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Capítulo 9 Figuras geométricas planas

Trocando ideias

As diferentes obras visuais indígenas são caracterizadas pelos grafismos, que são desenhos que representam figuras geométricas ou imagens de pessoas e de animais. Os grafismos estão presentes, por exemplo, na pintura corporal e no artesanato.

Fotografia. Grupo de indígenas de costas para o observador. Eles estão sem camisa, o que possibilita a visualização de grafismos coloridos presentes em pinturas corporais em suas costas. — Indígenas da etnia Maxacalí durante ritual, em Porto Seguro (Bahia). Foto de 2019.

Fotografia. Peneira de palha com formato circular posicionada sobre um chão coberto de folhas secas. Há uma faixa horizontal com grafismos adornando a peneira. — Peneira confeccionada pela tribo Sateré-Mawé, em Manaus (Amazonas).

Nos grafismos presentes nas fotos anteriores, é possível encontrar a representação de diferentes figuras geométricas planas.

▸

Quais figuras geométricas planas você consegue identificar na pintura corporal dos indígenas e na peneira?

▸

Reúna-se com três colegas e pesquisem mais sobre a arte indígena. Depois, compartilhem com a turma o que pesquisaram.

Neste capítulo, vamos estudar algumas figuras geométricas planas.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: os estudantes podem identificar, por exemplo, triângulos e quadriláteros; segundo item: resposta pessoal.

CAPÍTULO 9 – FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

Trocando ideias

BNCC:

• Competências gerais 3 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).

Objetivos:

• Levantar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre as figuras geométricas planas.

• Valorizar a cultura e a arte indígenas.

Tema contemporâneo transversal:

Os grafismos presentes na pintura corporal e na cestaria indígenas são o foco deste Trocando ideias. Inicie a aula comentando com os estudantes que a pintura corporal é utilizada em momentos especiais, como nos rituais e nas celebrações, e que cada etnia adota um tipo específico de pintura. Além disso, as tintas utilizadas são extraídas de óleos de sementes e flores.

Em relação à cestaria, convém destacar com eles que, em geral, os cestos produzidos são vendidos como itens de decoração e que antes eles eram utilizados para armazenamento e transporte. Diga também que esses cestos são confeccionados, por exemplo, com palha ou folhas de palmeira.

Se julgar oportuno, antes de tratar das figuras geométricas planas presentes nos grafismos, solicite a pesquisa do segundo item como tarefa para casa. É possível até planejar uma proposta interdisciplinar com o professor ou a professora de Arte. A ideia é que, nessa pesquisa, eles conheçam mais a cerâmica, as máscaras, a arte plumária e alguns utensílios e adereços utilizados pelos indígenas.

Ao realizar essa pesquisa e compartilhar com a turma, as competências gerais 3 e 9 e a competência específica 8 têm o seu desenvolvimento favorecido, uma vez que os estudantes poderão valorizar as manifestações artísticas e culturais dos indígenas, enquanto exercitam a empatia e o diálogo para planejar, executar e finalizar a tarefa proposta.

A primeira questão permite verificar quais figuras geométricas planas os estudantes conhecem. É importante incentivá-los a justificar suas respostas para que seja possível identificar quais características das figuras citadas eles conhecem. Convém também avaliar se sabem distinguir figuras geométricas planas e não planas.

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1 Representação de ponto, reta e plano

Observe este poliedro.

Figura geométrica. Sólido geométrico com faces retangulares e triangulares formando um prisma de base triangular. Seta apontando para um ponto vermelho indicando um vértice, seta apontando para um segmento de reta vermelho que coincide com uma das arestas do sólido geométrico indicando aresta e seta apontando para a superfície amarela do sólido geométrico indicando face.

Nele, podemos identificar vértices, arestas e faces.

Confira que, no encontro de três arestas, temos um vértice, que é um ponto.

Para nomear os pontos, usamos letras maiúsculas do alfabeto; por exemplo: A, B, C etcétera.

Figura geométrica. Três pontos coloridos espaçados igualmente na vertical. A esquerda, ponto roxo A. No centro, ponto laranja B, posicionado horizontalmente, um pouco abaixo do ponto A. A direita, ponto verde C, na mesma posição horizontal do ponto A.

O prolongamento de uma aresta do poliedro nos dá a ideia de uma reta. As retas não têm largura ou comprimento, têm apenas direção e são representadas por letras minúsculas do alfabeto; por exemplo: r, s, t etcétera.

Figura geométrica. Sólido geométrico com faces retangulares e triangulares formando um prisma de base triangular. Na base superior, coincidindo com uma aresta, está representada uma reta s. Na lateral, coincidindo com outra aresta, está representada uma reta r. A reta r e a reta s se interceptam em um dos vértices do sólido geométrico, no outro vértice em que a reta r passa, há um ponto vermelho A. Na base inferior, coincidindo com uma terceira aresta, está representada uma reta t. A reta t não intercepta a reta r.

Ao representar uma reta, desenhamos apenas parte dela; as setas em suas extremidades indicam que elas continuam nos dois sentidos.

Nesta representação, dizemos que o ponto a pertence à reta r, mas não pertence às retas s e t. Também podemos dizer que a reta r passa pelo ponto a.

Também podemos prolongar a face amarela do poliedro, dando a ideia de plano. As faces do poliedro estão contidas em planos.

Nesta representação, dizemos que o ponto a não pertence ao plano alfa (alfa), que a reta t está contida no plano alfa e que as retas r e s não estão contidas no plano alfa. Também podemos dizer que o plano alfa contém a reta t, mas que esse plano não contém as retas r e s.

Os planos são representados por letras minúsculas do alfabeto grego; por exemplo: alfa (alfa), beta (beta), γ (gama) etcétera

Figura geométrica. Duas figuras estão uma ao lado da outra. Do lado esquerdo, figura alaranjada com formato de um paralelogramo representando parte de um plano nomeado alfa. Do lado direito, figura roxa com formato de um paralelogramo representando parte de um plano nomeado beta.

O plano não tem fronteiras, ou seja, é ilimitado. Ao representar um plano, desenhamos apenas parte dele.

Respostas e comentários

Representação de ponto, reta e plano

Objetivo:

Identificar e representar ponto, reta e plano.

Justificativa

O ponto, a reta e o plano são conceitos primitivos em Geometria. Saber identificá-los e representá-los é o passo inicial para que os estudantes consigam compreender outros conceitos e figuras que serão estudados.

Mapeando conhecimentos

Proponha aos estudantes que representem um ponto, uma reta e um plano. Depois, peça que compartilhem suas representações com os demais colegas. Aproveite a oportunidade para diagnosticar os conhecimentos prévios dos estudantes acerca desses conceitos.

Para as aulas iniciais

Proponha aos estudantes que identifiquem pontos, retas e planos em figuras geométricas que conhecem. Você pode fornecer alguns modelos de figuras para que possam manipular. A ideia é que eles percebam, por exemplo, que os vértices de um polígono ou poliedro são pontos, que cada lado de um polígono ou aresta de um poliedro está contida em uma reta e que a face de um poliedro está contida em um plano.

Foi utilizado o poliedro como ponto de partida para abordar os conceitos de ponto, reta e plano, uma vez que os estudantes já viram poliedros no capítulo 3. Se julgar necessário, retome o significado da palavra poliedro: vem do grego poly, “muitas” + hedro, “faces”.

Pode ser interessante retomar os conceitos de face, aresta e vértice antes de introduzir as ideias de ponto, reta e plano.

Se julgar oportuno, apresente com mais atenção as letras gregas minúsculas, ensinando os estudantes a representá-las.

Comente com os estudantes que o ponto pode ser pensado como um elemento sem dimensão, e a reta, como infinitos pontos alinhados.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Marque no caderno dois pontos, a e B, e desenhe uma reta passando por eles. Tente traçar outra reta que também passe pelos pontos a e B. Essa segunda reta é diferente da anterior?

2. Que ideia (ponto, reta ou plano) sugere:

a) um fio esticado?

b) o piso de uma sala?

c) a ponta de uma caneta?

d) uma lousa?

e) o encontro de duas paredes?

3. Observe a figura e identifique os elementos que se parecem com pontos, retas e planos.

Ilustração. Interior de um quarto em que é possível observar o encontro de uma parede a direita com uma parede a esquerda. Uma cama com formato de paralelepípedo no centro da imagem, a parte de trás da cama está encostada na parede da direita. Do lado esquerdo da cama há uma mesa de cabeceira com gavetas e puxadores circulares. Do lado direito, na parede, há dois quadros retangulares com círculos no centro, um maior e outro menor. Na parede lateral há um painel retangular. Abaixo desse painel, há uma móvel com gavetas de puxadores circulares e um aparelho de televisão sobre ele. A esquerda desse móvel, próximo ao encontro com a parede da direita, há duas prateleiras com livros. Do lado oposto do quarto, alinhado com o aparelho de televisão, há outro móvel com formato de paralelepípedo com alguns livros enfileirados sobre ele.

4. Marque no caderno um ponto a e trace uma reta passando por ele. Você pode traçar dez retas passando por esse ponto? Quantas retas você pode traçar passando por esse ponto?

5. Copie a figura no caderno e represente:

Figura geométrica. Figura amarela com formato de paralelogramo representando parte de um plano na vertical nomeado alfa. Na horizontal outra figura amarela com formato de paralelogramo representando parte de um plano nomeado beta. Os dois planos formam um ângulo de 90 graus entre eles e tem um dos lados maiores do paralelogramo coincidindo. Ícone de modelo ao centro da ilustração.

a) uma reta r contida no plano alfa;

b) uma reta s contida no plano beta;

c) um ponto ê pertencente ao plano alfa;

d) um ponto F pertencente ao plano beta;

e) um ponto G pertencente aos planos alfa e beta.

6. Observe a representação dos pontos a, B, C e D a seguir.

Figura geométrica. Quatro representações de pontos na cor azul. A esquerda, ponto A. A direita, aproximadamente a 4 centímetros na vertical do ponto A, ponto C. A direita do ponto A, aproximadamente a 1 centímetro na vertical e, abaixo, 1 centímetro e meio na horizontal ponto B. A esquerda do ponto B, aproximadamente 4 centímetros na vertical, ponto D.

Quantas retas distintas podemos traçar de modo que cada uma passe por dois desses pontos?

Respostas e comentários

1. Não é diferente; é a mesma reta.

2. a) reta

2. b) plano

2. c) ponto

2. d) plano

2. e) reta

3. Exemplo de resposta:

Elementos que se parecem com pontos: os puxadores da mesa de cabeceira, os círculos na roupa de cama.

Elementos que se parecem com retas: o encontro das madeiras dos móveis, o encontro das paredes.

Elementos que se parecem com planos: a tela da TV, o painel do rack.

4. Sim; infinitas.

5. Exemplo de respostas:

6. 6 retas

Figura geométrica. Quatro representações de pontos. A esquerda, ponto A. A direita, aproximadamente a 4 centímetros na vertical do ponto A, ponto C. A direita do ponto A, aproximadamente a 1 centímetro na vertical e, abaixo, 1 centímetro e meio na horizontal ponto B. A esquerda do ponto B, aproximadamente 4 centímetros na vertical, ponto D. Existem 6 retas que passam por esses pontos, são elas: reta AB, reta AC, reta AD, reta BC, reta BD e reta CD.

Esse conjunto de atividades trata dos postulados da Geometria, e são trabalhados nesse momento de maneira informal; conceitos como elementos ou conjuntos são tratados sem formalização. Do mesmo modo, as relações de pertinência e inclusão que regulam, respectivamente, a posição relativa de pontos e de retas sobre planos não serão distinguidas.

Neste capítulo existem boas oportunidades para introduzir toda a notação utilizada para os elementos geométricos: ponto, reta, plano, semirreta, segmento, medida de segmento, ângulo, medida de ângulo, polígono, congruência, paralelismo, perpendicularismo.

• Na atividade 1, reforce que dois pontos distintos determinam uma única reta.

• Na atividade 4, diga aos estudantes que é sempre possível dar um zoom na figura, aumentando os espaços entre as retas construídas, e, consequentemente, inserir mais retas passando pelo ponto. E isso é possível de ser feito infinitamente.

• Na atividade 5, sugira aos estudantes que, ao reproduzirem e representarem os elementos solicitados, coloquem a identificação deles em posições práticas para a utilização das figuras: no caso das retas, em uma de suas extremidades; no caso do plano, em um de seus cantos.

Ainda nesta atividade, caso considere interessante, introduza o conceito de retas coplanares, que estão contidas no mesmo plano. Assim, podemos dizer que a reta r e o ponto ê são coplanares, assim como o ponto F e a reta s.

• Na atividade 6, chame a atenção para o fato de que a reta que passa primeiro por a e depois por B é a mesma que passa primeiro por B e depois por a. Pode-se, então, introduzir a outra notação de reta:

\overset{\leftrightarrow}{A B}

\overset{\leftrightarrow}{B A}

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2 Semirreta e segmento de reta

Semirreta

Observe a reta r contida no plano α e os pontos a, O e B, distintos, pertencentes a ela.

Figura geométrica. Uma figura azul com formato de um paralelogramo representando parte de um plano nomeado alfa. Contida nesse plano, representação de uma reta vermelha r e, nessa reta, há três pontos vermelhos representados. A esquerda, ponto A, um pouco mais a direita, ponto O e, aproximadamente duas vezes a distância do ponto A ao ponto O, ponto B.

O ponto O determina duas semirretas em r:

Figura geométrica. Representação de duas semirretas vermelha. Parte de uma reta limitada à direita por um ponto O, passando pelo ponto A à esquerda e, parte de uma reta limitada à esquerda por um ponto O, passando pelo ponto B à direita.

O ponto O é chamado de origem das semirretas. A semirreta de origem em O que passa pelo ponto a e a semirreta de origem em O que passa pelo ponto B podem ser representadas, respectivamente, por

\vec{O A}

\vec{O B}

Segmento de reta

Observe agora a reta r contida no plano α e os pontos a e B, distintos, pertencentes a ela. A parte da reta compreendida entre esses dois pontos, incluindo‑os, é denominada segmento de reta.

Figura geométrica. Uma figura roxa com formato de um paralelogramo representando parte de um plano nomeado alfa. Contida nesse plano, representação de uma reta verde r e, nessa reta, há dois pontos verdes representados. A esquerda, ponto A, a direita, aproximadamente 1 centímetro e meio do ponto A, ponto B.

O segmento de reta limitado por a e B pode ser representado por

\overline{A B}

\overline{B A}

Ilustração. Representação de um segmento de reta verde. Parte de uma reta limitada à esquerda por um ponto verde A e a direita por um ponto B.

a e B são chamadas de extremidades desse segmento de reta.

Medida do comprimento de um segmento de reta

Considere os segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{C D}

. Usaremos o segmento de reta

\overline{C D}

como unidade de medida de comprimento.

Figura geométrica. Representação de dois segmentos de reta. O segmento de reta roxo é limitado pelo ponto A à esquerda e pelo ponto B à direita. À direita deste segmento está o segmento de reta laranja que é limitado pelo ponto C à esquerda e pelo ponto D à direita.

