Capítulo 2 Operações com números naturais
Trocando ideias
No início de 2022, o Ministério da Saúde anunciou a inclusão de crianças da faixa etária de 5 a 11 anos no Plano Nacional de Operacionalização da Vacinação contra a côvid dezenóve (PNO). Estima-se que esse público era de 20 milhões de crianças.
▸
Até o dia 07/02/2022, 3.setecentas.000 crianças haviam sido imunizadas. A partir dessa data, quantas crianças, aproximadamente, ainda precisavam tomar a vacina?
▸
Na sua opinião, qual a importância de tomar vacinas? Converse com os colegas.
Neste capítulo, vamos ampliar nossos conhecimentos sobre operações com números naturais.
Respostas e comentários
Trocando ideias: primeiro item: 16.trezentas.000 crianças; segundo item: resposta pessoal.
CAPÍTULO 2 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
Trocando ideias
BNCC:
• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).
• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).
Objetivos:
• Levantar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre a adição e a subtração de números naturais.
• Refletir sobre a importância da vacinação.
Tema contemporâneo transversal:
O Ministério da Saúde anunciou a inclusão de crianças da faixa etária de 5 a 11 anos no Plano Nacional de Operacionalização da Vacinação contra a Covid-19 (PNO) em janeiro de 2022. Essa medida foi considerada um passo extremamente importante para o contrôle da pandemia, por colaborar na redução das transmissões. Pergunte aos estudantes qual deles tomou a vacina contra Covid-19 e, depois, reserve um tempo para que conversem sobre o que vivenciaram no período da pandemia. Se julgar oportuno, apresente alguns dados sobre a pandemia para enriquecer essa conversa inicial. Depois, solicite a eles que respondam às questões propostas.
Para responder ao primeiro item, os estudantes devem calcular ..20000000 ‒ ..3700000. Incentive-os a fazer esse cálculo mentalmente. Depois, peça que compartilhem suas estratégias com a turma.
O segundo item leva-os a refletir sobre a importância de se vacinar. Após verbalizarem suas respostas, enfatize que as vacinas contribuem para a prevenção de diversas doenças graves e de suas complicações, que podem até levar à morte. Comente também que, graças à vacinação, houve uma queda drástica na incidência de doenças que costumavam levar a óbito milhares de pessoas todos os anos, como coqueluche, sarampo, poliomielite e rubéola. Alerte-os para o risco de essas doenças voltarem, caso as pessoas parem de se vacinar.
A competência geral 9 e a competência específica 8 da Bê êne cê cê têm o seu desenvolvimento favorecido neste Trocando ideias, uma vez que o diálogo e a interação entre os estudantes são incentivados.
1 Adição com números naturais
Observe o total de pontos conquistados pelos cinco pilotos de motovelocidade mais bem colocados no Superbike Brasil 2021.
|
Posição |
Piloto |
Pontos |
|---|---|---|
|
1ª |
Pedro Sampaio |
177 |
|
2ª |
Mauriti Junior |
129 |
|
3ª |
Léo Tamburro |
123 |
|
4ª |
Júlio Fortunado |
121 |
|
5ª |
Danilo Lewis |
77 |
Dados obtidos em: https://oeds.link/PABJXP. Acesso em: 17 abril 2022.
Qual foi o total de pontos alcançado pelos pilotos que conquistaram as três primeiras posições?
Para obter essa resposta, devemos juntar, unir ou reunir quantidades, ou seja, efetuar a operação denominada adição.
Acompanhe como podemos obter esse total:
Nessa adição, os números 177, 129 e 123 são as parcelas, e 429 é a soma (ou total).
Outra ideia da adição é a de acrescentar uma quantidade à outra.
Caso houvesse mais uma corrida no campeonato citado anteriormente e o piloto Pedro Sampaio ganhasse mais 25 pontos, chegando em 1º lugar, deveríamos acrescentar esses 25 pontos aos 177:
177 + 25 = 202
Portanto, o piloto terminaria o campeonato com 202 pontos.
Respostas e comentários
Adição com números naturais
BNCC:
Habilidade ê éfe zero seis ême ah zero três.
Objetivos:
• Compreender e aplicar as ideias da adição (juntar, unir e acrescentar).
• Compreender algumas propriedades da adição.
Justificativa
A habilidade ê éfe zero seis ême ah zero três envolve o conhecimento e a valorização de diferentes maneiras de calcular, bem como a mobilização de estratégias diversas de resolução de problemas e, por isso, no caso da adição, é importante que os estudantes saibam lidar com as ideias dessa operação.
A compreensão das propriedades da adição possibilita a simplificação de cálculos e o desenvolvimento de estratégias de cálculo mental e, por essa razão, também contribui para o desenvolvimento da referida habilidade.
Mapeando conhecimentos
Convide alguns estudantes e encene com eles duas situações: uma envolvendo a ideia de juntar e outra envolvendo a ideia de acrescentar da adição. Observe se eles compreendem ambas as situações e se percebem a diferença entre elas. Este é o momento oportuno para estimular o diálogo e o pluralismo de ideias. Depois, comente quais ideias da adição podem ser relacionadas a cada situação.
Para mapear o que sabem a respeito das propriedades da adição, você pode propor os seguintes questionamentos: “Podemos adicionar números em qualquer ordem? Por quê?”; “Em uma adição de três ou mais números naturais, podemos associar as parcelas de diferentes modos sem alterar a soma?”; “O que acontece quando adicionamos zero a um número?”. Incentive-os a realizar investigações antes de responder.
Para as aulas iniciais
Dedique as primeiras aulas deste tópico para retomar os algoritmos de adição da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores; depois, explore com a turma as atividades de 10 a 12. Corrija as atividades coletivamente utilizando diferentes estratégias de resolução. Ao explorar os problemas, enfatize as ideias da adição envolvidas.
Revise também as propriedades da adição presentes na mesma seção e proponha aos estudantes que façam as atividades 13 e 14. Deixe que trabalhem em grupos para que possam trocar ideias.
Explore outras maneiras de realizar os cálculos nas situações apresentadas (pontos alcançados pelos pilotos e o total de pontos em um campeonato). Pergunte aos estudantes como fariam para resolver esses problemas usando o cálculo mental. De acôrdo com as respostas dadas, apresente a possibilidade de realizar o cálculo por meio da decomposição dos números (parcelas da adição). Isso poderá proporcionar a eles a compreensão do algoritmo usual e o desenvolvimento de estratégias para o cálculo mental.
(ê éfe zero seis ême ah zero três) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
LEMBRE-SE: Escreva no caderno.
Algumas propriedades da adição
Vamos estudar algumas propriedades da adição.
Propriedade comutativa
▸
Adicione mentalmente:
a) Que resultados você obteve?
b) O que você percebeu?
▸ Escolha outros dois números naturais e, em seu caderno, escreva uma adição cujas parcelas são somente esses números. Depois, escreva outra adição trocando a ordem das parcelas. Finalmente, calcule o resultado das duas adições. O que você observou?
Em uma adição de números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.
Propriedade associativa
Vamos efetuar 8 + 12 + 10 associando as parcelas de dois modos.
▸ Escolha três números naturais. Adicione, em seu caderno, a soma dos dois primeiros números com o terceiro. Em seguida, adicione o primeiro número com a soma dos dois últimos. O que você observou?
Em uma adição de três ou mais números naturais, podemos associar as parcelas de diferentes modos sem alterar a soma.
Elemento neutro
▸
Adicione mentalmente:
a) Que resultados você obteve?
b) O que você percebeu?
O zero, quando adicionado a outro número natural qualquer, resulta sempre nesse outro número. Ou seja, o zero como parcela da adição não altera o valor da soma. Por isso, ele é chamado de elemento neutro da adição.
Observação
Nas três situações anteriores, realizamos adições em que as parcelas são números naturais. Note que as somas também são números naturais.
Respostas e comentários
Primeiro item:
a) 40; 40
b) Espera-se que os estudantes percebam que o resultado foi o mesmo, apesar da troca de ordem das parcelas.
Segundo item: Espera-se que os estudantes percebam que a ordem das parcelas não altera a soma.
Terceiro item: Espera-se que os estudantes percebam que, embora tenham alterado a fórma de associar as parcelas, a soma permaneceu a mesma.
Quarto item:
a) 58; 45
b) Espera-se que os estudantes percebam que, ao adicionar o zero a um número, a soma é o próprio número.
Algumas propriedades da adição
Ressalte a importância do cálculo mental, por exemplo, nas atividades práticas do dia a dia, e discuta algumas técnicas que facilitam essa operação. O uso dos algoritmos da adição (o usual e o da decomposição) e das propriedades da adição permite uma reorganização das parcelas, ajudando a realizar o cálculo com maior facilidade.
Comente com os estudantes que a verificação de alguns exemplos não é suficiente para provar as propriedades. Explique a eles que, para cada uma dessas propriedades, há uma demonstração.
Sugestão de leitura
O texto Princípio da indução matemática: fundamentação teórica e aplicações, dissertação de mestrado de Hudson de Souza Félix, contém as demonstrações das propriedades da adição.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Considere os números a seguir.
Agora, determine os totais obtidos ao:
a) adicionar os dois maiores números;
b) adicionar os dois menores números;
c) adicionar o menor número com o maior número.
2. Observe o quadro de pontos de uma gincana e responda às questões.
|
Etapa |
|||
|---|---|---|---|
|
Nome |
1ª |
2ª |
3ª |
|
Júlio |
3.650 |
5.995 |
7.036 |
|
Marcelo |
3.543 |
2.786 |
9.999 |
|
Antônio |
4.119 |
3.830 |
8.678 |
a) Quantos pontos Júlio obteve nas três etapas?
b) Algum deles conquistou mais de 17 mil pontos nessa gincana?
c) Quem obteve mais pontos nessa gincana?
3. Com base nas medidas aproximadas do quadro a seguir, calcule a medida da área total, em quilômetro quadrado cá ême elevado a 2, da Região Sul do Brasil.
|
Estado |
Medida da área (quilômetro quadrado) |
|---|---|
|
Paraná |
199.299 |
|
Santa Catarina |
95.731 |
|
Rio Grande do Sul |
281.707 |
Dados obtidos em: https://oeds.link/G5Om6I. Acessos em: 17 abril 2022.
4. Observe a tabela com o número de habitantes das seis cidades mais populosas do Brasil em 2020.
|
Cidade |
População |
|---|---|
|
São Paulo |
12.325.232 |
|
Rio de Janeiro |
6.747.815 |
|
Brasília |
3.055.149 |
|
Salvador |
2.886.698 |
|
Fortaleza |
2.686.612 |
|
Belo Horizonte |
2.521.564 |
Dados obtidos em: https://oeds.link/6Jtiyn. Acesso em: 17 abril 2022.
Calcule a população das cidades:
a) do Sudeste listadas no quadro;
b) do Nordeste listadas no quadro.
5. Quando Laerte nasceu, o pai dele tinha 28 anos. Atualmente, Laerte tem 18 anos. Determine a soma das idades de Laerte e de seu pai hoje.
6. Determine a soma de todos os números de três algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 3, 4 e 5.
7.
Ana vai usar a calculadora para determinar a soma de três números consecutivos, sabendo que o menor deles é 549. Quando foi realizar os cálculos, Ana percebeu que as teclas 0 e 9 da sua calculadora estavam com defeito. Como Ana poderá fazer esse cálculo? Qual será o resultado?
8.
Reúna-se com um colega para responder à questão: quais são os quatro números ímpares que adicionados resultam em 29?
Respostas e comentários
1. a) .16351
1. b) .2370
1. c) .9710
2. a) .16681
2. b) não
2. c) Júlio
3. .576737 quilômetros quadrados
4. a) ..21594611 de habitantes.
4. b) ..5573310 de habitantes.
5. 64 anos
6. .2664
7. O resultado da adição é .1650. Ana poderá realizar os seguintes cálculos usando a calculadora: (548 + 1) + (551 menos 1) + 551
8. É impossível determinar estes números, uma vez que, ao adicionar quatro números ímpares, o resultado será um número par.
• Na atividade 1 proponha aos estudantes que, antes de realizar as operações, façam as comparações dos números dados.
• As atividades 3 e 4 possibilitam uma conexão com Geografia. Em parceria com o professor dessa disciplina, peça aos estudantes que pesquisem a população dos demais estados brasileiros e façam uma tabela com a medida de área aproximada (usando apenas números naturais) de cada estado. Eles deverão analisar as informações obtidas por região (Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sudeste e Sul), comparando a medida de área da região com a população, além de relacionar os padrões climáticos, as formações vegetais, os tipos de solo e a interação humana. Por exemplo, o Norte apresenta uma população menor que a do Sudeste, ainda que sua medida de área seja maior, abrigando grande parte da Floresta Amazônica.
• Na atividade 6, apesar de não ser necessário para a obtenção da resposta, os estudantes podem ser incentivados a explicitar todas as seis possibilidades: 345, 354, 435, 453, 543, 534. A soma das seis parcelas é .2664.
9. Calcule.
a) 16 + 35 + 14 + 15
b) (16 + 14) + (35 + 15)
• Você achou mais fácil determinar a soma do item a ou a do item b? Explique.
