Capítulo 3 Figuras geométricas espaciais
Trocando ideias
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
No nosso dia a dia, podemos observar elementos da natureza, objetos e construções de diferentes formatos. Algumas frutas, como a laranja, se parecem com uma esfera; uma árvore conífera, como o próprio nome sugere, se parece com um cone; as colunas de alguns edifícios são parecidas com cilindros.
▸
Com quais figuras geométricas espaciais se parecem as construções e esculturas a seguir?
▸
Reúna-se com um colega e pesquisem imagens que contenham elementos que se parecem com figuras geométricas espaciais.
Neste capítulo vamos estudar algumas figuras geométricas espaciais.
Respostas e comentários
Trocando ideias: primeiro item: as esculturas se parecem, respectivamente, com uma pirâmide, um prisma e uma esfera; segundo item: resposta pessoal.
CAPÍTULO 3 – FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS
Trocando ideias
BNCC:
• Competências gerais 2 e 9 (as descrições estão na página seis).
• Competências específicas 2 e 8 (as descrições estão na página sete).
Objetivo:
Verificar se os estudantes reconhecem prismas, pirâmides e alguns corpos redondos.
Peça a eles que observem a laranja, a árvore e as colunas do Templo de Saturno e comparem com modelos de esferas, cones e cilindros que você pode providenciar com antecedência. Alguns objetos presentes na sala de aula podem servir de modelos para essas figuras. Aproveite a oportunidade e verifique se os estudantes conhecem algumas características desses corpos redondos.
Em seguida, proponha que observem as construções e respondam à questão proposta. Incentive-os a justificar suas respostas. Aproveite a oportunidade para avaliar o que sabem sobre os prismas e as pirâmides.
A proposta deste Trocando ideias exercita a curiosidade dos estudantes e a capacidade de produzir argumentos convincentes. O diálogo e a interação também são promovidos. Nesse sentido, as competências gerais 2 e 9 e as competências 2 e 8 têm o seu desenvolvimento favorecido.
1 Sólidos geométricos
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
As indústrias utilizam diferentes tipos de embalagem para acondicionar alimentos, bebidas, produtos químicos, entre outros. Muitas dessas embalagens se parecem com sólidos geométricos, como podemos observar a seguir.
Em Geometria, sólido é uma figura geométrica espacial e maciça, ou seja, não oca. Já a superfícieglossário é toda a parte visível de um sólido geométrico.
Podemos classificar os sólidos separando-os nos grupos a seguir.
Poliedros
Corpos redondos
A superfície dos poliedros é formada apenas por partes planas (chamadas de face). Já a superfície dos corpos redondos apresenta pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana.
Respostas e comentários
Sólidos geométricos
Objetivo:
Distinguir poliedros de corpos redondos.
Justificativa
No capítulo, serão estudados diferentes poliedros e corpos redondos e, por esse motivo, é importante que, neste tópico, os estudantes reconheçam que essas figuras são sólidos geométricos e que a superfície dos poliedros é formada apenas por partes planas, enquanto a superfície dos corpos redondos apresenta pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana.
Mapeando conhecimentos
Proponha aos estudantes os seguintes questionamentos: “O que são sólidos geométricos? Que objetos do nosso cotidiano se parecem com eles? Qual é a diferença entre poliedros e corpos redondos?”. É importante que todos tenham a oportunidade de expor o que sabem. Oriente-os a escutar as respostas dos colegas com atenção e empatia.
Para as aulas iniciais
Peça aos estudantes que tragam à escola objetos, como embalagem de creme dental e vários tipos de caixas, bolas, latas de leite, entre outros, pois a observação e o manuseio deles serão de grande valia para o aprendizado. Por meio da manipulação desses objetos, eles poderão perceber, por exemplo, as diferenças entre os corpos redondos e os poliedros. Aproveite as embalagens e os objetos para explicar o significado dos termos “tridimensional” e “superfície”.
Neste capítulo, serão estudados os prismas, as pirâmides, os cones e os cilindros retos. Se julgar conveniente, amplie esse estudo para o caso de esses sólidos serem oblíquos.
Se considerar necessário, explique aos estudantes que figuras geométricas espaciais são tridimensionais, ou seja, têm três dimensões (comprimento, largura e altura). Assim, um sólido geométrico é uma figura geométrica tridimensional e maciça.
2 Poliedros
Em qualquer poliedro, devemos encontrar vértices, arestas e faces. Confira:
Cada região que fórma a superfície de um poliedro é chamada face. O segmento comum a duas faces é chamado aresta, e os pontos de encontro das arestas são chamados vértices.
O poliedro a seguir recebe o nome de bloco retangular ou paralelepípedo reto-retângulo.
Ele tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices, conforme mostram as figuras a seguir.
