Página sessenta e oito

Parte 3

UNIDADE 2

CAPÍTULO 4 — FRAÇÕES

Trocando ideias — página 105

1. Espera-se que os estudantes consigam elencar outras situações cotidianas que necessitem de ordenação, tais como cozinhar, em que os alimentos precisam ser limpos, organizados, cortados e colocados para cozinhar em ordem específica.

2. A quantidade de amaciante será menor que a de detergente líquido, já que é adicionada à máquina de lavar uma quantidade menor que uma tampa, enquanto que, para o detergente, uma tampa e meia é adicionada.

Atividades — páginas 111 a 113

1. a) O inteiro estaria representado pelo círculo.

b) O inteiro estaria representado por 4 círculos.

2. A fração que representa a divisão que Joana fará das jabuticabas é

\frac{28}{4}

, ou seja, o número de jabuticabas pelo número de crianças, resultando em 7 jabuticabas para cada uma delas.

3. a) A fração que representa a divisão das bolinhas feitas pela mãe de Jorge é

\frac{25}{3}

, ou seja, o número de bolinhas de gude pelo número de crianças.

b) Ao realizar a divisão, nota-se que não se tem como dividir a quantidade de bolinhas igualmente entre as crianças. Para que todas recebam uma quantidade igual, cada uma delas fica com 8 bolinhas, restando uma. Este exercício é interessante para começar a trabalhar o conceito de resto na divisão.

4. a) Assumindo as duas barras de chocolate como um inteiro e cada um dos retângulos que o formam como uma parte, têm-se ao todo 18 partes para formar esse inteiro. Das 18 partes, são representadas apenas 15, ou seja,

\frac{15}{18}

. Entretanto, esta fração pode ser simplificada (dividindo numerador e denominador por 3), resultando em

\frac{5}{6}

Caso consideremos 4 barras de chocolate como um inteiro, teremos agora 36 partes em vez de 18. Levando em conta a mesma quantidade de chocolate do item anterior (15 retângulos, ou partes) temos a fração

\frac{15}{36}

. Como no caso anterior, esta fração também pode ser simplificada (dividindo numerador e denominador por 3), resultando na fração

\frac{5}{12}

b) Cada copo possui quatro partes iguais. Se considerarmos dois copos como um inteiro, teremos ao todo 8 partes formando um inteiro. Ao analisar a imagem, nota-se que há seis partes preenchidas com água, logo a fração que representa o sistema é

\frac{6}{8}

ou, simplificando o numerador e o denominador por 2, teremos a fração

\frac{3}{4}

Caso sejam considerados três copos como um inteiro, temos agora 12 partes formando um inteiro. Sendo assim, como ainda estão preenchidas 6 partes, a fração que representa o sistema é

\frac{6}{12}

ou, simplificando a fração,

\frac{1}{2}

5. a) Razão é uma maneira de estabelecer entre quantidades; no caso, estão sendo comparadas as quantidades de açúcar e leite. Como são necessárias 3 xícaras de açúcar para cada 4 xícaras de leite em cada receita, a razão é representada pela fração

\frac{3}{4}

b) A ideia de proporção começa a ser explorada, visto que as receitas devem ter seus ingredientes aumentados ou diminuídos proporcionalmente para que não haja problemas com o resultado dos quitutes. Para cada bolo são necessários 3 ovos. Como estão sendo usados 9, percebe-se que a quantidade foi triplicada. O mesmo deve acontecer a todos os outros ingredientes, inclusive o queijo, cuja quantidade necessária agora é 300 gramas. Isso ocorre porque a razão entre esses ingredientes é de 3 ovos para 100 gramas de queijo, ou

\frac{3}{100}

6. Analisando a quantidade de jogos, vemos que há 5 jogos de aventura e 9 jogos de corrida; a razão de jogos de aventura para os jogos de corrida é então de

\frac{5}{9}

7. a) Luís quer dividir seus 21 jogos em grupos menores de 4 jogos para poder presentear os amigos, ou seja,

\frac{21}{4}

b) Ao fazer isso, ele consegue 5 porções de 4 jogos cada, sendo assim ele consegue presentear até 5 amigos e um jogo acaba sobrando.

8. Tomando cada uma das barras como um inteiro, ela deve ser dividida em cinco partes iguais. Cada um dos irmãos receberá uma parte de cada barra. Como são três barras, isso se repete três vezes, logo

3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}

, conforme representado pela imagem a seguir.

Inteiro:

Esquema: Três barras de chocolate divididas em 5 partes iguais cada estão lado a lado. Abaixo da barra do meio, a fração 15 sobre 5.

Cada parte:

Esquema: Cinco barras de chocolate divididas em 3 partes iguais cada. Abaixo de cada barra, a fração 3 sobre 5

9. Como Carlos e sua prima fazem parte da mesma família, cada um concorre com uma possibilidade para usar o salão de festas. Como são 44 apartamentos concorrendo, a chance é de 2 entre 44, logo

\frac{2}{44}

\frac{1}{22}

(simplificando por 2, o numerador e o denominador).

10. Para saber o valor de

\frac{1}{3}

, deve-se dividir o número de figurinhas em 3 grupos diferentes com a mesma quantidade cada e contar quantas há em um desses grupos. Sabendo que uma dessas partes é repetida, o restante serão as figurinhas inéditas. Ou seja:

\frac{1}{3} \times 144 = 48

figurinhas repetidas.

144 − 48 = 96 figurinhas inéditas.

11. Como são preparados

\frac{3}{5}

do saco de arroz, é preciso saber qual é a massa de cada parte, ou seja:

\frac{5}{5} = 1

quilograma

Como são três partes, são 3 vezes 1 quilograma; logo, 3 quilogramas de arroz.

12. Professor, aqui a ideia de regra de três advinda da proporcionalidade começa a ser inserida de forma mais explícita.

Página sessenta e nove

Se em uma hora o corredor consegue correr, em média, 20 quilômetros, o tempo estimado para que ele consiga correr 40 quilômetros é de duas horas. Como a distância teve seu valor dobrado, o tempo deve acompanhar essa proporção.

13. Como José tem apenas 3 dos 4 ovos necessários, a mesma ideia deve ser aplicada às quantidades dos outros ingredientes para que ele consiga fazer o bolo sem problemas, ou seja,

\frac{3}{4}

da quantidade de cada ingrediente.

14. A ideia de função afim começa a ser explorada nessa atividade, em que os estudantes devem descobrir o valor de uma incógnita, então fica uma sugestão de abordagem. No caso, pode ser feito o raciocínio inverso da conta anterior, em que os estudantes devem descobrir a sétima parte de 21 e multiplicar o resultado por dois. Deve-se multiplicar 6 por 7 e dividir por 2, ou seja, multiplicar por

\frac{7}{2}

Atividades — páginas 113 e 114

15. Os estudantes podem dividir o desenho em áreas de mesmo tamanho e verificar que a área coberta de amarelo é menor que um terço da área total.

16. São duzentos automóveis para serem distribuídos em oito fileiras, ou seja, 200 dividido por 8 ou

\frac{200}{8}

, que corresponde a 25 automóveis por fileira.

17. Se cada torta é dividida em 5 pedaços, têm-se ao todo 15 pedaços (já que são três tortas inteiras). Com isso, podem ser servidas 15 pessoas.

18. Das 15 maçãs representadas, 9 têm folha no caule e 6 não têm. Com isso, a razão do número de maçãs sem folha para o número de maçãs com folha é igual a

\frac{6}{9}

19. a) Aqui, a ideia de porcentagem é trabalhada segundo a perspectiva da parte pelo todo. O inteiro é definido como o 100 e a parte é o 15, que é fornecida na atividade. A representação da fração é

\frac{15}{100}

. 15% do preço é a multiplicação dessa fração pelo valor inicial, logo

\frac{15}{100} \cdot 280

b) O valor do desconto é o resultado da operação indicada no item anterior, ou seja, R$ 42,00quarenta e dois reais.

20. Se

\frac{1}{7}

dos estudantes corresponde a canhotos, então

\frac{6}{7}

são destros. Mas esses

\frac{6}{7}

correspondem a 24 estudantes.

Esquema: retângulo dividido em 7 partes iguais. Da esquerda para a direita, seis dessas partes são amarelas. acima uma chave com a indicação 24. Abaixo a indicação destros. Uma parte branca. Acima da parte branca, a chave com um ponto de interrogação. Abaixo da parte branca a indicação canhotos.

Daí, se

\frac{6}{7}

de toda a classe representam 24 estudantes, então

\frac{1}{7}

representa 24 : 6 = 4

Finalmente, a classe toda é representada por

\frac{6}{7} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7}

, ou 24 + 4 = 28 estudantes.

21. O fluxograma pode ser uma ferramenta para ordenar frações, sempre que os denominadores são iguais; nesse caso, a ordenação se resume à comparação de numeradores; se os denominadores forem diferentes, precisaremos antes obter frações equivalentes às originais, com o mesmo denominador.

