Unidade 4
Capítulo 10 Grandezas e medidas
Capítulo 11 Figuras geométricas planas
Capítulo 12 Probabilidade e estatística
O que é “ agá ah”? Qual é a relação entre esta unidade de medida e o metro quadrado? Quantas vezes aproximadamente a medida da área protegida deste parque é maior que a do Parque do Ibirapuera, em São Paulo ( São Paulo)? Ao final desta Unidade, você responderá a essas e outras questões.
Capítulo 10 Grandezas e medidas
Trocando ideias
A Floresta Amazônica é a maior floresta tropical do mundo e, também, a que reúne a maior biodiversidade. Além disso, garante chuvas para boa parte da América do Sul e tem papel central no combate ao aquecimento global e às mudanças climáticas.
Segundo o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais ( ínpi), a taxa de desmatamento na Amazônia Legal Brasileira ( a éle bê) ficou em .13235 quilômetros quadrados no período de 1º de agosto de 2020 a 31 de julho de 2021.
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Em sua opinião, o que é possível fazer para combater o desmatamento das florestas? Converse com os colegas.
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Um campo de futebol oficial tem 105 métros de medida de comprimento por 68 métros de medida de largura. A medida da área da Amazônia Legal Brasileira que foi desmatada no período de 1º de agosto de 2020 a 31 de julho de 2021 corresponde à medida da área de quantos campos de futebol, aproximadamente?
Neste capítulo, vamos estudar situações que envolvem medições, o cálculo da medida da área de algumas figuras geométricas planas e o cálculo da medida do volume de blocos retangulares.
1 Situações que envolvem medições
O resultado de toda medição é aproximado. Isso acontece porque os resultados podem ter pequenas diferenças dependendo do instrumento de medida utilizado (por exemplo, réguas de fabricantes diversos apresentam diferenças de fabricação e podem ter pequenas variações na espessura de suas marcações), do processo de medição (como manuseio e leitura do instrumento etcétera) e até mesmo da medida da temperatura ambiente, que pode deformar minimamente o objeto a ser medido.
Ter consciência desse fato nos ajuda a analisar se a medida obtida, mesmo que aproximada, satisfaz a necessidade imposta pela situação apresentada. Analise as situações a seguir.
Situação 1
Rosana decidiu levar o móvel da sala de estar para o quarto do filho. Mas, antes, resolveu medir o comprimento do móvel para ver se caberia no local destinado. Como não tinha trena, Rosana resolveu usar o contrôle remoto da televisão para isso.
Ela também foi ao quarto do filho e mediu o comprimento do lugar escolhido. Ao comparar a medida de comprimento do móvel com a medida de comprimento do local destinado a ele, Rosana concluiu que o móvel caberia no quarto do filho.
Situação 2
Rodrigo vai fazer um churrasco para seus amigos. Como é o primeiro churrasco que organiza, pesquisou a quantidade de carne que deveria comprar. Ele descobriu que um adulto costuma consumir cêrca de 400 gramas de carne nesses eventos. Como 8 adultos participarão do churrasco, Rodrigo decidiu comprar .3200 gramas de carne, ou seja, 3,2 quilogramas.
Em situações como essa, não precisamos saber a quantidade exata de comida que cada convidado consumirá, mas é importante ter uma referência para que não faltem nem sobrem muitos alimentos.
Situação 3
Paulo mediu o comprimento de uma barra com duas réguas: uma centimetrada e outra milimetrada, como as figuras a seguir.
Com a régua centimetrada, Paulo concluiu que a medida do comprimento da barra está entre 8 centímetros e 9 centímetros, estando mais próxima de 9 centímetros. O algarismo que representa a primeira casa depois da vírgula não pode ser determinado com precisão, devendo ser estimado. Assim, ele estimou que a medida do comprimento da barra era igual a 8,6 centímetros.
Com a régua milimetrada, em que cada centímetro é dividido em 10 milímetros, Paulo concluiu com maior precisão que a medida do comprimento da barra está entre 8,6 centímetros e 8,7 centímetros. Então, estimou que a medida do comprimento da barra era igual a 8,65 centímetros. Observe, agora, que os algarismos 8 e 6 são corretos e o algarismo 5 é duvidoso, pois foi estimado.
Situação 4
Jandira foi contratada para revestir o piso de uma sala. Ao tirar as medidas, ela verificou que a sala media, aproximadamente, 18 métros quadrados de área. Por conta da imprecisão nos instrumentos de medida e dos recortes que serão necessários, ela sabe que é preciso comprar uma quantidade de cerâmica um pouco superior à necessária para revestir o piso da sala.
A cerâmica escolhida pelo cliente de Jandira é vendida em caixas com 3 métros quadrados. Como Jandira constatou a necessidade de comprar mais do que a medida da área da sala (18 métros quadrados), ela orientou seu cliente a comprar 7 caixas da cerâmica escolhida, ou seja, 21 métros quadrados de medida de área.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Supondo que você quisesse medir o comprimento do guarda-roupa do seu quarto para verificar se ele cabe em outro cômodo, mas não tivesse uma régua ou trena, como você poderia fazer essa medição?
2. Em receitas culinárias, é comum que as medidas sejam indicadas em xícaras, copos ou colheres. Analise a seguir a receita de um bolo de fubá em que as medidas de alguns ingredientes são dadas em xícaras de chá.
a) Sabendo que uma xícara de chá corresponde a aproximadamente 240 mililitros, meio litro de leite seria suficiente para essa receita?
b) Mariana resolveu fazer esse bolo e verificou que, com 1 quilograma de açúcar refinado, ela poderia fazer duas receitas e meia. Quantos quilogramas de açúcar refinado, aproximadamente, cabem em uma xícara de chá?
