Capítulo 3  Retas e ângulos

Retas concorrentes que formam quatro ângulos retos (ângulos cuja abertura mede 90°graus) são chamadas retas perpen­diculares.

Indica-se: r ⊥ s

(lemos: “r é perpendicular a s ”).

1º)  Alinhamos o esquadro com a reta r e apoiamos a régua em um dos lados do esquadro, mantendo-a fixa.

2º) Deslizamos o esquadro pela régua e traçamos uma nova reta s.

3º) A reta s traçada será paralela à reta r.

r // s

Faça as atividades no caderno.

1. Na figura, as retas aa, b, c e d são retas suportes dos lados do paralelogramo MNOPême êne ó pê.

Observe a figura e identifique no caderno:

a) dois pares de retas paralelas;

b) dois pares de retas concorrentes.

2. Observe a figura a seguir e indique os ­pares de ­retas perpendiculares.

3. Desenhe uma reta r e um ponto P não pertencente a essa reta. Com uma régua e um esquadro, trace uma reta s paralela à r pelo ponto P.

4. Desenhe no caderno uma reta r e, com uma régua e um esquadro, trace uma reta s perpendicular à r.

Grafismosglossário e pinturas corporais marcam a identidade do povo Kayapó

Pintura corporal revela a identidade dos nossos povos ancestrais

Os traços adotados nos rostos e corpos identificam etnias, famílias, status social e são essenciais durante as festas e rituais.

Arte na pele, a pintura corporal não é apenas uma questão estética, ou apenas para proteção contra insetos e raios solares. Cada povo retrata sua identidade cultural por meio de traços que revelam toda uma simbologia. Há pinturas específicas para festividades, para identificação das famílias, para apontar o estado civil ou status social. É possível identificar os povos do Tocantins somente pela observação das pinturas.

De acordo com a antropóloga e professora da Universidade Federal do Pará, Jane Beltrão, a pintura ritualística é uma formafórma de expressar os mais delicados valores culturais. “A arte indígena é um sofisticado meio de comunicação estética, que informa aos demais sobre a diferença da qual emana forçafórça, autenticidade e valores das nações indígenas”, diz, enfatizando que exibir marcas tribais é uma formafórma de resistência. 

[...]reticências

Além de privilegiar traços geométricos, a pintura corporal pode representar figuras simbólicas de animais como pássaros, peixes e répteis. É o caso do povo Iny (Karajá, Javaé, Xambioá). 

Juntamente com as pinturas corporais, geralmente feitas com tintura natural extraída de plantas como urucum e o jenipapo, além de carvão misturado à resina de algumas árvores, há uma série de elementos agregados aos mais variados momentos e celebrações, como o corte de cabelo, o uso de enfeites de cabeça e a emplumação dos corpos. 

Emplumar é colar penas diretamente no corpo, o que ocorre nas aldeias em situações festivas/ritualísticas. É uma tradição entre os povos indígenas brasileiros, com variações que identificam cada grupo étnico. Entre o povo Krahô, no Ketuwayê, as crianças têm seu primeiro contato com a ritualística do mundo adulto desta formafórma. Durante o ritual, as crianças são emplumadas e realizam um desfile em torno da aldeia, abatendo animais domésticos, para representar a primeira “caçada”. 

FONTES, Seleucia. Pintura corporal revela a identidade dos nossos povos ancestrais. Secretaria da Cultura e Turismo do Governo do estado do Tocantins.

Atividades

1. Responda no caderno.

a) No povo Iny (Karajá, Javaé e Xambioá), a pintura corporal pode ser representada por quais figuras?

b) Qual é o objetivo da arte corporal para o povo indígena?

c) O que os indígenas utilizam para produzir suas tintas?