10. Utilizando as propriedades comutativa e associativa, adicione os números da maneira que julgar mais simples.
a) 26 + 30 + 4 + 20
b) 33 + 12 + 7 + 0 + 8
11. Sabendo que 577 + 323 = 900, escreva o resultado de 323 + 577 sem efetuar a adição. Justifique sua resposta.
12. Por que o zero é o elemento neutro da adição?
13.
Considere a adição:
702 + 299
a) Podemos afirmar que o resultado desta adição é aproximadamente igual a .1000? Por quê?
b) Efetue mentalmente a adição anterior. Depois, explique como você fez.
14.
Reúna-se com um colega para resolver o problema a seguir.
Breno foi a uma loja de brinquedos e comprou seis miniaturas. No quadro a seguir, está a lista dessas miniaturas e o preço de cada uma.
|
Casa |
R$ 11,00 |
|
Avião |
R$ 18,00 |
|
Carro |
R$ 16,00 |
|
Navio |
R$ 24,00 |
|
Soldado |
R$ 7,00 |
|
Trem |
R$ 19,00 |
Utilizando as propriedades da adição, cada um de vocês deverá sugerir um modo de obter o total dessa compra. Depois, determinem um modo comum de resolução que considerem ser o mais simples e apresentem-no aos demais colegas da classe.
2 Subtração com números naturais
As imagens a seguir são dos dois prédios mais altos do mundo segundo o Guinness World Records.
Respostas e comentários
9. a) 80
9. b) 80
9. item: Espera-se que os estudantes percebam que a expressão do item b torna a resolução mais simples.
10. Se achar oportuno, peça para os estudantes explicarem como determinaram a soma e o motivo que os levou a considerar a fórma mais simples.
10. a) 80
10. b) 60
11. 900, pois, como as parcelas não foram alteradas, usamos a propriedade comutativa.
12. Resposta pessoal.
13. a) Exemplo de resposta: Sim, porque 702 é aproximadamente igual a 700 e 299 é aproximadamente igual a 300 e 700 + 300 = .1000.
13. b) .1001. Exemplo de resposta: 702 + 299 = (701 + 1) + 299 = = 701 + (1 + 299) = 701 + 300 = = .1001
14. O valor total da compra é R$ 95,00noventa e cinco reais. A explicação sobre o modo de resolução é pessoal.
Subtração com números naturais
Objetivos:
• Compreender e aplicar as ideias da subtração (comparar, completar e tirar)
• Compreender a relação fundamental da subtração.
• Calcular expressões numéricas com adições e subtrações.
Justificativa
A correta interpretação de um problema é um passo importante para que os estudantes possam resolvê-lo; para isso, é preciso saber lidar com as diferentes ideias das operações, que no caso da subtração são as ideias de comparar, completar e tirar, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah zero três.
A compreensão da relação fundamental da subtração (aplicação da operação inversa) é uma ferramenta importante para que se possa verificar se a solução encontrada para um problema é ou não correta.
Muitos problemas são traduzidos por meio de expressões numéricas e, por essa razão, é importante saber calculá-las.
Mapeando conhecimentos
Para mapear o que os estudantes sabem sobre as ideias da subtração, você pode adotar a mesma dinâmica sugerida no caso das ideias da adição.
Pergunte a eles se sabem qual é a relação entre adição e subtração. Deixe-os à vontade para expressar suas opiniões.
Para as aulas iniciais
Dedique as primeiras aulas deste tópico para retomar o algoritmo de subtração da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores; depois, explore com a turma as atividades de 15 a 17. Corrija-as coletivamente, utilizando diferentes estratégias de resolução.
Ao trabalhar a propriedade fundamental da subtração, considere propor uma dinâmica antes de apresentar o conteúdo. Essa dinâmica consiste em organizar os estudantes em duplas e solicitar que realizem algumas subtrações e que confiram os resultados delas usando uma adição. A ideia é que, a partir dessas investigações, percebam que, se o minuendo menos o subtraendo é igual ao resto, então o subtraendo mais o resto é igual ao minuendo.
Podemos obter a diferença entre as medidas das alturas dos prédios através da operação chamada subtração.
Além da ideia de comparação, a subtração também pode estar relacionada à ideia de completar e de tirar unidades. Acompanhe as situações.
Situação 1 abre parêntesesideia de completarfecha parênteses
Luís tem cinquenta e duas figurinhas. Quantas figurinhas faltam para ele completar uma centena?
Para responder a essa pergunta, devemos calcular 100 menos 52:
100 menos 52 = 48
Portanto, faltam 48 figurinhas para Luís completar uma centena.
Situação 2 abre parêntesesideia de tirarfecha parênteses
Ana tinha 5 blusas e doou 3 delas. Com quantas blusas ela ficou?
Para responder a essa pergunta, devemos calcular 5 menos 3:
5 menos 3 = 2
Portanto, Ana ficou com duas blusas.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
15. Calcule, quando possível, o resultado das subtrações. Nem sempre é possível efetuar uma subtração entre dois números naturais.
a) 189 menos 86
b) 856 menos 799
c) 654 menos 830
d) .1050 menos 867
e) .2160 menos .3000
f) .5555 menos .5555
• Quando é possível efetuar uma subtração entre dois números naturais?
16. Responda, no caderno, às questões.
a) Qual é a diferença entre dois números iguais?
b) Qual é a diferença entre dois números pares e consecutivos?
c) Podemos afirmar que a propriedade comutativa é válida para a subtração?
17. Pedro nasceu em julho de 1993. Que idade ele terá em agosto de 2025?
18. Quantos anos você completará no ano 2030?
19. Luís utilizou R$ 700,00setecentos reais para pagar um telefone celular. Calcule o preço desse aparelho, sabendo que Luís recebeu R$ 25,00vinte e cinco reais de troco.
20.
Copie o enunciado do problema a seguir em seu caderno e complete com os dados que quiser. Depois, troque com um colega e resolva o problema dele.
Adalto comprou uma mesa por R$
e pagou com
cédulas de R$
. Quanto ele recebeu de troco?
Respostas e comentários
15. a) 103
15. b) 57
15. c) Não é possível calcular no conjunto dos números naturais.
15. d) 183
15. e) Não é possível calcular no conjunto dos números naturais.
15. f) 0
15. item: Uma subtração em
só pode ser efetuada quando o minuendo é maior ou igual ao subtraendo.
16. a) zero
16. b) 2
16. c) A propriedade comutativa não é válida para a subtração. Os estudantes poderão dar exemplos, como: 15 menos 10 = 5, mas 10 menos 15 ≠ 5 e não tem solução nos naturais.
17. 32 anos
18. Resposta pessoal.
19. R$ 675,00seiscentos e setenta e cinco reais
20. Resposta pessoal.
Assim como feito na adição, a utilização do algoritmo da decomposição ajudará os estudantes a compreender o algoritmo usual.
Nos exemplos das figurinhas de Luís abre parêntesessituação 1fecha parênteses e das blusas de Ana abre parêntesessituação 2fecha parênteses, destaque as ideias de completar e tirar, enfatizando que o resultado pode ser obtido por meio da subtração dos dois números presentes em cada situação.
• Na atividade 15, verifique se os estudantes percebem que a subtração de dois números naturais só será válida quando o minuendo for maior que o subtraendo. Caso essa verificação não aconteça, dê exemplos contextualizados para a turma, como:
“Ana é florista e tem um estoque de 160 rosas. Rita é organizadora de eventos e deseja comprar duzentas rosas de Ana. Quantas rosas sobrarão para Ana?”
Os estudantes deverão perceber que Rita quer comprar mais rosas do que Ana possui no estoque; portanto, essa compra não acontecerá e, com isso, não temos como realizar a operação 160 menos 200 para determinar quantas rosas sobraram no estoque de Ana. Para um aprofundamento da dinâmica, solicite aos estudantes que modifiquem o problema, para que consigam resolvê-lo. Considere uma possibilidade:
“Ana é florista e tem um estoque de 160 rosas. Rita é organizadora de eventos e precisa comprar duzentas rosas. Quantas rosas Ana precisa completar no seu estoque para atender ao pedido de Rita?” Resposta: 40 rosas abre parênteses200 menos 160fecha parênteses.
• O item c da atividade 16 dará continuidade à discussão feita na atividade 15, já que, na subtração de números naturais, o minuendo deve ser maior que o subtraendo; logo, a propriedade comutativa não é válida.
21. Efetue as subtrações.
a) .67056 menos .9453
b) .136917 menos .85862
c) .235000 menos .196417
d) .76432 menos .65321
22.
Calcule mentalmente o resultado das subtrações.
a) 189 menos 29
b) 768 menos 59
c) 974 menos 101
d) .2358 menos 202
23. Criptografia é a arte de escrever utilizando caracteres secretos ou palavras de uma escrita que não é compreendida por todos. Decifre o criptograma a seguir e registre o valor de cada letra, sabendo que cada uma delas indica um algarismo, que letras iguais representam algarismos iguais e que letras diferentes representam algarismos diferentes.
Relação fundamental da subtração
Observe a cena.
Podemos conferir o troco de duas maneiras:
• por meio de uma subtração:
• por meio de uma adição:
Podemos conferir o resultado de uma subtração por meio de uma adição, pois o resultado da adição do subtraendo com o resto é sempre igual ao minuendo.
Assim, podemos escrever a relação fundamental da subtração da seguinte maneira:
Se o minuendo menos o subtraendo é igual ao resto, então o subtraendo mais o resto é igual ao minuendo.
Por isso, dizemos que a adição e a subtração são operações inversas.
Respostas e comentários
21. a) .57603
21. b) .51055
21. c) .38583
21. d) .11111
22. Peça a alguns estudantes que compartilhem a estratégia usada para efetuar mentalmente os cálculos desta atividade.
22. a) 160
22. b) 709
22. c) 873
22. d) .2156
23. A = 8, B = 5 e C = 2. Dessa fórma teremos .A76 equivalente a .3876, cê.BA1 equivalente a .2581 e .C9B equivalente a .1295.
• Na atividade 22, peça a alguns estudantes que compartilhem a estratégia usada para efetuar mentalmente os cálculos. Se achar conveniente, solicite que exponham na lousa os procedimentos utilizados, explicando o passo a passo do raciocínio.
• Na atividade 23, pode-se organizar os estudantes em grupos e solicitar a cada um que crie um criptograma a ser decifrado por outra equipe. Essa atividade oferece uma oportunidade de explorar padrões e regularidades.
Para continuar esse trabalho, pode ser proposta esta atividade.
A seguir, você tem um quadro com quatro palavras que devem ser criptografadas segundo o mesmo critério. Duas já foram criptografadas.
|
Palavra original |
Palavra criptografada |
|---|---|
|
AMOR |
DPRU |
|
ESCOLA |
HVFROD |
|
FUNDAMENTAL |
|
|
UNIFICADO |
Foi usado o mesmo critério de criptografia, isto é, a cada letra do texto original corresponde uma única letra do código escolhido.
a) Qual critério foi usado para criptografar as duas primeiras palavras do quadro?
b) Use o mesmo critério para criptografar a terceira e a quarta palavra do quadro.
Respostas:
a) Cada letra foi substituída pela letra que está três posições à frente no alfabeto; assim, a letra a foi substituída por D, a letra B por E, a letra C por F, e assim por diante.
b) A palavra FUNDAMENTAL será cifrada como IXQGDPHQWDO, e a palavra UNIFICADO como XQLILFDGR.
Relação fundamental da subtração
Comente com os estudantes que a relação fundamental da subtração é um importante instrumento para a conferência do resultado de problemas que envolvem subtração.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
24. O piloto espanhol Alex Palou conquistou o Campeonato de Fórmula Indy em 2021 com 549 pontos, 391 a mais que o piloto brasileiro Hélio Castroneves, que concluiu a temporada em 22º lugar. Qual foi o total de pontos obtidos pelo brasileiro na Fórmula Indy em 2021?
Dados obtidos em: https://oeds.link/qpwCyrs. Acesso em: 18 janeiro 2022.
25. Resolva os problemas.
a) Em uma subtração, o subtraendo é .4738 e o resto é 149. Determine o minuendo.
b) Em uma subtração, o minuendo é .1001 e o resto é 956. Determine o subtraendo.
26. Se, em uma subtração, aumentarmos o minuendo em 20 unidades e diminuirmos o subtraendo em 15 unidades, em quanto aumentará a diferença?
27. Descubra, em cada item, o valor dos algarismos representados por
e
.
a)
b)
28. Copie os itens a seguir no caderno, substituindo cada
pelo número adequado.
a) .1860 menos
= 357
b)
menos .3545 = .1283
29. A soma de três números é .8470. O primeiro é .4319 e o segundo é .1843. Determine o terceiro número.
30.
Kátia utilizou uma calculadora e fez o seguinte cálculo:
Elabore um problema que possa ser resolvido utilizando a operação inversa da adição que Kátia efetuou.
Expressões numéricas com adições e subtrações
Na casa de Júlia havia 4 bananas; ela foi à feira e comprou mais uma dúzia; na volta para casa, acabou comendo duas. Com quantas bananas ela ficou em sua casa?
Para resolver este problema, devemos calcular o valor da expressão numérica 4 + (12 ‒ 2).
Portanto, Júlia ficou com 14 bananas em sua casa.
Observações
Nas expressões numéricas em que não há parênteses, as operações de adição e de subtração devem ser feitas na ordem em que aparecem.
