Página oitenta

Parte 4

d) á_n = (n + 1)(n ‒ 1)

á₁ = (1 + 1) ⋅ (1 ‒ 1) = 2 ⋅ 0 = 0

á₂ = (2 + 1) ⋅ (2 ‒ 1) = 3 ⋅ 1 = 3

á₃ = (3 + 1) ⋅ (3 ‒ 1) = 4 ⋅ 2 = 8

(0, 3, 8, 15, 24, reticências)

55. a) (6, 12, 18, 24, 30, 36, reticências) Múltiplos de 6, á_n = 6n

b) (7, 8, 9, 10, 11, 12, reticências) Números inteiros positivos maiores que 6, á_nícone de altura= n + 6

c) (10, 8, 6, 4, 2, 0, reticências) Números inteiros pares menores que 12, á_nícone de altura = 12 ‒ 2n

(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, 2, ...)

Números racionais positivos divididos por 3, á_n =

\frac{n}{3}

Veja que interessante — página 162

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes encontrem exemplos de recursão no dia a dia, para que consigam comparar com a recursividade em sequências numéricas e sua dependência em elementos anteriores.

Atividades — página 163

56. Utilizar conceito de recursividade.

a) á_n = á_n _-₁ + 2, com á₁ = 0

á₂ = á₁ + 2 = 0 + 2 = 2

á₃ = á₂ + 2 = 2 + 2 = 4

á₄ = á₃ + 2 = 4 + 2 = 6

(0, 2, 4, 6, 8, reticências)

b) á_n = á_n _-1 + 2, com á₁ = 1

á₂ = á₁ + 2 = 1 + 2 = 3

á₃ = á₂ + 2 = 3 + 2 = 5

á₄ = á₃ + 2 = 5 + 2 = 7

(1, 3, 5, 7, 9, reticências)

c) á_n = ‒ 2 ⋅ á_n_-1, com á₁ = ‒1

á₂ = ‒ 2 ⋅ á₁ = ‒2 ⋅ (‒1) = 2

á₃ = ‒ 2 ⋅ á₂ = ‒2 ⋅ 2 = ‒4

á₄ = ‒ 2 ⋅ á₃ = ‒2 ⋅ (‒4) = 8

(‒1, 2, ‒4, 8, ‒16, reticências)

57. a) (3, 6, 9, 12, 15, reticências)

Exemplo de resposta: á_n = 3 + a_n_-1, em que á₁ = 0, com n inteiro positivo maior que 1.

b) (0, 1, 2, 3, 4, 5, reticências)

Exemplo de resposta: á_n = 1 + a_n_-1, em que á₁ = 0, com n inteiro positivo maior que 1.

c) (1, ‒1, 1, ‒1, 1, reticências)

Exemplo de resposta: á_n = ‒ a_n_-1, em que á₁ = 1, com n inteiro positivo maior que 1.

d) (1, 2, 4, 8, 16, 32, reticências)

Exemplo de resposta: á_n = 2á_n-1, em que á₁ = 1, com n inteiro positivo maior que 1.

58. a) Figura 1 tem 1 azulejo branco, figura 2 tem 4, figura 3 tem 9. A sequência é (1, 4, 9, 16, 25, reticências) sua lei de formação é á_nícone de altura= n2. Assim, á₁₅ = 152 = 225 azulejos.

b) á_nícone de altura= n2

c) Figura 1 tem 8 azulejos azuis, figura 2 tem 12, figura 3 tem 16. A sequência é (8, 12, 16, 20, 24, reticências) sua lei de formação é á_nícone de altura= 4(n + 1). Assim á₂₀ = 4 ⋅ (20 + 1) = 84 azulejos.

d) á_nícone de altura= 4(n + 1)

59. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: sequência (5, 8, 11, 14, 17, reticências). Uma possibilidade de escrever a lei de formação é á_nícone de altura= á_nícone de altura_-1 +3, com a₁ = 5

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: á_nícone de altura= 3 + 2á_n_-1, em que á₁ = 0, com n inteiro positivo maior que 1.

Atividades — página 165

60. Utilizar uma planilha eletrônica para responder.

a) 610

b) Sim, pois é o 22º termo.

c) Não, pois ele está entre 4 181 (19º termo) e .6765 (20º termo).

61. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Em uma planilha eletrônica, gere os termos da sequência á_n = 3 + 2á_n-1, em que á₁ = 0, com n inteiro positivo maior que 1. a) Qual é o 25º termo dessa sequência? b) O número 240 é termo dessa sequência? Justifique.

62. Utilizar uma planilha eletrônica para responder.

a) (4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67, reticências)

b) (50, 40, 30, 20, 10, 0, ‒10, ‒20, ‒30, ‒40, reticências)

c) (1, 2, 2, 4, 8, 32, 256, 8192, 2097152, 17179869184, reticências)

d) (1, 11, 121, 1331, 14641, 161051, 1771561, 19487171, 214358881, 2357947691, reticências)

63. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A célula pode ser variável ou incógnita. Se é criada uma planilha que os elementos dependem um do outro, são variáveis. Em contrapartida, se os elementos são independentes, tendo um único valor, assumem o papel de incógnita.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sim, pois em uma planilha eletrônica posso criar sequências usando elementos anteriores da sequência, que são definidos por sua posição.

Revisão dos conteúdos deste capítulo — página 166

1. É possível representar os valores desconhecidos com qualquer letra. Indicando x para representar o número desconhecido, temos:

a) dobro é duas vezes, logo 7 + 2x.

b) sexta parte é o número dividido por 6, logo

\frac{x}{6}

c) Todo produto é uma multiplicação e a sétima parte é o número dividido por 7, assim

x \cdot \frac{x}{7}

2. Para representar a idade que ela tinha, teremos que subtrair a quantia de anos que se passou da idade atual de Teca. Dessa fórma, temos 32 ‒ x.

3. Substituir os valores de x e y dados em cada item.

a) (‒1)² ‒ 2 ⋅ (‒1) + (‒2)² = 1 + 2 + 4 = 7

b) (‒2)² ⋅ 3 ‒ 2 ⋅ (‒2) ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 + 12 = 12 + 12 = 24

c) 4 ⋅ 2 ⋅ (‒1) ‒ 3 ⋅ (‒1)² = ‒ 8 ‒ 3 = ‒11

Página oitenta e um

4. Adicionar termos com a mesma parte literal, conforme a definição.

a) 15x ‒ 8x + (12x + 3x ‒ 9x) = 7x + 6x = 13x

b) 11y ‒ 15y ‒ 9y + 25y = 36y ‒ 24y = 12y

c) 25x + 12y + (9x ‒ 6y ‒ z) = 25x + 9x + 12y ‒ 6y ‒ z =

= 34x + + 6y ‒ z

d) Utilizar propriedade distributiva.

