Parte 3
Cancelamento
O cancelamento é uma técnica utilizada para facilitar a determinação de um produto. Vamos estudar dois casos.
1º caso: quando existem fatores iguais no numerador e no denominador.
Considere alguns exemplos.
a)
b)
2º caso: quando existem múltiplos de um mesmo número no numerador e no denominador.
Analise alguns exemplos.
a)
b)
Atividades
Faça as atividades no caderno.
45. Determine os produtos, simplificando o resultado quando possível.
a)
Sentença matemática: três multiplicado por dois sétimos.b)
Sentença matemática: cinco multiplicado pelo número misto três inteiros e um quinto.c)
Sentença matemática: dois terços multiplicado por dez quartos multiplicado por nove quinze avos.d)
Sentença matemática: cinco quartos multiplicado por oito quinze avos multiplicado por um meio.e)
7 sobre 9 vezes 3 sobre 2 vezes zerof)
Sentença matemática: número misto dois inteiros e um quinto multiplicado por trinta e cinco sobre trinta e três.46. Uma loja vendeu 42 fones de ouvido. Destes,
Sentença matemática: fração dois terços.são da marca Alfa. Quantos fones de ouvido da marca Alfa foram vendidos?
47. Determine:
a) o triplo de
7 sobre 15b) o dôbro de
Sentença matemática: fração cinco oitavos.48. Um reservatório contém .2400 . Quantos litros cabem em litros
Sentença matemática: fração três quartos.desse reservatório?
49. Efetue as multiplicações utilizando o cancelamento.
a)
Sentença matemática: três quintos multiplicado por cinco sétimos.b)
Sentença matemática: um meio multiplicado por oito nonos multiplicado pelo número misto dois inteiros e um quarto.c)
Sentença matemática: trinta e seis sobre cinquenta multiplicado por trinta sobre setenta e dois multiplicado por dez sobre quarenta.d)
Sentença matemática: sete onze avos multiplicado por onze sobre vinte e oito.50. Em uma caixa há meio cento de laranjas. Se retirarmos
Sentença matemática: fração dois quintos.dessas laranjas, quantas laranjas sobrarão na caixa?
51. Joaquim quer dividir R$ 6.000,00seis mil reais entre seus três filhos desta maneira:
• o mais novo deve receber
Meiodo total;
• o do meio deve receber
fração 1 terçodo total;
• o mais velho deve receber
Sentença matemática: fração um quarto.do total.
Essa divisão é possível? Justifique sua resposta.
52.
José, Vanessa e Marcos abriram uma empresa. Cada um investiu certo valor. Em um mês, a empresa faturou R$ 33.915,00trinta e três mil novecentos e quinze reais. Na divisão dos lucros, José, Vanessa e Marcos receberam, respectivamente,
fração 1 terço,
Sentença matemática: fração dois quintos.e
Sentença matemática: fração um sétimo.do total faturado, e o restante foi usado com despesas gerais. Com o auxílio de uma calculadora, determine o valor gasto com as despesas.
Respostas e comentários
45. a)
6 sobre 745. b) 16
45. c) 1
45. d)
1 sobre 345. e) 0
45. f)
7 sobre 346. 28
47. a)
7 sobre 547. b)
5 sobre 448. 1.800 litros
49. a)
3 sobre 749. b) 1
49. c)
3 sobre 4049. d)
1 sobre 450. 30 laranjas
51. Não, pois R$ 3.000,00três mil reais + R$ 2.000,00dois mil reais + R$ 1.500,00mil quinhentos reais = R$ 6.500,00seis mil quinhentos reais, mais do que o total a ser dividido.
1 sobre 2 mais 1 sobre 3 mais 1 sobre 4 igual 13 sobre 12.
52. R$ 4.199,00quatro mil cento e noventa e nove reais
Ao trabalhar com cancelamento, convém explicar aos estudantes a relação dessa técnica com a ideia de obtenção de frações equivalentes. É importante esclarecer que não existe a obrigatoriedade de realizar esse procedimento, a menos que a resposta tenha que ser dada na fórma de fração irredutível.
Sugestão de atividades extras
Peça aos estudantes que realizem as atividades sobre frações equivalentes disponíveis em https://oeds.link/x0YzCK. Acesso em: 25 julho 2022.
Proponha algumas adições, como
Sentença matemática: um doze avos mais um doze avos,
Sentença matemática: onze doze avos mais um doze avos,
Sentença matemática: um quarto mais um sexto mais um doze avos,
Sentença matemática: cinco doze avos mais um sexto., entre outras, e peça a eles que encontrem uma barrinha de tamanho equivalente com fração irredutível. Essa atividade permite que os estudantes realizem visualmente a operação de adição com frações.
8 Divisão de frações
Divisão de um número natural por uma fração
Marília comprou duas pizzas grandes para servir aos amigos. Cada pizza é dividida em 8 pedaços iguais. Marília e seus amigos comeram um pedaço de pizza cada um. Quantas pessoas comeram pizza?
Para resolver esse problema, inicialmente, dividimos cada pizza em 8 partes iguais.
Cada uma dessas partes corresponde a
Sentença matemática: fração um oitavo.de uma pizza.
Observando a ilustração, percebemos que
Sentença matemática: fração um oitavo.de uma pizza cabe 16 vezes em duas pizzas:
cabe 16 vezes em 2, ou seja,
Sentença matemática: dois dividido por um oitavo igual dezesseis.Portanto, 16 pessoas comeram pizza.
