Capítulo 3 Retas e ângulos
Trocando ideias
![Ícone do tema FORMAÇÃO CIDADÃ.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_91907.png)
Sinalização horizontal é aquela que é feita sobre o pavimento das vias para controlar o fluxo de veículos e o de pedestres, controlar e orientar os deslocamentos e complementar os sinais das placas. Aparecem na cor branca quando direcionam fluxos no mesmo sentido e na amarela para fluxos opostos.
Confira, no quadro a seguir, alguns exemplos de sinalização horizontal utilizados:
![Ilustração. Vista de cima de quatro ruas com faixas de pedestres. As ruas se cruzam.](../resources/images/im_0001_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
![Quadro. Exemplos de linha de divisão de fluxos opostos. Sinalização. Simples seccionada. Ilustração de faixa horizontal preta com linha de traços na cor amarela. Exemplo de aplicação: ultrapassagem permitida para os dois sentidos. Ilustração de faixa horizontal preta com linha de traços na cor amarela com seta para direita abaixo e esquerda acima. Sinalização: dupla contínua. Ilustração de faixa horizontal preta com duas linhas de na cor amarela. Exemplo de aplicação: ultrapassagem proibida para os dois sentidos. Ilustração de faixa horizontal preta com duas linhas na cor amarela com seta para direita abaixo e esquerda acima. Sinalização: dupla contínua/seccionada. Ilustração de faixa horizontal preta com linha de traços e linha contínua acima na cor amarela. Exemplo de aplicação: ultrapassagem permitida somente no sentido B. Ilustração de faixa horizontal preta com linha de traços e linha contínua abaixo na cor amarela com seta A para direita abaixo e seta B para esquerda acima. Exemplos de linha de divisão de fluxo de mesmo sentido. Contínua. Sinalização. Ilustração de faixa horizontal preta com linha contínua branca. Seccionada. Ilustração de faixa horizontal preta com linha tracejada. Exemplos de aplicação: proibida a ultrapassagem e a transposição entre A-B-C. Permitida a ultrapassagem e a transposição de faixa entre D-E-F. Ilustração de faixa horizontal preta com três linhas brancas contínuas acima A, B e C. Setas para direita. Linha amarela com linha abaixo curvada e três linhas contínuas brancas abaixo, D, E, F. Setas para esquerda.](../resources/images/im_0002_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
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![Ícone de atividade oral.](../resources/images/im_pg_icone_oral_12.png)
Quais dessas sinalizações se parecem com partes de retas paralelas?
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![Ícone de atividade oral.](../resources/images/im_pg_icone_oral_12.png)
Cada uma das partes das linhas seccionadas se parece com qual figura geométrica plana: semirreta ou segmento de reta?
Neste capítulo, vamos estudar as retas e os ângulos, retomando definições e relações já vistas em anos anteriores e conhecendo as relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.
![](../resources/images/im_pg_icone_p2_v7_c3.png)
1 Retas
Uma reta é formada por infinitos pontos distintos, dispostos em uma única direção, e suas extremidades indicam que ela se prolonga infinitamente nos dois sentidos. Na reta a seguir, destacamos os pontos a ê bê.
![Ilustração. Linha reta com flechas nas duas extremidades, para a esquerda e para a direita, denominada reta r. Há dois pontos sobre a reta. À esquerda, o ponto indicado pela letra A e, à direita, o ponto indicado pela letra B.](../resources/images/im_011_g_me8_c05_g_rec.png)
reta r ou
Símbolo. Reta AB.Os pontos a ê bê pertencem à reta r .
Semirreta e segmento de reta
Considere a reta r e os pontos a, B e óh indicados:
![Ilustração. Linha reta com flechas nas duas extremidades, para a esquerda e para a direita, denominada reta r. Há três pontos sobre a reta. À esquerda, o ponto indicado pela letra A, no centro, o ponto indicado pela letra O, e, à direita, o ponto indicado pela letra B.](../resources/images/im_0004_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
O ponto óh divide a reta r em duas semirretas de origem em O: uma passa pelo ponto a e a outra passa pelo ponto B. A reta r é chamada de reta suporte dessas semirretas. Confira as duas semirretas a seguir.
• Semirreta de origem óh que passa pelo ponto a. Também podemos indicar como:
OA com seta em cima(lemos: “semirreta ó á”).
![Ilustração. Linha reta com flecha na extremidade esquerda e um ponto O na extremidade direita. Há um ponto sobre a reta, à esquerda do ponto O, indicado pela letra A.](../resources/images/im_009_g_me8_c05_g_rec.png)
• Semirreta de origem O que passa pelo ponto B. Também podemos indicar como:
OB com seta em cima(lemos: “semirreta ó bê ”).
![Ilustração. Linha reta com flecha na extremidade direita e um ponto O na extremidade esquerda. Há um ponto sobre a reta, à direita do ponto O, indicado pela letra B.](../resources/images/im_0007_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Considere, novamente, a reta r e os pontos a ê bê, distintos, pertencentes a r :
![Ilustração. Linha reta com flechas nas duas extremidades, para a esquerda e para a direita, denominada reta r. Há dois pontos sobre a reta. À esquerda, o ponto indicado pela letra A e, à direita, o ponto indicado pela letra B.](../resources/images/im_011_g_me8_c05_g_rec.png)
Chamamos de segmento de reta a parte da reta compreendida entre dois de seus pontos, incluindo esses pontos. Denominamos, nesse caso, os pontos a ê bê de extremidades de
AB com traço em cima(lemos: “segmento de reta A bê ”). A reta r é chamada de reta suporte desse segmento.
![Ilustração. Linha reta pontos nas duas extremidades: à esquerda, ponto A, à direita, ponto B.](../resources/images/im_012_g_me8_c05_g_rec.png)
Segmento de reta de extremidades a ê bê
abre parênteses, segmento de reta AB, fecha parêntesesPosições relativas entre duas retas
Duas ou mais retas contidas em um mesmo plano podem ser classificadas em:
• retas paralelas: quando não possuem pontos em comum.
![Ilustração. Plano alfa com duas retas paralelas na diagonal, retas s e r.](../resources/images/im_0010_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Indica-se: r //s
(lemos: “ érre é paralela a ésse”).
• retas concorrentes: quando possuem um único ponto em comum.
![Ilustração. Plano beta com duas retas, m e n que se cruzam no centro, no ponto O.](../resources/images/im_0011_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Indica-se: r × s
(lemos: “ érre é concorrente a ésse”).
As ruas de uma cidade se parecem com partes de retas paralelas ou retas concorrentes. Observe a imagem de parte da cidade de Belém ( Pará), situada na região Norte do Brasil, captada por um satélite em 2021.
![Fotografia. Imagem de satélite de parte de uma cidade. À direita, construções e uma praça. À esquerda, o mar. Ruas: Avenida Marechal Hermes, Avenida Castilho Franca, Rua Santo Antônio. Rua Gaspar Viana, Senador Manoel Barata, Rua Vinte e Oito, Rua O de Almeida, Rua Aristides Lobo, Oswaldo Cruz. Ruas verticais à direita: Travessa Piedade, Av. Assis de Vasconcelos.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_89364.png)
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![Ícone de atividade oral.](../resources/images/im_pg_icone_oral_12.png)
![Ícone de atividade em Grupo.](../resources/images/im_pg_icone_grupo_12.png)
Na imagem anterior, você consegue identificar ruas que são paralelas em alguns trechos? E ruas que se cruzam? Converse com os colegas.
Observação
Retas concorrentes que formam quatro ângulos retos (ângulos cuja abertura mede 90 graus) são chamadas retas perpendiculares.
![Ilustração. Plano alfa com duas retas, r e s que se cruzam no centro, formando 4 ângulos retos (sinal indicativo de ângulo reto).](../resources/images/im_ld_075_miolo_le_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_248080.png)
Indica-se: r ⊥ s
(lemos: “r é perpendicular a s ”).
Construção de retas paralelas com régua e esquadro
Observe como podemos construir retas paralelas usando uma régua e um esquadro.
1º) Alinhamos o esquadro com a reta r e apoiamos a régua em um dos lados do esquadro, mantendo-a fixa.
![Ilustração. Reta vertical r. Sobre a reta, esquadro e abaixo, uma régua. Seta para direita.](../resources/images/im_0015a_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
2º) Deslizamos o esquadro pela régua e traçamos uma nova reta s.
![Ilustração. Reta vertical r. à direita da reta, esquadro com um lápis e abaixo, uma régua.](../resources/images/im_0015b_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
3º) A reta s traçada será paralela à reta r.
![Ilustração. Duas retas paralelas, r e s.](../resources/images/im_0016a_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
r // s
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Na figura, as retas a, b, c e d são retas suportes dos lados do paralelogramo ême êne ó pê.
Observe a figura e identifique no caderno:
a) dois pares de retas paralelas;
b) dois pares de retas concorrentes.
![Ilustração. Plano alfa com retas c e d na horizontal. Reta a e b na vertical. Reta e na diagonal. Ponto M com reta a e c. Ponto N com reta b e c. Ponto P com reta a e d. Ponto O com reta b e d.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_241638.png)
2. Observe a figura a seguir e indique os pares de retas perpendiculares.
![Ilustração. Duas retas verticais, v e u. Três retas diagonais: r, s e t. Em destaque, 4 ângulos retos formados pelas retas r e v, 4 ângulos retos formados pelas retas u e s e 4 ângulos retos formados pelas retas u e t.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_241640.png)
3. Desenhe uma reta r e um ponto P não pertencente a essa reta. Com uma régua e um esquadro, trace uma reta s paralela à r pelo ponto P.
4. Desenhe no caderno uma reta r e, com uma régua e um esquadro, trace uma reta s perpendicular à r.
![Ícone da seção Lendo e aprendendo.](../resources/images/im_pg_lendo_2_digital.png)
Lendo e aprendendo
![Ícone do tema PLURALIDADE CULTURAL.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_132195.png)
Grafismosglossário e pinturas corporais marcam a identidade do povo Kayapó
![Fotografia. Destaque para o rosto de uma mulher virado para o lado com desenhos de linhas pretas. Ao lado, mulher com haste fina desenha as linhas no rosto da mulher.](../resources/images/im_0161_f_mcp7_c03_f2_g24_08rs868_1.jpg)
Pintura corporal revela a identidade dos nossos povos ancestrais
Os traços adotados nos rostos e corpos identificam etnias, famílias, status social e são essenciais durante as festas e rituais.
Arte na pele, a pintura corporal não é apenas uma questão estética, ou apenas para proteção contra insetos e raios solares. Cada povo retrata sua identidade cultural por meio de traços que revelam toda uma simbologia. Há pinturas específicas para festividades, para identificação das famílias, para apontar o estado civil ou status social. É possível identificar os povos do Tocantins somente pela observação das pinturas.
De acordo com a antropóloga e professora da Universidade Federal do Pará, Jane Beltrão, a pintura ritualística é uma fórma de expressar os mais delicados valores culturais. “A arte indígena é um sofisticado meio de comunicação estética, que informa aos demais sobre a diferença da qual emana fórça, autenticidade e valores das nações indígenas”, diz, enfatizando que exibir marcas tribais é uma fórma de resistência.
reticências
Além de privilegiar traços geométricos, a pintura corporal pode representar figuras simbólicas de animais como pássaros, peixes e répteis. É o caso do povo Iny (Karajá, Javaé, Xambioá).
Juntamente com as pinturas corporais, geralmente feitas com tintura natural extraída de plantas como urucum e o jenipapo, além de carvão misturado à resina de algumas árvores, há uma série de elementos agregados aos mais variados momentos e celebrações, como o corte de cabelo, o uso de enfeites de cabeça e a emplumação dos corpos.
Lendo e aprendendo
Emplumar é colar penas diretamente no corpo, o que ocorre nas aldeias em situações festivas/ritualísticas. É uma tradição entre os povos indígenas brasileiros, com variações que identificam cada grupo étnico. Entre o povo Krahô, no Ketuwayê, as crianças têm seu primeiro contato com a ritualística do mundo adulto desta fórma. Durante o ritual, as crianças são emplumadas e realizam um desfile em torno da aldeia, abatendo animais domésticos, para representar a primeira “caçada”.
FONTES, Seleucia. Pintura corporal revela a identidade dos nossos povos ancestrais. Secretaria da Cultura e Turismo do Governo do estado do Tocantins.
Atividades
1. Responda no caderno.
a) No povo Iny (Karajá, Javaé e Xambioá), a pintura corporal pode ser representada por quais figuras?
b) Qual é o objetivo da arte corporal para o povo indígena?
c) O que os indígenas utilizam para produzir suas tintas?
