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Capítulo 5 Números racionais

Trocando ideias

O saldo negativo, também chamado de saldo devedor, é o valor gasto além do que existia de saldo disponível em conta. Em casos assim, quanto mais tempo a conta fica negativa, mais a dívida cresce devido à cobrança de juros.

Ilustração. Celular sendo manuseado pelos polegares de duas mãos. Na tela do celular, na parte superior há uma faixa laranja com o escrito em branco: Conta digital. Abaixo da faixa, à esquerda, saldo da conta. A direita, ocultar. Abaixo, R$ 187,56 -. À direita, de cima para baixo, há os botões: extrato, transferência, pagamentos.

▸

Em sua opinião, o que as pessoas precisam fazer para não ficar com saldo negativo em suas contas? Converse com os colegas.

▸

O titular da conta anterior depositou R$ 200,00duzentos reais para regularizar a situação. Ele atingiu esse objetivo? Por quê?

Neste capítulo, vamos estudar os números racionais e suas operações. O número menos187,66 é um exemplo de número racional.

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1 Os números racionais

Todo número inteiro pode ser escrito na fórma de fração. Considere os exemplos:

‒ 3 = ‒ \frac{3}{1}

+ 7 = + \frac{7}{1}

c) 0 =

\frac{0}{1}

Existem números que não são classificados como números inteiros e que podem ser escritos na forma de fração. Observe:

3, 5 = \frac{35}{10}

0, 66 ... = \frac{2}{3}

‒ 0, 75 = ‒ \frac{3}{4}

Sugestão de leitura

IMENES, L. M.; JAKUBOVIC, J. abre parêntesesJakubofecha parênteses; LELLIS, M. Frações e números decimais. São Paulo: Atual, 2011. abre parêntesesColeção Pra que serve Matemática?fecha parênteses.

Esse livro explica números racionais nas formas de fração e decimal e seus usos no dia a dia. Além disso, traz fatos curiosos, brincadeiras e situações interessantes e desafiadoras sobre o assunto.

Os números que podem ser escritos na forma de fração, ou seja, na forma

\frac{a}{b}

, em que a ê bê são números inteiros e b ≠ 0, são chamados números racionais.

Todo número que pode ser escrito na fórma fracionária, com denominador e numerador inteiros e denominador diferente de zero, pertence ao conjunto dos números racionais, que indicamos por

Letra Q, símbolo do conjunto dos números Racionais.

= \{\frac{a}{b}, s e n d o a e b n ú m e r o s inteiros e b \neq 0\}

Outros exemplos de números racionais:

20 = \frac{20}{1}

‒ 17 = ‒ \frac{17}{1}

4, 47 = \frac{447}{100}

‒ 1, 2 = ‒ \frac{12}{10}

Agora, acompanhe algumas situações em que os números racionais são usados.

• Daniela comeu

\frac{3}{8}

de uma pizza. Quantos pedaços ela comeu?

Ilustração. 1 fatia de pizza. Abaixo um oitavo, abre parênteses ou 0 vírgula 125 fecha parênteses, de uma pizza. Ao lado, ilustração de duas fatias de pizza. Abaixo dois oitavos, abre parênteses ou 0 vírgula 25 fecha parênteses, de uma pizza. Ao lado, ilustração de 3 fatias de pizza. Abaixo três oitavos, abre parênteses ou 0 vírgula 375 fecha parênteses, de uma pizza. Reticências. Ao lado, ilustração de 1 pizza inteira de 8 pedaços. Abaixo oito oitavos, abre parênteses ou 1 fecha parênteses, de uma pizza, abre parênteses um inteiro fecha parênteses.

Portanto, Daniela comeu 3 pedaços de pizza.

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• De acordo com o marcador, qual é a situação do tanque de combustível do automóvel?

Ilustração. Marcador de combustível dividido em 4 partes. Da esquerda para a direita, na primeira marca, 0. Na marca central, meio. Na última marca, 1. O ponteiro está apontando para a marca 1. A fração meio está circulada. Dela sai um fio laranja indicando o texto: Indica que o tanque de combustível está com metade da medida da capacidade, abre parênteses meio ou 5 décimos (em decimal) fecha parênteses.

O tanque de combustível está completo.

▸ Se fôssemos representar o valor do tanque cheio por uma fração, que fração seria?

Observação

Existem infinitos números que não são racionais, ou seja, que não podem ser escritos na forma

\frac{a}{b}

, em que a ê bê são números inteiros e b ≠ 0. Observe alguns exemplos:

\sqrt{2} = 1, 414213562. ..

\sqrt{3} = 1, 732050807. ..

c) π = 3,141592653reticências

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Copie para o caderno as afirmações verdadeiras.

a) 0,3 é um número racional.

b) menos17 é um número natural.

\frac{2}{5}

é um número inteiro.

‒ \frac{3}{5}

é um número racional.

e) Zero é um número racional.

‒ \frac{1}{2}

é um número inteiro.

g) +0,01 é um número racional.

h) menos4,1 é um número natural.

2. Represente os números racionais a seguir na forma decimal.

‒ \frac{1}{4}

\frac{70}{50}

\frac{7}{100}

\frac{3}{5}

‒ \frac{1}{8}

‒ \frac{5}{8}

\frac{27}{200}

‒ \frac{36}{20}

3. Represente os números racionais de cada item na forma de fração.

a) +6,4

b) menos2,25

c) menos0,08

d) +0,54

4. Responda às questões.

a) Quantos números naturais existem entre 4 e 12?

b) Quantos números racionais existem entre 1 e 2?

c) O número racional

\frac{13}{4}

está situado entre quais números naturais?

d) O número racional

‒ \frac{11}{2}

está situado entre quais números inteiros?

5. Represente estes números na forma de fração irredutível.

a) 0,8

b) menos1,5

c) 8,5

d) menos1,4

e) +6,84

f) menos3,45

6. Cite duas situações cotidianas em que você usa a ideia de fração.

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Representação dos números racionais na reta numérica

Assim como foi feito para os números naturais e os números inteiros, podemos estabelecer uma correspondência entre os números racionais e os pontos na reta numérica.

Observe alguns exemplos a seguir.

a) O ponto que corresponde ao número

+ \frac{1}{3}

, por exemplo, está localizado entre os pontos correspondentes aos números 0 e +1. Podemos dividir o intervalo de 0 a 1 em três partes iguais e marcar o primeiro ponto no sentido positivo abre parêntesesponto afecha parênteses, conforme mostramos a seguir.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. À direita de 0, o ponto A. À direita de A, a fração mais 2 terços. Seta partindo de A para baixo e indicando a fração mais 1 terço.

Repare que o ponto a corresponde ao número racional

+ \frac{1}{3}

b) O ponto que corresponde ao número

‒ \frac{7}{4}

, que equivale a

‒ 1 \frac{3}{4}

, está localizado entre os pontos correspondentes aos números menos2 e menos1. Podemos dividir o intervalo de menos2 a menos1 em quatro partes iguais e marcar o primeiro ponto no sentido positivo abre parêntesesponto Bfecha parênteses, conforme mostramos a seguir.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. À direita de menos 2, o ponto B. À direita de B, a fração menos 6 quartos. À direita a fração menos 5 quartos.
Seta partindo de B para baixo e indicando a igualdade: menos 7 quartos é igual a menos 1 inteiro e 3 quartos, que é igual a menos 1 inteiro e 75 centésimos.

Repare que o ponto B corresponde ao número racional

‒ \frac{7}{4}

c) O ponto que corresponde ao número

\frac{14}{5}

, que equivale a

2 \frac{4}{5}

, está localizado entre os pontos correspondentes aos números +2 e +3. Podemos dividir o intervalo de 2 a 3 em cinco partes iguais e marcar o quarto ponto no sentido positivo abre parêntesesponto Cfecha parênteses, conforme mostramos a seguir.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 1, 0, mais 1 e mais 3. À direita de mais 2, as frações: 11 quintos, 12 quintos, 13 quintos. À direita de 13 quintos, o ponto C. Seta partindo de C para baixo e indicando a igualdade: 14 quintos é igual a 2 inteiros e 4 quintos.

Repare que o ponto C corresponde ao número racional

\frac{14}{5}

Atividades

Faça as atividades no caderno.

7. Observe a reta numérica e responda às questões.

Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e mais 3. À direita de menos 3, ponto C. À direita de menos 2, ponto E. À direita de menos 1, ponto D. Sobre o número 1, ponto A. À direita de 2, ponto B.

a) Que ponto está destacado entre os números inteiros menos3 e menos2?

b) Que ponto tem como correspondente o número

\frac{5}{2}

? E qual corresponde ao número 1?

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c) Que número corresponde ao ponto D ? E ao ponto ê ?

8. Desenhe uma reta numérica e represente os pontos:

a) a, que corresponde a menos0,6;

b) B, que corresponde a

‒ \frac{7}{2}

;

c) C, que corresponde a

5 \frac{1}{3}

;

d) D, que corresponde a

\frac{5}{4}

9. Localize em uma reta numérica o ponto M, que corresponde a

‒ \frac{3}{8}

, o ponto N, que corresponde a

\frac{5}{7}

, e o ponto Q, que representa o número 2.

10.