Respostas e comentários

Semirreta e segmento de reta

Objetivos:

• Identificar a semirreta e o segmento de reta.

• Reconhecer segmentos congruentes.

Justificativa

As semirretas formam os lados dos ângulos e os segmentos de reta formam, por exemplo, os lados de um polígono ou as arestas de um poliedro. Nesse contexto, identificar esses entes geométricos vai possibilitar uma melhor compreensão desses conceitos e figuras.

Para identificar polígonos congruentes nos anos seguintes do Ensino Fundamental, os estudantes precisam ter desenvolvido a capacidade de reconhecer segmentos de reta congruentes, o que justifica a pertinência desse objetivo.

Mapeando conhecimentos

Questione os estudantes sobre o que entendem por semirreta e segmento de reta. Peça a alguns deles que representem semirretas e segmentos de reta na lousa.

Para explorar a ideia de segmentos congruentes, distribua entre os estudantes uma folha com diferentes representações de segmentos de reta e peça que identifiquem, utilizando estratégias pessoais, os segmentos congruentes.

Para as aulas iniciais

Os conceitos de segmento de reta, reta e semirreta são revisitados na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores. Peça aos estudantes que leiam essa revisão e façam as atividades 65, 66 e 67.

É apresentado o conceito de segmento de reta após o conceito de semirreta. No entanto, você pode inverter, apresentando o conceito de segmento de reta primeiro e, depois, mostrando que a semirreta pode ser obtida prolongando-se o segmento de reta em apenas um sentido.

Semirreta

Apresente vários exemplos de semirretas na lousa e peça aos estudantes que as nomeiem. Depois, faça o inverso: apresente o nome de algumas semirretas e solicite aos estudantes que as representem no caderno. Por fim, incentive-os a compartilhar as representações feitas.

Segmento de reta

Reforce que a mudança das letras na notação de semirreta difere uma semirreta de outra, ou seja,

\vec{A B} \neq \vec{B A}

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Com o auxílio de um compasso, podemos verificar quantas vezes a medida relativa ao comprimento do segmento de reta

\overline{C D}

“cabe” no segmento de reta

\overline{A B}

Esquema. À esquerda, segmento de reta laranja com extremidades nos pontos C e D. Abaixo, as extremidades do segmento estão sendo indicadas com linhas pontilhadas e uma reta entre essas linhas indica a medida de comprimento do segmento de reta que corresponde a 1 unidade de medida. Apoiado nas extremidades deste segmento de reta está a grafite e a ponta seca de um compasso segurado pela mão de uma pessoa. À direita, segmento de reta roxo com extremidades nos pontos A e B. Esse segmento de reta está dividido em 5 segmentos de mesma medida. Abaixo, lado a lado, cada um dos 5 segmentos tem linhas pontilhadas em suas extremidades e uma reta entre essas linhas indica a medida de comprimento de cada segmento de reta que corresponde a 1 unidade de medida. Apoiado nas extremidades do segmento de reta mais a direta, que tem o ponto B como uma das extremidades, está a grafite e a ponta seca de um compasso segurado pela mão de uma pessoa.

Assim, concluímos que a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{A B}

é igual a cinco unidades de medida e indicamos por medida de

(\overline{A B})

= 5 unidades ou A bê = 5 unidades.

Medir o comprimento de um segmento de reta significa compará-lo com a medida de comprimento de outro segmento de reta, utilizando-o como unidade de medida.

Segmentos de reta congruentes

Consideremos os segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{C D}

e o segmento

Figura geométrica. Segmento de reta roxo que tem como extremidades um tracinho. Abaixo do segmento de reta o número 1 acompanhado de um espaço e da letra u minúscula indicando que o segmento de reta corresponde a uma unidade de medida.

, tomado como unidade de medida de comprimento.

Figura geométrica. À esquerda, segmento de reta vermelho com extremidades nos pontos A e B dividido em 4 partes de mesma medida de comprimento. Abaixo de cada parte há o número um acompanhado de um espaço e da letra u minúscula. O segmento de reta está levemente inclinado, o lado com extremidade no ponto A à esquerda está acima do ponto B à direita. À direita, segmento de reta amarelo com extremidades nos pontos C e D dividido em 4 partes de mesma medida de comprimento. Abaixo de cada parte há o número um acompanhado de um espaço e da letra u minúscula. O segmento de reta está levemente inclinado, o lado com extremidade no ponto C à esquerda está abaixo do ponto D à direita.

Observe que os segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{C D}

têm medidas de comprimento iguais a 4 unidades; por isso, são chamados de segmentos de reta congruentes. Indicamos

\overline{A B} ≅ \overline{C D}

Dois segmentos de reta são congruentes quando têm medidas de comprimento iguais.

Respostas e comentários

Comente com os estudantes que podemos comparar um segmento com outro recorrendo não só aos números naturais, mas também aos números decimais e fracionários.

Explique que o símbolo ≅ indica congruência.

Diga que u é uma unidade de medida linear, uma vez que posteriormente será possível medir com régua.

Comente com os estudantes que a régua foi o instrumento criado para medir comprimentos e que a unidade padrão adotada usualmente é o metro (esse conteúdo será abordado no capítulo 11).

Os objetos de conhecimento de Geometria oferecem bons momentos para explorar e treinar a utilização de instrumentos de medição, como a régua, o esquadro, o transferidor e o compasso. Para explorar a medição de segmentos utilizando unidades de medida não padronizadas, peça aos estudantes que, em seus cadernos, determinem uma unidade de comprimento u e depois construam sobre retas segmentos de medidas 2u, 3u etcétera. com o compasso. Caso haja algum estudante que não saiba utilizá-lo, explique como fazê-lo.

O manuseio do compasso demanda habilidades de sintonia fina; então, sempre que for possível, incentive a sua utilização. Não deixe de alertar os estudantes para que manuseiem o compasso com cuidado.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso nas atividades 11 e 14.

7. No caderno, identifique as semirretas representadas nas figuras.

Figura geométrica. Parte de uma reta verde limitada à esquerda por um ponto A, passando pelo ponto B à direita. A figura está na horizontal.

Figura geométrica. Parte de uma reta verde limitada à esquerda por um ponto C, passando pelo ponto D à direita. A figura está inclinada, o lado com extremidade no ponto C à esquerda está acima do ponto D à direita.

Figura geométrica. Parte de uma reta verde limitada à direita por um ponto E, passando pelo ponto F à direita. A figura está inclinada, o lado com extremidade no ponto E à direita está abaixo do ponto F à esquerda.

Figura geométrica. Parte de uma reta verde limitada à direita por um ponto M, passando pelo ponto N à direita. A figura está inclinada, o lado com extremidade no ponto M à direita está acima do ponto N à esquerda.

8. Observe a figura a seguir e identifique:

Figura geométrica. Representação de uma reta vermelha com um ponto O no centro. Um centímetro à direita do ponto O, ponto A. Um centímetro à esquerda do ponto O, ponto B.

a) as semirretas de origem no ponto O;

b) o ponto comum das semirretas

\vec{O B}

\vec{O A}

9. Identifique os segmentos de reta representados nas figuras.

Figura geométrica. Representação do contorno vermelho de um triângulo ABC com pontos vermelhos em cada vértice.

Figura geométrica. Representação do contorno amarelo de um quadrilátero ABCD com pontos em cada vértice.

10. Marque, no caderno, quatro pontos, a, B, C e D, de modo que quaisquer três deles não estejam na mesma reta.

a) Trace todos os segmentos de reta com extremidades em dois desses pontos. Quantos segmentos de reta você pôde traçar?

b) Trace todas as semirretas que têm origem em um desses pontos e que passam por outro deles. Quantas semirretas você pôde traçar?

11. Com o auxílio de um compasso, determine a medida de comprimento dos segmentos de reta a seguir, tomando como unidade de medida de comprimento o segmento de reta

Figura geométrica. Segmento de retaa azul que tem como extremidades um tracinho. Abaixo do segmento de reta o número 1 acompanhado de um espaço e da letra u minúscula indicando que o segmento de reta corresponde a uma unidade de medida.

Figura geométrica. Representação de um segmento de reta azul com extremidades nos pontos A e B. A figura está inclinada, o lado com extremidade no ponto A à esquerda está acima do ponto B à direita.

Figura geométrica. Representação de um segmento de reta azul com extremidades nos pontos C à esquerda e D à direita. A figura está na horizontal.

Figura geométrica. Representação de um segmento de reta azul com extremidades nos pontos E à esquerda e F à direita. A figura está na horizontal.

Figura geométrica. Representação de um segmento de reta azul com extremidades nos pontos G e H. A figura está inclinada, o lado com extremidade no ponto G à esquerda está abaixo do ponto H à direita.

12. No bloco retangular representado a seguir, os segmentos de reta

\overline{A D}

\overline{B C}

\overline{F G}

\overline{E H}

são congruentes. Identifique outros segmentos de reta congruentes e anote no caderno.

Figura geométrica. Representação de um bloco retangular azul. A face superior é representada por um retângulo ABFE e a face inferior é representada por um retângulo DCGH.

Respostas e comentários

7. a)

\vec{A B}

7. b)

\vec{C D}

7. c)

\vec{E F}

7. d)

\vec{M N}

8. a)

\vec{O A}

\vec{O B}

8. b) ponto O

9. a)

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C A}

9. b)

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D A}

10. a) 6 segmentos de reta

10. b) 12 semirretas

11. a) medida de

(\overline{A B})

= 2 unidades

11. b) medida de

(\overline{C D})

= 4 unidades

11. c) medida de

(\overline{E F})

= 3 unidades

11. d) medida de

(\overline{G H})

= 1 unidade

12.

\overline{A B} ≅ \overline{E F} ≅ \overline{D C} ≅ \overline{H G}

;

\overline{A E} ≅ \overline{B F} ≅ \overline{C G} ≅ \overline{D H}

Antes de dar início às atividades, verifique se os estudantes possuem régua e compasso, materiais necessários para sua realização; acostume-os a trazer sempre os materiais à disposição e em boas condições de uso.

• Na atividade 9, reforce que os segmentos de reta podem ser identificados por

\overline{A B}

\overline{B A}

• Na atividade 10, introduza o conceito de pontos colineares ou alinhados, isto é, que pertencem à mesma reta.

Sugestão de atividade extra

Peça aos estudantes que, em grupos, estabeleçam um instrumento de medida, por exemplo uma caneta, a borracha, o palmo, e entreguem uma lista de objetos da sala para que meçam utilizando o instrumento escolhido.

Depois que as medidas forem colhidas, peça a alguns estudantes que compartilhem na lousa os dados obtidos e discutam a necessidade de padronização com perguntas como: “Qual medida está correta?”; “Caso elegêssemos um único instrumento como padrão, por exemplo a borracha, como faríamos as medidas na ausência desse instrumento?”.

Atividades com esse objetivo ajudam a desenvolver a competência geral 1 da Bê êne cê cê, uma vez que, com base em experiências vivenciadas, os estudantes podem chegar à conclusão da necessidade da existência de um padrão como unidade de medida (conteúdo que será aprofundado e mais bem trabalhado no capítulo 11 desta obra).

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13. Identifique os segmentos de reta congruentes, tomando como unidade o segmento de reta

Figura geométrica. Segmento de reta vermelho que tem como extremidades um tracinho. Abaixo do segmento de reta o número 1 acompanhado de um espaço e da letra u minúscula indicando que o segmento de reta corresponde a uma unidade de medida.

, e anote no caderno.

Figuras geométricas. Representação de 7 segmentos de reta em diferentes posições. Da esquerda para direita. Segmento de reta azul escuro A e B, inclinado, ponto A acima do ponto B. Segmento de reta azul claro C e D, na horizontal. Segmento de reta roxo E e F, inclinado, ponto E abaixo do ponto F. Segmento de reta laranja I e J, inclinado, ponto I abaixo do ponto J. Segmento de reta verde escuro M e N, inclinado, M acima do N. Segmento de reta verde claro G e H, na horizontal. Segmento de reta vermelho K e L, na horizontal.

14. Observe esta figura.

Figura geométrica. Contorno de um triângulo ABC, formado pelos segmentos de reta AB, AC e BC. Prologando o segmento de reta AB é o obtido o segmento de reta AD e prolongando o segmento de reta AC é obtido o segmento de reta AE, os segmentos de reta AD, AE e DE formam o contorno do triângulo ADE. Prologando o segmento de reta AD é o obtido o segmento de reta AF e prolongando o segmento de reta AE é obtido o segmento de reta AG, os segmentos de reta AF, AG e FG formam o contorno do triângulo AFG. Prologando o segmento de reta AF é o obtido o segmento de reta AH e prolongando o segmento de reta AG é obtido o segmento de reta AI, os segmentos de reta AH, AI e HI formam o contorno do triângulo AHI.

Com um compasso, verifique as seguintes medidas, respectivamente, nas unidades A bê = 1 xis, á cê = 1 ípsilon e BC = 1 z:

a) á dê, A Ê e dê ê;

b) á éfe, á gê e FG;

c) á agá, á í e agá í.

15. Quantos segmentos de reta distintos podemos determinar na figura?

Figura geométrica. Representação de uma reta vermelha e pontos A, B, C, D e E, nesta ordem, sobre ela.

3 Ângulos

O conceito de ângulo está presente em várias situações do cotidiano.

Ilustração. À esquerda, mesa com quatro apoios que formam ângulos menores que 90°, o apoio que está em primeiro plano tem as pernas formando um ângulo destacadas em verde. Sobre a mesa há um retroprojetor que projeta uma imagem retangular na parede. As luzes que saem do retroprojetor para projetar a imagem na parede formam um ângulo menor que 90° e seus contornos estão destacados em vermelho. Entre o retroprojetor e a parede em que a imagem é projetada há um menino branco de cabelos castanhos com um pacote de pipocas na mão, ele está sentado em uma cadeira, comendo pipoca e observando atentamente a imagem projetada. A imagem projetada na parede é a cena de uma partida de futebol. No centro da imagem há uma trave com formato de parte do contorno de um retângulo, as duas traves que formam o ângulo superior esquerdo da trave estão destacadas em azul. No centro do gol, a goleira, uma menina negra de cabelos pretos amarrados em um coque, camiseta cor de rosa e bermuda branca em posição de defesa. De frente para o gol há uma menina branca de cabelos castanhos longos presos com um rabo de cavalo, camiseta amarela e bermuda azul se preparando para chutar a bola no gol.

Respostas e comentários

13.

\overline{A B} ≅ \overline{G H}

;

\overline{E F} ≅ \overline{I J} ≅ \overline{K L}

;

\overline{C D} ≅ \overline{M N}

14. a) 2 x, 2 y e 2 z

14. b) 3 x, 3 y e 3 z

14. c) 4 x, 4 y e 4 z

15. 10 segmentos de reta:

\overline{A B}

\overline{A C}

\overline{A D}

\overline{A E}

\overline{B C}

\overline{B D}

\overline{B E}

\overline{C D}

\overline{C E}

\overline{D E}

Ângulos

BNCC:

Habilidades ê éfe zero seis ême ah dois cinco, EF06MA26 e ê éfe zero seis ême ah dois sete.

