Página noventa

Parte 5

c) Diretamente proporcionais.

d) Inversamente proporcionais.

e) Diretamente proporcionais.

f) Inversamente proporcionais.

35. a) São grandezas diretamente proporcionais, pois

\frac{5}{10} = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}

b) Pelos dados apresentados, temos:

Quando q = 5, c = 35

Quando q = 10, c = 70

Logo, podemos escrever:

\frac{c}{q} = \frac{35}{5} \Rightarrow \frac{c}{q} = 7 \Rightarrow c = 7 \cdot q

c) Utilizando a expressão encontrada no item b (

c = 7 \cdot q

Quando q = 11, temos q = 7 ⋅ 11 = 77

Quando 98 = 7q ⇒ q = 98 : 7 = 14

Logo, o quadro com essas informações pode ficar assim:

QUANTIDADE DE CANETAS	CUSTO (R$)
5	35
10	70
11	77
14	98

36. a)

\frac{24}{32} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}

\frac{2 500}{1 875} = \frac{500}{375} = \frac{100}{75} = \frac{4}{3}

c) À medida que o número de funcionários aumenta, o valor do prêmio recebido diminui. Assim, as grandezas podem ser consideradas inversamente proporcionais.

37. a)

\frac{5}{8}

\frac{1 000}{1 600} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}

c) Conforme o número de horas aumenta, a quantidade de parafusos produzidos também aumenta. Assim, as grandezas são diretamente proporcionais.

d) Usando os dados do quadro, podemos calcular

\frac{p}{t}

p = 1 000, t = 5, t e m o s \frac{p}{t} = \frac{1 000}{5} = 200

p = 1 600, t = 8, t e m o s \frac{p}{t} = \frac{1 600}{8} = 200

Dessa fórma, podemos escrever:

\frac{p}{t} = 200 \Rightarrow p = 200 \cdot t

e) Usando a relação encontrada, quando t = 36, temos p = 200 ⋅ 36 = .7200.

Logo, são produzidos .7200 parafusos em 36 horas.

38. Não, nada garante essa possibilidade, pois o número de dias em que chove e o número de dias do mês não são direta nem inversamente proporcionais.

Atividades — página 200

39. Podemos construir o quadro:

NÚMERO DE ESCAVADEIRAS	AREIA TRANSPORTADA (EM m3)
3	200
x	1.600

Como são grandezas diretamente proporcionais (quando dobro o número de escavadeiras, terei o dobro de areia transportada), então vale a relação:

\frac{3}{x} = \frac{200}{1 600}

Logo,

200 x = 3 \cdot 1600 \Rightarrow x = \frac{3 \cdot 1 600}{200} = \frac{3 \cdot 16}{2} = 24

Serão necessárias 24 escavadeiras.

40. Podemos construir o quadro, lembrando que se uma hora = 60 minutos, então duas horas = 120 minutos.

ÁREA IRRIGADA (EM HECTARES)	TEMPO (EM MINUTOS)
2	40
x	120

Como são grandezas diretamente proporcionais (quando dobro o tempo, terei o dobro de área irrigada), então vale a relação:

\frac{2}{x} = \frac{40}{120}

Logo,

40 x = 2 \cdot 120 \Rightarrow x = \frac{2 \cdot 120}{40} = \frac{2 \cdot 3}{1} = 6

Serão irrigados 6 hectares.

41. Podemos construir o quadro, sem indicar a velocidade, já que ela não sofrerá alteração.

ÓLEO DE COPAÍBA(EM L)	DISTÂNCIA PERCORRIDA(EM km)
10	80
x	200

Como são grandezas diretamente proporcionais (quando dobro distância percorrida, terei o dobro gasto de óleo), então vale a relação:

\frac{10}{x} = \frac{80}{200}

Logo,

80 x = 10 \cdot 200 \Rightarrow x = \frac{10 \cdot 200}{80} = \frac{200}{8} = 25

Serão utilizados 25 litros de óleo de copaíba.

42. Podemos construir o quadro, lembrando que 1 quilograma = .1000 gramas.

AMOSTRA (EM g)	OURO (EM g)
100	0,2
1.000	x

Como são grandezas diretamente proporcionais (quando dobro a amostra de minério, dobro o ouro extraído), então vale a relação:

\frac{100}{1 000} = \frac{0,2}{x}

Página noventa e um

Logo,

100 x = 0,2 \cdot 1 000 \Rightarrow x = \frac{0,2 \cdot 1 000}{100} = 0,2 \cdot 10 = 2

Serão extraídos 2 gramas de ouro.

43. Podemos construir o quadro:

VELOCIDADE MÉDIA(km/h)	TEMPO(min)
160	40
200	x

Como são grandezas inversamente proporcionais (quando dobro a velocidade, usarei metade do tempo para percorrer a mesma distância), então vale a relação:

\frac{160}{200} = \frac{x}{40}

Logo,

200 x = 40 \cdot 160 \Rightarrow x = \frac{40 \cdot 160}{200} = \frac{4 \cdot 16}{2} = 32

O trem levará 32 minutos nessa nova velocidade.

44. Podemos construir o quadro, observando que o número de operários é o mesmo nas duas situações.

NÚMERO DE HORAS TRABALHADAS POR DIA	NÚMERO DE DIAS PARA CONCLUIR A OBRA
8	20
5	x

Como são grandezas inversamente proporcionais (quando dobro o número de horas trabalhadas por dia, precisarei da metade do número de dias para concluir a obra), então vale a relação:

\frac{8}{5} = \frac{x}{20}

Logo,

5 x = 8 \cdot 20 \Rightarrow x = \frac{8 \cdot 20}{5} = \frac{3 \cdot 16}{2} = 32

A equipe faria a obra em 32 dias.

45. Podemos construir o quadro:

NÚMERO DE TELEFONISTAS	NÚMERO DE LIGAÇÕES ATENDIDAS POR TELEFONISTA
3	125
5	x

Como são grandezas inversamente proporcionais (quando dobro o número de telefonistas, cada telefonista atenderá metade das ligações), então vale a relação:

\frac{3}{5} = \frac{x}{125}

Logo,

5 x = 3 \cdot 125 \Rightarrow x = \frac{3 \cdot 125}{5} = 3 \cdot 25 = 75

Cada telefonista atenderá, em média, 75 ligações.

46. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes façam uma lista com diferentes grandezas, podendo incluir aquelas já trabalhadas ao longo desse capítulo. Essa listagem pode ser feita em colaboração com o professor de Ciências.

47. Respostas pessoais. Exemplos de elaboração:

a) Uma loja de sucos precisa de 30 laranjas para completar 6 copos. Quantos copos serão necessários para completar 15 copos? (Resposta: 75 laranjas)

b) Um tanque de combustível utiliza duas bombas para ser esvaziado em uma hora. Para ser esvaziado em 15 minutos, quantas bombas precisam ser utilizadas? (Resposta: 8 bombas)

Revisão dos conteúdos desse capítulo — Página 201

1. a)

\frac{64 000}{2 000} = \frac{64}{2} = 32

\frac{5}{25} = \frac{1}{5}

\frac{4}{100} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}

\frac{2}{8} = \frac{1}{4}

\frac{28}{20} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}

3. Se chamarmos de x a população dessa cidade, teremos:

\frac{1}{3 000} = \frac{42}{x}

Utilizando a propriedade fundamental das proporções, podemos escrever:

1 ⋅ x = 42 ⋅ .3000 ⇒ x = .126000

Logo, a cidade tem .126000 habitantes.

4. a)  

\frac{x}{10} = \frac{14,4}{12}

  ⇒ 12x = 10 ⋅ 14,4 ⇒ x =

\frac{144}{12}

  ⇒

⇒ x = 12

\frac{7}{14} = \frac{3,5}{x} \Rightarrow 7 x = 14 \cdot 3,5 \Rightarrow x = \frac{49}{7} \Rightarrow x = 7

5. Testando a propriedade fundamental em cada item:

a) 10 ⋅ 10 = 5 ⋅ 20

100 = 100 Verdadeira, formam uma proporção.

0,5 \cdot 12 = 25 \cdot \frac{1}{4}

6 = 6325 Falsa, não formam uma proporção.

c) 25 ⋅ 3 = 1,5 ⋅ 50

75 = 75 Verdadeira, formam uma proporção.

\frac{1}{2} \cdot 10 = 0,5 \cdot 40

5 = 20 Falsa, não formam uma proporção.

Logo, formam proporções: itens aêcê.

6. Se chamarmos de x a quantidade (em gramas) desse produto químico que deve ser adicionado à água, teremos a seguinte proporção:

\frac{40}{320} = \frac{x}{12 000}

Logo,

320x = 40 ⋅ .12000

x = \frac{40 \cdot 12 000}{320} = \frac{12 000}{8} = 1 500

Portanto, serão necessários .1500 gramas desse produto, ou seja, 15 pacotes de 100 gramas cada um.

7. Chamando de x o tempo procurado, fazemos:

\frac{25}{7} = \frac{70}{x}

Daí,

25 x = 7 \cdot 70 \Rightarrow x = \frac{490}{25} = 19, 6

Serão 19,6 minutos de anúncios.

Página noventa e dois

8. Considerando a, b e c, respectivamente, a dívida dos sócios a, B e C, podemos escrever:

a + b + c = .42000

\frac{a}{20 000} = \frac{b}{35 000} = \frac{c}{45 000} = k

Assim, teremos:

a = .20000k

b = .35000k

c = .45000k

Como a + b + c = .42000, então

.20000k + .35000k + .45000k = .42000

k = \frac{42 000}{100 000} = \frac{42}{100} = 0,42

Voltando às relações anteriores e usando k = 420, calculamos cada uma das dívidas:

a = .20000k

a = .20000 ⋅ 0,42 = .8400

b = .35000k

b = .35000 ⋅ 0,42 = .14700

c = .45000k

c = .45000 ⋅ 0,42 = .18900

Portanto, os sócios a, B e C, tiveram as seguintes dívidas, nessa ordem: R$ 8.400,00oito mil quatrocentos reais; R$ 14.700,00quatorze mil setecentos reais e R$ 18.900,00dezoito mil novecentos reais.

9. Podemos organizar um quadro, lembrando que se forem empregados mais 10 homens, teremos um total de 25 homens.

NÚMERO DE HOMENS	NÚMERO DE DIAS
15	40
25	x

Como são grandezas inversamente proporcionais (quando dobro o número de homens, levará metade do tempo para ficar pronto), então vale a relação:

\frac{15}{25} = \frac{x}{40}

Logo,

25 x = 15 \cdot 40 \Rightarrow x = \frac{15 \cdot 40}{25} = \frac{3 \cdot 40}{5} = 3 \cdot 8 = 24

O serviço será feito em 24 dias.

10. Podemos montar o quadro, considerando que para fazer os cálculos de maneira mais adequada, usamos que 4 dias e 4 horas = (4 ⋅ 24 + 4) horas = 100 horas e que 6 dias e 6 horas = (6 ⋅ 24 + 6) horas = 150 horas

NÚMERO DE MARUJOS	TEMPO (EM HORAS)
12	100
x	150

Como são grandezas inversamente proporcionais (quando dobro o número de marujos, levará metade do tempo para ficar pronto), então vale a relação:

\frac{12}{x} = \frac{150}{100}

Logo,

150 x = 12 \cdot 100 \Rightarrow x = \frac{12 \cdot 100}{150} = \frac{12 \cdot 10}{15} = 8

Serão necessários 8 marujos.

CAPÍTULO 9 — TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS

Trocando ideias — página 202

• Espera-se que os estudantes observem, pelo menos, alguns eixos de simetria, como os indicados a seguir:

Ilustração. Quadro com fundo preto. Dentro, retângulo laranja com um círculo azul com borda preta. No centro, círculo vermelho e figura com retas e triângulos. À esquerda e direita, parte vazada com seta branca dupla na horizontal. Na parte inferior, três figuras vermelhas com triângulos acima. Seta vertical branca no centro do quadro. À esquerda, setas verticais de tamanhos diferentes. à direita, seta dupla menor na vertical.

• Respostas pessoais. Espera‒se que os estudantes pesquisem o assunto na internet ou procurem professores de outras áreas que possam dar dicas. Em especial, você pode indicar a busca no portal da cultura afro-brasileira (disponível em: https://oeds.link/QcNAoU, acesso em: 1º julho 2022).

Veja que interessante — página 206

Exemplo de resposta: é possível reconhecer translações.