Observe que:
Dividir por
Sentença matemática: fração um oitavo.é o mesmo que multiplicar por
Sentença matemática: fração oito sobre um., que é a fração inversa de
Sentença matemática: fração um oitavo..
Divisão de uma fração por um número natural
Qual é a metade de
Sentença matemática: fração um terço.Para responder a essa pergunta, observe o esquema a seguir.
Respostas e comentários
Divisão de frações
BNCC:
Habilidade ê éfe zero seis ême ah um cinco.
Objetivo:
Realizar divisões com frações.
Justificativa
Para elaborar e resolver problemas que envolvam partilha de quantidades, conforme preconiza a habilidade ê éfe zero seis ême ah um cinco, é importante que os estudantes consigam realizar divisões com frações e compreendam o significado dessas operações.
Mapeando conhecimentos
Proponha as seguintes questões para a turma: “Quantas vezes
Sentença matemática: fração um oitavo.litro cabe em 1 litro? E em
Meiolitro? E em
Sentença matemática: fração um quarto.litro?”. Dê um tempo para que discutam com os colegas e peça a alguns deles que expliquem como pensaram para responder a essas questões. Depois, peça que escrevam uma operação matemática que permita responder a cada uma das questões.
Para as aulas iniciais
Proponha aos estudantes que retomem como dividir uma fração por um número natural e realizem as atividades 49 e 50 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores. Considere propor outros questionamentos, como os da dinâmica inicial.
Divisão de um número natural por uma fração
Após explorar a situação com a turma, mostre outros exemplos de divisão de um número natural por uma fração.
Divisão de uma fração por um número natural
Antes de iniciar o estudo da divisão de uma fração por um número natural, mostre aos estudantes a imagem de um agrupamento de barras de Cuisenaire e peça a eles que considerem que a barra maior representa
Meio.. Depois, proponha as seguintes perguntas: “Se a barra laranja representa
Meio, que fração representa a barra amarela? E a barra vermelha? E a barra cinza?
Como podemos representar essas frações por meio de divisões?”. Incentive o diálogo entre os estudantes.
( ê éfe zero seis ême ah um cinco) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
Note que a metade de
Sentença matemática: fração um terço.cabe seis vezes na figura inicial. Portanto, a fração que representa a metade de
Sentença matemática: fração um terço.é
Sentença matemática: fração um sexto.. Então:
Perceba que:
Dividir por 2 é o mesmo que multiplicar por
Sentença matemática: fração um meio., que é a fração inversa de
Sentença matemática: fração dois sobre um..
Divisão de uma fração por outra fração
Qual é o quociente da divisão de
Sentença matemática: fração três quintos.por
Sentença matemática: fração um décimo.?
A operação consiste em determinar quantas vezes
Sentença matemática: fração um décimo.cabe em
Sentença matemática: fração três quintos.. Observe o esquema.
Nesse caso, apenas observando a figura, percebemos que
Sentença matemática: fração um décimo.cabe seis vezes em
Sentença matemática: fração três quintos..
Assim:
Sentença matemática: três quintos dividido por um sobre dez igual a seis.Logo, o quociente de
Sentença matemática: fração três quintos.por
Sentença matemática: fração um décimo.é 6.
Perceba que:
Dividir por
Sentença matemática: fração um décimo.é o mesmo que multiplicar por
Sentença matemática: fração dez sobre um., que é a fração inversa de
Sentença matemática: fração um décimo..
Na divisão de uma fração por outra, multiplicamos a primeira fração pela fração inversa da segunda.
Respostas e comentários
Divisão de uma fração por outra fração
Ao trabalhar com a divisão de frações, uma discussão interessante é a seguinte:
• Se
Sentença matemática: três quartos multiplicado por cinco sétimos igual a quinze sobre vinte e oito., posso concluir que
Sentença matemática: quinze sobre vinte e oito, dividido por cinco sétimos igual a quinze dividido por cinco sobre vinte e oito dividido por sete, igual a três quartos.?
Então, posso fazer
Sentença matemática: vinte nonos dividido por dez terços, igual a vinte dividido por dez sobre nove dividido por três, igual a dois terços.?
Com certeza pode.
• E se fosse
Sentença matemática: quinze sobre vinte e oito dividido por seis sétimos igual a ponto de interrogação.Como fazer de modo análogo ao apresentado?
Nesse caso, como 15 não é divisível por 6, uma saída é encontrar uma fração equivalente a
Sentença matemática: fração quinze sobre vinte e oito., com o numerador divisível por 6:
Observe outros exemplos.
a)
Sentença matemática: três quintos dividido por sete nonos igual a três quintos multiplicado por nove sétimos, igual a vinte e sete sobre trinta e cinco.b)
Sentença matemática: dois dividido por três quintos igual a dois multiplicado por cinco terços, igual a dez terços, igual a número misto três inteiros e um terço.c)
Sentença matemática: dez dezessete avos dividido por dois igual a dez dezessete avos multiplicado por um meio, igual a cinco dezessete avos.Sugestão de leitura
TEIXEIRA, Martins R. Uma aventura na mata. São Paulo: éfe tê dê, 1997. (Coleção Matemática em mil e uma histórias).
Por meio de resoluções de problemas envolvendo frações, Neco e Teco dedicam-se a preservar a natureza e a resolver as complicações dos fenômenos naturais.
Observação
Para representar a divisão de frações, podemos usar também a notação:
Atividades
Faça as atividades no caderno.