Objetivos:

• Medir a abertura de ângulos com o auxílio de um transferidor.

• Classificar ângulos em agudo, reto e obtuso.

Justificativa

Na Matemática, estudar o conceito de ângulo é importante para entender diversos outros conceitos diretamente ligados à Geometria: classificação de triângulos e quadriláteros, identificação de polígonos congruentes, propriedades de polígonos, trigonometria etcétera. Os objetivos anteriormente listados estão intimamente relacionados e juntos contribuem para o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero seis ême ah dois cinco, ê éfe zero seis ême ah dois seis e ê éfe zero seis ême ah dois sete.

Mapeando conhecimentos

Crie um circuito de estações dentro da sala de aula. Cada uma das estações deve propor uma atividade diferente sobre ângulos. A ideia é que os estudantes, organizados em grupos de 4 ou 5 pessoas, façam um rodízio pelos diversos pontos.

Cada grupo vai começar em uma estação diferente e circular a partir dela. A ideia é que os grupos cumpram as tarefas isoladamente. Se a sala estiver organizada em 4 grupos, você poderá propor as seguintes estações:

Estação 1: apresentar situações cotidianas que envolvam giros, abertura, inclinação e região e solicitar aos estudantes que identifiquem a ideia de ângulo presente nelas.

Estação 2: representar diferentes ângulos em folhas de papel.

Estação 3: medir a abertura de alguns ângulos com o auxílio de um transferidor, e, em seguida, classificá-los em agudo, reto ou obtuso.

Estação 4: Construir ângulos com medidas de abertura predeterminadas, com o auxílio de um transferidor.

Para as aulas iniciais

Retomar o conceito de ângulo e a classificação em agudo, reto e obtuso presente na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores. Em seguida, explore com os estudantes as atividades 68 e 69.

(ê éfe zero seis ême ah dois cinco) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.

(ê éfe zero seis ême ah dois seis) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

(ê éfe zero seis ême ah dois sete) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e ou ou tecnologias digitais.

Página 194

Duas semirretas de mesma origem determinam, no plano que as contém, duas regiões. Nesta representação, temos uma região verde e uma região roxa.

Figura geométrica. Ponto preto que é origem de duas semirretas vermelhas inclinadas. Uma semirreta para cima e outra para baixo. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em verde, e a região externa está destacada em roxo.

As semirretas reunidas com cada uma dessas regiões determinam dois ângulos. Identificamos o ângulo com o qual vamos trabalhar com um pequeno arco.

Esquema. À esquerda está o ponto preto O que é origem de duas semirretas vermelhas inclinadas. Uma semirreta para cima que passa por um ponto preto A e outra para baixo que passa por um ponto preto B. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em verde e tem um pequeno arco identificando um ângulo. À direita está o ponto preto O que é origem de duas semirretas vermelhas inclinadas. Uma semirreta para cima que passa por um ponto preto A e outra para baixo que passa por um ponto preto B. A região externa limitada por estas duas semirretas, está destacada em roxo e tem um arco identificando um ângulo.

• Os dois ângulos podem ser indicados por

A \hat{O} B

(lemos: “ângulo á ó bê” ),

B \hat{O} A

\hat{O}

. O pequeno arco no desenho indica o ângulo a que estamos nos referindo.

• A origem O é o vértice do ângulo.

• As semirretas

\vec{O A}

\vec{O B}

são os lados do ângulo.

Ângulo é a união de duas semirretas que têm a mesma origem com uma das regiões do plano limitada por elas.

O ângulo também pode ser associado à ideia de giro. Alguns radares, comumente utilizados por controladores de voo, apresentam um segmento de reta que gira em tôrno do centro do visor, descrevendo um ângulo como um giro.

Ilustração. Tela com formato que se parece com um quadrado. O fundo é preto e há uma malha quadriculada verde em toda tela. Um círculo maior verde com marcações parecidas com as de uma régua e marcações numéricas ao seu redor. Na malha, há uma linha vertical e uma horizontal com maior destaque que se cruzam no centro. Um segmento de reta gira em torno do centro e é possível identificar um ângulo formado pela linha horizontal e esse segmento. Na área destacada do ângulo é possível observar alguns pontos luminosos. — Representação de tela de radar.

Respostas e comentários

Reforce que a representação

A \hat{O} B

pode se referir a dois ângulos formados pelas semirretas

\vec{O A}

\vec{O B}

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Medida da abertura de um ângulo

A grandeza associada a um ângulo é a abertura considerada entre seus lados.

Fotografia. Ponto turístico da Itália em dia ensolarado com céu azul ao fundo. Construção que que se parece com um cilindro levemente inclinada para esquerda. Uma linha vermelha foi traçada na horizontal passando pela base da construção. Do lado direito da construção foi traçada uma linha vermelha que coincide com a lateral dela, essa linha forma um ângulo com uma linha vermelha vertical traçada na imagem. Do lado direito, próximo à origem do vértice formado entre a linha vertical e a linha horizontal foi desenhado o símbolo que representa um ângulo reto, também em vermelho. — Torre de Pisa, na Itália, com medida do ângulo de inclinação de 4graus. Foto de 2021.

Para medir essa grandeza, dividimos uma volta completa em 360 partes iguais e usamos uma dessas partes como unidade de medida da abertura de um ângulo. Essa unidade de medida é conhecida como grau e seu símbolo é graus.

Assim, a medida da abertura do ângulo que corresponde a uma volta completa é 360graus.

Figura geométrica. Duas semirretas vermelhas horizontais de mesma origem em um ponto preto e mesmo sentido. Na origem, a região externa limitada por estas duas semirretas, está destacada em verde e tem um arco com ponta de seta indicando um giro de 360 graus. — Ângulo de uma volta

A medida da abertura do ângulo de meia-volta é 180graus, que é denominado ângulo raso.

Figura geométrica. Duas semirretas vermelhas horizontais de mesma origem em um ponto preto e sentido opostos. Na origem, a região superior externa limitada por estas duas semirretas, está destacada em verde e tem um arco com ponta de seta do lado esquerdo indicando um giro de 180 graus. — Ângulo de meia-volta

Podemos medir a abertura de um ângulo utilizando um instrumento de medida chamado transferidor.

Fotografia. Transferidor de 180 graus, uma régua com marcação de 10 centímetros na base e formato de meio círculo na parte superior. Indicação do centro do transferidor com um ponto preto e na volta a marcação dos ângulos em graus. — Transferidor de 180graus

Fotografia. Transferidor de 360 graus, com formato circular. Indicação no centro do transferidor com um ponto preto e na volta marcação dos ângulos em graus. — Transferidor de 360graus

Observe o ângulo

A \hat{O} B

a seguir.

Figura geométrica. Ponto vermelho O que é origem de duas semirretas vermelhas. Uma semirreta para cima que passa por um ponto vermelho B e outra na horizontal que passa por um ponto vermelho A. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em vermelho e tem um arco identificando um ângulo.

Respostas e comentários

Medida da abertura de um ângulo

Mostre aos estudantes que podemos expressar a medida da abertura de ângulos a partir da medida da abertura de determinado ângulo escolhido como unidade de medida. Analise o exemplo:

Figura geométrica. Ponto roxo B que é origem de duas semirretas roxas. Uma semirreta para cima que passa por um ponto roxo A e outra na horizontal que passa por um ponto roxo C. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em roxo e tem um arco identificando um ângulo, na frente desse arco há a letra u, que indica a medida de abertura do ângulo. Legenda: unidade de medida u

Figura geométrica. Ponto roxo G que é origem de seis semirretas roxas. As semirretas formam cinco ângulos de medida u. Na parte superior, a primeira semirreta passa por um ponto F, formando um ângulo de medida u com outra semirreta. Essa segunda semirreta forma outro ângulo de medida u com a próxima semirreta, assim sucessivamente até a última semirreta. Além disso, a última semirreta passa por um ponto H. Cada um dos ângulos tem a parte interna limitada pelas semirretas destacada em roxo e um arco indicando um ângulo, na frente de cada arco há letra u, que indica a medida de abertura do ângulo. Legenda: a medida de FGH é 5u

Comece a explicação sobre as medidas da abertura dos ângulos fazendo um levantamento com os estudantes sobre as atividades físicas que envolvem giros, como andar de skate, de patins, de bicicleta, jogar capoeira ou dançar. Peça que identifiquem as medidas (em graus) dos giros completos e dos giros de uma volta e meia, por exemplo.

Antes de iniciar o conteúdo de construção e medição de ângulos com o uso do transferidor, apresente aos estudantes, se achar pertinente, as partes que compõem esse instrumento, conforme a imagem a seguir, ajudando-os na familiarização do manuseio.

Ilustração. Transferidor de 180 graus. No centro, ponto O. Reta horizontal passando pelos pontos B, O e A. Ponto B coincide com a marcação de 180 graus do transferidor, ponto A coincide com a marcação de 0 grau do transferidor. Semirreta OC passando pela marcação de 20 graus do transferidor, semirreta OD passando pela marcação de 70 graus do transferidor, semirreta OE passando pela marcação de 90 graus do transferidor, semirreta OF passando pela marcação de 110 graus do transferidor e semirreta OG passando pela marcação de 150 graus do transferidor. Seta apontando para a reta BA indicando que a linha de fé do transferidor coincide com essa reta. Seta apontando para o ponto O indicando que o centro do transferidor coincide com o ponto O. Seta apontando para parte circular do contorno do transferidor em que há as graduações indicando o limbo.

Página 196

Utilizando um transferidor, vamos medir a abertura do ângulo

A \hat{O} B

. Acompanhe o procedimento a seguir:

1º) Devemos fazer o vértice do ângulo coincidir com o centro do transferidor.

Ilustração. Primeiro passo. Transferidor de 180 graus sendo posicionado para medir a abertura de um ângulo. Ponto vermelho O que é origem de duas semirretas vermelhas. Uma semirreta para cima que passa por um ponto vermelho B e outra na horizontal que passa por um ponto vermelho A. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em vermelho e tem um arco identificando um ângulo. Sobrepondo o ângulo, um transferidor inclinado que deve ser posicionado corretamente para medir a abertura do ângulo. Há um círculo que abrange o centro do transferidor e o vértice do ângulo. Saindo desse círculo, há uma seta simulando a aplicação de um zoom que foca no conteúdo do círculo, mostrando o vértice do ângulo e o centro do transferidor.

2º) Alinhamos um dos lados do ângulo com a linha do transferidor, chamada linha de terra, que indica zero grau.

Ilustração. Segundo passo, continuação da ilustração anterior. Neste momento, o transferidor já está posicionado no local adequado. O transferidor sobrepõe a ilustração do ângulo, o vértice do ângulo coincide com o centro do transferidor e a linha de fé coincide com a semirreta horizontal.

3º) Verificamos a medida da abertura do ângulo, que é o valor indicado no transferidor pelo alinhamento com o outro lado do ângulo. Nesse exemplo, a abertura do ângulo mede 85graus. Indicamos por medida de

(A \hat{O} B)

= 85graus.

Ilustração. Terceiro passo, mesma ilustração do segundo passo. Agora, há um círculo que abrange a ponta da semirreta que passa pelo ponto B e o local em que ela coincide com as marcações de ângulos do transferidor. Saindo desse círculo, há uma seta simulando a aplicação de um zoom que foca no conteúdo do círculo, mostrando que a semirreta coincide com a marcação de 85 graus do transferidor.

Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso

• Um ângulo é reto quando sua medida de abertura é igual a 90graus. Um ângulo de

\frac{1}{4}

de volta é um ângulo reto.

Figura geométrica. Ponto verde O que é origem de duas semirretas verdes. Uma semirreta na vertical que passa por um ponto verde A e outra na horizontal que passa por um ponto verde B. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em verde. Além disso, na região interna do ângulo, próximo à origem, há um símbolo similar ao contorno de um quadrado com um ponto no centro. Uma seta com formato de arco aponta para esse símbolo e informa sinal indicativo de ângulo reto.

• Um ângulo é agudo quando sua medida de abertura é maior que 0grau e menor que 90graus.

Figura geométrica. Ponto laranja O que é origem de duas semirretas laranjas. Uma semirreta para cima que passa por um ponto laranja B e outra na horizontal que passa por um ponto laranja A. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em laranja e tem um arco identificando um ângulo, na frente desse arco há o número 30 acompanhado do símbolo de grau, que indica a medida de abertura do ângulo que é igual a 30 graus.

• Um ângulo é obtuso quando sua medida de abertura é maior que 90graus e menor que 180graus.

Figura geométrica. Ponto roxo O que é origem de duas semirretas roxas. Uma semirreta inclinada para esquerda que passa por um ponto roxo A e outra inclinada para direita que passa por um ponto roxo B. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em roxo e tem um arco identificando um ângulo, na frente desse arco há o número 140 acompanhado do símbolo de grau, que indica a medida de abertura do ângulo que é igual a 140 graus.

Respostas e comentários

Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso

Antes de explorar o texto do livro, trabalhe essas nomenclaturas comparando a medida da abertura desses ângulos com a abertura do ângulo raso e do ângulo reto, sem envolver medidas.

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Construção de um ângulo com o transferidor

Vamos construir um ângulo cuja abertura mede 50graus utilizando um transferidor.

1º) Traçamos uma semirreta

\vec{O A}

Figura geométrica. Primeiro passo. Representação de um segmento de reta laranja com extremidades nos pontos pretos O à esquerda e A à direita. A figura está na horizontal.

2º) Centramos o transferidor em O e posicionamos a linha que indica zero grau com a semirreta

\vec{O A} .

Figura geométrica. Segundo passo. Mesma ilustração anterior. Agora, há um transferidor de 180 graus posicionado sobre a semirreta. O centro do transferidor coincide com o ponto O e a linha de fé coincide com a posição da semirreta OA.

3º) Marcamos o ponto B em 50graus junto à escala do transferidor.

Figura geométrica. Terceiro passo. Mesma ilustração do segundo passo. Agora, exatamente no local onde há a marcação de 50 graus do transferidor foi desenhado um ponto nomeado B.

4º) Retiramos o transferidor e traçamos a semirreta

\vec{O B} .

Figura geométrica. Quarto passo. Ponto preto O que é origem de duas semirretas laranjas. Uma semirreta que passa pelo B marcado no terceiro passo e a semirreta OA que está na horizontal. Na região interna limitada por estas duas semirretas, tem um arco identificando um ângulo, na frente desse arco há o número 50 acompanhado do símbolo de grau, que indica a medida da abertura do ângulo que é igual a 50 graus.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

16. Utilizando um transferidor, desenhe no caderno dois ângulos: um de medida de abertura igual a 40graus e outro de medida de abertura igual a 110graus.

17. No caderno, classifique cada um dos ângulos a seguir em agudo, obtuso, reto ou raso.

Figura geométrica. Ponto azul O que é origem de duas semirretas azuis. Uma semirreta na horizontal para esquerda que passa por um ponto azul C e outra na horizontal para direita que passa por um ponto azul D. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em azul e tem um arco identificando um ângulo.

