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Parte 1

Capítulo 6 Frações

Trocando ideias

A arara-azul (Anadoríncus lassãntínus) é considerada a maior espécie de arara em todo o mundo, podendo atingir cêrca de 98 centímetros de medida de comprimento e 1,3 quilograma de medida de massa. Essa ave está atualmente ameaçada de extinção devido à caça, ao comércio clandestino e à degradação em seu abitá natural por conta do desmatamento.

Fotografia: Duas araras-azuis pousadas sobre um galho de árvore em meio a floresta. Elas têm penas azuis, olhos amarelos e bicos pretos. — Araras-azuis no Pantanal de Poconé (Mato Grosso).

No Pantanal, cêrca de

\frac{9}{10}

dos ninhos das araras-azuis são feitos em uma única espécie de árvore: o manduvi (Sterculia apetala).

▸

O número

\frac{9}{10}

é um exemplo de fração. Em quais situações do cotidiano as frações estão presentes?

▸

O que significa dizer que

\frac{9}{10}

dos ninhos das araras-azuis são feitos nos manduvis?

▸

Em sua opinião, o que precisa ser feito para a preservação das araras-azuis? Converse com os colegas.

Neste capítulo, vamos estudar as frações e algumas operações com frações.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: resposta pessoal; segundo item: espera-se que os estudantes respondam, utilizando vocabulário próprio, que significa que, de cada 10 ninhos de araras-azuis, 9 são feitos nos manduvis; terceiro item: resposta pessoal.

CAPÍTULO 6 – FRAÇÕES

Trocando ideias

BNCC:

• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).

• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).

Objetivos:

• Levantar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre as frações.

• Refletir sobre a importância de preservar as araras-azuis.

Tema contemporâneo transversal:

Inicie a aula solicitando aos estudantes que leiam o texto e observem a imagem das araras-azuis. É importante que eles percebam a necessidade de preservar essa e outras espécies de animais ameaçadas de extinção.

As duas primeiras questões possibilitam fazer um levantamento dos conhecimentos previamente adquiridos pelos estudantes sobre as frações. Registre na lousa as situações envolvendo frações citadas por eles. A segunda questão aborda, intuitivamente, a relação entre fração e porcentagem e, também, a ideia de fração como parte de um todo. Caso alguns deles estejam com dificuldade, incentive-os a pensar em um número específico de manduvis para depois determinar em quantos deles, aproximadamente, as araras-azuis fariam seus ninhos.

Depois de responderem à terceira questão, comente que uma das maneiras de proteger as araras-azuis é por meio da preservação do seu hábitat natural – o Pantanal. Além disso, é importante monitorar os ovos e os ninhos e observar como elas se comportam. Se achar oportuno, fale um pouco com a turma sobre o Projeto Arara Azul, criado pela bióloga Neiva Guedes. Para saber mais sobre esse projeto, acesse https://oeds.link/bIqIP5. (Acesso em: 25 julho 2022).

O diálogo e a interação promovidos nessa dinâmica favorecem o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8 da Bê êne cê cê. O tema da seção também permite aos estudantes agir pessoal e coletivamente com responsabilidade com o intuito de tomar decisões que ajudem na proteção dos animais em risco de extinção, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 10.

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1 A ideia de número fracionário

Observe a torta de legumes a seguir.

Ilustração: 5 pedaços iguais de uma torta circular que inicialmente foi dividida em 8 pedaços iguais. O contorno dos 3 pedaços que foram consumidos aparece pontilhado. À esquerda aparece uma espátula.

Considerando que a torta representa o todo ou o inteiro, podemos dizer que cada pedaço corresponde a

\frac{1}{8}

(lemos: “um oitavo”) da torta. A parte da torta que sobrou corresponde a

\frac{5}{8}

(lemos: “cinco oitavos”) do inteiro. Os números

\frac{1}{8}

\frac{5}{8}

são exemplos de números fracionários ou frações.

Em uma fração, o denominador é o número abaixo do traço e representa a quantidade de partes iguais em que o todo foi dividido. Já o número acima do traço, o numerador, indica a quantidade de partes consideradas do todo.

Observe.

Esquema. Fração 5 oitavos. À esquerda do número 5, seta indicando numerador e à direita, outra seta, com a indicação: quantidade de pedaços que sobraram da torta, À esquerda do número 7, seta indicando denominador e à direita, outra seta, com a indicação: quantidade de pedaços iguais em que a torta foi dividida.

Acompanhe uma situação em que utilizamos frações.

Em um posto de saúde, 3 das 9 crianças que estavam na fila eram bebês de colo.

Três crianças correspondem a

\frac{3}{9}

\frac{1}{3}

do total de crianças que havia na fila (9).

Ilustração: Adultos e crianças, de diferentes etnias, todos de máscara de proteção em fila num posto de saúde. À esquerda atrás de uma mesa uma mulher branca e loira utilizando máscara de proteção e jaleco branco segurando uma seringa. Sobre a mesa, uma caixa térmica. Na parede acima da mulher, uma cruz vermelha.

▸

Quais vacinas você já tomou? Qual é a importância das vacinas? Converse com os colegas.

Respostas e comentários

Item: resposta pessoal.

A ideia de número fracionário

BNCC:

• Competência geral 4 (a descrição está na página seis).

• Habilidade ê éfe zero seis ême ah zero sete.

Objetivos:

• Compreender a ideia de número fracionário.

• Ler números fracionários.

Tema contemporâneo transversal:

Justificativa

A habilidade ê éfe zero seis ême ah zero sete implica, entre outras coisas, compreender as ideias de fração como partes de um todo discreto ou contínuo; ser capaz de ler e representar frações numéricas e por meio de figuras e compreender o significado do numerador e denominador. Esses objetivos contribuem para que sejam alcançadas essas metas de aprendizagem, o que justifica a pertinência de cada um deles.