• Nas expressões numéricas em que há parênteses, eles indicam as operações que devem ser feitas primeiro.
• Em uma expressão numérica na qual uma das operações é a subtração, a mudança dos parênteses pode levar a resultados diferentes. Observe os exemplos a seguir:
a)
b)
c)
d)
Respostas e comentários
24. 158 pontos
25. a) .4887
25. b) 45
26. 35 unidades
27. a) 2; 8
27. b) 4; 2
28. a) .1503
28. b) .4828
29. .2308
30. Resposta pessoal.
• Auxilie os estudantes na resolução da atividade 26, sugerindo uma subtração cujo subtraendo seja maior ou igual a 15, por exemplo: 30 menos 20 = 10. Seguindo as orientações do enunciado, temos: (30 + 20) menos (20 menos 15) = 50 menos 5 = 45
Comparando as diferenças: 45 menos 10 = 35
Chegamos à conclusão de que a diferença aumentará em 35 unidades. Peça a alguns estudantes que compartilhem as estratégias empregadas para a resolução, a fim de que a turma conheça outros exemplos e que cheguem à conclusão de que esse resultado não depende da subtração considerada.
Peça a eles que confiram os cálculos realizados nas resoluções das atividades. Registrando essa conferência, eles colocarão em prática a relação fundamental da subtração, isto é, o fato de que a adição e a subtração são operações inversas.
Expressões numéricas com adições e subtrações
Comente com os estudantes sobre o cuidado que devemos ter nas expressões em que os parênteses são aplicados. Os parênteses indicam a prioridade da operação durante a resolução; é importante que eles entendam que a mudança de posição dos parênteses ou mesmo a resolução da expressão ignorando a existência deles podem modificar o resultado da expressão.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
31. Calcule o valor de cada expressão numérica.
a) (18 menos 15 + 3) + 2
b) 30 + (50 menos 12) menos 15
c) 13 menos 8 + 7 menos 4 menos 2
d) (60 menos 12) menos (10 + 20) menos 14
e) (100 menos 35 + 15) + (200 + 135 menos 98)
f) 200 menos (40 + 50) menos 90 menos 10
32. Copie as expressões numéricas no caderno, colocando parênteses quando necessário, para determinar o resultado indicado.
a) 8 menos 3 + 4 menos 5 menos 1 = 5
b) 15 menos 8 + 7 + 8 = 8
c) 35 + 15 menos 20 + 18 = 12
d) 19 menos 8 + 5 menos 4 menos 3 = 5
e) 200 menos 120 + 80 + 70 menos 20 + 50 = 0
33. Sérgio pensou em um número. Em seguida, adicionou-lhe 10. Depois, subtraiu 13 do resultado anterior, obtendo 12. Em que número Sérgio pensou?
34. Leia as frases a seguir e escreva uma expressão numérica que corresponda a cada uma delas. Em seguida, calcule seu valor.
a) Subtraia da soma de 180 com 45 a diferença entre 210 e 107.
b) Adicione 72 à diferença entre 315 e 285.
35.
Na maioria das calculadoras modernas, encontramos estas teclas:
Para efetuar cálculos com a calculadora, podemos usar as funções de memória. Digite as sequências a seguir e confirme o resultado no visor.
Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao cálculo efetuado em cada exemplo apresentado.
Respostas e comentários
31. a) 8
31. b) 53
31. c) 6
31. d) 4
31. e) 317
31. f) 10
32. a) 8 menos 3 + 4 menos (5 menos 1) = 5
32. b) 15 menos (8 + 7) + 8 = 8
32. c) 35 + 15 menos (20 + 18) = 12
32. d) 19 menos (8 + 5) menos (4 menos 3) = 5
32. e) 200 menos (120 + 80) + 70 menos (20 + 50) = 0
33. 15
34. a) (180 + 45) menos (210 menos 107) = 122
34. b) (315 menos 285) + 72 = 102
35. (10 + 20 + 5) menos 35
(40 menos 20 menos 5) + 15
• Verifique se os estudantes constroem corretamente a expressão que representa a situação da atividade 33, utilizando as operações inversas das realizadas por Sérgio, já que precisam determinar o número pensado a partir do resultado final das operações.
Novamente, a reta numérica é um recurso para a verificação desse resultado.
• Como aprofundamento da atividade 35, peça aos estudantes que discutam e resolvam a sugestão de atividade extra indicada.
Sugestão de atividade extra
Peça aos estudantes que confiram os seguintes cálculos usando uma calculadora sem usar as teclas
e
.
a) .2589 + 369 = .2958
b) 15 + 200 + 163 = 378
c) (200 menos 15) + (25 menos 10) = 200
Respostas:
a) .2958 menos 369 = .2589 ou .2958 menos .2589 = 369
b) Uma possibilidade é fazer: 378 menos 163 menos 200 = 15
c) Uma possibilidade é encontrar os valores das expressões entre parênteses primeiro: 200 menos 15 = 185 e 25 menos 10 = 15; e, depois, verificar: 200 menos 15 = 185
3 Multiplicação com números naturais
Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Pedro é professor de dança de salão e está preparando uma apresentação de gafieira. Todos os alunos vão participar, formando 8 casais. Quantos alunos vão participar dessa apresentação?
O total de alunos pode ser determinado por uma adição de parcelas iguais:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16
Logo, 16 alunos vão participar dessa apresentação.
Para simplificar o registro dessa operação, fazemos:
A operação 8 × 2 = 16 é um exemplo de multiplicação. Os números 8 e 2 são os fatores, e 16, o produto.
Observações
1. Para indicar uma multiplicação, podemos utilizar um ponto (⋅) ou o sinal de vezes (×). Assim:
a) 8 × 2 = 8 ⋅ 2 = 16
b) 4 × 12 = 4 ⋅ 12 = 48
2. Utilizamos nomes especiais para indicar algumas multiplicações.
• O dôbro de 5 é o mesmo que 2 ⋅ 5.
• O triplo de 8 é o mesmo que 3 ⋅ 8.
• O quádruplo de 10 é o mesmo que 4 ⋅ 10.
• O quíntuplo de 12 é o mesmo que 5 ⋅ 12.
Respostas e comentários
Multiplicação com números naturais
BNCC:
Habilidade ê éfe zero seis ême ah zero três.
Objetivos:
• Compreender e aplicar as ideias da multiplicação (adição de parcelas iguais, disposição retangular, número de possibilidades e proporção).
• Compreender algumas propriedades da multiplicação.
Justificativa
Saber lidar com as ideias da multiplicação contribui para que os estudantes desenvolvam a habilidade de resolver e elaborar problemas envolvendo essa operação.
A compreensão das propriedades da adição possibilita a simplificação de cálculos e o desenvolvimento de estratégias de cálculo mental e, por essa razão, contribui para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah zero três.
Mapeando conhecimentos
Para mapear o que os estudantes sabem sobre as ideias da multiplicação, você pode elencar quatro situações (uma envolvendo cada ideia da operação) e, depois, discutir as diferenças entre elas.
Para as propriedades da multiplicação, você pode propor os seguintes questionamentos: “Podemos multiplicar números em qualquer ordem? Por quê?”; “Em uma multiplicação de três ou mais números naturais, podemos associar os fatores de diferentes modos sem alterar o produto?”; “O que acontece quando multiplicamos um número por um?”; “Como fazemos para multiplicar um número natural por uma adição (ou subtração) com dois ou mais termos?”. Incentive-os a realizar investigações antes de responder.
Para as aulas iniciais
Dedique as primeiras aulas deste tópico para retomar os algoritmos de multiplicação da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores; depois, explore com a turma as atividades de 18 a 20. Corrija as atividades coletivamente utilizando diferentes estratégias de resolução. Ao explorar os problemas, enfatize as ideias da multiplicação envolvidas.
Retome também as propriedades da multiplicação presentes na mesma seção e proponha que façam as atividades 21 e 22. Incentive o diálogo e o compartilhamento de estratégias.
Neste tópico, apresentaremos situações relacionadas às ideias da multiplicação: adição de parcelas iguais, disposição retangular, número de possibilidades e proporção. A cada ideia apresentada, peça aos estudantes que citem outros exemplos de sua aplicação.
(ê éfe zero seis ême ah zero três) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Situação 2
Sandra coleciona figurinhas de animais da fauna brasileira ameaçados de extinção.
Observe como são as páginas do álbum de Sandra.
Quantas figurinhas cabem em cada página?
Em cada uma das fileiras cabe a mesma quantidade de figurinhas. Esse tipo de organização é conhecido como disposição retangular.
Podemos considerar que há 4 fileiras e cabem 3 figurinhas em cada uma.
4 ⋅ 3 = 12
Ou podemos considerar que há 3 fileiras e cabem 4 figurinhas em cada uma.
3 ⋅ 4 = 12
Logo, cabem 12 figurinhas em cada página do álbum.
Situação 3
Para fazer aulas de tênis, Carlos tem 2 calções e 5 camisetas.
De quantas maneiras diferentes Carlos pode se vestir para praticar tênis?
Para encontrar a resposta, é necessário determinar todas as possibilidades que existem. Observe o esquema a seguir.
Como há 2 calções e, para cada um, há 5 camisetas, o total de possibilidades é dado por:
2 ⋅ 5 = 10
Podemos pensar, ainda, em 5 camisetas e, para cada uma, 2 calções, ou seja, 5 ⋅ 2 = 10.
Logo, Carlos pode se vestir de 10 maneiras diferentes.
Respostas e comentários
Ao abordar a situação 2, comente com os estudantes que a disposição retangular é uma fórma organizada de ordenar os elementos, e isso nos ajuda nas situações em que não é possível realizar a contagem um a um. Peça a eles que determinem a multiplicação que representa a quantidade de quadradinhos da figura a seguir.
Resposta: 10 ⋅ 10
A situação 3 trabalha a ideia de número de possibilidades. Comente com os estudantes que os esquemas auxiliam na resolução desse tipo de situação, pois ajudam a ilustrar as possibilidades existentes. Além disso, para uma única situação podemos construir esquemas diferentes.
Situação 4
Com R$ 28,00vinte e oito reais, compro 3 miniaturas de carro. Quanto vou pagar por 15 dessas miniaturas?
Logo, vou pagar R$ 140,00cento e quarenta reais por 15 miniaturas.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
36. Represente cada uma das adições com uma multiplicação.
a) 8 + 8 + 8 + 8
b) 1 + 1 + 1
c) 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
d) a + a + a + a
e) 0 + 0 + 0 + 0 + 0
37. Em uma loja de materiais esportivos, há 36 caixas com 12 bolas em cada uma. Podemos calcular o total de bolas nessa loja fazendo apenas uma operação.
a) Que operação é essa?
b) Qual é o resultado dessa operação?
38.
Calcule mentalmente cada multiplicação e registre os resultados no caderno.
a) 17 ⋅ 10
b) 85 ⋅ 100
c) 19 ⋅ 0
d) 174 ⋅ .1000
e) 9 ⋅ 8 ⋅ 0
f) 59 ⋅ .1000
g) .1043 ⋅ 10
h) 75 ⋅ .10000
• O que podemos observar nas multiplicações realizadas?
39.
Calcule mentalmente o resultado de cada multiplicação. Em seguida, registre os resultados.
a) dôbro de duas centenas.
b) Triplo de meio milhar.
c) Quádruplo de uma dúzia.
d) Quíntuplo de 17.
40. Calcule.
546 + 546 + 546 + 546 + 546 + 546 + 546 + 546 + 546
41. Segundo cálculos de uma empresa de distribuição de água, uma torneira gotejando representa 46 litros de água desperdiçada por dia. Quantos litros de água são desperdiçados em 90 dias?
42. Um automóvel percorre, em média, 8 quilômetros com 1 litro de combustível e vem equipado com um tanque com capacidade de 40 litros. Supondo que o tanque de combustível esteja cheio, qual é a medida da distância máxima que esse veículo pode percorrer sem reabastecer?
43. Observe o Setor a do estacionamento de uma indústria automobilística.
a) Qual é o total de vagas do setor?
b) Quantos automóveis estão estacionados?
44. Efetue as multiplicações no caderno, observando o que elas apresentam de curioso.
a) 37 ⋅ 15
b) 37 ⋅ 18
c) 37 ⋅ 21
d) 37 ⋅ 24
•
Agora, um desafio para você: calcule 37 ⋅ .2700 mentalmente.
Respostas e comentários
36. a) 4 ⋅ 8
36. b) 3 ⋅ 1
36. c) 6 ⋅ 9
36. d) 4 ⋅ a
36. e) 5 ⋅ 0
37. a) multiplicação
37. b) 432
38. a) 170
38. b) .8500
38. c) 0
38. d) .174000
38. e) 0
38. f) .59000
38. g) .10430
38. h) .750000
38. Item: Espera-se que os estudantes percebam que, ao multiplicar um número natural por 0, o resultado é sempre igual a 0. Ao multiplicar um número por 10, 100 ou .1000, o resultado é o número seguido de 1, 2 ou 3 zeros, respectivamente.