Figura geométrica. Ponto rosa O que é origem de duas semirretas rosas. Uma semirreta com inclinação para direita que passa por um ponto rosa E e outra na horizontal para direita que passa por um ponto rosa F. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em rosa e tem um arco identificando um ângulo.

Figura geométrica. Ponto verde O que é origem de duas semirretas verdes. Uma semirreta na vertical que passa por um ponto verde G e outra na horizontal que passa por um ponto verde H. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em verde. Além disso, na região interna do ângulo, próximo à origem, há um símbolo similar ao contorno de um quadrado com um ponto no centro.

Figura geométrica. Ponto vermelho B que é origem de duas semirretas vermelhas. Uma semirreta com inclinação para direita que passa por um ponto vermelho C e outra na horizontal para esquerda que passa por um ponto vermelho A. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em vermelho e tem um arco identificando um ângulo.

Versão adaptada acessível

17. Represente ângulos retos, agudos, obtusos e rasos com palitos de fósforo usados ou outro material similar que seu professor irá disponibilizar.

Orientação para acessibilidade

Respostas

Disponibilize palitos de fósforo usados ou palitos de sorvete para os estudantes representarem ângulos. Peça que para cada ângulo representado, seja indicado por eles a abertura que está sendo considerada. Verifique se compreendem que a abertura dos ângulos retos devem medir 90 graus, que a abertura dos ângulos agudos devem medir menos de 90 graus, que a abertura dos ângulos obtusos devem medir mais de 90 graus e que os ângulos rasos têm abertura medindo 180 graus.

Respostas e comentários

16. Resposta pessoal.

17. a) raso

17. b) agudo

17. c) reto

17. d) obtuso

Construção de um ângulo com o transferidor

• Na atividade 16, chame a atenção para o fato de que é necessário visualizar o lado do ângulo no limbo do transferidor para garantir a precisão da medição.

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18. Observe a figura e indique, no caderno:

Figura geométrica. Ponto azul O que é origem de duas semirretas azuis. Uma semirreta com inclinação para cima que passa por um ponto azul C e outra para baixo que passa por um ponto azul D. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em azul e tem um arco identificando um ângulo.

a) o ângulo;

b) o vértice do ângulo;

c) as semirretas que formam o ângulo.

19. Lucas e Caio desenharam dois ângulos. Usando um transferidor, responda: Qual deles desenhou o ângulo de maior medida de abertura? Justifique sua resposta.

lustração. Lucas, menino branco de cabelo castanho claro segura um caderno em que está representado um ângulo. Nesse desenho, há um ponto O que é origem de duas semirretas. Uma semirreta com inclinação para direita que passa por um ponto A e outra na horizontal para direita que passa pelo ponto B. A região interna limitada por estas duas semirretas tem um arco identificando um ângulo. Ao lado, Caio, menino negro de cabelo preto segura um caderno em que também está representado um ângulo. Nesse desenho, ponto O que é origem de duas semirretas. Uma semirreta com inclinação para direita que passa por um ponto A e outra na horizontal para direita que passa pelo ponto B. A região interna limitada por estas duas semirretas tem um arco identificando um ângulo. A figura desenhada por Lucas é maior que a figura desenhada por Caio.

20. O relógio a seguir marca 3 horas. Quais são as medidas de abertura dos dois ângulos formados pelos ponteiros do relógio?

Ilustração. Relógio de ponteiros com formato circular. O ponteiro maior está apontando para o número 12 e o ponteiro menor está apontando para o número 3.

21. Usando um transferidor, determine a medida de abertura de três ângulos diferentes em cada figura.

Figura geométrica. Ponto vermelho B que é origem de três semirretas vermelhas. Uma semirreta na horizontal para direita que passa por um ponto vermelho D, outra semirreta com inclinação para direita que passa por um ponto C e outra semirreta na horizontal para esquerda que passa por um ponto A. A região interna superior limitada pelas semirretas está destacada em vermelho.

Figura geométrica. Representação do contorno amarelo de um triângulo RST com pontos amarelos em cada vértice.

22. Na figura a seguir, há dois ângulos retos, um agudo e um obtuso. Com o auxílio de um transferidor, identifique-os e registre-os no caderno.

Figura geométrica. Representação de um quadrilátero convexo roxo ABCD com pontos roxos em cada vértice.

23. Determine, com um transferidor, as medidas de abertura dos ângulos dos esquadros.

24. Tainara está fazendo algumas manobras em seu skate. Se ela der um giro de

\frac{3}{4}

de volta, quanto medirá a abertura do ângulo desse giro?

25. Observe a ilustração de uma sala de projeção.

Ilustração. Projetor no ponto O à esquerda. À direita, tela. Acima, ponto A e abaixo, ponto B. Uma linha vertical une as duas retas diagonais que saem do ponto O. Dois degraus abaixo, pessoas sentadas.

Com um transferidor, indique, no caderno, as medidas de abertura dos ângulos

A \hat{O} B

O \hat{A} B

Respostas e comentários

18. a)

C \hat{O} D

D \hat{O} C

18. b) O

18. c)

\vec{O C}

\vec{O D}

19. Utilizando um transferidor, podemos verificar que os dois ângulos têm a mesma medida de abertura.

20. 90graus e 270graus

21. a) medida do

(A \hat{B} C)

= 110graus, medida do

(C \hat{B} D)

= 70graus e medida do

(A \hat{B} D)

= 180graus

21. b) medida do

(R \hat{S} T)

= 85graus, medida do

(S \hat{T} R)

= 50graus e medida do

(S \hat{R} T)

= 45graus

22. ângulos retos:

A \hat{B} C

A \hat{D} C

;

ângulo agudo:

B \hat{C} D

; ângulo obtuso:

B \hat{A} D

23. a) 60graus, 90graus e 30graus

23. b) 45graus, 90graus e 45graus

24. 270graus

25. medida de

(A \hat{O} B)

= 20graus e medida de

(O \hat{A} B)

= 80graus

• Na atividade 19, relembre que uma semirreta é infinita em um de seus sentidos. Uma analogia possível seria o tamanho dos ponteiros dos relógios, que não influenciam na leitura da hora.

• As atividades 22, 23 e 24 favorecem o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah dois sete, em relação à capacidade de determinar medidas da abertura de ângulos por meio do transferidor.

• Na atividade 22, se julgar interessante, peça aos estudantes que copiem a figura em uma folha de papel vegetal para que possam prolongar os lados dos ângulos.

• Na atividade 23, se achar oportuno, apresente o nome dos esquadros: esquadro de 30graus (esquadro cujos ângulos medem 30graus, 60graus e 90graus) e esquadro de 45graus (esquadro cujos ângulos medem 45graus, 45graus e 90graus).

Ao final das atividades, retome o conceito de congruência, explicando que esse conceito também pode ser aplicado a ângulos.

Página 199

4 Retas paralelas e retas perpendiculares

Dizemos que duas retas que estão em um mesmo plano são paralelas quando elas não possuem nenhum ponto em comum. Quando duas retas se cruzam, nós as chamamos de retas concorrentes; além disso, quando esse cruzamento fórma um ângulo reto (ângulo cuja medida de abertura é de 90graus), afirmamos que as retas são perpendiculares.

Figura geométrica. Representação de parte de um plano verde claro nomeado alfa. Contidas no plano, estão representadas duas retas uma verde r e outra roxa s. A representação da reta verde está um pouco inclinada para cima e um pouco abaixo com a mesma inclinação da reta verde, está representada a reta roxa s. — Retas paralelas Indicamos: r ⫽ s (lemos: “r é paralela a s”).

Figura geométrica. Representação de parte de um plano verde claro nomeado beta. Contidas no plano, estão representadas duas retas uma verde r e outra roxa s. As retas se interceptam em um ponto preto P. — Retas concorrentes Indicamos: r × s (lemos: “r é concorrente a s”).

Figura geométrica. Representação de parte de um plano verde claro nomeado gama. Contidas no plano, estão representadas duas retas uma azul claro r e outra laranja s. As retas se interceptam formando quatro ângulos. Nos ângulos formados pelas retas estão representados símbolos de ângulo reto. — Retas concorrentes e perpendiculares Indicamos: r ⊥ u (lemos: “r é perpendicular a u ”).

Palmas, capital do estado de Tocantins, é uma cidade planejadaglossário . A avenida JK é paralela às avenidas LO-03 e LO-05 (elas não se cruzam) e é concorrente à avenida NS 2.

Ilustração. Trecho de mapa com vista de cima. Representação de diversas ruas em que algumas estão nomeadas. Três ruas horizontais, uma na sequência da outra, de cima para baixo: Avenida JK, Avenida LO-03 e Avenida LO-05. Na Avenida Jk está o representado o Palácio Araguaia. Todas essas avenidas são interceptadas por outras ruas, destaque pela rua Avenida NS2 que intercepta todas as outras ruas horizontais que estão nomeadas. — Imagem ilustrativa sem escala.

Fotografia. Visão de parte de uma área de Palmas em Tocantins. Região plana com ruas verticais e horizontais. Há construções e pouca vegetação. — Vista aérea de Palmas (Tocantins). Foto de 2017.

As ruas representadas nesse mapa podem ser associadas a retas. Analise como podemos fazer essa associação:

Figura geométrica. Representação de uma reta azul na vertical u. Representação de 3 retas vermelhas na horizontal interceptando da reta u, nomeadas de cima para baixo como r, s e t. Além disso, na parte inferior direita da reta u está escrito Avenida NS 2, na reta r na parte superior direita está escrito Avenida JK, na parte superior direita da reta s está escrito Avenida LO-03 e na parte superior direita da reta t está escrito Avenida LO-05. Identificando que cada uma dessas avenidas pode ser associadas as retas.

Respostas e comentários

Retas paralelas e retas perpendiculares

BNCC:

Habilidade ê éfe zero seis ême ah dois dois.

Objetivos:

• Identificar retas paralelas e perpendiculares no plano.

• Construir retas paralelas e perpendiculares com régua e esquadro.

Justificativa

Identificar retas paralelas e perpendiculares é um pré-requisito importante para que os estudantes consigam classificar os quadriláteros em relação ao paralelismo dos lados. Além disso, o paralelismo e o perpendicularismo estão presentes, por exemplo, no estudo das transformações geométricas no plano e, mais especificamente, o paralelismo entre retas está presente no teorema de Tales que será estudado mais adiante.

A construção de retas paralelas e perpendiculares possibilita aos estudantes ressignificar a régua e o esquadro e é um passo importante para que consigam, mais adiante, construir diferentes polígonos. Além disso, favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah dois dois.

Mapeando conhecimentos

Distribua folhas de papel quadriculado para os estudantes e proponha que representem nelas retas paralelas e perpendiculares. Depois, incentive-os a justificar como pensaram para fazer suas representações. Espera-se que utilizem as linhas da malha como apôio para representar as retas. Aproveite a oportunidade para verificar se distinguem os dois conceitos.

Para as aulas iniciais

Retomar o conceito de retas paralelas e perpendiculares presente na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores. Em seguida, solicite aos estudantes que façam as atividades 70 e 71.

Caso a escola tenha uma sala de informática, leve os estudantes para lá e peça que representem retas paralelas e perpendiculares no GeoGebra. Você também pode representar, na tela de cada um, duas retas quaisquer (é importante que não vejam o procedimento que você usou) e pedir que investiguem se as retas representadas são paralelas ou perpendiculares.

Chame a atenção para o fato de que as posições dizem respeito a retas no mesmo plano, ou seja, retas coplanares.

(ê éfe zero seis ême ah dois dois) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

Página 200

Construção geométrica de retas paralelas com régua e esquadro

Com os esquadros, podemos traçar alguns ângulos, por exemplo, de medidas de abertura iguais a 30graus, 45graus e 60graus, além de retas paralelas e retas perpendiculares.

Fotografia. Esquadro com ângulos de medida de abertura iguais a 30, 60 e 90 graus. — Esquadro de 30°

Contornando um esquadro de 30graus, podemos traçar ângulos de medidas de abertura iguais a 30graus, 60graus e 90graus. Enquanto que, contornando um esquadro de 45graus, podemos traçar ângulos de medidas de abertura iguais a 45graus e 90graus.

Utilizando uma régua e um esquadro qualquer, vamos traçar uma reta s paralela à reta r.

1º) Alinhamos o esquadro com a reta r e encostamos a régua na lateral do esquadro, mantendo‑a fixa, como mostra a figura.

Ilustração. Uma régua graduada posicionada na vertical com o seu lado graduado para esquerda. Um esquadro de 30 graus com o seu lado menor encostado no lado direito da régua. Passando pela parte superior do esquadro e trespassando a régua está a representação de uma reta vermelha r.

2º) Deslizamos o esquadro mantendo a régua como apôio e traçamos uma reta paralela à reta r.

Ilustração. Segundo passo. Mesma ilustração anterior, mas agora o esquadro deslizou meio centímetro na vertical e parte de uma reta verde foi desenhada utilizando a parte superior do esquadro.

3º) Podemos completar a figura colocando pontas de setas nas extremidades, para indicar que a reta continua nos dois sentidos, e nomeá-la com a letra s. Obtemos, assim, s⫽r.

Figura geométrica. Terceiro passo. A representação da reta r permanece na imagem e é finalizada a representação da reta verde s que terminam a construção.

Construção geométrica de retas perpendiculares com régua e esquadro

Agora, vamos usar uma régua e um esquadro qualquer para traçar uma reta t perpendicular à reta r.

1º) Alinhamos a régua com a reta r.

Ilustração. Primeiro passo. Reta graduada na horizontal, parte graduada para baixo. Representação de uma reta azul r na parte superior da reta.

2º) Apoiamos o esquadro sobre a régua e determinamos um ângulo reto.

Ilustração. Segundo passo. Mesma ilustração anterior, agora, um esquadro de 30 graus com seu lado menor encostado na parte superior da régua. Na parte esquerda do esquadro, parte da representação de uma reta verde. No ângulo formado entre as retas azul e verde, foi desenhado o símbolo de ângulo reto.

3º) Completamos a figura, prolongando e nomeando a reta t. Obtemos, assim, t ⊥ r.

Ilustração. Terceiro passo. A representação da reta r permanece na imagem, é finalizada a representação da reta verde t e três símbolos de ângulo reto são adicionados.

Respostas e comentários

Construção geométrica de retas paralelas com régua e esquadro

Peça aos estudantes que, com o auxílio de uma régua e um esquadro, reproduzam a construção descrita no livro. Chame a atenção deles para o fato de que a posição inicial do esquadro e da régua pode ser outra, de acôrdo com a conveniência de cada um e com o espaço disponível para o desenho. De todo modo, chame a atenção dos estudantes para o fato de que o esquadro sempre se apoia na régua no lado oposto ao lado chanfrado, que é onde se tomam medidas de comprimento. É sobre esse lado também que se realizam traçados, para não danificar a graduação no lado chanfrado. O esquadro pode eventualmente exibir algum lado com graduação, mas a sua função não é a de medir, mas a de traçar paralelas e perpendiculares.

Construção geométrica de retas perpendiculares com régua e esquadro

Comente com os estudantes que, na construção de retas paralelas e perpendiculares, pode-se utilizar outro esquadro no lugar da régua.

Reforce as notações para retas paralelas e para retas perpendiculares.