Mapeando conhecimentos

As frações já foram estudadas nos anos iniciais do Ensino Fundamental e, neste capítulo, o estudo será retomado e ampliado. Para mapear os conhecimentos previamente adquiridos pelos estudantes, é possível trazer modelos de círculos ou quadrados confeccionados com papel para que eles possam recortá-los ou dobrá-los em partes iguais e realizar diferentes explorações. Organize a turma em grupos e para cada grupo direcione as explorações que devem realizar.

Para as aulas iniciais

Considere trabalhar com réguas de Cuisenaire. Caso não haja esse material disponível na escola, você pode confeccioná-lo em papel quadriculado ou cartolina colorida. Associando a barra laranja a um inteiro, os estudantes podem posicionar as barras de outras cores para identificar frações unitárias. Eles podem, por exemplo, perceber que a medida do comprimento da barra amarela corresponde a

\frac{1}{2}

da medida do comprimento da barra laranja, que a medida do comprimento da barra vermelha corresponde a

\frac{1}{5}

da medida do comprimento da barra laranja etcétera.

A manipulação desse material favorece a investigação experimental, levando os estudantes com dificuldades a construírem ideias necessárias para a compreensão dos conceitos que serão estudados.

Dedique também uma aula para retomar o significado do numerador e denominador de uma fração e também a leitura de frações presente na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores. Em seguida, explore com a turma as atividades 35 e 36.

Figura geométrica. Malha quadriculada de 10 linhas com 10 quadradinhos cada uma. Da esquerda para a direita, primeira coluna: dez quadradinhos pintados de laranja. Segunda coluna: nove quadradinhos pintados de azul. Terceira coluna: oito quadradinhos pintados de marrom. Quarta coluna: sete quadradinhos pintados de preto. Quinta coluna: seis quadradinhos pintados de verde escuro. Sexta coluna: 5 quadradinhos pintados de amarelo. Sétima coluna: quatro quadradinhos pintados de lilás. Oitava coluna: 3 quadradinhos pintados de verde claro. 2 quadradinhos pintados de vermelho. Décima coluna: 1 quadradinho pintado de cinza.

(ê éfe zero seis ême ah zero sete) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

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Observe outros exemplos.

a) A figura representa um inteiro, que foi dividido em seis partes iguais, sendo que cinco delas foram coloridas de azul.

Figura geométrica: Círculo dividido em 6 partes iguais, 5 delas estão pintadas de azul e uma é branca.

Representamos a parte azul por

\frac{5}{6}

(lemos: “cinco sextos”).

b) A figura representa um inteiro dividido em oito partes iguais, sendo que três delas foram coloridas de verde.

Figura geométrica: Quadrado dividido em 8 partes triangulares iguais, 3 delas estão pintadas de verde e 5 são brancas.

Representamos a parte verde por

\frac{3}{8}

(lemos: “três oitavos”).

Além da ideia de parte de um inteiro, como visto nos exemplos anteriores, as frações podem transmitir a ideia de resultado de uma divisão (quociente). Por exemplo, para dividirmos 3 goiabas entre 4 pessoas, podemos cortar cada uma das goiabas em 4 partes, em que cada parte representa

\frac{1}{4}

de goiaba.

Distribuindo a cada pessoa 3 partes, cada uma receberá

\frac{3}{4}

de goiaba.

Esquema. Do lado esquerdo, duas goiabas inteiras e sobre uma tábua, a metade de uma goiaba mais 2 pedaços iguais da mesma goiaba, cada um correspondendo a 1 quarto de uma goiaba.
À direita, 4 conjuntos com 3 pedaços iguais de goiaba cada um. Cada pedaço corresponde a 1 quarto de uma goiaba inteira.

Acompanhe outro exemplo.

Joaquim fez 5 rocamboles iguais, que foram divididos igualmente entre duas padarias. Quanto de rocambole cada uma das duas padarias recebeu?

Vamos esquematizar a divisão dos rocamboles.

Esquema. À esquerda, há 5 rocamboles idênticos, sendo 4 rocamboles inteiros e 1 rocambole dividido ao meio. Acima dos dois primeiros, há a indicação: primeira padaria. Acima do terceiro e quarto, há a indicação: segunda padaria. Abaixo do rocambole que está dividido, há a indicação: Esse rocambole foi dividido em duas partes iguais. Há uma seta para um dos pedaços com a indicação: primeira. Há uma seta para o outro pedaço com a indicação: segunda. À direita, há 4 rocamboles inteiros e 2 metades de um mesmo rocambole. 2 rocamboles inteiros e uma metade estão em um quadro com a indicação: primeira padaria. Os outros 2 rocamboles inteiros e a outra metade, estão em outro quadro com a indicação: segunda padaria.

Logo, cada uma das duas padarias recebeu 2 rocamboles inteiros mais

\frac{1}{2}

de rocambole, ou

\frac{5}{2}

de rocambole.

Respostas e comentários

Para reforçar a ideia sobre a igualdade das partes no contexto das frações, podemos, por exemplo, nos referir à medida de área. Dividir um inteiro em partes iguais significa reparti-lo em partes em que as medidas de áreas sejam iguais. Apresente aos estudantes, como exemplo, um inteiro representado pela figura a seguir.

Figura geométrica: Um trapézio cinza com os quatro lados de medidas diferentes.

Considere agora esta divisão desse inteiro.

Figura geométrica: Trapézio cinza dividido em duas partes, sendo a primeira parte um quadrado e a segunda parte um triângulo retângulo.

