5 retângulos divididos em 3 partes iguais alinhados uma abaixo do outro.

Como os terrenos deverão ser divididos igualmente entre as 3 construções, e temos um total de 15 partes, podemos considerar que cada construção ocupará 5 destas partes.

Esquema. Retângulo dividido em 3 partes iguais, todas as partes estão pintadas de amarelo. Abaixo, retângulo dividido em três partes iguais, da esquerda para a direita as duas primeiras partes estão pintadas de amarelo, a última parte está pintada de verde. Abaixo, retângulo dividido em 3 partes iguais, todas as partes estão pintadas de verde. Abaixo, retângulo dividido em 3 partes iguais, da esquerda para a direita, uma parte está pintada de verde e as duas partes seguintes estão pintadas de azul. Abaixo, retângulo dividido em 3 partes iguais, todas as partes estão pintadas de azul.

Assim, a fração que representa a medida da área de cada construção é

1 \frac{2}{3}

\frac{5}{3}

10. Sabendo que 1 ano tem 12 meses, podemos fazer:

1 \frac{3}{4} d e 12 = 12 + \frac{3}{4} d e 12 = 12 + 9 = 21

Logo, são 21 meses.

2 \frac{1}{6} d e 12 = 2 \cdot 12 + \frac{1}{6} d e 12 = 24 + 2 = 26

Logo, são 26 meses.

5 \frac{1}{2} d e 12 = 5 \cdot 12 + \frac{1}{2} d e 12 = 60 + 6 = 66

Logo, são 66 meses.

11. Sabendo que 1 dia tem 24 horas:

1 \frac{1}{2} d e 24 = 24 + \frac{1}{2} d e 24 = 24 + 12 = 36

Logo, são 36 horas.

1 \frac{1}{4} d e 24 = 24 + \frac{1}{4} d e 24 = 24 + 6 = 30

Logo, são 30 horas.

Atividades – página 126

12. Exemplo de representação:

Esquema. Retângulo dividido em 5 partes iguais, da esquerda para a direita 4 partes estão pintadas de azul. Abaixo, retângulo dividido em 15 partes iguais, da esquerda para a direita 12 partes estão pintadas de azul. Linha tracejada ligando os dois retângulos.

13. a) Para que o numerador seja 15, precisamos multiplicar o numerador e o denominador por 5, obtendo a fração

\frac{15}{20}

b) Para que o numerador seja 2, precisamos dividir o numerador e o denominador por 4, obtendo a fração

\frac{2}{12}

c) Para que o denominador seja 27, precisamos multiplicar o numerador e o denominador por 9, obtendo a fração

\frac{18}{27}

14. a) Multiplicar numerador e denominador por 10:

\frac{2}{3} = \frac{20}{30}

b) Dividir numerador e denominador por 2:

\frac{36}{40} = \frac{18}{20}

c) Dividir numerador e denominador por 5:

\frac{20}{25} = \frac{4}{5}

d) Multiplicar numerador e denominador por 5:

\frac{7}{9} = \frac{35}{45}

e) Dividir numerador e denominador por 9:

\frac{9}{45} = \frac{1}{5}

f) Dividir numerador e denominador por 25:

\frac{75}{100} = \frac{3}{4}

15. a) Para completar

\frac{7}{6} = \frac{◼}{48}

, precisamos multiplicar numerador e denominador por 8 e obteremos

\frac{56}{48}

b) Para completar

\frac{3}{5} = \frac{18}{◼}

, precisamos multiplicar numerador e denominador por 6 e obteremos

\frac{18}{30}

Página oitenta e quatro

16. Uma maneira de resolver é encontrar frações equivalentes a

\frac{5}{7}

e calcular a soma indicada até encontrar o valor 60.

\frac{5}{7} = \frac{10}{14} = \frac{15}{21} = \frac{20}{28} = \frac{25}{35} = \frac{30}{42}

Adicionando o numerador e o denominador de cada fração, nessa ordem, obtemos: 12; 24; 36; 48; 60 e 72. Assim, a fração cuja soma é 60 é

\frac{25}{35}

17. Há diferentes frações que podem representar essa porcentagem:

75 % = \frac{75}{100} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}

18. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Como a divisão deve ser feita entre 3 pessoas, podemos fazer:

• a laranja que está dividida ao meio: cada uma das metades pode ser dividida em 3 partes iguais e cada um deles recebe duas dessas partes;

• a laranja que está dividida em 3 partes, basta dar uma parte para cada pessoa.

Atividades – página 127

19. Uma possibilidade de cálculo é fazendo várias divisões, como aparece a seguir. Mas, como estudado, também é possível fazer apenas uma divisão para chegar à fração irredutível.

\frac{8}{24} = \frac{4}{12} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

\frac{20}{100} = \frac{10}{50} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}

\frac{32}{80} = \frac{16}{40} = \frac{8}{20} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

\frac{18}{60} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}

\frac{20}{80} = \frac{10}{40} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}

\frac{90}{100} = \frac{45}{50} = \frac{9}{10}

20. Uma possibilidade é procurar a fórma irredutível de cada uma das frações:

\frac{25}{20} = \frac{5}{4}

\frac{24}{300} = \frac{12}{150} = \frac{6}{75} = \frac{2}{25}

\frac{80}{48} = \frac{40}{24} = \frac{20}{12} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

\frac{60}{100} = \frac{30}{50} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}

Logo, a fração procurada é a do item d:

\frac{60}{100}

Vale destacar que podemos descartar a fração do item c mesmo sem fazer cálculos, pois seu numerador é maior que o denominador e sabemos que qualquer fração equivalente a

\frac{3}{5}

não poderá ter o numerador maior que o denominador.

21. Segundo as informações, temos:

Preferem biblioteca:

\frac{80}{200}

Preferem internet:

\frac{120}{200}

Fazendo simplificações dessas frações, temos:

\frac{80}{200} = \frac{40}{100} = \frac{20}{50} = \frac{4}{25}

\frac{120}{200} = \frac{60}{100} = \frac{30}{50} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}

Analisando cada fala:

Luís:

\frac{40}{100}

preferem biblioteca; correta, pois

\frac{40}{100}

\frac{80}{200}

são equivalentes.

Mônica:

\frac{3}{5}

preferem internet; correta, pois

\frac{120}{200}

\frac{3}{5}

são equivalentes.

Logo, a alternativa b é a correta.

Atividades – página 130

22. a) Usando equivalência, temos que

\frac{2}{5} = \frac{14}{35}

\frac{5}{7} = \frac{25}{35}

; logo,

\frac{2}{5} < \frac{5}{7}

b) Sabemos que:

5 \frac{2}{5} = \frac{25}{5} + \frac{2}{5} = \frac{27}{5}

; logo,

5 \frac{2}{5} = \frac{27}{5}

c) Usando equivalência, temos que

\frac{16}{3} = \frac{32}{6}

\frac{14}{2} = \frac{42}{6}

; logo,

\frac{16}{3} < \frac{14}{2}

d) Usando equivalência, temos que

\frac{16}{35} = \frac{32}{70}

\frac{1}{2} = \frac{35}{70}

; logo,

\frac{16}{35} < \frac{1}{2}

23. a) Como todas têm o mesmo denominador, a maior fração é aquela de maior numerador, ou seja,

\frac{17}{4}

b) Como todas têm o mesmo denominador, a maior fração é aquela de maior numerador, ou seja,

\frac{7}{3}

c) Como todas têm o mesmo numerador, a maior fração é aquela de menor denominador, pois assim o todo será dividido em menos partes. Nesse caso, a maior fração é

\frac{1}{2}

d) Como os denominadores e numeradores são diferentes, para fazer a comparação, escrevemos todas as frações equivalentes com o mesmo denominador. Nesse caso, buscaremos uma fração equivalente a cada uma delas, sempre com denominador 12. Teremos:

\frac{1}{2} = \frac{6}{12}

\frac{4}{3} = \frac{16}{12}

\frac{1}{6} = \frac{2}{12}

Assim, devemos comparar as frações:

\frac{6}{12}

\frac{5}{12}

\frac{16}{12}, \frac{2}{12}

Nesse caso, a maior fração é a

\frac{16}{12}

, ou seja, a maior fração é

\frac{4}{3}

Outro modo de resolução: entre as quatro frações, apenas uma tem o numerador maior que o denominador, então ela é a maior fração:

\frac{4}{3}

24. a) Como todos os numeradores são iguais, podemos escrever:

\frac{7}{10} < \frac{7}{8} < \frac{7}{5} < \frac{7}{3}

Quanto maior o denominador, menor é a fração.

b) Nesse caso, escrevemos todas as frações equivalentes, buscando o denominador em comum, que pode ser o 120:

\frac{1}{8} = \frac{15}{120}

\frac{11}{12} = \frac{110}{120}

\frac{2}{15} = \frac{16}{120}

\frac{7}{20} = \frac{42}{120}

Dessa fórma, temos que:

\frac{15}{120} < \frac{16}{120} < \frac{42}{120} < \frac{110}{120}

E, portanto:

\frac{1}{8} < \frac{2}{15} < \frac{7}{20} < \frac{11}{12}

25. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes observem que basta escrever as frações de modo que os denominadores fiquem em ordem decrescente.

Página oitenta e cinco

26. Para comparar essas frações, podemos fazer:

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

\frac{2}{3} = \frac{8}{12}

, então podemos afirmar que

\frac{3}{4} > \frac{2}{3}

, logo Luís gasta mais.

27. Buscando frações equivalentes com denominador igual a 360:

\frac{1}{5} = \frac{72}{360}

\frac{2}{8} = \frac{90}{360}

\frac{2}{9} = \frac{80}{360}

Logo, a maior fração é a

\frac{2}{8}

que corresponde à candidata Alice.

Atividades – página 132

28. a) Se a capacidade total desse tanque é de 52 litros, então a capacidade de

\frac{1}{4}

desse tanque será igual a 13 litros (pois

\frac{1}{4}

de 52 = 52 : 4 = 13). Assim, o carro ficou com 13 litros de combustível após a viagem.

b) Ao iniciar a viagem, o carro estava com

\frac{3}{4}

da capacidade do tanque. Como cada

\frac{1}{4}

corresponde a 13 litros, havia um total de 39 litros (3 ⋅ 13 = 39).

29. Se 56 mulheres correspondem a

\frac{1}{10}

do número de homens, o número de homens pode ser calculado fazendo 10 ⋅ 56 = 560. Logo, 560 homens participaram da 61ª Olimpíada Internacional de Matemática.

30. Se

\frac{2}{5}

correspondem a .60000 litros, então

\frac{1}{5}

corresponde a .30000 litros (duas partes correspondem a .60000 litros, então uma parte corresponde a .30000 litros) e

\frac{5}{5}

corresponde a .150000 litros (.30000 ⋅ 5 = .150000).

A capacidade dessa piscina é de .150000 litros.

31. Se ele comprou

\frac{5}{9}

da coleção, significa que falta comprar

\frac{4}{9}

. Como 12 volumes correspondem a

\frac{4}{9}

, então 3 (12 : 4 = 3) volumes correspondem a

\frac{1}{9}

da coleção.

Por fim, para encontrar

\frac{9}{9}

da coleção (o que corresponde à coleção completa), calculamos 9 ⋅ 3 = 27.

Nessa coleção há 27 volumes.

32. a)  

\frac{7}{20}

de .5000 = .5000 : 20 ⋅ 7 = 250 ⋅ 7 = .1750

A primeira remessa corresponde a .1750 quilogramas.

b) Exemplo de resposta:

Ilustração. Teclas de calculadora. 5 0 0 0, tecla de divisão, 2 0, tecla de multiplicação, 7 igual.

33. a)

Ilustração. Teclas de calculadora. 2 2 5 1 4, tecla de divisão, 2 igual.

.11257 quilômetros

Ilustração. Teclas de calculadora. 2 8 2 3 3, tecla de divisão, 3, tecla de multiplicação, 2 , igual.

.18822 quilogramas

Ilustração. Teclas de calculadora. 6 1 4 5 5, tecla de divisão, 5, tecla de multiplicação, 4 igual.

.49164 litros.

34. Se

\frac{2}{5}

dessa medida correspondem a aproximadamente 8 métros, temos que:

\frac{1}{5}

da medida corresponderá a aproximadamente 4 métros (8 : 2 = 4) e

\frac{5}{5}

dessa medida corresponderá a aproximadamente 20 métros (4 ⋅ 5 = 20).

Assim, a medida da distância foi de aproximadamente 20 métros.

35. Resposta pessoal. Exemplo de problema que pode ser elaborado:

Isabela e Renata compraram bijuterias para vender. Isabela gastou R$ 300,00trezentos reais e Renata gastou R$ 600,00seiscentos reais em mercadorias. O lucro relativo à venda dessas bijuterias foi de R$ 3.000,00três mil reais.

Como repartir esses R$ 3.000,00três mil reais entre elas de modo que o valo seja proporcional ao que investiram?

Exemplo de resposta:

O total gasto com a compra das bijuterias foi R$ 900,00novecentos reais, sendo que Isabela contribuiu com

\frac{1}{3}

e Renata com

\frac{2}{3}

. Assim, para dividir o lucro R$ 3.000,00três mil reais, Isabela deve receber R$ 1.000,00mil reais e Renata R$ 2.000,00dois mil reais.

Atividades – páginas 134 e 135

36. a)

\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}

\frac{5}{6} ‒ \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

\frac{3}{4} + \frac{1}{5} = \frac{15}{20} + \frac{4}{20} = \frac{19}{20}

\frac{7}{8} ‒ \frac{4}{9} = \frac{63}{72} ‒ \frac{32}{72} = \frac{31}{72}

\frac{1}{7} + \frac{3}{5} + \frac{9}{14} = \frac{10}{70} + \frac{42}{70} + \frac{45}{70} = \frac{97}{70}

3 ‒ \frac{14}{5} = \frac{15}{5} ‒ \frac{14}{5} = \frac{1}{5}

1 \frac{2}{11} + \frac{7}{10} = \frac{13}{11} + \frac{7}{10} = \frac{130}{110} + \frac{77}{110} = \frac{207}{110}

2 \frac{1}{5} ‒ 1 \frac{1}{6} = \frac{11}{5} ‒ \frac{7}{6} = \frac{66}{30} ‒ \frac{35}{30} = \frac{31}{30}

7 + \frac{2}{9} = \frac{63}{9} + \frac{2}{9} = \frac{65}{9}

\frac{3}{4} ‒ \frac{1}{6} = \frac{9}{12} ‒ \frac{2}{12} = \frac{7}{12}

\frac{1}{5} + 2 + \frac{7}{8} = \frac{8}{40} + \frac{80}{40} + \frac{35}{40} = \frac{123}{40}

3 \frac{2}{5} ‒ \frac{1}{7} = \frac{17}{5} ‒ \frac{1}{7} = \frac{119}{35} ‒ \frac{5}{35} = \frac{114}{35}

37.

A + B - C = 3 + 3 \frac{5}{7} ‒ 2 \frac{1}{5} = 3 + \frac{26}{7} ‒ \frac{11}{5} = \frac{105}{35} + \frac{130}{35} ‒ \frac{77}{35} = \frac{158}{35}

38. Podemos representar a fração do litro de cada recipiente, na ordem em que estão ilustrados:

\frac{3}{4}, \frac{1}{4}

\frac{3}{4}

. Adicionando esses valores, temos:

\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}

Assim o total será de

\frac{7}{4}

litros ou 1

\frac{3}{4}

litros.