Fotografia. Vaso de cerâmica redondo com traços em formato de espiral e linhas onduladas na parte inferior.

Atividades — página 207

1. Após verificar as distâncias entre pontos correspondentes, podemos concluir que as medidas das distâncias são diferentes; desse modo, a Figura 2 não foi obtida por meio de uma translação. No caso, foi por meio de uma reflexão em relação a uma reta.

Malha quadriculada. Figura 1. Figura azul de seis lados. À direita, figura 2 de seis lados, semelhante a figura 1. Acima da figura 1, seta vermelha horizontal para direita.

3. Sim. A obra tem o formato de um quadrado. Se traçarmos suas diagonais e marcarmos o ponto de intersecção delas, as figuras amarelas serão simétricas em relação a esse ponto.

Malha quadriculada. Figura 1. Figura rosa composta por dois quadrados verticais e um quadrado à direita. Ao lado, figura 2. Figura rosa semelhante a figura 1. Acima das figuras, uma reta de cada se une acima em A, formando ângulo reto.

Página noventa e três

5. a) Figura B, pois é uma reflexão da figura a em relação à reta r.

b) Figura D, pois é uma reflexão da figura a em relação à reta s.

c) Figura C, pois é uma reflexão da figura a em relação ao ponto óh.

6. Podemos pensar o contorno da figura 1 como o contorno de um quadrado, e um exemplo de simetria de reflexão seria em relação às retas que contêm as diagonais desse quadrado.

7. Exemplo de resposta:

Malha quadriculada. Abaixo, triângulo ABC. Acima, triângulo A linha, B linha, C linha. Entre as figuras, reta horizontal r.

Tecnologias digitais em foco — página 209

Explore: Espera‒se que os estudantes respondam que as medidas do comprimento dos lados e da abertura dos ângulos correspondentes são iguais.

Atividades — páginas 212 e 213

8. Resposta pessoal. Exemplo de resposta.

Malha quadriculada. À esquerda, quadrado ABCD. À direita, quadrado A linha, B linha, C linha, D linha. Entre os quadrados, ponto O.

9. Resposta pessoal. Espera‒se que os estudantes, a fim de construir o triângulo simétrico por meio de uma translação, determinem o sentido, a direção e a distância. Veja o passo a passo de um exemplo:

1º) Construir um triângulo á bê cê qualquer:

Figura geométrica: triângulo cinza com os vértices identificados com as letras A, B e C maiúsculas. Há a indicação de que o lado AB mede três centímetros e o lado BC mede dois centímetros.

2º) Determinar a direção, o sentido e distância da translação: paralela ao lado

\overline{B C}

(direção), para a direita (sentido), a 5 centímetros (distância).

3º) Prolongar o lado

\overline{B C}

e, com o auxílio de um compasso, com a abertura de 5 centímetros, a partir do ponto B, marcar o ponto bê linha e, a partir do ponto C, marcar o cê linha.

Figura geométrica: reta horizontal que passa pelos pontos B, C, B linha e C linha. Sobre a reta há um triângulo cinza que tem sua base entre os pontos B e C e um de seus vértices A.

4º) O ponto á linha será obtido ao traçar arcos de medida iguais às medidas dos lados

\overline{B A}

\overline{C A}

, com centros em bê linha e cê linha, respectivamente.

5º) Unindo os pontos, obtemos o triângulo a linha bê linha cê linha.

10. a) Mariana pode utilizar a ferramenta “Polígonos” ou “Segmento” combinada com a ferramenta “Ângulo”.

b) Para que a figura desenhada seja considerada um losango, a soma das medidas dos ângulos deve ser 360graus, a medida do comprimento dos lados deve ser a mesma e as medidas dos ângulos de vértices opostos têm de ser iguais.

c) Formada por 8 losangos.

d) As transformações podem ser feitas em ambos os sentidos (horário ou anti-horário). No sentido horário, para obter éfe₅, podemos rotacionar éfe₁ em um ângulo de medida da abertura de 180graus; para obter éfe₃, podemos rotacionar éfe₁ em um ângulo de medida da abertura de 90graus. Já no sentido anti-horário, rotacionamos éfe₁ em um ângulo de medida da abertura de 270graus para obter éfe₃ e, também, em um ângulo de medida da abertura de 180graus para obter éfe₅.

e) Para obter os losangos, seja no sentido horário, seja no anti-horário, a rotação pode ser feita aumentando-se 45graus de cada vez. Por exemplo, no sentido horário, obtemos éfe₂ rotacionando éfe₁ em um ângulo de medida da abertura de 45graus, éfe₃ em um ângulo de medida da abertura de 90graus, éfe₄ em um ângulo de medida da abertura de 135graus, éfe₅ em um ângulo de medida da abertura de 180graus, éfe₆ em um ângulo de medida da abertura de 225graus, éfe₇ em 270graus e éfe₈ em um ângulo de medida da abertura de 315graus.

11. Resposta pessoal, em que cada estudante deve elaborar o roteiro com base nos estudos sobre o GeoGebra.

Uma possibilidade de roteiro: para o último item (usar reflexão no lugar de rotação):

1. Construa um triângulo equilátero á bê cê.

2. Faça a reflexão do triângulo á bê cê em relação à reta

\overset{\leftrightarrow}{A B}

, encontrando o triângulo á bê dê.

3. Faça a reflexão do triângulo á bê cê em relação à reta

\overset{\leftrightarrow}{A C}

, encontrando o triângulo á cê ê.

4. Faça a reflexão do triângulo á bê cê em relação à reta

\overset{\leftrightarrow}{B C}

, encontrando o triângulo bê éfe cê.

5. Faça a reflexão do triângulo dê ê éfe em relação à reta

\overset{\leftrightarrow}{E F}

, encontrando o triângulo é éfe gê e também o triângulo interno cê agá i.

6. Identifique os pontos H, I e G.

7. Faça a reflexão do triângulo bê éfe cê em relação à reta

\overset{\leftrightarrow}{B F}

, encontrando o triângulo bê éfe jota.

8. Faça a reflexão do triângulo á cê ê em relação à reta

\overset{\leftrightarrow}{A E}

, encontrando o triângulo á cá ê.

9. Faça a reflexão do triângulo cê éfe agá em relação à reta

\overset{\leftrightarrow}{F H}

, encontrando o triângulo éle éfe agá.

Página noventa e quatro

10. Faça a reflexão do triângulo cê ê í em relação à reta

\overset{\leftrightarrow}{E I}

, encontrando o triângulo ême ê i.

Figura geométrica: Hexágono ABFHIE. No centro, ponto C. Em cada lado, um triângulo: ABD, AEK, EIM, IGH, FHL e BFJ.

Atividades — página 215

12. Os pares ordenados de abscissa 0, ou seja, C e F, estão sobre o eixo das ordenadas, uma vez que não possuem deslocamento horizontal; e que os pares de ordenadas 0, ou seja, B e F, estão sobre o eixo das abscissas, uma vez que não possuem deslocamento vertical.

Assim, a localização dos pontos no plano cartesiano ficará da seguinte maneira:

Plano cartesiano: no eixo x, números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2 e 3. Há a marcação dos pontos A de abscissa 3 e ordenada 2, B de abscissa menos 1 e ordenada zero, C de abscissa zero e ordenada menos 3, D de abscissa menos 2 e ordenada menos 2, E de abscissa e e ordenada menos 4, F de abscissa zero e ordenada zero, G de abscissa menos 4 e ordenada 3 e H de abscissa 3 e ordenada menos 2.

13. a(‒1, 2), B(0, 2), C(0, ‒1) e D(‒3, ‒1).

14. Está localizado no 3º quadrante. Espera‒se que os estudantes façam a justificativa pelo fato de que as coordenadas de todos os vértices têm ordenadas e abscissas negativas e, desse modo, somente podem estar localizadas no terceiro quadrante.

15. Observando a localização dos pontos, podemos verificar que os vértices do triângulo pertencem ao 1º quadrante (a), 3º quadrante (B) e 4º quadrante (C).

16. Podemos fazer a representação dos pontos aêbê e, a partir das informações dadas, podemos encontrar os pontos C e D:

Plano cartesiano: no eixo x, números: menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. No eixo y, números: menos 5, menos 4, menos 3, menos2, menos 1, zero, 1, e 2. Há um quadrado com vértices nos pontos A de abscissa um e ordenada menos um, B de abscissa quatro e ordenada menos um, C de abscissa quatro e ordenada menos quatro e D de abscissa um e ordenada menos quatro.

Logo, os outros vértices desse quadrado são: (4, ‒4) e (1, ‒4). Nesse exercício, também é possível estimar os pontos conhecendo a distância entre o ponto A e o ponto B (3 unidades). Assim, os vértices C e D serão o deslocamento em 3 unidades dos pontos aêbê, resultando na representação indicada anteriormente.

17. Uma resposta possível é:

Plano cartesiano: no eixo x, números: menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2 e 3. No eixo y, números: menos dois, menos um, zero, 1 e 2. Há um polígono de 6 lados com vértices nos pontos G de abscissa zero e ordenada 2, H de abscissa 2 e ordenada 1, I de abscissa 2 e ordenada menos 1, J de abscissa zero e ordenada menos 2, K de abscissa menos 2 e ordenada menos 1 e L de abscissa menos 2 e ordenada 1.

Atividades — páginas 219 e 220

18. a) a(3, 5), B(1, 3), C(2, 1) D(4, 1), ê(6, 3) e F(4, 3).

b) Corresponderá a uma ampliação.

c) á linha(6, 10), bê linha(2, 6), cê linha(4, 2) dê linha(8, 2), é linha(12, 6) e éfe linha(8, 6).

Plano cartesiano: no eixo x, números: zero, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 13. No eixo y, números: zero, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11. Há um polígono de seis lados com vértices nos pontos A de abscissa 3 e ordenada 5, B de abscissa 1 e ordenada 3, C de abscissa 2 e ordenada 1, D de abscissa 4 e ordenada 1, E de abscissa 6 e ordenada 3 e F de abscissa 4 e ordenada 3. Há outro polígono de seis lados com vértices nos pontos A linha de abscissa 6 e ordenada 10, B linha de abscissa 2 e ordenada 6, C linha de abscissa 4 e ordenada 2, D linha de abscissa 8 e ordenada 2, E linha de abscissa 12 e ordenada 6 e F linha de abscissa 8 e ordenada 6.

19. Podemos escrever as coordenadas dos vértices do triângulo a linha bê linha cê linha como á linha(2, 2), bê linha(4, 6) ecê linha(8, 2). Dividindo então os valores por 2 ou por 4, temos as seguintes possibilidades de resposta para as coordenadas do triângulo á bê cê:

a(1, 1), B(4, 3) e C(4, 1)

A (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

B (1, \frac{3}{2})

C (2, \frac{1}{2})

20. a)

Plano cartesiano: no eixo x, números: menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2 e 3. No eixo y, números: 1, 2, 3 e 4. Há uma reta vertical, sendo os pontos da sua extremidade, A com abscissa dois e ordenada três e B com abscissa dois e ordenada zero.

b) C(‒2, 3) e D(‒2, 0)

c) Um retângulo.

d) Exemplo de resposta: a(2, 4) e B(2, 0).

21. Os estudantes devem obter um polígono cujos vértices são: éfe linha(‒1, ‒3), gê linha(‒1, ‒2), agá linha(‒2, ‒2),í linha(‒2, ‒1), jota linha(‒3, ‒1), cá linha(‒3, ‒2), éle linha(‒4, ‒2),ême linha(‒4, ‒3), êne linha(‒3, ‒3), ó linha(‒3, ‒4), pê linha(‒2, ‒4) equê linha(‒2, ‒3).

22.

Plano cartesiano: no eixo x, números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3 e 4. Há um triângulo com vértices nos pontos B de abscissa zero e ordenada zero, C de abscissa menos 4 e ordenada 2 e D de abscissa menos 2 e ordenada 4. Há outro triângulo de vértices nos pontos B linha de abscissa zero e ordenada zero, C linha de abscissa quatro e ordenada menos 2 e D linha de abscissa dois e ordenada menos 4.

São: bê linha(0, 0), cê linha(4, ‒2) e dê linha(2, ‒4).

Página noventa e cinco

23. Para essa reflexão, basta considerar os pontos com mesmas ordenadas e abscissas opostas, ou seja, á linha(3, ‒1), bê linha(2, ‒3), cê linha(0, ‒2) e dê linha(1, 0).