53. Efetue as divisões, simplificando o resultado quando possível.
a)
Sentença matemática: quatro dividido por um meio.b)
Sentença matemática: sessenta dividido por três oitavos.c)
Sentença matemática: dois nonos dividido por número misto um inteiro e um terço.d)
Sentença matemática: um meio dividido por quatro.e)
Sentença matemática: dez dividido por dois quintos.f)
Sentença matemática: três oitavos dividido por cinco.54. Quantos copos com medida de capacidade de
Sentença matemática: fração um quarto.de litro podemos encher com 10 garrafas de 1 litro?
55. Calcule:
a)
Sentença matemática: dois sétimos dividido por três quintos.b)
Sentença matemática: dez dividido por dois quintos.c)
Sentença matemática: três sétimos dividido por seis décimos.56. Eneias preparou um refresco misturando
Sentença matemática: fração três quartos.de litro de suco de acerola com
Sentença matemática: fração três quartos.de litro de suco de laranja,
Sentença matemática: fração três quartos.de litro de leite condensado e
Sentença matemática: fração um quarto.de litro de suco de limão.
Em seguida, serviu doses iguais do refresco em dez taças. Que fração do litro caberá, no máximo, em cada taça?
57. Um aquecedor solar residencial tem um grande reservatório de água para uso na cozinha e em cinco banheiros. Sabendo que
fração 1 terçodessa medida de capacidade é utilizado na cozinha, que fração seria disponibilizada para cada banheiro, supondo que os cinco tenham igual consumo?
Respostas e comentários
53. a) 8
53. b) 160
53. c)
Sentença matemática: fração um sexto.53. d)
Sentença matemática: fração um oitavo.53. e) 25
53. f)
Sentença matemática: fração três sobre quarenta.54. 40 copos
55. a)
Sentença matemática: fração dez sobre vinte e um.55. b) 25
55. c)
Sentença matemática: fração cinco sétimos.56.
Sentença matemática: fração um quarto.57.
Sentença matemática: fração dois quinze avos.• Ao realizarem a atividade 53, oriente os estudantes a representar as operações dos itens a, c, d, ê e f por meio de figuras. Isso poderá ajudá-los a realizar divisões com frações, sem aplicar regras de maneira mecânica.
• Faça a correção das atividades 56 e 57 coletivamente. Mostre como os problemas podem ser resolvidos com o uso de figuras.
9 Potenciação de frações
Luís e Pâmela são irmãos e gostam muito de programas de tê vê. No entanto, o pai disse que eles poderiam ficar em frente à tê vê metade
Sentença matemática: fração um meio.do tempo que gostariam, enquanto a mãe indicou que o tempo deveria ser ainda menor, para que pudessem ver seus amigos nos momentos de lazer e estudar. Ela sugeriu, então, reduzir esse tempo novamente pela metade
Sentença matemática: fração um meio.. Dessa fórma, o tempo máximo que Luís e Pâmela poderiam dedicar a seus programas de tê vê seria de
Sentença matemática: fração um meio.de
Sentença matemática: fração um meio.daquele que gostariam, ou seja:
Para elevar uma fração a determinado expoente, devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente.
Analise alguns exemplos.
a)
Sentença matemática: abre parênteses, dois quintos, fecha parênteses, elevado a quatro, igual a dois quintos multiplicado por dois quintos, multiplicado por dois quintos, multiplicado por dois quintos, multiplicado por dois quintos, igual a dois elevado a quatro sobre cinco elevado a quatro igual a dezesseis sobre seiscentos e vinte e cinco.b)
Sentença matemática: abre parênteses, número misto um inteiro e dois quintos, fecha parênteses, elevado a três, igual a abre parênteses, sete quintos, fecha parênteses, elevado a três, igual a sete elevado a três sobre cinco elevado a três, igual a trezentos e quarenta e três, sobre cento e vinte e cinco, igual a número misto dois inteiros e noventa e três sobre cento e vinte e cinco.As definições utilizadas para os números naturais também são válidas para os números na fórma de fração. Assim:
• Toda potência de expoente 1 é igual à própria base.
a)
Sentença matemática: abre parênteses, um sétimo, fecha parênteses, elevado a um é igual a fração um sétimo.b)
Sentença matemática: abre parênteses, treze quartos, fecha parênteses, elevado a um é igual a fração treze quartos.• Toda potência de expoente zero e base diferente de zero é igual a 1.
a)
Sentença matemática: abre parênteses, três quintos, fecha parênteses, elevado a zero é igual a um.b)
Sentença matemática: abre parênteses, duzentos sobre sete, fecha parênteses, elevado a zero é igual a um.Atividade
Faça a atividade no caderno.
58. Calcule o valor das potências.
a)
Sentença matemática: abre parênteses, três quintos, fecha parênteses, elevado a dois.b)
Sentença matemática: abre parênteses, um meio, fecha parênteses, elevado a quatro.c)
Sentença matemática: abre parênteses, oito terços, fecha parênteses, elevado a um.d)
Sentença matemática: abre parênteses, dois terços, fecha parênteses, elevado a três.e)
Sentença matemática: abre parênteses, número misto três inteiro e um meio, fecha parênteses, elevado a dois.f)
Sentença matemática: abre parênteses, cento e noventa e nove sobre quinhentos, fecha parênteses, elevado a zero.Respostas e comentários
58. a)
Sentença matemática: fração nove vinte e cinco avos.58. b)
Sentença matemática: fração um dezesseis avos.58. c)
Sentença matemática: fração oito terços.58. d)
Sentença matemática: fração oito vinte e sete avos.58. e)
Sentença matemática: fração quarenta e nove quartos.58. f) 1
Potenciação de frações
Objetivos:
• Realizar potenciações com frações.