39. a)

5 \frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2} = (5 + 3) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 8 + \frac{2}{2} = 8 + 1 = 9

3 \frac{4}{5} + 7 \frac{1}{5} = (3 + 7) + (\frac{4}{5} + \frac{1}{5}) = 10 + \frac{5}{5} = 10 + 1 = 11

40. Adicionando os valores correspondentes ao que gastei, temos:

\frac{1}{7} + \frac{2}{5} = \frac{5}{35} + \frac{14}{35} = \frac{19}{35}

Logo, gastei

\frac{19}{35}

do salário.

41. Vejamos, primeiro, a fração de revistas que já foi entregue:

\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}

Se já foram entregues

\frac{8}{15}

das revistas, então faltam

\frac{7}{15}

para serem entregues.

Página oitenta e seis

Como

\frac{7}{15}

correspondem a 14 revistas, então

\frac{1}{15}

corresponde a 2 revistas e

\frac{15}{15}

correspondem a 30 revistas.

Logo, o total de revistas que Lino deve entregar hoje é igual a 30.

42. Analisando a figura, podemos notar que há um retângulo inteiro ocupado,

\frac{4}{4}

de retângulo ocupado, mais duas vezes duas metades de retângulo, resultando aproximadamente

\frac{4}{9}

da figura inteira.

43. Pelas informações apresentadas, podemos concluir que 21 litros correspondem a

\frac{3}{8}

da capacidade. Dessa fórma:

7 litros correspondem a

\frac{1}{8}

da capacidade da vasilha.

56 (8 ⋅ 7 = 56) litros correspondem a

\frac{8}{8}

da capacidade da vasilha.

A medida da capacidade da vasilha é 56 litros.

44. Resposta pessoal. Exemplo de problema que pode ser elaborado:

Paulo vai fazer uma viagem entre duas cidades que distam 360 quilômetros. Na viagem de ida, tudo transcorreu bem, mas na volta, após percorrer

\frac{1}{2}

do total do caminho de volta, ele percebeu que errou o caminho e percorreu

\frac{1}{4}

a mais que o esperado.

Respostas (às perguntas que já estão no livro):

a) Na ida ele percorreu 360 quilômetros. Na volta ele percorreu 450 quilômetros, pois

360 + \frac{1}{4} d e 360 = 360 + 90 = 450

. No total foram percorridos 810 quilômetros (360 + 450 = 810).

b) Se ele não errasse o caminho na volta, faltariam 180 quilômetros para chegar (pois já tinha percorrido metade dos 360 quilômetros).

Atividades – página 137

45. a)

3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{7}

5 \cdot 3 \frac{1}{5} = 5 \cdot \frac{16}{5} = 16

\frac{2}{3} \cdot \frac{10}{4} \cdot \frac{9}{15} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = 1

\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{2} \cdot 0 = 0

2 \frac{1}{5} \cdot \frac{35}{33} = \frac{11}{5} \cdot \frac{35}{33} = \frac{7}{3}

46.

\frac{2}{3} d e 42 = 2 \cdot 42 : 3 = 84 : 3 = 28

Foram vendidos 28 aparelhos da marca Alfa.

47. a)

3 \cdot \frac{7}{15} = \frac{7}{5}

2 \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{4}

48.

\frac{3}{4} d e 2 400 = 3 \cdot 2 400 : 4 = 7 200 : 4 = 1 800

Cabem .1800 litros em

\frac{3}{4}

do reservatório.

49. a)

\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7}

\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} \cdot 2 \frac{1}{4} = 1 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = 1

\frac{36}{50} \cdot \frac{30}{72} \cdot \frac{10}{40} = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{40}

\frac{7}{11} \cdot \frac{11}{28} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

50. Há meio cento, ou seja, há 50 laranjas.

\frac{2}{5} d e 50 = 2 \cdot 50 : 5 = 100 : 5 = 20

Se há 50 e retirarmos 20, sobrarão 30 laranjas.

51. Exemplo de resolução.

Podemos juntar todas as frações:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}

Então, percebemos que a soma das frações é maior do que o inteiro, então essa divisão não é possível.

52. Com a calculadora, encontramos:

\frac{1}{3} d e 33 915 = 11 305

\frac{2}{5} d e 33 915 = 13 566

\frac{1}{7} d e 33 915 = 4 845

Soma dos valores recebidos por José, Vanessa e Marcos: .11305 + .13566 + .4845 = .29716

O valor gasto com as despesas foi R$ 4.199,00quatro mil cento e noventa e nove reais

(.33915 ‒ .29716 = .4199).

Atividades – página 140

53. a)

4 : \frac{1}{2} = 4 \cdot 2 = 8

60 : \frac{3}{8} = 60 \cdot \frac{8}{3} = 20 \cdot 8 = 160

\frac{2}{9} : 1 \frac{1}{3} = \frac{2}{9} : \frac{4}{3} = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

\frac{1}{2} : 4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}

10 : \frac{2}{5} = 10 \cdot \frac{5}{2} = 5 \cdot 5 = 25

\frac{3}{8} : 5 = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{40}

54. Em 10 garrafas de 1 litro temos 10 litros. Então:

10 : \frac{1}{4} = 10 \cdot 4 = 40

Precisamos de 40 copos.

55. a)

\frac{\frac{2}{7}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{7} \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{21}

\frac{10}{\frac{2}{5}} = 10 \cdot \frac{5}{2} = 5 \cdot 5 = 25

\frac{\frac{3}{7}}{\frac{6}{10}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{10}{6} = \frac{1}{7} \cdot \frac{10}{2} = \frac{1}{7} \cdot 5 = \frac{5}{7}

56. Para saber o total de refresco obtido, fazemos:

\frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4}

Agora, dividindo em 10 taças:

\frac{10}{4} : 10 = \frac{10}{4} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{4}

Assim, cada taça terá, no máximo,

\frac{1}{4}

de litro.

57. Primeiro, calculamos a fração correspondente aos 5 banheiros:

1 ‒ \frac{1}{3} = \frac{3}{3} ‒ \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Agora, calculamos a fração correspondente à água disponibilizada para cada banheiro:

\frac{2}{3} : 5 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15}

Logo, a fração disponibilizada para cada banheiro é

\frac{2}{15}

Página oitenta e sete

Atividades – página 141

58. a)

{(\frac{3}{5})}^{2} = \frac{3^{2}}{5^{2}} = \frac{9}{25}

{(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1^{4}}{2^{4}} = \frac{1}{16}

{(\frac{8}{3})}^{1} = \frac{8}{3}

{(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2^{3}}{3^{3}} = \frac{8}{27}

{(3 \frac{1}{2})}^{2} = {(\frac{7}{2})}^{2} = \frac{7^{2}}{2^{2}} = \frac{49}{4}

{(\frac{199}{500})}^{0} = 1

Atividades – página 142

59. a)

\frac{5}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{5}{6} + \frac{3}{8} = \frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{29}{24}

5 ‒ \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2} = 5 ‒ \frac{7}{8} = \frac{40}{8} ‒ \frac{7}{8} = \frac{33}{8}

\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + 2 \frac{1}{4} = \frac{2}{15} + \frac{9}{4} = \frac{8}{60} + \frac{135}{60} = \frac{143}{60}

\frac{3}{5} + \frac{2}{9} : \frac{2}{3} = \frac{3}{5} + \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{5} + \frac{1}{3} = \frac{9}{15} + \frac{5}{15} = \frac{14}{15}

\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} ‒ \frac{1}{8} : \frac{5}{6} = \frac{6}{35} ‒ \frac{1}{8} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{35} ‒ \frac{3}{20} = \frac{24}{140} ‒ \frac{21}{140} = \frac{3}{140}

\frac{3}{4} + \frac{5}{9} : \frac{1}{6} = \frac{3}{4} + \frac{5}{9} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3}{4} + \frac{10}{3} = \frac{9}{12} + \frac{40}{12} = \frac{49}{12}

60. a)

(\frac{2}{3} ‒ \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{7}) : \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9} = (\frac{2}{3} ‒ \frac{1}{14}) : \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9} = (\frac{28}{42} ‒ \frac{3}{42}) : \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9} =