2x + 4y ‒ z ‒ (3x ‒ 5y + 5z) = 2x + 4y ‒ z ‒ 3x + 5y ‒ 5z =

= ‒ x + 9y ‒ 6z

5. Segundo a definição, temos:

a) ‒3 ⋅ (‒12x) = + 36x

b) (‒xy) ⋅ (3y²) = ‒3xy³

(\frac{2 x ² y}{3}) \cdot (‒ \frac{x y}{3}) = - \frac{2 x ³ y ²}{9}

d) ‒3x ⋅ (‒2xy²) ⋅ x² ⋅ (4) = (‒3) ⋅ (‒2) ⋅ (4) ⋅ x ⋅ x ⋅ x² ⋅ y² = 24x4y²

6. Perímetro é a soma de todos os lados:

x + x + (x + a) + (b + x) + a + b = 4x + 2a + 2b

Área do quadrado laranja: x²

Área do quadrado verde: a ⋅ (b + x)

Área total: x² + a ⋅ (b + x)

7. Alternativas c e d são equações do 1º grau.

a) 3x ‒ 1 > 12 não é uma igualdade

b) 5 + 12 = 20 ‒ 3 não possui uma incógnita

c) 15 = 6y ‒ 9

d) 2x + 15 = 18 ‒ 2

e) 5a + 4b ≠ 12 não é uma igualdade

f) x² + 12 = 25 não é do 1º grau

8. Para verificar, é preciso substituir a incógnita por 3.

a) 3 ⋅ 3 ‒ 3 = 9 ‒ 3

6 = 6; sim, 3 é raiz dessa equação.

\frac{3}{3} + 12 = \frac{4 \cdot 3}{2} ‒ 1

1 + 12 = 6 ‒ 1

13 ≠ 5; não, 3 não é raiz.

c) 4 ⋅ 3 ‒ 14 = 7 ‒ 3 ⋅ 3

12 ‒ 14 = 7 ‒ 9

‒ 2 = ‒ 2; sim, 3 é raiz dessa equação.

9. a) 15 ‒ 15 = 0; S = {15}

\frac{25}{5} = 5

; S = {25}

‒ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0

;

S = \{‒ \frac{1}{2}\}

\frac{7}{9} ‒ \frac{4}{9} = \frac{3}{9}

;

S = \{\frac{7}{9}\}

10. a) 2x + (9 ‒ x) = 8 ‒ (3x ‒ 6)

2x + 9 ‒ x = 8 ‒ 3x + 6

3x + 2x ‒ x = 8 + 6 ‒ 9

4x = 5

x = \frac{5}{4}

;

S = \{\frac{5}{4}\}

b) 8 ⋅ (2x ‒ 1) = 6 ⋅ (5x ‒ 2) ‒ 10

16x ‒ 8 = 30x ‒ 12 ‒ 10

‒ 8 + 22 = 30x ‒ 16x

14 = 14x

x = 1; S = {1}

c) y ‒ [y ‒ (2 ‒ 4) ‒ 1] + 4 = ‒ (‒3 ‒ y)

y ‒ [y + 2 ‒ 1] + 4 = 3 + y

y ‒ y ‒ 1 + 4 = 3 + y

y = 0; S = {0}

\frac{2 x}{5} ‒ \frac{3}{4} = \frac{3 x}{20}

\frac{8 x}{20} ‒ \frac{15}{20} = \frac{3 x}{20}

8x ‒ 15 = 3x

8x ‒ 3x = 15

5x =15

x = 3; S = {3}

\frac{x}{4} + \frac{x + 3}{2} = 2

\frac{x}{4} + \frac{2 x + 6}{4} = \frac{8}{4}

x + 2x + 6 = 8

3x = 2

x = \frac{2}{3}

;

S = \{\frac{2}{3}\}

\frac{2 x}{5} + \frac{15 x - 1}{20} = \frac{1}{3}

\frac{24 x}{60} + \frac{45 x - 3}{60} = \frac{20}{60}

24x + 45x ‒ 3 = 20

69x = 23

3x = 1

x = \frac{1}{3}

;

S = \{\frac{1}{3}\}

11.

‒ \frac{1}{4} (x ‒ 2) = 2 x ‒ \frac{1}{3}

‒ \frac{3}{12} (x - 2) = \frac{24 x}{12} ‒ \frac{4}{12}

‒3(x ‒ 2) = 24x ‒ 4

‒3x + 6 = 24x ‒ 4

6 + 4 = 24x + 3x

10 = 27x

x = \frac{10}{27}

a) não possui solução no conjunto dos inteiros S = ∅

S = \{\frac{10}{27}\}

12. (m ‒ 2) ⋅ x + 2x + 4 ⋅ (m ‒ 5) = 0

Substituir x por 2:

(m ‒ 2) ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ (m ‒ 5) = 0

2m ‒ 4 + 4 + 4m ‒ 20 = 0

6m = 20

3m = 10

m = \frac{10}{3}

13. Podemos construir uma equação em que x representa o valor sem desconto:

Se foi dado um desconto de

\frac{3}{10}

, então 210,00 representam

\frac{7}{10}

do valor.

Página oitenta e dois

\frac{7 x}{10} = 210

7x = 2 100

x = 300. A passagem vale R$ 300,00trezentos reais.

14. Homens (h) e mulheres (m)

h = \frac{3 m}{5}

h + 20 = m

Substituindo o valor de m, temos:

h = \frac{3 (h + 20)}{5}

5h = 3h + 60

2h = 60

h = 30, então m = 30 + 20 = 50. Trabalham 50 mulheres e 30 homens.

15. Peras (p), laranjas (a), bananas (b).

um) p + a + b = 96

dois) p = 3a

três) b = a + p

Substituindo dois em dois, temos quatro) b = a + 3a

Substituindo dois e quatro em um, temos:

3a + a + a + 3a = 96

8a = 96

a = 12

p = 3 ⋅ 12 = 36 e b = 12 + 36 = 48

12 laranjas, 36 peras e 48 bananas.

16. Seguindo a lei de formação:

a) á₁ = 2 ⋅ 1 + 5 = 7

á₂ = 2 ⋅ 2 + 5 = 9

á₃ = 2 ⋅ 3 + 5 = 11

(7, 9, 11, 13, 15, 17, reticências)

b) á₁ = 1² + 1 = 2

á₂ = 2² + 2 = 6

á₃ = 3² + 3 = 12

(2, 6, 12, 20, 30, 42, reticências)

a ₁ = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

a ₂ = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}

a ₃ = \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4}

(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}, ...)

17. ei ‒ três; b ‒ quatro; c ‒ um; d ‒ dois

a) (2, 4, 8, 16, 32, reticências), sempre duas vezes o anterior, á_nícone de altura= 2 ⋅ á_n_-1, á₁ = 2.

b) (3, 6, 9, 12, 15, reticências), soma 3 em relação ao anterior, á_nícone de altura= á_n_-1 + 3, á₁ = 3.

c) (4, 7, 10, 13, 16, reticências), soma 3 em relação ao anterior, á_nícone de altura= á_n_-1 + 3, á₁ = 4.

d) (2, 4, 6, 8, 10, reticências), soma 2 em relação ao anterior, á_nícone de altura= á_n_-1 + 2, á₁ = 2.