22. Se o limite superior de velocidade era 80 quilômetros por hora no primeiro trecho e a distância percorrida foi de 80 quilômetros, então Fernanda levou 1 hora para percorrer esse trecho. O segundo trecho foi de 60 quilômetros e a velocidade do carro era de 120 quilômetros por hora. Sendo assim, se a cada hora nessa velocidade são percorridos 120 quilômetros, 60 quilômetros (a metade dessa distância) deverá tomar a metade do tempo ou seja, meia hora. Ao todo, gastou-se uma hora e meia. Em fração, tem-se:

1 h + \frac{1}{2} h = \frac{2}{2} h + \frac{1}{2} h = \frac{3}{2} h

23. O tanque no início da viagem tinha

\frac{3}{4}

da capacidade completa e ao fim restava apenas

\frac{1}{4}

. A diferença entre esses valores é a quantidade consumida de combustível, logo:

\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Ou seja, metade da capacidade total do tanque foi consumida. Como cabem 50 litros, o valor total gasto foi de 25 litros.

24. Espera-se que os estudantes compreendam as relações de proporcionalidade direta entre distância e tempo, e de proporcionalidade inversa entre velocidade e tempo na hora de criar o exercício. Veja o que foi trabalhado na atividade 22.

25. Espera-se que os estudantes trabalhem a ideia de “parte pelo todo” implícita nas porcentagens e assumam 100 como o inteiro no problema, como foi feito por exemplo na atividade 19.

Resolvendo em equipe — página 115

As frações equivalentes são:

\frac{8}{12}; \frac{4}{12}; \frac{6}{12}; \frac{3}{12} \frac{10}{12}; \frac{9}{12}; \frac{7}{12}; \frac{1}{12}; \frac{6}{12}; \frac{12}{12}

Se todos seguirem corretamente o algoritmo de ordenação, teremos:

\frac{1}{12}; \frac{3}{12}; \frac{4}{12}; \frac{6}{12}; \frac{6}{12}; \frac{7}{12}; \frac{8}{12}; \frac{9}{12}; \frac{10}{12}; \frac{12}{12}

Revisão dos conteúdos deste capítulo — página 116

1. a) O inteiro seria toda a figura, ou seja, todo o hexágono.

b) Se 6 triângulos equivalem a uma metade do inteiro, o dobro equivale ao valor do inteiro, ou seja, 12. Três triângulos equivalem à metade da metade do inteiro, ou seja,

\frac{1}{4}

de 12.

2. Considerando que cada pessoa coma um pedaço, são 16 pessoas, visto que são duas pizzas e que cada uma possui 8 pedaços.

3. Para descobrir a fração das pessoas que cabem em cada fileira, basta dividir o número máximo da lotação da sala (duzentas e oitenta e oito) pelo número de fileiras (16), ou seja, duzentas e oitenta e oito pessoas para 16 fileiras ou

\frac{288}{16}

. Resolvendo a divisão, obtém-se que a quantidade de pessoas por fileira será de 18.

4. a) Como ele vai distribuir quatrocentas e dezesseis figurinhas para 4 colegas, é como se ele dividisse o valor total para 4, ou seja,

\frac{416}{4}

b) Realizando a divisão, obtém-se que cada colega receberá 104 figurinhas.

5. Se em 3 horas são percorridos 198 quilômetros, precisa-se saber quantos quilômetros são percorridos em 1 hora, ou seja, a terça parte dessa distância. Portanto, são percorridos 66 quilômetros em uma hora; logo, a velocidade é de 66 quilômetros por hora.

Página setenta

6. A razão será a relação, a comparação entre as distâncias que Marcos e Anderson, respectivamente, percorreram, ou seja,

\frac{10 000}{12 500}

. Simplificando o numerador e o denominador por 2 500, tem-se a razão de

\frac{4}{5}

7. a) Tomando 100% como o valor total a ser pago, a décima segunda parte desse valor representa o desconto recebido, ou seja,

\frac{12}{100} \cdot 190

b) O valor do desconto recebido é de R$ 22,80vinte e dois reais e oitenta centavos.

\frac{1}{6}

dos colegas de Maria não gosta de ir ao teatro, e os demais, ou seja,

\frac{5}{6}

deles, gostam. Se

\frac{5}{6}

desses colegas correspondem a 20, então,

\frac{1}{6}

corresponde a 20 : 5 = 4. Assim, Maria pesquisou 20 + 4 = 24 colegas.

9. Para transformar 90 em 72, foi aplicada a seguinte sequência de operações:

Esquema. Sequência de operações originais. Da esquerda para a direita: retângulo com o número 90 dentro. À direita, seta vermelha para a direita com vezes quatro acima da seta. À direita da seta, retângulo com o número 360 dentro. À direita, seta vermelha para a direita com dividido por cinco acima da seta. À direita da seta, retângulo com o número 72 dentro.

Para transformar 72 em 90, usaremos em cada passo a operação inversa da original:

Esquema. Sequência de operações inversas. Da esquerda para a direita: retângulo com o número 72 dentro. À direita, seta vermelha para a direita com vezes cinco acima da seta. À direita da seta, retângulo com o número 360 dentro. À direita, seta vermelha para a direita com dividido por quatro acima da seta. À direita da seta, retângulo com o número 90 dentro.

Assim, devemos multiplicar 72 por

\frac{5}{4}

para obtermos 90.

10. Se Nair usou

\frac{2}{5}

de seu salário, é como se ela tivesse dividido o valor total recebido por 5 partes iguais e usado duas dessas partes para pagar as despesas. Dividindo R$ 4quatro reais.600,00seiscentos reais por 5, obtêm-se R$ 920,00novecentos e vinte reais. Logo, ela usou esse valor duas vezes, ou R$ 1um reais.840,00oitocentos e quarenta reais.

11. Como a velocidade é constante, sabe-se que a distância percorrida a cada hora não se altera. A cada hora são percorridos 250 quilômetros. Logo, passando 3 horas, é percorrido o triplo desse valor, ou 750 quilômetros.

CAPÍTULO 5 — NÚMEROS RACIONAIS

Trocando ideias — página 117

• Resposta pessoal. É importante ressaltar com os estudantes algumas medidas básicas de educação financeira, como evitar gastos desnecessários e realizar planejamentos financeiros.

• O titular da conta conseguiu regularizar a conta, porque R$ 200,00duzentos reais é um valor maior do que a quantia devida (R$ 187,66cento e oitenta e sete reais e sessenta e seis centavos).

Atividades — página 119

1. Justificando item a item, temos:

a) Verdadeiro.

b) Falso. ‒17 é um número negativo, já que é menor que zero.

c) Falso.

\frac{2}{5}

é um número racional.

d) Verdadeiro, já que é um quociente entre números inteiros.

e) Verdadeiro. Zero pode ser expresso como a fração

\frac{0}{1}

f) Falso. A quantia indica a metade de um inteiro negativo.

g) Verdadeiro. Podemos expressar o número como

\frac{1}{100}

h) Falso, já que o número não é inteiro nem positivo.

2. Realizando a divisão e convertendo para decimal, temos:

a) ‒0,25

b) 1,4

c) 0,07

d) 0,6

e) ‒0,125

f) ‒0,625

g) 0,135

h) ‒1,8

3. Exemplos de respostas para cada item:

+ \frac{64}{10} = + \frac{32}{5}

‒ \frac{225}{100} = ‒ \frac{9}{4}

‒ \frac{8}{100} = ‒ \frac{2}{25}

+ \frac{54}{100} = + \frac{27}{50}

4. a) Contamos os números inteiros e positivos que estão entre 4 e 12; assim, temos 5, 6, 7, 8 ,9, 10 e 11. Então, são 7 números naturais.

b) Entre dois números racionais existem infinitos números racionais.

c) Representando a fração na fórma mista, temos:

3 \frac{1}{4}

; assim, o número está entre 3 e 4.

d) Representando na fórma de fração mista, temos:

- 5 \frac{1}{2}

; então, o número está situado entre ‒6 e ‒5.

5. a)

0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

- 1,5 = - \frac{15}{10} = - \frac{3}{2}

8,5 = \frac{85}{10} = \frac{17}{2}

- 1,4 = - \frac{14}{10} = - \frac{7}{5}

+ 6,84 = \frac{684}{100} = \frac{342}{50} = \frac{171}{25}

- 3,45 = - \frac{345}{100} = - \frac{69}{20}

6. Exemplos de resposta: Usam-se frações no preparo de receitas, no visor de combustível de um automóvel, porcentagens, descontos, comparação para proporções, entre outros.

Atividades — páginas 120 e 121

7. a) O ponto C, localizado entre ‒3 e ‒2.

b) O ponto B corresponde a

\frac{5}{2}

e o ponto a corresponde a 1.

- \frac{1}{2}

- \frac{3}{2}

, respectivamente.

- \frac{1}{2}

corresponde ao ponto D e

- \frac{3}{2}

corresponde ao ponto ê.

Página setenta e um

Ilustração. Reta numérica com seta para a direita e letra r minúscula no canto inferior direito, com pontos menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, mais 1, mais 2, mais 3, mais 4, mais 5. Ponto B está entre menos 4 e menos 3. Ponto A entre menos 1 e 0. Ponto D entre mais 1 e mais 2 e ponto C depois de mais 5.

Ilustração. Reta numérica com seta para a direita e letra r minúscula no canto inferior direito, com 24 traços de mesma distância. O primeiro traço tem o número menos 1. O sexto traço tem a indicação do ponto M e a fração menos três oitavos. O nono traço tem o número zero. O décimo quarto traço tem a indicação do ponto N e a fração mais cinco sétimos. O décimo sexto traço é o número mais um. No vigésimo terceiro traço tem a indicação do ponto Q com o número mais dois.