Vejamos as coordenadas dos pontos em cada alternativa:

a) á linha(3, 1), bê linha(2, 3), cê linha(0, 2) e dê linha(1, 0)

b) á linha(‒3, ‒1), bê linha(‒2, ‒3), cê linha(0, ‒2) e dê linha(‒1, 0)

c) á linha(3, ‒1), bê linha(2, ‒3), cê linha(0, ‒2) e dê linha(1, 0)

Logo, alternativa correta é a c.

24. O triângulo obtido como resultado é simétrico em relação à origem quando comparado ao triângulo original. O vértice ficará no 3º quadrante.

25. Para essa reflexão, basta considerar os opostos das abscissas e das ordenadas dos pares existentes. Nessa ordem: 4º quadrante, 3º quadrante e 1º quadrante.

26. Observando as figuras, podemos afirmar que:

• o triângulo B é simétrico ao triângulo a em relação ao eixo y;

• o triângulo C é simétrico ao triângulo a em relação ao eixo x;

• o triângulo D é simétrico ao triângulo a em relação à origem.

Portanto, a alternativa c é a correta.

27. a) Falsa. O triângulo está localizado no 1º e 2º quadrantes.

b) Verdadeira.

c) Falsa. As coordenadas dos vértices do triângulo simétrico em relação ao eixo y são á linha(3, 1), bê linha(1, 3) e cê linha(‒2, 1).

d) Verdadeira.

Veja que interessante — página 221

Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes observem diferentes objetos e percebam essas transformações, sempre lembrando que estamos tratando de objetos não planos. Exemplos: uma janela, uma tela de TV, uma cadeira etcétera.

Revisão dos conteúdos desse capítulo — páginas 222 e 223

1. Não foi obtida por uma translação, pois as distâncias entre os pontos correspondentes não são iguais.

2. Resposta pessoal. Vejamos uma possibilidade:

Malha quadriculada. À esquerda, quadrado ABCD. À direita, quadrado A linha, B linha, C linha, D linha. Entre os quadrados, reta r na vertical.

Malha quadriculada com dois octógonos iguais. Acima, seta horizontal para direita.

Malha quadriculada. À esquerda, um triângulo. À direita, triângulo virado para baixo. Entre os triângulos, ponto A.

Plano cartesiano: no eixo x, números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, números: menos quatro, menos três, menos dois, menos um, zero, 1, 2, 3 e 4. Há a marcação dos pontos A de abscissa 1 e ordenada 4, B de abscissa menos 1 e ordenada 2, C de abscissa menos 2 e ordenada menos 3, D de abscissa menos 2 e ordenada 2, E de abscissa 3 e ordenada menos 4, F de abscissa 3 e ordenada 3 e G de abscissa menos 4 e ordenada 3.

6. Vejamos uma possível resposta:

Plano cartesiano: no eixo x, números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3 e 4. Há um pentágono com os vértices nos pontos de abscissa 1 e ordenada 1; de abscissa 2 e ordenada menos 1 vírgula cinco; de abscissa zero e ordenada menos 3; de abscissa menos 2 e ordenada menos um vírgula cinco; de abscissa menos 1 e ordenada 1.

Plano cartesiano: no eixo x, números: menos 7., menos 6, menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11. No eixo y, números: menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Há um quadrilátero com vértices nos pontos A de abscissa menos 3 e ordenada 4, B de abscissa menos 1 e ordenada 2, C de abscissa menos 5 e ordenada 1 e D de abscissa menos 6 e ordenada 3. Há outro quadrilátero com vértices nos pontos A linha de abscissa 6 e ordenada 5, B linha de abscissa 10 e ordenada 1, C linha de abscissa 2 e ordenada menos 1 e D linha de abcissa zero e ordenada 3.

8. á linha(‒3, ‒3), bê linha(‒2, ‒3), cê linha(0, ‒2), dê linha(‒2, ‒1), é linha(‒3, ‒1) e éfe linha(‒5, ‒2).

9. á linha(3, 0), bê linha(1, –1), cê linha(0, –3) e dê linha(0, 0)

10. Coordenadas do polígono: a(‒3, 1); B(‒1, ‒2); C(‒2, ‒4); D(‒4, ‒4); ê(‒6, ‒2).

Exemplo de construção:

Plano cartesiano: no eixo x, números: menos 7, menos 6, menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. No eixo y, números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3 e 4. Há um polígono de 5 lados com vértices nos pontos A de abscissa menos 3 e ordenada menos 1, B de abscissa menos 1 e ordenada menos 2, C de abscissa menos 2 e ordenada menos 4, D de abscissa menos 4 e ordenada menos 4 e E de abscissa menos 6 e ordenada menos 2. Há outro polígono de 5 lados com vértices nos pontos A linha de abscissa menos 3 e ordenada 1, B linha de abscissa menos 1 e ordenada 2, C linha de abscissa menos 2 e ordenada 4, D linha de abscissa menos 4 e ordenada 4 e E linha de abscissa menos 6 e ordenada 2. Há outro polígono de cinco lados com vértices nos pontos A duas linhas de abscissa 3 e ordenada menos 2, B duas linhas de abscissa 1 e ordenada menos 2, C duas linhas de abscissa 2 e ordenada menos 4, D duas linhas de abscissa 4 e ordenada menos 4 e E duas linhas com abscissa 6 e ordenada menos 2.

É hora de extrapolar — páginas 224 e 225

1. a) Os dois símbolos são formados pelo mesmo número de retângulos para nos lembrar de que todas as pessoas são iguais, e que, independentemente de habilidades ou deficiências, somos unidos em nossa humanidade.

b) Sim. O símbolo das Olimpíadas possui simetria de rotação e o das Paralimpíadas, de reflexão.

c) Resposta pessoal. Espera‒se que os estudantes comentem o que entendem por diversidade.

Página noventa e seis

2. a) São 20 medalhas de prata em um total de setenta e duas medalhas. Como

\frac{1}{3}

de 72 é 24, podemos dizer que menor de 33% das medalhas foi de prata.

b) Fazemos

\frac{22}{72} ≃ 0, 3055 ≃ 30, 55 %

c) Respostas pessoais.

3. a) Para nadar 50 métros, ela levou 26,82 segundos, então para nadar 100 métros, nessa velocidade, ela levaria o dobro do tempo, ou seja, levaria 53,64 segundos (já que 2 ⋅ 26,82). Seguindo o mesmo raciocínio, levaria o dobro desse último tempo para percorrer 200 métros, ou seja, (2 ⋅ 53,64) segundos = 107,28 segundos = 60 segundos + 47,28 segundos = 1 minuto 47,28 segundos.

b) Exemplo de resposta: a atleta pode ter se cansado e nadado com uma medida de velocidade inferior à que nadou os primeiros 50 métros.

UNIDADE 4

CAPÍTULO 10 — GRANDEZAS E MEDIDAS

Trocando ideias — página 228

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes apontem alguns aspectos, como: mais fiscalização e contrôle das áreas em desmatamento; eliminar a comercialização de carnes ilegais; punir quem faz venda de madeira ilegal; entre outros.

• A medida da área de um campo de futebol, em métro quadrado, pode ser calculada assim:

10 ⋅ 68 = .7140

Para comparar com a área desmatada, precisamos passar essa medida para quilômetros quadrados:

7 140 m^{2} = \frac{7 140}{1 000 \cdot 1 000} {k m}^{2} = 0,00714 k m^{2}

Como a área desmatada foi de .13235 quilômetros quadrados, para saber quantos campos correspondem, fazemos:

\frac{13 235}{0,00714} ≃ 1 853 641

Cerca de .1853 641 campos de futebol.

Atividades — páginas 231 e 232

1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes apresentem sugestões, como: usar barbantes, cordas, palmos, entre outras.

2. a) Nesse caso, 2 xícaras corresponderão a 480 mililitros (pois 2 ⋅ 240 = 480). Como meio litro corresponde a 500 mililitros, é o suficiente para essa receita.

b) Para fazer uma receita são necessárias duas xícaras de açúcar, então, para fazer duas receitas e meia, serão necessárias 5 xícaras de açúcar (já que 2 ⋅ 2,5 = 5). Se 5 xícaras de açúcar correspondem a 1 quilograma, então, cada xícara corresponderá a 0,2 quilograma (1 : 5 = 0,2).

3. a) Considerando a maior estimativa de trajeto, temos: 915 quilômetros : 11 quilômetros por litro ≃ 83,2 litros de combustível, pois 915 : 11 ≃ 83,2

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que dentro do contexto, para uma distância total de mais de 900 quilômetros, a diferença de 0,2 quilômetro é bem pequena.

c) Resposta pessoal. Uma possibilidade de resposta: em um percurso tão longo, há diferentes opções de caminho e, assim, pequenas diferenças de distância.

4. a) A diferença é de 0,1 milímetro (pois 5,4 ‒ 5,3 = 0,1).

b) Espera-se que os estudantes se questionem sobre qual parafuso pode ser utilizado no motor. Considerando normas de segurança, é importante utilizar o parafuso de maior diâmetro, a fim de evitar que peças fiquem folgadas e desencaixem durante o uso.

5. As respostas são pessoais. Vejamos algumas possibilidades.

a) Em uma fábrica de bebidas, se for desperdiçado 1 litro, deve ser tão pouco diante da produção total, que não é significativo.

b) Para medicar um recém-nascido a dosagem não pode ser errada, mesmo uma diferença de apenas 1 mililitro pode afetar o tratamento.

6. As respostas deste exercício dependem da vivência dos estudantes. Espera-se que a discussão sobre temperaturas mostre que a previsão para determinado dia pode não refletir a temperatura medida, mas sim, uma estimativa do seu provável valor naquele dia. Para o item c, você pode indicar a pesquisa em sites, por exemplo:

A importância da previsão do tempo. Disponível em: https://oeds.link/1Ge8wP. Acesso em: 12 maio 2022.

7. Respostas pessoais. Vejamos alguns exemplos:

Ao fazer uma receita de bolo; para estimar o tempo que levará para chegar a um compromisso; ao comprar uma peça de roupa para outra pessoa.

8. Respostas pessoais. Vejamos alguns exemplos:

a) O modo de posicionar a régua (onde começa e onde termina a leitura, a inclinação da régua) ao medir, por exemplo, a altura desse objeto vai interferir na medida obtida. Há também a possibilidade de réguas diferentes terem sutis diferenças na gradação.

b) Resposta pessoal. Podem indicar cor, tipo de matéria, tamanho etcétera.

9. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes observem que as diferenças ocorrem principalmente devido ao momento de acionar e de desligar o cronômetro.

Atividades — página 234

10. Resposta pessoal. Um exemplo de resposta seria subdividir a figura em mais quadradinhos.

11. a) 16 triângulos, ou seja, 16 unidades de medida de área.

b) A peça pode ser subdividida em 32 triângulos, assim, 32 unidades de medida de área.

12. A resposta dependerá das dimensões da sala de aula.

13. Se utilizarmos como unidade de medida de área (u), por exemplo, os quadradinhos em que a figura do item b está dividida, poderemos calcular a medida da área de cada figura.

a) 6 u

Figura geométrica: retângulo lilás dividido em 6 quadrados de mesmo tamanho.

b) 5 u

Figura geométrica: Figura composta por dois quadrados juntos, abaixo dois quadrados separados e um quadrado na parte inferior.

c) 5 u

Figura geométrica: Figura com três quadrados acima e dois quadrados abaixo.

d) 7 u

Figura geométrica: Figura composta por duas colunas com três quadradinhos e um quadradinho entre eles.

e) 5 u

Figura geométrica: Figura composta por três quadrados na horizontal, um acima e um abaixo no centro.

f) 8 u

Figura geométrica: quadrado dividido em 9 quadrados do mesmo tamanho. O quadrado central é branco e os outros 8 quadrados são lilás.

Portanto, são equivalentes as figuras dos itens b, c ê ê.

Página noventa e sete

Atividades — páginas 239 a 241

14. Aretângulo = 25 centímetros ⋅ 12 centímetros = 300 centímetros quadrados

15. Como Aretângulo = b ⋅ h, podemos escrever que:

3 600 = 90 \cdot h \to h = \frac{3 600}{90} = 40

; assim, Aretângulo = 40 milímetros

16. Considerando que as medidas dos lados desse retângulo são representadas por números inteiros, temos as seguintes possibilidades para obter uma área de 30 métros quadrados.