= \frac{25}{42} : \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9} = \frac{25}{42} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{25}{6} \cdot \frac{2}{9} = \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{25}{27}

\frac{27}{100} : \{\frac{11}{4} ‒ [\frac{3}{2} + (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})]\} = \frac{27}{100} : \{\frac{11}{4} ‒ [\frac{3}{2} + \frac{3}{4}]\} =

= \frac{27}{100} : \{\frac{11}{4} ‒ [\frac{6}{4} + \frac{3}{4}]\} = \frac{27}{100} : \{\frac{11}{4} ‒ \frac{9}{4}\} = \frac{27}{100} : \frac{2}{4} = \frac{27}{100} \cdot \frac{4}{2} = \frac{27}{50}

{(1 ‒ \frac{1}{2})}^{2} : [{{(1 ‒ \frac{3}{4})}^{2} \cdot 8 + (\frac{1}{2})}^{2}] = {(\frac{2}{2} ‒ \frac{1}{2})}^{2} : [{{(\frac{4}{4} ‒ \frac{3}{4})}^{2} \cdot 8 + (\frac{1}{2})}^{2}] =

{(\frac{1}{2})}^{2} : [{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot 8 + (\frac{1}{2})}^{2}] = \frac{1}{4} : [\frac{1}{16} \cdot 8 + \frac{1}{4}] = \frac{1}{4} : [\frac{1}{2} + \frac{1}{4}] =

= \frac{1}{4} : \frac{3}{4} = \frac{1}{3}

Resolvendo em equipe – página 143

Interpretação e identificação dos dados

• Um compasso é uma unidade musical composta de determinada quantidade de notas musicais, em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso.

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{1}{4}

;

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

;

\frac{1}{2}

\frac{1}{8}

\frac{1}{8}

\frac{1}{8}

\frac{1}{8}

Plano de resolução

•

8 \cdot \frac{3}{4} = 6

•

24 \cdot \frac{1}{32} = \frac{3}{4}

Resolução

24 \cdot \frac{1}{32} \neq 6

3 \cdot \frac{1}{4} \neq 6

8 \cdot \frac{1}{4} = 2 \neq 6

24 \cdot \frac{1}{8} + 12 \cdot \frac{1}{4} = 3 + 3 = 6

16 \cdot \frac{1}{4} + 8 \cdot \frac{1}{16} = 4 + \frac{1}{2} = 4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \neq 6

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 144 a 146

1. a)

\frac{1}{8}

\frac{4}{9}

\frac{12}{36} = \frac{6}{18} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

\frac{7}{12}

2. a) Quatro sétimos.

b) Um nono.

c) Seis décimos.

d) Doze centésimos.

e) Quatro milésimos.

f) Doze vinte e três avos.

3. a)

1 \frac{5}{9}

1 \frac{2}{8}

4. a)

1 \frac{3}{4} = \frac{4 + 3}{4} = \frac{7}{4}

2 \frac{9}{11} = \frac{22 + 9}{11} = \frac{31}{11}

4 \frac{7}{9} = \frac{36 + 7}{9} = \frac{43}{9}

7 \frac{2}{7} = \frac{49 + 2}{7} = \frac{51}{7}

5. a)

\frac{12}{15} = \frac{24}{30}

\frac{6}{20} = \frac{18}{60}

\frac{25}{100} = \frac{5}{20}

\frac{7}{16} = \frac{35}{80}

6. a)

\frac{10}{25} = \frac{2}{5}

\frac{18}{150} = \frac{9}{75} = \frac{3}{25}

\frac{12}{60} = \frac{6}{30} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}

\frac{96}{112} = \frac{48}{56} = \frac{24}{28} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}

7. a)

\frac{5}{11} < \frac{7}{11}

\frac{2}{7} = \frac{10}{35}

\frac{4}{5} = \frac{28}{35}

, logo

\frac{2}{7} < \frac{4}{5}

\frac{9}{2} = \frac{18}{4}

, logo

\frac{9}{2} > \frac{15}{4}

\frac{5}{13} = \frac{15}{39}

8. a)

\frac{9}{8}

é a maior fração.

b) Como

\frac{1}{5} = \frac{6}{30}

\frac{4}{3} = \frac{40}{30}

\frac{2}{6} = \frac{10}{30}

, então

\frac{4}{3}

é a maior fração.

c) Como

\frac{2}{3} = \frac{40}{60}

\frac{1}{4} = \frac{15}{60}

\frac{3}{5} = \frac{36}{60}

, então

\frac{2}{3}

é a maior fração.

d) Como

\frac{4}{10} = \frac{2}{5} = \frac{24}{60}

\frac{5}{12} = \frac{25}{60}

\frac{15}{25} = \frac{3}{5} = \frac{36}{60}

, então

\frac{15}{25}

é a maior fração.

9. a) Como

\frac{1}{4} = \frac{15}{60}

\frac{2}{3} = \frac{40}{60}

\frac{4}{5} = \frac{48}{60}

, então

\frac{1}{4} < \frac{2}{3} < \frac{4}{5}

b) Como

\frac{2}{5} = \frac{16}{40}

\frac{3}{8} = \frac{15}{40}

\frac{9}{15} = \frac{3}{5} = \frac{24}{40}

, então

\frac{3}{8} < \frac{2}{5} < \frac{9}{15}

c) Como

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

\frac{2}{6} = \frac{4}{12}

\frac{2}{3} = \frac{8}{12}

, então

\frac{2}{6} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}

d) Como

\frac{4}{9} = \frac{28}{63}

\frac{1}{3} = \frac{21}{63}

\frac{2}{7} = \frac{18}{63}

, então

\frac{2}{7} < \frac{1}{3} < \frac{4}{9}

10.

\frac{1}{3} d e 4 500 = 4 500 : 3 = 1 500

O valor dessas despesas foi R$ 1.500,00mil quinhentos reais.

11. Se

\frac{3}{4}

do trajeto correspondem a .3375 métros, então:

\frac{1}{4}

do trajeto corresponde a .1125 métros (.3375 : 3 = .1125)

\frac{4}{4}

do trajeto corresponde a .4500 métros ( .1125 ⋅ 4 = .4500 )

A distância total a ser percorrida na prova é .4500 métros.

12. Se Marcos pagou

\frac{3}{5}

do jôgo e Jorge pagou o restante, então Jorge pagou

\frac{2}{5}

do jôgo.

Página oitenta e oito

Assim, se

\frac{2}{5}

do jôgo correspondem a R$ 46,00quarenta e seis reais, então:

\frac{1}{5}

do jôgo corresponde a R$ 23,00vinte e três reais (46 : 2 = 23)

\frac{5}{5}

do jôgo corresponde a R$ 115,00cento e quinze reais (23 ⋅ 5 = 115)

Logo, esse jôgo custou R$ 115,00cento e quinze reais.

13. Se Rogério pagou

\frac{1}{3}

de R$ 12,00doze reais, ele pagou R$ 4,00 quatro reais

(12 : 3 = 4)

Se Cristiane pagou metade do valor pago por Rogério, ela pagou R$ 2,00dois reais (4 : 2 = 2)

Como Patrícia pagou o restante, ela pagou:

12 – (4 + 2) = 12 – 6 = 6

Patrícia pagou R$ 6,00seis reais.

14. Se o atacadista vendeu

\frac{4}{13}

das sacas para o primeiro freguês, sobraram

\frac{9}{13}

das sacas

(\frac{13}{13} ‒ \frac{4}{13} = \frac{9}{13})

Para o segundo freguês ele vendeu

\frac{1}{3}

\frac{9}{13}

, que é

\frac{3}{13}

(\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{13} = \frac{3}{13})

, então sobraram

\frac{6}{13}

das sacas

(\frac{9}{13} ‒ \frac{3}{13} = \frac{6}{13})

Para o terceiro freguês ele vendeu

\frac{3}{10}

\frac{6}{13}

das sacas, que é

\frac{9}{65}

(\frac{3}{10} \cdot \frac{6}{13} = \frac{9}{65})

, então sobraram

\frac{21}{65}

das sacas

(\frac{6}{13} ‒ \frac{9}{65} = \frac{21}{65})

\frac{21}{65}

de .2600 é:

\frac{21}{65} \cdot 2 600 = 840

Restaram oitocentas e quarenta sacas.

