Unidade 2
Capítulo 4 Frações
Capítulo 5 Números racionais
Capítulo 6 Linguagem algébrica e regularidades
Capítulo 4 Frações
Trocando ideias
Para que a tarefa de lavar roupas seja rápida e efetiva, é preciso planejar bem cada etapa. Observe o infográfico a seguir.
▸
Você consegue fazer a ordenação de alguma outra situação cotidiana? Explique para os colegas.
▸
A quantidade de amaciante utilizada para lavar as roupas em uma máquina de 9 quilogramas ou mais é maior ou menor do que a quantidade de detergente líquido?
Neste capítulo, aprofundaremos as ideias relacionadas ao conceito de fração e veremos como ordenar frações.
1 Ideias associadas às frações
Neste capítulo, vamos retomar e estudar algumas ideias associadas às frações.
A ideia de parte de um inteiro
Uma fração pode representar a ideia de parte de um inteiro. Observando a situação a seguir, temos que a medida do comprimento de três lápis equivale à medida do comprimento do caderno. Assim:
Agora, em um novo exemplo, vamos analisar a fração
Fração. Dois quintos.(lemos: “dois quintos”).
Essa fração indica que o inteiro foi dividido em 5 partes iguais e que consideramos duas dessas 5 partes.
O denominador indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido, e o numerador indica quantas partes do inteiro nos interessam, ou seja, na fração
Fração. Dois quintos., o 5 é o denominador e o 2 é o numerador.
Podemos representar a fração
Fração. Dois quintos.de várias formas. Analise duas delas.
a)
O inteiro foi representado pelo retângulo, que foi dividido em 5 partes iguais. As partes do inteiro que interessavam foram coloridas de azul ( duas das 5 partes).
b)
O inteiro foi representado pelo círculo, que foi dividido em 5 partes iguais. Assim, 2 das 5 partes foram coloridas de verde.
Podemos usar as frações para representar partes de inteiros de diferentes tipos. Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Gabriela tem que escolher
Fração. Dois quintos.de 15 maçãs. Quantas maçãs Gabriela vai escolher?
Em vez de uma única maçã, nessa situação o inteiro é representado pelo total de maçãs. Para considerar
Fração. Dois quintos.dessas maçãs, podemos, por exemplo, selecionar duas das cinco colunas de maçãs, como indicado a seguir.
Poderíamos selecionar
Fração. Dois quintos.das maçãs mesmo se não estivessem organizadas em colunas.
Portanto, Gabriela vai escolher 6 maçãs
Abre parênteses. Fração. Dois quintos.de 15 maçãs. Fecha parênteses..
Situação 2
Vamos considerar que uma pizza foi dividida em 8 pedaços iguais e que
Fração. Um quarto.foi consumido. Essa situação pode ser representada pela seguinte figura.
Parte consumida da pizza:
Fração. 1 quarto igual à fração 2 oitavosNesse caso, uma pizza é considerada como o inteiro.
Lembre-se: Escreva no caderno.
Agora, vamos considerar duas pizzas como o inteiro, mas novamente
Fração. Um quarto.foi consumido. Assim, temos a seguinte possibilidade de representação.
Parte consumida das pizzas:
Sentença matemática. 1 quarto igual a 4 16 avosObserve que, dependendo do inteiro escolhido, a quantidade de pedaços de pizza consumidos indicada por
Fração. Um quartopode variar:
• no caso em que o inteiro é uma pizza,
Fração. Um quartodesse inteiro equivale a 2 pedaços;
• no caso em que o inteiro são duas pizzas,
Fração. Um quartodesse inteiro equivale a 4 pedaços.
Situação 3
Leia as adivinhas a seguir e tente descobrir a que se referem.
Um palácio tem doze damas,
Cada dama tem quatro quartos,
Todas elas usam meias
E nenhuma usa sapato.
Tem folhas e não é planta,
Tem lombo e anda de capa
O estudante que o abandona
Da nota má não escapa.
Responda depressa
Não seja bocó,
Está no pomar
E no seu paletó.
Essas adivinhas vão compor uma página de um livro de brincadeiras; por isso, vamos considerá-las como o inteiro.
Temos 12 frases distribuídas em 3 adivinhas. Podemos dizer que cada adivinha corresponde a
Fração. Um terço.do total de frases, pois cada uma delas tem 4 frases.
Com base nas situações apresentadas, podemos concluir que é necessário conhecer o inteiro para encontrar uma fórma adequada de dividi-lo. Assim, podemos representar a quantidade de partes do inteiro que nos interessam usando uma fração.