1 métro ⋅ 30 métros; 2 métros ⋅ 15 métros; 3 métros ⋅ 10 métros; 5 métros ⋅ 6 métros.

Observando que cada lado foi aumentado em 1 métro e a nova medida de área é 42 métros quadrados, podemos concluir que o único par de medidas possível de obter a nova medida de área é 5 métros e 6 métros.

(5 + 1) métros ⋅ (6 + 1) métros = 6 métros ⋅ 7 métros = 42 métros quadrados

Logo, as medidas dos lados desse retângulo são 5 métros e 6 métros.

17. A medida da área desse retângulo é, em centímetros quadrados:

Aretângulo = 9 ⋅ 4 = 36

Se um quadrado com medida de lado a é a mesma medida de área desse retângulo, teremos que:

36 = a ⋅ a

O número que multiplicado por ele mesmo e resulta em 36 é o 6 (considerando apenas números positivos). Logo, a medida do lado desse quadrado será 6 centímetros.

18. a = 15 ⋅ 50 = 750

Logo, a área do paralelogramo será 750 milímetros quadrados.

19. a) Observando a figura e as medidas indicadas, podemos calcular a medida da área pedida, considerando como se fosse um retângulo completo, depois tirando os dois retângulos que temos ali, conforme registrado a seguir:

Figura geométrica: Figura composta por retângulo verde com medida de 15 centímetros por 12 centímetros. Dentro, retângulo vertical vermelho com medidas de 2 centímetros por 8 centímetros. A distância do retângulo verde para o retângulo vermelho é 4 centímetros. Ao lado, retângulo azul. A distância acima e abaixo do quadrado verde para o quadrado azul é 4 centímetros cada.

Área total: 12 centímetros ⋅ 15 centímetros = 180 centímetros quadrados

Área do retângulo vermelho: 2 centímetros ⋅ 8 centímetros = 16

centímetros quadrados

Área do retângulo azul:

(12 ‒ 4 ‒ 4) centímetros ⋅ (15 ‒ 4 ‒ 2) centímetros = 4 centímetros ⋅ 9 centímetros = 36 centímetros quadrados

Assim, a área procurada será:

180 centímetros ‒ (16 + 36) centímetros = 180 centímetros ‒ 52 centímetros = 128 centímetros quadrados

b) Nesse caso, podemos considerar as medidas já apresentadas e calcular:

\frac{12 - 3,5}{2} = \frac{8,5}{2} = 4,25

e completar essas medidas na ilustração:

Figura geométrica: Figura composta por um quadrado no centro e um retângulo de cada lado na horizontal. Um retângulo acima e um abaixo do quadrado. A medida total da figura é 12 centímetros por 12 centímetros. A medida de quatro dos retângulos são: 3,5 centímetros por 4,25 centímetros.

Como a figura verde é composta de 4 retângulos equivalentes e um quadrado, podemos encontrar a medida de sua área fazendo:

4 ⋅ (4,25 centímetros ⋅ 3,5 centímetros) + (3,5 centímetros ⋅ 3,5 centímetros) =

= 4 ⋅ 14,875 centímetros quadrados + 12,25 centímetros quadrados =

= 59,5 centímetros quadrados + 12,25 centímetros quadrados = 71,75 centímetros quadrados

Assim, a área da figura verde é de 71,75 centímetros quadrados.

20. Como

A_{triângulo} = \frac{b \cdot h}{2}

, teremos

A_{t r i â n g u l o} = \frac{25 c m \cdot 12 c m}{2} = 25 c m \cdot 6 c m = 150 c m ²

21.

A = \frac{7 \cdot 14}{2} = 7 \cdot 7 = 49

A medida da área desse triângulo é 49 centímetros quadrados.

22. A medida da área desse quadrado será:

\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3

. Ou seja, a medida da área desse quadrado será de 3 métros quadrados.

23. Usando que:

{Área}_{t r a p é z i o} = \frac{(B + b)}{2} \cdot h

, podemos fazer:

A_{t r a p é z i o} = \frac{(10 + 6)}{2} c m \cdot 2 c m = (10 + 6) c m \cdot 1 c m = 16 c m ²

A_{t r a p é z i o} = \frac{(40 + 10)}{2} c m \cdot 18 c m = \frac{50}{2} c m \cdot 18 c m =

= 25 centímetros ⋅ 18 centímetros = 450 centímetros quadrados

A_{t r a p é z i o} = \frac{(14 + 10)}{2} c m \cdot 5, 4 c m = \frac{24}{2} c m \cdot 5, 4 c m =

= 12 centímetros ⋅ 5,4 centímetros = 64,8 centímetros quadrados

24.

A_{t r a p é z i o} = \frac{(13 + 10)}{2} m \cdot 6 m = 23 m \cdot 3 m = 69 m ²

25. Como

A_{losango} = \frac{D \cdot d}{2}

, teremos:

A = \frac{42 c m \cdot 30 c m}{2} = 21 c m \cdot 30 c m = 630 c m ²

26. a)

A_{l o s a n g o} = \frac{10 c m \cdot 5 c m}{2} = 5 c m \cdot 5 c m = 25 c m ²

A_{l o s a n g o} = \frac{4 \sqrt{2} c m \cdot 8 \sqrt{2} c m}{2} = (\frac{4 \cdot 8 \cdot 2}{2}) c m ² =

= (4 ⋅ 8) centímetros quadrados = 32 centímetros quadrados

27. Se o ladrilho tem 20 centímetros de largura e 30 centímetros de comprimento, podemos dizer que tem 0,2 métro de largura e 0,3 métro de comprimento. E, portanto, a medida da área de cada ladrilho, em métros quadrados, é 0,2 ⋅ 0,3 = 0,06.

Se o piso tem 60 métros quadrados, para saber a quantidade de ladrilhos para revesti-los, fazemos:

\frac{60}{0,06} = 1 000

Logo, serão necessários .1000 ladrilhos.

28. Exemplo de resposta:

Figura geométrica: Retângulo azul com indicações de que o lado maior mede 4 centímetros e o lado menor 3 centímetros. Figura geométrica: Retângulo azul com indicações de que o lado maior mede 6 centímetros e o lado menor 2 centímetros.

29. Podemos calcular a medida de área, em métros quadrados, de cada quarto:

Quarto de Maria 4 métros ⋅ 5,5 métros = 22 métros quadrados

Quarto de José 6 métros ⋅ 3,5 métros = 21 métros quadrados

Como a medida da área do quarto de Maria é maior, será lá que se utilizará a maior quantidade de revestimento.

30. Pela ilustração, podemos afirmar que cada quadradinho tem lado com medida de 1 métro e, portanto, 1 métro quadrado de medida de área.

Página noventa e oito

a) A área de jardinagem é composta por:

2 retângulos, cada um com 12 métros quadrados (3 ⋅ 4);

4 paralelogramos, cada um com 9 métros quadrados (3 ⋅ 4)

Logo, a medida da área destinada à jardinagem, em métros quadrados, será:

2 ⋅ 12 + 4 ⋅ 9 = 24 + 36 = 60

b) A medida da área total do pátio externo, em métros quadrados, é: 11 ⋅ 18 = 198.

Como uma parte dessa área terá jardins, o que resta para ser revestido, em métros quadrados, será:

198 ‒ 60 = 138 métros quadrados

31. Se o tapete é quadrado e tem perímetro de 10 métros, então cada lado desse tapete tem 2,5 métros (pois 10 : 4 = 2,5).

Logo, a medida da área desse tapete, em métros quadrados, será 2,5 ⋅ 2,5 = 6,25.

Para saber a medida da área que ficará sem tapete, fazemos 31,6 ‒ 6,25 = 25,35.

Dessa maneira, 25,35 métros quadrados dessa sala ficarão sem tapete.

32. a) 1,5 métro ⋅ 5 métros = 7,5 métros quadrados para o espaço da churrasqueira.

b) Como a piscina é retangular, temos várias possibilidades. Por exemplo: 1,5 métro e 2 métros; 1 métro e 3 métros; 1,2 métro e 2,5 métros.

c) Grama – em forma de trapézio:

\frac{(1,5 + 5,5) \cdot 5}{2} = 17,5

Granito – em forma de triângulo:

\frac{4 \cdot 5}{2} = 10

Logo:

Medida da área em grama: 17,5 – 3 (área da piscina) = 14,5 métros

A medida da área gramada será de 14,5 métros quadrados.

Medida da área em granito: 10 métros quadrados

33. Considerando as informações apresentadas e sabendo que:

400 = 20 ⋅ 20 e 900 = 30 ⋅ 30

Podemos indicar as seguintes medidas na ilustração:

Figura geométrica: Figura composta por quadrado rosa com medida 20 centímetros por 20 centímetros cada. Ao lado, retângulo branco na horizontal. Abaixo, retângulo branco vertical e quadrado laranja medindo 30 centímetros por 30 centímetros.

a) Dessa maneira, podemos dizer que a folha quadrada tem 50 centímetros de lado e, portanto, a medida de sua área é 50 métros ⋅ 50 métros = .2500 métros quadrados.

b) As dimensões de cada retângulo são 20 centímetros e 30 centímetros, logo a medida de sua área será 30 métros ⋅ 20 métros = 600 métros quadrados

34. Resposta pessoal. Vejamos uma possibilidade.

Problema elaborado

Observe a figura e encontre a medida da área da parte laranja.

Uma possível resolução

Podemos considerar o retângulo de lados 30 centímetros e 40 centímetros, a medida de sua área será 30 ⋅ 40 = .1200 centímetros quadrados.

Também considerando o losango de diagonais 30 centímetros e 40 centímetros, a medida de sua área será

(\frac{30 \cdot 40}{2}) = 600 {cm}^{2}

A medida da área da parte laranja é a diferença entre as duas encontradas anteriormente, ou seja:

.1200 centímetros quadrados ‒ 600 centímetros quadrados = 600 centímetros quadrados.

Atividades — páginas 245 e 246

35. V = (0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1) centímetros cúbicos = 0,001 centímetros cúbicos

36. a. V = (10 ⋅ 2 ⋅ 4) métros cúbicos = 80 métros cúbicos

b. V = (6 ⋅ 5 ⋅ 3) centímetros cúbicos = 90 centímetros cúbicos

c. V = (8 ⋅ 4 ⋅ 4) métros cúbicos = 128 métros cúbicos

d. V = (3 ⋅ 1 ⋅ 12) métros cúbicos = 36 métros cúbicos

37. Como 20 centímetros = 2 decímetros e 1 litro = .1000 decímetros cúbicos, podemos calcular o volume da seguinte forma:

V = (2 ⋅ 2 ⋅ 2) decímetros cúbicos = 8 decímetros cúbicos

Logo, cabem 8 litros de água nesse aquário.

38. Como 1 litro = 1 decímetros cúbicos ou então .10000 litros = .10000 decímetros cúbicos ou 10 métros cúbicos

Chamando de p a medida profundidade dessa piscina, em metros, podemos afirmar que:

p ⋅ 5 ⋅ 2 = 10 ⇒ p = 1

Ou seja, a piscina tem 1 métro de profundidade.

39. Se dobrarmos a medida da aresta, a medida do volume será multiplicada por 8, pois 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8.

Se triplicarmos a medida da aresta, a medida do volume será multiplicada por 27, pois 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27.

40. a) Como 2 milímetros = 0,002 métro, o volume será dado por (1 ⋅ 1 ⋅ 0,002) métros cúbicos = 0,002 métros cúbicos.

b) Como 1 métros cúbicos = .1000 decímetros cúbicos, então 0,002 métros cúbicos =

= (.1000 ⋅ 0,002) métros cúbicos = 2 decímetros cúbicos = 2 litros.

Ou seja, foram coletados 2 litros de água.

41. Gabriela, já que a primeira figura é formada por 24 cubos com mesma medida de volume e a segunda figura é formada pela mesma quantidade de cubos com mesma medida de volume do cubo que fórma a primeira figura.

42. Resposta pessoal. Vejamos uma possibilidade.

Problema elaborado

Se uma piscina em fórma de paralelepípedo tem capacidade de .15000 litros e 3 metros de largura, qual pode ser sua profundidade?

Uma possível resolução

.15000 litros = .15000 decímetros cúbicos = 15 métros cúbicos

Se chamarmos de p a medida da profundidade dessa piscina e c a medida do comprimento dessa piscina, ambas em metros, poderemos escrever que:

3 ⋅ p ⋅ c = 15 ⇒ p ⋅ c = 5

Ou seja, há diferentes possibilidades para p, pois c também não é conhecido.