2. A pintura corporal indígena privilegia traços geométricos. Quando são feitos dois traços que se cruzam em um único ponto, mas não formam um ângulo reto, podemos afirmar que se parecem com:
a) retas concorrentes
b) retas paralelas
c) retas perpendiculares
d) retas coincidentes
3. As faixas a seguir foram criadas com base em grafismos indígenas.
![Ilustração. Seis faixas horizontais com desenhos geométricos. De cima para baixo. Faixa amarela com triângulos pretos. Faixa quadriculada preta e vermelha. Faixa preta com linhas coloridas em ziguezague. Faixa com triângulos marrons e amarelos. Faixa com parte amarela e linhas pretas e abaixo, quadrados vermelhos. Faixa vermelha com losangos pretos.](../resources/images/im_0162_g_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
Inspirado pelas imagens anteriores, crie um grafismo em uma folha de papel quadriculado.
4.
![Ícone de atividade oral.](../resources/images/im_pg_icone_oral_12.png)
![Ícone de atividade em Grupo.](../resources/images/im_pg_icone_grupo_12.png)
Reúna-se com 3 colegas e pesquisem sobre a influência da cultura indígena na formação do povo brasileiro. Depois, compartilhem com a turma o que encontraram.
![](../resources/images/im_pg_icone_p2_v7_c3.png)
2 O ângulo e seus elementos
Aplicações dos conceitos de ângulo estão presentes, hoje, na Engenharia Civil (construção de estradas, rampas), nos transportes (em rotas de orientação), em máquinas, nos projetos espaciais (em lançamento de foguetes), nas cartas geográficas (nos meridianos e paralelos da Terra), entre outras áreas. Observe os exemplos a seguir, em que destacamos os ângulos em um brinquedo de parque de diversões e em uma rota de gê pê ésse em um smartphone.
![Fotografia. Vista frontal de barco Viking. O barco está do lado esquerdo e dois ângulos estão destacados, a e b. O ângulo a é formado a partir da haste à esquerda que segura o barco e outra haste principal da estrutura maior, também à esquerda. O ângulo b é formado entre as duas hastes principais da estrutura, uma à esquerda e outra à direita.](../resources/images/im_0018_f_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
Barco váiquin em Leipzig na Alemanha. Foto de 2020. Destacamos os ângulos
ae
b.
![Ilustração. Smartphone na horizontal mostrando um guia de ruas com a informação: A 50 metros, vire à esquerda. As ruas tem ângulos a, b e c. Seta de localização entre ângulo b e a.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_132327.png)
No cruzamento das ruas, destacamos os ângulos
a,
be
c.
Traçando duas semirretas de mesma origem, determinamos, em um plano, duas regiões. Cada uma dessas regiões, incluindo as semirretas, é chamada de ângulo.
![Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para a região interna, o ângulo.
Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para a região externa, o ângulo.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_241659.png)
As semirretas
Símbolo. Semirreta OA.e
Símbolo. Semirreta OB.de origem no ponto O e os dois ângulos formados por elas.
Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem, com uma das regiões do plano limitada por elas.
Os lados de um ângulo são as semirretas que o determinam, e o vértice é a origem comum dessas semirretas.
O ângulo de vértice óh e lados
Símbolo. Semirreta OA.e
Símbolo. Semirreta OB.é indicado por:
Símbolo. Ângulo AOB.,
Símbolo. Ângulo BOA.ou
ângulo O.
![Ilustração. Duas semirretas OA (lado) e OB (lado) partindo da mesma origem, o ponto O (vértice). Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_0022_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
![Imagem. A O com circunflexo B. Lemos: ângulo AOB. Seta no O com circunflexo para indicar a letra que corresponde ao vértice deve ficar entre as outras duas .](../resources/images/im_pag73.png)
Agora, observe dois casos em que duas semirretas de mesma origem têm a mesma reta suporte.
• As semirretas
Símbolo. Semirreta OA.e
Símbolo. Semirreta OB.são coincidentes. Temos um ângulo nulo (ângulo cuja abertura mede 0 grau) e um ângulo de uma volta (ângulo cuja abertura mede 360 graus).
![Ilustração. Semirreta com três pontos. Ponto O à esquerda e à direita os pontos A e B. Legenda: ângulo nulo. Ao lado, semirreta com três pontos. Ponto O à esquerda e à direita os pontos A e B. Destaque para ângulo ao redor de O. Legenda: Ângulo de uma volta.](../resources/images/im_0023_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
• As semirretas
Símbolo. Semirreta OA.e
Símbolo. Semirreta OB.têm sentidos opostos. Temos um ângulo raso ou ângulo de meia-volta (ângulo cuja abertura mede 180 graus).
![Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo em O.](../resources/images/im_0025_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Atividades
Faça as atividades no caderno.
5. No caderno, indique, para cada item, o ângulo, seu vértice e seus lados.
a)
![Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_241817.png)
b)
![Ilustração. Duas semirretas SR e ST partindo da mesma origem, o ponto S. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_241819.png)
c)
![Ilustração. Duas semirretas BA e BC partindo da mesma origem, o ponto B. Destaque para o ângulo interno](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_241820.png)
d)
![Ilustração. Duas semirretas QP e QR partindo da mesma origem, o ponto Q. Destaque para o ângulo em Q.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_241818.png)
6. Desenhe um ângulo raso e um ângulo nulo. Em seguida, observe os lados dos ângulos e responda:
a) São semirretas?
b) Têm a mesma reta suporte?
c) São coincidentes?
![](../resources/images/im_pg_icone_p2_v7_c3.png)
3 Medida da abertura de um ângulo
Ao medir um ângulo, consideramos a abertura entre seus lados. Podemos utilizar como unidade de medida da abertura de ângulo o grau.
Se dividirmos um ângulo de uma volta em trezentas e sessenta partes iguais, determinamos 360 ângulos com aberturas medindo 1 grau (1 grau).
![Ilustração. Semirreta com três pontos. Ponto O à esquerda e à direita os pontos A e B. Destaque para ângulo ao redor de O.](../resources/images/im_0030_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
![Ilustração. Pequena abertura entre duas semirretas com ponto O na origem, à esquerda.](../resources/images/im_0031_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Para medir a abertura de ângulos, podemos utilizar o transferidor, que já vem graduado de 1 grau em 1 grau. Observe a seguir um transferidor de 180 graus e outro de 360 graus.
![Ilustração. Transferidor de 180 graus em formato de semicírculo. Na base inferior, centro.](../resources/images/im_0032_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
![Ilustração. Transferidor de 360 graus em formato circular. Na haste central, centro.](../resources/images/im_0033_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
A unidade de medida grau tem submúltiplos: o minuto e o segundo. Indicamos 1 minuto por 1’ e 1 segundo por 1”.
• 1 minuto é
Sentença matemática. Fração 1 sessenta avos.do grau, ou seja, 1 grau é igual a 60 minutos:
1 grau = 60 minutos
• 1 segundo é
Sentença matemática. Fração 1 sessenta avos.do minuto, ou seja, 1 minuto é igual a 60 segundos:
1’ = 60 segundos
Como medir a abertura de um ângulo utilizando o transferidor
Para medir a abertura de um ângulo
ângulo AOBqualquer utilizando o transferidor, usamos o seguinte procedimento:
1º) O centro marcado no transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo (ponto óh).
2º) A linha do transferidor, que passa pelo centro e pelo zero, deve estar posicionada sobre um dos lados que formam o ângulo
Símbolo. Ângulo AOB.(por exemplo, semirreta
Símbolo. Semirreta OA.).
3º) Verificamos a medida da abertura do ângulo na escala graduada por onde passa o outro lado (semirreta
Símbolo. Semirreta OB.).
![Ilustração. Transferidor de 180 graus virado para esquerda. No centro, ponto O. Semirreta vertical OA em 0 grau e outra semirreta OB em 30 graus.](../resources/images/im_0035_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
A medida da abertura de
ângulo AOBé 30 graus.
Indicamos: medida de(
ângulo AOB) = 30 graus
![Ilustração. Transferidor de 180 graus. No centro, ponto O. Semirreta horizontal OA em 0 grau e outra semirreta OB em 60 graus.](../resources/images/im_0036_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
A medida da abertura de
ângulo AOBé 60 graus.
Indicamos: medida de(
ângulo AOB) = 60 graus
Observe, a seguir, indicações de algumas medidas de abertura de ângulo e como as lemos.
a) 30 graus
![Ilustração. Seta aponta para direita.](../resources/images/im_seta20mm.png)
lemos: “trinta graus”.
b) 45° 50’
![Ilustração. Seta aponta para direita.](../resources/images/im_seta15mm.png)
lemos: “quarenta e cinco graus e cinquenta minutos”.
c) 30° 48’ 36”
![Ilustração. Seta aponta para direita.](../resources/images/im_seta8mm.png)
lemos: “trinta graus, quarenta e oito minutos e trinta e seis segundos”.
![Ícone da seção Veja que interessante](../resources/images/im_pg_veja_que_interessante_digital.png)
Veja que interessante
Faça a atividade no caderno.
Instrumentos de navegação
A navegação é uma das atividades humanas mais antigas, praticada desde os povos ancestrais. Com o passar do tempo, com o uso de instrumentos náuticos para guiar as navegações e com a melhora das embarcações, as distâncias navegadas se tornaram mais longas, já que antes procurava-se navegar sem perder as terras de vista. Graças a esses avanços, aconteceram as grandes navegações a partir do século quinze. Alguns dos instrumentos usados foram o quadrante náutico (1), o astrolábio (2) e a balestilha (3). Mais tarde, surgiram o octante (4) e o sextante (5). Todos eles serviam para medir abertura de ângulos, os dois últimos de fórma mais precisa que os primeiros. Hoje há instrumentos mais precisos para a navegação, como o radar e o gê pê ésse.
![Fotografias. 1. Instrumento dourado em formato de setor circular. 2. Objeto redondo com haste e inscrições. 3. Haste vertical com três hastes na horizontal de tamanhos diferentes. 4. Instrumento arredondado na parte inferior com três hastes. 5. Instrumento com base arredondada dourada e haste com círculos acima.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_132465.png)
Atividade
Realize uma pesquisa e verifique para que esses instrumentos eram utilizados pelos navegadores.
Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso
Um ângulo pode ser classificado quanto à medida de sua abertura.
• Ângulo reto: é aquele que tem medida de abertura igual a 90 graus.
![Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para ângulo interno, representado por um quadrado com um ponto dentro: sinal indicativo de ângulo reto.](../resources/images/im_0042_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
O ângulo
Símbolo. Ângulo AOB.é reto.
• Ângulo agudo: é o ângulo que tem medida de abertura maior que 0 grau e menor que 90 graus.
![Ilustração. Duas semirretas OC e OD partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para ângulo interno com medida de abertura igual a 30 graus.](../resources/images/im_0043_g_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
O ângulo
Símbolo. Ângulo COD.é agudo.
• Ângulo obtuso: é o ângulo que tem medida de abertura maior que 90 graus e menor que 180 graus.
![Ilustração. Duas semirretas OE e OF partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para ângulo interno com medida de abertura igual a 135 graus.](../resources/images/im_0043_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
O ângulo
Símbolo. Ângulo EOF.é obtuso.
Construção de um ângulo com o transferidor
Observe a sequência utilizada na construção de um ângulo cuja abertura mede 50 graus.
1º) Traçamos uma semirreta
Símbolo. Semirreta AB.
![Ilustração. Semirreta AB.](../resources/images/im_0045_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
2º) Posicionamos o transferidor de modo que seu centro coincida com o ponto a e a marca de 0 grau esteja sobre a semirreta
Símbolo. Semirreta AB. Depois, marcamos o ponto C, alinhado com a marca de 50 graus.
![Ilustração. Transferidor de 180 graus. No centro, ponto A. Semirreta horizontal AB em 0 grau e uma marcação do ponto C em 50 graus.](../resources/images/im_0046_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
3º) Traçamos com a régua a semirreta
Símbolo. Semirreta AC., obtendo, assim, o ângulo
Símbolo. Ângulo BAC., cuja abertura mede 50 graus.
![Ilustração. Duas semirretas AC e AB partindo da mesma origem, o ponto A. Destaque para ângulo interno com medida de abertura igual a 50 graus.](../resources/images/im_0047_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Construção de alguns ângulos com um par de esquadros
Podemos usar um par de esquadros para construir alguns ângulos. Em um dos esquadros, encontramos um ângulo de abertura medindo 90 graus e dois ângulos de abertura medindo 45 graus, e, no outro esquadro, ângulos cujas aberturas medem 30 graus, 60 graus e 90 graus.