As partes um e dois não são congruentes, mas podem representar, cada uma delas, a metade do inteiro, se medidas das áreas forem iguais. Os estudantes ainda não aprenderam a calcular as medidas das áreas de figuras, como as do triângulo; entretanto, intuitivamente, é possível mostrar por decomposição e sobreposição que possuem a mesma medida de área, caso sejam construídos adequadamente em papel.

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Um pouco de história

Faça as atividades no caderno.

Os egípcios e as frações

Na Antiguidade, os egípcios utilizavam frações unitárias, isto é, frações obtidas tomando somente uma parte de um inteiro dividido em partes iguais. A fração

\frac{2}{3}

é a única exceção.

Observe estas representações empregadas pelos egípcios:

Esquema. Símbolo cuja parte superior é oval e a parte inferior tem duas hastes verticais paralelas.
À direita do símbolo uma seta alaranjada.
À direita da seta, a fração 1 sobre 2. Esquema. Símbolo cuja parte superior é oval e a parte inferior tem três hastes verticais paralelas. À direita do símbolo uma seta alaranjada. À direita da seta, a fração 1 sobre 3. Esquema. Símbolo cuja parte superior é oval e a parte inferior tem uma curva com a concavidade voltada para baixo. À direita do símbolo uma seta alaranjada. À direita da seta, a fração 1 sobre 10. Esquema. Símbolo cuja parte superior é oval, há uma curva com a concavidade voltada para baixo dentro da forma oval. Na continuação da curva, a uma reta abaixo da forma oval. À direita do símbolo uma seta alaranjada. À direita da seta, a fração 2 sobre 3.

Para representar o numerador 1, os egípcios utilizavam o desenho de uma boca aberta:

As frações com numeradores diferentes de 1 eram expressas como a soma de duas ou mais frações com numeradores iguais a 1. Analise o exemplo.

Esquema. À esquerda, retângulo dividido em 4 partes iguais, sendo 3 delas roxas e 1 branca. Dentro da duas primeiras partes roxas a fração um meio. Na terceira parte roxa, a fração um quarto. À direita do retângulo uma seta alaranjada. À direita da seta, a sentença matemática: fração três quartos igual a um meio mais um quarto. À direita da sentença matemática, uma seta alaranjada. À direita da seta, símbolo cuja parte superior é oval e a parte inferior tem duas hastes verticais paralelas. Ao lado do primeiro símbolo, um símbolo cuja parte superior é oval e a parte inferior tem três hastes verticais paralelas. Abaixo desses símbolos a cota 'representação de três quartos.'

Outros povos da Antiguidade utilizaram representações de frações para indicar partes de um inteiro. Os babilônicos, por exemplo, adotavam frações com denominador 60, pois essa era a base de seu sistema de numeração; já os romanos utilizavam frações com denominador 12. Essas variações são registradas em várias civilizações.

A partir do século dezesseis, surgem as frações com numeradores maiores que 1, principalmente pela influência dos hindus, com o sistema decimal, e dos árabes, que adotaram a barra para separar numerador e denominador – fórma que usamos até hoje.

BOYER, Carl; MERZBACH, Uta C. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 2012.

Atividade

Em seu caderno, escreva a fração correspondente a cada representação:

Ilustração: símbolo cuja parte superior é oval e a parte inferior tem cinco hastes verticais paralelas.

Ilustração: símbolo cuja parte superior é oval e a parte inferior tem seis hastes verticais paralelas.

Ilustração. Dois símbolos lado a lado cuja parte superior é oval e a parte inferior tem uma curva com a concavidade voltada para baixo.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Qual é a fração que representa a parte laranja de cada uma das figuras a seguir?

Figura geométrica. Retângulo dividido em 8 partes triangulares iguais, sendo 5 alaranjadas e 3 brancas. Da esquerda para a direita, a primeira, segunda, terceira, sexta e oitava partes são alaranjadas. A quarta, quinta e sétima partes são brancas.

Figura geométrica. Círculo dividido em 8 partes iguais, sendo 4 alaranjadas intercaladas com 4 brancas.

Figura geométrica: Pentágono dividido em cinco triângulos iguais. Há três triângulos pintados de laranja e dois de branco.

2. Represente por meio de figuras as frações a seguir.

\frac{3}{7}

\frac{8}{8}

\frac{2}{3}

\frac{4}{5}

3. Responda às questões a seguir.

a) Que fração do dia representa sete horas? E 12 horas?

b) Que fração da semana representa cinco dias? E sete dias?

c) Que fração do ano representa um bimestre? E um semestre?

4. Foram retiradas quatro peças de um cubo formado por diversos cubinhos iguais. Observe.

Figura geométrica. Empilhamento de cubos cinzas em três camadas. De baixo para cima, a primeira camada é formada por três fileiras de três cubos. A segunda camada é formada por duas fileiras de três cubos e uma fileira de um cubo. A terceira camada é formada por duas fileiras de três cubos e uma fileira de um cubo.

Que fração do cubo foi retirada? Que fração do cubo sobrou?

Respostas e comentários

Um pouco de história:

\frac{1}{5}

\frac{1}{6}

\frac{2}{10} ou \frac{1}{5}

Atividades:

1. a)

\frac{5}{8}

1. b)

\frac{4}{8}

1. c)

\frac{3}{5}

2. As representações gráficas indicadas são exemplos de respostas.

2. Exemplo de respostas em Orientações.

3. a)

\frac{7}{24}; \frac{12}{24}

3. b)

\frac{5}{7}; \frac{7}{7}

3. c)

\frac{2}{12}; \frac{6}{12}

\frac{4}{27}; \frac{23}{27}

Sugestão de leitura

Para enriquecer o boxe Um pouco de história, sugerimos a leitura do texto Formação do professor dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental no movimento de organização do ensino de frações: uma contribuição da atividade orientadora de ensino, dissertação de mestrado de Patrícia Perlin.