É hora de extrapolar — páginas 168 e 169

1. Respostas dependentes da pesquisa elaborada pelos estudantes.

2. a) Os três índices são: expectativa de vida (ou saúde), educação e renda.

b) Resposta pessoal. Os estudantes podem citar indicadores ligados à sustentabilidade/ecologia, igualdade de gênero, grau de desigualdade social, democracia, acesso à informação, entre outros.

3. a) 0,957 ‒ 0,394 = 0,563

b) 1 ‒ 0,957 = 0,043

c) Não, porque os valores de í dê agá dos países variam entre 0 e 1, e, nesse caso, 0,563 indica que há uma grande diferença entre os níveis de desenvolvimento humano desses dois países.

d) Róng Kóng:

\frac{949}{1 000}

; Sudão do Sul:

\frac{433}{1 000}

e) O denominador sempre será maior que o numerador, já que o í dê agá corresponde a um número entre zero e 1.

I_{e d u c a ç ã o} = (\frac{8}{15} + \frac{15, 4}{18}) : 2 = (\frac{48}{90} + \frac{77}{90}) : 2 = \frac{125}{90} \cdot \frac{1}{2} = \frac{125}{180} ≃

≃ 0, 6944

0, 86 = \frac{E V - 20}{85 - 20}

0,86 ⋅ 65 = EV ‒ 20

55,9 + 20 = EV

EV = 75,9 anos

6. Não, o índice de educação do Distrito Federal é menor que o respectivo índice apresentado pelo estado de São Paulo.

7. As atividades subsequentes dependem do processo de elaboração da reportagem, do jornal e da apresentação.

UNIDADE 3

CAPÍTULO 7 — PORCENTAGEM E JURO SIMPLES

Trocando ideias — página 171

• Segundo ilustrado,

\frac{1}{2}

do prato deve ser destinado aos vegetais crus e cozidos, o que equivale à metade do prato ou

\frac{50}{100} = 50 %

• De acordo com os dados,

\frac{1}{4}

do prato destina-se aos carboidratos, o que equivale a

\frac{25}{100} = 25 %

• Segundo os dados, as proteínas ocupam

\frac{1}{4}

do prato, o que corresponde a 25%. Como as proteínas podem ser de origem animal e ou ou vegetal, caso o prato tenha proteína dessas duas origens, a proteína animal ocupará menos de 25% desse prato.

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes indiquem alguns aspectos como: previne doenças, aumenta a disposição para atividades diárias, melhora o humor e a memória, ajuda a ter um sono mais adequado, entre outros benefícios.

Lendo e aprendendo — página 175

1. a) Observando a fonte, temos que a matéria foi publicada em novembro de 2020.

b) Trata das profissões do futuro.

c) As mudanças causadas pela tecnologia.

d) Verificando o 6º parágrafo, concluímos que essas profissões vão se modernizar, mas não deixarão de existir.

e) Checando a fala no último parágrafo transcrito, as profissões que exigem maior repetição, como ascensorista de elevador e cobrador de ônibus, deixarão de existir.

Página oitenta e três

2. a) Segundo o artigo, 65% das crianças que estão hoje na escola vão trabalhar em profissões que ainda nem existem. Se temos cêrca de .12000 000 de estudantes, nos anos iniciais, podemos calcular:

65 % d e 12 000 000 = \frac{65}{100} \cdot 12 000 000 = 7 800 000

cêrca de .7800 000 estudantes.

b) Utilizando as mesmas informações anteriores, agora com um total de .10000 000 estudantes:

65 % d e 10 000 000 = \frac{65}{100} \cdot 10 000 000 = 6 500 000

cêrca de ..6500000 estudantes.

3. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes realizem pesquisas sobre as profissões indicadas no enunciado em meios digitais.

Atividades — Páginas 176 e 177

1. a)

20 % d e 500 = \frac{20}{100} \cdot 500 = 20 \cdot 5 = 100 l a r a n j a s

75 % d e 800 = \frac{75}{100} \cdot 800 = 75 \cdot 8 = 600 t i j o l o s

30 % d e 1 800 = \frac{30}{100} \cdot 1 800 = 30 \cdot 18 = 540 e s t u d a n t e s

2. Castanhão: 6,7 bilhões métros cúbicos e Orós: 2,1 bilhões métros cúbicos

a) x% de 6,7 é 2,1

\frac{x}{100} \cdot 6,7 = 2,1

6,7x = 2,1 ⋅ 100

x = \frac{210}{6,7} ≃ 31,34

Corresponde a aproximadamente 31,34%.

b) Como

\frac{1}{3} ≃ 0,3333 = 33,33 %

, então, utilizando a resposta do item a, podemos afirmar que a medida da capacidade de Orós é inferior a

\frac{1}{3}

da medida da capacidade de Castanhão.

3. a) Como 35% do orçamento é destinado à habitação, fazemos:

35 % d e 3 570 = \frac{35}{100} \cdot 3 570 = 35 \cdot 35,7 = 1 249,5

Logo, são desinados à habitação R$ 1.249,50mil duzentos e quarenta e nove reais e cinquenta centavos.

b) Resposta de acordo com o salário mínimo em vigência.

4. Exemplo de problema elaborado:

Ao ver as embalagens promocionais, um cliente disse que em qualquer embalagem receberia a mesma quantidade adicional de café. Essa afirmação é correta? Justifique sua resposta.

Resposta: Na embalagem de 250 gramas, a quantidade adicional pode ser calculada assim:

20 % d e 250 = \frac{25}{100} \cdot 250 = \frac{1}{4} \cdot 250 = 250 : 4 = 62,5

Na embalagem de 400 gramas, a quantidade adicional pode ser calculada assim:

15 % d e 400 = \frac{15}{100} \cdot 400 = 15 \cdot 4 = 60

Ou seja, o adicional na embalagem de 250 gramas será de 62,5 gramas; na embalagem de 400 gramas será de 60 gramas. Portanto, a afirmação não está correta, são quantidades adicionais diferentes.

5. Efetuando os cálculos, temos:

38% de x = .1900

\frac{38}{100} x = 1900

38x = .1900 ⋅ 100

x = \frac{190 000}{38} = 5 000

Logo, foram entrevistadas .5000 pessoas.

6. 72% de x = 36

\frac{72}{100} \cdot x = 36

72x = .3600

x = \frac{3 600}{72} = 50

Foram disputadas 50 partidas.

