Capítulo 2 Múltiplos e divisores

Trocando ideias

Um ano é a medida do tempo que a Terra leva para dar uma volta completa em torno do Sol. Essa medida corresponde a 365 dias, 5 horas, 48 minutos e 47 segundos. Para acertar o calendário, foi criado o ano bissexto, que tem 366 dias e ocorre a cada 4 anos. No ano bissexto, um dia é acrescentado ao mês de fevereiro, que fica com 29 dias.

Ilustração. À esquerda, parte da superfície do Sol, ocupando quase toda a lateral esquerda. À sua direita, quatro planetas com formatos redondos, em linhas que representam suas trajetórias ao redor do Sol. O primeiro planeta, mais próximo ao Sol, posicionado na parte de baixo e central da imagem é cinza e pequeno. O segundo planeta é bege e maior que o primeiro, e se encontra no canto superior esquerdo. O terceiro é a Terra, com oceanos azuis, porções de terra verdes e nuvens, e a Lua representada por um pequeno círculo cinza. A Terra se encontra no centro da lateral direita da imagem e é o maior planeta dentre os representados. Por último, no canto superior direito, se encontra um planeta vermelho, de dimensões similares ao segundo planeta. — Representação artística de parte do Sistema Solar. Sem escala, cores-fantasia.

Para saber se um ano é bissexto, basta verificar se o número que representa o ano é múltiplo de 4, exceto se terminado em 00, que será bissexto apenas se for divisível por 400.

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Quais dos anos a seguir são bissextos? Faça os cálculos em seu caderno e depois compartilhe como você fez com os colegas.

2 mil
2 mil e 21
2 mil e 24
2 mil e 28
2 mil e 33
2 mil e 100

Neste capítulo, vamos retomar os conceitos de múltiplos e divisores e aplicá-los em situações-problema.

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1 Múltiplos e divisores de um número natural

Considere os números a seguir.

Cento e vinte Cento e vinte e cinco Cento e trinta Cento e trinta e cinco Cento e quarenta Cento e quarenta e cinco

Observe que os números mostrados anteriormente são múltiplos de 5:

120 = 5 ⋅ 24

125 = 5 ⋅ 25

130 = 5 ⋅ 26

135 = 5 ⋅ 27

140 = 5 ⋅ 28

145 = 5 ⋅ 29

Múltiplo de um número natural a é o produto de a por um número natural qualquer.

Podemos dizer também que os números mostrados anteriormente são divisíveis por 5, ou seja, ao dividi-los por 5, o resto da divisão é zero.

120 : 5 = 24

125 : 5 = 25

130 : 5 = 26

135 : 5 = 27

140 : 5 = 28

145 : 5 = 29

Divisor de um número natural a é todo número diferente de zero que, ao dividir a, resulta em uma divisão exata.

2 Múltiplos e divisores de um número inteiro

Considere o conjunto dos números inteiros:

= abre chavereticências, menos5, menos4, menos3, menos2, menos1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, reticênciasfecha chave

Vamos ampliar a ideia de múltiplos e divisores de um número natural para os números inteiros. Observe o quadro a seguir.

×	−4	−3	−2	−1	+1	+2	+3	+4
3	−12	−9	−6	−3	+3	+6	+9	+12
4	−16	−12	−8	−4	+4	+8	+12	+16
−5	20	15	10	5	−5	−10	−15	−20

Note, por exemplo, que:

• menos3 é múltiplo de 3, pois: 3 ⋅ abre parêntesesmenos1fecha parênteses = menos3

• menos12 é múltiplo de 4, pois: 4 ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses = menos12

• menos20 é múltiplo de ‒5, pois: abre parêntesesmenos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+4fecha parênteses = menos20

• menos3 é divisor de 15, pois: 15 : abre parêntesesmenos3fecha parênteses = menos5

• menos4 é divisor de menos16, pois: abre parêntesesmenos16fecha parênteses : abre parêntesesmenos4fecha parênteses = 4

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Analise, agora, a sequência dos múltiplos e a sequência dos divisores de alguns números inteiros.