Observe, a seguir, a quantidade de faces, de vértices e de arestas de mais alguns poliedros.
▸ Organize em um quadro o número de faces, arestas e vértices dos sólidos anteriores.
▸ Para cada sólido, adicione o número de vértices (V ) ao número de faces (F ); depois, adicione 2 ao número de arestas (A). Que regularidade você observou em relação a V, F e A nos sólidos analisados?
▸ Verifique se a regularidade que você observou também é válida para outros sólidos.
Essa regularidade que relaciona o número de vértice, o número de faces e o número de arestas de um sólido geométrico é chamada de relação de Euler.
Respostas e comentários
Primeiro item: Resposta em Orientações.
Segundo item: V + F = A + 2
Terceiro item: Espera-se que os estudantes percebam que sim.
Poliedros
BNCC:
• Competência geral 3 (a descrição está na página seis).
• Competência específica 1 (a descrição está na página sete).
• Habilidades ê éfe zero seis ême ah um sete e EF06MA18.
Objetivos:
• Reconhecer poliedros e seus elementos.
• Distinguir prismas de pirâmides.
• Identificar poliedros de Platão e poliedros regulares.
Justificativa
A habilidade ê éfe zero seis ême ah um sete implica identificar e contar faces, vértices e arestas em poliedros, bem como reconhecer e nomear prismas e pirâmides. Nesse âmbito, é importante que os estudantes consigam reconhecer e distinguir os conceitos de faces, arestas e vértices. Além disso, perceber o que caracteriza os prismas e as pirâmides contribui para que estabeleçam com mais propriedade as relações entre o número de vértices, faces e arestas.
O estudo dos poliedros de Platão e, em especial, dos poliedros regulares possibilita aos estudantes reconhecerem que as faces de um poliedro regular são polígonos regulares, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah um oitoponto
Mapeando conhecimentos
Peça aos estudantes que façam individualmente a atividade 25 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores.
Para as aulas iniciais
Aproveite as embalagens trazidas pelos estudantes para trabalhar os elementos de um poliedro (vértices, arestas e faces).
Para distinguir prismas de pirâmides, incentive-os a manipular modelos desses dois sólidos para que percebam que o prisma tem duas bases paralelas e congruentes e faces laterais retangulares, e que as pirâmides têm todas as faces laterais triangulares e que a base pode ter formato triangular, quadrangular etcétera.
• Resposta do primeiro item:
|
Pirâmide de base retangular |
Prisma de base hexagonal |
Prisma de base triangular |
|
|---|---|---|---|
|
Número de faces |
5 |
8 |
5 |
|
Número de arestas |
8 |
18 |
9 |
|
Número de vértices |
5 |
12 |
6 |
A relação de Euler relaciona o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, contemplando a habilidade ê éfe zero seis ême ah um seteponto Comente a história e as inúmeras contribuições do matemático Leonhard Euler no avanço dessa ciência, de modo a contemplar a competência específica 1.
Avalie a conveniência de ampliar esse estudo mostrando poliedros convexos e não convexos, ressaltando que a relação de Euler é válida para todos os poliedros convexos; porém, os poliedros não convexos nem sempre obedecem à relação de Euler.
Sugestão de leitura
Textos com informações sobre a vida de Leonhard Euler.
Disponíveis em:
https://oeds.link/qgTHCN
https://oeds.link/OJqxqC
Acessos em: 1º julho 2022.
Prismas e pirâmides
Prismas
Estes sólidos geométricos são exemplos de prismas. As faces hachuradas em cada prisma são chamadas bases, e as demais, faces laterais.
Todo prisma tem duas bases paralelas e idênticas e tem faces laterais retangulares.
Pirâmides
Estes sólidos geométricos são exemplos de pirâmides. A face hachurada em cada pirâmide é chamada base, e as demais, faces laterais.
Nas pirâmides, todas as faces laterais são triangulares. Já a base pode ter formato triangular, quadrangular, pentagonal etcétera.
Poliedros de Platão e poliedros regulares
Para um poliedro ser de Platão, ele precisa que:
• todas as suas faces tenham o mesmo número de arestas;
• todos os vértices sejam formados pelo encontro do mesmo número de arestas.
A seguir temos o exemplo de um poliedro de Platão que não é regular.
Gire o seu dispositivo para a posição vertical
Para um poliedro ser regular, ele precisa que:
• todas as suas faces tenham o mesmo número de arestas com medidas de comprimento iguais;
• todos os vértices sejam formados pelo encontro do mesmo número de arestas.
Dessa fórma, concluímos que os poliedros regulares são casos particulares dos poliedros de Platão e existem apenas cinco:
Respostas e comentários
Prismas e pirâmides
Neste tópico, serão abordados os prismas e as pirâmides, tipos de poliedros convexos. É interessante retomar os exemplos apresentados no Trocando ideias e investigar se os estudantes conhecem outras construções (prédios ou monumentos) que se parecem com esses poliedros.