Por exemplo, p = 2 e c = 2,5 ou p = 1,25 e c = 4.

Vale lembrar que há valores que não fazem muito sentido para a profundidade de uma piscina, apesar de estarem de acordo com os dados. Por exemplo, uma piscina de 5 metros de profundidade não é adequada.

Resolvendo em equipe — página 247

Interpretação e identificação dos dados

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes identifiquem informações importantes, por exemplo, a medida do lado das folhas quadradas.

• Sim, pois temos a informação da medida do lado desse quadrado.

• A parte sobreposta corresponde a

\frac{1}{4}

da superfície do quadrado.

Página noventa e nove

Plano de resolução

• a = 20 centímetros ⋅ 20 centímetros = 400 centímetros quadrados

Como a figura 2 é composta por 2 quadrados como da figura 1, tendo uma parte sobreposta, uma maneira de calcular essa área é:

(2 \cdot 400 - \frac{1}{4} \cdot 400) {c m}^{2} = (800 - 100) {c m}^{2} = 700 {c m}^{2}

Logo, a medida da área da figura 2 é 700 centímetros quadrados.

• Figura 3: a parte sobreposta corresponde a

\frac{2}{4}

do quadrado.

Figura 4: a parte sobreposta corresponde a

\frac{4}{4}

do quadrado.

• Possíveis cálculos:

Figura 3:

(3 \cdot 400 - \frac{2}{4} \cdot 400) {c m}^{2} = (1 200 - 200) {c m}^{2} = 1 000 {c m}^{2}

Figura 4:

(4 \cdot 400 - \frac{4}{4} \cdot 400) {c m}^{2} = (1 600 - 400) {c m}^{2} = 1 200 {c m}^{2}

Resolução

A figura 4 é composta de 12 partes de área igual a

\frac{1}{4}

da medida da área do quadrado. Assim:

12 ⋅ 100 centímetros quadrados = .1200 centímetros quadrados.

Verificação

Espera-se que os estudantes verifiquem se as respostas achadas satisfazem as condições fornecidas no enunciado.

Apresentação

Organize as apresentações dos grupos e verifique, com antecedência, se os problemas que serão propostos são pertinentes ao conteúdo ministrado.

Revisão dos conteúdos desse capítulo — páginas 248, 249 e 250

1. a) É possível verificar 24 triângulos, assim, 24 unidades de medida de área.

b) É possível verificar 20 triângulos, assim, 20 unidades de medida de área.

c) É possível verificar 20 triângulos, assim, 20 unidades de medida de área.

2. Se o lado do quadrado mede 5 centímetros, então a medida de sua área será 25 centímetros quadrados. Dessa maneira, como são figuras equivalentes, precisamos encontrar b e h (medidas da base e da altura de triângulo retângulo), de fórma que:

\frac{b \cdot h}{2} = 25

Ou seja, b ⋅ agá = 50

Algumas possibilidades: 10 centímetros e 5 centímetros; 8 centímetros e 6,25 centímetros; 12,5 centímetros e 4 centímetros.

3. Podemos “quadricular” as figuras para comparar suas áreas:

Figura geométrica: Figura composta por quadrados azuis. Na primeira coluna, quatro quadradinhos. Na segunda, terceira e quarta colunas, dois quadradinhos. Na quinta coluna, quatro quadradinhos.

Figura geométrica: retângulo azul dividido em 15 quadradinhos iguais.

Figura geométrica: Figura composta por quadrados azuis. Na primeira e segunda colunas, quatro quadradinhos. Na terceira coluna, um quadradinho. Na quarta e quinta colunas, quatro quadradinhos.

Figura geométrica: Figura composta por quadrados azuis. Na primeira coluna um quadradinho. Na segunda, terceira e quartas colunas, quatro quadradinhos. Na quinta coluna, um quadradinho.

Figura geométrica: Retângulo composto por quatorze quadradinhos azuis em seu retorno e vazado no centro.

Figura geométrica: Figura composta por quadrados azuis. Na primeira e segunda colunas, quatro quadradinhos. Na terceira e quarta colunas, dois quadradinhos. Na quinta coluna, quatro quadradinhos.

Pela comparação entre as figuras, podemos dizer que são equivalentes as figuras dos itens a, d, e.

4. Como o piso é retangular e tem 1 métro de largura e 2 métros de comprimento, podemos calcular a medida de sua área:

a_piso = 1 métro ⋅ 2 métros = 2métros quadrados

Quanto à cerâmica, quadrada e com 20 centímetros de lado, podemos escrever essa medida em metros e calcular sua medida de área:

A_{c e r â m i c a} = \frac{20}{100} \cdot \frac{20}{100} m^{2} = \frac{2}{10} \cdot \frac{2}{10} m^{2} = \frac{4}{100} m^{2} = 0,04 m^{2}

Para calcular o total de peças cerâmicas, necessárias para cobrir o piso, fazemos:

\frac{2}{0,04} = 50

Logo, são necessárias 50 cerâmicas.

A_{t r i â n g u l o} = \frac{7 \cdot 1}{2} = 3,5

;

A_{t r i â n g u l o} = 3, 5 u . a

ponto

A_{quadrado maior} = (7 + 1) \cdot (1 + 7) = 8 \cdot 8 = 64

;

A_{q u a d r a d o m a i o r} = 64 u . a .

A_{quadrado roxo} = 64 ‒ 4 \cdot 3,5 = 64 ‒ 14 = 50

;

A_{q u a d r a d o r o x o} = 50 u . a .

A_{paralelogramo} = 35 m m \cdot 60 m m = 2 100 {m m}^{2}

A_{triângulo} = \frac{42 c m \cdot 35 c m}{2} = 21 c m \cdot 35 c m = 735 {c m}^{2}

A_{quadrado} = \sqrt{13} c m \cdot \sqrt{13} c m = 13 {c m}^{2}

9. a)

A_{trapézio} = \frac{(60 + 40) m \cdot 40 m}{2} = \frac{100 m \cdot 40 m}{2} =

= 50 métros ⋅ 20 métros = .2000 métros quadrados

A_{trapézio} = \frac{(30 + 60) m \cdot 30 m}{2} = \frac{90 m \cdot 30 m}{2} = 1 350 m^{2}

10.

A_{losango} = \frac{45 c m \cdot 35 c m}{2} = \frac{1 575}{2} c m ² = 787,5 {c m}^{2}

11. Se considerarmos que a medida do comprimento desse terreno, em métros, é c, teremos que a medida de sua largura será 2c. Daí, poderemos escrever:

A_{terreno} = c \cdot 2 c = 2 c^{2}

Como sabemos que a medida da área desse terreno, em métros quadrados, é 200, teremos que:

2c2 = 200 ⇒ c2 = 100 ⇒ c = 10

Portanto, o terreno tem 10 métros de comprimento e 20 métros de largura.

12.

A_{painel} = (200 \cdot 240) {c m}^{2} = 48 000 {c m}^{2}

Como 30% dessa área é ocupada por ilustrações, fazemos:

\frac{30}{100} \cdot 48 000 = 14 400

Logo, a área ocupada pelas ilustrações é de .14400 centímetros quadrados.

13. Podemos calcular a medida da figura verde subtraindo da medida da área do quadrado as medidas dos triângulos amarelos. Realizando os cálculos, temos:

A_{verde} = A_{quadrado} - 4 A_{triângulo 1} - 4 A_{triângulo 2} =

= 15^{2} - 4 \cdot \frac{5 \cdot 5}{2} - 4 \frac{5 \cdot 7, 5}{2} = 225 - 50 - 75 = 100 \Rightarrow A_{v e r d e} = 100 m ²

Página cem

14. a. V = (3 ⋅ 6 ⋅ 3) centímetros cúbicos = 54 centímetros cúbicos

b. V = (2,5 ⋅ 2,5 ⋅ 2,5) centímetros cúbicos = 15,625 centímetros cúbicos

15. V = (50 ⋅ 32 ⋅ 40) centímetros cúbicos = .64000 centímetros cúbicos

16. Considerando as medidas apresentadas e que o depósito está com metade da capacidade, podemos calcular o volume de água nele presente:

V = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2} m^{3} = 4 m^{3}

Sabendo que 1métros cúbicos = .1000 litros, teremos que 4 métros cúbicos = .4000 litros.

Logo, há .4000 litros de água nesse depósito.

17. a) Vamos calcular a medida do volume do bloco menor.

V_{bloco menor} = (0, 25 \cdot 0, 2 \cdot 0, 25) m^{3} = 0, 0125 m^{3}

b) Podemos calcular a medida do volume do bloco original para realizar a comparação:

V_{bloco maior} = (0,5 \cdot 5 \cdot 0,8) m^{3} = 2 m^{3}

Para saber quantos pequenos blocos foram feitos, vamos utilizar a medida do volume do bloco menor calculada no item a:

\frac{2}{0, 0125} = 160

Ele obteve 160 blocos menores.

c) 0,0125 ⋅ 500 = 6,25

Cada bloco menor tem aproximadamente 6,25 quilogramas.

CAPÍTULO 11 — FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

Trocando ideias — página 251

• Exemplo de resposta: diversos polígonos, como triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos etcétera.

• Exemplo de resposta: diversos polígonos, como triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos etcétera. e círculos.

Um pouco de história — página 254

1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes identifiquem que π não tem um valor exato, é uma aproximação. Além disso, pode haver diferentes aproximações ao fazer as medições, o que levará a resultados variados também.

2. Resposta pessoal. Algumas possibilidades:

APROXIMAÇÕES DE ΠAO LONGO DO TEMPO
Origem/Autor	Data	Aproximação	Valor
Babilônia	2000 a.C.	$3 mais divisão de 1 sobre 8$	3,125
Egito – Papiro de Ahmes	1650 a.C.	$abre parênteses divisão de 16 sobre 9 fecha parênteses elevado a 2$	3,1605
Arquimedes	250 a.C.	$3 divisão de 10 sobre 71 menor que π menor que 3 divisão de 1 sobre 7$	3,14185
Ptolomeu	150 d.C.	$divisão de 377 sobre 120$	3,14166
Tsu Chung Chih	480	$divisão de 355 sobre 113$	3,141592
Simon Duchesne	1583	$abre parênteses divisão de 39 sobre 22 fecha parênteses elevado a 2$	3,14256

Fonte: Disponível em: https://oeds.link/uVGw0x. Acesso em: 5 maio 2022.

Atividades — página 255

1. Circunferência menor: r = 1 centímetro e d = 2 centímetros; circunferência maior: r = 2 centímetros e d = 4 centímetros.

Figura geométrica: circunferência de centro O.

3. Uma resposta possível: O círculo tem uma região interna limitada por uma circunferência. A circunferência é apenas uma linha.

4. a) O comprimento do raio de uma circunferência mede 5 centímetros; então, o comprimento do diâmetro mede 10 centímetros.

b) Uma circunferência cujo comprimento do diâmetro mede 16 centímetros tem 8 centímetros de medida de comprimento do raio.

5. A produção é pessoal.

6. Analisando cada alternativa.

a) Falsa, essas medidas não são iguais.

b) Verdadeira, são medidas iguais, já que todas representam a medida do raio da circunferência.

c) Falsa, pois a circunferência tem algumas propriedades.

d) Falsa, pois ó cê é um raio, mas A bê não é.

Portanto, a única correta é a alternativa b.

Não é necessário fazer nenhuma medição para se chegar à alternativa correta, mas pode-se verificar com a régua que os pontos a, B e C são equidistantes do centro óh.

7. Fazemos: C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 centímetros = 31,4 centímetros

Alternativa c é a correta.

8. Alternativa a, pois a é o centro da circunferência.

Atividades — página 259

9. São polígonos as figuras dos itens aêê. Nos itens aêéfe as figuras são abertas; nos itens b e d as figuras não são formadas apenas por linhas poligonais.

10. a) lados:

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D A}

vértices: A, B, C, D

diagonais:

\overline{A C}

\overline{B D}

b) lados:

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D E}

\overline{E F}

\overline{F A}

vértices: A, B, C, D, E, F

diagonais:

\overline{A C}

\overline{A D}

\overline{A E}

\overline{B D}

\overline{B E}

\overline{B F}

\overline{C E}

\overline{C F}

\overline{D F}

11. a) 9 ângulos internos.

b) 9 vértices.