Sugestão de trabalho interdisciplinar

Compartilhe com os estudantes o texto indicado na sugestão de leitura e proponha, com o professor de História, a criação de um painel com desenhos e informações que abordem características culturais e geográficas do local e da época mencionados no texto. Esse trabalho favorece o desenvolvimento da competência geral 4 da Bê êne cê cê.

• Amplie a proposta da atividade 1 pedindo aos estudantes que representem na fórma de fração a parte que não está destacada com laranja em cada figura.

• Amplie a proposta da atividade 3 pedindo aos estudantes que elaborem questões inspiradas naquelas dos itens a e c. Alguns exemplos de questões são: “Que fração da hora corresponde 1 minuto?”; “Que fração do minuto corresponde 1 segundo?”; “Que fração do ano corresponde um trimestre?”.

(r e s p o s t a s : \frac{1}{60}; \frac{1}{60}; \frac{1}{4})

• Exemplo de resposta do item a da atividade 2:

Figura geométrica. Retângulo dividido em 7 partes iguais. Da esquerda para a direita, as 3 primeiras partes são roxas e as demais são brancas.

• Exemplo de resposta do item b da atividade 2:

Figura geométrica. Círculo dividido em 8 partes iguais azuis.

• Exemplo de resposta do item c da atividade 2:

Figura geométrica. Retângulo dividido em 3 partes iguais. Da esquerda para a direita, as 2 primeiras partes são verdes e terceira branca.

• Exemplo de resposta do item d da atividade 2:

Figura geométrica. Retângulo dividido em 5 partes iguais. Da esquerda para a direita, as 4 primeiras partes são alaranjadas e a última é branca.

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Leitura de frações

Na leitura de uma fração, lemos inicialmente o numerador e, em seguida, o denominador, que recebe nomes especiais. Observe:

Frações com denominador de 2 a 9

Denominador	2	3	4	5	6	7	8	9
Leitura	meio	terço	quarto	quinto	sexto	sétimo	oitavo	nono

Observe os exemplos.

\frac{2}{3}

Lemos: “dois terços”.

\frac{1}{6}

Lemos: “um sexto”.

\frac{3}{2}

Lemos: “três meios”.

Frações cujo denominador é uma potência de base 10

Denominador	10	100	1.000	10.000	...
Leitura	décimo	centésimo	milésimo	décimo de milésimo	...

Observe os exemplos.

\frac{7}{10}

Lemos: “sete décimos”.

\frac{14}{1000}

Lemos: “quatorze milésimos”.

As frações cujos denominadores são potências de base 10 são chamadas frações decimais.

Frações com outros denominadores

Lemos o numerador e, depois, o denominador seguido da palavra “avos”.

Observe os exemplos.

\frac{13}{30}

Lemos: “treze trinta avos”.

\frac{9}{200}

Lemos: “nove duzentos avos”.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

5. Escreva como se leem as frações a seguir.

\frac{3}{7}

\frac{1}{6}

\frac{9}{2}

\frac{5}{9}

\frac{19}{10 000}

\frac{3}{17}

\frac{5}{100}

\frac{7}{600}

\frac{15}{1 000}

Escreva por extenso três frações com denominadores de 2 a 9, três frações com denominadores que são potência de base 10 e três frações com denominadores diferentes dos casos anteriores. Em seguida, troque as frações que você escreveu com as de um colega para que cada um reescreva, com algarismos, as frações do outro.

Respostas e comentários

5. a) três sétimos

5. b) um sexto

5. c) nove meios

5. d) cinco nonos

5. e) dezenove décimos de milésimos

5. f ) três dezessete avos

5. g) cinco centésimos

5. h) sete seiscentos avos

5. i ) quinze milésimos

6. Respostas pessoais.

Leitura de frações

A terminação “avos” aparece quando o denominador de uma fração é maior do que dez, como em

\frac{1}{12}

(que se lê “um doze avos”). O termo tem origem em octavus (em latim, “oitavo”), que passou a ser escrito “oitavos” (aí sim para representar uma fração). Desde então, a terminação “avo” chegou ao uso atual.

• A atividade 6 explora a conversão entre dois diferentes registros de representação para os números fracionários. É importante que se procure, sempre que possível, trabalhar com esse tipo de situação. A questão das representações é fundamental em Matemática, uma vez que seu objeto de estudo, por ser abstrato, só pode ser acessado por meio de diversas representações. No caso específico dessa atividade, é trabalhada a conversão do registro da língua materna para o numérico.

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2 Número misto

Acompanhe a situação a seguir.

Jairo ganhou da amiga duas barras de chocolate meio amargo. Cada barra é dividida em quatro partes iguais.

Esquema: Ilustração de um homem branco de cabelo castanho e jaleco branco com o balão de fala: 'Assim que ganhei as barras de chocolate, comi sete dessas partes. Que fração corresponde à parte que comi?' Ao lado, a fotografia de duas barras de chocolate com quatro pedaços iguais cada.

Nessa situação, uma barra de chocolate representa um inteiro. A fração correspondente à parte que Jairo comeu é

\frac{7}{4},

ou seja, uma barra inteira mais

\frac{3}{4}

da outra barra.

Observe o esquema que representa a situação.