Se possível, traga modelos de prismas e pirâmides para que os estudantes, organizados em duplas, manuseiem e observem suas características.
Caso julgue conveniente, existem softwares livres para a construção e a análise dessas figuras geométricas. Tanto para a utilização do material concreto como para a utilização de softwares, é necessário planejar antecipadamente as atividades a serem desenvolvidas em aula, os materiais necessários e as estratégias.
Poliedros de Platão e poliedros regulares
Os poliedros regulares são introduzidos a partir dos poliedros de Platão.
Comente a razão pela qual o nome dessas figuras apresentam os prefixos “tetra”, “hexa”, “octa”, “dodeca” e “icos”. Mostre também que, sendo os poliedros regulares um caso particular dos poliedros de Platão, existem poliedros de Platão que não são regulares, como um tetraedro qualquer.
Se possível, solicite aos estudantes que se organizem em grupos e pesquisem sobre Platão, apresentando algumas contribuições dele à Matemática.
(ê éfe zero seis ême ah um sete) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
(ê éfe zero seis ême ah um oito) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.
Veja que interessante
Faça as atividades no caderno.
O Alamo
O cubo é um caso particular de bloco retangular, em que as medidas de comprimento de todas as arestas são iguais.
O Alamo, também conhecido como Astor Place Cube, é uma escultura ao ar livre que se parece com um cubo cujas arestas medem 2,4 métros de comprimento. Projetada e construída por Bernard Rosenthal, a escultura gira manualmente em tôrno de um poste escondido em seu centro.
Atividade
Por que podemos afirmar que o cubo é um poliedro regular?
3 Corpos redondos
Corpos redondos são sólidos geométricos cuja superfície apresenta alguma parte não plana, arredondada. Observe os exemplos a seguir.
Analise alguns elementos do cilindro, do cone e da esfera.
Respostas e comentários
Veja que interessante: Espera-se que os estudantes respondam que todas as suas faces possuem o mesmo número de arestas com medidas de comprimento iguais e que todos os seus vértices são formados pelo encontro do mesmo número de arestas.
Sugestão de trabalho interdisciplinar
Para ampliar a exploração do boxe Veja que interessante, proponha uma pesquisa de outros artistas que utilizam figuras geométricas espaciais em suas obras em parceria com o professor de Arte. Outra possibilidade é trabalhar com materiais reciclados, fazendo releituras das obras pesquisadas. O trabalho com essas manifestações artísticas propicia a abordagem da competência geral 3.
Corpos redondos
Objetivo:
Reconhecer corpos redondos e seus elementos.
Justificativa
Contribuir para o desenvolvimento da percepção espacial.
Mapeando conhecimentos
Faça os seguintes questionamentos para a turma: “Qual corpo redondo não tem vértice? Qual corpo redondo tem duas bases paralelas? Qual corpo redondo não tem base, nem vértice?”. Essas questões exploram a percepção visual e permitem mapear se os estudantes reconhecem as características dos cones, dos cilindros e das esferas.
Para as aulas iniciais
Dedique uma aula para que manuseiem e observem modelos de cone, cilindro e esfera. Depois, mostre, nos objetos, os elementos desses sólidos geométricos. Aproveite a oportunidade para explorar as características desses corpos redondos. Em seguida, solicite que façam individualmente a atividade 26 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores.
Sugestão de trabalho interdisciplinar
É possível dar continuidade ao trabalho interdisciplinar com Arte utilizando as fórmas arredondadas. O artista David Harber possui diversas obras que se parecem com corpos redondos. Uma possibilidade é fazer uma seleção delas no site oficial de David Harber e apresentar aos estudantes.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Observe as fotos e escreva o nome do sólido geométrico que você associaria a cada objeto.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
2. Escreva no caderno uma característica comum e uma diferença entre:
a) um prisma e um cilindro;
b) uma pirâmide e um cone.
3. Determine o número de faces, de arestas e de vértices de cada figura a seguir.
a)
b)
4. Imagine que Paula vá friccionar uma palma da mão na outra, fazendo girar o pirulito. O movimento do pirulito remete à imagem de um sólido geométrico. Qual é esse sólido?
5. Observe a figura a seguir, que representa um prisma, e responda às questões.
a) Na figura, há:
• quantas faces?
• quantas arestas?
• quantos vértices?
b) Qual é a figura que representa a base desse prisma?
6.
Reúna-se com um colega para resolver esta atividade.
a) Copiem o quadro a seguir no caderno e completem-no.
|
Poliedro regular |
Número de vértices |
Número de faces |
Número de arestas |
|---|---|---|---|
|
Tetraedro |
|||
|
Hexaedro |
|||
|
Octaedro |
|||
|
Dodecaedro |
|||
|
Icosaedro |
b) Para cada poliedro do quadro, verifique se a relação de Euler é válida.