![Ilustração. Dois esquadros, um ao lado do outro. O esquadro do lado esquerdo tem dois ângulos de 45 graus e um ângulo de 90 graus. O esquadro à direita tem um ângulo de 30 graus, um ângulo de 90 graus e um ângulo de 60 graus.](../resources/images/im_035_f_me7_c06_g_rec.png)
Utilizando as medidas de abertura dos ângulos dos esquadros, conseguimos construir alguns ângulos, como os ângulos cujas aberturas medem 30 graus, 45 graus, 60 graus e 90 graus. Para construir ângulos com outras medidas de abertura, podemos adicionar ou subtrair essas medidas. Observe os exemplos a seguir.
a) 30 graus + 45 graus = 75 graus
![Ilustração. Duas semirretas partindo da mesma origem. Ângulo interno formado pela adição das medidas de abertura dos ângulos dos esquadros, 30 graus e 45 graus.](../resources/images/im_0049_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
b) 45 graus menos 30 graus = 15 graus
![Ilustração. Duas semirretas partindo da mesma origem. Ângulo interno formado pela subtração das medidas de abertura dos ângulos dos esquadros, 45 graus e 30 graus.](../resources/images/im_0050_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Determinando a medida da abertura de um ângulo
Considere a figura a seguir.
![Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC, partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, a medida da abertura do ângulo BOC, à direita, igual a 105 graus.](../resources/images/im_0051_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Agora, vamos determinar a medida da abertura do ângulo
Símbolo. Ângulo AOB., ou seja, medida de(
Símbolo. Ângulo AOB.).
Pela figura, temos que:
Sentença matemática. Medida da abertura do ângulo BOC é igual a 105 graus.Como
medida da abertura do ângulo AOCé igual a 180 graus, pois
Símbolo. Ângulo AOC.é um ângulo raso, então:
= 180 graus menos 105 graus = 75 graus
Logo, a medida de abertura do ângulo
Símbolo. Ângulo AOB.é igual a 75 graus.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
7. Escreva no caderno as medidas das aberturas dos ângulos usando os símbolos de grau, minuto e segundo.
a) 60 graus
b) 90 graus
c) 102 graus e 35 minutos
d) 110 graus, 32 minutos e 48 segundos
8. Determine as medidas das aberturas dos ângulos representados a seguir.
![Ilustração. Transferidor de 180 graus. No cento, ponto O e semirretas: OA: 160 graus; OB: 130 graus; OC: 90 graus; OD: 70 graus; OE: 50 graus; OF: 30 graus e OG: 0 grau.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242256.png)
a) medida de(
GOF)
b) medida de(
GOE)
c) medida de(
DOC)
d) medida de(
GOD)
e) medida de(
AOD)
f) medida de(
AOE)
g) medida de(
AOG)
h) medida de(
COF)
9. Com um transferidor, meça e registre no caderno a medida da abertura de cada um dos ângulos.
a)
![Ilustração. Duas semirretas HG e HI partindo da mesma origem, o ponto H. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242307.png)
b)
![Ilustração. Duas semirretas BA e BC partindo da mesma origem, o ponto B. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242308.png)
c)
![Ilustração. Duas semirretas OM e ON partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242309.png)
d)
![Ilustração. Duas semirretas TU e TS partindo da mesma origem, o ponto T. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242310.png)
e)
![Ilustração. Duas semirretas ED e EF partindo da mesma origem, o ponto E. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242311.png)
f)
![Ilustração. Duas semirretas QP e QR partindo da mesma origem, o ponto Q. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242294.png)
10. Com o auxílio de uma régua e de um transferidor, construa no caderno os ângulos pedidos e, depois, classifique-os em agudo, obtuso, reto ou raso.
a) ângulo
ângulo AOBcuja abertura mede 65 graus
b) ângulo
CODcuja abertura mede 150 graus
c) ângulo
MNPcuja abertura mede 90 graus
d) ângulo
DEFcuja abertura mede 180 graus
11. Com um par de esquadros, trace um ângulo cuja abertura mede:
a) 105 graus
b) 150 graus
c) 120 graus
d) 135 graus
e) 165 graus
f) 15 graus
12. Um hexágono regular é uma figura formada por seis lados de medidas de comprimento iguais e seis ângulos internos de medida de abertura igual a 120 graus, conforme a figura a seguir.
![Ilustração. Hexágono azul de lados iguais e seis ângulos internos com medida de abertura igual a 120 graus cada. A medida do comprimento de cada lado é 1,5 centímetros.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242266.png)
No caderno, com o auxílio de uma régua e de um transferidor, construa um hexágono regular cujos lados medem 3 centímetros de comprimento.
13. ( enêm) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:
a) uma volta completa.
b) uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
d) duas voltas e meia.
e) cinco voltas completas.
Versão adaptada acessível
9. Desenhe 6 ângulos de aberturas de medidas variadas. Depois, com um transferidor, meça suas aberturas.
Transformação de unidades
O grau é uma unidade de medida de abertura de ângulo, sendo o minuto e o segundo seus submúltiplos. Além disso, 1 grau equivale a 60 minutos e 1 minuto equivale a 60 segundos.
![Ilustração. Menino de cabelo castanho, camiseta vermelha segura um transferidor de 360 graus. À frente, mesa com estojo e caderno. Ao lado da ilustração, um retângulo com a informação: 1 grau é igual a 60 minutos; 1 minuto é igual a 60 segundos](../resources/images/im_0063_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
Agora, observe, nos exemplos a seguir, como efetuar transformações de unidades de medida de abertura de ângulos.
a) 30 graus em minutos
30 graus = 30 ⋅ 1 grau = 30 ⋅ 60 minutos = .1800 minutos
Logo: 30 graus = .1800 minutos
b) 3 graus 35 minutos em segundos
3 graus = 3 ⋅ 1 grau = 3 ⋅ 60 minutos = 180 minutos
180 minutos + 35 minutos = 215 minutos
215 minutos = 215 ⋅ 1’ = 215 ⋅ 60 segundos = .12900 segundos
Logo: 3 graus 35 minutos = .12900 segundos
c) 130 minutos em grau e minuto
![Algoritmo da divisão. O dividendo é 130 minutos, o divisor é 60, o quociente é 2 graus e o resto é 10 minutos.](../resources/images/im_pag079a.png)
Logo: 130 minutos = 2 graus 10 minutos
d) 150 segundos em minuto e segundo
![Algoritmo da divisão. O dividendo é 150 segundos, o divisor é 60, o quociente é 2 minutos e o resto é 30 segundos.](../resources/images/im_pag079b.png)
Logo: 150 segundos = 2 minutos 30 segundos
e) 5 graus 35 minutos em minutos
5 graus = 5 ⋅ 1 grau = 5 ⋅ 60 minutos = 300 minutos
300 minutos + 35 minutos = 335 minutos
Logo: 5 graus 35 minutos = 335 minutos
f) 2 graus 20 minutos 40 segundos em segundos
2 graus = 2 ⋅ 1 grau = 2 ⋅ 60 minutos = 120 minutos
120 minutos + 20 minutos = 140 minutos
140 minutos = 140 ⋅ 1’ = 140 ⋅ 60 segundos = .8400 segundos
.8400 segundos + 40 segundos = .8440 segundos
Logo: 2 graus 20 minutos 40 segundos = .8440 segundos
g) .26138 segundos em grau, minuto e segundo
![Esquema. Algoritmo da divisão. O dividendo é 26 mil e 138 segundos, o divisor é 60, o quociente é 435 minutos e o resto é 38 segundos. Seta laranja partindo do quociente 435 minutos, indicando outra divisão. Algoritmo da divisão. O dividendo é 435 minutos, o divisor é 60, o quociente é 7 graus e o resto é 15 minutos.](../resources/images/im_pag079c.png)
Logo: .26138 segundos = 7 graus 15 minutos 38 segundos
Atividades
Faça as atividades no caderno.
14.
![Ícone de atividade com Calculadora e softwares.](../resources/images/im_pg_icone_tecnologia_9.png)
Usando calculadora, transforme as medidas indicadas de acordo com o pedido de cada item:
a) 27 graus em minuto;
b) 13 graus 13 minutos 13 segundos em segundo;
c) 12 graus 57 minutos em minuto;
d) 213 minutos em grau e minuto;
e) 36 graus em segundo;
f) 310 minutos em grau e minuto;
g) 17 graus 12 minutos em segundo;
h) .214317 segundos em grau, minuto e segundo.
15. Observe este veículo.
![Fotografia. Veículo elétrico composto por uma barra no centro e duas rodas abaixo.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242952.png)
Na posição de descanso, o eixo vertical fórma um ângulo cuja medida da abertura corresponde a 112% da medida da abertura de um ângulo reto, em relação à base. Descubra a medida da abertura desse ângulo, em grau e minuto.
![](../resources/images/im_pg_icone_p2_v7_c3.png)
4 Operações com medidas de abertura de ângulos
Vamos analisar algumas situações que envolvem operações com medidas de abertura de ângulos.
Adição
Traçados os ângulos
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo BOC.conforme a ilustração, qual é a medida da abertura do ângulo
Símbolo. Ângulo AOC.?
![Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC, partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, as medidas das aberturas dos ângulos AOB, igual a 30 graus e 18 minutos e BOC, igual a 45 graus e 30 minutos.](../resources/images/im_0065_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Para responder a essa pergunta, devemos adicionar as medidas das aberturas dos ângulos
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo BOC..
![Algoritmo usual da adição envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
Na primeira linha, 30 graus e 18 minutos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de adição e à direita, 45 graus e 30 minutos,
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 75 graus e 48 minutos.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_table_24908.png)
Observe que adicionamos minutos com minutos e graus com graus.
Portanto, a medida da abertura do ângulo
Símbolo. Ângulo AOC.é 75 graus 48 minutos.
Agora, analise outro exemplo: 10 graus 36 minutos 30 segundos + 23 graus 45 minutos 50 segundos
Nesse caso, devemos adicionar segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus.
![Esquema. Algoritmo da adição envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
Na primeira linha, 10 graus e 36 minutos e 30 segundos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de adição e à direita, 23 graus e 45 minutos e 50 segundos,
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 33 graus, 81 minutos e 80 segundos.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_table_24939.png)
Se 1’ = 60 segundos, então 80 segundos = 1’ 20 segundos; assim:
33 graus 81 minutos 80 segundos = 33 graus 82 minutos 20 segundos
Se 1 grau = 60 minutos, então 82 minutos = 1 grau 22 minutos; assim:
33 graus 82 minutos 20 segundos = 34 graus 22 minutos 20 segundos
Subtração
Considere os ângulos
ângulo BOCe
Símbolo. Ângulo AOB.a seguir.
![Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC, partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, as medidas das aberturas dos ângulos AOB, igual a 30 graus e 18 minutos e BOC, igual a 45 graus e 30 minutos.](../resources/images/im_0066_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Qual é a diferença entre as medidas das aberturas dos ângulos
Símbolo. Ângulo BOC.e
Símbolo. Ângulo AOB.?
Para responder a essa pergunta, devemos subtrair 30 graus 18 minutos de 45 graus 30 minutos.
Sentença matemática. Medida da abertura do ângulo BOC menos a medida da abertura do ângulo AOB, igual, 45 graus e 30 minutos menos 30 graus e 18 minutos.
![Esquema. Algoritmo da subtração envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
Na primeira linha, 45 graus e 30 minutos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita, 30 graus e 18 minutos,
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 15 graus e 12 minutos.](../resources/images/im_pag081.png)
Observe que subtraímos minutos de minutos e graus de graus.
Portanto, a diferença entre as medidas das aberturas dos ângulos
Símbolo. Ângulo BOC.e
Símbolo. Ângulo AOB.é 15 graus 12 minutos.
Agora, analise outro exemplo.
80 graus 48 minutos 30 segundos ‒ 70 graus 58 minutos 55 segundos
Nesse caso, podemos trocar graus por minutos e minutos por segundos para poder efetuar a subtração.