Página cento e um

12. Resposta pessoal. Uma possibilidade de resposta:

Luana pode dividir o hexágono regular em triângulos. Como a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é 180graus, a soma das medidas dos ângulos internos do hexágono regular, composto de quatro triângulos, é 720graus. Como o hexágono regular tem seis ângulos internos com medidas iguais, conclui-se que a medida do ângulo interno de um hexágono regular é igual a 120graus, pois 720graus : 6 = 120graus.

13. Sim, a soma das medidas de abertura dos 6 ângulos de triângulos equiláteros em torno de um mesmo vértice é 360graus.

14. Não, pois a medida de abertura de cada ângulo interno de um pentágono regular é 108graus, não sendo possível obter 360graus pela adição de medidas iguais a essa.

Tecnologias digitais em foco — página 260

Explore:

a) As medidas de abertura dos ângulos internos dos polígonos regulares não mudam.

b) Observando quantos triângulos cercam esse vértice, teremos:

Triângulo equilátero:

\frac{360 °}{6} = 60 °

E quantos hexágonos cercam esse vértice, teremos:

Hexágono regular:

\frac{360 °}{3} = 120 °

c) Se escolhermos um vértice do mosaico, teremos ao seu redor dois octógonos e um quadrado. Como a abertura do ângulo interno de um quadrado mede 90graus, temos que a medida da abertura de dois ângulos do octógono é 360graus – 90graus, que é igual a 270graus. Então, para descobrir a medida da abertura de um ângulo interno do octógono, basta calcular a metade de 270graus, que é 135graus.

Veja que interessante — página 263

1. Para fixar as estruturas do quadrilátero e do pentágono, é preciso decompor esses polígonos em triângulos, impedindo a deformação.

2. Resposta pessoal. Algumas possibilidades: telhados, portões, escadas.

Atividades — páginas 267 e 268

15. a) Os pontos de encontro dos lados consecutivos são F, G e H.

b) Os segmentos que formam os contornos do polígono são

\overline{F H}

\overline{F G}

\overline{H G}

c) Os ângulos formados por dois lados consecutivos são

\hat{F}

\hat{G}

\hat{H}

d) Os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do outro lado do polígonos são

\hat{x}

\hat{y}

\hat{z}

e) Temos, oposto ao ângulo, o lado

\overline{H G}

16. a) (5 + 6 + 7) centímetros = 18 centímetros

b) (6 + 8 + 10) centímetros = 24 centímetros

c) (8 + 15 + 17) milímetros = 40 milímetros

d) (20 + 21 + 29) decímetros = 70 decímetros

17. Para esta atividade, espera-se que os estudantes construam os triângulos com base no processo descrito na página 264, produzindo cada polígono com as medidas especificadas em cada item.

18. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes observem que cada um pode escolher medidas diferentes (mas todos os lados têm que ter a mesma medida, pois o triângulo é equilátero), porém o modo de construir o triângulo é o mesmo.

19. Espera-se que, nesta atividade, os estudantes realizem a reprodução do ângulo AÔB com base no roteiro indicado na página 266, transportando o ângulo Ô e o reproduzindo no caderno.

20. a) Como 110graus + 50graus < 180graus, a construção é possível.

b) Como 110graus + 70graus = 180graus, a construção é impossível.

c) Como 110graus + 90graus = 200graus, a construção é impossível.

21. Espera-se que os estudantes construam os triângulos indicados através do roteiro indicado na página 266, reproduzindo as etapas para construção de um triângulo a partir de dois lados e um ângulo.

22. Espera-se que os estudantes construam os triângulos indicados através do roteiro indicado na página 266, reproduzindo as etapas para construção de um triângulo a partir de dois ângulos e um lado.

23. Resposta pessoal. Um exemplo de construção pode ser feita a partir de um segmento de largura fixa e um ângulo reto. Replicando este segmento e construindo um triângulo com os segmentos e a largura fixa, construímos um triângulo retângulo e isósceles. Assim, pode-se duplicar um dos ângulos das bases (de 45graus), replicando neste ângulo um segmento de largura fixa. Realizando o mesmo passo no outro lado da base, temos a construção do quadrado a partir dos triângulos.

24. a) Não, pois 18 > 6 + 10.

b) Não, pois 10 + 7 + 3.

c) Sim, pois 8 < 4 + 6; 4 < 6 + 8 e 6 < 8 + 4.

d) Sim, pois 3 < 4 + 5; 4 < 5 + 3 e 5 < 4 + 3.

25. Espera-se que os estudantes pensem em cada uma das possibilidades para a medida do maior lado do triângulo.

a) Por exemplo, se 11 for a medida do maior lado do triângulo em questão, então:

11 < [6 + (medida do 3º lado)]

Portanto, a medida do 3º lado tem que ser maior que 5 centímetros.

Agora, se considerarmos a medida do lado desconhecido como a maior, teremos:

(medida do 3º lado) < (11 + 6)

Concluímos, assim, que a medida do 3º lado deve ser maior que 5 centímetros e menor que 17 centímetros.

Em síntese: 5 centímetros < medida de comprimento do 3º lado < 17 centímetros

b) De modo similar, teremos que:

200 centímetros < medida de comprimento do 3º lado < 242 centímetros

Revisão dos conteúdos desse capítulo — página 269

1. Considerando as definições, temos:

a) Circunferência.

b) Círculo.

2. Alternativa a, pois a medida da distância entre o centro de uma circunferência e qualquer um de seus pontos é sempre a mesma.

Página cento e dois

3. Se a medida do diâmetro é 100 métros, então C = 100 métros ⋅ 3,14 = 314 métros.

Assim, 1 volta corresponde a 314 métros.

2 voltas correspondem a 628 métros

3 voltas correspondem a 942 métros

4 voltas correspondem a .1256 métros

Dessa maneira, ele deverá percorrer, ao menos 4 voltas completas.

4. Considerando as definições, temos:

a) Os segmentos que formam o contorno:

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D A}

b) Os pontos de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D

c) Os ângulos formados pelos lados internos consecutivos:

\hat{a}

\hat{b}

\hat{c}

\hat{d}

d) Os ângulos formados pelos lados de um polígono e pelos prolongamentos dos lados:

\hat{a_{1}}

\hat{b_{1}}

\hat{c_{1}}

\hat{d_{1}}

e) As diagonais são

\overline{A C}

\overline{B D}

5. O triângulo é o polígono que não tem diagonais.

6. Não, pois 5,5 > 3 + 1,5.

7. Espera-se que os estudantes realizem a construção dos triângulos levando como base o processo descrito na página 264 do Livro do Estudante. É interessante também verificar se as medidas dos comprimentos dos lados de cada um dos triângulos respeitam a desigualdade triangular, que é válida para todos os itens.

CAPÍTULO 12 — PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

Trocando ideias — página 270

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes apontem alguns aspectos, por exemplo, os benefícios à saúde de quem pedala, diminuição de emissão de poluentes, redução de gastos com transporte etcétera.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes não considerem esse gráfico incorreto, apenas sugiram a possibilidade de outro como gráfico de barras, por exemplo.

• Maior: Região Sudeste; menor: Região Norte.

• Região Nordeste, pois

\frac{1}{5} = 0,2 = 20 %

e na Região Nordeste são 20,80%.

Atividades — página 272

1. Resposta pessoal. Exemplos de experimentos aleatórios: lançamento de moedas, lançamento de dados. Entre os não aleatórios, temos: queimar uma folha de papel; molhar uma fruta; cozinhar um alimento.

2. Como temos:

‒ em a 4 vermelhas e 5 azuis

‒ em B duas vermelhas e 8 azuis

‒ em C 8 vermelhas e duas azuis

É mais provável tirar uma vermelha da bandeja C e menos provável da bandeja B.

3. Sim, porque todas as bolas da caixa são verdes.

4. a) Impossível, já que todos os números são menores que 7.

b) Provável.

c) Certo, pois a menor soma possível é 2 (no caso de sair “1” nos dois dados) e a maior é 12 (no caso de sair “6” nos dois dados). E todas as outras combinações estão entre esses valores.

5. a) 1, pois ele ocupa metade do disco.

b) Nenhum, todos têm a mesma probabilidade.

c) 4, pois ele ocupa mais espaço que os outros números.

Cálculo de probabilidades — página 273

Como são 32 funcionários, a probabilidade será:

\frac{1}{32} = 3,125 %

Atividades — página 274

6. a) Há 6 números, entre eles 3 ímpares, logo a probabilidade será

\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50 %

b) Há 6 números, entre eles 2 maiores que 4, logo a probabilidade será

\frac{2}{6} = \frac{1}{3} ≃ 33 %

c) Há 6 números e nenhum é o 8, logo a probabilidade é zero.

7. O disco está dividido em 10 partes iguais, sendo 3 vermelhas, 3 amarelas e 4 verdes. Logo:

\frac{3}{10} = 30 %

\frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 40 %

\frac{3}{10} = 30 %

\frac{4}{52} = \frac{1}{13} ≃ 7,7 %

9. Resultados possíveis:

• Cara e cara

• Cara e coroa

• Coroa e cara

• Coroa e coroa

Como, das 4 possibilidades de resultado, em 2 deles temos apenas uma “cara”, a probabilidade será

\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 50 %

10.

\frac{5}{15} = \frac{1}{3} ≃ 33,3 %

11. Respostas pessoais, dependem do experimento. Vejamos um exemplo de respostas, a partir de um experimento feito.

FACE	FREQUÊNCIA
1	19
2	14
3	16
4	15
5	15
6	21

b) Maior frequência foi a face 6 e menor frequência foi a 2.

c) Não, pois é um evento aleatório e não depende de resultados obtidos anteriormente.

Atividades — páginas 276 e 277

12. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes infiram que a densidade das bolinhas azuis e laranjas são semelhantes, sendo 50% a porcentagem aproximada para cada uma.

b) A relação entre as cores das bolinhas.

c) População: todas as bolinhas desenhadas no retângulo (2º passo); amostra: bolinhas que ficaram no interior do furo (4º passo).

Página cento e três

Atividades — página 280

13. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes entendam população como todos os elementos do objeto de estudo da pesquisa, enquanto a amostra é parte da população.

14. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes verifiquem possibilidades de amostras para cada caso, por exemplo: pessoas de determinada cidade ou estados, animais aquáticos e plantas que possuem fruto.

15. Se de cada 100 parafusos, 1 parafuso vai para análise, então de .30000 parafusos, vão para análise

\frac{30 000}{100} = 300

parafusos.

16. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes observem que em muitos casos, mesmo que seja desejável fazer uma pesquisa censitária, ela não é viável (em termos financeiros, pelo tamanho da população, pelo tempo disponível entre tantos fatores), então, a pesquisa precisará ser amostral. Com a escolha de amostras adequadas, a pesquisa também será vantajosa.

17. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reflitam sobre as etapas iniciais do processo estatístico exploradas no tópico “Pesquisa estatística” antes de analisarem as amostras apresentadas.

Podemos perceber que Cássia apresentou um detalhamento maior da amostra, o que pode ser considerado mais representativo, mesmo que Mariana tenha trazido uma proposta com um número maior de entrevistados, enquanto a amostra de Paula poderá ser tendenciosa, já que dois dos candidatos estudam no período da manhã.

18.

\frac{67, 6 m i l h õ e s}{10} = 6, 76

milhões de residências.

19. Respostas pessoais que dependem da pesquisa elaborada.

Atividades — página 284

20. a) Verificando o gráfico e sua legenda, temos 21% dedicados a saúde e previdência.

b) 3% de 32 bilhões = 0,03 ⋅ 32 bilhões = 0,96 bilhão.

O gasto com agricultura é de 0,96 bilhão de dólares ou 960 milhões de dólares.

21. a) Resposta pessoal. Uma possibilidade de resposta: sim, é adequado construir um gráfico desse tipo, mas como se trata de valores muito altos, seria interessante ter como ferramenta uma planilha eletrônica. Outra possibilidade: não, pois haveria uma grande quantidade de setores (um para cada estado), dificultando o entendimento do gráfico.

b) Resposta pessoal. Espera-se que a resposta dos estudantes seja sim, pois a distribuição por região permite uma visualização do gráfico melhor do que a por estado.

22. a)

34,7 % d e 100 000 = \frac{34,7}{100} \cdot 100 000 = 34 700

. Logo, são .34700 aparelhos da marca a.

b) Como

\frac{1}{3} ≃ 33 % e 33 %

é próximo de 34,3%, podemos afirmar que a relação é válida.