Reúna-se com um colega e fale três números racionais para que ele os coloque no local apropriado de uma reta numérica. Em seguida, verifique o lugar em que ele colocou os pontos. Ele também falará três números para que você faça o mesmo. Depois, junte os pontos indicados das duas retas numéricas em apenas uma.

Módulo de um número racional

Chamamos de módulo abre parêntesesou valor absolutofecha parênteses de um número racional a medida da distância do ponto, que corresponde a esse número, até a origem da reta numérica abre parêntesesponto que representa o zerofecha parênteses.

Representamos o módulo de um número colocando-o entre duas barras verticais: | |

Analise os exemplos a seguir.

a) Módulo do número racional

+ \frac{4}{3}

A medida da distância entre o ponto que corresponde ao número

\frac{4}{3}

e a origem é de

\frac{4}{3}

da unidade.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. A distância entre mais 1 e mais 2 está dividida em 3 partes. À direita de mais 1, na primeira parte está localizada a fração 4 terços. Cota de 0 a 4 terços, indicando 4 terços da unidade.

O módulo de

+ \frac{4}{3} é \frac{4}{3}

Indicamos:

|+ \frac{4}{3}| = \frac{4}{3}

b) Módulo do número racional

‒ \frac{4}{3}

A medida da distância entre o ponto que corresponde ao número

‒ \frac{4}{3}

e a origem é de

\frac{4}{3}

da unidade.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. A distância entre menos 1 e menos 2 está dividida em 3 partes. À esquerda de menos 1, na primeira parte está localizada a fração menos 4 terços. Cota de 0 a menos 4 terços, indicando 4 terços da unidade.

O módulo de

‒ \frac{4}{3} é \frac{4}{3}

Indicamos:

|‒ \frac{4}{3}| = \frac{4}{3}

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Oposto ou simétrico de um número racional

Considere os pontos correspondentes aos números racionais

+ \frac{3}{2}

‒ \frac{3}{2}

, situados na reta numérica a seguir.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, estão localizados os pontos menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. A distância entre menos 1 e menos 2 está dividida em 2 partes. À esquerda de menos 1, na primeira parte está localizada a fração menos 3 meios. Cota de 0 a menos 3 meios, indicando 3 meios da unidade. A distância entre mais 1 e mais 2 está dividida em 2 partes. À direita de mais 1, na primeira parte está localizada a fração mais 3 meios. Cota de 0 a mais 3 meios, indicando 3 meios da unidade.

Os pontos correspondentes aos números racionais

+ \frac{3}{2}

‒ \frac{3}{2}

estão à mesma medida de distância da origem. Esses números são chamados de números opostos ou simétricos e, para obtê-los, a partir da origem percorremos a mesma medida de distância em sentidos opostos da reta numérica.

A seguir, temos alguns exemplos.

a) 243 e menos243 são números racionais opostos ou simétricos.

b) 0,5 e menos0,5 são números racionais opostos ou simétricos.

‒ \frac{2}{5}

\frac{2}{5}

são números racionais opostos ou simétricos.

\frac{7}{10}

‒ \frac{7}{10}

são números racionais opostos ou simétricos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

11. Determine:

a) o valor absoluto de 8;

b) o módulo de

‒ \frac{1}{7}

;

c) o oposto de menos2,6;

d) o simétrico de

\frac{13}{9}

12. Dois números diferentes podem ter o mesmo módulo? Dê exemplos para justificar sua resposta.

13. Responda às questões a seguir no caderno.

a) Qual é o oposto de menos3?

b) Qual é o oposto do oposto de menos3?

14.

Com um colega, analise as afirmações a seguir e corrija as falsas no caderno.

a) O oposto de um número negativo é um número negativo.

b) O simétrico de um número positivo é um número negativo.

c) O oposto do oposto de um número é o próprio número.

15. Desenhe uma reta numérica e localize um número racional nessa reta. Peça a um colega que localize o oposto desse número na reta.

16. Indique quais números racionais cada letra representa, considerando o módulo.

|R| = \frac{4}{7}

|T| = \frac{7}{9}

|S| = 0, 3

|V| = ‒ 0, 75

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2 Comparação de números racionais

Podemos comparar alguns números racionais por meio de figuras. Analise, por exemplo, como comparamos os números racionais

\frac{1}{4}

\frac{2}{3}

Esquema. Figuras geométricas. Retângulo dividido em 3 partes iguais com duas partes pintadas de laranja. À direita, fração dois terços. Abaixo do retângulo, outro retângulo dividido em 4 partes iguais com uma parte pintada de laranja. À direita, fração um quarto.

Portanto,

\frac{2}{3} > \frac{1}{4}

Outra maneira de comparar números racionais é utilizando a reta numérica.

Observe os pontos correspondentes a alguns números racionais representados na reta numérica, cuja seta indica a orientação crescente da esquerda para a direita:

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, estão localizados os pontos menos 3, menos 2, menos 1, 0, mais 1, mais 2 e mais 3. À direita de menos 3 e à esquerda de menos 2, está localizado o decimal menos 2 inteiros e 6 décimos. À direita de 0 e à esquerda de mais 1, está localizada a fração mais dois quintos. À direita de mais 1 e à esquerda de mais 2, está localizada a fração mais quatro terços. À direita de mais 3, está localizado o decimal mais 3 inteiros e 5 décimos.

Pode-se perceber que o número menos2,6 é menor que menos2 e maior que menos3, pois o ponto correspondente a menos2,6 está localizado à esquerda de menos2 e à direita de menos3 na reta numérica.

Analogamente, o número +3,5 é maior que

+ \frac{2}{5}

, pois o ponto correspondente a +3,5 está localizado à direita do ponto correspondente a

+ \frac{2}{5}

na reta numérica.

Pode-se fazer outras relações utilizando a simbologia adequada.

• menos3 < menos1

Lemos: “menos 3 é menor que menos 1”.

•

\frac{2}{5} > 0

Lemos: “dois quintos é maior que zero”.

•

\frac{4}{3} < 3, 5

Lemos: “quatro terços é menor que três vírgula cinco”.

Dados dois números racionais quaisquer, o menor deles estará sempre representado por um ponto à esquerda do ponto que representa o maior na reta numérica.

Agora, como exemplo, vamos comparar os números racionais menos1,3 e

‒ \frac{3}{2}

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 3, menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. À direita de menos 2, ponto verde claro com seta partindo para cima e indicando a igualdade: menos 3 meios é igual a menos 1 inteiro e 5 décimos. À direita, outro ponto verde com seta partindo para baixo e indicando o número menos 1 inteiro e 3 décimos.

Observe que menos1,5 < menos1,3; então,

‒ \frac{3}{2}

< menos1,3.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

17. Utilizando o sinal <, escreva em ordem crescente os seguintes números racionais:

+ \frac{3}{5}, ‒ \frac{5}{3}, 1, + \frac{10}{5}, ‒ \frac{2}{8}

18. Com o auxílio da reta numérica, escreva os números racionais a seguir em ordem decrescente. Utilize o sinal >.

+ 3, ‒ \frac{1}{5}, 0, ‒ \frac{9}{4}, + \frac{4}{5}

19. Identifique as sentenças verdadeiras e, no caderno, corrija as falsas.

a) menos5,7 < menos3,2

\frac{2}{5} < \frac{1}{3}

c) 0 > menos0,15

‒ \frac{3}{5} > ‒ 0, 5

20. (Enem) Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 métro acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 métro acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de altura (em metros) para atividades que não exigem o uso de fôrça são mostrados na figura seguinte.

Ilustração. Homem, branco de cabelos loiros, vestido de terno cinza e camisa branca, cadeirante. O homem está levantando o braço esquerdo. À direita, há marcações de alguma alturas do braço. Na vertical, de baixo para cima: 0,40, indicando mínimo. Acima, 0,80 e acima 1,00. Entre estas últimas medidas, indicação de confortável. Acima de 1,00, 1,20. Acima, 1,35, com indicação de máximo.

Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá aquele potencial comprador é:

a) 0,20 métro e 1,45 métro.

b) 0,20 métro e 1,40 métro.

c) 0,25 métro e 1,35 métro.

d) 0,25 métro e 1,30 métro.

e) 0,45 métro e 1,20 métro.

21. Douglas e Mel fizeram um acordo: quem gastar menos com o almoço pagará a sobremesa. Se Douglas gastou R$ 32,50trinta e dois reais e cinquenta centavos, e Mel, R$ 33,15trinta e três reais e quinze centavos, quem pagará a sobremesa?

22. Em certo dia, foram registradas as medidas de temperatura mínima de 1,6 grau Célsius em Campos do Jordão (São Paulo), 14 graus Célsius em Triunfo (Pernambuco), menos7,4 graus Célsius em Urupema (Santa Catarina) e menos0,5 grau Célsius em Canela (Rio Grande do Sul). No caderno, escreva essas medidas de temperatura em ordem crescente.

23. Lucas faz parte do time de basquete do bairro onde mora. Em dezembro de 2023, ele coletou algumas informações sobre todos os jogadores e organizou-as na tabela a seguir.

Informações sobre jogadores de basquete do time de Lucas
Nome	Medida da altura (m)	Posição
Lucas	1,91	Armador
Marcelo	2,08	Ala/Armador
Anderson	2,11	Pivô
Vitor	1,85	Armador
Leandro	1,88	Ala/Armador

Dados obtidos por Lucas em dezembro de 2023.