a) Sequência dos múltiplos de 2: abre parêntesesreticências, menos8, menos6, menos4,menos2, 0, 2, 4, 6, 8, reticênciasfecha parênteses

b) Sequência dos múltiplos de 21: abre parêntesesreticências, menos84, menos63, menos42, menos21, 0, 21, 42, 63, 84, reticênciasfecha parênteses

c) Sequência dos múltiplos de menos13: abre parêntesesreticências, menos52, menos39, menos26, menos13, 0, 13, 26, 39, 52, reticênciasfecha parênteses

d) Sequência dos divisores de 12: abre parêntesesmenos12, menos6, menos3, menos2, menos1, 1, 2, 3, 6, 12fecha parênteses

e) Sequência dos divisores de menos24: abre parêntesesmenos24, menos12, menos8, menos6, menos4, menos3, menos2, menos1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24fecha parênteses

f) Sequência dos divisores de 18: abre parêntesesmenos18, menos9, menos6, menos3, menos2, menos1, 1, 2, 3, 6, 9, 18fecha parênteses

Ilustração. Homem negro com cabelo curto e castanho, e com cavanhaque castanho. Ele usa camiseta verde, calça bege, segura uma caneta com tampa rosa na mão esquerda e tem o dedo indicador da mão direita levantado. Em um balão de fala, ele diz: as reticências indicam que a sequência não tem começo nem fim.

Para saber se um número é múltiplo ou divisor de outro, basta verificar se a divisão é exata, ou seja, se o resto da divisão é igual a zero. Observe os exemplos a seguir.

a) menos330 é múltiplo de 11?

Sim, pois ao dividir menos330 por 11 obtém-se quociente igual a menos30 e resto 0.

b) menos4 é divisor de 270?

Não, pois ao dividir 270 por menos4 obtém-se quociente igual a menos67 e resto 2.

c) 15 é divisor de menos435?

Sim, pois ao dividir menos435 por 15 obtém-se quociente igual a menos29 e resto 0.

d) menos101 é múltiplo de menos10?

Não, pois ao dividir menos101 por menos10 obtém-se quociente igual a 10 e resto 1.

Observação

1. Todos os números inteiros são múltiplos de 1.

2. O número zero é múltiplo de todos os números inteiros e não é divisor de nenhum.

3. O número 1 é um divisor universal, ou seja, ele divide todos os números inteiros.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Escreva cinco múltiplos inteiros do número 3 que sejam:

a) negativos.

b) maiores que menos30 e menores que 20.

2. Verifique qual dos anos a seguir é bissexto.

a) 1822

b) 1900

c) 2000

d) 2118

3. Identifique as afirmações falsas e corrija-as no caderno.

a) menos6 tem 8 divisores inteiros.

b) O zero não é divisor de nenhum número.

c) Todos os números inteiros são múltiplos de menos1.

d) 1 é o menor divisor natural de menos3.

e) menos1 é o menor divisor inteiro de menos3.

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3 Máximo divisor comum (mdc)

Os estudantes das turmas a, B e C do 1º ano vão participar de uma gincana. Para essa competição, cada equipe será formada por um ou mais estudantes de uma mesma turma e cada equipe terá a mesma quantidade de estudantes. Qual é o maior número de estudantes por equipe? Quantas equipes haverá em cada turma?

Ilustração. Grupo com 9 crianças de etnias variadas acompanhadas de 3 pessoas adultas em um espaço que tem uma tabela com cesta de basquetebol ao fundo, à esquerda. As crianças estão agrupadas em trios. O trio à esquerda, próximo à cesta, usa camiseta amarela. O do centro usa camiseta rosa, e o da direita usa camiseta azul. Todas as crianças usam calça azul escura. O chão é cinza e liso.

No quadro a seguir consta a quantidade de estudantes de cada uma das turmas do 1º ano.

Turma	1º ano A	1º ano B	1º ano C
Quantidade de estudantes	18	24	36

Observe que os 18 estudantes do 1º a podem ser divididos em equipes de 1, 2, 3, 6, 9 ou 18 participantes.

Os números 1, 2, 3, 6, 9 e 18 são os divisores de 18.

Os 24 estudantes do 1º B podem ser divididos em equipes de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ou 24 participantes.

Os números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 são os divisores de 24.

