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Revisão dos conteúdos de anos anteriores

Faça as atividades no caderno.

Para o capítulo 1: Números inteiros

A reta numérica e os números naturais

Os números naturais podem ser representados em uma reta numérica, na qual cada ponto está associado a um número. Confira a seguir.

• Traçamos uma reta e marcamos o ponto O (origem):

Ilustração. Reta com ponto O representado à esquerda.

• À direita de O, marcamos pontos consecutivos com a mesma medida da distância entre eles, obtendo os pontos a, B, C, D, reticências.

Ilustração. Mesma figura anterior, agora com pontos A, B, C e D representados à direita do ponto O. Os pontos estão igualmente espaçados.

• Aos pontos óh, a, B, C, D, reticências. fazemos corresponder os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, reticências, respectivamente.

Ilustração. Mesma figura anterior, agora com os pontos E e F, representados à direita do ponto D. Os pontos estão igualmente espaçados. Além disso, abaixo dos pontos O, A, B, C, D, E e F estão, respectivamente, os números 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

1. Em seu caderno, trace uma reta numérica e represente os números 12, 5 e 7.

2. Para cada item, escreva em seu caderno os números naturais correspondentes aos pontos indicados pelas letras.

Ilustração. Reta numérica, dividida em 7 partes iguais por meio de 8 pontos. Da esquerda para a direita, estão representados os números e letras: 25, 26, 27, A, B, 30, 31 e 32.

Ilustração. Reta numérica, dividida em 7 partes iguais por meio de 8 pontos. Da esquerda para a direita, estão representados os números e letras: C, 13, 15, 17, 19, D, 23 e 25.

Ilustração. Reta numérica, dividida em 7 partes iguais por meio de 8 pontos. Da esquerda para a direita, estão representados os números e letras: 5, 10, 15, 20, E, F, G e 40.

3. Qual das representações a seguir está correta?

Ilustração. Reta numérica, dividida em 6 partes iguais por meio de 7 pontos. Da esquerda para a direita, estão representados os números: 30, 29, 28, 27, 26, 25 e 24.

Ilustração. Reta numérica, dividida em 9 partes iguais por meio de 10 pontos. Da esquerda para a direita, estão representados os números: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 e 20.

Ilustração. Reta numérica, com a representação de 7 pontos que não estão igualmente espaçados. Da esquerda para a direita, estes pontos representam os números: 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17.

4. Quais são os números naturais correspondentes aos pontos representados pelas letras M e N na reta numérica a seguir?

Ilustração. Reta numérica, dividida em 7 partes iguais por meio de 8 pontos. Da esquerda para a direita, no primeiro ponto, está representado, o número zero, no segundo o número 10, no terceiro, o número 20, no sexto a letra M e no oitavo a letra N.

Algumas propriedades da adição

Propriedade comutativa

Em uma adição de números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.

985 + 321 = 321 + 985

Propriedade associativa

Em uma adição de três ou mais números naturais, podemos associar as parcelas de diferentes modos sem alterar a soma.

a) abre parênteses190 + 28fecha parênteses + 255 = 218 + 255 = 473

b) 190 + abre parênteses28 + 255fecha parênteses = 190 + 283 = 473

Elemento neutro

O zero, quando adicionado a outro número natural qualquer, resulta sempre nesse outro número. Ou seja, o zero como parcela da adição não altera o valor da soma.

Por isso, ele é chamado de elemento neutro da adição.

632 + 0 = 632

0 + 265 = 265

5. Identifique a propriedade aplicada em cada caso.

a) 715 + 0 = 715

b) 65 + 981 = 981 + 65

c) abre parênteses15 + 150fecha parênteses + 5 = 15 + abre parênteses150 + 5fecha parênteses

d) 219 + 0 + 8 = 8 + 219

6. Copie cada sentença em seu caderno e complete-as aplicando a propriedade comutativa.

a) 26 + 52 =

+ 26

b) 150 + 63 = 63 +

c) 100 + 98 =

d) 89 +

= 52 +

7. Em qual das sentenças a propriedade associativa foi utilizada?

a) 56 + 12 + 13 = 13 + 12 + 56

b) 56 + 12 + 13 = 56 + 13 + 12

c) abre parênteses56 + 12fecha parênteses + 13 = 56 + abre parênteses12 + 13fecha parênteses

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Algumas propriedades da multiplicação

Propriedade comutativa

Em uma multiplicação de números naturais, a ordem dos fatores não altera o produto.

12 ⋅ 150 = 150 ⋅ 12

Propriedade associativa

Em uma multiplicação com mais de dois números naturais, podemos associar os fatores de modos diferentes sem alterar o produto.

a) abre parênteses5 ⋅ 16fecha parênteses ⋅ 101 = 80 ⋅ 101 = .8080

b) 5 ⋅ abre parênteses16 ⋅ 101fecha parênteses = 5 ⋅ .1616 = .8080

Elemento neutro

O número 1, quando multiplicado por outro número natural qualquer, resulta sempre nesse outro número. Ou seja, o 1 como fator da multiplicação não altera o valor do produto. Por isso, ele é chamado elemento neutro da multiplicação.

a) 1 ⋅ 543 = 543

b) .2022 ⋅ 1 = .2022

Propriedade distributiva

Para multiplicar um número natural por uma adição abre parêntesesou subtraçãofecha parênteses com dois ou mais termos, podemos multiplicar esse número por cada um dos termos da adição (ou da subtração) e adicionar (ou subtrair) os resultados obtidos.

a) 12 ⋅ abre parênteses60 + 45fecha parênteses = 12 ⋅ 60 + 12 ⋅ 45 = 720 + 540 = .1260

b) 34 ⋅ abre parênteses141 menos 10fecha parênteses = 34 ⋅ 141 menos 34 ⋅ 10 = .4794 menos 340 = .4454

8. Escreva em seu caderno as palavras que completam cada frase.

a) O elemento neutro da multiplicação é o número

b) Segundo a propriedade

da multiplicação, podemos alterar a ordem dos fatores sem alterar o produto.

c) Quando temos uma multiplicação com 3 fatores, podemos usar a propriedade

9. Resolva as multiplicações aplicando a propriedade distributiva.

a) 2 ⋅ abre parênteses91 + 12fecha parênteses

b) 15 ⋅ abre parênteses9 + 10fecha parênteses

c) 10 ⋅ abre parênteses20 + 180fecha parênteses

10. Copie cada sentença em seu caderno e coloque os parênteses adequadamente com base na propriedade associativa.

a) 7 ⋅ abre parênteses50 ⋅ 12fecha parênteses = 7 ⋅ 50 ⋅ 12

b) abre parênteses14 ⋅ 10fecha parênteses ⋅ 5 = 14 ⋅ 10 ⋅ 5

c) 120 ⋅ abre parênteses3 ⋅ 5fecha parênteses = 120 ⋅ 3 ⋅ 5

Potenciação com números naturais

Para representar uma multiplicação em que todos os fatores são iguais, podemos usar a potenciação.

Esquema. Potenciação na horizontal.
3 vezes 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3 é igual a 3 elevado a 5.
Há uma seta saindo do número 5 indicando número de fatores, e outra seta saindo do número 3 indicando fator que se repete.

De modo geral, na potenciação com números naturais, a base é o fator que se repete na multiplicação, o expoente indica a quantidade de vezes que o fator se repete e a potência é o resultado da operação.

Esquema. Potenciação na horizontal.
3 elevado a 5 é igual a 243
Há uma seta entrado no número 3 indicando que é a base, outra seta entrando no número 5, indicando expoente, e outra seta entrando no número 243 indicando potência

• Quando o expoente é 1, a potência é igual à base.

a) 7elevado a 1 = 7

b) 99elevado a 1 = 99

c) 500elevado a 1 = 500

• Quando o expoente é zero e a base é diferente de zero, a potência é igual a 1.

a) 7elevado a 0 = 1

b) 99elevado a 0 = 1

c) 500elevado a 0 = 1

11. Escreva em seu caderno as multiplicações em fórma de potência.

a) 51 ∙ 51 ∙ 51 ∙ 51

b) 10 ∙ 10 ∙ 10

12. Copie as frases em seu caderno e complete-as com uma das palavras a seguir:

Esquema. 3 Quadros com palavras na horizontal. Da esquerda para a direita. Base, expoente, potência.

a) Em 29ao quadrado o número 2 é chamado de

b) O número 6 é

de 6elevado a 5.

c) O resultado de 3ao quadrado é chamado de

13. Associe cada potência ao seu resultado.

a. 2elevado a 5 B. 5ao quadrado C. 15elevado a 1 D. 1elevado a 15 ê. 0elevado a 9 F. 12ao quadrado

um. 0 dois. 1 três. 15 quatro. 32 cinco. 25 seis. 144

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Para o capítulo 2: Múltiplos e divisores

Múltiplos de um número natural

Um número natural é múltiplo de outro quando o primeiro é obtido multiplicando-se o segundo por um número natural qualquer.

25 é múltiplo de 5, pois 5 ∙ 5 = 25

42 é múltiplo de 6 e de 7, pois 6 ∙ 7 = 42

• Todo número natural é múltiplo de 1 e dele mesmo.

• Não existe o maior múltiplo de um número natural não nulo. A sequência dos múltiplos de um número natural, diferente de zero, é infinita.

• O zero só tem um múltiplo: o próprio zero.

a) 0 ∙ 100 = 0

b) 0 ∙ 5 = 0

c) 0 ∙ 28 = 0

• O zero é múltiplo de todos os números.

a) 7 ∙ 0 = 0 abre parênteses0 é múltiplo de 7fecha parênteses

b) 95 ∙ 0 = 0 abre parênteses0 é múltiplo de 95fecha parênteses

14. Em seu caderno, escreva os 5 menores múltiplos de:

a) 6

b) 10

c) 9

d) 15

15. Escreva em seu caderno os números que faltam em cada frase.

a) 10 é múltiplo de

, 2, 5 e

b) 18 é múltiplo de

, 9 e 18.

c) 12 é múltiplo de 1, 2,

, 4, 6 e

d) 32 é múltiplo de 1,

, 16 e 32.

16. Quais afirmações são verdadeiras?

a) Qualquer número natural é múltiplo de 1.

b) Qualquer número natural é múltiplo de 0.

c) 3 é múltiplo de 6.

d) 1 é múltiplo de 5.

e) 0 é múltiplo de 100.

f) 25 é múltiplo de 100.

Divisores de um número natural

Um número natural é divisor ou fator de outro, caso a divisão do segundo pelo primeiro seja exata.

3 é divisor de 12, pois 12 : 3 = 4 (divisão exata).

5 não é divisor de 12, pois a divisão de 12 por 5 não é exata.

• O zero não é divisor de nenhum número natural, pois não existe divisão por zero.

• Todo número natural diferente de zero tem como divisor ele mesmo.

• O número 1 é divisor de todos os números naturais.

17. Usando os números 1, 2, 3, 4 e 5, complete as frases com os números que as tornam verdadeiras. (Observação: Um mesmo número pode ser usado em mais de uma frase e uma mesma frase pode ser completada com mais de um número.)

é divisor de 15.

é divisor de 24.

é divisor de 21.

é divisor de 27.

18. Em seu caderno, escreva os divisores de:

a) 10

b) 16

c) 17

d) 33

Critérios de divisibilidade

Critério de divisibilidade por 2: Um número natural é divisível por 2 quando é par, ou seja, quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Critério de divisibilidade por 3: Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3.

Critério de divisibilidade por 4: Um número natural, maior ou igual a 100, é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Critério de divisibilidade por 5: Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou em 5.

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Critério de divisibilidade por 6: Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e também por 3.

Critério de divisibilidade por 8: Um número natural, maior ou igual a .1000, é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Critério de divisibilidade por 9: Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9.

Critério de divisibilidade por 10, 100 e .1000: Um número natural é divisível por 10 quando termina em 0, é divisível por 100 quando termina em 00 e é divisível por .1000 quando termina em 000.

19. Considere os números a seguir:

Esquema. 9 quadros numerados.
Na parte superior, há quadros com os números 12, 13, 14, 15 e 16.
Na parte inferior, os quadros tem os números 17, 18, 19 e 20.

Em seu caderno, escreva os números do quadro que são divisíveis por:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

f) 9

20. Copie em seu caderno apenas os números que são divisíveis por 3.

Esquema. 6 quados alinhados na horizontal. Da esquerda para a direita, temos: 58, 102, 204, 312, 406, 544

21. Quais são as afirmações verdadeiras?

a) 100 é divisível por 2 e por 5.

b) 21 é divisível por 3 e por 6.

c) 32 é divisível por 2 e por 4.

d) 25 é divisível por 5 e por 10.

e) .2000 é divisível por 4 e por 8.

22. Considere os números a seguir.

Esquema. 8 quadros numerados.
Na parte superior,há quadros com os números 80, 90, 150 e 200.
Na parte inferior, os quadros tem os números 300, 650, mil e 500 e 2 mil.

Quais são os números desse quadro:

a) divisíveis por 10?

b) divisíveis por 100?

c) divisíveis por .1000?

Números primos e compostos

Número primo

Um número é primo quando tem somente dois divisores naturais distintos: o número 1 e o próprio número.

a) 7 é um número primo, pois é divisível apenas por 1 e por 7.

b) 31 é um número primo, pois é divisível apenas por 1 e por 31.

Número composto

Um número, diferente de zero, é composto quando tem mais de dois divisores distintos.

a) 8 é um número composto, pois tem 4 divisores: 1, 2, 4 e 8.

b) 27 é um número composto, pois tem 3 divisores: 1, 3 e 9.

23. Quais afirmações são verdadeiras?

a) O número 2 é composto.

b) O número 33 é primo.

c) O número 45 é composto.

d) O número 17 é primo.

24. Em seu caderno, escreva todos os divisores de cada número.

a) 42

b) 41

c) 36

d) 35

e) 53

25. Agora, escreva em seu caderno quais números da atividade anterior são:

a) primos.

b) compostos.

Para o capítulo 3: Retas e ângulos

Semirreta e segmento de reta

Semirreta

Observe a reta r contida no plano α e os pontos a, óh e B, distintos, pertencentes a ela:

Figura geométrica. Representação de um plano. No canto superior direito a letra grega alfa. No plano está representada uma reta horizontal r e na reta estão representados os pontos A, O e B, da esquerda para a direita.

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O ponto O determina duas semirretas em r: a semirreta de origem em O que passa pelo ponto a e a semirreta de origem em O que passa pelo ponto B podem ser representadas, respectivamente, por

\vec{O A}

\vec{O B}

Figura geométrica. Representação de duas semirretas com origem no ponto O.
Semirreta para à esquerda partindo do ponto O, passando pelo ponto A.
Semirreta para à direita, partindo do ponto O, passando pelo ponto B.

Segmento de reta

Considere novamente a reta r contida no plano α e os pontos a e bê, distintos, pertencentes a ela. A parte da reta compreendida entre esses dois pontos, incluindo-os, é chamada segmento de reta. O segmento de reta limitado por a e bê pode ser representado por

\overline{A B}

\overline{B A}

Figura geométrica. Segmento de reta. Linha na horizontal com a extremidade esquerda marcada pelo ponto A e com a extremidade direita marcada pelo ponto B.

a e bê são chamados de extremidades desse segmento de reta.

26. Quais afirmações são verdadeiras?

a) Uma semirreta tem duas extremidades.

b) Um segmento de reta tem duas extremidades.

c) Um segmento de reta tem apenas um ponto de origem.

d) Uma semirreta tem começo, mas não tem fim.

27. Trace em seu caderno:

a) semirreta

\vec{C D}

b) segmento de reta

\overline{M N}

c) semirreta

\vec{P Q}

d) em uma mesma reta: semirreta

\vec{A C}

e segmento

\overline{B C}

Ângulos

Ângulo é a união de duas semirretas que têm a mesma origem, com uma das regiões do plano limitada por elas.

Figura geométrica. Região interna limitada pela semirreta com origem no ponto O, passando pelo ponto A e pela semirreta com origem no ponto O passado pelo ponto B.

Figura geométrica. Região externa às semirretas com origem no ponto O, passando pelo ponto A e pela semirreta com origem no ponto O passado pelo ponto B.

• Os dois ângulos podem ser indicados por

A \hat{O} B

(lemos “ângulo AOB”) ou

B \hat{O} A

\hat{O}

• A origem O é o vértice do ângulo.

• As semirretas

\vec{O A}

\vec{O B}

são os lados do ângulo.

Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso

Um ângulo é reto quando sua medida da abertura é igual a 90graus.

Figura geométrica. Ângulo reto. Abertura de um ângulo para a direita, com um ponto no vértice. Um lado do ângulo está na horizontal e corresponde à semirreta de origem no ponto O e passa pelo ponto B. O outro lado está na vertical e corresponde à semirreta com origem no ponto O e passa pelo ponto A. Para indicar um ângulo reto é usado a representação de um quadradinho com um ponto no centro junto ao vértice do ângulo. Uma seta aponta para este quadradinho com o seguinte texto: Sinal indicativo de ângulo reto.

Um ângulo é agudo quando sua medida da abertura é maior que 0grau e menor que 90graus.

Figura geométrica. Representação de um ângulo AOB com abertura medindo 30 graus.

Um ângulo é obtuso quando sua medida da abertura é maior que 90graus e menor que 180graus.

Figura geométrica. Representação de um ângulo AOB com abertura medindo 140 graus.

28. Em qual dos itens está representado corretamente o ângulo

C \hat{A} B

Figura geométrica. Ângulo com abertura para cima, formado pela semirreta com origem no ponto A, passando pelo ponto B e pela semirreta com origem no ponto A passado pelo ponto C.

Figura geométrica. Ângulo com abertura para baixo, formado pela semirreta com origem no ponto B, passando pelo ponto A e pela semirreta com origem no ponto B passado pelo ponto C.

29. Quais afirmações são verdadeiras?

a) A medida da abertura de um ângulo reto é maior que a medida da abertura de um ângulo obtuso.

b) Um ângulo com abertura medindo 75graus é um ângulo agudo.

c) A abertura de um ângulo reto sempre mede 90graus.

d) A abertura de um ângulo obtuso pode medir 180graus.

e) A abertura de um ângulo agudo pode medir 91graus.

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Retas paralelas e retas perpendiculares

Duas retas em um mesmo plano são paralelas quando elas não possuem nenhum ponto em comum. Quando duas retas se cruzam, nós a chamamos de retas concorrentes; além disso, quando esse cruzamento fórma um ângulo reto (ângulo cuja medida da abertura mede 90graus), afirmamos que as retas são perpendiculares.

Figura geométrica. Retas paralelas r e s representadas em um plano alfa. Abaixo, a legenda: Retas paralelas. Indicamos: r, ilustração de dois traços diagonais e paralelos, s (lemos: 'r é paralela a s').

Figura geométrica. Retas concorrentes r e s representadas em um plano beta. O ponto de intersecção destas retas é o ponto P. Abaixo, a legenda: Retas concorrentes. Indicamos: r, ilustração de dois traços em formato de X, s.