Com base nas informações da tabela, responda:

a) Qual é o nome do jogador mais alto?

b) Em que posição joga o jogador mais baixo?

c) No caderno, escreva as medidas das alturas em ordem decrescente.

24.

Elabore um problema que envolva a medida de massa de duas frutas distintas, sendo que uma delas é maior do que a outra.

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Lendo e aprendendo

Ícone do tema Formação Cidadã. Ícone do tema Meio Ambiente. Ícone do tema Saúde.

Onda de frio extrema derruba temperaturas no Brasil

As regiões Sul, Sudeste e Centro-Oeste foram as atingidas

Uma massa de ar frio de origem polar fez com que parte do país registrasse temperaturas extremamente baixas no fim de julho. A frente fria, que chegou ao Brasil pelo Rio Grande do Sul, em 26 de julho, foi se espalhando de fórma intensa pelas regiões Sul, Sudeste e Centro-Oeste, até perder força no início de agosto. Entenda o que houve e confira o que ocorreu nos estados mais fortemente atingidos.

Fotografia. Uma pessoa caminhando na rua, vestida de blusa de frio bege, cachecol preto, com um copo de isopor e uma sacola nas mãos. Acima dela termômetro marcando 7 graus Celsius e umidade do ar, boa. Ao fundo, um ônibus circular. O dia está nublado. — Pessoa caminhando pelas ruas de São Paulo (São Paulo). Foto de 2021.

Por que fez tanto frio no fim de julho?

reticências Amanda Rehbein, coordenadora do Grupo de Estudos Climáticos da Universidade de São Paulo (GREC-USP), disse que o frio extremo no Brasil tem relação com o aquecimento global, processo em que a temperatura média do planeta aumenta e provoca eventos climáticos extremos em todo o mundo.

A pesquisadora explica que o aquecimento global está intensificando as trocas de calor entre a região tropical (onde fica o território brasileiro) e os polos. “A região tropical recebe maior quantidade de radiação solar do que os polos. Isso faz com que essa região fique mais aquecida e redistribua esse calor. Dessa fórma, o calor da área tropical avança em direção à região polar. Ao mesmo tempo, o frio polar avança em direção à região tropical. A partir dessa circulação, as ondas de frio e de calor são geradas”, diz. “O aquecimento global intensifica as trocas de energia entre os trópicos e os polos, forçando a atmosfera dos polos a enviar mais frio para regiões como a em que o Brasil está localizado.”

Rehbein afirma que, embora não seja possível acabar com o aquecimento global, podemos diminuir seus efeitos reduzindo a emissão de gases poluentes que são lançados na atmosfera.

reticências

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Lendo e aprendendo

Goiás (Goiás)

Em Goiânia, capital, fez em torno de 10 graus Célsius – a mínima em julho costuma ser 16 graus Célsius. Foi mais frio em cidades do interior, como em Jataí, que chegou a 4 graus Célsius.

Mato Grosso do Sul (Mato Grosso do Sul)

Na capital, Campo Grande, a temperatura chegou a ficar em torno dos 5 graus Célsius, com sensação de 2 graus Célsius (a mínima em julho costuma ser de 16 graus Célsius). Além disso, 35 municípios tiveram geada e pelo menos cinco cidades atingiram registros negativos: em Santa Rita do Pardo, os termômetros marcaram menos0,7 grauC em 30 de julho.

Minas Gerais (Minas Gerais)

Belo Horizonte, a capital, registrou, no dia 30 de julho, 7,5 graus Célsius, a menor temperatura desde 2006. Em outras cidades mineiras, nessa data, o frio chegou a registros negativos: em Monte Verde, fez menos4,5 graus Célsius.

Rio de Janeiro (Rio de Janeiro)

Na capital, os termômetros chegaram a 10,6 grausC (a mínima em julho costuma ser 18 grausC). Porém, a temperatura mais fria do ano continua sendo a de 8,4 graus Célsius, de 20 de julho. Outros municípios tiveram os menores registros do ano em 30 de julho – caso de Carmo, que chegou a 4,5 grausC.

São Paulo (São Paulo)

A cidade de São Paulo teve a menor temperatura dos últimos cinco anos na madrugada de 30 de julho: média de 4 grausC. Nessa data, em alguns bairros da capital e em outras cidades do estado, os termômetros chegaram a ficar abaixo de 0 grauC. O município de Rancharia, por exemplo, atingiu menos4,1 grausC.

Paraná (Paraná)

Curitiba, a capital, teve, em 29 de julho, a temperatura mais baixa do ano: menos 0,8 grauC, com sensação de menos3 grausC – o mês costuma ter mínima de 10 grausC. Pelo menos mais 14 cidades tiveram as temperaturas mais baixas do ano. General Carneiro atingiu menos 5,4 grausC, o registro mais frio do estado.

Santa Catarina (Santa Catarina)

Em 29 de julho, a capital, Florianópolis, teve a madrugada mais fria do ano, com 4,4 grausC (em julho, a mínima costuma ser de 14 grausC). Nevou em pelo menos 28 cidades. Em Urupema, uma das mais frias do país, fez menos8 grausC.

Rio Grande do Sul (Rio Grande do Sul)

A capital, Porto Alegre, que costuma ter mínima de 10 grausC em julho, chegou a 4 grausC com sensação de até 1,1 grauC devido à intensidade dos ventos. Nevou em 13 cidades, incluindo Gramado, famosa pelas baixas temperaturas.

Fontes: Agência Brasil, Agora São Paulo, Centro de Gerenciamento de Emergências Climáticas Climatempo, Gazeta do Povo, G1, Governo do estado do Mato Grosso do Sul, Governo do estado do Paraná, Instituto Nacional de Meteorologia, Hora 1, MetSul Meteorologia, Veja Rio e Zero Hora.

reticências

CATALDO, J. Onda de frio extrema derruba temperaturas no Brasil. Jornal Joca, número174, página 3, 9 a 23 de agosto de 2021.

Atividades

1. Responda às questões no caderno.

a) Em que edição do jornal a matéria anterior foi publicada?

b) Quais regiões do Brasil foram mais atingidas pela onda de frio em julho de 2021?

c) Em que dia a frente fria chegou ao Brasil?

d) Qual é a principal causa do frio extremo que atingiu o Brasil no final de julho de 2021?

2. Escreva, no caderno, os números racionais que aparecem no texto.

3. Copie as afirmações verdadeiras no caderno.

a) No dia 30 de julho de 2021, a medida da temperatura mínima em Monte Verde (Minas Gerais) foi menor do que em Santa Rita do Pardo (Mato Grosso do Sul).

b) No dia 30 de julho de 2021, a medida da temperatura mínima no município de Carmo (Rio de Janeiro) foi menor do que no município de Rancharia (São Paulo).

c) No dia 29 de julho de 2021, a medida da temperatura mínima em General Carneiro (Paraná) foi inferior a menos6 graus Célsius.

d) No dia 29 de julho de 2021, a medida da temperatura mínima em General Carneiro (Paraná) foi superior à de Urupema (Santa Catarina).

Todos os anos, no período do inverno, as pessoas em situação de rua sofrem muito com as baixas medidas de temperatura, que chegam a provocar a morte de seres humanos nas calçadas. Pensando nisso, reúna-se com 3 colegas e criem um texto publicitário para uma campanha de arrecadação de agasalhos e cobertores.

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3 Adição e subtração com números racionais

Observe as situações a seguir, que envolvem adição e subtração de números racionais.

Situação 1

Ilustração. Celular sendo segurado por uma mão. Na tela do celular, acima faixa azul com o escrito Banco, simbolo cifrão, DINDIN. Abaixo, fundo verde, a mensagem:
Olá José!
Ag. 1111
Conta 22111-1
Abaixo, linha horizontal azul.
Abaixo, Conta corrente, abaixo Saldo, abaixo, R$ 856,75-.

José verificou que sua conta bancária tinha saldo negativo de R$ 480,50quatrocentos e oitenta reais e cinquenta centavos. No dia seguinte, ele fez pagamentos no valor total de R$ 376,25trezentos e setenta e seis reais e vinte e cinco centavos. Após efetuar esses pagamentos, como ficou a conta bancária de José?

Para responder à pergunta, podemos realizar o seguinte cálculo:

(‒480,50fecha parênteses + (‒376,25fecha parênteses = menos856,75

Portanto, após efetuar os pagamentos, a conta bancária de José ficou com saldo negativo de R$ 856,75oitocentos e cinquenta e seis reais e setenta e cinco centavos.

Situação 2

No início de certa noite, em São Joaquim (Santa Catarina), foi registrada a medida de temperatura de menos7,6 graus Célsius. Já no início da manhã seguinte, houve aumento de 5,5 graus Célsius na medida da temperatura. Qual foi a medida da temperatura registrada em São Joaquim no início da manhã?

Para determinar a medida da temperatura no início da manhã, calculamos:

(‒7,6fecha parênteses + abre parênteses+5,5fecha parênteses = menos2,1

Portanto, a medida da temperatura registrada em São Joaquim no início da manhã foi de menos2,1 graus Célsius.