Os 36 estudantes do 1º C podem ser divididos em equipes de 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ou 36 participantes.

Os números 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36 são os divisores de 36.

Percebemos que as equipes com a mesma quantidade de estudantes, nas três turmas, são as que têm 1, 2, 3 ou 6 participantes.

Os números 1, 2, 3 e 6 são os divisores comuns de 18, 24 e 36.

Como queremos que as equipes tenham o maior número possível de estudantes, concluímos que cada uma deverá ter 6 participantes.

Esse número é o máximo divisor comum (ême dê cê) de 18, 24 e 36, que indicamos por:

ême dê cê (18, 24, 36) = 6

Assim, cada equipe terá 6 participantes: o 1º a terá 3 equipes; o 1º B, 4 equipes; o 1º C, 6 equipes.

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Podemos obter o ême dê cê de dois ou mais números naturais conhecendo seus divisores, como na situação anterior.

Também podemos calcular o ême dê cê por meio da decomposição em fatores primos. Observe, por exemplo, como calcular o ême dê cê de 60 e 100.

Fazendo a decomposição de 60 e 100 em fatores primos, temos:

algoritmo da decomposição de 60 em fatores primos. Duas colunas de números, divididas por uma linha vertical. À esquerda, 60. À direita, 2. À esquerda, 30. À direita, 2. À esquerda, 15. À direita, 3. À esquerda, 5. À direita, 5. À esquerda, 1. À direita, tem um traço abaixo da coluna com os números 2, 2, 3 e 5 e a sentença matemática 2 elevado a 2 vezes 3 vezes 5.

algoritmo da decomposição de 100 em fatores primos. Duas colunas de números, divididas por uma linha vertical. À esquerda, 100. À direita, 2. À esquerda, 50. À direita, 2. À esquerda, 25. À direita, 5. À esquerda, 5. À direita, 5. À esquerda, 1. À direita, tem um traço abaixo da coluna com os números 2, 2, 5 e 5 e a sentença matemática 2 elevado a 2 vezes 5 elevado a 2.

A seguir, destacamos os fatores primos comuns a 60 e 100:

60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5

O produto dos fatores comuns dos dois números é divisor de cada um deles e é o maior divisor comum entre eles. Assim: ême dê cê abre parênteses60, 100fecha parênteses = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20

No caso de os números serem escritos na fórma fatorada, usando potências, o mdc será o produto dos fatores comuns, cada um deles elevado ao menor expoente, porque o menor expoente indica a quantidade de fatores comuns.

60 = 2elevado a 2 ⋅ 3elevado a 1 ⋅ 5elevado a 1

100 = 2elevado a 2 ⋅ 5elevado a 2

Os menores expoentes dos fatores comuns 2 e 5 são 2 e 1, respectivamente.

Logo:

ême dê cê abre parênteses60, 100fecha parênteses = 2elevado a 2 ⋅ 5elevado a 1 = 20

Observação

Seja ême dê cê abre parênteses18, 12fecha parênteses = 6. Multiplicando 18 e 12 por 2, temos:

ême dê cê abre parênteses36, 24fecha parênteses 1= 12 abre parênteseso ême dê cê também ficou duplicadofecha parênteses

Atividades

Faça as atividades no caderno.

4. Dados os números 24 e 40, determine:

a) os divisores de 24;

b) os divisores de 40;

c) os divisores comuns de 24 e 40;

d) o máximo divisor comum de 24 e 40.

5.

Escreva alguns pares de números naturais diferentes de zero de modo que um seja divisor do outro. Troque os números que você escreveu pelos escolhidos por um colega. Cada um deve calcular o mdc dos números dos pares escritos pelo colega. Depois comparem cada mdc obtido com os números do respectivo par. Que conclusão vocês podem obter dessa comparação?

6.

Calcule mentalmente o ême dê cê dos números a seguir.

a) 50 e 100

b) 16 e 80

c) 72 e 216

d) 20 e 100

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7. Dados os números na fórma fatorada 2elevado a 3 ⋅ 3 ⋅ 5elevado a 2, 2 ⋅ 3elevado a 2 ⋅ 7 e 2elevado a 4 ⋅ 3elevado a 3 ⋅ 5, calcule o ême dê cê deles.