7. Analise esta escultura e, depois, responda à questão.
A escultura se parece com um cubo formado por várias peças similares a paralelepípedos reto-retângulos. Quantas peças parecidas com um paralelepípedo reto‑retângulo foram utilizadas na construção dessa escultura?
Versão adaptada acessível
3. Separe embalagens ou objetos de diferentes formatos, por exemplo, caixa de pasta de dentes, caixas de presente, embalagens de alimentos etc. Manipule essas embalagens de modo a identificar suas partes, como bicos, faces e contornos laterais. Com o auxílio do professor, identifique o que poderia ser associado a vértices faces e arestas. Depois, conte o número de vértices, de faces e de arestas de todos eles e anote em seu caderno.
Orientação para acessibilidade
Respostas
Dependem dos modelos manipulados.
Forneça aos estudantes caixas de diferentes formatos ou modelos de sólidos geométricos para que sejam manipulados. Auxilie-os na identificação dos vértices, faces e arestas.
Respostas e comentários
1. a) esfera
1. b) cone
1. c) cilindro
1. d) prisma
1. e) prisma
1. f) pirâmide
2. a) Exemplo de resposta: ambos são sólidos geométricos e possuem duas bases paralelas e idênticas; o prisma é um poliedro e o cilindro é um corpo redondo.
2. b) Exemplo de resposta: ambos são sólidos geométricos e possuem uma única base; a pirâmide é um poliedro e o cone é um corpo redondo.
3. a) 5 faces, 8 arestas, 5 vértices
3. b) 6 faces, 12 arestas, 8 vértices
4. esfera
5. a) primeiro item: 5 faces; segundo item: 9 arestas; terceiro item: 6 vértices
5. b) triângulo
6. a) Resposta em Orientações.
6. b) A relação de Euler é válida para todos os poliedros do quadro, pois, em cada caso, o número de faces adicionado ao número de vértices é igual ao número de arestas mais 2.
7. duzentas e cinquenta e seis peças, pois 16 ⋅ 16 = 256
Estas atividades colaboram para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah um seteponto
• As atividades 1, 2, 3 e 5 exploram o reconhecimento e a identificação dos elementos de figuras geométricas espaciais, assim como suas características. A atividade 1, por exemplo, permite discutir com os estudantes a diferença entre o objeto e a figura geométrica que o representa, ressaltando as características e as propriedades dessa figura. Para a atividade 2, organize os estudantes em grupos e solicite-lhes que façam uma síntese de características comuns e diferenças entre os sólidos. Depois, peça aos integrantes de cada grupo que apresentem a síntese aos demais colegas.
• A atividade 4, ao propor que o estudante gire uma superfície circular obtendo uma esfera, trabalha com o conceito de sólido de revolução. Há duas possibilidades de ampliar a atividade: pedir aos estudantes que imaginem qual sólido geométrico seria obtido se o pirulito tivesse a fórma retangular e triangular ou perguntar qual figura geométrica plana precisaria ser girada para obter um cilindro e um cone.
• Resposta do item a da atividade 6:
|
Poliedro regular |
Número de vértices |
Número de faces |
Número de arestas |
|---|---|---|---|
|
Tetraedro |
4 |
4 |
6 |
|
Hexaedro |
8 |
6 |
12 |
|
Octaedro |
6 |
8 |
12 |
|
Dodecaedro |
20 |
12 |
30 |
|
Icosaedro |
12 |
20 |
30 |
Sugestão de atividade extra
No site da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, há indicações de diversos softwares. O software Poly é um exemplo. Livre e de fácil manipulação mesmo não apresentando versão em português. Nesse software, existem vários poliedros já construídos que podem ser girados, permitindo a sua observação por todos os lados; além de os estudantes poderem escolher a opção “poliedros de Platão” e explorá-los.
4 Planificação da superfície de sólidos geométricos
Mateus comprou um panetone para o lanche da tarde. Ele percebeu que a embalagem do panetone se parece com um sólido geométrico.
Mateus cortou a embalagem cuidadosamente pelas arestas e obteve sua planificação. Analise como ela ficou.
A representação da superfície da embalagem totalmente aberta é chamada de planificação.
Ao fazer a planificação da superfície de um poliedro, representamos todas as suas faces. Observe os exemplos.
a) Planificação da superfície do prisma de base triangular
b) Planificação da superfície do cilindro
c) Planificação da superfície da pirâmide de base pentagonal
d) Planificação da superfície do cone
Respostas e comentários
Planificação da superfície de sólidos geométricos
BNCC:
Habilidade ê éfe zero seis ême ah um oito.