Esquema: No lado esquerdo dois retângulos divididos em 4 partes iguais. À direita, símbolo de chave vermelha. À direita da chave, sete quartos igual a um mais três quartos ou, simplesmente um inteiro e três quartos. Na parte superior do lado esquerdo, o retângulo dividido em quatro partes iguais está pintado de verde. Dentro de cada parte a fração um quarto. Abaixo do primeiro retângulo, há a seguinte indicação: a fração quatro quartos representa um inteiro. Abaixo dessa indicação, ainda do lado esquerdo, um retângulo dividido em quatro partes iguais. Há três partes verdes pintadas da esquerda para direita, a última parte é branca. Dentro de cada parte a fração um quarto. Abaixo das três partes pintadas de verde, há um símbolo de chave vermelho. Abaixo da chave, a fração três quartos.

A representação

1 \frac{3}{4}

é composta de uma parte inteira e de uma parte fracionária e, por isso, é denominada número misto.

Esquema: representação do número misto um inteiro e três quartos. Abaixo do um uma seta alaranjada e a indicação parte inteira. Abaixo do três quartos uma seta alaranjada e a indicação de parte fracionária.

Lemos a fração

1 \frac{3}{4}

como “um inteiro e três quartos”.

Respostas e comentários

Número misto

Objetivo:

Compreender a ideia de número misto.

Justificativa

Permite que os estudantes percebam diferentes possibilidades de representação de um número, o que justifica a pertinência desse objetivo.

Mapeando conhecimentos

Peça aos estudantes que analisem a representação da fração

\frac{3}{2}

que você fará na lousa.

Esquema: Dois retângulos divididos ao meio. No primeiro retângulo, as duas partes estão pintadas de amarelo. Acima de cada uma dessas partes a fração um meio. Ao lado esquerdo primeiro retângulo a escrita um inteiro. No retângulo abaixo, apenas a primeira parte foi pintada de amarelo. Ao lado esquerdo dessa parte a fração um meio. À direita dos dois retângulos, um símbolo de chave vermelha. À direita da chave, a fração três meios.

Depois, proponha os seguintes questionamentos:

• Quantas partes foram utilizadas para representar

\frac{3}{2}

•

\frac{3}{2}

é maior ou menor que um inteiro?

• Quantos meios há em 1 inteiro?

• De que outra maneira podemos representar a fração

\frac{3}{2}

Para as aulas iniciais

Retome o conceito de número misto da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e peça aos estudantes que façam as atividades 37 e 38. Permita que trabalhem em duplas para que possam compartilhar suas ideias.

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Considere outro exemplo.

Esquema. Figuras que juntas representam o número misto 2 inteiros e 5 sextos. Da esquerda para a direita, a primeira figura é um hexágono dividido em 6 partes triangulares iguais e azuis. Abaixo da figura, há a seguinte indicação: 6 sextos representa 1 inteiro. A segunda figura também é um hexágono dividido em 6 partes triangulares iguais e azuis. Abaixo da figura, há a seguinte indicação: 6 sextos representa 1 inteiro. A terceira figura também é um hexágono dividido em 6 partes triangulares iguais, sendo 5 azuis e uma branca, Abaixo da figura, a fração 5 sextos.

A parte colorida em azul póde ser representada por

\frac{17}{6}

2 \frac{5}{6}

(lemos: “dois inteiros e cinco sextos”).

Ilustração: Homem branco de cabelo castanho e jaleco branco diz: 'Note que cada inteiro foi dividido em seis partes iguais. Dois inteiros têm, abre parênteses, dois multiplicado por seis, fecha parênteses, partes, abre parênteses, doze, fecha parênteses, que, adicionadas às outras cinco, resultam em dezessete partes. O numerado dezessete pode ser obtido fazendo-se: abre parênteses, dois multiplicado por seis, fecha parênteses, mais cinco que é igual a doze mais cinco que é igual a dezessete.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

7. Escreva no caderno o número misto que representa a parte verde das figuras a seguir.

Figuras geométricas: Da esquerda para a direita, a primeira figura é um círculo dividido em 4 partes iguais e verdes. A segunda figura também é um círculo dividido em 4 partes iguais, sendo uma verde e três brancas.

Figuras geométricas: De cima para baixo. A primeira figura é um retângulo dividido em 3 partes iguais e verdes. A segunda figura também é um retângulo dividido em 3 partes iguais e verdes. A terceira figura também é um retângulo dividido em 3 partes iguais, sendo uma verde e duas brancas.

Figuras geométricas. Da esquerda para a direita, a primeira figura é um quadrado dividido em 9 partes iguais e verdes. A segunda figura também é um quadrado dividido em 9 partes iguais e verdes. A terceira figura também é um quadrado dividido em 9 partes iguais, sendo 3 verdes e 6 brancas.

8. Represente no caderno cada fração por meio de figuras e escreva o número misto correspondente.

\frac{7}{2}

\frac{8}{5}

\frac{13}{4}

9. Patrícia é engenheira civil e responsável por determinar a medida da área de cada construção. Para o próximo trabalho, ela precisa definir a medida da área de três construções. Sabendo que são 5 lotes de terra e que deverão ser divididos igualmente entre as três construções, que fração representa a medida da área de cada construção?

10. Escreva, no caderno, o número de meses correspondente a:

1 \frac{3}{4}

de ano;

2 \frac{1}{6}

de ano;

5 \frac{1}{2}

de ano.

11. Quantas horas equivalem a:

1 \frac{1}{2}

dia?

1 \frac{1}{4}

dia?