3. Carlos pretende ir de automóvel de Itapemirim, no Espírito Santo, até Ilhéus, na Bahia. Para calcular o total de combustível necessário, ele pesquisou, na internet, a medida da distância entre essas cidades. Em um site, ele encontrou que a medida da distância era 914,8 quilômetros por estrada e, em outro, 915 . quilômetros
Elaborado com base em: í bê gê É. Atlas geográfico escolar. oitava edição Rio de Janeiro: í bê gê É, 2018. página 94.
a) Se o automóvel de Carlos roda cêrca de 11 quilômetros por litro de etanol, determine o consumo aproximado de etanol nesse trajeto.
b) A diferença encontrada entre essas medidas de distâncias é muito grande? Justifique.
c) Em sua opinião, qual poderia ser o motivo de Carlos ter encontrado medidas diferentes para a distância rodoviária entre essas cidades?
4. Júlia trabalha em uma metalúrgica e recebeu instruções para fazer uma nova peça que será parafusada em um motor. As especificações do tipo de parafuso que será usado não estão claras. Júlia verificou que pode ser um de dois modelos que têm a mesma medida de comprimento, mas medidas de comprimento do diâmetro diferentes: 5,4 milímetros ou 5,3 . milímetros
a) Qual é a diferença entre essas medidas?
b) Em sua opinião, Júlia pode escolher qualquer uma dessas opções? Por quê?
5. Dê um exemplo de uma situação em que:
a) a diferença de 1 litro não seja muito significativa;
b) a diferença de 1 mililitro seja importante.
6. Para fazer a previsão do tempo são estudados os dados coletados por estações meteorológicas do mundo inteiro. Com base nesse estudo, são feitas previsões das medidas de temperatura mínima e máxima para determinado período.
a) Você já presenciou algum momento em que a medida da temperatura registrada em um local foi maior que a máxima prevista para o dia? E já presenciou algum momento em que a medida da temperatura foi menor que a prevista?
b)
Em sua opinião, por que as situações descritas anteriormente podem ocorrer? Converse com o professor e os colegas.
c) Faça uma pesquisa sobre as medidas de temperatura mínima e máxima previstas para determinado dia no município em que mora. Depois, verifique se as medidas de temperatura registradas nesse dia estavam abaixo ou acima, respectivamente, das medidas de temperatura mínima e máxima previstas.
7. Escreva no caderno três situações do dia a dia em que são feitas medições e cujas medidas obtidas são aproximadas.
8.
Com os colegas, juntem as réguas de todos os estudantes da turma. Depois, escolham um objeto da sala de aula para medir as dimensões com as diferentes réguas selecionadas.
a) Se vocês obtiveram medidas diferentes, quais devem ter sido os motivos para isso?
b) Quais são as características comuns e as diferenças entre as réguas usadas?
9.
Escolham uma atividade para ser realizada por um colega da turma e, com dois ou mais cronômetros, registrem a medida de tempo que o colega gastou para realizá-la.
As medidas de tempo registradas nos cronômetros foram iguais? Se foram diferentes, quais devem ter sido os motivos para isso?
2 Medida da área
Há situações em que precisamos calcular a medida da área de uma superfície irregular, como a medida da área de um país. Nesses casos, é comum determinar a medida da área aproximada dessa superfície. Atualmente, para esse cálculo, utilizam-se informações obtidas por gê pê ésse, mas nem sempre foi assim. Acompanhe o texto a seguir.
Área territorial do Brasil aumenta em 890 quilômetros quadrados após atualização do í bê gê É
Rio de Janeiro – O Brasil teve crescimento de 0,01% na sua extensão territorial, de acordo com a atualização da área oficial do país e de estados e municípios publicada hoje (23) pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística ( í bê gê É) no Diário Oficial da União. A nova estimativa de área do país passou a ser ..8515767,049 quilômetros quadrados ( quilômetros quadrados), contra os ..8514876,599 quilômetros quadrados relativos a 2002, quando o último valor foi publicado. A diferença é de 890,45 quilômetros quadrados.
Disponível em: https://oeds.link/0CiBQM. Acesso em: 20 maio 2022.
Observe no texto que o uso de novas tecnologias auxilia no cálculo, de modo a garantir melhor aproximação da medida de área correspondente. Mas há casos em que não dispomos dessa tecnologia; para isso, podemos, por exemplo, decompor a superfície em outras. Confira as situações a seguir.
Situação 1
Felipe precisava calcular a medida de área aproximada de um terreno com formato irregular que estava representado em uma folha de papel quadriculado, conforme mostra esta figura.
Cada quadradinho representava 20 métros quadrados de medida da área do terreno. Analise como ele fez.
Primeiro, ele coloriu de bege os quadradinhos inteiros que estão no interior.
Depois, dividiu cada quadradinho da malha em 4 quadradinhos menores, colorindo de amarelo os novos quadradinhos inteiros, conforme esta figura.
A seguir, novamente dividiu cada quadradinho da malha em 4 quadradinhos menores, colorindo de azul os novos quadradinhos inteiros.