Objetivo:
Associar a imagem de um sólido geométrico à planificação de sua superfície, quando possível.
Justificativa
Ao lidar com planificações de superfícies, os estudantes observam cada parte da representação da planificação e comparam com as faces dos poliedros, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah um oito.
Mapeando conhecimentos
Para mapear os conhecimentos prévios dos estudantes sobre planificação de superfícies de sólidos geométricos, crie um circuito de estações dentro da sala de aula. Organize a sala em cinco grupos e proponha em cada estação, as seguintes tarefas:
• estação 1: reconhecer um cubo por meio da planificação de sua superfície;
• estação 2: reconhecer uma pirâmide de base quadrada por meio da planificação de sua superfície;
• estação 3: dado um modelo de prisma de base hexagonal, identificar dentre as opções apresentadas a planificação de sua superfície;
• estação 4: dado um modelo de pirâmide de base triangular, identificar dentre as opções apresentadas a planificação de sua superfície;
• estação 5: dado um modelo de octaedro regular, identificar dentre as opções apresentadas a planificação de sua superfície.
É importante que os modelos de sólidos e as planificações disponíveis em cada estação possam ser manuseados pelos estudantes.
Para as aulas iniciais
Retome o conteúdo de planificação de superfície de sólidos geométricos da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e, depois, dê um tempo para que façam as atividades 27 e 28. Após concluírem, tire as eventuais dúvidas.
Proponha aos estudantes que levem embalagens vazias de variados produtos e solicite que, com o auxílio de uma tesoura com pontas arredondadas, recortem-nas cuidadosamente pelas arestas, produzindo modelos de planificação.
Leia o texto com a turma e peça que observem a figura e relacionem cada face da planificação da caixa de panetone com as faces da caixa montada.
(ê éfe zero seis ême ah um oito) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
8. Em seu caderno, represente a planificação da superfície de uma embalagem que se parece com um bloco retangular. Há só uma planificação possível de se representar? Em seguida, na planificação, pinte com a mesma côr duas faces opostas do bloco, isto é, que não tenham aresta comum.
9. Caio montou um modelo de cubo por meio da planificação da sua superfície.
Identifique o modelo montado por Caio.
a)
b)
c)
d)
10. Quais figuras a seguir são planificações da superfície de um cubo?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
• Agora, em seu caderno, represente a planificação da superfície de um cubo diferente das que você identificou nas figuras anteriores.
11.
Na figura 1, a seguir, temos o molde de um cubo. Dobrando o molde de maneira adequada (figura 2), obtemos uma caixa cúbica (figura 3).
Observe que a face de cima e a face em contato com o plano são opostas e estão indicadas com a mesma letra.
Reúna-se com um colega, copiem as figuras a seguir em uma malha quadriculada e identifiquem as faces opostas em cada uma das planificações.
a)
b)
c)
12. Uma pirâmide pentagonal cujas arestas da base têm a mesma medida de comprimento é um poliedro regular? Justifique sua resposta.
13.
Observe os poliedros a seguir e faça o que se pede.
1º) No caderno, elabore três questões que podem ser respondidas observando os poliedros.
2º) Troque de caderno com um colega e responda às questões elaboradas por ele.
3º) Analise as respostas do colega e dê um retôrno a ele, dizendo o que ele respondeu corretamente e em que se equivocou.
Respostas e comentários
8. Exemplo de resposta em Orientações.
9. alternativa c
10. figuras dos itens a, c, d
10. item: Exemplos de resposta:
11. a)
11. b)
11. c)
12. Não, pois os poliedros regulares têm todas as faces com o mesmo número de arestas com medidas de comprimento iguais e, na pirâmide citada, a base é pentagonal (5 lados) e as faces são triangulares.
13. Respostas pessoais.
Sugestões de atividade extra
Proponha aos estudantes que se organizem em grupos e, em uma folha de papel (cartolina ou papel‑cartão), reproduzam os modelos das planificações dos seguintes sólidos: prisma de base triangular, pirâmide de base pentagonal, cilindro e cone. Recortem os modelos e montem as figuras geométricas espaciais, utilizando tesoura com pontas arredondadas e fita adesiva. Depois, peça a eles que discutam as características comuns e as diferenças entre o prisma e o cilindro e entre a pirâmide e o cone.
Para que os estudantes percebam que, de fato, não é possível planificar a superfície de uma esfera, solicite a eles que, em grupos, tentem embrulhar uma esfera, cobrindo toda a superfície e utilizando o mínimo de papel. Utilize qualquer objeto de fórma esférica. Ao final da atividade, proponha uma discussão com as seguintes questões:
• Foi fácil embrulhar a esfera?
• Vocês conseguiram cobrir toda a superfície da esfera?
• Seria mais fácil embrulhar um bloco retangular?
• É possível cortar o papel do tamanho exato da esfera?