Observe que:
![Esquema. Igualdade na horizontal, 80 graus, 48 minutos e 30 segundos, igual, 80 graus, 47 minutos e 90 segundos, igual, 79 graus, 107 minutos e 90 segundos. Fio laranja em 80 graus, 47 minutos e 90 segundos com a indicação: Retiramos 1 minuto dos 48 minutos e adicionamos 60 segundos aos 30 segundos já existentes. Fio laranja em 79 graus, 107 minutos e 90 segundos com a indicação: Retiramos 1 grau dos 80 graus e adicionamos 60 minutos aos 47 minutos já existentes.](../resources/images/im_pag081a.png)
Assim:
![Esquema. Algoritmo da subtração envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
Na primeira linha, 79 graus, 107 minutos e 90 segundos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita, 70 graus, 58 minutos e 55 segundos,
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 9 graus, 49 minutos e 35 segundos.](../resources/images/im_pag081b.png)
Portanto: 80 graus 48 minutos 30 segundos ‒ 70 graus 58 minutos 55 segundos = 9 graus 49 minutos 35 segundos
Multiplicação
Para multiplicar um número natural pela medida da abertura de um ângulo, devemos multiplicar esse número pelos segundos, pelos minutos e pelos graus dessa medida. Depois, se necessário, devemos fazer as transformações de unidades. Confira os exemplos a seguir:
a) 4 ⋅ (15 graus 12 minutos 10 segundos)
![Esquema. Algoritmo da multiplicação 15 graus, 12 minutos e 10 segundos vezes 4 igual a 60 graus, 48 minutos e 40 segundos.
Na primeira linha, 15 graus, 12 minutos e 10 segundos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 4.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 60 graus, 48 minutos e 40 segundos.](../resources/images/im_pag081c.png)
b) 5 ⋅ (12 graus 36 minutos 40 segundos)
![Esquema. Algoritmo da multiplicação 12 graus, 36 minutos e 40 segundos vezes 5 é igual a 60 graus, 180 minutos e 200 segundos.
Na primeira linha, 12 graus, 36 minutos e 40 segundos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 5.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 60 graus, 180 minutos e 200 segundos (em destaque). Seta laranja saindo dessa linha e indo para a próxima linha com a indicação: Como 200 segundos é igual a 3 minutos e 20 segundos, adicionamos 3 minutos aos 180 minutos já existentes.
Abaixo, 60 graus, 183 minutos (em destaque) e 20 segundos. Seta laranja saindo dessa linha e indo para a próxima linha com a indicação: Como 183 minutos é igual a 3 graus e 3 minutos, adicionamos 3 graus aos 60 graus já existentes.
Abaixo, 63 graus, 3 minutos e 20 segundos.](../resources/images/im_pag081d.png)
Divisão
Os raios da roda da frente de uma bicicleta formam 20 ângulos consecutivos de mesma medida de abertura; para determinar a medida da abertura do ângulo formado por dois raios consecutivos, é necessário dividir 360 graus por 20.
![Ilustração. Bicicleta virada para esquerda. Destaque para a roda da frente com linhas diagonais. Cada linha corresponde ao raio da roda.](../resources/images/im_ld_075_miolo_le_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_247928.png)
Então:
![Esquema. Algoritmo da divisão. O dividendo é 360 graus, o divisor é 20, o quociente é 18 graus e o resto é 0.](../resources/images/im_pag082a.png)
Logo, a medida da abertura do ângulo formado por dois raios consecutivos é igual a 18 graus.
Para dividir a medida da abertura de um ângulo por um número natural, devemos dividir inicialmente os graus, depois os minutos e, por fim, os segundos da medida da abertura desse ângulo por esse número. Quando necessário, devemos fazer as transformações de unidades. Verifique os exemplos a seguir.
a) (40 graus 20 minutos) : 2
![Esquema. Algoritmo da divisão. O dividendo é 40 graus e 20 minutos, o divisor é 2, o quociente é 20 graus e 10 minutos e o resto é 0.](../resources/images/im_pag082b.png)
b) (45 graus 20 minutos 16 segundos) : 4
![Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha, 45 graus, 20 minutos e 16 segundos e dentro da chave o número 4.
Abaixo da chave, 11 graus. À esquerda, abaixo de 45 graus, 1 grau (cortado por um fio laranja). À direita, embaixo da chave do lado direito de 11 graus, 20 minutos. À esquerda, abaixo de 20 minutos, sinal de adição e 60 minutos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 80 minutos. Abaixo, 0. À direita, embaixo da chave do lado direito de 20 minutos, 4 segundos. À esquerda, abaixo de 16 segundos, Abaixo, 0.
Seta laranja saindo de 1 grau cortado, indicando 60 minutos.](../resources/images/im_pag082c.png)
c) (50 graus 17 minutos 30 segundos) : 6
![Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha, 50 graus, 17 minutos e 30 segundos e dentro da chave o número 6.
Abaixo da chave, 8 graus. À esquerda, abaixo de 50 graus, 2 graus (cortado por um fio laranja). À direita, embaixo da chave do lado direito de 8 graus, 22 minutos. À esquerda, abaixo de 17 minutos, sinal de adição e 120 minutos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 137 minutos. Abaixo, 5 minutos (cortado por um fio laranja). À direita, embaixo da chave do lado direito de 22 minutos, 55 segundos. À esquerda, abaixo de 30 segundos, sinal de adição e 300 segundos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 330 segundos. Abaixo, 0.
Seta laranja saindo de 2 graus cortado, indicando 120 minutos.
Seta laranja saindo de 5 graus cortado, indicando 300 segundos.](../resources/images/im_pag082d.png)
d) (13 graus 32 minutos 33 segundos) : 3
![Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha, 13 graus, 32 minutos e 33 segundos e dentro da chave o número 3.
Abaixo da chave, 4 graus. À esquerda, abaixo de 13 graus, 1 grau (cortado por um fio laranja). À direita, embaixo da chave do lado direito de 4 graus, 30 minutos. À esquerda, abaixo de 32 minutos, sinal de adição e 60 minutos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 92 minutos. Abaixo, 2 minutos (cortado por um fio laranja). À direita, embaixo da chave do lado direito de 30 minutos, 51 segundos. À esquerda, abaixo de 33 segundos, sinal de adição e 120 segundos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 153 segundos. Abaixo, 0.
Seta laranja saindo de 1 grau cortado, indicando 60 minutos.
Seta laranja saindo de 2 graus cortado, indicando 120 segundos.](../resources/images/im_pag082e.png)
Atividades
Faça as atividades no caderno.
16. Efetue os cálculos.
a) 25 graus 12 minutos + 37 graus 20 minutos
b) 86 graus 52 minutos 50 segundos + 39 graus 43 minutos 20 segundos
c) 45 graus 12 minutos 37 segundos + 47 graus 49 minutos 38 segundos
d) 42 graus 30 minutos + 47 graus 30 minutos
e) 75 graus 21 minutos ‒ 49 graus 33 minutos
f) 47 graus 39 minutos 25 segundos ‒ 29 graus 31 minutos 45 segundos
g) 80 graus 49 minutos 32 segundos ‒ 73 graus 51 minutos 46 segundos
h) 90 graus ‒ 35 graus 49 minutos 46 segundos
17. Observe a figura a seguir e, depois, responda às questões.
![Ilustração. Cinco semirretas OA, OB, OC, OD e OE partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, as medidas das aberturas dos ângulos AOB, igual a 46 graus e 30 minutos, BOC, igual a 112 graus, 15 minutos e 20 segundos e COD, igual a 21 graus, 14 minutos e 40 segundos.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242618.png)
a) Qual é a medida da abertura do ângulo
AOC?
b) Qual é a medida da abertura do ângulo
BOD?
c) Qual é a medida da abertura do ângulo
AOD?
d) Qual é a medida da abertura do ângulo
AOEse
medida da abertura do ângulo EOD é igual a 133 graus e 30 minutos?
18. Efetue os cálculos.
a) 6 ⋅ (45 graus 12 minutos)
b) 4 ⋅ (12 graus 30 minutos)
c) 7 ⋅ (1 grau 10 minutos 13 segundos)
d) 5 ⋅ (45 graus 12 minutos 56 segundos)
e) 8 ⋅ (25 graus 20 minutos 20 segundos)
f) (98 graus 56 minutos) : 2
g) 15 graus : 8
h) (84 graus 40 minutos 20 segundos) : 2
i) (39 graus 11 minutos 40 segundos) : 2
j) (42 graus 35 minutos 20 segundos) : 8
19. Calcule.
a) O triplo de 47 graus 29 minutos.
b) O quádruplo de 23 graus 19 minutos 15. segundos
c) O sêxtuplo de 20 graus 15 minutos 20. segundos
d) A metade de 97 graus.
e) A terça parte de 98 graus 54 minutos.
f) A quarta parte de 60 graus 40 minutos 20. segundos
20. Observe a figura e efetue os cálculos no caderno.
![Ilustração. Quatro semirretas OA, OB, OC e OD partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, as medidas das aberturas dos ângulos AOB, igual a 36 graus e 20 minutos, BOC, igual a 99 graus, 20 minutos e 40 segundos e COD, igual a 44 graus, 19 minutos e 20 segundos.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242619.png)
a)
medida da abertura do ângulo AOB dividido por 4b)
2 vezes a medida da abertura do ângulo BOCc)
3 vezes a medida da abertura do ângulo CODd)
medida da abertura do ângulo AOC dividido por 8![](../resources/images/im_pg_icone_p2_v7_c3.png)
5 Ângulos congruentes
Observe os ângulos a seguir.
![Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, a medida da abertura do ângulo AOB, igual a 30 graus.](../resources/images/im_0070_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
![Ilustração. Duas semirretas PC e PD partindo da mesma origem, o ponto P. Em destaque, a medida da abertura do ângulo CPD, igual a 30 graus.](../resources/images/im_0071_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Observe que
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo CPD.têm a mesma medida de abertura. Dizemos, então, que
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo CPD.são ângulos congruentes e indicamos:
ângulo AOB sinal de igual com til em cima ângulo CPD(lemos: “ângulo á ó bê é congruente ao ângulo CPD").
Ângulos congruentes são aqueles que têm a mesma medida de abertura.
Construção, com régua e compasso, de um ângulo congruente a outro ângulo dado
Dado o ângulo
Símbolo. Ângulo EOF., vamos construir o ângulo
GHIcongruente a ele. Observe os passos a seguir.
![Ilustração. Duas semirretas OE e OF partindo da mesma origem, o ponto O.](../resources/images/im_0072_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
1º) Traçamos uma semirreta de origem H.
![Ilustração. Semirreta de origem H.](../resources/images/im_0073_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
2º) No ângulo
Símbolo. Ângulo EOF., centramos o compasso em óh e, com uma abertura qualquer, determinamos os pontos M e N sobre as semirretas
Símbolo. Semirreta OE.e
Símbolo. Semirreta OF., respectivamente.
![Ilustração. Duas semirretas OE e OF partindo da mesma origem, o ponto O.
Sobre ponto O, compasso com ponta seca traça um arco e determina o ponto M sobre a semirreta OE e o ponto N sobre a semirreta OF.](../resources/images/im_0075_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
3º) Com a mesma abertura anterior, centramos o compasso em H e traçamos um arco determinando o ponto ih sobre a semirreta.
![Ilustração. Semirreta de origem H.
Sobre ponto H, compasso com ponta seca traça um arco e determina o ponto I sobre a semirreta.](../resources/images/im_063a_g_me7_c06_g.png)
4º) Em seguida, centramos o compasso em ihe, com abertura igual à distância entre M e N, traçamos um novo arco determinando o ponto G, como mostra a figura. Traçamos a semirreta
Símbolo. Semirreta HG., obtendo, assim, o ângulo
GHI.
![Ilustração. Duas semirretas HI e HG partindo da mesma origem, o ponto H. Compasso aberto sobre arco GI.](../resources/images/im_063b_g_me7_c06_g_2.png)
Atividades
Faça as atividades no caderno.
Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso nas atividades 22 e 24.
21. Com o auxílio de um transferidor, meça a abertura dos ângulos da figura. Depois, indique os pares de ângulos congruentes.
![Ilustração. Sete semirretas OA, OB, OC, OD, OE, OF e OG partindo da mesma origem, o ponto O.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242825.png)
a)
ângulo AOBb)
ângulo BOCc)
ângulo CODd)
ângulo DOEe)
ângulo EOFf)
ângulo FOGg)
ângulo AOCh)
ângulo EOAi)
ângulo FOCj)
ângulo EOB22. Observe a figura e, utilizando régua e compasso, construa um ângulo
EDFcongruente a
BACe um ângulo
DFEcongruente a
ACB.
![Ilustração. Triângulo ABC.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242834.png)
23. Verifique, com um transferidor, se o triângulo á bê cê é um triângulo isósceles.
![Ilustração. Triângulo verde ABC.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242835.png)
24. Construa, com o transferidor, um ângulo
POQobtuso. Em seguida, utilizando régua e compasso, construa um ângulo
BACcongruente a
POQ.