A ideia de quociente
Além da ideia de parte de um inteiro, as frações podem representar um quociente, ou seja, o resultado de uma divisão. Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Carolina e seus amigos estão começando um jogo de aventura.
Carolina tem 40 cartas para distribuir igualmente entre ela e seus amigos. Como são 5 pessoas, podemos representar a quantidade que cada um vai receber por 40 : 5 ou
Fração. Quarenta quintos..
Nesse caso, o número fracionário
Fração. Quarenta quintos.indica que cada amigo vai receber 8 cartas para iniciar esse jogo.
Situação 2
Fabrício foi passar o fim de semana com os amigos no sítio de sua avó Vera. Ela estava mostrando o pomar para as crianças e colheu 3 laranjas maduras para dividir igualmente entre Fabrício e seus 3 amigos.
Nessa situação, a ideia de quociente ocorre devido à divisão das 3 laranjas entre as 4 crianças. Podemos representar essa divisão por 3 : 4 ou
Fração. Três quartos..
Isso significa que, se Vera dividir cada uma das laranjas em 4 pedaços, cada criança receberá 3 pedaços.
Nas duas situações, podemos associar a fração com a operação de divisão, pois estão relacionadas à distribuição de cartas ou de laranjas.
Na primeira situação, a divisão resultou em um número natural e cada jogador recebeu a mesma quantidade de cartas. Na segunda situação, a divisão das laranjas resultou em um número fracionário, então cada criança recebeu parte de cada uma das laranjas, mas todas as crianças receberam a mesma quantidade de laranja.
A ideia de razão
Até aqui vimos as ideias de frações para representar a parte de um inteiro ou indicar um quociente. Além dessas ideias, as frações também podem indicar uma razão. Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
A professora de Ana Paula dividiu a turma em grupos de 5 estudantes e propôs que fizessem uma maquete da cidade. O grupo de Ana Paula é composto de duas meninas e 3 meninos.
A razão entre as quantidades de meninas e meninos é de duas meninas para 3 meninos. Podemos representar essa razão por
Fração. Dois terços.(lemos: “dois para três ou dois em três”).
Situação 2
É comum, em jogos de tabuleiro, encontrar dados com mais de seis faces. Carolina tem um jogo de aventura em que há um “dado honesto” com oito faces numeradas de 1 a 8, que se parece com um octaedro.
Ao jogar um “dado honesto” de seis faces, a chance de sair o número 2 na face de cima, por exemplo, é de 1 em 6; no “dado honesto” de Carolina, a chance de sair o número 2 é de 1 em 8. Podemos representar essas razões por
Fração um sexto.(lemos: “uma em seis”) e
Fração. um oitavo.(lemos: “uma em oito”).
Situação 3
A razão entre a medida da distância percorrida por um carro e a medida de tempo que ele levou para percorrer essa medida da distância fornece a medida de velocidade média.
Por exemplo, se um automóvel percorreu 60 quilômetros em duas horas, a razão entre as medidas da distância e do tempo pode ser dada por
Sentença matemática. 60 quilômetros sobre 2 horas.Podemos simplificar a fração
Fração. Sessenta meios.dividindo o numerador e o denominador por 2, obtendo a fração
Fração. Trinta sobre um..
Assim, um carro que desenvolve uma medida de velocidade de 30 quilômetros por hora percorre uma medida de distância de 30 quilômetros em uma hora. Dessa fórma, utilizando essa razão, podemos descobrir a medida da distância percorrida pelo carro. Por exemplo, em 4 horas, serão percorridos 120 quilômetros.
Uma propriedade interessante das razões é a possibilidade de obter, por meio da equivalência de frações, valores desconhecidos.
A ideia de operador
Vamos relembrar o cálculo da fração de uma quantidade.
Para isso, vamos determinar
Fração. Três quartos.de 80:
• primeiro, podemos calcular
Fração. Um quarto.de 80, dividindo 80 por 4, ou seja, 80 : 4 = 20
• multiplicamos a quarta parte de 80 por 3, ou seja, 3 ⋅ 20 = 60
Assim, temos que
Fração. Três quartos.de 80 é 60.
Também podemos representar essa operação por
Sentença matemática. Três quartos vezes oitenta igual a sessenta.(lemos: “três quartos de oitenta é igual a sessenta”).
Agora, analise a ideia de fração como operador em outras situações.
Situação 1
Sabendo que um bolo de laranja custa R$ 60,00sessenta reais, quanto Lucinda vai pagar por
Fração. Dois terços.do bolo?