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Tecnologias digitais em foco

Retas, semirretas, segmentos de reta e ângulos

Nesta seção, utilizaremos o GeoGebra ou outro software de geometria dinâmica que seu professor pode indicar para construir pontos, retas paralelas, retas perpendiculares, semirretas, segmentos de reta e ângulos.

Construa

Siga os passos a seguir para representar os pontos (a, B e C), as retas paralelas (r e s) e as retas perpendiculares (t e s).

1º) Usando a ferramenta

Ilustração. Representação de um botão com formato quadrado. No interior do quadrado há a representação de um ponto azul e ao seu lado a letra A maiúscula.

, marque três pontos não alinhados: a, B e C.

2º) Usando a ferramenta

Ilustração. Representação de um botão com formato quadrado. No interior do quadrado há a representação de parte de uma reta preta inclinada com dois pontos azuis representados nela.

, trace a reta r, que passa pelos pontos a e B.

3º) Usando a ferramenta

Ilustração. Representação de um botão com formato quadrado. No interior do quadrado há a representação de parte de duas retas inclinadas paralelas. Reta superior vermelha com um ponto azul representado nela, reta inferior preta.

, trace a reta s, paralela a r, que passa pelo ponto C.

4º) Usando a ferramenta

Ilustração. Representação de um botão com formato quadrado. No interior do quadrado há a representação de parte de duas retas inclinadas perpendiculares. Reta vermelha com um ponto azul representado nela perpendicular a uma reta preta.

, trace a reta t, perpendicular a s, que passa pelo ponto C.

Fotografia. Tela do software GeoGebra de Geometria dinâmica. Na parte superior, há uma barra com diversos botões. Da esquerda para direita, os botões correspondem as ferramentas: mover, ponto, reta, reta perpendicular, polígono, círculo dados centro e um de seus pontos, elipse, reflexão em relação a uma reta, controle deslizante e mover janela de visualização. Apontando para essa barra de botões há um fio azul com a indicação: No GeoGebra, há uma barra superior com diversos botões. Ao clicar em cada um deles, é possível ver diversas opções de ferramentas com as quais podemos marcar pontos, traçar retas, construir polígonos, medir comprimento de segmentos de reta etc.
O botão, reta perpendicular, aparece selecionado e todas as ferramentas desse menu estão na tela, de cima para baixo: reta perpendicular, reta paralela, mediatriz, bissetriz, reta tangente, reta polar ou diametral, reta de regressão linear e lugar geométrico. Apontando para esse botão há um fio azul com a indicação: neste exemplo de tela, este botão foi clicado e surgiram as ferramentas para traçar retas perpendiculares, traçar retas paralelas e outras ferramentas que não usaremos agora.
A ferramenta do menu reta perpendicular está destacada de azul, há uma seta azul indicando: ferramentas do botão e a representação desse botão. Botão com formato de um quadrado, em seu interior há uma reta vermelha com um ponto azul representado nela perpendicular a uma reta preta.
Na tela estão representadas duas retas paralelas indicada por r e s. A reta r passando pelos pontos A e B e a reta s passando pelo ponto C. Além disso, está representada uma reta t perpendicular as retas r e s e passando por C.

Agora, faremos a construção da semirreta

(\vec{E A})

e dos segmentos de reta

(\overline{E A} e \overline{C D})

5º) Marque o ponto D no ponto de intersecção entre as retas r e t.

6º) Marque um ponto ê qualquer sobre a reta s e use a ferramenta

Ilustração. Representação de um botão com formato quadrado. No interior do quadrado há a representação de uma semirreta preta com origem em um ponto azul e passando por outro ponto azul.

para traçar a semirreta com origem em E que passa pelo ponto a.

7º) Usando a ferramenta

Ilustração. Representação de um botão com formato quadrado. No interior do quadrado há a representação de um segmento de reta preto com extremidades em pontos azuis.

, trace o segmento de reta com extremidades nos pontos C e D.

8º) Trace o segmento de reta com extremidades nos pontos a e ê.

Respostas e comentários

Tecnologias digitais em foco

BNCC:

Habilidade ê éfe zero seis ême ah dois dois.

Objetivo:

Utilizar software de geométrica dinâmica para representar retas paralelas, concorrentes e perpendiculares. Caso não seja possível usar este software especificamente, a proposta pode ser realizada com outros softwares ou utilizando instrumentos de desenho.

Retas, semirretas, segmentos de reta e ângulos

Os estudantes construirão figuras geométricas usando o software GeoGebra e verificarão que a mínima distância entre um ponto e uma reta corresponde à medida do segmento que une esse ponto à reta, formando com ela um ângulo reto.

Na internet, há diversos softwares gratuitos de Geometria Interativa ou Dinâmica que permitem ao estudante construir e explorar de fórma interativa os objetos da Geometria. As figuras neles construídas podem ser modificadas pelo deslocamento de seus elementos de base, possibilitando aos estudantes que percebam o que permanece invariante, alertando-os para determinados padrões e motivando-os a fazer conjecturas e a testar suas convicções. Dependendo do software escolhido, o passo a passo das construções pode mudar, de acôrdo com as ferramentas disponíveis. Familiarize-se com o programa antes de levá-lo para a sala de aula e permita que os estudantes explorem as ferramentas presentes no software antes de usá-lo.

Em Construa, será construída uma figura na qual serão destacados pontos, retas paralelas, retas perpendiculares, semirretas, segmentos de reta e ângulos. Oriente os estudantes sobre quais ferramentas devem utilizar em cada um dos passos dessas construções e como usá-las. Peça que renomeiem as figuras construídas de acôrdo com o comando de cada passo. Se julgar conveniente, durante a construção, recorde aos estudantes as características de cada uma das figuras, chamando a atenção, por exemplo, para o fato de que por dois pontos distintos passa uma única reta.

Após concluírem os passos, peça aos estudantes que desloquem a figura em todas as direções e verifiquem se ela preserva suas propriedades.

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Tecnologias digitais em foco

Explore

Faça o que se pede nas questões a seguir utilizando as ferramentas do GeoGebra e sua construção inicial.

a) Utilize a ferramenta

Ilustração. Representação de um botão com formato quadrado. No interior do quadrado há a representação de um ângulo agudo nomeado alfa.

para medir a abertura do ângulo

C \hat{E} A

e a do ângulo

D \hat{C} E .

b) Utilize a ferramenta

Ilustração. Representação de um botão com formato quadrado. No interior do quadrado há a representação de uma reta inclinada, ao seu lado está escrito cm.

e meça o comprimento dos segmentos de reta

\overline{A E}

\overline{C D}

c) Agora, arraste o ponto ê sobre a reta s e compare as medidas de comprimentos dos segmentos

\overline{A E}

\overline{C D}

. Para que as medidas dos comprimentos destes segmentos sejam iguais, qual deve ser a medida de abertura do ângulo

C \hat{E} A

d) Continue arrastando o ponto ê sobre a reta s e verifique se é possível obter um segmento de reta com medida de comprimento menor que a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{C D} .

e) O que a investigação sugere a respeito da medida de comprimento de um segmento com extremidades em duas retas paralelas? Quando essa medida é mínima?

Respostas e comentários

Explore: a) Resposta pessoal.

Explore: b) Resposta pessoal.

Explore: c) 90graus

Explore: d) Espera-se que os estudantes percebam que não há uma posição para o ponto ê que faça a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{A E}

ser menor que a medida do segmento

\overline{C D}

Explore: e) Espera-se que os estudantes percebam que a medida de comprimento desse segmento será mínima quando ele formar ângulos retos com as retas paralelas.

Em Explore, o objetivo é levar os estudantes a perceber, por meio da interação com o software, que a mínima distância entre um ponto e uma reta corresponde à medida do segmento que une esse ponto à reta e que fórma com ela um ângulo reto. Durante o processo de investigação, incentive-os a observar a relação entre a medida do ângulo

C \hat{E} A

e a medida do segmento de reta

\overline{A E}

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

26. Reescreva, no caderno, as afirmativas verdadeiras.

a) Se duas retas, que estão no mesmo plano, não apresentam nenhum ponto em comum, essas retas são paralelas.

b) Retas perpendiculares não se cruzam.

c) Duas retas paralelas apresentam apenas um ponto em comum.

d) Duas retas são perpendiculares quando formam um ângulo cuja abertura mede 90graus.

27. Utilizando régua e esquadro, desenhe, no caderno, duas retas paralelas e duas retas perpendiculares às duas retas paralelas traçadas.

28. Observe o mapa fictício e identifique:

a) dois pares de ruas ou avenidas paralelas;

b) dois pares de ruas ou avenidas perpendiculares.

Mapa. Trecho de mapa com vista cima representação de quatro ruas e quatro avenidas. Na vertical, Avenida Beira-Mar, Avenida Netuno, Avenida dos Ipês e Avenida das Hortênsias. Na horizontal: rua Rio, Rua Margarida, Rua Primavera e Rua do Sol. À esquerda da Avenida Beira-Mar, a praia Primavera. — Imagem ilustrativa sem escala.

29. Copie em seu caderno as retas r e s e os pontos P e Q. Em seguida, utilizando régua e esquadro, trace uma reta paralela a r pelo ponto P e uma reta perpendicular a s pelo ponto Q.

Figura geométrica. Representação de reta azul inclinada r. Um pouco abaixo da reta está representado um ponto azul P.

Figura geométrica. Representação de uma reta verde na vertical s. Na reta, está representando um ponto verde Q.

30. Usando mais de um esquadro, podemos traçar alguns ângulos contornando a composição dos esquadros. Por exemplo, com um esquadro de 30graus e um esquadro de 45graus, podemos representar um ângulo de medida de abertura igual a 75graus.

Ilustração. Duas semirretas formam o ângulo 75 graus. Há um esquadro contornando cada semirreta internamente.

Utilizando um esquadro de 30graus e um esquadro de 45graus, represente ângulos de medida de abertura igual a:

a) 105graus

b) 120graus

c) 135graus

d) 150graus

5 Polígonos

Observe o recorte de um mosaico.

Ilustração. Recorde com formato retangular de um mosaico com figuras azul, verde e vermelha.

Podemos identificar nesse mosaico algumas figuras geométricas.

Ilustração. Três figuras lado a lado. Da esquerda para direita: figura vermelha com formato de um quadrado, figura azul com formato de um triângulo equilátero e figura verde com formato de um triângulo equilátero.

O contôrno de cada uma dessas figuras geométricas é formado apenas por segmentos de reta. Eles formam uma linha poligonal.

Respostas e comentários

26. a) verdadeira

26. b) falsa

26. c) falsa

26. d) verdadeira

27. Resposta pessoal.

28. a) Exemplo de resposta: Rua Rio e Rua Margarida; Rua Primavera e Rua do Sol.

28. b) Exemplo de resposta: Rua Margarida e avenida das Hortênsias; Rua Primavera e avenida dos Ipês.

29. a)

Figura geométrica. Representação de reta azul inclinada r e um pouco abaixo da reta azul está representado um ponto azul P. Representação de reta paralela a reta r que passa pelo ponto P.

29. b)

Figura geométrica. Representação de uma reta verde na vertical s. Na reta, está representando um ponto verde Q. Pelo ponto Q passa uma reta na horizontal formando 4 ângulos retos com a reta s.

30. a)

Ilustração. Duas semirretas formam o ângulo 105 graus. Há um esquadro contornando cada semirreta internamente.

30. b)

Ilustração. Duas semirretas formam o ângulo 120 graus. Há um esquadro contornando cada semirreta internamente.

30. c)

Ilustração. Duas semirretas formam o ângulo 135 graus. Há um esquadro contornando cada semirreta internamente.

30. d)

Ilustração. Duas semirretas formam o ângulo 150 graus. Há um esquadro contornando cada semirreta internamente.

Polígonos

BNCC:

Habilidade ê éfe zero seis ême ah um oito.

Objetivos:

• Reconhecer linhas poligonais e não poligonais.

• Compreender o conceito de polígono.

• Reconhecer polígonos convexos e não convexos.

• Identificar os elementos de um polígono.

• Classificar polígonos de acôrdo com o número de lados ou ângulos internos.

Justificativa

A compreensão do conceito de polígono implica reconhecer que seu contôrno é uma linha poligonal fechada simples, e isso justifica a importância dos estudantes reconhecerem linhas poligonais e não poligonais.

Neste mesmo capítulo, os triângulos e os quadriláteros serão estudados mais a fundo; para que consigam ter um bom aproveitamento é importante que reconheçam essas figuras como polígonos e consigam identificar lados, vértices, ângulos internos e diagonais. A classificação dos polígonos de acôrdo com o número de lados visa ampliar o vocabulário matemático dos estudantes.

Mapeando conhecimentos

Proponha aos estudantes que pesquisem em jornais ou revistas imagens que se parecem com polígonos. Depois, peça que justifiquem o porquê de terem selecionado essas imagens. Então solicite que reproduzam no caderno os polígonos correspondentes às imagens e façam o que se pede a seguir:

• classifique o polígono de acôrdo com o número de lados;

• identifique os elementos de cada polígono;

• indique se o polígono representado é convexo ou não convexo.

A intenção é diagnosticar o que os estudantes sabem sobre o que será estudado no tópico.

Para as aulas iniciais

Caso a escola tenha uma sala de informática, leve os estudantes para a sala e peça que representem polígonos no GeoGebra. Desafie-os a construir polígonos com lados de mesma medida de comprimento, para que tenham um primeiro contato com a noção de polígonos regulares.

(ê éfe zero seis ême ah um oito) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.

Página 204

Observe, agora, este outro mosaico.

Ilustração. Recorte com formato retangular de um mosaico com figuras verde escuro e verde claro.

Os contornos das figuras presentes nesse mosaico não são formados apenas por segmentos de reta. Eles formam uma linha não poligonal.

Ilustração. Duas figuras lado a lado. Uma figura verde escura com cinco lados, um dos lados é uma linha curva. Figura verde clara com quatro lados, um dos lados é uma linha curva. As duas figuras justapostas formam uma figura retangular.

As linhas poligonais podem ser assim classificadas:

	Não simples (linhas se cruzam)	Simples (linhas não se cruzam)
Abertas
Fechadas

Uma linha poligonal fechada simples com sua região interna fórma uma figura geométrica plana chamada de polígonoglossário .

Figura geométrica. 2 figura geométrica plana uma do lado da outra. A figura que está do lado esquerdo é uma figura roxa com quatro lados e, do lado direito, uma figura azul com 5 lados. O formato se parece com uma bandeira típica de festa junina.

Respostas e comentários

Para verificar se os estudantes compreenderam a classificação das linhas poligonais, reproduza o quadro a seguir na lousa e convide alguns estudantes para que preencham suas células com exemplos de linhas poligonais não simples abertas, simples abertas, não simples fechadas e simples fechadas.

	Não simples (linhas se cruzam)	Simples (linhas não se cruzam)
Abertas
Fechadas

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Polígonos convexos e polígonos não convexos

Os polígonos podem ser classificados em convexos ou não convexos.