8. Calcule, pela decomposição em fatores primos, o ême dê cê dos números a seguir.

a) 40 e 64

b) 80, 100 e 120

c) 40, 70 e 90

d) 576 e 96

9. Quando o máximo divisor comum de dois ou mais números for igual a 1, esses números são primos entre si. Agora, verifique se os números a seguir são primos entre si.

a) 4 e 5

b) 16 e 25

c) 15 e 21

d) 18 e 42

10.

Junte-se a um colega e respondam às seguintes questões.

a) Qual é o ême dê cê de dois números consecutivos diferentes de zero?

b) Qual é o ême dê cê de dois números quadrados perfeitos consecutivos não nulos?

11. Dois números primos entre si são multiplicados por 28. Qual é o ême dê cê dos dois produtos obtidos?

12. O ême dê cê de dois números é 18. Se dividirmos cada um deles por 3, qual será o ême dê cê dos novos números?

4 Mínimo múltiplo comum (ême ême cê)

Em um trecho de uma rodovia que mede 72 quilômetros de comprimento, a partir do quilômetro zero, foram colocados, a cada 3 quilômetros, um telefone de emergência e, a cada 8 quilômetros, uma torre com câmera de monitoramento. Em quais quilômetros dessa rodovia foram colocados, simultaneamente, telefone e câmera?

Ilustração. Parte de uma rodovia com curva para a esquerda. a rodovia tem barreiras de segurança dos dois lados, sendo que do lado esquerdo há uma cabine laranja, com uma placa azul com SOS escrito em letras brancas. ao lado, há um poste vertical com uma câmera cinza na ponta, voltada para a estrada. ao fundo há silhuetas de montanhas e alguns arbustos.

Os telefones foram colocados nos quilômetros 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69 e 72.

Os números 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69 e 72 são múltiplos de 3.

As câmeras de monitoramento foram colocadas nos quilômetros 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 e 72.

Os números 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 e 72 são múltiplos de 8.

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Observe que os números 0, 24, 48 e 72 se repetem em ambas as sequências numéricas, ou seja, há um telefone e também uma câmera nos quilômetros 0, 24, 48 e 72.

Os números 0, 24, 48 e 72 são os múltiplos comuns de 3 e de 8 menores ou iguais a 72.

Logo, 24 é o menor número diferente de zero que é múltiplo comum de 3 e de 8.

Esse número é o mínimo múltiplo comum abre parêntesesême ême cêabre parênteses de 3 e de 8, que indicamos por:

ême ême cê abre parênteses3, 8fecha parênteses = 24

Assim, nesse trecho da rodovia, a cada 24 quilômetros foram instalados, simultaneamente, um telefone de emergência e uma câmera de monitoramento.

Na situação anterior, para encontrar o ême ême cê de 3 e 8, escrevemos os múltiplos diferentes de zero de cada um dos números e, depois, observamos o menor múltiplo comum entre eles. Esse é um modo de calcular o ême ême cê de dois ou mais números. Podemos também usar a decomposição dos números em fatores primos.

Veja, por exemplo, como calcular o ême ême cê de 180 e 350.

algoritmo da decomposição de 180 em fatores primos. Entre as colunas da direita e esquerda, reta vertical. À esquerda, 180. À direita, 2. À esquerda, 90. À direita, 2. À esquerda, 45. À direita, 3. À esquerda, 15. À direita, 3. À esquerda, 5. À direita, 5. À esquerda, 1. À direita, 2 elevado a 2 vezes 3 elevado a 2 vezes 5.

algoritmo da decomposição de 350 em fatores primos. Entre as colunas da direita e esquerda, reta vertical. À esquerda, 350. À direita, 2. À esquerda, 175. À direita, 5. À esquerda, 35. À direita, 5. À esquerda, 7. À direita, 7. À esquerda, 1. À direita, 2 vezes 5 elevado a 2 vezes 7.

A seguir, destacamos os fatores primos comuns a 180 e 350.

180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

350 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7

O ême ême cê é dado pelo produto dos fatores primos comuns pelos fatores primos não comuns.