Para determinar o valor que Lucinda pagará, temos de calcular
Fração. Dois terços.de R$ 60,00sessenta reais. Para isso, podemos calcular
Fração. Um terço.de R$ 60,00sessenta reais e tomar o dobro desse valor. No entanto, podemos representar a fração por um operador, assim:
Portanto, Lucinda pagará R$ 40,00quarenta reais por
Fração. Dois terços.do bolo.
Situação 2
O jornal da escola em que João estuda publicou uma pesquisa que apontou que 40% dos estudantes preferem maçã a outras frutas. Se a escola de João tem 500 estudantes, quantos são os que preferem maçã?
Nessa situação, a fração como operador aparece como uma porcentagem da quantidade de estudantes. Precisamos calcular quanto é 40% de 500, assim:
Sentença matemática. Na horizontal: 40 centésimos vezes 500 igual a 40 vezes 500 centésimos igual a 40 vezes 5 igual a 200.
Portanto, 200 estudantes da escola de João preferem maçã a outras frutas.
Nas duas situações apresentadas, as frações foram utilizadas como um fator multiplicativo. No caso do preço a ser pago pelo bolo, o uso das frações permitiu calcular o valor do pedaço comprado por Lucinda. No caso da fruta predileta dos estudantes, o uso das frações permitiu calcular quantos estudantes preferem maçã a outras frutas.
Em ambos os casos, partimos de uma situação inicial, efetuamos uma operação com fração e chegamos a uma resposta para uma situação final.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Com base na representação a seguir, responda às questões no caderno.
a) Qual seria o inteiro se a parte azul correspondesse a
Fração. um meio.do inteiro?
b) Qual seria o inteiro se a parte azul correspondesse a
Fração. um oitavo.dele?
2. Joana tem jabuticabeiras em seu sítio. Para o lanche da tarde, ela colheu 28 jabuticabas para distribuir entre 4 crianças. Que fração representa a quantidade de jabuticabas que cada criança vai receber? Quantas jabuticabas cada criança vai receber?
3. A mãe de Jorge encontrou uma coleção de bolinhas de gude que ela juntou quando era criança e com a qual brincava com seus amigos. Ela resolveu distribuir as 25 bolinhas entre Jorge e duas amigas dele.
a) Que fração representa a quantidade de bolinhas de gude que cada criança vai receber?
b) Sobraram bolinhas? Como você faria a distribuição?
4. Observe as imagens e as duas indicações de inteiro em cada item. A seguir, responda às perguntas no caderno.
a) Cada barra de chocolate é formada por 9 pedaços retangulares iguais.
• Considerando duas barras de chocolate como o inteiro, qual fração representa a quantidade de chocolate da ilustração?
• Considerando quatro barras de chocolate como o inteiro, qual fração representa a quantidade de chocolate da ilustração?
b) Cada copo representado a seguir foi marcado e dividido em 4 partes iguais, que tem a mesma medida de capacidade.
• Considerando dois copos como o inteiro, qual fração representa a quantidade de água da ilustração?
• Considerando três copos como o inteiro, qual fração representa a quantidade de água da ilustração?
5. A lista de ingredientes a seguir faz parte da receita de bolo de fubá cremoso de Joaquim.
Responda no caderno.
a) Qual é a razão de xícaras de açúcar para xícaras de leite?
b) Se a receita fosse para fazer mais de um bolo e 9 ovos fossem utilizados, qual seria a quantidade de queijo para o preparo dos bolos?
6. Cláudia adora jogos de corrida e jogos de aventura. Ela tem, no celular, 14 jogos, dos quais 9 são de corrida e os demais, de aventura.
Qual é a razão do número de jogos de aventura para o número de jogos de corrida?
7. Luís ganhou um novo videogame de sua tia. Como ele tinha muitos jogos do videogame antigo, resolveu presentear alguns amigos que tinham o mesmo videogame. Luís tinha 21 jogos e queria dar 4 jogos para cada amigo. Responda no caderno.
a) Que fração representa a quantidade de jogos que cada amigo vai receber?
b) Quantos amigos Luís pode presentear?
8. Ana Lúcia tem dois irmãos e duas irmãs. Nos fins de semana, eles podem comer um pouco de chocolate. Seus pais compram, geralmente, três barras para dividir entre os cinco irmãos. Qual fração representa a quantidade de chocolate que cada irmão vai receber? Faça um esquema para representar que parte das barras de chocolate cada irmão vai receber.
9. No final do ano, no prédio em que Carlos mora, haverá um sorteio entre 44 apartamentos para a utilização do salão de festas. Se Carlos e sua prima moram no mesmo prédio, mas em apartamentos diferentes, escreva, no caderno, a razão que representa a chance de a família de Carlos ter acesso ao salão de festas no final do ano.