Figura geométrica. Retas perpendiculares r e u representadas em um plano gama. Abaixo, a legenda: Retas concorrentes e perpendiculares. Indicamos: r, ilustração de um traço horizontal outro vertical, u (lemos: r é perpendicular a u).

30. Em seu caderno, trace as seguintes retas, considerando as informações dadas.

a) p e q são retas paralelas.

b) m e n são retas concorrentes, mas não perpendiculares.

c) x e y são perpendiculares e x e t são paralelas.

31. Por que a afirmação a seguir é falsa?

“Duas retas perpendiculares não são concorrentes.”

Para o capítulo 4: Frações

Fração

Uma fração pode representar uma parte de um inteiro.

Figura geométrica. Círculo dividido em sete partes. Duas partes estão pintadas de amarelo.

A figura foi dividida em 7 partes iguais.

\frac{2}{7}

da figura está coloria de amarelo.

Em uma fração, o denominador é o número abaixo do traço e representa a quantidade de partes iguais em que o todo foi dividido. Já o número acima do traço, o numerador, indica a quantidade de partes consideradas do todo.

Leitura de frações

Na leitura de uma fração, lemos inicialmente o numerador e, em seguida, o denominador, que recebe nomes especiais.

Frações com denominador de 2 a 9

Denominador	Leitura
2	meio
3	terço
4	quarto
5	quinto
6	sexto
7	sétimo
8	oitavo
9	nono

\frac{2}{5}

← Lemos: “dois quintos”.

\frac{7}{9}

← Lemos: “sete nonos”.

Frações cujo denominador é uma potência de base 10

Denominador	Leitura
10	décimo
100	centésimo
1.000	milésimo
10.000	décimo de milésimo
...	...

\frac{5}{1 000}

← Lemos: “cinco milésimos”.

\frac{12}{100}

← Lemos: “doze centésimos”.

Frações com outros denominadores

Lemos o numerador e, depois, o denominador seguido da palavra “avos”.

\frac{5}{12}

← Lemos: “cinco doze avos”.

\frac{3}{20}

← Lemos: “três vinte avos”.

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Número misto

Quando um número é composto de uma parte inteira e de uma parte fracionária ele é chamado de número misto.

32. Em seu caderno, escreva as frações usando algarismos.

a) Cinco oitavos

b) Dez milésimos

c) Um quinto

d) Três doze avos

33. Associe cada fração ao modo como ela é lida.

\frac{3}{10}

\frac{5}{13}

\frac{1}{7}

\frac{1}{4}

\frac{8}{9}

um oito nonos

dois três décimos

três um quarto

quatro. um sétimo

cinco. cinco treze avos

34. Em seu caderno, escreva o número misto correspondente a cada fração.

\frac{3}{2}

\frac{11}{5}

\frac{7}{3}

\frac{17}{3}

Frações equivalentes e simplificação

Frações que representam a mesma parte de um inteiro são chamadas de frações equivalentes.

\frac{1}{2}

\frac{3}{6}

são frações equivalentes

Multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador de uma fração qualquer por um mesmo número natural diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração inicial.

Simplificação de frações

Simplificar uma fração significa obter uma fração equivalente com o numerador e o denominador menores que os da primeira fração.

Esquema. Frações equivalentes e simplificada na horizontal, da esquerda para direita. 4 doze avos é igual a 1terço. Acima seta entre o 4 e 1 indicando divisão por 4. Abaixo seta entre os números 12 e 3 indicando divisão por 4

35. Associe as frações equivalentes.

\frac{5}{15}

\frac{3}{12}

\frac{14}{21}

\frac{5}{10}

\frac{9}{15}

um.

\frac{2}{3}

dois.

\frac{1}{3}

três.

\frac{18}{30}

quatro.

\frac{50}{100}

cinco.

\frac{1}{4}

36. Simplifique as frações.

\frac{16}{40}

\frac{9}{33}

\frac{50}{48}

\frac{4}{20}

Para o capítulo 5: Números racionais

Comparação de frações

• Quando duas ou mais frações têm o mesmo denominador, a maior delas é a que tem maior numerador.

\frac{5}{9} > \frac{2}{9}

• Quando duas ou mais frações têm o mesmo numerador, a maior delas é a que tem menor denominador.

\frac{7}{3} > \frac{7}{5}

• Quando duas ou mais frações têm numeradores e denominadores diferentes, podemos determinar frações equivalentes de mesmo denominador para as frações iniciais e, depois, compará-las.

\frac{3}{5}

\frac{2}{3}

são equivalentes a

\frac{9}{15}

\frac{10}{15}

respectivamente. Assim:

\frac{9}{15} < \frac{10}{15}

, ou seja,

\frac{3}{5} < \frac{2}{3}

Comparação de números decimais

Podemos acrescentar ou retirar zeros à direita da parte decimal de um número decimal sem alterá-lo.

0,02 = 0,020 = 0,0200

1º caso: quando as partes inteiras são diferentes. Nesse caso, o maior número é o que tem a maior parte inteira.

12,25 > 11,14

2º caso: quando as partes inteiras são iguais. Nesse caso, o maior número é o que tem a maior parte decimal.

12,45 < 12,001

37. Copie as sentenças em seu caderno e complete-as com os sinais de > ou <.

\frac{11}{15}

\frac{4}{15}

\frac{8}{5}

\frac{8}{21}

\frac{1}{2}

\frac{5}{6}

\frac{3}{10}

\frac{4}{9}

e) 29,52

29,45

f) 10,57

11,2

g) 1,004

1,01

h) 100,45

100,4

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38. Em seu caderno, coloque em ordem crescente os números de cada item a seguir.

\frac{6}{10}, \frac{6}{13}, \frac{6}{5}

\frac{5}{10}, \frac{1}{10}, \frac{7}{10}

c) 0,25; 0,025; 0,205

d) 1,68; 16,8; 0,168

Adição e subtração com frações

• Em uma adição (ou subtração) com frações cujos denominadores são iguais, adicionamos (ou subtraímos) os numeradores e conservamos os denominadores.

\frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{8 + 2}{15} = \frac{10}{15}

• Em uma adição (ou subtração) com frações cujos denominadores são diferentes, determinamos frações equivalentes às iniciais, com um mesmo denominador, e em seguida adicionamos (ou subtraímos) os numeradores (conservando o denominador).

\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6}{10} - \frac{5}{10} = \frac{6 - 5}{10} = \frac{1}{10}

Adição e subtração com número decimais

Podemos também efetuar uma adição (ou uma subtração) com números decimais escrevendo vírgula embaixo de vírgula e cada algari smo exatamente abaixo do algarismo de mesma ordem. Em seguida, adicionamos (ou subtraímos) milésimos com milésimos, centésimos com centésimos, décimos com décimos, unidades com unidades e assim por diante.

39. Calcule o resultado das operações e simplifique quando possível.

\frac{5}{9} + \frac{10}{9}

\frac{3}{13} - \frac{1}{13}

\frac{5}{24} + \frac{5}{12}

\frac{1}{3} - \frac{4}{30}

40. Efetue as operações.

a) 0,03 + 11,2

b) 45,6 menos 13,02

c) 123,01 + 0,98

d) 56,95 menos 12,1

Multiplicação com frações

O produto de duas ou mais frações é uma fração que tem como numerador o produto dos numeradores e como denominador o produto dos denominadores.

Multiplicação com números decimais

Para multiplicar um número decimal por outro número decimal, devemos:

• multiplicar os números como se fossem números naturais;

• colocar a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à soma da quantidade de casas decimais dos fatores.

Esquema. Algoritmo de multiplicação com números decimais. organizados da esquerda para direita.
Na primeira linha: O número 13, virgula 48, com seta para esquerda indicando duas casas decimais
Na segunda linha: à esquerda o sinal de multiplicação e o número 2, virgula 5, alinhado com o números 4 e 8 com seta para esquerda com indicando uma casa decimal
Abaixo traço na horizontal
Na terceira linha: O número 6740
Na quarta linha: O número 2696
Abaixo traço na horizontal
Na quinta linha: O número 33 virgula 700, há uma seta para a esquerda indicando que há 3 casas decimais, abre parênteses, 2 mais 1, fecha parênteses.

41. Determine os produtos, simplificando o resultado quando possível.

\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{5}

\frac{2}{9} \cdot \frac{2}{9}

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7}

\frac{3}{10} \cdot 3

42. Associe cada operação com seu resultado.

A. 9,5 ⋅ 0,3

B. 12,1 ⋅ 0,01

C. 3,004 ⋅ 2

D. 14,2 ⋅ 0,6

um. 8,52

dois. 6,008

três. 2,85

quatro. 0,121

Divisão com frações

Na divisão de uma fração por outra, multiplicamos a primeira fração pela fração inversa da segunda.

\frac{5}{8} : \frac{3}{5} = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 3} = \frac{25}{24}

Divisão com números decimais

Divisão por um número natural diferente de zero

20,3 : 5

Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha letra D indicando a ordem das dezenas, letra U indicando a ordem das unidades, letra d indicando a ordem dos décimos e letra c indicando a ordem dos centésimos.
Na segunda linha, à esquerda, o número 20 vírgula 3, à direita chave com o número 5 dentro.
Abaixo da chave o número 4, abaixo, letra U para indicar a ordem das unidades.
Abaixo do número 20, à esquerda, o sinal de subtração, à direita, o número 20. Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, o resto 0 na ordem das unidades, à direita, o número 3, na ordem dos décimos.
Abaixo da chave, à direita do número 4 vírgula, à direita, o número 0, abaixo, letra d para indicar a ordem dos décimos.
Abaixo do 3, à esquerda, o sinal de subtração, à direita, o número 0. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 3 na ordem dos décimos, à direita, o número 0, na ordem dos centésimos, formando 30.
Abaixo da chave, à direita do número 0, o número 6, abaixo, a letra c para indicar a ordem dos centésimos, formando o quociente 4 vírgula 06.
Abaixo do número 30 à esquerda, o sinal de subtração, à direita o número 30. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, resto 0.

Página 18

Divisão por um número decimal

3,42 : 0,5

Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha o número 342, à direita chave com o número 50 dentro.
Abaixo da chave o número 6.
Abaixo do número 342, à esquerda o sinal de subtração, à direita o número 300. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, o resto 42. À direita, o número 0, formando o número 420.
Abaixo da chave, à direita do numero 6, vírgula, à direita, número 8.
Abaixo do 420 à esquerda, o sinal de subtração e à direita o número 400. Abaixo, traço horizontal. Abaixo resto 20. À esquerda número 0, formando o número 200.
Abaixo da chave, à direita do número 8 o número 6, formando o quociente 6 vírgula 86.
Abaixo do número 200 à esquerda, o sinal de subtração e à direita o número 200. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, resto 0.
Do lado direito da chave, há o seguinte texto: Multiplicamos o dividendo e o divisor por 100.

43. Efetue as divisões, simplificando o resultado quando possível.

\frac{1}{7} : \frac{2}{5}

\frac{5}{8} : \frac{3}{8}

\frac{1}{2} : \frac{3}{10}

\frac{5}{4} : 6

44. Efetue as divisões.

a) 15,6 : 5

b) 73,2 : 12

c) 10,24 : 1,25

d) 34,5 : 0,03

Para o capítulo 6: Linguagem algébrica e regularidades

Sentenças matemáticas

Sentença matemática é aquela escrita com símbolos matemáticos (números, sinais etcétera) e que pode ser expressa por relações de igualdade, de desigualdade, entre outras.

Uma sentença matemática pode ser verdadeira ou falsa.

a) 72 + 5 > 100 é uma sentença falsa.

b) 62 ⋅ 2 = 124 é uma sentença verdadeira.

32 + 100 \neq 100

é uma sentença verdadeira.

45. Quais das sentenças a seguir são verdadeiras?

a) 2 ⋅ 3 ⋅ 4 > 2 + 3 + 4

b) 23 ⋅ 1 + 9 = 230

c) 15 ⋅ 3 ≠ 5 ⋅ 3 ⋅ 3

d) 140 : 14 < 140 : 10

46. Copie as sentenças em seu caderno e complete-as com o sinal (=, > ou <) que falta de modo a torná-las verdadeiras.

a) 57 menos 30

5 ⋅ 10

b) 2 ⋅ 8 ⋅ 9

2 + 8 + 9

c) 100 + 20 + 5

25 ⋅ 5

Igualdades

Toda sentença matemática que apresenta sinal de igual (=) é chamada de igualdade. Em uma igualdade, chamamos a expressão à esquerda do sinal de igual de 1º membro e a expressão à direita desse sinal de 2º membro.

Esquema. Sentença numérica na horizontal, da esquerda para direita: 15 é igual 18 mais 10 menos 13. Do lado esquerdo, antes da igualdade, abaixo do número 15 há uma seta indicando primeiro membro. No lado direito, após a igualdade há uma seta entre os números indicando segundo membro.

Propriedade da igualdade

A relação de igualdade não se altera quando:

• adicionamos ou subtraímos um mesmo número de seus membros;

• multiplicamos seus membros por um mesmo número ou dividimos seus membros por um mesmo número diferente de zero.

a) 21 + 8 = 29

21 + 8 + 5 = 29 + 5

34 = 34

b) 100 + 7 = 107

100 + 7 menos 5 = 107 menos 5

102 = 102

c) 16 + 3 = 9 + 10

abre parênteses16 + 3fecha parênteses · 3 = abre parênteses9 + 10fecha parênteses · 3

57 = 57

d) 8 + 4 + 2 = 14

abre parênteses8 + 4 + 2fecha parênteses : 2 = 14 : 2

4 + 2 + 1 = 7

7 = 7

47. Em seu caderno, escreva uma igualdade em:

a) que o 1º membro seja 23 + 9 e que o 2º membro seja 4 ⋅ 8;

b) que o 1º membro seja 8 + 1 + 3;

c) que o 2º membro seja 80 menos 20.

48. Observe a seguinte igualdade:

33 menos 3 = 30

Usando essa igualdade como ponto de partida, efetue em seu caderno as operações indicadas e obtenha outras igualdades.

a) Adicione 12 a cada membro.

b) Subtraia 5 de cada membro.

c) Multiplique cada membro por 3.

d) Divida cada membro por 3.

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Para o capítulo 7: Porcentagem e juro simples

Frações e porcentagem

Uma fração com denominador igual a 100 pode ser escrita na fórma de porcentagem:

\frac{16}{100} = 16 %

\frac{230}{100} = 230 %

Em alguns casos podemos obter frações equivalentes com denominador igual a 100 para depois escrevê-la na fórma de porcentagem.

\frac{30}{1 000} = \frac{3}{100} = 3 %

\frac{10}{20} = \frac{50}{100} = 50 %

49. Associe as frações às porcentagens.

\frac{12}{100}

\frac{120}{100}

\frac{4}{100}

\frac{40}{100}

um. 40%

dois. 12%

três. 120%

quatro. 4%

50. Escreva em seu caderno as frações na fórma de porcentagem.

\frac{3}{10}

\frac{27}{100}

\frac{1}{4}

\frac{60}{200}

Porcentagem escrita na fórma decimal

Uma porcentagem pode ser escrita na fórma de um número decimal. Para isso, transformamos a porcentagem em uma fração com denominador 100 e efetuamos a divisão do numerador pelo denominador.

45 % = \frac{45}{100} = 0,45

10 % = \frac{10}{100} = 0,1

120 % = \frac{120}{100} = 1,2

51. Em seu caderno, escreva as porcentagens na fórma decimal:

a) 66%

b) 166%

c) 1,25%

d) 100%

52. Qual dos itens está correto?

a) 28% = 2,8

b) 32% = 0,032

c) 6,3% = 0,063

d) 131% = 13,1

Porcentagem de um valor

a) 72% de 300 →

\frac{72}{100} \cdot 300 = 216

b) 45% de 60 → 0,45 ∙ 60 = 27

53. Calcule em seu caderno.

a) 55% de 60

b) 28% de 10

c) 30% de 300

d) 90% de 15

54. Quais são as afirmações verdadeiras?

a) 10% de 66 é igual a 6,6.

b) 15% de 200 é igual a 30.

c) 75% de 120 é igual a 75.

d) 82% de 12 é igual a 10.

Porcentagem de figuras

Dividindo uma figura em partes iguais e selecionando algumas dessas partes, conseguimos determinar a porcentagem correspondente às partes selecionadas.

a) Dividindo o quadrado em duas partes iguais e pintando uma, dizemos que 50% dela foi pintada.

Figura geométrica. Quadrado dividido em duas partes iguais. Uma das partes está pintada de amarelo e a outra é branca.

b) Dividindo o círculo em 4 partes iguais e pintando uma, dizemos que 25% dela foi pintada.

Figura geométrica. Círculo dividido em quatro partes iguais. Uma parte está pintada de vermelho e as outras
são brancas.

c) Dividindo o retângulo em 10 partes iguais e pintando quatro, dizemos que 40% dela foi pintada.

Figura geométrica.. Figura dividida em 10 parte iguais. Quatro partes estão pintadas de azul e 6 são brancas.

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55. Que porcentagem de cada figura está pintada, considerando que elas estão divididas em partes iguais?

Figura geométrica. Quadrado dividido em quatro partes triangulares iguais. Uma das partes está pintada de roxo e 3 são brancas.

Figura geométrica. Círculo dividido em quatro partes iguais. Três partes estão pintadas de verde e uma é branca.

Figura geométrica. Retângulo dividido em dez partes retangulares menores iguais. Cinco partes estão pintadas de amarelo e 5 são brancas.

Figura geométrica.. Triângulo dividido em 4 partes triangulares iguais. Uma é rosa e 3 são brancas.

56. Em qual dos itens a seguir menos de 50% da figura está pintada?

Figura geométrica. Retângulo dividido em oito partes quadradas iguais. Cinco partes estão pintadas de azul e 3 são brancas.

Figura geométrica.. Triângulo dividido em 15 partes triangulares iguais. 10 são roxas e 5 são brancas.

Figura geométrica. Hexágono regular dividido em seis partes triangulares iguais. Duas partes estão pintadas de verde e 4 são brancas.

Figura geométrica. Círculo dividido em doze partes iguais. Quatro partes estão pintadas de amarelo e 8 são brancas..

Para o capítulo 8: Proporcionalidade

Uma das ideias da multiplicação

Em algumas situações que envolvem proporcionalidade, podemos utilizar a multiplicação. Acompanhe a situação.

Todos os dias uma confeitaria doa 15 bolos a uma creche. Quantos bolos ela doa em 5 dias? E em 12 dias?

Esquema. Primeira linha 1 dia, 15 bolos. Segunda linha, 5 dias, 75 bolos. Terceira linha, 12 dias, 180 bolos. No início e fim da segunda linha, em alaranjado, abre parênteses, vezes 5, fecha parênteses. No início e fim da terceira linha, em alaranjado, abre parênteses, vezes 12, fecha parênteses.

Ou seja, são doados 75 bolos em 5 dias e 180 bolos em 12 dias.