39. a) 400
39. b) .1500
39. c) 48
39. d) 85
40. .4914
41. .4140 litros
42. 320 quilômetros
43. a) 36 vagas
43. b) 30 automóveis
44. a) 555
44. b) 666
44. c) 777
44. d) 888
44. item: .99900
O cálculo mental pode ser incentivado em diversas atividades, além das destacadas com o ícone. Estimule os estudantes a buscar o modo próprio de elaborar os processos para chegar ao resultado mentalmente.
• Na resolução da atividade 37, observe como os estudantes realizam a multiplicação; eles podem utilizar tanto o algoritmo usual quanto o algoritmo da decomposição. Acompanhe a seguir.
• Algoritmo usual:
• Algoritmo de decomposição:
• Na atividade 38, procure orientá-los para que façam o cálculo utilizando o algoritmo de decomposição como referência. Espera-se que eles observem que, para multiplicar um número por 10, 100, .1000, reticências, basta acrescentar à direita desse número um, dois, três, reticências zeros. Observamos também que, se um dos fatores da multiplicação for zero, o produto também será zero.
• Na atividade 39, peça a alguns estudantes que compartilhem a estratégia de resolução que utilizaram para determinar o resultado das multiplicações. Por exemplo, eles poderão apresentar como estratégia de resolução para o item d o seguinte raciocínio: “determinar o quíntuplo de 17 é o mesmo que fazer 5 ⋅ 17. Como 17 é 10 + 7, então faço 5 ⋅ 10, que é igual a 50. Agora, faço 5 ⋅ 7, que é igual a 35. Adicionando 50 a 35, obtenho 85, que é o quíntuplo de 17”.
• Para a atividade 44, peça a eles que observem os itens e percebam que o fator 37 está em todos eles e que o outro fator vai aumentando de três em três: 15, 18, 21 e 24; então 27 seria o próximo. Acompanhando a sequência de números iguais como produto, teremos 999 acrescido de dois zeros do fator .2700; portanto:
37 ⋅ .2700 = .99900
Resolvida dessa maneira a atividade desenvolve o raciocínio inferencial e indutivo.
45. Um motor bombeia .3700 litros de água por minuto para uma cisterna. Quantos litros de água esse motor bombeará em 30 minutos?
46. De quantas maneiras diferentes é possível pintar as três faixas de uma figura como a mostrada a seguir, usando, sem repetir, as cores vermelha, verde e azul? Desenhe todas as possibilidades no caderno.
47. Bruno foi a uma loja de roupas e sapatos e comprou os seguintes itens:
• uma bermuda branca, uma azul e uma vermelha;
• uma camiseta amarela, uma lilás, uma verde e uma cinza;
• um par de tênis branco e um preto.
De quantas maneiras diferentes ele pode combinar as roupas com os tênis?
48. Em uma fábrica de eletrodomésticos, são produzidas duzentas e vinte lavadoras por dia. Em 25 dias, quantas lavadoras são fabricadas?
49.
Elabore um problema que possa ser resolvido calculando 14 × .1255.
50.
Copie o enunciado do problema a seguir em seu caderno e complete com os dados que quiser. Depois, troque com um colega e resolva o problema dele.
Manoela corre de segunda a sábado e percorre
quilômetro por dia. Quantos quilômetros ela percorre, ao todo, por semana? quilômetro por dia. Quantos quilômetros ela percorre, ao todo, por semana?
Algumas propriedades da multiplicação
Vamos conhecer algumas propriedades da multiplicação.
LEMBRE-SE: Escreva no caderno.
Propriedade comutativa
▸
Calcule mentalmente:
a) Que resultados você obteve?
b) O que você percebeu?
▸ Escolha outros dois números naturais e, em seu caderno, multiplique um pelo outro. Em seguida, multiplique os mesmos números trocando a ordem dos fatores. O que você observou?
Em uma multiplicação de números naturais, a ordem dos fatores não altera o produto.
Propriedade associativa
▸
Calcule mentalmente:
a) Que resultados você obteve?
b) O que você percebeu?
▸ Escreva, em seu caderno, três outros números naturais e multiplique o produto dos dois primeiros pelo terceiro. Em seguida, multiplique o primeiro número pelo produto dos dois últimos. O que você observou?
Em uma multiplicação com mais de dois números naturais, podemos associar os fatores de modos diferentes sem alterar o produto.
Respostas e comentários
45. .111000 litros
46. 6 maneiras diferentes
47. Ele pode combinar as peças de 24 maneiras diferentes.
48. .5500 lavadoras
49. Resposta pessoal.
50. Resposta pessoal.
Primeiro item:
a) 56; 56
b) Espera-se que os estudantes percebam que, ao alterar a ordem dos fatores, o produto permaneceu o mesmo.
Segundo item: resposta pessoal.
Terceiro item:
a) 36; 36
b) Espera-se que os estudantes percebam que, apesar de terem associado os fatores de fórmas diferentes, o produto permaneceu o mesmo.
Quarto item: resposta pessoal.
Algumas propriedades da multiplicação
Comente com os estudantes que a verificação de alguns exemplos não é suficiente para provar as propriedades. Explique a eles que, para cada uma dessas propriedades, há uma demonstração. Nesse momento, é possível justificar as propriedades usando recursos como retas numéricas, malhas quadriculadas, material dourado etcétera.
LEMBRE-SE: Escreva no caderno.
Elemento neutro
▸
Calcule mentalmente:
a) Que resultados você obteve?
b) O que você percebeu?
▸ Escreva em seu caderno alguns números naturais. Em seguida, multiplique cada um desses números por 1. O que você observou?
O número 1, quando multiplicado por outro número natural qualquer, resulta sempre nesse outro número. Ou seja, o 1 como fator da multiplicação não altera o valor do produto. Por isso, ele é chamado elemento neutro da multiplicação.
Propriedade distributiva
O painel a seguir é composto de quadradinhos azuis e amarelos.
O número de quadradinhos azuis pode ser obtido multiplicando 4 por 3, e o número de quadradinhos amarelos, multiplicando 4 por 2.
Como o número total de quadradinhos do painel é igual ao número de quadradinhos azuis mais o número de quadradinhos amarelos, temos:
4 ⋅ 5 = 4 ⋅ (3 + 2) = 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2
Podemos observar que, para multiplicar um número natural por uma adição de duas parcelas, adicionamos os produtos de cada parcela pelo número natural. Nesse caso, foi aplicada a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
Observação
A propriedade distributiva também pode ser aplicada de fórma análoga para a subtração. Observe os exemplos a seguir.
a) 8 ⋅ abre parênteses5 menos 3fecha parênteses = 8 ⋅ 5 menos 8 ⋅ 3 = 40 menos 24 = 16
b) 15 ⋅ abre parênteses7 menos 4fecha parênteses = 15 ⋅ 7 menos 15 ⋅ 4 = 105 menos 60 = 45
Para multiplicar um número natural por uma adição abre parêntesesou subtraçãofecha parênteses com dois ou mais termos, podemos multiplicar esse número por cada um dos termos da adição abre parêntesesou da subtraçãofecha parênteses e adicionar abre parêntesesou subtrairfecha parênteses os resultados obtidos.
Respostas e comentários
Primeiro item:
a) 25; 34
b) Espera-se que os estudantes percebam que, ao multiplicar um número por 1, o produto é o mesmo número.
Segundo item: resposta pessoal.
Questione os estudantes e verifique se percebem que podem já ter usado a propriedade distributiva para resolver algumas multiplicações, por exemplo, na estratégia utilizada como cálculo mental para a resolução da atividade 39 do tópico Multiplicação com números naturais.
Sugestões de atividade extra
Peça aos estudantes que se organizem em duplas e realizem as atividades interativas Seis em linha abre parêntesesmultiplicaçãofecha parênteses e Flores para as namoradas, disponíveis no Banco Internacional de Objetos Educacionais, do Ministério da Educação. A ideia é que eles possam praticar o cálculo mental e sejam estimulados a desenvolver o raciocínio lógico.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
51. Sabendo que a ê b são números naturais e a ⋅ b = 60, responda.
a) Qual é o valor de b ⋅ a?
b) Qual é o valor de 1 ⋅ a ⋅ b?
c) Qual é o valor de a ⋅ abre parêntesesb ⋅ 5fecha parênteses?
• Quais são as propriedades utilizadas para justificar as respostas de cada item?
52. Luís considerou mais fácil calcular 2 ⋅ 37 ⋅ 50 e 30 ⋅ 17 da seguinte maneira: 2 ⋅ 50 ⋅ 37 e 30 ⋅ (10 + 7). Você concorda com Luís? Justifique.
53.
Calcule mentalmente.
a) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
b) 100 ⋅ 375 ⋅ 2
c) 50 ⋅ 26 ⋅ 2
d) 25 ⋅ 37 ⋅ 4
54. Sabendo que a é um número natural, observe a igualdade 307 ⋅ a = 307 e responda às questões.
a) Qual é o valor de a?
b) Qual é a propriedade da multiplicação que se aplica a essa situação?
55. Em cada item, aplique a propriedade distributiva da multiplicação.
a) 5 ⋅ abre parênteses8 + 2fecha parênteses
b) 9 ⋅ abre parênteses8 menos 3fecha parênteses
c) abre parênteses2 + 8fecha parênteses ⋅ 15
d) abre parênteses8 menos 3fecha parênteses ⋅ 4
e) 10 ⋅ abre parênteses20 + 30fecha parênteses
f) 12 ⋅ abre parênteses15 menos 6fecha parênteses
56. Determine o número de quadradinhos da figura.
4 Divisão com números naturais
Divisão exata
Observe a situação a seguir.
Reinaldo distribuiu, em quantidades iguais, 45 bombons em cinco embalagens. Quantos bombons ele colocou em cada embalagem?
Para determinar a quantidade de bombons que Reinaldo colocou em cada embalagem, devemos dividir 45 por 5.
Logo, Reinaldo colocou 9 bombons em cada embalagem.
Chamamos essa operação de divisão.
Nesse caso, usamos a divisão para repartir uma quantidade em partes iguais.
Quando o resto da divisão é zero, dizemos que a divisão é exata.
Respostas e comentários
51. a) 60
51. b) 60
51. c) 300
51. item: Comutativa, elemento neutro e associativa, respectivamente.
52. Resposta pessoal.
53. a) 120
53. b) .75000
53. c) .2600
53. d) .3700
54. a) 1
54. b) elemento neutro
55. a) 5 ⋅ 8 + 5 ⋅ 2
55. b) 9 ⋅ 8 menos 9 ⋅ 3
55. c) 2 ⋅ 15 + 8 ⋅ 15
55. d) 8 ⋅ 4 menos 3 ⋅ 4
55. e) 10 ⋅ 20 + 10 ⋅ 30
55. f ) 12 ⋅ 15 menos 12 ⋅ 6
56. 5 ⋅ 9 + 5 ⋅ 4 = 65
Divisão com números naturais
BNCC:
Habilidade ê éfe zero seis ême ah zero três.
Objetivos:
• Compreender e aplicar as ideias da divisão (repartir em partes iguais e medida).
• Calcular expressões numéricas com as quatro operações.
• Compreender a relação fundamental da divisão.
Justificativa
As ideias da divisão de repartir em partes iguais e de medida estão presentes em muitas situações-problema e, por isso, saber lidar com elas contribui para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah zero três.
Para que os estudantes desenvolvam a habilidade ê éfe zero seis ême ah zero três, eles precisam saber calcular expressões numéricas envolvendo as quatro operações, uma vez que muitos problemas são traduzidos por meio de expressões com essa característica. Além disso, eles precisam de ferramentas para conferirem seus cálculos e uma delas é a relação fundamental da divisão.
Mapeando conhecimentos
Para mapear o que os estudantes sabem sobre as ideias da divisão, você pode adotar a mesma dinâmica sugerida no caso das ideias da multiplicação.
Para saber como lidam com o cálculo de expressões numéricas, organize-os em grupos e peça a cada grupo que resolva algumas expressões. Depois, proponha a um grupo que corrija as expressões de outro.
Por fim, pergunte se eles sabem qual é a relação entre multiplicação e divisão. Deixe-os à vontade para se expressar utilizando suas próprias palavras ou até apresentando exemplos.
Para as aulas iniciais
Dedique as primeiras aulas deste tópico para retomar o algoritmo de divisão da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores; depois, explore com a turma as atividades 23 e 24. Incentive-os a conferir os cálculos da atividade 23 empregando a relação fundamental da divisão. No que diz respeito à atividade 24, verifique se eles reconhecem que devem aplicar a ideia de repartir em partes iguais.
Ao abordar as expressões numéricas, é importante discutir as eventuais resoluções equivocadas cometidas pelos estudantes na dinâmica inicial.
abre parêntesesê éfe zero seis ême ah zero trêsfecha parênteses Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Dividindo mentalmente
A professora de Ana Clara e Maurício pediu a eles que dividissem .1024 por 4 o mais rápido que conseguissem. Ambos fizeram um cálculo mental e obtiveram o resultado quase ao mesmo tempo: 256. Então, a professora pediu a eles que explicassem como haviam pensado para chegar ao resultado.
• Resposta de Ana Clara: Primeiro, dividi .1024 por 2, que resultou em 512, e, em seguida, dividi 512 por 2 novamente, resultando em 256. Como 2 vezes 2 é igual a 4, achei que fazendo assim ia dar certo.