7. O quadro completo ficará:

TIPO DE DESPESA	PORCENTAGEM DA RENDA MENSAL	VALOR (EM REAIS)
Alimentação	31,8%	1.526,40
Energia	4,41%	211,68
Mensalidade de internet	0,58%	27,84
Mensalidade de TV por assinatura	0,91%	43,68
Roupas	3,6%	172,80
Telefone celular	1,3%	62,40
Telefone fixo	0,6%	28,80

Cálculos:

31,8 % d e 4 800 = \frac{31,8}{100} \cdot 4 800 = 31,8 \cdot 48 = 1 526,4

4,41 % d e 4 800 = \frac{4,41}{100} \cdot 4 800 = 4,41 \cdot 48 = 211,68

0,58 % d e 4 800 = \frac{0,58}{100} \cdot 4 800 = 0,58 \cdot 48 = 27,84

0,91 % d e 4 800 = \frac{0,91}{100} \cdot 4 800 = 0,91 \cdot 48 = 43,68

3,6 % d e 4 800 = \frac{3,6}{100} \cdot 4 800 = 3,6 \cdot 48 = 172,8

1,3 % d e 4 800 = \frac{1,3}{100} \cdot 4 800 = 1,3 \cdot 48 = 62,4

0,6 % d e 4 800 = \frac{0,6}{100} \cdot 4 800 = 0,6 \cdot 48 = 28,8

8. x% de 20 = 16

\frac{x}{100} \cdot 20 = 16

20x = 16 ⋅ 100

x = \frac{16 \cdot 100}{20} = 16 \cdot 5 = 80

Logo, ela acertou 80% das questões dessa prova.

9. a) Fazemos:

.41422 − .39045 = .2377

O novo recorde é .2377 métros superior ao anterior.

b) x% de .39045 = .2377

\frac{x}{100} \cdot 39 045 = 2 377

Página oitenta e quatro

.39045x = .2377 ⋅ 100

x = \frac{237 700}{39 045} ≃ 6,1

Logo, essa diferença representa cêrca de 6,1% da medida da altura do salto de Félix.

Atividades — páginas 178 e 179

10. Como 100 % + 30 % = 130%, podemos fazer:

130 % \cdot 400 = \frac{130}{100} \cdot 400 = 130 \cdot 4 = 520

O novo preço será R$ 520,00quinhentos e vinte reais.

11. a) Em 2021, o valor era R$ 1.100,00mil cem reais, e em 2020 era R$ 1.045,00mil quarenta e cinco reais, ou seja, uma diferença de R$ 55,00cinquenta e cinco reais. Para saber quanto isso representa de aumento percentual, podemos fazer:

x% de .1045 = 55

\frac{x}{100} \cdot 1 045 = 55

x = \frac{55 \cdot 100}{1 045} ≃ 5,3

Assim, dizemos que houve um aumento de cêrca de 5,3% de 2020 para 2021.

b) Em 2022, o valor era de R$ 1.212,00mil duzentos e doze reais, e em 2015 era de R$ 788,00setecentos e oitenta e oito reais. Assim sendo, temos:

x% de 788 = .1212

\frac{x}{100} \cdot 788 = 1 212

x = \frac{1 212 \cdot 100}{788} ≃ 153, 8

Como 100 % + 53,8 % = 153,8%, podemos dizer que houve um aumento de aproximadamente 53,8%.

12. a) Como a peça mais cara custou R$ 55,00cinquenta e cinco reais e a mais barata R$ 30,00trinta reais, ele gastou:

55 + ( 100 % − 12% ) de 30 =

= 55 + \frac{88}{100} \cdot 30 = 55 + 88 \cdot 0,3 = 55 + 26,4 = 81,4

Logo, gastou no total R$ 81,40oitenta e um reais e quarenta centavos.

b) Espera-se que o estudante responda que a loja dá desconto na peça de menor valor para incentivar o cliente a comprar duas peças, mas com um valor em desconto menor do que se o desconto fosse aplicado na peça maior. Nesse caso, os cálculos são:

30 + (100 % − 12%) de 55 =

= 30 + \frac{88}{100} \cdot 55 = 30 + 88 \cdot 0,55 = 30 + 48,4 = 78,4

Nesse caso, ele gastaria, no total, R$ 78,40setenta e oito reais e quarenta centavos menos do que é gasto com o desconto aplicado na peça mais barata.

13. Vamos calcular, por partes:

1º aumento: 10% sobre o valor de R$ 1.000,00mil reais

(100 % + 10 %) d e 1 000 = \frac{110}{100} \cdot 1 000 = 110 \cdot 10 = 1100

2º aumento: 8% sobre o valor de R$ 1.100,00mil cem reais

(100 % + 8 %) d e 1 100 = \frac{108}{100} \cdot 1 100 = 108 \cdot 11 = 1 188

Assim, após esses dois aumentos, o aluguel passará a ser de R$ 1.188,00mil cento e oitenta e oito reais.

14. Espera-se que os estudantes utilizem algumas relações:

Se o produto custa p e o desconto foi de d, para calcular o desconto, em termos percentuais, temos:

x% de p = d: logo

\frac{x}{100} \cdot p = d

x = \frac{100 d}{p}

15.

2,05 - 10 % \cdot 2,05 = 2,05 - \frac{10}{100} \cdot 2,05 = 2,05 - 0,205 = 1,845

A marca atingida em fevereiro foi de 1,845 métro.

16. a) A soma é 40% + 35% + 32% + 2% + 1% = 110%.

b) Fazendo os cálculos de porcentagem de cada candidato:

Total de entrevistados .2500

Candidato a

\frac{1 000}{2 500} = 0,4 = 40 %

Candidato B

\frac{875}{2 500} = 0,35 = 35 %

Candidato C

\frac{550}{2 500} = 0,22 = 22 %

Branco/nulo

\frac{50}{2 500} = 0,02 = 2 %

Não sabe

\frac{25}{2 500} = 0,01 = 1 %

Assim, o erro foi colocar 32% para o candidato C, pois deveria ser 22%.

c) Espera-se que os estudantes identifiquem que esse erro pode causar a impressão de que o candidato C está muito próximo do candidato B, o que não é verdade, pois a diferença entre eles é de 13%, levando a interpretações equivocadas da pesquisa.

17. a) 5,5 + 1,80 % ⋅ 5,5 = 5,5 + 0,018 ⋅ 5,5 = 5,5 + 0,099 = 5,599

O novo preço é Cinco reais e quinhentos e noventa e nove milésimos de real ou, arredondando, R$ 5,60cinco reais e sessenta centavos.

b) Resposta pessoal, depende dos preços pesquisados.

Espera-se que os estudantes façam:

GASOLINA (preço sem aumento = g)

(100% + 1,80%) ⋅ g = 1,018 g

DIESEL (preço sem aumento = d)

(100% + 0,95%) ⋅ d = 1,0095 d

Veja que interessante — página 179

1. Uma possibilidade: subtrair 15% de um valor é o mesmo que calcular 85% desse mesmo valor.

2. Uma maneira de resolver é indicada pela sequência de teclas:

Ilustração. Sequência de teclas da calculadora: 9, 0, mais, 2, 0, porcentagem, igual.