• Calcular expressões numéricas com frações.
Justificativa
Realizar potenciações com frações contribui para que os estudantes percebam a extensão, para números na fórma de fração, da ideia de que toda potência de um número natural equivale a uma multiplicação de fatores iguais.
O cálculo do valor de expressões numéricas envolvendo frações visa ampliar o repertório de cálculo dos estudantes.
Mapeando conhecimentos
Escreva na lousa algumas potências cuja base é um número na fórma de fração e com expoente de número natural. Depois, pergunte aos estudantes como calcular essas potências.
Para as aulas iniciais
Confeccione alguns pares de cartões, de modo que um cartão apresente a potência de uma fração e o outro, a multiplicação de fatores iguais correspondente. Caso julgue pertinente, peça aos estudantes que auxiliem na confecção desses cartões. Depois, organize a turma em duplas ou trios e distribua esses pares de cartões para que brinquem de jôgo da memória.
Sugestão de vídeo
Esse vídeo apresenta dúvidas que os estudantes podem ter no processo de aprendizagem de frações. Além disso, explica brevemente a importância da aprendizagem dos métodos de cálculos com frações e como essa aprendizagem se relaciona aos estudos de Álgebra.
O vídeo pode ser encontrado em: https://oeds.link/Tk8lFk. Acesso em: 25 julho 2022.
Expressões numéricas
O cálculo de expressões numéricas envolvendo frações segue a mesma ordem estudada para o cálculo das expressões numéricas com números naturais:
1º) potenciações;
2º) multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;
3º) adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
Quando, nas expressões, aparecem sinais de associação, estes devem ser resolvidos na seguinte ordem: parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }.
Analise como calcular o valor de algumas expressões numéricas.
a)
b)
Sugestão de leitura
RAMOS, Luzia Faraco. Frações sem mistérios. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A descoberta da Matemática).
Enigmas, suspense e frações aguardam você nesse interessante livro.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
59. Calcule o valor das expressões numéricas a seguir
a)
Sentença matemática: cinco sextos mais um meio multiplicado por três quartos.b)
Sentença matemática: cinco menos sete quartos multiplicado por um meio.c)
Sentença matemática: dois terços multiplicado por um quinto mais dois inteiros e um quarto.d)
Sentença matemática: três quintos mais dois nonos dividido por dois terços.e)
Sentença matemática: dois sétimos multiplicado por três quintos menos um oitavo dividido por cinco sextos.f)
Sentença matemática: três quartos mais cinco nonos dividido por um sexto.60. Calcule o valor das expressões numéricas a seguir.
a)
Sentença matemática: abre parênteses, dois terços menos um oitavo multiplicado por quatro sétimos, fecha parênteses, dividido por dois sétimos multiplicado por quatro nonos.b)
Sentença matemática: vinte sobre cem dividido, abre chaves, onze quartos menos, abre colchetes, três meios mais abre parênteses, um meio mais um quarto, fecha parênteses, fecha colchetes, fecha chaves.c)
Sentença matemática: abre parênteses, um menos um meio, fecha parênteses, elevado a dois, dividido, abre colchetes, abre parênteses, um menos três quartos, fecha parênteses, elevado a dois, multiplicado por oito mais, abre parênteses, um meio, fecha parênteses, elevado a dois, fecha colchetes.Respostas e comentários
59. a)
Sentença matemática: fração vinte e nove sobre vinte e quatro.59. b)
Sentença matemática: fração trinta e três sobre oito.59. c)
Sentença matemática: fração cento e quarenta e três sobre sessenta.59. d)
Sentença matemática: fração quatorze sobre quinze.59. e)
Sentença matemática: fração três sobre cento e quarenta.59. f)
Sentença matemática: fração quarenta e nove sobre doze.60. a)
Sentença matemática: fração vinte e cinco sobre vinte e sete.60. b)
Sentença matemática: fração vinte e sete sobre cinquenta.60. c)
fração 1 terçoExpressões numéricas
Mostre para a turma como se faz o cálculo do valor de expressões numéricas envolvendo frações. Antes de exibir os exemplos, proponha aos estudantes que calculem o valor das expressões. Convide alguns deles para que resolvam as expressões na lousa, caso julgue conveniente.
Resolvendo em equipe
Faça a atividade no caderno.
( enêm) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura a seguir.
Um compasso é uma unidade musical composta de determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso é
Sentença matemática: fração um meio., poderia haver um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é
Sentença matemática: fração três quartos., poderia ser preenchido com
a) 24 fusas.
b) 3 semínimas.
c) 8 semínimas.
d) 24 colcheias e 12 semínimas.
e) 16 semínimas e 8 semicolcheias.