25. Com o auxílio de um transferidor, determine no caderno os pares de ângulos congruentes.
![Ilustração. Duas semirretas VS e VT partindo da mesma origem, o ponto V. Em destaque, o ângulo SVT.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242838.png)
![Ilustração. Duas semirretas SR e ST partindo da mesma origem, o ponto S. Em destaque, o ângulo RST.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242839.png)
![Ilustração. Duas semirretas OM e ON partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, o ângulo NOM.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242836.png)
![Ilustração. Duas semirretas QP e QR partindo da mesma origem, o ponto Q. Em destaque, o ângulo PQR.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242840.png)
![Ilustração. Duas semirretas KY e KZ partindo da mesma origem, o ponto K. Em destaque, o ângulo KYZ.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242837.png)
![Ilustração. Duas semirretas OP e OQ partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, o ângulo POQ.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_242841.png)
Versão adaptada acessível
23. Explique como verificar se determinado triângulo é isósceles usando uma régua.
![](../resources/images/im_pg_icone_p2_v7_c3.png)
6 Ângulos consecutivos e adjacentes
Observe na figura os ângulos
Símbolo. Ângulo AOC.,
Símbolo. Ângulo COB.e
Símbolo. Ângulo AOB..
![Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, os ângulos AOC, COB e AOB.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_243541.png)
Os ângulos
Símbolo. Ângulo AOC.e
Símbolo. Ângulo COB.têm em comum o vértice óh e o lado
Símbolo. Semirreta OC.. Os ângulos
Símbolo. Ângulo AOC.e
Símbolo. Ângulo COB.são ângulos consecutivos.
Ângulos consecutivos são aqueles que têm em comum o vértice e um dos lados.
Observe ainda que os ângulos
Símbolo. Ângulo AOC.e
Símbolo. Ângulo COB.não têm pontos internos comuns. Por isso, eles também são chamados ângulos adjacentes.
Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são chamados ângulos adjacentes.
Note que a medida da abertura de
Símbolo. Ângulo AOB.é igual à soma das medidas das aberturas de
Símbolo. Ângulo AOC.e
Símbolo. Ângulo COB..
Observações
1. Retas concorrentes determinam ângulos adjacentes. Confira:
![Ilustração. Reta AC e reta BD se cruzam no centro em O. Destaque para os ângulos BOA, AOD, DOC e COB. São pares de ângulos adjacentes: ângulos AOB e BOC; ângulos BOC e COD; ângulos COD e DOA; ângulos DOA e AOB.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_94164.png)
2. Dos pares de ângulos consecutivos, apenas alguns são adjacentes.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
26. Observe a figura a seguir e indique pares de ângulos adjacentes.
![Ilustração. Cinco semirretas OA, OB, OC, OD e OE partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, os ângulos AOB, BOC, COD e DOE.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_243679.png)
27. Observe a figura e indique:
a) dois ângulos adjacentes ao ângulo
AOB;
b) dois ângulos adjacentes ao ângulo
DOE.
![Ilustração. Reta AD, reta BE e reta CF se cruzam no centro em O.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_243680.png)
28. Determine:
a) a medida de abertura do ângulo
AOBsabendo que
medida da abertura do ângulo AOE é igual a 27 grause que
medida da abertura do ângulo EOB é igual a 23 graus;
![Ilustração. Três semirretas OA, OE e OB partindo da mesma origem, o ponto O.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_243682.png)
b) a medida de abertura do ângulo
EODsabendo que
medida da abertura do ângulo COD é igual a 75 grause que
medida da abertura do ângulo COE é igual a 38 graus.
![Ilustração. Três semirretas OC, OE e OD partindo da mesma origem, o ponto O.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_243681.png)
![](../resources/images/im_pg_icone_p2_v7_c3.png)
7 Ângulos complementares
Observe os ângulos
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo BOC.na figura.
![lustração. Três semirretas OA, OB e OC partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, os ângulos AOB, 30 graus, e BOC, 60 graus.](../resources/images/im_0092_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Dizemos que
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo BOC.são ângulos complementares.
Dois ângulos são complementares quando a soma das medidas de suas aberturas é igual a 90 graus.
Também podemos dizer que
Símbolo. Ângulo AOB.é o complemento de
Símbolo. Ângulo BOC.e que
Símbolo. Ângulo BOC.é o complemento de
Símbolo. Ângulo AOB..
Atividades
Faça as atividades no caderno.
29. Determine a medida da abertura do complemento de cada um dos ângulos cuja medida da abertura está indicada a seguir.
a) 76 graus
b) 0 grau
c) 38 graus
d) 90 graus
e) 36 graus 48 minutos
f) 82 graus 50 minutos
30. Com régua e transferidor, desenhe um triângulo retângulo qualquer. Em seguida, meça a abertura dos ângulos agudos desse triângulo. Os ângulos agudos são ângulos complementares?
31. Calcule a medida de abertura do ângulo
Símbolo. Ângulo BOC..
![Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, o ângulo BOC, ângulo AOC 90 graus e o ângulo AOB, 68 graus.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_243683.png)
32. Dois ângulos são adjacentes complementares, e a abertura de um deles mede 78 graus. Determine a medida da abertura do outro ângulo.
33. Dois ângulos são adjacentes complementares, e a abertura de um deles mede 48 graus 36 minutos 28 segundos. Calcule a medida da abertura do outro ângulo.
![](../resources/images/im_pg_icone_p2_v7_c3.png)
8 Ângulos suplementares
Observe os pares de ângulos
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo BOC.e
ângulo DEFe
Símbolo. Ângulo HIJ.nas figuras a seguir.
![Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, os ângulos AOB, 30 graus, e BOC, 150 graus.
Ilustração. Duas semirretas ED e EF partindo da mesma origem, o ponto E. Em destaque, o ângulo DEF, 138 graus.
Ilustração. Duas semirretas IH e IJ partindo da mesma origem, o ponto I. Em destaque, o ângulo HIJ, 42 graus.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_243684.png)
e
Sentença matemática. Medida de abertura do ângulo DEF mais medida de abertura do ângulo HIJ é igual a 180 graus.Dizemos que
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo BOC.são ângulos suplementares. Os ângulos
Símbolo. Ângulo DEF.e
Símbolo. Ângulo HIJ.também são ângulos suplementares.
Dois ângulos são suplementares quando a soma das medidas de suas aberturas é igual a 180 graus.
Nos exemplos anteriores, também podemos dizer que:
•
Símbolo. Ângulo AOB.é o suplemento de
Símbolo. Ângulo BOC.ou
Símbolo. Ângulo BOC.é o suplemento de
Símbolo. Ângulo AOB..
•
Símbolo. Ângulo DEF.é o suplemento de
Símbolo. Ângulo HIJ.ou
Símbolo. Ângulo HIJ.é o suplemento de
Símbolo. Ângulo DEF..
Atividades
Faça as atividades no caderno.
34. Calcule a medida da abertura do suplemento de cada ângulo cuja medida da abertura está indicada a seguir.
a) 76 graus
b) 30 graus
c) 0 graus
d) 136 graus 48 minutos
e) 90 graus 30 segundos
35. Dois ângulos são adjacentes suplementares e a abertura de um deles mede 106 graus. Determine a medida da abertura do outro ângulo.
36. Calcule a medida da abertura do ângulo
Símbolo. Ângulo BOC..
![Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, o ângulos AOB, 130 graus.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_244187.png)
![](../resources/images/im_pg_icone_p2_v7_c3.png)
9 Ângulos opostos pelo vértice
Considere os ângulos
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo COD.formados pelas retas concorrentes
Símbolo. Reta CA.e
Símbolo. Reta DB.que se interceptam no ponto óh.
![Ilustração. Reta AC e reta BD se cruzam no centro em O. Em destaque, os ângulos AOB e COD.](../resources/images/im_0099_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1_.png)
Os ângulos
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo COD.têm o mesmo vértice, que é o ponto óh, e as semirretas
Símbolo. Semirreta OA.e
Símbolo. Semirreta OB.(lados do ângulo
Símbolo. Ângulo AOB.) são opostas, respectivamente, às semirretas
Símbolo. Semirreta OC.e
Símbolo. Semirreta OD.(lados do ângulo
Símbolo. Ângulo COD.).
Nesse caso, dizemos que
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo COD.são ângulos opostos pelo vértice (indicamos ó pê vê).
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.
Verifique que as retas
Símbolo. Reta CA.e
Símbolo. Reta DB.também definem os ângulos
DOAe
Símbolo. Ângulo COB.. Esses ângulos têm o vértice óh em comum, e as semirretas
Símbolo. Semirreta OD.e
Símbolo. Semirreta OA.são opostas, respectivamente, às semirretas
OB e OC. Então, os ângulos
DOAe
Símbolo. Ângulo COB.também são opostos pelo vértice.
![Ilustração. Reta AC e reta BD se cruzam no centro em O. Em destaque, os ângulos DOA e COB.](../resources/images/im_0099a_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
![Ícone da seção Tecnologia em foco.](../resources/images/im_pg_tecnologia_em_foco_digital.png)
Tecnologias digitais em foco
Ângulos opostos pelo vértice
Nesta seção, você vai utilizar o GeoGebra, ou outro software de geometria dinâmica que seu professor indicar, para construir duas retas concorrentes, identificar os pares de ângulos opostos pelo vértice determinados por essas retas e explorar uma propriedade importante relacionada a esses ângulos.
Construa
Siga os passos a seguir para construir e determinar dois pares de ângulos opostos pelo vértice.
1º) Utilize a ferramenta
![Ilustração. Botão quadrado com uma reta com dois pontos.](../resources/images/im_0172_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
e trace uma reta
AB.
2º) Utilize a ferramenta
![Ilustração. Botão quadrado com uma reta com dois pontos.](../resources/images/im_0172_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
e trace uma reta
CDcruzando a reta
AB.
3º) Utilize a ferramenta
![Ilustração. Botão quadrado com duas linhas que se cruzam e um ponto vermelho no cruzamento dessas linhas.](../resources/images/im_0173_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
e marque o ponto óh, intersecção das retas
ABe
Símbolo. Reta CD..
![Captura de tela. Software de geometria dinâmica. Na parte superior, botões de comandos. Destaque para botão com a letra A e um ponto com aba destacada: intersecção de dois objetos. Abaixo, na tela, reta vertical com ponto C acima e ponto D abaixo. No centro, ponto O. Reta na diagonal com ponto A à esquerda e ponto B à direita cruza reta CD em O.](../resources/images/im_0106_f_mcp7_c03_f2_g24_1.jpg)
Explore
a) Quais pares de ângulos são opostos pelo vértice?
b) Usando a ferramenta
![Ilustração. Botão quadrado com duas semirretas formando ângulo alfa.](../resources/images/im_0174_g_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
, meça a abertura dos pares de ângulos indicados no item anterior. O que podemos observar em relação às medidas das aberturas dos ângulos opostos pelo vértice? Movimente os pontos móveis na construção e verifique o que acontece com as medidas das aberturas dos ângulos.
Propriedade dos ângulos opostos pelo vértice
Observe a figura a seguir.
![Ilustração. Reta AC e reta BD se cruzam no centro em O. Em destaque, os ângulos AOB, AOD, DOC e COB.](../resources/images/im_0101_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Sabemos que:
![Ilustração. Seta apontada para a esquerda](../resources/images/im_seta13mm.png)
ângulos adjacentes suplementares
![Ilustração. Seta apontada para a esquerda](../resources/images/im_seta13mm.png)
ângulos adjacentes suplementares
Então:
Sentença matemática. Medida de abertura do ângulo AOB mais medida de abertura do ângulo AOD é igual a medida de abertura do ângulo COD mais medida de abertura do ângulo AOD.Logo:
medida da abertura do ângulo AOB é igual a medida da abertura do ângulo CODOs ângulos
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo COD.têm a mesma medida de abertura e são opostos pelo vértice ( ó pê vê). De maneira análoga, podemos verificar que
medida da abertura do ângulo AOD é igual a medida da abertura do ângulo COB, e estes ângulos também são ó pê vê
Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida de abertura, isto é, são congruentes.
Os ângulos
Símbolo. Ângulo AOB.e
Símbolo. Ângulo EOF., na figura, são opostos pelo vértice e
![Ilustração. Quadradinho laranja](../resources/images/im_025_044_mcp6_c01_f2_g24_group_261030-1.png)
indica uma medida de abertura de ângulo (em grau). Utilizando a propriedade dos ângulos opostos pelo vértice, podemos determinar o valor do
![Ilustração. Quadradinho laranja](../resources/images/im_025_044_mcp6_c01_f2_g24_group_261030-1.png)
. Assim:
![Ilustração. Quadradinho laranja](../resources/images/im_025_044_mcp6_c01_f2_g24_group_261030-1.png)
+ 5 graus = 35 graus
![Ilustração. Quadradinho laranja](../resources/images/im_025_044_mcp6_c01_f2_g24_group_261030-1.png)
+ 5 graus ‒ 5 graus = 35 graus ‒ 5 graus
![Ilustração. Quadradinho laranja](../resources/images/im_025_044_mcp6_c01_f2_g24_group_261030-1.png)
= 30 graus
![Ilustração. Reta AF e reta BE se cruzam no centro em O. Em destaque, os ângulos AOB, 35 graus e EOF, quadradinho laranja mais 5 graus.](../resources/images/im_0102_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Atividades
Faça as atividades no caderno.