2. A pintura corporal indígena privilegia traços geométricos. Quando são feitos dois traços que se cruzam em um único ponto, mas não formam um ângulo reto, podemos afirmar que se parecem com:

a) retas concorrentes

b) retas paralelas

c) retas perpendiculares

d) retas coincidentes

3. As faixas a seguir foram criadas com base em grafismos indígenas.

Inspirado pelas imagens anteriores, crie um grafismo em uma folha de papel quadriculado.

4.

 

 Reúna-se com 3 colegas e pesquisem sobre a influência da cultura indígena na formação do povo brasileiro. Depois, compartilhem com a turma o que encontraram.

Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem, com uma das regiões do plano limitada por elas.

Faça as atividades no caderno.

5. No caderno, indique, para cada item, o ângulo, seu vértice e seus lados.

a)

b)

c)

d)

6. Desenhe um ângulo raso e um ângulo nulo. Em seguida, observe os lados dos ângulos e responda:

a) São semirretas?

b) Têm a mesma reta suporte?

c) São coincidentes?

1°grau = 60’minutos

1’ = 60”segundos

Faça a atividade no caderno.

Instrumentos de navegação

A navegação é uma das atividades humanas mais antigas, praticada desde os povos ancestrais. Com o passar do tempo, com o uso de instrumentos náuticos para guiar as navegações e com a melhora das embarcações, as distâncias navegadas se tornaram mais longas, já que antes procurava-se navegar sem perder as terras de vista. Graças a esses avanços, aconteceram as grandes navegações a partir do século XVquinze. Alguns dos instrumentos usados foram o quadrante náutico (1), o astrolábio (2) e a balestilha (3). Mais tarde, surgiram o octante (4) e o sextante (5). Todos eles serviam para medir abertura de ângulos, os dois últimos de formafórma mais precisa que os primeiros. Hoje há instrumentos mais precisos para a ­navegação, como o radar e o GPSgê pê ésse.

Atividade

Realize uma pesquisa e verifique para que esses instrumentos eram utilizados pelos navegadores.

Faça as atividades no caderno.

7. Escreva no caderno as medidas das aberturas dos ângulos usando os símbolos de grau, minuto e segundo.

a) 60 graus

b) 90 graus

c) 102 graus e 35 minutos

d) 110 graus, 32 minutos e 48 segundos

8. Determine as medidas das aberturas dos ângulos representados a seguir.

a) medmedida de(

$$G\hat{O}F$$

GOF

)

b) medmedida de(

$$G\hat{O}E$$

GOE

)

c) medmedida de(

$$D\hat{O}C$$

DOC

)

d) medmedida de(

$$G\hat{O}D$$

GOD

)

e) medmedida de(

$$A\hat{O}D$$

AOD

)

f) medmedida de(

$$A\hat{O}E$$

AOE

)

g) medmedida de(

$$A\hat{O}G$$

AOG

)

h) medmedida de(

$$C\hat{O}F$$

COF

)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

10. Com o auxílio de uma régua e de um transferidor, construa no caderno os ângulos pedidos e, depois, classifique-os em agudo, obtuso, reto ou raso.

11. Com um par de esquadros, trace um ângulo cuja abertura mede:

a) 105°graus

b) 150°graus

c) 120°graus

d) 135°graus

e) 165°graus

f) 15°graus

12. Um hexágono regular é uma figura formada por seis lados de medidas de comprimento iguais e seis ângulos internos de medida de abertura igual a 120°graus, conforme a figura a seguir.

No caderno, com o auxílio de uma régua e de um transferidor, construa um hexágono regular cujos lados medem 3 cmcentímetros de comprimento.

13. (Enemenêm) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:

a) uma volta completa.

b) uma volta e meia.

c) duas voltas completas.

d) duas voltas e meia.

e) cinco voltas completas.

Faça as atividades no caderno.

14.

Usando calculadora, transforme as medidas indicadas de acordo com o pedido de cada item:

a) 27°graus em minuto;

b) 13°graus 13’minutos 13”segundos em segundo;

c) 12°graus 57’minutos em minuto;

d) 213’minutos em grau e minuto;

e) 36°graus em segundo;

f) 310’minutos em grau e minuto;

g) 17°graus 12’minutos em segundo;

h) 214.317214317”segundos em grau, minuto e segundo.