57. Uma caixa de bombons tem 250 gramas. Quantos gramas tem 3 caixas iguais a essa? E 9 caixas?

58. Copie o quadro em seu caderno e complete-o.

Número de cadernos	Valor a pagar
1	R$ 12,00
2	R$ 24,00
5
10
15
100	R$ 1.200,00

Para o capítulo 9: Transformações geométricas

Plano cartesiano

O plano cartesiano é composto de duas retas numéricas perpendiculares, chamadas eixos, que, em geral, indicamos por x (eixo horizontal) e y (eixo vertical). O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas.

Par ordenado

Um par ordenado (x, y) é dado pelas coordenadas x e y, sendo x a abscissa e y a ordenada. No plano cartesiano a seguir, para indicar a posição do ponto P, usamos o par ordenado (2, 4).

Plano cartesiano. Retas numéricas perpendiculares que se intersectam no ponto O, que corresponde ao número zero. Na reta numérica horizontal estão representados os números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e ela está identificada com a letra x. Há uma seta para ela com a indicação: Eixo das abcissas. Na reta numérica vertical estão representados os números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e ela está identificada com a letra y. Há uma seta para ela com a identificação: Eixo das ordenadas. No plano cartesiano, está representado o ponto P que corresponde ao par ordenado (2, 4). Do número 2 representado no eixo das abcissas, parte uma linha vertical tracejada. Do número 4 representado no eixo das ordenadas parte uma linha horizontal tracejada. As duas linhas tracejadas se encontram no ponto P.

Representação de um polígono

Para representar um polígono no plano cartesiano, podemos associar seus vértices a pares ordenados, unir esses pontos com segmentos de reta e, por fim, pintar o interior da figura.

Observe a representação do polígono a bê cê dê com vértices a(2, 2), bê(5, 5), cê(5, 3) e dê(4, 1) no plano cartesiano.

Plano cartesiano. Eixo x com as representações dos números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e eixo y com as representações dos números 0, 1, 2, 3, 4 e 5. No plano está representado um quadrilátero verde com vértices nos pontos A de abscissa 2 e ordenada 2, B de abscissa 5 e ordenada 5, C de abscissa 5 e ordenada 3 e D de abscissa 4 e ordenada 1.

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Para as atividades 59, 60 e 61 considere este plano cartesiano e os pontos nele representados.

Plano cartesiano. Eixo x com as representações dos números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e eixo y com as representações dos números 0, 1, 2, 3 , 4 e 5. No plano estão representados os pontos A de abscissa 0 e ordena 2, B de abscissa 1 e ordenada 3, C de abscissa 4 e ordenada 3, D de abscissa 2 e ordenada 1, E de abscissa 3 e ordenada 2 e F de abscissa 3 e ordenada 4.

59. Responda em seu caderno.

a) Quais são as coordenadas dos pontos a, B e C?

b) Quais pontos têm a mesma abscissa?

c) Quais pontos têm a mesma ordenada?

d) Qual ponto corresponde ao par ordenado abre parênteses3, 4fecha parênteses?

60. Um polígono tem vértices nos pontos ê, F e C. Que polígono é esse?

61. Em seu caderno, represente um polígono que tenha como vértices 5 dos pontos indicados.

Ampliação e redução de figuras planas no plano cartesiano

Para reduzir um polígono representado no plano cartesiano, podemos dividir as coordenadas de cada vértice por um mesmo número e, para ampliá-lo, podemos multiplicar as coordenadas de cada vértice por um mesmo número. Esse número, em ambos os casos, deve ser maior que 1.

Observe uma redução e uma ampliação do triângulo á bê cê.

Plano cartesiano. Eixo x com as representações dos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e eixo y com as representações dos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. No plano estão representados três triângulos roxos. O triângulo roxo maior tem vértices nos pontos G de abscissa 3 e ordenada 3, H de abscissa 6 e ordenada 9 e I de abscissa 9 e ordenada 6. O triângulo roxo intermediário, tem vértices nos pontos A de abscissa 1 e ordenada 1, B de abscissa 2 e ordenada 3 e C de abscissa 3 e ordenada 2. O triângulo roxo menor tem vértices nos pontos D de abscissa 0,5 e ordenada 0,5, E de abscissa 1 e ordenada 1,5 e F de abscissa 1,5 e ordenada 1.

Para as atividades 62 e 63, considere este plano cartesiano e o triângulo á bê cê nele representado.

Plano cartesiano. Eixo x com as representações dos números 0, 2, 5 e 8. Eixo y com as representações dos números 0, 2 e 7. No plano está representado um triângulo verde com vértices nos pontos A de abscissa 2 e ordenada 7, B de abscissa 8 e ordenada 7 e C de abscissa 5 e ordenada 2..

62. Quais serão as coordenadas dos vértices do triângulo quando:

a) as coordenadas de cada vértice do triângulo á bê cê forem multiplicadas por 2?

b) as coordenadas de cada vértice do triângulo á bê cê forem divididas por 2?

63. Em seu caderno, desenhe no mesmo plano cartesiano, a ampliação e a redução do triângulo ABC, indicadas na atividade anterior.

Para o capítulo 10: Grandezas e medidas

Grandeza área

Unidades de medida de área

Observe a seguinte figura:

Figura geométrica. Retângulo dividido em 12 partes triangulares iguais.

A medida da área dessa figura pode ser expressa utilizando diferentes unidades. Por exemplo:

Esquema. 6 ao lado de um quadrado formado por duas partes triangulares idênticas, que formam a figura anterior. Ao lado, a palavra OU, 12, ao lado uma parte triangular idêntica as que foram a figura geométrica anterior.

No Sistema Internacional de Unidades abre parêntesesésse Ífecha parênteses, a unidade-padrão de medida de área é o metro quadrado abre parêntesesême 2 sobrescritofecha parênteses. O metro quadrado corresponde à medida da área de um quadrado cujos lados medem 1 metro de comprimento.

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Esquema. Quadrado. Cota à direita e na parte inferior, indicando 1 metro. No interior do quadrado a indicação de 1 metro quadrado.

Medida da área de um retângulo

A medida da área de um retângulo é o produto das medidas de comprimento da base e da altura.

O quadrado é um caso particular de retângulo cujos lados têm a mesma medida de comprimento. Portanto, calculamos a medida da área de um quadrado da mesma maneira que calculamos a medida da área de um retângulo.

Medida da área de um triângulo retângulo

A medida da área de um triângulo retângulo é a metade do produto das medidas de comprimento da base e da altura.

64. Observe a figura:

Esquema. Malha quadriculada, de 5 linhas com 5 quadradinhos cada com a representação de uma figura lilás composta por 5 quadradinhos.. Do lado esquerdo da figura, há dois quadradinhos verticais. À direita do quadradinho da parte inferior, outro quadradinho. Abaixo, deste quadradinho outro. À direita dele, outro quadradinho.

a) Qual é a medida da área da figura considerando o

como unidade?

b) Qual é a medida da área da figura considerando o

como unidade?

65. Em seu caderno, calcule a medida da área das seguintes figuras.

Figura geométrica. Retângulo disposto na horizontal. Cota na parte inferior indicando que seu comprimento mede 10 centímetros. Cota na parte lateral direita, indicando que sua altura mede 2 vírgula 5 centímetros.

Figura geométrica. Triângulo retângulo com comprimento da hipotenusa medindo 8 centímetros, um dos catetos medindo 6 centímetros e o outro cateto com comprimento medindo 10 centímetros.

Grandeza volume

Unidade de medida de volume

Para calcular a medida do volume de um objeto, devemos considerar uma unidade de medida de volume e contar quantas vezes essa unidade cabe em seu interior.

No Sistema Internacional de Unidades, a unidade-padrão de medida de volume é o metro cúbico (ême 3 sobrescrito), que corresponde ao espaço ocupado por um cubo cujas arestas medem 1 metro de comprimento.

Figura geométrica. Cubo azul. Acima o texto um m elevado a 3 e abaixo o texto um metro cúbico.

Medida do volume de um paralelepípedo reto-retângulo

A medida do volume de um paralelepípedo é igual ao produto das medidas do comprimento, da largura e da altura.

Figura geométrica.. Paralelepípedo azul composto por seis colunas com três cubos cada. À direita uma seta vertical indicando 3 centímetros, à esquerda há uma seta na horizontal indicando 3 centímetros e há na largura há uma seta indicando 2 centímetros. — Vparalelepípedo = (3 · 2 · 3) centímetros cúbicos =18 centímetros cúbicos

66. Considerando o

como unidade de medida de volume, determine a medida do volume dos blocos a seguir.

Figura geométrica. Paralelepípedo laranja composto por seis colunas com dois cubos cada.

Figura geométrica. Paralelepípedo laranja composto por quatro colunas com quatro cubos cada.

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67. Calcule a medida do volume dos seguintes paralelepípedos reto-retângulos:

Figura geométrica. Paralelepípedo com cota horizontal indicando que o comprimento mede 5 metros, com cota vertical, indicando que a altura mede 4 metros e com cota paralela a um outro lado, indicando que a largura mede 7 metros.

Figura geométrica. Cubo laranja cotas indicando que as arestas medem 2 vírgula 5 centímetros de comprimento.

Para o capítulo 11: Figuras geométricas planas

Polígonos

Uma linha poligonal fechada simples com sua região interna fórma uma figura geométrica plana chamada de polígono.

Elementos de um polígono

Figura geométrica. Polígono ABCD. Estão indicados os ângulos internos e as diagonais BD e AC. Então indicadas cotas Lado e uma seta apontando para um dos lados; Diagonal e uma seta apontando para uma das diagonais; Vértice e uma seta apontando para um dos vértices. Ângulo interno e uma seta apontando para um dos ângulos internos.

Classificação dos polígonos

Os polígonos recebem o nome de acordo com o número de lados ou ângulos internos.

68. Observe o seguinte polígono:

Figura geométrica. Hexágono ABCDEF com destaque para ângulo interno e externo em B.

Escreva em seu caderno os elementos desse polígono indicados em cada item.

a) C e F

\overline{A B}

\overline{E D}

A \hat{B} C

\overline{F C}

\overline{F B}

69. Dê o nome dos polígonos a seguir de acordo com sua quantidade de lados.

Figura geométrica. Polígono de nove lados com mesma medida de comprimento.

Figura geométrica. Polígono de dez lados com mesma medida de comprimento.

Figura geométrica. Polígono de cinco lados com mesma medida de comprimento.

Figura geométrica. Polígono de seis lados com mesma medida de comprimento.

Triângulos

De acordo com a medida de comprimento dos lados, os triângulos podem ser classificados em equilátero, escaleno ou isósceles.

Triângulo equilátero

Os três lados têm medidas de comprimento iguais.

Figura geométrica. Triângulo azul ABC com lados com mesma medida de comprimento. — A bê = BC = cê á

Triângulo escaleno

Os três lados têm medidas de comprimento diferentes.

Figura geométrica. Triângulo roxo, ABC com lados de medida de comprimento diferentes.

Triângulo isósceles

Dois lados têm medidas de comprimento iguais.

Figura geométrica. Triângulo verde ABC com apenas dois lados com mesma medida de comprimento. — A bê = á cê

De acordo com a medida da abertura de seus ângulos internos, os triângulos podem ser classificados em acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

Triângulo acutângulo

Os três ângulos internos são agudos.

Figura geométrica. Triângulo laranja ABC, com 3 ângulos internos com medida de abertura menor do que 90 graus.

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Triângulo obtusângulo

Um ângulo interno é obtuso e dois ângulos internos são agudos.

Figura geométrica.. Triângulo ABC com com ângulo de vértice C com abertura medindo mais do que 90 graus.

Triângulo retângulo

Um ângulo interno é reto e dois ângulos internos são agudos.

Figura geométrica. Triângulo ABC retângulo em B.

70. Observe os triângulos seguintes:

Figura geométrica. Triângulo com cada lado medindo 10 centímetros.
Figura geométrica. Triângulo com as medidas: 8 centímetros, 6 centímetros e 12 centímetros.

Quais afirmações são verdadeiras?

a) Um triângulo é retângulo e o outro é obtusângulo.

b) Os dois triângulos são isósceles.

c) Um triângulo é equilátero e o outro é escaleno.

d) Um triângulo é obtusângulo e o outro acutângulo.

71. Classifique cada triângulo com base nas medidas apresentadas.

Figura geométrica. Triângulo com EFG com ângulo F e G medindo 65 graus e ângulo E medindo 50 graus.

Figura geométrica. Triângulo com as medidas: 2 metros, 4 metros e 5 metros.

Figura geométrica. Triângulo retângulo. Os ângulos internos medem 90 graus, 45 graus e 45 graus. Os lados adjacentes ao ângulo reto medem 30 centímetros.

Para o capítulo 12: Probabilidade e estatística

Probabilidade

A probabilidade é a medida da chance de um resultado ocorrer.

• A probabilidade pode ser indicada por uma fração, por um número na fórma decimal ou por uma porcentagem.

• A probabilidade é um número que varia de 0 a 1.

• O cálculo da probabilidade é feito para resultados de experimentos aleatórios.

Estatística

A Estatística é o ramo da Matemática que envolve a coleta e a organização de dados referentes a diversos fenômenos, para depois analisá-los e interpretá-los. As tabelas e os gráficos que encontramos nos meios de comunicação, como jornais e revistas, resultam do processo estatístico, que, em geral, é realizado em várias etapas, como:

1. planejamento e coleta dos dados;

2. organização dos dados;

3. exposição dos dados em tabelas e ou ou gráficos e conclusões.

72. Um “dado honesto” de 6 faces numeradas de 1 a 6 foi lançado. Responda:

a) Qual é a probabilidade de sair um número par?

b) Qual é a probabilidade de sair um número primo?

c) Qual é a probabilidade de sair um número menor ou igual a 2?

73. Procure em jornais (impressos ou sites) um ou mais gráficos e escreva em seu caderno:

a) o(s) tema(s) desse(s) gráfico(s);

b) a(s) fonte(s) desse(s) gráfico(s);

c) o que podemos afirmar a partir desse(s) gráfico(s).

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Unidade 1

Capítulo 1 Números inteiros

Capítulo 2 Múltiplos e divisores

Capítulo 3 Retas e ângulos

Ilustração. Quadro com fundo metade esverdeado, metade amarelado, composto por três fotografias. No topo do quadro, há o ícone do tema Saúde. Fotografia 1. Empilhamentos de pães, macarrão, biscoitos e grãos de cereais ao redor. Com variedades de pães e macarrão. Abaixo da fotografia, é informado que: podem ser armazenados entre 20 graus Celsius e 25 graus Celsius. Abre parêntese, medida de temperatura ambiente, fecha parêntese. Fotografia 2. Mesa com potes de iogurtes de cores variadas, prato com variedade de queijos, tigela com manteiga e um copo de leite. Abaixo da fotografia, é informado que: podem ser armazenados entre 3 graus Celsius e 5 graus Celsius. Abre parêntese, refrigerados, fecha parêntese. Fotografia 3. Grãos de ervilha e de milho e abobrinha verde picada, congelados em embalagens de plástico e potes transparentes dentro de um freezer. Abaixo da fotografia, é informado que: podem ser armazenados entre menos 20 graus Celsius e menos 18 graus Celsius. Abre parêntese, congelados, fecha parêntese. — Para manter uma alimentação saudável, além de fazer boas escolhas, é preciso armazenar e conservar adequadamente os alimentos. Você sabia que existe uma medida de temperatura correta de armazenamento para cada tipo de alimento? Qual é o significado das medidas de temperatura –20 graus Célsius e –18 graus Célsius? Ao final desta Unidade, você responderá a essas e outras questões.

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Capítulo 1 Números inteiros

Trocando ideias

Em julho de 2021, uma massa de ar frio de origem polar fez com que parte do país registrasse medidas de temperatura extremamente baixas. Segundo especialistas, esse frio extremo tem relação com o aquecimento globalglossário .

Fotografia. Termômetro de rua em uma praça registrando menos 1 grau Celsius. Ao fundo, é possível identificar casas, árvores, chão gramado e pessoas agasalhadas caminhando. O céu da paisagem exibida na imagem está azul e sem nuvens.

▸

Quais são as principais atividades humanas que causam o aquecimento global? O que podemos fazer para combater o aquecimento global?

▸

A medida da temperatura registrada em Urupema (Santa Catarina) no dia 30 de julho de 2021 é maior ou menor do que 0 grau Célsius? Como você sabe?

Muitas medidas ou contagens que fazemos são representadas por números negativos. Eles costumam aparecer, por exemplo, em medidas de temperatura, dados de extrato bancárioglossário e saldos de gols.

Neste capítulo, você estudará um novo conjunto numérico: o conjunto dos números inteiros.

Titulo do carrossel

Gire o seu dispositivo para a posição vertical

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1 Os números inteiros

Os números estão presentes em diferentes situações do nosso cotidiano, como será possível notar a seguir.

Leia este texto.

O dia 30 de julho foi um dos mais frios de 2021. Segundo o Instituto Nacional de Meteorologia (inmét), a região Sul foi a que registrou medidas de temperatura mais baixas; a cidade de General Carneiro, no Paraná, chegou a bater menos7,3 graus Célsius e Vacaria, no Rio Grande do Sul, menos4 graus Célsius. Já na região Norte, as medidas de temperatura se mostraram mais elevadas, como 12,8 graus Célsius em Rio Branco (capital do Acre).

Dados obtidos em: https://oeds.link/VHDkNV. Acesso em: 9 maio 2022.

Ilustrações. 3 termômetros de rua com árvores ao fundo. Da esquerda para a direita, o primeiro está marcando menos 7 vírgula 3 graus Celsius. Na parte inferior deste termômetro, há o seguinte texto: Medida da temperatura mínima registrada na cidade de General Carneiro no estado do Paraná no dia 30 de julho de 2 mil e 21.
O segundo, está marcando menos 4 graus Celsius. Na parte inferior deste termômetro, há o seguinte texto: Medida da temperatura mínima registrada na cidade de Vacaria no estado do Rio Grande do Sul no dia 30 de julho de 2 mil e 21.
O terceiro, está marcando 12 vírgula 8 graus Celsius. Na parte inferior deste termômetro, há o seguinte texto: Medida da temperatura mínima registrada na cidade de Rio Branco no estado do Acre no dia 30 de julho de 2 mil e 21.

Observe que, para indicar a medida da temperatura nas cidades General Carneiro (Paraná) e Vacaria (Rio Grande do Sul) usamos o sinal negativo (menos), mas para indicar a medida da temperatura em Rio Branco (Acre), que foi positiva (acima de zero), não utilizamos nenhum sinal. Isso ocorre porque, na representação de valores positivos, o uso do sinal (+) junto do número é optativo, enquanto, na representação dos valores negativos, o uso do sinal (menos) deve, obrigatoriamente, acompanhar o número a que se refere.

Para a representação do número zero (0), não usamos nenhum dos sinais, pois ele não é positivo nem negativo. O número zero serve como referência na classificação dos números em positivos ou negativos.

Esquema. Sequência de números positivos e negativos na horizontal.
Reticências, menos 6, menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, mais 1, mais 2, mais 3, mais 4, mais 5, mais 6, reticências.
Abaixo dos números menos 6, menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, há um fio entre esses números, com a indicação de números negativos.
Abaixo dos números mais 1, mais 2, mais 3, mais 4, mais 5, mais 6, há um fio entre esses números, com a indicação de números positivos.