Respostas e comentários

7. a)

1 \frac{1}{4}

7. b)

2 \frac{1}{3}

7. c)

2 \frac{3}{9}

8. Exemplos de representações:

8. a)

Figuras geométricas. Da esquerda para a direita, a primeira figura é um círculo dividido em 2 partes iguais e rosas. A segunda figura também é um círculo dividido em 2 partes iguais e rosas. A terceira figura também é um círculo dividido em 2 partes iguais e rosas. A quarta figura também é um círculo dividido em 2 partes iguais. Uma das partes está pintada de rosa e a outra de branco.

; 3 \frac{1}{2}

8. b)

Figuras geométricas. Da esquerda para a direita, a primeira figura é um círculo dividido em 5 partes iguais e rosas. A segunda figura também é um círculo dividido em 5 partes iguais, sendo três partes rosa e duas partes brancas.

; 1 \frac{3}{5}

8. c)

Figuras geométricas. Da esquerda para a direita, a primeira figura é um quadrado dividido em 4 partes iguais e rosas. A segunda figura também é um quadrado dividido em 4 partes iguais e rosas. A terceira figura também é um quadrado dividido em 4 partes iguais e rosas. A quarta figura também é um quadrado dividido em 4 partes iguais, sendo uma rosa e três brancas.

; 3 \frac{1}{4}

1 \frac{2}{3}

10. a) 21 meses

10. b) 26 meses

10. c) 66 meses

11. a) 36 horas

11. b) 30 horas

Sugestão de atividade extra

Para ilustrar a ideia de número misto, providencie um pedaço de barbante com pelo menos 5 metros de medida de comprimento. Com os estudantes, meça um côvado (medida da distância do cotovelo até a ponta do dedo médio, com o braço esticado) e faça nós no barbante distando 1 côvado um do outro, por toda a extensão do fio, obtendo um instrumento de medida de comprimento. Peça ajuda de algum estudante e, juntos, meçam alguns objetos ou paredes da sala. A ideia é que se obtenham medidas de comprimento que possam ser representadas por frações e, mais especificamente, números mistos, anotando-os no quadro. Explique que os valores são aproximações de medidas obtidas em côvado.

• Se os estudantes tiverem dúvidas na atividade 9, comente que devem interpretar a fração como o resultado de uma divisão, escrevendo também o número misto correspondente.

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3 Frações equivalentes

Observe a fração que corresponde à parte pintada de lilás de cada uma das figuras.

Esquema: Da esquerda para a direita, a primeira figura é um quadrado dividido em 3 partes iguais, sendo uma branca e duas lilás. Do lado direito da parte pintada da figura, a indicação da fração dois terços. A segunda figura é um quadrado dividido em 6 partes iguais, sendo duas brancas e quatro lilás. Do lado direito da parte pintada da figura, a indicação da fração quatro sextos. A terceira figura é um quadrado dividido em 9 partes iguais, sendo 3 brancas e 6 lilás. Do lado direito da parte pintada da figura, a indicação da fração seis nonos. A quarta figura é um quadrado dividido em 12 partes iguais, sendo 4 brancas e 8 lilás. Do lado direito da parte pintada da figura, a indicação da fração oito doze avos. A duas retas paralelas e pontilhadas sobre as linhas de divisão entre as partes lilás e brancas das figuras.

As frações

\frac{2}{3}, \frac{4}{6}, \frac{6}{9} e \frac{8}{12}

representam a mesma parte do todo.

Por esse motivo, dizemos que essas frações são equivalentes, ou seja,

\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} .

Frações que representam a mesma parte de um inteiro são chamadas de frações equivalentes.

Propriedade das frações equivalentes

Multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador de uma fração qualquer por um mesmo número natural diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração inicial.

Vamos multiplicar e dividir, por exemplo, o numerador e o denominador da fração

\frac{6}{8}

por 2.

Esquema: Do lado esquerdo acima a sentença matemática seis oitavos igual a seis oitavos multiplicado por dois sobre dois igual a doze dezesseis avos. Do lado esquerdo abaixo a sentença matemática seis oitavos igual a seis oitavos dividido por dois sobre dois igual a três quartos. À direita das sentenças uma chave alaranjada. À direita da chave seis oitavos igual a doze dezesseis avos igual a três quartos.

Ilustração: uma menina branca de cabelo ruivo e macacão azul e um menino branco de cabelos castanhos, calça azul e camiseta amarelo estão conversando. O menino tem um lápis na mão direita e segura parte de um caderno com a mão esquerda. Perto de sua perna esquerda, no chão, está um cachorro. A menina segura a outra parte do caderno com a mão direita. A menina diz: 'Isso mesmo, Rafa! Um terço e um quinto são frações equivalentes, pois: um quinto é igual a numerador 1 multiplicado por três e o denominador cinco multiplicado por três, que é igual a três quinze avos.

As figuras a seguir representam frações equivalentes.

Esquema: da esquerda para a direita, a primeira figura é um círculo dividido em 8 partes iguais, sendo duas brancas e 6 alaranjadas. Abaixo da figura a indicação da fração seis oitavos. A segunda figura é um círculo dividido em 16 partes iguais, sendo 4 brancas e 12 alaranjadas. Abaixo da figura a indicação da fração doze dezesseis avos. A terceira figura é um círculo dividido em 4 partes iguais sendo uma branca e 3 alaranjadas. Abaixo da figura a indicação da fração três quartos.

Podemos indicar:

\frac{6}{8} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}

Respostas e comentários

Frações equivalentes

BNCC:

• Competência geral 2 (a descrição está na página seis).

• Competências específicas 4 e 6 (as descrições estão na página sete).

• Habilidades ê éfe zero seis ême ah zero sete, ê éfe zero seis ême ah um zero e EF06MA13.

Objetivos:

• Reconhecer e determinar frações equivalentes.

• Compreender a relação entre frações e porcentagem.