Esquema. sentença matemática na horizontal, mmc, abre parênteses 180 vírgula 350 fecha parênteses, igual a 2 vezes 5 vezes 2 vezes 3 vezes 3 vezes 5 vezes 7 igual a 2 elevado a 2 vezes 3 elevado a 2 vezes início da potência 5 elevado a 2 vezes 7, igual a 6 mil 300. Fio amarelo no primeiro 2 vezes 5 com a indicação: fatores primos em comum. Fio amarelo em 2 vezes 3 vezes 3 vezes 5 vezes 7, com a indicação: fatores primos não comuns.

Podemos também calcular o ême ême cê de dois ou mais números naturais decompondo-os simultaneamente em fatores primos.

Vamos calcular o ême ême cê de 180 e 350 pela decomposição simultânea em fatores primos.

Esquema. algoritmo da decomposição simultânea em fatores primos. Duas colunas de números, dividida por uma linha vertical: À esquerda pares de números divididos por vírgula. À esquerda, 180 vírgula 350. À direita, 2. Seta amarela apontando para o 2, com indicação: dividimos ambos os números. À esquerda, 90 vírgula 175. À direita, 2. Seta amarela apontando para o 2, com indicação: dividimos apenas o número 90. À esquerda, 45 vírgula 175. À direita, 3. Seta amarela apontando para o 3, com indicação: dividimos apenas o número 45. À esquerda, 15 vírgula 175. À direita, 3. Seta amarela apontando para o 3, com indicação: dividimos apenas o número 15. À esquerda, 5 vírgula 175. À direita, 5. Seta amarela apontando para o 5, com indicação: dividimos ambos os números. À esquerda, 1 vírgula 35. À direita, 5. Seta amarela apontando para o 5, com indicação: dividimos apenas o número 35). À esquerda, 1 vírgula 7. À direita, 7. Seta amarela apontando para o 7, com indicação: dividimos apenas o número 7). À esquerda, 1 vírgula 1. À direita, há um traço separando os fatores primos e a expressão início 2 elevado a 2 vezes 3 elevado a 2 fim vezes 5 elevado a 2 vezes 7.

O ême ême cê de 180 e 350 será o produto dos fatores primos encontrados.

Logo, ême ême cê abre parênteses180, 350fecha parênteses = 2elevado a 2 ⋅ 3elevado a 2 ⋅ 5elevado a 2 ⋅ 7elevado a 1 = .6300.

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O cálculo do ême ême cê de três números é feito de maneira similiar ao do ême ême cê de dois números: pela decomposição em separado ou pela decomposição simultânea.

Veja como calcular o ême ême cê de 12, 18 e 30.

1º modo: decomposição em separado.

algoritmo da decomposição de 12 em fatores primos. Entre as colunas da direita e esquerda, reta vertical. À esquerda, 12. À direita, 2. À esquerda, 6. À direita, 3. À esquerda, 3. À direita, 3. À esquerda, 1. À direita, 2 elevado a 2 vezes 3.

algoritmo da decomposição de 18 em fatores primos. Entre as colunas da direita e esquerda, reta vertical. À esquerda, 18. À direita, 2. À esquerda, 9. À direita, 3. À esquerda, 3. À direita, 3. À esquerda, 1. À direita, 2 vezes 3 elevado a 2

algoritmo da decomposição de 30 em fatores primos. Entre as colunas da direita e esquerda, reta vertical. À esquerda, 30. À direita, 2. À esquerda, 15. À direita, 3. À esquerda, 5. À direita, 5. À esquerda, 1. À direita, 2 vezes 3 vezes 5.

ême ême cê (12, 18, 30) = 2elevado a 2 ⋅ 3elevado a 2 ⋅ 5 = 180

2º modo: decomposição simultânea.