37. Observe a figura e determine três pares de ângulos opostos pelo vértice e três pares de ângulos adjacentes suplementares.
![Ilustração. Reta AD, reta BE e reta CF se cruzam no centro em O.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_244731.png)
38. Reescreva no caderno as sentenças verdadeiras.
a) Dois ângulos opostos pelo vértice nunca são suplementares.
b) Dois ângulos adjacentes e suplementares formam um ângulo raso.
c) O suplemento de um ângulo reto é um ângulo reto.
39. Nas figuras a seguir,
![Ilustração. Quadradinho laranja](../resources/images/im_025_044_mcp6_c01_f2_g24_group_261030-1.png)
indica uma medida de abertura de ângulo (em grau). Determine o valor do
![Ilustração. Quadradinho laranja](../resources/images/im_025_044_mcp6_c01_f2_g24_group_261030-1.png)
em cada caso.
a)
![Ilustração. Duas retas que se cruzam. Em destaque, dois ângulos. A medida de abertura do ângulo acima é 150 graus e a medida de abertura do ângulo abaixo é 90 graus mais quadradinho laranja.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_244729.png)
b)
![Ilustração. Duas retas que se cruzam. Em destaque, dois ângulos. A medida de abertura do ângulo do lado esquerdo é 80 graus e a medida de abertura do ângulo do lado direito é quadradinho laranja mais 30 graus.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_244728.png)
![](../resources/images/im_pg_icone_p2_v7_c3.png)
10 Ângulos formados por duas retas cortadas por uma transversal
Observe as retas a seguir.
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando as retas r e s, a reta t.](../resources/images/im_0107_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
Como todas elas se cruzam, podemos dizer que são concorrentes. Observe que a reta t cruza as retas r e s; dessa fórma, dizemos que a reta t é transversal a r e s.
Toda reta transversal corta duas ou mais retas em pontos distintos.
No encontro das duas retas com a transversal, ficam determinados oito ângulos com vértices nos pontos de intersecção. Analise este exemplo, em que t é transversal às retas r e s.
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, ângulos formados pelas retas t e r: a, b, c e d. E ângulos formados pelas retas t e s: e, f, g e h.](../resources/images/im_097_g_nova_mcp7_c03_g20.png)
De acordo com a posição que ocupam, esses ângulos são classificados, dois a dois, com nomes especiais.
Ângulos alternos internos
•
ângulo ce
ângulo e•
ângulo de
ângulo f![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, o ângulo c, formado pelas retas t e r, e o ângulo f, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_0109_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, abaixo da reta r e à esquerda da reta t, o ângulo d, formado pelas retas t e r. Acima da reta s e à direita da reta t, o ângulo f, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_109_g_nova_mcp7_c03_g20.png)
Ângulos alternos externos
•
ângulo a e ângulo g•
ângulo b e ângulo h
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, acima da reta r e à esquerda da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta s e à direita da reta t, o ângulo g, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_100_g_nova_mcp7_c03_g20.png)
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta s e à esquerda da reta t, o ângulo h, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_0112_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Ângulos correspondentes
•
ângulo ae
ângulo e•
ângulo be
ângulo f![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, acima da reta r e à esquerda da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Acima da reta s e à esquerda da reta t, o ângulo e, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_102_g_nova_mcp7_c03_g20.png)
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e r. Acima da reta s e à direita da reta t, o ângulo f, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_0114_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
•
ângulo c e ângulo g•
ângulo d e ângulo h
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, abaixo da reta r e à direita da reta t, o ângulo c, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta s e à direita da reta t, o ângulo g, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_0115_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, abaixo da reta r e à esquerda da reta t, o ângulo d, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta s e à esquerda da reta t, o ângulo h, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_0116_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Ângulos colaterais externos
•
ângulo a e ângulo h•
ângulo b e ângulo g
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, acima da reta r e à esquerda da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta s e à esquerda da reta t, o ângulo h, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_106_g_nova_mcp7_c03_g20.png)
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta s e à direita da reta t, o ângulo g, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_0118_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
Ângulos colaterais internos
•
ângulo c e ângulo f•
ângulo d e ângulo e
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, abaixo da reta r e à esquerda da reta t, o ângulo d, formado pelas retas t e r. Acima da reta s e à direita da reta t, o ângulo f, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_0119_g_mcp7_c03_f2_g24_rec_1.png)
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, o ângulo d, formado pelas retas t e r, e o ângulo e, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_109_g1_nova_mcp7_c03_g20.png)
Atividades
Faça as atividades no caderno.
40. Na figura a seguir, a reta t é transversal às retas r e s.
![Ilustração. Retas r e s cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta t e à esquerda da reta s, o ângulo m, formado pelas retas t e s. Acima da reta t e à direita da reta s, o ângulo n, formado pelas retas t e s. Acima da reta t e à direita da reta r, o ângulo c, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta t e à esquerda da reta r, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta t e à direita da reta r, o ângulo b, formado pelas retas t e r.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_244485.png)
Agora, identifique:
a) dois ângulos opostos pelo vértice;
b) dois ângulos alternos internos;
c) dois ângulos correspondentes;
d) dois ângulos colaterais externos;
e) dois ângulos alternos externos.
41. Com o auxílio de um transferidor, meça a abertura dos ângulos formados pelas retas paralelas r e s cortadas pela transversal t.
![Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, os ângulos a, b, c e d formados pelas retas t e r, e os ângulos e, f, g e h formados pelas retas t e s.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_244486.png)
Agora, responda às questões no caderno.
a) Quais deles têm a mesma medida de abertura?
b) O que você pode afirmar sobre as medidas de abertura dos ângulos correspondentes?
c) O que você pode afirmar sobre as medidas de abertura dos ângulos alternos?
d) Nesse caso, qual é a relação entre os ângulos colaterais?
42. Observe a representação de um bairro com algumas ruas destacadas.
![Ilustração. Vista de cima de um bairro com quarteirões e árvores. Em destaque, na horizontal: Avenida Matemática. Na diagonal, a Rua Geografia, a Rua História e a Rua Ciências cortadas pela Avenida Matemática.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_132714.png)
Considerando as ruas destacadas, qual é o nome da via transversal às ruas Geografia, História e Ciências?
Versão adaptada acessível
41. Desenhe um par de retas paralelas r e s cortadas por uma transversal t. Depois, com a ajuda de um transferidor, meça a abertura dos ângulos formados por essas retas e identifique os pares de ângulos correspondentes, alternos internos, alternos externos, colaterais internos e colaterais externos.
Agora, responda às questões.
a) Quais deles têm a mesma medida de abertura?
b) Quais pares de ângulos são suplementares?
Relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal
Ângulos correspondentes
Considere as retas r e s paralelas entre si e uma transversal t que as intercepta, conforme a figura a seguir.
![Ilustração. Retas r e s paralelas, na horizontal, cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Acima da reta s e à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_098_g_me8_c05_g_rec.png)
r⫽s
t : transversal
Os ângulos
ae
bsão correspondentes.
![Ícone da seção Tecnologia em foco.](../resources/images/im_pg_tecnologia_em_foco_digital.png)
Tecnologias digitais em foco
Relação entre ângulos correspondentes
Vamos utilizar o GeoGebra, ou outro software de geometria dinâmica que seu professor indicar, para investigar a relação entre as medidas das aberturas dos ângulos correspondentes formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.
Construa
Siga os passos a seguir para construir duas retas paralelas cortadas por uma transversal.
1º) Utilize a ferramenta
![Ilustração. Botão quadrado com uma reta com dois pontos.](../resources/images/im_0172_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
e trace uma reta
AB.
2º) Utilize a ferramenta
![Ilustração. Botão quadrado com duas linhas paralelas, uma azul e outra vermelha com um ponto azul.](../resources/images/im_0175_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
e trace uma reta
CDparalela a
AB.
3º) Utilize a ferramenta
![Ilustração. Botão quadrado com uma reta com dois pontos.](../resources/images/im_0172_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
e trace uma reta
Símbolo. Reta EF.que cruze as retas paralelas
ABe
CD.
4º) Utilize a ferramenta
![Ilustração. Botão quadrado com duas linhas que se cruzam e um ponto vermelho no cruzamento dessas linhas.](../resources/images/im_0173_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
e marque o ponto G, intersecção das retas
ABe
Símbolo. Reta EF..
5º) Utilize a ferramenta
![Ilustração. Botão quadrado com duas linhas que se cruzam e um ponto vermelho no cruzamento dessas linhas.](../resources/images/im_0173_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
e marque o ponto H, intersecção das retas
CDe
Símbolo. Reta EF..
![Captura de tela. Software de geometria dinâmica. Na parte superior, botões de comandos. Destaque para botão com uma reta e dois pontos com aba destacada: Reta. Abaixo, na tela, duas retas paralelas: AB e CD. Cortando essas retas, a reta EF.Ponto G na intersecção das retas AB e EF.Ponto H na intersecção das retas CD e EF.](../resources/images/im_0139_f_mcp7_c03_f2_g24_1.jpg)
Explore
a) Identifique os pares de ângulos correspondentes obtidos na construção anterior.
b) Utilize a ferramenta
![Ilustração. Botão quadrado com duas semirretas formando ângulo alfa.](../resources/images/im_0174_g_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
e meça a abertura dos pares de ângulos correspondentes que você identificou no item anterior. O que você pode afirmar sobre as medidas das aberturas dos pares de ângulos correspondentes?
c) Movimente os pontos móveis da construção alterando a posição das retas e observe o que acontece com as medidas das aberturas dos ângulos. As relações percebidas na atividade anterior continuam válidas quando mudamos a posição das retas e, consequentemente, as medidas das aberturas dos ângulos?
Agora, observe como Júlio fez para verificar que ângulos correspondentes são congruentes.
1º) Júlio usou um papel vegetal e fez um decalque do ângulo
a.
![Ilustração. Retas r e s paralelas, na horizontal, cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Acima da reta s, à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e s.
Mão de uma pessoa com um lápis sobre a reta t próximo ao ângulo a. Papel vegetal na horizontal sobre ângulo a.](../resources/images/im_099_g_me8_c05_g.png)
2º) Colocou o decalque sobre o ângulo
be percebeu que os dois possuem a mesma medida de abertura.
![Ilustração. Retas r e s paralelas, na horizontal, cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Acima da reta s, à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e s.
Papel vegetal na horizontal sobre ângulo b.](../resources/images/im_100_g_me8_c05_g.png)
Com a sobreposição, é possível perceber que os ângulos
ae
bsão congruentes.
Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam ângulos correspondentes congruentes.
A recíproca também é verdadeira: se os ângulos correspondentes forem congruentes, as retas r e s serão paralelas.
Ângulos alternos internos e ângulos alternos externos
Observe a figura a seguir, em que os ângulos
ce
bsão ângulos alternos internos.
![Ilustração. Retas r e s paralelas, na horizontal, cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta r, à esquerda da reta t, o ângulo c, formado pelas retas t e r. Acima da reta s, à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_104_g_me8_c05_g_rec.png)
Sendo r⫽s, temos:
•
Símbolo. Ângulo a congruente ao ângulo b., pois são ângulos correspondentes;
•
Símbolo. Ângulo c congruente ao ângulo a., pois são ângulos o.p.v.
Logo, podemos afirmar que
Símbolo. Ângulo c congruente ao ângulo b..
Agora, analise a figura a seguir, em que os ângulos
ae
csão ângulos alternos externos.
![Ilustração. Retas r e s paralelas, n horizontal, cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta s, à esquerda da reta t, o ângulo c, formado pelas retas t e s. Acima da reta s, à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_106_g_me8_c05_g_rec.png)
Sendo r⫽s, temos:
•
Símbolo. Ângulo a congruente ao ângulo b., pois são ângulos correspondentes;
•
Símbolo. Ângulo c congruente ao ângulo b., pois são ângulos o.p.v.
Logo, podemos afirmar que
Símbolo. Ângulo c congruente ao ângulo a..
Duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, determinam ângulos alternos (internos ou externos) congruentes.
Ângulos colaterais internos e ângulos colaterais externos
Observe a figura a seguir, em que os ângulos
ae
csão colaterais internos.