10. Respostas pessoais. Sugira que os estudantes citem números inteiros e não inteiros, positivos e não positivos.

Atividades — página 122

11. a) | 8 | = 8

|- \frac{1}{7}| = \frac{1}{7}

c) ‒(‒2,6) = +2,6

d) ‒

(\frac{13}{9}) = - \frac{13}{9}

12. Dois números diferentes podem ter o mesmo módulo. Exemplos: |‒3,5 | = |+3,5 | = 3,5; |‒5 | = |+5 | = 5;

| ‒ \frac{4}{5} | = | + \frac{4}{5} | = \frac{4}{5}

13. a) Podemos estimar o oposto multiplicando o número por ‒1. Assim: ‒1 ⋅ (‒3) = +3.

b) Analogamente, ‒1 ⋅ ( ‒1 ⋅ (‒3)) = ‒3.

14. a) Falsa. Possível correção: “O oposto de um número negativo é um número positivo”.

b) Verdadeira.

c) Verdadeira.

15. Resposta pessoal. Um exemplo:

Ilustração. Reta numérica com os números mistos menos 2 inteiros e 2 terços e 2 inteiros e 2 terços representados nela. Estes números estão em lados opostos e a uma mesma distância do ponto correspondente ao número zero.

16. Aplicando a definição de módulo, temos:

R = ‒ \frac{4}{7} o u + \frac{4}{7}

T = - \frac{7}{9} o u + \frac{7}{9}

c) S = ‒0,3 ou +0,3.

d) Não existe número V, já que o módulo não pode assumir valores negativos.

Atividades — página 124

17.

- \frac{5}{3} < ‒ \frac{2}{8} < + \frac{3}{5} < 1 < + \frac{10}{5}

. Positivos sempre são maiores que negativos, e quanto maior o módulo, maior é o número se positivo, ou menor é o número se negativo.

18.

+ 3 > + \frac{4}{5} > 0 > ‒ \frac{1}{5} > ‒ \frac{9}{4}

19. a) Verdadeira.

b) Falsa:

\frac{2}{5} > \frac{1}{3}

c) Verdadeira.

d) Falsa:

‒ \frac{31}{5} < ‒ 0, 5

20. Alternativa ê. É a única alternativa que apresenta medidas dentro dos referenciais mínimo e máximo.

21. Douglas, já que gastou menos (32,50 < 33,15).

22. Organizando, temos: ‒7,4 graus Célsius < ‒0,5 grau Célsius < 1,6 grau Célsius < 14 graus Célsius.

23. a) Anderson é o jogador mais alto.

b) O jogador mais baixo é armador.

c) 2,11 métros > 2,08 métros > 1,91 métro > 1,88 métro > 1,85 métro.

24. Resposta pessoal. Esta atividade oportuniza o trabalho com estimativas.

Lendo e aprendendo — página 126

1. Conforme o texto.

a) Na edição 174.

b) Regiões Sul, Sudeste e Centro-Oeste.

c) No dia 26 de julho de 2021.

d) O aquecimento global.

2. Todos os números que aparecem no texto são racionais. Espera-se que os estudantes anotem todos no caderno.

3. De acordo com o texto, as afirmações dos itens a e d são verdadeiras.

4. Elaboração pessoal. Convide os estudantes a compartilharem os trabalhos.

Atividades — página 128

25. a)

(- \frac{2}{3}) + (+ \frac{1}{4}) = - \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = - \frac{5}{12}

(- \frac{4}{7}) + (- \frac{2}{6}) = \frac{- 24 - 14}{42} = - \frac{38}{42} = - \frac{19}{21}

(+ \frac{4}{3}) - (+ \frac{3}{5}) = \frac{+ 20 - 9}{15} = \frac{11}{15}

d) (‒2,1) + (+3,25) = 1,15

e) (+5,5) ‒ (+8,13) = ‒2,63

f) (‒4,72) ‒ (‒0,28) = ‒4,44

g) ‒1,17 ‒ (‒1,17) = 0

1, 81 + 1, 81 ‒ 1, 81 + (‒ 1, 81) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

26. a)

- \frac{3}{2} + \frac{5}{6} + \frac{1}{3} = - \frac{9}{6} + \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = - \frac{2}{6} = - \frac{1}{3}

1,5 - \frac{3}{8} + \frac{6}{5} = \frac{60 - 15 - 48}{40} = \frac{60 - 63}{40} = - \frac{3}{40}

\frac{3}{7} - 1 + \frac{4}{3} = \frac{9 - 21 + 28}{21} = \frac{16}{21}

1, 7 + (\frac{2}{3} - 0, 25) - \frac{1}{4} = \frac{17}{10} + \frac{2}{3} - \frac{25}{100} - \frac{1}{4} = \frac{17}{10} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} =

= \frac{102 + 20 - 15 - 15}{60} = \frac{92}{60} = \frac{28}{15}

\frac{1}{5} ‒ (\frac{4}{5} + 1, 2) + 40 = \frac{2}{10} ‒ (\frac{8}{10} + \frac{12}{10}) + \frac{400}{10} = \frac{382}{10} = \frac{191}{5}

\frac{1}{3} ‒ \frac{1}{3} ‒ (\frac{1}{5} ‒ \frac{2}{10}) = 0

27.

Ilustração: Teclas da calculadora: 4 ponto 2 menos 3 ponto 7 mais ou menos, igual.

, resultando em 7,9.

28. A diferença foi de 14,5 ‒(‒2,8) = ‒14,5 + 2,8 = 17,3 graus Célsius.

29. Exemplo de elaboração: “Durante um mês, Pedro precisou gastar dinheiro com cuidados do seu pet, fechando a conta em um débito de R$ 42,75quarenta e dois reais e setenta e cinco centavos. Ao fim do mês, ele conseguiu repor uma quantia financeira para diminuir o débito, fechando a conta com um saldo negativo de R$ 35,50trinta e cinco reais e cinquenta centavos. Quantos reais Pedro colocou no banco?”

Página setenta e dois

30. Se o salário de Vítor é o inteiro, as frações correspondentes aos gastos somam

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

do total. Sendo

\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1

, o valor R$ 315,00trezentos e quinze reais corresponde a um sexto do salário. Finalmente, o salário total será de 6 × 315 = 1 890, ou seja, o salário de Vítor nesse mês foi de R$ 1um reais.890,00oitocentos e noventa reais.

31. a) 5,00 ‒ 4,86 = 0,14 . A diferença entre as marcas é de 0,14 métro.

b) Lembrando que 9 centímetros é 0,09 métro, 4,86 ‒ 0,09 = 4,77. A marca alcançada pela quarta colocada foi de 4,77 métros.

32. Um exemplo de elaboração é dado a seguir:

“Vítor estava com saldo negativo no valor de R$ 123,90cento e vinte e três reais e noventa centavos em sua conta bancária e sacou uma cédula de R$ 50,00cinquenta reais. Quanto ficou de saldo na conta bancária de Vítor após esse saque?”

Atividades — páginas 130 a 132

33. Realizando as operações pelo 1º modo indicado, temos:

(‒ 3, 85) \cdot (+ 2, 4) = (- \frac{385}{100}) \cdot (+ \frac{24}{10}) = - \frac{9240}{1000} = - 9,24

(+ 1, 4) \cdot (‒ 0, 5) = (+ \frac{14}{10}) \cdot (- \frac{5}{10}) = - \frac{70}{100} = - 0,7

(‒ 2, 5) \cdot 30 = (- \frac{25}{10}) \cdot (+ \frac{30}{1}) = - \frac{750}{10} = - 75

(‒ 0, 3) \cdot (‒ 0, 01) = (- \frac{3}{10}) \cdot (- \frac{1}{100}) = - \frac{3}{1000} = - 0,003

34. a)

(- \frac{4}{5}) \cdot (- \frac{7}{4}) = \frac{28}{20} = \frac{7}{5}

(+ \frac{4}{9}) \cdot (- \frac{16}{81}) = - \frac{64}{729}

(+ \frac{5}{8}) \cdot (- \frac{4}{3}) = - \frac{20}{24} = - \frac{5}{6}

(+ \frac{4}{5}) \cdot 0 = 0

(- \frac{15}{11}) \cdot 1 = - \frac{15}{11}

3 \cdot (- \frac{3}{9}) \cdot (+ \frac{18}{6}) = - \frac{162}{54} = - 3

35. Realizando a multiplicação, temos:

Esquema: algoritmo de multiplicação na vertical. Acima, quatro vírgula trinta e cinco. Abaixo, sinal de vezes e número dois vírgula oitenta.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo do traço, zero, zero, zero.
Abaixo do último zero, o sinal de mais. Abaixo do zero do meio, número zero. Abaixo do primeiro zero, número oito. À esquerda do número oito, número quatro. À esquerda do número quatro, número três.
Abaixo do três, o oito,
Abaixo do quatro, o sete.
Abaixo do oito, o zero.
Abaixo do zero, o sinal de mais.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo do traço, doze vírgula um, oito, zero, zero.

Assim, serão necessários 12,18 métros quadrados.

36. Determinando o produto, temos:

(- 40) \cdot (- 0,025) = (- \frac{40}{1}) \cdot (- \frac{25}{1000}) = + \frac{1000}{1000} = 1

37. a) A operação que representa o problema é:

(\frac{35}{100}) \cdot (\frac{145}{10}) = \frac{11200}{1000} = 11,20

Catarina pagou R$ 11,20onze reais e vinte centavos.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes tenham percebido que, para refeições que pesem mais de 0,5 quilograma, o preço por quilograma é maior que o preço da refeição à vontade. Catarina fez a melhor opção.