Esquema. algoritmo da decomposição simultânea em fatores primos. Duas colunas de números, dividida por uma linha vertical: À esquerda trios de números separados por vírgula. À esquerda, 12 vírgula 18 vírgula 30. À direita, 2. Seta amarela apontando para o 2, com indicação: dividimos todos os números. À esquerda, 6 vírgula 9 vírgula 15. À direita, 2. Seta amarela apontando para o 2, com indicação: dividimos apenas o 6. À esquerda, 3 vírgula 9 vírgula 15. À direita, 3. Seta amarela apontando para o 3, com indicação: dividimos todos os números). À esquerda, 1 vírgula 3 vírgula 5. À direita, 3. Seta amarela apontando para o 3, com indicação: dividimos apenas o 3. À esquerda, 1 vírgula 1 vírgula 5. À direita, 5. Seta amarela apontando para o 5, com indicação: dividimos apenas o 5). À esquerda, 1 vírgula 1 vírgula 1. À direita, há um traço separando os fatores primos e a expressão 2 vezes 2 vezes 3 vezes 3 vezes 5.

ême ême cê (12, 18, 30) = 2elevado a 2 ⋅ 3elevado a 2 ⋅ 5 = 180

Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. Determine:

a) os múltiplos de 15;

b) os múltiplos de 20;

c) os múltiplos comuns de 15 e 20;

d) o mínimo múltiplo comum de 15 e 20, excluído o zero.

14.

Escreva alguns pares de números naturais diferentes de zero de modo que um seja divisor do outro. Troque os números que você escreveu pelos escolhidos por um colega. Cada um deve calcular o ême ême cê dos números dos pares escritos pelo colega. Depois, comparem cada ême ême cê obtido com os números do respectivo par. Que conclusão vocês podem obter dessa comparação?

15.

Calcule mentalmente o ême ême cê de:

a) 2 e 6;

b) 10 e 20;

c) 15 e 45;

d) 50 e 100.

16. Calcule o ême ême cê dos números:

Sentença matemática. 2 elevado a 3 vezes 3 vezes 5
Sentença matemática. 2 elevado a 3 vezes 5 vezes 7
Sentença matemática. 2 vezes 3 vezes 5 vezes 7

17. Determine, pela decomposição em fatores primos, o ême ême cê de:

a) 18, 27 e 45;

b) 18, 30 e 48;

c) 120, 132 e 20;

d) 150, 300 e 375.

18.

Junte-se a um colega, escolham alguns pares de números primos entre si e determinem o ême ême cê de cada par. Depois, respondam: qual é o ême ême cê de dois números primos entre si?

19. Usando o processo da decomposição simultânea em fatores primos, determine o mínimo múltiplo comum dos números a seguir.

a) 90 e 120

b) 45, 54 e 72

c) 120, 300 e 450

d) 20, 40, 50 e 200

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20.

Escreva alguns pares de números naturais diferentes de zero.

Troque-os com um colega para que cada um de vocês calcule o produto dos números do par, o ême dê cê e o ême ême cê deles e o produto do ême dê cê com o ême ême cê obtidos. Destroquem para conferir os cálculos.

Para cada par de números escritos, comparem o primeiro com o último dos números calculados. Discutam entre si e respondam: qual é a relação entre o produto dos números e o produto do ême dê cê com o ême ême cê desses números?

21. Para cada par de números dado a seguir, calcule o produto dos números, o ême dê cê e o ême ême cê deles e o produto do ême dê cê com o ême ême cê obtidos.

a) 12 e 15

b) 48 e 16

c) 11 e 121

d) 36 e 49

22. O ême dê cê de dois números é 24, o ême ême cê entre eles é 504, e um dos números é 168. Calcule o outro número.

23.

Em uma grande metrópole, foi feito um estudo sobre a medida do intervalo de tempo entre as luzes vermelha, amarela e verde dos semáforos para melhorar o tráfego da cidade. A companhia de engenharia de tráfego propôs alterações nas medidas de intervalo de tempo de três semáforos consecutivos, a, B e C. O semáforo a ficaria verde a cada 40 segundos; o semáforo B, a cada 50 segundos, e o semáforo C, a cada 60 segundos. Às 18 horas, os três semáforos ficaram verdes ao mesmo tempo. A que horas isso ocorrerá novamente?

24.

Junte-se a um colega e leiam a situação a seguir.