15. a)

\frac{4}{9} + \frac{9}{5} = \frac{20}{45} + \frac{81}{45} = \frac{101}{45}

\frac{12}{21} + \frac{10}{21} = \frac{22}{21}

\frac{12}{15} ‒ \frac{5}{15} = \frac{7}{15}

\frac{3}{7} ‒ \frac{1}{7} = \frac{2}{7}

2 \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{14}{5} + \frac{3}{5} = \frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}

\frac{1}{6} + \frac{5}{9} = \frac{3}{18} + \frac{10}{18} = \frac{13}{18}

\frac{2}{3} ‒ \frac{4}{7} = \frac{14}{21} ‒ \frac{12}{21} = \frac{2}{21}

\frac{5}{8} ‒ \frac{8}{15} = \frac{75}{120} ‒ \frac{64}{120} = \frac{11}{120}

\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15}{60} + \frac{20}{60} + \frac{12}{60} = \frac{47}{60}

\frac{8}{9} ‒ \frac{7}{10} = \frac{80}{90} ‒ \frac{63}{90} = \frac{17}{90}

16. Se o aquário está

\frac{4}{5}

com água, significa que está

\frac{1}{5}

sem água.

Como

\frac{1}{5}

corresponde a 12 litros, então

\frac{5}{5}

correspondem a ( 12 ⋅ 5 ) litros = 60 litros.

Logo, o aquário tem 60 litros de medida de capacidade.

17. a)

2 \frac{1}{3} + 1 \frac{3}{4} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} + \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{3} + \frac{7}{4} = \frac{28}{12} + \frac{21}{12} = \frac{49}{12} = 4 \frac{1}{12}

\frac{1}{2} + \frac{1}{5} ‒ \frac{3}{6} = \frac{15 + 6 ‒ 15}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}

8 ‒ \frac{7}{2} = \frac{16 ‒ 7}{2} = \frac{9}{2}

\frac{7}{2} ‒ 1 \frac{1}{8} = \frac{7}{2} ‒ \frac{8 + 1}{8} = \frac{28 ‒ 9}{8} = \frac{19}{8}

18. a)

8 \cdot \frac{7}{9} = \frac{56}{9}

\frac{2}{5} \cdot 12 = \frac{24}{5}

\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{9} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

\frac{9}{15} \cdot \frac{5}{3} = \frac{45}{45} = 1

\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}

\frac{5}{9} \cdot \frac{4}{10} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}

19. Se

\frac{2}{5}

dos números da rifa foram vendidos a familiares, então

\frac{3}{5}

foram vendidos aos colegas.

\frac{3}{5} d e 100 = 3 \cdot 100 : 5 = 300 : 5 = 60

Logo, 60 números foram vendidos aos colegas de Beto.

20. O triângulo maior foi dividido em 4 partes iguais; portanto, cada triângulo intermediário corresponde a

\frac{1}{4}

do triângulo maior.

Por sua vez, o triângulo intermediário também foi dividido em 4 partes iguais.

Então o menor triângulo corresponde a

\frac{1}{16}

do triângulo maior

(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16})

21. a)

\frac{4}{9} : 3 = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}

40 : \frac{2}{3} = 40 \cdot \frac{3}{2} = \frac{120}{2} = 60

\frac{4}{7} : \frac{1}{2} = \frac{4}{7} \cdot 2 = \frac{8}{7}

\frac{3}{15} : \frac{2}{3} = \frac{3}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}

\frac{2}{7} : \frac{4}{9} = \frac{2}{7} \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{28} = \frac{9}{14}

\frac{9}{15} : \frac{5}{9} = \frac{9}{15} \cdot \frac{9}{5} = \frac{81}{75} = \frac{27}{25}

22. a)

\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

\frac{6}{\frac{1}{4}} = 6 \cdot 4 = 24

23. Se

\frac{3}{7}

correspondem a R$ 540,00quinhentos e quarenta reais, então

\frac{1}{7}

corresponde a R$ 180,00cento e oitenta reais (540 : 3 = 180).

\frac{1}{7}

corresponde a R$ 180,00cento e oitenta reais, então

\frac{7}{7}

correspondem a R$ 1.260,00mil duzentos e sessenta reais (180 ⋅ 7 = .1260).

Logo, a quantia mensal é de R$ 1.260,00mil duzentos e sessenta reais.

24. a)

{(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}

{(\frac{4}{3})}^{3} = \frac{64}{27}

{(\frac{1}{100})}^{0} = 1

{(\frac{99}{100})}^{1} = \frac{99}{100}

{(3 \frac{1}{2})}^{2} = {(\frac{7}{2})}^{2} = \frac{49}{4}

{(\frac{3}{5})}^{3} = \frac{27}{125}

25.

(\frac{3}{4} ‒ \frac{2}{5}) \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2} + (\frac{1}{2} : 4) = (\frac{15}{20} ‒ \frac{8}{20}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{25}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}) =

= \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{2} + \frac{25}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{40} + \frac{250}{40} + \frac{5}{40} = \frac{262}{40} = \frac{131}{20}

26. a)

[(\frac{2}{3} : \frac{1}{12} + 2) : {(\frac{1}{10})}^{2} ‒ 10^{3}] = [(\frac{2}{3} \cdot 12 + 2) : \frac{1}{100} ‒ 1 000] =

= [(8 + 2) : \frac{1}{100} ‒ 1 000] = [10 : \frac{1}{100} ‒ 1 000] =

= [10 \cdot 100 ‒ 1 000] = 0

{(\frac{3}{2})}^{2} + [3 \frac{1}{3} ‒ 3 \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{3}] = \frac{9}{4} + [\frac{10}{3} ‒ \frac{13}{4} + \frac{1}{8}] =

= \frac{9}{4} + [\frac{80}{24} ‒ \frac{78}{24} + \frac{3}{24}] = \frac{9}{4} + \frac{5}{24} = \frac{54}{24} + \frac{5}{24} = \frac{59}{24}

Página oitenta e nove

CAPÍTULO 7 – NÚMEROS DECIMAIS

Trocando ideias – página 147

• Resposta pessoal. Exemplos de resposta: Utilizamos com os preços dos produtos no mercado, o valor a pagar no posto de combustível, ao verificar a temperatura do termômetro etcétera.

• Como 15,083 é maior que 15 e menor que 16, faltou menos de 1 ponto.