Para distinguir cada um desses tipos, podemos tomar dois pontos quaisquer (a e B, por exemplo) no interior de um polígono. Se o segmento de reta

\overline{A B}

sempre estiver contido em sua região interna, trata‑se de um polígono convexo; caso contrário, trata-se de um polígono não convexo.

Figura geométrica. Representação de um triângulo roxo. No interior da figura há um segmento de reta com extremidades nos pontos verdes A e B. — Polígono convexo

Figura geométrica. Figura geométrica plana azul com 5 lados. O formato se parece com uma bandeira típica de festa junina. No interior da figura estão representados os pontos verdes A e B que são extremidades de um segmento de reta verde. Uma parte do segmento de reta não está contida dentro da figura. — Polígono não convexo

Analise alguns outros exemplos.

Figuras geométricas. Três representações de figuras geométricas planas. Um quadrilátero azul que se parece com um quadrado, um quadrilátero verde que se parece com um retângulo e um hexágono vermelho. — Polígonos convexos

Figuras geométricas. Três representações de figuras geométricas planas. Polígono roxo com seis lados de diferentes medidas. Polígono azul de quatro lados, a figura se parece com uma ponta de seta. Polígono alaranjada com formato de uma estrela de cinco pontas. — Polígonos não convexos

A partir de agora, vamos trabalhar com os polígonos convexos, chamando-os apenas de polígonos.

Elementos de um polígono

A figura a seguir representa um polígono; nele temos:

Figura geométrica. Polígono convexo cujo contorno é formado por 4 linhas retas. As quatro pontas do polígono estão identificadas pelas letras A, B, C e D. No interior do polígono, estão representados os segmentos de reta verde com extremidades nos pontos A e C e B e D. Há um fio para o segmento de reta com extremidades em A e B, indicando: lado. Há um fio para o segmento de reta A e C, indicando: diagonal. Há um fio para o ponto C, indicando: vértice. Há um arco no canto do ponto B e um fio para ele indicando: ângulo interno.

• os segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D A}

formam o contôrno do polígono e são chamados de lados do polígono.

• os pontos a, B, C e D são o encontro de dois lados consecutivos e são chamados de vértices do polígono.

• os ângulos

D \hat{A} B

A \hat{B} C

B \hat{C} D

C \hat{D} A

são formados por dois lados consecutivos e são chamados de ângulos internos do polígono.

• os segmentos de reta

\overline{A C}

\overline{B D}

unem dois vértices não consecutivos e são chamados de diagonais do polígono.

Respostas e comentários

Polígonos convexos e polígonos não convexos

Caso seja possível, disponibilize para os estudantes uma folha com alguns polígonos e proponha que identifiquem e diferenciem polígonos convexos e polígonos não convexos. No caso do polígono não ser convexo, oriente-os a representar ao menos um segmento de reta que tenha extremidades na região interna do polígono, mas alguns pontos entre essas extremidades fóra dessa região interna. Você pode propor uma dinâmica similar a essa no GeoGebra (ou em algum outro software de geometria dinâmica). Para isso, na tela dos estudantes devem constar alguns polígonos previamente construídos por você para que utilizem as ferramentas do software e identifiquem, por meio de experimentações, os polígonos convexos e os não convexos.

Comente com os estudantes que, em algumas publicações, o polígono não convexo pode ser chamado de polígono côncavo.

Elementos de um polígono

Represente um outro polígono na lousa e peça aos estudantes que identifiquem seus lados, vértices, ângulos internos e diagonais.

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Classificação dos polígonos

Os polígonos recebem o nome de acôrdo com o número de lados ou ângulos internos. Por exemplo, o polígono de 5 lados é chamado de pentágono, do grego penta (cinco) + gonos (ângulos). Confira mais exemplos.

Número de lados	Nome	Representação geométrica
3	triângulo
4	quadrilátero
5	pentágono
6	hexágono
7	heptágono
8	octógono

Número de lados	Nome	Representação geométrica
9	eneágono
10	decágono
11	undecágono
12	dodecágono
15	pentadecágono
20	icoságono

Os polígonos em que todos os ângulos internos têm a mesma medida de abertura e todos os lados têm a mesma medida de comprimento são chamados de polígonos regulares.

Figura geométrica. Quadrilátero com lados de mesma medida de comprimento e um tracinho em cada lado. Quatro ângulos internos retos. — quadrado

Figura geométrica. Triângulo com lados de mesma medida de comprimento e um tracinho em cada lado. Três ângulos internos identificados por um arco interceptado por um tracinho. — triângulo equilátero

Figura geométrica. Hexágono com lados de mesma medida de comprimento e um tracinho em cada lado. Seis ângulos internos identificados por um arco interceptado por um tracinho. — hexágono regular

Figura geométrica. Pentágono com lados de mesma medida de comprimento e um tracinho em cada lado. Cinco ângulos internos identificados por um arco interceptado por um tracinho. — pentágono regular

Respostas e comentários

Classificação dos polígonos

Após apresentar a classificação dos polígonos, leve os estudantes para a sala de informática da escola (caso haja uma) e peça que construam alguns polígonos a partir de comandos como: “Construam um pentágono. Agora construam um eneágono. Agora, é a vez de vocês construírem um decágono.”. Atividades como essa fazem com que eles coloquem esse vocabulário em prática e se apropriem dele paulatinamente.

Comente com os estudantes que as marcações iguais nos lados de um mesmo polígono indicam que eles têm a mesma medida de comprimento e que as marcações iguais nos ângulos de um mesmo polígono indicam que eles têm a mesma medida de abertura.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

31. Classifique cada uma das linhas poligonais a seguir em aberta simples, aberta não simples, fechada simples ou fechada não simples.

Figura geométrica. Linha poligonal azul claro que se parece com o contorno de uma bandeira tradicional de festa junina.

Figura geométrica. Linha poligonal vermelha com formato triangular. Em um dos vértices do triângulo ambos os lados do triângulo são prolongados.

Figura geométrica. Linha poligonal alaranjada formada por seis segmentos de reta. A parte superior da figura é composta por dois segmentos de reta formando parte do contorno de um triângulo, na base do local onde seriam cada vértice da base do triângulo, há dois segmentos de reta formando dois L. Um virado para esquerda e outro virado para direita.

Figura geométrica. Duas linhas poligonais verdes com formato de quadriláteros. O canto inferior direito de uma das linhas sobrepões o canto superior esquerdo da outra figura.

32. Classifique cada um dos polígonos em convexo ou não convexo.

Figura geométrica. Polígono azul cujo contorno é formado por 4 segmentos de reta. A figura tem o formato de um paralelogramo.

Figura geométrica. Polígono alaranjado cujo contorno é formado por 5 segmentos de reta. A figura tem o formato de um pentágono.

Figura geométrica. Polígono roxo cujo contorno é formado por 6 segmentos de reta. A figura tem o formato de um L de ponta cabeça.

Figura geométrica. Polígono vermelho cujo contorno é formado por 6 segmentos de reta. A figura tem o formato de um C com as pontas viradas para baixo.

33. No caderno, copie as afirmativas verdadeiras.

a) Podemos construir um polígono de dois lados.

b) Em todo polígono, o número de lados é igual ao número de vértices.

c) O polígono com 20 vértices chama‑se icoságono.

34. Entre as figuras a seguir, identifique o polígono.

Figura geométrica. Figura com formato de octágono amarela.

Figura geométrica. Contorno de parte de um quadrado, com uma parte aberta na parte superior direita.

Figura geométrica. Figura roxa que se parece com o pedaço de uma pizza.

35. Em cada figura a seguir, dê o nome do polígono e indique seus lados, vértices, ângulos internos e diagonais.

Figura geométrica. Polígono roxo ABCD cujo contorno é formado por 4 linhas retas.

Figura geométrica. Polígono laranja ABCDEF cujo contorno é formado por 6 linhas retas.

36. Com o auxílio de uma régua, construa em seu caderno os polígonos a seguir.

a) Pentágono ABCDE.

b) Octógono ABCDEFGH.

c) Quadrilátero ABCD.

Respostas e comentários

31. a) fechada simples

31. b) aberta não simples

31. c) aberta simples

31. d) fechada não simples

32. a) convexo

32. b) convexo

32. c) não convexo

32. d) não convexo

33. a) falsa

33. b) verdadeira

33. c) verdadeira

34. Alternativa b.

35. a) quadrilátero ABCD

lados:

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D A}

vértices: a, B, C e D

ângulos internos:

\hat{A}

\hat{B}

\hat{C}

\hat{D}

diagonais:

\overline{A C}

\overline{B D}

35. b) hexágono ABCDEF

lados:

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D E}

\overline{E F}

\overline{F A}

vértices: a, B, C, D, E e F

ângulos internos:

\hat{A}

\hat{B}

\hat{C}

\hat{D}

\hat{E}

\hat{F}

diagonais:

\overline{A C}

\overline{A D}

\overline{A E}

\overline{B D}

\overline{B E}

\overline{B F}

\overline{C E}

\overline{C F}

\overline{D F}

\overline{A C}

\overline{A D}

\overline{A E}

\overline{B D}

\overline{B E}

\overline{B F}

\overline{C E}

\overline{C F}

\overline{D F}

36. a) Resposta pessoal.

36. b) Resposta pessoal.

36. c) Resposta pessoal.

• Na atividade 31, item d, chame a atenção para o fato de que não conseguimos ver o início ou o fim da linha poligonal (por isso ela é fechada) e que há pontos de intersecção (por isso é não simples). Apesar de poder ser considerada a composição de dois quadriláteros, no todo é uma única figura.

• Na atividade 33, ajude os estudantes a justificar oralmente a afirmativa falsa (item a): um polígono é representado por uma linha poligonal fechada simples que delimita sua região interna; assim, apenas dois lados não determinam um polígono, pois não definem a linha poligonal fechada, não delimitando a região interna.

• Na atividade 35, se necessário, revise com eles as notações utilizadas para segmentos e ângulos.

• Na atividade 36, sugira aos estudantes que comecem pela construção dos pontos, chamando a atenção para o fato de que não pode haver três pontos consecutivos alinhados.

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6 Triângulos

Na tela reproduzida a seguir, o artista húngaro Vítor Vasarely (1908-1997) dispôs diversos triângulos a fim de criar a ilusão de um objeto não plano.

Fotografia. Quadro com formato de quadrado com fundo roxo. Ao centro, triângulos com diferentes tons de azul e verde formando um círculo central e formato hexagonal ao redor. — Vítor Vasarely, Sharp, 1977. Museu de Arte de Haifa, Israel.

Os triângulos podem ser classificados quanto às medidas de comprimento de seus lados e quanto às medidas de abertura de seus ângulos internos.

De acôrdo com a medida de comprimento de seus lados, os triângulos podem ser classificados em equilátero, escaleno ou isósceles.

• Triângulo equilátero

Figura geométrica. Triângulo ABC azul com um tracinho em cada lado. — Os três lados têm medidas de comprimento iguais. A bê = BC = cê á

• Triângulo escaleno

Figura geométrica. Triângulo roxo ABC, um lado com um tracinho, outro lado com dois tracinhos e o terceiro lado com três tracinhos. legenda: triângulo escaleno — Os três lados têm medidas de comprimento diferentes.

• Triângulo isósceles

Figura geométrica. Triângulo ABC verde com um tracinho nos lados AB e AC e dois tracinhos no lado BC. — Dois lados têm medidas de comprimento iguais. A bê = á cê

De acôrdo com a medida de abertura de seus ângulos internos, os triângulos podem ser classificados em acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

• Triângulo acutângulo

• Triângulo obtusângulo

• Triângulo retângulo

Respostas e comentários

Triângulos

BNCC:

Habilidade ê éfe zero seis ême ah um nove.

Objetivo:

Identificar e classificar triângulos.

Justificativa

A habilidade ê éfe zero seis ême ah um nove lida com a identificação e a classificação de triângulos em relação à medida do comprimento de seus lados (equilátero, escaleno e isósceles), bem como em relação à medida da abertura de seus ângulos internos (retângulo, acutângulo e obtusângulo), o que justifica a pertinência do objetivo anterior.

Mapeando conhecimentos

Pergunte para a turma: “O que é um triângulo?” e escute as respostas. Em seguida, distribua uma folha com triângulos equiláteros isósceles e escalenos, mas sem mencionar essa classificação. Depois, chame a atenção deles para o fato de alguns triângulos terem todos os lados com mesma medida de comprimento, outros terem apenas dois lados com mesma medida de comprimento e, por fim, outros terem os lados com medidas de comprimento diferentes; em seguida, pergunte se sabem como podem ser classificados os triângulos da folha. Adote o mesmo procedimento para mapear o que sabem sobre a classificação de triângulos em relação à medida da abertura de seus ângulos internos.

Para as aulas iniciais

Na lousa escreva: TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS, TRIÂNGULOS ESCALENOS e TRIÂNGULOS ISÓSCELES. Na sequência proponha a alguns estudantes que desenhem triângulos equiláteros, isósceles e escalenos no espaço adequado. Repita esse procedimento para os triângulos acutângulos, obtusângulos e retângulos.

Aproveite essa introdução para falar um pouco sobre o artista, sua obra e a presença de figuras geométricas na tela apresentada. O artista plástico Victor Vasarely (1906-1997) foi um dos mais importantes representantes da Op Art, termo derivado do inglês Optical Art, ou arte óptica. Esse estilo de arte consiste na criação de efeitos visuais inovadores, por meio do jôgo de cores e de fórmas geométricas. As obras de Vasarely exerceram forte influência sobre muitos artistas abstratos do século vinte.

Comente que as marcações iguais nos lados de um mesmo polígono indicam que os lados possuem a mesma medida de comprimento.

(ê éfe zero seis ême ah um nove) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

Página 209

Atividades

Faça as atividades no caderno.

37. Utilizando uma régua, meça o comprimento dos lados dos triângulos e classifique cada um deles em equilátero, escaleno ou isósceles.

Figura geométrica. Triângulo roxo ABC com três lados de mesma medida de comprimento.

Figura geométrica. Triângulo azul claro GHI com os três lados com medidas de comprimento diferentes.

Figura geométrica. Triângulo verde MNO com os lados ON e OM de mesma medida de comprimento.

Figura geométrica. Triângulo amarelo DEF com os lados DE e DF de mesma medida de comprimento.

Figura geométrica. Triângulo azul claro JKL com os lados JK e JL de mesma medida de comprimento.

Figura geométrica. Triângulo alaranjado PQR com os três lados com medidas de comprimento diferentes.

38. Classifique cada triângulo a seguir em acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

Figura geométrica. Triângulo azul MNO, com um arco no ângulo M e a indicação de que esse ângulo mede 113 graus.

Figura geométrica. Triângulo azul GHI, com um arco simples nos ângulos G e I e o símbolo de um contorno de um quadrado com um ponto no meio no vértice H.

Figura geométrica. Triângulo vermelho PQR, um arco simples em cada ângulo e a indicação de 60 graus em cada um deles.

Figura geométrica. Triângulo vermelho JKL, um arco simples em cada ângulo. Cada ângulo tem medida de abertura menor que 90 graus.

39.