Situação 3

Na 1ª etapa de uma expedição submarina, Júlio mergulhou a menos20,5 métros de medida de profundidade. Durante a 2ª etapa, ele desceu mais alguns metros, atingindo menos27,3 métros de medida de profundidade. Quantos metros Júlio desceu a mais na 2ª etapa da expedição?

Para responder à pergunta, podemos fazer: (‒27,3fecha parênteses menos (‒20,5fecha parênteses

Observe que ‒(‒20,5fecha parênteses é o simétrico do número menos20,5; ou seja, é igual a +20,5. Assim:

(‒27,3fecha parênteses menos (‒20,5fecha parênteses = (‒27,3fecha parênteses + abre parênteses+20,5fecha parênteses = menos6,8

Portanto, Júlio desceu 6,8 métros a mais na 2ª etapa da expedição.

Observação

As propriedades da adição com números inteiros também são válidas para a adição com números racionais que não são inteiros.

Observe como podemos adicionar e subtrair outros números racionais:

(+ \frac{1}{2}) ‒ (‒ \frac{3}{4}) = + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2 + 3}{4} = + \frac{5}{4}

(‒ \frac{3}{2}) + (‒ \frac{2}{7}) + (+ \frac{5}{2}) = ‒ \frac{3}{2} ‒ \frac{2}{7} + \frac{5}{2} = \frac{‒ 21 ‒ 4 + 35}{14} = + \frac{10}{14} = + \frac{5}{7}

Página 128

Atividades

Faça as atividades no caderno.

25. Efetue as adições e as subtrações.

(‒ \frac{2}{3}) + (+ \frac{1}{4})

(‒ \frac{4}{7}) + (‒ \frac{2}{6})

(+ \frac{4}{3}) ‒ (+ \frac{3}{5})

d) abre parêntesesmenos2,1fecha parênteses + abre parênteses+3,25fecha parênteses

e) abre parênteses+5,5fecha parênteses menos abre parênteses+8,13fecha parênteses

f) (‒4,72fecha parênteses menos (‒0,28fecha parênteses

g) menos1,17 menos (‒1,17fecha parênteses

1, 81 + 1, 81 ‒ 1, 81 + (‒ 1, 81) + \frac{1}{2}

26. Calcule o valor de cada expressão.

‒ \frac{3}{2} + \frac{5}{6} + \frac{1}{3}

1, 5 ‒ \frac{3}{8} ‒ \frac{6}{5}

\frac{3}{7} ‒ 1 + \frac{4}{3}

1, 7 + (\frac{2}{3} ‒ 0, 25) ‒ \frac{1}{4}

\frac{1}{5} ‒ (\frac{4}{5} + 1, 2) + 40

\frac{1}{3} ‒ \frac{1}{3} ‒ (\frac{1}{5} ‒ \frac{2}{10})

27.

Escreva a sequência de teclas que Beatriz deverá apertar em uma calculadora para determinar o valor de abre parênteses+4,2fecha parênteses menos abre parêntesesmenos3,7fecha parênteses. Qual será o resultado? Lembre-se de que empregamos o ponto para indicar a vírgula de um número decimal.

28. Em certo mês, uma cidade do Sul do país teve medida de temperatura máxima de 14,5 graus Célsius e medida de temperatura mínima de menos2,8 graus Célsius. Qual foi a diferença entre as medidas de temperatura máxima e mínima registradas nesse mês, nessa cidade?

29.

Invente um problema que possa ser resolvido por meio da seguinte operação:

menos 35,50 menos (‒42,75fecha parênteses = 7,25

30. Vítor gastou, em maio,

\frac{1}{3}

do seu salário com alimentação e

\frac{1}{2}

com entretenimento, sobrando-lhe ainda R$ 315,00trezentos e quinze reais. Qual foi o salário de Vítor nesse mês?

31. O Brasil subiu ao pódio na Paralimpíada de Tóquio, na modalidade de salto em distância categoria T11. Silvânia Costa de Oliveira, medalhista de ouro, alcançou a marca de 5,00 métros, e Yuliia Pavlenko conquistou a medalha de bronze, com a marca de 4,86 métros. Considere o quadro a seguir.

Medalhistas no salto em distância da classe T11
País	Atleta	Medida da distância (m)
Brasil	Silvânia Costa de Oliveira	5,00
Uzbequistão	Asila Mirzayorova	4,91
Ucrânia	Yuliia Pavlenko	4,86

Dados disponíveis em: https://oeds.link/dNUBlH. Acesso em: 16 maio 2022.

a) Qual é a diferença, em metro, entre a marca da primeira e a da terceira colocada?

b) Sabendo que a medida da distância alcançada pela quarta colocada foi 9 centímetros menor que a da terceira colocada, qual foi a marca alcançada por ela?

32.

Copie o enunciado do problema a seguir em seu caderno e complete-o com valores adequados, depois, peça a um colega que o resolva.

Ilustração. Texto manuscrito. Vitor estava com saldo negativo no valor de quadradinho cinza em sua conta bancária e sacou uma cédula de quadradinho cinza. Quanto ficou de saldo na conta bancária de Vitor após esse saque?

Página 129

4 Multiplicação com números racionais

Acompanhe a situação a seguir.

Ilustração.
Barraca de feira de maçãs, mesa verde e toldo laranja. Atrás da barraca há dois homens. Um deles moreno, de cabelos castanhos, vestido com ma camiseta verde de mangas listradas em azul e branco. O outro, branco de cabelos e barba ruiva, vestido com camiseta amarela. Entre eles há uma balança para pesar as maçãs.

Rodrigo comprou 2,7 quilogramas de maçã ao preço de R$ 5,90cinco reais e noventa centavos o quilograma. Quanto ele gastou nessa compra?

Para resolver esse problema, calculamos 2,7 ⋅ 5,90:

2,7 \cdot 5, 90 = \frac{27}{10} \cdot \frac{590}{100} = \frac{15 930}{1 000} = 15, 930 = 15, 93

Portanto, Rodrigo gastou R$ 15,93quinze reais e noventa e três centavos nessa compra.

Também podemos calcular 2,7 × 5,90 utilizando o algoritmo.

Para fazer os cálculos, transformamos os números racionais em números inteiros, multiplicando 5,90 por 100 e 2,7 por 10.

Esquema. Algoritmo usual da multiplicação. 590. Abaixo sinal da multiplicação 27. Abaixo traço horizontal. Abaixo 4 mil 130. Abaixo sinal da adição, 11 mil 800. Abaixo traço horizontal. Abaixo 15 mil 930. À direita de 590, chega uma seta indicando o resultado da multiplicação 5 inteiros e 90 centésimos vezes 100. À direita de 27, chega uma seta indicando o resultado da multiplicação 2 inteiros e 7 décimos vezes 10.

Como um fator foi multiplicado por 100 e outro por 10, o resultado ficou multiplicado por .1000. Para recuperar o resultado da conta original, devemos dividi-lo por .1000.

.15930 : .1000 = 15,930

Note que o número de casas decimais do produto é igual à soma do número de casas decimais dos fatores.

Esquema. Algoritmo usual da multiplicação. 5 inteiros e 90 centésimos. Abaixo sinal da multiplicação 2 inteiros e 7 décimos. Abaixo traço horizontal. Abaixo 4 mil 130. Abaixo sinal da adição, 11 mil 800. Abaixo traço horizontal. Abaixo 15 inteiros 930 milésimos. À direita de 5 inteiros e 90 centésimos, chega uma seta indicando fator com 2 casa decimais. À direita de 2 inteiros e 7 décimos, chega uma seta indicando fator com 1 casa decimal. À direita de 15 inteiros 930 milésimos, chega uma seta indicando produto com 3 casas decimais abre parênteses, 2 mais 1 é igual a 3, fecha parênteses. Abaixo de 15 inteiros e 930 milésimos, linha vermelha horizontal, desta sai outra linha vermelha para baixo e à direita, indicando a sentença 15 inteiros 930 milésimos é igual a 15 inteiros e 93 centésimos.

De maneira prática, podemos efetuar a multiplicação de dois ou mais números racionais desconsiderando a vírgula dos fatores. Em seguida, acrescentamos a vírgula ao resultado, de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma do número de casas decimais dos fatores.

Observe alguns exemplos de como podemos multiplicar números racionais.

a) 2 ⋅ (menos1,02) = menos1,02 + (menos1,02) = menos1,02 menos 1,02 = menos2,04

(+ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{3}{4}) = \frac{(+ 1) \cdot (‒ 3)}{2 \cdot 4} = \frac{‒ 3}{8} = ‒ \frac{3}{8}

(‒ \frac{49}{20}) \cdot (‒ \frac{2}{7}) = \frac{(‒ 49) \cdot (‒ 2)}{20 \cdot 7} = \frac{(‒ 7) \cdot (‒ 1)}{(10) \cdot (1)} = \frac{7}{10}

d) (‒0,1fecha parênteses ⋅ abre parênteses+1,4fecha parênteses

Página 130

1º modo:

(‒ \frac{1}{10}) \cdot (+ \frac{14}{10}) = \frac{(‒ 1) \cdot (+ 14)}{10 \cdot 10} = \frac{‒ 14}{100} = ‒ 0, 14

2º modo:

Esquema. Algoritmo usual da multiplicação. 1 décimo. Abaixo sinal da multiplicação 1 inteiro e 4 décimos. Abaixo traço horizontal. Abaixo 4 . Abaixo sinal da adição, 10. Abaixo traço horizontal. Abaixo 14 décimos.
À direita de 1 décimo, chega uma seta indicando fator com 1 casa decimal.
À direita de1 inteiro e 4 décimos, chega uma seta indicando fator com 1 casa decimal.
À direita de14 centésimos, chega uma seta indicando fator com 2 casas decimais.