Atividades – página 152

1. a) sete décimos

b) trezentos e dezessete milésimos

c) cinco inteiros e sessenta e nove centésimos

d) vinte e oito centésimos

e) sete inteiros e trinta e oito milésimos

f) oito milésimos

2. a) 7 inteiros + 6 décimos → 7,6

b) 36 milésimos → 0,036

c) 78 centésimos → 0,78

d) 126 décimos, o algarismo 6 deve estar na 1ª ordem decimal → 12,6

e) 20 inteiros + 4 décimos → 20,4

f) 645 milésimos → 0,645

g) 79 centésimos → 0,79

3. a)

0,76 = \frac{76}{100} = \frac{19}{25}

0,025 = \frac{25}{1 000} = \frac{1}{40}

12,7 = \frac{127}{10}

17,22 = \frac{1 722}{100} = \frac{861}{50}

50,06 = \frac{5 006}{100} = \frac{2503}{50}

0,019 = \frac{19}{1 000}

4. a) 2,5 = 2 inteiros + 5 décimos = 20 décimos + 5 décimos = 25 décimos

b) 5 inteiros = 50 décimos

c) 300 centésimos = 30 décimos = 3 unidades

0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}

0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

Atividades – página 153

6. a) 1,2 ≠ 0,12 → 1,20 ≠ 0,12

b) 15 = 15,00 → 15,00 = 15,00

c) 2,06 ≠ 2,6 → 2,06 ≠ 2,60

d) 3,6 = 3,60 → 3,60 = 3,60

e) 0,17 = 0,17000 → 0,17000 = 0,17000

f) 16 ≠ 160 → 16 unidades ≠ 160 unidades

7. a) 7,04 < 7,40, pois 04 < 40

b) 6,200 > 6,196, pois 200 > 196

c) 9,870 > 9,799, pois 870 > 799

d) 10,1 < 11, pois 10 < 11

8. a) 0,75; 0,80; 0,07 → 0,07 < 0,75 < 0,8

b) 2,300; 2,350; 1,197 → 1,197 < 2,3 < 2,35

c) 3,1416; 3,2000; 3,1430 → 3,1416 < 3,143 < 3,2

9. a) 1,36; 0,36; 6,13 → 6,13 > 1,36 > 0,36

b) 0,38; 3,08; 3,80 → 3,8 > 3,08 > 0,38

c) 2,14; 2,00; 2,20 → 2,2 > 2,14 > 2

10. Basta organizar as alturas em ordem crescente e associar com os jogadores que já estão em ordem crescente:

1,79 métro; 1,83 métro; 2 métros; 2,04 métros e 2,13 métros

Ivo: 1,79 métro; Paulo: 1,83 métro; Jorge: 2 métros; Léo: 2,04 métros; Pedro: 2,13 métros

11. Basta organizar os valores em ordem crescente e associar com as letras em ordem alfabética:

0,25 < 1,0898 < 1,69 < 2,5

quatro < três < um < dois

a ‒ quatro; B ‒ três; C ‒ um; D ‒ dois

Atividades – página 155

12. a)

Algoritmo usual da adição. 0 vírgula 9 mais 3 vírgula 5. Na primeira linha o número 0 vírgula 9. Abaixo, à esquerda, sinal de adição, à direita o número 3 vírgula 5 alinhado ordem a ordem com 0 vírgula 9. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 4 vírgula 4.

Algoritmo usual da adição. 19 vírgula 600 mais 3 vírgula 040 mais 0 vírgula 076. Na primeira linha o número 19 vírgula 600. Abaixo, número 3 vírgula 040 alinhado ordem a ordem com o número 19 vírgula 600. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita 0 vírgula 076 alinhado ordem a ordem com com 19 vírgula 600 e 3 vírgula 040. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 22 vírgula 716.

Algoritmo usual da adição. 17 vírgula 000 mais 4 vírgula 320 mais 0 vírgula 006. Na primeira linha o número 17 vírgula 000. Abaixo, número 4 vírgula 320 alinhado ordem a ordem com o número 17 vírgula 000. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita 0 vírgula 006 alinhado ordem a ordem com 17 vírgula 000 e 4 vírgula 320.
Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 21 vírgula 326.

Algoritmo usual da adição. 0 vírgula 68 mais 0 vírgula 32 mais 9 vírgula 00. Na primeira linha o número 0 vírgula 68. Abaixo, número 0 vírgula 32 alinhado ordem a ordem com o número 0 vírgula 68. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita 9 vírgula 00 alinhado ordem a ordem com com 0 vírgula 68 e 0 vírgula 32. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 10 vírgula 00.

Algoritmo usual da subtração. 6 vírgula 4 menos 3 vírgula 6. Na primeira linha o número 6 vírgula 4. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 3 vírgula 6 alinhado ordem a ordem com 6 vírgula 4. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 2 vírgula 8.

Algoritmo usual da subtração. 2 vírgula 0000 menos 0 vírgula 5 mil 678. Na primeira linha o número 2 vírgula 0000. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 0 vírgula 5 mil 678 alinhado ordem a ordem com 2 vírgula 0000. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 1 vírgula 4 mil 322.

Algoritmo usual da subtração. 17 vírgula 600 menos 17 vírgula 594. Na primeira linha o número 17 vírgula 600. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 17 vírgula 594 alinhado ordem a ordem com 17 vírgula 600. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 00 vírgula 006.

Algoritmo usual da subtração. 2 vírgula 005 menos 1 vírgula 050. Na primeira linha o número 2 vírgula 005. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 1 vírgula 050 alinhado ordem a ordem com 2 vírgula 005. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 0 vírgula 955.

Algoritmo usual da subtração. 32 vírgula 800 menos 24 vírgula 276. Na primeira linha o número 32 vírgula 800. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 24 vírgula 276 alinhado ordem a ordem com 32 vírgula 800. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 08 vírgula 524.

Algoritmo usual da subtração. 4 vírgula 420 menos 0 vírgula 008. Na primeira linha o número 4 vírgula 420. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 0 vírgula 008 alinhado ordem a ordem com 4 vírgula 420. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 4 vírgula 412.

13.

2 \frac{3}{4} = 2 + 0,75 = 2,75

Algoritmo usual da adição. 2 vírgula 75 mais 0 vírgula 25. Na primeira linha o número 2 vírgula 75. Abaixo, à esquerda, sinal de adição, à direita o número 0 vírgula 25 alinhado ordem a ordem com 2 vírgula 75. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 3 vírgula 00.

Há na jarra 3 litros.

14.

Algoritmo usual da subtração. 1 vírgula 91 menos 1 vírgula 87. Na primeira linha o número 1 vírgula 91. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 1 vírgula 87 alinhado ordem a ordem com 1 vírgula 91. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 0 vírgula 04.

A diferença da medida da altura deles é de 0,04 metro.

15.

Algoritmo usual da subtração. 52 vírgula 23 menos 46 vírgula 37. Na primeira linha o número 52 vírgula 23. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 46 vírgula 37 alinhado ordem a ordem com 52 vírgula 23. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 05 vírgula 86.

A diferença entre os dois lançamentos foi de 5,86 metros.

16. O estudante pode apresentar várias estratégias de cálculo mental. Resposta possível:

a) 15,65 + 0,9

15,65 + 1 = 16,65

16,65 ‒ 0,1 = 16,55

b) 16,05 ‒ 0,9

16,05 ‒ 1 = 15,05

15,05 + 0,1 = 15,15

Página noventa

c) 21,33 + 0,09

21,33 + 0,1 = 21,43

21,43 ‒ 0,01 = 21,42

d) 21,33 ‒ 0,09

21,33 ‒ 0,1 = 21,23

21,23 + 0,01 = 21,24

17. a) É menor que 5, pois 20 ‒ 18 = 2. É menor que 2, pois 18,25 é maior que 18. É maior que 1, pois 18,25 é menor que 19.

Ilustração. Teclas de calculadora: 2, 0, subtração, 1, 8, ponto, 2, 5, igual.

O troco que Vânia recebeu foi R$ 1,75um reais e setenta e cinco centavos.

18. Resposta pessoal.

Os estudantes deverão elaborar um problema em que a estratégia de resolução seja uma subtração na qual o subtraendo é 10,6 e a diferença é 15,7, ou o subtraendo é 15,7 e a diferença é 10,6.

Atividades – páginas 157 a 159

19. a)

Algoritmo usual da multiplicação 2 vírgula 4 vezes 3 vírgula 5. Na primeira linha o número 2 vírgula 4. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 3 vírgula 5 alinhado ordem a ordem com 2 vírgula 4. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 120. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 720 alinhado ordem a ordem com 120. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 8 vírgula 40.

Algoritmo usual da multiplicação 8 vezes 1 vírgula 25. Na primeira linha o número 8. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 1 vírgula 25. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 40. Abaixo, o número 160, alinhado ordem a ordem com 40. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 800 alinhado ordem a ordem com 160 e 40. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 10 vírgula 00.

Algoritmo usual da multiplicação 0 vírgula 1 vezes 0 vírgula 01. Na primeira linha o número 0 vírgula 1. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 0 vírgula 01. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 01. Abaixo, o número 000. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 0000. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 0 vírgula 001.