Ilustração. Grupo de turistas em frente ao porto, no qual estão ancorados três navios. À frente, à esquerda, uma mulher branca, com cabelos compridos, ondulados e castanhos, usando uma blusa amarela, calça azul e chapéu rosa com uma flor branca tira uma foto com celular de outra mulher. Esta, por sua vez, é branca, de cabelos compridos, ondulados e castanhos, usa blusa rosa, calça cinza e carrega uma mala de viagem marrom com rodinhas. À frente, à direita, um grupo de três pessoas caminha em direção ao navio. A mulher adulta é branca, com cabelos lisos e castanhos, usa blusa rosa, calça roxa, mochila verde e carrega uma mala de viagem rosa, com rodinhas. Ela está de mãos dadas com um homem asiático, de cabelos curtos e pretos, usando camiseta vermelha, shorts cinza e mochila azul. Ele segura a mão de uma menina asiática, de cabelos curtos e pretos, que usa uma presilha no cabelo, um vestido rosa e uma mochila azul, e aponta para o navio. O porto tem um chão de pedras bege e canteiros circulares com grama e moitas de plantas com flores vermelhas, e uma palmeira. Ao fundo, há pessoas em pé, próximas aos navios. O céu é azul e há pássaros sobrevoando os navios.

Ricardo trabalha em uma agência de viagens de turismo. Ele vende pacotes de viagem de navio para uma empresa internacional que tem três embarcações. Os clientes que compram os pacotes podem pedir a troca de navio, mas apenas quando os três estão ancorados no porto no mesmo dia. Os percursos e o tempo para as viagens variam. O navio a faz viagens de 12 dias, o navio B faz viagens de 15 dias e o navio C, de 10 dias. Alguns clientes, depois de comprar o pacote de viagem, pediram a troca de navio.

• Com base na situação descrita, elaborem uma questão que tenha como resposta o mínimo múltiplo comum dos números citados.

25. Três navios fazem o mesmo percurso entre dois portos: o primeiro, de 8 em 8 dias; o segundo, de 12 em 12 dias; o terceiro, de 18 em 18 dias. Tendo partido juntos do porto de origem em certo dia do mês, após quantos dias sairão juntos novamente?

26. Júlia trabalha em uma empresa que tem filiais em três cidades: a, B e C. Ela visita a filial na cidade a a cada 10 dias, na cidade B a cada 30 dias e na cidade C a cada 50 dias. Em março, ela precisou visitar as três filiais. Em que mês isso ocorrerá novamente?

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Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

(enêm) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;

2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;

3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).

O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é:

a) 2

b) 4

c) 9

d) 40

e) 80

Interpretação e identificação dos dados	• Observe que cada escola deve receber a mesma quantidade de ingressos, ou seja, o número de ingressos de cada escola deve dividir, ao mesmo tempo, o número 400 e o número 320, e esse número deve ser o maior valor possível.
Interpretação e identificação dos dados
Plano de resolução	• Considerando as informações do enunciado, elabore etapas para resolver o problema.
Plano de resolução
Resolução	• Apresente seu plano de resolução para os colegas. • Discutam as diferenças e semelhanças entre os planos e verifiquem as melhores estratégias. • Em grupo, resolvam o problema, fazendo as anotações individuais no caderno.



Verificação	• Considerando a resposta encontrada, verifique se ela satisfaz as condições determinadas no enunciado.
Verificação
Apresentação	• Proponha um novo problema alterando a quantidade de ingressos oferecidos.
Apresentação

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Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Múltiplos e divisores de um número inteiro

Para saber se um número é múltiplo ou divisor de outro, basta verificar se a divisão é exata, ou seja, se o resto da divisão é igual a zero.

a) menos220 é múltiplo de 11?

Sim, pois ao dividir menos220 por 11 obtém-se quociente igual a menos20 e resto 0.

b) menos7 é divisor de 84?

Sim, pois ao dividir 84 por menos7 obtém-se quociente igual a menos12 e resto 0.

Máximo divisor comum abre parêntesesmdcfecha parênteses

É o maior divisor comum de dois ou mais números.