![Ilustração. Retas r e s paralelas, na horizontal, cortadas pela reta t. Em destaque, abaixo da reta r e à direita da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Acima da reta s, à esquerda da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e s. Acima da reta s, à direita da reta t, o ângulo c, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_107_g_me8_c05_g_rec.png)
Sendo r⫽s, temos:
•
Símbolo. Ângulo a congruente ao ângulo b., pois são ângulos alternos internos;
•
medida da abertura do ângulo b mais medida da abertura do ângulo c é igual a 180 graus, pois são ângulos adjacentes suplementares.
Logo, podemos afirmar que
ae
csão suplementares.
Agora, de acordo com a figura a seguir, temos que os ângulos
ae
csão colaterais externos.
![Ilustração. Retas r e s paralelas, na horizontal, cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Acima da reta s, à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e s. Abaixo da reta s, à direita da reta t, o ângulo c, formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_109_g_me8_c05_g_rec.png)
Sendo r⫽s, temos:
•
Símbolo. Ângulo a congruente ao ângulo b., pois são ângulos correspondentes;
•
medida da abertura do ângulo b mais medida da abertura do ângulo c é igual a 180 graus, pois são ângulos adjacentes suplementares.
Logo, podemos afirmar que
medida da abertura do ângulo a mais medida da abertura do ângulo c é igual a 180 graus.
Duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, determinam ângulos colaterais (internos ou externos) suplementares.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
43. Podemos afirmar que as retas r e s são paralelas? Por quê?
![Ilustração. Duas retas paralelas, r e s. Régua na horizontal cortando as retas. Abaixo da régua, dois esquadros. O esquadro da esquerda está com o lado maior coincidindo com a reta r e o esquadro da direita está com o lado maior coincidindo com a reta s.
Ambos esquadros formam ângulos com medida de abertura de 60 graus com a régua.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245010.png)
44. Na figura a seguir, r e s são paralelas e t e u são transversais. Quais são as medidas a, b, c e d das aberturas dos ângulos a seguir.
![Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pelas retas t e u. As retas t e u cortam a reta r no mesmo ponto. Em destaque, abaixo da reta r, o ângulo a (menor que 90 graus) formado pelas retas r e t, o ângulo b (menor que 90 graus) formado pelas retas r, t e u, e o ângulo de 40 graus formado pelas retas r e u. Acima da reta s, o ângulo de 70 graus formado pelas retas t e s e os ângulos c (menor que 90 graus) e d (maior que 90 graus) formados pelas retas u e s.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245026.png)
45. Sendo r⫽s, determine as medidas a, b e c das aberturas dos ângulos a seguir.
a)
![Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, o ângulo de 60 graus formado pelas retas t e r, e o ângulo a (menor que 90 graus) e b (maior que 90 graus) formados pelas retas t e s.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245025.png)
b)
![Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, os ângulos a e 134 graus formados pelas retas t e r, e os ângulos b (menor que 90 graus) e c (maior que 90 graus) formados pelas retas t e s.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245046.png)
46. Na figura a seguir, as retas u, v e w são paralelas cortadas por uma transversal t. Determine, em grau, as medidas x, y e s das aberturas dos ângulos.
![Ilustração. Retas u, v e w paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, o ângulo z (maior que 90 graus) formado pelas retas t e u, o ângulo de 50 graus formado pelas retas t e v e os ângulos x e y (menores que 90 graus), opostos pelo vértice, formados pelas retas t e w.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245027.png)
47. Sabendo que as retas r e s são paralelas, determine as medidas x e y das aberturas dos ângulos de cada item.
a)
![Ilustração. Retas r e s paralelas. Acima, reta r cortada por segmento de reta. Em destaque, o ângulo x (menor que 90 graus) formado pela reta r e o segmento de reta.
Abaixo, reta s cortada por outro segmento de reta. Em destaque, os ângulos opostos pelo vértice y e 40 graus formados pela reta s e esse segmento de reta.
Os dois segmentos de retas que cortam as retas r e s, tem origem comum entre as duas retas e o ângulo formado pelos segmentos de reta é de 85 graus.
Uma linha tracejada e paralela às retas r e s passa pela origem dos segmentos de reta.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245032.png)
b)
![Ilustração. Retas r e s paralelas. À esquerda, reta r cortada por segmento de reta. Em destaque, os ângulos x e 50 graus formados pela reta r e o segmento de reta.
À direita, reta s cortada por outro segmento de reta. Em destaque, o ângulo de 38 graus formado pela reta s e esse segmento de reta.
Os dois segmentos de retas que cortam as retas r e s, tem origem comum entre as duas retas e o ângulo formado pelos segmentos de reta é y.
Uma linha tracejada e paralela às retas r e s passa pela origem dos segmentos de reta.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245040.png)
48. As retas u, r e s são paralelas cortadas por uma transversal t. Quais são as medidas x e y das aberturas dos ângulos a seguir?
![Ilustração. Retas u, r e s paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta t, o ângulo x (menor que 90 graus) formado pelas retas t e u, o ângulo y (maior que 90 graus) formado pelas retas t e r. Abaixo da reta t, o ângulo de 50 graus formado pelas retas t e s.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245018.png)
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Faça as atividades no caderno.
Retas
Uma reta é formada por infinitos pontos distintos, dispostos em uma única direção, e suas extremidades indicam que ela se prolonga infinitamente nos dois sentidos.
![Ilustração. Reta r com pontos A e B.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245647.png)
Reta r ou
Símbolo. Reta AB.Semirreta e segmento de reta
![Ilustração. Semirreta OA.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245651.png)
Semirreta
Símbolo. Semirreta OA.![Ilustração. Segmento de reta AB.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245650.png)
Segmento de reta
Símbolo. Segmento de reta AB.Posições relativas entre duas retas em um mesmo plano
Retas paralelas: quando não possuem pontos em comum.
![Ilustração. Plano alfa com duas retas paralelas r e s.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245644.png)
Retas concorrentes: quando possuem um único ponto em comum.
![lustração. Plano alfa com duas retas r e s que se cortam em O.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245643.png)
Retas perpendiculares: retas concorrentes que formam quatro ângulos retos.
![Ilustração. Plano alfa com duas retas, r e s que se cruzam no centro, formando 4 ângulos retos (sinal indicativo de ângulo reto).](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245642.png)
1. Observe a figura a seguir.
![Ilustração. Retas paralelas, r e s cortadas por duas retas t e u. Em destaque, 4 ângulos retos formados pelas retas t e r e 4 ângulos retos formados pelas retas t e s.
Os ângulos formados pelas retas u e r e os ângulos formados pelas retas u e s não são retos.](../resources/images/im_0140_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
Agora, identifique e escreva no caderno:
a) um par de retas paralelas;
b) dois pares de retas concorrentes;
c) dois pares de retas perpendiculares.
2. No caderno, desenhe a representação de um par de retas paralelas e a representação de um par de retas perpendiculares.
O ângulo e seus elementos
Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem com uma das regiões do plano limitada por elas.
![Ilustração. Duas semirretas OA (lado) e OB (lado) partindo da mesma origem, o ponto O (vértice). Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245645.png)
Os lados de um ângulo são as semirretas que o determinam, e o vértice é a origem comum dessas semirretas.
3. Para cada um dos itens a seguir, indique no caderno o ângulo, seu vértice e seus lados.
a)
![Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_0142a_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
b)
![Ilustração. Duas semirretas OG e OD partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_0142b_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
Medida da abertura de um ângulo
Podemos utilizar como unidade de medida da abertura de um ângulo o grau ( grau).
A unidade de medida grau tem submúltiplos: o minuto e o segundo. Indicamos 1 minuto por 1’ e 1 segundo por 1”.
• 1 minuto é
Sentença matemática. Fração 1 sessenta avos.do grau, ou seja, 1 grau é igual a 60 minutos:
1 grau = 60 minutos
• 1 segundo é
Sentença matemática. Fração 1 sessenta avos.do minuto, ou seja, 1 minuto é igual a 60 segundos:
1’ = 60 segundos
Como medir a abertura de um ângulo utilizando o transferidor
![Ilustração. Transferidor de 180 graus. No centro, ponto O. Semirreta horizontal OB em 0 grau e outra semirreta OA em 65 graus.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_245653.png)
Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso
Ângulo reto: é aquele que tem medida de abertura igual a 90 graus.
Ângulo agudo: é o ângulo que tem medida de abertura maior que 0 grau e menor que 90 graus.
Ângulo obtuso: é o ângulo que tem medida de abertura maior que 90 graus e menor que 180 graus.
4. Com um transferidor, meça e registre no caderno a medida da abertura de cada um dos ângulos.
a)
![Ilustração. Duas semirretas de mesma origem. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_0143_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
b)
![Ilustração. Duas semirretas de mesma origem. Destaque para o ângulo interno.](../resources/images/im_0145_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
5. Com o auxílio de uma régua e de um transferidor, construa no caderno os ângulos solicitados e, depois, classifique-os em agudo, obtuso, reto ou raso.
a) Ângulo
Símbolo. Ângulo AOB.cuja abertura mede 50 graus.
b) Ângulo
Símbolo. Ângulo COD.cuja abertura mede 120 graus.
c) Ângulo
Símbolo. Ângulo EOF.cuja abertura mede 180 graus.
d) Ângulo
Símbolo. Ângulo GOH.cuja abertura mede 90 graus.
6. Transforme as unidades das medidas indicadas de acordo com o pedido de cada item:
a) 32 graus em minuto;
b) 15 graus 30 minutos em segundo;
c) 192 minutos em grau e minuto;
d) 25 graus 18 minutos em segundo;
e) .180318 segundos em grau, minuto e segundo;
Operações com medidas de abertura de ângulos
Adição
30 graus 18 minutos + 45 graus 30 minutos
![Algoritmo usual da adição envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
Na primeira linha, 30 graus e 18 minutos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de adição e à direita, 45 graus e 30 minutos,
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 75 graus e 48 minutos.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_table_67239.png)
Subtração
45 graus 30 minutos ‒ 30 graus 18 minutos
![Esquema. Algoritmo da subtração envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
Na primeira linha, 45 graus e 30 minutos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita, 30 graus e 18 minutos,
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 15 graus e 12 minutos.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_table_67274.png)
Multiplicação
4 ∙ (15 graus 12 minutos)
![Esquema. Algoritmo usual da multiplicação envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
Na primeira linha, 15 graus e 12 minutos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 4.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 60 graus e 48 minutos.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_table_67321.png)
Divisão
(40 graus 20 minutos) : 2
![Esquema. Algoritmo da divisão envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
O dividendo é 40 graus e 20 minutos, o divisor é 2, o quociente é 20 graus e 10 minutos e o resto é 0.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_table_67362.png)
7. Efetue os cálculos.
a) 35 graus 18 minutos + 42 graus 15 minutos
b) 75 graus 32 minutos 41 segundos + 56 graus 48 minutos 35 segundos
c) 68 graus 46 minutos ‒ 51 graus 39 minutos
d) 89 graus ‒ 76 graus 36 minutos 12 segundos
e) 4 ∙ (28 graus 15 minutos)
f) 7 ∙ (12 graus 45 minutos 17 segundos)
g) (72 graus 45 minutos 15 segundos) : 3
h) (48 graus 45 minutos 20 segundos) : 8
Ângulos congruentes
Ângulos congruentes são aqueles que têm a mesma medida de abertura.
![Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo interno de 70 graus.
Ilustração. Duas semirretas OM e ON partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo interno de 70 graus.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_246325.png)
8. Com o auxílio de um transferidor, determine as medidas das aberturas dos ângulos
Símbolo. Ângulo AOB.,
Símbolo. Ângulo BOC.,
Símbolo. Ângulo COD.,
ângulo DOE,
Símbolo. Ângulo AOC.,
ângulo AODe
ângulo COE. Depois, indique os ângulos congruentes.
![Ilustração. Cinco semirretas OA, OB, OC, OD e OE partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, os ângulos AOB, BOC, COD e DOE.](../resources/images/im_0149_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
Ângulos consecutivos e adjacentes
Ângulos consecutivos são aqueles que têm em comum o vértice e um dos lados.
Os ângulos
Símbolo. Ângulo AOC.e
Símbolo. Ângulo COB.são consecutivos.
![Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, os ângulos AOC, COB e AOB.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_246328.png)
Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são chamados ângulos adjacentes.
Os ângulos
Símbolo. Ângulo AOC.e
Símbolo. Ângulo COB.são ângulos adjacentes.
9. Observe a figura e indique três pares de ângulos adjacentes.
![Ilustração. Quatro semirretas OA, OB, OC e OD partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, os ângulos AOB, BOC e COD.](../resources/images/im_0151_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma das medidas de suas aberturas é igual a 90 grau.