.1024 dividido por 2 = 512
512 dividido por 2 = 256
• Resposta de Maurício: Fiz a decomposição de .1024 da seguinte maneira .1000 + 20 + 4. Então, primeiro, dividi .1000 por 4, que resultou em 250; depois, dividi 20 por 4, resultando em 5; por fim, dividi 4 por 4, tendo como resposta 1. Então, calculei 250 + 5 + 1, que resultou em 256.
.1024 = .1000 + 20 + 4
.1000 dividido por 4 = 250
20 dividido por 4 = 5
4 dividido por 4 = 1
250 + 5 + 1 = 256
Depois de ouvir as duas resoluções, a professora comentou que tanto Ana Clara quanto Maurício haviam calculado de maneira correta, mas, em comparação com a fórma utilizada por Maurício, a resolução de Ana Clara era mais simples e prática, porque apresentava menos etapas de cálculo.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
57. Resolva os problemas.
a) Artur dividiu, igualmente, os 216 peixes do seu tanque em 12 aquários. Quantos peixes Artur colocou em cada um desses aquários?
b) Tia Lúcia repartiu R$ 480,00quatrocentos e oitenta reais igualmente entre os seus 8 sobrinhos. Quantos reais ela deu a cada um?
58. Efetue a divisão de 120 por 5 e responda.
a) Qual é o quociente dessa divisão?
b) Qual é o resto dessa divisão?
59. Efetue no caderno.
a) 156 dividido por 12
b) 320 dividido por 64
c) 900 dividido por 25
d) .10032 dividido por 8
60.
Calcule mentalmente e escreva o resultado.
a) 50 dividido por 10
b) 500 dividido por 10
c) 500 dividido por 100
d) 50 dividido por 5
61. Um caminhão transporta 24.quatrocentas e trinta e duas garrafas de suco em caixas que contêm duas dúzias de garrafas cada uma. Quantas caixas há nesse caminhão?
62.
Reúna-se com um colega e resolvam o seguinte problema.
A luz emitida pelo Sol viaja no vácuo a .300000 quilômetros por segundo. Sabendo que o Sol está a aproximadamente ..150000000 quilômetros da Terra, calculem a quantidade de segundos que a luz do Sol demora para chegar à Terra.
Respostas e comentários
57. a) 18 peixes
57. b) 60 reais
58. a) 24
58. b) zero
59. a) 13
59. b) 5
59. c) 36
59. d) .1254
60. a) 5
60. b) 50
60. c) 5
60. d) 10
61. .1018 caixas
62. 500 segundos
Converse com os estudantes sobre as estratégias de cálculo utilizadas por Ana Clara e Maurício na situação apresentada. Pergunte com qual das estratégias eles se identificaram e tire eventuais dúvidas quanto aos cálculos realizados.
As atividades deste tópico visam explorar diversas divisões e, consequentemente, situações variadas para estender o repertório de estratégias de cálculo dos estudantes. No momento da resolução das atividades, explore mais de uma estratégia e peça que apresentem aquela que eles utilizaram nas resoluções.
• A atividade 60 pode ser complementada com a seguinte pergunta: “O que podemos observar nas divisões realizadas?”. Espera-se que eles observem que, para dividir um número por 10, 100, reticências, basta eliminar à direita desse número um, dois, reticências zeros.
Para resolver a atividade 62, podemos organizar os dados do problema no seguinte esquema:
Temos aqui um caso de proporção direta, relacionando a medida de distância, em quilômetro, com a medida de tempo, em segundo. Então, para determinar quantos segundos a luz demora para percorrer ..150000000 de quilômetros, precisamos multiplicar 1 segundo pelo mesmo fator que multiplicamos .300000 quilômetros para obtermos ..150000000 de quilômetros. Para encontrar esse fator, devemos realizar a seguinte divisão:
..150000000 dividido por .300000 = 500
Portanto, 500 segundos abre parêntesesou 8 minutos e 20 segundosfecha parênteses é a medida de tempo que a luz do Sol demora para chegar à Terra. Aqui, os estudantes poderão observar que a multiplicação e a divisão exata são operações inversas, assim como a adição e a subtração.
Expressões numéricas com as quatro operações
No cálculo de uma expressão numérica, as operações indicadas devem ser efetuadas na seguinte ordem:
1º) multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;
2º) adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
Observe os exemplos a seguir.
a)
b)
c)
Há expressões em que aparecem sinais de associação. Nesse caso, devemos resolver as operações nesta ordem:
1º) as que estiverem entre parênteses abre parênteses fecha parênteses;
2º) as que estiverem entre colchetes abre colchete fecha colchete;
3º) as que estiverem entre chaves abre chave fecha chave.
Observe os três exemplos a seguir.
a)
b)
c)
Sugestão de leitura
THOMSON, Michael. O mistério dos números perdidos. Tradução Adazir Almeida Carvalho. São Paulo: Melhoramentos, 2011.
Esse livro traz aventura, desafios e problemas numéricos interessantes para o leitor resolver, superando cada etapa até chegar ao final dessa envolvente história.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
63. Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 5 + 6 ⋅ 4
b) abre parênteses5 + 6fecha parênteses ⋅ 4
c) 10 + 8 ⋅ 4 menos 15
d) 200 menos 3 ⋅ 60 + 8
e) abre parênteses18 menos 15 dividido por 5 + 3fecha parênteses ⋅ 4
f) abre colcheteabre parênteses21 dividido por 7fecha parênteses ⋅ abre parênteses3 dividido por 1fecha parênteses + 6fecha colchete menos abre colcheteabre parênteses7 ⋅ 6fecha parênteses dividido por abre parênteses5 menos 2fecha parêntesesfecha colchete
g) abre chaveabre colchete13 menos abre parênteses3 ⋅ 2 + 1fecha parêntesesfecha colchete + 3 + abre parênteses5 ⋅ 2 menos 4 : 2fecha parêntesesfecha chave
64.
No caderno, elabore um problema que possa ser resolvido por meio da expressão numérica a seguir.
Depois, troque de caderno com um colega e resolva o problema criado por ele.
O colega resolveu corretamente o seu problema? Qual é a solução do problema?
Respostas e comentários
63. a) 29
63. b) 44
63. c) 27
63. d) 28
63. e) 72
63. f) 1
63. g) 17
64. Respostas pessoais.
Expressões numéricas com as quatro operações
Peça aos estudantes que observem as regras para a resolução das expressões no que diz respeito à ordem das operações ou ao uso dos sinais de associação. Para que compreendam a influência das regras, resolva novamente na lousa os exemplos apresentados no Livro do Estudante; porém, sem respeitar as regras, os resultados serão diferentes ou a resolução da expressão não será possível no conjunto dos números naturais, fazendo com que, nessa fase, eles não consigam resolvê-la.
Divisão não exata
Vamos dividir 38 por 7.
Observe que não existe nenhum número natural que, ao ser multiplicado por 7, dê como resultado 38. O número natural que, ao ser multiplicado por 7, origina o produto mais próximo e menor que 38 é 5.
Assim, 38 : 7 é uma divisão com quociente igual a 5 e resto igual a 3. Observe:
Quando o resto da divisão é diferente de zero, dizemos que a divisão é não exata.
Relação fundamental da divisão
Na divisão de 38 por 7, observamos que: 38 = 5 ⋅ 7 + 3
Em qualquer divisão, o dividendo é igual ao quociente multiplicado pelo divisor mais o resto. Essa relação é chamada de relação fundamental da divisão:
dividendo = quociente ⋅ divisor + resto
Observações
1. O resto de uma divisão entre dois números naturais é sempre menor que o divisor. Observe alguns exemplos a seguir.
a)
b)
c)
2. A divisão exata é a operação inversa da multiplicação. Observe os exemplos:
a) 4 ⋅ 5 = 20
20 dividido por 5 = 4
b) 7 ⋅ 6 = 42
42 dividido por 6 = 7
3. A divisão de zero por qualquer número natural diferente de zero é sempre zero.
a) 0 dividido por 3 = 0
b) 0 dividido por 25 = 0
c) 0 dividido por .1587 = 0
4. O quociente de 6 : 0 deveria ser o número que, multiplicado por zero, resultasse em 6. Não há número que multiplicado por zero resulte em 6; logo, é impossível efetuar 6 dividido por 0.Esse raciocínio é válido para qualquer outra divisão por zero. Podemos dizer que é impossível dividir por zero, ou seja, o zero nunca pode ser divisor.
Respostas e comentários
Divisão não exata
Ressalte aos estudantes que o resto de uma divisão deve ser sempre menor que o divisor e que não é possível realizar a divisão por zero.
Relação fundamental da divisão
Caso os estudantes queiram usar a calculadora como instrumento de conferência dos resultados das divisões não exatas, comente que a calculadora não registra o resto. Para a conferência, eles devem recorrer à relação fundamental da divisão.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
65. Determine o quociente e o resto de cada uma das divisões a seguir.
a) 37 dividido por 15
b) 108 dividido por 32
c) 2 332 dividido por 41
d) 5 600 dividido por 95
e) 17 890 dividido por 100
f) 1 847 dividido por 28
66. Copie as divisões no caderno, substituindo cada
pelo número que falta.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
67.
Junte-se a um colega e resolvam o seguinte problema.
Luísa quer dividir 528 por 132 utilizando a calculadora, mas há um problema: das teclas das operações, só funciona a da subtração. Como Luísa deverá fazer o cálculo para obter o resultado da divisão?
68. Na divisão de .60000 por .1800, quais são o quociente e o resto?
69. Em um colégio, há 540 estudantes, que serão divididos em grupos de 37 para participar de um desfile.
a) Quantos grupos completos serão formados?
b) Quantos estudantes seriam necessários para completar mais um grupo?
70. Responda às questões.
a) Qual é o quociente da divisão de zero por 10?
b) Qual é o quociente da divisão de 10 por zero?
71.
Utilizando uma calculadora, efetue a divisão de 8 por 0. O que apareceu no visor da calculadora?
72.
Junte-se a um colega e resolvam o seguinte problema.
A carga máxima permitida em um elevador é 500 quilogramas. Qual é o número mínimo de viagens necessárias para que uma pessoa com 75 quilogramas possa transportar 45 caixas de 30 quilogramas cada uma?
73.
Maria utilizou uma calculadora e fez os seguintes cálculos:
Elabore um problema que possa ser resolvido utilizando a operação inversa da multiplicação que Maria efetuou.
5 Potenciação com números naturais
Para representar uma multiplicação em que todos os fatores são iguais, podemos usar a potenciação.
Podemos representar, por exemplo, a multiplicação 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 assim: 4elevado a 4 (lemos: “quatro elevado à quarta potência” ou “quatro à quarta”). Observe:
De modo geral, na potenciação com números naturais, a base é o fator que se repete na multiplicação, o expoente indica a quantidade de vezes que o fator se repete e a potência é o resultado da operação.
Respostas e comentários
65. a) quociente: 2; resto: 7
65. b) quociente: 3; resto: 12
65. c) quociente: 56; resto: 36
65. d) quociente: 58; resto: 90
65. e) quociente: 178; resto: 90
65. f) quociente: 65; resto: 27
66. a) 3
66. b) 53
66. c) 110
66. d) 6
66. e) 65
66. f) 15
67. Os estudantes deverão analisar quantas vezes o 132 cabe em 528. Para isso, deverão utilizar apenas a subtração:
528 menos 132 = 396
396 menos 132 = 264
264 menos 132 = 132
132 menos 132 = 0
Logo, o número 132 cabe exatamente 4 vezes no número 528, ou seja, 528 dividido por 132 = 4.
68. quociente: 33; resto: 600
69. a) 14 grupos
69. b) 15 estudantes
70. a) zero
70. b) não existe
71. Uma mensagem de êrro, pois não é possível dividir 8 por 0. As mensagens podem variar de acôrdo com a calculadora utilizada.
72. 4 viagens
73. Resposta pessoal.
• Na atividade 71, os estudantes deverão utilizar a calculadora para verificar que é impossível dividir por zero. Ao inserir a operação 8 dividido por 0 na calculadora, deverá aparecer uma mensagem de êrro, pois não é possível dividir 8 por 0. As mensagens podem variar de acôrdo com a calculadora utilizada.
• Na atividade 72, os estudantes deverão perceber que o elevador não suportaria levar toda a carga em uma única viagem, já que a medida de massa de todas as caixas é .1350 quilogramas (45 ⋅ 30 = .1350).
Potenciação com números naturais
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero seis ême ah zero três.
Objetivo:
Calcular potências com números naturais.
Justificativa
Muitos problemas envolvem a operação de potenciação e, por isso, calcular potências com números naturais favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah zero três.
Mapeando conhecimentos
Registre algumas potências na lousa e peça a alguns estudantes que escrevam a multiplicação de fatores iguais correspondente. Aproveite a oportunidade para verificar se reconhecem a base e o expoente de cada uma. Anote as eventuais concepções errôneas deles.