• Em complemento à atividade 8, proponha aos estudantes que façam várias planificações e que comparem as suas com as produzidas pelos colegas. Apresente outras planificações que não tenham sido trabalhadas. Peça a eles que as montem para verificar se, de fato, elas formam blocos retangulares. A seguir, há dois exemplos de planificações de blocos retangulares com exemplos de faces opostas pintadas com a mesma côr.
• Para a atividade 11, se possível, providencie a malha quadriculada. Durante a resolução dessa atividade, os estudantes podem ser convidados a construir um dado, marcando cada uma de suas faces conforme a orientação do enunciado. No entanto, é aconselhável que eles não planifiquem o dado, pois pode interferir no processo de abstração.
Resolvendo em equipe
Faça a atividade no caderno.
(enêm) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (anáqui), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115 centímetros.
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a fórma de um paralelepípedo retângulo.
O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela anáqui é:
a) 25
b) 33
c) 42
d) 45
e) 49
|
Interpretação e |
• Leia o enunciado da questão e anote os dados que você julgar relevantes para a resolução do problema. |
|---|---|
|
Plano de resolução |
• Calcule a medida da dimensão indicada de forma indireta na figura. |
|
Resolução |
• Reúna-se com um colega. Avaliem o plano de resolução de cada um e representem uma das resoluções. |
|
Verificação |
• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas. |
|
Apresentação |
• A Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) disponibiliza em seu site uma cartilha com orientações aos passageiros sobre suas bagagens: |
Respostas e comentários
Resolvendo em equipe: alternativa e
Plano de resolução:
primeiro item: Indicando a medida da largura da caixa em centímetro por a, temos: 90 centímetros = 24 centímetros + 24 centímetros + a, ou seja, a = 42 centímetros.
segundo item: Resposta pessoal.
Interpretação e identificação dos dados:
primeiro item: Resposta pessoal.
segundo item:
a) Apenas uma dimensão, que mede 24 centímetros.
b) Não, é possível encontrar apenas a medida de mais uma dimensão, que é indicada de fórma indireta pelos 90 centímetros.
Resolução: Resposta em Orientações.
Resolvendo em equipe
BNCC:
• Competências gerais 2, 4, 9 e 10 (as descrições estão na página seis).
• Competências específicas 2, 3, 5, 6 e 8 (as descrições estão na página sete).
A seção destaca as etapas na resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os estudantes. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas 2, 3, 5, 6 e 8, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações.
Sugestão da resolução: De acôrdo com o enunciado, a soma das medidas das dimensões não pode ser superior a 115 centímetros, ou seja, a soma deve ser, no máximo, igual a 115. Como já foram definidas as medidas de duas dimensões, uma de fórma direta (24 centímetros) e outra de fórma indireta (42 centímetros), a medida máxima da terceira dimensão será obtida pela expressão:
115 − (24 + 42) = 115 − 66 = 49
Portanto, a maior medida da terceira dimensão será 49 centímetros.
Na cartilha da anáqui indicada na Apresentação, além de informações referentes à bagagem de mão, há outras relacionadas, por exemplo, ao transporte de líquidos, à medida de massa (em quilograma) das bagagens e aos objetos cujo transporte é permitido.
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Faça as atividades no caderno.
Poliedros
A superfície dos poliedros é formada apenas por partes planas (chamadas de face).
Prismas
Pirâmides
Corpos redondos
A superfície dos corpos redondos apresenta pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana.
1. Qual das figuras a seguir não representa um poliedro?
a)
b)
c)
d)
2. Observe os poliedros e faça o que se pede.
a) Copie o quadro no caderno e complete-o.
|
Número de faces |
Número de arestas |
Número de vértices |
|
|---|---|---|---|
|
Figura 1 |
|||
|
Figura 2 |
|||
|
Figura 3 |
b) Qual é o formato das bases de cada poliedro?
Planificação da superfície de sólidos geométricos
Os poliedros e alguns corpos redondos podem ter suas superfícies planificadas. Ao fazer a planificação da superfície de um poliedro, por exemplo, representamos todas as suas faces.
3. A qual sólido geométrico corresponde cada uma das planificações de superfície a seguir?
a)
b)
c)
d)
Respostas e comentários
1. alternativa d
2. a) Resposta em Orientações.
2. b) Hexagonal, hexagonal e quadrangular.
3. a) prisma de base hexagonal
3. b) cilindro
3. c) octaedro
3. d) prisma de base triangular
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Poliedros
Ao retomar o conceito de poliedros e corpos redondos, se possível, traga para a sala de aula embalagens que se parecem com prismas, pirâmides, cilindros e cones para que os estudantes possam manipular e utilizar durante a realização das atividades propostas.
• Na atividade 1, após identificarem a figura, incentive-os a justificar a resposta.