Depois, Felipe fez o seguinte cálculo:
• Cada quadradinho bege representa 20 métros quadrados. Assim: 19 ⋅ 20 métros quadrados = 380 métros quadrados
• Cada quadradinho amarelo representa 5 métros quadrados. Assim: 15 ⋅ 5 métros quadrados = 75 métros quadrados
• Cada quadradinho azul representa 1,25 métro quadrado. Assim: 62 ⋅ 1,25 métro quadrado = 77,5 métros quadrados
Portanto, a medida aproximada da área do terreno é 532,5 métros quadrados, pois:
380 métros quadrados + 75 métros quadrados + 77,5 métros quadrados = 532,5 métros quadrados
Situação 2
Observe que as diferentes figuras representadas a seguir podem ser decompostas em dois triângulos ( a ê bê), um retângulo (D) e um quadrado (C ).
Todas essas figuras, embora tenham formatos diferentes, são compostas dos polígonos a, B, C e D. Assim, todas elas têm a mesma medida de área, que é igual à soma das medidas de área desses quatro polígonos. Dizemos, então, que essas quatro figuras são equivalentes.
Duas ou mais figuras geométricas são equivalentes quando têm a mesma medida de área.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
10.
O que Felipe poderia fazer para obter uma medida mais próxima da medida da área real do terreno da situação 1? Converse com o professor e os colegas sobre isso.
11. Tomando
como unidade de medida de área (u²), determine a medida da área das figuras a seguir:
a)
b)
12.
Usando jornal, construa uma superfície quadrada cujos lados meçam 1 métro de comprimento, ou seja, que tenha 1 métro quadrado de medida de área.
Agora, usando essa superfície como unidade de medida, estime a medida da área de sua sala de aula. Compare sua estimativa com a dos demais colegas da classe.
13. Escolha uma unidade de medida e identifique as figuras equivalentes.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3 Medida da área de polígonos
Medida da área de um retângulo
Considere o retângulo a bê cê dê cujo comprimento da base mede 6 centímetros e o comprimento da altura mede 2 centímetros.
Tomando como unidade de medida de área um quadradinho cujos lados medem 1 centímetro de comprimento, ou seja, que tem medida de área igual a 1 centímetro quadrado, podemos observar que, no retângulo a bê cê dê, cabem exatamente 12 quadradinhos. Assim, verificamos que a medida da área do retângulo a bê cê dê é igual a 12 centímetros quadrados.
A medida da área desse retângulo também pode ser obtida da seguinte maneira:
a = 6 centímetros ⋅ 2 centímetros = 12 centímetros quadrados
Será que esse procedimento para calcular a medida da área de um retângulo multiplicando a medida de comprimento da base pela medida de comprimento da altura vale para qualquer retângulo? E se essas medidas de comprimento não forem inteiras?
Considere o retângulo a seguir.
Vamos primeiro dividir a unidade de medida de área 1 centímetro quadrado em 100 quadradinhos congruentes cujos lados medem 0,1 centímetro de comprimento. A medida da área de cada um desses quadradinhos é igual a 0, 01 centímetro quadrado. Vamos considerar esses quadradinhos como a unidade de medida de área.
A unidade de medida de área anterior cabe um número inteiro de vezes no retângulo. Observe.
Assim, a medida da área desse retângulo será:
(64 ⋅ 36) ⋅ 0,01 centímetro quadrado =
= (64 ⋅ 36) ⋅ 0,1 centímetro ⋅ 0,1 centímetro =
= (64 ⋅ 0,1 centímetro) ⋅ (36 ⋅ 0,1 centímetro) =
= (6,4 centímetros) ⋅ (3,6 centímetros) =
= 23,04 centímetros quadrados
Portanto, a medida da área do retângulo foi obtida calculando 6,4 centímetros ⋅ 3,6 centímetros. O exemplo sugere que podemos calcular a medida da área de qualquer retângulo (com lados de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras) multiplicando a medida de comprimento da base pela medida de comprimento da altura. Esse procedimento não será demonstrado nesta coleção, mas é verdadeiro.
Para um retângulo com comprimento da base medindo b e comprimento da altura medindo h, podemos escrever:
b
medida do comprimento ou medida de comprimento da base
h
medida da largura ou medida de comprimento da altura
Aretângulo = b ⋅ h
Medida da área de um quadrado
O quadrado é um caso particular de retângulo cujos lados são congruentes. Então, podemos representar a medida da área de um quadrado com lado de medida a de comprimento assim:
a
medida de comprimento do lado
Aquadrado = a ⋅ a = a2
Observação
A expressão anterior pode ser usada para calcular a medida da área de qualquer quadrado, com lados de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras.
Medida da área de um paralelogramo
Considere o paralelogramo a bê cê dê a seguir, de base
Segmento de reta DC.e altura
Segmento de reta AH.relativa à base
Segmento de reta DC..
b
medida de comprimento da base
h
medida de comprimento da altura relativa à base
O paralelogramo a bê cê dê pode ser decomposto em dois polígonos que identificaremos por
e
. Com os polígonos
e
, podemos compor o retângulo A bê agá linha agá, conforme ilustração a seguir.
Observe que o paralelogramo e o retângulo anteriores são figuras equivalentes e, portanto, têm mesma medida de área.
A medida da área de um paralelogramo com comprimento da base medindo b e comprimento da altura relativa a essa base medindo h, é dada por:
Aparalelogramo = b ⋅ h
Observação
A expressão anteriores pode ser usada para calcular a medida da área de qualquer paralelogramo, com lados de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras.
Medida da área de um triângulo
Considere dois triângulos congruentes á bê dê e cê dê bê, com comprimento da base medindo b e comprimento da altura relativa a essa base medindo h.
Justapondo esses dois triângulos, eles formam o paralelogramo a bê cê dê, como mostram as figuras a seguir.
b
medida de comprimento da base
h
medida de comprimento da altura relativa à base
Como os dois triângulos são congruentes, podemos afirmar que a medida da área de cada um desses triângulos é igual à metade da medida da área do paralelogramo a bê cê dê.