Desenhe, em uma folha avulsa, três triângulos. Troque seus triângulos com um colega e peça-lhe que meça a abertura dos ângulos internos dos três triângulos. Em seguida, cada um deve calcular a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo. Compare os resultados que obteve com os do colega. O que vocês observaram?

40. Quantos triângulos há em cada figura? No caderno, identifique todos os triângulos.

Figura geométrica. Figura verde formada por 5 segmentos de reta. Parte de uma reta com extremidades nos pontos B e C são base da figura. Essa reta passa pelo ponto D. Externo a essa reta, há o ponto A que forma os segmentos de reta AB, AD e AC.

Figura geométrica. Representação de um retângulo amarelo EFGH. Diagonal EH traçada. Saindo do vértice G há um segmento de reta GI, em que o ponto I faz parte da diagonal EH.

Figura geométrica. Representação de um retângulo vermelho JKLM. Diagonais JL e KN traçadas no retângulo, no encontro dessas diagonais ponto M.

41. Copie, no caderno, as afirmativas verdadeiras.

a) Todo triângulo equilátero é também isósceles.

b) Um triângulo obtusângulo tem dois ângulos internos agudos.

c) O triângulo equilátero tem ângulos internos com a mesma medida de abertura.

d) É possível traçar um triângulo obtusângulo equilátero.

e) O triângulo equilátero tem lados com a mesma medida de comprimento.

Respostas e comentários

37. a) equilátero

37. b) escaleno

37. c) isósceles

37. d) isósceles

37. e) isósceles

37. f) escaleno

38. a) obtusângulo

38. b) retângulo

38. c) acutângulo

38. d) acutângulo

39. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180graus.

40. a) 3 triângulos: △á bê cê, △á bê dê e △á cê dê

40. b) 4 triângulos: △EFH, △EGH, △EGI e △gê agá í

40. c) 8 triângulos: △JNK, △KLN, △JKM, △éle ême êne, △JMN, △KLM, △jota cá êle e △JNL

41. a) verdadeira

41. b) verdadeira

41. c) verdadeira

41. d) falsa

41. e) verdadeira

• Nas atividades 37 e 38, relembre a importância do método utilizado nas medições para garantir a exatidão desejada, levando em consideração os possíveis erros e arredondamentos.

• Na atividade 39, retome, se necessário, o uso do transferidor e a possibilidade do prolongamento dos lados dos ângulos. O objetivo da atividade é que os estudantes percebam que a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo é sempre 180graus. Diga que esse fato é verdadeiro para qualquer triângulo, mas há a necessidade de demonstração, o que não será feito nesse momento.

Se achar oportuno, inicie a discussão também para os quadriláteros. Após a conclusão sobre a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo, pergunte: “Quantos triângulos são necessários para compor um quadrilátero?”. Assim, será possível concluir que a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360graus. Esse conteúdo será abordado mais à frente, mas é possível iniciar a discussão neste momento.

Página 210

7 Quadriláteros

Na tela reproduzida a seguir, o artista brasileiro Luiz Sacilotto (1924-2003) dispôs quadriláteros em diferentes posições para criar a ilusão de linhas curvas. Observe:

Fotografia. Quadro com formato de quadrado composto por sete fileiras e sete colunas de outros quadrados coloridos. O fundo de cada um desses quadrados tem uma cor e há outro quadrado sobreposto em diferentes posições com outra cor. — Luiz Sacilotto, Concreção 8457, 1984, 20 centímetros por 20 centímetros.

Quadrilátero é um polígono com quatro lados. Analise o quadrilátero a bê cê dê a seguir.

Figura geométrica. Representação de um quadrilátero ABCD roxo, como todas as medidas dos lados diferentes.

Note, a seguir, como os quadriláteros podem ser classificados.

Paralelogramos

Paralelogramos são quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos.

Figura geométrica. Representação de um quadrilátero ABCD azul, com dois pares de lados paralelos.

\overline{A B}

⫽

\overline{C D}

\overline{A D}

⫽

\overline{B C}

Em um paralelogramo, lados opostos têm a mesma medida de comprimento. Assim, no paralelogramo anterior, temos:

A bê = DC e á dê = BC

Destacando três importantes paralelogramos, temos: o retângulo, o losango e o quadrado.

Respostas e comentários

Quadriláteros

BNCC:

Habilidades ê éfe zero seis ême ah dois zero e ê éfe zero seis ême ah dois dois.

Objetivo:

Identificar e classificar quadriláteros.

Justificativa

A habilidade ê éfe zero seis ême ah dois zero demanda associar propriedades relativas a medidas, paralelelismo e perpendicularismo para classificar quadriláteros, o que justifica a pertinência do objetivo anterior.

Mapeando conhecimentos

Pergunte para a turma: “O que é um quadrilátero?” e escute as respostas. Em seguida, comente que os quadriláteros podem ser classificados de acôrdo com vários critérios. Um deles é o paralelismo dos lados: os quadriláteros podem ter dois pares de lados paralelos, apenas um par de lados paralelos ou nenhum par de lados paralelos. Depois, distribua para os estudantes uma folha com paralelogramos e trapézios, mas sem mencionar essa classificação, e, em seguida, peça que identifiquem, por meio de experimentação, os pares de lados paralelos e classifiquem esses quadriláteros.

Para as aulas iniciais

Ensine o procedimento para verificar o paralelismo usando régua e esquadro. Isso contribui para que os estudantes desenvolvam a habilidade de manusear instrumentos de desenho e não confiem apenas na observação para classificar quadriláteros. Depois, distribua folhas de papel quadriculado e solicite que representem nela quadriláteros com um par de lados paralelos e quadriláteros com os dois pares de lados paralelos. Antecipe a classificação, caso julgue necessário.

Aproveite a oportunidade para falar um pouco sobre o artista, sua obra e a presença de figuras geométricas na tela apresentada. Luiz Sacilotto (1924-2003) – pintor, desenhista e escultor brasileiro – foi um dos principais representantes do abstracionismo no Brasil.

(ê éfe zero seis ême ah dois zero) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

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Retângulo

Retângulo é o paralelogramo que tem os quatro ângulos retos.

Figura geométrica. Representação de um paralelogramo ABCD azul com 4 ângulos retos. Um par de lados tem um tracinho e o outro tem dois tracinhos, indicando que cada par tem mesma medida de comprimento.

Losango

Losango é o paralelogramo cujos lados têm a mesma medida de comprimento, ou seja, são congruentes.

Quadrado

Quadrado é o paralelogramo cujos lados têm a mesma medida de comprimento e os quatro ângulos são retos.

Figura geométrica. Representação de um paralelogramo ABCD vermelho com 4 símbolos de ângulo reto nos ângulos internos e 4 tracinhos, um de cada lado, indicando que os lados possuem a mesma medida de comprimento.

Vamos estudar algumas relações entre retângulo, losango e quadrado:

▸ Um quadrado é um retângulo? Justifique sua resposta.

▸ Todo retângulo é um quadrado? Justifique sua resposta.

▸ Todo retângulo é um losango? Justifique sua resposta.

▸ Todo losango é um quadrado? Justifique sua resposta.

▸ Todo quadrado é um losango? Justifique sua resposta.

Trapézios

Trapézio é o quadrilátero que tem apenas um par de lados paralelos.

Figura geométrica. Representação de um paralelogramo ABCD azul com apenas um par de lados paralelos. Os lados representados pelos segmentos de reta AB e DC são paralelos.

\overline{A B}

⫽

\overline{C D}

Observe a seguir os trapézios retângulo, isósceles e escaleno e suas características.

Trapézio retângulo

É aquele que tem dois ângulos retos.

Figura geométrica. Representação de um paralelogramo ABCD alaranjando com apenas um par de lados paralelos, os ângulos C e D estão indicados com o símbolo de ângulo reto. Os lados representados pelos segmentos de reta AD e BC são paralelos.

Trapézio isósceles

É aquele que tem os lados não paralelos congruentes.

Figura geométrica. Representação de um paralelogramo ABCD verde com apenas um par de lados paralelos. Os lados representados pelos segmentos de reta AB e DC são paralelos e os lados representados pelos segmentos de reta AD e BC tem dois tracinhos indicando que tem mesma medida e comprimento.

Trapézio escaleno

É aquele que tem as medidas dos comprimentos dos lados não paralelos diferentes.

Figura geométrica. Representação de um paralelogramo ABCD vermelho com apenas um par de lados paralelos. Os lados representados pelos segmentos de reta AB e DC são paralelos.

Observação

Há quadriláteros que não são paralelogramos nem trapézios.

Figuras geométricas. Representação de três quadriláteros, um azul, um vermelho e um verde, que não tem nenhum par de lados paralelos.

Respostas e comentários

Primeiro item: Sim, pois um quadrado é um paralelogramo que tem os quatro ângulos retos, ou seja, é um retângulo.

Segundo item: Não, pois existem retângulos que não têm todos os lados com a mesma medida de comprimento.

Terceiro item: Nem sempre, pois os quadrados são os únicos retângulos que são também losangos.

Quarto item: Não, pois nem todo losango tem quatro ângulos retos.

Quinto item: Sim, pois um quadrado é um paralelogramo que tem todos os lados com a mesma medida de comprimento.

Trapézios

Chame a atenção para o fato de que, para ser chamado de trapézio, o quadrilátero deve ter apenas um par de lados paralelos; no caso do paralelogramo, os dois pares devem ser paralelos. Daí a conclusão de que, estabelecido esse critério, são dois conceitos disjuntos, ou seja, não é possível um quadrilátero ser paralelogramo e trapézio ao mesmo tempo.

Página 212

Atividades

42. Classifique cada um dos quadriláteros a seguir em paralelogramo ou trapézio.

Figura geométrica. Representação de um quadrilátero ABCD alaranjado com dois pares de lados paralelos.

Figura geométrica. Representação de um quadrilátero ABCD alaranjado com apenas um par de lados paralelos.

43. Com o auxílio de uma régua e de um transferidor, classifique, no caderno, os paralelogramos a seguir.

Figura geométrica. Representação de um quadrilátero verde ABCD com quatro lados de mesma medida, dois pares de ângulos agudos e dois pares de ângulos obtusos.

Figura geométrica. Representação de um quadrilátero azul ABCD com pares de lados paralelos com medidas diferentes e quatro ângulos retos.

Figura geométrica. Representação de um quadrilátero alaranjado ABCD com quatro lados de mesma medida e quatro ângulos retos.

Figura geométrica. Representação de um quadrilátero roxo ABCD com quatro lados de mesma medida, dois pares de ângulos agudos e dois pares de ângulos obtusos.

44. Classifique cada afirmação a seguir em verdadeira ou falsa, corrigindo as falsas.

a) Todo quadrado é um retângulo.

b) Todo trapézio é um paralelogramo.

c) Um trapézio pode ser um retângulo.

d) Todo quadrado é também um losango.

e) Um losango pode ser um retângulo.

f) Existem retângulos que não são paralelogramos.

g) Todo paralelogramo é um losango.

h) Existem retângulos que são losangos.

45. Desenhe no caderno:

a) um quadrilátero que não tenha lados paralelos;

b) um quadrilátero que tenha dois pares de lados paralelos;

c) um quadrilátero que tenha apenas um par de lados paralelos.

• Qual desses itens representa um trapézio?

46. Responda às questões no caderno.

a) Qual é o quadrilátero que tem quatro ângulos retos e quatro lados congruentes?

b) Qual é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos?

47.

Desenhe três quadriláteros quaisquer. Troque-os com um colega para que cada um de vocês meça a abertura dos ângulos internos dos três quadriláteros do outro. Em seguida, calculem a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada quadrilátero. Comparem os seus resultados. O que vocês observaram?

48. O pintor suíço Paul Klee (1879‑1940) foi um mestre da arte abstrata. Observe o quadro reproduzido na imagem a seguir.

Fotografia. Quadro composto por representações de figuras geométricas coloridas como quadrados, retângulos, triângulos, pentágonos que se justapõem. — Paul Klee, Mountain village (autumnal), 1934, 71,5 centímetros por 54,4 centímetros.

Em seu caderno, indique algumas das figuras geométricas do quadro que lembram polígonos.

49. Com régua e esquadro, construa no caderno:

a) um quadrado a bê cê dê cuja medida de comprimento do lado seja 2 centímetros;

b) um trapézio ê éfe gê agá, tal que

medida de

(\hat{E})

= medida de

(\hat{F})

= 90graus

medida de

(\overline{E H})

= 1,5 centímetro e

medida de

(\overline{F G})

= 3 centímetros.

Respostas e comentários

42. a) paralelogramo

42. b) trapézio

43. a) losango

43. b) retângulo

43. c) quadrado

43. d) losango

44. a) verdadeira

44. b) Falsa. Um trapézio não é um paralelogramo.

44. c) Falsa. Um trapézio não é um retângulo.

44. d) verdadeira

44. e) verdadeira

44. f) Falsa. Todo retângulo é um paralelogramo.

44. g) Falsa. Existem paralelogramos que são losangos.

44. h) verdadeira

45. alternativa c

45. a) Exemplo de figura:

Figura geométrica. Quadrilátero sem pares de lados paralelos.

45. b) Exemplo de figura:

Figura geométrica. Quadrilátero com dois pares de lados paralelos.

45. c) Exemplo de figura:

Figura geométrica. Quadrilátero com apenas um par de lados paralelos.

46. a) quadrado

46. b) paralelogramo

47. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer é igual a 360graus.

48. Exemplos de resposta: Triângulos, quadriláteros (paralelogramos e trapézios), pentágonos etcétera.

49. a) Resposta em Orientações.

49. b) Resposta em Orientações.

• Na atividade 43, relembre, se necessário, o uso da régua e do transferidor, bem como a possibilidade de prolongar os lados dos ângulos para executar a medição. No entanto, se houver necessidade de prolongamento, sugira reproduzir as figuras em folha de papel vegetal.

• A atividade 45 favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero seis ême ah dois dois em relação ao uso de instrumentos como réguas e esquadros para a representação de quadriláteros.

• Na atividade 47, é esperado que os estudantes percebam que a soma das medidas dos ângulos internos dos quadriláteros é 360graus. Diga que tal conclusão é verdadeira para qualquer quadrilátero e pode ser demonstrada, mas não o faremos aqui. Para contribuir com o raciocínio, peça que verifiquem que todo quadrilátero é formado por dois triângulos; logo, se a soma das medidas dos ângulos internos dos triângulos for 180graus, a do quadrilátero será 2 ⋅ 180graus, ou seja, 360graus.

• Resposta do item a da atividade 49:

Figura geométrica. Quadrado azul ABCD com indicação de 2 cm em um dos lados.

• Resposta do item b da atividade 49:

Figura geométrica. Trapézio retângulo verde EFGH. Base maior com indicação de 3 centímetros e base menor com indicação de um vírgula cinco centímetros.

Ao abordar este item, sugira aos estudantes que façam primeiro um esbôço do trapézio, a fim de estabelecer uma ordem de construção.

Página 213

Tecnologias digitais em foco

Quadriláteros

Nesta seção, utilizaremos o GeoGebra ou outro software de geometria dinâmica que seu professor pode indicar para construir quadriláteros e investigar uma das propriedades do paralelogramo.