Atividades — página 287

23. a) Média de cada equipe:

M_{A} = \frac{52,5 + 84 + 70,8 + 39 + 60,7}{5} = \frac{307}{5} = 61,4

M_{B} = \frac{42 + 59,9 + 58 + 71,6 + 70,5}{5} = \frac{302}{5} = 60,4

Como a média das duas equipes ultrapassou 60 pontos, ambas ganharam a viagem.

b) Vejamos a amplitude dos pontos de cada equipe.

Maior nota da equipe a 84

Menor nota da equipe a 39

Amplitude (equipe a) 84 ‒ 39 = 45

Maior nota da equipe B 71,6

Menor nota da equipe B 42

Amplitude (equipe B) 71,6 ‒ 42 = 29,6

Logo, a equipe B teve o ganho de pontos menos disperso.

24. a)

M é d i a = \frac{22 + 14}{2} = \frac{36}{2} = 18

M é d i a = \frac{22 + 14 + 30}{3} = \frac{66}{3} = 22

M é d i a = \frac{22 + 14 + 30 + 18}{4} = \frac{84}{4} = 21

25.

M é d i a = \frac{20 358 + 3 454 + 68 112 + 35 208}{4} = \frac{127 132}{4} = 31 783

Média de .31783 espectadores.

26.

M é d i a = \frac{959 000 + 1 045 000 + 900 000 + 1 105 000 + 1 080 000}{5} = \frac{5 089 000}{5} = 1 017 800

Média de uma.017 800 toneladas.

27. a) De acordo com os dados da tabela 2018: 350,1 milímetros; 2019: 224,2 milímetros e 2020: 417,1 milímetros.

b) MÉDIA DE 2018

\frac{350,1 + 170 + 125 + 21 + 12,4 + 12 + 0,7 + 27,7 + 100,6 + 356,6 + 321,2 + 231,4}{12} =

\frac{1 787}{12} ≃ 144,06

MÉDIA DE 2019

\frac{224,2 + 374,2 + 172,9 + 150,7 + 26,8 + 7,8 + 15,9 + 37,5 + 52,3 + 80,5 + 304,3 + 161,9}{12} =

\frac{1 609}{12} ≃ 134,08

MÉDIA DE 2020

\frac{417,1 + 403,6 + 277,3 + 42,7 + 15,5 + 10,6 + 0 + 0,8 + 22,4 + 198,7 + 85,7 + 525}{12} =

\frac{1999,4}{12} ≃ 166,62

c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes observem que no mês de dezembro costuma ter índices elevados de chuva quando comparado com outros meses do ano.

Página cento e quatro

28. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes utilizem os conceitos e ideias discutidos em aula para a produção da pesquisa.

Atividades — página 289

29. Nesse caso, fazemos:

{Preço}_{médio} = \frac{6 \cdot 60 + 10 \cdot 70 + 9 \cdot 45}{6 + 10 + 9} = \frac{1465}{25} = 58,60

Logo, nessa compra, o preço médio de uma bola foi R$ 58,60cinquenta e oito reais e sessenta centavos.

30. Para calcular a média, fazemos:

M é d i a = \frac{2 \cdot 1,51 + 5 \cdot 1,56 + 11 \cdot 1,61 + 14 \cdot 1,66 + 5 \cdot 1,71 + 3 \cdot 1,76}{2 + 5 + 11 + 14 + 5 + 3} =

\frac{3,02 + 7,8 + 17,6 + 23,24 + 8,55 + 5,28}{40} = \frac{65,49}{40} ≃ 1,64

Logo, a medida da altura média desse grupo é 1,64 métro.

Lendo e aprendendo — página 290

1. a) Foi publicado entre os dias 23 de agosto e 6 de setembro de 2021.

b) O aumento da medida de temperatura da Terra.

c) Vai aumentar 1,5 grau Célsius.

d) A emissão de gases poluentes por meio, por exemplo, da queima de combustíveis fósseis para geração de energia.

2. a) Falsa, pois o lixo é responsável por 3,2% das emissões de gases poluentes.

b) Verdadeira, pois a indústria é responsável por 5,2% das emissões de gases poluentes e

5,2 % = 0,052 ≃ \frac{1}{20}

c) Falsa, pois juntando agricultura e uso da terra, corresponde a 18,4% e

\frac{1}{3} ≃ 33 %

d) Verdadeira, pois a queima de combustíveis fósseis é responsável por 73,2% das emissões de gases poluentes, ou seja, próximo de 75% e

75 % = \frac{3}{4}

3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes busquem notícias e ações mais recentes em diferentes partes do mundo.

Resolvendo em equipe — página 291

Interpretação e identificação dos dados

• Resposta pessoal.

• Uma possibilidade de quadro para os meninos:

Esporte	Quantidade de meninos
Futebol	25
Vôlei	10
Basquete	15
Nenhum esporte	5

• Uma possibilidade de quadro para as meninas:

Esporte	Quantidade de meninas
Futebol	12
Vôlei	8
Basquete	12
Nenhum esporte	3

Plano de resolução

• Como 25 meninos praticam futebol e 10 jogam vôlei, no máximo 10 estudantes podem jogar esses dois esportes.

• Como 12 meninas praticam basquete e 8 jogam vôlei, no máximo 8 estudantes podem jogar esses dois esportes.

Resolução

Uma possível resolução:

• Como nenhum menino que joga futebol ou vôlei, joga basquete, então como são 15 meninos no basquete, 15 deles não jogam nem futebol nem vôlei.

Assim, há, pelo menos:

15 (basquete), 25 (futebol ou vôlei) e 5 (nenhum esporte), ou seja, 45 meninos.

• Como nenhuma menina que joga basquete ou vôlei, joga futebol, então como são 12 meninas no futebol, 12 meninas não jogam futebol nem vôlei.

Assim, há, pelo menos:

12 (futebol), 12 (basquete ou vôlei) e 3 (nenhum esporte), ou seja, 27 meninas.

Logo, o número mínimo será 45 + 27 = 72. A alternativa correta é a e.

Revisão dos conteúdos desse capítulo — páginas 292 e 293

1. a) No conjunto dos números naturais de 1 a 25 há mais números ímpares do que pares, então é mais provável sortear uma bolinha com número ímpar.

b) Junto dos números naturais de 1 a 25 há 12 números pares, então a probabilidade de sortear um número par é de 12 em 25, ou seja,

\frac{12}{25}

2. a) Como há 6 partes vermelhas, fazemos

\frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 50 %

b) Como há 6 números pares, fazemos

\frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 50 %

c) Como há 2 partes azuis, fazemos

\frac{2}{12} = \frac{1}{6} ≃ 16,7 %

d) Como há 4 números maiores que 8, fazemos

\frac{4}{12} = \frac{1}{3} ≃ 33 %

3. a) Falsa, pois o Censo usa a população.

b) Verdadeira.

c) Verdadeira.

d) Verdadeira.

4. a) Resposta pessoal. Espera‒se que os estudantes observem que, para representar todos esses dados, é mais adequado um gráfico de barras.

Página cento e cinco

Um gráfico possível:

Gráfico em barras horizontais. FEMINICÍDIOS OCORRIDOS NA REGIÃO CENTRO-OESTE DE 2019 A 2021. Eixo x, pontos de 0 a 180. Eixo y, regiões. Os dados são: Goiás. 2019: 41. 2020: 43. 2021: 53. Mato Grosso. 2019: 38. 2020: 62. 2021: 43. Mato Grosso do Sul. 2019: 30. 2020: 43. 2021: 37. Distrito Federal. 2019: 32. 2020: 17. 2021: 25. Total. 2019: 141. 2020: 165. 2021: 158. — Dados obtidos em: https://oeds.link/r4GzFa. Acesso em: 8 julho 2022.

b) Resposta pessoal. Espera-se uma troca de ideias entre os estudantes a respeito do tema. É importante, nesta discussão, trazer referências sobre como agir diante da violência contra a mulher, por exemplo, o acesso a delegacias da mulher e telefones de apoio.

5. Exemplo de gráfico:

Gráfico de setores. UNIDADES DE CARROS VENDIDOS NO MÊS DE JANEIRO, POR MODELO. Os dados são: Modelo A: 80. Modelo B: 60. Modelo C: 40. Modelo D: 20.

Dados fornecidos pela concessionária.

6. a) Podemos afirmar que mais da metade dos turistas respondeu “bom” ou “muito bom”, então a maioria deles parece satisfeita ao visitar a região.

b) Um exemplo de gráfico:

Gráfico de setores. NÍVEL DE SATISFAÇÃO DOS TURISTAS. Os dados são: Muito bom: 36%. Bom: 48%. Regular: 12%. Ruim ou muito ruim: 4%.

Dados obtidos pelo funcionário da prefeitura de Vem Visitar em 2023.

7. Média trimestral =

\frac{12 000 + 13 000 + 13 000}{3} =

= \frac{37500}{3} = 12 500

A média trimestral é de .12500 automóveis.

8. Chamando de x a nota desconhecida, e sabendo que a média ponderada vale 5,0:

5, 0 = \frac{1 \cdot 6, 0 + 2 \cdot 4, 5 + 3 \cdot 3, 0 + 4 \cdot x}{10}

5, 0 = \frac{24 + 4 x}{10}

50 = 24 + 4x

26 = 4x

6, 5 = x

Diego deve tirar nota mínima 6,5 para atingir média final igual a 5,0.

É hora de extrapolar — páginas 294 e 295

1. Informações sobre a pesquisa citada:

• Amostra: oitocentas e quinze pessoas entre 16 e 65 anos de 6 cidades: São Paulo (duzentas e quatro), Rio de Janeiro (cento e vinte e duas), Porto Alegre (120), Salvador (128), Manaus (cento e vinte e uma) e Brasília (120).

• 783 entrevistados conheciam o nome de pelo menos um parque nacional; o Parque Nacional da Chapada Diamantina foi o mais citado.

• 57% da população investigada declaram já ter visitado um parque nacional.

• A distribuição de pessoas que já visitaram algum parque nacional não ocorre de fórma uniforme em relação à idade: entre 16 e 25 anos, o percentual é 37% e entre 56 e 65 anos, o percentual é 86%.

a) É uma pesquisa amostral.

b) Representam 95% da população investigada.

c) Resposta pessoal. Os estudantes podem responder que o custo da viagem é alto, a viagem é muito longa.

2. a)

Gráfico de setores. FREQUÊNCIA DE VISITAÇÃO AOS PARQUES. Os dados são: intensa: 29%. Média: 30%. Esporádica: 41%.

b) Calculando as medidas de ângulos correspondentes:

29 % d e 360 ° = \frac{29 \cdot 360 °}{100} = 104,4 °

30 % d e 360 ° = \frac{30 \cdot 360 °}{100} = 108 °

41 % d e 360 ° = \frac{41 \cdot 360 °}{100} = 147,6 °

Escrevendo em um quadro, teremos:

FREQUÊNCIA	PORCENTAGEM	MEDIDA DE ÂNGULO CORRESPONDENTE
Intensa	29%	104,4°
Média	30%	108°
Esporádica	41%	147,6°

Página cento e seis

3. a) É a unidade de medida de área chamada hectare. Cada hectare corresponde a .10000 metros quadrados.

b) Podemos fazer a relação:

\frac{2 272 000}{158} ≃ 14 380

Ou seja, ele é aproximadamente 14 trezentas e oitenta vezes maior.

c) Podemos fazer a relação:

\frac{56 400}{158} ≃ 357

Ou seja, ele é aproximadamente trezentas e cinquenta e sete vezes maior.

d) Se o campo tem essas dimensões, a medida de sua área será:

105 ⋅ 68 métros quadrados = .7140 métros quadrados

Como a outra medida está em hectares, fazemos:

7 140 m^{2} = \frac{7 140}{10 000} h a = 0,714 h a

Assim, podemos fazer e relação:

\frac{2 272 000}{0,714} = 3182 072,8

Cabem .3182 072 campos de futebol.

Essa comparação ajuda a dimensionar a área do parque. Ao ler .2272 000 hectares, entendemos que se trata de uma grande área, mas o valor de mais de 3 milhões de campos de futebol torna essa informação mais concreta.

a) Resposta pessoal.

b) Espera-se que os estudantes entendam que a demarcação de unidades de conservação garante a preservação dos ecossistemas e da biodiversidade da região

c) Resposta pessoal.