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Agora, verifique a representação do conjunto de números a seguir.

Símbolo. Letra Z, com seu traço diagonal do meio duplicado.

= {reticências, menos5, menos4, menos3, menos2, menos1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, reticências}

Esse conjunto é chamado de conjunto dos números inteiros, e é representado pelo símbolo

, originário da palavra Zahl, que em alemão significa “número”.

As reticências são utilizadas para indicar que o conjunto dos números inteiros é infinito nos dois sentidos: no dos números positivos e no dos números negativos.

Os números 30, 2021 e menos4 presentes no texto são exemplos de números inteiros.

Agora, acompanhe algumas outras situações em que os números negativos são utilizados.

Dados de extratos bancários

Observe a reprodução de um extrato bancário.

Ilustração. Reprodução de Extrato bancário. Na parte superior, há a identificação da movimentação da conta corrente e, na linha seguinte, a data do estrato, do mês de fevereiro de 2mil22
Abaixo, há 4 colunas e 9 linhas. Na primeira coluna, da direita para a esquerda, há a identificação da data, na segunda, o histórico da transação, na terceira, o número do documento; e na quarta, o valor.

Na primeira linha apresenta a data de 15, com o histórico do saldo anterior e valor de 1mil661 reais
Na segunda linha a data é 18, e o histórico se refere a uma transferência de conta corrente para conta poupança, com o número de documento, zero, zero, oito, um, um, quatro, três. Valor de menos 50 reais
Na terceira linha há o saldo de 1mil611 reais.
Na quarta linha a data é 20, e o histórico de pagamento de cobrança, número de documento, zero, zero, zero, zero, um, cinco, nove e valor de menos 777 reais
Na quinta linha há o saldo de 834 reais.
Na sexta linha a data é 22, histórico com saque de outra agência, número de documento, um, um, um, zero, dois, nove, nove e valor de menos 441 reais
Na sétima linha há o saldo de 393 reais.
Na oitava linha: dia 25, histórico, gasto com débito, número de documento, zero, um, dois, oito, dois, cinco, sete e valor de menos 28 reais
Na nona linha há o saldo total de 365 reais.

Os valores negativos nos extratos bancários correspondem aos débitos e são representados com o sinal de menos à direita. Nesse exemplo, os débitos no extrato são: transferência de dinheiro (TRANSF) para outra conta, pagamento (PAGTO) de uma conta, saque e uso do cartão (GASTO C DÉBITO).

Esses valores são subtraídos do saldo da conta bancária, fazendo-o diminuir. Observe que, no dia 15, o saldo era de R$ 1.661,00mil seiscentos e sessenta e um reais e, no dia 25, R$ 365,00trezentos e sessenta e cinco reais.

A expressão “saldo negativo” é utilizada quando debitamos da conta um valor maior do que o saldo existente, ou seja, um valor maior do que aquele de que dispomos em conta.

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Saldo de gols

Observe a seguir a classificação de alguns times no Campeonato Brasileiro de Futebol da série a em 2021.

Campeonato Brasileiro de Futebol da Série A – 2021
Classificação	Clube	Pontos	Gols marcados	Gols sofridos	Saldo de gols
1º	Atlético Mineiro	84	67	34	33
2º	Flamengo	71	69	36	33
3º	Palmeiras	66	58	43	15
4º	Fortaleza	58	44	45	−1
17º	Grêmio	43	44	51	−7
18º	Bahia	43	42	51	−9
19º	Sport	38	24	37	−13
20º	Chapecoense	15	27	67	−40

Dados obtidos em: https://oeds.link/LApJb3. Acesso em: 9 maio 2022.

O número que representa o saldo de gols é obtido pela diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos de cada time. Observe que o saldo de gols de alguns times é negativo. Isso ocorre porque o número de gols marcados é menor que o número de gols sofridos.

Medidas de altitude

Os números negativos também são usados para indicar medidas de altitude.

Nesse caso, o nível do mar é o ponto de referência, que indica zero metro; as medidas que correspondem a altitudes acima do nível do mar são indicadas por números positivos, e as medidas que correspondem a altitudes abaixo do nível do mar são indicadas por números negativos.

O Cristo Redentor (Rio de Janeiro) é um monumento situado no topo do Morro do Corcovado, a 709 metros acima do nível do mar. A medida da sua altitude pode ser indicada por +709 ême (lemos: “mais setecentos e nove metros”).

O poço pioneiro de extração de petróleo da Bacia de Campos (Rio de Janeiro) foi o de Garoupa, a 100 metros abaixo do nível do mar. A medida da sua altitude pode ser indicada por menos100 ême (lemos: “menos cem metros”).

Esquema. À direita, ilustração de um morro com o monumento de um homem de braços abertos no topo. Na parte inferior o mar. À esquerda, um poço de extração de petróleo, com um pilar no fundo do mar. Há uma cota que vai do pé do morro à cabeça do monumento, indicando mais 709 metros. Há uma cota no pilar localizado abaixo do poço de petróleo, indicando que ele está a uma profundidade de menos 100 metros. No nível do mar, há a indicação: nível do mar, abre parênteses, 0 metro, fecha parênteses.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Observe os números a seguir e responda:

Esquema. 9 quadros alinhados em duas linhas, com identificação de números. Na primeira linha, da esquerda para a direita, temos: mais 7, menos 3, mais 4, mais 18, mais 76. Na segunda linha, da esquerda para a direita, temos: menos 9, zero, mais 25, menos 36.

a) Quais deles são positivos?

b) Quais são negativos?

c) O número zero é positivo ou negativo?

2. Represente, com números inteiros, cada uma das situações a seguir.

a) Débito de R$ 3.000,00três mil reais.

b) Lucro de R$ 1.200,00mil duzentos reais.

c) Elevação de .2300 métros.

d) Depressão de 500 métros.

3. Letícia pegou o elevador no 3º subsolo e subiu até o 10º andar. Quantos andares ela percorreu?

4. Observe a classificação das seleções da América do Sul nas eliminatórias para a Copa do Mundo da Fifa 2022 e escreva no caderno os números inteiros que representam o saldo de gols de cada seleção.

Eliminatórias da Copa do Mundo da Fifa 2022
Seleção	Gols marcados	Gols sofridos
1º Brasil	40	5
2º Argentina	27	8
3º Uruguai	22	22
4º Equador	27	19
5º Peru	19	22
6º Colômbia	20	19
7º Chile	19	26
8º Paraguai	12	26
9º Bolívia	23	42
10º Venezuela	14	34

Dados obtidos em: https://oeds.link/th8PYi. Acesso em: 1º agosto 2022.

5. Em 20/1, o saldo da conta bancária de Roberta era R$ 1.560,00mil quinhentos e sessenta reais. Nos três dias seguintes, ela efetuou estas operações financeiras:

• em 21/1

retirou a metade do saldo;

• em 22/1

depositou R$ 180,00cento e oitenta reais;

• em 23/1

retirou R$ 300,00trezentos reais.

Copie no caderno o quadro a seguir substituindo cada

de acordo com as operações financeiras efetuadas.

Dia	Saldo anterior	Crédito	Débito	Saldo
21/1
22/1
23/1

Ícone de atividade com Elaboração de problemas.

Crie um problema que contenha as palavras “extrato” e “saldo negativo”. Em seguida, troque-o com o de um colega e resolva o problema que ele criou. Por fim, conversem sobre os resultados obtidos.

7. Em um dia de muito frio na cidade de São Joaquim (Santa Catarina), a medida da temperatura esteve em menos1 grau Célsius. À noite, ela chegou a menos6 graus Célsius. Do dia para a noite, a medida da temperatura diminuiu quantos graus Celsius?

Fotografia. Rodovia coberta de neve. À esquerda há um morro com gramíneas e árvore, algumas delas cobertas de neve. — Neve sobre rodovia em São Joaquim (Santa Catarina). Foto de 2021.

8. Certo dia, Emília viajou de Berlim (Alemanha) para Berna (Suíça). Quando saiu de Berlim, a medida da temperatura era de menos2 graus Célsius e, ao chegar a Berna, a medida da temperatura era de menos8 graus Célsius. Em que cidade a medida da temperatura era menor: Berlim ou Berna?

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Representação dos números inteiros na reta numérica

Podemos representar os números inteiros em uma reta numérica. Para isso, traçamos uma reta r e sobre ela marcamos o ponto O, chamado origem, que corresponde ao número zero.

Usando a mesma unidade de medida de comprimento, assinalamos pontos consecutivos à direita da origem e, para cada ponto, fazemos corresponder um número inteiro positivo.

Ilustração. Reta numérica na horizontal, representado pela letra r final, dos números inteiros positivos e negativos. A reta numérica é dividida em 2 partes iguais por meio de bolinha, e neste ponto na parte de baixo, há o número zero e acima a letra O. À direita do número zero, a reta é divididas em 6 partes iguais por meio de bolinha verdes, denominadas (da esquerda para a direita): A, B, C, D, E. Abaixo desses pontos na reta, estão representados os números, respectivamente: mais 1, mais 2, mais 3, mais 4, mais 5.

Repetimos esse procedimento para representar pontos situados à esquerda da origem, aos quais fazemos corresponder os números inteiros negativos.

Observe:

Ilustração. Reta numérica com os números menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1 e zero representados por pontos vermelhos. Acima do número menos 5, a letra J, acima do número menos 4, a letra I, acima do número menos 3, a letra H, acima do número menos 2, a letra G, acima do número menos 1, a letra F e acima do número zero, a letra O. A reta está identificada pela letra r.

Podemos reunir em uma só reta numérica os números inteiros positivos e negativos.

Dessa fórma, estabelecemos uma correspondência entre os números inteiros e os pontos marcados na reta.

Ilustração. Menino branco de cabelo castanho que usa blusa roxa listrada e calça azul. Ele segura um caderno e um lápis e diz: Se traçássemos uma reta r na vertical, marcando o ponto O, origem, correspondente ao zero, poderíamos, usando a mesma unidade de medida de comprimento, assinalar pontos consecutivos acima da origem e, a cada ponto, associar um número inteiro positivo. Agora, como poderíamos representar os pontos correspondentes aos números inteiros negativos?

Ilustração. Reta numérica na vertical dos números inteiros positivos, representada pela letra r. A reta é dividida em 6 partes iguais por meio de bolinha verdes. À direita da reta numérica, de baixo para acima, estão reapresentados os números: zero, mais 1, mais 2, mais 3, mais 4, mais 5. À esquerda da reta numérica, de baixo parte acima, ao lado do número zero a letra O, ao lado do número mais 1 a letra A, ao lado do número mais 2 está a letra B, ao lado do número mais 3 está a letra C, ao lado do número mais 4 está a letra D, ao lado do número mais 5 está a letra E.

Observações

1. A reta numérica não precisa ser representada necessariamente na posição horizontal.

2. Cada número inteiro está associado a um único ponto da reta numérica, mas nem todo ponto da reta numérica está associado a um número inteiro.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Observe a reta numérica e responda às questões.

Esquema. Reta numérica na horizontal, representada pela letra r no final. A reta é dividida em 12 partes iguais por meio de tracinhos. Da esquerda para a direita, são representados os números menos 6, menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, mais 1, mais 2, mais 3, mais 4, mais 5, mais 6.
Acima dos números, na posição menos 4 há a letra A, na posição menos 1 há a letra B, na posição mais 2 há a letra C, na posição mais 5 há a letra D e na posição mais 6 há a letra E.

a) Que número corresponde ao ponto B?

b) Qual é o ponto correspondente ao número menos4?

c) Qual é o ponto correspondente ao número +5?

d) Qual é o ponto que corresponde ao número +2?

e) O ponto E corresponde a que número?

10. Em seu caderno, trace uma reta numérica e represente nela os pontos indicados em cada item.

a) a, que corresponde a menos3;

b) C, que corresponde a menos5;

c) B, que corresponde a +5;

d) D, que corresponde a 0.

11. Em seu caderno, trace uma reta numérica e represente nela os números inteiros maiores ou iguais a menos2 e menores que 5.

12. Um ponto é deslocado, a partir do zero, seis unidades sobre uma reta numérica no sentido positivo e, em seguida, 10 unidades no sentido negativo. Determine o número inteiro correspondente ao ponto após esse percurso.

13. O gráfico a seguir representa o desempenho de uma microempresa durante o 1º semestre de 2023.

Gráfico em barras simples verticais. Gráfico representando o desempenho de uma microempresa. No eixo horizontal, estão indicados os meses. Da esquerda para a direita: janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho. No eixo vertical, estão indicados os saldos em milhares de reais. De baixo para acima: menos 50 mil, menos 25 mil, zero, 25 mil, 50 mil. O saldo de desempenho em cada mês foi: Em janeiro: 25 mil. Em fevereiro: menos 40 mil. Em março: 35 mil. Em abril: menos 25 mil. Em maio: 40 mil. Em junho: 10 mil.

Dados obtidos pela microempresa no 1º semestre de 2023.

a) Em que mês o prejuízo foi de 40 mil reais?

b) Qual foi o saldo do mês de março?

c) Durante esses seis meses, a microempresa teve lucro ou prejuízo? De quanto?

Módulo de um número inteiro

A medida da distância de um ponto na reta numérica até a origem O é chamada de módulo ou valor absoluto do número associado a esse ponto. Representamos o módulo de um número colocando-o entre duas barras verticais: | |.

Observe os exemplos a seguir.

a) A medida da distância do ponto a à origem O é 4 unidades.

Esquema. Reta numérica, dividida em 14 partes iguais por meio de tracinhos. Da esquerda para a direita, estão representados os números menos 7, menos 6, menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, mais 1, mais 2, mais 3, mais 4, mais 5, mais 6, mais 7.
Na parte superior, a letra O alinhada com o número 0 e letra A está alinhada com número menos 4. Entre esses números há uma cota indicando 4 unidade.

O módulo de menos4 é 4. Indicamos: |menos4| = 4 (lemos: “módulo de menos quatro é igual a quatro”)

b) A medida da distância do ponto B à origem O é 6 unidades.

O módulo de +6 é 6. Indicamos: |+6| = 6 (lemos: “módulo de mais seis é igual a seis”)

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Ilustração. Menino negro de cabelo castanho, usa camiseta vermelha e calça azul. Ele está sentado em uma cadeira de rodas com os braços abertos e pensa: Mas e o módulo de zero?

Números opostos ou simétricos

Observe os pontos a e bê localizados na reta numérica, que representam os números menos4 e 4, respectivamente.

Esquema. Reta numérica r, dividida em 8 partes iguais por meio de tracinhos. Da esquerda para a direita, estão representados os números menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, mais 1, mais 2, mais 3, mais 4. Na parte superior, a letra A está alinhada com número menos 4, a letra O está alinhada com o número 0 e a letra B está alinhada com número mais 4. Entre os pontos A e O, há uma cota indicando 4 unidades. Entre os pontos O e B, há uma cota indicando 4 unidades.

A medida da distância do ponto a até a origem é de 4 unidades, assim como a medida da distância do ponto B até a origem é de 4 unidades. Os pontos a e bê estão à mesma medida de distância da origem, porém situados em lados opostos da reta numérica (em relação ao zero). Por isso, podemos dizer que menos4 e 4 são números opostos ou simétricos.

Observe outros exemplos a seguir.

a) 15 é o oposto ou simétrico de menos15, pois 15 = menos(menos15).

b) menos17 é o oposto ou simétrico de 17, pois menos17 = menos(+17).

c) 10 é o oposto ou simétrico de menos10, pois 10 = menos(menos10).

d) menos.1000 é o oposto ou simétrico de +.1000, pois menos.1000 = menos(+.1000).

Atividades

Faça as atividades no caderno.

14. Determine:

a) o oposto de menos6;

b) o oposto de 100;

c) o oposto de menos7;

d) o oposto de 8.

15. Escreva no caderno o valor absoluto de:

a) +13

b) +50

c) menos21

d) menos116

16. Determine.

a) |menos16|

b) |menos20|

c) |+35|

d) |menos1|

e) |0|

f) |menos14|

g) |+239|

h) |menos524|

17. Responda às questões.

a) Qual é o módulo de menos13?

b) Qual é o oposto de menos318?

c) Quais são os números inteiros que têm valor absoluto igual a 17?

18. Quantos números inteiros apresentam:

a) módulo menor que zero?

b) módulo igual a zero?

c) módulo maior que zero?

19.

No caderno, copie e complete a frase, tornando-a verdadeira.

Quadro com a frase: O oposto de, quadradinho cinza, é menor que zero.

Que tipo de número pode ser usado para completar essa frase? Converse com o professor e os colegas.

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2 Comparação de números inteiros

Ricardo olhou a medida da temperatura no termômetro em dois dias diferentes e teve uma dúvida:

Quadrinho ilustrado em dois quadros. Quadrinho 1. Menino pardo de cabelo castanho caminha pela calçada que fica ao lado de uma rua. Há um relógio vertical nessa calçada e, ao fundo, há algumas casas. O menino está vestindo uma blusa comprida e uma calça. Ele está com os braços cruzados e olha o relógio, que marca 3 graus Celsius, e pensa: Que frio! Quadrinho 2. O mesmo menino, agora usando uma touca, cachecol, casaco amarelo, luvas e botas, olha para o mesmo relógio na rua, que marca menos 4 graus Celsius, e pensa: Hoje parece mais frio. Mas a medida de temperatura menos 4 graus Celsius é maior ou menor que 3 graus Celsius?

Para responder à dúvida de Ricardo, precisamos determinar qual dos números é maior: menos4 ou 3. Para compará-los, podemos utilizar a reta numérica, marcando os pontos associados a esses números.

O número menos4 é menor que 3, pois o ponto que o representa está localizado à esquerda do que representa o 3 na reta numérica.

Indicamos: menos4 < 3 (lemos: “menos quatro é menor que três”).

Considere os exemplos a seguir.

a) +3 é maior que 0, ou seja, 3 > 0 (lemos: "três é maior que zero");

b) menos6 é menor que menos1, ou seja, menos6 < menos1 (lemos: "menos seis é menor que menos um");

c) menos5 é menor que 2, ou seja, menos5 < 2 (lemos: "menos cinco é menor que dois");

d) 0 é maior que menos2, ou seja, 0 > menos2 (lemos: "zero é maior que menos dois");

De modo geral, dados dois números inteiros quaisquer, o maior deles será aquele cujo ponto que o representa estiver à direita do ponto que representa o outro na reta numérica.

Observações

1. De maneira geral:

• qualquer número negativo é menor que zero;

• qualquer número positivo é maior que zero;

• todo número positivo é maior que qualquer número negativo.

2. Dado um número inteiro qualquer representado por um ponto na reta numérica, o ponto “vizinho” à sua direita representa seu sucessor, e o ponto “vizinho” à sua esquerda representa seu antecessor.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

20. Represente os números a seguir em uma reta numérica:

menos1, 3, menos4, 7, 0, menos2, menos6, 2

Agora, responda às questões.

a) Qual é o maior desses números?

b) Qual é o menor desses números?

c) Qual é o número inteiro situado entre menos4 e menos2?