• Antes que façam a atividade 2, verifique se os estudantes reconhecem o nome de cada figura apresentada: respectivamente, prisma de base hexagonal, pirâmide de base hexagonal e cubo. Caso apresentem dificuldades, forneça moldes dessas figuras e incentive-os a manipulá-los.
Resposta do item a da atividade 2:
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Número de faces |
Número de arestas |
Número de vértices |
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|---|---|---|---|
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Figura 1 |
8 |
18 |
12 |
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Figura 2 |
7 |
12 |
7 |
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Figura 3 |
6 |
12 |
8 |
Planificação da superfície de sólidos geométricos
• Caso os estudantes apresentem dificuldades para associar as planificações de superfície aos sólidos correspondentes na atividade 3, forneça alguns modelos de sólidos geométricos, principalmente os correspondentes às planificações de superfície da atividade: prismas de base hexagonal, cilindros, octaedros e prismas de base triangular. Em seguida, proponha-lhes que desmontem esses modelos para obter as planificações de superfície.
É hora de extrapolar
Faça as atividades no caderno.
Você já viu quê érre côde em embalagens de produtos?
Além de poderem ser usados no lugar dos códigos de barras em produtos, os QR codes podem ter outras finalidades nas diversas situações em que aparecem: em folhetos de museus e de outras instituições, para fornecer dados; nas passagens aéreas, a fim de liberar o acesso dos passageiros; em ingressos de chôus e de cinema, para liberar a entrada, entre outras situações. Atualmente, os QR codes são bastante usados como estratégia de marketing em embalagens de diversos produtos, trazendo informações extras, promoções e até jogos.
Objetivos: Pesquisar sobre o QR code e suas aplicações, construir a embalagem de um produto e utilizar essa tecnologia para oferecer mais informações sobre o produto.
Etapa 1: Pesquisa sobre o QR code e suas aplicações.
1. Reúna-se em grupo com alguns colegas, leiam a tirinha e, depois, respondam às questões.
a) Qual é o título da tirinha?
b) Há quantos personagens na tirinha?
c) Sobre que tipo de código eles estão falando?
d) O código que aparece no primeiro quadro da tirinha representa qual frase?
2.
Pesquisem o que é QR code, como ele surgiu e quais são as suas principais aplicações.
3. Qual é a diferença entre os QR codes e os códigos de barras? Façam uma pesquisa e respondam.
4.
Existem vários aplicativos para celular e sáites que oferecem programas de leitura e criação de QR codes que podem ser baixados gratuitamente. Utilizando algum deles, descubram o que está escrito na tirinha a seguir.
▸ Qual foi o número pensado e descoberto?
Respostas e comentários
1. a) “Resposta rápida”
1. b) dois
1. c) QR code
1. d) “Isso não é um labirinto, Caco! É um QR code.”
2. Resposta em Orientações.
3. Resposta em Orientações.
4. Quadro 1: “Eu vou adivinhar o número que você está pensando”; “3”; “Essa eu quero ver.” Quadro 2: “Você pensou no 3.”; “Que demais! Você é mágico?”
Quadro 3: “Não, eu usei um aplicativo para ler QR code.”; “Você acabou de perder um fã.”
4. item: 3
É hora de extrapolar
BNCC:
• Competências gerais 2, 4, 5, 7, 8, 9 e 10 (as descrições estão na página seis).
• Competências específicas 2, 3, 4, 5, 6 e 8 (as descrições estão na página sete).
Tema contemporâneo transversal:
A seção propõe o fechamento da unidade com um trabalho colaborativo que explora a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um produto final, com a embalagem e o QR code, que será compartilhado com a turma.
Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:
• Entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado.
• Pesquisa individual ou coletiva.
• Elaboração, em grupo, do produto proposto.
• Apresentação e exposição do produto.
• Reflexão e síntese do trabalho.
As etapas de pesquisa e de elaboração do produto podem ser realizadas extraclasse. Verifique o perfil dos estudantes e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização do trabalho.
A seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 5, 7, 8, 9 e 10 e das competências específicas 2, 3, 4, 5, 6 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhá-la depois de estudar os capítulos, mas, se preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, atente para os conhecimentos prévios necessários.
Auxilie os estudantes na busca por aplicativos que façam leitura e criação de QR codes. Há uns que só fazem leitura, outros que só geram o código e outros, ainda, com as duas funcionalidades. Oriente-os a pesquisar as opções existentes, testar alguns e escolher o aplicativo que acharem conveniente. Alguns aplicativos leitores de quê érre côdenão apresentam todos os acentos gráficos corretamente.