38.

(- \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{81} + 0, 3) \cdot (- \frac{3}{4}) = (- \frac{48}{324} + \frac{3}{10}) \cdot (- \frac{3}{4}) =

= (- \frac{480}{3240} + \frac{972}{3240}) \cdot (- \frac{3}{4}) = (\frac{492}{3240}) \cdot (- \frac{3}{4}) =

= (- \frac{1476}{12960}) = (- \frac{41}{360})

39. Entrada: R$ 16,50dezesseis reais e cinquenta centavos

Meia-entrada: R$ 8,25oito reais e vinte e cinco centavos

Venda de meias-entradas: 80 × 8,25 = 660

Venda de ingressos inteiros: 248 × 16,50 = .4092

Logo, o valor da venda dos 328 ingressos foi de R$ 4quatro reais.752,00setecentos e cinquenta e dois reais.

40. Considerando o valor da moto um inteiro, Pedro pagou

\frac{3}{10}

na entrada e os

\frac{7}{10}

restantes nas prestações.

Valor total pago nas prestações = 20 × 217,70 = = .4354, correspondendo a

\frac{7}{10}

do valor total.

então,

\frac{1}{10}

do valor total = 622.

E n t r a d a = \frac{3}{10} d o v a l o r t o t a l = 3 \times 622 = 1 866

Finalmente: valor total da moto = entrada + prestações = R$ 4.354,00quatro mil trezentos e cinquenta e quatro reais + R$ 1.866,00mil oitocentos e sessenta e seis reais = R$ 6.220,00seis mil duzentos e vinte reais

41. Laurinha pagou a conta com duas notas de 10 reais e o restante (3 reais) com moedas de 10 centavos; assim, temos:

3, 00 : 0, 10 = (\frac{3}{1} : \frac{1}{10}) = 30

. Foram usadas 30 moedas.

42. Espera-se que os estudantes percebam que os resultados sugerem que a propriedade comutativa é válida para a multiplicação com números racionais. Depois, confirme que a propriedade é válida, mas não será demonstrada nesta coleção.

43. Espera-se que os estudantes percebam que os resultados sugerem que todo número racional multiplicado por 1 é igual a ele mesmo (existência do elemento neutro). Depois, confirme que a propriedade é válida, mas não será demonstrada nesta coleção.

44. Espera-se que os estudantes percebam que as investigações sugerem que as propriedades associativa e distributiva válidas para a multiplicação com números inteiros também valem para os números racionais. Depois, confirme que as propriedades são válidas, mas não serão demonstradas nesta coleção.

45. a) Exemplo de resposta: “Isabela localizou frações equivalentes para realizar a soma nos parênteses. Logo após, realizou a multiplicação de frações normalmente.”

b) Isabela adicionou os números entre parênteses primeiro, multiplicando o resultado por

\frac{16}{20}

. Marcelo utilizou a propriedade distributiva.

c) Resposta pessoal. Sugira que os estudantes compartilhem soluções e opiniões.

46. Exemplo de elaboração: “Paula comprou 12 caixas de piso cerâmico, cada uma delas com 3,2 métros quadrados de piso. Qual é o valor total dessa compra, sabendo que o metro quadrado desse piso custa R$ 10,90dez reais e noventa centavos?

47. a)

(- \frac{2}{9}) \cdot (- \frac{9}{2}) = \frac{18}{18} = 1

(+ \frac{15}{4}) \cdot (+ \frac{4}{15}) = \frac{60}{60} = 1

(- \frac{1}{19}) \cdot (- \frac{19}{1}) = \frac{19}{19} = 1

b) Seguindo o padrão dos itens anteriores, temos:

- \frac{5}{6}

c) Resposta pessoal. Alguns exemplos de frações que podem ser geradas:

\frac{2}{3}

;

\frac{16}{9}

;

- \frac{5}{6}

etcétera.

d) Concluindo o raciocínio, temos

\frac{b}{a}

e) Exemplo de um par de inversos multiplicativos:

(- \frac{7}{2})

(- \frac{2}{7})

Página setenta e três

Atividades — páginas 133 e 134

48. a) ‒27,6 : 1,5 = ‒276 : 15, assim:

Esquema: algoritmo de divisão na chave. À esquerda, 276. Dentro da chave, 15. Abaixo de 276, menos 270. Abaixo da chave, quociente dezoito vírgula quatro.
Abaixo do menos 270, traço horizontal.
Abaixo, do traço horizontal, 60.
Abaixo do 60, menos 60.
Abaixo do menos 60, traço horizontal.
Abaixo do traço, zero.

‒27,6 : 1,5 = ‒18,4

b) (‒4,9) : (‒0,98) = (‒490) : (‒98), assim:

Esquema: algoritmo de divisão na chave. À esquerda, 490. Dentro da chave, 98. Abaixo de 490, menos 490. Abaixo da chave, quociente 5.
Abaixo do menos 490, traço horizontal.
Abaixo, do traço horizontal, 0.

(‒4,9) : (‒0,98) = 5

49. a) (‒200) : (+0,5)

Esquema: algoritmo de divisão na chave. À esquerda, 2000. Dentro da chave, 5. Abaixo de 2000, menos 2000. Abaixo da chave, quociente 400.
Abaixo do menos 2000, traço horizontal.
Abaixo, do traço horizontal, 0.

(‒200) : (+0,5) = ‒400

b) (+16,2) : (‒3,6)

Esquema: algoritmo de divisão na chave. À esquerda, 162. Dentro da chave, 5. Abaixo de 162, menos 144. Abaixo da chave, quociente quatro vírgula cinco.
Abaixo do menos 144, traço horizontal.
Abaixo, do traço horizontal, 180.
Abaixo do 180, menos 180.
Abaixo do menos 180, traço horizontal.
Abaixo do traço, zero.

(+16,2) : (‒3,6) = ‒4,5

c) (‒81,64) : (‒6,5)

Esquema: algoritmo de divisão na chave. À esquerda, 8164. Dentro da chave, 650. Abaixo de 8164, menos 650. Abaixo da chave, quociente doze vírgula cinquenta e seis.
Abaixo do menos 650, traço horizontal.
Abaixo, do traço horizontal, 1664.
Abaixo do 1664, menos 1300.
Abaixo do menos 1300, traço horizontal.
Abaixo do traço, 3640.
Abaixo do 3640, menos 3250.
Abaixo do menos 3250, traço horizontal.
Abaixo do traço, 3900.
Abaixo do 3900, menos 3900.
Abaixo do menos 3900, traço horizontal.
Abaixo do traço, zero.

(‒81,64) : (‒6,5) = 12,56

d) (+12,6) : (‒0,25)

Esquema: algoritmo de divisão na chave. À esquerda, 1260. Dentro da chave, 25. Abaixo de 1260, menos 125. Abaixo da chave, quociente cinquenta vírgula quatro.
Abaixo do menos 125, traço horizontal.
Abaixo, do traço horizontal, 100.
Abaixo do 100, menos 100.
Abaixo do menos 100, traço horizontal.
Abaixo do traço, zero.

(+12,6) : (‒0,25) = ‒50,4

50. a)

(+ \frac{7}{6}) : (- \frac{1}{7}) = (+ \frac{7}{6}) \cdot (- \frac{7}{1}) = - \frac{49}{6}

(+ \frac{3}{7}) : (+ \frac{21}{49}) = (+ \frac{3}{7}) : (+ \frac{3}{7}) = 1

(- \frac{4}{7}) : (- \frac{8}{7}) = (- \frac{4}{7}) \cdot (- \frac{7}{8}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

(- \frac{3}{5}) : (- \frac{9}{15}) = (- \frac{3}{5}) \cdot (- \frac{5}{3}) = 1

(- \frac{4}{9}) : (+ \frac{16}{81}) = (- \frac{4}{9}) \cdot (+ \frac{81}{16}) = - \frac{9}{4}

(- \frac{5}{2}) : (+ 8) = (- \frac{5}{2}) \cdot (+ \frac{1}{8}) = - \frac{5}{16}

(+ 16) : (- \frac{3}{8}) = (+ \frac{16}{1}) \cdot (- \frac{8}{3}) = - \frac{128}{3}

(- \frac{3}{5}) : (+ 0,1) = (- \frac{3}{5}) \cdot (10) = - \frac{30}{5} = - 6

51. a) Verdadeira. Exemplo:

\frac{3}{0,5} = 3 \cdot 2 = 6

b) Verdadeira. Exemplo:

4 \cdot 5 = 4 \cdot (\frac{10}{2}) = \frac{40}{2} = 20

c) Falsa, pois multiplicar por

\frac{3}{4}

equivale a multiplicar por 0,75.