Interpretação e identificação dos dados |
• Identifique a definição de compasso no enunciado do problema. |
---|---|
Plano de resolução |
• Releia o enunciado da questão e calcule o valor de 8 compassos de cada um. |
Resolução |
• Junte-se a um colega. |
Verificação |
• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas. |
Apresentação |
• Depois de resolver a questão, cada aluno da dupla deve escrever um pequeno texto explicando o processo de resolução, citando as dificuldades e como as superaram. Se cometeram algum erro durante a resolução, é importante que anotem e tentem compreender por que erraram. Em seguida, o professor vai convidar algumas duplas para ler seus textos. |
Respostas e comentários
Resolvendo em equipe: alternativa d
Interpretação e identificação dos dados: primeiro item: Um compasso é uma unidade musical composta de determinada quantidade de notas musicais, em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso.
segundo item:
Um meio igual a um meio é igual a fração um quarto mais fração um quarto.;
Sentença matemática: um meio igual a um quarto mais um quarto;
Um meio igual a um meio, ponto e vírgula. Um meio igual a um oitavo mais um oitavo mais um oitavo mais um oitavo.Plano de resolução:
primeiro item:
Sentença matemática: oito multiplicado por três quartos igual a seis.segundo item:
Sentença matemática: vinte e quatro multiplicado por um trinta e dois avos igual a três quartos.terceiro item: Resposta pessoal.
Resolução: A alternativa correta é a d, pois a soma proposta resulta em 6 (valor esperado).
Resolvendo em equipe
BNCC:
• Competências gerais 1, 2, 3 e 9 (as descrições estão na página seis).
• Competências específicas 1, 2, 3 e 5 (as descrições estão na página sete).
A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os estudantes. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 1, 2, 3 e 9 e das competências específicas 1, 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução de outras atividades.
Ao abordar essa seção, proponha aos estudantes que busquem partituras na internet ou em revistas especializadas em música. Em seguida, peça que analisem as fórmulas de compasso de cada música e procurem compreender os tempos de cada nota presentes em um compasso, a fração do tempo do compasso a que corresponde cada nota e a figura que a representa. É sempre interessante explorar as relações entre a Matemática e a música.
Sugestão de vídeo
A Matemática e a música estão há muito tempo relacionadas. O vídeo sugerido conta um pouco dessa afinidade e traz relações entre as frações e alguns instrumentos.
Disponível em: https://oeds.link/skCxFj. Acesso em: 25 julho 2022.
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Faça as atividades no caderno.
A ideia de número fracionário
As frações também podem aparecer quando nos referimos à parte de uma figura ou quando comparamos o número de alguns objetos com o total de objetos de um grupo.
Em uma fração, o denominador é o número abaixo do traço e representa a quantidade de partes iguais em que o todo foi dividido. Já o número acima do traço, o numerador, indica a quantidade de partes consideradas do todo. Considere o exemplo a seguir.
Lemos: “cinco oitavos”.
1. Qual é a fração que representa a parte verde de cada uma das figuras a seguir?
a)
b)
c)
d)
2. Escreva no caderno como se lê cada uma das frações.
a)
Sentença matemática: fração quatro sobre sete.b)
Sentença matemática: fração um sobre nove.c)
Sentença matemática: fração seis sobre dez.d)
Sentença matemática: fração doze sobre cem.e)
Sentença matemática: fração quatro sobre mil.f)
Sentença matemática: fração doze sobre vinte e três.Número misto
É um número composto de uma parte inteira e uma parte fracionária.
3. Escreva no caderno o número misto que representa a parte colorida das figuras.
a)
b)
4. Transforme os números mistos em frações.
a)
Sentença matemática: número misto: um inteiro e três quartos.b)
Sentença matemática: número misto: dois inteiros e nove onze avosc)
Sentença matemática: número misto: quatro inteiros e sete nonos.d)
Sentença matemática: número misto: sete inteiros e dois sétimos.Frações equivalentes
Frações que representam a mesma parte de um inteiro são chamadas de frações equivalentes.
5. No caderno, substitua o
a fim de obter frações equivalentes em cada um dos itens.
a)
Sentença matemática. Doze sobre quinze igual vinte e quatro sobre retângulo cinza.b)
Sentença matemática. Seis sobre vinte igual a retângulo cinza sobre sessenta.c)
Sentença matemática. Vinte e cinco sobre cem igual a cinco sobre figura retângulo cinza.d)
Sentença matemática. Retângulo cinza sobre dezesseis igual trinta e cinco sobre oitenta.6. Simplifique as frações a seguir até torná-las irredutíveis.
a)
Sentença matemática: fração dez sobre vinte e cinco.b)
Sentença matemática: fração dezoito sobre cento e cinquenta.c)
Sentença matemática: fração doze sobre sessenta.d)
Sentença matemática: fração noventa e seis sobre cento e doze.Respostas e comentários
1. a)
Sentença matemática: fração um oitavo.1. b)
Sentença matemática: fração quatro nonos.1. c)
Sentença matemática: fração doze sobre trinta e seis.1. d)
Sentença matemática: fração sete doze avos.2. a) quatro sétimos
2. b) um nono
2. c) seis décimos
2. d) doze centésimos
2. e) quatro milésimos
2. f) doze vinte e três avos
3. a)
Sentença matemática: número misto um inteiro e cinco nonos.3. b)
Sentença matemática: número misto um inteiro e dois oitavos.4. a)
Sentença matemática: fração sete quartos.4. b)
Sentença matemática: fração trinta e um sobre onze.4. c)
Sentença matemática: fração quarenta e três sobre nove.4. d)
Sentença matemática: fração cinquenta e um sobre sete.5. a) 30
5. b) 18
5. c) 20
5. d) 7
6. a)
Sentença matemática: fração dois quintos.6. b)
Sentença matemática: fração trÊs vinte e cinco avos.6. c)
Sentença matemática: fração um quinto.6. d)
Sentença matemática: fração seis sétimos.Revisão dos conteúdos deste capítulo
A ideia de número fracionário
Para contextualizar a ideia de número fracionário, represente uma pizza (dividida em 8 pedaços iguais) na lousa e questione os estudantes: caso dois amigos comessem 3 pedaços cada um, qual fração da pizza teriam comido? Espera-se que eles percebam que a pizza é dividida em 8 pedaços iguais e que os colegas comeram 6 pedaços, ou seja, comeram 6 de um total de 8, o que que pode ser escrito como
Sentença matemática: fração seis oitavos..