Portanto, a medida da área de um triângulo é dada por:
Observação
A expressão anterior pode ser usada para calcular a medida da área de qualquer triângulo, com lados de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras.
Medida da área de um trapézio
Considere os trapézios congruentes CDEF e FGHC cujas bases medem bê e bê de comprimento e a altura mede h de comprimento.
Compondo um paralelogramo com esses dois trapézios, temos:
bê
medida de comprimento da base maior
bê
medida de comprimento da base menor
h
medida de comprimento da altura
Observe que dois trapézios congruentes formam o paralelogramo DEGH com comprimento da base medindo ( bê + bê) e comprimento da altura relativa a essa base medindo h. Logo, a medida da área de cada um desses trapézios é igual à metade da medida da área do paralelogramo DEGH.
Portanto, a medida da área de um trapézio é dada por:
Observação
A expressão anterior pode ser usada para calcular a medida da área de qualquer trapézio, com lados de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras.
Medida da área de um losango
Considere o losango ê éfe gê agá de diagonais com medidas dê e dê de comprimento.
dê
medida de comprimento da diagonal maior
dê
medida de comprimento da diagonal menor
Construímos o retângulo JKLM cujos lados contêm os vértices do losango ê éfe gê agá. Verifique:
Observe que o retângulo obtido é formado por oito triângulos congruentes, dos quais quatro formam o losango.
Assim, a medida da área do losango ê éfe gê agá corresponde à metade da medida da área do retângulo JKLM.
Portanto, a medida da área de um losango é dada por:
Observação
A expressão anterior pode ser usada para calcular a medida da área de qualquer losango, com lados de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
14. Determine a medida da área de um retângulo cujo comprimento mede 25 centímetros e cuja largura mede 12 . centímetros
15. Um retângulo tem .3600 milímetros quadrados de medida de área e 90 milímetros de medida de comprimento da base. Qual é a medida de comprimento da altura desse retângulo?
16. A medida da área de um retângulo é 30 . Aumentando 1 métros quadrados métro na medida de comprimento de cada lado, a medida da área aumenta 12 . Sabendo que as medidas de comprimento dos lados desse retângulo são representadas por números inteiros, quais são essas medidas? métros quadrados
17. Um retângulo tem comprimento da base medindo 9 centímetros e comprimento da altura medindo 4 . Qual é a medida de comprimento do lado de um quadrado equivalente a esse retângulo? centímetros
18. Determine a medida da área do paralelogramo a seguir em milímetro quadrado.
19. Calcule a medida da área das figuras a seguir em centímetro quadrado.
a)
b)
20. Determine a medida da área de um triângulo cujo comprimento da base mede 25 centímetros e cujo comprimento da altura mede 12 . centímetros
21. Em um triângulo, o comprimento de um dos lados mede 14 centímetros e o comprimento da altura relativa a esse lado mede 7 . Calcule a medida da área desse triângulo. centímetros
22. Calcule a medida da área de um quadrado cujo comprimento do lado mede
Raiz quadrada de 3.métro.
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
23. Determine a medida da área dos trapézios a seguir em centímetro quadrado.
a)
b)
c)
24. Calcule a medida da área de um trapézio cujas bases medem 10 métros e 13 métros de comprimento e a altura mede 6 métros de comprimento.
25. Uma pipa em formato de losango é formada por duas varetas de 42 centímetros e 30 centímetros de medidas de comprimento. Determine a medida da área dessa pipa.
26. Determine a medida da área dos losangos a seguir em centímetro quadrado.
a)
b)
27. No mínimo, quantos ladrilhos retangulares medindo 20 centímetros de largura e 30 centímetros de comprimento são necessários para revestir um piso de medida de área de 60 ? métros quadrados
28. Desenhe em seu caderno dois retângulos diferentes com 12 centímetros quadrados de medida de área.
29. Carla irá trocar o revestimento do piso dos quartos de seus dois filhos: Maria e José. Analise, a seguir, as plantas dos dois quartos e determine em qual deles Carla utilizará maior quantidade de revestimento.
30. Uma empresa fará a reforma de seu pátio externo. Nessa reforma, o revestimento do piso será trocado e serão criadas 6 áreas para jardinagem, conforme a planta a seguir.
Sabendo que, na planta, o piso foi representado por quadradinhos de mesma medida de comprimento dos lados, determine:
a) a medida da área total destinada à jardinagem;
b) a medida da área que será revestida por piso, representado pelos quadradinhos em cinza.
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
31. No chão da sala de Matilde há um tapete de formato quadrado. O perímetro do tapete mede 10 . A medida da área do chão da sala é de 31,6 métros . Calcule a medida da área da parte do chão da sala que está sem tapete. métros quadrados
32. Luciano irá construir uma churrasqueira e uma piscina infantil em seu terreno conforme indica a figura a seguir.
a) Qual é a medida da área ocupada destinada para o espaço da churrasqueira?
b) A piscina ocupará uma medida de área de 3 métros quadrados. Quais são as possíveis medidas da largura e do comprimento dessa piscina?
c) A parte em verde será gramada e a parte em cinza será revestida de granito. Qual é a medida da área correspondente a esses dois espaços?
33. Pedro dividiu uma folha quadrada de cartolina conforme a figura a seguir.
Sabe-se que:
• o quadrado menor (roxo) tem 400 centímetros quadrados de medida de área, e o maior (laranja) tem 900 centímetros quadrados de medida de área;
• os dois retângulos (brancos) são equivalentes.
a) Determine a medida da área total da folha de cartolina.
b) Determine a medida da área de cada um dos retângulos.