52. Alternativa b. Podemos resolver a questão procurando a fração irredutível cuja fórma decimal seja igual a 0,48. Assim, temos:

\frac{Número de meninos}{Número de meninas} = 0, 48 = \frac{48}{100} = \frac{24}{50} = \frac{12}{25}

Portanto, 12 + 25 = 37

Atividades — páginas 135 e 136

53. a)

{(- \frac{1}{3})}^{4} = (- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{81}

(0, 01) ² = (\frac{1}{100}) . (\frac{1}{100}) = (\frac{1}{10 000}) = 0, 0001

{(- \frac{17}{20})}^{0} = 1 (P o r d e f i n i ç ã o)

{(- \frac{1}{2})}^{4} = (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{16}

e) (1,2)² = (1,2) · (1,2) = 1,44

f) ‒ 0,5¹ = ‒ 0,5

54. a) (4,2)² = (4,2) · (4,2) = 17,64. A área mede 17,64 centímetros quadrados.

b) métro quadrado

55. a)

a ² + b ² = {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} = (\frac{1}{4}) + (\frac{9}{16}) = \frac{4}{16} + \frac{9}{16} = \frac{13}{16}

(a + b) ² = {(\frac{1}{2} + \frac{3}{4})}^{2} = {(\frac{2}{4} + \frac{3}{4})}^{2} = {(\frac{5}{4})}^{2} = (\frac{5}{4}) \cdot (\frac{5}{4}) = \frac{25}{16}

56.

{2 000 \cdot (\frac{11}{10})}^{3} = 2000 \cdot (\frac{1 331}{1 000}) = 2 662

indivíduos.

Após 3 semanas de reprodução, teremos .2662

57. Alternativa a.

{(\frac{1}{10})}^{2} + {(\frac{2}{10})}^{2} = (\frac{1}{100}) + (\frac{4}{100}) = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}

Atividades — páginas 137 e 138

58. a)

\sqrt{\frac{100}{9}} = \sqrt{{(\frac{10}{3})}^{2}} = \frac{10}{3}

\sqrt{1,96} = \sqrt{{(1,4)}^{2}} = 1,4

- \sqrt{0,01} = - \sqrt{{(0,1)}^{2}} = - 0,1

\sqrt{6,25} = \sqrt{{(2,5)}^{2}} = 2,5

e) Não é possível calcular raízes racionais de números negativos.

\sqrt{144} = \sqrt{{(12)}^{2}} = 12

Página setenta e quatro

59. a)

\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt{\frac{9}{25}} - \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{5} - \frac{1}{3} + \frac{3}{5} - \frac{2}{3} =

= \frac{6 - 5 + 9 - 10}{15} = \frac{0}{15} = 0

\sqrt{\frac{25}{16}} - \sqrt{\frac{36}{81}} - (- \sqrt{\frac{49}{100}}) + \sqrt{\frac{4}{9}} =

= \frac{5}{4} - \frac{6}{9} + \frac{7}{10} + \frac{2}{3} = \frac{225 - 120 + 126 + 120}{180} =

= \frac{351}{180} = \frac{39}{20}

60.

Ilustração. Reta numérica com os números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 representados nela. Também estão representados 6 pontos: A, B, C, D, E e F. O ponto B está alinhado com o número 3 e o ponto E com o número 5. O ponto A está entre 1 e 2, no meio. O ponto D está entre 3 e 4, no meio. Os pontos C e F estão entre 4 e 5, sendo que o ponto C está no meio e o ponto F está à esquerda de C. A reta está identificada pela letra r.

61. a) 81 = 9²

\frac{1}{144} = {(\frac{1}{12})}^{2}

c) Como 13 e 17 são primos, não há raiz quadrada exata.

\frac{1}{64} = {(\frac{1}{8})}^{2}

\frac{14}{18} = \frac{7}{9}

. Como a fração irredutível tem dois primos (7 e 9), ela não é um quadrado perfeito.

\frac{169}{225} = {(\frac{13}{15})}^{2}

62. a) Como temos um quadrado, a medida de um dos seus lados pode ser tomada através da raiz

\sqrt{23,04} = 4,8

logo, o lado do quadrado mede 4,8 métros.

b) A raiz de 40 está entre os números 6 (6² = 36) e 7 (7² = 49). Já 6,3² = 39,69. Então,

\sqrt{40} > 6,3

c) Entre 2 (2² = 4) e 3 (3² = 9)

63. Aproximadamente 4,9 métros. Exemplo: 4,5² = 20,25; 4,6² = 21,16; 4,7² = 22,09; 4,8² = 23,04; 4,9² = 24,01.

64.

\sqrt{15129} = 123

. Os estudantes podem investigar números que elevados ao quadrado forneçam números próximos ao radicando.

65. a)

(- 2 - \frac{2}{5}) \cdot {(- \frac{3}{4})}^{2} = (- \frac{12}{5}) \cdot (+ \frac{9}{16}) = - \frac{108}{80} = - \frac{27}{20}

1 - {(\frac{1}{3})}^{3} : {(\frac{1}{2} - 1)}^{2} = 1 - (\frac{1}{27}) : {(- \frac{1}{2})}^{2} = 1 - (\frac{1}{27}) : (\frac{1}{4}) =

= 1 - (\frac{4}{27}) = \frac{27 - 4}{27} = \frac{23}{27}

{(5 - \frac{1}{2})}^{2} : {(\frac{1}{2} - 2)}^{3} = {(\frac{9}{2})}^{2} : {(- \frac{3}{2})}^{3} = (\frac{81}{4}) : (- \frac{27}{8}) =

= (\frac{81}{4}) \cdot (- \frac{8}{27}) = - \frac{162}{27} = - 6

\frac{3 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{2}{5}} = (3 - \frac{1}{4}) : (1 + \frac{2}{5}) = (\frac{11}{4}) : (\frac{7}{5}) = (\frac{11}{4}) \cdot (\frac{5}{7}) = \frac{55}{28}

66.

{(\frac{2}{5})}^{0} \cdot {(0,01)}^{2} \cdot \sqrt{0,25} = 1 \cdot 0,0001 \cdot 0,5 = 0,00005

67. a)

2 x - 9 y = 2 (- \frac{1}{4}) - 9 (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{4} + \frac{9}{3} = \frac{- 6 + 36}{12} =

= \frac{30}{12} = \frac{5}{2}

2 x^{2} - 4 y + 8 = 2 {(\frac{1}{2^{2}})}^{2} - 4 (\frac{1}{2^{3}}) + 8 = \frac{1}{8} - 4 (\frac{1}{8}) + 8 =

= \frac{1}{8} - \frac{4}{8} + \frac{64}{8} = \frac{61}{8}

y^{2} + 7 x = {(\frac{1}{3})}^{2} + 7 {(\frac{2}{5})}^{2} = \frac{1}{9} + 7 (\frac{4}{25}) = \frac{1}{9} + \frac{28}{25} =

= \frac{25}{225} + \frac{252}{225} = \frac{227}{225}

4 x^{3} + 3 y^{2} = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{4}{3})}^{2} = 4 (\frac{1}{8}) + 3 (\frac{16}{9}) =

= \frac{1}{2} + \frac{16}{3} = \frac{3 + 32}{6} = \frac{35}{6}

68. Exemplo de elaboração: “Em um jogo de tabuleiro sobre a idade média, a pontuação de defesa dos personagens é calculada a partir da seguinte expressão: ‒4(1 : x)² + 3(1 : y) + 2

Nessa expressão, x e y são valores das faces de dois dados que são jogados em rodada. Se em uma rodada, temos x = 2 e y = 3, qual o valor de defesa do personagem?”

Revisão dos conteúdos deste capítulo — páginas 139 e 140

1. Pela definição, temos:

a) ‒1,25

b) +0,08

c) +0,3

d) ‒0,16

e) ‒0,04

f) +0,35

2. Convertendo os decimais, temos, por exemplo:

+ \frac{81}{100}

- \frac{358}{100}

- \frac{12}{100}

+ \frac{105}{10}

- \frac{97}{100}

+ \frac{165}{100}

3. Observando a reta numérica, temos, por exemplo:

a) O ponto C.

b) O número ‒2,5.

c) O número 1,5.

d) O ponto D.

4. Desenhando a reta, temos:

Ilustração. Reta numérica com os números menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3 representados nela. Também estão representados 4 pontos: A, B, C e D. O ponto C está entre menos 3 e menos 2, mais próximo de menos 2. O ponto D está entre menos 1 e zero, no meio. O ponto A está entre zero e 1, mais próximo de 1. O ponto B está entre 2 e 3, mais próximo de 3. A reta está identificada com a letra r.

5. Organizando as frações, classificando com base no valor do numerador e denominador, temos

(‒ 0, 3 = ‒ \frac{3}{10})

- \frac{5}{2} < - \frac{6}{5} < - 0,3 < + \frac{4}{10} < + \frac{3}{2}

6. Compondo a reta, temos:

Ilustração. Reta numérica com os números menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5 representados nela. Também estão representadas 4 frações: menos 9 quintos, menos 7 décimos, 8 quintos e 12 quintos.

Assim, temos:

+ \frac{12}{5} > + 2 > + \frac{8}{5} > - \frac{7}{10} > - \frac{9}{5}

7. a) > (O número negativo com menor módulo é maior)

b) > (Números positivos são maiores que números negativos)

c) < (Zero é maior que todo negativo)

d) >

> (\frac{1}{5} = 0,2 > 0,1)

< (- \frac{5}{9} = - 0,555 \dots < - 0,4)

8. a)

(+ \frac{3}{4}) + (- \frac{2}{5}) = \frac{+ 15 - 8}{20} = + \frac{7}{20}

(+ \frac{3}{7}) - (+ \frac{4}{5}) = \frac{+ 15 - 28}{35} = - \frac{13}{35}

c) (+7,9) ‒ (+11,5) = ‒3,6

d) (‒5,78) ‒ (‒3,29) = ‒2,49

9. a)

\frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{5}{8} = \frac{20 - 8 + 25}{40} = \frac{37}{40}

b) ‒0,05 + 1,4 + 0,25 = 1,6

Página setenta e cinco

10. Temos que, representando o problema por uma sentença matemática, temos: ‒(20,6) ‒ (‒27,5) = ‒6,9. Então, o mergulhador desceu 6,9 metros.