• Após os estudantes realizarem a atividade 1, amplie a proposta e peça que representem com uma fração a parte branca de cada uma das figuras.
• Após concluírem a atividade 2, você pode escrever algumas frações por extenso na lousa e solicitar aos estudantes que representem as frações correspondentes com algarismos.
Número misto
• Caso os estudantes apresentem dificuldades para fazer a atividade 4, mostre alguns exemplos de como transformar números mistos em frações. Você pode reproduzir o exemplo a seguir na lousa:
Sentença matemática: três inteiros e um meio igual a três mais um meio igual a seis meios mais um meio igual a sete meios.
Frações equivalentes
• Na atividade 5, após os estudantes substituírem os
pelos números correspondentes, incentive-os a verificar se de fato as frações são equivalentes.
• Se achar necessário, antes que façam a atividade 6, explique que fração irredutível é aquela que não pode mais ser simplificada, ou seja, não existe um número natural (diferente de 1) que seja divisor do numerador e do denominador dessa fração ao mesmo tempo.
Comparação de frações de um mesmo inteiro
Frações com mesmo denominador
Quando duas ou mais frações têm o mesmo denominador, a maior delas é a que tem o maior numerador.
pois: 8 > 6
Frações com denominadores diferentes
Para comparar frações que têm numeradores e denominadores diferentes, devemos obter frações equivalentes às frações iniciais que tenham o mesmo denominador para, em seguida, compará-las.
pois:
dois terços é igual a oito doze avos,
um quarto igual a três doze avose
oito doze avos é maior que três doze avos7. Copie os itens no caderno substituindo cada
pelo símbolo >, < ou =.
a)
Sentença matemática: cinco onze avos, quadrado cinza sete onze avos.b)
Sentença matemática: dois sétimos, quadrado cinza quatro quintos.c)
Sentença matemática: nove meios, quadrado cinza, quinze quartos.d)
Sentença matemática: quinze sobre trinta e nove, quadrado cinza cinco treze avos.8. Determine a maior fração de cada item.
a)
Sentença matemática: fração nove sobre oito.,
Sentença matemática: fração três oitavos.e
Sentença matemática: fração sete sobre oito..
b)
Sentença matemática: fração um quinto.,
Sentença matemática: fração quatro terços.e
Fração 2 sextos.
c)
Sentença matemática: fração dois terços.,
Sentença matemática: fração um quarto.e
Sentença matemática: fração três quintos..
d)
Sentença matemática: fração quatro sobre dez.,
Sentença matemática: fração cinco sobre doze.e
Sentença matemática: fração quinze sobre vinte e cinco..
9. Escreva as frações em ordem crescente.
a)
Sentença matemática: fração um quarto.,
Sentença matemática: fração dois terços.e
Sentença matemática: fração quatro quintos..
b)
Sentença matemática: fração dois quintos.,
Sentença matemática: fração três oitavos.e
Sentença matemática: fração nove sobre quinze..
c)
Sentença matemática: fração três quartos.,
Sentença matemática: fração dois sextos.e
Sentença matemática: fração dois terços..
d)
Sentença matemática: fração quatro nonos.,
fração 1 terçoe
Sentença matemática: fração dois sétimos..
Fração de uma quantidade
Para calcular
Sentença matemática: fração um quinto.de 150, podemos fazer:
150 : 5 = 30
Logo,
Sentença matemática: fração um quinto.de 150 é igual a 30.
10. Lucas gastou
fração 1 terçodo salário para pagar as despesas do mês. Sabendo que o salário de Lucas é de R$ 4.500,00quatro mil quinhentos reais, qual foi o valor dessas despesas?
11. Maria está participando de uma corrida. Ela já percorreu
Sentença matemática: fração três quartos.do trajeto, o que corresponde a .3375 metros. Qual é a distância total a ser percorrida nessa prova?
12. Marcos e Jorge são irmãos. Eles compraram um jôgo de videogame. Marcos pagou
Sentença matemática: fração três quintos.do jôgo e Jorge pagou R$ 46,00quarenta e seis reais. Quanto custou esse jôgo?
13. Rogério, Cristiane e Patrícia compraram um pacote de amoras por R$ 12,00doze reais. Rogério pagou
fração 1 terçodo pacote, Cristiane pagou metade do valor pago por Rogério e Patrícia pagou o restante. Qual é o valor que Patrícia pagou pelas amoras?
14. Um atacadista possuía duas. seiscentas sacas de arroz. Ele vendeu
Sentença matemática: fração quatro treze avos.dessas sacas ao primeiro freguês. Do que sobrou, vendeu
fração 1 terçoao segundo freguês. Então, novamente do que sobrou, vendeu
Sentença matemática: fração três décimos.ao terceiro freguês. Quantas sacas restaram?
Adição e subtração de frações
Frações com denominadores iguais
Adicionamos (ou subtraímos) os numeradores e conservamos os denominadores.