34.
Com base na figura a seguir, elabore uma questão. Em seguida, troque a sua questão com a de um colega. Ele deverá resolver a sua questão e você a dele.
4 Medida do volume de um paralelepípedo reto-retângulo
O espaço que um bloco ocupa é chamado de volume do bloco. Vamos analisar como se calcula a medida do volume de um paralelepípedo reto-retângulo (ou bloco retangular). Para isso, analise a situação a seguir.
Para determinar a medida do volume do paralelepípedo reto-retângulo que mede 2 centímetros de comprimento, 2 centímetros de largura e 3 centímetros de altura, podemos utilizar como unidade de medida de volume um cubo com aresta de 1 centímetro de medida de comprimento, cuja medida de volume é 1 centímetro cúbico.
Observe, nesta figura, que esse cubo “cabe” exatamente 12 vezes no paralelepípedo.
Assim, verificamos que a medida do volume desse paralelepípedo é 12 centímetros cúbicos.
A medida do volume também pode ser obtida pela multiplicação das medidas do comprimento, da largura e da altura do paralelepípedo reto-retângulo:
Será que esse procedimento de calcular a medida do volume de um paralelepípedo reto-retângulo multiplicando as medidas do comprimento, da largura e da altura vale para qualquer paralelepípedo reto-retângulo? E se as medidas do comprimento, da largura e da altura não forem inteiras?
Considere o paralelepípedo reto-retângulo a seguir.
Vamos, primeiro, dividir a unidade de medida de volume 1 centímetro cúbico em .1000 cubos congruentes cujas arestas medem 0,1 centímetro de comprimento. A medida do volume de cada um desses cubos é igual a 0,001 centímetro cúbico. Vamos considerar esses cubos a unidade de medida de volume.
A unidade de medida de volume anterior cabe um número inteiro de vezes no paralelepípedo reto-retângulo. Confira.
Assim, a medida do volume desse paralelepípedo reto-retângulo será:
(46 ⋅ 22 ⋅ 34) ⋅ 0,001 centímetro cúbico =
= (46 ⋅ 22 ⋅ 34) ⋅ 0,1 centímetro ⋅ 0,1 centímetro ⋅ 0,1 centímetro =
= (46 ⋅ 0,1 centímetro) ⋅ (22 ⋅ 0,1 centímetro) ⋅ (34 ⋅ 0,1 centímetro) =
= (4,6 centímetros) ⋅ (2,2 centímetros) ⋅ (3,4 centímetros) =
= 34,408 centímetros cúbicos
Portanto, a medida do volume desse paralelepípedo reto-retângulo foi obtida calculando 4,6 centímetros ⋅ 2,2 centímetros ⋅ 3,4 centímetros. O exemplo anterior sugere que podemos calcular a medida do volume de qualquer paralelepípedo reto-retângulo (com arestas de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras) multiplicando as medidas do comprimento, da largura e da altura. Esse procedimento não será demonstrado nesta coleção, mas é verdadeiro.
A medida do volume de um paralelepípedo reto-retângulo é igual ao produto das medidas do comprimento (c), da largura ( a) e da altura (h).
Vparalelepípedo = c ⋅ a ⋅ h
Acompanhe alguns exemplos.
a) Vamos determinar a medida do volume do paralelepípedo reto-retângulo que mede 4 métros de comprimento, 2 métros de largura e 3 métros de altura.
Vparalelepípedo = c ⋅ a ⋅ h = 4 métros ⋅ 2 métros ⋅ 3 métros = 24 métros cúbicos
b) Uma caixa de papelão tem 20 centímetros de medida de comprimento, 15 centímetros de medida de largura e 10 centímetros de medida de altura. Qual é a medida do volume ocupado por um empilhamento formado por 125 caixas como essa?
Vcaixa = 20 centímetros ⋅ 15 centímetros ⋅ 10 centímetros = .3000 centímetros cúbicos
A medida do volume ocupado pelo empilhamento das caixas será dado por:
125 ⋅ .3000 centímetros cúbicos = .375000 centímetros cúbicos
Medida do volume de um cubo
O cubo é um caso particular de paralelepípedo, pois tem todas as arestas com a mesma medida de comprimento. Assim, para um cubo cuja medida de comprimento da aresta é a, temos:
Vcubo = a ⋅ a ⋅ a = a 3
Vamos determinar a medida do volume do cubo cujas arestas medem 2,7 centímetros de comprimento.
Vcubo = a3 = (2,7 ) centímetros3 = 19,683 centímetros cúbicos
Sugestão de leitura
MARCONDES, Carlos. Como encontrar a medida certa. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A Descoberta da Matemática)
Beto e seus amigos precisarão desenvolver propostas matemáticas, participar de competições esportivas e manter um bom relacionamento para ir bem em uma olimpíada. Esse livro trabalha conteúdos de perímetro, área e volume.
Observações
1. A expressão anterior pode ser usada para calcular a medida do volume de qualquer cubo, com arestas de medidas de comprimento inteiras ou não inteiras.
2. O metro cúbico () é a unidade padrão de medida de volume. Vamos relembrar a relação entre essa unidade de medida e seus múltiplos e submúltiplos: ême 3 sobrescrito
Observe que cada unidade de medida de volume equivale a .1000 vezes a unidade imediatamente inferior.