Outra maneira de resolver é dada a seguir:

Ilustração. Sequência de teclas da calculadora: 9, 0, vezes, 1, ponto, 2, igual.

Ambos métodos resultam em 108: assim, o novo preço do produto é R$ 108,00cento e oito reais.

Atividades — página 181

18. A cada mês, teremos:

2 % \cdot 1 200 = \frac{2}{100} \cdot 1 200 = 24

Em 6 meses, serão: 6 ⋅ 24 = 144

O juro será de R$ 144,00cento e quarenta e quatro reais.

19. Primeiro, calculamos o juro produzido ao mês: 75 : 5 = 15.

Assim, a taxa de mensal de juros será:

\frac{15}{600} = \frac{2,5}{100} = 2,5 %

20. a) O valor de cada parcela nessa opção de pagamento será R$ 721,00setecentos e vinte e um reais, pois .4326 : 6 = 721.

Página oitenta e cinco

b) Vamos comparar as duas opções.

COMPRAR À VISTA

Gastará R$ 4.200,00quatro mil duzentos reais

INVESTIR E COMPRAR A PRAZO

Aplicar R$ 4.200,00quatro mil duzentos reais por 1 mês com rendimento de 1,5%.

1,5 % \cdot 4 200 = \frac{1,5}{100} \cdot 4 200 = 63

O juro dessa aplicação é de R$ 63,00sessenta e três reais.

Assim, comprando a prazo, o gasto será R$ 126,00cento e vinte e seis reais a mais do que comprando à vista (pois .4326 − .4200 = 126), sendo que o juro da aplicação seria de apenas R$ 63,00sessenta e três reais.

Portanto, é mais vantajoso comprar à vista.

21. Primeiro, calculamos o juro rendido ao ano:

.1152 : 3 = 384

Assim, se temos esse juro ao ano, podemos fazer que a taxa anual de juros seja de x%; então:

x = \frac{384}{4 000} = 0,096 = 9,6 %

Assim, a taxa foi de 9,6% ao ano.

22. Exemplo de elaboração:

Osmar comprou uma bicicleta e só pagará daqui 4 meses. O valor da bicicleta é R$ 1.100,00mil cem reais, mas incidirá uma taxa de juro simples de 0,5% ao mês.

Quanto ele pagará a mais pela bicicleta em relação ao preço de hoje?

Resposta

Juro a cada mês: 0,5% ⋅ .1100 = 5,5

Juro em 4 meses: 4 ⋅ 5,5 = 22

Logo, ele pagará R$ 22,00vinte e dois reais reais a mais.

Resolvendo em equipe — página 182

Interpretação e identificação dos dados

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes verifiquem as informações relevantes do enunciado, como as porcentagens descritas e o consumo médio de água por pessoa.

•

25 % d e 200 = \frac{25}{100} \cdot 200 = 25 \cdot 2 = 50

. Em média, são gastos 50 litros de água.

• A sugestão é que se gaste 24 litros + 3,2 litros + 2,4 litros = 29,6 litros.

Plano de resolução

• A economia seria de 50 litros − 29,6 litros = 20,4 litros.

• Dar descarga: 33% de 200 litros são 66 litros; sugestão de redução de consumo: 18 litros; economia de 66 ‒ 18 = 48, ou seja: 48 litros;

Beber e cozinhar: 27% de 200 litros são 54 litros; sugestão de redução de consumo: 22 litros; economia de 54 ‒ 22 = 32, ou seja: 32 litros.

Resolução

• Somando-se os valores de economia de água achados no plano de resolução, temos: 20,4 litros + 48 litros + 32 litros = 100,4 litros

Verificação

Espera-se que os estudantes comparem os seus achados em pequenos grupos ou entre duplas, verificando se as respostas obtidas são semelhantes.

Apresentação

Espera-se que os estudantes pesquisem informações na internet ou por meio de jornais e revistas sobre a crise hídrica no Brasil. Uma fonte de pesquisa que pode ser utilizada pelos estudantes é indicada a seguir:

A Crise Hídrica no Brasil. Disponível em: https://oeds.link/UDTOGN. Acesso em: 22 julho 2022.

Por meio da pesquisa de informações, espera-se que os estudantes elaborem cartazes com informações pertinentes sobre a crise hídrica que auxiliem a comunidade a compreender o fenômeno. Atente à clareza das informações e à linguagem utilizada pelos estudantes nos cartazes.

Revisão dos conteúdos deste capítulo — página 183

1. a)

30 % \cdot 400 = \frac{30}{100} \cdot 400 = 30 \cdot 4 = 120

120 figurinhas

40 % \cdot 600 = \frac{40}{100} \cdot 600 = 40 \cdot 6 = 240

duas40 bolinhas

75 % \cdot 550 = \frac{75}{100} \cdot 550 = 75 \cdot 5,5 = 412, 5

R$ 412,50quatrocentos e doze reais e cinquenta centavos

2. a)

\frac{35}{50} = \frac{70}{100} = 70 %

\frac{18}{180} = \frac{1}{10} = \frac{10}{100} = 10 %

\frac{12}{240} = \frac{1}{20} = \frac{5}{20} = 5 %

\frac{85}{1 000} = \frac{8,5}{100} = 8,5 %

3. 80% de x = 24

\frac{80}{100} x = 24

x = \frac{24 \cdot 100}{80} = 30

Foram disputadas 30 partidas.

4. Faremos por partes:

40 % d e 60 = \frac{40}{100} \cdot 60 = 4 \cdot 6 = 24

Chamando de x a quantia da irmã de Ana, temos:

30% de x = 24

\frac{30}{100} x = 24

x = \frac{24 \cdot 100}{30} = 80

Logo, a irmã de Ana tem R$ 80,00oitenta reais.

5. Se a primeira etapa tem .3710 métros, a segunda terá .6890 métros, pois

10 600 - 3 710 = 6 890

. Para saber a porcentagem correspondente, fazemos:

\frac{6980}{10 600} = 0,65 = 65 %

6. O aumento foi de R$ 9,00nove reais (já que 24 − 15 = 9). Em termos percentuais, fazemos:

\frac{9}{15} = 0,6 = 60 %

A taxa foi de 60%.

7. Chamando de p o preço do terno, temos:

8% de p = 40

\frac{8}{100} p = 40

p = \frac{40 \cdot 100}{8} = 5 \cdot 100 = 500

Logo, o preço do terno é R$ 500,00quinhentos reais.

8. Como 100% + 22% = 122%, fazemos:

122 % \cdot 350 = \frac{122}{100} \cdot 350 = 12,5 \cdot 35 = 427

Passou a custar R$ 427,00quatrocentos e vinte e sete reais.