O resultado de abre parêntesesmenos0,1fecha parênteses ⋅ abre parênteses+1,4fecha parênteses é menos0,14.

Como os fatores têm sinais diferentes, o produto é um número negativo.

Observação

O sinal de um produto entre dois números racionais não inteiros é determinado pelo mesmo procedimento utilizado para determinar o sinal do produto entre números inteiros.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

33.

Calcule o valor de cada expressão. Em seguida, confira o resultado utilizando uma calculadora.

a) abre parêntesesmenos3,85fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2,4fecha parênteses

b) abre parênteses+1,4fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos0,5fecha parênteses

c) abre parêntesesmenos2,5fecha parênteses ⋅ 30

d) abre parêntesesmenos0,3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos0,01fecha parênteses

34. Efetue as multiplicações.

(‒ \frac{4}{5}) \cdot (‒ \frac{7}{4})

(+ \frac{4}{9}) \cdot (‒ \frac{16}{81})

(+ \frac{5}{8}) \cdot (‒ \frac{4}{3})

(+ \frac{4}{5}) \cdot 0

(‒ \frac{15}{11}) \cdot 1

(+ 3) \cdot (‒ \frac{3}{9}) \cdot (+ \frac{18}{6})

35. Isadora vai revestir uma das paredes de seu quarto com um papel decorativo. Essa parede tem 4,35 métros de medida de comprimento por 2,80 métros de medida de largura. Quantos metros quadrados de papel decorativo serão necessários para cobri-la?

36. Determine o produto dos números menos40 e menos0,025.

37. Catarina almoça todos os dias no mesmo restaurante. Ela pode optar por escolher a comida e medir a massa do prato, pagando R$ 32,00trinta e dois reais por quilograma, ou comer à vontade, pagando R$ 14,50quatorze reais e cinquenta centavos.

a) Na segunda-feira, ela optou por pagar em relação à medida de massa de seu prato, que foi igual a 0,350 quilograma. Quanto Catarina pagou?

b) Na sexta-feira, ela estava com muita fome e optou por comer à vontade. Para ter certeza de que escolheu a opção mais econômica, decidiu medir a massa do seu prato. A balança marcou 0,525 quilograma. Você acha que Catarina fez a opção correta? Por quê?

Página 131

38. Calcule, no caderno, o valor da expressão:

(‒ \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{81} + 0, 3) \cdot (‒ \frac{3}{4})

39. Em uma sessão de cinema, foram vendidos 328 ingressos, sendo 80 meias-entradas. Calcule o valor arrecadado nessa sessão, sabendo que o preço do ingresso inteiro é R$ 16,50dezesseis reais e cinquenta centavos.

40. Pedro comprou uma moto. Ele pagou

\frac{3}{10}

de entrada e dividiu o restante em 20 parcelas iguais de R$ 217,70duzentos e dezessete reais e setenta centavos. Qual foi o valor da moto?

41. (ó bê ême) Laurinha tinha em sua carteira somente notas de 10 reais e moedas de 10 centavos. Ela pagou uma conta de 23 reais com a menor quantidade possível de moedas. Quantas moedas ela usou?

a) 3

b) 6

c) 10

d) 23

e) 30

42.

Com o auxílio de uma calculadora, multiplique alguns números racionais e registre os cálculos que você fez no caderno. Depois, multiplique os mesmos números, mas em outra ordem, e também registre os cálculos no caderno. O que os resultados obtidos por você sugerem? Converse com os colegas.

43.

Com o auxílio de uma calculadora, multiplique alguns números racionais por 1. O que os resultados obtidos por você sugerem? Converse com os colegas.

44.

Será que as propriedades associativa e distributiva válidas para a multiplicação com números inteiros também são válidas para a multiplicação com números racionais? Reúna-se com um colega e façam algumas investigações com o auxílio de uma calculadora. Depois, compartilhem suas conclusões com a turma.

45. Durante a aula de Matemática, a professora Luciana escreveu no quadro uma expressão e pediu aos estudantes que a resolvessem. Isabela e Marcelo resolveram a expressão da seguinte forma:

Ilustração.
Folha de papel pautada com os escritos:
Na primeira linha, Isabela.
Abaixo a expressão: Abre parênteses um meio mais 3 quartos, fecha parênteses, vezes 16 20 avos, igual.
Abaixo, igual abre parênteses 2 quartos mais 3 quartos fecha parênteses vezes 16 20 avos, igual.
Abaixo, igual 5 quartos vezes 16 20 avos, igual a 80 80 avos, igual a 1.

Ilustração.
Folha de papel pautada com os escritos:
Na primeira linha, Marcelo.
Abaixo a expressão: Abre parênteses um meio mais 3 quartos, fecha parênteses, vezes 16 20 avos, igual.
Abaixo, meio vezes 16 20 avos mais 3 quartos vezes 16 20 avos, igual.
Abaixo, igual 16 40 avos mais 24 40 avos, igual a 40 40 avos, igual a 1.

Embora tenham resolvido de maneiras diferentes, Isabela e Marcelo obtiveram o mesmo resultado.

a) Explique, passo a passo, como Isabela resolveu a expressão.

b) Quais são as propriedades envolvidas em cada resolução?

c) Como você resolveria? Por quê?

46.

Complete o enunciado do problema a seguir e depois peça a um colega que o resolva.

Ilustração. Texto manuscrito. Paula comprou quadradinho cinza caixas de piso cerâmico, cada uma delas com quadradinho cinza metros quadrados de piso. Qual é o valor total dessa compra, sabendo que o metro quadrado desse piso custa quadradinho cinza?

Página 132

47.

Junte-se a um colega e façam o que se pede.

a) Calculem os produtos.

•

(‒ \frac{2}{9}) \cdot (‒ \frac{9}{2})

•

(+ \frac{15}{4}) \cdot (+ \frac{4}{15})

•

(‒ \frac{1}{19}) \cdot (‒ \frac{19}{1})

b) Respondam: Por qual fração devemos multiplicar

(‒ \frac{6}{5})

para obter 1?

c) Escrevam três frações e troquem-nas entre si. Cada um de vocês deve obter as frações que, multiplicadas pelas frações dadas pelo colega, resultem em 1.

d) Dada a fração

\frac{a}{b}

, com a ê bê números inteiros diferentes de zero, respondam: Por qual fração devemos multiplicar

\frac{a}{b}

para obter 1 como resultado?

e) Pares de frações cujo produto é 1, como

(‒ \frac{2}{9})

(‒ \frac{9}{2})

(+ \frac{15}{4})

(+ \frac{4}{15})

(\frac{1}{19})

(\frac{19}{1})

, são chamados de inversos multiplicativos. Escrevam dois pares de frações que sejam inversos multiplicativos e passem-nos para outra dupla verificar se o produto deles é 1.

5 Divisão com números racionais

Acompanhe as situações a seguir.

Situação 1

Ilustração. Fachada de uma loja de brinquedos. Acima, BRINQUEDOS.
À esquerda, entrada da loja. À direita, vitrine com um saco de bolas de futebol brancas com detalhes pretos. Acima do saco, cartaz com o escrito: Promoção! Abaixo do preço de custo.

Lúcio comprou 180 bolas de um mesmo modelo para revendê-las em sua loja e pagou R$ 675,00seiscentos e setenta e cinco reais por elas. No entanto, por causa da concorrência de lojas vizinhas, precisou vendê-las com desconto, de modo que só conseguiu recuperar R$ 450,00quatrocentos e cinquenta reais. Qual foi o prejuízo de Lúcio em cada bola?

Para calcular o prejuízo de Lúcio, devemos resolver a expressão: abre parênteses450 menos 675fecha parênteses : 180

Ou seja, efetuar a divisão: abre parêntesesmenos225fecha parênteses : 180

Observe, a seguir, a divisão de 225 por 180:

Esquema. Algoritmo da divisão. À esquerda, 225 (Acima do 2, indicação C, acima do outro 2 indicação D e acima do 5, indicação U). Dentro da chave, 180. Abaixo de 225, menos 180. Abaixo, linha horizontal. Abaixo, 450. Abaixo de 450 , menos 360. Abaixo, linha horizontal. Abaixo, 900. Abaixo de 900, menos 900. Abaixo, linha horizontal. Abaixo, 0. Abaixo da chave, quociente 1 décimo e 25 centésimos (abaixo do 1 indicação U, abaixo do 2, indicação d, abaixo do 5, indicação c)

Temos que 225 : 180 = 1,25 e, portanto: abre parêntesesmenos225fecha parênteses : 180 = menos1,25

Logo, Lúcio teve um prejuízo de R$ 1,25um reais e vinte e cinco centavos em cada bola.

Página 133

Situação 2

Ilustração.
Garota, branca de cabelos castanhos presos, vestida com uma camiseta verde. À frente dela, há 3 garrafões encima de uma mesa. À esquerda, dela há 3 garrafas menores. Ela tem nas mãos uma garrafa dessas menores e está enchendo com o conteúdo de um dos garrafões.