15. Observe este veículo.

Na posição de descanso, o eixo vertical formafórma um ângulo cuja medida da abertura corresponde a 112% da medida da abertura de um ângulo reto, em relação à base. Descubra a medida da abertura desse ângulo, em grau e minuto.

Faça as atividades no caderno.

16. Efetue os cálculos.

a) 25°graus 12’minutos + 37°graus 20’minutos

b) 86°graus 52’minutos 50”segundos + 39°graus 43’minutos 20”segundos

c) 45°graus 12’minutos 37”segundos + 47°graus 49’minutos 38”segundos

d) 42°graus 30’minutos + 47°graus 30’minutos

e) 75°graus 21’minutos ‒ 49°graus 33’minutos

f) 47°graus 39’minutos 25”segundos ‒ 29°graus 31’minutos 45”segundos

g) 80°graus 49’minutos 32”segundos ‒ 73°graus 51’minutos 46”segundos

h) 90°graus ‒ 35°graus 49’minutos 46”segundos

17. Observe a figura a seguir e, depois, responda às questões.

a) Qual é a medida da abertura do ângulo

$$A\hat{O}C$$

AOC

?

b) Qual é a medida da abertura do ângulo

$$B\hat{O}D$$

BOD

?

c) Qual é a medida da abertura do ângulo

$$A\hat{O}D$$

AOD

?

d) Qual é a medida da abertura do ângulo

$$A\hat{O}E$$

AOE

se

$$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\left(E\hat{O}D\right)=133°30’$$

medida da abertura do ângulo EOD é igual a 133 graus e 30 minutos

?

18. Efetue os cálculos.

a) 6 ⋅ (45°graus 12’minutos)

b) 4 ⋅ (12°graus 30’minutos)

c) 7 ⋅ (1°grau 10’minutos 13”segundos)

d) 5 ⋅ (45°graus 12’minutos 56”segundos)

e) 8 ⋅ (25°graus 20’minutos 20”segundos)

f) (98°graus 56’minutos) : 2

g) 15°graus : 8

h) (84°graus 40’minutos 20”segundos) : 2

i) (39°graus 11’minutos 40”segundos) : 2

j) (42°graus 35’minutos 20”segundos) : 8

19. Calcule.

a) O triplo de 47°graus 29’minutos.

b) O quádruplo de 23°graus 19’minutos 15”segundos.

c) O sêxtuplo de 20°graus 15’minutos 20”segundos.

d) A metade de 97°graus.

e) A terça parte de 98°graus 54’minutos.

f) A quarta parte de 60°graus 40’minutos 20”segundos.

20. Observe a figura e efetue os cálculos no caderno.

a)

$$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\left(A\hat{O}B\right):4$$

medida da abertura do ângulo AOB dividido por 4

b)

$$2\cdot \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\left(B\hat{O}C\right)$$

2 vezes a medida da abertura do ângulo BOC

c)

$$3\cdot \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\left(C\hat{O}D\right)$$

3 vezes a medida da abertura do ângulo COD

d)

$$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\left(A\hat{O}C\right):8$$

medida da abertura do ângulo AOC dividido por 8

Ângulos congruentes são aqueles que têm a mesma medida de abertura.

1º) Traçamos uma semirreta de origem H.

3º) Com a mesma abertura anterior, centramos o compasso em H e traçamos um arco determinando o ponto Iih sobre a semirreta.

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso nas atividades 22 e 24.

21. Com o auxílio de um transferidor, meça a abertura dos ângulos da figura. Depois, indique os pares de ângulos congruentes.

23. Verifique, com um transferidor, se o triângulo ABCá bê cê é um triângulo isósceles.

25. Com o auxílio de um transferidor, deter­mine no caderno os pares de ângulos con­gruentes.

Ângulos consecutivos são aqueles que têm em comum o vértice e um dos lados.

Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são chamados ângulos adjacentes.

1. Retas concorrentes determinam ângulos adjacentes. Confira:

2. Dos pares de ângulos consecutivos, apenas alguns são adjacentes.

Faça as atividades no caderno.

26. Observe a figura a seguir e indique pares de ângulos adjacentes.

27. Observe a figura e indique:

28. Determine:

a) a medida de abertura do ângulo

$$A\hat{O}B$$

AOB

sabendo que

$$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\left(A\hat{O}E\right)=27°$$

medida da abertura do ângulo AOE é igual a 27 graus

e que

$$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\left(E\hat{O}B\right)=23°$$

medida da abertura do ângulo EOB é igual a 23 graus

;

b) a medida de abertura do ângulo

$$E\hat{O}D$$

EOD

sabendo que

$$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\left(C\hat{O}D\right)=75°$$

medida da abertura do ângulo COD é igual a 75 graus

e que

$$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\left(C\hat{O}E\right)=38°$$

medida da abertura do ângulo COE é igual a 38 graus

.

Dois ângulos são complementares quando a soma das medidas de suas aberturas é igual a 90°graus.

Faça as atividades no caderno.

29. Determine a medida da abertura do complemento de cada um dos ângulos cuja medida da abertura está indicada a seguir.

a) 76°graus

b) 0°grau

c) 38°graus

d) 90°graus

e) 36°graus 48’minutos

f) 82°graus 50’minutos

30. Com régua e transferidor, desenhe um triân­gulo retângulo qualquer. Em seguida, meça a abertura dos ângulos agudos desse triângulo. Os ângulos agudos são ângulos complementares?

32. Dois ângulos são adjacentes complementares, e a abertura de um deles mede 78°graus. Determine a medida da abertura do outro ângulo.

33. Dois ângulos são adjacentes complementares, e a abertura de um deles mede 48°graus 36’minutos 28”segundos. Calcule a medida da abertura do outro ângulo.

Dois ângulos são suplementares quando a soma das medidas de suas aberturas é igual a 180°graus.

Faça as atividades no caderno.

34. Calcule a medida da abertura do suplemento de cada ângulo cuja medida da abertura está indicada a seguir.

a) 76°graus

b) 30°graus

c) 0°graus

d) 136°graus 48’minutos

e) 90°graus 30”segundos

35. Dois ângulos são adjacentes suplementares e a abertura de um deles mede 106°graus. Determine a medida da abertura do outro ângulo.

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Ângulos opostos pelo vértice

Nesta seção, você vai utilizar o GeoGebra, ou outro software de geometria dinâmica que seu professor indicar, para construir duas retas concorrentes, identificar os pares de ângulos opostos pelo vértice determinados por essas retas e explorar uma propriedade importante relacionada a esses ângulos.

Construa

Siga os passos a seguir para construir e determinar dois pares de ângulos opostos pelo vértice.

1º) Utilize a ferramenta

e trace uma reta

$$\overleftrightarrow{AB}$$

AB

.

2º) Utilize a ferramenta

e trace uma reta

$$\overleftrightarrow{CD}$$

CD

cruzando a reta

$$\overleftrightarrow{AB}$$

AB

.

3º) Utilize a ferramenta

e marque o ponto Oóh, intersecção das retas

$$\overleftrightarrow{AB}$$

AB

e

$$\overleftrightarrow{CD}$$

Símbolo. Reta CD.

.

Explore

a) Quais pares de ângulos são opostos pelo vértice?

b) Usando a ferramenta

, meça a abertura dos pares de ângulos indicados no item anterior. O que podemos observar em relação às medidas das aberturas dos ângulos opostos pelo vértice? Movimente os pontos móveis na construção e verifique o que acontece com as medidas das aberturas dos ângulos.

Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida de abertura, isto é, são congruentes.

Toda reta transversal corta duas ou mais retas em pontos distintos.