3. Como 1 métro = 10 , podemos dividir um cubo cujo comprimento da aresta mede 1 decímetros métro em .1000 cubinhos de 1 decímetro cúbico de medida de volume. Assim, 1 métro cúbico = .1000 . decímetros cúbicos
4. Ao encher um recipiente com um líquido, verificamos que ele ocupa toda a fórma do recipiente.
Por isso, dizemos que a medida da capacidade do recipiente corresponde à quantidade de líquido que é necessária para preenchê-lo. A medida da capacidade de um cubo cujo comprimento da aresta mede 1 decímetro corresponde a 1 litro ( éle). Assim, 1 litro = 1 . decímetro cúbico
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Transcrição do áudio
Quantas demãos
Duração: 7:32min. Página: 245.
>> [Locutora] Quantas demãos?
>> [Locutora] A humanidade utiliza tintas desde a Pré-História, quando pintava as paredes das cavernas empregando pigmentos minerais. No Brasil, desde muito antes da chegada dos europeus, os indígenas brasileiros já se pintavam para festas, guerras e funerais, e recorriam a tintas obtidas na flora até para espantar insetos.
>> [Locutora] Nos últimos séculos, avanços tecnológicos foram aprimorando a produção de tintas e as técnicas usadas para recobrir e decorar uma grande variedade de materiais.
Vinheta e fundo musical.
>> [Locutora] Para entendermos um pouco mais sobre os diversos tipos de tintas que utilizamos na vida moderna e sobre suas diferentes aplicações, convidamos o engenheiro químico Iuri Bezerra de Barros.
>> [Locutor] Bom dia, Iuri! Na nossa entrevista de hoje, vamos falar de tintas. Antes de mais nada, qual seria a função da pintura? Por que pintamos as coisas? Essa prática pode ter outra função além da estética?
>> [Iuri] Bom, Felipe, além de colorir os objetos, as tintas exercem um papel importante na proteção. Elas podem atuar como impermeabilizante; aí em um objeto metálico, elas são essenciais para a inibição da corrosão; elas podem exercer um papel importante também para combater o ataque de cupins a objetos de madeira. Adicionalmente, a gente ainda tem algumas tintas que exercem algumas outras funções específicas. Existem tintas que são empregadas com propriedades de condução elétrica ou propriedades magnéticas.
>> [Locutor] E de que maneira as tintas cumprem essas funções? O que é a tinta exatamente? De que ela é feita?
>> [Iuri] Bom, as tintas são compostas por quatro grupos de substâncias, né? O primeiro seriam os pigmentos, que são os responsáveis pela cor. O segundo, o veículo, a resina, que é o que dá unidade ao filme da tinta; também é responsável por algumas características, como o brilho, a durabilidade, a flexibilidade dessa tinta. O terceiro grupo seriam os solventes, né?; eles são importantes para garantir a fluidez da tinta, mas eles evaporam durante o processo de secagem para a formação do filme seco da tinta. O quarto grupo seriam os aditivos, aí a gente pode citar diversos componentes, diversas substâncias que atuam para garantir as características da tinta, né?; a gente pode citar aí emulsificantes, estabilizadores e, adicionalmente, algum agente biocida ou o que vai dar alguma característica específica para essa tinta que tá sendo produzida.
>> [Locutor] Aplicar as tintas sobre os objetos é uma atividade simples? Podemos passá-las de qualquer jeito nas superfícies que desejamos colorir ou existem técnicas diferentes para diferentes objetivos?
>> [Iuri] A aplicação das tintas deve ser feita com bastante cuidado, porque é importante que o filme seja homogêneo e seja contínuo, né?; não tenha falhas nesse filme. Veja, mesmo observando a olho nu, a gente pode não enxergar nenhuma falha, mas fazendo uma análise mais profunda, a gente detecta falhas, nenhum processo de pintura garante uma cobertura de 100% da área. Além disso, a gente tem que lembrar que as tintas existem nas mais diversas formas, e cada uma dessas formas requer características específicas de aplicação. A gente pode pensar, por exemplo, que na indústria automobilística são usadas tintas no estado sólido em uma aplicação eletrostática, já nas paredes residenciais são pintadas com tintas líquidas, através de rolos ou pistolas de ar comprimido; são técnicas diferentes. E outra coisa que é importante ser lembrada é que as tintas são comercializadas, as tintas líquidas, com uma quantidade reduzida de solvente, para facilitar o transporte, um volume menor, um peso menor de ser transportado, e o solvente tem que ser adicionado, a diluição tem que ser realizada antes da aplicação.
>> [Locutor] Qual é a relação entre o volume de tinta e a área a ser pintada? Como se faz esse cálculo?
>> [Iuri] A relação entre o volume de tinta e a área que esse volume de tinta pode pintar é determinada com relação a algumas características dessa tinta, o veículo utilizado, a concentração dos pigmentos, a concentração dos aditivos, isso tudo tem que ser levado em consideração. Além disso, a gente tem que lembrar também que, pensando em tintas líquidas, essas tintas devem ser diluídas antes da aplicação, e essa diluição vai acabar influenciando esse rendimento.
>> [Locutor] Como é feita a diluição das tintas? O que se usa para isso?
>> [Iuri] A diluição consiste na adição do solvente, e esse solvente tem que ser de acordo com a tinta que você está usando. Se você pensar nessas tintas utilizadas para pinturas de paredes de alvenaria, geralmente esse solvente é a própria água, e a quantidade de água que você deve adicionar à tinta, os fabricantes fornecem, né?, a quantidade ideal para cada tipo de tinta. Geralmente, esses valores ficam em torno de 20%. Bom, a gente tem que levar em consideração que essa diluição, se você pensar no pintor que está pintando a sua casa aí, a casa que você reside, ela não é feita com uma precisão absoluta, né?, ela é feita meio de uma forma um tanto quanto aproximada e isso acaba também comprometendo o rendimento da tinta.