Regina distribuiu o conteúdo de 3 garrafões de 20 litros em garrafas com medida de capacidade de

\frac{6}{10}

de litro, enchendo-as completamente. Quantas garrafas foram utilizadas?

Para resolver esse problema, podemos calcular o valor da expressão: (3 ⋅ 20) :

\frac{6}{10}

Esquema. Sentença matemática.
60 dividido por 6 décimos (em fração), igual a 60 vezes 10 sextos, igual a 100 sobre 1, igual a 100.
Na segunda parte da igualdade, o 60 foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 10. Ao mesmo tempo, o 6 também foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 1.

Portanto, foram utilizadas 100 garrafas de

\frac{6}{10}

de litro.

Na sequência, temos mais exemplos de divisões de números racionais na fórma de fração.

Esquema. Sentença matemática.
Abre parênteses, mais meio fecha parênteses, dividido por, abre parênteses, menos 3 quartos, fecha parênteses igual a, abre parênteses, mais meio fecha parênteses, vezes abre parênteses, menos 4 terços, fecha parênteses , igual a menos 2 terços.
Na segunda parte da igualdade, o 2 foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 1. Ao mesmo tempo, o 4 também foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 2.

(+ \frac{7}{5}) : (+ 4) = (\frac{7}{5}) \cdot (\frac{1}{4}) = + \frac{7}{20}

Esquema. Sentença matemática.
Abre parênteses, menos 2 terços fecha parênteses, dividido por, abre parênteses, menos 8 terços, fecha parênteses igual a, abre parênteses, menos 2 terços fecha parênteses, vezes abre parênteses, menos 3 oitavos, fecha parênteses , igual a mais 1 quarto. Na segunda parte da igualdade, o 2 foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 1. Ao mesmo tempo, o 8 também foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 4. Os dois números 3 também estão cortados com um alinha laranja e acima deles há o número 1.

Sentença matemática. Abre parênteses menos 49 20 avos, fecha parênteses, dividido por abre parênteses, menos 2 sétimos, fecha parênteses, dividido por abre parênteses, mais 14 quintos, fecha parênteses, igual. Abaixo, igual a, abre colchetes, abre parênteses menos 49 20 avos, fecha parênteses, vezes abre parênteses, menos 7 meios, fecha parênteses, fecha colchetes, vezes abre parênteses, mais 5 14 avos, fecha parênteses, igual. Abaixo, igual a, abre parênteses mais 343 40 avos, fecha parênteses, vezes abre parênteses, mais 5 14 avos, fecha parênteses, igual. O número 343 esta cortado com uma linha laranja, e acima dele há o número 49. O número 40 também está cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 8. O número 5 esta cortado com uma linha laranja, e acima dele há o número 1. O número 14 também está cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 2. Abaixo, igual a, 49 vezes 1 sobre, 8 vezes 1, igual a mais 49 16 avos.

Ilustração. Homem moreno de cabelos e cavanhaque preto, cadeirante, vestido com uma camiseta verde, calça verde-claro e tênis vermelho. Com os braços levantados gesticulando enquanto fala. Dois números não nulos são inversos quando seu produto é igual a 1. Para obter o inverso de uma fração, invertemos o numerador e o denominador. De todos os números racionais, o único que não tem inverso é o zero, pois não existe divisão por zero.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

48.

Calcule o valor das expressões e, depois, confira o resultado utilizando uma calculadora.

a) menos27,6 : 1,5

b) abre parêntesesmenos4,9fecha parênteses : abre parêntesesmenos0,98fecha parênteses

Página 134

49. Calcule.

a) abre parêntesesmenos200fecha parênteses : abre parênteses+0,5fecha parênteses

b) abre parênteses+16,2fecha parênteses : (‒3,6fecha parênteses

c) abre parêntesesmenos81,64fecha parênteses : abre parêntesesmenos6,5fecha parênteses

d) abre parênteses+12,6fecha parênteses : abre parêntesesmenos0,25fecha parênteses

50. Efetue as divisões.

(+ \frac{7}{6}) : (‒ \frac{1}{7})

(+ \frac{3}{7}) : (+ \frac{21}{49})

(‒ \frac{4}{7}) : (‒ \frac{8}{7})

(‒ \frac{3}{5}) : (‒ \frac{9}{15})

(‒ \frac{4}{9}) : (+ \frac{16}{81})

(‒ \frac{5}{2}) : (+ 8)

(+ 16) : (‒ \frac{3}{8})

(‒ \frac{3}{5}) : (+ 0, 1)

51. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa. Dê um exemplo para cada verdadeira e corrija cada falsa.

a) Dividir por 0,5 equivale a multiplicar por 2.

b) Para resolver uma multiplicação por 5, pode-se multiplicar por 10 e, em seguida, dividir por 2.

c) Multiplicar por

\frac{3}{4}

equivale a dividir por 0,75.

52. (Obmep) A professora Luísa observou que o número de meninas de sua turma dividido pelo número de meninos dessa mesma turma é 0,48. Qual é o menor número possível de alunos dessa turma?

a) 24

b) 37

c) 40

d) 45

e) 48

6 Potenciação de números racionais

Ilustração. Garota parda de cabelo curto preto, vestida de camiseta branca, calça azul e tênis branco com detalhes azul-claro. Ela está jogando uma bolinha laranja para um cachorrinho de pequeno porte, branco com coleira vermelha. è mostrado a trajetória da bolinha que bate duas vezes no chão. A primeira queda da bolinha, tem uma cota h, distância da bolinha ao chão.

Floc não consegue pegar a bolinha que sua dona deixa cair de uma medida de altura h. Cada vez que a bola toca o chão, ela sobe até

\frac{3}{5}

da medida da altura anterior. Que fração da medida da altura inicial (h) a bolinha de Floc atingirá após bater pela terceira vez no chão? Escreva essa fração da medida da altura na fórma de potência.

Para resolver o problema, vamos verificar passo a passo as medidas das alturas que a bolinha atinge.

• Inicial: h

• Após a 1ª batida no chão:

\frac{3}{5}

de h ou

\frac{3}{5} h

• Após a 2ª batida no chão:

\frac{3}{5}

\frac{3}{5} h

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} h = {(\frac{3}{5})}^{2} h

• Após a 3ª batida no chão:

\frac{3}{5}

{(\frac{3}{5})}^{2} h

\frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{5})}^{2} h = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} h = {(\frac{3}{5})}^{3} h

Página 135

Após a terceira vez que bater no chão, a bolinha atingirá

{(\frac{3}{5})}^{3}

\frac{27}{125}

da medida da altura inicial.

Nessa situação, foi possível recordar que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

Assim, para um número racional a com expoente natural n maior que 1, definimos:

Esquema.
a elevado a n, é igual a a vezes a, vezes a, vezes, reticências, vezes a.
Linha laranja abaixo dos fatores a, com seta para baixo indicando, n fatores.

Considere mais alguns exemplos de potências de números racionais.

{(‒ \frac{1}{2})}^{5} = (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) = ‒ \frac{1}{32}

{(+ \frac{2}{5})}^{3} = (+ \frac{2}{5}) \cdot (+ \frac{2}{5}) \cdot (+ \frac{2}{5}) = + \frac{8}{125}

c) (‒0,4)elevado a 4 = (‒0,4fecha parênteses ⋅ (‒0,4fecha parênteses ⋅ (‒0,4fecha parênteses ⋅ (‒0,4fecha parênteses = +0,0256

d) (‒1,2)elevado a 2 = (‒1,2fecha parênteses ⋅ (‒1,2fecha parênteses = +1,44

Observações

1. Para todo número racional a com expoente 1, temos: aelevado a 1 = a

Alguns exemplos:

{(‒ \frac{7}{4})}^{1} = ‒ \frac{7}{4}

{(\frac{2}{5})}^{1} = \frac{2}{5}

c) (‒0,32)elevado a 1 = menos0,32

2. Para todo número racional a não nulo, com expoente igual a zero, temos: aelevado a 0 = 1

Alguns exemplos:

{(+ \frac{2}{3})}^{0} = 1

{(‒ \frac{4}{5})}^{0} = 1

c) (‒0,47)elevado a 0 = 1

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

53. Calcule as potências.

{(‒ \frac{1}{3})}^{4}

b) abre parênteses0,01)elevado a 2

{(‒ \frac{17}{20})}^{0}

{(‒ \frac{1}{2})}^{4}

e) abre parênteses1,2)elevado a 2

f) menos0,5elevado a 1

54. Sabe-se que a medida da área do quadrado é dada pelo quadrado da medida de comprimento do lado.

a) Qual é a medida da área de um quadrado cujos lados medem 4,2 centímetros de comprimento?

b) Qual é a medida da área de um quadrado cujo comprimento dos lados mede m?

55. Sabendo que

a = \frac{1}{2}

b = \frac{3}{4}

, calcule:

a) aelevado a 2 + belevado a 2

b) abre parêntesesa + b)elevado a 2

56. A população de um tipo de bactéria aumenta 10% a cada semana, ou seja, corresponde a

\frac{110}{100}

\frac{11}{10}

da população da semana anterior.