Algoritmo usual da multiplicação 5 vírgula 12 vezes 4 vírgula 8. Na primeira linha o número 5 vírgula 12. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 4 vírgula 8. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 4 mil 096. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 20 mil 480, alinhado ordem a ordem com 4 mil 096. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 24 vírgula 576.

Algoritmo usual da multiplicação 2 vírgula 5 vezes 2 vírgula 5. Na primeira linha o número 2 vírgula 5. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 2 vírgula 5 alinhado ordem a ordem com 2 vírgula 5. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 125. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 500 alinhado ordem a ordem com 125. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 6 vírgula 25.

Algoritmo usual da multiplicação 0 vírgula 8 vezes 0 vírgula 8. Na primeira linha o número 0 vírgula 8. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 0 vírgula 8. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 64. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 000. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 0 vírgula 64.

Algoritmo usual da multiplicação 12 vírgula 6 vezes 0 vírgula 18. Na primeira linha o número 12 vírgula 6. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 0 vírgula 18. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 1 mil 008. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 1 mil 260, alinhado ordem a ordem com 1 mil 260. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 2 vírgula 268.

Algoritmo usual da multiplicação 1 vírgula 2 vezes 0 vírgula 75. Na primeira linha o número 1 vírgula 2. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 0 vírgula 75. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 60. Abaixo, o número 840 alinhado ordem a ordem com 60. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita 000. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 0 vírgula 900.

Algoritmo usual da multiplicação 0 vírgula 16 vezes 0 vírgula 0002. Na primeira linha o número 0 vírgula 16. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 0 vírgula 0002. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 032. Abaixo, 0000. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita 00000. Abaixo, 000000. Abaixo, 00000000. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 00 vírgula 000032.

Algoritmo usual da multiplicação 0 vírgula 64 vezes 0 vírgula 25. Na primeira linha o número 0 vírgula 64. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 0 vírgula 25 alinhado ordem a ordem com 0 vírgula 64. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 320. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 1 mil 280. Abaixo, 00000. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 0 vírgula 1600.

20. a) Espera-se que os estudantes observem que o resultado tem os mesmos algarismos do primeiro fator e a vírgula é deslocada para a direita tantas casas quantos forem os zeros do segundo fator.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes cheguem ao resultado 368,9. Ao multiplicar por 100, os algarismos deslocam-se duas casas para a direita.

21. a)

Algoritmo usual da multiplicação 3 vírgula 64 vezes 2. Na primeira linha o número 3 vírgula 64. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 2 alinhado ao algarismo da ordem dos centésimos de 3 vírgula 64. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 7 vírgula 28.

Algoritmo usual da multiplicação 16 vírgula 008 vezes 3. Na primeira linha o número 16 vírgula 008. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 3 alinhado ao algarismo da ordem dos milésimos de 16 vírgula 008. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 48 vírgula 024.

22. a = 0,5 ⋅ 0,12 = 0,060

b = 0,25 ⋅ 0,06 = 0,0150

0,060 ‒ 0,015 = 0,045

O valor de a ‒ b será 0,045.

23. a)

Ilustração. Teclas da calculadora. 1 ponto 2 3 4 multiplicação. Abaixo, 5 ponto 6 7 8 igual.

O resultado será 7,006652.

Ilustração. Teclas da calculadora. 9 8, multiplicação, 0 ponto 0 0 5 igual.

O resultado será 0,49.

24.

Algoritmo usual da multiplicação 2 vírgula 54 vezes 42. Na primeira linha o número 2 vírgula 54. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 42 alinhado aos algarismos da ordem dos centésimos e dos décimos de 2 vírgula 54. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 508. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 10 mil 160. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 106 vírgula 68.

A medida corresponde a 106,68 centímetros.

25. a) Resposta pessoal. Os estudantes poderão arredondar 0,65 para 0,7 e .2200 para .2000, obtendo .1400 métros (0,7 ⋅ .2000 = .1400).

Algoritmo usual da multiplicação 2 mil 200 vezes 0 vírgula 65. Na primeira linha o número 2 mil 200. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 0 vírgula 65 alinhado aos algarismos da ordem das unidades, das dezenas e das centenas de 2 mil 200. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 11 mil. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 132 mil, alinhado ordem a ordem com 11 mil. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 1 mil 430 vírgula 00.

Ana terá percorrido .1430 metros.

c) Resposta pessoal. Os estudantes deverão comparar os resultados e observar se a estratégia de arredondamento foi adequada, ou seja, se o resultado obtido com o arredondamento foi próximo ao valor real.

26. a) 63,2. Basta deslocar os algarismos para a ordem imediatamente superior.

b) .6702. Basta deslocar os algarismos três ordens imediatamente superiores.

c) 0,05. Basta deslocar os algarismos duas ordens imediatamente superiores.

d) 314,5. Basta deslocar os algarismos duas ordens imediatamente superiores.

e) 12; Basta deslocar os algarismos três ordens imediatamente superiores.

f) 90; Basta deslocar os algarismos duas ordens imediatamente superiores.

g) 90; Basta deslocar os algarismos três ordens imediatamente superiores.

h) .121400; Basta deslocar os algarismos quatro ordens imediatamente superiores.

27. a = 2,00 ‒ 0,35 = 1,65

b = 2 + 0,35 = 2,35

Algoritmo usual da multiplicação 1 vírgula 65 vezes 2 vírgula 35. Na primeira linha o número 1 vírgula 65. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 2 vírgula 35 alinhado ordem a ordem com 1 vírgula 65. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 825. Abaixo, o número 4 mil 950 alinhado ordem a ordem com 825 Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 33 mil, alinhado ordem a ordem com 4 mil 950. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 3 vírgula 8775.

Portanto, a ⋅ b = 3,8775.

28.

Algoritmo usual da multiplicação 13 vírgula 85 vezes 1 vírgula 2. Na primeira linha o número 13 vírgula 85. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 1 vírgula 2 alinhado a ordem dos centésimos e dos décimos de 13 vírgula 85. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 2 mil 770. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 13 mil 850, alinhado ordem a ordem com 2 mil 770. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 16 vírgula 620.

Lucas gastou R$ 16,62dezesseis reais e sessenta e dois centavos.

29. a) Arredondando 0,69 para 0,70 e 108 para 110:

110 × 0,70 = 77

Portanto,

77 + 56 = 133

Júlio gastou aproximadamente R$ 133,00cento e trinta e três reais.

Página noventa e um

Algoritmo usual da multiplicação 108 vezes 0 vírgula 69. Na primeira linha o número 108. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 0 vírgula 69. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 972. Abaixo, à esquerda sinal de adição, à direita o número 6 mil 480, alinhado ordem a ordem com 972. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o número 74 vírgula 52.

74,52 + 56 = 130,52

Júlio gastou exatamente R$ 130,52cento e trinta reais e cinquenta e dois centavos.

c) Resposta pessoal. Os estudantes deverão comparar os resultados e observar se a estratégia de arredondamento foi adequada, ou seja, se a estimativa foi próxima ao valor exato.

30. a) 0,222222222

b) 0,444444444

c) 0,555555555

0,72, pois observando a sequência:

0,18 = 2 ⋅ 0,09

0,36 = 4 ⋅ 0,09

0,45 = 5 ⋅ 0,09

0,72 = 8 ⋅ 0,09

31.

Algoritmo usual da multiplicação 40 vírgula 25 vezes 8. Na primeira linha o número 40 vírgula 25. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 8 alinhado ao algarismo da ordem dos centésimos de 40 vírgula 25. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 322 vírgula 00.

1000 ‒ 322 = 678

A área destinada ao lazer é de 678 metros quadrados.

32. 2,3 ⋅ 0,5 ⋅ 30 = 34,5

2,8 ⋅ 0,5 ⋅ 30 = 42

34,5 + 42 = 76,5

O consumo total de energia por esses dois aparelhos será 76,5 quilowatts-hora.