Para as aulas iniciais
É possível que a dinâmica anterior tenha trazido à tona algumas concepções equivocadas dos estudantes; por exemplo, encarar como verdadeiras as seguintes sentenças: 3elevado a 4 = 12 ou 3elevado a 4 = 4elevado a 3. Caso isso tenha ocorrido, discuta coletivamente o porquê de essas sentenças serem falsas.
abre parêntesesê éfe zero seis ême ah zero trêsfecha parênteses Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos abre parêntesesmentais ou escritos, exatos ou aproximadosfecha parênteses com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Com isso, para o exemplo anterior, temos:
Outros exemplos podem ser:
a) 3elevado a 5 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243
b) 0elevado a 6 = 0 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 0 = 0
c) 1elevado a 8 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 . 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1
d) 10elevado a 3 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = .1000
Observação
Quando o expoente é igual a 1, a potência é igual à base. E, quando o expoente é igual a zero, com a base diferente de zero, a potência é igual a 1. Por exemplo:
a) 5elevado a 1 = 5
b) 31elevado a 1 = 31
c) 60elevado a 0 = 1
d) 759elevado a 0 = 1
Leitura de potências
Observe como lemos algumas potências.
a) 3elevado a 2: “três elevado à segunda potência”
b) 6elevado a 7: “seis elevado à sétima potência”
c) 2elevado a 3: “dois elevado à terceira potência”
d) 4elevado a 9: “quatro elevado à nona potência”
As potências com expoentes 2 e 3 podem ser lidas de outra maneira. Vamos estudá-las.
Potência de expoente 2 ou quadrado de um número
Por causa de sua representação geométrica, as potências de expoente 2 têm nomes especiais. Acompanhe os exemplos.
a)
b)
Observação
Um número natural é considerado um quadrado perfeito quando é o produto de dois números naturais iguais.
a) 1 ⋅ 1 = 1
b) 2 ⋅ 2 = 4
c) 3 ⋅ 3 = 9
d) 4 ⋅ 4 = 16
e) 5 ⋅ 5 = 25
Os números 1, 4, 9, 16 e 25 são exemplos de quadrados perfeitos.
Respostas e comentários
Se achar necessário, a situação a seguir poderá auxiliar os estudantes na percepção dos padrões que caracterizam a potenciação como adição de parcelas iguais.
Marta participou de um programa de corrida com duração de 7 dias. No 1º dia, Marta correu 100 metros; no 2º dia, 200 metros; no 3º dia, 400 metros; no 4º dia, 800 metros; no 5º dia, .1600 metros; no 6º dia, .3200 metros; e finalmente, no 7º dia, .6400 metros.
Responda:
a) Quantas vezes a medida de distância que Marta correu no 7º dia é superior à medida de distância que ela correu no 6º dia? Qual das medidas de distância é metade da outra? (Respostas: 2 vezes; a medida da distância percorrida no 6º dia é metade da medida da distância percorrida no 7º dia).
b) Qual é a diferença entre a medida de distância percorrida no 2º dia e a percorrida no 1º dia? E entre as medidas de distância do 6º e do 7º dia? (Respostas: 100 metros; .3200 metros).
c) Existe algum padrão nas medidas de distância percorrida em dias sucessivos? Em caso afirmativo, qual é o padrão? (Resposta: Sim, a medida da distância percorrida em um dia é o dôbro da medida da distância percorrida no dia anterior).
O esquema a seguir facilitará as percepções dos padrões:
A comparação sugerida “quantas vezesreticências” admite um padrão: a cada dia Marta percorreu uma medida de distância igual ao dôbro do dia anterior.
A comparação pelas diferenças também fornece um padrão interessante: o resultado é sempre igual ao subtraendo.
Leitura de potências
Se julgar interessante, peça aos estudantes que façam a leitura das potências apresentadas como exemplo.
Com o intuito de auxiliar no trabalho de potências com expoente 2, peça a eles que representem geometricamente 4elevado a 2 e 5elevado a 2. Observando o padrão existente, espera-se que eles construam dois quadrados, sendo um com 4 quadradinhos por 4 quadradinhos e o outro 5 quadradinhos por 5 quadradinhos. Aprofunde o estudo e pergunte a eles como representar geometricamente .1000elevado a 2. Eles deverão responder que será um quadrado com .1000 quadradinhos por .1000 quadradinhos.
Potência de expoente 3 ou cubo de um número
Da mesma fórma que as potências de expoente 2, as potências de expoente 3 também recebem nomes especiais. Acompanhe os exemplos.
a)
b)
Potências de base 10
Observe as seguintes potências de base 10:
a) 10elevado a 1 = 10
b) 10elevado a 3 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = .1000
c) 10elevado a 5 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1.00000
Nesses exemplos, percebe-se que as potências de base 10, com expoentes naturais, são iguais a um número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
Decomposição de um número usando potências de base 10
Considere, por exemplo, os números 54, 857 e .56948. Decompondo-os e aplicando potências de 10, podemos escrever:
a) 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10elevado a 1 + 4 ⋅ 10elevado a 0
b) 857 = 800 + 50 + 7 = 8 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10 + 7 = 8 ⋅ 10elevado a 2 + 5 ⋅ 10elevado a 1 + 7 ⋅ 10elevado a 0
c) .56948 = .50000 + .6000 + 900 + 40 + 8 = 5 ⋅ 10elevado a 4 + 6 ⋅ 10elevado a 3 + 9 ⋅ 10elevado a 2 + 4 ⋅ 10elevado a 1 + 8 ⋅ 10elevado a 0
Veja que interessante
Faça a atividade no caderno.
É comum, principalmente em Física, escrever números com muitos algarismos usando potência de base 10.
Tomando como exemplo a velocidade da luz, que é, aproximadamente, trezentos milhões de metros por segundo, temos:
..300000000 de metros por segundo ou 3 ⋅ ..100000000 metros por segundo ou 3 ⋅ 10elevado a 8 metros por segundo
Atividade
Escreva os números .700000 e ..2560000 utilizando potências de base 10.
Respostas e comentários
Veja que interessante:
.700000 = 7 ⋅ 10elevado a 5; ..2560000 = 256 ⋅ 10elevado a 4
Com o auxílio do material dourado, peça aos estudantes que representem geometricamente 4elevado a 3 e 5elevado a 3, usando, por exemplo, os cubinhos. Observando o padrão existente, espera-se que eles construam dois cubos, sendo um: 4 cubinhos × 4 cubinhos × 4 cubinhos; e o outro: 5 cubinhos × 5 cubinhos × 5 cubinhos.
Potências de base 10
Ainda com o material dourado, peça a eles que representem geometricamente 10elevado a 3. Eles poderão montar um cubo com 10 cubinhos × 10 cubinhos × 10 cubinhos ou, simplesmente, perceber que o cubão do material dourado representa 10elevado a 3, que é igual a .1000. Aprofunde o estudo e pergunte aos estudantes como representar geometricamente 10elevado a 2. Eles deverão responder que será um quadrado com dimensões 10 por 10 ou indicar a placa do material dourado, que representa uma centena (100 = 10elevado a 2).
Para ajudar na compreensão do boxe Veja que interessante, dê outros exemplos de números muito “grandes”, usualmente representados pela potência de base 10.
• Medida da distância da Terra ao Sol: ..149600000 quilômetros ou .1496 ⋅ 10elevado a 5 quilômetros.
• Medida da distância da Terra à Lua: .384400 quilômetros ou .3844 ⋅ 10elevado a 2 quilômetros.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
74. Calcule o valor das potências.
a) 3elevado a 5
b) 4elevado a 3
c) 14elevado a 2
d) 2elevado a 5
e) 10elevado a 3
f) 1elevado a 6
g) 11elevado a 2
h) 15elevado a 0
i) 17elevado a 1
j) 0elevado a 5
k) 50elevado a 1
l) 20elevado a 2
75. Escreva como se leem as potências a seguir.
a) 7elevado a 2
b) 9elevado a 3
c) 10elevado a 4
d) 13elevado a 5
76. Calcule:
a) o quadrado de 13;
b) o cubo de 7;
c) três elevado à sexta potência.
77. Calcule o valor de 2elevado a 5 menos 5elevado a 2.
78. Escreva no caderno os números a seguir usando potências de base 10.
a) .600000
b) ..4500000
c) ...8000000000
d) .8700
79. O professor Daniel escreveu na lousa duas sequências com potências dos números 2 e 3.
Que números deveriam ser colocados nos quadrinhos?
80. Expresse, em potência de base 10, o número de cubinhos que formam o cubo maior da figura.
81. Determine em cada caso a potência de maior valor.
a) 100elevado a 1 ou 1elevado a 100
b) 80elevado a 0 ou 0elevado a 80
82.
Calcule mentalmente as potências.
a) 10elevado a 5
b) 10elevado a 2
c) 8 ⋅ 10elevado a 2
d) 52 ⋅ 10elevado a 3
83. Decomponha os números usando potências de 10.
a) 938
b) .4078
c) .7952
d) .60000
84. Determine o valor de 5elevado a 4 e 5elevado a 6, sabendo que 5elevado a 5 é igual a .3125. Em cada um dos casos, faça apenas um cálculo.
85. Em uma caixa como a da figura a seguir, Pedro distribuiu bolinhas de gude. Na primeira casa, ele colocou uma bolinha e, em cada uma das casas seguintes, o dôbro do número de bolinhas da anterior.
Quantas bolinhas Pedro colocou na oitava casa?
Respostas e comentários
74. a) 243
74. b) 64
74. c) 196
74. d) 32
74. e) .1000
74. f) 1
74. g) 121
74. h) 1
74. i) 17
74. j) 0
74. k) 50
74. l) 400
75. a) exemplo de resposta: sete elevado ao quadrado
75. b) exemplo de resposta: nove elevado ao cubo
75. c) dez elevado à quarta potência
75. d) treze elevado à quinta potência
76. a) 169
76. b) 343
76. c) 729
77. 7
78. a) 6 ⋅ 10elevado a 5
78. b) 45 ⋅ 10elevado a 5
78. c) 8 ⋅ 10elevado a 9
78. d) 87 ⋅ 10elevado a 2
79. 2elevado a 1 = 2 e 2elevado a 0 = 1;
3elevado a 1 = 3 e 3elevado a 0 = 1
80. 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = .1000 = 10elevado a 3
81. a) 100elevado a 1
81. b) 80elevado a 0
82. a) .100000
82. b) 100
82. c) 800
82. d) .52000
83. a) 9 ⋅ 10elevado a 2 + 3 ⋅ 10 + 8
83. b) 4 ⋅ 10elevado a 3 + 7 ⋅ 10 + 8
83. c) 7 ⋅ 10elevado a 3 + 9 ⋅ 10elevado a 2 + 5 ⋅ 10 + 2
83. d) 6 ⋅ 10elevado a 4
84. .3125 : 5 = 625 = 5elevado a 4; .3125 ⋅ 5 = .15625 = 5elevado a 6
85. 2⁷ bolinhas ou 128 bolinhas
• Na atividade 79, comente com os estudantes que, na sequência das potências de 2, cada potência apresentada em uma linha abre parêntesesa partir da segundafecha parênteses corresponde à metade da potência da linha anterior. Continuando essa sequência de divisões por 2, obtém-se: 2elevado a 1 = 2 e 2elevado a 0 = 1. Já na sequência das potências de 3, cada potência apresentada em uma linha abre parêntesesa partir da segundafecha parênteses corresponde à terça parte da potência da linha anterior. Continuando essa sequência de divisões por 3, obtém-se: 3elevado a 1 = 3 e 3elevado a 0 = 1.
Essa atividade ajuda na sistematização de conclusões com relação aos expoentes 1 e 0, ou seja, ao trocar a base da potência por um número diferente de 2 ou de 3, podemos chegar à mesma conclusão: um número elevado a zero é 1 e um número elevado a 1 é igual a ele mesmo. Isso ajudará na resolução da atividade 81.
Expressões numéricas com potenciações
Agora, vamos estudar expressões numéricas envolvendo as operações com os números naturais que vimos até aqui.
Para calcular o valor de qualquer expressão numérica que contenha as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, a seguinte ordem deve ser obedecida:
1º) potenciações;
2º) multiplicações e divisões abre parêntesesna ordem em que aparecemfecha parênteses;
3º) adições e subtrações abre parêntesesna ordem em que aparecemfecha parênteses.
Vale lembrar que, em expressões com sinais de associação, estes devem ser eliminados na seguinte ordem: parênteses, colchetes e chaves.
Observe os exemplos a seguir.
a)
b)
c)
d)
Atividades
Faça as atividades no caderno.
86. Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 20 menos abre parênteses1elevado a 4 ⋅ 6 + 2elevado a 3fecha parênteses
b) abre parênteses2elevado a 4 menos 3 ⋅ 4fecha parênteses dividido por 2 + 5elevado a 2 dividido por 5
c) 10elevado a 2 dividido por 5elevado a 2 + 5elevado a 0 ⋅ 2elevado a 2 menos 2elevado a 3
d) abre chave6elevado a 2 + 2 ⋅ abre colchete2elevado a 3 + 2 ⋅ abre parênteses3elevado a 2 ⋅ 1elevado a 3fecha parêntesesfecha colchete menos 2elevado a 5fecha chave ⋅ 5elevado a 0
e) 55 menos abre parênteses3 ⋅ 2 + 1fecha parênteseselevado a 2 + abre parênteses4elevado a 2 + 3elevado a 2fecha parênteses dividido por 5elevado a 2 menos 1elevado a 6
87. Calcule o valor de A + B sabendo que:
a = abre parênteses3 ⋅ 2 menos 1fecha parênteseselevado a 2 e
B = abre parênteses2elevado a 2 + 1fecha parênteses ⋅ abre parênteses5 + 2elevado a 3fecha parênteses
88. Calcule a diferença entre o dôbro do cubo de 8 e o triplo do quadrado de 17.
89.