Os recursos de leitura e contrôle como os QR Codes (sigla do inglês Quick Response, que em português significa “resposta rápida”), a tecnologia NFC (sigla do inglês Near Field Communication, que em português significa “comunicação em região próxima”) ou os códigos de barras, entre outros, representam grande avanço nos sistemas de automação para a gestão de estoques, finanças, acesso a bancos de dados e articulação de informações. Oriente-os a pesquisar as opções existentes, testar alguns e escolher o aplicativo que acharem conveniente. Alguns aplicativos leitores de QR code não apresentam todos os acentos gráficos corretamente.
• Na atividade 2, ao pesquisar as principais aplicações do QR Code, os estudantes retomam as questões da abertura desta Unidade. Aproveite-a para comparar os conhecimentos da turma naquele momento e agora.
Resposta da atividade 2: O QR Code foi criado por uma empresa japonesa em 1994 e pela sua alta capacidade de armazenamento de dados possibilita aplicações em diversas atividades, como transações bancárias, pagamentos, propaganda, compartilhamento de links etcétera.
• Resposta da atividade 3: Além da diferença na representação gráfica (linear para o código de barras e bidimensional para o QR Code), as duas tecnologias diferem principalmente na capacidade de armazenamento e oferta de informações ao usuário. Não são recursos excludentes, mas sim complementares.
5.
Criem dois QR codes: um que represente o enunciado de um problema que possa ser resolvido com a operação de divisão, e outro que contenha a solução do problema.
6.
Troquem os quê érre codes criados no item anterior com outro grupo e resolvam o problema proposto.
Etapa 2: Escolha do produto e da embalagem.
7. Retomem o estudo das planificações da superfície dos sólidos e confeccionem uma embalagem que se pareça com algum sólido geométrico.
8. Algumas questões importantes que devem ser debatidas pelo grupo:
a) Para que serve o produto?
b) Qual é o público-alvo (faixa etária, grupo social etcétera. que pode se interessar pelo produto)?
c) Que formato de embalagem vai acondicionar o produto com segurança e eficiência?
d) Que informações sobre o produto (nome, quantidade etcétera) devem aparecer na embalagem?
e) Que tipo de informação (promoção, charada, jôgo etcétera) pode estar representado por um quê érre côde na embalagem para despertar ou aumentar o interesse do público-alvo?
9.
Depois de selecionar o produto e confeccionar a embalagem, criem um QR code que represente a informação escolhida para aumentar o interesse do público-alvo. Não se esqueçam de inserir o QR code na embalagem do produto.
Etapa 3: Apresentação e análise da embalagem.
10.
Disponibilizem a embalagem criada pelo grupo para que os outros grupos conheçam o produto escolhido, leiam as principais informações e descubram o que está representado pelo QR code.
11. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.
Etapa 4: Síntese do trabalho realizado.
12. Questões que devem ser discutidas:
a) A embalagem confeccionada pelo grupo atingiu os objetivos propostos?
b) Os colegas conseguiram identificar o produto e suas principais informações?
c) A mensagem representada pelo QR code foi decifrada?
d) Vocês modificariam algo no processo, na embalagem e na mensagem em quê érre côde?
13. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo na etapa 2 e que considere o resultado da etapa 3, levando em conta as reações e as sugestões dos colegas.
Respostas e comentários
5. Respostas pessoais.
8. a) Resposta pessoal.
8. b) Resposta pessoal.
8. c) Resposta pessoal.
8. d) Resposta pessoal.
8. e) Resposta pessoal.
12. a) Resposta pessoal.
12. b) Resposta pessoal.
12. c) Resposta pessoal.
12. d) Resposta pessoal.
13. Comentários em Orientações.
Na atividade 5, considere uma sugestão de questão:
De quantas caixas, com capacidade para armazenar uma dúzia de agá quês, Lucas precisa para guardar sua coleção de agá quês, que hoje conta com 60 revistas? Resposta: 5 caixas.
Na etapa 2, se achar conveniente, argumente que a escolha da embalagem também pode ser direcionada em relação ao custo do material utilizado. Assim, muitas vezes é preciso fazer uma análise criteriosa na escolha.
Na etapa 3, após apresentação e análise das embalagens, proponha uma discussão geral sobre a adequabilidade da embalagem escolhida pelos grupos. Para essa discussão, podem ser levados em consideração o formato, a apresentação, o material, o custo etcétera.
Na atividade 13, acompanhe a escrita do texto e, se necessário, relembre processos importantes que você acompanhou e que os estudantes estejam esquecendo de descrever no texto.
Em seguida, proponha aos estudantes que compartilhem com a turma o que descreveram a respeito das reações e sugestões dos colegas. Aproveite o momento para verificar se eles conseguem se expressar de fórma clara e objetiva e se escutam as ideias dos colegas de fórma empática e respeitosa.
Glossário
- Superfície
- : Imagine a superfície de um sólido geométrico como se fosse uma casca muito fina que o envolvesse.
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