21. Escreva no caderno os números inteiros a seguir, em ordem decrescente, usando o sinal >.

menos4, 7, menos8, 3, menos1, 0, 6

22. Usando os sinais > ou <, compare os seguintes pares de números inteiros:

a) +3

b) menos5

‒6

c) menos4

d) 0

menos1

e) +2

f) menos2

menos1

g) menos3

menos4

h) 0

menos10

23. Determine:

a) o número inteiro antecessor de menos9;

b) o número inteiro sucessor de menos14;

c) os três primeiros números inteiros menores que +1;

d) o número inteiro sucessor de menos13.

24. Imaginando que Pitágoras tenha nascido no ano 580 antes de Cristo e Tales de Mileto, no ano 624 antes de Cristo, pergunta-se:

a) Quem nasceu primeiro?

b) Qual era a diferença entre as datas de nascimento desses dois homens?

Ilustração em preto e branco. Homem de boina, rosto fino, nariz comprido e barba. Ele segura uma pirâmide. — Ilustração de Pitágoras, que foi um filósofo e matemático grego.

Ilustração em preto e branco. Homem de cabelos enrolados e barba volumosa. Tem nariz largo. Ele segura um papiro. — Ilustração de Tales, que foi um sábio da Grécia antiga.

25. Responda às questões.

a) Qual é o maior número inteiro menor que menos50?

b) Qual é o menor inteiro de três algarismos?

3 Adição com números inteiros

Acompanhe as situações a seguir.

Situação 1

Ana está com alguns problemas financeiros. Mesmo com o saldo da conta bancária em R$ 200,00duzentos reais negativos, ela fez uma retirada de R$ 400,00quatrocentos reais. Qual é o saldo da conta de Ana após a retirada?

Pelos dados do enunciado, temos:

• saldo inicial: menos200

• retirada: menos400

Observe a representação dessa operação na reta numérica:

Esquema. Reta numérica, dividida em 10 partes iguais por meio de tracinhos. Da esquerda para a direita, estão representados os números menos 600, menos 500, menos 400, menos 300, menos 200, menos 100, zero, mais 100, mais 200, mais 300, mais 400.
Na parte superior, seta iniciando em menos 200 até menos 600 indicando menos 400.

Dessa fórma, temos: (menos200) + (menos400) = menos600

Portanto, a conta de Ana ficou com R$ 600,00seiscentos reais de saldo negativo após a retirada.

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Situação 2

O saldo bancário da conta de Liana em 4 de outubro era R$ 350,00trezentos e cinquenta reais negativos. No dia seguinte, ela fez um depósito de R$ 600,00seiscentos reais em sua conta bancária. Após esse depósito, com que saldo ficou a conta de Liana?

Pelos dados do enunciado, temos:

• saldo inicial: menos350

• depósito: +600

Observe a representação dessa operação na reta numérica:

Dessa fórma, temos: (menos350) + (+600) = +250

Portanto, a conta de Liana ficou com saldo de R$ 250,00duzentos e cinquenta reais após o depósito.

Ilustração. Menina negra de cabelo castanho, faixa azul na cabeça e veste blusa verde. Ela está de olhos fechados, segura um papel amarelo e pensa: Quando tenho um lucro maior que um prejuízo, meu resultado final será um lucro; quando tenho um prejuízo maior que um lucro, meu resultado final será um prejuízo.

▸

Reúna-se com 3 colegas. Cada um, em seu caderno, vai escrever quatro adições com números inteiros: uma com dois números positivos, uma com dois números negativos; uma com um número positivo e outro negativo; e outra em que um dos números é zero. Depois respondam as questões.

a) Os resultados das adições de números positivos foram positivos ou negativos?

b) E os resultados das adições de números negativos?

c) Os resultados das adições em que uma das parcelas é zero foram positivos ou negativos?

d) E os resultados das adições de um número positivo e um número negativo?

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Propriedades da adição com números inteiros

Para a adição com números naturais, são válidas a propriedade comutativa, a propriedade associativa e a existência do elemento neutro. Essas propriedades, além da existência do elemento oposto, são válidas também para a adição com números inteiros.

Propriedade comutativa

Em uma adição com números inteiros, a ordem das parcelas não altera a soma. Observe os exemplos a seguir.

a) (menos6) + (+5) = menos1 e (+5) + (menos6) = menos1

b) (menos19) + (menos8) = menos27 e (menos8) + (menos19) = ‒27

Propriedade associativa

Em uma adição com números inteiros com mais de duas parcelas, podemos associar essas parcelas de diferentes maneiras sem alterar a soma. Observe os exemplos a seguir.

<descrição>
Esquema. Expressão numérica: abre colchete, abre parêntese, menos 3, fecha parêntese, mais, abre parêntese, mais 5, fecha parêntese, fecha colchete, mais, abre parêntese, mais 4, fecha parêntese, é igual a, abre parêntese, mais 2, fecha parêntese, mais, abre parêntese, mais 4, fecha parêntese, é igual a mais 6. Abaixo, uma seta indica que a soma de menos 3 e mais 5 corresponde ao número mais 2, na segunda igualdade.
Abaixo, outra expressão numérica:
abre parêntese, menos 3, fecha parêntese, mais, abre colchete, abre parêntese, mais 5, fecha parêntese, mais, abre parêntese, mais 4, fecha parêntese, fecha colchete, é igual a, abre parêntese, menos 3, fecha parêntese, mais, abre parêntese, mais 9, fecha parêntese, é igual a mais 6. Abaixo, uma seta indica que a soma de mais 5 e mais 4 corresponde ao número mais 9, na segunda igualdade.

Esquema. Expressão numérica: abre colchete, abre parêntese, mais 31, fecha parêntese, mais, abre parêntese, menos 9, fecha parêntese, fecha colchete, mais, abre parêntese, menos 23, fecha parêntese, é igual a, abre parêntese, mais 22, fecha parêntese, mais, abre parêntese, menos 23, fecha parêntese, é igual a menos 1. Abaixo, uma seta indica que a soma de mais 31 e menos 9 corresponde ao número mais 22, na segunda igualdade. Abaixo, outra expressão numérica: abre parêntese, mais 31, fecha parêntese, mais, abre colchete, abre parêntese menos 9, fecha parêntese, mais, abre parêntese, menos 23, fecha parêntese, fecha colchete, é igual a, abre parêntese, mais 31, fecha parêntese, mais, abre parêntese, menos 32, fecha parêntese, é igual a menos 1. Abaixo, uma seta indica que a soma de menos 9 e menos 23 corresponde ao número menos 32, na segunda igualdade.

Elemento neutro

Em uma adição com duas parcelas em que uma delas é zero, o resultado é igual à outra parcela. O zero é o elemento neutro da adição. Observe os exemplos a seguir.

a) (+6) + 0 = 0 + (+6) = +6

b) (menos5) + 0 = 0 + (menos5) = menos5

Elemento oposto

Em uma adição em que as duas parcelas são números opostos, a soma é zero. Observe os exemplos a seguir.

a) (menos7) + (+7) = 0

b) (+26) + (menos26) = 0

Atividades

Faça as atividades no caderno.

26. Calcule.

a) (+5) + (+3)

b) (menos7) + (menos10)

c) 0 + (menos8)

d) (+5) + (menos20)

e) (menos40) + (+13)

f) (menos8) + (menos17)

27. Uma pessoa tinha saldo positivo de R$ 600,00seiscentos reais em sua conta bancária. Sabendo que ela retirou R$ 1.000,00mil reais, o saldo passou a ser positivo ou negativo? Qual é o novo saldo da conta?

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28. Um avião está a uma medida de altitude de .8000 métros. Se ele subir .3000 métros e, em seguida, descer .4500 métros, qual será sua medida de altitude após a descida?

29. Nas quatro primeiras semanas de fevereiro, a empresa Gama apresentou o seguinte demonstrativo.

1ª semana	lucro	R$ 5.680,00
2ª semana	prejuízo	R$ 1329,00
3ª semana	lucro	R$ 2.400,00
4ª semana	prejuízo	R$ 4.260,00

a) Qual foi o saldo final da empresa no período considerado?

b) Devemos representar o saldo por um número positivo ou negativo?

30.

Elabore um problema cujo resultado seja menos25. Junte-se a um colega e verifiquem se os problemas estão corretos.

31. Escreva no caderno as propriedades utilizadas em cada caso.

a) (+35) + 0 = 0 + (+35) = +35

b) (+8) + (menos9) = (menos9) + (+8)

c) (+6) + (menos6) = 0

d) [(menos3) + (menos8)] + (+2) = (menos3) + [(menos8) + (+2)]

32. Observe como Rita, Maísa e Ilda calcularam o valor da expressão numérica a seguir.

(menos14) + (menos8) + (menos43) + 0 + 22 + 8 + 43 + 14

Ilustração. Folha de caderno escrito: Cálculo de Rita à esquerda.Na primeira linha: abre parênteses menos 14, fecha parênteses, mais, abre parênteses menos 8, fecha parênteses, mais, abre parênteses menos 43, fecha parênteses, mais zero, mais 22, mais 8, mais 43, mais 14, igual Na segunda linha: igual, abre parênteses menos 22, fecha parênteses, mais, abre parênteses menos 43, fecha parênteses, mais, zero, mais 22, mais 8, mais 43, mais 14, igual Na terceira linha: igual, abre parênteses menos 65, fecha parênteses, mais, zero, mais 22, mais 8, mais 43, mais 14, igualNa quarta linha: igual, abre parênteses menos 65, fecha parênteses, mais 22, mais 8, mais 43, mais 14, igualNa quinta linha: igual, abre parênteses menos 43, fecha parênteses, mais 8, mais 43, mais 14, igualNa sexta linha: igual, abre parênteses menos 35, fecha parênteses, mais 43, mais 14, igualNa sétima linha: igual, 8 mais 14 é igual a 22Ilustração. Folha de caderno escrito: Cálculo da Maísa à esquerda.Na primeira linha: abre parênteses menos 14, fecha parênteses, mais, abre parênteses menos 8, fecha parênteses, mais, abre parênteses menos 43, fecha parênteses, mais zero, mais 22, mais 8, mais 43, mais 14, igual À esquerda do cálculo, há um fio verde até a terceira linha, da soma de menos 14, menos 8 e menos 43, indicando menos 65.À direita do cálculo, há um fio vermelho até a terceira linha, da soma 22 mais 8 mais 43 mais 14, indicando 87Na terceira linha: igual, abre parênteses menos 65, fecha parênteses, mais, zero, mais 87, igual Na quarta linha: igual, abre parênteses menos 65, fecha parênteses, mais 87, é igual a 22 Ilustração. Folha de caderno escrito: Cálculo da Ilda à esquerda.Na primeira linha: abre parênteses menos 14, fecha parênteses, mais, abre parênteses menos 8, fecha parênteses, mais, abre parênteses menos 43, fecha parênteses, mais zero, mais 22, mais 8, mais 43, mais 14, igual Há um fio azul até a terceira linha, nos números menos 14 e mais 14, indicando zero Há um fio vermelho até a terceira linha, nos números menos 8 e mais 8, indicando zero Há um fio verde até a terceira linha, nos números menos 43 e mais 43, indicando zero Na terceira linha: igual, 0 mais 0, mais 0, mais 0, mais 22 é igual a 22

a) Alguma delas errou o cálculo?

b) Qual delas fez um procedimento mais prático? Por quê?

c) Use um dos procedimentos anteriores para calcular:

(menos18) + 101 + 9 + (menos101) + (menos38) + 22 + 18 + 38

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4 Subtração com números inteiros

Observe a classificação dos quatro primeiros colocados no grupo a da 1ª fase da Liga Nacional de Futsal 2021.

Classificação do Grupo A na 1ª fase da Liga Nacional de Futsal 2021
Classificação	Clube	Gols marcados	Gols sofridos	Saldo de gols
1º	Sorocaba	42	27	15
2º	Joaçaba	37	31	6
3º	São José	27	31	‒4
4º	Santo André	30	20	10

Dados obtidos em: https://oeds.link/zcUo77. Acesso em: 25 maio 2022.

• Qual foi a diferença entre o saldo de gols das equipes Joaçaba e São José?

Com base na tabela, temos:

Saldo de gols da equipe Joaçaba: +6

Saldo de gols da equipe São José: menos4

Localizando os pontos correspondentes aos números +6 e menos4 na reta numérica, temos:

Esquema. Reta numérica, dividida em 12 partes iguais por meio de tracinhos. Da esquerda para a direita, estão representados os números menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, mais 1, mais 2, mais 3, mais 4, mais 5, mais 6, mais 7.

Na parte superior, seta vertical para baixo nos números menos 4 e 6

A diferença entre o saldo das equipes Joaçaba e São José pode ser determinada calculando o valor da expressão:

(+6) menos (menos4)

Observe que menos(menos4) é o simétrico do número menos4, ou seja, é igual a +4. Assim:

Esquema. Sentença matemática na horizontal. Abre parênteses, mais 6, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, é igual, abre parênteses, mais 6, fecha parênteses, mais, 4 é igual a mais 10

Na parte superior, do lado esquerdo, há um fio vermelho entre: menos, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses e um fio vermelho do lado direito no número mais 4. Acima há a expressão: menos, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses é igual a mais 4

Portanto, a diferença entre o saldo de gols das equipes Joaçaba e São José foi de 10.

• Quantos gols faltavam para o São José alcançar o saldo de gols do Santo André?

Com base na tabela, temos:

Saldo de gols da equipe São José: menos4

Saldo de gols da equipe Santo André: +10

Localizando os pontos correspondentes aos números menos4 e +10 na reta numérica, temos:

A diferença entre o saldo de gols das equipes São José e Santo André pode ser determinada calculando o valor da expressão:

(menos4) menos (+10)

Observe que menos(+10) é o simétrico do número +10, ou seja, é igual a menos10. Assim:

Esquema. Sentença matemática na horizontal. Abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, menos, abre parênteses, mais 10, fecha parênteses, é igual, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, menos, abre parênteses, mais 10, fecha parênteses é igual a menos 14.

Na parte superior, do lado esquerdo, há um fio vermelho entre: menos, abre parênteses, mais 10, fecha parênteses e um fio vermelho do lado direito no menos 10. Acima há a expressão: menos, abre parênteses mais 10, fecha parênteses é igual a menos 10

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Portanto, a diferença entre o saldo de gols das equipes São José e Santo André foi de menos14, ou seja, faltavam 14 gols para o São José alcançar o saldo de gols do Santo André.

• Qual é a diferença entre o saldo de gols de uma equipe que tem menos3 gols de saldo e outra que tem menos1 gol de saldo?

Localizando os pontos correspondentes aos números menos3 e menos1 na reta numérica, temos:

Esquema. Reta numérica, dividida em 7 partes iguais por meio de tracinhos. Da esquerda para a direita, estão representados os números menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1 2, 3. Na parte superior, seta para baixo nos números menos 3 e menos 1.

A diferença entre o saldo de gols das equipes pode ser determinada calculando o valor da expressão:

(menos3) menos (menos1)

Observe que menos(menos1) é o simétrico do número menos1, ou seja, é igual a +1. Assim:

Esquema. Sentença matemática na horizontal. Abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, é igual, abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, mais 1, é igual a menos 2.

Na parte superior, do lado esquerdo, há um fio vermelho entre: menos, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses e um fio vermelho do lado direito no mais 1. Acima há a expressão: menos, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses é igual a mais 1

Portanto, a diferença entre o saldo de gols das equipes é igual ao valor absoluto obtido pela diferença, ou seja, 2 gols.

Observações

1. Podemos eliminar os parênteses no registro e no cálculo de adições e de subtrações com números inteiros. Confira como:

• Quando, antes dos parênteses, o sinal for “+” (que pode não estar explícito, ou seja, pode não aparecer), manteremos os sinais dos números que estão no interior dos parênteses. Observe os exemplos:

a) +(+6) = +6 = 6

b) +(menos15) = menos15

c) (menos28) = menos28

d) (+10) = +10 = 10

• Quando o sinal que antecede os parênteses for “menos”, trocaremos os sinais dos números que estão no interior dos parênteses. Observe os exemplos:

a) menos(+7) = menos7

b) menos(menos5) = +5 = 5

c) menos(6) = menos6

d) menos(menos8) = +8 = 8

2. O registro e o cálculo das adições e das subtrações com números inteiros podem ser simplificados quando eliminamos os parênteses. Analise os exemplos:

a) (+3) + (+4) = +7, ou 3 + 4 = 7

b) (+5) + (menos2) = +3, ou 5 menos 2 = 3

c) (menos7) + (+4) = menos3, ou menos7 + 4 = menos3

d) (menos3) + (menos10) = menos13, ou menos3 menos 10 = menos13

e) (+8) menos (+4) = (+8) menos 4 = +4, ou 8 menos 4 = 4

f) (menos9) menos (menos5) = (menos9) + 5 = menos4, ou menos9 + 5 = menos4

g) (+5) menos (menos3) = (+5) + 3 = 8, ou 5 + 3 = 8

h) (menos6) menos (+4) = (menos6) menos 4 = menos10, ou menos6 menos 4 = menos10

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Reúna-se com um colega e copiem no caderno as afirmações verdadeiras.

umSubtrair um número inteiro é o mesmo que adicionar o oposto ou simétrico desse nú mero.

doisAo subtrair um inteiro negativo de outro, o resultado nunca será um número inteiro positivo.

três O resultado de uma subtração de números inteiros pode ser obtido adicionando o primeiro número ao oposto do segundo.

quatro. O resultado da subtração entre dois números inteiros nunca será igual a zero.

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Expressões numéricas com adições e subtrações

Acompanhe diferentes formas de calcular o valor da expressão numérica (menos8) + (+10) menos (menos3) + (menos4):

• Escrevemos as subtrações na fórma de adição e calculamos as adições na ordem em que aparecem.

Expressão numérica na horizontal. Forma para calcular subtrações por meio de substituições por adições. Na primeira linha: abre parênteses, menos 8, fecha parênteses, mais abre parênteses, mais 10, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, igual. Na segunda linha: igual, abre parênteses, menos 8, fecha parênteses, mais abre parênteses, mais 10, fecha parênteses, mais 3 mais, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho no número menos 3 da primeira linha e indicando para o número mais 3 da segunda linha. Na terceira linha: igual, abre parênteses, menos 2, fecha parênteses, mais 3 mais, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho nos número menos 8 e mais 10 da segunda linha e indicando para o número mais 2 da terceira linha. Na quarta linha: igual, abre parênteses, menos 5, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho nos número mais 2 e mais 3 da terceira linha e indicando para o número mais 5 da quarta linha. Na quinta linha: igual, abre parênteses, mais 1, fecha parênteses, igual a 1 Entres as duas linhas há um fio vermelho nos número mais 5 e menos 4, da quarta linha e indicando para o número mais 1 da quinta linha.