Ilustração em 3D. Bactérias, em formato cilíndrico laranja. — Ilustração em 3D, em cores fantasia, de bactérias lactobacilos (ampliação de 15.000 vezes). Algumas dessas bactérias são utilizadas na fabricação de produtos lácteos, como o iogurte.

Página 136

Se um biólogo contou duas.000 bactérias em uma colônia, quantos indivíduos terá essa população após três semanas da contagem?

57. (ó bê ême) Podemos afirmar que 0,1elevado a 2 + 0,2elevado a 2 é igual a:

\frac{1}{20}

\frac{1}{10}

\frac{1}{5}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

7 Raiz quadrada de números racionais

Observe as situações a seguir.

Situação 1

Um quadrado tem 0,4 decímetro de medida de comprimento do lado.

Figura geométrica. Quadrado azul com os 4 ângulos retos indicados e comprimento do lado de 0,4 dm.

Calculando a medida da área desse quadrado, temos:

0,4 decímetro ⋅ 0,4 decímetro = abre parênteses0,4 ⋅ 0,4fecha parênteses decímetro quadrado = 0,16 decímetro quadrado

O número racional 0,16 é um quadrado perfeito e 0,4 é a raiz quadrada desse número.

Chamamos de quadrados perfeitos os números racionais que podem ser escritos como potência de base racional e expoente 2.

Então: abre parênteses0,4)elevado a 2 = 0,16

A raiz quadrada de um quadrado perfeito é o número racional não negativo cujo quadrado é igual ao número dado.

Então:

\sqrt{0, 16} = 0, 4

, pois abre parênteses0,4)elevado a 2 = 0,16.

Situação 2

Um quadrado tem

\frac{3}{5}

decímetro de medida de comprimento do lado.

Figura geométrica. Quadrado azul com os 4 ângulos retos indicados e comprimento do lado de 3 quintos de dm.

Calculando a medida da área desse quadrado, temos:

\frac{3}{5} d m \cdot \frac{3}{5} d m = (\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}) d m^{2} = \frac{9}{25} d m ²

O número racional

\frac{9}{25}

é um quadrado perfeito e

\frac{3}{5}

é a raiz quadrada desse número.

Ou seja:

\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

Página 137

Observe outros exemplos:

\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}

,  pois  

{(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}

\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

, pois

{(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}

\sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{5}{8}

, pois

{(\frac{5}{8})}^{2} = \frac{25}{64}

\sqrt{0, 04} = 0, 2

, pois abre parênteses0,2)² = 0,04.

e) z

\sqrt{0, 36} = 0, 6

, pois abre parênteses0,6)² = 0,36.

\sqrt{0, 49} = 0, 7

, pois abre parênteses0,7)² = 0,49.

Observações

1. A raiz quadrada de números racionais negativos não é um número racional, porque não existe um número racional que, elevado ao expoente 2, resulte em um número negativo.

Por exemplo,

\sqrt{‒ \frac{1}{25}}

não é um número racional, pois não existe número racional que, multiplicado por ele mesmo, resulte em

‒ \frac{1}{25}

Note que:

‒ \sqrt{\frac{1}{64}}

é um número racional

Esquema. Sentença matemática.
Menos a raiz quadrada de 1 64 avos é igual a - 1 oitavo.
Sai seta do sinal de menos da raiz quadrada de 1 64 avos, para baixo, para à direita e para cima, indicando o sinal de menos da fração 1 oitavo.

‒ \sqrt{0, 25}

é um número racional

Esquema. Sentença matemática.
Menos a raiz quadrada de 25 centésimos (em decimal) é igual a menos a raiz quadrada de 25 centésimos (em fração), fecha raiz, igual a menos 5 décimos (em fração), igual a menos 5 décimos (em decimal).
Sai seta do sinal de menos da raiz quadrada de 25 centésimos (em fração), para baixo, para à direita e para cima, indicando o sinal de menos da fração 5 décimos.

2. A raiz quadrada de um número que não é um quadrado perfeito não é um número racional.

•

\sqrt{2, 5}

não é um número racional, pois 2,5 não é um quadrado perfeito.

•

\sqrt{\frac{36}{47}}

não é um número racional, pois

\frac{36}{47}

não é um quadrado perfeito.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

58. Calcule, se possível, as raízes quadradas.

\sqrt{\frac{100}{9}}

\sqrt{1, 96}

‒ \sqrt{0, 01}

\sqrt{6, 25}

\sqrt{\frac{‒ 81}{64}}

\sqrt{144}

59. Qual é o valor das expressões?

\sqrt{\frac{4}{25}} ‒ \sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt{\frac{9}{25}} ‒ \sqrt{\frac{4}{9}}

\sqrt{\frac{25}{16}} ‒ \sqrt{\frac{36}{81}} ‒ (‒ \sqrt{\frac{49}{100}}) + \sqrt{\frac{4}{9}}

60.

Junte-se a um colega e desenhem no caderno uma reta numérica, localizando os números racionais

A = \sqrt{2, 25}

;

B = \sqrt{9}

;

C = \sqrt{20, 25}

;

D = \sqrt{12, 25}

;

E = \sqrt{25}

;

F = \sqrt{18, 49}

61. Identifique os números racionais que não têm raiz quadrada exata.

a) 81

\frac{1}{144}

\frac{13}{17}

\frac{1}{64}

\frac{14}{18}

\frac{169}{225}

62. Responda às questões.

a) Um quadrado tem medida de área igual a 23,04 métros quadrados. Qual é a medida do comprimento do lado desse quadrado?

b) Qual é o número maior:

\sqrt{40}

ou 6,3?

O número 5 não tem raiz exata. Converse com um colega e respondam: Entre quais números inteiros

\sqrt{5}

está localizado na reta numérica?

Página 138

63. A sala da casa de Ronaldo tem o formato de um quadrado com medida de área igual a 24 métros quadrados. Calcule, por meio de tentativa, a medida aproximada do comprimento do lado dessa sala, sabendo que ela se situa entre 4 métros e 5 métros.

64.

Utilizando uma calculadora, mas sem usar a tecla

tecla de calculadora. Símbolo da raiz quadrada.

, determine a raiz quadrada de .15129. Registre no caderno suas tentativas.

Expressões numéricas com números racionais

Na resolução de expressões numéricas envolvendo números racionais, valem os mesmos procedimentos utilizados nas expressões com números inteiros. Observe os exemplos:

Expressão numérica. Abre parênteses, 7 quintos sobre 14 quartos, menos 15 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses 1 menos 3 vezes 4 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. Abaixo, igual a abre parênteses, 7 quintos dividido por 14 quartos, menos 15 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses 1 menos 1 inteiro e 2 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. Abaixo, igual a abre parênteses, 7 quintos vezes 4 14 avos, menos 15 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses menos 2 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. O numerador 7, foi cortado por uma linha laranja inclinada e acima dele está o número 1. O denominador 14, foi cortado por uma linha laranja inclinada e acima dele está o número 2. Abaixo, igual a abre parênteses, 4 décimos (em fração), menos 15 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses menos 2 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. Abaixo, igual a abre parênteses, 4 décimos (em decimal), menos 15 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses menos 2 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. Abaixo, igual a abre parênteses, mais 25 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses menos 2 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. Abaixo, igual a menos 1 inteiro e 25 centésimos.

Expressão numérica. Abre parênteses, menos 1 terço, fecha parênteses ao quadrado menos raiz quadrada de 1 16 avos, fecha raiz, vezes abre colchetes, 3 quartos menos abre parênteses menos 2 mais 3 meios, fecha parênteses, ao quadrado, fecha colchetes é igual. Abaixo, igual a 1 nono, menos 1 quarto vezes abre colchetes, 3 quartos menos abre parênteses menos 2 sobre 1 mais 3 meios, fecha parênteses, ao quadrado, fecha colchetes é igual. Abaixo, igual a 1 nono, menos 1 quarto vezes abre colchetes, 3 quartos menos abre parênteses menos 1 meio, fecha parênteses, ao quadrado, fecha colchetes é igual. Abaixo, igual a 1 nono, menos 1 quarto vezes abre colchetes, 3 quartos menos abre parênteses mais 1 quarto, fecha parênteses, fecha colchetes é igual. Abaixo, igual a 1 nono, menos 1 quarto vezes abre colchetes, 3 quartos menos 1 quarto, fecha colchetes é igual. Abaixo, igual a 1 nono, menos 1 quarto vezes 2 quartos é igual. O numerador 2 foi cortado por uma linha inclinada laranja e acima dele está o número 1. O denominador 4 foi cortado por uma linha inclinada laranja e abaixo dele está o número 2. Abaixo, igual a 1 nono menos 1 oitavo é igual. Abaixo, igual a 8 72 avos menos 9 72 avos é igual a menos 1 72 avos.