![Ilustração. Duas semirretas BA e BC partindo da mesma origem, o ponto B. Destaque para o ângulo interno de 35 graus.
Ilustração. Duas semirretas KJ e KL partindo da mesma origem, o ponto K. Destaque para o ângulo interno de 55 graus.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_246326.png)
10. Determine a medida da abertura do complemento de cada um dos ângulos cuja medida da abertura está indicada a seguir.
a) 46 grau
b) 65 grau
c) 35 grau 18’
d) 62 grau 18’
e) 75 grau 22’
f) 18 grau 50’
11. Dois ângulos são adjacentes complementares, e a abertura de um deles mede 4618 grau’ 39”. Determine a medida da abertura do outro ângulo.
Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma das medidas de suas aberturas é igual a 180 grau.
![Ilustração. Duas semirretas ED e EF partindo da mesma origem, o ponto E. Destaque para o ângulo interno de 140 graus.
Ilustração. Duas semirretas SR e ST partindo da mesma origem, o ponto S. Destaque para o ângulo interno de 40 graus.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_246327.png)
12. Determine a medida da abertura do suplemento de cada um dos ângulos cuja medida da abertura está indicada a seguir.
a) 62 grau
b) 80 grau
c) 118 grau 50’
d) 29 grau 18’
e) 125 grau 48’ 42”
f) 90 grau 30’ 12”
Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.
![Ilustração. Reta AC e reta BD se cruzam no centro em O. Em destaque, os ângulos AOB e COD.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_246329.png)
Propriedade dos ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida de abertura, isto é, são congruentes.
Na figura deste tópico, podemos observar que:
13. Observe a figura e identifique três pares de ângulos opostos pelo vértice.
![Ilustração. Reta AD, reta BE e reta CF se cruzam no centro em O.](../resources/images/im_0153_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
14. Determine o valor de
![Ilustração. Quadradinho laranja](../resources/images/im_025_044_mcp6_c01_f2_g24_group_261030-1.png)
em cada figura.
a)
![Ilustração. Duas retas que se cruzam. Em destaque, dois ângulos opostos pelo vértice. A medida de abertura do ângulo acima é 155 graus e a medida de abertura do ângulo abaixo é 120 graus mais quadradinho laranja.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_246330.png)
b)
![Ilustração. Duas retas que se cruzam. Em destaque, dois ângulos opostos pelo vértice. A medida de abertura do ângulo à esquerda é 110 graus e a medida de abertura do ângulo à direita é quadradinho laranja mais 35 graus.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_246331.png)
Ângulos formados por duas retas cortadas por uma transversal
Toda reta transversal corta duas ou mais retas em pontos distintos.
No encontro das duas retas com a transversal, ficam determinados oito ângulos com vértices nos pontos de intersecção.
![Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, ângulos formados pelas retas t e r: a, b, c e d. E ângulos formados pelas retas t e s: e, f, g e h.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_246333.png)
De acordo com a posição que ocupam, esses ângulos são classificados, dois a dois, com nomes especiais.
Ângulos alternos internos:
ae
g;
be
hÂngulos alternos externos:
de
f;
ce
eÂngulos correspondentes:
ae
e;
be
f;
ce
g;
de
hÂngulos colaterais externos:
de
e;
ce
fÂngulos colaterais internos:
ae
h;
be
gRelações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal
• Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam ângulos correspondentes congruentes.
• Duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, determinam ângulos alternos (internos ou externos) congruentes.
• Duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, determinam ângulos colaterais (internos ou externos) suplementares.
15. Na figura a seguir, r e s são retas paralelas e t e u são retas transversais. Quais são as medidas a, b, c e d das aberturas dos ângulos a seguir.
![Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pelas retas t e u. As retas t e u cortam a reta r no mesmo ponto. Em destaque, abaixo da reta r, o ângulo c (menor que 90 graus) formado pelas retas r e t, o ângulo d (menor que 90 graus) formado pelas retas r, t e u, e o ângulo de 50 graus formado pelas retas r e u. Abaixo da reta s, o ângulo de 80 graus formado pelas retas t e s. Acima da reta s, os ângulos a (menor que 90 graus) e b (maior que 90 graus) formados pelas retas u e s.](../resources/images/im_0156_i_mcp7_c03_f2_g24_1.png)
16. Sabendo que as retas r e s são paralelas, determine as medidas x e y das aberturas dos ângulos de cada item.
a)
![Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, o ângulo y (maior que 90 graus) formado pelas retas s e t, o ângulo x (menor que 90 graus) formado pelas retas s e t e o ângulo de 154 graus formado pelas retas r e t.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_246347.png)
b)
![Ilustração. Retas r e s paralelas. Acima, reta r cortada por segmento de reta. Em destaque, o ângulo y (menor que 90 graus) formado pela reta r e o segmento de reta.
Abaixo, reta s cortada por outro segmento de reta. Em destaque, os ângulos opostos pelo vértice x e 30 graus formados pela reta s e esse segmento de reta.
Os dois segmentos de retas que cortam as retas r e s, tem origem comum entre as duas retas e o ângulo formado pelos segmentos de reta é de 66 graus.](../resources/images/im_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_246348.png)
É hora de extrapolar
Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso na atividade 6.
Faça as atividades no caderno.
Você considera sua alimentação saudável?
Uma boa nutrição é fundamental para a saúde, o bem-estar e a qualidade de vida de todos. É importante escolher os alimentos que serão consumidos de fórma consciente e equilibrada. Na adolescência, os bons hábitos alimentares são essenciais para o desenvolvimento físico e mental, além de contribuírem para uma vida adulta saudável. Assim, nessa fase, alimentar-se bem deve ser prioridade.
Objetivos: Pesquisar sobre a composição e os hábitos de uma alimentação saudável, elaborar cartazes com informações e incentivos e realizar campanha na comunidade escolar para a promoção do consumo de alimentos saudáveis.
![Ícone de atividade em Grupo.](../resources/images/im_pg_icone_grupo_12.png)
Etapa 1: Pesquisa sobre a composição e os hábitos de uma alimentação saudável
1. Reúnam-se em grupo e anotem, em uma lista, as ideias iniciais do que vocês consideram ser hábitos alimentares saudáveis.
2. Pesquisem em sites, em livros especializados em alimentação ou nutrição ou em revistas sobre saúde o que constitui uma alimentação saudável. A pesquisa deve contemplar tipos de nutrientes que devem ser consumidos, quantidades necessárias, alimentos que fornecem esses nutrientes e hábitos que devem ser adotados.
3. Comparem o resultado da pesquisa feita na atividade 2 com a lista elaborada na atividade 1.
a) Alguma informação obtida na pesquisa não estava na lista das ideias iniciais? Se sim, qual ou quais?
b) Algum item da lista das ideias iniciais não pode ser considerado parte de bons hábitos alimentares?
4. Uma pesquisa realizada com estudantes do 7º ano em fevereiro de 2023 apresentou dados sobre seus hábitos alimentares, conforme consta no gráfico a seguir.
![Gráfico em barras verticais. PORCENTAGEM DE ESTUDANTES DO 7º ANO QUE CONSOMEM ALIMENTOS COM MARCADORES DE ALIMENTAÇÃO SAUDÁVEL E NÃO SAUDÁVEL. No eixo x, alimentos. Eixo y, escala de 0 a 70%. OS dados são: MAS (marcadores de alimentação saudável). Feijão: 60%. Legumes: 38%. Frutas frescas: 32%. MANS (marcadores de alimentação não saudável). Salgados fritos: 15%. Guloseimas: 42%. Refrigerantes: 28%. Ultraprocessados salgados: 31%.](../resources/images/im_ld_075_miolo_le_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_247779.png)
Analisem o gráfico e façam o que se pede.
a) Nessa pesquisa, os alimentos considerados marcadores de alimentação não saudável são:
• salgados fritos: coxinha de galinha, quibe, pastel, acarajé, batata frita (exceto batata de pacote);
• guloseimas: doces em geral, como balas, chocolates, chicletes, bombons e pirulitos;
• refrigerantes;
• ultraprocessados salgados: hambúrguer, presunto, mortadela, salame, linguiça, salsicha, macarrão instantâneo, salgadinho de pacote, biscoitos salgados.
Pesquisem o motivo pelo qual esses alimentos são considerados não saudáveis, destacando o que acontece em caso de consumo excessivo.
b) Muitas pessoas consomem os alimentos listados no item a em excesso mesmo sabendo que são considerados não saudáveis. Por que isso acontece?
![Ícone de atividade em Grupo.](../resources/images/im_pg_icone_grupo_12.png)
Etapa 2: Pesquisa e análise de dados sobre a conservação de alimentos Pesquisa e análise de dados sobre a conservação de alimentos
5. Além da escolha de alimentos, é importante que eles sejam conservados e preparados de modo correto. O resfriamento e o congelamento são formas muito utilizadas para aumentar o tempo de conservação dos alimentos.
a) Pesquisem os motivos pelos quais o resfriamento e o congelamento ajudam a conservar os alimentos.
b) Observem a tabela a seguir.
Tipo de armazenagem |
Tipo de alimento |
Medida da temperatura |
---|---|---|
Congelamento |
Qualquer alimento |
Menor ou igual a ‒18 °C |
Refrigeração |
Hortifrúti, leite e derivados |
Até 10 °C |
Carne |
Até 4 °C |
|
Pescados |
Até 2 °C |
Dados obtidos em: https://oeds.link/0p9hiu. Acesso em: 12 maio 2022.
Representem as medidas de temperatura em uma reta numérica, indicando os intervalos correspondentes a cada tipo de alimento e considerando que os alimentos refrigerados ficam a medidas de temperatura maiores que 0 . grau Célsius
c)
![Ícone de atividade oral.](../resources/images/im_pg_icone_oral_12.png)
Você já sabe responder às questões feitas na abertura desta Unidade? Converse com os colegas.
![Ícone de atividade em Grupo.](../resources/images/im_pg_icone_grupo_12.png)
Etapa 3: Elaboração de cartazes
6. Analisem as imagens a seguir, que mostram qual deve ser a proporção entre os alimentos em uma refeição considerada saudável.
![Fotografia. Vista de cima de um prato redondo. Metade do prato tem legumes e verduras. Um quarto do prato tem arroz e o outro um quarto está dividida em carne e feijão. No canto superior direito, duas fatias de abacaxi.](../resources/images/im_ld_075_miolo_le_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_247387.png)
![Gráfico de setores. Metade do gráfico corresponde a legumes e verduras. Um quarto do gráfico corresponde a carboidratos. Um oitavo corresponde a proteína vegetal e um oitavo corresponde a proteína animal. No canto superior direito, círculo pequeno que corresponde a fruta.](../resources/images/im_ld_075_miolo_le_066_103_mcp7_c03_f2_g24_group_247391.png)
Dados obtidos em: https://oeds.link/N6EGG0. Acesso em: 20 junho2022.
a) Considerando que “legumes e verduras” devem corresponder à metade da medida da área do prato, “carboidratos”, a um quarto da medida da área do prato, e as “proteínas animal e vegetal”, a um oitavo cada, determinem a medida da abertura dos ângulos centrais que correspondem a cada um desses setores e classifiquem-nos em agudo, reto, obtuso ou raso.
b) Elaborem um cartaz utilizando régua, compasso e transferidor. Preencham os setores com imagens dos alimentos e coloquem informações sobre a composição escolhida (o que determina que essa composição seja interessante e saudável) e como incentivar as pessoas a buscar uma alimentação equilibrada.
![Ícone de atividade em Grupo.](../resources/images/im_pg_icone_grupo_12.png)
Etapa 4: Campanha pela promoção de alimentos saudáveis
7. Disponibilizem os cartazes criados na etapa anterior para que a turma analise a escolha dos alimentos e opinem a respeito das informações apresentadas.
8. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.
9. Depois dos ajustes necessários, criem um título para uma campanha pela promoção da alimentação saudável na escola e façam uma exposição dos cartazes para a comunidade escolar.
![Ícone de atividade em Grupo.](../resources/images/im_pg_icone_grupo_12.png)
Etapa 5: Síntese do trabalho realizado
10. Algumas questões devem ser discutidas.
a) Após a realização das pesquisas, vocês pretendem fazer alguma mudança em seus hábitos alimentares? Se sim, qual ou quais? Se não, por quê?
b) Você acredita que uma campanha pode contribuir para que as pessoas busquem hábitos alimentares mais saudáveis?
11. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4.
Glossário
- grafismos
- : desenhos que representam figuras geométricas ou imagens de pessoas e de animais.
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