Sugestão de leitura

GUELLI, Oscar. Números com sinais: uma grande invenção! São Paulo: Ática, 2000. (Coleção Contando a história da Matemática).

Esse livro traz temas da história da Matemática, como o surgimento dos sinais de adição e de subtração, e jogos e passatempos envolvendo números positivos e negativos, os sinais de maior e menor etcétera

• Eliminamos todos os parênteses antes de iniciar os cálculos. Analise dois modos de resolver:

Expressão numérica na horizontal. Forma para calcular eliminando os parênteses. Na primeira linha: abre parênteses, menos 8, fecha parênteses, mais abre parênteses, mais 10, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, igual. Na segunda linha: igual, menos 8, mais 10, mais 3, menos 4, igual. Na terceira linha: igual, mais 2, mais 3, menos 4, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho nos número menos 8 e mais 10 da segunda linha e indicando para o número mais 2 da terceira linha. Na quarta linha: igual, mais 5, menos 4, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho nos número mais 2 e mais 3 da terceira linha e indicando para o número mais 5 da quarta linha Na quinta linha: igual, mais 1é igual a 1. Entres as duas linhas há um fio vermelho nos número mais 5 e menos 4, da quarta linha e indicando para o número mais 1 da quinta linha. Nesse cálculo, as operações foram feitas na ordem em que apareceram. Ou. Expressão numérica na horizontal. Forma para calcular eliminando os parênteses. Na primeira linha: abre parênteses, menos 8, fecha parênteses, mais abre parênteses, mais 10, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, igual. Na segunda linha: igual, menos 8, mais 10, mais 3, menos 4, igual. Na terceira linha: igual, menos 8 menos 4 mais 10 mais 3, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho alinhado aos números com organização dos negativos a esquerda e o positivos. Na quarta linha: igual, menos 12 mais 13, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho a esquerda nos números menos 8 e menos 4 da terceira linha e indicando para o número menos 12 da quarta linha, e há outros fio vermelho a direita nos números mais 10 e mais 3 indicando para o número mais 13 Na quinta linha: igual, mais 1 é igual a 1. Entres as duas linhas há um fio vermelho nos número menos 12 mais 13, da quarta linha e indicando para o número mais 1 da quinta linha. Nesse caso, agrupamos os números positivos e os números negativos antes de efetuar as operações.

Agora, confira alguns exemplos de como calcular o valor de expressões numéricas com os sinais de associação, que devem ser eliminados nesta ordem: parênteses, colchetes e chaves.

a) Expressão numérica na horizontal. Forma para calcular eliminando parênteses, colchetes e chaves. Na primeira linha: 26 menos, abre colchetes, 16 menos, abre parênteses, menos 5, menos 7, fecha parênteses, fecha colchetes, igual. Na segunda linha: igual, 26 menos, abre colchetes, 16 menos, abre parênteses, menos 12, fecha parênteses, fecha colchetes, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho entre os parênteses nos número menos 5 e menos 7 da primeira linha e indicando para o número menos 12 da segunda linha. Na terceira linha: igual, 26, menos, abre colchetes, 16 mais 12, fecha colchetes, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho entre os colchetes e os número 16 e menos 12 da segunda linha e indicando para o número mais 12 da terceira linha. Na quarta linha: igual, 26 menos 28, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho entre a soma dos colchetes do número 16 e 12 da terceira linha e indicando para o número 28 da quarta linha. Na quinta linha: igual, menos 2. Entres as duas linhas há um fio vermelho nos número 26 menos 28, da quarta linha e indicando para o número menos 2 da quinta linha. b) Expressão numérica na horizontal. Forma para calcular eliminando parênteses, colchetes e chaves. Na primeira linha: 20 mais, abre chaves, menos 5, menos abre colchetes, 4 menos, abre parênteses, 2 menos 7, fecha parênteses, fecha colchetes, menos 10, fecha chaves, igual. Na segunda linha: igual, 20 mais, abre chaves, menos 5, menos abre colchetes, 4 menos, abre parênteses, menos 5, fecha parênteses, fecha colchetes, menos 10, fecha chaves, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho entre os parênteses nos número menos 2 e menos 7 da primeira linha e indicando para o número menos 5 da segunda linha. Na terceira linha: igual, 20 mais, abre chaves, menos 5, menos abre colchetes, 4 mais 5, fecha colchetes, menos 10, fecha chaves, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho entre os colchetes e os número 4 e menos 5 da segunda linha e indicando para o número mais 5 da terceira linha. Na quarta linha: igual, 20 mais, abre chaves, menos 5 menos 9 menos 10, fecha chaves, igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho entre a soma dos colchetes do número 4 e 5 da terceira linha e indicando para o número 9 da quarta linha. Na quinta linha: igual, 20 menos 24 igual. Entres as duas linhas há um fio vermelho nos número entre colchetes, menos 5, menos 9 e menos 10, da quarta linha e indicando para o número menos 24 da quinta linha. Na sexta linha: igual a menos 4. Entres as duas linhas há um fio vermelho nos número 20 e 24, da quinta linha e indicando para o número menos 4 da sexta linha.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

33. Efetue.

a) (menos8) menos (+7)

b) (menos30) menos (+70)

c) (menos72) menos (+30)

d) (menos3) menos (+7)

e) (+10) menos (+30)

f) (+80) menos (menos15)

34. Calcule.

a) (menos650) menos (+300)

b) (menos850) menos (menos850)

c) (+.1300) menos (menos.1100)

35.

Ícone de atividade com calculadora e softwares.

Carlos aprendeu que, na calculadora, ao digitar a tecla

Ilustração. Tecla da calculadora com os sinais mais e menos.

após um número, ela atribui um valor negativo a esse número. Observe as teclas que ele digitou:

Ilustração. Sequência de teclas na horizontal. Tecla com o número 1, Tecla com o número zero, Tecla com os sinais mais e menos, Tecla com sinal menos, Tecla com o número 1, Tecla com o número 5, Tecla com os sinais mais e menos, Tecla com o símbolo de igual.

a) Usando uma calculadora, responda: qual foi o resultado que Carlos obteve?

b) No caderno, escreva a expressão e resolva-a, verificando o resultado obtido no item a.

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36. Calcule

a) (+ 8) + (menos7) + (menos3)

b) (+ 2) + (+5) menos (+3)

c) (+ 10) menos (menos20) menos (+30)

37. Calcule o valor das expressões numéricas.

a) menos76 menos (7 menos 18) + [70 menos (49 menos 81)]

b) {[(73 menos 64) + 20] menos (40 menos 31)} + (menos3)

38. Determine o valor de cada

+ (menos8) menos (menos3) = +7

b) (+8) + (

) + (menos3) = menos5

c) (+48) menos (menos36) + (menos40) menos (

) = menos75

39. A medida da temperatura em uma cidade pela manhã era 18 graus Célsius. À noite, ela caiu para menos5 graus Célsius. Qual é a diferença, em grau Celsius, entre as medidas das temperaturas registradas nesses dois momentos?

40. Podemos obter o saldo da balança comercial de um país, em determinado ano, calculando a diferença entre a quantia recebida com as exportações e a quantia gasta com as importações. Suponha que o Brasil, em determinado ano, tenha recebido 160 bilhões de dólares com as exportações e tenha gastado 120 bilhões de dólares com as importações. Qual foi o saldo da balança comercial do Brasil nesse determinado ano?

5 Multiplicação com números inteiros

Vamos estudar a multiplicação com dois números inteiros acompanhando os exemplos a seguir.

a) Vamos calcular (+4) ⋅ (+3).

Utilizando a ideia de adição de parcelas iguais, temos:

(+4) ⋅ (+3) = 4 ⋅ (+3) =(+3) + (+3) + (+3) + (+3) = +12

▸

Em seu caderno, multiplique outros números inteiros positivos. O que os resultados obtidos por você sugerem?

b) Vamos calcular (+2) ⋅ (menos5).

Utilizando a ideia de adição de parcelas iguais, temos:

(+2) ⋅ (menos5) = 2 ⋅ (menos5) = (menos5) + (menos5) = ‒ 10

▸

Em seu caderno, multiplique outros números inteiros, sendo o primeiro um número inteiro positivo e o segundo, um número inteiro negativo. O que os resultados obtidos por você sugerem?

c) Vamos calcular (menos3) ⋅ (+2).

(menos3) é o oposto de +3. Então:

(menos3) ⋅ (+2) = menos(+3) ⋅ (+2) = menos (+6) = menos6

▸

Em seu caderno, multiplique outros números inteiros, sendo o primeiro um número inteiro negativo e o segundo, um número inteiro positivo. O que os resultados obtidos por você sugerem?

d) Vamos calcular 0 ⋅ (menos11).

Assim como na multiplicação com números naturais, quando um dos fatores da multiplicação de números inteiros é zero, o produto é zero. Assim:

0 ⋅ (menos11) = (menos11) ⋅ 0 = 0

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e) Vamos calcular (menos2) ⋅ (menos5).

Considere a sequência de multiplicações a seguir e seus resultados.

Esquema. Sequência de multiplicação de como calcular, menos 2 vezes menos 5. 4 vezes abre parênteses, menos 5, fecha parênteses é igual a menos 20, seta para baixo. 3 vezes abre parênteses, menos 5, fecha parênteses é igual a menos 15, seta para baixo. 2 vezes abre parênteses, menos 5, fecha parênteses é igual a menos 10, seta para baixo. 1 vezes abre parênteses, menos 5, fecha parênteses é igual a menos 5, seta para baixo. 0 vezes abre parênteses, menos 5, fecha parênteses é igual 0.

Essa sequência de multiplicações segue um padrão: o primeiro fator vem decrescendo em 1 unidade e o produto vem crescendo em 5 unidades (menos20, menos15, menos10, menos5, 0). Dessa maneira, podemos escrever:

(menos1) ⋅ (menos5) = 5

(menos2) ⋅ (menos5) = 10

▸

Em seu caderno, multiplique outros números inteiros negativos. O que os resultados obtidos por você sugerem?

Propriedades da multiplicação com números inteiros

As propriedades que veremos a seguir podem simplificar os cálculos com números inteiros.

Propriedade comutativa

Em uma multiplicação com dois ou mais números inteiros, a ordem dos fatores não altera o produto.

Observe os exemplos a seguir.

a) (+4) ⋅ (menos5) = menos20

(menos5) ⋅ (+4) = menos20

b) (menos11) ⋅ (menos3) = +33

(menos3) ⋅ (menos11) = +33

c) (menos9) ⋅ (+2) ⋅ (menos5) = +90

(menos5) ⋅ (menos9) ⋅ (+2) = +90

(+2) ⋅ (menos5) ⋅ (menos9) = +90

(menos9) ⋅ (menos5) ⋅ (+2) = +90

Propriedade associativa

Em uma multiplicação com três ou mais números inteiros, podemos associar esses números de maneiras diferentes sem alterar o produto.

Observe os exemplos a seguir.

Esquema. Expressão numérica: abre colchetes, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, vezes, abre parênteses mais 3, fecha parênteses, fecha colchetes, vezes, abre parênteses, menos 5, fecha parênteses, é igual a, abre parênteses, menos 12, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 5, fecha parênteses, é igual a mais 60. Abaixo, uma seta indica que a multiplicação dos números menos 4 e mais 3, no primeiro membro da igualdade, corresponde ao número menos 12, no segundo membro da igualdade.
Abaixo, outra expressão numérica: abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, vezes, abre colchetes, abre parênteses mais 3, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 5, fecha parênteses, fecha colchetes, é igual a, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 15, fecha parênteses, é igual a mais 60. Abaixo, uma seta indica que a multiplicação dos números mais 3 e menos 5, no primeiro membro da igualdade, corresponde ao número menos 15, no segundo membro da igualdade

Esquema. Expressão numérica: abre colchetes, abre parênteses, mais 7, fecha parênteses, vezes, abre parênteses menos 7, fecha parênteses, fecha colchetes, vezes, abre parênteses, mais 3, fecha parênteses, é igual a, abre parênteses, menos 49, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, mais 3, fecha parênteses, é igual a menos 147. Abaixo, uma seta indica que a multiplicação dos números menos 7 e mais 7, no primeiro membro da igualdade, corresponde ao número menos 49, no segundo membro da igualdade. Abaixo, outra expressão numérica: abre parênteses, mais 7, fecha parênteses, vezes, abre colchetes, abre parênteses, menos 7, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, mais 3, fecha parênteses, fecha colchetes, é igual a, abre parênteses, mais 7, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 21, fecha parênteses, é igual a menos 147. Abaixo, uma seta indica que a multiplicação dos números mais 3 e menos 7, no primeiro membro da igualdade, corresponde ao número menos 21, no segundo membro da igualdade.

Elemento neutro

Em uma multiplicação com dois números inteiros em que um deles é igual a 1, o resultado é igual ao outro número inteiro.

O número +1 é o elemento neutro da multiplicação.

Observe os exemplos a seguir.

a) (+8) ⋅ (+1) = (+1) ⋅ (+8) = +8

b) (+1) ⋅ (menos62) = (menos62) ⋅ (+1) = menos62

Página 44

Propriedade distributiva

O produto da multiplicação de um número inteiro pela soma (ou pela diferença) de outros números inteiros pode ser obtido multiplicando o primeiro número por cada uma das parcelas e adicionando (ou subtraindo) os resultados obtidos.

Observe os exemplos a seguir.

Esquema. Expressão numérica: abre parênteses, mais 4, fecha parênteses, vezes, abre colchetes, abre parênteses menos 3, fecha parênteses, mais, abre parênteses, mais 2, fecha parênteses, fecha colchetes, é igual. Acima do número menos 4 à esquerda há 2 setas que multiplica aos números menos 3 e mais 2, resultando na expressão: abre parênteses, mais 4, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, mais, abre parênteses, mais 4, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, mais 2, fecha parênteses é igual a, abre parênteses, menos 12, mais, abre parênteses, mais 8, fecha parênteses, é igual a menos 4. Acima dos números da multiplicação de mais 4 e menos 3 há uma seta para o número menos 12. Abaixo dos números da multiplicação de mais 4 e mais 2, há uma seta para o número mais 8.

Esquema. Expressão numérica: abre parênteses, menos 5, fecha parênteses, vezes, abre colchetes, abre parênteses menos 2, fecha parênteses, menos, abre parênteses, mais 4, fecha parênteses, fecha colchetes, é igual. Acima do número menos 5 à esquerda há 2 setas que multiplica aos números menos 2 e mais 4, resultando na expressão: abre parênteses, menos 5, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 2, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 5, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, mais 4, fecha parênteses é igual a, abre parênteses, mais 10, menos, abre parênteses, menos 20, fecha parênteses, é igual a mais 10 mais 20 é igual a 30. Acima dos números da multiplicação de menos 5 e menos 2 há uma seta para o número mais 10. Abaixo dos números da multiplicação de menos 5 e mais 4 mais há uma seta para o número menos 20.

Observação

A propriedade distributiva pode ser empregada para o cálculo mental de um produto. Exemplo:

Esquema. Propriedade da multiplicação na horizontal. Propriedade distributiva. Na primeira linha: abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, vezes, abre parênteses mais 312, fecha parênteses, é igual a, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, 300 mais 10 mais 2, fecha parênteses, igual Acima do número menos 4 na direita há 3 setas nos números 300, 10 e 2. Na segunda linha: abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, vezes, abre parênteses mais 300, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, mais 10, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, mais 2, fecha parênteses, igual. Na terceira linha: abre parênteses, menos 1200, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos 40, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos 8, fecha parênteses, é igual a menos 1248.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

41. Calcule os produtos.

a) (+11) ⋅ (+3)

b) (menos1) ⋅ (menos5)

c) (+9) ⋅ (menos7)

d) (menos7) ⋅ (menos7)

e) 0 ⋅ (menos10)

f) (menos11) ⋅ (+7)

g) (menos12) ⋅ (+23)

h) (menos16) ⋅ (menos6)

i) (menos12) ⋅ (12)

j) (menos20) ⋅ (+15)

42.

Para cada item, obtenha mentalmente o sinal do resultado. Em seguida, calcule os produtos e anote-os no caderno.

a) (menos7) ⋅ (menos8) ⋅ (+3)

b) (menos4) ⋅ (+2) ⋅ (menos11)

c) (+7) ⋅ (+2) ⋅ (+3) ⋅ (menos1)

d) (+4) ⋅ (menos7) ⋅ (+9) ⋅ (menos11)

e) (+8) ⋅ (menos6) ⋅ (menos5) ⋅ (+3) ⋅ (+2)

f) (menos5) ⋅ (menos6) ⋅ (menos3) ⋅ (menos2) ⋅ (menos1)

43. Calcule o produto dos quatro maiores números inteiros negativos.

44. Podemos afirmar que o elemento neutro da multiplicação dos números inteiros é o menos1? Justifique sua resposta.

45. Calcule o produto da soma dos números menos9, +6, menos2, +8 e menos15 pelo simétrico da diferença entre menos6 e menos3.

46. Escreva no caderno a propriedade aplicada em cada caso.

a) 2 ⋅ [(+19) ⋅ (menos4)] = [2 ⋅ (+19)] ⋅ (menos4)

b) (menos2) ⋅ (+3) = (+3) ⋅ (menos2)

c) (menos7) ⋅ (+1) = (+1) ⋅ (menos7) = menos7

d) menos5 ⋅ (4 + 2) = menos5 ⋅ 4 + (menos5) ⋅ 2

47. Aplique a propriedade distributiva para calcular o resultado de cada item.

a) (menos3) ⋅ (menos20 + 7)

b) (25 menos 18) ⋅ (menos5)

c) 2 ⋅ (menos7 + 5)

d) (8 menos 3) ⋅ (menos4)

Página 45

48.

Existem 12 multiplicações de números inteiros que têm como produto 12. Uma delas é 3 ⋅ 4; outra é 4 ⋅ 3. Quais são as demais?

49.

Aplique a propriedade distributiva para calcular mentalmente o produto de (menos7) ⋅ 421.

50. Calcule o valor de cada expressão numérica sabendo que as multiplicações devem ser feitas antes das adições e subtrações.

a) menos30 menos 5 ⋅ abre colchete abre parêntesemenos1) ⋅ abre parênteses15 menos 3 ⋅ 6fecha parênteses + 9 menos 3 ⋅ 4fecha colchete

b) menos5 + abre colchete abre parêntesemenos20) ⋅ abre parêntesesmenos15 + 30fecha parênteses ⋅ (menos1)]

c) 18 + 4 ⋅ [menos6 menos 4 ⋅ (menos5 + 6)]

51.

No caderno, elabore um problema que possa ser resolvido calculando-se o valor da seguinte expressão numérica: 2 ⋅ abre parêntesesmenos50fecha parênteses + 60

Depois, troque de caderno com um colega e resolva o problema criado por ele.

O colega resolveu corretamente o seu problema? Qual é a solução do problema?