Página oitenta e seis

9. Calculando o juro mensal:

5 % \cdot 400 = \frac{5}{100} \cdot 400 = 5 \cdot 4 = 20

Então, em 4 meses, serão 4 ⋅ 20 = 80.

Logo, o valor pago será de R$ 480,00quatrocentos e oitenta reais (pois 400 + 80 = 480).

10. Primeiro calculamos o juro mensal:

10,5 : 3 = 3,5

Depois, o quanto isso representa em termos percentuais:

\frac{3,5}{500} = \frac{0,7}{100} = 0,7 %

Ou seja, a taxa mensal da aplicação foi de 0,7%.

CAPÍTULO 8 — PROPORCIONALIDADE

Trocando ideias — página 184

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes tenham interesse em conhecer, ao menos, alguns direitos dos idosos, como por exemplo: atendimento preferencial, transporte público gratuito, isenção de pagamento de i pê tê ú, entre outros.

• Podemos escrever 1 em cada 3 como

\frac{1}{3}

• Como

\frac{1}{3} = 0, \overline{33} ≃ \frac{33, \overline{33}}{100}

, a porcentagem é de aproximadamente 33,33%.

Atividades — páginas 185 e 186

1. a) Para R$ 5,00cinco reais a cada R$ 100,00cem reais, tem-se:

\frac{5}{100}

\frac{1}{20}

ou 5%

b) 15 dos 20 jogos pode ser representado como

\frac{15}{22}

c) Acertar 17 de 20 questões pode ser representado como

\frac{17}{20}

d) Para 1 litro de álcool em cada 4 de combustível

\frac{1}{4}

ou 0,25 ou 25%

2. a)

\frac{8}{10} = \frac{4}{5}

\frac{7}{10} = \frac{70}{100} = 70 %

\frac{5}{8} = 0,625

3. a)

\frac{24}{30} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

ou 0,8

\frac{6}{30} = \frac{1}{5}

ou 0,2

\frac{24}{6} = \frac{4}{1}

4. a)

\frac{5 c m}{10 c m} = \frac{1}{2}

\frac{200 g}{40 g} = 5

\frac{7 k g}{10,5 k g} = \frac{70}{105} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}

\frac{14 L}{35 L} = \frac{2}{5}

5. a) Podemos representar a proporção dada como

\frac{2}{5} = 0,4 = 40 %

32 acertos, p o i s 40 % \cdot 80 = \frac{40}{100} \cdot 80 = 32

6. Determinando a razão, temos:

\frac{2 000 m}{3 500 m} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}

7. Podemos expressar a situação como:

\frac{Medida da área construída}{Medida da área livre} =

= \frac{M e d i d a d a á r e a c o n s t r u í d a}{M e d i d a d a á r e a t o t a l - M e d i d a d a á r e a c o n s t r u í d a} =

= \frac{500}{750 - 500} = \frac{500}{250} = 2

Um pouco de história — página 187

Espera-se que os estudantes pesquisem como a ideia de proporção se desenvolveu na Matemática. Um dos temas que podem ser pesquisados dentro da ideia de proporcionalidade na Matemática é o teorema de Tales e sua história.

Atividades — páginas 187 e 188

8. Sim, pois

\frac{2}{7} = \frac{8}{28}

9. a) Três está para cinco, assim como nove está para quinze; meios: 5 e 9; extremos: 3 e 15.

b) Sete está para oito, assim como catorze está para dezesseis; meios: 8 e 14; extremos: 7 e 16.

10. Os pares são:

\frac{1,5}{3,5} = \frac{3}{7}

;

\frac{20,1}{33,5} = \frac{3}{5}

;

\frac{2,5}{3,75} = \frac{2}{3}

11. a) Tomando as medidas de comprimento da altura das figuras, temos:

\frac{Medida no retângulo menor}{Medida no retângulo maior} = \frac{1}{2}

Ou, tomando a relação inversa:

\frac{Medida no retângulo menor}{Medida no retângulo maior} = \frac{2}{1}

b) Tomando as medidas de comprimento da largura das figuras, temos:

\frac{Medida no retângulo menor}{Medida no retângulo maior} = \frac{3}{6}

Ou, tomando a relação inversa:

\frac{Medida no retângulo menor}{Medida no retângulo maior} = \frac{6}{3}

c) São proporcionais, pois

\frac{1}{2} = \frac{3}{6}

\frac{2}{1} = \frac{6}{3}

Atividades — página 190

12. Verificando a validade da propriedade fundamental em cada item, temos:

a) 3 ⋅ 44 = 11 ⋅ 15

132 = 165 Não é válida.

b) 4 ⋅ 40 = 2 ⋅ 0,2

80 = 0,4 Não é válida.

\frac{1}{2}

⋅ 30 = 3 ⋅ 5

15 = 15 É válida.

d) 10 ⋅ 200 = 4 ⋅ 500

2000 = 2000 É válida.

Logo, as igualdades dos itens c e d são proporções.

Página oitenta e sete

13. Usando a propriedade fundamental em cada caso:

\frac{x}{5} = \frac{21}{35} \Rightarrow 35 x = 5 \cdot 21 \Rightarrow x = \frac{105}{35} = 3

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{5}} = \frac{90}{x} \Rightarrow \frac{3}{4} x = \frac{1}{5} \cdot 90 \Rightarrow \frac{3 x}{4} = 18 \Rightarrow

⇒ 3x = 18 ⋅ 4 ⇒ x =

\frac{72}{3}

= 24

\frac{9}{13} = \frac{x}{26} \Rightarrow 13 x = 9 \cdot 26 \Rightarrow x = \frac{234}{13} = 18

\frac{1}{7} = \frac{x - 6}{49} \Rightarrow 7 \cdot (x - 6) = 49 \cdot 1 \Rightarrow x - 6 = \frac{49}{7} \Rightarrow

⇒ x − 6 = 7 ⇒ x = 13

\frac{2 x + 1}{10} = - \frac{21}{30} \Rightarrow 30 \cdot (2 x + 1) = 10 \cdot (- 21) \Rightarrow

⇒ 60x + 30 = − 210 ⇒ 60x = − 210 − 30 ⇒

\Rightarrow 60 x = - 240 \Rightarrow x = \frac{- 240}{60} = - 4

\frac{3 x + 2}{x + 3} = - \frac{40}{25} \Rightarrow - 40 (x + 3) = 25 (3 x + 2) \Rightarrow

⇒ − 40x − 120 = 75x + 50 ⇒

⇒ − 40x − 75x = 50 + 120 ⇒ − 115x = 170 ⇒

\Rightarrow x = - \frac{170}{115} = - \frac{34}{23}

14.

w : 2, 5 = \frac{3}{4} : 0, 25 \Rightarrow \frac{w}{2, 5} = \frac{\frac{3}{4}}{0, 25} \Rightarrow 0, 25 w = \frac{3}{4} \cdot 2, 5 \Rightarrow

\Rightarrow 0, 25 w = 0, 75 \cdot 2, 5 \Rightarrow w = \frac{1, 875}{0, 25} = 7, 5

15. Escrevemos a proporção e usamos a propriedade fundamental:

\frac{4 k - 1}{50} = \frac{k + 5}{20} \Rightarrow 20 \cdot (4 k - 1) = 50 \cdot (k + 5)

80k − 20 = 50k + 250 ⇒ 80k − 50k = 250 + 20

30 k = 270 \Rightarrow k = \frac{270}{30} = 9

16. Denominando m a quantidade de sucos de maracujá vendidos, pode-se escrever a seguinte proporção:

\frac{10}{6} = \frac{500}{m}

Usando a propriedade fundamental, temos:

10 m = 6 \cdot 500 \Rightarrow m = \frac{6 \cdot 500}{10} = 6 \cdot 50 = 300

Logo, foram vendidos 300 sucos de maracujá.