11. Sendo o muro um inteiro, falta pintar a seguinte fração do muro:

1 - \frac{3}{8} - \frac{4}{7} = \frac{56 - 21 - 32}{56} = \frac{3}{56}

12. a)

(+ \frac{7}{8}) \cdot (- \frac{4}{5}) = (- \frac{28}{40}) = ‒ \frac{7}{10}

(- \frac{9}{15}) \cdot (- \frac{30}{18}) = (\frac{270}{270}) = 1

(- \frac{100}{99}) \cdot 1 = - \frac{100}{99}

(+ \frac{4}{9}) \cdot (- \frac{27}{28}) = (- \frac{108}{252}) = ‒ \frac{3}{7}

13. Representando o problema, temos: 2,3 ⋅ 49,50 = 113,85. Mariana gastou R$ 113,85cento e treze reais e oitenta e cinco centavos.

14. Para calcular a medida da área, podemos fazer o produto entre a medida do comprimento e a largura: 6,8 ⋅ 5,4 = 36,72 . A área mede 36,72 métros quadrados.

15. a) (‒150) : (+1,5) = ‒100

(- \frac{32}{35}) : (- 8) = (- \frac{32}{35}) \cdot (- \frac{1}{8}) = + \frac{4}{35}

c) (+25,6) : (‒2,5) = ‒10,24

(- \frac{5}{12}) : (- \frac{4}{9}) = (- \frac{5}{12}) \cdot (- \frac{9}{4}) = \frac{45}{48} = \frac{15}{16}

16. Mário sacou melhor, já que

\frac{15}{20} = \frac{75}{100} = 75 %

> 72%.

17. Sim; considerando que

representa um número racional, podemos escrever o seguinte:

▢ : \frac{125}{1000} = ▢ \cdot \frac{1000}{125} = ▢ \cdot 8

18. a)

(- 0, 3) \cdot \frac{1}{10} + 5, 4 - \frac{13}{20} = - \frac{3}{100} + \frac{540}{100} - \frac{65}{100} =

= \frac{472}{100} = \frac{118}{25}

(\frac{5}{8} + \frac{5}{4} + \frac{5}{2}) : (‒ \frac{5}{8}) = (\frac{5}{8} + \frac{10}{8} + \frac{20}{8}) : (‒ \frac{5}{8}) = (\frac{35}{8}) . (‒ \frac{8}{5}) = ‒ 7

[(- \frac{3}{2}) \cdot (0,2) - \frac{1}{2}] + (- \frac{1}{2}) \cdot (- 0,5) =

= [(- \frac{3}{2}) \cdot (\frac{2}{10}) - \frac{1}{2}] + (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) =

= [(- \frac{6}{20}) - \frac{1}{2}] + (+ \frac{1}{4}) = [(- \frac{6}{20}) - \frac{10}{20}] + (+ \frac{1}{4}) =

= - \frac{16}{20} + (+ \frac{5}{20}) = - \frac{16 + 5}{20} = - \frac{11}{20}

19. a)

{(- \frac{1}{4})}^{4} = (- \frac{1}{4}) \cdot (- \frac{1}{4}) \cdot (- \frac{1}{4}) \cdot (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256}

b) (0,5)³ = (0,5) ⋅ (0,5) ⋅ (0,5) = 0,125

c) (1,4)0 = 1 (Por definição)

{(\frac{1}{10})}^{4} = (\frac{1}{10}) \cdot (\frac{1}{10}) \cdot (\frac{1}{10}) \cdot (\frac{1}{10}) = \frac{1}{10 000}

20. a)

{(1 - \frac{2}{5})}^{2} = {(\frac{3}{5})}^{2} = \frac{9}{25}

{(- \frac{1}{5} + 1)}^{4} = {(\frac{4}{5})}^{4} = \frac{256}{625}

{(0, 3 ‒ \frac{1}{2})}^{3} = {(\frac{3}{10} ‒ \frac{5}{10})}^{3} = {(‒ \frac{2}{10})}^{3} = ‒ \frac{8}{1 000} = ‒ 0, 008

{(9,93 - 9,92)}^{3} = {(0,01)}^{3} = 0,000001

21. a)

\sqrt{\frac{25}{81}} = \sqrt{{(\frac{5}{9})}^{2}} = \frac{5}{9}

\sqrt{3,24} = \sqrt{{(1,8)}^{2}} = 1,8

c) A raiz de números negativos não está definida no conjunto dos números racionais.

- \sqrt{0,04} = - \sqrt{{(0,2)}^{2}} = - 0,2

22. O perímetro será quatro vezes a medida de um dos lados. Podemos calcular a medida do lado por meio da área. Assim:

\sqrt{806,56} = 28,4

Finalmente, perímetro = 4 ⋅ 28,4 = 113,6. O perímetro mede 113,6 métros.

CAPÍTULO 6 — LINGUAGEM ALGÉBRICA E REGULARIDADES

Trocando ideias — página 141

• Próximos números: 21 e 34. Somar os dois números anteriores: 8 + 13 = 21 e 13 + 21 = 34.

• Espera-se que os estudantes percebam que os números da sequência de Fibonacci, a partir do terceiro, são formados pela soma dos dois números anteriores.

Atividades — página 143

1. É possível representar os valores desconhecidos com qualquer letra. Indicando x para representar o número desconhecido, temos:

a) Triplo: 3 ⋅ x ou 3x.

b) Quíntuplo: 5 ⋅ x ou 5x.

c) Metade: x : 2 ou

\frac{x}{2}

d) Quarta parte: x : 4 ou

\frac{x}{4}

e) Multiplicar por dois quintos:

\frac{2}{5} \cdot x

\frac{2 x}{5}

f) Para encontrar a diferença faz-se a subtração:

x ‒ \frac{x}{3}

g) Dobro são 2 vezes, somados com sua metade

(\frac{x}{2})

, temos

2 x + \frac{x}{2}

h) Três números consecutivos são números em sequência. Duas formas possíveis de registrá-los é: x + (x + 1) + (x + 2) ou (x ‒ 1) + x + (x + 1).

2. Observando a figura, o comprimento n é menor que o comprimento 3y, a diferença deles é exatamente uma medida de x. Logo, n = 3y ‒ x.

3. Para calcular a medida da área da janela, que possui o formato de um retângulo, multiplica-se o comprimento a com a largura b, assim cada janela tem área a ⋅ b ou A bê. Como cada andar possui 3 janelas, temos que triplicar esse valor: ab + ab + ab, que equivale a 3 ⋅ ab.

4. Para calcular a área dessas figuras, multiplica-se o comprimento pela largura. Assim:

medida da área do terreno: x ⋅ y ou xy

medida da área da casa: a ⋅ a ou a²

medida da área da piscina: b ⋅ c ou bc

medida da área do gramado: x ⋅ y ‒ (a ⋅ a + b ⋅ c) ou xy ‒ (a² + bc)

Página setenta e seis

Atividades — página 145

5. Para completar o quadro, é preciso substituir o valor de x nas expressões algébricas indicadas em cada linha. Exemplos:

3x → para x = ‒3, temos 3 ⋅ (‒3) = ‒9

‒x² → para x = ‒4, temos ‒ (‒4)² = ‒16

‒x → para x = ‒7, temos ‒(‒7) = +7

Completando o quadro todo:

X	‒3	‒4	+8	‒1	+4	+3	‒7
3X	‒9	‒12	24	‒3	12	9	‒21
‒X²	‒9	‒16	‒64	‒1	‒16	‒9	‒49
X³	‒27	‒64	512	‒1	64	27	‒343
$divisão de x sobre 2$	$menos divisão de 3 sobre 2$	‒2	4	$menos divisão de 1 sobre 2$	2	$divisão de 3 sobre 2$	$menos divisão de 7 sobre 2$
‒X	3	4	‒8	1	‒4	‒3	7
2X	‒6	‒8	16	‒2	8	6	‒14

6. Substituindo os valores determinados para x e y, temos:

a) (‒1)² + 2⋅ (‒1) ⋅ (‒3) + (‒3)² = 1 + 6 + 9 = 16

b) (0,2)² ⋅ (0,5) ‒ (0,2) ⋅ (0,5)² = (0,04) ⋅ (0,5) ‒ (0,2) ⋅ (0,25) =

= 0, 02 ‒ 0, 05 = ‒ 0, 03 o u ‒ \frac{3}{100}

c) 3² ‒ (‒5)² = 9 ‒ 25 = ‒16

7. a) Um metro de fio elétrico custa R$ 3,40três reais e quarenta centavos:

\frac{27, 20}{8} = 3, 40

b) Para comprar x metros, multiplica-se o valor pago por cada metro pelo x, assim 3,40 ⋅ x ou 3,4x

c) 3,40 ⋅ 15 = 51; Paulo gastaria R$ 51,00cinquenta e um reais.

8. Observando a imagem, vemos que o valor para adultos é R$ 24,00vinte e quatro reais e para criança é R$ 12,00doze reais.

a) 24a + 12 ⋅ c = 24a + 12c

b) Utilizando a expressão algébrica do item a, podemos substituir os valores de aêcê, assim 24 ⋅ 150 + 12 ⋅ 240 = .3600 + .2880 = .6480. Foram arrecadados R$ 6.480,00seis mil quatrocentos e oitenta reais.