6 Divisão exata com números inteiros

A divisão exata é a operação inversa da multiplicação. Em uma divisão exata, o quociente é o número que, multiplicado pelo divisor, tem como resultado o dividendo. Observe os exemplos:

a) 20 : 5 = 4, porque 4 ⋅ 5 = 20

b) 8 : 4 = 2, porque 2 ⋅ 4 = 8

Essa mesma ideia pode ser aplicada a outras divisões.

a) abre parênteses+30fecha parênteses : abre parênteses+6) = +5, porque abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+6fecha parênteses = +30

b) abre parênteses+30fecha parênteses : abre parêntesesmenos6) = menos5, porque abre parêntesesmenos5fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos6fecha parênteses = +30

c) abre parêntesesmenos30fecha parênteses : abre parêntesesmenos6) = +5, porque abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos6fecha parênteses = menos30

d) abre parêntesesmenos30fecha parênteses : abre parênteses+6) = menos5, porque abre parêntesesmenos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+6fecha parênteses = menos30

Observação

A divisão exata entre dois números inteiros não nulos nem sempre pode ser realizada no conjunto

dos números inteiros.

Por exemplo: abre parêntesesmenos7fecha parênteses: abre parênteses+2fecha parênteses ou abre parênteses+9fecha parênteses: abre parêntesesmenos4fecha parênteses não são divisões exatas em

, pois o quociente não é um número inteiro.

Você saberia dizer quando o quociente de uma divisão é um número positivo ou negativo?

Para estudar o sinal do quociente entre dois números inteiros, é preciso aplicar a ideia da divisão como operação inversa da multiplicação.

▸

Em seu caderno, divida dois números inteiros que tenham o mesmo sinal. O que os resultados obtidos por você sugerem?

▸

Em seu caderno, divida dois números inteiros que tenham sinais contrários. O que os resultados obtidos por você sugerem?

Observação

Não existe divisão por zero em

, nem em qualquer outro conjunto numérico.

Página 46

Atividades

Faça as atividades no caderno.

52. Calcule o resultado das operações.

a) abre parênteses+6fecha parênteses : abre parênteses+3fecha parênteses

b) abre parênteses+10fecha parênteses : abre parêntesesmenos5fecha parênteses

c) abre parêntesesmenos32fecha parênteses : abre parêntesesmenos4fecha parênteses

d) abre parêntesesmenos1fecha parênteses : abre parênteses+1fecha parênteses

e) 0 : abre parêntesesmenos1fecha parênteses

f) abre parêntesesmenos63fecha parênteses : abre parêntesesmenos21fecha parênteses

g) abre parênteses+.1296fecha parênteses : abre parêntesesmenos48fecha parênteses

53.

Calcule mentalmente:

a) o dobro de 12.

b) a metade de menos38.

c) o oposto do dobro de 15.

d) a metade do oposto de menos60.

e) a terça parte de menos36.

54. Calcule o valor de cada expressão numérica.

Lembre-se de que se deve calcular o resultado das operações dos parênteses antes de dividir.

a) abre parênteses16 menos 30 + 48fecha parênteses : abre parêntesesmenos2fecha parênteses

b) abre parêntesesmenos15 + 20 + 40fecha parênteses : abre parênteses+5fecha parênteses

c) abre parêntesesmenos5 + 7 menos 35fecha parênteses : abre parêntesesmenos11fecha parênteses

55. Escreva no caderno o valor de cada

: abre parêntesesmenos5fecha parênteses = 8

b) abre parêntesesmenos30fecha parênteses :

= menos6

: abre parêntesesmenos7fecha parênteses = 0

d) abre parêntesesmenos20fecha parênteses :

= menos1

56. Calcule o valor de cada expressão numérica a seguir.

a) menos2 + abre chavemenos1 + abre colchete5 menos 3 ⋅ abre parênteses10 + 1fecha parênteses : 3fecha colchete menos 5 ⋅ 7fecha chave

b) menos5 menos abre colchete3 ⋅ abre parênteses7 menos 5 menos 3fecha parênteses menos 22 : 11fecha colchete

c) 2 menos abre parênteses5 ⋅ 10 + 6fecha parênteses menos 5 ⋅ 20 : abre parêntesesmenos17 + 13fecha parênteses

d) 3 menos abre chave30 : 5 menos abre colchetemenos7 ⋅ abre parênteses5 menos 2fecha parênteses + 3fecha colchete : 6fecha chave

57. Determine o quociente entre dois números inteiros não nulos quando esses números são:

a) iguais.

b) opostos.

7 Potenciação em que a base é um número inteiro

Ilustração. Oficina de carros. À direita, uma mulher parda de cabelo castanho e roupa azul sentada atrás de uma mesa. À esquerda, um carro cinza e dois homens de camisa amarela e macacão estão próximos a um carro amarelo suspenso entre duas colunas. Ao redor, equipamentos.

Acompanhe a situação a seguir.

Lúcia é dona de uma oficina de carros. Em um dia, havia 4 carros na oficina. Sabendo que cada carro tem 4 rodas, que cada roda tem 4 parafusos e que um dos mecânicos usa uma parafusadeira automática que permite tirar um parafuso em 4 segundos, calcule quanto tempo esse mecânico gastou para retirar todos os parafusos de todos os carros.

Esquema. Expressão numérica na horizontal. No centro, da esquerda para direita, 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4 = 256. No primeiro 4, há um fio vermelho indicando: quantidade de carros na oficina. No segundo 4, há um fio vermelho indicando: quantidade de rodas. No terceiro 4, há um fio vermelho indicando: quantidade de parafusos em cada roda. No quarto 4, há um fio vermelho indicando: medida do tempo gasto em segundos para retirar cada parafuso.

Logo, o mecânico gastou 256 segundos para retirar todos os parafusos.

Página 47

Na potenciação com números naturais, a potência é um produto de fatores iguais à base. Observe o exemplo:

Esquema. Potencialização com números naturais na horizontal, organizados da esquerda para direita. No centro, temos 4 e, ao seu lado direito, o número 4, menor que o anterior, elevado. Que é igual a 4 vezes 4 vezes 4 vezes 4, que é igual a 256. À esquerda, no primeiro 4, há um fio vermelho indicando que é a base. O número 4 menor, que está elevado, também possui um fio vermelho indicando que é o expoente. Nos números 4 da multiplicação, há um fio vermelho indicando que são 4 fatores iguais a 4. À direita, no número 256, há um fio indicando: potência.

No estudo da potenciação em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural, vale a mesma ideia, ressaltando os cuidados que devemos ter com os sinais, como veremos a seguir.

Se o expoente for um número par, a potência será um número inteiro positivo.

Observe os exemplos a seguir.

a) abre parênteses+5fecha parêntesesao quadrado = abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+5fecha parênteses = +25

b) abre parêntesesmenos2fecha parênteseselevado a 4 = abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2fecha parênteses = +16

Se o expoente for um número ímpar, a potência terá o mesmo sinal da base.

Observe os exemplos a seguir.

a) abre parênteses+5fecha parêntesesao cubo = abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+5fecha parênteses = +125

b) abre parêntesesmenos3fecha parêntesesao cubo = abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses = menos27

Observações

1. Toda potência de expoente 1 que tem um número inteiro como base é igual à própria base. Confira os exemplos:

a) abre parênteses+5fecha parênteseselevado a 1 = +5

b) abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 1 = menos3

2. Toda potência de expoente zero que tem um número inteiro não nulo como base é igual a 1. Analise os exemplos:

a) abre parênteses+5fecha parênteseselevado a 0 = +1

b) abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 0 = +1

3. Ao escrever uma potência com base negativa, sempre utilizamos parênteses. Verifique o exemplo:

abre parêntesesmenos3fecha parêntesesao quadrado = abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses = +9

Se não colocarmos os parênteses, o expoente é aplicado somente à base. Observe:

menos3ao quadrado = menosabre parênteses3fecha parêntesesao quadrado = menosabre parênteses3 ⋅ 3fecha parênteses = menos9

Ilustração. Menina branca de cabelos loiros, está vestindo uma blusa amarela com listras. Ela usa óculos e está sentada em cima de uma caixa de madeira junto a um pneu e uma lata de tinta. Na lateral da caixa está escrito: 0 elevado a 1 igual a ponto de interrogação, e 0 elevado a 0 igual a ponto de interrogação. A menina está olhando para caixa e dizendo: Será que eu consigo calcular essas duas potências? O que você acha?

Propriedades da potenciação em ℤ

1ª propriedade: Produto de potências de mesma base.

abre parêntesesmenos3fecha parêntesesao quadrado ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parêntesesao cubo = abre parêntesesmenos3fecha parêntesesao quadrado + ao cubo = abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 5

2ª propriedade: Quociente de potências de mesma base.

abre parêntesesmenos4fecha parênteseselevado a 7 : abre parêntesesmenos4fecha parênteseselevado a 5 = abre parêntesesmenos4fecha parênteseselevado a 7 – elevado a 5 = abre parêntesesmenos4fecha parêntesesao quadrado

3ª propriedade: Potência de potência.

abre colchete abre parêntesemenos7fecha parêntesesao cubofecha colcheteelevado a 5 = abre parêntesesmenos7fecha parêntesesao cubo ⋅ elevado a 5 = abre parêntesesmenos7fecha parênteseselevado a 15

4ª propriedade: Potência de um produto ou de um quociente.

abre colchete abre parêntese+2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos4)]ao cubo = abre parênteses+2fecha parêntesesao cubo ⋅ abre parêntesesmenos4fecha parêntesesao cubo

abre colchete abre parêntesemenos12fecha parênteses : abre parênteses+3)]elevado a 4 = abre parêntesesmenos12fecha parênteseselevado a 4 : abre parênteses+3fecha parênteseselevado a 4

Página 48

Atividades

Faça as atividades no caderno.

58. Calcule as potências.

a) abre parênteses+2fecha parêntesesao cubo

b) abre parêntesesmenos7fecha parênteseselevado a 4

c) abre parêntesesmenos9fecha parêntesesao cubo

d) abre parênteses+3)ao quadrado

e) abre parêntesesmenos17fecha parênteseselevado a 0

f) abre parêntesesmenos11)ao quadrado

g) abre parêntesesmenos35fecha parênteseselevado a 1

h) abre parêntesesmenos1fecha parêntesesao cubo

i) abre parênteses+.1992fecha parênteseselevado a 0

59. Considerando a potenciação em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural, responda às questões.

a) Quando a base é um número inteiro positivo, qual é o sinal da potência?

b) Quando a base é um número inteiro negativo, qual é o sinal da potência?

60. Calcule:

Esquema. Expressão numérica: Abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, vezes,abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, reticências, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses. No total, 30 fatores.

61. Observe o esquema a seguir.

Esquemas. Sequência de evolução dos bisavós até uma pessoa. A organização da sequência é da esquerda para a direita. Na primeira linha, há quatro pares de símbolos, um masculino e um feminino.

Na parte superior, há dois pares com um fio preto conectado ao avô e outro ao avó. Em seguida, há um fio conectado ao pai e este, por sua vez, está conectado à pessoa, representada pelo símbolo masculino.

Na parte inferior há dois pares com um fio preto conectado ao avô e outro ao avó. Em seguida, há um fio conectado a mãe e este, por sua vez, está conectado à pessoa, representada pelo símbolo masculino.

Quantos bisavós cada pessoa tem? E quantos trisavós? Dê as respostas na forma de potência.

62. Calcule o valor das expressões sabendo que devemos, obrigatoriamente, calcular as potenciações antes das multiplicações e das divisões.

a) abre parêntesesmenos4fecha parênteses menos abre colchete abre parêntesemenos8fecha parênteses : abre parênteses+2)]ao quadrado menos 6

b) abre parênteses+20fecha parênteses : abre parêntesesmenos1fecha parênteseselevado a 4 menos 2ao quadrado + abre parêntesesmenos2fecha parênteseselevado a 5 : abre parênteses+2fecha parênteseselevado a 4 menos 5elevado a 0

c) abre parêntesesmenos576fecha parênteses : abre parêntesesmenos12)ao quadrado menos abre parêntesesmenos125fecha parênteses : abre parêntesesmenos5)ao quadrado

63.

Com um colega, calcule.

a) abre parênteses5 + 3)ao quadrado

b) 5ao quadrado + 3ao quadrado

c) abre parênteses2 menos 4)ao cubo

d) 2ao cubo menos 4ao cubo

• Agora, responda: sendo a e b números inteiros e n um número natural maior que 1, é possível dizer que abre parêntesesa + b)elevado a n = aelevado a n + belevado a n ou que abre parêntesesa menos b)elevado a n = aelevado a n menos belevado a n ?

64. Lúcio escreveu sua idade na primeira linha de uma folha de caderno. Na linha seguinte, ele escreveu uma subtração de dois números inteiros cuja diferença era sua idade. Na linha seguinte, substituiu esses dois números, respectivamente, por uma multiplicação de outros três números inteiros e por uma divisão do quadrado de um número inteiro pelo triplo de outro. Na linha seguinte, substituiu o primeiro número da linha anterior por uma subtração e o segundo, por uma adição.

Assim, ele obteve uma expressão numérica, sabendo antecipadamente seu valor. Confira o que ele fez:

15 = 24 menos 9 = abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ 4 ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses menos abre colchete9ao quadrado : abre parênteses3 ⋅ 3)] =

= abre parênteses11 menos 13fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos8 + 12fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses menos abre colchete9ao quadrado : abre parênteses3 ⋅ 3)]

Calcule mentalmente o valor da expressão de Lúcio.

Ilustração. Menino ´pardo de cabelo preto e camiseta azul. Ele pensa em um bolo de aniversário com vela acima com número 15.

Invente duas expressões com cinco operações diferentes com números inteiros e troque-as com as de um colega, sem que ele saiba o número que você pensou, para que cada um calcule o valor das expressões do outro. Depois, destroquem as expressões para corrigi-las.

Página 49

8 Raiz quadrada exata de números inteiros

Qual é a raiz quadrada de 25?

Observe que:

• abre parêntesesmenos5)² = abre parêntesesmenos5fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos5fecha parênteses = 25

• abre parênteses+5)² = abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+5fecha parênteses = 25

Embora abre parêntesesmenos5)² = 25 e abre parênteses+5)² = 25, consideramos a raiz quadrada de 25 única e não negativaglossário , ou seja, apenas o número +5. Assim:

Esquema. Raiz quadrada de 25 é igual a 5. Há um fio na parte superior no símbolo da raiz, indicando que é o radical. Há um fio na parte inferior no número 25 dentro da raiz, indicando que é o radicando. Há uma seta à esquerda no número 2 acima do símbolo de raiz, indicando que é o índice da raiz. Há uma seta na parte inferior no número 5, indicando que é o raiz. Há uma seta a esquerda informando: Lemos: raiz quadrada de vinte e cinco é igual a cinco.

Ao descobrir que o número 5 é a raiz quadrada de 25, a operação que realizamos foi a radiciação. Dizemos que extraímos a raiz quadrada de 25.

A raiz quadrada de um número inteiro a é um número não negativo b que, elevado ao quadrado, resulta em a.

Assim:

\sqrt{a}

= b, se bao quadrado = a com b ⩾ 0

O oposto do número

\sqrt[2]{25}

‒ \sqrt[2]{25}

. Então:

‒ \sqrt[2]{25}

= ‒5

Desse modo, quando o radical é precedido do sinal negativo, indicamos o oposto da raiz quadrada.

Observe os exemplos a seguir.

a) Como

\sqrt[2]{16}

= 4 e o oposto do número

\sqrt[2]{16}

‒ \sqrt[2]{16}

, então:

‒ \sqrt[2]{16}

= menos4

b) Como

\sqrt[2]{100}

= 10 e o oposto de

\sqrt[2]{100}

‒ \sqrt[2]{100}

, então:

‒ \sqrt[2]{100}

= menos10

Observações

1. Quando o índice da raiz é 2, podemos omiti-lo. Assim:

\sqrt[2]{25}

\sqrt[]{25}

;

\sqrt[2]{16}

\sqrt[]{16}

2. A raiz quadrada de zero é zero:

\sqrt{0}

= 0, pois 0ao quadrado = 0.

3. Chamamos de números inteiros quadrados perfeitos aqueles que podem ser escritos como potência de base inteira e expoente 2. Os números 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 e 64 são exemplos de números inteiros quadrados perfeitos.

A raiz quadrada de um número que não é número inteiro quadrado perfeito não é um número inteiro. Por exemplo,

\sqrt{5}

não é número inteiro, pois 5 não é um número inteiro quadrado perfeito.

4. A raiz quadrada de um número inteiro negativo não é um número inteiro, pois o quadrado de um número inteiro nunca é negativo. Logo, não existe número inteiro cujo quadrado seja, por exemplo, o número menos25.

Verifique que

\sqrt{‒ 25}

não é um número inteiro, mas

‒ \sqrt{25}

é um número inteiro:

‒ \sqrt{25} = ‒ 5

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Expressões numéricas com números inteiros

Nas expressões numéricas envolvendo operações com números inteiros, as operações devem ser efetuadas na seguinte ordem:

1º) potenciações e radiciações abre parêntesesna ordem em que aparecemfecha parênteses;

2º) multiplicações e divisões abre parêntesesna ordem em que aparecemfecha parênteses;

3º) adições e subtrações abre parêntesesna ordem em que aparecemfecha parênteses.

Para os sinais de associação, também seguimos uma ordem: parênteses abre parênteses fecha parênteses, colchetes abre colchete fecha colchete e, por último, chaves abre chave fecha chave.

Observe os exemplos a seguir.

\{{(‒ 2 + 8)}^{2} ‒ 3 \cdot [(\sqrt{16} + \sqrt{4}) : 3]\} : (‒ 5) =

= {(+6fecha parêntesesao quadrado menos3 ⋅ abre colchete abre parêntese4 + 2fecha parênteses : 3]} : abre parêntesesmenos5fecha parênteses =

= abre chave+36 menos 3 ⋅abre colchete6 : 3]} : abre parêntesesmenos5fecha parênteses =

= abre chave+ 36 menos 3 ⋅ 2fecha chave : abre parênteses menos5fecha parênteses =

= abre chave36 menos 6fecha chave : abre parênteses menos5fecha parênteses =

= 30 : abre parênteses menos5fecha parênteses =

= menos6

6 ‒ \{[{(\sqrt{25} ‒ \sqrt{49})}^{2} \cdot 3^{2} ‒ 6 \cdot 4] : 2\} =

= 6 menos {[(5 menos7fecha parêntesesao quadrado ⋅ 3ao quadrado menos 6 ⋅ 4fecha colchete : 2fecha chave =

= 6 ‒{[(‒2)ao quadrado ⋅ 3ao quadrado menos6 ⋅ 4fecha colchete : 2fecha chave =

= 6 menos {[4 ⋅ 3ao quadrado menos 6 ⋅ 4fecha colchete : 2fecha chave =

= 6 menos {[4 ⋅ 9 menos 6 ⋅ 4fecha colchete : 2fecha chave =

= 6 menos {[36 menos 24fecha colchete : 2fecha chave =

= 6 menos abre chave12 : 2fecha chave = 6 menos 6 = 0

Sugestão de leitura

RAMOS, Luzia Faraco. História de sinais. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A descoberta da Matemática).