Cálculo do ême dê cê abre parênteses18, 27fecha parênteses.

algoritmo da decomposição de 18 em fatores primos. Entre as colunas da direita e esquerda, linha vertical. À esquerda, 18. À direita, 2. À esquerda, 9. À direita, 3. À esquerda, 3. À direita, 3. À esquerda, 1. À direita, 2 vezes 3 elevado a 2.

algoritmo da decomposição de 27 em fatores primos. Entre as colunas da direita e esquerda, linha vertical. À esquerda, 27. À direita, 3. À esquerda, 9. À direita, 3. À esquerda, 3. À direita, 3. À esquerda, 1. À direita, 3 elevado a 3

ême dê cê abre parênteses18, 27fecha parênteses = 3 ∙ 3 = 9

Mínimo múltiplo comum abre parêntesesême ême cêfecha parênteses

É o menor múltiplo comum de dois ou mais números.

Cálculo do ême ême cê abre parênteses18, 27fecha parênteses.

algoritmo da decomposição simultânea em fatores primos. Duas colunas de números, dividida por uma linha vertical: À esquerda pares de números divididos por vírgula. À esquerda, 18 vírgula 27. À direita, 2. À esquerda, 9 vírgula 27. À direita, 3. À esquerda, 3 vírgula 9. À direita, 3. À esquerda, 1 vírgula 3. À direita, 3. À esquerda, 1 vírgula 1. À direita 2 vezes 3 elevado a 3

ême dê cê abre parênteses18, 27fecha parênteses = 2 ∙ 3elevado a 3 = 54

1. No caderno, escreva cinco múltiplos do número 5 que sejam:

a) negativos;

b) maiores que menos19 e menores que 29.

2. Escreva no caderno todos os números:

a) divisíveis por 3 que estão entre menos14 e 10;

b) múltiplos de 7 que estão entre menos20 e 30.

3. Dados os números 12 e 18, determine:

a) os divisores de 12;

b) os divisores de 18;

c) os divisores comuns de 12 e 18;

d) o máximo divisor comum de 12 e 18.

4. Determine:

a) os múltiplos de 25;

b) os múltiplos de 50;

c) os múltiplos comuns de 25 e 50;

d) o mínimo múltiplo comum de 25 e 50, excluído o zero.

5. Calcule utilizando a decomposição em fatores primos.

a) ême dê cê abre parênteses18,15fecha parênteses

b) ême dê cê abre parênteses90, 120fecha parênteses

c) ême dê cê abre parênteses25, 35, 50fecha parênteses

d) ême dê cê abre parênteses48, 76fecha parênteses

e) ême dê cê abre parênteses50, 60, 100fecha parênteses

f) ême dê cê abre parênteses432, 180fecha parênteses

6. Calcule utilizando a decomposição em fatores primos.

a) ême ême cê abre parênteses25, 40fecha parênteses

b) ême ême cê abre parênteses38, 24fecha parênteses

c) ême ême cê abre parênteses18, 30, 56fecha parênteses

d) ême ême cê abre parênteses36, 124fecha parênteses

e) ême ême cê abre parênteses15, 45, 125fecha parênteses

f) ême ême cê abre parênteses42, 236fecha parênteses

7. Um jogo é composto de vinte e uma cartas e 18 fichas. Todas as cartas e fichas devem ser distribuídas sem que haja sobras, de modo que cada jogador receba a mesma quantidade de cartas e a mesma quantidade de fichas. É possível que 3 pessoas participem desse jogo? E 6? Justifique sua resposta.

8. Júlia comprou dois pedaços de tecido, um com 15 métros de medida de comprimento e outro com 21 métros. Ela vai cortar esses tecidos em pedaços iguais, de maior medida de comprimento possível. Qual será a medida de comprimento de cada pedaço de tecido?

9. Para uma sessão de teatro, os espectadores se organizaram em filas. Se contarmos de 3 em 3, sobram duas pessoas; se contarmos de 5 em 5, sobram 3 pessoas. Sabendo que eram mais que 25 e menos que 50 pessoas, quantas pessoas há na fila?

1 ﻿Múltiplos e divisores de um número natural

2 Múltiplos e divisores de um número inteiro

3 Máximo divisor comum (mdc)

4 Mínimo múltiplo comum﻿ (mmcême ême cê)

Resolvendo em equipe

Revisão dos conteúdos deste capítulo

1 Múltiplos e divisores de um número natural

4 Mínimo múltiplo comum (ême ême cê)