Frações com denominadores diferentes
Determinamos frações equivalentes às iniciais, com um mesmo denominador, e depois adicionamos (ou subtraímos) os numeradores (conservando o denominador).
a)
Sentença matemática: três oitavos mais quatro oitavos igual a sete oitavos.b)
Sentença matemática: cinco sextos menos dois terços igual a cinco sextos menos quatro sextos igual a um sexto.15. Calcule o resultado das operações.
a)
Sentença matemática: quatro nonos mais nove quintos.b)
Sentença matemática: doze sobre vinte e um mais dez sobre vinte e um.c)
Sentença matemática: doze sobre quinze menos cinco sobre quinze.d)
Sentença matemática: três sétimos menos um sétimo.e)
Sentença matemática: dois inteiros e quatro quintos mais três quintos.f)
Sentença matemática. Um sexto mais cinco nonos.g)
Sentença matemática. Dois terços menos quatro sétimos.h)
Sentença matemática. Cinco oitavos menos oito quinze avos.i)
Sentença matemática. Fração 1 quarto mais 1 terço mais 1 quintoj)
Sentença matemática. Oito nonos menos sete décimos.Respostas e comentários
7. a) <
7. b) <
7. c) >
7. d) =
8. a)
Sentença matemática: fração nove oitavos.8. b)
Sentença matemática: fração quatro terços.8. c)
Sentença matemática: fração dois terços.8. d)
Sentença matemática: fração quinze sobre vinte e cinco.9. a)
Sentença matemática: frações um quarto, vírgula, dois terços e quatro quintos.9. b)
Sentença matemática: três oitavos, vírgula, dois quintos e nove quinze avos.9. c)
Sentença matemática: dois sextos, vírgula dois terços e três quartos.9. d)
Sentença matemática: dois sétimos, vírgula, um terço e quatro nonos.10. R$ 1.500,00mil quinhentos reais
11. .4500 métros
12. R$ 115,00cento e quinze reais
13. R$ 6,00seis reais
14. oitocentas e quarenta sacas
15. a)
Sentença matemática: fração cento e um sobre quarenta e cinco.15. b)
Sentença matemática: fração vinte e dois sobre vinte e um.15. c)
Sentença matemática: fração sete quinze avos.15. d)
Sentença matemática: fração dois sétimos.15. e)
Sentença matemática: fração dezessete quintos.15. f)
Sentença matemática: fração treze sobre dezoito.15. g)
Sentença matemática: fração dois vinte e um avos.15. h)
Sentença matemática: fração onze sobre cento e vinte.15. i)
Sentença matemática: fração quarenta e sete sobre sessenta.15. j)
Sentença matemática: fração dezessete sobre noventa.Comparação de frações de um mesmo inteiro
• Nas atividades 7 e 8, se os estudantes tiverem dificuldades, oriente-os a representar as frações por meio de figuras ou a simplificar as frações.
• A atividade 9 pode ser realizada de diferentes maneiras. Uma delas é obter frações equivalentes com o mesmo denominador para, depois, ordená-las. Após concluírem, solicite que compartilhem como fizeram.
Fração de uma quantidade
• Para auxiliar na execução das atividades 10, 11 e 12 que estão relacionadas com a fração de uma quantidade, deixe claro aos estudantes que podem multiplicar a quantidade pelo numerador da fração e dividir o resultado pelo seu denominador.
Adição e subtração de frações
• Na atividade 15, os estudantes vão adicionar e subtrair frações. Incentive-os a aplicar a ideia de operações inversas para conferir os resultados obtidos.
16. Um aquário está com
Sentença matemática: fração quatro quintos.de sua medida de capacidade. Acrescentando 12 litros de água, o aquário ficará completamente cheio. Qual é a medida da capacidade desse aquário?
17. Efetue as operações a seguir, simplificando quando possível.
a)
Sentença matemática: dois inteiros e um terço mais um inteiro e três quartos.b)
Sentença matemática: um meio mais um quinto menos três sextos.c)
Sentença matemática: oito menos sete meios.d)
Sentença matemática: sete meios menos um inteiro e um oitavo.Multiplicação de frações
O produto de duas frações é um número na fórma de fração que tem como numerador o produto dos numeradores e como denominador o produto dos denominadores.
18. Calcule o resultado de cada uma das multiplicações.
a)
Sentença matemática. 8 vezes 7 nonos.b)
Sentença matemática: dois quintos multiplicado por 12.c)
Sentença matemática: um quarto multiplicado por três nonos.d)
Sentença matemática: nove quinze avos multiplicado por cinco terços.e)
Sentença matemática: três oitavos multiplicado por quatro quintos.f)
Sentença matemática: cinco nonos vezes quatro décimos.19. Beto vendeu 100 números de uma rifa a familiares e colegas. Destes,
Sentença matemática: fração dois quintos.dos números foram vendidos a familiares dele. Quantos números foram vendidos a colegas de Beto?
20. Que fração do triângulo maior o triângulo menor representa?
Divisão de frações
Na divisão de uma fração por outra, multiplicamos a primeira fração pela fração inversa da segunda.