10. Pedro tem 144 figurinhas para colar em um álbum de futebol. Se
Fração. Um terço.delas é repetido, quantas são inéditas?
11. Um pacote de arroz tem 5 . Para um churrasco serão preparados quilogramas
Fração 3 quintos.desse pacote. Quantos quilogramas de arroz serão utilizados?
12. A medida de velocidade média de um corredor de elite de maratonas é de 20 . Se uma prova de maratona tem aproximadamente 40 quilômetros por hora , quantas horas um corredor levará, em média, para concluí-la? quilômetros
13. Em uma receita de bolo, são necessários 4 ovos. No entanto, na geladeira de José há apenas 3. Por quanto ele deve multiplicar as quantidades de outros ingredientes da receita para que consiga fazer um bolo menor?
14.
Se
Fração. Dois sétimosde 21 vale 6, por quanto se deve multiplicar 6 para obter 21?
2 Problemas
Vamos agora resolver alguns problemas envolvendo as ideias de fração estudadas.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
15. Luísa fez um esboço da bandeira do Brasil no caderno.
Ao observar o desenho, afirmou que
Fração. Um terço.é amarelo. Você concorda com a avaliação de Luísa? Explique no caderno.
16. Um estacionamento pode acomodar 200 automóveis em 8 fileiras. Sabendo que cada fileira acomoda a mesma quantidade de automóveis, que fração representa a quantidade de automóveis por fileiras? Quantos automóveis cabem por fileira?
17. Se 3 tortas redondas forem divididas em 5 partes iguais cada uma, quantas pessoas poderão receber 1 pedaço de torta?
18. Escreva no caderno a razão entre as maçãs que não têm folha no caule e aquelas que têm folha.
19. Uma mala custa R$ 280,00duzentos e oitenta reais. Paulo pediu um desconto e o dono da loja ofereceu 15% de desconto no valor da mala.
a) Escreva no caderno a expressão que permite calcular o valor do desconto.
b) De quanto será o desconto?
20. Em uma turma de 7º ano, 24 estudantes são destros e
Fração. Um sétimo.dos estudantes é canhoto. Quantos estudantes há na turma?
21.
No cotidiano, muitas vezes temos que fazer uma ordenação, tarefa que envolve comparar e decidir se um elemento vem antes ou depois de outro. A ideia de ordem aparece, por exemplo, na classificação de vencedores de uma prova de atletismo, na agenda de contatos do celular, entre outras situações. Existem muitas estratégias de ordenação, e uma delas é a ordenação por seleção.
Considere que você tenha que ordenar várias cartas numeradas. Um dos montes, formado por cartas que não estão ordenadas, será chamado de Y e o outro, que será formado por meio da transferência sucessiva das cartas de Y, será chamado de X. Veja o fluxograma a seguir.
É possível usar esse método para ordenar frações de denominadores iguais ou diferentes?
22. Fernanda levou os filhos para visitar a avó em outra cidade. Eles foram de carro e percorreram dois trechos com medidas de velocidade diferentes. No primeiro trecho, a medida da velocidade máxima permitida era 80 quilômetros por hora e a medida da distância percorrida foi 80 . No segundo trecho, a medida da velocidade máxima permitida era 120 quilômetros quilômetros por hora e a medida da distância percorrida foi 60 . quilômetros
Se Fernanda manteve sempre a medida da velocidade máxima permitida para cada trecho, qual foi a medida de tempo necessária para percorrê-los?
a)
Fração 7 décimoshora
b)
Fração 14 décimoshora
c)
Fração 3 meios.hora
d)
Fração 4 meios.horas
e)
Fração 5 meios.horas
23. ( ó bê mépi) A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento da partida e no momento da chegada de uma viagem feita por João.
Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem?
a) 10
b) 15
c) 18
d) 25
e) 30
24.
Crie uma situação-problema sobre um veículo que precisa percorrer uma estrada de alguns quilômetros. A pergunta pode ser a respeito da medida da velocidade desenvolvida pelo veículo ou da medida de tempo necessária para percorrer a medida da distância a uma dada medida de velocidade. Lembre-se de que é preciso respeitar as leis de trânsito. Se necessário, peça ajuda ao professor para verificar se a medida da velocidade está muito alta. Entregue seu problema a um colega para que ele resolva.
25.
Crie uma situação-problema sobre um produto que seja comprado com desconto sobre o preço de venda. Peça a um colega que resolva a questão.
Resolvendo em equipe
Faça a atividade no caderno.