>> [Locutor] Todas as tintas têm o mesmo rendimento? Como fazemos para descobrir o rendimento da tinta que pretendemos usar?
>> [Iuri] Não, uma vez que cada fabricante usa variações na concentração dos pigmentos, dos aditivos e dos componentes da tinta, esse rendimento também vai variar. Então, como é que a gente vai fazer para descobrir, por exemplo, quanta tinta a gente precisa para pintar uma residência? A primeira coisa que a gente tem que fazer é descobrir a área de parede que vai ser pintada, então a gente tem que calcular a área de todas as paredes que serão pintadas e, a partir desse número, considerando o número [sic], o rendimento fornecido pelo fabricante, determinar essa relação. Então, por exemplo, se o total de parede que eu preciso pintar tem 180 m2 e uma lata de tinta pinta 100 m2, né?, só para facilitar as contas, então eu precisaria, né?, por uma regra de três simples, de 1,8 lata ou de duas latas. Também é importante a gente ter uma certa margem de erro aí, porque, como a gente já comentou, a diluição vai ter algumas variações que vão influenciar nesse rendimento. Além disso, um fator que foge ao controle dos fabricantes é a rugosidade da parede, certo? Essa rugosidade vai influenciar a área real da parede. Uma parede mais rugosa tem uma área maior do que uma parede menos rugosa, e os fabricantes usam o valor médio para fazer o cálculo de rendimento, e a gente precisa levar isso em consideração, porque a nossa parede pode ter uma área um pouquinho maior, pode ter uma rugosidade um pouco maior e acabar consumindo uma quantidade um pouco maior de tinta. Um outro fator que tem que ser levado em consideração é como essa tinta vai ser aplicada, se a gente vai usar um rolo, [se] serão pincéis, se a pintura será feita por meio de uma pistola de ar comprimido. Cada uma dessas técnicas também tem perdas embutidas que devem ser consideradas na hora de fazer esse cálculo. E outra coisa importante, que a gente não comentou, é com relação ao número de demãos, se a gente vai trocar as cores da parede por cores muito contrastantes, isso acaba demandando um número maior de demãos, né?, para conseguir a cobertura completa e realmente obter a cor desejada. Isso também tem que ser levado em consideração, certo?
>> [Locutor] Perfeito, Iuri. Muito obrigado pela participação, muito obrigado pelas informações que você trouxe para os nossos ouvintes aqui. Tenha um bom dia!
Vinheta
Créditos
Todos os áudios inseridos neste conteúdo são da YouTube Orion Library e estão em licença aberta.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
35. Qual é a medida do volume de um cubo cujo comprimento da aresta mede 0,1 ? métro
36. Calcule a medida do volume dos sólidos geométricos representados a seguir.
a)
b)
c)
d)
37. Quantos litros de água cabem em um aquário cúbico de 20 centímetros de medida de comprimento da aresta?
38. Em uma piscina cabem .10000 litros de água. Sabendo que ela mede 5 metros de comprimento e 2 metros de largura, qual é a medida da profundidade dessa piscina?
39.
Junte-se a um colega e respondam às questões.
Se dobrarmos a medida de comprimento da aresta de um cubo, o que acontece com a medida de seu volume? E se triplicarmos essa medida de comprimento? Justifiquem as respostas.
40. Leia o texto a seguir e responda às questões no caderno.
Como se mede o índice de chuva?
O índice pluviométrico refere-se à quantidade de chuva por metro quadrado em determinado local e em determinado período. O índice é calculado em milímetros. Se dissermos que o índice pluviométrico de um dia, em um certo local, foi de 2 milímetros, significa que, se tivéssemos nesse local uma caixa aberta, com 1 metro quadrado de base, o nível da água dentro dela teria atingido 2 milímetros de altura naquele dia. reticências
Disponível em: https://oeds.link/ZlFFGP. Acesso em: 20 maio 2022.
a) Considerando a caixa indicada no texto, qual seria a medida do volume ocupado pela água da chuva?
b) Quantos litros de água foram coletados nessa caixa?
41. Considerando que V₁ e V₂ representam, respectivamente, as medidas de volume dos empilhamentos de cubos representados pelas figuras 1 e 2, João, Gabriela e Júlia fizeram as seguintes afirmações:
João: V₂ > V₁
Gabriela: V₁ = quinto₂
Júlia: V₁ < V₂
Quem fez a afirmação correta? Justifique sua resposta.
42.
Junte-se a um colega e elaborem um problema sobre uma piscina em fórma de paralelepípedo cuja largura mede 3 metros e a capacidade mede .15000 litros.
Resolvendo em equipe
Faça a atividade no caderno.
( ó bê ême) Esmeralda tem quatro folhas quadradas iguais, de lado 20 centímetros. Ela cola uma folha sobre a outra, fazendo um vértice da folha de cima coincidir com o centro da folha de baixo, alinhando horizontalmente quatro vértices dessas folhas, conforme figuras 1 e 2. Ela continua fazendo isto, até colar as quatro folhas, de acordo com as figuras 3 e 4. Qual é a área da figura 4?
a. .1200 centímetros quadrados
b. .1300 centímetros quadrados
c. .1400 centímetros quadrados
d. .1500 centímetros quadrados
e. .1600 centímetros quadrados
Interpretação e identificação dos dados |
• Analise as informações do enunciado e anote aquelas que você julgar relevantes para a resolução do problema. |
---|---|
Plano de resolução |
• Calcule a medida da área do quadrado da figura 1. |
Resolução |
• Forme um trio com dois colegas. |
Verificação |
• O trio deve reler o problema e verificar se todas as condições do enunciado foram satisfeitas. |
Apresentação |
• O trio deverá elaborar uma síntese sobre medida de área de figuras planas, contendo fórmulas, exemplos e resolução de problemas. Essa síntese será entregue na forma de um texto. Cada trio deverá, em uma data predeterminada pelo professor, propor à classe um problema sobre medida de área e discuti-lo em seguida. |
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Faça as atividades no caderno.