Tema contemporâneo transversal:

Justificativa

As frações equivalentes serão amplamente utilizadas ao trabalharmos as operações com frações de denominadores diferentes, principalmente a adição e a subtração. Dessa fórma, reconhecer e determinar frações equivalentes contribui para o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero seis ême ah zero sete e ê éfe zero seis ême ah um zero.

A habilidade ê éfe zero seis ême ah um três envolve associar inicialmente 10%, 25%, 50%, 75% e 100%, respectivamente, à décima parte, quarta parte, metade, três quartos e um inteiro, para calcular porcentagens. Esses cálculos podem ser feitos por meio da ideia de equivalência, que permitirá compreender que 10% é o mesmo que

\frac{10}{100}

\frac{1}{10}

, que 25% é o mesmo que

\frac{25}{100}

e assim por diante. Isso justifica a importância de compreender a relação entre frações e porcentagem.

Mapeando conhecimentos

Providencie modelos de círculos feitos em papel para todos os estudantes e solicite que os dobrem em duas partes iguais. Depois, peça-lhes que os dobrem ao meio mais uma vez, e outra vez ainda. Na sequência, proponha os seguintes questionamentos: “Em quantas partes ficou dividido o círculo de papel? Essas partes são iguais? Que fração do círculo de papel cada uma delas representa?”. Organize a classe em grupos e peça a eles que, usando os diversos modelos de círculos dobrados, pintem as seguintes frações:

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{2}{8}

\frac{2}{4}

\frac{4}{8}

\frac{6}{8}

\frac{3}{4}

\frac{2}{2}

\frac{4}{4}

, e

\frac{8}{8}

. Incentive-os a identificar aquelas que representam a mesma parte de um inteiro. Verifique se alguns deles se recordam do conceito de frações equivalentes.

Para as aulas iniciais

Retome o conceito de frações equivalentes da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e explore as atividades 39 e 40 com a turma. Caso seja necessário, relembre o que significa simplificar uma fração e o conceito de fração irredutível.

Propriedades das frações equivalentes

Ao observar as frações equivalentes nas figuras do livro, proponha aos estudantes uma exploração sobre como a multiplicação por 2 está representada nas figuras. Chame a atenção para o fato de que, na figura usada para representar a fração

\frac{12}{16}

, há duas vezes a quantidade de partes da figura usada para representar a fração

\frac{6}{8} .

(ê éfe zero seis ême ah zero sete) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

(ê éfe zero seis ême ah um zero) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

(ê éfe zero seis ême ah um três) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

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Frações e porcentagem

Economizar água é um hábito necessário. Atualmente, a falta de água é uma das grandes preocupações da humanidade. Se não modificarmos nossos hábitos, a escassez de água para consumo vai nos afetar seriamente.

Ilustração: Menino negro de cabelo enrolado, blusa roxa com listras azuis e calça cinza. Ele lava o rosto em um banheiro com a torneira fechada. — Ao lavar o rosto em 1 minuto com a torneira meio aberta, uma pessoa gasta 2,5 litros de água. A dica é não demorar!

Ilustração: Ilustração: Menina negra de cabelo preto cacheado, com camiseta amarela. Está no banheiro e segura na mão direita uma pasta de dente e na mão esquerda uma escova de dente. Ao seu lado uma toalha de rosto pendurada. A torneira da pia está fechada. — Se uma pessoa escova os dentes em 5 minutos com a torneira não muito aberta, gasta 12 litros de água. No entanto, se molhar a escova e fechar a torneira enquanto escova os dentes e, ainda, enxaguar a boca com um copo de água, consegue economizar mais de 11,5 litros de água.

Ilustração: Vaso sanitário de caixa acoplada com olhos na parte de cima. A tampa está semiaberta. — O vaso sanitário não deve ser usado como lixeira e nunca deve ser utilizado à toa, pois gasta muita água. Deve-se também evitar jogar papel higiênico no vaso sanitário, tanto para gastar menos água quanto para evitar entupimentos. Um vaso sanitário com válvula e tempo de acionamento de 6 segundos gasta cêrca de 12 litros.

Em uma pesquisa sobre consumo de água residencial, verificou-se que, de cada 100 litros gastos por dia, 50 litros são utilizados na higiene pessoal.

A relação de 50 litros em cada 100 litros póde ser representada por uma fração com denominador 100, ou seja,

\frac{50}{100} .

Podemos também representar a fração

\frac{50}{100}

na fórma de porcentagem, utilizando o símbolo porcentagem: 50% (lemos: “cinquenta por cento”).

Outros exemplos:

a) 15% significa que consideramos 15 partes de um total de 100 partes iguais.

Lemos: “quinze por cento”.

b) 98% significa que consideramos 98 partes de um total de 100 partes iguais.

Lemos: “noventa e oito por cento”.

Podemos escrever algumas frações na fórma de porcentagem. Acompanhe a situação a seguir.

Andressa é dona de uma imobiliária. Neste mês, há 25 casas para alugar. Desse total, 9 são sobrados, ou seja,

\frac{9}{25}

dessas casas são sobrados. Qual é a porcentagem de sobrados?

Multiplicando o numerador e o denominador da fração

\frac{9}{25}

por 4, obtemos:

\frac{9}{25} = \frac{9 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{36}{100}

A fração

\frac{36}{100},

que tem denominador 100, é uma fração equivalente a

\frac{9}{25} .

Portanto, 36% das casas que estão para alugar na imobiliária de Andressa são sobrados.