Ilustração. Garota branca, de cabelos pretos e faixa branca na cabeça, está vestida de camiseta rosa, calça branca, meias brancas e chinelos rosa. Está deitada de barriga para baixo, lendo e escrevendo em livros, com um lápis na mão esquerda e a outa mão apoiada em um livro à sua frente. Há outros livros espalhados no chão.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

65. Calcule o valor numérico de cada expressão.

(- 2 - \frac{2}{5}) \cdot {(- \frac{3}{4})}^{2}

1 - {(\frac{1}{3})}^{3} : {(\frac{1}{2} - 1)}^{2}

{(5 - \frac{1}{2})}^{2} : {(\frac{1}{2} - 2)}^{3}

\frac{3 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{2}{5}}

66. Calcule o valor da expressão a seguir.

{(\frac{2}{5})}^{0} \cdot {(0, 01)}^{2} \cdot \sqrt{0, 25}

67. Calcule o valor numérico das expressões.

a) 2x menos 9y, sendo:

x = ‒ \frac{1}{4}

y = ‒ \frac{1}{3}

b) 2x elevado a 2 menos 4y + 8, sendo:

x = \frac{1}{2^{2}}

y = \frac{1}{2^{3}}

c) y elevado a 2 + 7x, sendo:

x = {(\frac{2}{5})}^{2}

y = \frac{1}{3}

d) 4x elevado a 3 + 3y elevado a 2, sendo:

x = \frac{1}{2}

y = \frac{4}{3}

68.

Junte-se a um colega. Cada um deve elaborar um problema em que seja preciso montar uma expressão numérica para resolvê-lo. Em seguida, troque de problema com o colega para que um resolva a situação criada pelo outro. Por fim, corrijam os problemas.

Página 139

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Os números racionais

Q = \{\frac{a}{b}, sendo a e b n ú m e r o s inteiroseb\neq0\}

Representação dos números racionais na reta numérica

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0 e mais 1. À direita de menos 2, ponto verde claro com seta partindo para cima e indicando a igualdade: menos 3 meios é igual a menos 1 inteiro e 5 décimos (em decimal). À direita, outro ponto verde com seta partindo para baixo e indicando o número menos 1 inteiro e 3 décimos (em decimal).

1. Escreva no caderno os números racionais a seguir na fórma decimal.

‒ \frac{5}{4}

\frac{8}{100}

\frac{15}{50}

‒ \frac{32}{200}

‒ \frac{12}{300}

\frac{350}{1 000}

2. Escreva no caderno os números racionais a seguir na fórma de fração.

a) +8,1

b) menos3,58

c) menos0,12

d) +10,5

e) menos0,97

f) +1,65

3. Observe a reta numérica a seguir e, depois, responda às questões.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, mais 1, mais 2, mais 3 e mais 4. À direita de menos 3 e à esquerda de menos 2, o ponto A. À direita de menos 1, na primeira parte de quatro até zero, o ponto D. À direita de mais 1 e à esquerda de mais 2, o ponto B. À direita de mais 3 e à esquerda de mais 4, o ponto C.

a) Que ponto corresponde ao número

+ 3 \frac{1}{2}

‑?

b) Qual é o número que corresponde ao ponto a?

c) Qual é o número que corresponde ao ponto B?

d) Qual é o ponto que corresponde ao número

‒ \frac{3}{4}

4. No caderno, trace uma reta numérica e localize:

a) o ponto a, que corresponde a +0,8;

b) o ponto B, que corresponde a

+ \frac{8}{3}

;

c) o ponto C, que corresponde a menos2,25;

d) o ponto D, que corresponde a

‒ \frac{1}{2}

Comparação de números racionais

Dados dois números racionais quaisquer, o menor deles estará sempre representado por um ponto à esquerda do ponto que representa o maior na reta numérica.

Comparação dos números menos1,2 e

‒ \frac{8}{5}

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0 e mais 1. À direita de menos 2, ponto verde claro partindo seta para cima indicando a igualdade menos 8 quintos igual a menos 1 inteiro e 6 décimos (em decimal). À direita deste ponto e à esquerda de menos 1, outro ponto partindo seta para baixo, indicando menos 1 inteiro e 2 décimos (em decimal).

Observe que menos1,6 < menos1,2; então,

‒ \frac{8}{5} < ‒ 1, 2

5. Utilizando o sinal <, escreva em ordem crescente os números racionais a seguir.

+ \frac{4}{10}; + \frac{3}{2}; ‒ 0, 3; ‒ \frac{5}{2}; ‒ \frac{6}{5}

6. Com auxílio de uma reta numérica, escreva os números racionais a seguir em ordem decrescente. Utilize o sinal >.

+ 2, + \frac{12}{5}, ‒ \frac{9}{5}, ‒ \frac{7}{10}, + \frac{8}{5}

7. Usando os sinais > ou <, no caderno, complete as comparações entre cada par de números racionais a seguir.

a) menos8,5

menos12,7

\frac{3}{8}

‒ \frac{1}{2}

‒ \frac{7}{20}

d) +4,7

menos4,7

\frac{1}{5}

0,1

‒ \frac{5}{9}

menos0,4

Adição e subtração com números racionais

Alguns exemplos:

(+ \frac{1}{2}) + (‒ \frac{1}{4}) = + \frac{1}{2} ‒ \frac{1}{4} = \frac{2}{4} ‒ \frac{1}{4} = + \frac{1}{4}

abre parêntesesmenos0,75fecha parênteses menos abre parênteses+0,25fecha parênteses = menos0,75 menos 0,25 = menos1

8. Efetue as operações.

(+ \frac{3}{4}) + (‒ \frac{2}{5})

(+ \frac{3}{7}) ‒ (+ \frac{4}{5})

c) abre parênteses+7,9fecha parênteses menos abre parênteses+11,5fecha parênteses

d) (‒5,78fecha parênteses menos (‒3,29fecha parênteses

Página 140

9. Calcule o valor de cada expressão.

\frac{1}{2} ‒ \frac{1}{5} + \frac{5}{8}

b) menos0,05 + 1,4 + 0,25

10. Um mergulhador saiu de uma medida de profundidade de 20,6 métros para chegar à de 27,5 métros. Nesse caso, ele desceu ou subiu? Quantos metros?

11. Jorge e André vão pintar o muro do quintal da casa deles. Jorge já pintou

\frac{3}{8}

do muro e André pintou

\frac{4}{7}

. Qual fração representa a parte do muro que ainda falta pintar?

Multiplicação com números racionais

Alguns exemplos:

(+ \frac{4}{5}) \cdot (‒ \frac{6}{7}) = ‒ \frac{24}{35}

abre parêntesesmenos1,5fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2,4fecha parênteses = +3,6

12. Efetue as multiplicações.

(+ \frac{7}{8}) \cdot (‒ \frac{4}{5})

(‒ \frac{9}{15}) \cdot (‒ \frac{30}{18})

(‒ \frac{100}{99}) \cdot 1

(+ \frac{4}{9}) \cdot (‒ \frac{27}{28})

13. No açougue, Mariana comprou 2,3 quilogramas de carne bovina. Se cada quilograma custa R$ 49,50quarenta e nove reais e cinquenta centavos, quantos reais ela gastou?

14. Rogério vai reformar o piso da cozinha da casa dele. A cozinha tem formato retangular medindo 6,8 métros de comprimento e 5,4 métros de largura. Quantos metros quadrados tem o piso dessa cozinha?

Divisão com números racionais

Alguns exemplos:

(+ \frac{7}{12}) : (+ 5) = (+ \frac{7}{12}) \cdot (+ \frac{1}{5}) = + \frac{7}{60}

(‒ \frac{4}{7}) : (‒ \frac{4}{5}) = (‒ \frac{4}{7}) \cdot (‒ \frac{5}{4}) = + \frac{5}{7}

15. Efetue as divisões.

a) (menos150) : (+1,5)

(‒ \frac{32}{35}) : (‒ 8)

c) (+25,6) : (menos2,5)

(‒ \frac{5}{12}) : (‒ \frac{4}{9})

16. Mário e Carlos terminaram uma partida de tênis. Mário acertou 15 dos 20 saques. Carlos acertou 72% dos saques. Quem sacou melhor? Que porcentagem dos saques efetuados por Mário representa seus acertos?

17. Podemos afirmar que dividir por 0,125 é o mesmo que multiplicar por 8? Justifique sua resposta.

18. Calcule o valor numérico das expressões.

(‒ 0, 3) \cdot \frac{1}{10} + 5, 4 ‒ \frac{13}{20}

(\frac{5}{8} + \frac{5}{4} + \frac{5}{2}) : (‒ \frac{5}{8})

[(‒ \frac{3}{2}) \cdot (0, 2) ‒ \frac{1}{2}] + (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ 0, 5)

Potenciação de números racionais

Para um número racional a com expoente natural n maior que 1, definimos:

a^{n} = \underset{n fatores}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}

19. Calcule as potências.

{(‒ \frac{1}{4})}^{4}

b) (0,5)elevado a 3

c) (1,4)elevado a 0

{(\frac{1}{10})}^{4}

20. Calcule.

{(1 ‒ \frac{2}{5})}^{2}

{(‒ \frac{1}{5} + 1)}^{4}

{(0, 3 ‒ \frac{1}{2})}^{3}

{(9, 93 ‒ 9, 92)}^{3}

Raiz quadrada de números racionais

A raiz quadrada de um número racional a não negativo é um número racional não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em a.

21. Calcule, se possível, as raízes quadradas.

\sqrt{\frac{25}{81}}

\sqrt{3, 24}

\sqrt{‒ \frac{4}{25}}

‒ \sqrt{0, 04}

22. Qual é a medida do perímetro de um terreno quadrado cuja área mede 806,56 métros quadrados?