Elabore um problema que possa ser resolvido por meio de uma expressão numérica com potenciações. Depois troque seu problema com um colega e resolva o problema proposto por ele.
90.
Reúna-se com um colega, resolvam o problema a seguir e justifiquem a resposta.
Pensem em um número diferente de zero. Multipliquem-no por 3 e acrescentem 1 ao resultado. Multipliquem o novo resultado por 3 e adicionem o produto com o número em que vocês pensaram. O resultado terminará em 3. Eliminem o 3.
Respostas e comentários
86. a) 6
86. b) 7
86. c) 0
86. d) 56
86. e) 6
87. 90
88. 157.
89. Resposta pessoal.
90. Resposta em Orientações.
Expressões numéricas com potenciações
Se achar necessário, repita a ação de resolver uma das expressões apresentadas como exemplos, ignorando as regras da ordem em que as operações devem ser efetuadas e dos sinais de associação, para que os estudantes compreendam a importância de seguir as regras.
• Verifique como eles resolvem a atividade 87: se preferem calcular as expressões a e B primeiro e, depois, adicionar os resultados ou se preferem resolver uma única expressão. Ambos os procedimentos estão corretos e determinam o mesmo valor para A + B.
• Para a resolução da atividade 90, os estudantes poderão fazer alguns testes, resolvendo as etapas indicadas a partir de um algarismo maior que zero abre parênteses1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9fecha parênteses.
O motivo é o seguinte: realizando as transformações com um número x, teremos as seguintes transformações:
x
multiplicar por 3 → 3x
acrescentar 1 → 3x + 1
multiplicar por 3 → 3abre parênteses3x + 1fecha parênteses = 9x + 3
adicionar o número original → 9x + 3 + x = 10x + 3
Temos, então, o 3 na ordem das unidades. O número x inicial ficou deslocado pelo produto por 10.
6 Arredondamentos e estimativas
Em muitas situações, não é necessário saber o valor exato de uma operação. Acompanhe o exemplo a seguir.
Paulo foi ao supermercado com uma cédula de 200 reais. Antes de passar no caixa, ele verificou se teria dinheiro suficiente para pagar a compra. Analise o que ele fez.
Ao fazer os cálculos, Paulo utilizou o arredondamento dos preços dos produtos para fazer a estimativa do valor total gasto na compra.
Para arredondar um número para determinada ordem decimal, temos que observar o primeiro algarismo à direita da ordem escolhida:
• se for 0, 1, 2, 3 ou 4, mantém-se o algarismo da ordem (arredondando o número “para baixo”);
• se for 5, 6, 7, 8 ou 9, arredonda-se “para cima”, ou seja, adiciona-se 1 ao algarismo da ordem.
Depois, devem-se substituir por zeros os algarismos à direita do algarismo da ordem.
Respostas e comentários
Arredondamentos e estimativas
BNCC:
• Competências gerais 9 e 10 (as descrições estão na página seis).
• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).
• Habilidade ê éfe zero seis ême ah um dois.
Objetivo:
Arredondar e estimar quantidades.
Justificativa
Arredondar e estimar quantidades possibilita aos estudantes desenvolver a habilidade ê éfe zero seis ême ah um dois. Além disso, por meio de arredondamentos e estimativas é possível validar resultados de cálculos ou saber a ordem de grandeza do resultado de uma operação de antemão.
Mapeando conhecimentos
Simule diferentes situações de compra e venda com a turma e convide alguns estudantes para que solucionem essas situações utilizando arredondamentos ou estimativas. Observe as estratégias empregadas por eles.
Para as aulas iniciais
Reserve uma aula para discutir as diferentes estratégias apresentadas pelos estudantes na dinâmica inicial. Esse contato com diferentes raciocínios é importante para que ampliem seu repertório de estratégias para realização de estimativas.
Este tópico visa ao desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah um dois. A situação traz um exemplo do dia a dia do uso do cálculo por arredondamento, obtendo, assim, uma estimativa.
Converse com os estudantes e solicite que apontem outros exemplos de situações do dia a dia em que utilizamos as estimativas.
(ê éfe zero seis ême ah um dois) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
A seguir temos dois exemplos de arredondamento.
a) Arredondar o número 178 para a ordem das dezenas mais próxima:
b) Arredondar o número ..29428742 para a ordem de centena de milhar mais próxima:
Atividades
Faça as atividades no caderno.
91. Faça os arredondamentos conforme indicado em cada item.
a) 369, para a centena mais próxima.
b) .357896, para a dezena de milhar mais próxima.
c) 111, para a centena mais próxima.
d) 111, para a dezena mais próxima.
92. Calcule o valor aproximado da expressão numérica
93.
Responda às questões no caderno.
a) Cite exemplos de situações em que utilizamos arredondamentos e estimativas.
b)
Elabore um problema e resolva-o usando estimativa. Peça a um colega que resolva o problema elaborado por você usando também estimativa. Agora, compare as resoluções.
94.
Maria precisa comprar uma geladeira e um fogão com um orçamento de R$ 1.850,00mil oitocentos e cinquenta reais. Ela pesquisou os preços dos produtos em duas lojas. Observe os preços, faça os cálculos mentalmente e, depois, responda às questões.
a) Se Maria tivesse que comprar os eletrodomésticos na mesma loja, em qual loja ela conseguiria realizar a compra?
b) Se Maria comprasse os eletrodomésticos em lojas diferentes, qual seria a melhor combinação e o valor total estimado da compra?
Respostas e comentários
91. a) 400
91. b) .360000
91. c) 100
91. d) 110
92. 300 : 100 + 30 = 33
93. Respostas pessoais.
94. a) Na loja a.
94. b) geladeira da loja a (R$ 1.254mil duzentos e cinquenta e quatro reais) e fogão da loja B (R$ 399trezentos e noventa e nove reais); R$ 1.600mil seiscentos reais (.1200 + 400)
• Ao final da atividade 92, peça aos estudantes que calculem o valor exato da expressão, comparando-o com o valor aproximado encontrado.
• Atividades que visam à interação dos estudantes com seus pares, trabalhando na elaboração e na resolução de problemas, como a atividade 93, farão com que eles respeitem o modo de pensar dos colegas, além de aprender em conjunto. Esse tipo de atividade favorece o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10, além da competência específica 8 de Matemática.
Resolvendo em equipe
Faça a atividade no caderno.
(ó bê mépi) Vovô Eduardo comemorou todos os seus aniversários a partir dos 40 anos colocando, no bolo, velinhas em fórma de algarismos de 0 a 9 para indicar sua idade. Primeiro, ele comprou as velinhas de números 0 e 4. Ele sempre guardou as velinhas para usar nos próximos aniversários, comprando uma nova somente quando não era possível indicar sua idade com as guardadas. Hoje vovô Eduardo tem 85 anos. Quantas velinhas ele comprou até hoje?
a) 10
b) 11
c) 13
d) 14
e) 16
|
Interpretação e identificação dos dados |
• Analise as informações do enunciado e anote aquelas que julgar relevantes para a resolução do problema. |
|---|---|
|
Plano de resolução |
• Calcule a quantidade de velinhas compradas para as dez primeiras comemorações de aniversário e para as comemorações de 50 a 59 anos. |
|
Resolução |
• Forme um grupo com três colegas. |
|
Verificação |
• O grupo deve reler o problema e verificar se todas as condições do enunciado foram satisfeitas. |
|
Apresentação |
• O professor vai escolher um dos grupos para apresentar o plano desenvolvido e a solução obtida. Durante a exposição, os outros grupos devem observar suas resoluções e verificar se os resultados obtidos estão de acordo com o que foi apresentado. |
Respostas e comentários
Resolvendo em equipe: alternativa d
Interpretação e identificação dos dados:
primeiro item: resposta pessoal
segundo item: As velinhas de números 1, 2 e 3.
terceiro item: Sim, ele precisou comprar mais uma para representar a idade de 44 anos.
Plano de resolução:
primeiro item: Entre 40 e 49 anos foram necessárias 11 velinhas e, entre 50 e 59 anos, apenas uma.
segundo item: não
terceiro item: Uma das estratégias que podem ser utilizadas pelos alunos é a escrita dos números 40 a 85 e a contagem das velas de aniversário já usadas e das que serão compradas até o 85º aniversário.
Resolução: Será necessário comprar 14 velas de aniversário (alternativa d), pois, dos 40 aos 49 anos, serão utilizadas 11 velas; dos 50 aos 59 anos, uma vela (para formar 55 anos); dos 60 aos 69 anos, uma vela (para formar 66 anos); dos 70 aos 79 anos, uma vela (para formar 77 anos); e, dos 80 aos 85 anos, nenhuma.
Resolvendo em equipe
BNCC:
• Competências gerais 2, 4, 9 e 10 (as descrições estão na página seis).
• Competências específicas 2, 3, 5 e 8 (as descrições estão na página sete).
A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os estudantes. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 3, 5 e 8, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações.
As especificações para as 14 velas de aniversário são:
• dos 40 aos 49 anos, serão utilizadas 11 velas: 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
• dos 50 aos 59 anos, uma vela: 5 (para formar 55);
• dos 60 aos 69 anos, uma vela: 6 (para formar 66);
• dos 70 aos 79 anos, uma vela: 7 (para formar 77); e
• dos 80 aos 85 anos, nenhuma vela precisará ser comprada.
Valide a resolução apresentada ou questione o grupo e os demais estudantes da turma sobre algum êrro cometido e como solucioná-lo. Faça apenas a mediação das discussões, contribuindo para que eles resolvam o problema, e incentive-os a analisar diferentes estratégias de resolução.
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Faça as atividades no caderno.
Adição com números naturais
A adição pode ser empregada com a ideia de juntar quantidades ou de acrescentar uma quantidade a outra.
Algumas propriedades da adição
Comutativa: em uma adição de números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.
Associativa: Em uma adição de três ou mais números naturais, podemos associar as parcelas de diferentes modos sem alterar a soma.
Elemento neutro: O zero, quando adicionado a outro número natural qualquer, resulta sempre nesse outro número. Ou seja, o zero como parcela da adição não altera o valor da soma. Por isso, ele é chamado de elemento neutro da adição.
1. Determine o resultado das adições.
a) .1231 + .3420
b) .4231 + 335 + .1320
c) .21230 + .1210 + 589
d) .112250 + .217817
e) .420789 + .1118 + .2981
2. Copie as sentenças em seu caderno e complete-as.
a) 87 + 91 = 91 +
b) .1250 + 0 = 0 +
c) .11388 + .2188 = .2188 +
d) .25257 + .9235 =
+ .22257
3. Em três meses Luana conseguiu juntar dinheiro para comprar uma bicicleta. No primeiro mês, juntou R$ 225,00duzentos e vinte e cinco reais; no segundo mês, R$ 218,00duzentos e dezoito reais; e no terceiro, R$ 175,00cento e setenta e cinco reais. Sabendo que ela gastou todo esse valor na compra, qual foi o preço da bicicleta?
Subtração com números naturais
A subtração pode ser empregada com a ideia de tirar uma quantidade de outra, de completar uma quantidade ou, ainda, de comparar duas quantidades.
Relação fundamental da subtração
Se o minuendo menos o subtraendo é igual ao resto, então o subtraendo mais o resto é igual ao minuendo.
4. Determine o resultado das subtrações.
a) .7110 menos .1899
b) .8890 menos .6380
c) .12777 menos .11756
d) .38210 menos .15791
5. Copie as sentenças em seu caderno e complete-as.
a) 571 menos
= 289
b) .1315 menos
= 872
c)
menos .1901 = 912
d)
menos 512 = .1003
6. Em uma subtração, o resto é 439 e o subtraendo é 212. Qual é o valor do minuendo?
Expressões numéricas com adições e subtrações
• Nas expressões numéricas em que não há parênteses, as operações de adição e de subtração devem ser feitas na ordem em que aparecem.
• Nas expressões numéricas em que há parênteses, eles indicam as operações que devem ser feitas primeiro.
7. Calcule o valor de cada expressão numérica.
a) abre parênteses25 menos 18 + 13fecha parênteses + 11
b) 45 + abre parênteses70 menos 36fecha parênteses + 12
c) abre parênteses115 menos 82fecha parênteses menos abre parênteses15 + 18fecha parênteses + 9
8. Joana comprou uma geladeira que custa R$ 1.825,00mil oitocentos e vinte e cinco reais. Ela vai pagar em duas prestações. Se ela pagou R$ 1.075,00mil setenta e cinco reais na primeira prestação, qual será o valor da segunda?
Respostas e comentários
1. a) .4651
1. b) .5886
1. c) .23029
1. d) .330067
1. e) .424888
2. a) 87
2. b) .1250
2. c) .11388
2. d) .9235
3. R$ 618,00seiscentos e dezoito reais
4. a) .5211
4. b) .2510
4. c) .1021
4. d) .22419
5. a) 282
5. b) 443
5. c) .2813
5. d) .1515
6. 651
7. a) 31
7. b) 91
7. c) 9
8. R$ 750,00setecentos e cinquenta reais
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Adição com números naturais
• A atividade 1 solicita a eles que realizem adições diversas. É importante incentivá-los a empregar as propriedades da adição e diferentes estratégias de cálculo estudadas. Reserve um momento para que possam comparar e conversar sobre como fizeram cada cálculo.