A história de Alexandre e Milena envolve romance, intrigas, ciúmes e conteúdos matemáticos, como operações com sinais e cálculo de expressões numéricas. Além disso, o livro traz um minialmanaque com curiosidades, desafios e passatempos matemáticos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

65. Determine.

\sqrt{36}

\sqrt{0}

‒ \sqrt{196}

‒ \sqrt{100}

66. Calcule o valor de cada expressão numérica a seguir.

\sqrt{81} ‒ \sqrt{100} + \sqrt{64}

‒ \sqrt{36} ‒ \sqrt{121} + \sqrt{64}

\sqrt{1} + \sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{16} + \sqrt{49} + \sqrt{64}

67. Qual é o valor da expressão numérica?

\{[\sqrt{49} + (2^{4} ‒ 1)] \cdot \sqrt{64}\} + \sqrt{1 024}

68. A medida da área de um terreno de formato quadrado é 400 métros quadrados. Qual é a medida, em metro, do comprimento do lado desse terreno?

69. Determine o valor da raiz quadrada.

\sqrt{(‒ 2) \cdot {(+ 4)}^{2} \cdot (‒ 8)}

70. Entre os números

\sqrt{4}

\sqrt{5}

\sqrt{9}

\sqrt{10}

\sqrt{36}

\sqrt{121}

\sqrt{200}

, quais não são números inteiros?

71.

Com um colega, calculem e observem a diferença entre os resultados das expressões em cada item.

\sqrt{16 + 9}

\sqrt{16} + \sqrt{9}

\sqrt{100 - 36}

\sqrt{100} - \sqrt{36}

• Agora, respondam: a raiz quadrada da soma de dois números é igual à soma das raízes quadradas de cada um desses números?

72.

Junte-se a um colega, copiem no caderno o quadro a seguir e completem-no, sabendo que o produto dos números de cada coluna vertical, de cada linha horizontal e das duas diagonais é igual a .8000.

−10		100
	20

73.

Elabore um problema que possa ser resolvido calculando a raiz quadrada exata de um número inteiro. Depois, troque de problema com um colega e resolva o problema proposto por ele.

Página 51

Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

(Enem) Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos. O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de a às 15 horas e chega à cidade B às 18 horas (respectivos horários locais).

Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade a, no máximo, até as 13 horas do dia seguinte (horário local de a).

Para que o executivo chegue à cidade a no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à ou às:

a) 16 horas

b) 10 horas

c) 7 horas

d) 4 horas

e) uma hora

Interpretação e identificação dos dados	• Leia o enunciado da questão e verifique se o horário da cidade B está adiantado ou atrasado em relação ao da cidade A. • Responda: a) Em uma viagem rotineira, quando o avião chega à cidade B, que horas são na cidade A? b) Se o avião chegou às 18 h à cidade B, qual é a diferença de medida de tempo entre as cidades A e B?



Plano de resolução	• Considerando as informações fornecidas pelo enunciado, elabore um esquema que represente um possível processo de resolução do problema.
Plano de resolução
Resolução	• Junte-se a dois colegas. • Você deverá apresentar seu plano de resolução aos colegas, e eles farão o mesmo com você. Escolham uma das resoluções para apresentar à classe. • Discutam as diferenças e as semelhanças entre os planos escolhidos e, com base na análise das estratégias, partam para a execução do processo de resolução. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam registros individuais no caderno.




Verificação	• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Verificação
Apresentação	• Façam uma pesquisa sobre fusos horários. Em seguida, confeccionem um cartaz explicando o tema estudado e propondo desafios aos colegas.
Apresentação

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Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Os números inteiros

Conjunto dos números inteiros:

= {reticências, menos5, menos4, menos3, menos2, menos1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, reticências}

Representação dos números inteiros na reta numérica

Esquema. Reta numérica na horizontal dos números inteiros positivos e negativos, representada pela letra r final. A reta numérica é dividida em 2 partes iguais por meio de bolinha, e neste ponto na parte de baixo, há o número zero e acima a letra O.

Na parte esquerda é divididas em 3 partes iguais por meio de bolinha vermelhas. Abaixo da reta numérica, da direita para esquerda, estão representados os números: menos 1, menos 2, menos 3. Abaixo dos números há uma seta para esquerda indicando sentido negativo. Na parte superior da reta numérica, acima do numero menos 1 há a letra F, acima do número menos 2 há a letra E, acima do número menos 3 há a letra D.

Na parte direita é divididas em 3 partes iguais por meio de bolinha verdes. Abaixo da reta numérica, da esquerda para direita, estão representados os números: mais 1, mais 2, mais 3. Abaixo dos números há uma seta para esquerda indicando sentido positivo. Na parte superior da reta numérica, acima do numero mais 1 há a letra A, acima do número mais 2 há a letra B, acima do número mais 3 há a letra C

Módulo de um número inteiro

A medida da distância de um ponto na reta numérica até a origem óh é chamada de módulo ou valor absoluto do número associado a esse ponto. Representamos o módulo de um número colocando-o entre duas barras verticais: | |.

Números opostos ou simétricos

São números cujos pontos estão situados em lados opostos em relação à origem e estão a uma mesma medida da distância dela.

Na figura anterior, os números menos1 e +1 são opostos, assim como os números menos3 e +3.

1. Observe os números a seguir.

Esquema. 8 quadros alinhados em duas linhas, com identificação de números. Na primeira linha, da esquerda para a direita, temos: menos 12, mais 27, mais 91, menos 4. Na segunda linha, da esquerda para a direita, temos: menos 8, mais 15, menos 59, menos 18.

a) Quais deles são positivos?

b) Quais são negativos?

2. Observe a reta numérica e responda às questões.

Esquema. Reta numérica, dividida em 10 partes iguais por meio de tracinhos. Da esquerda para a direita, estão representados os números menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1 2, 3, 4, 5. Estão representados também os pontos: A alinhado ao número menos 4; B alinhado ao número menos 3; C alinhado ao número 1; D alinhado ao número 3; E alinhado ao número 5.

a) Que número corresponde ao ponto a?

b) Qual é o ponto correspondente ao número menos3?

c) O ponto C corresponde a que número?

d) Qual é o ponto correspondente ao número +3?

e) Que número corresponde ao ponto ê?

3. No caderno, trace uma reta numérica e represente nela os números inteiros maiores ou iguais a menos4 e menores que 3.

4. Determine:

a) o oposto de menos8.

b) o oposto de 85.

c) o módulo de menos2.

d) o módulo de menos1.

e) o oposto de +15.

f) o oposto de menos75.

5. Determine.

a) |menos19|

b) |+36|

c) |+16|

d) |menos120|

e) |0|

f) |menos212|

Comparação de números inteiros

Vamos comparar os números menos4 e menos1. Considere os pontos correspondentes a esses números na reta numérica a seguir.

O número menos4 é menor que menos1, pois o ponto que o representa está localizado à esquerda do que representa o menos1 na reta numérica.

Indicamos: menos4 < menos1 (lemos: “menos quatro é menor que menos um”).

De modo geral, temos que:

• qualquer número negativo é menor que zero;

• qualquer número positivo é maior que zero;

• todo número positivo é maior que qualquer número negativo.

6. No caderno, represente os números a seguir em uma mesma reta numérica e escreva-os em ordem crescente usando o sinal <.

menos2, 4, menos5, 0, 2, 3, menos3

7. Usando os sinais > ou <, compare cada par de números inteiros a seguir.

a) (+4)

(+6)

b) (menos6)

(menos5)

c) (+5)

(menos5)

d) (+10)

e) (menos14)

(+1)

f) (+35)

(+25)

8. Determine.

a) o número inteiro antecessor de menos15.

b) o número inteiro antecessor de +9.

c) o número inteiro sucessor de menos99.

d) o número inteiro sucessor de menos36.

Página 53

Adição com números inteiros

• Quando adicionamos números inteiros de mesmo sinal, o sinal se mantém.

• Quando adicionamos números inteiros de sinais contrários, e um não é oposto do outro, o sinal do resultado é o mesmo do número de maior módulo

(menos12) + (+18) = +6

O sinal do número (+18), que é o de maior módulo, é positivo.

Propriedades da adição com números inteiros

Propriedade comutativa:

(‒9) + (+5) = menos4 e (+5) + (menos9) = menos4

Propriedade associativa:

Elemento neutro: (+13) + 0 = 0 + (+13) = +13

Elemento oposto: (menos18) + (+18) = 0

9. Calcule.

a) abre parênteses+12fecha parênteses + abre parênteses+11fecha parênteses

b) abre parêntesesmenos15fecha parênteses + abre parêntesesmenos20fecha parênteses

c) 0 + abre parênteses+18fecha parênteses

d) abre parênteses+9fecha parênteses + abre parêntesesmenos12fecha parênteses

e) abre parêntesesmenos21fecha parênteses + abre parênteses+21fecha parênteses

f) abre parêntesesmenos7fecha parênteses + abre parêntesesmenos17fecha parênteses

10. Escreva no caderno a propriedade utilizada em cada caso.

a) abre parênteses+47fecha parênteses + 0 = 0 + abre parênteses+47fecha parênteses = +47

b) abre parênteses+110fecha parênteses + abre parêntesesmenos110fecha parênteses = 0

c) abre colchete abre parêntesemenos10fecha parênteses + abre parênteses‒5)] + abre parênteses+8fecha parênteses = abre parêntesesmenos10fecha parênteses + abre colchete abre parêntesemenos5fecha parênteses + abre parênteses+8)]

d) abre parênteses+21fecha parênteses + abre parêntesesmenos11fecha parênteses = abre parêntesesmenos11fecha parênteses + abre parênteses+21fecha parênteses

11. João estava com saldo negativo de R$ 238,00duzentos e trinta e oito reais em sua conta bancária. Após fazer um depósito de R$ 250,00duzentos e cinquenta reais, qual é o saldo, em reais, da conta bancária de João?

12. Em um jogo de videogame, Ana fez 25 pontos na primeira rodada, perdeu 18 na segunda, ganhou 11 pontos na terceira rodada e perdeu 22 na quarta. Qual é o saldo de pontos de Ana até agora?

Subtração com números inteiros

Para subtrair um número inteiro de outro, adicionamos o oposto do subtraendo ao minuendo. Analise o exemplo.

Esquema. Sentença matemática na horizontal. Abre parênteses, menos 25, fecha parênteses, menos, abre parênteses, menos 9, fecha parênteses, é igual, menos 25 mais 9 é igual a menos 16.

Na parte superior, do lado esquerdo, há um fio vermelho entre: menos, abre parênteses, menos 9, fecha parênteses e um fio vermelho do lado direito no mais 9. Acima há a expressão: menos, abre parênteses, menos 9, fecha parênteses é igual a mais 9.

13. Calcule.

a) abre parêntesesmenos15fecha parênteses menos abre parênteses+12fecha parênteses

b) abre parênteses+82fecha parênteses menos abre parênteses+31fecha parênteses

c) abre parêntesesmenos74fecha parênteses menos abre parênteses+44fecha parênteses

d) abre parêntesesmenos19fecha parênteses menos abre parêntesesmenos12fecha parênteses

e) abre parêntesesmenos12fecha parênteses menos abre parênteses+45fecha parênteses

f) abre parênteses+77fecha parênteses menos abre parêntesesmenos25fecha parênteses

14. Calcule o valor de cada expressão numérica a seguir.

a) abre parêntesesmenos18fecha parênteses menos abre parênteses15 menos 19fecha parênteses + abre colchete94 menos abre parênteses75 menos 86)]

b) {[(25 menos 67fecha parênteses + 12fecha colchete menos abre parênteses40 menos 16)} + abre parêntesesmenos27fecha parênteses

15. Lúcia viajou para um país onde faz muito frio. Durante o dia, a medida da temperatura registrada foi de menos2 graus Célsius. À noite, a medida da temperatura registrada foi de menos8 graus Célsius. Qual foi a diferença, em grau, entre as medidas de temperatura registradas?

Multiplicação com números inteiros

• Quando multiplicamos dois números inteiros positivos, o resultado que obtemos é positivo.

• Quando multiplicamos dois números inteiros, um positivo e outro negativo, o resultado que obtemos é negativo.

• Quando multiplicamos dois números inteiros, um negativo e outro positivo, o resultado que obtemos é negativo.

• Quando multiplicamos dois números inteiros negativos, o resultado que obtemos é positivo.

Propriedades da multiplicação com números inteiros

Propriedade comutativa:

abre parênteses+7fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos8fecha parênteses = menos56 e abre parêntesesmenos8fecha parênteses ∙ abre parênteses+7fecha parênteses = menos56

Propriedade associativa:

Página 54

Elemento neutro:

abre parênteses+12fecha parênteses ∙ abre parênteses+1fecha parênteses = abre parênteses+1fecha parênteses ∙ abre parênteses+12fecha parênteses = +12

Propriedade distributiva:

abre parênteses+2) ∙ [(‒3fecha parênteses + abre parênteses+6)] = abre parênteses+2fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos3fecha parênteses + abre parênteses+2fecha parênteses ∙ abre parênteses+6fecha parênteses

16. Calcule os produtos.

a) abre parênteses+11fecha parênteses ∙ abre parênteses+4fecha parênteses

b) abre parêntesesmenos5fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos12fecha parênteses

c) abre parêntesesmenos14fecha parênteses ∙ abre parênteses+20fecha parênteses

d) abre parêntesesmenos10fecha parênteses ∙ abre parênteses+15fecha parênteses

e) abre parêntesesmenos9fecha parênteses ∙ abre parênteses+25fecha parênteses

f) abre parênteses+12fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos6fecha parênteses

17. Escreva no caderno a propriedade utilizada em cada caso.

a) abre parênteses+9fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos17fecha parênteses = abre parêntesesmenos17fecha parênteses ∙ abre parênteses+9fecha parênteses

b) abre parêntesesmenos81fecha parênteses ∙ abre parênteses+1fecha parênteses = abre parênteses+1fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos81fecha parênteses

c) menos3 ∙ abre parênteses12 + 9fecha parênteses = menos3 ∙ 12 + abre parêntesesmenos3fecha parênteses ∙ 9

d) 5 ∙ abre colchete abre parêntese+21fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos8)] = [5 ∙ abre parênteses+21)] ∙ abre parêntesesmenos8)

18. Aplique a propriedade distributiva para calcular o resultado de cada item.

a) abre parêntesesmenos4fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos10 + 8fecha parênteses

b) abre parênteses15 menos 9fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos10fecha parênteses

c) 7 ∙ abre parêntesesmenos11 + 7fecha parênteses

d) abre parênteses15 menos 7fecha parênteses ∙ abre parênteses+6fecha parênteses

19. Calcule o valor de cada expressão numérica a seguir.

a) 22 + 9 ∙ [menos15 menos 2 ∙ abre parêntesesmenos9 + 11)]

b) [(‒25fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos11 + 45fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos9)]

c) menos 8 ∙ [(‒12fecha parênteses ∙ abre parênteses28 menos 4 ∙ 10fecha parênteses + 15 menos 7 ∙ 8fecha colchete

20. Aplique a propriedade distributiva para calcular mentalmente o produto de abre parêntesesmenos8fecha parênteses ∙ 342.

Divisão exata com números inteiros

• Em uma divisão, se o dividendo e o divisor tiverem os mesmos sinais, o quociente será um número positivo.

• Em uma divisão, se o dividendo e o divisor tiverem os sinais contrários, o quociente será um número negativo.

21. Calcule o resultado das operações.

a) abre parênteses+12fecha parênteses : abre parênteses+2fecha parênteses

b) abre parêntesesmenos36fecha parênteses : abre parêntesesmenos9fecha parênteses

c) (‒15fecha parênteses : abre parênteses+15fecha parênteses

d) 0 : abre parênteses+11fecha parênteses

e) abre parêntesesmenos66fecha parênteses : abre parênteses+33fecha parênteses

f) abre parêntesesmenos369fecha parênteses : abre parêntesesmenos3fecha parênteses

22. Escreva no caderno o valor de cada

: abre parêntesesmenos6fecha parênteses = +9

b) abre parênteses+225fecha parênteses :

= menos15

: abre parêntesesmenos12fecha parênteses = menos16

d) abre parênteses+120fecha parênteses :

= menos1

Potenciação em que a base é um número inteiro

Para calcular a potência em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural, utilizamos a ideia de produto de fatores iguais à base, tomando os devidos cuidados com os sinais.

• Se o expoente for um número par, a potência será um número inteiro positivo.

abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 4 = abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses = +81

• Se o expoente for um número ímpar, a potência terá o mesmo sinal da base.

abre parêntesesmenos2fecha parêntesesao cubo = abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2fecha parênteses = menos8

Temos ainda que:

• Toda potência de expoente 1 que tem como base um número inteiro é igual à própria base.

• Toda potência de expoente zero que tem como base um número inteiro não nulo é igual a 1.

23. Calcule as potências.

a) abre parênteses+8fecha parêntesesao quadrado

b) abre parêntesesmenos7fecha parêntesesao cubo

c) abre parêntesesmenos5fecha parênteseselevado a 4

d) abre parêntesesmenos12fecha parênteseselevado a 1

e) abre parênteses+.1000fecha parênteseselevado a 0

f) abre parêntesesmenos12fecha parêntesesao quadrado

Raiz quadrada exata de números inteiros

A raiz quadrada de um número inteiro a é um número não negativo b que, elevado ao quadrado, resulta em a.

Assim:

\sqrt{a}

= b, se bao quadrado = a com b ⩾ 0.

Esquema. Raiz quadrada de 16 é igual a 4. Há um fio na parte superior no símbolo da raiz, indicando que é o radical. Há um fio na parte inferior no número 16 dentro da raiz, indicando que é o radicando. Há uma seta à esquerda no número 2 acima do símbolo de raiz, indicando que é o índice da raiz. Há uma seta na parte inferior no número 4, indicando que é o raiz. Há uma seta a esquerda informando: Lemos: raiz quadrada de dezesseis é igual a quatro.

24. Determine.

\sqrt{16}

‒ \sqrt{144}

\sqrt{400}

‒ \sqrt{121}

‒ \sqrt{81}

\sqrt{484}

25. Calcule o valor da expressão.

\{[\sqrt{64} + (3 ³ ‒ 10)] \cdot \sqrt{100}\} ‒ \sqrt{900}

26. A medida da área de um terreno com formato quadrado é 144 métros quadrados. Qual é a medida do comprimento, em metro, do lado desse terreno?

Glossário

Aquecimento global: : É o aumento da medida da temperatura média dos oceanos e da camada de ar próxima à superfície da Terra que pode ser consequência de causas naturais e de atividades humanas.; Voltar para o texto

Extrato bancário: : É um relatório que contém informações sobre a movimentação e o saldo de uma conta bancária.; Voltar para o texto

Não negativa: : Que pertence ao conjunto dos números inteiros positivos incluindo o zero: abre chave0, 1, 2, 3, 4, 5, ...fecha chave abre parêntesesconjunto dos números naturaisfecha parênteses.; Voltar para o texto