Teste seus conhecimentos

Atividades — páginas 296 e 297

1. Para resolver esse problema, podemos utilizar a reta numérica.

Reta numérica com os pontos menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Seta de 8 a menos 3 com a indicação de térreo e acima da seta a operação: 8 menos 11 igual a menos menos 3.Reta numérica com os pontos menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Seta de menos 3 a dois com a indicação de térreo e acima da seta a operação: menos três mais cinco igual a dois.

A casa do amigo de Henrique fica no 2º andar. Para determinar quantos andares há de diferença, podemos fazer:

8 ‒ 2 = 6

Logo, há 6 andares de diferença entre o andar em que Henrique mora e o andar em que o amigo mora.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

2. Como os marcadores precisam estar igualmente distantes um dos outros nas três pistas e com a maior medida de distância possível entre cada marcador, é necessário determinar o máximo divisor comum entre os valores 640, 800 e .1000, que correspondem à medida de comprimento de cada pista.

ême dê cê(640, 800, .1000) = 40

Para obter o número de marcadores que devem ser colocados em cada pista, vamos dividir o valor da medida de comprimento de cada pista pela medida de distância de cada marcador.

Pista a: 640 : 40 = 16

Pista B: 800 : 40 = 20

Pista C: .1000 : 40 = 25

Para obter o total de marcadores, basta adicionar a quantidade de marcadores que deve ser colocada em cada pista.

16 + 20 + 25 = 61

Logo, serão colocados 61 marcadores nas três pistas.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

3. A soma da medida da abertura de dois ângulos suplementares é igual a 180graus. Para determinar o valor de x, podemos fazer:

85graus ‒ 3x + 155graus = 180graus

x = 20graus

Para determinar a medida de abertura do menor ângulo, vamos substituir x por 20graus na expressão 85graus ‒ 3x.

85graus ‒ 3 ⋅ 20graus = 85graus ‒ 60graus = 25graus

Logo, a medida da abertura do menor ângulo formado pelo cruzamento dessas retas é 25graus.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

4. Para determinar o tempo de separação dos ingredientes, podemos calcular

\frac{1}{9}

de uma hora 30 minutos.

Sabemos que uma hora 30 minutos corresponde a 90 minutos. Então:

\frac{1}{9} \cdot 90 min = 10 min

Logo, o tempo de separação dos ingredientes equivale a 10 minutos do tempo total de preparação.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

5. Primeiro, vamos escrever a fração na fórma decimal, para que fique similar aos demais.

\frac{6}{15} = 0, 4

Organizando esses números em ordem crescente, temos:

‒8,06 < ‒5,12 < 0,4 < 6,324

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

6. Para determinar a medida de comprimento de cada pedaço, podemos dividir a medida de comprimento da fita pelo número de pedaços.

36,5 métros : 5 = 7,3 métros

Como 1 métro = 100 centímetros, então, 7,3 métros = 730 centímetros.

Logo, a medida de comprimento de cada pedaço é 730 centímetros.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

7. Vamos calcular a fração que representa a quantia que Isabel gastou.

\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}

Assim, podemos concluir que sobrou

\frac{11}{20}

da quantia inicial e essa fração corresponde a R$ 115,50cento e quinze reais e cinquenta centavos.

Então,

\frac{1}{20}

equivale a R$ 10,50dez reais e cinquenta centavos da quantia inicial que Isabel tinha. Para determinar o valor inicial, podemos fazer:

20 ⋅ R$ 10,50dez reais e cinquenta centavos = R$ 210,00duzentos e dez reais

Logo, a quantia inicial de Isabel era R$ 210,00duzentos e dez reais.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

Página cento e sete

8. Seja x o número de pessoas que pagaram entrada inteira e y o número de pessoas que pagaram meia-entrada. Considerando que o preço da entrada inteira é R$ 18,00dezoito reais, vamos escrever uma expressão que determina o valor total arrecadado.

18x + 9y

Como

\frac{1}{4}

desse valor será doado, a expressão algébrica que representa o valor doado pelo museu é:

\frac{1}{4} \cdot (18 x + 9 y)

Portanto, a alternativa correta é a letra a.

9. Para verificar qual alternativa indica a lei de formação da sequência (2, 5, 10, 17, reticências), vamos calcular os primeiros termos de cada uma dessas leis de formação.

a) Para á_n = 2n − 1, temos: (1, 3, 5, 7, reticências)

b) Para á_n = n2 − 1, temos: (0, 3, 7, 15, reticências)

c) Para á_n = n2 + 1, temos: (2, 5, 10, 17, reticências)

d) Para á_n = 2n + 1, temos: (3, 5, 7, 9, reticências)

Logo, a alternativa c indica a lei de formação da sequência (2, 5, 10, 17, reticências).

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

10. Vamos calcular o valor desse produto após um acréscimo de 5% e, em seguida, após um desconto de 5%.

Valor desse produto após um acréscimo de 5%.

R$ 156,00cento e cinquenta e seis reais ⋅ 1,05 = R$ 163,80cento e sessenta e três reais e oitenta centavos

Valor desse produto após um desconto de 5%.

R$ 163,80cento e sessenta e três reais e oitenta centavos ⋅ 0,95 = R$ 155,61cento e cinquenta e cinco reais e sessenta e um centavos

Logo, atualmente esse produto custa R$ 155,61cento e cinquenta e cinco reais e sessenta e um centavos.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

11. Vamos calcular o valor que o investimento de Fernando rende mensalmente.

0,3% = 0,003

R$ 18.500,00dezoito mil quinhentos reais ⋅ 0,003 = R$ 55,50cinquenta e cinco reais e cinquenta centavos

Para determinar o número de meses necessários para o investimento de Fernando render R$ 999,00novecentos e noventa e nove reais, vamos dividir esse valor pela quantia que rende todo mês.

R$ 999,00novecentos e noventa e nove reais : R$ 55,50cinquenta e cinco reais e cinquenta centavos = 18

Logo, serão necessários 18 meses para o investimento render R$ 999,00novecentos e noventa e nove reais, ou seja, 1 ano e meio.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

12. Como cada revista custa o mesmo valor, para determinar o preço de uma revista, podemos fazer:

R$ 61,00sessenta e um reais : 4 = R$ 15,25quinze reais e vinte e cinco centavos

Logo, cada revista custa R$ 15,25quinze reais e vinte e cinco centavos.

Se Rute comprasse mais duas revistas de mesmo valor, no total seriam 6 revistas. Multiplicando, então, o preço de cada revista por 6, podemos determinar quanto Rute gastaria.

R$ 15,25quinze reais e vinte e cinco centavos ⋅ 6 = R$ 91,50noventa e um reais e cinquenta centavos

Logo, se comprasse mais duas revistas de mesmo valor, Rute pagaria R$ 91,50noventa e um reais e cinquenta centavos.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

13. Analisando cada uma das alternativas.

a) Rotacionando a figura a bê cê dê em torno do ponto de origem do plano cartesiano, obtemos a seguinte figura:

Plano cartesiano em malha quadriculada: no eixo x, números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, números: menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2 e 3. Há um retângulo com vértices nos pontos A de abscissa menos 4 e ordenada 2, B de abscissa menos 4 e ordenada 1, C de abscissa menos 1 e ordenada 1 e D de abscissa menos 1 e ordenada 2. Há outro retângulo com vértices nos pontos A linha de abscissa 4 e ordenada menos 2, B linha de abscissa 4 e ordenada menos um, C linha de abscissa 1 e ordenada menos 1 e D linha de abscissa 1 e ordenada menos 2.

Logo, a alternativa a é incorreta.

b) Construindo a figura por meio da translação indicada no item, temos a seguinte figura:

Plano cartesiano em malha quadriculada: no eixo x, números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. No eixo y, números: menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3 e 4. Há um retângulo com vértices nos pontos A de abscissa menos 4 e ordenada 2, B de abscissa menos 4 e ordenada 1, C de abscissa menos 1 e ordenada 1 e D de abscissa menos 1 e ordenada 2. Há outro retângulo com vértices nos pontos A linha de abscissa 3 e ordenada menos 2, B linha de abscissa 3 e ordenada menos três, C linha de abscissa 6 e ordenada menos 2 e D linha de abscissa 6 e ordenada menos 2. Há uma seta sobre o ponto cinco do eixo x.

Logo, a alternativa b é correta.

c) Refletindo a figura a bê cê dê em relação à origem do plano, temos a seguinte figura:

Logo, a alternativa c é incorreta.

d) Refletindo a figura a bê cê dê em relação ao eixo y, temos a seguinte figura:

Plano cartesiano em malha quadriculada: no eixo x, números: menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, zero, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, números: menos 1, zero, 1, 2 e 3. Há um retângulo com vértices nos pontos A de abscissa menos 4 e ordenada 2, B de abscissa menos 4 e ordenada 1, C de abscissa menos 1 e ordenada 1 e D de abscissa menos 1 e ordenada 2. Há outro retângulo com vértices nos pontos A linha de abscissa 4 e ordenada 2, B linha de abscissa 4 e ordenada 1, C linha de abscissa 1 e ordenada 1 e D linha de abscissa 1 e ordenada 2

Logo, a alternativa d é incorreta.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

14. Para calcular a medida da área de um triângulo, podemos multiplicar a medida do comprimento da base pela medida do comprimento da altura e dividir o resultado por dois. Assim:

\frac{4,2 c m \cdot 6 c m}{2} = 4,2 c m \cdot 3 c m = 12,6 c m ²

Página cento e oito

Verificando as alternativas, podemos notar que, no item d, para calcular a área do paralelogramo, devemos multiplicar a medida do comprimento da base pela medida do comprimento da altura, obtendo a seguinte expressão:

4,2 centímetros ⋅ 3 centímetros = 12,6 centímetros quadrados

Logo, é possível concluir que o triângulo tem medida de área equivalente à medida de área do paralelogramo do item d.

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

15. Para calcular a medida de volume de um paralelepípedo reto-retângulo, podemos multiplicar os valores das medidas de suas arestas.

Como 1 litro equivale a .1000 centímetros cúbicos, então, 2,5 litros equivale a .2500 centímetros cúbicos.

Seja h a medida da altura do recipiente, podemos fazer:

10 c ⋅ 10 centímetros ⋅ h = .2500 centímetros cúbicos

100 centímetros quadrados ⋅ h = .2500 centímetros cúbicos

h = 25 centímetros

Logo, a medida do comprimento da altura do recipiente deve ser 25 centímetros.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

16. Para calcular a medida do comprimento de uma circunferência, podemos utilizar a seguinte expressão:

C = π ⋅ d = 2 ⋅ π ⋅ r

Substituindo r por 8 centímetros e π por 3,14 na expressão, temos:

C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8 centímetros = 50,24 centímetros

Logo, o comprimento dessa fita medirá 50,24 centímetros.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

17. Vamos representar a figura obtida por Elaine.

Figura geométrica: Figura rosa composta por pentágono e triângulo à direita.

Vamos utilizar o fato de que a soma das medidas da abertura dos ângulos internos de um triângulo é 180graus e que as medidas de abertura dos ângulos internos de um polígono regular são iguais para determinar as medidas dos ângulos dessa figura.

Para o pentágono regular:

\frac{3 \cdot 180 °}{5} = 108 °

Para o triângulo equilátero:

\frac{180 °}{3} = 60 °

A soma da medida de abertura dos ângulos internos dessa figura é dada por:

5 ⋅ 108graus + 3 ⋅ 60graus = 540graus + 180graus = 720graus

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

18. Tiago recortou 15 números: 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216 e 217.

Desses números, 8 são ímpares: 203, 205, 207, 209, 211, 213, 215 e 217.

Para determinar a probabilidade de o número sorteado por Tiago ser ímpar, podemos calcular a razão entre a quantidade de números ímpares e a quantidade total de números.

\frac{8}{15} = 0,5333 ...

Logo, a probabilidade de ele tirar um número ímpar é aproximadamente 53%.

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

19. O gráfico de setores é conveniente para representar as partes de um total. Ele é útil quando se pretende comparar as partes de um todo.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

20. Para calcular a média de chuva diária, devemos adicionar o valor dos milímetros de chuva que caiu em cada dia e dividir pela quantidade de valores.

\frac{(0 + 5 + 8 + 0 + 0 + 10 + 6 m m)}{7} ≃ 4,14 m m

Logo, a média da chuva diária foi aproximadamente 4,14 milímetros.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.