9. a) Equipe azul arrecadou 20 quilogramas a mais que a equipe vermelha, assim equipe azul: x + 20

Equipe verde arrecadou 10 a menos que a equipe vermelha, assim equipe verde: x ‒ 10

b) Para isso, precisamos somar as três expressões algébricas, equipe vermelha + equipe azul + equipe verde: x + x + 20 + x ‒ 10 = 3x + 10.

c) Equipe azul: 80 + 20 = 100 quilogramas

Equipe verde: 80 ‒ 10 = 70 quilogramas

Total arrecadado: 80 + 100 + 70 = 250 quilogramas

d) Não. Exemplo de justificativa: Se a equipe vermelha tivesse arrecadado 120 quilogramas, a azul teria arrecadado 140 quilogramas, e a verde, 110 quilogramas, o que daria um total de 370 quilogramas. Logo, esses valores não são possíveis.

Outro exemplo de justificativa: Sabendo que o total é 310, a única arrecadação possível para a equipe vermelha seria de 100 quilogramas, assim a azul teria arrecadado 120 quilogramas, e a verde, 90 quilogramas.

Atividades — página 148

10. Adicionar os termos que possuem a mesma parte literal, conforme a definição.

a) 5x ‒ (2x ‒ 6x ‒ 8x) = 5x ‒ (‒12x) = 5 + 12x = 17x

b) Aplicar propriedade distributiva:

6 y - (5 x - y - \frac{x}{2}) = 6 y - 5 x + y + \frac{x}{2} =

= 7 y - \frac{10 x}{2} + \frac{x}{2} = 7 y - \frac{9 x}{2}

c) 10ab ‒ 5 + ab ‒ 7ab = (10 + 1 ‒ 7)ab ‒ 5 = 4ab ‒ 5

11. Adicionar os termos que possuem a mesma parte literal, conforme a definição.

a) Aplicar propriedade distributiva:

5a ‒ 3b ‒ (6a + a ‒ 5b) = 5a ‒ 3b ‒ 6a ‒ a + 5b =

= ‒2a + 2b

0, 8 y - 2, 4 y + y - \frac{y}{4} = 0, 8 y - 2, 4 y + y - 0, 25 y = ‒ 0, 85 y

\frac{16 y}{20} - \frac{48 y}{20} + \frac{20 y}{20} - \frac{5 y}{20} = - \frac{17}{20} y

c) 2x ‒ 3x + 5x ‒ 8x = 7x ‒ 11x = ‒4x

12. Adicionar os termos que possuem a mesma parte literal, conforme a definição.

a) Aplicar propriedade distributiva:

10k ‒ 9k ‒ (12k + 3k ‒ 10k) =

= 10k ‒ 9k ‒ 12k ‒ 3k + 10k = ‒4k

b) 12y + 23y ‒ 13y ‒ y = 21y

c) 8x ‒ 12x + 20x ‒ 32x = ‒16x

d) 7y ‒ 3z + (5w ‒ w + z) = 7y ‒ 3z + 5w ‒ w + z =

= 7y ‒ 2z + 4w

e) 23a + 32b ‒ 9a + (4c ‒ 3c + a) =

= 23a + 32b ‒ 9a + 4c ‒ 3c + a = 15a + 32b + c

f) Aplicar propriedade distributiva:

x + y ‒ 3z ‒ (4x ‒ 9y + 6z) = x + y ‒ 3z ‒ 4x + 9y ‒ 6z =

= ‒ 3x + 10y ‒ 9z

13. Ao multiplicar, devemos multiplicar os coeficientes entre si e as partes literais entre si, conforme a definição. Assim:

a) ‒2 ⋅ (‒5x) = (‒2) ⋅ (‒5) ⋅ x = 10x

b) (‒xy) ⋅ (‒4x²) = (‒1) ⋅ (‒4) ⋅ x ⋅ x² ⋅ y = 4x³y

c) ‒5 ⋅ (‒2a) ⋅ (2b) = (‒5) ⋅ (‒2) ⋅ (2) ⋅ a ⋅ b = 20ab

d) (‒5y) ⋅ (‒6y) ⋅ (‒2) =(‒5) ⋅ (‒6) ⋅ (‒2) ⋅ y ⋅ y = ‒60y²

e) 7x ⋅ (‒2xy) ⋅ (‒3y) = 7 ⋅ (‒2) ⋅ (‒3) ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y = 42x²y²

\frac{x y}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3}{4}) \cdot x \cdot y \cdot y = - \frac{3 x y ²}{8}

(\frac{a}{2}) \cdot (- \frac{3 b}{4}) = \frac{1}{2} (- \frac{3}{4}) \cdot a \cdot b = - \frac{3 a b}{8}

h) (‒6x) ⋅ (‒x) = (‒6) ⋅ (‒1) ⋅ x ⋅ x = 6x²

14. a) Para calcular o volume, multiplicam-se as medidas: x ⋅ y ⋅ z = xyz.

b) Multiplicam-se as dimensões: 23 ⋅ 40 ⋅ 55 = .50600, e assim seu volume máximo será de .50600 centímetros cúbicos

15. O perímetro é a soma de todos os lados:

a + b + x + a + b + x = 2a + 2b + 2x ou 2 ⋅ (a + b + x)

A área é o produto de duas dimensões: comprimento (a + b) e largura x. Assim: (a + b) ⋅ x

Página setenta e sete

Atividades — página 151

16. a) 1º membro é a expressão que está à esquerda: 2y ‒ 6.

b) 2º membro é a expressão que está à direita: 4 + y.

c) Incógnita é o valor desconhecido: y.

17. Equações do 1º grau são igualdades que possuem dois membros e pelo menos uma incógnita (1º grau). Alternativas c e e, são equações do 1º grau.

a) 2x + 5 < 3, não é uma igualdade

b) 7 ‒ 3 = 2 + 2, não possui incógnita

c) 8 = 6y ‒ 4

d) x ‒ 1 ≠ 0, não é uma igualdade

3 x + 7 = \frac{1}{2}

f) 2x³ = ‒16, não é do 1º grau

18. Substituir o valor 2 na incógnita.

a) 3x + 10 = 4x + 8

3 ⋅ 2 + 10 = 4 ⋅ 2 + 8

16 = 16; logo, 2 é solução.

\frac{x}{2} + 5 = \frac{5 x}{3} ‒ 2

\frac{2}{2} + 5 = \frac{5 \cdot 2}{3} ‒ 2

6 \neq \frac{4}{3}

logo, 2 não é solução.

19. Espera-se que os estudantes percebam que essa equação possui apenas uma solução possível, o número 5.

a) Não tem solução neste conjunto

b) No conjunto dos inteiros, o valor 5 é solução.

20. Encontrar o valor da incógnita que é solução da equação, utilizando a notação de conjuntos.

a) 8 ‒ 8 = 0; S = {8}

\frac{12}{4} = 3

; S = {12}

c) 6 ⋅ (‒3) = ‒18; S = {‒3}

‒ \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 0

;

S = \{- \frac{3}{4}\}

1 ‒ \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

; S = {1}

f) ‒ 8 + 8 = 0; S = {‒8}

Atividades — página 154

21. a) Equação equivalente: x = 21 ‒ 5, então S = {16}

b) y ‒ 3 = 100; equação equivalente: y = 100 + 3, então S = {103}

c) x + 17 = 10; equação equivalente: x = 10 ‒ 17

x = ‒7; não possui solução no conjunto dos naturais. Assim, S = ∅

d) x ‒ 3 = 10; equação equivalente: x = 10 + 3, então S = {13}

22. Se a caixa verde tem massa igual a 200 gramas e indicando x para cada cilindro laranja, então podemos escrever a equação: 6x = 200 + 2x. Uma equação equivalente é 4x = 200. Logo, o cilindro laranja tem 50 gramas, ou seja, 0,05 quilograma.

23. Utilizando os princípios aditivo e multiplicativo da igualdade, temos:

a) 3x ‒ 9 = 9

3x = 9 + 9 = 18

x = 6; S = {6}

b) x ‒ 5 = ‒7

x = ‒ 7 + 5 = ‒ 2; S = {‒2}

c) y ‒ 6 = 5y + 8

y ‒ 5y = 8 + 6

‒4y = 14

‒2y = 7

y = - \frac{7}{2}; S = \{- \frac{7}{2}\}

d) 10x = 20 + 9x

10x ‒ 9x = 20

x = 20; S = {20}

24. a) 3x = ‒ 45 ‒ 2x

3x + 2x = ‒ 45

5x = ‒ 45

x = ‒ 9; S = {‒9}

b) Aplicar propriedade distributiva.

6(x + 3) ‒ 2(x ‒ 5) = 20

6x + 18 ‒2x + 10 = 20

4x = 20 ‒28 = ‒8

x = ‒2; S = {‒2}

c) ‒18 = 2x + 15

‒ 18 ‒ 15 = 2x = ‒33

x = - \frac{33}{2}

; não possui solução no conjunto dos inteiros; S = ø

d) Aplicar propriedade distributiva.