21. Calcule o resultado de cada uma das divisões.
a)
Sentença matemática: quatro nonos dividido por 3.b)
Sentença matemática: quarenta dividido por dois terços.c)
Sentença matemática: quatro sétimos dividido por um meio.d)
Sentença matemática: três quinze avos dividido por dois terços.e)
Sentença matemática: dois sétimos dividido por quatro nonos.f)
Sentença matemática. fração 9 15 avos dividido por fração 5 nonos22. Calcule no caderno.
a)
Sentença matemática: um meio dividido por três oitavos.b)
Sentença matemática: seis dividido por um quarto.23. Da quantia que recebo mensalmente, aplico
Sentença matemática: fração três sétimos.em caderneta de poupança, o que corresponde a R$ 540,00quinhentos e quarenta reais. Qual é a quantia total que recebo mensalmente?
Potenciação de frações
Para elevar uma fração a determinado expoente, devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente.
24. Calcule o valor das potências.
a)
Sentença matemática: dois terços elevado a dois.b)
Sentença matemática: quatro terços elevado a três.c)
Sentença matemática: fração um centésimo elevado a zero.d)
Sentença matemática: fração noventa e nove centésimos elevado a um.e)
Sentença matemática: abre parênteses, três inteiros e um meio, fecha parênteses, elevado a dois.f)
Sentença matemática: fração três quintos elevado a três.Expressões numéricas
O cálculo de expressões numéricas envolvendo frações segue a mesma ordem estudada para o cálculo das expressões numéricas com números naturais:
1º) potenciações;
2º) multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;
3º) adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
Quando, nas expressões, aparecem sinais de associação, estes devem ser resolvidos na seguinte ordem: parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }.
25. Calcule o valor da expressão numérica a seguir.
26. Calcule o valor das expressões a seguir.
a)
Sentença matemática: três meios ao quadrado mais, abre colchetes, três inteiros e um terço menos três inteiros e um quarto mais um meio elevado ao cubo, fecha colchetes.b)
Sentença matemática: abre colchetes, abre parênteses, dois terços dividido por um doze avos mais dois, fecha parênteses dividido por um décimo ao quadrado menos dez elevado ao cubo, fecha colchetes.Respostas e comentários
16. 60 litros
17. a)
Sentença matemática: fração quarenta e nove sobre doze.17. b)
Sentença matemática: fração um quinto.17. c)
Sentença matemática: fração nove meios.17. d)
Sentença matemática: fração dezenove oitavos.18. a)
Sentença matemática: fração cinquenta e seis nonos.18. b)
Sentença matemática: fração vinte e quatro quintos.18. c)
Sentença matemática: três sobre trinta e seis igual a um doze avos.18. d)
Sentença matemática: fração quarenta e cinco sobre quarenta e cinco igual a um.18. e)
Sentença matemática: doze sobre quarenta igual a três décimos.18. f)
Sentença matemática: vinte sobre noventa igual a dois nonos.19. 60 números
20.
Sentença matemática: um quarto multiplicado por um quarto igual a um dezesseis avos.21. a)
Sentença matemática: fração quatro vinte e sete avos.21. b) 60
21. c)
Sentença matemática: fração oito sétimos.21. d)
Sentença matemática: fração três décimos.21. e)
Sentença matemática: fração nove quatorze avos.21. f)
Sentença matemática: fração vinte e sete sobre vinte e cinco.22. a)
Sentença matemática: fração quatro terços.22. b) 24
23. R$ 1.260,00mil duzentos e sessenta reais
24. a)
Sentença matemática: fração quatro nonos.24. b)
Sentença matemática: fração sessenta e quatro sobre vinte e sete.24. c) 1
24. d)
Sentença matemática: fração noventa e nove centésimos.24. e)
Sentença matemática: fração quarenta e nove quartos.24. f)
Sentença matemática: fração vinte e sete sobre cento e vinte e cinco.25.
Sentença matemática: fração cento e trinta e um sobre vinte.26. a) 0
26. b)
Sentença matemática: fração cinquenta e nove sobre vinte e quatro.Multiplicação de frações
• Na atividade 18, você pode propor aos estudantes que efetuem algumas multiplicações com o apôio de figuras. Isso é importante para que a atividade não fique restrita à mera aplicação do procedimento de cálculo.
• Na atividade 19, espera-se que os estudantes percebam que, se
Sentença matemática: fração dois quintos.da rifa foram vendidos para familiares, então
Sentença matemática: fração três quintos.foram vendidos para colegas. Logo, para resolver o problema, devem calcular
Sentença matemática: fração três quintos.de 100, ou seja,
Sentença matemática: três quintos multiplicado por 100..
Divisão de frações
• Na atividade 21, é importante explorar o significado da divisão de frações em cada item, para evitar que os estudantes apenas façam os cálculos de maneira acrítica.
• Na atividade 22, verifique se os estudantes tiveram dificuldades para entender que no item a devem calcular
Sentença matemática: um meio dividido por três oitavos.e no item b,
Sentença matemática: seis dividido por um quarto.. Explique a notação caso seja necessário.
• Espera-se que os estudantes percebam que para resolver o problema proposto na atividade 23 devem calcular
Sentença matemática: 540 dividido por três sétimos..
Potenciação de frações
• As potências da atividade 24 podem ser calculadas mentalmente, aplicando a definição de multiplicação de fatores iguais ou elevando o numerador e o denominador ao expoente. Após realizarem os cálculos, reserve um momento para que os estudantes compartilhem como fizeram. Essa troca entre eles amplia o repertório de cálculo e favorece o desenvolvimento da competência geral 9 da Bê êne cê cê.
Expressões numéricas
• Faça a correção coletiva das atividades 25 e 26 na lousa. Apresente os cálculos passo a passo, para que os estudantes com dificuldades percebam a ordem em que as operações devem ser efetuadas.