Partindo do algoritmo de ordenação visto na atividade 21, ordenem 10 cartas numeradas. Mas há um detalhe: quem ordenar não pode ver as cartas!
Para a confecção das cartas, dividam uma folha de papel em branco em 10 retângulos. Em cada carta, escrevam uma fração equivalente, com denominador 12, às frações a seguir.
O integrante responsável por ordenar as cartas não poderá ver a carta, mas poderá mostrá-la para a equipe e fazer a pergunta: “O número desta carta é menor, maior ou igual ao número da que está no topo das cartas ordenadas?”. O restante da equipe deve responder à pergunta, sem dizer o valor da carta.
Interpretação e identificação dos dados |
• Leia novamente a atividade 21 e anote o que considerar relevante para ajudá-lo na ordenação das cartas. |
---|---|
Plano de resolução |
• Forme grupo com a quantidade de integrantes indicada pelo professor. |
Resolução |
• Todos os integrantes devem ordenar as cartas pelo menos uma vez, aplicando o algoritmo de ordenação. Um integrante do grupo deve anotar as frações ordenadas dos demais colegas. |
Verificação |
• Cada integrante do grupo conseguiu a mesma ordem de cartas? |
Apresentação |
• Discuta com os colegas se existem outras maneiras de ordenar as cartas. Se descobrirem mais alguma, apresentem para a turma. |
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Faça as atividades no caderno.
Ideias associadas às frações
A ideia de parte de um inteiro
Frações podem representar a parte de um inteiro. Por exemplo, a fração
Fração 3 quintos.indica que o inteiro foi dividido em 5 partes iguais e que consideramos 3 dessas 5 partes.
A ideia de quociente
Frações podem representar um quociente, ou seja, o resultado de uma divisão. Por exemplo:
30 : 6 ou
Fração. 30 sextos.A ideia de razão
Frações podem indicar uma razão. Por exemplo: Um automóvel percorreu 100 quilômetros em duas horas; a razão entre a medida da distância e a medida de tempo pode ser dada por
Sentença matematica. 100 quilômetros sobre 2 horas..
A ideia de operador
Frações podem ser usadas como operador. Por exemplo:
Uma torta de morango custa R$ 36,00trinta e seis reais. João vai comprar
Fração. Três quartos.dessa torta, quanto ele vai pagar?
Logo, João vai pagar R$ 27,00vinte e sete reais por
Fração. Três quartos.da torta de morango.
1. Com base na figura dividida em partes iguais a seguir, responda às questões.
a) Qual seria o inteiro se a parte azul correspondesse a
Fração. um meio.do inteiro?
b) Qual seria o inteiro se a parte azul correspondesse a
Fração. Um quarto.do inteiro?
2. Se duas pizzas forem dividas em 8 partes iguais cada uma, quantas pessoas poderão receber 1 pedaço de pizza?
3. Uma sala de cinema tem capacidade de acomodar duzentas e oitenta e oito pessoas em 16 fileiras. Que fração representa a quantidade de pessoas por fileira? Quantas pessoas cabem por fileira?
4. Evandro vai distribuir sua coleção de figurinhas entre 4 colegas. Sabendo que Evandro tem quatrocentas e dezesseis figurinhas, responda às questões.
a) Que fração representa a distribuição das figurinhas?
b) Quantas figurinhas cada colega vai receber?
5. Um automóvel percorre a medida da distância de 198 quilômetros em 3 horas. Qual é a medida da velocidade média desse veículo?
6. Marcos e Anderson foram correr no parque no sábado. Marcos correu .10000 métros e Anderson correu .12500 . Indique a razão entre as medidas das distâncias percorridas por Marcos e Anderson. métros
7. Juliano vai comprar uma mochila que custa R$ 190,00cento e noventa reais. Para pagamento à vista, obteve 12% de desconto no preço da mochila.
a) Escreva no caderno a expressão que permite calcular o valor do desconto.
b) De quanto será o desconto?
8. Maria fez uma pesquisa para saber se os colegas dela gostam de ir ao teatro e descobriu que 20 colegas gostam e
Fração um sexto.deles não gosta. Quantos colegas de Maria participaram da pesquisa?
9. Se
Fração 4 quintos.de 90 resultam em 72, por qual fração devemos multiplicar 72 para obter 90?
10. Nair recebeu R$ 4.600,00quatro mil seiscentos reais de salário. Para pagar as despesas mensais dela, foi necessário usar
2 quintosdesse valor. Quantos reais Nair já utilizou do salário dela?
11. Um avião de pequeno porte viaja com medida de velocidade constante de 250 . Em quantas horas ele percorrerá 750 quilômetros por hora ? quilômetros