17. Antes de fazer a proporção, precisamos considerar que, em 4 dias, temos um total de 96 horas, já que 24 ⋅ 4 = 96.

Se chamarmos de x o tempo, em minutos, que o relógio atrasará em 96 horas, teremos a seguinte proporção:

\frac{5}{8} = \frac{x}{96}

Então:

8 x = 5 \cdot 96 \Rightarrow x = \frac{480}{8} = 60

Logo, em 4 dias, o relógio atrasará 60 minutos (o equivalente a uma hora).

Atividades — página 192

18. Para serem proporcionais, temos:

\frac{15}{24} = \frac{20}{32} = \frac{30}{48}

Simplificando cada uma das frações, temos:

\frac{5}{8} = \frac{5}{8} = \frac{5}{8}

Logo, os números 15, 20 e 30 são diretamente proporcionais aos números 24, 32 e 48.

19. Considerando que a + b + c = 600 e que as partes a, b e c são diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5, pode-se escrever:

\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = k

Assim:

\frac{a}{2} = k \Rightarrow a = 2 k

\frac{b}{3} = k \Rightarrow b = 3 k

\frac{c}{5} = k \Rightarrow c = 5 k

Sabendo que a + b + c = 600, então:

2k + 3k + 5k = 600 ⇒ 10k = 600 ⇒ k = 60

Voltando às equações anteriores e usando que k = 60, obtém-se:

a = 2k

a = 2 ⋅ 60 = 120

b = 3k

b = 3 ⋅ 60 = 180

c = 5k

c = 5 ⋅ 60 = 300

Logo, a divisão de 600 ficará: 120, 180 e 300.

20. Considerando que ei + b = 23,8 e que as partes aêbê são diretamente proporcionais aos números 5 e 9, pode-se escrever:

\frac{a}{5} = \frac{b}{9} = k

Assim:

\frac{a}{5} = k \Rightarrow a = 5 k

\frac{b}{9} = k \Rightarrow b = 9 k

Sabendo que a + b = 23,8 , então:

5k + 9k = 23,8 ⇒ 14k = 23,8 ⇒ k = 1,7

Voltando às equações anteriores e usando que k = 1,7, obtém-se:

a = 5k

a = 5 ⋅ 1,7 = 8,5

b = 9k

b = 9 ⋅ 1,7 = 15,3

Logo, a divisão de 23,8 ficará: 8,5 e 15,3.

21. De acordo com as informações dadas, pode-se escrever:

\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{9} = 16

Assim:

\frac{a}{3} = 16 \Rightarrow a = 3 \cdot 16 = 48

\frac{b}{5} = 16 \Rightarrow b = 5 \cdot 16 = 80

\frac{c}{9} = 16 \Rightarrow c = 9 \cdot 16 = 144

Logo,

a = 48, b = 80 e c = 144

22. Denominando a, b e c, respectivamente, a quantia que Ana, Paula e Carlos receberam, verifica-se:

a + b + c = .60000 e

\frac{a}{56} = \frac{b}{24} = \frac{c}{16} = k

Logo:

\frac{a}{56} = k \Rightarrow a = 56 k

\frac{b}{24} = k \Rightarrow b = 24 k

Página oitenta e oito

\frac{c}{16} = k \Rightarrow c = 16 k

Sabendo-se que a + b + c = .60000, então:

56k + 24k + 16k = .60000 ⇒ 96k = .60000 ⇒

⇒ k = 625

Voltando às equações anteriores e usando k = 625, obtemos:

a = 56k

a = 56 ⋅ 625 = .35000

b = 24k

b = 24 ⋅ 625 = .15000

c = 16k

c = 16 ⋅ 625 = .10000

Logo, Ana recebeu R$ 35.000,00trinta e cinco mil reais, Paula recebeu R$ 15.000,00quinze mil reais e Carlos recebeu R$ 10.000,00dez mil reais.

23. Considerando a, b e c, respectivamente, as partes de Karine, Katia e Cristina, pode-se construir:

a + b + c = 120

\frac{a}{24} = \frac{b}{26} = \frac{c}{30} = k

Logo:

\frac{a}{24} = k \Rightarrow a = 24 k

\frac{b}{26} = k \Rightarrow b = 26 k

\frac{c}{30} = k \Rightarrow c = 30 k

Como sabemos que a + b + c = 120, então:

24k + 26k + 30k = 120 ⇒ 80k = 120 ⇒ k = 1,5

Voltando às equações anteriores, usando k = 1,5, encontramos a parte de Karine:

a = 24k

a = 24 ⋅ 1,5 = 36

Logo, a parte de Karine é de 36 hectares.

24. Considerando que a + b = 300 e que as partes aêbê são diretamente proporcionais a 3 e 7, pode-se escrever:

\frac{a}{3} = \frac{b}{7} = k

Assim:

\frac{a}{3} = k \Rightarrow a = 3 k

\frac{b}{7} = k \Rightarrow b = 7 k

Sabendo que a + b = 300, então:

3k + 7k = 300 ⇒ 10k = 300 ⇒ k = 30

Voltando às equações anteriores e usando k = 30, obtemos:

a = 3k

a = 3 ⋅ 30 = 90

b = 7k

b = 7 ⋅ 30 = 210

Logo, serão utilizados 90 mililitros da substância a e 210 mililitros da substância B.

25. Considerando que a + b = .16200 e que as partes a ê bê são diretamente proporcionais a 220 e 140, podemos escrever:

\frac{a}{220} = \frac{b}{140} = k

Dessa maneira, temos:

\frac{a}{220} = k \Rightarrow a = 220 k

\frac{b}{140} = k \Rightarrow b = 140 k

Como sabemos que a + b = .16200, então:

220k + 140k = .16200 ⇒ 360k = .16200 ⇒ k = 45

Voltando às equações anteriores e usando k = 45, obtemos:

a = 220k

a = 220 ⋅ 45 = .9900

b = 140k

b = 140 ⋅ 45 = .6300

Logo, o primeiro receberá R$ 9.900,00nove mil novecentos reais e o segundo receberá R$ 6.300,00seis mil trezentos reais.