• O objetivo da atividade 2 é que os estudantes apliquem a propriedade comutativa da adição para completar as lacunas. Ao final, questione qual propriedade foi usada na atividade.
• A atividade 3 contextualiza os conceitos de adição já apreendidos.
Subtração com números naturais
• A atividade 4 propõe o cálculo de diferentes subtrações. Incentive o uso de estratégias diversas e, após terminarem, promova uma roda de conversa para que todos tenham a oportunidade de compartilhar como fizeram seus cálculos.
• O objetivo da atividade 5 é que os estudantes apliquem a relação fundamental da subtração para completar as lacunas. Oriente-os a efetuar as adições empregando diferentes estratégias.
• Na atividade 6, o primeiro desafio dos estudantes é traduzir para a linguagem matemática o que é descrito no enunciado. Verifique se apresentam dificuldades em lidar com os termos da subtração. Depois, espera-se que apliquem a relação fundamental da subtração para determinar o valor do minuendo.
• Após os estudantes calcularem os valores das expressões numéricas da atividade 7, peça que se reúnam com um colega, comparem os resultados obtidos e procurem identificar onde cometeram possíveis equívocos no processo de resolução. Essa troca entre os estudantes favorece o desenvolvimento da competência geral 9 da Bê êne cê cê.
9. No estoque de uma loja, havia uma.duzentas e cinquenta unidades de determinado produto. No mês de janeiro foram vendidas trezentas e sessenta e oito unidades, no mês de fevereiro, quatrocentas e vinte e cinco unidades. Para repor o estoque, no início de março, foram adicionadas quinhentas e sessenta unidades desse produto ao estoque. Quantas unidades desse produto há agora no estoque da loja?
Multiplicação com números naturais
A multiplicação pode ser empregada com a ideia de adição de parcelas iguais, a de proporcionalidade, a de disposição retangular ou a de combinação.
Algumas propriedades da multiplicação
Comutativa: Em uma multiplicação de números naturais, a ordem dos fatores não altera o produto.
Associativa: Em uma multiplicação com mais de dois números naturais, podemos associar os fatores de modos diferentes sem alterar o produto.
Elemento neutro: O número 1, quando multiplicado por outro número natural qualquer, resulta sempre nesse outro número. Ou seja, o 1 como fator da multiplicação não altera o valor do produto. Por isso, ele é chamado elemento neutro da multiplicação.
Distributiva: Para multiplicar um número natural por uma adição (ou subtração) com dois ou mais termos, podemos multiplicar esse número por cada um dos termos da adição (ou da subtração) e adicionar (ou subtrair) os resultados obtidos.
10. Efetue.
a) 45 ⋅ 12
b) 18 ⋅ 25
c) 320 ⋅ 8
d) 368 ⋅ 10
e) 815 ⋅ 18
f) .1236 ⋅ 50
11.
Calcule mentalmente o resultado de cada multiplicação e registre no caderno.
a) 18 ⋅ 10
b) 92 ⋅ 100
c) 112 ⋅ 10
d) 310 ⋅ 100
e) 15 ⋅ .1000
f) .1020 ⋅ 10
12. Leandro comprou uma motocicleta e vai pagar em 36 prestações iguais de R$ 585,00quinhentos e oitenta e cinco reais. Quantos reais Leandro vai pagar por essa motocicleta?
13. Uma torneira com vazamento desperdiça 300 mililitros de água por hora. Quantos mililitros de água serão desperdiçados em 1 dia?
14. Copie as sentenças em seu caderno e complete-as usando as propriedades da multiplicação.
a) 28 ⋅ 17 =
⋅ 28
b) 22 ⋅ abre parênteses10 ⋅ 13fecha parênteses = abre parênteses22 ⋅
fecha parênteses ⋅ 13
c) 115 ⋅ abre parênteses
⋅ 18fecha parênteses = abre parênteses
⋅ 100fecha parênteses ⋅
d) 54 ⋅ abre parênteses21 ⋅ 12fecha parênteses = abre parênteses54 ⋅
fecha parênteses ⋅
e) 890 ⋅ 77 =
⋅ 890
f) .5801 ⋅
= 99 ⋅ .5801
15. Calcule o valor das expressões de duas maneiras.
a) 9 ⋅ abre parênteses15 + 11fecha parênteses
b) 12 ⋅ abre parênteses18 menos 5fecha parênteses
c) 15 ⋅ abre parênteses10 + 12fecha parênteses
d) 10 ⋅ abre parênteses27 menos 12fecha parênteses
Divisão com números naturais
A divisão pode ser empregada com a ideia de repartir em partes iguais ou para descobrir quantas vezes uma quantidade cabe em outra.
Quando o resto da divisão é zero, dizemos que a divisão é exata; quando é diferente de zero, a divisão é não exata.
Relação fundamental da divisão
dividendo = quociente ⋅ divisor + resto
16. Calcule o quociente e o resto de cada divisão.
a) 155 dividido por 10
b) 212 dividido por 6
c) 550 dividido por 15
d) 198 dividido por 9
e) .1213 dividido por 10
f) .2120 dividido por 5
17. Copie no caderno cada uma das divisões, substituindo cada
pelo número desconhecido.
a)
b)
c)
d)
18. Mariana comprou um pacote de viagens para as férias de final de ano. Ela vai pagar esse pacote em 12 prestações iguais. Se o pacote de viagens custou R$ 10.800,00dez mil oitocentos reais, quanto Mariana vai pagar em cada prestação?
Respostas e comentários
9. .1017
10. a) 540
10. b) 450
10. c) .2560
10. d) .3680
10. e) .14670
10. f) .61800
11. a) 180
11. b) .9200
11. c) .1120
11. d) .31000
11. e) .15000
11. f) .10200
12. R$ 21.060,00vinte e um mil sessenta reais
13. .7200 mililitros
14. a) 17
14. b) 10
14. c) 100; 115; 18
14. d) 21; 12
14. e) 77
14. f) 99
15. a) 234
15. b) 156
15. c) 330
15. d) 150
16. a) quociente: 15; resto: 5.
16. b) quociente: 35; resto: 2.
16. c) quociente: 36; resto: 10.
16. d) quociente: 22; resto: 0.
16. e) quociente: 121; resto: 3.
16. f) quociente: 424; resto: 0.
17. a) 3
17. b) 63
17. c) 5
17. d) 82
18. R$ 900,00novecentos reais
Multiplicação com números naturais
• Na atividade 10, os estudantes devem efetuar multiplicações envolvendo números naturais de até 4 algarismos. Acompanhe-os durante a realização da atividade e verifique as estratégias que eles empregam. Após concluírem, convide alguns deles à lousa para explicar como resolveram determinados itens. Essa troca de experiências contribui para que ampliem o repertório de estratégias de cálculo.
• A atividade 11 tem por objetivo desenvolver o cálculo mental. Espera-se que os estudantes percebam que, para multiplicar um número por 10, 100, .1000, reticências, basta acrescentar à direita desse número um, dois, três, reticências zeros.
• As atividades 12 e 13 propõem problemas para os estudantes resolverem. Caso seja necessário, ajude-os a traduzir cada uma das situações-problema para a linguagem matemática. Essa costuma ser uma das dificuldades apresentadas por eles nesse tipo de atividade. Após resolverem cada problema, incentive-os a avaliar se a resposta encontrada faz sentido na situação.
• O objetivo da atividade 14 é que os estudantes apliquem as propriedades da multiplicação para completar as lacunas. Incentive-os a justificar qual propriedade aplicaram em cada item.
Divisão com números naturais
• O objetivo da atividade 17 é que os estudantes apliquem a relação fundamental da divisão para completar cada uma das divisões. Incentive-os a fazer os cálculos mentalmente.
• Espera-se que os estudantes concluam que para resolver o problema proposto na atividade 18 devem calcular .10800 : 12. Oriente-os a efetuar esse cálculo empregando diferentes estratégias e, depois, reserve um momento para que os estudantes possam compartilhá-las.
Expressões numéricas com as quatro operações
Expressões numéricas podem envolver as operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Quando essas operações estão na mesma expressão, seguimos uma ordem para resolvê-las:
1º) a multiplicação ou a divisão, na ordem em que aparecem na expressão;
2º) a adição e a subtração, também na ordem em que aparecem.
Além dos parênteses, podem aparecer outros sinais de associação na expressão numérica, que determinam a ordem de realização dos cálculos. Assim, calculamos:
1º) o que está dentro dos parênteses – abre parênteses fecha parênteses;
2º) o que está dentro dos colchetes – abre colchete fecha colchete;
3º) o que está dentro das chaves – abre chave fecha chave.
19. Calcule o valor de cada expressão numérica.
a) 12 + 11 ⋅ 5
b) 15 ⋅ abre parênteses12 + 9fecha parênteses menos 7
c) abre parênteses98 menos 9 ⋅ 7fecha parênteses + abre parênteses12 + 18 dividido por 3fecha parênteses
Potenciação com números naturais
Para representar uma multiplicação em que todos os fatores são iguais, podemos usar a potenciação.
De modo geral, na potenciação com números naturais, a base é o fator que se repete na multiplicação, e o expoente indica a quantidade de vezes que esse fator se repete. Isso não vale para potências com expoente zero ou 1.
20. Calcule o valor das potências.
a) 3elevado a 2
b) 2elevado a 3
c) 9elevado a 3
d) 10elevado a 2
e) 60elevado a 0
f) 100elevado a 1
g) 30elevado a 2
h) 8elevado a 3
21. Escreva como se leem as potências a seguir.
a) 9elevado a 2
b) 10elevado a 5
c) 12elevado a 3
d) 5elevado a 4
22. Escreva no caderno os números a seguir usando potências de base 10.
a) 700
b) .380000
c) .45000
23. Um número quadrado perfeito pode ser representado geometricamente por um quadrado formado por quadradinhos menores.
a) Considerando a sequência 1, 4, 9 e 16, quais são os dois números quadrados perfeitos seguintes?
b) Quais são os números quadrados perfeitos situados entre 150 e 250?
24. Se 2elevado a 10 = .1024, qual é o valor de 2elevado a 9? E de 2elevado a 11?
Expressões numéricas com potenciações
As operações devem ser efetuadas na seguinte ordem:
1º) potenciações;
2º) multiplicações e divisões (na ordem em que aparecem);
3º) adições e subtrações (na ordem em que aparecem).
Vale lembrar que, em expressões com sinais de associação, estes devem ser eliminados na seguinte ordem: parênteses, colchetes e chaves.
25. Calcule o valor das expressões.
a) 115 menos abre parênteses5elevado a 2 ⋅ 2 + 2elevado a 3fecha parênteses
b) abre chave148 menos 3 ⋅ abre colchete3elevado a 3 + 18 dividido por abre parênteses3elevado a 2 + 9fecha parêntesesfecha colchetefecha chave ⋅ 2elevado a 3
Arredondamento e estimativas
Para arredondar um número para determinada ordem decimal, devemos observar o primeiro algarismo à direita da ordem escolhida:
• se for 0, 1, 2, 3 ou 4, mantém-se o algarismo da ordem;
• se for 5, 6, 7, 8 ou 9, arredonda-se “para cima”, ou seja, adiciona-se 1 ao algarismo da ordem.
Depois, devem-se substituir por zeros os algarismos à direita do algarismo da ordem.
26. Faça arredondamentos conforme indicado em cada item.
a) 598, para a centena mais próxima.
b) 891, para a centena mais próxima.
c) 891, para a dezena mais próxima.
Respostas e comentários
19. a) 67
19. b) 308
19. c) 53
20. a) 9
20. b) 8
20. c) 729
20. d) 100
20. e) 1
20. f) 100
20. g) 900
20. h) 512
21. a) nove elevado ao quadrado
21. b) dez elevado à quinta potência
21. c) doze elevado ao cubo
21. d) cinco elevado à quarta potência
22. a) 7 ⋅ 10elevado a 2
22. b) 38 ⋅ 10elevado a 4
22. c) 45 ⋅ 10elevado a 3
23. a) 25 e 36
23. b) 169, 196, 225
24. 512; .2048
25. a) 57
25. b) 512
26. a) 600
26. b) 900
26. c) 890
• Após os estudantes calcularem o valor das expressões numéricas da atividade 19, faça a correção coletiva na lousa, identificando possíveis equívocos na ordem de efetuar as operações.
Potenciação com números naturais
• Caso os estudantes tenham dificuldade em resolver a atividade 20, oriente-os a calcular as potências por meio de multiplicações de fatores iguais.
• Após os estudantes concluírem a atividade 22, verifique as diferentes respostas indicadas pela turma em cada um dos itens. No item a, por exemplo, os estudantes podem escrever 7 · 10elevado a 2 ou 70 · 10elevado a 1. Já no item b, eles podem escrever .380000 como 38 · 10elevado a 4, 380 · 10elevado a 3, .3800 · 10elevado a 2 ou .38000 · 10elevado a 1.
Arredondamento e estimativas
• Caso os estudantes tenham dificuldades para fazer a atividade 26, oriente-os a representar o número de cada item em uma reta numérica e analisar seus antecessores e sucessores para identificar o arredondamento que deve ser feito.