2(x ‒ 1) ‒ 1 = 8

2x ‒ 2 ‒ 1 = 8

2x = 8 + 3 = 11

x = \frac{11}{2}

; não possui solução no conjunto dos inteiros S = ∅

25. a)

\frac{2 x}{5} ‒ \frac{1}{4} = x ‒ \frac{1}{10}

\frac{2 x}{5} ‒ x = \frac{1}{4} ‒ \frac{1}{10}

\frac{2 x ‒ 5 x}{5} = \frac{5 - 2}{20}

(multiplicar por 20)

(‒ 3x)4 = (3)1

x = - \frac{1}{4}

;

S = \{- \frac{1}{4}\}

2 m - \frac{7}{5} - \frac{m}{10} = \frac{1}{2}

2 m - \frac{m}{10} = \frac{1}{2} + \frac{7}{5}

\frac{20 m - m}{10} = \frac{5 + 14}{10}

(multiplicar por 10)

19m = 19

x = 1; S = {1}

Página setenta e oito

\frac{y}{2} + \frac{y}{3} = \frac{3 y}{4} ‒ 6

\frac{y}{2} + \frac{y}{3} ‒ \frac{3 y}{4} = ‒ 6

\frac{6 y + 4 y ‒ 9 y}{12} = ‒ 6

y = ‒72; S = {‒72}

\frac{3 y}{2} ‒ \frac{3}{4} = 1 ‒ 2 y

\frac{3 y}{2} + 2 y = 1 + \frac{3}{4}

\frac{3 y + 4 y}{2} = \frac{4 + 3}{4}

(multiplicar por 4)

2(7y) = 7

y = \frac{1}{2}

;

S = \{\frac{1}{2}\}

26. Utilizar propriedade distributiva.

a) 2(x + 3) = 30

2x + 6 = 30

2x = 24

x = 12; S = {12}

b) 8 ‒ 2(x + 5) = 5

8 ‒ 2x ‒ 10 = 5

‒2x = 7

x = - \frac{7}{2}

;

S = \{- \frac{7}{2}\}

c) 3(y ‒ 1) ‒ 4(y ‒ 2) = 6

3y ‒ 3 ‒ 4y + 8 = 6

y = ‒ 1; S = {‒1}

d) 2(5y + 1) = 27

10y + 2 = 27

10y = 25

y = 2,5 ou

\frac{5}{2}

;

S = \{\frac{5}{2}\}

27.

\frac{5 x}{2} - \frac{1}{4} = 8

(multiplicar por 4)

\frac{20 x}{2} - \frac{4}{4} = 32

10x ‒ 1 = 32

10x = 33

x =

\frac{33}{10}

ou 3,3

\frac{y}{3} + \frac{y + 1}{2} = \frac{5}{6} + y

(multiplicar por 6)

\frac{6 y}{3} + \frac{6 (y + 1)}{2} = \frac{30}{6} + 6 y

2y + 3y + 3 = 5 + 6y

y = ‒2

Logo, x é maior que y (x > y).

Atividades – páginas 156 e 157

28. Indicando x para representar o número desconhecido, temos:

x + 2x = 72

3x = 72

x = 24

29. Indicando x para representar o número desconhecido, temos:

3x + 15 = 39

3x = 39 ‒ 15 = 24

x = 8

30. Indicando x para representar o número desconhecido, temos:

x + \frac{x}{4} = 60

\frac{5 x}{4} = 60

x = 48

31.

\frac{2 x}{3} - \frac{x}{2} = 10

\frac{4 x - 3 x}{6} = 10

x = 60

32. Ana (a) e Paula (p)

a = p + 5 ó úa ‒ 5 = p

a + p = 35 → a + a ‒ 5 = 35 → 2a = 40 → a = 20

Ana tem 20 anos

33. Lúcio (u) e Cândido (c).

u + c = 124

u = c + 16

c + 16 + c = 124

2c = 108

c = 54 quilogramas

u = 54 + 16 = 70 quilogramas

Cândido tem 54 quilogramas e Lúcio tem 70 quilogramas.

34. Representar pares consecutivos com x e x + 2

x + x + 2 = 138

2x = 136

x = 68

Logo, os números pares consecutivos são 68 e 70.

35. Um número e seu sucessor: x e x + 1.

x + x + 1 = 73

2x = 72

x = 36.

36. Quatro números consecutivos: x; x + 1; x + 2; x + 3

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 150

4x = 150 ‒ 6 = 144

x = 36

Assim, os números são: 36, 37, 38 e 39

37. x + y = 103

x ‒ y = 23 ⇒ x = 23 + y

23 + y + y = 103

2y = 80

y = 40, então x = 23 + 40 = 63. Os números são 40 e 63.

38. Três números pares consecutivos: x, x + 2, x + 4

x + x + 2 + x + 4 = 90

3x = 90 ‒ 6 = 84

x = 28.

Os números são: 28, 30 e 32. Logo, o maior é 32.

39. André (a), Breno (b) e Caio (c).

a + b + c = 460

b = 2c

a = b + 60 ⇒ a = 2c + 60

Página setenta e nove

Substituindo, temos:

2c + 60 + 2c + c = 460

5c = 400

b = 80

Logo, b = 2 ⋅ 80 = 160 ê a = 160 + 60 = 220. André recebeu 220 figurinhas.

40.

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} + 10 = x

\frac{6 x}{2} + \frac{6 x}{3} + 60 = 6 x

3x + 2x + 60 = 6x

60 = 6x ‒ 5x

x = 60. O valor da calça foi R$ 60,00sessenta reais.

41. Três colocados: a, b, c.

a = c + .10000

b = 2c

a + b + c = .30000

Substituindo, temos:

c + .10000 + 2c + c = .30000

4c = .20000

c = 5 000.

b = 2 ⋅ .5000 = .10000 ê a = .5000 + .10000 = .15000

Assim, o primeiro: R$ 15quinze reais.000,00zero reais; o segundo: R$ 10dez reais.000,00zero reais e o terceiro: R$ 5cinco reais.000,00zero reais.

42. Se

\frac{2 x}{3}

dos pares eram pretos, a porção restante de

\frac{x}{3}

são brancos. Portanto:

\frac{x}{3} = 72

e x = 216. Foram vendidos 216 pares de tênis.

43. Idade de Aníbal (x).

x + 4 = 3 ⋅ (x ‒ 26)

x + 4 = 3x ‒ 78

4 + 78 = 3x ‒ x

82 = 2x

x = 41. Aníbal tem 41 anos.

44. Pense em um número natural (x):

x ⋅ 5 : 4 ‒ 8 = 12

\frac{5 x}{4} = 12 + 8

5x = 20 ⋅ 4

x = 16. Pensei no número 16.

45. Retângulo de largura x e comprimento x + 6. Seu perímetro é x + x + x + 6 + x + 6 = 4x + 12

Perímetro do quadrado de lado 30 centímetros é 120 centímetros

Portanto: 4x + 12 = 120

4x = 120 ‒ 12 = 108

x = 27 e x + 6 = 27 + 6 = 33. O comprimento do retângulo é 33 centímetros.

46. Depois de x anos:

40 + x = 2 ⋅ (10 + x)

40 + x = 20 + 2x

40 ‒ 20 = 2x ‒ x

x = 20. Passarão 20 anos.

47. (x + 20) ⋅ 180 ‒ x ⋅ 150 = .6600

180x + .3600 ‒ 150x = .6600

30x = .3000

x = 100. O terreno tem largura de 100 métros.

48. É preciso escrever uma equação para completar o quadrado mágico. A soma dos números na diagonal é a mesma, temos:

x + x + 1 + x + 2 = 13 + x + 1 + x ‒ 2

2x + 2 = 11 + x

x = 9

Portanto, o quadrado mágico tem a soma: 9 + 10 + 11 = 30

9	14	7
8	10	12
13	6	11

49. Aqui é esperado que os estudantes percebam que, na calculadora, a tecla de “=”, repetida mais uma vez, acrescenta uma parcela do número digitado inicialmente.

a) 5 + 5 = 10

b) 5 + 5 + 5 = 15

c) 5 + 5 + 5 + 5 = 20

d) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25

Agora, responda:

• 5 ⋅ 10 = 50

• 5 ⋅ n = 5n

50. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Em uma apresentação de ballet, foram vendidos ingressos a R$ 30,00trinta reais. Ao todo arrecadaram-se R$ 1.560,00mil quinhentos e sessenta reais. Quantas pessoas assistiram à apresentação de ballet?

51. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Em um recipiente de vidro foram colocadas aranhas e formigas. Ao todo, contaram-se 110 patas e 15 insetos. Quantas aranhas havia no recipiente?

Atividades — página 160

52. a) Sequência finita: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)

b) Sequência infinita: (3, 6, 9, 12, 15, 18, reticências)

c) Sequência finita: (25, 30, 35, 40)

d) Sequência infinita: (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200, 201, reticências)

53. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sequência de números inteiros negativos pares: (‒2, ‒4, ‒6, ‒, 8, ‒10, ‒12, reticências)

54. a) án = 3n ‒ 2

á₁ = 3 ⋅ 1 ‒ 2 = 1

á₂ = 3 ⋅ 2 ‒ 2 = 4

á₃ = 3 ⋅ 3 ‒ 2 = 7

(1, 4, 7, 10, 13, reticências)

b) án = (‒1)n

á₁ = (‒1)1 = ‒1

á₂ = (‒1)2 = 1

á₃ = (‒1)3 = ‒1

(‒1, 1, ‒1, 1, ‒1, reticências)

a_{n} = \frac{1}{2 n}

a ₁ = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}

a ₂ = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}

₃ = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}

(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}, ...)