Respostas e comentários

Frações e porcentagem

O tema apresentado nessa página pode ser explorado por meio de uma pesquisa. A região Sudeste do país passou por uma crise hídrica em 2014. Pode-se sugerir aos estudantes que, em grupos, façam uma pesquisa e organizem uma coletânea das notícias publicadas pela mídia, em determinado período, a respeito da crise hídrica que afetou o país e interpretem, por meio de frações, as informações apresentadas na fórma de porcentagem nessas notícias.

Esse tópico inicia o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah um três, que será desenvolvida no capítulo 8, e busca promover as competências geral 2 e específicas 4 e 6 da Bê êne cê cê.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

12. Represente graficamente as frações

\frac{4}{5}

\frac{12}{15}

, mostrando que são equivalentes.

13. Escreva no caderno uma fração equivalente a:

\frac{3}{4},

cujo numerador seja 15;

\frac{8}{48},

cujo numerador seja 2;

\frac{2}{3},

cujo denominador seja 27.

14. No caderno, substitua o

a fim de obter frações equivalentes em cada um dos itens.

\frac{2}{3} = \frac{▪}{30}

\frac{36}{40} = \frac{▪}{20}

\frac{20}{25} = \frac{4}{▪}

\frac{7}{9} = \frac{35}{▪}

\frac{▪}{5} = \frac{9}{45}

\frac{3}{▪} = \frac{75}{100}

15. Determine uma fração equivalente a:

\frac{7}{6},

de denominador 48;

\frac{3}{5},

cujo numerador seja 18.

16. Determine a fração equivalente a

\frac{5}{7}

cuja soma do numerador com o denominador é 60.

17. O indicador do nível de bateria de um smartphone marca 75% da carga total. Que fração corresponde a essa porcentagem de carga?

Ilustração. Celular sobre um suporte carregando. Na tela do celular tem um desenho da bateria e a informação de setenta e cinco porcento.

18. Carla tem duas laranjas para dividir com 2 amigos. Uma das laranjas está dividida ao meio e a outra, em três partes. Como Carla póde dividir as laranjas para que ela e os amigos recebam a mesma quantidade de pedaços?

Simplificação de frações

Considere a fração

\frac{10}{20} .

Se dividirmos o numerador e o denominador por 2, determinamos a fração

\frac{5}{10},

equivalente a

\frac{10}{20} .

Obtivemos uma fração equivalente com numerador e denominador menores.

Esquema: fração dez sobre vinte avos igual fração cinco décimos. Acima da fração dez sobre vinte avos uma seta alaranjada que chega a fração cinco décimos. No meio dessa seta a indicação divisão por 2. Abaixo da fração dez sobre vinte avos uma seta alaranjada que chega a fração cinco décimos. No meio dessa seta a indicação divisão por 2.

Quando dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural, diferente de 1, estamos simplificando a fração.

Simplificar uma fração significa obter uma fração equivalente com o numerador e o denominador menores que os da primeira fração.

Observe que a fração

\frac{5}{10}

ainda póde ser simplificada:

Esquema: fração cinco décimos igual a um meio. Acima da fração cinco décimos uma seta alaranjada que chega a fração um meio. No meio dessa seta a indicação divisão por 5. Abaixo da fração cinco décimos uma seta alaranjada que chega a fração um meio. No meio dessa seta a indicação divisão por 5.

Porém, a fração

\frac{1}{2}

já não póde ser simplificada, pois não existe um número natural (diferente de 1) que seja divisor de 1 e 2 ao mesmo tempo. Dizemos que

\frac{1}{2}

é uma fração irredutível.

O mesmo acontece com as frações

\frac{5}{6}

\frac{8}{9}

\frac{5}{12}

, que são exemplos de frações irredutíveis.

Respostas e comentários

12. Exemplo de representação:

Esquema: um retângulo dividido em cinco partes iguais, sendo 4 partes rosas e uma branca. À direita a fração quatro quintos. Após as 4 partes rosas um traço pontilhado. Abaixo do traço, um retângulo dividido em 15 partes iguais, sendo 12 partes rosas e 3 brancas. Ao lado a fração doze quinze avos.

13. a)

\frac{15}{20}

13. b)

\frac{2}{12}

13. c)

\frac{18}{27}

14. a)

\frac{2}{3} = \frac{20}{30}

14. b)

\frac{36}{40} = \frac{18}{20}

14. c)

\frac{20}{25} = \frac{4}{5}

14. d)

\frac{7}{9} = \frac{35}{45}

14. e)

\frac{1}{5} = \frac{9}{45}

14. f )

\frac{3}{4} = \frac{75}{100}

15. a)

\frac{56}{48}

15. b)

\frac{18}{30}

16.

\frac{25}{35}

17. Exemplo de resposta:

\frac{75}{100}

18. Resposta pessoal.

• Uma resposta possível para para a atividade 18 seria a divisão das laranjas em 6 partes iguais, distribuindo 4 partes de

\frac{1}{6}

da laranja para cada amigo. Os estudantes também podem propor que a laranja dividida em 3 partes seja distribuída dessa fórma, mas a laranja dividida ao meio ainda precisa ser dividida em 6 partes, distribuindo mais 2 partes de

\frac{1}{6}

para cada amigo. Outras frações equivalentes também resolveriam o problema, mas dividir a laranja em partes menores tornaria a resolução na prática mais difícil.

Simplificação de frações

Explique aos estudantes que é possível encontrar frações equivalentes a determinada fração multiplicando ou dividindo seu numerador e seu denominador por um mesmo número, diferente de 0. Espera-se que eles percebam que, diferentemente do que ocorre ao efetuar multiplicações, não há como obter infinitas frações equivalentes realizando divisões.

Chame a atenção deles para o fato de que a fração é irredutível, quando seu numerador e seu denominador não podem ser divididos por um mesmo número diferente de 1.