33. a) 5 ⋅ 1,3 = 6,5

Cinco pães têm 6,5 gramas de gordura.

b) 4,1 ⋅ 2 = 8,2

Deveria comer 2 pães.

34. 63,88 ⋅ 10 = 638,8

63,88 ⋅ 100 = 6 388

63,88 ⋅ 1000 = 63 880

Neste dia o preço de 10 sacas de arroz era R$ 638,80seiscentos e trinta e oito reais e oitenta centavos; de 100 sacas de arroz era R$ 6.388,00seis mil trezentos e oitenta e oito reais e de 1 000 sacas de arroz era R$ 63.880,00sessenta e três mil oitocentos e oitenta reais.

35.

Algoritmo usual da multiplicação 12 vírgula 9 vezes 7. Na primeira linha o número 12 vírgula 9. Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 7 alinhado ao algarismo da ordem dos décimos de 12 vírgula 9. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 90 vírgula 3. Algoritmo usual da subtração. 100 vírgula 0 vezes 90 vírgula 3. Na primeira linha o número 100 vírgula 0. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita, o número 90 vírgula 3 alinhado ordem a ordem 90 vírgula 3. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 009 vírgula 7. Algoritmo usual da subtração. 12 vírgula 9 vezes 9 vírgula 7. Na primeira linha o número 12 vírgula 9. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita, o número 9 vírgula 7 alinhado ordem a ordem com 12 vírgula 9. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 03 vírgula 2.

Carlos recebeu R$ 9,70nove reais e setenta centavos de troco. Para comprar 8 peças, ele deveria acrescentar R$ 3,20três reais e vinte centavos.

36. a) 1 ⋅ 22 = 22

2 ⋅ 22 = 44

O produto deve estar entre 22 e 44. Logo, é possível ser 34,1.

b) 3 ⋅ 19 = 57

4 ⋅ 19 = 76

O produto deve estar entre 57 e 76. Logo, é impossível ser 619,4.

c) 4 ⋅ 45 = 180

5 ⋅ 45 = 225

O produto deve estar entre 180 e 225. Logo, é impossível ser .18495.

d) 5 ⋅ 64 = 320

6 ⋅ 65 = 390

O produto deve estar entre 320 e 390. Logo, é possível ser 363,52.

37. a) Resposta pessoal. Os estudantes deverão completar com valores verossímeis.

b) Resposta pessoal. A resposta dependerá dos valores utilizados nas lacunas.

38. a) 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,2 = 0,008

b) 1,2 ⋅ 1,2 = 1,44

c) 1

d) 1,4 ⋅ 1,4 ⋅ 1,4 = 2,744

e) 0,7 ⋅ 0,7 = 0,49

f) 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 = 0,216

g) 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3 = 0,0081

h) 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 = 0,00001

Atividades – páginas 163 e 164

39. a)

Algoritmo da divisão de 968 dividido por 400. Na primeira linha, à esquerda o número 968. À direita, na chave, o número 400. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração, e à direita, o número 800 alinhado ordem a ordem com 968.Abaixo da chave, o número 2 vírgula 42. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 168 e à direita, o número 0 , formando o número 1 mil 680. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita o número 1 mil 600, alinhado ordem a ordem com 1 mil 680. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, número 80 e à direita o número 0 formando o número 800. Abaixo à esquerda, sinal de subtração, à direita o número 800 alinhado ordem a ordem com 800. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 000.

Algoritmo da divisão de 132 dividido por 120. Na primeira linha, à esquerda o número 132. À direita, na chave, o número 120. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração, e à direita, o número 120 alinhado ordem a ordem com 132. Abaixo da chave, o número 1 vírgula 1. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 12 e à direita, o número 0 , formando o número 120. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita o número 120, alinhado ordem a ordem com 120. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 000.

Algoritmo usual da divisão. 300 dividido por 60. Na primeira linha, à esquerda o número 300, à direita na chave o número 60. Abaixo da chave o número 0 vírgula 05. Abaixo, à esquerda sinal de subtração, à direita o número 300 alinhado ordem a ordem com o número 300. Abaixo, traço horizontal. Abaixo o resto 000.

Algoritmo da divisão de 225 dividido por 150. Na primeira linha, à esquerda o número 225. À direita, na chave, o número 150. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração, e à direita, o número 150 alinhado ordem a ordem com 225. Abaixo da chave, o número 1 vírgula 5. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 075 e à direita, o número 0 , formando o número 750. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita o número 750, alinhado ordem a ordem com 750. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 00.

Algoritmo da divisão de 90 dividido por 8. Na primeira linha, à esquerda o número 90. À direita, na chave, o número 8. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração, e à direita, o número 8 alinhado a ordem das dezenas de 90. Abaixo da chave, o número 11 vírgula 25. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 10 alinhado ordem a ordem com o número 90. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita o número 8, alinhado ordem a ordem com 90. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 2 e à direita o número 0 formando o número 20. Abaixo à esquerda, sinal de subtração, à direita o número 16 alinhado ordem a ordem com 20. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 4. Abaixo à esquerda, sinal de subtração, à direita o número 4 alinhado ordem a ordem com 4. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 0.

Algoritmo da divisão de 9 dividido por 6. Na primeira linha, à esquerda o número 9. À direita, na chave, o número 6. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração, e à direita, o número 6 alinhado ordem a ordem com 9. Abaixo da chave, o número 1 vírgula 5. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 3 e à direita, o número 0 , formando o número 30. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita o número 30, alinhado ordem a ordem com 30. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 00.

Algoritmo da divisão de 80 dividido por 2. Na primeira linha, à esquerda o número 80. À direita, na chave, o número 2. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração, e à direita, o número 8 alinhado a ordem das dezenas de 80. Abaixo da chave, o número 40. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 00.

Algoritmo da divisão de 270 dividido por 54. Na primeira linha, à esquerda o número 270. À direita, na chave, o número 54. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração, e à direita, o número 270 alinhado ordem a ordem com 270. Abaixo da chave, o número 5. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 000.

Algoritmo da divisão de 15 mil 475 dividido por 1 mil 250. Na primeira linha, à esquerda o número 15 mil 475. À direita, na chave, o número 1 mil 250. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração, e à direita, o número 1 mil 250 alinhado a ordem das dezenas, centenas, unidade de milhar e dezena de milhar de 15 mil 475. Abaixo da chave, o número 12 vírgula 38. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 02 mil 975 alinhado ordem a ordem com o número 15 mil 475. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita o número 2 mil 500, alinhado ordem a ordem com 2 mil 975. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, número 475 e à direita o número 0 formando o número 4 mil 750. Abaixo à esquerda, sinal de subtração, à direita o número 3 mil 750 alinhado ordem a ordem com 4 mil 750. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, número 1 mil e à direita o número 0 formando o número 10 mil. Abaixo à esquerda, sinal de subtração, à direita o número 10 mil alinhado ordem a ordem com 10 mil. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 00000.

Algoritmo da divisão de 901 dividido por 25. Na primeira linha, à esquerda o número 901. À direita, na chave, o número 25. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração, e à direita, o número 75 alinhado a ordem das dezenas e das centenas de 901. Abaixo da chave, o número 36 vírgula 04. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 151 alinhado ordem a ordem com o número 901. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita o número 150, alinhado ordem a ordem com 151. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o número 1 e à direita dois números 0 formando o número 100. Abaixo à esquerda, sinal de subtração, à direita o número 100 alinhado ordem a ordem com 100. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 000.

Sim, como pode ser observado nos itens g e h.

40. a) Espera-se que os estudantes percebam que, ao dividir por 10, os algarismos deslocam uma ordem imediatamente à direita. Ao dividir por 100, os algarismos deslocam duas ordens imediatamente à direita. Ao dividir por .1000, os algarismos deslocam três ordens imediatamente à direita.