Construa

Para construir um quadrilátero qualquer, selecione a ferramenta

Ilustração. Representação de um botão com formato quadrado. No interior do quadrado há a representação de um triângulo com pontos azuis em cada vértice.

e clique em 4 pontos quaisquer da tela. A construção deve ser finalizada clicando novamente no ponto em que a construção foi iniciada.

Essa ferramenta possibilita também construir quadriláteros a partir de 4 pontos já marcados na tela.

Você pode transformar o quadrilátero construído em convexo ou não convexo, arrastando um de seus 4 vértices.

Agora, siga os passos a seguir para construir um paralelogramo.

1º) Marque 3 pontos não colineares a, B e C.

2º) Trace a reta r que passa por a e B e a reta s que passa por B e C.

3º) Trace uma reta p, paralela à reta r, passando por C.

4º) Trace uma reta q, paralela à reta s, passando por a.

5º) Marque o ponto D, intersecção das retas p e q.

6º) Utilize a ferramenta

e construa o quadrilátero ABCD, que será um paralelogramo.

Respostas e comentários

Tecnologias digitais em foco

BNCC:

• Competência geral 5 (a descrição está na página seis).

• Competência específica 5 (a descrição está na página sete).

• Habilidade ê éfe zero seis ême ah dois dois.

Objetivo:

Utilizar o software Geogebra para construir quadriláteros.

Nesta seção, os estudantes vão representar retas paralelas e construir um quadrilátero qualquer, um paralelogramo e um trapézio. Caso não seja possível usar este software especificamente, a proposta pode ser realizada com outros softwares ou utilizando instrumentos de desenho.

Página 214

Tecnologias digitais em foco

Na tela estão representadas duas retas paralelas indicada por r e p. A reta r passando pelos pontos A e B e a reta p passando pelos pontos C e D. Cortando as retas r e p, há duas retas paralelas s e q. A reta s passa pelos pontos B e C e a reta q passa pelos pontos A e D. os pontos A, B, C e D formam um paralelogramo bege ABCD. Apontando para o ponto D há um fio azul com a indicação: Outra maneira de marcar o ponto D é usar a ferramenta: ilustração: botão com formato quadrado. No interior do quadrado há a representação de uma reta sendo interceptada por um arco, na intersecção há um ponto vermelho. Ao selecionar essa ferramenta, clique na reta p e depois na reta q para gerar o ponto de intersecção.

Você pode verificar que qualquer reta perpendicular ao lado

\overline{A B}

também é perpendicular ao lado

\overline{C D}

e que qualquer reta perpendicular ao lado

\overline{B C}

também é perpendicular ao lado

\overline{D A} .

Agora, siga os passos a seguir para construir um trapézio.

1º) Marque 3 pontos não colineares ê, F e G.

2º) Trace a reta t, que passa por ê e F.

3º) Trace uma reta u, paralela à reta t, passando por G.

4º) Marque um ponto H qualquer na reta u de modo que o segmento

\overline{E H}

não cruze o segmento

\overline{F G}

e que FG não seja igual a EH.

5º) Utilize a ferramenta

e construa o quadrilátero EFGH, que será um trapézio.

Explore

Por que o quadrilátero a bê cê dê, construído anteriormente, é um paralelogramo?

b) Meça os lados do paralelogramo que você criou e mova os pontos dessa figura. O que acontece com as medidas dos lados do paralelogramo?

c) Por que o quadrilátero ê éfe gê agá construído anteriormente é um trapézio?

Respostas e comentários

Explore: a) Porque tem dois pares de lados paralelos.

Explore: b) Espera-se que os estudantes percebam que a igualdade entre as medidas dos lados opostos do paralelogramo se mantém.

Explore: c) Porque tem apenas um par de lados paralelos.

Espera-se que os estudantes percebam, por meio de investigação, que os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. Propostas como essa contribuem para que eles utilizem as tecnologias digitais de fórma significativa e reflexiva a fim de produzir conhecimento, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5 da Bê êne cê cê. Além disso, momentos como esse colocam os estudantes como protagonistas do processo de aprendizagem, pois desenvolvem a autonomia do pensamento e a busca de reflexão antes da explicação teórica.

É importante enfatizar que a propriedade é verdadeira, mas que a experimentação feita apenas sugere que ela é válida.

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Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Representação de ponto, reta e plano

Figura geométrica. Representação de 3 figuras uma ao lado da outra. Da esquerda para a direita temos a representação de um ponto roxo nomeado A, depois a representação de uma reta azul nomeada r e por último, a representação de parte de um plano amarelo. No canto inferior direito, está presente a letra grega beta.

1. Observe a figura a seguir.

Copie a figura no caderno e represente:

a) uma reta r contida no plano alfa;

b) uma reta s contida no plano beta;

c) um ponto a que pertence ao plano alfa;

d) um ponto B que pertence ao plano beta;

e) um ponto C que pertence aos planos alfa e beta.

Semirreta e segmento de reta

Semirreta

\vec{O B}

Segmento de reta

Figura geométrica. Representação de uma semirreta verde na horizontal, com extremidade nos pontos A à esquerda e B à direita.

\overline{A B}

2. Identifique as semirretas representadas nas figuras.

Figura geométrica. Representação de uma semirreta azul com origem no ponto A, passando pelo ponto B.

Figura geométrica. Representação de uma semirreta azul com origem no ponto D, passando pelo ponto C.

3. Quais figuras a seguir representam um segmento de reta?

Figura geométrica. Parte de uma reta azul com extremidades nos pontos A à esquerda e B à direita.

Figura geométrica. Ponto vermelho C à esquerda conectado por uma linha curva ao ponto D à direita.

Figura geométrica. Ponto verde E à esquerda conectado a um ponto F à direita por meio de uma linha curva.

Figura geométrica. Parte de uma reta amarela inclinada, com extremidades nos pontos G à esquerda e H à direita. O ponto G está acima do ponto H.

4. Identifique os segmentos de reta representados nas figuras.

Figura geométrica. Contorno de um quadrilátero ABDC com pontos nos vértices amarelos A, B, D e C.

Figura geométrica. Contorno de um quadrilátero azul ABCD com pontos nos vértices azuis A, B, C e D.

Ângulos

Ângulo é a união de duas semirretas, que têm a mesma origem, com uma das regiões do plano limitada por elas.

Classificação de ângulos
Ângulo reto	Ângulo agudo	Ângulo obtuso

5. Utilizando um transferidor, desenhe no caderno dois ângulos: um de medida de abertura igual a 60graus e outro de medida de abertura igual a 130graus.

6. Classifique os ângulos de cada item em reto, agudo ou obtuso.

Figura geométrica. Duas semirretas azuis. Uma semirreta na vertical e outra na vertical. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em azul. Além disso, na região interna do ângulo, próximo à origem, há um símbolo que lembra o contorno de um quadrado com um ponto no meio.

Figura geométrica. Duas semirretas laranjas. Uma semirreta com inclinação para esquerda para cima e outra com inclinação para baixo também para esquerda. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em laranja e tem um arco identificando um ângulo.

Figura geométrica. Duas semirretas roxas. Uma semirreta com inclinação para direita e outra na horizontal para direita. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em roxo e tem um arco identificando um ângulo.

Figura geométrica. Duas semirretas verdes. Uma semirreta com inclinação para esquerda para cima e outra com inclinação para cima para direita. A região interna limitada por estas duas semirretas, está destacada em verde e tem um arco identificando um ângulo.

Retas paralelas e retas perpendiculares

Retas concorrentes

Retas paralelas

Figura geométrica. Representação de parte de um plano verde claro nomeado alfa. Contidas no plano, estão representadas duas retas uma verde nomeada r e outra roxa nomeada s. A representação da reta verde está um pouco inclinada para cima e um pouco abaixo com a mesma inclinação da reta verde, está representada a reta roxa s.

Retas perpendiculares

Figura geométrica. Representação de parte de um plano verde claro nomeado alfa. Contidas no plano, estão representadas duas retas uma azul claro r e outra laranja u. As retas se interceptam formando quatro ângulos. Nos ângulos formados pelas retas estão representados símbolos de ângulo reto.

Respostas e comentários

1. Exemplo de resposta:

2. a)

\vec{A B}

2. b)

\vec{D C}

3. Itens a e d.

4. a)

\overline{A B}

\overline{B D}

\overline{C D}

\overline{C A}

4. b)

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D A}

5. Resposta pessoal.

6. a) reto

6. b) agudo

6. c) agudo

6. d) obtuso

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Representação de ponto, reta e plano

• Há infinitas possibilidades de resposta para cada item da atividade 1 e, por isso, é importante incentivar os estudantes a compartilhar suas representações após concluírem a atividade. Aproveite a oportunidade para verificar se conseguem distinguir os conceitos de ponto, reta e plano.

Semirreta e segmento de reta

Retome os conceitos de semirreta e segmento de reta se achar necessário e apresente alguns exemplos na lousa.

• A atividade 2 explora a notação utilizada para representar semirretas. Espera-se que os estudantes percebam que, nesta notação, a primeira letra corresponde à origem da semirreta. É possível que alguns estudantes representem a semirreta do item b por

\vec{C D}

, uma vez que a origem se encontra do lado direito. Caso isso aconteça, faça as intervenções necessárias.

• A atividade 3 tem o objetivo de trabalhar o conceito de segmento de reta. Espera-se que os estudantes reconheçam o segmento de reta como parte de uma reta e, portanto, indiquem os itens a e d.

• Na atividade 4, os estudantes vão identificar os segmentos de reta presentes em figuras. Aproveite a oportunidade e comente que os contornos dos polígonos são formados por segmentos de reta.

Ângulos

• Na atividade 5, os estudantes vão construir ângulos com o auxílio de um transferidor. Verifique se manipulam o instrumento da maneira correta e oriente-os se for necessário. Você pode ampliar a proposta da atividade e solicitar que construam ângulos com outras medidas de abertura.

• Na atividade 6, os estudantes devem classificar os ângulos em reto, agudo ou obtuso. Antes de realizarem a atividade, peça a alguns deles que verbalizem o que é um ângulo reto, um ângulo agudo e um ângulo obtuso. Após classificarem os ângulos da atividade, você pode pedir que meçam a abertura de cada um com o auxílio de um transferidor.

Retas paralelas e retas perpendiculares

• Incentive os estudantes a explicar com suas próprias palavras o que são retas concorrentes, paralelas e perpendiculares. Depois, questione-os: “Retas perpendiculares são sempre concorrentes? E retas concorrentes são sempre perpendiculares?”.

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7. No caderno, utilizando régua e esquadro, represente um par de retas paralelas e um par de retas perpendiculares.

8. Observe a representação de um par de retas e, em seguida, responda: Essas retas são concorrentes? Justifique sua resposta.

Figura geométrica. Representação de uma reta azul inclinada r e outra reta azul s com diferente inclinação da reta r.

Polígonos

Uma linha poligonal fechada simples com sua região interna fórma uma figura geométrica plana chamada de polígono.

Figura geométrica. Representação de um polígono roxo com 4 lados.
Figura geométrica. Representação de um polígono azul com 5 lados. A figura se parece com uma bandeira típica de festa junina.

Os polígonos recebem o nome de acôrdo com o número de lados ou de ângulos internos.

9. Quais das figuras são polígonos?

Figura geométrica. Linha poligonal fechada e simples com 3 segmentos de reta.

Figura geométrica. Linha poligonal aberta e simples com 3 segmentos de reta.

Figura geométrica. Figura verde formada por um segmento de reta e uma linha curva. A figura se parece com meio círculo.

Figura geométrica. Linha poligonal fechada e simples com 6 segmentos de reta.

10. No caderno, construa os polígonos a seguir.

a) Quadrilátero a bê cê dê.

b) Hexágono á bê cê dê é éfe.

Triângulos

Triângulo é um polígono com três lados.

Classificação de acordo com as medidas dos comprimentos dos lados

Classificação de acordo com as medidas de abertura dos ângulos
Triângulo acutângulo	Triângulo obtusângulo	Triângulo retângulo

11. Utilizando uma régua, meça o comprimento dos lados dos triângulos e classifique cada um deles em equilátero, escaleno ou isósceles.

Figura geométrica. Triângulo azul com os três lados de mesma medida de comprimento.

Figura geométrica. Triângulo alaranjado com dois lados de mesma medida de comprimento.

Figura geométrica. Triângulo verde com os três lados de diferentes medida de comprimento.

Figura geométrica. Triângulo roxo com os três lados de diferentes medida de comprimento.

12. Desenhe, no caderno, um triângulo acutângulo, um triângulo obtusângulo e um triângulo retângulo.

Quadriláteros

Quadrilátero é um polígono com quatro lados.

Esquema. Saindo da palavra quadrilátero há um fio vermelho que desce para três figuras. Da esquerda para direita. Um paralelogramo azul, um trapézio azul é um quadrilátero azul qualquer. Saindo do paralelogramo há um fio vermelho que se ramifica para um retângulo azul e um losango azul. Saindo do retângulo e do losango um outro fio vermelho conectado em um quadrado azul.

13. No caderno, desenhe um paralelogramo, um trapézio, um quadrado, um retângulo e um losango.

Respostas e comentários

7. Resposta pessoal.

8. Sim, pois, ao prolongarmos a representação dessas retas, elas têm um ponto em comum.

9. Itens a e d.

10. a) Resposta pessoal.

10. b) Resposta pessoal.

11. a) equilátero

11. b) isósceles

11. c) escaleno

11. d) escaleno

12. Resposta pessoal.

13. Resposta pessoal.

• Após concluírem a atividade 7, incentive-os a compartilhar as representações feitas do par de retas paralelas e do par de retas perpendiculares.

• Na atividade 8, espera-se que os estudantes percebam que, ao prolongar as retas, elas irão se cruzar em um ponto e, por conta disso, essas são representações de retas concorrentes.

Polígonos

• Para ampliar a proposta da atividade 9, peça que os estudantes classifiquem as figuras que são polígonos de acôrdo com o número de lados ou ângulos internos.

• Na atividade 10, peça que os estudantes compartilhem as figuras construídas. Assim eles poderão perceber que é possível construir diferentes quadriláteros e hexágonos.

Triângulos

• Na atividade 12, após os estudantes desenharem os triângulos, peça que troquem de caderno com um colega para que ele confira se os triângulos desenhados atendem às exigências da atividade. Incentive o uso do transferidor. Essa troca entre os estudantes favorece o desenvolvimento da competência geral 9 da Bê êne cê cê.

Quadriláteros

Reproduza o esquema apresentado na lousa e incentive os estudantes a justificar o porquê dos retângulos e losangos serem paralelogramos e também o porquê do quadrado ser um caso particular de losango e retângulo.

• Na atividade 13, se julgar interessante, peça que os estudantes façam a atividade em grupo. Dessa maneira, eles podem tirar dúvidas com os colegas e é possível incentivar a cooperação entre eles.

Glossário

Cidade planejada: : cidade projetada detalhadamente, desde seu início, com o objetivo de minimizar problemas comuns ao processo de urbanização.; Voltar para o texto

Polígono: : palavra de origem grega: poli: muitos; gonos: ângulos.; Voltar para o texto