Atividades — página 194

26. Para serem inversamente proporcionais, devem valer as igualdades:

\frac{3}{\frac{1}{60}} = \frac{4}{\frac{1}{45}} = \frac{5}{\frac{1}{36}}

Fazendo os cálculos, temos:

3 ⋅ 60 = 4 ⋅ 45 = 5 ⋅ 36 ⇒ 180 = 180 = 180

Como as relações são válidas, eles são inversamente proporcionais aos números indicados.

27. Para serem inversamente proporcionais, devem valer as igualdades:

\frac{10}{\frac{1}{30}} = \frac{8}{\frac{1}{38}} = \frac{6}{\frac{1}{50}}

Fazendo os cálculos, temos:

10 ⋅ 30 = 8 ⋅ 38 = 6 ⋅ 50 ⇒ 300 = 304 = 300

Como as relações não são válidas, eles não são inversamente proporcionais aos números indicados.

28. Considerando as informações, temos:

\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{5}} = \frac{c}{\frac{1}{7}} = 70

Logo:

a = 70 \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow a = 35

b = 70 \cdot \frac{1}{5} \Rightarrow b = 14

c = 70 \cdot \frac{1}{7} \Rightarrow c = 10

Logo, a = 35, b = 14 e c = 10.

29. Considerando as informações, temos:

a + b + c = 340 e

\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{4}} = \frac{c}{\frac{1}{10}} = k

Logo:

\frac{a}{\frac{1}{2}} = k \Rightarrow a = \frac{k}{2}

\frac{b}{\frac{1}{4}} = k \Rightarrow b = \frac{k}{4}

\frac{c}{\frac{1}{10}} = k \Rightarrow c = \frac{k}{10}

Sabendo que a + b + c = 340, então:

\frac{k}{2} + \frac{k}{4} + \frac{k}{10} = 340 \Rightarrow \frac{20 k + 10 k + 4 k}{40} = 340 \Rightarrow

\Rightarrow k = \frac{340 \cdot 40}{34} = 400

Voltando às equações anteriores e usando

k = 400

, obtém-se:

a = \frac{k}{2}

a = \frac{400}{2} = 200

Página oitenta e nove

b = \frac{k}{4}

b = \frac{400}{4} = 100

c = \frac{k}{10}

c = \frac{400}{10} = 40

Logo, a divisão será: 200, 100 e 40.

30.

a + b + c = 182

\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6} = k

Logo:

\frac{a}{3} = k \Rightarrow a = 3 k

\frac{b}{4} = k \Rightarrow b = 4 k

\frac{c}{6} = k \Rightarrow c = 6 k

Sabendo que a + b + c = 182, então:

3 k + 4 k + 6 k = 182 \Rightarrow 13 k = 182 \Rightarrow k = \frac{182}{13} = 14

Voltando às equações anteriores e usando k = 14, obtém-se:

a = 3k

a = 3 ⋅ 14 = 42

b = 4k

b = 4 ⋅ 14 = 56

c = 6k

c = 6 ⋅ 14 = 84

Logo, a divisão será: 42, 56 e 84.

31. Segundo os dados, considerando a parte da herança dos herdeiros de 20, 30 e 60 anos, respectivamente, temos:

ei + b + c = .60000 e

\frac{a}{\frac{1}{20}} = \frac{b}{\frac{1}{30}} = \frac{c}{\frac{1}{60}} = k

Logo:

\frac{a}{\frac{1}{20}} = k \Rightarrow a = \frac{k}{20}

\frac{b}{\frac{1}{30}} = k \Rightarrow b = \frac{k}{30}

\frac{c}{\frac{1}{60}} = k \Rightarrow c = \frac{k}{60}

Como sabemos que a + b + c = .60000, então:

\frac{k}{20} + \frac{k}{30} + \frac{k}{60} = 60 000 \Rightarrow

\Rightarrow \frac{3 k + 2 k + k}{60} = 60 000 \Rightarrow

\Rightarrow k = \frac{60 000 \cdot 60}{6} = 600 000

Voltando às equações anteriores e usando k = .60000, obtemos:

a = \frac{k}{20}

a = \frac{600 000}{20} = 30 000

b = \frac{k}{30}

b = \frac{600 000}{30} = 20 000

c = \frac{k}{60}

a = \frac{600 000}{60} = 10 000

Logo, considerando os herdeiros de 20, 30 e 60 anos, receberão, respectivamente: R$ 30.000,00trinta mil reais, R$ 20.000,00vinte mil reais e R$ 10.000,00dez mil reais.

32. Podemos escrever:

a + b + c = 260

\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{3}} = \frac{c}{\frac{1}{4}} = k

Logo:

\frac{a}{\frac{1}{2}} = k \Rightarrow a = \frac{k}{2}

\frac{b}{\frac{1}{3}} = k \Rightarrow b = \frac{k}{3}

\frac{c}{\frac{1}{4}} = k \Rightarrow c = \frac{k}{4}

Sabendo que

a + b + c = 260

, então:

\frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} = 260 \Rightarrow \frac{6 k + 4 k + 3 k}{12} = 260 \Rightarrow

\Rightarrow k = \frac{260 \cdot 12}{13} = 240

Voltando às equações anteriores e usando

k = 240

, obtemos:

a = \frac{k}{2}

a = \frac{240}{2} = 120

b = \frac{k}{3}

b = \frac{240}{3} = 80

c = \frac{k}{4}

c = \frac{240}{4} = 60

Logo, teremos 120 laranjas na primeira caixa, 80 na segunda e 60 na terceira.

33. Se chamarmos de a o número de livros de Beto, de b o de Ana e de c o de Vera, teremos:

a + b + c = 33

\frac{a}{1} = \frac{b}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\frac{1}{3}} = k

Logo:

\frac{a}{1} = k \Rightarrow a = k

\frac{b}{\frac{1}{2}} = k \Rightarrow b = \frac{k}{2}

\frac{c}{\frac{1}{3}} = k \Rightarrow c = \frac{k}{3}

Sabendo que

a + b + c = 33

, então:

k + \frac{k}{2} + \frac{k}{3} = 33 \Rightarrow \frac{6 k + 3 k + 2 k}{6} = 33 \Rightarrow k = \frac{33 \cdot 6}{11} = 18

Voltando às equações anteriores e usando

k = 18

, temos:

a = k

a = 18

b = \frac{k}{2}

b = \frac{18}{2} = 9

c = \frac{k}{3}

c = \frac{18}{3} = 6

Logo, Beto recebeu 18 livros, Ana 9 livros e Vera 6 livros.

Atividades – página 198

34. a) Diretamente proporcionais.

b) Inversamente proporcionais.