Medida da área
Para calcular a medida da área de uma superfície irregular, podemos decompô-la em superfícies de medida de área já conhecida para determinar a medida de área aproximada da superfície irregular.
Duas ou mais figuras geométricas são equivalentes quando têm a mesma medida de área.
1. Tomando o
como unidade de medida de área (u²), determine a medida de área de cada figura a seguir.
a)
b)
c)
2. Um quadrado e um triângulo retângulo são figuras equivalentes. Se o comprimento do lado do quadrado mede 5 , quais são as possíveis medidas de comprimento da base e da altura desse triângulo? centímetros
3. Escolha uma unidade de medida de área e identifique as figuras equivalentes.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Medida da área de polígonos
Medida da área de um retângulo
b
medida do comprimento ou medida de comprimento da base
h
medida da largura ou medida de comprimento da altura
Medida da área de um quadrado
a
medida de comprimento do lado
Medida da área de um paralelogramo
b
medida de comprimento da base
h
medida de comprimento da altura relativa à base
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
Medida da área de um triângulo
b
medida de comprimento da base
h
medida de comprimento da altura relativa à base
Medida da área de um trapézio
bê
medida de comprimento da base maior
bê
medida de comprimento da base menor
h
medida de comprimento da altura
Medida da área de um losango
dê
medida de comprimento da diagonal maior
dê
medida de comprimento da diagonal menor
4. O piso de um banheiro tem formato retangular com 1 métro de medida da largura e 2 métros de medida do comprimento. Deseja-se cobri-lo com cerâmicas quadradas que têm 20 centímetros de medida de comprimento do lado. Qual é a quantidade mínima de cerâmicas para cobrir todo o piso desse banheiro?
5. Sabendo que o quadrado roxo está sobreposto ao quadrado amarelo, formando 4 triângulos amarelos equivalentes, calcule a medida da área do quadrado roxo.
6. Determine a medida da área do paralelogramo a seguir em milímetro quadrado.
7. Determine a medida da área de um triângulo cujo comprimento da base mede 42 centímetros e cujo comprimento da altura mede 35 . centímetros
8. Calcule a medida da área de um quadrado cujo comprimento do lado mede
raiz quadrada de 13centímetros.
9. Calcule, em metro quadrado, a medida da área dos trapézios a seguir.
a)
b)
10. Calcule a medida da área de um losango cujo comprimento da diagonal menor mede 35 centímetros e cujo comprimento da diagonal maior mede 45 . centímetros
11. A medida da largura de um terreno retangular corresponde ao dobro da medida do comprimento. Quais são as medidas das dimensões desse terreno, sabendo que sua medida de área é 200 ? métros quadrados
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
12. Um painel retangular tem 200 centímetros de medida de largura por 240 centímetros de medida de comprimento. Se 30% da medida de área do painel é ocupada por ilustrações, qual é a medida da área ocupada pelas ilustrações?
13. A figura a seguir é um quadrado com lados medindo 15 centímetros de comprimento, em que cada um dos lados é dividido em três partes iguais. Todos os triângulos verdes são isósceles e têm lados correspondentes de mesma medida de comprimento. O ponto , vértice comum a esses triângulos, localiza-se no centro do quadrado. a
Determine a medida da área correspondente à figura formada pela composição dos 4 triângulos verdes.
Medida do volume de um paralelepípedo reto-retângulo
c
medida do comprimento
a
medida da largura
h
medida da altura
Medida do volume de um cubo
a
medida de comprimento da aresta
A medida da capacidade de um cubo cujo comprimento da aresta mede 1 decímetro corresponde a 1 litro ( litro). Assim:
1 litro = 1 decímetro cúbico
14. Calcule a medida do volume dos sólidos a seguir.
a)
b)
15. Uma caixa de papelão tem dimensões internas de 50 centímetros de medida de comprimento por 32 centímetros de medida de largura por 40 centímetros de medida de altura. Qual é a medida do volume dessa caixa de papelão?
16. Para armazenar água da chuva e usá-la na irrigação de plantas, Jair construiu um depósito cúbico com arestas medindo 2 métros de comprimento. No momento, a água está ocupando metade da medida de capacidade do depósito. Quantos litros de água há nesse depósito?
17. Márcio pegou um bloco de madeira com o formato de um paralelepípedo reto-retângulo para fazer alguns cortes paralelos e obter blocos menores, de mesmo formato. O bloco maior tem 5 métros de medida de comprimento, 0,8 métro de medida de largura e 0,5 métro de medida de altura, como mostra a figura a seguir.
Após os cortes, Márcio obteve blocos menores, de 0,25 métro de medida de comprimento, 0,2 métro de medida de largura e 0,25 métro de medida de altura.
a) Supondo que não houve perda de material nos cortes, qual é a medida do volume de cada um desses blocos menores?
b) Quantos blocos menores Márcio obteve?
c) Considerando que a medida de volume de 1 métro cúbico dessa madeira tem medida de massa de, aproximadamente, 500 quilogramas, qual é a medida de massa de cada bloco menor?